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Coordenadoria de Matemática

Apostila de Probabilidade Oscar Luiz Teixeira de Rezende

Rony Cláudio de Oliveira Freitas

Vitória – ES

Probabilidade Oscar Luiz Teixeira de Rezende Rony Cláudio de Oliveira Freitas ______________________________________ _____________________________

2

CAPÍTULO 03 1. INTRODUÇÃO Quando investigamos algum fenômeno, verificamos a necessidade de descrevê-lo por um modelo matemático que permite explicar, da melhor forma possível, este fenômeno. Os fenômenos são classificados em dois tipos: Fenômenos determinísticos e Fenômenos aleatórios. 1.1. Fenômenos determinísticos: São aqueles que repetidos nas mesmas condições

iniciais conduzem sempre a um mesmo resultado. Exemplo: Deixar uma massa M cair em queda livre de uma altura de 1 metro sobre uma superfície e anotar tempo t de queda livre. 1.2. Fenômenos aleatórios: São aqueles que repetidos sob as mesmas condições iniciais

podem conduzir a mais que um resultado. Exemplos: lançamento de uma moeda, lançamento de um dado, o tempo de vida útil de uma lâmpada, número de clientes que vão a um banco em um determinado dia, etc. O objetivo do estudo da teoria das probabilidades são fenômenos aleatórios, e vamos nos restringir nosso estudo a uma classe de fenômenos aleatórios chamados experimentos. 2. TEORIA DAS PROBABILIDADES Como o objetivo do nosso estudo são os experimentos e eles admitem mais do que um resultado, faz sentido definir o conjunto de todos os possíveis resultados do experimento. 2.1. Espaço amostral :É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento, e será denotado por S. Exemplos : Considere os experimentos a) Lançar uma moeda e anotar a face superior.

S= {ca, co} b) Lançar um dado e anotar o número de pontos da face superior.

S= { 1, 2, 3, 4, 5, 6}


3

c) Instalar uma lâmpada em um soquete e anotar o tempo que a lâmpada leva para

queimar. S= { }0| ntRt ≤≤∈ , n é o tempo que a lâmpada queima.

2.2. Evento: É qualquer subconjunto do espaço amostral do experimento. Exemplos: a) No lançamento de um dado o evento A representa o conjunto cujo número da face

superior é par. A= { 2, 4, 6} b) No lançamento de uma moeda e um dado o evento B representa o conjunto cujo número

da face superior do dado é maior que 4. B= {(ca, 5); (ca, 6); (co, 5); (co, 6)}

A seguir , apresentamos um modelo matemático adequado à representação da relação entre o espaço amostral e o evento

3. DEFINIÇÃO DE PROBABILIDADE Existem três formas de se definir a probabilidade, a escolha da forma depende da natureza da situação. 3.1. Probabilidade Clássica Aplicam-se a situações em que os resultados que compõe o espaço amostral ocorrem com a mesma probabilidade. Nesta situação a probabilidade de um determinado evento é definida coma sendo a razão entre o número de elementos do evento e o número de elementos do espaço amostral.

S A


4

)(

)()(

Sn

AnAP =

Desta definição podemos observar que: a) 1)(0 ≤≤ AP ; b) 1)( =SP ; c) Se φ=A , então 0)( =AP d) 1)()( =+ APAP , sendo A a representação do conjunto “Não A” Exemplo : No lançamento de um dado e observar a face superior deste dado, determine a probabilidade de ocorrer um número par. S= {1, 2, 3, 4, 5, 6} e A= {2, 4, 6} então n(S) = 6 e n(A) = 3 P(A) = 3/6 =1/2 3.2. Probabilidade pela freqüência relativa Deve ser aplicada quando um experimento é observado e a freqüência com que determinado evento ocorre nesta observação, esta probabilidade é sempre estabelecida por uma criteriosa pesquisa onde as freqüências são estabelecidas. Exemplo Observa-se que dos 1000 clientes que vão a um supermercado e compram um produto, 500 deles compram o produto da marca A. Podemos estabelecer então que aprobabilidade de um consumidor que compra o produto, comprar o produto da marca A e: P(A)= 500/1000 = 1/2 . 3.3. Probabilidade subjetiva Em situações em que o experimento se repete com uma certa regularidade mas não há possibilidade de repeti-lo sucessivamente um número razoável de vezes e nem aplicar a forma clássica, então se faz uma avaliação subjetiva da probabilidade. Exemplo: A probabilidade de uma pessoa engordar ao comer pizza regularmente durante um ano sem uma queima de calorias adequadas é de 0,8 ou 80%. Esta probabilidade é totalmente subjetiva e foi estabelecida sem nenhum critério cientifico.


