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C A P Í T U L O 7

Problemas de Fluxo em Redes

1. Conceitos fundamentais de grafos

Em muitos problemas que nos surgem, a forma mais simples de o descrever, é representá-lo em

forma de grafo, uma vez que um grafo oferece uma representação visual que trará vantagens na

construção de um modelo matemático com vista à resolução do problema.

Um grafo é uma estrutura constituída por dois conjuntos finitos : de vértices (nós ou nodos) e

de arestas (arcos ou ramos). Um grafo pode ser representado por G = (N, A), em que N = {1, ..., n} e A

= {1, ..., m} são os conjuntos de vértices e arestas, respectivamente, em que (A ⊆ N×N).

Cada aresta é representado por um par (i, j), com i ≠ j e i, j ∈ N, em que i é o vértice origem e j o

vértice destino. Uma aresta (i, j) diz-se não dirigida (não orientada), se (j, i) ∈ A e diz-se dirigida

(orientada), se (j, i) ∉ A.

Existem 3 tipos de grafos :

orientado (dirigido) todas as arestas são dirigidas, •

•

•

não orientado (não dirigido) todas as arestas são não dirigidas e,

misto algumas arestas são dirigidas e outras são não dirigidas.

Um grafo diz-se completo, se entre quaisquer dois vértices existir uma aresta dirigida (grafos

dirigidos) ou não dirigida (grafos não dirigidos).

A densidade de um grafo é a razão entre a quantidade de arestas do grafo e a quantidade de

arestas do grafo completo com o mesma quantidade de vértices.

Dois vértices são adjacentes (vizinhos), se estiverem ligados por uma aresta. Duas arestas são

adjacentes se forem ambas incidentes relativamente ao mesmo vértice. Um vértice é de ordem k, se

tiver k arestas a ele adjacente.

90 Conceitos fundamentais de redes

Considere-se dois vértices, S e T, do grafo G. Um caminho de S para T, é uma sucessão de

vértices e arestas, p = [S = n1, (n1, n2), n2, ..., (nh-1, nh), nh = T]. No entanto, aquele caminho também

pode ser representado apenas pela sucessão de vértices (p = [S = n1, n2, ..., nh-1, nh = T]) ou de arestas

(p = [(S, n2), ..., (nh-1, T)]). O caminho p diz-se simples, se cada vértice e aresta pertencem à sucessão

uma única vez.

Um ciclo é um caminho em que S = T. Num ciclo simples, todos os vértices são distintos. Um

circuito (ciclo dirigido) é um ciclo formado por arestas dirigidas.

Um grafo dirigido sem ciclos dirigidos, diz-se acíclico. Um grafo diz-se ligado (conexo), se

existir um caminho entre quaisquer dois vértices.

Uma árvore é um grafo orientado com um e um só caminho simples entre quaisquer dois

vértices. Um subgrafo que seja uma árvore e contenha todos os vértices do grafo, é designado por

árvore abrangente (árvore total ”Spanning Tree”).

2. Conceitos fundamentais de redes

Quando se associam valores aos vértices e/ou às arestas, o grafo designa-se geralmente por

rede. Neste caso, fala-se em nós (nodos) e arcos, e em vez de vértices e arestas, respectivamente.

Uma rede pode ser representada por G = (N, A, C), em que (N, A) é um grafo e C corresponde

ao conjunto de valores associados aos arcos (“comprimentos“) : ao arco (i, j) está associado o valor cij.

De uma maneira geral, os conceitos utilizados em grafos são extensíveis às redes.

Considere-se um caminho p de S para T, na rede G. O “comprimento“ do caminho p

corresponde à soma dos “comprimentos“ dos arcos que pertencem àquele caminho; ou seja,

C ∑∈

=p)j,i(

ijc)p(

O conjunto de todos os caminhos de S para T, numa rede qualquer G, identifica-se por P.

Define-se árvore mínima (árvore de caminhos mais curtos) com raiz em S, como a árvore que

contém todos os nós de N acessíveis a partir de S, em que para cada nó n2 o único caminho de S para

n2 é o caminho mais curto (de comprimento mínimo) na rede G que liga S a n2.


O Problema do Caminho Mais Curto 91

3. O Problema do Caminho Mais Curto

Os problemas de caminho mais curto, são fundamentais e frequentes quando se estuda redes de

transportes e de comunicação. Este problema surge quando se pretende determinar o caminho mais

curto, mais barato ou mais fiável, entre um ou vários pares de nós de uma rede.

