PROBLEMARIO DE ESTADÍSTICA APICADA Y ESTADÍSTICA...

1

PROBLEMARIO DE

ESTADÍSTICA APICADA

Y

ESTADÍSTICA II

Prof. (Ing.) Andrés Scott Velásquez

2

Problemas Resueltos de Estadística II y

Estadística Aplicada

Lapso 01 de Estadística II y Estadística Aplicada Problemas experimentos probabilísticos

1) Una moneda previamente calibrada se lanza 5 veces. ¿Cuál será la probabilidad de qué:

a) Caigan exactamente 2 caras.

b) Caigan 3 caras o 5 caras.

c) No menos de 4 caras.

d) No más de 3 caras

Solución

5

5 2

5 3 5 5

50,3125

16

1

2 32

10) 10

32

) 111

0,343832

P

A

B

EPO Q EPO

a EFA P A P A

P Bb EFA

5 4 5 5

5 0 5 5 5 2 5 3

6) 6

32

30,1875

16

130

26) 26

32,8125

16

C

D

P Cc EFA P C

d EFA P DP D

2) Un dado previamente calibrado se lanza. ¿Cuál será la probabilidad de que:

a) Caiga un 2 ó 5?

b) Caiga un número menor o igual a 4?

c) Caiga un número par ó mayor o igual a 4?

Solución

6

2) 1 1 2

6

4) 1 1 1 1 4

6

4) 1 1 1 1 1 1 1

10,3333

3

20,6667

3

20,6667

31 4

6

P

A

B

C

EPO Q EPO

a EFA P A

b EFA P B

c EF

P A

B

CA C

P

PP

3) Se lanzan 2 dados previamente calibrados. ¿Cuál será la probabilidad de que al sumar sus

dos caras, luego de la caída:

a) Éstas sumen exactamente 7?

b) Que sumen igual o mayor a 9?

c) Que sumen valores menores o 5?

3

d) Que sumen valores entre 4 y 6 inclusive o que sumen entre 5 y 9 inclusive?

Solución 26 36

10,

6) 6

31667

66

P

A

EPO Q EPO

a EF P AA P A

Dado 1 1 2 3 4 5 6

Dado 2 6 5 4 3 2 1

EFAA= 6

10) 10

3

50,2778

6 18B PB Bb EFA P

Dado 1 3 4 5 6 4 5 6 5 6 6

Dado 2 6 5 4 3 6 5 4 6 5 6

EFAB= 10

6) 6

36

10,1667

6A Pc C CEFA P

Dado 1 1 1 2 1 2 3

Dado 2 1 2 1 3 2 1

EFAA= 6

30,75

27) 12 15 27

6 4300Dd EFA P P DD

Dado 1 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 5

Dado 2 3 2 1 4 3 2 1 5 4 3 2 1

EFAA= 12

Dado 1 1 2 3 4 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6 3 4 5 6

Dado 2 4 3 2 1 5 4 3 2 1 6 5 4 3 2 1 6 5 4 3 2 6 5 4 3

EFAA= 15

4) En un recipiente se meten 8 bolitas azules, 14 bolitas blancas y 10 bolitas coloradas.

Experimento A.- Se extrae una sola bolita. ¿Cuál será la probabilidad de que:

a) Sea azul.

b) Sea una blanca o una colorada. Solución

32 1

8 1

32

8)

3

10,2500

42Azul

N r

A n r A

EPO EPO

a EFA EFA AP A P

4

14 1 10 1

30

) 14 10

24

32,7500

4

Blancas ColoradasB n r n r Ab EFA EF

P

A

B AP

Experimento B.- Se extraen 3 bolitas con reposición o con reemplazamiento. ¿Cuál será la probabilidad de que:

a) Sean una azul, azul y colorada.

b) Sean blanca, colorada y colorada

c) Sean blanca, azul y blanca

Solución

32 1

1 2

32

Re : .....

8 8 10)

32 32

50,0195

25632

N r

n

EPO EPO

Fórmula de la gla Especial la Multiplicación P A P A P A P A

a PP A A

14 10 10

)32 32 3

1750,0427

4.092 6b P B P B

14 8 14

)32 32 3

490,0479

1.022 4c C P CP

Experimento C.- Se extraen 3 bolitas sin reposición o sin reemplazamiento. ¿Cuál será la

probabilidad de que:

a) Sean una azul, azul y colorada.

b) Sean blanca, colorada y colorada c) Sean blanca, azul y blanca

Solución

32 1

321

1 2

1

32

Re :

N rEPO EPO

AAFórmula de la gla General la Multiplicación P A P A P P

A AA

8 7 10

)32 31 30

70,0188

372a PP A A

14 10 9

)32 31 30

210,0423

496Pb P B B

14 8 13

)32 31 3

910,0489

1.860 0c C P CP

Experimento D.- Se extraen de una sola vez 3 bolitas. ¿Cuál será la probabilidad de que :

a) Todas sean del mismo color? b) 2 sean azules y una colorada o 2 blancas y una azul?

c) Que no todas sean del mismo color?

d) Que todas sean de color diferente?

Solución

5

32 3

8 3 14 3 10 3

8 2 10 1 14 2 8 1

270,1089

2

4960

) :

54056 364 120 540

4960

) 2 1 2 1 :

48

Azul Blanca Colorada

N r

A n r n r n r A

A

B

EPO EPO

a Todas del mismo color EFA EFA

EFA P A

b azules y colorada o blancas y azul EFA

EF

P A

8 1 14 1 10 1

630,2032

310

2210,89

1.008280 728 1.008

4.960

27) : 1

248

) : 8

11248

70,2258

3

14 10 1.120

1.120

9 14. 60

B

D

A P B

c No todas del mismo color Por Complemento P C

d Todas de colores diferentes EFA

P

P B

P C

P DD

5) Se tiene un juego de barajas españolas, después de barajadas de manera uniforme se extrae

una carta para garantizar la pureza del experimento. Cuál será la probabilidad de que sea:

a) Un As de espadas? b) Un As?

c) Un caballo o una copa?

d) Una espada o un oro?

e) Una figura o un 5 de oro?

f) Una figura o un basto?

Solución

1 10,0250 0,1000

40 10

13 10,3250 0,5000

40 2

13 190,3250 0,4750

40

4) 1 ; ) 4 ;

40

20) 4 10 1 13 ; ) 10 10

40

) 12 1 13 ; ) 14

2 100

3 19

A B

c D

E F

P A P B

P C P D

P E P F

a EFA b EFA P B

c EFA d EFA P D

e EFA f EFA

6) En una partida de domino. Cuál es la probabilidad de que el primer jugador que escoge las 7 fichas de las 28: a) Tenga 7 blancas. b) Tenga 4 cincos. c) 4 fichas de la misma pinta.

Solución

28 7 1.184.040EPO

a) 7 7 21 0

11

1.184.04

10,00000084

1.184.0400AEF PA AE P

b) 7 4 21 3

46.55046.550

1.184.

4.6550,0393

1180 404 .40B P BEFE P B

c) 7 4 21 3

325,8507 325.850

1.184.0

32.5850,2752

14 18 40 .40C P CEFE P C

6

Problema de Probabilidades de la regla General de la Suma

1) De 200 turistas llegados a Venezuela, 120 viajaron a la Isla de Margarita y 100 a la Sierra Nevada de Mérida, se sabe además que 60 de ellos fueron ambas regiones. Si de manera

aleatoria se selecciona a una de esas personas, ¿Cuál será la probabilidad de que haya ido

a la Isla de Margarita o la Sierra Nevada de Mérida?

Solución

Evento A = Turistas que visita a la Isla de Margarita Evento B = Turistas que visitan a La Sierra Nevada de Mérida.

Evento A∩B = Visita a ambos regiones.

120 3 100 1 60 3; ;

200 5 200 2 200 10

3 1 3

5 2 10

4

5

P A P B P A B

P A ó B P A ó B

Problemas de Probabilidades con tabla de Contingencia

1) La tabla de contingencia incompleta que se presenta al final refleja la condición de eficiencia de bueno, regular y malo de 200 estudiantes de Recursos Humanos, Mercadeo y

Publicidad y Contabilidad y Finanzas. Se pide responder las siguientes preguntas:

PARTE A

a) Completar la Tabla de Contingencia

PARTE B Si de manera aleatoria se selecciona uno de los 200 estudiantes. ¿Cuál será la probabilidad

de que:

a) Sea un estudiante de Mercadeo y Publicidad?

b) Que su rendimiento sea malo?

c) Que sea de Mercadeo y Publicidad y su rendimiento sea bueno?

d) Que sea de Recursos Humanos o sea de Contabilidad y Finanzas? e) Que sea de Recursos Humanos o tenga un rendimiento regular?

PARTE C

a) Si de manera aleatoria selecciona a un estudiante de Mercadeo y Publicidad.

¿Cuál será la probabilidad de que su rendimiento sea bueno?

b) Si se selecciona un estudiante cuyo rendimiento es malo. ¿Cuál será la probabilidad de que sea de Recursos Humanos?

Rendimiento

Carrera

BUENO

(B1)

REGUL

AR (B2)

MALO

(B3)

∑Ai

Recursos Humanos

(A1)

25 80

Mercadeo y Publicidad (A2)

15 75

Contabilidad y Finanzas

(A3)

10 5

∑Bi 65 85 U=

Solución PARTE A.-

7

Rendimiento

Carrera

BUENO

(B1)

REGULAR

(B2)

MALO

(B3)

∑Ai

Recursos Humanos

(A1)

20 25 35 80

Mercadeo y Publicidad (A2)

15 50 10 75

Contabilidad y Finanzas

(A3)

30 10 5 45

∑Bi 65 85 50 U=200

PARTE B.-

a) Mercadeo y Publicidad: 75

7520

30,3

0750

8A PEFA A AP

b) Rendimiento Malo: 50

5020

10,2

0500

4B PEFA B BP

c) Merc. y Pub. y Rend. Bueno: 15

15200

30,0750

40C P CEFA P C

d) R. H. o de C. y F.: 125

80 45 125

0,62508

5200

DEF C P CA P

e) R. H. o Rend. Reg,: 140

80 85 25 17

0,700010

40200

EEFA P P ED

PARTE C.-

a) Si M. P./Rend. Bueno: 22

2

1

2

11

0,215

057

0 05

A BP

BA

AP

A

b) Si Rend. Malo/R. H.: 11

3

3

3

373

0,70001

5

50 0

A BP

BA B

PB

2) Los profesores de Estadística Instrumental: Andrés Scott, Maritza García, Carlos

Casañas y Lenelba Alemán para sus clases recomienda estudiarlas en tres textos

los cuales identificaremos con los nombres de Texto 01, Texto 02 y Texto 05. Del profesor Scott, 28 estudiantes estudian por el Texto 01, 35 por el Texto 02 y 22 por el Texto 03. De la profesora García, 22 estudiantes estudian por el Texto 01, 30 por el Texto 02 y 13 por el Texto 03. Del profesor Casañas, 13 estudiantes

8

estudian por el Texto 01, 20 por el Texto 02 y 12 por el Texto 03 y de la profesora

Alemán, 10 estudiantes estudian por el Texto 01, 14 por el Texto 02 y 11 por el Texto 03.

Se pide: PARTE “A”.- Con estos datos elaborar la Tabla de Contingencia.

PARTE “B”.- Si de manera aleatoria se selecciona un estudiante de Estadística

Instrumental que estudie con esos profesores, ¿Cuál será la probabilidad de que: a) Haya estudiado por el texto 01, b) Haya estudiado por el Texto 02 y sea alumno

del Profesor Casañas, c) Haya estudiado por el Texto 02 ó el Texto 03 y d) Haya estudiado por el Texto 03 o sea alumno de la Profesora Alemán.

