A história da teoria das probabilidades, teve início no século XVI com os jogos de cartas, dados e de roleta.

Esta teoria foi usada por Mendel em seus estudos sobre genética.

Rodrigo Farias

Hoje, está intimamente relacionada com a estatística, que tem aplicações com

diversos ramos do conhecimento.

Probabilidade

RodrigoFarias

Rodrigo_digo_007@yahoo.com.brRodrigo_farias1994@hotmail.com

ElementosExperimento Aleatório É aquele experimento que quando repetido em iguais condições, podem fornecer resultados diferentes, ou seja, imprevisíveis. Quando se fala de tempo e possibilidades de ganho na loteria, a abordagem envolve cálculo de experimento aleatório.Espaço Amostral (U) É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. Evento (E) É qualquer subconjunto de um espaço amostral. E U RodrigoFaria

s

E = {c} e E = {k}

1) Lança-se uma moeda e lê-se a figura da face voltada para cima.Pede-se:a)O espaço amostral;

b)O número de elementos do espaço amostral;

c) O número de elementos dos eventos.

U ={cara, coroa}

n(U)=2

n(E )=1 e n(E ) = 11 2

1 2

RodrigoFarias

2) Lança-se um dado e lê-se o número voltado para cima.Pede-se:

a)O espaço amostral.

b)Calcule o número de elementos do espaço amostral

c) Determine o evento: Ocorrência de um número maior que quatro.

d)Determine o evento: Ocorrência de um número par.

U={1, 2, 3, 4, 5, 6}

n(U)=6

E ={5, 6}1

2E ={2, 4, 6}

RodrigoFarias

Experimento compostoQuando temos dois ou mais experimentos realizados simultaneamente, dizemos que o experimento é composto.Nesse caso, o número de elementos do espaço amostral é dado pelo produto dos números de elementos dos espaços amostrais de cada experimento.Um exemplo disso são dois dados quando lançado simultaneamente.

U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} → n(U )= 61U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} → n(U )= 61

2 2

Logo: n(U)= n(U ) . n(U )21Portanto, n(U) = 6.6 = 36 elementos

Dado 1 Dado 2 1 1 2 1 3 1 4 8 . . . . . .

RodrigoFarias

3) Ao lançar uma moeda e um dado, simultaneamente, calcule o número de elementos de U. Moeda

U ={c, k} → n(U) = 2

Dado

U ={1, 2, 3, 4, 5, 6} → n(U) = 6

n(U) = 6.2

moeda dado

n(U) = 12 elementos

RodrigoFarias

4) Obtenha o espaço amostral do lançamento simultâneo de três moedas.

Moeda 1

Moeda 2

Moeda 3

{c, k}

{c, k}

{c, k}

2.2.2= 8

U= {(c, c, c); (c, c, k); (c, k, c); (k, c, c); (c, k, k); (k, c, k); (k, k, c); (k, k, k)} RodrigoFarias

Probabilidade de um eventoUm espaço amostral (U), equiprovável (com elementos que tem a mesma chance de ocorrer).

Probabilidade de um evento em um espaço equiprovável

P(E) = n(E)n(U)

0≤p(E)≤1

0%

100%

Ex.: Jogando uma moeda, qual a probabilidade de ocorrer cara?n(U)=2 n(E)=1

12

RodrigoFarias

5) Lançando-se um dado, qual é a probabilidade de:a) Ocorrer uma face igual a 5?

b) Ocorrer uma face maior que 4?

16

26 =

:2

:213

≈ 16,6%

≈ 33,3%

RodrigoFarias

Probabilidade

Exercícios Complementares

RodrigoFarias

Rodrigo Fa

rias

1

a) Um rei; c) Uma carta de ouros

b) Um valete de paus; d) Uma carta que não seja de ouros.