5

4. PROBABILIDADE DA UNIÃO DE DOIS EVENTOS

)(

)()()()(

)(

)()(

SN

BANBNANBAP

SN

BANBAP

IU

UU

−+=

=

)()()()( BAPBPAPBAP IU −+= Quando φ=BAI , ,0)( =BAP I então:

)()()( BPAPBAP +=U Exemplo: Retira-se uma carta de um baralho completo de 52 cartas. Qual a probabilidade de sair um rei ou uma carta de espadas? Seja A: saída de um rei B: saída de uma carta de espadas

52

4)(},,,{ =→= APRRRRA pceo

52

13)(},,2,{ =→= BPRAB eee L

52

1)( =BAP I

logo: )()()()( BAPBPAPBAP IU −+=

52

1

52

13

42

4)( −+=BAP U

52

16)( =BAP U

5. PROBABILIDADE CONDICIONADA

Vamos analisar a diferença entre extrair uma peça de um lote, ao acaso, com ou sem

reposição. Suponha a seguinte situação: um lote de peças tem 80 peças defeituosas e 20 defeituosas. Suponha que escolhemos duas peças desse lote:

A B BAI

S


6

a) com reposição; b) sem reposição. A = {a primeira peça é defeituosa}; B = {a segunda peça é defeituosa}. Se estivermos extraindo com reposição , P(A)=P(B) = 20/100 = 1/5, porque cada vez que extrairmos do lote, existirão 20 peças defeituosas no total de 100. No entanto, se estivermos extraindo sem reposição, os resultados não serão tão imediatos. É ainda verdade, naturalmente, que P(A) = 1/5, mas para calcularmos P(B) devemos conhecer a composição do lote no momento de se extrair a segunda peça. Isto é, deveremos saber se A ocorreu ou não. Este exemplo mostra a necessidade de se introduzir o seguinte importante conceito. Sejam A e B dois eventos associados ao experimento E. Denotaremos por P(B|A) a probabilidade condicionada do evento B quando A tiver ocorrido.

No exemplo acima P(B|A) = 19/99, porque se A tiver ocorrido, então para a Segunda extração restarão somente 99 peças, das quais 19 delas serão defeituosas.

Nota: Sempre que calcularmos P(B|A), estaremos essencialmente calculando P(B) em relação ao espaço amostral reduzido A, em lugar de fazê-lo em relação ao espaço amostral original S.

A parte de B que esta contida em A é representada por BAI . Concluímos que:

0)(;)(

)(

)(

)()(

)(

)(

)()/( ≠=== AP

AP

BAP

SN

ANSN

BAN

AN

BANABP

I

I

I

)(

)()/(

AP

BAPABP

I=

B A


7

Exemplo: considere 250 alunos que cursam o primeiro ciclo de uma faculdade. Destes alunos 100 são homens (H) e 150 são mulheres (M), 110 cursam física (F) e 140 cursam química (Q). A distribuição dos alunos é a seguinte

Total H 40 60 100 M 70 80 150 Total 110 140 250 Um aluno é sorteado ao acaso. Qual a probabilidade de que esteja cursando química, dado que é mulher? Pelo quadro vemos que esta probabilidade é de

150

80 e representamos 150

80)/( =MQP

Observamos, porém, que 250

80)( =QMP I e

250

150)( =MP . Para obtermos o resultado do

problema basta considerar que:

150

80

250

150250

80

)(

)()/( ===

MP

QMPMQP

I

5.1. Teorema Da Multiplicação

Uma conseqüência importante da definição acima é a seguinte:

)(

)()/(

AP

BAPABP

∩= )/().()( ABPAPBAP =∩⇒

)/().()()(

)()/( BAPBPBAP

BP

BAPBAP =∩⇒

∩=

Em particular quando os eventos A e B são independentes, )()/( APBAP = ou

)()/( BPABP = temos:

)().()( BPAPBAP =I


8

5.2. Teorema da Probabilidade Total

Dizemos que os eventos B1, B2, ...,Bk representam uma partição do espaço amostral S, quando a) φ=∩ ji BB para ji ≠ .

b) Uk

ii SB

1

.=

= (união de todos os iB )

c) OBP i >)( para todo i. Vamos ilustrar a situação para um K = 5.

Considerando A um evento qualquer de S e B1, B2, B3, B4 e B5 uma partição de S temos:

)()()()()( 54321 BABABABABAA ∩∪∩∪∩∪∩∪∩= como ))...(( 51 BABA ∩∩ são dois a dois mutuamente excludentes temos:

)()()()()()( 54321 BAPBAPBAPBAPBAPAP ∩+∩+∩+∩+∩= Generalizando temos:

)(...)()()( 21 kBAPBAPBAPAP ∩++∩+∩= Este resultado é conhecido como teorema da probabilidade total. Ele é utilizado quando P(A) é difícil de ser calculada diretamente, porém simples se for usada a relação acima. Exemplo: Uma urna contém 3 bolas brancas e 2 amaralas. Uma Segunda urna contém 4 bolas brancas e 2 amarelas. Escolhe-se, ao acaso, uma urna e dela retira-se, também ao acaso, uma bola. Qual a probabilidade:

AB2

B1 B3

B4

B5


9

a) da bola escolhida ser da da urna I e branca? b) da bola escolhida ser branca? c) Se a bola escolhida foi branca, qual a probabilidade que tenha sida escolhida uma bola da

urna I Para resolver este problema vamos usar um modelo matemático conhecido como diagrma de árvore, que auxilia a resolução dos problemas de probabilidade quando é possível fragumentar um experimento em outros experimentos sucessivos.

a)

10

3

5

3

2

1)/()()( =⋅=⋅= IBPIPBIP I

b) 30

19

12

4

10

3

6

4

2

1

5

3

2

1)()()( =+=⋅+⋅=+= BIIPBIPBP II

c) 19

9

30

1910

3

)(

)()/( ===

BP

BIPBIP

I

I II

3B 2A

4B 2A

P(I)=1/2

. P(II)=1/2

II

I

P(B/I)=3/5 B

A

P(A/I)=2/5

B

A

P(B/II)=4/6

P(B/II)=2/6


10

6. EXERCÍCIOS 1) Lance um dado e uma moeda

a) Construa o espaço amostral b) Enumere os seguintes eventos

A = { coroa, marcada por um número par} B = { cara, marcado por um número impar} C = { múltiplo de 3 }

c) Expresse os eventos I) B II) A ou B ocorrem III) B e C ocorrem IV) BA∪

2) Se 4

1)(;

2

1)( == BPAp e A e B são mutuamente exclusivos, calcular:

a) )(AP b) )(BP c) )( BAP ∩ d) )( BAP ∪ e) )( BAP ∩ 3) Se

4

1)(

3

1)(;

2

1)( =∩== BAPeBPAP , calcule:

a) )( BAP ∪ b) )( BAP ∪ c) )( BAP ∩ 4) Determine a probabilidade de cada evento:

a) Um número para aparecer no lançamento de um dado não viciado. b) Um rei aparecer ao extrair-se uma carta de um baralho. c) Pelo menos uma cara aparece no lançamento de 3 moedas. d) Pelo menos uma cara aparece no lançamento de “n” moedas. e) Duas copas aparecem ao retira-se duas cartas de um baralho. f) Uma carta de copas e uma de ouros aparecem ao extraírem-se duas cartas de um

baralho. 5) Um número inteiro é escolhido aleatoriamente dentre os números 1, 2, 3, ..., 50. Qual a

probabilidade de que: a) O número seja divisível por 5. b) Terminar em 3. c) Ser primeiro; d) Ser divisível por 6 ou por 8.