PARTE “C”.- a) Si de manera aleatoria se selecciona un estudiante que estudie

por el Texto 02; ¿Cuál será la probabilidad que sea alumno del Profesor Scott y b) Si de manera aleatoria se selecciona un estudiante de la Profesora García; ¿Cuál

será la probabilidad de que haya estudiado por el Texto 03? Solución

PARTE “A”.- Tabla de Contingencia:

Profesores Textos

Scott (B1)

García (B2)

Casañas (B3)

Alemán (B4)

∑Ai

Texto 01 (A1) 28 22 13 10 73

Texto 02 (A2) 35 30 20 14 99

Texto 03 (A3) 22 13 12 11 58

∑Bi 85 65 45 35 230

PARTE “B”.-

1

2 3

1

2 3

2 3

43 4 3

2 3

73)

230

20)

230

99 58 157)

230 2

730,3174

230

20,0870

23

1570,6826

30 230

410,3565

1

230

58 35 11 82)

230 230 230 230 15

a P A P A

b P B P A B

c P C P A A

d P

P A

P A B

P A A

P AD BP A B

PARTE “C”.-

2 1

2

3 2

2

350,3535

35)

99

13)

65

99

10,2000

5

A Ba P A P

A

A Bb P B

P A

PPB

B

9

Lapso 02 de Estadística II y Estadística Aplicada

Problemas de Distribución de Probabilidades Discretas Generales

1) Un dado previamente calibrado se lanza 140 veces y el resultado de la caída se presenta al final. Se pide:

a. Desarrollar la distribución de probabilidades respectiva.

b. Calcular la Esperanza Matemática.

c. Calcular la Varianza y la Desviación Estándar

Solución

Distribución de

Frecuencias

Dist. de

Prob.

a)

Esperanza Matemática

i iX P X

b)

Varianza

22

i iX P X

Desviación

Estándar

c) 2

Xi fi hi Xi P(Xi) 0,164 1,048

2,803

1 23 0,164 1 0,164 0,258 0,301

2 18 0,129 2 0,129 0,621 0.058

3 29 0,207 3 0,207 0,744 0,041

4 26 0,186 4 0,186 0,715 0,310

5 20 0,143 5 0,143 1,026 1,045

6 24 0,171 6 0,171 2

∑ 140 1,000 ∑ 1,000 3,528 2,803 1,674

2) De manera aleatoria se seleccionan las notas de ocho estudiantes de Estadística

Instrumental las cuales fueron: 11 09 12 12 15 09 11 12. Con estos datos se pide desarrollar una Distribución de Probabilidades y de allí obtener: a) La

Esperanza Matemática o Valor Esperado, la Varianza y la Desviación Estándar o Desviación Típica; b) Si seleccionamos de manera aleatoria una de esas ocho

notas; ¿Cuál es la probabilidad de que sea: i.- Exactamente 12? y ii.- No más de 11

Solución

EFAP E

EPO

CARA 1 2 3 4 5 6

EVENTOS 23 18 29 26 20 24

10

)a

ix

if

iEFA

ix

iP x

ESPERANZA MATEMÁT.

VARIANZA DESVIAC. ESTÁND.

i ix P x

2

2

i ix P x

2

09 2 09

EFA

3,234 11 2

11EFA 09 0,250 2,250 1,410

12 3 12

EFA 11 0,250 2,750 0,035

15 1 15

EFA 12 0,375 4,500 0,146

EPO 8

15 0,125 1,875 1,643

∑ 1,00 11,375

2 3,234 1,798

) 12 11

; ) 0,20,3 5 0,2575 0,50

b Evento B Exactamente igual a y Evento C no más de

y c P P CCP B

3) Una moneda previamente calibrada se lanza 5 veces. Se pide: a) Desarrollar una Distribución de Probabilidades, y Calcular la Esperanza Matemática o Valor

Esperado, la Varianza y la Desviación Estándar o Desviación Típica, b) ¿Cuál será la probabilidad que caigan exactamente 2 caras? y c) ¿ Cuál es la probabilidad de

que caiga no menos de 4 caras?

Solución

5; 2 32EFA

P E EPO EPOEPO

a)

ix

if

iEFA

ix

iP x

ESPERANZA

MATEMÁT.

VARIANZA DESVIAC.

ESTÁND.

i ix P x

2

2

i ix P x

2

0 1 0

EFA

1,25

1 5 1

EFA 0 0,03125 0,000 0,195

2 10 2

EFA 1 0,15625 0,1563 0,352

3 10 3

EFA 2 0,31250 0,6250 0,078

4 5 4

EFA 3 0,31250 0,9375 0,078

5 1 5

EFA 4 0,15625 0,6250 0,352

EPO 32

5 0,03125 0,1562 0,195

∑ 1,00 2,500 2 1,250 1,118

11

) 2 4

; ) 0,15620,3125 0,15 0,03125 875P B

b Evento B Exactamente y Evento no menos de

y c P P CC

4) Al final se presentan tres distribuciones diferentes. Diga: ¿Cuál de las tres es una

Distribución de Probabilidades? Si alguna de ella resultarse ser de probabilidades calcular la Esperanza Matemática, la Varianza y la Desviación Típica.

xi P(xi) xi P(xi) xi P(xi)

1 0,20 2 0,18 1 0,42

3 0,25 4 0,28 4 -0,20

5 0,18 6 0,20 6 0,38

7 0,36 8 0,34 9 0,40

Solución

Las probabilidades de la primera suma 0,99; la segunda 1 (Uno) con todos valores positivos y

la tercera 1 (Uno) pero con un valor negativo, como los valores probables de un espacio

muestral deben sumar 1 (Uno) con todos los valores positivos, se concluye que: la Distribución

de Probabilidades es la segunda.

ix

iP x

ESPERANZA MATEMÁT.

VARIANZA DESVIAC. ESTÁND.

i ix P x

2

2

i ix P x

2

5

2 0,18 0,36 2,081

4 0,28 1,12 0,549

6 0,20 1,20 0,072

8 0,34 2,72 2,298

∑ 1,00 5,400 2 5,000 2,236

Problemas de Distribución de Probabilidades Discretas Binomiales

1) El 75% de los estudiantes del IUGT a duras penas logran aprobar las materias. Si se

selecciona una muestra de 7 estudiantes; ¿Cuál será la probabilidad de que:

a) Exactamente 5 aprueben la materia?

b) No menos de 6 aprueben la materia?

c) No más de 4 aprueben la materia? d) Calcular la esperanza matemática, la varianza y la desviación estándar.

Solución

12

2

5 7 5

7 5

6 7 6 7 7 7

7 6 7 7

5 0,

: 0,75 0,25; 7

: ; ; ;

) 5 5 0,75 0,25

) 6 7 6 7 0,75 0,25 0,75 0,25

) 0,...., 4 0,.... , 4 1 (0,3115 0,4449

3115

6 7 0,4449

x n x

n x

Datos p q n

F

P x

P x o

órmulas p q np npq npq

a x P x

b x o P x o

c x o P x o

2 2

)

) 7 0,75 ; 5,25 0,25 ; 1,

0,.... , 4 0,2436

5,25 1,313 1,1413 63

P x o

d

2) Realizado un estudio de las calificaciones obtenidas en las evaluaciones por los

estudiantes de Estadística Instrumental del Profesor Scott en el período de clases 2013-1N, se concluyó que aprobaron la materia el 62%. Si de manera aleatoria se

seleccionan 6 de esos estudiantes; ¿Cuál será la probabilidad de qué: a)

Exactamente 2 hayan aprobado la materia? b) Exactamente 3 ó 4 hayan aprobado la materia? c) No menos o al menos 2 hayan aproado la materia? y d) Calcular la

Esperanza Matemática o Valor Esperado, la Varianza y la Desviación Típica o Desviación Estándar

Solución

3)

2

2 6 2

6 2

3 6 3

6 3

4 6 4

6 4

: 0,62; 0,38; 6;

: ; ; ;

:

) 2 2 0,62 0,38

) 3 4, 3 4 3 4 0,62 0,38

0,62 0,38 0,2616 0,32

2 0,1202

3 4 001

X n X

n X

Datos p q n

Fórmulas P X p q np npq npq

Desarrollo

a Para X P X

b Para X

P

ó P X ó

P

P

X

P X X

X

ó

2 6 2 3 6 3 4 6 4

6 2 6 3 6 4

5 6 5 6 6 6

6 5 6 6

) 2 2,...,5 6 2,...,5 6 2 3 4

5 6 0,62 0,38 0,62 0,38 0,62 0,38

0,62 0,38 0,62 0,38 0,1202 0,2616 0,3201 0,2089 0,0

,5817

2,...

5

,5 6 0,

68

c Para al menos X ó P X ó P X P X P X

P X P

ó

X

P X

0 6 0 6 1

6 0 6

2 2

1

: 2,...,5 6 1 0 1 1 0 1

1 0,62 0,38 0,62 0,38 1 0,0030 0,0294

) 0,62 6 ; 0,38 3,72 ; 1,41

9676

2,...,5 6 0,9676

3,72 1,4136 1,3 1886 9

Por complemento sería P X ó P X ó P x P X

P

d

X ó

Problemas de Distribución de Probabilidades Discretas Hipergeométrica 1) El curso de Estadística Instrumental de Recursos Humanos del nocturno del Profesor

Andrés Scott, tiene una matrícula de 43 estudiantes, de los cuales 27 son mujeres. Si se

13

toma una muestra de 9 de esos estudiantes. ¿Cuál será la probabilidad de que en esa

muestra:

a) 6 sean mujeres? b) 4 sean hombres

Solución

1

1 2 1 2

27 6 16 3 16 4 27 5

1 2

43 9 43 9

26 0,2

: 43; 9; 6; 4; 27; 1

940 4 0,2605

6

:

) 6 ; ) 4

i i i iS x N S n x

i

N n

P x

Datos N n Mujeres x Hombres x S S

Fórmula P x

a P x b P xx P

2) Se va a seleccionar una comisión de 25 estudiantes en una institución educativa

que tiene una matrícula de 417 estudiantes para hacer una evaluación avanzada del sistema educativo del país y presentar una ponencia a objeto de mejorarla. Si

en esa matricula están incorporadas 263 mujeres; ¿Cuál será la probabilidad de

qué en la referida comisión sean seleccionadas: a) Exactamente 12 mujeres? b) Entre17 ó 20 mujeres inclusive? y c) Calcular la Esperanza Matemática o Valor

Esperado, la Varianza y la Desviación Típica o Desviación Estándar. Solución

2

263 12 417 263 25 12

417 25

1

: 417; 263; 25; : ;

; ;1 1

:

) 12 12 12

) 1

2

7 2

0,0470

0

S X N S n X

N n

Datos N S n Fórmulas P X

nS N S N n nS N S N nnS

N N N N N

Desarrollo

P Xa Para X P X P X

b Entre ó mujeres inclusive X

263 17 263 18417 263 25 17 417 263 25 18

417 25 417 25

263 19 263 20417 263 25 19 417 263 25 20

417 25 417 25

17,18,19 20 17,..., 20 17 18

19 20 17,..., 20

0,1510 0,1

ó P X P X P X

P X P X P X

2 2

1

17,..., 20 0,3655

15,76

23 0,0685 0,0337

25 263 417 263 417 2525 263) ;

417 47 2.288,090

47,

17 417 1

2.288,09 834

P

c

X

14

Problemas de Distribución de Probabilidades Discretas de Poisson

1) El número de accidentes que se producen en una empresa manufacturera sigue una

distribución de Poisson con una media de 2,6 accidentes por mes. ¿Cuál será la probabilidad de qué: a) No más de 2 accidentes en un mes dado? y b) No menos de 3 accidentes en un

mes dado?

Solución

0 22,6 2,6 2,6

: 2,6 ; :!

) 2 0,1 2 0,1 2

2,6 2,6 2,60 1 2 0,0743 0,1931 0,2510

0! 1! 2!

X

Datos accidentes por mes Fórmulas P X eX

a No más de accidentes mensuales X ó P X ó

P X P X P

P X

X e e e

0,1 2 0,5184ó

0 22,6 2,6 2,6

4,5... 0,

) 3 4,5,..; : 4,5...

2,6 2,6 2,61 0,1,2 3 1

0! 1! 2!

1 0,0743 0,1931 0,2510 1 0,5184 481

b No menos de accidentes mensuales X por complemento sería P X

P X ó e

P X

e e

6

2) Un promedio 5 automóviles cada ocho segundos ingresan a la parroquia Coche

desde la autopista viniendo del centro de la ciudad. La distribución de ingreso

responde a una Distribución de Poisson. ¿Cuál es la probabilidad de que: a)

Ningún automóvil ingrese en ocho segundos? y b) Por lo menos 2 ingresen en ocho segundos?

Solución

05

: 5 8 ; :!

5) 0 0

0!

) 2 2,3,....., 2,3,....., :

0,0067

X

Datos cada segundos Fórmulas P X eX

a Ninguno automovil ingrese a Coche X P A P X e

b Por lo menos automòviles ingresen a Coche X n P B P X n Por

Comp

P

em

A

l0

5 5 55 51 0,95961 6

0! 1!P Bento P P B e e e

15

Problemas de Distribución de Probabilidades Continuas

1) Se sabe que los estudiantes del IUGT presenta un promedio global de notas de 11,25 puntos, con una Desviación Estándar de 3,17 puntos. Se supone que la población responde a una

distribución es normal. Si de manera aleatoria seleccionamos a un estudiante; ¿Cuál será la

probabilidad de que su nota definitiva:

a) Sea menor de 10 puntos?, b) Esté entre 10 y 11,25 puntos?, c) Esté entre 09 y 12

puntos?, d) Sea mayor que 09 puntos? y e) Esté entre 12 y 16 puntos?

Solución

: 11,25; 3,17

:

Datos

xFormula Z

b) E

S

a)

10

10 11,250,39

3,17Z

10 0,5000 0,1517

10 0,3483

Menos de

P

A

x

b)

11,25 0Z

10 11,25

10 11,25 0,151

0,1517 0

7P x

A

c)

9

12

9 11,250,71

3,17

12 11,250,24

3,17

Z

Z

9 12 0,2612 0,0948 0

9

,3560

12 0,3560

A

P x

d)

9 0,71Z 9 0,2612 0,5000 0,761

9 0,76

2

12

Más de

P x

A

e)

12

16

0,24

16 11,251,50

3,17

Z

Z

12 16 0,4332 0,0948 0

12 16 0,338

,338

4

4

P x

A

16

2) Realizada una investigación sobre las edades los estudiantes del IUGT de

Estadística Instrumental de Recursos Humanos del diurno se concluyó que el promedio de sus edades fue de 21,813; con una Desviación Estándar de 3,483

años. Se supone que la población responde a una distribución normal. Si de manera aleatoria seleccionamos a un estudiante; ¿Cuál será la probabilidad de

que su nota definitiva:

a) Sea mayor de 23 años?, b) Esté entre 21,813 y 23 años?, c) Esté entre 19 y 24 años?, d) Sea mayor que 19 puntos? y e) Esté entre 17 y 19 puntos?

