PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA - Tudo sobre electrónica ... · 100 funcionários da empresa,...

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PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA

CADERNO DE TESTES FORMATIVOS

MARIA DO ROSÁRIO RAMOS

2001

Í N D I C E

NOTAS PRÉVIAS ..................................................................................................... 7

TESTES FORMATIVOS I

1º Teste Formativo ................................................................................................ 11



RESOLUÇÃO DOS TESTES FORMATIVOS I

Resolução do 1º Teste Formativo ......................................................................... 33



TESTES FORMATIVOS II




RESOLUÇÃO DOS TESTES FORMATIVOS II




ERRATA AO MANUAL ....................................................................................... 107

NOTAS PRÉVIAS

7

Notas Prévias

O presente caderno de testes formativos encontra-se dividido em duas partes:

• A primeira parte é constituída por um conjunto de três testes formativos e respectivas resoluções em que a sequência dos exercícios acompanha a sequência dos conteúdos do manual da disciplina. Optou-se por incluir um número de exercícios suficientes para contemplar toda a matéria obrigatória e proporcionar uma grande variedade de problemas.

• A segunda parte é constituída por outro conjunto de três testes formativos e respectivas resoluções, contudo, a estrutura destes é idêntica à do exame final.

As resoluções apresentadas constituem apenas um exemplo de resolução. Será aceite em exame qualquer outra resolução que seja equivalente e com resultado igualmente correcto. Material permitido em exame: No exame é permitida a utilização de máquina de calcular e de régua e/ou esquadro. Todas as tabelas ou fórmulas necessárias para consulta serão apresentadas juntamente com o enunciado de exame sob forma de anexo. Sessões presenciais: A realização de sessões presenciais da disciplina está dependente de um número mínimo de inscrições por zona ou região. Para efectuar os respectivos pedidos podem contactar directamente o docente da disciplina. No final do caderno inclui-se a Errata do manual que foi publicada pela Universidade Aberta. Os exames de épocas anteriores e respectivos critérios de correcção podem ser consultados através da Internet em http://www.univ-ab.pt

9

TESTES FORMATIVOS I

11

Teste Formativo nº 1

Este teste formativo contempla os capítulos 1, 2, 3, 4 e 5 do manual.

Justifique todas as afirmações e apresente os cálculos realizados para as obter 1. Num inquérito à opinião pública, visando conhecer as intenções de voto de um

certo partido político, ocorre a pergunta seguinte:

«Caso as eleições fossem hoje, em que partido votaria? Assinale com «X» a sua escolha:

Partido A !

Partido B !

Partido C !

Partido D ! ». A seguir indicam-se as respostas de 10 pessoas escolhidas ao acaso:

Pessoa Resposta

Nº A B C D 1 X 2 X 3 X 4 X 5 X 6 X 7 X 8 X 9 X 10 X

a) Resuma, usando uma tabela de frequências, as intenções de voto nos quatro partidos (indique frequências absolutas e relativas).

b) Admita que os partidos A e B são de «direita» e os partidos C e D são de «esquerda». Construa agora uma tabela de frequências em que ocorrem apenas essas duas categorias.

12

2. Na ficha pessoal de cada empregado de uma empresa constam indicações várias como: sexo, idade, estado civil, salário actual, categoria profissional, antiguidade, habilitações literárias, número de filhos. Indique, para cada caso, de que tipo são os dados recolhidos pela empresa em relação aos seus funcionários.

3. Segundo estudos recentes, é na disciplina de Matemática que a maioria dos alunos

do ensino secundário mostram dificuldades de aprendizagem. Recolhendo-se as notas finais de 12° ano de 20 alunos escolhidos ao acaso observaram-se os seguintes resultados: 5; 10; 11; 12; 9; 7; 12; 18; 13; 4; 8; 8; 9, 12; 15; 6; 14; 10; 10; 17. a) Construa a tabela de distribuição de frequências para estes dados. b) Agrupe os dados segundo a seguinte classificação: maus conhecimentos

(nota<10); conhecimentos suficientes (10≤nota≤13); bons conhecimentos (13<nota≤16); excelentes conhecimentos (nota>16). Obtenha o respectivo histograma e o polígono de frequências acumuladas.

c) Qual a percentagem de alunos que demonstraram maus conhecimentos da matéria?

4. Numa grande cidade os moradores de determinado bairro queixam-se de assaltos

frequentes às suas casas. Os responsáveis pela segurança do bairro, pretendendo aferir da necessidade de aumentar o policiamento, registaram o número de assaltos ocorridos durante um mês em todos os fogos do bairro, obtendo os seguintes resultados:

n° de assaltos por fogo 0 1 2 3 4 n° de fogos 989 1903 3010 2520 1578

a) Represente graficamente a função de distribuição empírica correspondente à amostra considerada.

b) Calcule a média, a moda e a mediana do número de assaltos por fogo. O que

pode dizer quanto à simetria da distribuição de frequências? c) Com a informação disponível, pode considerar-se que os moradores têm razão

quanto às suas queixas?

13

5. Os complementos salariais concedidos aos empregados de uma empresa em função da respectiva antiguidade estão escalonados em quatro categorias. Em relação aos 100 funcionários da empresa, observaram-se os resultados constantes da tabela seguinte:

categoria ( milhares de escudos) [0,5] ]5,10] ]10,15] ]15,20] frequência relativa 0.35 0.40 0.15 0.10

a) Construa o histograma correspondente. b) Calcule a média, o desvio-padrão e a mediana dos complementos salariais. c) Pretendendo actualizar os montantes de complementos salariais procedeu-se a

um aumento de 15% nos mesmos. Qual será a repercussão a nível da média e da variância dos complementos?

d) Não concordando com a proposta, os empregados apresentaram uma

contraproposta de aumento de 3000$00 para todos, independentemente do escalão. Qual será, nesta situação, a repercussão a nível da média e variância dos complementos?

6. O histograma que se segue foi construído com os custos de refeições individuais

tomadas em restaurantes escolhidos ao acaso, em Lisboa, no ano de 1996.

Face aos valores inscritos sobre esse gráfico, responda ao seguinte:

14

a) Sugira um valor plausível para o valor do coeficiente de assimetria de Pearson correspondente às observações usadas para construir o gráfico. Justifique a razão da sua escolha e dê o significado desse valor no contexto dos dados.

b) Use os valores inscritos no gráfico para obter um valor aproximado do

intervalo inter-quartis. 7. Considere a situação seguinte:

«Uma máquina automática de levantamento de dinheiro está instalada à entrada de um banco. Toma-se nota do número de clientes que se servem da máquina entre as 8 horas e as 8h30 minutos de um dia escolhido ao acaso».

a) Explicite a experiência aleatória associada a esta situação, isto é, diga em que consiste a experiência, qual é o espaço de resultados e qual é o espaço de acontecimentos.

b) Sejam os acontecimentos

A = «Entre as 8h e as 8h30min chegam mais do que 4 clientes» B = «Entre as 8h e as 8h30min chegam 3 clientes» C = «Entre as 8h e as 8h30min chegam menos do que 10 clientes»

Expresse em termos dos símbolos A, B, C os acontecimentos

U = «Entre as 8 horas e as 8h e 30 min ou chegam 3 clientes ou pelo menos

10» V = «Entre as 8 horas e as 8h e 30 min chegam entre 4 e 10 clientes» X = «Entre as 8 horas e as 8h e 30 min chegam entre 3 e 10 clientes»

8. Procure realizar a seguinte actividade.

Introduza num saco os números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 correspondentes aos dias de Segunda a Domingo.

Extraia um número ao acaso e, no dia correspondente, ligue o rádio para o noticiário das 9 horas de uma das estações que transmita o estado do tráfego na zona de Lisboa. «Será que o acesso a Lisboa através da ponte está desobstruído?»

15

a) Explicite a experiência aleatória envolvida na situação. Diga qual é o espaço de resultados.

b) Expresse o acontecimento: «Ao fim de semana o acesso está desobstruído»,

como conjunto de Ω.

9. Numa dada empresa procura-se uma pessoa com certas características.

Seja S o acontecimento «Uma pessoa escolhida ao acaso tem as características desejadas». Seja N o acontecimento «Uma pessoa escolhida ao acaso não tem as características desejadas». Tomar nota do número de entrevistas realizadas e dos seus resultados.

Considere a experiência aleatória seguinte: «Realizar entrevistas até obter a pessoa com as características pretendidas»

a) Diga qual é o espaço de resultados dessa experiência aleatória (Ω). b) Expresse em termos de um subconjunto de Ω o acontecimento A= «Quanto

muito são feitas cinco entrevistas até obter a pessoa com as características desejadas».

10. Na lista seguinte de proposições há duas inconsistências. Detecte-as e elimine-as.

A ∩ C= ∅ A ∪ C= Ω A ⊂ B P (A)= 0.5 P (B)= 0.1 P (C)= 0.8.

11. Ao dirigir-se a uma loja de para escolher uma boneca, uma criança pode escolher

entre 10 bonecas diferentes, podendo ainda optar, para cada uma delas, por olhos azuis, verdes, castanhos ou pretos e pela cor do cabelo: preto, castanho ou loiro. Quantas bonecas diferentes podem ser escolhidas pela criança?

16

12. Considere a experiência aleatória que consiste em lançar dois dados e uma moeda. Tanto os dados como a moeda são equilibrados. a) Calcule o número de resultados possíveis dessa experiência.

b) Calcule a probabilidade de obter um seis e uma face. 13. Num sorteio todas as rifas são premiadas, sendo os prémios 1 viagem aos Açores

com estadia incluída, 5 computadores, 10 bicicletas e 34 chocolates. Um indivíduo retira uma rifa, depois retira nova rifa e vê os prémios que ganhou. Qual a probabilidade de lhe ter saído a viagem e um chocolate?

14. Sejam A e B acontecimentos tais que P(A)+P(B)=x e P(A∩B)=0.5x. Determine,

em função de x, a probabilidade de: a) Não se realizar nenhum dos dois acontecimentos. b) Realizarem-se os dois acontecimentos simultaneamente. c) Realizar-se apenas um dos acontecimentos. d) Realizar-se pelo menos um dos acontecimentos.

15. Numa roleta viciada com casas numeradas de 1 a 20, a probabilidade de sair uma

casa com numeração superior a 14 é o quadruplo da probabilidade de sair uma casa com numeração inferior a 15. a) Indique o espaço de resultados. b) Calcule a probabilidade de sair uma casa com número superior a 17. c) Calcule a probabilidade de sair uma casa com número primo.

17

16. A seguinte lista de expressões contém uma inconsistência. Detecte-a.

P(A) > 0 P(B) > 0 A ∩ B= ∅ P (A|B) × P(B) > 0 P (A ∪ B)= P(A) + P(B) > 0.

17. Diga se a seguinte lista de proposições é coerente. Justifique.

«Os acontecimentos A e B são independentes.» P (A ∩ B)= 0.10 P (A|B)= 0.25 P(A)= 0.35

18. Numa região desértica de África a seca é um dos problemas com que a população

mais frequentemente se depara. Numa tentativa de minorar este problema, pretende-se abrir um furo que permita o abastecimento de água à população. Depois de alguns estudos, chegou-se à conclusão que a probabilidade de existir água no subsolo numa determinada área é de 0.3 e que, caso esta exista, a probabilidade de a encontrar na primeira tentativa é 0.5. a) Qual é a probabilidade de não se encontrar água na primeira tentativa? b) Sabendo que na primeira tentativa não se encontrou água, qual é a nova

probabilidade atribuída à existência de água nessa área? 19. Numa linha de produção estão envolvidas três máquinas: M1, M2, M3. Essas

máquinas produzem um item que obedece a certas especificações de fabrico. As máquinas M1 e M2 produzem, cada uma, 30% dos itens e a máquina M3 produz os restantes.

Sendo de concepções e modelos diferentes, as máquinas M1 e M2 geram 0.1% e 0.09% dos itens defeituosos, respectivamente. A máquina M3 produz 0.5% de itens defeituosos. O sistema de controlo de qualidade da fábrica acaba de detectar um item defeituoso.

18

a) Calcule a probabilidade de que o sistema produza um item defeituoso. b) Calcule a probabilidade de que a peça defeituosa tenha sido produzida pela

máquina número três. 20. Um teste é constituído por uma pergunta com n alternativas. A probabilidade de

um indivíduo conhecer a resposta é p. Quando conhece a resposta, o indivíduo responde correctamente à questão. Quando não conhece a resposta, responde correctamente em 1 100n × % dos casos. Verifique que a probabilidade de um indivíduo ter respondido ao acaso dado que respondeu correctamente é

( )1

1 1−

+ −p

n p.

19


Este teste formativo contempla os capítulos 6, 7 e 8 do manual.

Justifique todas as afirmações e apresente os cálculos realizados para as obter 1. Analise a seguinte situação:

«Sabe-se que numa certa população a percentagem das pessoas que têm curso superior é 10%. Escolhem-se ao acaso 100 dessas pessoas. Quantas são as pessoas que, nesse conjunto de 100, têm curso superior?»

a) Identifique a experiência aleatória que está subjacente à situação anterior. b) Identifique a variável aleatória que capta o essencial da situação aleatória

descrita. 2. Considere a seguinte experiência aleatória: “lançar uma moeda de 100$00, uma

moeda de 5$00 e uma moeda de 10$00 e observar as faces que ficam viradas para cima”.

a) Qual o espaço de resultados da experiência proposta? b) Sendo X a função que, para cada resultado da experiência aleatória, toma como

valor a soma dos valores em escudos inscritos nas faces visíveis das moedas: b1) Quais os valores possíveis de X e respectivas probabilidades de

ocorrerem? b2) A que resultados de Ω corresponde a expressão: “a soma das pontuações é

um múltiplo de 10”?

b3) Que acontecimento(s) traduz(em) a seguinte igualdade: X = 350?

b4) Qual a expressão do acontecimento correspondente a X = 115?

20

3. Sabe-se que dentro de uma caixa preta existem bolas de três cores, nas seguintes proporções:

Bolas pretas - 25% Bolas brancas - 50% Bolas azuis - 25%.

Seja a variável aleatória X que representa o «Número de bolas que é preciso extrair até surgir a primeira bola azul, repondo de cada vez a bola que foi extraída, antes de extrair a seguinte».

Admita que a função de probabilidade de X é dada pela expressão:

P (X= i)= 0.75i-1 × 0.25.

a) Calcule a probabilidade de que o número de extracções a fazer até surgir a primeira azul seja inferior a três.

b) Calcule a probabilidade de que o número de extracções a fazer esteja

compreendido entre 4 e 6 (incluindo 4 e 6). 4. Admita que uma v. a. X, discreta, tem função de probabilidade definida pela tabela

seguinte:

Valores de X 0 1 2 3 4 5 P(X= xi) 0.25 0.25 0.3 0.1 0.05 0.05

Use esta função de probabilidade para calcular a esperança matemática, a variância, o desvio-padrão e a mediana da v. a. X.

5. Considere uma v. a. X cuja função de probabilidade é dada pela seguinte tabela:

Valores de X x1= 1 x2= 2 x3= 3 x4= 4 x5= 5

P (X= xi) 0.1 0.2 0.5 0.1 0.1

Calcule os momentos centrados de ordens 1, 2, 3, 4 correspondentes a esta função de probabilidade.