131352

452

6) De um baralho tira-se uma ou mais cartas qual a probabilidade de que a carta seja:

152 39

52

Contém 52 Cartas;Dividida em 4 Grupos (Naipes): Copas, Paus, Ouro e espada.Cada grupo contém 13 Cartas sendo do Ás à 10, Valete (J), Dama (Q), Rei (K).

= :4

:4= 14:13

:13

= 34

36

7) (Puc-rio 2005) Dois dados não viciados são jogados simultaneamente. Qual a probabilidade da soma ser 7 nessa jogada?

Dado 1 Dado 2123

654

123

654

U=6.6=36

6 possibilidades

6 =:6

:6 16

RodrigoFarias

Rodrigo Fa

rias

8° (Uerj 2006) Com o intuito de separar o lixo para fins de reciclagem, uma instituição colocou em suas dependências cinco lixeiras, de acordo com o tipo de resíduo a que se destinam: vidro, plástico, metal, papel e lixo orgânico.

Sem olhar para as lixeiras, João joga em uma delas uma embalagem plástica e, ao mesmo tempo, em outra, uma garrafa de vidro.A probabilidade de que ele tenha usado corretamente pelo menos uma lixeira é igual a:a) 25% b) 30% c) 35% d) 40% e) 45%

Rodrigo Fa

rias

A probabilidade de que ele tenha usado corretamente pelo menos uma lixeira é igual a:a) 25% b) 30% c) 35%

d) 40% e) 45%

Sem olhar para as lixeiras, João joga em uma delas uma embalagem plástica e, ao mesmo tempo, em outra, uma garrafa de vidro.

1° Possibilidade

2° Possibilidade

3° Possibilidade

Acertar – Plástico; Errar – Vidro.

Acertar – Vidro; Errar – Plástico.

Acertar – Vidro; Acertar – Plástico.

15

34

. = 320

15

34

. = 320

15

14

. = 120

Ptotal = P +P+P1 2 3 = 320

320

120++ = 7

20 = 0,35

35% - Letra C

Rodrigo Fa

rias

9) (UPE – 2005)Um juiz de futebol tem três cartões no bolso. Um é todo amarelo, outro é todo vermelho e o terceiro tem uma face vermelha e a outra amarela. Em um determinado lance, o juiz retira, aleatoriamente, um cartão do bolso e mostra ao jogador. Qual a probabilidade de a face que o juiz vê ser amarela e de a outra face, mostrada ao jogador, servermelha?

A)1/3B)2/3C)1/6D)5/6E)1/2

Frente Verso

1° Cartão

2° Cartão

3° Cartão

VermelhoVermelho

Amarelo Amarelo

Vermelho Amarelo

Rodrigo Fa

rias

Em um determinado lance, o juiz retira, aleatoriamente, um cartão do bolso e mostraao jogador. Qual a probabilidade de a face que o juiz vê ser amarela e de a outra face, mostrada ao jogador, servermelha? Frente Verso

1° Cartão

2° Cartão

3° Cartão

VermelhoVermelho

Amarelo Amarelo

Vermelho Amarelo

Exp.1: Puxar o cartão certo.13

Exp. 2: O juiz ver amarelo e o jogador ver vermelho. 1

213

12

. = 16 R. Letra C

Rodrigo Fa

rias

10) Um grupo de 50 moças é classificado de acordo com a cor dos cabelos, e dos olhos de cada moça, segundo a tabela:

Cabelo Olhos

Azuis Castanhos

Loira 17 9

Morena 4 14

Ruiva 3 3

a) Se você marca um encontro com uma dessas garotas, escolhidas ao acaso, qual a probabilidade de ela ser:a.a) Loira; a.b) Morena de olhos azuis; a.c) Morena ou ter

olhos azuis?2650

450 38

501925=

:2

:2

Rodrigo Fa

rias

Cabelo Olhos

Azuis Castanhos

Loira 17 9

Morena 4 14

Ruiva 3 3

b) Está chovendo quando você encontra a garota. Seus cabelos estão completamente cobertos, mas você percebe que ela tem olhos castanhos. Qual é a probabilidade de que ela seja morena?