Solución

: 21,813; 3,483

:

Datos

xFormula Z

b) E

S

a)

23

23 21,8130,34

3,483Z

23 0,5000 0,13

23 0,363

1

9

3X

P x

A

b)

21,813

23

0

0,34

Z

Z

21,813 23

21,81

0

3 23 0,1331

,1331a

x

A

P

c)

19

24

19 21,8130,81

3,483

24 21,8130,63

3,483

Z

Z

19 24 0,2910 0,2387 0

99 24 0,529

,529

7

7

P x

A

d)

19 0,81Z

19 0,2910 0,5000 0,791

19 0,79

0

10

X

P x

A

e)

19

16

0,81

17 21,8131,38

3,483

Z

Z

17 19 0,4162 0,2910 0,125

17 19 0,12 2

2

5

X

P x

A

17

Problemas de Distribución de Probabilidad Normal aproximando a la Binomial 1) El70% de los empleados entre obreros, administrativos y académicos que laboran en el I. U.

G.T. poseen títulos académicos. Se seleccionan de manera aleatoria 30 empleados: a) ¿Cuál

es la probabilidad de que exactamente 17 tengan títulos académicos?, b) Más de 26? y c)

Menos de 23?

Solución

: 0,70 0,30; 30

: ; ;

Datos p q n

xFórmulas np npq Z

30 0,70 21; 21 0,30 2,51

a)

1 2

1

2

16,5 17,5

16,5 211,79

2,51

17,5 211,39

2,51

c c

c

c

x x x

Z

Z

17 0,4633 0,4177 0,0456

17 0,0456P x

A

b)

25,5 ;

25,5 211,79

2,51

c

c

x x

Z

26 0,5 0,4633 0,03

26 0,036

67

7

x

P X

A

c)

23,5;

23,5 211,00

2,51

c

c

x x

Z

23 0,5 0,3413 0,841

23 0,841

3;

3

x

P x

x

2) El 81% de los estudiantes del profeso Scott aprueban sus materias, si de manera

aleatoria seleccionamos 48 de esos estudiantes, ¿Cuál será la probabilidad que: a)

Exactamente 34 aprueben la materia?, b) No menos de 37 aprueben la materia? Y c) A lo sumo 35 aprueben la materia?

Solución

18

: 0,81 0,19; 48

: ; ;

Datos p q n

xFórmulas np npq Z

48 0,81 38,88; 38,88 0,19 2,718

a)

1

1

2

33,5 34,5

33,5 38,881,98

2,718

34,5 38,81,61

2,718

c

c

c

x x

Z

Z

34 0,4762 0,4463 0,0299

34 0,0299P x

A

b)

36,5;

36,5 38,880,88

2,718

c

c

x x

Z

37 0,5 0,3106 0,81

37 0,810

06

6

x

P X

A

c)

34,5;

34,5 38,881,61

2,718

c

c

x x

Z

23 0,5 0,4463 0,053

35 0,053

7;

7

x

P x

x

19

Lapso 03 de Estadística II y Estadística Problemas de Distribución Muestral

1) Los 314 0breros que trabajan en una empresa automotriz se observa que tienen un promedio

de 32 años, con una desviación estándar de 10 años. Si la distribución de estos datos sigue

una Distribución Normal; se pide: a) Probabilidad de que la media muestral de 25 de ellos

resulte menor de 28 años y b) Probabilidad de que sobrepase los 31 años.

Datos: 314; 32; 10; 25N n

Fórmulas: ;1x

x

N nXZ

Nn

314 25101,922

314 125x x

a)

28

28 322,08

1,922Z 28

0,5 0,4812 0,01

28 0,0188

88X

P

A

X

b)

31

31 320,52

1,922Z 31

0,1985 0,5 0,69

31 0,6985

85X

P

A

X

2) Los 0breros que trabajan en una empresa automotriz se observa que tienen un promedio de

32 años, con una desviación estándar de 10 años. Si la distribución de estos datos sigue una

Distribución Normal; se pide: a) Probabilidad de que la media muestral de 25 de ellos resulte menor de 28 años y b) Probabilidad de que sobrepase los 31 años.

Datos: 314; 32; 10; 25N n

Fórmulas: ;x

x

XZ

n

102,00

25x x

a)

28

28 322,00

2Z 28

0,5 0,4772 0,02

28 0,0288

88X

P

A

X

b)

31

31 320,50

2Z 31

0,1915 0,5 0,69

31 0,6915

15X

P

A

X

20

Problemas de estimación de Intervalos de Confianza

1) Una agencia de turismo tomó muestras de las personas que en vacaciones participaban en

cruceros por El Caribe y que visitaban a Puerto Rico. Dentro de un nivel de confianza de

96%, ¿Cuál será el intervalo de confianza para la proporción de vacacionistas venezolanos si

de las 1822 personas encuestadas 531 eran venezolanos?

Datos: 531; 1.560; 96%n N NC

Fórmulas: 1

; ;p p

p pnp E Z

N n

0,2914 1 0,29145310,2914; 0,0197; 96% 2,05

1.822 531

2,05 0,0197 0,0403

0,2914 0,0403 0,251

: 0,2511 0,33

1; 0.2914 0.0403 0,3317

17

pp para NC Z

E x

LIC p E LSC p E

IC de p

2) Una empresa de investigación realizó una encuesta para determinar la cantidad media que

los fumadores gastan en cigarrillos durante una semana. Una muestra de 49 fumadores

reveló que la media muestral es de Bs. 20 y una desviación estándar muestral de Bs. 5. a)

¿Cuál es el estimador puntual de la media de la población? Explicar que indica y b)

Utilizando el nivel de confianza de 95%, determinar el intervalo de confianza para la media

poblacional. Explicar que indica.

Datos: 49; 20; 5; 95%n X S NC

Fórmulas: ;x x

SE Z S S

n

a) “El mejor estimador es la Media Muestral=20, ya que partiendo de ella se puede estimar

el rango de valores donde puede ubicarse la Media Poblacional” b)

50,7143; 95% 1,96 1,96 0,7143 1,4

7

20 1,4 18,6; 20 1,4 21,

: 18,6 21,4

" , 18,6 21,4"

4

x

IC de

Explica que la Media Poblacional con estos datos debe oscilar entre

S para NC Z E x

LIC X E LSC X E

a

3) Para realizar un estudio de manera aleatoria se selecciona una muestra de 81 trabajadores

cuyo ingreso mensual promedio fue de Bs. 3.890,00 conociéndose que para condiciones

similares la desviación estándar poblacional es de Bs. 998,00. Se toma un nivel de confianza

del 96%, para realizar un estudio de estimación. Se pide: a) ¿Cuál será la media poblacional?

b) ¿Cuál sería el mejor estimador puntual?, c) ¿Qué distribución de variable continua se

utilizaría para obtener el error estándar de la muestra, el error de muestro y un intervalo de

confianza? ¿Por qué?, d) Calcular el error estándar de la muestra y el error de muestreo, e) Desarrollar el intervalo de confianza para este estudio e interpretar resultados y f) ¿ Se

podría afirmar que un ingreso de Bs. 3.800,00 es una media poblacional? ¿Qué tal un

ingreso de Bs. 3.650?

Datos: 81; 3.890,00; 998,00; 96%n X NC

21

Fórmulas: ;x x

SE Z S

n a) “No se puede considerar una media poblacional como tal en virtud que en el Intervalo de

Confianza que se podría desarrollar con esta información existirían infinitos valores que podrían asumir la función de Media Aritmética Poblacional”.

b) “El mejor estimador es la Media Muestral (Bs. 3.890,00) , ya que partiendo de ella se

puede estimar el rango de valores donde puede ubicarse la Media Poblacional”

c) “Se utilizará la Distribución Normal o Z, ya que n=81>30, Población Grande.

d)

998; 96% 2,05

81

2

110,889

227,,05 110,889 322

x xpara NC Z

EE x

e)

: 3.662,678 4.117,322

3.890 227,322 3.662,678; 3.890 227,322 4.1

" ,

3.662,678 4.117,

17,3

322

2

"

2

IC de

Explica que la Media Poblacional con estos datos debe

LIC X E LSC

oscilar desde a inclusive

X E

f) Como Bs. 3.800,00 está dentro del Intervalo de Confianza se puede considerar como uno

de los valores de la Media Aritmética Poblacional; no así Bs. 3.650,00 que está fuera de

ese intervalo”

4) Suponga que en el problema anterior la muestra seleccionada es de 25 trabajadores y no

responde a una Distribución Normal, y que el Nivel de Confianza es de 95%.

a) “No se puede considerar una media poblacional como tal en virtud que en el Intervalo de

Confianza que se podría desarrollar con esta información existirían infinitos valores que podrían asumir la función de Media Aritmética Poblacional”.

b) “El mejor estimador es la Media Muestral (Bs. 3.890,00) , ya que partiendo de ella se

puede estimar el rango de valores donde puede ubicarse la Media Poblacional”

c) “Se utilizará la Distribución de Student o t, ya que n=25<30, Población Pequeña No

Normal.

d)

998; 95% . . 1 25 1 2199,6

41

4 2,06425

2,064 199, 96 1, 74

xxpara NC y g l n t

x EE

e)

: 3.478,026 4.301,974

3.890 411,974 3.478,026; 3.890 411,974 4.3

" ,

3.478,026 4.301,

01,9

974

4

"

7

IC de

Explica que la Media Poblacional con estos datos debe

LIC X E LSC

oscilar desde a inclusive

X E

22

f) Tanto Bs. 3.800,00 como Bs 3.650 están dentro del Intervalo de Confianza

ambos valores se pueden considerar como Medias Aritmética Poblacionales.”

Problemas para la obtención del tamaño adecuado de una muestra

1) ¿Qué tan grande se requiere que sea el tamaño de una muestra para que proporcione una estimación del 90% del número promedio de graduados de las universidades nacionales con

un error de muestreo de 2.000 estudiantes si una muestra piloto reporta una desviación

estándar de 8.659?

Datos: 2000; 8.659; 90%E NC

Fórmulas:

2Z

nE

2

1,65 8.65990% 1,65; : 51,0321

2.

2

000

5n

xPara NC Z luego n

2) Para realizar un estudio se requiere un nivel de confianza del 95% para la tasa de

rendimiento promedio de una empresa que gana sobre sus proyectos para presupuestar

capital. ¿Cuántos proyectos debe tener la muestra, si su supervisor especifica un error

máximo de sólo del 5% y una desviación estándar de 0,23?

Datos: 5%; 95%; 0,23E NC

Fórmulas: Z

nE

2

1,96 0,2395% 1,96 81,2

8

8830,05

2

xPara NC n

n

Z

3) El comisionado para supervisar el funcionamiento de los institutos de educación

universitaria requiere hacer un estudio sobre los graduandos de dichos institutos en

esta parte del año. Solo sabe que el año pasado por esta época solo se graduó el 82% de los que tenían opción al grado. Se toma un nivel de confianza del 96%, y se estima un error de

muestreo del 3%, para realizar una encuesta sobre la posibilidad que tiene cada estudiante

de graduarse. Para hacerla se va a tomar una muestra de manera aleatoria de los 25.683

graduandos. ¿Cuál sería el tamaño mínimo de la muestra para realizar esta investigación?

Datos: 0,82; 0,03; 96%; 25.683E NC N Población Finita

Fórmula:

2

2 2

1

1

o

o

NZn

NE Z

2

2 2

0,82 0,18 25.683 2,05671,198

25.683 0,03 0,82 0,18 2,05672n graduandn os

4) El comisionado para supervisar el funcionamiento de los institutos de educación

universitaria requiere hacer un estudio sobre los graduandos de dichos institutos en

esta parte del año. No teniendo una información referencial para un basamento en el muestreo de los graduandos actuales; se toma un nivel de confianza del 96%, y se estima

un error de muestreo del 3%, para realizar una encuesta sobre la posibilidad que tiene cada

23

estudiante de graduarse. Para hacerla se va a tomar una muestra de manera aleatoria de los

25.683 graduandos. ¿Cuál sería el tamaño mínimo de la muestra para realizar esta

investigación?