Existem três tipos de problemas de caminho mais curto :

(i) de um nó para outro,

(ii) de um nó para todos os outros,

(iii) entre todos os pares de nós.

No entanto, os dois primeiros são essencialmente o mesmo problema.

Sejam S e T dois nós de uma rede G = (N, A, C), em que a cada arco é associado apenas um

valor (comprimento do arco). O comprimento de um caminho de S para T, é a soma dos

comprimentos dos arcos que o compõem.

O problema do caminho mais curto entre os nós S e T, tem por objectivo determinar o caminho

de valor mínimo existente em P. Ou seja, determinar p ∈ P tal que C(p) ≤ C(q), ∀ q ∈ P.

Algumas observações relacionadas com este tipo de problemas :

o comprimento de um caminho é maior do que o de qualquer dos seus subcaminhos; •

•

•

qualquer subcaminho de um caminho mais curto, é ele próprio um caminho mais curto

(princípio da optimalidade);

para uma rede com n nós, qualquer caminho mais curto tem no máximo n-1 arcos (no

caminho mais curto entre dois nós, não existem nós repetidos).

Matematicamente, este problema pode ser formulado da seguinte forma :

∑ ∑∈ ∈

=Ni Nj

ijij xcZMinimizar

sujeito a

1xNj

Sj =∑∈

}T,S{Nj,0xxNk

jkNi

ij −∈∀=− ∑∑∈∈

∑∈

=Ni

iT 1x

em que,

=caminho ao pertence ãon j) (i, se,0

caminho ao ertencep j) (i, se,1xij

Existem vários algoritmos eficientes para resolver problemas de caminho mais curto, sendo os

mais conhecidos os algoritmos de Dijkstra (i e ii) e de Floyd (iii).


92 O Problema do Caminho Mais Curto

3.1. Algoritmo de Dijkstra

Este algoritmo, que foi apresentado por Dijkstra e que só pode ser aplicada a redes cujos arcos

têm associados comprimentos não negativos, baseia-se num processo de rotulação dos nós da rede e

classificação dos respectivos rótulos. A cada nó i é atribuído um rótulo [ξi, πi], o qual pode ser

permanente ou temporário. Isto quer dizer o seguinte :

[ξi, πi] permanente, representa o caminho mais curto de S para i

ξi ← nó que antecede i no caminho mais curto de S para i

πi ← valor do caminho mais curto de S para i

[ξi, πi] temporário, representa um caminho mais curto de S para i

ξi ← nó que antecede i no melhor caminho, até ao momento, de S para i

πi ← valor do melhor caminho, até ao momento, de S para i

O rótulo temporário de um nó representa um limite superior da distância mais curta de S a esse

nó, uma vez que o caminho que lhe está associado pode ser ou não o mais curto.

O algoritmo consiste em rotular os nós da rede, começando pelo S, de uma forma ordenada,

segundo as distâncias de cada nó a S : escolher o nó com rótulo temporário com menor valor de π,

que se torna permanente, para depois serem varridos todos os seus adjacentes, de forma a actualizar

os rótulos destes (temporários). O algoritmo termina quando não existirem nós com rótulos

temporários. Inicialmente apenas o nó S é permanente, sendo os restantes temporários.

Algoritmo :

Passo 1.

[ξS, πS] = [S, 0] (caminho mais curto para S custa 0 e não tem nós intermédios)

[ξi, πi] = [S, CSi], ∀ i ∈ N − { S } e (S, i) ∈ A

[ξi, πi] = [−, ∞], ∀ i ∈ N − { S } e (S, i) ∉ A

Temporários = N − { S } (Temporários = conjunto de nós com rótulos temporários)

Permanentes = { S } (Permanentes = conjunto de nós com rótulos permanentes)

Passo 2.

Se Temporários = ∅ (todos os nós têm rótulos permanentes)

Então STOP

k = nó de Temporários tal que πk é mínimo (k : πk = min { πx , x ∈ Temporários })

Temporários = Temporários − { k }

Permanentes = Permanentes ∪ { k } (k passou a permanente)



Passo 3.

Para todo o j ∈ N tal que (k, j) ∈ A e j ∈ Temporários Fazer

Se πk + Ckj < πj

Então

πj = πk + Ckj

ξj = k

Regressar ao Passo 2.