Qual o significado do momento centrado de ordem 2?

21

6. Seja X a variável aleatória que representa o número de alunos que copiam num exame final de probabilidades. X toma os valores 0, 1, 2, 3 e 4 e sabe-se que em 90% dos casos os alunos não copiam. Em três quartos das vezes em que copiam apenas 1 aluno copia, ao passo que o número de vezes em que há 2 alunos a copiar é igual ao número de vezes em que há 3 alunos a copiar. Foram identificados quatro alunos a copiar em sete nonos das vezes em que se apanharam 2 alunos a copiar. a) Obtenha a função de probabilidade de X. b) Obtenha a função de distribuição de X. c) Calcule o valor esperado e a variância de X. d) O que pode dizer acerca da simetria da distribuição da variável aleatória X? e) Qual a probabilidade de, durante um exame, o número de alunos que copiam

ser um quadrado perfeito? 7. Um computador voltou da oficina e está operacional.

Seja a variável aleatória contínua X que representa o «Tempo que vai decorrer até ao aparecimento da próxima avaria no computador».

Seja R x P X x e xX

x( ) ( ) ,= > = ≥−λ 0 a função que dá, para cada valor x de X, a probabilidade de que o tempo de funcionamento ultrapasse x.

Qual é a função de densidade de X?

8. Admita que o tempo de permanência de um automóvel num local de

estacionamento, escolhido ao acaso, é uma variável aleatória T do tipo contínuo, com função de densidade dada pela expressão seguinte: f t eT

t( ) = −2 2 , com t > 0, sendo o tempo de estacionamento expresso em horas.

a) Qual a probabilidade de que um automóvel ocupe o espaço por mais do que 1.5 horas?

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b) Sabendo que um certo automóvel já está estacionado no local há 0.5 horas, qual

a probabilidade de que desocupe o espaço nos próximos cinco minutos?

c) Sabendo que a taxa paga por estacionar no local é 150 escudos por hora, qual a probabilidade de que um automóvel, escolhido ao acaso, gaste nesse local mais do que 250 escudos de cada vez que aí estaciona?

9. Considere a variável aleatória X com a seguinte função densidade:

f xx x

xX ( ),

,=

− ≤ ≤

2 4 2 30 outros valores de .

a) Obtenha a função de distribuição de X. b) Calcule o valor esperado e o desvio-padrão de X. c) Calcule P X( . )< 2 7 .

10. A função densidade da variável aleatória X tem a seguinte expressão:

<<+−

=xxxx

xf X de valoresoutros,021 ,5126

)(2

. Seja Y uma função de X tal que Y X= −4 1.

a) Obtenha E Y( ) e V Y( ) . b) Calcule P Y( )< 2 .

11. Uma empresa vende em média por mês 100 unidades de determinado produto,

com um desvio padrão igual a 6. Obtenha um limite mínimo para a probabilidade de as vendas de um mês se situarem entre 80 e 120 unidades.

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12. Um distribuidor de vinho da Madeira sabe por experiência que a probabilidade de existirem no mercado garrafas falsificadas é de 0,05. Regularmente são verificadas 1000 garrafas nos postos de venda. Com pelo menos 97,5% de probabilidade, qual o desvio máximo a admitir entre a frequência relativa das garrafas não falsificadas e a verdadeira proporção?

13. Suponha que uma variável aleatória X segue uma distribuição binomial cujo

valor médio é m, e cuja variância é inferior a este em 4 décimas. Determine em função de m os valores de n e p.

14. Com base em sondagens efectuadas, estima-se que, do total da população duma

região, 60% considera que a integração na moeda única da Comunidade Europeia vai ter reflexos positivos, 25% que terá reflexos negativos e as restantes não têm opinião definida.

a) Calcule a probabilidade de, em 15 pessoas dessa região, 7 considerarem que a integração tem reflexos positivos.

b) Calcule a probabilidade de, em 10 pessoas dessa região, no máximo 3

considerarem que a integração vai ter reflexos negativos. c) Suponha que numa pequena empresa com 15 empregados apenas 4 pensam

que a integração será positiva. Escolhem-se aleatória e simultaneamente dois desses empregados. Qual a probabilidade de apenas um deles ter uma opinião favorável à integração na moeda única?

15. Considere a variável aleatória K que representa o número de chamadas

telefónicas que chega a uma central, num intervalo de tempo de 10 minutos. Admita que esta variável segue uma distribuição de Poisson.

λλ −== e

xxXP

x

!)( x = 0, 1, 2,…. λ > 0.

a) Determine o valor do parâmetro λ sabendo que P(K=0)=P(K=1). b) Qual a probabilidade de, em 10 minutos escolhidos ao acaso, chegarem à

central telefónica mais de duas chamadas?

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c) Supondo que no país existem três centrais telefónicas funcionando

independentemente, e que em qualquer delas o número de chamadas telefónicas segue a distribuição das alíneas anteriores, calcule a probabilidade de, num período de 10 minutos, todas as centrais receberem um número de chamadas inferior a 3.

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Teste Formativo nº 3 Este teste formativo contempla os capítulos 9, 10, 11, 12 e 13 do manual.

Justifique todas as afirmações e apresente os cálculos realizados para as obter 1. Uma pastelaria vende bolos de aniversário por encomenda. A diferença entre o

peso efectivo de cada bolo e o peso pedido pelo cliente é uma variável aleatória com distribuição Normal de média 10 gramas e variância 10 gramas. Sabendo que quando a diferença entre o peso do bolo e o peso pedido é superior a 50g os clientes cancelam a encomenda, calcule:

a) A percentagem de bolos encomendados que não são vendidos. b) Qual a diferença máxima entre o peso do bolo e o peso pedido que permite que

se vendam 95% dos bolos encomendados? 2. O diâmetro dos eixos produzidos por uma máquina é uma variável aleatória

Normal de média µ (mm) e variância σ2 (mm). O eixo não é defeituoso se o diâmetro diferir da média por menos de 1.5σ. Sabendo que 50% dos eixos têm diâmetro inferior a 1.5 mm e que 45% dos eixos têm diâmetro entre 1.5 mm e 2.1 mm:

a) Calcule µ e σ. b) Determine a percentagem de peças defeituosas.

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3. A figura seguinte é o histograma de 1000 valores escolhidos ao acaso, do conjunto

de valores possíveis de uma variável do tipo contínuo.

Se tivesse de escolher entre as funções de densidade a seguir indicadas, qual seria a sua escolha? a) Distribuição normal b) Distribuição exponencial c) Distribuição uniforme d) Distribuição gama

4. Admita que, num certo tribunal especializado, o número médio de julgamentos que

um juiz realiza por dia é λ= 3.

Vai iniciar-se mais uma sessão.

Qual é a probabilidade de que essa sessão termine antes de encerrado o expediente (às 18 horas)?

Admita que o horário de serviço do tribunal é das 9 às 12h e das 14 às 18h.

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5. O histograma seguinte corresponde aos valores observados de uma certa variável aleatória.

Se tivesse de decidir entre os modelos a seguir indicados para representar a função de distribuição dessa v. a. X, qual deles escolheria?

a) Normal

b) Exponencial

c) Poisson

d) Geométrica. 6. Num certo país, a operação de legalização de uma empresa, depois que os

respectivos fundadores tomaram a decisão de a constituir, envolve os seguintes passos, que têm de ser dados sucessivamente.

1º- «Pedir o nome» (isto é, requerer a um serviço público a verificação de que o

nome pretendido não existe ainda) 2º- Realização da escritura (que envolve o tempo de espera necessário entre o dia

em que se obteve a legalização do nome e o acto público da escritura num notário)

3º- Inscrição no registo comercial da zona e publicação da escritura na empresa. Admitindo que o tempo necessário ao passo número 1 é uma v. a. T1 com distribuição exponencial de tempo médio δ1= 3 meses, que o tempo T2 que decorre entre o fim da 1ª fase e o fim da escritura é uma v. a. exponencial de parâmetro δ2= 2 meses e que o tempo T3 até se conseguir o registo depois de realizada a escritura é uma v. a. com distribuição exponencial de parâmetro δ3= 2 semanas, responda ao seguinte, atendendo ainda que os tempos das fases não se influenciam mutuamente.

a) Qual é a distribuição do tempo necessário a legalizar uma empresa no país em questão?

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b) Qual é a probabilidade de que no país em questão a legalização leve mais do que seis meses?

c) Qual o tempo médio e a variância do tempo de legalização de uma nova

empresa no país em questão? 7. A um professor de estatística foi encomendado, por uma certa instituição, a

concepção de um teste com 20 perguntas. Admitindo que o professor em causa gasta em cada pergunta um tempo aleatório cuja distribuição é exponencial de média δ = 30 minutos e que o tempo gasto com uma pergunta não afecta o tempo gasto com as outras. a) Obtenha a distribuição do tempo necessário para realizar o teste. b) Qual a probabilidade de que o professor gaste menos do que 15 horas na

elaboração do teste em questão? 8. Um atleta prepara-se para os jogos olímpicos na modalidade de salto à vara. A

altura que consegue saltar nas várias tentativas independentes que realiza é uma variável aleatória Normal de média µ metros e variância σ2 metros. Calcule a probabilidade de o quadrado de uma das suas marcas (depois de estandardizada) ser superior a 2.

9. Um professor tem de avaliar 500 testes de uma prova a nível nacional.

Admitindo que o tempo gasto com a classificação de cada prova é uma v. a. T com média 0.5 horas e variância 0.1, diga se o prazo concedido - 8 dias úteis - para que o professor entregue os resultados é razoável.

10. Admita que o tempo gasto, em horas, por uma costureira com a feitura integral de

um casaco é uma variável aleatória com distribuição exponencial de média igual a quatro horas. Cada costureira trabalha 5 dias por semana e 8 horas por dia. Considerando uma procura semanal de 1200 casacos, quantas costureiras deve ter o atelier de forma a que apenas em 2.5% das semanas haja problemas com a satisfação daquela procura?

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11. Uma fábrica está equipada com 5 máquinas, de características idênticas e de funcionamento independente, para a produção de certo tipo de peças. Admita que o custo de manutenção (em contos) semanal de cada máquina é uma variável aleatória com distribuição U(0;20). Na elaboração do orçamento anual (52 semanas) foi considerada uma verba de 2000 contos para a manutenção das 5 máquinas. Qual a probabilidade de a dotação orçamental feita não cobrir as despesas?

12. Considere um elevador com características industriais com capacidade para 100

pessoas, em serviço num monumento visitado por milhares de pessoas. Admitindo que o peso médio das pessoas que visitam o monumento é 70 kg (com desvio-padrão = 10 kg), seja X o peso dos utilizadores transportados numa viagem, escolhida ao acaso. Admita que o elevador está sempre cheio.

a) Qual é a distribuição da variável aleatória X? Qual o peso médio e respectivo desvio padrão do peso suportado pelo elevador em cada viagem?

b) Qual a probabilidade de numa determinada viagem o peso total transportado

pelo elevador ser inferior a 8 toneladas? 13. Sejam X e W duas variáveis aleatórias discretas com função de probabilidade

conjunta dada por:

W \ X 1 2 3 1 1/9 0 1/18 2 0 1/3 1/9 3 1/9 1/6 1/9

a) Determine:

a1) as funções de probabilidade marginal de X e W; a2) P X W( )+ ≤ 4 ; a3) a função de probabilidade condicional de X a W=2; a4) E X W( | )= 2 ; a5) V X W( | )= 2 ; a6) P(X.W ser par); a7) P W X W( | . )= ≤2 4 .

b) Mostre que X e W não são variáveis aleatórias independentes.

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14. Suponha que duas baterias são aleatoriamente seleccionadas, sem repasição, de

um grupo composto por 3 baterias novas, 4 usadas (mas funcionando) e 5 defeituosas. Sejam as variáveis aleatórias X e Y, definidas por:

X: “nº de baterias novas que são seleccionadas” Y: “nº de baterias usadas (mas funcionando) que são seleccionadas”.

a) Determine a função de probabilidade conjunta do par (X,Y). b) Uma bateria usada (mas funcionando) foi seleccionada, qual a probabilidade

de não ter sido seleccionada nenhuma nova? c) Que pode dizer quanto à independência das duas variáveis? d) Sabe-se que a covariância entre as duas variáveis é negativa. O que pode

concluir relativamente à correlação entre elas. 15. Admita que a função de distribuição conjunta de duas variáveis aleatórias X e Y é

dada pela função de densidade cuja expressão é:

f x y eXYx y( , ) = − −2 2 , com x, y ≥ 0.

Sem realizar cálculos - pela mera observação da estrutura da expressão anterior - diga quais os valores da covariância e correlação entre essas duas variáveis.

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RESOLUÇÃO DOS TESTES FORMATIVOS I

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Resolução do Teste Formativo nº 1

1. a) Contando as ocorrências de A’s, B’s, C’s, D’s, tem-se:

Partidos ni fi A 2 0.2 B 5 0.5 C 2 0.2 D 1 0.1

Total 10 1.0 Uma vez que os valores são símbolos, não faz sentido calcular as frequências acumuladas visto que entre os símbolos não existe uma relação de ordem. Contudo, observando as frequências relativas, pode definir-se entre os símbolos a relação de ordem determinada pelas frequências relativas, ficando:

Partidos ni fi B 5 0.5 A 2 0.2 C 2 0.2 D 1 0.1

Total 10 1 b) Direita = A, B

Esquerda = C, D

Tendências ni fi Direita 7 0.7 Esquerda 3 0.3 Total 10 1.0

2. Trata-se de uma estudo com dados observacionais em que o sexo, estado civil,

categoria profissional e as habilitações literárias são dados do tipo qualitativo. A idade, salário actual, antiguidade e o nº de filhos são dados do tipo quantitativo.

34

3. a) Tabela de distribuição de frequências

Notas ni fi Ni Fi. 4 1 1/20 1 1/20 5 1 1/20 2 2/20 6 1 1/20 3 3/20 7 1 1/20 4 4/20 8 2 2/20 6 6/20 9 2 2/20 8 8/20 10 3 3/20 11 11/20 11 1 1/20 12 12/20 12 3 3/20 15 15/20 13 1 1/20 16 16/20 14 1 1/20 17 17/20 15 1 1/20 18 18/20 17 1 1/20 19 19/20 18 1 1/20 20 1

b) Tabela de frequências dos dados agrupados:

Notas ni fi Ni Fi hi <10 8 8/20 8 0.4 0.4/10

[10,14[ 8 8/20 16 0.8 0.4/4 [14, 17[ 2 2/20 18 0.9 0.1/3

≥17 2 2/20 20 1 0.1/4

Nota: a última classe tem amplitude igual a 4 unidades pois inclui todos os valores 17,18, 19 e 20. Sabemos que a altura de cada barra do histograma é dada por

hfai

i= onde fi é a frequência relativa da classe e a é a amplitude dessa classe. O

histograma e respectivo polígono de frequências acumuladas são então os seguintes:

Histograma

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0 5 10 15 20

Polígono de frequências

acumuladas

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 5 10 15 20

c) A percentagem de alunos que demonstraram maus conhecimentos da matéria é

dada pela frequência relativa da primeira classe, ou seja, 8/20=0.4, que corresponde a 40% dos alunos.