Datos: 0,03; 96% ; 25.683E NC Población No Finita N

Fórmulas:

2

2 2

0,25

0,25

o

o

NZn

NE Z

2

2 2

0,25 25.683 2,051.116,608

25.683 0,03 0,251

2,05.117n graduandosn

Problemas de Prueba de Hipótesis de una o dos Poblaciones Problema de Prueba de Hipótesis de dos colas

1) Una embotelladora de salsa de tomates quiere comprobar que el producto contenido en cada

botella tiene un peso promedio de 450 gramos. Para realizar la comprobación se tomó una muestra de 250 botellas, y se le calculó al producto, un peso promedio de 452,75 gramos, con una

desviación estándar de 24,55 gramos. Para la comprobación se toma un nivel de significancia del

5%. ¿Será cierto lo que quiere comprobar la embotelladora de salsa de tomates?

Datos: µ =450 grs., n=250 botellas; =452,75 grs.; S=24,55 grs.; α=5%

01. Planteamiento de la Hipótesis:

Hipótesis Nula; H0: µ =450 grs. HA: µ 450 grs.

02. Seleccionar un nivel de significancia:

Como µ=450 grs., eso implica que la prueba es de dos colas, por lo que

0,050,025

2 2o

03. Determinar el estadístico de prueba:

Siendo n=250 > 30, muestra grande, se usa la Distribución Z; por lo que

x

xz

S y

x

SS

n, por lo que:

24,551,553

250x

S y 452,75 450

1,771,553

z

04 Formular la regla de decisión:

24

Rechazo Zo =-1,96 Z=1,77 Zo=1,96 Aceptación

Por ser una prueba de dos colas para aceptar la Hipótesis Nula debe cumplirse que –Z0<Z<Z0, de lo contrario se rechaza. Se sabe que A0= 0,5 - α0, por lo tanto A0=0,5-

0,025=0,4750, buscando este valor en la tabla de Z, resulta que Z0 =1,96.

05 Toma de Decisión:

Cumpliéndose lo establecido en la regla de decisión, por cuanto –Z0=-1,96<1,77=Z<1,96=Z0, se acepta la hipótesis nula, es decir: “la embotelladora comprobó con esta prueba de

hipótesis, que realmente el contenido de cada botella de salsa de tomate pesa un

promedio de 450 gramos”

Problema de Prueba de Hipótesis de una cola

2) Una embotelladora de salsa de tomates quiere comprobar que el producto contenido en cada

botella tiene un peso promedio mayor o igual a 450 gramos. Para realizar la comprobación se tomó una muestra de 250 botellas, y se le calculó al producto, un peso promedio de 452,75 gramos, con

una desviación estándar de 24,55 gramos. Para la comprobación se toma un nivel de significancia

del 5%. ¿Será cierto lo que quiere comprobar la embotelladora de salsa de tomates?

Datos: 450grs., n=250 botellas; =452,75; S=24,55 grs.; α=5%

01. Planteamiento de la Hipótesis:

Hipótesis Nula; H0: 450 .grs HA: µ<450 grs.

02. Seleccionar un nivel de significancia:

Como, 450 , eso implica que la prueba es de una cola, como =452,75 > 450 = µ, y la

cola es a la derecha por lo que αo=α= 0,05

03. Determinar el estadístico de prueba:

Siendo n=250 > 30, muestra grande, se usa la Distribución Z; por lo que

y x

xz

S y

x

SS

n, por lo que:

24,551,5527

250x

S452,75 450

1,771,5527

z

04. Formular la regla de decisión:

Cola a la Derecha

25

Aceptación Z0 =1,65 Z=1,77 Rechazo

Por ser una prueba de una cola y es a la derecha, para aceptar la Hipótesis Nula debe cumplirse que Z<Z0, de lo contrario se rechaza. Se sabe que A0= 0,5 - α0, por lo tanto A0=0,5-

0,05=0,4500, buscando este valor en la tabla de Z, resulta que Z0 =1,65.

05 Toma de Decisión:

No cumpliéndose lo establecido en la regla de decisión, por cuanto Z=1,77> 1,65=Z0, se rechaza la hipótesis nula, es decir: “la embotelladora comprobó con esta prueba de hipótesis, que realmente el contenido de cada botella de salsa de tomate pesa menos del promedio

de 450 gramos”

Problema de Prueba de Hipótesis de Proporción Poblacional y una cola

3) El encargado para colocar en el mercado de trabajo a los graduados del I. U. G. T. sostuvo que al menos el 50% de los nuevos graduados habían cerrado un trato de empleo para el 1ro de Agosto.

Supongamos que reúne una muestra aleatoria de 30 estudiantes próxima a graduarse y que solo

10 de ellos señalan haber cerrado un trato de empleo para el 1ro de Agosto. Dentro de un nivel de

significancia del 5%; ¿Se podrá rechazar que sostiene el encargado del I. U. G T para la colocación

en el mercado de nuevos graduado?

Datos: 100,5; 30; 10; % 5%; 0,333330

Xn X pn

26

; : ; ,

0,5

0,5 0

P

,

r

0 0

.

, 5

.

A

imer Paso Plantear la Hipótesis

Segundo Paso Seleccionar el Nivel de Significanc

La Hipótesis Nula H quela Hipótesis Alternativa

Como prueba deuna cola luego y además es la

izquierda po

i

r ser

H

a

0,5 0,3333

30, sec

0,333 0,5

0,086

1 0,333 0,6670

. min P

,08630

1,94

r

. Re

p

p

p

Al ser n seconsiderauna población grandeencon uenc

Tercer Paso Deter ar el Es

ia seusa Z

pZ

p p x

tadístico de ueba

Cuarto Paso Formular la

Z

n

gla

,

0,5 0,5 0,05 0,45. 0 1,65

Para aceptar la Hipótesis Nula debecumplirse que Z Z por ser

A

de

una prueba

decola a la i

cisió

zqu

n

ierda Z

Cola a la Izquierda

Rechazo Z=-1,94 Z0=-1,65 Aceptación

Re ,

1,94 1,65 ,

i

"

arg . . . . "

nt .

, :

Al nocumplirseloestablecidoenla gla decisión ya que

Z Z se re lo que

afirma el enc

Qu o Paso T

ado d

chaza la H

ecolocac

ipótesis Nula es d

ión de graduados del I U G T noes cier

ecir

t

omar la Decisi

o

ón

Problema de Prueba de Hipótesis de dos poblaciones y dos colas

4) Se estudia la ubicación de un centro comercial y se consideran las alternativas de dos

localidades tomando en cuenta el ingreso económico mensual de los miembros de la

comunidad. Se desea probar la hipótesis de que no existe diferencia entre el ingreso

económico medio de ambas comunidades y se supone que la desviaciones estándar de ese

ingreso medio también son iguales. En una muestra de 30 hogares de la primera comunidad

27

el ingreso mensual promedio es de Bs. 7.990,00 con una desviación estándar de Bs. 332. En

una muestra de 40 hogares en la segunda comunidad, el ingreso mensual promedio es de Bs.

7.790,00 con una desviación estándar de Bs. 430. Para un nivel de significancia del 5%, ¿Se cumplirá la hipótesis planteada?

Datos: 1 1 1 2 2 230; 7.990; 332; 40; 7.790; 430; % 5%n X S n X S

1 2 1 2

1 2

Pr .

.

; : ,

.

0,0

m

,2

i

2

n

;

5

imer Paso Plantear la Hipótesis

Segundo Paso Seleccionar el Nivel de Sign

La Hipótesis Nula H quela Hipótesis Alternativa

Como prueba de dos cola

ificancia

Tercer Paso D

s l

eter ar e

uego

1 2

1 2

1 2

1 2 1 2

2 2 2 2

1 2

1 2

30 40; sec

7.990 7.790

91,086

332 43091

P

,08630 40

2,196

r

. Re

X X

X X

Al ser n y n seconsideran poblaciónes grandes en con uencia seusa Z

X

l Estadístico de ueba

Cuarto Paso Formular la gla de

X

n n

ZZ

0,5 0,5 0,025 0,4750 1 6

,

. ,9

Para aceptar la Hipótesis Nula debecumplirse que Z Z Z por ser una

de dos cola

ci

As

si

Z

ón

Rechazo Z0=-1,96 Z0=1,96 Z=2,196 Aceptación

Re ,

2,

i

19 "

cos

6 1,96 , ,

nt

:

.

Al nocumplirseloestablecidoenla gla decisión ya que

Z Z serechaza Si existe

diferencia entrelos ing

la Hipóte

resos eco

Qu o Pas

nóm

o Tomar la

i delo

Decisió

s reside

sis Nula es dec

ntes de ambas c

n

omunida

ir

"des

28

Lapso 04 de Estadística II y Estadística Aplicada

Problema de Prueba de Análisis de Varianza

Problema 01.-La siguiente es información de una muestra. Probar la hipótesis de que las medias de tratamientos son iguales, para un nivel de significancia del 5%.

Trat. 01 Trat. 02 Trat. 03

9 10 12

7 20 9

13 14 12

9 13 14

12 15

10

Solución

Datos:

% 5%; el restoen la tabla

Fórmulas:

2 22

1 1 1

; ;

; ; ;1 1

f fcc

ij i j ijc j ij

SCT X X SCTR f X X SCE X X

SCT SCTR SCE CMTRCMT CMTR CME F

N c N c CME

Desarrollo: Primer Paso.- Plantear la Hipótesis Hipótesis Nula; H0: “Las medias de los tratamientos son iguales” Hipótesis Alternativa; HA: “las medias de los tratamientos son diferentes” Segundo Paso.- Determinar el Estadístico de Prueba

XC1 XC1 XC1

9 10 12 8,6025 0,0045 22,419 1,000 0,160

7 20 9 24,3345 8,6025 21,474 9,000 11,560

13 14 12 1,1385 0,0045 1,0904 9,000 0,160

9 13 14 8,6025 4,2725 1,000 2,560 CMTR 22,492

12 15 0,0045 9,4065 4,000 6,760

10 3,7365 0,000

Mc1 Mc2 Mc3 3,7365 18,063 CME 8,163

10,000 14,250 12,400 65,0765 33,063

4,2725 0,063

1,1385 1,563

120,643 22,2904 76,750 21,200 F 2,76

SCT 142,933 SCTR 44,983 SCE 97,950

VALOR DE FISHER

MED. CUAD. ERROR

SCT SCTR SCE GRAN MEDIA

MED. CUAD. TRAT.

11,933

29

Tercer Paso.- Seleccionar el Nivel de Significancia, formular la Regla de Decisión y

Tomar la Decisión

Como es ANOVA, para probar la Hipótesis

Nula se usa la Didtribción de Fisher, la

prueba es de una sola cola y positiva, por

o= 5%. Para aceptar la

Hipótesis Nula debe cumplirse que:

0( . . . 2; . . 12,% 5%) 3,89o g l num g l DenF F

0( . . . 2; . . 12,% 5%): 2,76 3,89 o g l num g l DenComo F F

, Se acepta la hipótesis nula, es

decir: “Las medias de los

tratamientos son iguales”

Problema de Prueba de Chi-Cuadrado de resultados esperados uniformes

América Uzcátegui, Gerente General y dueña de la empresa mayorista,”Uzcátegui de Alimentos

C.A.”, asume la responsabilidad de tomar la decisión de comprar las cajas de mermeladas cada una de 24 envases, entre cuatro empresas productoras del artículo. América considera que las

cuatro empresas productoras presentan la misma demanda del artículo. Ante la escacés de

alimentos, se piensan comprar 106 cajas el total de existencia del producto en los depósitos de

la comercializadora y que se estima vender en la semana siendo la existencia de esas cuatro

marcas de mermeladas la siguiente: Marca “A” 26 cajas, Marca “B” 23 cajas, Marca “C” 29 cajas

y de la Marca “D” 28 cajas. Para un nivel de significancia del 2,5%; ¿Será que el criterio de América Uzcátegui es válido?

Solución

Datos: % 2,5%; el restodelos datosenlatabla

Fórmula:

2

2

1

fO E

j E

f f

f

Desarrollo:

Primer Paso.- Plantear la Hipótesis.

Hipótesis Nula; H0: “Es uniforme la venta de las cajas de mermelada según afirma la

Gerente General”

Hipótesis Alternativa; HA: “No es uniforme la venta de las cajas de mermelada contrario

a lo que afirma la Gerente General”

Segundo Paso.- Determinar el Estadístico de Prueba

Marcas fO X fE (fO-fE)2

(fO-fE)2/fE

"A" 26 0,2500 26,5 0,25 0,009

"B" 23 0,2500 26,5 12,25 0,462

"C" 29 0,2500 26,5 6,25 0,236

"D" 28 0,2500 26,5 2,25 0,085

106 106 X2= 0,792

30


Tomar la Decisión

Como es una prueba de Chi-

Cuadrado es de una sola cola y

o= 2,5%. Para aceptar la Hipótesis Nula debe

cumplirse que: 0

2 2

0 ( . . 3, % 2,5%)g l

0

2 2

0( . . 3; % 2,5%): 0,792 9,348 g lComo ,

Se acepta la hipótesis nula, es decir:

“Hay uniformidad en las ventas de las

cajas de mermeladas según afirma la

Gerente General”

Problema de Prueba de Chi-Cuadrado de resultados esperados variables

El Gerente de una agencia bancaria, trata de seguir una política de conceder créditos de

acuerdo a las siguientes actividades productivas: Actividad Comercial (A) un 42%, Actividad

Agrícola (B) un 32%, para la Exportación un (C) 15% y a Personas Naturales (D) el resto de la cartera crediticia. Se quiere evaluar si la política trazada por el gerente se está llevando a cabo,

para lo cual selecciona aleatoriamente 150 créditos otorgados en el último mes y esto fue el

resultado del inventario: “A” 61 créditos, “B” 45; “C” 26 y “D” 18. Para un nivel de significancia

del 2%; ¿Será que se está siguiendo la política crediticia del gerente del banco?