O algoritmo apresentado, determina o caminho mais curto entre um dado nó S e todos os

outros nós da rede. Portanto, no fim do algoritmo, para se verificar se existe caminho entre S e um

qualquer nó k, bastando analisar o valor de πk : se πk = ∞ então não existe caminho. Se existir caminho

mais curto de S para k, este pode ser determinado percorrendo (em sentido inverso) a 1ª parte dos

rótulos dos nós (ξ) de k até S, da seguinte forma :

Caminho = { k }

i = k

Enquanto i ≠ S Fazer

i = ξi

Caminho ← Caminho ∪ { i }

Exemplo :

Determinar o caminho mais curto entre o nó S = 1 e todos os outros nós da seguinte rede :



Passo 1.

Colocar rótulo permanente no nó 1 e rótulos temporários nos restantes nós.

Permanentes = { 1 }

Temporários = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }

Passo 2.

k = 4, pois π4 = min { π2, π3, π4, π5, π6, π7, π8 } = min { 4, 5, 2, 12, ∞, ∞, ∞ }

Permanentes = Permanentes ∪ { 4 } = { 1, 4 }

Temporários = Temporários − { 4 } = { 2, 3, 5, 6, 7, 8 }

Passo 3.

Varrer todos os nós adjacentes a 4, com rótulos temporários e actualizar os seus rótulos:

π3 = min { π3, π4 + C43 } = min { 5, 2 + 1 } = 3 ⇒ [ξ3, π3] = [4, 3]

π6 = min { π6, π4 + C46 } = min { ∞, 2 + 11 } = 13 ⇒ [ξ6, π6] = [4, 13]

Passo 2.

k = 3, pois π3 = min { π2, π3, π5, π6, π7, π8 } = min { 4, 3, 12, 13, ∞, ∞ }

Permanentes = Permanentes ∪ { 3 } = { 1, 3, 4 }

Temporários = Temporários − { 3 } = { 2, 5, 6, 7, 8 }



Passo 3.

Varrer todos os nós adjacentes a 3, com rótulos temporários e actualizar os seus rótulos :

π2 = min { π2, π3 + C32 } = min { 4, 3 + 3 } = 4 ⇒ [ξ3, π3] = [1, 4] (sem alteração)

π8 = min { π8, π3 + C38 } = min { ∞, 3 + 13 } = 16 ⇒ [ξ8, π8] = [3, 16]

Passo 2.

k = 2, pois π2 = min { π2, π5, π6, π7, π8 } = min { 4, 12, 13, ∞, 16 }

Permanentes = Permanentes ∪ { 2 } = { 1, 2, 3, 4 }

Temporários = Temporários − { 2 } = { 5, 6, 7, 8 }

Passo 3.


π5 = min { π5, π2 + C25 } = min { 12, 4 + 1 } = 5 ⇒ [ξ5, π5] = [2, 5]

Passo 2.

k = 5, pois π5 = min { π5, π6, π8 } = min { 5, 13, 16 }

Permanentes = Permanentes ∪ { 5 } = { 1, 2, 3, 4, 5 }

Temporários = Temporários − { 5 } = { 6, 7, 8 }



Passo 3.


π7 = min { π7, π5 + C57 } = min { ∞, 5 + 6 } = 11 ⇒ [ξ7, π7] = [5, 11]

π8 = min { π8, π5 + C58 } = min { 16, 5 + 9 } = 14 ⇒ [ξ8, π8] = [5, 14]

Passo 2.

k = 7, pois π7 = min { π6, π7, π8 } = min { 13, 11, 14 }

Permanentes = Permanentes ∪ { 7 } = { 1, 2, 3, 4, 5, 7 }

Temporários = Temporários − { 7 } = { 6, 8 }

Passo 3.



Passo 2.

k = 6, pois π6 = min { π6, π8 } = min { 13, 14 }

Permanentes = Permanentes ∪ { 6 } = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 }

Temporários = Temporários − { 6 } = { 8 }

Passo 3.



Passo 2.

k = 8, pois π8 = min { π8 } = min { 14 }

Permanentes = Permanentes ∪ { 8 } = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }

Temporários = Temporários − { 8 } = ∅

Passo 3.

Não existem nós adjacentes a 8, com rótulos temporários.



Passo 2.

Temporários = ∅ ⇒ Fim do algoritmo.

Resultados após o término do algoritmo :

caminho mais curto entre os nós 1 e 8 calcula-se da seguinte forma :

p = { 8 }

i = 8

Como i ≠ 1 então { i = ξi = ξ8 = 5 ; p = p ∪ { i } = { 5, 8 }

Como i ≠ 1 então { i = ξi = ξ5 = 2 ; p = p ∪ { i } = { 2, 5, 8 }

Como i ≠ 1 então { i = ξi = ξ2 = 1 ; p = p ∪ { i } = { 1, 2, 5, 8 }

Como i = 1 então termina o processo.