35

4. a) A tabela de distribuição de frequências apresenta-se a seguir

nº assaltos por fogo xi

nº de fogos ni

fi Ni Fi

0 989 0.0989 989 0.0989 1 1903 0.1903 2892 0.2892 2 3010 0.3010 5902 0.5902 3 2520 0.2520 8422 0.8422 4 1578 0.1578 10000 1

A função de distribuição empírica Fi é então

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 1 2 3 4 5

Nota: A função de distribuição empírica é uma função em escada, as ligações verticais entre os patamares não existem na realidade (senão não seria uma função), apenas são úteis para uma elaboração mais precisa do gráfico. Apesar de o eixo das abcissas apresentar valores até 5 assaltos, deve entender-se que para valores maiores ou iguais que 4, a frequência acumulada é sempre igual a 1.

b) A média do número de assaltos por fogo em cada mês é dada por:

x x fii

ni= = × + × + × + × + × =

=∑

10 0 0989 1 01903 2 0 3010 3 0 2520 4 01578 2 1795. . . . . .

A moda é o valor da variável em estudo (nº de assaltos por fogo) que apresenta maior frequência absoluta ou, equivalentemente, a maior frequência relativa: neste caso é o valor 2.

A mediana é o valor da variável que seja mais central, isto é que divida a amostra em duas partes equivalentes a 50%. Neste caso podemos verificar que o valor central será o valor 2 pois se repararmos nas frequências acumuladas é neste valor que se atinge 50% do total das observações. (repare-se que o valor 1 não serve porque até este só estão 28.92% do total das observações)

Como a média, a moda e a mediana estão muito próximas (diferença na ordem das décimas) podemos dizer que a distribuição é simétrica ou então, se quisermos ser mais precisos, como a média é ligeiramente superior à mediana e à moda, a distribuição poderá considerar-se ligeiramente assimétrica positiva.

36

c) Sim, porque sendo a média aproximadamente de dois assaltos por fogo em cada mês, verificamos também que uma percentagem grande de fogos (cerca de 40%) tem 3 ou 4 assaltos em cada mês.

5. a) Vamos construir a seguinte tabela que nos vai servir não só para esta alínea como

para as alíneas restantes. Neste caso todas as classes têm a mesma amplitude que é igual a cinco, assim, a altura das barras do histograma é proporcional à frequência relativa da classe.

categorias fi centro

xi Fi

]0,5] 0.35 2.5 0.35 ]5,10] 0.40 7.5 0.75 ]10,15] 0.15 12.5 0.9 ]15,20] 0.10 17.5 1

Vamos obter então o seguinte histograma:

00,05

0,10,15

0,20,25

0,30,35

0,40,45

]0,5] ]5,10] ]10,15] ]15,20]

b) Como os dados estão agrupados, para calcular a média, o desvio padrão e a

mediana dos complementos salariais teremos de determinar o centro de cada classe (que se encontram na tabela atrás). Assim

x x fi ii

= = × + × + × + × ==∑

1

4

2 5 0 35 7 5 0 4 12 5 015 17 5 01 7 5. . . . . . . . .

para calcular o desvio padrão comecemos por calcular o valor da variância:

s x x f x f xi i i iii

2 2 2 2

1

4

1

4

= − = −==∑∑ ( )

Estas duas fórmulas são equivalentes, no entanto, vamos utilizar a segunda que, nesta situação, simplifica os cálculos.

s2 2 2 2 2 22 5 0 35 7 5 0 4 12 5 015 17 5 01 7 5 22 5= × + × + × + × − =( . ) . ( . ) . ( . ) . ( . ) . ( . ) .

37

então, o desvio padrão é s = =22 5 4 743. .

A mediana terá de ser calculada através de uma interpolação. Sabemos, no entanto que a mediana vai estar na classe ]5,10] pois se analisarmos a coluna das frequências acumuladas verificamos que até à classe anterior só estão 35% do total dos dados e portanto os 50% vão recair nesta classe (que tem frequência acumulada de 75%)

Vamos fazer a seguinte interpolação 0 75 0 3510 5

05 0 355

. . . .−−

=−−m

0

0,25

0,5

0,75

5 m 10

assim temos m = + − =5 0 35 10 5 6875. ( ) .

c) Se os complementos salariais fossem actualizados em 15% teríamos novas

categorias nas quais cada valor está acrescido de 15%, isto é, para cada valor x passamos a ter x + 0.15x = 1.15x, assim a nova média será

∑∑==

=×=×=×=4

1

4

1625.85.715.115.1)15.1(

iii

iii fxfxx

conclui-se que se todos os valores forem acrescidos com a mesma taxa (multiplicados por uma constante qualquer), a média virá também acrescida dessa mesma taxa.

Relativamente à variância tem-se o seguinte:

( )

5.22)15.1()5.7()15.1(

)5.7()15.1(15.1)5.715.1()15.1(

224

1

22

4

1

224

1

22222

×=

−=

=−×=×−=

∑

∑ ∑

=

= =

iii

i iiiii

fx

fxfxs

daqui podemos concluir que se todos o valores forem multiplicados por uma mesma constante a nova variância é a anterior multiplicada pela constante ao quadrado

38

d) Neste caso estamos a somar a mesma quantidade (3000 esc) a todos os valores de x. Aplicam-se aqui, tal como se verificou para a alínea anterior, as seguintes propriedades das variáveis aleatórias.

[ ] [ ][ ] [ ] [ ]

E X k E X k

V X k V X V X

+ = +

+ = + =0

(recorde-se que a variância de uma constante é zero)

Vamos então verificar que a nova média é a anterior mais a constante 3 (em milhares)

x x f x f fi ii

i ii

ii

= + = + = + == = =∑ ∑ ∑( ) . .3 3 7 5 3 105

1

4

1

4

1

4

Pelo que foi definido a nova variância é igual à anterior, isto é, s2 22 5= .

6. a) Trata-se de uma assimetria positiva.

Uma vez que a assimetria de Pearson ≅ 3( )x ms

d− seria necessário construir uma

tabela de frequências (tiradas do gráfico) e com ela calcular os valores aproximados de x , md e s.

O número de observações é n= n1 + n2 + n3 + n4 + n5= 3 + 5 + 4 + 2 + 2= 16.

f13

16= , f 2

516

= , ..., f 52

16= .

Classe ni fi yi(centros)

[1165,1344[ 3 3/16 1249.5 [1344,1523[ 5 5/16 1433.5 [1523,1702[ 4 4/16 1612.5 [1702,1880[ 2 2/16 1791 [1880,2059] 2 2/16 1969.5

x = × + + × =1249 5 316

1969 5 216

1555 438. ... . .

( )s2 2 21249 5 1555 438 316

1969 5 1555 438 216

51377 28= − × + + − × =( . . ) ... . . .

a mediana é o valor a que corresponde uma frequência acumulada de 50% logo md = 1523

39

Coeficiente de assimetria de Pearson ( ) ( )

≅−

=−

=3 3 1555 438 1523

226 6660 429

xs

md ..

.

b) O intervalo entre quartis é x0.75 - x0.25 (diferença entre o terceiro e o primeiro

quartil).

Para resolver o problema tem de se descobrir, em primeiro lugar, qual a classe que contem x0.75 e x0.25. Por interpolação, obter os valores aproximados destes quartis.

7. a) A experiência aleatória consiste em escolher um dia ao acaso e contar o número de

clientes que se servem da caixa entre as 8 horas e as 8h 30 min.

Ω= 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...= Espaço de resultados A= Espaço de acontecimentos = Todos os subconjuntos de Ω.

Por exemplo: 0, 1, 2, ...

0,1, 0,2, ... 1, 2, 3, ...

b) U= B ∪ C

V= A ∩ C X= B ∪ (A ∩ C)

8. a) Se, por exemplo, o número extraído ao acaso fosse o número 4 isso, significaria

que deveríamos ligar o rádio às 9 horas de quinta-feira e tomar nota do estado do acesso a Lisboa através do garrafão da ponte sobre o Tejo.

Sejam os símbolos D - «Acesso desobstruído»

C - «Acesso congestionado».

Repare-se, pois, que a experiência tem duas fases: 1ª - Escolher o dia 2ª - Tomar nota do estado.

O espaço de resultados é:

40

Ω= (1,D), (1,C), (2,D), (2,C), (3,D), (3,C), (4,D), (4,C), (5,D), (5,C), (6,D), (6,C),

(7,D), (7,C). b) Seja o acontecimento A= «Ao fim-de-semana o acesso está desobstruído».

O fim-de-semana abrange o Sábado (dia número 6) e Domingo (dia número 7).

Então: A= (6,D), (7,D). 9. a) Representemos por S o acontecimento «A pessoa tem as características desejadas»

e por N «A pessoa não tem as características desejadas».

Então, os resultados da experiência podem ser sucessões de símbolos do tipo: S (a primeira pessoa tem as características desejadas) NS ( a primeira pessoa não tem as características e a segunda tem) NNS .... NNNS NNNNS .............. Isto é: Ω= S, NS, NNS, NNNS, NNNNS, ...

b) A= S, NS, NNS, NNNS, NNNNS.

(Por outras palavras: a pessoa ocorre na 1ª entrevista ou na 2ª, ou na 3ª ... ou na 5ª). 10. Se A ∩ C= ∅, não há resultados comuns a A e C.

De A ∪ C= Ω e do anterior, resulta que P (A ∪ C)= 1= P (A) + P (C).

Ora, diz-se que P (A)= 0.5 P (C)= 0.8,

dando P (A) + P (C)= 1.3 > 1.

(Esta é a 1ª inconsistência).

Por outro lado, se A ⊂ B então P(A) < P(B).

Ora, diz-se que P(A)= 0.5 e P(B)= 0.1, o que constitui a 2ª inconsistência.

41

11. Teremos de utilizar o princípio da multiplicação das escolhas. Dispomos de 10 bonecas diferentes, para cada boneca 4 cores de olhos diferentes, e para cada uma das combinações tipo de boneca e cor de olhos podemos ainda escolher 3 cores de cabelo, assim teremos 10×4×3 = 120 combinações diferentes que dão origem a bonecas diferentes.

12. a) Se as faces dos dados são numeradas 1, 2, ..., 6 e os lados da moeda são designadas

por F (face) e C (coroa), então os resultados possíveis são do tipo exemplificado na lista seguinte: (1,5,F), ou (1, 5, C) ou (2, 6, F) ( 2, 6, C).

Por exemplo: o resultado ω= «2,6,F» significa que o dado número 1 ficou com a face número 2 virada para cima, o dado número 2 ficou com a face 6 virada para cima e a moeda ficou com a Face virada para cima.

- número de elementos de Ω= 6 × 6 × 2, usando o princípio da multiplicação (6

faces possíveis no 1º dado × 6 faces no nº 2 × 2 lados na moeda) = 72. b) Seja o acontecimento A= «Obter um seis e uma face».

O acontecimento A pode obter-se na forma (face seis, face diferente de seis, F)

Ou (face diferente de seis, face seis, F).

O número de casos que realizam a primeira possibilidade é 1 × 5 × 1= 5. O número de casos que realizam a segunda possibilidade é 5 × 1 × 1= 5. Logo, há 5 + 5= 10 casos favoráveis ao aparecimento do acontecimento A. Uma vez que todos os 72 resultados possíveis são equiprováveis (moeda e dados equilibrados)

7210

possíveis casos de totalnúmeroA a favoráveis casos de número)( ==AP

13. Pretende-se calcular a probabilidade de sair uma viagem e um chocolate. Como a

extracção não é simultânea interessa-nos a ordem de extracção. Temos, assim, duas possibilidades

P(sai um chocolate e depois uma viagem ou sai uma viagem e depois o chocolate) =

= × + × =1

503449

3450

149

0 02775.

42

14. a) Vamos chamar A B e aos acontecimentos complementares de A e B

respectivamente.

xxxxBAPBPAPBAPBAP 5.115.01))()()((1)(1)( −=+−−=∩−+−=∪−=∩

b) P A B x( ) .∩ = 0 5 c) Realizar-se apenas um dos acontecimentos significa o seguinte:

Realiza-se o acontecimento A e simultaneamente não se realiza o acontecimento B, ou realiza-se o acontecimento B e simultaneamente não se realiza o acontecimento A. Pretende-se então calcular a seguinte probabilidade:

P A B A B P A B P A B P A P A B P B P A B

P A P B P A B x x x(( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) .∩ ∪ ∩ = ∩ + ∩ = − ∩ + − ∩

= + − ∩ = − × =2 2 2 0 5

d) P A B P A P B P A B x x x( ) ( ) ( ) ( ) . .∪ = + − ∩ = − =2 0 5 15 15. Defina-se a variável aleatória em estudo do seguinte modo:

X representa a “Numeração da casa saída na roleta”

Sabe-se que a roleta é viciada e que P X P X( ) ( )> = <14 4 15 a) O espaço de resultados é o conjunto de todos os possíveis valores para a casa saída

na roleta, ou seja, Ω=1,2,3,4,...........,20

b) Seja P(X<15)=x. Então tem-se P(X>14)=4x. Como P(X<15)+P(X>14)=1 (esta

união constitui o universo), podemos determinar o valor de x.

x x x+ = ⇔ =4 1 15

então temos que

P X P X P X P X P X P X P X( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )> = = + = + = + = + = + = =14 15 16 17 18 19 20 45

como estas probabilidades são todas iguais podemos fazer

304)15(

54)15(6 ==⇔==× XPXP

43

Assim P X j j( ) , , , , ,= = =430

15 16 17 18 19 20

Por outro lado

701)1(

51)1(14

e isto51)14(...)3()2()1()15(

==⇔==

==++=+=+==<

XPXP

XPXPXPXPXP

o que dá P X j j( ) , , , ...= = =1

701 2 3 14

Então, respondendo ao que se pede tem-se

P X P X P X P X( ) ( ) ( ) ( )> = = + = + = = × =17 18 19 20 3 430

1230

c) Seja o acontecimento A= “Sai casa com número primo”, então

P A P X P X P X P X P X P X P X

P X P X

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

= = + = + = + = + = + = + = +

+ = + = = × + × =

1 2 3 5 7 11 13

17 19 7 170

2 430

77210

16. (A ∩ B)= ∅ então P (A ∩ B)= 0.

Logo, não poderia ter-se P(A|B) × P(B) > 0, visto que P(A|B) × P(B)= P (A ∩ B) = 0, ao passo que no conjunto ocorre a expressão P(A|B) × P(B) > 0.

17. A resposta é negativa.

Se os acontecimentos fossem independentes, ter-se-ia: P (A|B)= P(A). Ora, no nosso caso, apesar de se afirmar que os acontecimentos são independentes diz-se que

P (A|B)= 0.25 ≠ P(A)= 0.35. 18. a) Trata-se de um problema de probabilidades condicionadas. Vamos definir os

seguintes acontecimentos:

44

A= “Existe água no subsolo” B= “Encontra água na 1ª tentativa”

consequentemente tem-se

A = ”Não existe água no subsolo” B = ”Não encontra água na 1ª tentativa”

Sabe-se que: P(A) = 0.3 e P(B/A) = 0.5. Como estão envolvidos acontecimentos complementares facilmente deduzimos as seguintes probabilidades:

P( A P( B A) . . , / ) . .= − = = − =1 0 3 0 7 1 05 05 .