Solución

Datos: % 2%; el restodelos datosenlatabla

Fórmula:

2

2

1

fO E

j E

f f

f

Primer Paso.- Plantear la Hipótesis. Hipótesis Nula; H0: “Se sigue la política del Gerente Bancario” Hipótesis Alternativa; HA: “No se sigue la política del Gerente Bancario”

Segundo Paso.- Determinar el Estadístico de Prueba

Ac. Com. fO X fE (fO-fE)2

(fO-fE)2/fE

"A" 61 0,4200 63,0 4,00 0,063

"B" 45 0,3200 48,0 9,00 0,188

"C" 26 0,1500 22,5 12,25 0,544

"D" 18 0,1100 16,5 2,25 0,136

150 150 X2= 0,932


Tomar la Decisión



o= 2%.

Para aceptar la Hipótesis Nula debe

cumplirse que: 0

2 2

0 ( . . 3, % 2%)g l

0

2 2

0( . . 3; % 5%): 0,932 9,837 g lComo ,

Se acepta la hipótesis nula, es decir: “Si

se está siguiendo la política trazada por

el Gerente Bancario”

31

Problemas de Prueba de Chi-Cuadrado para comprobar Normalidad de una distribución

1) Para un nivel de significancia del 2%, probar si la distribución de frecuencia de las notas de

50 estudiantes que se presenta al final constituye una Distribución Normal, para una Media

Notas De 0 a 4 De 4 a 8 De 8 a12 De 12 a 16 De 16 a 20

Estudiantes 05 10 20 10 05

Solución


Fórmula:

2

2

1

fO E

j E

f f

f

Desarrollo: Primer Paso.- Planteamiento de la Hipótesis.

Hipótesis Nula; H0: “Esta distribución responde a una Distribución Normal” Hipótesis Alternativa; HA: “Esta distribución no responde a una Distribución Normal” Segundo Paso.- Determinar el Estadístico de Prueba.

Clases fO X fE (fO-fE)2

(fO-fE)2/fE

"A" 5 0,0853 4,265 0,54 0,127

"B" 10 0,2375 11,875 3,516 0,296

"C" 20 0,3544 17,720 5,198 0,293

"D" 10 0,2375 11,875 3,516 0,296

"E" 5 0,0853 4,265 0,54 0,127

50 50,000 X2= 1,012

4

4 101,37

4,381Z 4 0,5000 0,4147 0,0853MenosdeA

8

8 100,46

4,381Z

4 8 0,4147 0,1772 0,2375A

12

12 100,46

4,381Z

8 12 0,1772 0,1772 0,3544A

32

16

16 101,37

4,381Z

12 16 0,4147 0,1772 0,2375A

16

16 101,37

4,381Z

16 0,5 0,4147 0,0853MásdeA


Tomar la Decisión



positiva, por o= 2%.


cumplirse que: 0

2 2

0 ( . . 4, % 2%)g l

0

2 2

0( . . 4; % 2%): 1,12 11,668 g lComo ,


“Esta distribución responde a una

Población Normal”

2) Al final se muestra una distribución que refleja las notas obtenidas por un curso de 30

estudiantes de estadística aplicada; notas que promediaron 11,2 puntos con una Desviación

Estándar de 6,3 puntos. Para un Nivel de significancia del 5%, probar si esa Distribución

responde a una población normal.

Notas De 0 a 5 De 5 a 10 De 10 a15 De 15 a 20 Total

Estudiantes 06 12 10 02 30

Solución


Fórmula:

2

2

1

fO E

j E

f f

f

Primer Paso.- Planteamiento de la Hipótesis. Hipótesis Nula; H0: “Esta distribución responde a una Distribución Normal”

Hipótesis Alternativa; HA: “Esta distribución no responde a una Distribución Normal”

Segundo Paso.- Determinar el Estadístico de Prueba.

fO xi fE (fO - fE) (fO - fE)2

X2=∑[(fO - fE)2/fE]

6 0,1635 4,905 1,095 1,199 0,244

12 0,2611 7,833 4,167 17,364 2,217

10 0,3012 9,036 0,964 0,929 0,103

2 0,2742 8,226 -6,226 38,763 4,712

30 1,0000 30,000 0 7,276

33

5

5 11,20,98

6,3Z 5 0,5000 0,3365 0,1635MenosdeA

10

10 11,20,19

6,3Z

5 10 0,3365 0,0754 0,2611A

15

15 11,20,60

6,3Z

10 15 0,0754 0,2258 0,3012A

15

15 11,20,60

6,3MásdeZ

15 0,5000 0,2258 0,2742MásdeA

Tercer Paso.- Seleccionar el Nivel de Significancia, formular la Regla de Decisión y Tomar la Decisión



o= 5%.


cumplirse que: 0

2 2

0 ( . . 3, % 5%)g l

0

2 2

0( . . 3; % 5%): 7,276 7,815 g lComo ,


“Esta distribución responde a una Población Normal”

Problema de Prueba de Chi-Cuadrado para comprobar independencia de las

características de una Tabla de Contingencia

1) Una compañía trabaja con cuatro máquinas en tres turnos diarios. La siguiente tabla de

contingencia presenta las veces que fallaron y se pararon las máquinas durante un período

de seis meses.

Tabla de contingencia de número de paros:

Máquinas Turno

A B C D Total por turnos

Turno 01 10 12 06 07 35

Turno 02 10 24 09 10 53

Turno 03 13 20 07 10 50

Total por máquina 33 56 22 27 138

Para un nivel de significancia del 5% probar que para un paro arbitrario, la máquina que

ocasiona ese paro es independiente del turno cuando ocurre.

Solución


Fórmula:

2

2

1

fO E

j E

f f

f

Desarrollo Primer Paso.- Planteamiento de la Hipótesis.

34

Hipótesis Nula; H0: “Para un paro arbitrario la máquina que lo ocasiona, no tiene nada que ver con el

turno cuando ocurre” Hipótesis Alternativa; HA: “Para un paro arbitrario la máquina que lo ocasiona, si tiene nada que ver con el turno cuando ocurre””


O E O E O E O E O E

T-01 10 8,370 12 14,203 6 5,580 7 6,848 35 35,00

T-02 10 12,674 24 21,507 9 8,449 10 10,369 53 53,00

T-03 13 11,956 20 20,290 7 7,971 10 9,783 50 50,00

T-MQ. 33 33,000 56 56,000 22 22,000 27 27 138 138,00

0,317 0,342 0,032 0,003

0,564 0,289 0,036 0,013

0,091 0,004 0,118 0,005

1,814

X2

X2

X2

X2

A B C D T-T

X2=


Tomar la Decisión



o= 5%.


cumplirse que: 0

2 2

0 ( . . 6, % 5%)g l

0

2 2

0( . . 6; % 5%): 1,814 12,592 g lComo ,

Se acepta la hipótesis nula, es decir: “Para un paro arbitrario la máquina que lo

ocasiona, no tiene nada que ver con el turno

cuando ocurre”

2) Se registraron un total de 309 muebles defectuosos, se clasificaron los defectos en cuatro

tipos (A; B; C; D). Al mismo tiempo el turno (1; 2; 3), cuando se produjo cada uno de los

muebles. Esta información se presenta en la tabla de contingencia que se presenta al final.

Para un nivel de significancia del 2%; ¿Proporciona los datos suficientes evidencias para

concluir que las proporciones de los cuatro tipos de defectos varían de un turno a otro?

Turno

Tipo de defecto

Total A B C D

1 15 21 45 13 94

2 26 31 34 05 96

3 33 17 49 20 119

Total 74 69 128 38 309

Solución


Fórmula:

2

2

1

fO E

j E

f f

f

35

Desarrollo Primer Paso.- Planteamiento de la Hipótesis. Hipótesis Nula; H0: “Las proporciones de los cuatro tipos de defectos varían de un turno a otro” Hipótesis Alternativa; HA: “Las proporciones de los cuatro tipos de defectos no varían de un turno a

otro”


O E O E O E O E O E

T-01 15 22,511 21 20,990 45 38,939 13 11,560 94 94,00

T-02 26 22,990 31 21,437 34 39,767 5 11,806 96 96,00

T-03 36 28,499 17 26,573 49 49,294 20 14,634 119 119,00

T-DEFC. 74 74,000 69 69,000 128 128,000 38 38,000 309 309,00

2,560 0,000 0,943 0,179

0,394 4,266 0,836 3,924

2,447 3,449 0,002 1,968

20,968

X2

X2

X2

X2

A B C D T-T

X2=


Tomar la Decisión



o= 5%.


cumplirse que: 0

2 2

0 ( . . 6, % 2%)g l

0

2 2

0( . . 6; % 2%): 20,968 15,033 g lComo ,

Se acepta la hipótesis nula, es decir: “ Las

proporciones de los cuatro tipos de defectos no varían de un turno a otro”

36

APÉNDICE “A”

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD NORMAL O “Z” (Media Campana)

Z A Z A Z A Z A Z A Z A Z A Z A

0,00 0,0000 0,45 0,1736 0,90 0,3159 1,35 0,4115 1,80 0,4641 2,25 0,4878 2,70 0,4965 3,15 0,4992

0,01 0,0040 0,46 0,1772 0,91 0,3186 1,36 0,4131 1,81 0,4649 2,26 0,4881 2,71 0,4966 3,16 0,4992

0,02 0,0080 0,47 0,1803 0,92 0,3212 1,37 0,4147 1,82 0,4656 2,27 0,4884 2,72 0,4967 3,17 0,4992

0,03 0,0120 0,48 0,1844 0,93 0,3238 1,38 0,4162 1,83 0,4664 2,28 0,4887 2,73 0,4968 3,18 0,4993

0,04 0,0160 0,49 0,1879 0,94 0,3264 1,39 0,4177 1,84 0,4671 2,29 0,4890 2,74 0,4969 3,19 0,4993

0,05 0,0199 0,50 0,1915 0,95 0,3289 1,40 0,4192 1,85 0,4678 2,30 0,4893 2,75 0,4970 3,20 0,4993

0,06 0,0239 0,51 0,1950 0,96 0,3315 1,41 0,4207 1,86 0,4686 2,31 0,4896 2,76 0,4971 3,21 0,4993

0,07 0,0279 0,52 0,1985 0,97 0,3340 1,42 0,4222 1,87 0,4693 2,32 0,4898 2,77 0,4972 3,22 0,4994

0,08 0,0319 0,53 0,2019 0,98 0,3365 1,43 0,4236 1,88 0,4700 2,33 0,4901 2,78 0,4973 3,23 0,4994

0,09 0,0359 0,54 0,2054 0,99 0,3389 1,44 0,4251 1,89 0,4706 2,34 0,4904 2,79 0,4974 3,24 0,4994

0,10 0,0398 0,55 0,2088 1,00 0,3413 1,45 0,4265 1,90 0,4713 2,35 0,4906 2,80 0,4974 3,25 0,4994

0,11 0,0438 0,56 0,2123 1,01 0,3438 1,46 0,4279 1,91 0,4719 2,36 0,4909 2,81 0,4975 3,26 0,4994

0,12 0,0478 0,57 0,2157 1,02 0,3461 1,47 0,4292 1,92 0,4726 2,37 0,4911 2,82 0,4976 3,27 0,4995

0,13 0,0517 0,58 0,2190 1,03 0,3485 1,48 0,4306 1,93 0,4732 2,38 0,4913 2,83 0,4977 3,28 0,4995

0,14 0,0557 0,59 0,2224 1,04 0,3508 1,49 0,4319 1,94 0,4738 2,39 0,4916 2,84 0,4977 3,29 0,4995

0,15 0,0596 0,60 0,2258 1,05 0,3531 1,50 0,4332 1,95 0,4744 2,40 0,4918 2,85 0,4978 3,30 0,4995

0,16 0,0636 0,61 0,2291 1,06 0,3554 1,51 0,4345 1,96 0,4750 2,41 0,4920 2,86 0,4979 3,31 0,4995

0,17 0,0675 0,62 0,2324 1,07 0,3577 1,52 0,4357 1,97 0,4756 2,42 0,4922 2,87 0,4980 3,32 0,4996

0,18 0,0714 0,63 0,2357 1,08 0,3599 1,53 0,4370 1,98 0,4762 2,43 0,4925 2,88 0,4980 3,33 0,4996

0,19 0,0754 0,64 0,2389 1,09 0,3621 1,54 0,4382 1,99 0,4767 2,44 0,4927 2,89 0,4981 3,34 0,4996

0,20 0,0793 0,65 0,2422 1,10 0,3643 1,55 0,4394 2,00 0,4773 2,45 0,4929 2,90 0,4981 3,35 0,4996