Logo, o caminho mais curto entre 1 e 8 é p = { 1, 2, 5, 8 } e o comprimento é C(p) = 14 (= π8).

a árvore de caminho mais curto do nó 1 para todos os outros é a seguinte :

e tem um comprimento total de 34 (Σ cij na árvore de caminhos mais curtos).

3.2. Algoritmo de Floyd

Ao pretender-se determinar o caminho mais curto entre todos os pares de nós, pode-se aplicar o

algoritmo de Dijkstra n vezes, utilizando cada nó, sucessivamente, como origem. No entanto, existem

outros algoritmos para resolver este problema, como é o caso do algoritmo de Floyd, desde que não

haja circuitos negativos os arcos podem ter comprimentos negativos.

Considere-se uma rede G = (N, A, D). Um arco (i, j) designa-se por arco básico, se constituir o

caminho mais curto entre os nós i e j. Um caminho mais curto entre quaisquer dois nós da rede será

totalmente constituído por arcos básicos (embora existam arcos básicos não pertencentes ao caminho

mais curto).

O algoritmo de Floyd utiliza a matriz D, de ordem n, das distâncias directas mais curtas entre

nós. Os nós que não são adjacentes (não existe arco a ligá-los) têm associado uma distância directa



infinita. Como os nós são (por convenção) adjacentes com eles próprios, têm associado um arco de

comprimento 0. Os ciclos próprios são ignorados.

Entre cada par de nós não ligados por um arco básico é criado um arco, através de um processo

identificado por “tripla ligação“ :

dij ← min { dij , dik + dkj }

Fixando um k, a “tripla ligação“ é efectuada para todos os nós i, j ≠ k.

Após efectuar a “tripla ligação“ para cada k ∈ N com i, j ∈ N − { k }, a rede (na matriz D alterada

ao longo deste processo) é apenas constituída por arcos básicos. Logo, o comprimento associado a

cada arco dirigido do nó i ao nó k, é o caminho mais curto entre aqueles dois nós.

Para conhecer todos os nós intermédios num dado caminho, mantém-se paralelamente uma

matriz P, de ordem n, onde o elemento Pij representa o primeiro nó intermédio entre os nós i e j.

Algoritmo :

Passo 1.

D = matriz das distâncias directas

Pij = j, ∀ i, j ∈ N

k ← 0

Passo 2.

Se k ≥ n Então STOP

k ← k + 1

Passo 3.

Se Dij > Dik + Dkj (i, j ≠ k não se considera a linha e a coluna k)

Então

Dij ← Dik + Dkj

Pij ← Pik

No final, os elementos da matriz D são as distâncias mais curtas entre qualquer par de nós.

Exemplo :

Determinar o caminho mais curto entre todos os pares de nós da seguinte rede :



Passo 1.

D = ∞

∞

0 8 53 0

2 0P =

1 2 31 2 31 2 3

k = 0

Passo 2.

0 ≥ 3 (n = 3) Falso

k = k + 1 = 1

Passo 3.

D22 < D21 + D12 (0 < 3 + 8 = 11)

D23 > D21 + D13 (∞ > 3 + 5 = 8) ⇒ D23 = D21 + D13 = 8; P23 = P21 = 1

D32 < D31 + D12 (2 < ∞ + 8)

D33 < D31 + D13 (0 < ∞ + 5)

D =

∞

0 8 53 0 8

2 0P =

1 2 31 2 11 2 3

Passo 2.

1 ≥ 3 Falso

k = k + 1 = 2

Passo 3.

D11 < D12 + D21 (0 < 8 + 3 = 11)

D13 < D12 + D23 (5 < 8 + 8 = 16)

D31 > D32 + D21 (∞ > 2 + 3 = 5) ⇒ D31 = D32 + D21 = 5; P31 = P32 = 2

D33 < D32 + D23 (0 < 2 + 8)

D =

0 8 53 0 85 2 0

P =

1 2 31 2 12 2 3

Passo 2.

2 ≥ 3 Falso

k = k + 1 = 3

Passo 3.

D11 < D13 + D31 (0 < 5 + 5 = 10)

D12 > D13 + D32 (8 > 5 + 2= 7) ⇒ D12 = D13 + D32 = 7; P12 = P13 = 3

D21 < D23 + D31 (3 < 8 + 3 = 11)


100 O Problema da Árvore Abrangente Mínima -- algoritmos de PRIM

D22 < D23 + D32 (0 < 8 + 2)

D =

0 7 53 0 85 2 0

P =

1 3 31 2 12 2 3

Passo 2.