Também se pode concluir que P( B A/ ) = 1. Pretende-se saber P( B ) . Este acontecimento está condicionado à existência ou não, de água no subsolo, ou seja,

P( B P( B A P( B A) ) )= ∩ + ∩ que é equivalente ao seguinte

P( B P( B A P( A P( B A P( A) / ) ) / ) ) . . . .= + = × + × =05 0 3 1 0 7 085

b) Pretende-se calcular P( A B/ ) . Trata-se de um problema de probabilidades

inversas das que já temos conhecimento. Utilizamos então a regra de Bayes.

P( A B P( B A P( AP( B

/ ) / ) ))

. ..

.= =×

=05 0 3

085017647

19. Trata-se de um problema relativo à regra de Bayes: o facto de se dispor da

informação resultante de se ter observado um item defeituoso transforma as probabilidades à priori nas probabilidades à posteriori (depois da observação).

Seja o acontecimento: D= «Foi observada uma peça defeituosa».

Sejam os acontecimentos

M1= «O item foi produzido pela máquina M1» M2= «O item foi produzido pela máquina M2» M3= «O item foi produzido pela máquina M3»

As probabilidades à priori de que as peças sejam produzidas por qualquer das três máquinas são: p1= 0.3= P (M1)

p2= 0.3= P (M2) p3= 1 - (0.3 + 0.3)= 0.4= P (M3)

45

Pretende-se P (M1|D)= Probabilidade de que o item tenha sido produzido pela máquina M1 dado que foi observada uma peça defeituosa (ocorreu o acontecimento D).

P (M1|D)= P M DP D( , )

( )1

D= (D ∩ M1) ∪ (D ∩ M2). A peça defeituosa foi produzida pela máquina M1 - isto é, D ∩ M1 - ou então foi produzida pela máquina M2 - isto é, D ∩ M2. P(D)= P (D ∩ M1) + P (D ∩ M2). Mas P (D ∩ Mi)= P (D|Mi) × P (Mi), i= 1, 2, 3.

a) Tem-se: P(D)= P (D|M1) × P (M1) + P (D|M2) × P (M2) + P (D|M3) × P (M3) . Com: P (D|M1)= 0.1/100= 0.001

P (D|M2)= 0.09/100= 0.0009 P (D|M3)= 0.5/100= 0.005.

Então, P(D)= 0.001 × 0.3 + 0.0009 × 0.3 + 0.005 × 0.4.

b) P (M3|D)= P D M P MP D

( | ) ( )( )

. .. . . . . .

3 3 0 005 0 40 001 0 3 0 0009 0 3 0 005 0 4

×=

×× + × + ×

.

20. Vamos definir os seguintes acontecimentos:

A= “O aluno conhece a resposta” A =“O aluno não conhece a resposta” B= “O aluno responde correctamente”

Do enunciado extraímos a seguinte informação:

P( A p P( B A P( B An

) ; / ) ; / )= = = 1 1

Trata-se novamente de um problema de probabilidades condicionadas, e pretende-se calcular P( A B/ ) . Uma forma de calcular esta probabilidade é recorrendo à fórmula de Bayes, donde se tem que:

P( A B P( B A P( AP( B

/ ) / ) ))

=

46

Para calcular P(B) recorremos às probabilidades totais pois temos duas hipóteses de o aluno responder correctamente à resposta: conhecendo ou não conhecendo a resposta. Assim,

P( B P( B A P( A P( B A P( A pn

p) / ) ) / ) ) ( )= + = × + −1 1 1

Tem-se então

P( A B np

pn

p

pn p

/ )( )

( ) ( )=

−

+ −=

−+ −

1 1

1 1

11 1

tal como queríamos.

47


1. a) A experiência em questão é:

«Escolher uma pessoa ao acaso e perguntar a essa pessoa se tem curso superior. Tomar nota da resposta». O espaço de resultados correspondente é Ω= S, N.

b) Repetindo 100 vezes a experiência anterior, cria-se um espaço de resultados Ω

formado por sucessões de 100 símbolos S e N contendo as repostas das pessoas escolhidas.

Seja a v. a. X= «Número de pessoas que na amostra dizem ter um curso superior».

É claro que X: Ω → ℜ

ω → X (ω)

ω - é um dos resultados possíveis (lista de 100 S’s e N’s) X(ω) - Número de S’s em ω.

X é a variável aleatória em causa.

2. a) Defina-se

F = Saída de face C = Saída de coroa

Cada lançamento tem um resultado do tipo (M100,M10,M5), em que cada M pode ser F ou C. O número total de casos possíveis é 2x2x2=8 (duas possibilidades para cada moeda). Assim o espaço de resultados é o seguinte:

Ω =

( ),( ),( ),( ),( ),( ),( ),( )

F F F F F C F C F F C CC F F C C F C F C C C C

100 10 5 100 10 5 100 10 5 100 10 5

100 10 5 100 10 5 100 10 5 100 10 5

b) b1) Vamos considerar que o valor monetário da moeda está inscrito na coroa.

xi 5 10 15 100 105 110 115 f(xi) 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8

48

b2) Correspondem os resultados ( ),( ),( )F C F C F F C C F100 10 5 100 10 5 100 10 5

b3) X=350 é um acontecimento impossível.

b4) X=115 corresponde ao acontecimento C100,C10,C5 isto é, todas as corôas

ficam voltadas para cima.

3. A função de probabilidade da v. a. X é, de acordo com o enunciado, dada por: P (X= i)= 0.75i-1 × 0.25.

a) Pretende-se P (X < 3)= P (X= 1 ∪ X= 2)= P (X= 1) + P (X= 2)

= 0.751-1 × 0.25 + 0.752-1 × 0.25= 0.25 + 0.75 × 0.25. b) O acontecimento cuja probabilidade interessa determinar é (4 ≤ X ≤ 6).

Este acontecimento expressa-se do seguinte modo:

(4 ≤ X ≤ 6)= (X= 4) ∪ (X= 5) ∪ (X= 6),

Como os acontecimentos componentes são disjuntos vem que.

P (4 ≤ X ≤ 6) = P (X= 4) + P (X= 5) + P (X= 6) = 0.754-1 × 0.25 + 0.755-1 × 0.25 + 0.756-1 × 0.25 = (0.753 + 0.754 + 0.755) × 0.25. 4. Sejam: E(X)= µX= Esperança matemática da v. a. X.

Var (X)= σ X2 = Variância da v. a. X.

Tem-se, E(X)= µX= x P X xi i

xi

× =∑ ( ) , em que xi são os valores possíveis de X e P

(X= xi) as respectivas probabilidades.

No nosso caso, E(X)= µX= 0 × P (X= 0) + 1 × P (X= 1) + 2 × P (X= 2) + 3 × P (X= 3) +

+ 4× P (X= 4) + 5 × P (X= 5) = 0 × 0.25 + 1 × 0.25 + 2 × 0.3 + 3 × 0.1 + 4 × 0.05 + 5 × 0.05 = 0 + 0.25 + 0.6 + 0.3 + 0.2 + 0.25= 1.6

Var (X)= σ µX X i i

x

E X x P X xi

2 2 216= − = − × =∑( ) ( . ) ( )

49

= x P X xi i Xxi

2 2× = −∑ ( ) ( )µ .

σ X P X P X P X P X2 2 2 2 20 0 1 1 2 2 3 3= × = + × = + × = + × = +( ) ( ) ( ) ( ) + × = + × = − 4 4 5 5 162 2 2P X P X( ) ( ) ( . ) = × + × + × + × + × −1 0 25 4 0 3 9 01 16 0 05 25 0 05 162. . . . . . .

A mediana é o valor a que corresponde uma probabilidade acumulada de 0.5.

No nosso caso, P (X ≤ x0.5)= 0.5, tem-se que x0.5= 1.

5. Os momentos centrados - em relação à média - são dados pela expressão: m x P X xr i

ri

xi

= − × =∑ ( ) ( )µ ,

em que µ é a esperança matemática de X - momento absoluto de ordem 1 e r= 1, 2, 3, ...

µ = × = = × = + × = + + × =∑ x P X x P X P X P Xi i

xi

( ) ( ) ( ) ... ( )1 1 2 2 5 5

= 1 01 2 0 2 3 05 4 01 5 01 01 0 4 15 0 4 05 2 9× + × + × + × + × = + + + + =. . . . . . . . . . . .

m x P X xi ixi

1 = − × =∑ ( ) ( )µ

= − × = + − × = + − × = +( . ) ( ) ( . ) ( ) ( . ) ( )1 2 9 1 2 2 9 2 3 2 9 3P X P X P X + − × = + − × = =( . ) ( ) ( . ) ( )4 2 9 4 5 2 9 5 0P X P X

m x P X xi ixi

22= − × =∑ ( ) ( )µ

= − × = + − × = + − × = +( . ) ( ) ( . ) ( ) ( . ) ( )1 2 9 1 2 2 9 2 3 2 9 32 2 2P X P X P X + − × = + − × =( . ) ( ) ( . ) ( )4 2 9 4 5 2 9 52 2P X P X

= × + × + × + × + × = =( . ) . ( . ) . ( . ) . ( . ) . ( . ) . .19 01 0 9 0 2 01 0 5 11 01 2 1 01 1092 2 2 2 2 = σ X

2 = Variância de X.

O momento central de ordem dois corresponde então à variância.

m3= Momento central de ordem 3 = ( ) ( )x P X xi i

xi

− × =∑ µ 3

= − × = + − × = + − × = +( . ) ( ) ( . ) ( ) ( . ) ( )1 2 9 1 2 2 9 2 3 2 9 32 2 2P X P X P X + − × = + − × =( . ) ( ) ( . ) ( )4 2 9 4 5 2 9 52 2P X P X .

50

m4= Momento central de ordem 4 = ( ) ( )x P X xi i

xi

− × =∑ µ 4

e assim sucessivamente, para r= 5, 6, 7, ...

6. Considere-se a seguinte variável aleatória a) X = Nº de alunos que copiam no exame

X pode tomar os valores 0, 1, 2, 3, 4. Sabe-se ainda que:

P(X=0)=9/10 P(X>0)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)=1/10 P(X=1/X>0)=3/4 P(X=2/X>0)=P(X=3/X>0) P(X=4/X>2)=7/9

Para calcular a função de probabilidade da variável aleatória X comecemos por calcular P(X=1). Sabemos que em 3/4 das vezes em que há alunos a copiar é só um aluno que copia, assim tem-se

P( X = = × =1 34

110

340)

Com a informação disponível podemos fazer o seguinte:

( )

( )

P( X P( X P( X P( X P( X

P( X P( X P( X P( X

P( X P( X

= = ≥ = = + = + = =

= = + = = = = ⇔

= = =

4 79

2 79

2 3 4

79

2 2 4 149

2 29

4

4 7 2

) ) ) ) )

) ) ) )

) )

ou seja

Por outro lado como a soma de todas as probabilidades tem de ser igual a 1 tem-se

910

340

1360

2 2 7 2 1

2

+ + = + = + = =⇔

= =

P( X P( X P( X

P( X

) ) )

)

A função de probabilidade é então

xi 0 1 2 3 4 P(X=xi) 324/360 27/360 1/360 1/360 7/360

51

b) Como sabemos, a função distribuição está definida para todo o x ∈ ℜ e é uma função cumulativa dos valores da função de probabilidade

x x<0 0≤x<1 1≤x<2 2≤x<3 3≤x<4 x≥4

FX(x) 0 324/360 351/360 352/360 353/360 1

c) [ ]E X =× + × + × + × + ×

=0 324 1 27 2 1 3 1 4 7

36016

[ ] [ ] [ ]( )V X E X E X= − =+ × + × + ×

−

=2 2227 4 1 9 1 16 7

36016

71180

d) A média da distribuição é maior do que a moda que é o valor com maior

frequência (ou seja, o zero), assim a distribuição terá assimetria positiva. e) Os únicos quadrados perfeito são o 0, 1 e 4.

P( X P( X P( X= + = + = =0 1 4 358360

) ) )

7. RX(x)= P (X > x).

Então, FX(x)= Função de distribuição = P (X ≤ x)= 1 - RX(x)= 1 - e x−λ .

A função de densidade é, por definição, caso exista,

fX(x)= dF xdx dx

e eX x x( )( )= − =− −1 1 λ λλ .

8. Seja T= «Tempo de estacionamento no local de um automóvel escolhido ao acaso»

C= «Custo de estacionamento no local de um automóvel escolhido ao acaso».

Repare-se que C= 150 × T, expresso em escudos, conforme a alínea c). a) P (T > 1.5)= 1- P (T ≤ 1.5).

[ ]P T e dt e et t( . ). .

≤ = = − = −− − −∫15 2 1 12

0

1 5 20

1 5 3 .

52

b) O acontecimento «O automóvel já se encontra no local há 0.5 horas» pode expressar-se usando a v. a. T através de: (T > 0.5).

Cinco minutos expresso em horas é 0,083 h. Logo, o que se pretende é calcular a probabilidade condicionada seguinte:

( ) ( )( )

P T TP T

P T≤ + > =

< <>

0 5 0 083 0 50 5 0 583

0 5. . | .

. ..

Uma vez que, pela a), a função de distribuição se verificou ser FT(t)= 1 - e t−2 , então a probabilidade do numerador é:

P (0.5 < T ≤ 0.583)= 1 12 0.583 2 0.5 1 1166− − − = −− × − × − −e e e e( ) . .

Em conclusão: P (T ≤ 0.583 | T > 0.5)= e ee

e ee

ee

− −

− ×

− −

−

−

−

−=

−= −

1 1166

0.5 2

1 1166

1

1166

11. . .

= − = − = <− − ×1 1 0 0830.166 2 0.083e e P T( . ) .

(Falta de memória da exponencial). c) Pagando 150$ por hora, é necessário que o automóvel esteja estacionado pelo

menos 1.667 horas para que gaste mais de 250$ de cada vez que aí estaciona. Assim, P T e( . ) .> = − ×1 667 2 1 667

9. A função dada é f xx x

( ) =− ≤ ≤

2 40

2 3 outros valores de x

a) A função distribuição é, por definição, dada por F x f t dtx

( ) ( )=−∞∫ onde f(t) é a

função densidade. A função que nos é dada não tem a mesma expressão para todos os valores de x, assim, teremos de calcular a função distribuição por partes.

para x<2

F x dt( ) = =∞∫ 0 0

-

x

para 2≤ x<3

[ ]F x F t dt t t xx x

( ) ( ) ( )= + − = − = −∫2 2 4 4 22

2 2

2

para x ≥ 3

53

F x F dt( ) ( ) ( )= + = − + =+∞

∫3 0 3 2 0 13

2

A função distribuição é então dada pela seguinte expressão

F xx

x xx

( ) ( )= − ≤ <≥

0 22 3

1 3

2

< 2

b) [ ] [ ]E X xf x dx x x dx xx= = − = − =∫ ∫( ) ( ) 2

3

2

3

32

2

3832 4 3

[ ] [ ] [ ]V X E X E X x x dx x x= − = − −

= −

−

∫2 2 2

2

32 4 3

2

3 2

2 4 83

24

23

83

( )

c) P( X F< = = − =2 7 2 7 2 7 2 0 492, ) ( , ) ( , ) . 10. a) Sabe-se que se

[ ]Y h x

Y Yf y dy h x f x dxY X

=

= =−∞

+∞

−∞

+∞

∫ ∫

( )

( ) ( ) ( )

entao

E

Neste caso tem-se Y = 4X - 1

[ ] [ ]

[ ]

E Y E X x x x dx

x x x dx x x dx

x x x x x x

= − = − − + =

= − + − − + =

= − +

− − + =

∫

∫ ∫

4 1 4 1 6 12 5

24 48 20 6 12 5

244

483

202

2 3 6 2 5 5

212

3 212 2

21

4 3 2

1

2

12

( )( )

( ( )

)

[ ] [ ] [ ]V Y E Y E Y x x x dx= − = − − + − =∫2 2 2 2

1

24 1 6 12 5 25 49( ) ( )

b) P(Y P( X P( X dt< = − < = < = =−∞∫2 4 1 2 0 03

4

3 4) ) )

/

54

11. Sendo X a variável aleatória que representa o número de unidades vendidas de determinado produto, pede-se para determinar um limite inferior para P( 80 <X< 120). Esta probabilidade pode tomar a seguinte forma:

( )P X P X P X P X( ) ( ) ( )80 120 80 100 100 120 100 20 100 20 100 20< < = − < − < − = − < − < = − <

Pela desigualdade de Chebychev sabemos que ( )P X kk

− < ≥ −µ σ 1 12

Então neste caso podemos determinar o valor de k do seguinte modo:

20 6 206

= × ⇒ =k k

Assim tem-se

( ) ( )P X P X− < ≥ −

⇔ − < ≥100 20 1 620

100 20 0 912

.