0,21 0,0832 0,66 0,2454 1,11 0,3665 1,56 0,4406 2,01 0,4778 2,46 0,4931 2,91 0,4982 3,36 0,4996

0,22 0,0871 0,67 0,2486 1,12 0,3686 1,57 0,4418 2,02 0,4783 2,47 0,4932 2,92 0,4983 3,37 0,4996

0,23 0,0910 0,68 0,2518 1,13 0,3708 1,58 0,4430 2,03 0,4788 2,48 0,4934 2,93 0,4983 3,38 0,4996

0,24 0,0948 0,69 0,2549 1,14 0,3729 1,59 0,4441 2,04 0,4793 2,49 0,4936 2,94 0,4984 3,39 0,4997

0,25 0,0987 0,70 0,2580 1,15 0,3749 1,60 0,4452 2,05 0,4798 2,50 0,4938 2,95 0,4984 3,40 0,4997

0,26 0,1026 0,71 0,2612 1,16 0,3770 1,61 0,4463 2,06 0,4803 2,51 0,4940 2,96 0,4985 3,41 0,4997

0,27 0,1064 0,72 0,2642 1,17 0,3790 1,62 0,4474 2,07 0,4808 2,52 0,4941 2,97 0,4985 3,42 0,4997

0,28 0,0110 0,73 0,2673 1,18 0,3810 1,63 0,4485 2,08 0,4812 2,53 0,4943 2,98 0,4986 3,43 0,4997

0,29 0,1141 0,74 0,2704 1,19 0,3830 1,64 0,4495 2,09 0,4817 2,54 0,4945 2,99 0,4986 3,44 0,4997

0,30 0,1179 0,75 0,2734 1,20 0,3849 1,65 0,4505 2,10 0,4821 2,55 0,4946 3,00 0,4987 3,45 0,4997

0,31 0,1217 0,76 0,2764 1,21 0,3869 1,66 0,4515 2,11 0,4826 2,56 0,4948 3,01 0,4987 3,46 0,4997

0,32 0,1255 0,77 0,2794 1,22 0,3888 1,67 0,4525 2,12 0,4830 2,57 0,4949 3,02 0,4987 3,47 0,4997

0,33 0,1293 0,78 0,2823 1,23 0,3907 1,68 0,4535 2,13 0,4834 2,58 0,4951 3,03 0,4988 3,48 0,4998

0,34 0,1331 0,79 0,2852 1,24 0,3925 1,69 0,4545 2,14 0,4838 2,59 0,4952 3,04 0,4989 3,49 0,4998

0,35 0,1368 0,80 0,2881 1,25 0,3944 1,70 0,4554 2,15 0,4842 2,60 0,4953 3,05 0,4989 3,50 0,4998

0,36 0,1406 0,81 0,2910 1,26 0,3962 1,71 0,4564 2,16 0,4846 2,61 0,4955 3,06 0,4989 3,51 0,4998

0,37 0,1443 0,82 0,2939 1,27 0,3980 1,72 0,4573 2,17 0,4850 2,62 0,4956 3,07 0,4989 3,52 0,4998

0,38 0,1480 0,83 0,2967 1,28 0,3997 1,73 0,4582 2,18 0,4854 2,63 0,4957 3,08 0,4990 3,53 0,4998

0,39 0,1517 0,84 0,2996 1,29 0,4015 1,74 0,4591 2,19 0,4857 2,64 0,4959 3,09 0,4990 3,54 0,4998

0,40 0,1554 0,85 0,3023 1,30 0,4032 1,75 0,4599 2,20 0,4861 2,65 0,4960 3,10 0,4990 3,55 0,4998

0,41 0,1591 0,86 0,3081 1,31 0,4049 1,76 0,4608 2,21 0,4865 2,66 0,4961 3,11 0,4991 3,56 0,4998

0,42 0,1628 0,87 0,3079 1,32 0,4066 1,77 0,4616 2,22 0,4868 2,67 0,4962 3,12 0,4991 3,57 0,4998

0,43 0,1664 0,88 0,3106 1,33 0,4082 1,78 0,4625 2,23 0,4871 2,68 0,4963 3,13 0,4991 3,58 0,4998

0,44 0,1700 0,89 0,3133 1,34 0,4099 1,79 0,4633 2,24 0,4875 2,69 0,4964 3,14 0,4992 3,59 0,4998

37

Tabla Orientadora para obtener las probabilidades de la Distribución

Aplicando la Media Campana de Gauss APÉNDICE “B”

GRÁFICA EN LA

CAMPANA DE GAUSS

PROBABILIDAD

SOLICITADA

PARÁMETRO

RESPECTO A LA MEDIA

POBLACIONAL

SIGNO DE Z

OBTENCIÓN DEL

ÁREA EN LA TABLA DE Z

Un solo acotamiento (X<a; X>a)

P X a a Z 0,5 aA A

38

Valores notable de Z

N.C.%

A0 Z0 N.C.%

A0 Z0 N.C.%

A0 Z0 N.C.%

A0 Z0

80 0,400 1,28 85 0,425 1,44 90 0.450 1,65 95 0.475 1,96

81 0,405 1,31 86 0,430 1,48 91 0,455 1,72 96 0,480 2,05

82 0,410 1,34 87 0,435 1,51 92 0,460 1,75 97 0,485 2,17

83 0,415 1,37 88 0,440 1,56 93 0,465 1,81 98 0,490 2,33

84 0,420 1,41 89 0,445 1,60 94 0,470 1,88 99 0,495 2,58

DISTRIBUCIÓN t DE STUDENT

APÉNDICE "C"

Intervalo de Confianza, IC

Intervalo de Confianza, IC

80% 90% 95% 98% 99% 99,9%

80% 90% 95% 98% 99% 99,9%

Nivel de significancia para prueba de una cola,

Nivel de significancia para prueba de una cola,

g.l. 0,100 0,050 0,025 0,010 0,005 0,0005

g.l. 0,100 0,050 0,025 0,010 0,005 0,0005

Nivel de significancia para prueba de dos colas,

Nivel de significancia para prueba de dos colas,

0,200 0,100 0,050 0,020 0,010 0,001

0,200 0,100 0,050 0,020 0,010 0,001

1 3,078 6,314 12,706 31,821 63,657 636,619

34 1,307 1,691 2,032 2,441 2,728 3,601

2 1,886 2,920 4,303 6,965 9,925 31,599

35 1,306 1,690 2,030 2,438 2,724 3,591

3 1,638 2,353 3,182 4,541 5,841 12,924

36 1,306 1,688 2,028 2,434 2,719 3,582

4 1,533 2,132 2,776 3,747 4,604 8,610

37 1,305 1,687 2,026 2,431 2,715 3,574

P X a a Z 0,5 aA A

P X a a Z 0,5 aA A

P X a a Z 0,5 aA A

Doble acotamiento (a<X<b; X<a ó X>b)

P a X b a b ;a bZ y Z b aA A A

P a X b a b ;a bZ y Z b aA A A

P a X a b Z aA A

P X b a b Z bA A

P a X b a b ;a bZ y Z a bA A A

39

5 1,476 2,015 2,571 3,365 4,032 6,869

38 1,304 1,686 2,024 2,429 2,712 3,566

6 1,440 1,943 2,447 3,143 3,707 5,959

39 1,304 1,685 2,023 2,426 2,708 3,558

7 1,415 1,895 2,365 2,998 3,499 5,408

40 1,303 1,684 2,021 2,423 2,704 3,551

8 1,397 1,860 2,306 2,896 3,355 5,041

41 1,303 1,683 2,020 2,421 2,701 3,544

9 1,383 1,833 2,262 2,821 3,250 4,781

42 1,302 1,682 2,018 2,418 2,698 3,538

10 1,372 1,812 2,228 2,764 3,169 4,587

43 1,302 1,681 2,017 2,416 2,695 3,352

11 1,363 1,796 2,201 2,718 3,106 4,437

44 1,301 1,680 2,015 2,414 2,692 3,526

12 1,356 1,782 2,179 2,681 3,055 4,318

45 1,301 1,676 2,014 2,412 2,690 3,520

13 1,350 1,771 2,160 2,650 3,012 4,221

46 1,300 1,679 2,013 2,410 2,687 3,515

14 1,345 1,761 2,145 2,624 2,977 4,140

47 1,300 1,678 2,012 2,408 2,685 3,510

15 1,341 1,753 2,131 2,602 2,947 4,073

48 1,299 1,677 2,011 2,407 2,682 3,505

16 1,337 1,746 2,120 2,583 2,921 4,015

49 1,299 1,677 2,010 2,405 2,680 3,500

17 1,333 1,740 2,110 2,567 2,898 3,965

50 1,299 1,676 2,009 2,403 2,678 3,496

18 1,330 1,734 2,101 2,552 2,878 3,922

51 1,298 1,675 2,008 2,402 2,676 3,492

19 1,328 1,729 2,093 2,539 2,861 3,883

52 1,298 1,675 2,007 2,400 2,674 3,488

20 1,325 1,725 2,086 2,528 2,845 3,850

53 1,298 1,674 2,006 2,399 2,672 3,484

21 1,323 1,721 2,080 2,518 2,831 3,819

54 1,297 1,674 2,005 2,397 2,670 3,480

22 1,321 1,717 2,074 2,508 2,819 3,792

55 1,297 1,673 2,004 2,396 2,668 3,476

23 1,319 1,714 2,069 2,500 2,807 3,768

56 1,297 1,673 2,003 2,395 2,667 3,473

24 1,318 1,711 2,064 2,492 2,797 3,745

57 1,297 1,672 2,002 2,394 2,665 3,470

25 1,316 1,708 2,060 2,485 2,787 3,725

58 1,296 1,672 2,002 2,392 2,663 3,466

26 1,315 1,706 2,056 2,479 2,779 3,707

59 1,296 1,671 2,001 2,391 2,662 3,463

27 1,314 1,703 2,052 2,473 2,771 3,690

60 1,296 1,671 2,000 2,390 2,660 3,460

28 1,313 1,701 2,048 2,467 2,763 3,674

61 1,296 1,670 2,000 2,389 2,659 3,457

29 1,311 1,699 2,045 2,462 2,756 3,659

62 1,295 1,670 1,999 2,388 2,657 3,454

30 1,310 1,697 2,042 2,457 2,750 3,646

63 1,295 1,669 1,998 2,387 2,656 3,452

31 1,309 1,696 2,040 2,453 2,744 3,633

64 1,295 1,669 1,998 2,386 2,655 3,449

32 1,309 1,694 2,037 2,449 2,738 3,622

65 1,295 1,669 1,997 2,385 2,654 3,447

33 1,308 1,692 2,035 2,445 2,733 3,611

66 1,295 1,668 1,997 2,384 2,652 3,444

APÉNDICE “D”

FÓRMULAS PARA LA DETERMINACIÓN DEL TAMAÑO

ADECUADO DE LA MUESTRA

Tipo de

Población

Parámetro Fórmula Ordinaria Fórmula

Óptima

Comentario

Media

Poblacional

2Z

nE

Seleccionado el N.C., en el

tamaño muestral 2 factores

importantes influyen: a) la

varianza de la pobl. (2

),

expresa el grado de

40

No finita Proporción

Poblacional

2

1Z

nE

2

0,25Z

nE

variabilidad que presentan

las unidades de la pobl.,

siendo para prop. Poblacs.:

2= π (1- π) y en el mejor

de los casos 2

x= 0,25; b) el

tamaño del error tolerable (E)

fijado por el investigador de

acuerdo al estudio a realizar

y c) el nivel de confianza

(NC), tiene relación directa

con el tamaño de la muestra

a mayor nivel de confianza el

tamaño de la muestra será

mayor.