3 ≥ 3 Verdadeiro

STOP (termina o algoritmo)

Resultados após o final do algoritmo :

o comprimento do caminho mais curto entre os nós 1 e 2 é 7 (D12 = 7);

o caminho mais curto entre os nós 1 e 2 é { 1, 3 (P12 = 3), 2 (P32 = 2) }.

4. O Problema da Árvore Abrangente Mínima -- algoritmos de PRIM

A árvore abrangente mínima (“Minimum Spanning Tree”), é a árvore abrangente com o menor

comprimento entre todas as árvores abrangentes. O comprimento de uma árvore abrangente é o

somatório dos comprimentos associados aos respectivos arcos.

Note-se que, em geral, a árvore abrangente mínima é diferente da árvore de caminho mais curto

entre um nó origem e todos os outros nós da rede (calculada pelo algoritmo de Dijkstra).

Algoritmo 1 :

Passo 1.

Toma-se arbitrariamente um nó S e atribui-se-lhe um rótulo permanente nulo : πS = 0.

Aos restantes nós da rede atribuem-se rótulos temporários :

πj = CSj se (S, j) ∈ A

πj = ∞ se (S, j) ∉ A

Permanentes = { S }

Temporários = N − { S }

Passo 2.

k = nó com rótulo temporário que possua menor valor (que é vizinho de um nó i);

Permanentes = Permanentes ∪ { k }

Temporários = Temporários − { k }

O arco com o mínimo valor Cik = πk passa a fazer parte da árvore abrangente mínima

Se Temporários = ∅

Então STOP (foi determinada a árvore abrangente mínima)


O Problema da Árvore Abrangente Mínima -- algoritmos de PRIM 101

Passo 3.

Para todo o j ∈ N tal que (k, j) ∈ A e j ∈ Temporários Fazer

πj = min { πj, Ckj }

Voltar ao Passo 2.

Exemplo :

Determinar a árvore abrangente mínima da seguinte rede :

Passo 1.

Colocar rótulo permanente no nó 1 e rótulos temporários nos restantes nós :

π1 = 0

π2 = 4; π3 = 5; π4 = 2; π5 = 12

π6 = π7 = π8 = ∞

Permanentes = { 1 }

Temporários = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }

Passo 2.

k = 4

Permanentes = Permanentes ∪ { 4 } = { 1, 4 }

Temporários = Temporários − { 4 } = { 2, 3, 5, 6, 7, 8 }

O arco (1, 4) passa a fazer parte da árvore abrangente mínima, pois C14 = π4 = 2

Passo 3.

π3 = min { 5, 1 } = 1 π6 = min { ∞, 11 } = 11

Passo 2.

k = 3

Permanentes = Permanentes ∪ { 3 } = { 1, 4, 3 }

Temporários = Temporários − { 3 } = { 2, 5, 6, 7, 8 }




Passo 3.

π2 = min { 4, 3 } = 3

π8 = min { ∞, 13 } = 13

Passo 2.

k = 2

Permanentes = Permanentes ∪ { 2 } = { 1, 4, 3, 2 }

Temporários = Temporários − { 3 } = { 5, 6, 7, 8 }


Passo 3.

π5 = min { 12, 1 } = 1

Passo 2.

k = 5

Permanentes = Permanentes ∪ { 5 } = { 1, 4, 3, 2, 5 }

Temporários = Temporários − { 5 } = { 6, 7, 8 }


Passo 3.

π7 = min { ∞, 6 } = 6

π8 = min { 13, 9 } = 9

Passo 2.

k = 7

Permanentes = Permanentes ∪ { 6 } = { 1, 4, 3, 2, 5, 7 }

Temporários = Temporários − { 7 } = { 6, 8 }


Passo 3.

π8 = min { 9, 7 } = 7

Passo 2.

k = 8

Permanentes = Permanentes ∪ { 8 } = { 1, 4, 3, 2, 5, 7, 8 }

Temporários = Temporários − { 8 } = { 6 }


Passo 3.

π6 = min { 11, 8 } = 8



Passo 2.

k = 6

Permanentes = Permanentes ∪ { 6 } = { 1, 4, 3, 2, 5, 7, 8, 6 }

Temporários = Temporários − { 6 } = ∅


Como Temporários = ∅ STOP (foi determinada a árvore abrangente mínima)

Resultados após o final do algoritmo :

a árvore abrangente mínima (árvore que visita todos os nós) é a seguinte :

a árvore abrangente mínima tem um comprimento total igual a 28 (2 + 1 + 3 + 1 + 6 + 7 + 8).