6) Qual a probabilidade de sair um rei ou uma carta de copas, quando retiramos uma carta de


11

um baralho. 7) Dois dados são lançados simultaneamente. Qual a probabilidade de:

a) A soma ser menor que 4. b) A soma ser 9. c) O primeiro resultado ser maior do que o segundo.

8) Numa urna são misturadas dez bolas numeradas de 1 a 10. Duas bolas são retiradas sem reposição. Qual a probabilidade de a + b = 10?

9) Um lote é formado por 10 peças boas, 4 com defeitos e duas com defeitos graves. Uma

peça é escolhida ao acaso. Calcular a probabilidade de que: a) ela não tenha defeitos graves; b) ela não tenha defeitos; c) ela seja boa ou tenha defeitos graves.

10) Considere os mesmos lotes do problema anterior. Retiram-se duas peças são acaso. Qual a probabilidade de que : a) ambas sejam perfeitas; b) pelo menos uma seja perfeita; c) nenhuma tenha defeito grave; d) nenhuma seja perfeita.

11) Uma urna contém 5 bolas brancas e 6 pretas. Três bolas são retiradas. Calcular a probabilidade de : a) Todas pretas; b) Exatamente uma branca; c) Ao menos uma preta.

12) numa classe existem 5 alunos do 4º anos, 4 do 2º e 3 do 3º ano. Qual a probabilidade de serem sorteados 2 alunos do 2º ano, 3 do 4º e 2 do 3º ?

13) Em um grupo de 500 estudantes, 80 estudam Economia, 150 estudam Ciências Contábeis

e 10 estudam Economia e Ciências Contábeis. Se um aluno é escolhido ao acaso. Qual a probabilidade de que: a) Ele estude somente Economia? b) Ele não estude Economia, nem Ciências Contábeis? c) Ele estude Economia ou Ciências Contábeis?


12

d) Ele não estude Economia ou estude Ciências Contábeis? 14) Dado

4

1)(

3

1)(;

2

1)( =∩== BAPeBPAP , calcular:

a) )/( BAP b) )/( ABP c) )/( BBAP ∪ 15) Façam A e B serem dois eventos com

4

1)(

3

1)(;

2

1)( =∩== BAPeBPAP . Encontre

)/()/( ABPeBAP . 16) As probabilidades de 3 jogadores marcarem um penalty são respectivamente

10

7

6

4,

3

2e .

Se cada um cobrar uma única vez, qual a probabilidade de: a) todos acertarem; b) apenas um acertar c) todos errarem.

17) Uma urna contém 12 bolas: 5 brancas, 4 vermelhas, e 3 pretas. Outra contém 18 bolas: 5

brancas, 6 vermelhas e 7 pretas. Uma bola é retirada de cada urna. Qual a probabilidade de que as duas bolas sejam da mesma cor?

18) Numa bolsa temos 5 moedas de R$ 1,00 e 4 de R$ 0,5.

Qual á a probabilidade de, ao retirarmos duas moedas, obtermos R$ 1,50? 19) Uma urna contém 1 bolas pretas e 5 vermelhas. São feitas retiradas aleatórias. Cada bola

retirada é resposta, juntamente com 5 bolas da mesma cor. Qual ‘a probabilidade de saírem nessa ordem: 1 preta, 1 preta, 1 vermelha, 1 vermelha? E neta ordem 1 preta, 1 vermelha, 1 preta, 1 vermelha? Dado que a primeira bola é preta, qual a probabilidade de que a Segunda seja preta?

20) A probabilidade de uma mulher estar viva daqui a 30 anos é 4

3 e de seu marido é 5

3 . Calcular a probabilidade de: a) apenas o homem estar vivo; b) somente a mulher estar viva; c) pelo menos um estar vivo; d) ambos estarem vivos.