Finita

Media

Poblacional

2 2

2 2 2

NZn

NE Z

Proporción

Poblacional

2

2 2

1

1

NZn

NE Z 2

2 2

0,25

0,25

NZn

NE Z

(APÉNDICE “E”) DISTRIBUCIÓN CHI-CUADRADO

α=20,0% α=10,0% α=5,0% α=2,5% α=2,0% α=1,0% α=0,5%

g.l. χ2 g.l χ2 g.l χ2 g.l χ2 g.l χ2 g.l χ2 g.l χ2

1 1,642 1 2,706 1 3,841 1 5,024 1 5,412 1 6,635 1 7,879

2 3,219 2 4,605 2 5,991 2 7,378 2 7,824 2 9,210 2 10,597

3 4,642 3 6,251 3 7,815 3 9,348 3 9,837 3 11,345 3 12,838

4 5,989 4 7,779 4 9,488 4 11,143 4 11,668 4 13,277 4 14,860

5 7,289 5 9,236 5 11,070 5 12,833 5 13,388 5 15,086 5 16,750

6 8,558 6 10,645 6 12,592 6 14,449 6 15,033 6 16,812 6 18,548

7 9,803 7 12,017 7 14,067 7 16,013 7 16,622 7 18,475 7 20,278

41

8 11,030 8 13,362 8 15,507 8 17,535 8 18,168 8 20,090 8 21,955

9 12,242 9 11,684 9 16,919 9 19,023 9 19,679 9 21,666 9 23,589

10 13,442 10 15,987 10 18,307 10 20,483 10 21,161 10 23,209 10 25,188

11 14,631 11 12,275 11 19,675 11 21,920 11 22,618 11 24,725 11 26,757

12 15,812 12 18,549 12 21,026 12 23,337 12 24,054 12 26,217 12 28,299

13 16,985 13 19,812 13 22,362 13 24,736 13 25,472 13 27,688 13 29,819

14 18,151 14 21,064 14 23,685 14 26,119 14 26,873 14 29,141 14 31,319

15 19,311 15 22,307 15 24,996 15 27,488 15 28,259 15 30,578 15 32,801

16 20,465 16 23,542 16 26,296 16 28,845 16 29,633 16 32,000 16 34,267

17 21,615 17 24,769 17 27,587 17 30,191 17 30,995 17 33,409 17 35,718

18 22,760 18 25,989 18 28,869 18 31,526 18 32,346 18 34,805 18 37,156

19 23,900 19 27,204 19 30,144 19 32,852 19 33,687 19 36,191 19 38,582

20 25,038 20 28,412 20 31,410 20 34,170 20 35,020 20 37,566 20 39,997

21 26,171 21 29,615 21 32,671 21 35,479 21 36,343 21 38,932 21 41,401

22 27,301 22 30,813 22 33,924 22 36,781 22 37,659 22 40,289 22 42,796

23 28,429 23 32,007 23 35,172 23 38,076 23 38,968 23 41,638 23 44,181

24 29,553 24 33,196 24 36,415 24 39,364 24 40,270 24 42,980 24 45,559

25 30,675 25 34,382 25 37,652 25 40,646 25 41,566 25 44,314 25 46,928

26 31,795 26 35,563 26 38,885 26 41,923 26 42,856 26 45,642 26 48,290

27 32,912 27 36,741 27 40,113 27 43,194 27 44,140 27 46,963 27 49,645

28 34,027 28 37,916 28 41,337 28 44,461 28 45,419 28 48,278 28 50,993

29 34,139 29 39,087 29 42,557 29 45,722 29 46,693 29 49,588 29 52,336

30 36,250 30 40,256 30 43,773 30 46,979 30 47,962 30 50,892 30 53,672

40 47,269 40 51,805 40 55,758 40 59,342 40 60,436 40 63,691 40 66,766

50 58,164 50 63,167 50 67,505 50 71,420 50 72,613 50 76,154 50 79,490

60 68,972 60 74,397 60 79,082 60 83,298 60 84,580 60 88,379 60 91,952

70 79,715 70 85,527 70 90,531 70 95,023 70 96,388 70 100,425 70 104,215

80 90,405 80 96,578 80 101,879 80 106,629 80 108,069 80 112,329 80 116,321

90 101,054 90 107,565 90 113,145 90 118,136 90 119,648 90 124,116 90 128,299

100 111,667 100 118,498 100 124,342 100 129,561 100 131,142 100 135,807 100 140,169

VALORES CRÍTICOS PARA LA DISTRIBUCIÓN F DE FISHER Nivel de significancia de 1,00% (N=Numerador; D=Denominador) APÉNDICE "F"

g.l. g.l. g.l. g.l. g.l. g.l. g.l. g.l.

D N F0 D N F0 D N F0 D N F0 D N F0 D N F0 D N F0 D N F0

1 1 4052 4 1 21,20 7 1 12,20 10 1 10,00 13 1 9,07 16 1 8,53 19 1 8,18 22 1 7,95

1 2 5000 4 2 18,00 7 2 9,55 10 2 7,56 13 2 6,70 16 2 6,23 19 2 5,93 22 2 5,72

1 3 5403 4 3 16,60 7 3 8,45 10 3 6,55 13 3 5,74 16 3 5,29 19 3 5,01 22 3 4,82

1 4 5625 4 4 16,00 7 4 7,85 10 4 5,99 13 4 5,21 16 4 4,77 19 4 4,50 22 4 4,31

1 5 5764 4 5 15,50 7 5 7,46 10 5 5,64 13 5 4,86 16 5 4,44 19 5 4,17 22 5 3,99

1 6 5859 4 6 15,20 7 6 7,19 10 6 5,39 13 6 4,62 16 6 4,20 19 6 3,94 22 6 3,76

1 7 5928 4 7 15,00 7 7 6,99 10 7 5,20 13 7 4,44 16 7 4,03 19 7 3,77 22 7 3,59

1 8 5981 4 8 14,80 7 8 6,84 10 8 5,06 13 8 4,30 16 8 3,89 19 8 3,63 22 8 3,45

42

1 9 6022 4 9 14,70 7 9 6,72 10 9 4,94 13 9 4,19 16 9 3,78 19 9 3,52 22 9 3,35

1 10 6056 4 10 14,50 7 10 6,62 10 10 4,85 13 10 4,10 16 10 3,69 19 10 3,43 22 10 3,26

1 12 6106 4 12 14,40 7 12 6,47 10 12 4,71 13 12 3,96 16 12 3,55 19 12 3,30 22 12 3,12

1 15 6157 4 15 14,20 7 15 6,31 10 15 4,56 13 15 3,82 16 15 3,41 19 15 3,15 22 15 2,98

1 20 6209 4 20 14,00 7 20 6,16 10 20 4,41 13 20 3,66 16 20 3,26 19 20 3,00 22 20 2,83

1 24 6235 4 24 13,90 7 24 6,07 10 24 4,33 13 24 3,59 16 24 3,18 19 24 2,92 22 24 2,75

1 30 6261 4 30 13,80 7 30 5,99 10 30 4,25 13 30 3,51 16 30 3,10 19 30 2,84 22 30 2,67

1 40 6287 4 40 13,70 7 40 5,91 10 40 4,17 13 40 3,43 16 40 3,02 19 40 2,76 22 40 2,58

2 1 98,50 5 1 13,30 8 1 11,30 11 1 9,65 14 1 8,86 17 1 8,40 20 1 8,10 23 1 7,88

2 2 99,00 5 2 13,30 8 2 8,65 11 2 7,21 14 2 6,51 17 2 6,11 20 2 5,85 23 2 5,66

2 3 99,20 5 3 12,10 8 3 7,59 11 3 6,22 14 3 5,56 17 3 5,18 20 3 4,94 23 3 4,76

2 4 99,20 5 4 11,40 8 4 7,01 11 4 5,67 14 4 5,04 17 4 4,67 20 4 4,43 23 4 4,26

2 5 99,30 5 5 11,00 8 5 6,63 11 5 5,32 14 5 4,69 17 5 4,34 20 5 4,10 23 5 3,94

2 6 99,30 5 6 10,70 8 6 6,37 11 6 5,07 14 6 4,46 17 6 4,10 20 6 3,87 23 6 3,71

2 7 99,40 5 7 10,50 8 7 6,18 11 7 4,89 14 7 4,28 17 7 3,93 20 7 3,70 23 7 3,54

2 8 99,40 5 8 10,30 8 8 6,03 11 8 4,74 14 8 4,14 17 8 3,79 20 8 3,56 23 8 3,41

2 9 99,40 5 9 10,20 8 9 5,91 11 9 4,63 14 9 4,03 17 9 3,68 20 9 3,46 23 9 3,30

2 10 99,40 5 10 10,10 8 10 5,81 11 10 4,54 14 10 3,94 17 10 3,59 20 10 3,37 23 10 3,21

2 12 99,40 5 12 9,89 8 12 5,67 11 12 4,40 14 12 3,80 17 12 3,46 20 12 3,23 23 12 3,07

2 15 99,40 5 15 9,72 8 15 5,52 11 15 4,25 14 15 3,66 17 15 3,31 20 15 3,09 23 15 2,93

2 20 99,40 5 20 9,55 8 20 5,36 11 20 4,10 14 20 3,51 17 20 3,16 20 20 2,94 23 20 2,78

2 24 99,50 5 24 9,47 8 24 5,28 11 24 4,02 14 24 3,43 17 24 3,08 20 24 2,86 23 24 2,70

2 30 99,50 5 30 9,38 8 30 5,20 11 30 3,94 14 30 3,35 17 30 3,00 20 30 2,78 23 30 2,62

2 40 99,50 5 40 9,29 8 40 5,12 11 40 3,86 14 40 3,27 17 40 2,92 20 40 2,69 23 40 2,54

3 1 34,10 6 1 13,70 9 1 10,60 12 1 9,33 15 1 8,68 18 1 8,29 21 1 8,02 24 1 7,82

3 2 30,80 6 2 10,90 9 2 8,02 12 2 6,93 15 2 6,36 18 2 6,01 21 2 5,78 24 2 5,61

3 3 29,50 6 3 9,78 9 3 6,99 12 3 5,95 15 3 5,42 18 3 5,09 21 3 4,87 24 3 4,72

3 4 28,70 6 4 9,15 9 4 6,42 12 4 5,41 15 4 4,89 18 4 4,58 21 4 4,37 24 4 4,22

3 5 28,20 6 5 8,75 9 5 6,06 12 5 5,06 15 5 4,56 18 5 4,25 21 5 4,04 24 5 3,90

3 6 27,90 6 6 8,47 9 6 5,80 12 6 4,82 15 6 4,32 18 6 4,01 21 6 3,81 24 6 3,67

3 7 27,70 6 7 8,26 9 7 5,61 12 7 4,64 15 7 4,14 18 7 3,84 21 7 3,64 24 7 3,50

3 8 27,50 6 8 8,10 9 8 5,47 12 8 4,50 15 8 4,00 18 8 3,71 21 8 3,51 24 8 3,36

3 9 27,30 6 9 7,98 9 9 5,35 12 9 4,39 15 9 3,89 18 9 3,60 21 9 3,40 24 9 3,26

3 10 27,20 6 10 7,87 9 10 5,26 12 10 4,30 15 10 3,80 18 10 3,51 21 10 3,31 24 10 3,17

3 12 27,10 6 12 7,72 9 12 5,11 12 12 4,16 15 12 3,67 18 12 3,37 21 12 3,17 24 12 3,03

3 15 26,90 6 15 7,56 9 15 4,96 12 15 4,01 15 15 3,52 18 15 3,23 21 15 3,03 24 15 2,89

3 20 26,70 6 20 7,40 9 20 4,81 12 20 3,86 15 20 3,37 18 20 3,08 21 20 2,88 24 20 2,74

3 24 26,60 6 24 7,31 9 24 4,73 12 24 3,78 15 24 3,29 18 24 3,00 21 24 2,80 24 24 2,66

3 30 26,50 6 30 7,23 9 30 4,65 12 30 3,70 15 30 3,21 18 30 2,92 21 30 2,72 24 30 2,58

3 40 26,40 6 40 7,14 9 40 4,57 12 40 3,62 15 40 3,13 18 40 2,84 21 40 2,64 24 40 2,49



D N F0 D N F0 D N F0 D N F0 D N F0 D N F0 D N F0 D N F0

1 1 648 4 1 12,2 7 1 8,07 10 1 6,94 13 1 6,41 16 1 6,12 19 1 5,92 22 1 5,79

1 2 800 4 2 10,7 7 2 6,54 10 2 5,46 13 2 4,97 16 2 4,69 19 2 4,51 22 2 4,38

1 3 864 4 3 9,98 7 3 5,89 10 3 4,83 13 3 4,35 16 3 4,08 19 3 3,90 22 3 3,78

1 4 900 4 4 9,60 7 4 5,52 10 4 4,47 13 4 4,00 16 4 3,73 19 4 3,56 22 4 3,44

1 5 922 4 5 9,36 7 5 5,29 10 5 4,24 13 5 3,77 16 5 3,50 19 5 3,33 22 5 3,22

1 6 937 4 6 9,20 7 6 5,12 10 6 4,07 13 6 3,60 16 6 3,34 19 6 3,17 22 6 3,05

1 7 948 4 7 9,07 7 7 4,99 10 7 3,95 13 7 3,48 16 7 3,22 19 7 3,05 22 7 2,93

43

1 8 957 4 8 8,98 7 8 4,90 10 8 3,85 13 8 3,39 16 8 3,12 19 8 2,96 22 8 2,84

1 9 963 4 9 8,90 7 9 4,82 10 9 3,78 13 9 3,31 16 9 3,05 19 9 2,88 22 9 2,76

1 10 969 4 10 8,84 7 10 4,76 10 10 3,72 13 10 3,25 16 10 2,99 19 10 2,82 22 10 2,70

1 12 977 4 12 8,75 7 12 4,67 10 12 3,62 13 12 3,15 16 12 2,89 19 12 2,72 22 12 2,60

1 15 985 4 15 8,66 7 15 4,57 10 15 3,52 13 15 3,05 16 15 2,79 19 15 2,62 22 15 2,50

1 20 993 4 20 8,56 7 20 7,47 10 20 3,42 13 20 2,95 16 20 2,68 19 20 2,51 22 20 2,39

1 24 997 4 24 8,51 7 24 4,41 10 24 3,37 13 24 2,89 16 24 2,63 19 24 2,45 22 24 2,33