Existe uma outra versão do algoritmo de PRIM, que opera sobre a matriz das distâncias (custos)

da rede.

Algoritmo 2 :

Passo 1.

Riscar a 1ª coluna e marcar a 1ª linha.

Passo 2.

Seleccionar o menor elemento (Cij) das linhas marcadas (não considerar as colunas riscadas).

Se tiverem todas as colunas riscadas, STOP foi determinada a árvore abrangente mínima.

Passo 3.

Riscar a coluna j e marcar a linha j.

Voltar ao Passo 2.

Os arcos que constituem a árvore abrangente mínima, são os correspondentes aos seleccionados, e o

seu valor é o somatório daqueles Cij .



Exemplo :

Determinar o árvore abrangente mínima da rede do exemplo apresentado neste capítulo.

Passo 1. Riscar a 1ª coluna e marcar a 1ª linha :

1 2 3 4 5 6 7 8

1 0 4 5 2 12 − − − 2 4 0 3 − 1 − − − 3 5 3 0 1 − − − − 4 2 − 1 0 − − − 13 5 12 1 − − 0 − 6 9 6 − − − 11 − 0 − 8 7 − − − − 6 − 0 7 8 − − 13 − 9 8 7 0

Passo 2. O menor elemento não riscado da linha 1 (a única seleccionada) é : C14 = 2


1 2 3 4 5 6 7 8

1 0 4 5 2 12 − − − 2 4 0 3 − 1 − − − 3 5 3 0 1 − − − − 4 2 − 1 0 − − − 13 5 12 1 − − 0 − 6 9 6 − − − 11 − 0 − 8 7 − − − − 6 − 0 7 8 − − 13 − 9 8 7 0

Passo 2. O menor elemento não riscado das linhas 1 e 4 (as seleccionadas) é : C43 = 1


1 2 3 4 5 6 7 8

1 0 4 5 2 12 − − − 2 4 0 3 − 1 − − − 3 5 3 0 1 − − − − 4 2 − 1 0 − − − 13 5 12 1 − − 0 − 6 9 6 − − − 11 − 0 − 8 7 − − − − 6 − 0 7 8 − − 13 − 9 8 7 0



Passo 2. O menor elemento não riscado das linhas 1, 3 e 4 (as seleccionadas) é : C32 = 3


1 2 3 4 5 6 7 8

1 0 4 5 2 12 − − − 2 4 0 3 − 1 − − − 3 5 3 0 1 − − − − 4 2 − 1 0 − − − 13 5 12 1 − − 0 − 6 9 6 − − − 11 − 0 − 8 7 − − − − 6 − 0 7 8 − − 13 − 9 8 7 0

Passo 2. O menor elemento não riscado das linhas 1, 2, 3 e 4 (as seleccionadas) é : C25 = 1


1 2 3 4 5 6 7 8

1 0 4 5 2 12 − − − 2 4 0 3 − 1 − − − 3 5 3 0 1 − − − − 4 2 − 1 0 − − − 13 5 12 1 − − 0 − 6 9 6 − − − 11 − 0 − 8 7 − − − − 6 − 0 7 8 − − 13 − 9 8 7 0

Passo 2. O menor elemento não riscado das linhas 1, 2, 3, 4 e 5 (as seleccionadas) é : C57 = 6


1 2 3 4 5 6 7 8

1 0 4 5 2 12 − − − 2 4 0 3 − 1 − − − 3 5 3 0 1 − − − − 4 2 − 1 0 − − − 13 5 12 1 − − 0 − 6 9 6 − − − 11 − 0 − 8 7 − − − − 6 − 0 7 8 − − 13 − 9 8 7 0



Passo 2. O menor elemento não riscado das linhas 1, 2, 3, 4, 5 e 7 (as seleccionadas) é : C78 = 7


1 2 3 4 5 6 7 8

1 0 4 5 2 12 − − − 2 4 0 3 − 1 − − − 3 5 3 0 1 − − − − 4 2 − 1 0 − − − 13 5 12 1 − − 0 − 6 9 6 − − − 11 − 0 − 8 7 − − − − 6 − 0 7 8 − − 13 − 9 8 7 0

Passo 2. O menor elemento não riscado das linhas 1, 2, 3, 4, 5, 7 e 8 (as seleccionadas) é : C86 = 8


1 2 3 4 5 6 7 8

1 0 4 5 2 12 − − − 2 4 0 3 − 1 − − − 3 5 3 0 1 − − − − 4 2 − 1 0 − − − 13 5 12 1 − − 0 − 6 9 6 − − − 11 − 0 − 8 7 − − − − 6 − 0 7 8 − − 13 − 9 8 7 0

Passo 2. Como todas as colunas se encontram riscadas, então STOP foi determinada a árvore

abrangente mínima.