0.91 é um limite inferior para aquela probabilidade.

12. Sabemos pela desigualdade de chebychev que

( )P X kk

− < ≥ −µ σ 1 12

Neste caso o valor de k pode ser imediatamente determinado

1 1 0 975 6 3242− = ⇔ =k

k. ,

Vamos definir a seguinte variável aleatória

=contrário caso 0

afalsificad está garrafa a se 1X

X é uma variável aleatória Bernoulli na qual µ=p=0.05 e σ2=p(1-p)=0.05×0.95

975.005.01000 1000

1000

1 ≥

<−∑

= σkX

P ii

A proporção com que estamos a trabalhar é uma média e, como sabemos, a média

amostral X é uma variável aleatória com média n

a variâncie 2σ

µ

55

000475.0324.6

a igual vemmaximo desvio o

000475.01000

95.005.02

10002

×=

=×

==

σ

σσ

k

n

13. Se a variável X tem distribuição binomial então E[X] = np e V[X] = np(1-p) ou

seja

−=−=

4.0)1( mpnpmnp

resolvendo o sistema em ordem a n e p vamos obter os seguintes resultados:

=

=

4.0

4.0

2mn

mp

14. a) Pretende-se determinar a probabilidade de, numa amostra de 15 pessoas, 7

considerarem que a integração tem reflexos positivos. Isto é uma aplicação da distribuição binomial, pois considerando que o universo (região) é infinito, a probabilidade de sucesso é p = 0.6, e n = 15. Assim, considerando a variável aleatória X que representa o número de pessoas com opinião positiva acerca da integração na amostra de 15 pretende-se P(X=7).

1180.000065536.00279936.06435)4.0()6.0()7( 8715

7=××=

==XP

b) Esta alínea é idêntica à anterior considerando agora que sucesso é ter uma opinião

negativa acerca da integração. Seja então Y a variável aleatória que representa o número de pessoas que considera que a integração vai ter reflexos negativos numa amostra de 10. Tem-se p = 0.4 e n = 10

3822.02150.01209.00403.00060.0)3()2()1()0()3( =+++==+=+=+==≤ YPYPYPYPYP

c) Nesta alínea estamos na presença de um universo finito (15 empregados) e

sabemos também quantos, no universo, têm opinião favorável e desfavorável relativamente à integração na moeda única. A selecção dos indivíduos é realizada

56

sem reposição(extracção simultânea). À variável aleatória vamos chamar W e representa o número de empregados com opinião favorável na amostra de 2. A distribuição indicada para este problema é a distribuição hipergeométrica.

N = 15 B = 4 n = 2

419.0105

114)1(15

2

11

1

4

1 =×

=

==WP

15. a) Com as informações do enunciado facilmente se determina o valor de λ.

1!1!0

)1()0(10

=⇔=⇔=== −− λλλ λλ eeKPKP

b) Pretende-se determinar P( K ≥ 2).

+−=

=+=−=<−=+=+=+==≥

−− 11

10

!11

!011

))1()0((1)2(1.....)4()3()2()2(

ee

KPKPKPKPKPKPKP

c) Vamos definir K1, K2 e K3 como as variáveis que representam o número de

chamadas telefónicas que chega a cada uma das três centrais. Nesta alínea pede-se que, num mesmo período de 10 minutos, as três centrais recebam menos de 3 chamadas, isto é, P(K1<3 ∩ K2 <3 ∩ K3<3). As centrais funcionam independentemente, logo, a probabilidade da intersecção é igual ao produto das três probabilidades. Como as distribuições são iguais, é suficiente calcular, P(K <3).

P( K < 3) = P(K=0) + P(K=1) + P(K=2) = 0.9197. Então o resultado que se pede é

P(K1<3 ∩ K2 <3 ∩ K3<3) = (0.9197)×(0.9197)×(0.9197)=(0.9197)3

57


1. Consideremos a seguinte variável aleatória

X = Diferença entre o peso efectivo e o peso pedido de cada bolo Sabemos que a distribuição desta variável é normal com média igual a 10 e variância igual a 10.

a) A percentagem de bolos que não são vendidos é a proporção de bolos que ultrapassa os 50 gramas. Como a variável não tem distribuição normal standardizada , teremos de standardiza-la.

p X P X P X P Z

N

( ) ( ) ( , )

( , )

> = − ≤ = −−

≤−

= − < =

= − = − =

50 1 50 1 1010

50 1010

1 12 649

1 12 649 1 1 0

Concluímos então que todos os bolos são vendidos.

b) Pretende-se encontrar um valor w tal que P X w( ) .< = 0 95, isto é, pretendemos uma

diferença em que 95% dos casos os bolos sejam vendidos.

P X w P X w N w( ) . . .< = ⇔−

<−

= ⇔

−

=0 95 10

1010

100 95 10

100 95

Vamos então procurar o valor da variável normal standardizada que tem probabilidade igual a 0.95, assim, depois de consultar a tabela e procurar o valor de Z que tem probabilidade 0.95, temos o seguinte:

w w−= ⇔ = + =

1010

165 10 165 10 152177. . .

a diferença máxima é de 15.217 gramas.

2. A variável em estudo é a seguinte:

X = Diâmetro do eixo produzido por uma máquina

Sabemos que o eixo não é considerado defeituoso se µ -1.5σ ≤ X ≤ µ + 1.5σ e sabemos ainda que P(X<1.5) = 0.5 e que P(1.5 < X < 2.1) = 0.45

58

a) A distribuição normal é uma distribuição simétrica com centro de simetria em µ, o que quer dizer que P(X<µ)=P(X>µ)=0.5, assim, pelo que nos é dado, podemos concluir que a média é igual a 1.5.

Falta agora determinar o valor de σ, que podemos fazer utilizando a segunda igualdade que nos é dada.

P( X P Z

P Z

15 21 0 45 15 15 21 15 0 45

0 0 6 0 45

. . ) . . . . . .

. .

< < = ⇔−

< <−

=

⇔ < <

=

standardizando σ σ

σ

⇔

− = ⇔

− = ⇔

= ⇒ = ⇔ =N N N N0 6 0 0 45 0 6 0 5 0 45 0 6 0 95 0 6 165 0 3636. ( ) . . . . . . . . .σ σ σ σ

σ

b) Determinar a probabilidade de ser defeituoso é agora simples P X P x P X

P Z P Z N N

( . . ) ( . . . . . . ) ( . . ). .

.. .

.( . . ) ( . ) ( . ) . . .

µ σ µ σ− < < + = − × < < + × = < < =

=−

< <−

= − < < = − − = − =

15 15 15 15 0 3636 15 15 0 3636 0 9546 2 04540 9546 15

0 36362 0454 15

0 363615 15 15 15 0 9332 0 0668 0 8664

3. Distribuição uniforme. Embora o gráfico denote algumas diferenças entre as

frequências relativas das classes, isso deve ser atribuído a flutuações, atribuíveis à aleatoriedade da escolha.

Com efeito, todas as outras alternativas são de excluir visto que a normal deveria gerar observações conduzindo a um gráfico simétrico com valores concentrados no centro e a exponencial e gama deveriam gerar observações conducentes a histogramas assimétricos.

4. Seja N= «Número de julgamentos realizados num dia escolhido ao acaso».

T= «Duração do tempo entre dois julgamentos».

Uma vez que se afirma que N tem distribuição de Poisson, segue-se que T tem distribuição exponencial: quando um fluxo de acontecimentos ocorre de acordo com uma distribuição de Poisson, então os tempos entre acontecimentos têm distribuição exponencial.

Isto é, se P N i ei

i

( )!

= =−λ λ , i= 0, 1, 2, ...

então P (T < t)= 1 − −e tλ .

59

No nosso caso, λ= 3/dia. Este dia, é um dia de trabalho (7 horas). Uma vez que o julgamento começou às 14 horas, pretende-se a probabilidade de que ele dure menos do que 18h - 14h= 4 horas.

Ora, 4 horas num dia de 7 horas representa 47

0 57= . dia.

Então, a questão a resolver é calcular P (T < 0.57)= 1 13 0 57 171− = −− × −e e. . .

5. A resposta certa seria b) visto que a normal seria simétrica e as outras duas estão

excluídas por corresponderem a casos discretos, quando a v. a. X é claramente do tipo contínuo.

6. Seja T= «Tempo necessário à legalização de uma empresa no país em questão».

Então, T= T1 + T2 + T3.

Esta v. a. T é uma soma de três exponenciais independentes.

E(T)= E(T1) + E(T2) + E(T3)= δ1 + δ2 + δ3= 3 meses + 2 meses + 24

meses,

admitindo que um mês tem 4 semanas = 5.5 meses.

Var(T)= Var(T1) + Var(T2) + Var(T3) (dada a independência) = δ δ δ1

222

32+ +

(o que constitui resposta à c)).

Por outro lado, por considerações teóricas, sabe-se que a soma de exponenciais independentes é uma Gama de parâmetros (3, δ).

7. T= T1 + T2 +...+ T20, em que T1,..., T20 são os tempos aleatórios para elaborar cada

uma das perguntas.

Então, T é uma soma de 20 v. a. independentes com distribuição exponencial de

parâmetros λ = 10 5.

= 2, já que δ = 30 minutos ⇔ δ = 0.5 horas.

Isto significa que T Tii

==∑

1

20

tem distribuição Gama de parâmetros r= 20, λ = 2.

60

Pretende-se agora calcular FT(15)= P (T ≤ 15).

8. Considere-se a seguinte variável aleatória

X = Altura, em metros, que o atleta atinge cada vez que salta

Se X tem distribuição N(µ,σ2) então a variável aleatória Z definida do seguinte modo:

ZX

=− µσ

tem distribuição N(0,1). Assim teremos ainda que X2= Z2 terá

distribuição de qui-quadrado com n=1 grau de liberdade. Como X2 é, por sua vez, um caso particular da gama com λ = 1

2 e η = =n2

12 vamos ter o seguinte: (

consultando a tabela da distribuição Gama) P X P X P V( ) ( ) ( ) .2 22 1 2 1 1 01573> = − < = − < =

9. Seja T1 + T2 +...+ T500 o tempo necessário para ver todas as provas.

Então, uma vez que Ti (i= 1...500) são v. a. todas com a mesma média e variância, é aplicável o TLC.

Isto é: T ~ N (500 × 0.5, 500 × 0.1)= N (250, 50).

Em oito dias úteis há 8 × 8h= 64 horas de trabalho.

Sendo razoável que, dada a urgência, o professor trabalhe 15 horas por dia, o tempo disponível seria 8 × 15= 90 horas.

A questão é, calcular Prob (T ≤ 90h).

Se esta probabilidade for elevada (mais que 0.7, por exemplo) seria razoável pedir o esforço aos professores.

Prob (T ≤ 90)= Prob T −≤

−

=

25050

90 25050

0 .

Logo, o pedido é completamente inaceitável.

10. A variável aleatória que estamos a estudar é a seguinte:

X= “ Tempo gasto por cada costureira com a feitura integral de um casaco”

61

O tempo que demora a fazer os 1200 casacos vamos designar por T1200, e é o seguinte:

T Tii

12001

1200

==∑

onde cada Ti é o tempo de feitura de cada um dos 1200 casacos. seja n o número de costureiras. Queremos que este tempo seja, no máximo, igual ao total de horas que as n costureiras trabalham por semana, que é 40×n horas, com probabilidade 0.975, isto é,

P T n( ) .1200 40 0 975≤ =

Como 1200 é um número grande temo que a distribuição de T1200 é aproximadamente normal com média µ=1200×4=4800 e σ2 = 1200×16 Assim temos:

P(T n P Z n

n n

1200 40 40 480016 1200

0 975

40 1204 1200

196 126 7 127

≤ ≈ ≤−×

=

−= ⇔ = ≈

) .

( ) , ,

depois de termos standardizado a variavel

O valor 1,96 foi obtido procurando na tabela da distribuição normal standardizada o valor de z a que corresponde a probabilidade 0,975. O número de costureiras deve ser 127.

11. A variável em estudo é X = Custo de manutenção semanal de cada máquina

X tem distribuição U(0;20)

[ ] [ ]E X V X= = = =202

10 2012

40012

2 e

Queremos calcular a probabilidade de o custo de manutenção das 5 máquinas durante as 52 semanas ultrapassar os 2000 contos de verba. Vamos definir as seguintes variáveis aleatórias

Xij é o custo de manutenção da máquina i na semana j. i=1,2,..5 ; j=1,2,3,...,52

O custo anual irá corresponder à soma destas variáveis

62

Y Xijji

===∑∑

1

52

1

5. Como n é grande podemos usar o teorema do limite central e

concluir que Y tem aproximadamente distribuição ( )N 2600 1040012,

Assim P(Y P Z N> = >−

= − − =2000 2000 2600 1 20 38 1

1040012

) ( . )

12. a) Trata-se de uma soma de pesos que são independentes e igualmente distribuídos

assim, como o elevador transporta sempre 100 pessoas, a distribuição da variável aleatória X é uma variável aleatória com distribuição Normal em que a média é a soma das 100 médias e a variância é a soma das 100 variâncias.