21) Uma urna contém 5 bolas vermelhas e 3 brancas. Uma bola é selecionada aleatoriamente

da urna e abandonada, e duas de outra cor são colocadas na urna. Uma Segunda bola é então selecionada da urna. Encontre a probabilidade de que:


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a) a Segunda bola seja vermelha; b) ambas as bolas sejam da mesma cor. c) Se a segunda bola é vermelha, qual é a probabilidade de que a primeira bola seja

vermelha; d) Se ambas são da mesma cor, qual é a probabilidade de que sejam brancas.

22) Jogando um dado duas vezes, qual a probabilidade de obter a soma dos pontos menor que

6? 23) Um casal pretende Ter dois filhos. Admitindo probabilidades iguais para ambos os sexos,

qual a probabilidade de que venha Ter dois filhos de sexos diferentes? 24) Numa classe de 22 alunos, 12 têm olhos castanhos, 4 têm olhos negros, 3 têm olhos

cinzas, 2 têm olhos verdes e um tem olhos azuis. Qual a probabilidade de um aluno escolhido ao acaso: a) não Ter olhos castanhos? b) Ter olhos verdes ou azuis?

25) Numa certa população 15% das pessoas têm sangue tipo A, 88% não têm sangue tipo B e

96% não têm sangue tipo AB. Escolhida ao acaso uma pessoa desta população, determine as probabilidades de: a) não ater sangue do tipo A; b) Ter sangue tipo B; c) Ter sangue tipo AB; d) Ter sangue tipo A ou B ou AB; e) Ter sangue tipo O

26) Uma caixa contém 11 bolas numeradas de 1 a 11. Retirando-se uma delas ao acaso,

observa-se que a mesma traz um número impar. Determine a probabilidade de que esse número seja menor que 5.

27) De uma urna contendo quatro bolas verdes e duas amarelas serão extraídas

sucessivamente, sem reposição, duas bolas. a) Se a primeira bola sorteada for amarela, qual a probabilidade de a Segunda ser

também amarela? b) Qual a probabilidade de ambas as bolas sorteadas serem amarelas? c) Qual a probabilidade de ambas as bolas sorteadas serem verdes?


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d) Qual a probabilidade de a primeira bola sorteada ser verde e a Segunda amarela? e) Qual a probabilidade de ser uma bola de cada cor?

28) Uma urna I tem 3 bolas vermelhas e 4 brancas, a urna II tem 6 bolas vermelhas e 2

brancas. Uma urna é escolhida ao acaso e dela é escolhida uma bola, também ao acaso. a) Qual a probabilidade de observarmos urna I e bola vermelha? b) Qual a probabilidade de observarmos bola vermelha? c) Se a bola observada foi vermelha, qual a probabilidade que tenha vindo da urna I?

29) O mês de outubro tem 31 dias. Numa certa localidade, chove 5 dias, no mês de outubro.

Qual a probabilidade de chover nos dias 1º e 2 de outubro? 30) Uma clínica especializada trata de 3 tipos de moléstias; X, Y e Z. 50% dos que procuram a

clínica são portadores de X, 40% são portadores de Y e 10% de Z. As probabilidades de cura, nesta clínica, são: Moléstia X : 0,8 Moléstia Y : 0,9 Moléstia Z: 0,95 Um enfermo saiu curado da clínica. Qual a probabilidade de que ele tenha sofrido a moléstia Y?

31) Um lote contém 50 peças boas (B) e 10 peças defeituosas (D). Uma peça é escolhida ao acaso e, sem reposição desta, outra peça é escolhida ao acaso. Qual a probabilidade de ambas serem defeituosas?

32) Em um lote da fábrica A existem 18 peças boas e 2 defeituosas. Em outro lote da fábrica B,

existem 24 peças boas e 6 defeituosas, e em outro lote da fábrica C, existem 38 peças boas e 2 defeituosas. Um dos três lotes é sorteado ao acaso e dele é extraída uma peça ao acaso. Qual a probabilidade da peça ser:

a) boa? B) defeituosa?