Resultados no final do algoritmo :

A árvore abrangente mínima é constituída pelos seguintes arcos :

(1, 4), (2, 5), (3, 2), (4, 3), (5, 7), (7, 8) e (8, 6)

O valor da árvore abrangente mínima é :

2 + 1 + 3 + 1 + 6 + 7 + 8 = 28

Como se pode verificar, a árvore é a mesma que foi determinada pela versão anterior.


O Problema do Fluxo Máximo -- algoritmo de Ford-Fulkerson 107

5. O Problema do Fluxo Máximo -- algoritmo de Ford-Fulkerson

Neste capítulo, será estudado o problema de fluxo máximo numa rede G. Os valores associados

aos arcos desta rede, bij, representam as respectivas capacidades, isto é, a quantidade máxima de

fluxo que pode ser enviada pelos arcos. Estes valores terão que ser positivos (bij ≥ 0). Portanto, pode-

se definir a rede da seguinte forma : G = (N, A, B), em que B = [bij].

Em problemas de fluxo máximo, existem 2 nós especiais : nó origem e nó terminal. Com a

resolução do problema de fluxo máximo, pretende-se determinar a quantidade máxima de unidades

de fluxo que podem ser enviados de um nó origem S para um nó terminal T.

O fluxo no arco (i, j) é designado por xij. Devido às restrições de capacidade nos arcos, tem-se o

conjunto de restrições :

0 ≤ xij ≤ bij, para todo (i, j) ∈ A [1]

Além disso, em cada nó (excepto em S e T) deve haver conservação de fluxo : a quantidade de fluxo

que chega a um nó é igual à quantidade de fluxo que sai desse nó; ou seja,

para todo j ≠ S, T [2] ∑∑ =k

jki

ij xx

Como existe conservação de fluxo em todos os nós, o fluxo que sai do nó S é igual ao fluxo que chega

ao nó T; isto é,

[3] ∑∑ ==j

jTi

Si xfx

onde f é o valor de fluxo

Portanto, com a resolução do problema de fluxo máximo, pretende-se determinar o valor do

fluxo nos arcos xij [1], que maximize o valor do fluxo f, sujeito às restrições de capacidade [2] e de

conservação de fluxo [3].

Matematicamente, este problema pode ser formulado da seguinte forma :

∑=j

SjxfMaximizar

sujeito a

∑ para todo j ≠ S, T [2] ∑=k

jki

ij xx

∑ [3] ∑=j

jTi

Si xx

0 ≤ xij ≤ bij, para todo (i, j) ∈ A [1]

Dado um caminho qualquer de S para T numa rede,

p = [ S = n1, n2, n3, . . . , nk-1, nk = T ],


108 O Problema do Fluxo Máximo -- algoritmo de Ford-Fulkerson

a quantidade máxima de fluxo que pode ser enviada de S para T, satisfazendo [1], [2] e [3], por aquele

caminho, é a seguinte :

min { bij : (i, j) ∈ p }.

Logo, o arco com a menor capacidade fica “saturado”, não podendo passar mais fluxo por ele.

Um corte (“cut”) é o conjunto de todos os arcos de um subconjunto de nós para o seu

complementar : o corte ( , é o conjunto de todos os arcos (i, j), tal que i ∈ X e j ∈ )X X X . A remoção de

todos os arcos do corte, desliga a rede em duas ou mais partes.

A capacidade de um corte é :

C X . X b com i X e j Xiji j

( , ) ,( , )

= ∈∑ ∈

Em geral, C X X C X X( , ) ( , )≠ .

Um corte separando S de T, com uma capacidade mínima, designa-se por corte mínimo.

Teorema do “fluxo máximo corte mínimo” (“max flow min cut”).

Para qualquer rede com capacidades de valor inteiro associadas aos arcos, o fluxo máximo do nó

origem S, para o nó terminal T, é igual à capacidade de um corte mínimo que separa S de T.