1426

Rodrigo Fa

rias

11) De um total de 100 alunos que se destinam ao curso de Matemática, Física e Química sabe-se que:I. 30 destinam-se a matemática e , destes, 20 são do sexo masculino.II. O total de alunos do sexo masculino é 50, dos quais 10 destinam-se

a Química.III. Existem 10 moças que se destinam ao curso de Química.

Nessas condições, sorteando-se um aluno ao acaso do grupo total e sabendo e sabendo que é do sexo feminino, qual é a probabilidade de que ele se destine ao curso de matemática?

H MM

FQ

20

1030

1020

105010

Revisando

Exercício

s complementares

Rodrigo Farias

Rodrigo Fa

rias

12) Dar um espaço amostral para cada experimento abaixo:a) Uma letra é escolhida entre as letras da palavra PROBABILIDADE;

b) Uma urna contém bolas Vermelhas, brancas e azuis. Uma bola é extraída e observada sua cor;

c) Uma urna contém 5 bolas vermelhas e 2 brancas. Duas bolas são extraídas, sem reposição, e observada suas cores na seqüência que foram extraídas;

d) Um casal planeja ter 3 filhos. Observa-se a seqüência de sexos dos 3 filhos;

e) Dois dados, um verde e um vermelho são lançados, observa-se os números das faces de cima;

f) A uma pessoa (Não nascida em ano bissexto) é perguntado a data de seu aniversário (mas não o ano do nascimento). Observa-se esta data:

U= {P, R, O, B, A, I, L, D, E}

U= {V, B, A}

U= {V, V}, {V, B}, {B, V}, {B, B}

U= {M, M, M}; {F, M, M}; {M, F, M}; {M, M, F}; {M, F, F}; {F, M, F}; {F, F, M}; {F, F, F}

Rodrigo Fa

rias

e) Dois dados, um verde e um vermelho são lançados, observa-se os números das faces de cima;

(1, 1)(1, 2)(1, 3)(1, 4)(1, 5)(1, 6)

(2; 1)(2; 2)(2; 3)(2; 4)(2; 5)(2; 6)

(3; 1)(3; 2)(3; 3)(3; 4)(3; 5)(3; 6)

(4; 1)(4; 2)(4; 3)(4; 4)(4; 5)(4; 6)

(5; 1)(5; 2)(5; 3)(5; 4)(5; 5)(5; 6)

(6; 1)(6; 2)(6; 3)(6; 4)(6; 5)(6; 6)

f) A uma pessoa (Não nascida em ano bissexto) é perguntado a data de seu aniversário (mas não o ano do nascimento). Observa-se esta data:

U= {1, 2, 3, 4, 5, ..., 364, 365}

Rodrigo Fa

rias

13) Uma urna contém 30 bolas numeradas de 1 a 30. Uma bolinha é escolhida e observada o número. Descreva o evento:a) O número obtido é par;

b) O número obtido é ímpar;

c) O número obtido é primo;

d) O número obtido é maior que 16;

e) O número obtido é múltiplo de 2 e de 5;

f) O número é múltiplo de 3 ou de 8;

g) O número não é múltiplo de 6.

h) O número é menor que 1.

1530

1530

U={11, 13, 17, 19, 23, 29} 630

:6

:6= 1

51430

Rodrigo Fa

rias

e) O número obtido é múltiplo de 2 e de 5;

f) O número é múltiplo de 3 ou de 8;

g) O número não é múltiplo de 6.

h) O número é menor que 1.