33) As probabilidades de que duas pessoas A e B resolvam um problema são P(A) = 1/3 e P(B) = 3/5. Qual a probabilidade de que:

a) Ambos resolvam o problema? b) Ao menos um resolva o problema?

Probabilidade Oscar Luiz Teixeira de Rezende ___________________________________________________________________

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c) Nenhum resolva o problema? d) A resolva o problema ma B não? e) B resolva o problema mas A não?

34) Numa urna há três bolas azuis, duas brancas e uma marrom. Extraindo-se 3 bolas sucessivamente, com reposição, qual a probabilidade de saírem três bolas da mesma cor?

35) Uma prova consta de 5 testes, cada um com quatro alternativas das quais apenas uma é

correta. Para alguém que esteja respondendo aleatoriamente uma alternativa em cada teste, qual a probabilidade de

a) acertar os 5 testes? b) errar os 5 testes? c) acertar apenas o primeiro teste? d) acertar apenas um dos testes?

36) Em uma loteria com 30 bilhetes, 4 são premiados. Comparando-se 3 bilhetes, qual a probabilidade de:

a) nenhum ser premiado? b) Apenas um ser premiado?

37) Um grupo de 50 moças é classificado de acordo com a cor dos cabelos, e dos olhos de cada moça, segundo a tabela

Azuis Castanhos

Loira 17 9 Morena 4 14 Ruiva 3 3

a) Se você marca um encontro com uma dessas garotas, escolhida ao acaso, qual a

probabilidade dela ser 1) morena de olhos azuis 2) morena ou Ter olhos azuis?

b) Está chovendo quando você encontra a garota. Seus cabelos estão cobertos, mas você percebe que ela tem olhos castanhos. Qual a probabilidade de que ela seja morena?


16

7-RESPOSTAS

5) a. 1/5 b. 1/10 c. 3/10 d. 6/25 6) 4/3 7) a. 1/12 b. 1/9 c. 5/12 8) 4/45 9) a. 7/8 b.5/8 c.3/4 10) a. 3/8 b. 7/8 c. 91/120 d. 1/8 11) a. 4/33 b. 5/11 c. 31/33 12) 5/22 13) a. 7/50 b.14/25 c.11/25 d. 43/50 14) a.3/4 b. 1/2 c. 1 15) 5/8 e 5/6 16) a. 56/180 b. 38/180 c. 1/30 17) 35/108 18) 5/9 19) 25/1848 25/1848 6/11 20) a. 3/20 b. 3/10 c. 18/20 d. 9/20 21) a. 35/72 b.13/36 c. 4/7 d. 3/13 22) 5/18 23) 1/2 24) a. 5/11 b. 3/22 25) a. 17/20 b. 3/25 c. 1/25 d. 31/100 e. 69/100 26) 1/3 27) a. 1/5 b. 1/15 c. 2/25 d. 4/15 e. 8/15 28) a. 3/14 b. 33/56 c. 4/11 29) 2/93 30) 0,42 31) 3/118 32) a. 53/60 b. 7/60 33) a. 1/5 b. 11/15 c.4/15 d. 2/15 d. 2/5 34) 1/6 35) a. 1/1024 b. 243/1024 c. 81/1024 d. 405/1024 36) a. 130/203 b. 65/203


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37) a. 1. 2/25 a.2. 19/25 b. 7/13 8-BIBLIOGRAFIA TRIOLA, Mario F. Introdução a Estatística. 7 ed – Rio de janeiro: LTC , 1999. STEVENSON, William J. Estatística aplicada à administração. São Paulo: Editora Harbra LTDA, 1988. CRESPO, Antônio Armont. Estatística fácil. São Paulo: Editora Saraiva, 1996. SILVA, Medeiros da Silva, SILVA, Elio Medeiros, GONÇALVES, Valter, MUROLO, Antônio Carlos. Estatística Para os Cursos de Economia, Administração e Ciências Contábeis. 2a ed, Vol 1 e 2. São Paulo: Editora Atlas S.A, 1997.

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