1001000010000100

700070

100

1i

2

100

1i

==σ==σ

==µ

∑

∑

=

=

é padrão desvio o

b) 8 toneladas correspondem a 8000 Kg

Pretende-se então calcular P(X < 8000)

1)10(N)100

70008000Z(P)8000P(X ==−

<=<

13. a)

a1) A função de probabilidade marginal de X é dada por

P X x P X x W wi i jj

( ) ( , )= = = ==∑

1

3 com

i=1,2,3 e onde P(X=xi ,W=wj ) é a função de probabilidade conjunta de X e W. Assim, tem-se:

P X

P X

P X

( )

( )

( )

= = + =

= = + =

= = + + =

1

2

3

19

19

29

13

16

12

118

19

19

518

63

Para a função de probabilidade de W vamos ter analogamente

P W w P X x W wj i ji

( ) ( , )= = = ==∑

1

3 com j=1,2,3 e consequentemente vem

P W

P W

P W

( )

( )

( )

= = + =

= = + =

= = + + =

1

2

3

19

118

318

13

19

49

19

16

19

718

Estes resultados podem, de forma equivalente, ser obtidos ampliando o quadro da função de probabilidade conjunta, ou seja, calculando os totais por linha e por coluna

W\X 1 2 3 P(W=w)

1 1/9 0 1/18 3/18 2 0 1/3 1/9 4/9 3 1/9 1/6 1/9 7/18

P(X=x) 2/9 1/2 5/18

a2) Para calcular esta probabilidade é necessário determinar todos os casos para os quais a soma de X com W é inferior ou igual a quatro, assim, vamos ter

P X W P X W P X W P X W P X W

P X W P X W

( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , )

+ ≤ = = = + = = + = = + = = +

+ = = + = = = + + + =

4 1 1 1 2 1 3 2 1

2 2 3 1 19

19

13

118

1118

a3) Por definição de função de probabilidade condicionada temos

P X xi W wjP X x W w

P W wi j

j( / )

( , )

( )= = =

= =

=

Neste caso tem-se W=2, então,

P X W P X WP W

P X W P X WP W

P X W P X WP W

( / ) ( , )( )

( / ) ( , )( )

//

( / ) ( , )( )

//

= = == =

==

= = == =

== =

= = == =

== =

1 2 1 22

0

2 2 2 22

1 34 9

912

3 2 3 22

1 94 9

14

a4) [ ]E X W x P X x Wi ii

/ ( / )= = = = = × + × + × ==∑2 2 1 0 2 39

1214

2712

1

3

64

a5) [ ] [ ] [ ]( ) ( )V X W E X W E X W/ / /= = = − = = × + × + × − =2 2 2 1 0 4 92 2 912

14

2712

2

a6)

P X W ser par P X W P X W P X W P X W

P X W

( . ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

( , )

= = = + = = + = = + = = +

+ = = = + +

1 2 2 1 2 2 2 3

3 2 13

16

19

a7)

P(W X W P(W XWP( XW

P(W X P(W X P(W X

= ≤ == ≤

≤=

== = + = = + = =

+ + +=

+ ++ + +

=

2 4 2 44

2 1 2 2 2 3 019

13

118

19

13

19

19

13

118

19

/ . ) , ))

, ) , ) , )

b) As variáveis só são independentes se para todos os valores de X e W se verificar

que a probabilidade conjunta é igual ao produto das funções de probabilidade marginais. Neste caso, facilmente verificamos que as variáveis não são independentes pois tem-se que

P X W P X P W( , ) ( ) ( )= = ≠ = × = ⇔

≠ ×

1 2 1 2

0 29

49

14. a) Como a extracção é sem reposição e o nº de baterias de cada tipo é conhecido e

finito, a distribuição em causa será uma distribuição semelhante à hipergeométrica. A diferença reside no facto de não dispormos apenas de provas em que só existe um tipo de sucesso. Neste caso ter-se –á

===

−−

−−

N

n

BAN

yxn

B

y

A

xy)x,YP(X

em que N = nº total de baterias = 12 A = nº total de baterias novas = 3 B = nº total de baterias usadas mas funcionando. n = nº de baterias seleccionadas = 2 X pode tomar os valores 0 (não se selecciona nenhuma das baterias novas), 1 ou 2 e Y também pode tomar os valores 0, 1 ou 2.

65

impossível)2Y,2X(P

impossível)1Y,2X(P663)0Y,2X(P

impossível)2Y,1X(P6612)1Y,1X(P

6615)0Y,1X(P

666)2Y,0X(P

6620)1Y,0X(P

6610)0Y,0X(P

12

2

5

0

4

0

3

2

12

2

5

0

4

1

3

1

12

2

5

1

4

0

3

1

12

2

5

0

4

2

3

0

12

2

5

1

4

1

3

0

12

2

5

2

4

0

3

0

===

====

===

====

===

=

====

===

=

====

===

Os casos impossíveis devem-se ao facto de a soma de X com Y ser superior a duas baterias, que é o nº de baterias seleccionado A distribuição conjunta de X e Y é, resumindo num quadro, a seguinte:

Y \ X 0 1 2 0 10/66 15/66 2/66 1 20/66 12/66 0 2 6/66 0 0

b) Pretende-se calcular a seguinte probabilidade: P( X = 0 | Y =1)

6632

6612

6620)2X,1Y(P)1X,1Y(P)0X,1Y(P)1Y(P =+===+==+====

(Note-se que P(X = x, Y = y) = P( X=x ∩ Y = y) )

66

Então

3220

)1Y(P)1Y,0X(P)1Y|0X(P =

===

===

c) As variáveis não são independentes pois existe pelo menos um valor de X e Y para

os quais se tem que o valor da função de probabilidade conjunta é diferente do produto entre as funções marginais de X e Y. Por exemplo,

6632)1Y(P

66200

662)2X(P ===++== e

Por outro lado 0)1Y,2X(P === Daqui facilmente concluímos que as variáveis não são independentes pois

6632

6620 ×≠

d) A correlação mede o grau de associação linear entre as duas variáveis X e Y e é

igual a 2y

2x

)Y,X(Covσσ

=ρ . Neste caso a correlação será também negativa o que indica

que o crescimento de uma das variáveis implica uma diminuição dos valores da outra decrescimento da outra.

15. Seja o par de variáveis aleatórias (X, Y).

f x y eXYx y( , ) = − +2 2 , x, y ≥ 0.

Esta expressão pode escrever-se na forma: f x y e e f x f yXY

x yX Y( , ) ( ) ( )= = ×− −2 2 ,

com f x eX

x( ) = − x ≥ 0 f y eY

y( ) = −2 2 y ≥ 0

Vê-se, assim, que a função de densidade conjunta é o produto das funções de densidade. Logo, as variáveis do par (X,Y) são independentes. Se duas v. a. são independentes, a respectiva covariância é nula e, portanto, a correlação entre elas é também nula.

67

TESTES FORMATIVOS II

69


Justifique todas as afirmações e apresente os cálculos realizados para as obter 1. Complete a seguinte tabela de frequências justificando os resultados :

xi ni Ni fi Fi A 12 B 0.36 C 40 0.8 D

2. Numa escola foram registados a idade (em meses) e o sexo de 19 crianças, sendo

os resultados os seguintes:

Criança Idade (meses) Sexo 1 109 F 2 113 M 3 115 F 4 115 F 5 119 M 6 120 M 7 121 M 8 124 F 9 126 M

10 129 F 11 130 M 12 133 M 13 134 F 14 135 M 15 137 F 16 139 M 17 141 F 18 142 M 19 144 M

a) Classifique os dados recolhidos para cada criança. Para qual deles é possível estabelecer uma relação de ordem?

70

b) Represente num diagrama de caule-folhas os dados correspondentes à idade da criança.

c) Calcule a média, moda e mediana para as crianças do sexo feminino e para as

do sexo masculino. d) Represente o gráfico de extremos quantis para os dois sexos e faça um estudo

comparativo. 3. Ainda relativamente à escola do exercício anterior mediram-se e pesaram-se 18

crianças, tendo sido os resultados os seguintes:

Criança Altura (cm) Peso(Kg) 1 137.6 40.2 2 147.8 42.5 3 136.8 35.8 4 140.7 40.0 5 132.7 36.6 6 145.4 39.5 7 135.0 34.2 8 133.0 33.0 9 148.5 44.3

10 148.3 42.8 11 147.5 40.9 12 148.8 39.6 13 133.2 32.5 14 158.7 50.3 15 152.0 52.0 16 150.6 48.5 17 165.3 53.4 18 149.9 45.0

a) Construa o gráfico de dispersão que relaciona a altura com o peso das crianças.

Comente. b) Represente num histograma as alturas das crianças. Determine a amplitude

amostral, a média e o desvio padrão. c) Utilize a coluna das frequências relativas acumuladas para calcular a

frequência relativa da 3ª classe.

71

4. Os jogadores de duas equipas de futebol, cada uma com 20 elementos (contando com todo o plantel disponível), foram submetidos a uma prova e obtiveram resultados medidos na escala de 1 a 4, a que corresponde a seguinte tabela de frequências:

Eq. A Eq. B

Resultado fi Fi fi 1 0.2 0.05 2 0.55 0.3 3 0.5 4 0.2 1 0.15

a) Complete a tabela de frequências para a equipa A. b) Indique o primeiro decil da equipa A e a mediana da equipa B. c) Qual a equipa que apresenta maior moda? Justifique. Qual é a frequência

absoluta ni da moda de cada uma das equipas? d) O desvio padrão é uma medida da dispersão das observações que pode ser

calculado por diferentes fórmulas. Entre estas estão 2

1

2 xfxsn

iii −= ∑

=

e

∑=

−=n

iii fxxs

1

2)( .

Calcule o desvio padrão dos resultados da equipa B e diga se os dados são muito ou pouco dispersos.

e) Suponha que se escolhe ao acaso um dos quatro resultados possíveis para cada uma das equipas. Para qual das equipas é maior a incerteza?

5. Pensa-se que uma nova política de vendas de um stand de automóveis tem sucesso

em 60% das situações. A probabilidade de que a despesa para o desenvolvimento da estratégia necessária seja mantida dentro dos limites do orçamento previsto é 0.5. A probabilidade de ambos os objectivos serem alcançados é 0.3.

a) Qual a probabilidade de pelo menos um objectivo ser atingido? b) Qual a probabilidade da nova política ter sucesso quando a despesa de

implementação se mantém dentro dos limites orçamentais?

72

6. Em determinada zona balnear existem três telefones públicos situados em locais distintos de modo a satisfazer o público. Após uma análise, concluiu-se que as probabilidades dos telefones T1, T2 e T3 se encontrarem avariados são 0.2, 0.15 e 0.25 respectivamente, e que os telefones se avariam independentemente uns dos outros.

a) Sabendo que ao observar o três telefones foram detectados dois com avarias, calcule a probabilidade de um deles ser o telefone T1.

b) Considera-se que o grupo dos três telefones satisfaz minimamente o serviço na

zona quando pelo menos dois estão em funcionamento sem avarias. Qual a probabilidade de que pelo menos dois desses telefones estejam em funcionamento? Acha que a zona está bem servida de telefones? Justifique.

7. A Escola “Ensino do Futuro” abriu concurso para admissão de professores. Das 80

candidaturas recebidas, 40 possuíam somente experiência anterior, 30 possuíam somente certificado profissional e 10 possuíam ambos (experiência anterior e certificado profissional)

a) Qual é a probabilidade de que um candidato aleatoriamente escolhido tenha experiência anterior ou certificado profissional?

b) Qual a probabilidade de que um candidato aleatoriamente escolhido tenha

experiência anterior ou certificado mas não ambos? c) Seleccionou-se ao acaso uma das 80 candidaturas e verificou-se que o

candidato possuía experiência anterior. Qual a probabilidade de ter também certificado profissional?

8. Para analisar a viabilidade do alargamento da sua rede de balcões, uma instituição

bancária estudou o comportamento da sua clientela e a capacidade das 100 agências actualmente existentes no País ( 60 na zona Norte, 30 na zona Sul e 10 na zona Centro). A percentagem de reclamações recebidas pelo banco devido ao tempo de espera nos balcões, relativamente a cada zona, é de 5% para a zona Norte, 3% para a zona Sul e 4% na zona Centro.

73

a) Qual a probabilidade de o banco receber uma reclamação vinda de qualquer ponto do país?

b) A instituição bancária recebe uma nova reclamação. Qual a probabilidade de

ser proveniente da zona Sul? 9. A secção de documentação de determinada empresa tem três funcionárias que

cometem, por vezes, determinados erros de arquivo. A percentagem total de documentos arquivados e a percentagem de erros de arquivo, devidas a cada uma das funcionárias, distribuem-se do seguinte modo:

Funcionária Papel arquivado

Erro

Maria 25% 3% Ana 55% 2%

Teresa 20% 3%

a) Qual a probabilidade de, escolhendo um documento ao acaso, ter sido cometido um erro de arquivo?

b) Tendo sido detectado um erro de arquivo, qual a probabilidade de ter sido

cometido pela Teresa?

75


Justifique todas as afirmações e apresente os cálculos realizados para as obter 1. Considere a variável aleatória X que representa o número de computadores que

chegam diariamente a uma oficina de reparação. Esta variável tem a seguinte função de probabilidade:

x 0 1 2 3 4 5 P(X=x) 0.2 3k 0.2 0.1 k k

a) Calcule o valor de k. b) Supondo que, por cada computador reparado, a oficina tem um lucro de 6000

escudos, qual o lucro diário esperado pela oficina, no que respeita às reparações de computadores?

c) Qual a probabilidade de, num dia escolhido ao acaso, chegarem à oficina mais

de 3 computadores para reparação? 2. O número de unidades vendidas diariamente de determinada marca de automóveis

tem a seguinte distribuição de probabilidade:

Sabe-se que: O preço de venda de cada automóvel é de 3500 contos e o custo de produção de cada automóvel é de 1000 contos. a) Qual a probabilidade de, num dia escolhido ao acaso, terem sido vendidos no

máximo 2 automóveis? b) Qual o valor esperado do número de automóveis vendidos diariamente?

5 4, 3, 2, ,1 ,0 2.08.0)( 55

=

== − xxXP xx

x

76

c) Calcule a probabilidade de, num determinado dia, o lucro desta marca de automóveis ser de pelo menos 5000 contos.

3. Um fabricante de chocolates utiliza duas máquinas para produzir e empacotar

bombons. Ao fim de muito tempo de funcionamento, descobriu-se que uma dessas máquinas, que produziu 40% do total, tinha um defeito conducente à introdução de impurezas em 10% dos bombons por ela fabricados.

a) Da produção diária escolheu-se um bombom ao acaso e procedeu-se à sua análise. Se esse bombom não contiver impurezas qual a probabilidade de ter sido produzido pela máquina com defeito?

b) Os bombons são empacotados em embalagens de 10 unidades. De uma só caixa

retiraram-se dois bombons. Qual a probabilidade de os dois conterem impurezas?

c) Qual a probabilidade de ser necessário analisar 3 bombons da produção diária

até encontrar o primeiro com impurezas? 4. Um entreposto com capacidade para armazenar 80 toneladas de cimento é

abastecido todos os dias por um comboio que o enche durante a noite. Ao entreposto dirigem-se diariamente camiões com capacidade para transportar 20 toneladas cada, de acordo com uma distribuição Poisson com parâmetro λ = 3 por dia. Admita que, se houver cimento, cada camião será carregado até ao limite da sua capacidade. a) Qual a probabilidade de, num dia, o entreposto esgotar o seu stock de cimento? b) Qual a probabilidade de em 20 dias serem transportadas pelos camiões pelo

menos 1500 toneladas de cimento? c) Determine a função de probabilidade da variável aleatória X que representa a

quantidade de cimento, em toneladas, transferida durante a noite do comboio para o entreposto.