2={2, 4, 6, 8, 10, 12...}5={5, 10, 15, 20, 25, 30}2, 5= {10, 20, 30}

Comuns

15+6-3=181830

3={3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30}8={8, 16, 24}3, 8= {24} 10+3-1=12

6={6, 12, 18, 24, 30}

30-6=24 2430

1230

E= {Ø}

Rodrigo Fa

rias

14) De um grupo de 200 pessoas, 160 tem fator Rh +, 100 tem sangue tipo O e 80 tem fator Rh + e sangue tipo O. Se uma dessas pessoas for selecionada ao acaso, qual a probabilidade de:

a) Seu sangue ter fator Rh+?b) Seu sangue não ser tipo O?c) Seu sangue ter fator Rh+ou ser do tipo O?

20

20

160R. a)200 = 4

5 = 80%

R. b)

8080

20

8080 20

100200= 1

2

R. c) Rh+160200 +

Tipo O100200

Rh+ e Tipo O

- 80200 = 200

180= 910

=50%90%

Rodrigo Fa

rias

15) Um colégio de 1000 alunos. Destes:200 estudam matemática180 estudam física200 estudam química20 estudam matemática, física e química50 estudam matemática e física50 estudam física e química70 somente química.

Um aluno do colégio é escolhido ao acaso. Qual a probabilidade de:

a) Ele estudar só matemática?b) Ele estudar só física?c) Ele estudar matemática e química?

Rodrigo Fa

rias

Um colégio de 1000 alunos. Destes:200 estudam matemática180 estudam física200 estudam química20 estudam matemática, física e química50 estudam matemática e física50 estudam física e química70 somente química.

20

MF

Q

30

30

100

70

80

70

a) Ele estudar só matemática?

b) Ele estudar só física?

c) Ele estudar matemática e química?

701000

1001000

1001000

16) Em um grupo de 500 estudantes, 80 estudam engenharia, 150 estudam economia e 10 estudam Engenharia e Economia. Se um aluno é escolhido ao acaso. Qual a probabilidade de que:a) Ele estude economia e engenharia?b) Ele estude somente engenharia?c) Ele estude somente economia?d) Ele não estude engenharia nem economia?e) Ele estude engenharia ou economia?

Atividade Para Casa

Rodrigo Fa

rias

17) Em uma urna existem 6 bolinhas numeradas de 1 a 6. Uma a uma elas são extraídas, sem reposição. Qual a probabilidade de que a seqüência de números observados seja crescente?

234561

16

15

14 3

1 12

11

. . . .. = 7201

Rodrigo Fa

rias

18) Um lote com 60 lâmpadas, sendo 50 boas e 10 defeituosas. 5 lâmpadas são escolhidas ao acaso, sem reposição. Qual a probabilidade de:a) Todas serem boas?

b) Todas serem defeituosas?

c) 2 serem Boas e 3 defeituosas?

d) Pelo menos uma ser defeituosa?

60 Lâmpadas

50 Boas

10 Def.

5060

4959

4858

4757

4656

. .. . =

1060

959

858

757

656

. .. . =

a) Todas serem boas?

C 50, 5C60, 5

=50!

5!(60-5)!

5!(50-5)!505

605

= 60! =50.49.48.47.46.45!

5!45!60.59.58.57.56.55!

5!55!b) Todas serem defeituosas?

10!

5!(60-5)!

5!(10-5)!105

605

= 60! =10.9.8.7.6.5!

5!5!60.59.58.57.56.55!

5!55!c) 2 serem Boas e 3 defeituosas?

50!

5!(60-5)!

2!(50-2)!502

605

= 60!

103.

. 10!3!(10-3)!

d) Pelo menos uma ser defeituosa? 505

605

1-

RodrigoFarias

19) De um lote de 200 peças sendo 180 boas e 20 defeituosas, 10 peças selecionadas ao acaso, sem reposição. Qual a probabilidade de:

a) As 10 peças serem boas?

b) As 10 peças serem defeituosas?

c) 5 peças serem boas e 5 serem defeituosas?

Atividade Para Casa

RodrigoFarias

Rodrigo Fa

rias

20) Um número é sorteado ao acaso entre os 100 inteiros de 1 a 100.a) Qual a probabilidade do número ser par?

b) Qual a probabilidade do número ser par, dado que ele é ≤ 50?

c) Qual a probabilidade do número ser divisível por 5, dado que é par?

d) Ser múltiplo de 9?