1 30 1001 4 30 8,46 7 30 4,36 10 30 3,31 13 30 2,84 16 30 2,57 19 30 2,39 22 30 2,27

1 40 1006 4 40 8,41 7 40 4,31 10 40 3,26 13 40 2,78 16 40 2,51 19 40 2,33 22 40 2,21

2 1 38,5 5 1 10,61 8 1 7,57 11 1 6,72 14 1 6,30 17 1 6,04 20 1 5,87 23 1 5,75

2 2 39,00 5 2 8,43 8 2 6,06 11 2 5,26 14 2 4,86 17 2 4,62 20 2 4,46 23 2 4,35

2 3 39,17 5 3 7,76 8 3 5,42 11 3 4,63 14 3 4,24 17 3 4,01 20 3 3,86 23 3 3,75

2 4 39,25 5 4 7,39 8 4 5,05 11 4 4,28 14 4 3,89 17 4 3,66 20 4 3,51 23 4 3,41

2 5 39,30 5 5 7,15 8 5 4,82 11 5 4,04 14 5 3,66 17 5 3,44 20 5 3,29 23 5 3,18

2 6 39,33 5 6 6,98 8 6 4,65 11 6 3,88 14 6 3,50 17 6 3,28 20 6 3,13 23 6 3,02

2 7 39,36 5 7 6,85 8 7 4,53 11 7 3,76 14 7 3,38 17 7 3,16 20 7 3,01 23 7 2,90

2 8 39,37 5 8 6,76 8 8 4,43 11 8 3,66 14 8 3,29 17 8 3,06 20 8 2,91 23 8 2,81

2 9 39,39 5 9 6,68 8 9 4,36 11 9 3,59 14 9 3,21 17 9 2,98 20 9 2,84 23 9 2,73

2 10 39,40 5 10 6,62 8 10 4,30 11 10 3,53 14 10 3,15 17 10 2,92 20 10 2,77 23 10 2,67

2 12 39,41 5 12 6,52 8 12 4,20 11 12 3,43 14 12 3,05 17 12 2,82 20 12 2,68 23 12 2,57

2 15 39,43 5 15 6,43 8 15 4,10 11 15 3,33 14 15 2,95 17 15 2,72 20 15 2,57 23 15 2,47

2 20 39,45 5 20 6,33 8 20 4,00 11 20 3,23 14 20 2,84 17 20 2,62 20 20 2,46 23 20 2,36

2 24 39,46 5 24 6,28 8 24 3,95 11 24 3,17 14 24 2,79 17 24 2,56 20 24 2,41 23 24 2,30

2 30 39,46 5 30 6,23 8 30 3,89 11 30 3,12 14 30 2,73 17 30 2,50 20 30 2,35 23 30 2,24

2 40 39,47 5 40 6,18 8 40 3,84 11 40 3,06 14 40 2,67 17 40 2,44 20 40 2,29 23 40 2,18

3 1 17,44 6 1 8,81 9 1 7,21 12 1 6,55 15 1 6,20 18 1 5,98 21 1 5,83 24 1 5,72

3 2 16,04 6 2 7,26 9 2 5,71 12 2 5,10 15 2 4,77 18 2 4,56 21 2 4,42 24 2 4,32

3 3 15,44 6 3 6,60 9 3 5,08 12 3 4,47 15 3 4,15 18 3 3,95 21 3 3,82 24 3 3,72

3 4 15,10 6 4 6,23 9 4 4,72 12 4 4,12 15 4 3,80 18 4 3,61 21 4 3,48 24 4 3,38

3 5 14,88 6 5 5,99 9 5 4,48 12 5 3,89 15 5 3,58 18 5 3,38 21 5 3,25 24 5 3,15

3 6 14,73 6 6 5,82 9 6 4,32 12 6 3,73 15 6 3,41 18 6 3,22 21 6 3,09 24 6 2,99

3 7 14,62 6 7 5,70 9 7 4,20 12 7 3,61 15 7 3,29 18 7 3,10 21 7 2,97 24 7 2,87

3 8 14,54 6 8 5,60 9 8 4,10 12 8 3,51 15 8 3,20 18 8 3,01 21 8 2,87 24 8 2,78

3 9 14,47 6 9 5,52 9 9 4,03 12 9 3,44 15 9 2,12 18 9 2,93 21 9 2,80 24 9 2,70

3 10 14,42 6 10 5,46 9 10 3,96 12 10 3,37 15 10 3,06 18 10 2,87 21 10 2,73 24 10 2,64

3 12 14,34 6 12 5,37 9 12 3,87 12 12 3,28 15 12 2,96 18 12 2,77 21 12 2,64 24 12 2,54

3 15 14,25 6 15 5,27 9 15 3,77 12 15 3,18 15 15 2,86 18 15 2,67 21 15 2,53 24 15 2,44

3 20 14,17 6 20 5,17 9 20 3,67 12 20 3,07 15 20 2,76 18 20 2,56 21 20 2,42 24 20 2,33

3 24 14,12 6 24 5,12 9 24 3,61 12 24 3,02 15 24 2,70 18 24 2,50 21 24 2,37 24 24 2,27

3 30 14,08 6 30 5,07 9 30 3,56 12 30 2,96 15 30 2,64 18 30 2,44 21 30 2,31 24 30 2,21

3 40 14,04 6 40 5,01 9 40 3,51 12 40 2,91 15 40 2,59 18 40 2,38 21 40 2,25 24 40 2,15



D N Fo D N Fo D N Fo D N Fo D N Fo D N Fo D N Fo D N Fo

1 1 161,0 4 1 7,71 7 1 5,59 10 1 4,96 13 1 4,67 16 1 4,49 19 1 4,38 22 1 4,30

1 2 200,0 4 2 6,94 7 2 4,74 10 2 4,10 13 2 3,81 16 2 3,63 19 2 3,52 22 2 3,44

1 3 216,0 4 3 6,59 7 3 4,35 10 3 3,71 13 3 3,41 16 3 3.24 19 3 3,13 22 3 3,05

1 4 225,0 4 4 6,39 7 4 4,12 10 4 3,48 13 4 3,11 16 4 3,01 19 4 2,90 22 4 2,82

1 5 230,0 4 5 6,26 7 5 3,97 10 5 3,33 13 5 2,96 16 5 2,85 19 5 2,74 22 5 2,66

1 6 234,0 4 6 6,16 7 6 3,87 10 6 3,22 13 6 2,85 16 6 2,74 19 6 2,63 22 6 2,55

44

1 7 237,0 4 7 6,09 7 7 3,79 10 7 3,14 13 7 2,76 16 7 2,66 19 7 2,54 22 7 2,46

1 8 239,0 4 8 6,04 7 8 3,73 10 8 3,07 13 8 2,70 16 8 2,59 19 8 2,48 22 8 2,40

1 9 241,0 4 9 6,00 7 9 3,68 10 9 3,02 13 9 2,65 16 9 2,54 19 9 2,42 22 9 2,34

1 10 242,0 4 10 5,96 7 10 3,64 10 10 2,98 13 10 2,60 16 10 2,49 19 10 2,38 22 10 2,30

1 12 244,0 4 12 5,91 7 12 3,57 10 12 2,91 13 12 2,53 16 12 2,42 19 12 2,31 22 12 2,23

1 15 246,0 4 15 5,86 7 15 3,51 10 15 2,85 13 15 2,46 16 15 2,35 19 15 2,23 22 15 2,15

1 20 248,0 4 20 5,80 7 20 3,44 10 20 2,77 13 20 2,39 16 20 2,28 19 20 2,16 22 20 2,07

1 24 249,0 4 24 5,77 7 24 3,41 10 24 2,74 13 24 2,35 16 24 2,24 19 24 2,11 22 24 2,03

1 30 250,0 4 30 5,75 7 30 3,38 10 30 2,70 13 30 2,31 16 30 2,19 19 30 2,07 22 30 1,98

1 40 251,0 4 40 5,72 7 40 3,34 10 40 2,66 13 40 2,27 16 40 2,25 19 40 2,03 22 40 1,94

2 1 18,50 5 1 6,61 8 1 5,32 11 1 4,84 14 1 4,60 17 1 4,45 20 1 4,35 23 1 4,28

2 2 19,00 5 2 5,79 8 2 4,46 11 2 3,98 14 2 3,74 17 2 3,59 20 2 3,49 23 2 3,42

2 3 19,20 5 3 5,41 8 3 4,07 11 3 3,59 14 3 3,34 17 3 3,20 20 3 3,10 23 3 3,03

2 4 19,20 5 4 5,19 8 4 3,84 11 4 3,36 14 4 3,11 17 4 2,96 20 4 2,87 23 4 2,80

2 5 19,30 5 5 5,05 8 5 3,69 11 5 3,20 14 5 2,96 17 5 2,81 20 5 2,71 23 5 2,64

2 6 19,30 5 6 4,95 8 6 3,58 11 6 3,09 14 6 2,85 17 6 2,70 20 6 2,60 23 6 2,53

2 7 19,40 5 7 4,88 8 7 3,50 11 7 3,01 14 7 2,76 17 7 2,61 20 7 2,51 23 7 2,44

2 8 19,40 5 8 4,82 8 8 3,44 11 8 2,95 14 8 2,70 17 8 2,55 20 8 2,45 23 8 2,37

2 9 19,40 5 9 4,77 8 9 3,39 11 9 2,90 14 9 2,65 17 9 2,49 20 9 2,39 23 9 2,32

2 10 19,40 5 10 4,74 8 10 3,35 11 10 2,85 14 10 2,60 17 10 2,45 20 10 2,35 23 10 2,27

2 12 19,40 5 12 4,68 8 12 3,28 11 12 2,79 14 12 2,53 17 12 2,38 20 12 2,28 23 12 2,20

2 15 19,40 5 15 4,62 8 15 3,22 11 15 2,72 14 15 2,46 17 15 2,31 20 15 2,20 23 15 2,13

2 20 19,40 5 20 4,56 8 20 3,15 11 20 2,65 14 20 2,39 17 20 2,23 20 20 2,12 23 20 2,05

2 24 19,50 5 24 4,53 8 24 3,12 11 24 2,61 14 24 2,35 17 24 2,19 20 24 2,08 23 24 2,01

2 30 19,50 5 30 4,50 8 30 3,08 11 30 2,57 14 30 2,31 17 30 2,15 20 30 2,04 23 30 1,96

2 40 19,50 5 40 4,46 8 40 3,04 11 40 2,53 14 40 2,27 17 40 2,10 20 40 1,99 23 40 1,91

3 1 10,10 6 1 5,99 9 1 5,12 12 1 4,75 15 1 4,54 18 1 4,41 21 1 4,32 24 1 4,26

3 2 9,55 6 2 5,14 9 2 4,26 12 2 3,89 15 2 3,68 18 2 3,55 21 2 3,47 24 2 3,40

3 3 9,28 6 3 4,76 9 3 3,86 12 3 3,49 15 3 3,29 18 3 3,16 21 3 3,07 24 3 3,01

3 4 9,12 6 4 4,53 9 4 3,63 12 4 3,26 15 4 3,06 18 4 2,93 21 4 2,84 24 4 2,78

3 5 9,01 6 5 4,39 9 5 3,48 12 5 3,11 15 5 2,90 18 5 2,77 21 5 2,68 24 5 2,62

3 6 8,94 6 6 4,28 9 6 3,37 12 6 3,00 15 6 2,79 18 6 2,66 21 6 2,57 24 6 2,51

3 7 8,89 6 7 4,21 9 7 3,29 12 7 2,91 15 7 2,71 18 7 2,58 21 7 2,49 24 7 2,42

3 8 8,85 6 8 4,15 9 8 3,23 12 8 2,85 15 8 2,64 18 8 2,51 21 8 2,42 24 8 2,36

3 9 8,81 6 9 4,10 9 9 3,18 12 9 2,80 15 9 2,59 18 9 2,46 21 9 2,37 24 9 2,30

3 10 8,79 6 10 4,06 9 10 3,14 12 10 2,75 15 10 2,54 18 10 2,41 21 10 2,32 24 10 2,25

3 12 8,74 6 12 4,00 9 12 3,07 12 12 2,69 15 12 2,48 18 12 2,34 21 12 2,25 24 12 2,18

3 15 8,70 6 15 3,94 9 15 3,01 12 15 2,62 15 15 2,40 18 15 2,27 21 15 2,18 24 15 2,11

3 20 8,66 6 20 3,87 9 20 2,94 12 20 2,54 15 20 2,33 18 20 2,19 21 20 2,10 24 20 2,03

3 24 8,64 6 24 3,84 9 24 2,90 12 24 2,51 15 24 2,29 18 24 2,15 21 24 2,05 24 24 1,98

3 30 8,62 6 30 3,81 9 30 2,86 12 30 2,47 15 30 2,25 18 30 2,11 21 30 2,01 24 30 1,94

3 40 8,59 6 40 3,77 9 40 2,83 12 40 2,43 15 40 2,20 18 40 2,06 21 40 1,96 24 40 1,89

PROBLEMARIO DE ESTADÍSTICA APICADA Y ESTADÍSTICA...

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