77

5. Numa fábrica de produção de tintas existem várias máquinas de enchimento do mesmo tipo. O número de máquinas que se avariam por mês é uma variável aleatória com distribuição de Poisson de variância igual a 2.

a) Calcule a probabilidade de se avariar no máximo uma máquina por mês. b) A própria empresa dispõe de uma oficina de reparação dessas máquinas, sendo

necessário 3 empregados a trabalhar simultaneamente na mesma máquina para a reparar. Quantos empregados deverão estar, no mínimo, afectos à oficina de reparação para que a probabilidade de não haver máquinas a aguardar reparação seja, pelo menos, 0.95?

c) Admitindo que o custo de reparação de cada máquina é de 100 000$00, calcule

a probabilidade de, num mês, o custo total em que a empresa incorre com a reparação das máquinas ser inferior a 300 0 000$00.

79


Justifique todas as afirmações e apresente os cálculos realizados para as obter 1. Na empresa P&E o montante diário de vendas de dois dos seus vendedores segue

uma lei Normal, cujos parâmetros são, respectivamente, média µ=100 contos e desvio padrão σ=12 contos para o vendedor A, e µ= 70 contos e σ=4 contos para o vendedor B. As vendas realizadas por A e B são independentes

a) Qual a probabilidade de, num dia, o vendedor A realizar vendas num montante inferior a 124 contos?

b) Qual a probabilidade de, numa semana (5 dias úteis), os dois vendedores

realizarem em conjunto vendas num montante superior a 940 contos? 2. Sabe-se que os montantes diários de vendas realizadas via Internet por uma

determinada marca de brinquedos são bem modelados pela distribuição Uniforme no intervalo [100 , 200] (em contos). a) Qual a probabilidade de escolhida uma venda ao acaso esta apresentar um valor

inferior a 125 contos? b) Obteve-se uma amostra aleatória de 50 montantes de vendas. Determine,

justificando, a probabilidade aproximada de que o total desses 50 montantes exceda 5500 contos.

80

3. Suponha que a variável aleatória T que representa o número de horas de trabalho sem falha de um dispositivo segue uma distribuição exponencial com λ = 0.03.

a) Determine a probabilidade de o dispositivo trabalhar 100 horas, no mínimo, sem falha?

b) Sabendo que o dispositivo não falhou nas primeiras 100 horas, qual a

probabilidade de o dispositivo trabalhar sem falha, no máximo, mais 50 horas?

4. O Francisco encontra-se na cidade A e pretende deslocar-se para a cidade B e tem

à sua disposição três transportes alternativos, T1, T2 e T3. A distribuição dos tempos de viagem para cada tipo de transporte é Normal com respectivos valores médios (em minutos) e variâncias:

T1 → N(30, 9) T2 → N(32, 6) T3 → N(28, 4)

a) Qual a probabilidade de o Francisco demorar mais de 36 minutos se escolher o transporte T1?

b) Qual o meio de transporte que aconselha ao Francisco, quando o tempo

disponível para a viagem é de 30 minutos? 5. O comprimento de certa espécie de peixe é uma variável aleatória com distribuição

normal, com média igual a 25 cm e desvio padrão igual a 10 cm. a) Qual a probabilidade de um pescador pescar um peixe de comprimento inferior

a 35 cm? b) Qual a probabilidade de a soma dos comprimentos de 10 peixes pescados pelo

pescador ultrapassar os 2 metros? c) Qual a probabilidade de, em 3 peixes seleccionados ao acaso, haver

exactamente 1 com comprimento inferior a 35 cm?

81

6. Como sabe, um resultado muito importante em Probabilidades e Estatística é o

teorema do limite central que mostra o seguinte: quando o número de parcelas de uma soma (Sn) de variáveis aleatórias independentes, todas com a mesma distribuição, é suficientemente grande, a distribuição desta soma é aproximadamente normal.

a) Use este resultado para determinar a distribuição da soma de 200 variáveis aleatórias independentes todas com distribuição exponencial com parâmetro λ = 0.5. Indique também a média e a variância da soma resultante.

b) Transforme a variável anterior numa variável normal standardizada (não é necessário calcular probabilidades).

7. Considere a seguinte tabela:

X Y

0

1

2

P(Y=yi)

2 0.05 a 0.1 d 3 0.1 0.4 0.2 0.7 4 0.03 0.07 b e

P(X=xi) 0.18 c 0.33

a) Determine a, b, c, d e e por forma a obter a descrição completa da função de probabilidade conjunta de X e Y, e das funções de probabilidade marginais de X e de Y respectivamente.

b) Qual a probabilidade de X ser inferior a 2, sabendo que Y é igual a 3? c) Diga se as variáveis são independentes. Justifique.

83

RESOLUÇÃO DOS TESTES FORMATIVOS II

85


1. A tabela de frequências completa é a seguinte:

xi ni Ni fi Fi A 12 12 0.24 0.24 B 18 30 0.36 0.6 C 10 40 0.2 0.8 D 10 50 0.2 1

O valor de N (nº total de observações) é facilmente obtido se relembrarmos que

50408.0 =⇔=⇒= NNN

NF i

i

Por outro lado, também temos que Nn

f ii = , o que faz com que, para a Categoria

C, se obtenha a seguinte frequência absoluta: 1850

36.0 =⇔= ii n

n. Os restantes

valores obtêm-se facilmente. 2. a) A idade é do tipo quantitativo e o sexo é uma variável do tipo qualitativo. É

possível estabelecer uma relação de ordem apenas para a idade das crianças. b) Utilizando a regra sugerida pelo manual, vamos determinar o nº de linhas do

gráfico.

[ ] [ ] 127875.1219log10 10 ==×=L (parte inteira do número) A amplitude total é R = 144 – 109 = 35. O comprimento de cada linha é

determinado por 9167.21235

==LR . Este é um valor pouco prático, pois é difícil

distribuir 2,9167 unidades em cada linha. Então, o processo habitualmente utilizado é arredondar este valor à potência de 10 mais próxima ( 101=10, 102 = 100 ). Esta regra aponta o valor 10 ( é o valor mais próximo de 2.9167) para comprimento do intervalo em cada linha. Assim, o gráfico de caule-folhas será

10 9 11 3 5 5 9 12 0 1 4 6 9 13 0 3 4 5 7 9 14 1 2 4

86

Como o comprimento de cada linha é de 10 unidades, verificamos que na primeira linha são distribuídos os valores de 100 a 109, na segunda linha os valores de 110 a 119, etc...

c) Crianças do sexo masculino

– cálculo da média N=11

meses 27.12911

144142139135133130126121120119113=

++++++++++=x

– mediana O número de observações é ímpar logo a mediana é o valor central que pode ser determinado pelo termo de ordem (n + 1)/2

62

122

1==

+n A mediana é o sexto valor, estando os dados ordenados, e

corresponde à idade de 130 meses. - moda Neste caso não existe moda única uma vez que todos os valores aparecem uma única vez.(plurimodal) Crianças do sexo feminino - média N = 8

meses 5.1258

141137134129124115115109=

+++++++=x

- mediana O número de crianças do sexo feminino é par, assim, a mediana é a média dos dois valores centrais que são os termos de ordem n/2 e (n/2) + 1. Então a mediana é a média aritmética dos 4º e 5º valores.

5.1262

1291242

5 4 =

+=

+=

observaçãoobservaçãomediana

– moda

87

A moda é a idade de 115 meses pois é o valor que aparece mais vezes (2 observações)

d) Crianças do sexo masculino

Mínimo - 113 Máximo – 144 1º Quartil Valor que acumula 25% das observações quando ordenadas, ou de outra forma, como n é ímpar, é o valor de ordem (n + 1)/4 = 12/4 = 3. Assim o primeiro quartil é a terceira observação estando estas ordenadas e corresponde a 120 meses 2º quartil – mediana = 130 (observação de ordem (n + 1)/2)

3º quartil – abrange 75.043

= (75%) do total

91243)1(

43

=×=+n A observação número 9 corresponde a 139 meses.

Crianças do sexo feminino Mínimo – 109 Máximo – 141 1º quartil – como n é par calcula-se a média dos valores de ordem n/4 e (n/4)+1, ou seja, as observações nº 2 e nº3.

1152

115115=

+

2º quartil – mediana = 126.5 – como n é par é a média aritmética dos valores de ordens n/2 e (n/2 + 1). 3º quartil- determina-se a média aritmética dos valores de ordens

71843 e 68

43

=+

×=× . Temos então

5.1352

137134=

+

gráfico de extremos quartis é o seguinte:

88

Conclusão: a idade das crianças do sexo feminino tende a apresentar valores um pouco mais baixos do que as do sexo masculino. A dispersão das idades é idêntica para os dois casos.

3. a) O gráfico de dispersão que relaciona a altura com o peso da criança é o seguinte:

Gráfico de dispersão

20

25

30

35

40

45

50

55

60

125 135 145 155 165

Altura (cm)

Peso

(Kg)

A relação que existe entre o peso e a altura poderá ser bem aproximada por uma relação linear com declive positivo, isto é, para alturas mais elevadas correspondem pesos também mais elevados e vice versa.

b) Histograma dos dados referentes às alturas.

N = 18 Mínimo = 132.7 Máximo = 165.3 Amplitude amostral (ou amplitude total) = Máx – Mín = 165.3 – 132.7 = 32.6

144142140138136134132130128126124122120118116114112110108

M F

89

Utilizando a regra sugerida pelo manual para determinar o nº de classes, teremos de encontrar um valor para k tal que 2k ≥ 18. 25 = 32 ≥ 18 então teremos k = 5 classes.

Amplitude de cada classe - 752.65

32.6 classes de nº

amostral amplitude≈==

Tomando o valor mínimo das observações como limite inferior da primeira classe podemos construir a tabela de frequências que será muito útil na resolução das restantes questões.

Classes ni fi Ni Fi Centro xi 2)( xxi − fi [132.7,139.7) 6 6/18 6 6/18 136.2 31.96

[139.7,146.7) 2 2/18 8 8/18 143.2 0.823

[146.7,153.7) 8 8/18 16 16/18 150.2 8.13

[153.7,160.7) 1 1/18 17 17/18 157.2 7.07

[160.7,167.7) 1 1/18 18 1 164.2 18.56

Centro da 1ª classe 2.1362

7.1397.132=

+

Para os centros das restantes classes, o raciocínio é análogo O histograma dos dados é o seguinte:

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0,45

0,5

[132,7,139.7) [139.7,146.7) [146.7,153.7) [153.7,160.7) [160.7,167.7)

No eixo vertical encontram-se as frequências relativas e no horizontal as classes.

Média dos dados em classes 922.1455

1

== ∑=i

ii fxx

Desvio padrão :

90

Variância – s2 = 31.96+0.823+8.13+7.07+18.56 = 66.54 Então temos s = 15738.854.66 =

c) A frequência relativa desta classe é dada pela diferença entre a frequência relativa

acumulada até essa classe e a freq. relativa acumulada até à classe anterior, ou seja

188

188

1816

=−

4. a) A tabela é completada recorrendo às definições de frequência relativa e

frequência relativa acumulada e não esquecendo que a soma de todas as frequências relativas, fi, tem de ser igual a 1.

Eq. A Eq. B Resultado fi Fi fi

1 0.2 0.2 0.05 2 0.35 0.5 0.3 3 0.25 0.8 0.5 4 0.2 1 0.15

b) O primeiro decil da equipa A é o resultado 1 pois é neste valor que se acumulam

pelo menos 10% do total. A mediana da equipa B é o resultado 3 pois é neste valor que se acumula 50% do total (calcular as frequências acumuladas).

c) A moda da equipa A é o resultado 2 pois é onde se observa a maior frequência

relativa. Analogamente determina-se a moda da equipa B que é 3. Assim a equipa B tem maior moda.

O valor da frequência absoluta é calculado a partir da seguinte fórmula Nn

f ii =

Para a equipa A 735.02020

35.0 =×=⇔= ii nn

Para a equipa B 105.02020

5.0 =×=⇔= ii n

n

d) Para a equipa B

Média 75.215.045.033.0205.01 =×+×+×+×=x

91

Desvio padrão

7666.05875.0)75.2()15.0165.093.0405.01( 2 ==−×+×+×+×=s A dispersão é de 0.766 unidades que não é um valor muito elevado quando comparado com a amplitude total de 4 unidades.

e) Uma medida da incerteza associada a uma experiência aleatória é a entropia, que

tem a expressão ∑−= ii ppH ln , onde ln representa o logaritmo natural ou de Neper e, neste caso, pi corresponde à frequência relativa de cada resultado. Vamos então calcular a entropia relativa à experiência de escolher ao acaso um resultado, para cada uma das equipas: Equipa A: H = – (0.2×ln0.2 + 0.35×ln0.35 + 0.25×ln0.25 + 0.2×ln0.2)

= – (– 0.3218 – 0.3674 – 0.3466 – 0.3218) = 1.3576 Equipa B: H = – (0.05×ln0.05 + 0.3×ln0.3 + 0.5×ln0.5 + 0.15×ln0.15)

= – (– 0.1498 – 0.3612 – 0.3466 – 0.2846) = 1.1422 A incerteza é maior na equipa A.

5. Vamos definir os seguintes acontecimentos:

A = “ A nova política tem sucesso “ B = “ A despesa mantém-se dentro dos limites do orçamento previsto” Pela análise do enunciado retiramos as seguintes informações: P(A) = 0.6 P(B) = 0.5 P(A∩B) = 0.3

a) Pretende-se determinar a probabilidade de pelo menos um objectivo ser atingido,

ou seja, a probabilidade de A ser atingido ou B ser atingido ou ambos simultaneamente. Isto corresponde ao acontecimento A∪B. Assim,

8.0)()()()( =∩−+=∪ BAPBPAPBAP

b) Neste caso queremos determinar P(A|B)

53

5.03.0

)()()|( ==

∩=

BPBAPBAP

92

6. a) Vamos definir os seguintes acontecimentos

T1: “ O telefone T1 está avariado” T 1: “ O telefone T1 está operacional” T2: “ O telefone T2 está avariado” T 2: “ O telefone T2 está operacional” T3: “ O telefone T3 está avariado” T 3: “ O telefone T3 está operacional” B: “2 telefones estão avariados” Sabemos as seguintes probabilidades: P(T1) = 0.2 P(T2) = 0.15 P(T3) = 0.25 P(T 1) = 1-0.2 = 0.8 P(T 2) = 1-0.15 = 0.85 P(T 3) = 1-0.25 = 0.75 Nesta primeira alínea pretendemos determinar P(T1|B) Haver exactamente dois telefones avariados é equivalente a avariar-se T1 conjuntamente com T2, ou avariar-se T1 conjuntamente com T3 ou avariar-se T2 conjuntamente com T3. Daqui vem que

095.0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()321()321()321()(=++=

∩∩+∩∩+∩∩=

TPTPTPTPTPTPTPTPTPTTTPTTTPTTTPBP

Nota: As avarias são independentes, logo, a probabilidade da intersecção é igual ao produto das probabilidades. Por outro lado, sabemos também que se os acontecimentos são independentes, os seus complementares também são. Então a probabilidade que se pede é a seguinte:

6842.0095.0065.0

)())321()321((

)()1()|1( ==

∩∩∪∩∩=

∩=

BPTTTTTTP

BPBTPBTP

b) Pelo menos dois dos telefones estarem em funcionamento é equivalente ao

seguinte

3875.075.085.02.075.015.08.025.085.08.0)3()2()1()3()2()1()3()2()1(

))321()321()321((

=××+××+××==++=

=∩∩∪∩∩∪∩∩

TPTPTPTPTPTPTPTPTPntosacontecimedosciaindependenpor

TTTTTTTTTP

A probabilidade de estarem pelo menos dois telefones em funcionamento na zona é de cerca de 0.39, aproximadamente 40%, o que penso ser uma taxa relativamente baixa e, por isto, não considero que a zona esteja bem servida de telefones.