50100

25100

10100

9={9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99}11

100

Rodrigo Fa

rias

21) Uma moeda é lançada 3 vezes. Qual a probabilidade de:

a) Observarmos 3 coroas?

b) Observarmos exatamente uma coroa?c) Observarmos pelo menos uma cara?d) Observarmos nenhuma coroa?e) Observarmos no máximo 2 caras?

12

12

12

. . = 18

Rodrigo Fa

rias

b) Observarmos exatamente uma coroa?

Espaço Amostral: 2.2.2=8Soluções possíveis: C, C, K C, K, C K, C, C

C = Cara e K = Coroa

38

c) Observarmos pelo menos uma cara?Soluções possíveis: C, K, K K, C, K K, K, C

C, C, K C, K, C K, C, C

C, C, C

1 cara 2 cara

3 cara

Rodrigo Fa

rias

d) Observarmos nenhuma coroa?18

e) Observarmos no máximo 2 caras? K, K, K

C, K, K K, C, K K, K, C

C, C, KC, K, CK, C, C

Nenhuma

1

2

78

Rodrigo Fa

rias

22) O mês de outubro tem 31 dias. Numa certa localidade, chove 5 dias no mês de outubro. Qual a probabilidade de não chover nos dias 1° e 2° de outubro?

31 Dias

Chove: 5 dias

Não chove:26 dias

1° Dia1

26

2° Dia125. = 1

650

Rodrigo Fa

rias

23) Em um jogo, dois apostadores decidiram jogar uma moeda honesta 3 vezes seguidas. Se houver maior número de “caras” nesses 3 lançamentos, vencerá o primeiro jogador e, caso contrário, vencerá o segundo jogador. Sabendo que, em um dos lançamentos, houve “cara”, as chances do segundo jogador ter vencido são de:

a) 1/2b) 1/4c) 3/7d) 4/7e) 1/3

Rodrigo Fa

rias2°

3°

1°

c

k

ck

c

k

c

k

k

ck

c

k

c

(k, k, k)(k, k, c)(k, c, k)(k, c, c)(c, k, k)(c, k, c)(c, c, k)(c, c, c)

37

a) 1/2b) 1/4c) 3/7d) 4/7e) 1/3

Rodrigo Fa

rias

24) (ENEM – 2011) Rafael mora no Centro de uma cidade e decidiu se mudar, por recomendações médicas, para uma das regiões: Rural, Comercial, Residencial Urbano ou Residencial suburbano. A principal recomendação médica foi com as temperaturas das “ilhas de calor” da região, que deveriam ser inferiores a 31°C. Tais temperaturas são apresentadas no gráfico:

Rodrigo Fa

rias

a)

b)

c)

d)

e)

Escolhendo, aleatoriamente, uma das outras regiões para morar, a probabilidade de ele escolher uma região que seja adequada às recomendações médicas é:

1 3

31 25 5

5

4

4

Rodrigo Fa

rias

25)(ENEM – 2011) Todo o país passa pela primeira fase de campanha de vacinação contra a gripe suína (H1N1). Segundo um médico infectologista do Instituto Emílio Ribas, de São Paulo, a imunização “deve mudar”, no país, a história da epidemia. Com a vacina, de acordo com ele, o Brasil tem a chance de barrar uma tendência do crescimento da doença, que já matou 17 mil no mundo. A tabela apresenta dados específicos de um único posto de vacinação.

Rodrigo Fa

rias

Escolhendo-se aleatoriamente uma pessoa atendida nesse posto de vacinação, a probabilidade de ela ser portadora de doença crônica é:

a) 8%. b) 9%. c) 11%. d) 12%. e) 22%.

200

22Portadores de doenças

crônicas

22200

:2

:2

= 11100