93

7. Definindo os acontecimentos: A – Ter experiência anterior B – Ter certificado profissional A∩B – Ter experiência anterior e certificado profissional. Tem-se P(A) = 40/80 P(B) = 30/80 P(A∩B) = 10/80

a) 8060)()()()( =∩−+=∪ BAPBPAPBAP

b) 8010

8060)()( −=∩−∪ BAPBAP

c) 4010

)()()|( =

∩=

APBAPABP

8. O universo é constituído por três zonas disjuntas: Norte, Centro e Sul que formam

assim, uma partição de Ω. Considerando os acontecimentos N= “Zona Norte”

C= “Zona Centro” S= “Zona Sul” R= “Há reclamação”

a) Verificamos, pela análise do enunciado, que estamos em presença de um problema

de probabilidades condicionadas pois são conhecidas as probabilidades de cada zona e as probabilidades de haver reclamações, dadas as três zonas : P(N) = 60/100 = 0.6 P(C) = 0.1 P(S) = 0.3 P(R/N) = 0.05 P(R/C) = 0.04 P(R/S) = 0.03 Assim, a probabilidade de haver reclamações é P(R) = P(R/N)P(N) + P(R/C)P(C) + P(R/S)P(S) = 0.043

b) Pretende-se calcular a probabilidade P(S/R). Trata-se da aplicação directa do

teorema de Bayes

2093.0)(

)()/()/( ==RP

SPSRPRSP

94

9. Consideremos os seguintes acontecimentos: M – Papel arquivado pela Maria A – Papel arquivado pela Ana T – Papel arquivado pela Teresa E – Erro de Arquivo Do enunciado do problema obtêm-se os seguintes dados: P(M) = 0.25 (probabilidade (percentagem), do papel que é arquivado pela Maria, do total de papel arquivado) P(E/M) = 0.03 (esta é a probabilidade de existirem erros de arquivo devidos à Maria, ou de outra forma, a probabilidade de haver um erro de arquivo condicionado ao facto de se considerar a Maria) Analogamente tem-se P(A) = 0.55 P(E/A) = 0.02 P(T) = 0.2 e P(E/T) = 0.03.

a) O erro de arquivo poder ter origem em três fontes, assim, tem-se que

P(E) = P(E∩M) + P(E∩A) + P(E∩T). Como nos foram dadas as probabilidades condicionais temos: P(E) = P(E/M)P(M) + P(E/A)P(A) + P(E/T)P(T) = 0.25×0.03 + 0.55×0.02 + 0.2×0.03 = 0.0245.

b) Pretende-se determinar a probabilidade condicional P(T/E), isto é, a probabilidade

de que seja a Teresa a arquivar o papel, sabendo que, ou condicionados ao facto de que existe um erro no arquivo. Esta probabilidade é facilmente determinada recorrendo à regra de Bayes.

0245.003.02.0

)()()/()/( ×

==EP

TPTEPETP

95


1. a) Para que a tabela represente uma função de probabilidade de uma variável aleatória

é necessário que a soma de todas as probabilidades seja igual a 1. Assim,

1.011.02.032.0

==+++++

kkkk

b) O lucro diário é definido por 6000.X, isto é, o lucro por unidade a multiplicar pelo

número de unidades vendidas. O valor esperado do lucro será então dado por

[ ] [ ]

escudos 114009.16000)1.051.041.032.023.012.00(6000

6000.6000

=×=×+×+×+×+×+××=

×= XEXE

c) A probabilidade pretendida é P(X >3) = 0.1 + 0.1 = 0.2. 2. a) Pretende-se calcular P( X ≤ 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2), resultado que se

obtém substituindo directamente, na expressão dada, os valores 0, 1 e 2 em x. b) Fazendo uma observação mais atenta da expressão dada no enunciado, concluímos

que se trata da expressão da distribuição binomial com n = 5 e p = 0.8. O valor médio ou esperado é dado por E[X] = np. Então, o valor esperado de automóveis vendidos diariamente é 5×0.8 = 4.

c) Nesta questão devemos ter em conta que o lucro obtido em cada automóvel é igual

à diferença entre o preço de venda e o custo de produção, isto é, é de 2500 contos. Obter um lucro de pelo menos 5000 contos é equivalente a vender pelo menos dois automóveis, assim, a probabilidade pedida é dada por P(X ≥ 2) = P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) ou, usando o acontecimento complementar, P(X ≥ 2) = 1 – (P(X=0) + P(X=1))= 1 – (0.00032 + 0.0064) = 0.99328.

3. Trata-se de um exercício de probabilidades condicionadas. Definimos os seguintes

acontecimentos a partir das informações do enunciado:

96

Máquina1 P(M1) = 0.4 P(D/M1) = 0.1 P( D /M1) = 0.9 Máquina2 P(M2) = 0.6 P(D/M2) = 0 P( D /M2) = 1 D = Máquina com defeito (impurezas)

a) Nesta alínea pede-se )/1( DMP ,isto é, a probabilidade de ter sido produzido pela

Máquina 1 sabendo que (ou condicionado ao facto de) não tem defeito. Esta probabilidade pode ser calculada recorrendo ao teorema de Bayes.

375.0)(

)1()1/()/1( ==DP

MPMDPDMP

onde )2()2/()1()1/()( MPMDPMPMDPDP +=

b) Nesta, pretende-se a probabilidade de em 10 bombons de uma caixa escolhida ao

acaso, 2 apresentarem impurezas. Define-se a variável aleatória X que representa o número de bombons com impurezas na caixa de 10. A probabilidade de um bombom conter impurezas é dada por P(D) = 1 – P( D ) = 1-0.96 = 0.04. Trata-se de um exercício de aplicação da distribuição binomial onde se pede P(X=2) com p = 0.04.

P(X = 2) = 8210

2)96.0()04.0(

c) Exercício de aplicação da distribuição geométrica. Considera-se a v.a. Y que

representa o número de bombons que é necessário analisar até encontrar o primeiro com impurezas. O valor de p é 0.04. P( Y = 3) = (1 – 0.96)2 × 0.04

4. a) Esgotar o stock é equivalente a que 4 ou mais camiões procurem o entreposto.

Tomando λ=3 pretende-se determinar P(X≥4).

[ ]

++−=

=+=+=+=−=<−=≥

−−−− 33

32

31

30

!33

!23

!13

!031

)3()2()1()0(1)4(1)4(

eeee

XPXPXPXPXPXP

97

b) Considerando 20 dias, o número médio de camiões que vai ao entreposto será de 20×3=60. Como se tem um valor de λ superior a 20 poderemos utilizar a aproximação da Poisson à distribuição normal. Assim, os parâmetros tomam os seguintes valores: µ=60 e σ2=60 Para transportar 1500 toneladas são necessários 75 camiões. Pretende-se então a seguinte probabilidade:

9738.01

)94.1(160

6075160

6075)75(

−=

−=

−<−=

−>=> FZPZPXP

c) A função de probabilidade desta variável está directamente relacionada com o

número de camiões que se dirigem ao entreposto. A quantidade, em toneladas, transferida do entreposto pode tomar os seguintes valores:

X-Toneladas 0 20 40 60 80 P(X=x) 0.05 0.15 0.225 0.225 0.35

P(X=0)=P(nenhum camião vai ao entreposto)= 30

!03 −e

P(X=20) = P(um camião procura o entreposto)= 31

!13 −e

P(X ≥ 80) = P (procuram o entreposto pelo menos 4 camiões) =

)4(1)4( <−=≥ YPYP 5. a) X= Nº de máquinas que se avariam num mês

Trata-se de uma variável aleatória Poisson. Sabemos que Var(X) = λ = 2

Assim P X P X P X e e( ) ( ) ( )!

.≤ = = + = = + =− −

1 0 1 20

21

0 4062 0 2

b) Queremos saber o número de máquinas x para o qual se tenha P X x( ) .≤ ≥ 0 95 isto

é, queremos que o número de máquinas que se avaria seja em proporção inferior a 95%. Vamos então por tentativas determinar esse valor. Se tomarmos x=6 verifica-

98

se que 9835.0)()6(6

1

===≤ ∑=x

xXPXP . Assim, se o número de máquinas é 6, o

número de empregados é 6×3=18. c) O custo de reparação de cada máquina é 100 000$00

Para o custo ser inferior a 300 000$00 o número de máquinas que se avariam num mês tem de ser inferior a 3. P X P X P X P X( ) ( ) ( ) ( ) . . .< = = + = + = = + =3 0 1 2 0 406 0135335 0 541335

99


1. a) Considerando a variável aleatória X= “Montante diário de vendas do vendedor A”,

pretende-se calcular P(X<124).

b) Consideremos agora a seguinte variável aleatória

Y = “Montante diário de vendas do vendedor B” Estamos a somar 5 dias de vendas para cada um dos dois vendedores. Como se trata de variáveis aleatórias independentes com distribuição Normal, a sua soma também é uma variável com distribuição Normal em que a média é a soma das médias e a variância é a soma das variâncias. Temos assim Vendas de 5 dias para o vendedor A Vendas de 5 dias para o vendedor B Considerando W a soma das vendas dos dois vendedores temos que W tem distribuição Normal onde

Assim

2. a) Cálculo de um valor da função de distribuição de uma v.a. com distribuição

Uniforme.

9772.0)2()2(12

100124)124( ==<=

−

<=< NZPZPXP

∑=

5

1iiX

∑=

5

1iiY

2843,28800

800451258507051005

222

==

=×+×=

=×+×=

σ

σ

µ

0007.09993.01)1819.3(1

)1819.3(12843.28

8509401)940(1)940(

=−=−=

<−=

−

<−=<−=>

N

ZPZPwPWP

100

25.0100200100125)125()125( =

−−

==< FXP

b) Esta alínea é resolvida utilizando o Teorema Limite Central (n>30).

Para a variável uniforme tem-se

[ ]12

)100200()( e 1502

200100 2−==

+= XVarXE

A soma dos 50 montantes é uma variável aleatória com distribuição aproximadamente normal com os seguintes parâmetros: 3.83350 ;15050 ×=×= σµ

101)798.9(1

3.83350750055001550015500

5050

=−=−<−=

×−

<−=

<−=

> ∑∑

==

ZP

ZPXPXPi

ii

i

3. a) Nesta alínea pretende-se o valor de P(T > 100).

Como T tem distribuição exponencial tem-se o seguinte:

)1(1)100(1)100( 10003.0 ×−−−=<−=> eTPTP = 0.04979 b) Pretende-se o valor de uma probabilidade condicional P(T<1500 / T>100).

04979.0)10003.01()15003.01(

)100(1)100()150(

)100()150100(

)100()100150(

)100/150(

×−−−×−−=

−

−=

>

<<=

>

>∩<=><

eeF

FF

TPTP

TPTTP

TTP

4. a) Nesta alínea pede-se a probabilidade P(T1 >36). Trata-se do cálculo directo de um

valor de uma distribuição normal.

0228.09772.01

)2(1)2(193036

9301)36(1)36( 1

11

=−=

−=<−=

−<

−−=<−=> NZPTPTPTP

101

c) Nesta alínea deve ser calculada a probabilidade do tempo de viagem ser inferior a 30 minutos para cada um dos transportes. É escolhido aquele que apresentar maior probabilidade. P(T1<30) = P(Z< 0) = 0.5 P(T2<30) = P(Z<0.8164) ≈ N(0.82) = 0.7939 P(T3<30) = P(Z<1) = N(1) = 0.8413 O transporte que apresenta maior probabilidade de demorar menos de 30 minutos é o transporte T3 logo é este o aconselhado ao Francisco.

5. a) Sendo X a variável que representa o comprimento do peixe, pretende-se calcular

P(X < 35).

8413.0)1(10

2535)35(

==

−

<=<

N

ZPXP

b) Ao somarmos os comprimentos dos peixes, estamos a somar variáveis aleatórias

independentes, todas com igual valor médio e variância. A variável resultante W é uma variável também com distribuição normal. O valor médio é E[W] = 10×25 = 250 cm e a variância é V[W] = 10×(1010)=1000 É necessário uniformizar as unidades donde, 2 metros = 200 centímetros.

9429.00571.01)58.1(11000

2502001)200(1)200(

=−=−−=

−≤−=≤−=>

N

ZPWPWP

c) A variável que interessa estudar, nesta questão, é a variável que representa o

número de peixes com comprimento inferior a 35 cm, em três que são seleccionados. Esta é uma variável com distribuição binomial, cuja probabilidade de sucesso p é a probabilidade de cada peixe ter comprimento inferior a 35 cm, ou seja, p = 0.8413. Assim

1313

1)8413.01()8413.0()1( −−

==YP

102

6. a) Como estamos na presença de variáveis aleatórias com distribuição exponencial ,

para que seja possível usar o teorema do Limite Central é necessário calcular o valor médio e a variância de cada variável que constitui a soma.

41)( 21)( 2 ====λλ

XVeXE

A soma das 200 variáveis terá aproximadamente uma distribuição normal de média µ = 200× 2= 400 e variância σ2= 200×4=800.

b) A variável standardizada será

800400−

=−

=SSZ

σµ

7. a) Os valores de a, b, c e d são facilmente determinados se utilizarmos o facto de,

para que o quadro represente uma função de probabilidade conjunta, a soma de todos os seus valores ser igual a 1, e o facto de a função de probabilidade marginal ser igual à soma dos valores da função de probabilidade conjunta.

X Y

0

1

2

P(Y=yi)

2 0.05 0.02 0.1 0.17 3 0.1 0.4 0.2 0.7 4 0.03 0.07 0.03 0.13

P(X=xi) 0.18 0.49 0.33 0.18 + c + 0.33 = 1 ⇒ c = 0.49 0.1 + 0.2 + b = 0.33 ⇒ b = 0.03 a + 0.4 + 0.7 = 0.49 ⇒ a = 0.03 d = 0.05 + 0.02 + 0.1 = 0.17 e = 0.03 + 0.07 + 0.03 = 0.13

b) Pretende-se calcular o valor de P(X<2/Y=3). Usando a definição de probabilidade

condicional para as probabilidades de variáveis aleatórias,

7.04.01.0

)3()3,1()3,0(

)3()3,2()3/2( +

==

==+===

==<

==<YP

YXPYXPYP

YXPYXP

No numerador temos duas parcelas devido ao facto de os casos contemplados pela probabilidade do acontecimento ” X menor que dois e Y igual a 3 “ serem dois; o caso em que X é zero e o caso em que X é 1.

103

c) Nesta questão deve concluir-se que as variáveis não são independentes utilizando,

por exemplo, o facto de a função de probabilidade conjunta não ser igual ao produto das funções marginais.

P(X=0 , Y=3) = 0.1 ≠ P(X=0)×P(Y=3) = 0.18×0.7 = 0.126

105

ERRATA AO MANUAL

110

FIM

PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA - Tudo sobre electrónica ... · 100 funcionários da empresa,...

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