Enquanto existir um caminho de aumento de fluxo (c.a.f.) satisfazendo uma das condições :

xij < bij arco “forward” (sentido correcto) : pode enviar-se fluxo adicional de i para j, •

• xji > 0 arco “backward” (sentido inverso) : pode enviar-se fluxo adicional de i para j,

diminuindo o fluxo que existe de j para i,

é possível aumentar a quantidade de fluxo a enviar de S para T.

Assumindo que as capacidades dos arcos são valores inteiros, definido um caminho de

aumento de fluxo constituído por arcos “forward”e arcos “backward”, o fluxo a enviar de S para T

pode ser alterado de ε unidades :

ε = min { ε1, ε2 } [inteiro positivo]

com ε1 = min { bij − xij } nos arcos “forward” do c.a.f.

ε2 = min { xji } nos arcos “backward” do c.a.f.

O valor do fluxo é, então, aumentado em ε unidades nos arcos “forward” e diminuído em ε

unidades nos arcos “backward”.

Como a capacidade de um corte mínimo é um número finito e em cada caminho de aumento de

fluxo, o fluxo é aumentado de pelo menos 1 unidade, o fluxo máximo obtém-se após um número

finito de iterações.

Um fluxo é máximo, se e só se, não existir um caminho de aumento de fluxo.



Algoritmo de Ford−Fulkerson :

Este algoritmo, é um modo sistemático de pesquisar todos os possíveis c.a.f. de S para T,

atribuindo rótulos aos nós para indicar a direcção em que o fluxo pode ser aumentado. Cada nó pode

estar num dos 3 estados :

• rotulado e varrido ⇒ tem um rótulo e todos os seus vizinhos estão rotulados;

• rotulado e não varrido ⇒ tem um rótulo, mas nem todos os seus vizinhos estão rotulados;

• não rotulado ⇒ não tem rótulo.

O rótulo do nó j tem 2 partes : [i+, ε(j)] (ou [i−, ε(j)]), em que,

• i+ (ou i−) : índice de um nó i, indicando que pode-se enviar fluxo de i para j (ou de j para i)

• ε(j) : fluxo máximo adicional que se pode enviar de S para j.

Algoritmo :

Passo 1.

S ← [S+, ∞]

S fica rotulado e varrido

Passo 2. (processo de rotulação)

j (rotulado e não varrido) ← [i+, ε(j)] ou [i−, ε(j)]

Para todo o k ∈ N tal que (j, k) ∈ A e xjk < bjk Fazer

k ← [j+, ε(k)] com ε(k) = min { ε(j), bjk − xjk }

Para todo o k ∈ N tal que (k, j) ∈ A e xkj > 0 Fazer

k ← [j−, ε(k)] com ε(k) = min { ε(j), xkj }

j fica rotulado e varrido.

Todos os k ficam rotulados e não varridos.

Se (T está rotulado) ou (não é possível rotular T)

Então (foi determinado um c.a.f.) ou (não existe c.a.f. ⇒ o fluxo actual é máximo)

Senão Regressar ao Passo 2 (início)

Passo 3. (mudança de fluxo)

T ← [k+, ε(T)] ⇒ xkT = xkT + ε(T)

Enquanto k ≠ S Fazer

Se k ← [j+, ε(k)] ⇒ xjk = xjk + ε(T)

Se k ← [j−, ε(k)] ⇒ xkj = xkj − ε(T)

k ← j

Apagar os rótulos e regressar ao Passo 1.



Exemplo :

Considere a rede em baixo, onde os valores correspondem às capacidades e ao fluxo nos arcos.

Pretende-se determinar o fluxo máximo a enviar do nó 1 para o nó 4, atendendo a que o fluxo

actual enviado entre aqueles 2 nós é de 2 unidades.

Passo 1.

Fluxo actual = 2

1 ← [1+, ∞]

RotuladosVarridos = ∅

RotuladosNãoVarridos = { 1 }

NãoRotulados = { 2, 3, 4 }

Passo 2.

j ← 1 (rotulado e não varrido)

Vizinhos (não rotulados) do nó 1 : 2 e 3.

2 não pode ser rotulado, pois b12 = x12

3 ← [1+, min { ε(1), b12 − x12 }] ≡ [1+, min { ∞, 1 }] ≡ [1+, 1]

RotuladosVarridos = { 1 }


NãoRotulados = { 2, 4 }

Passo 2.



2 ← [3−, min { ε(3), x23 }] ≡ [3−, min { 1, 1 }] ≡ [3−, 1]


RotuladosVarridos = { 1, 3 }


NãoRotulados = { 4 }



Passo 2.


Vizinhos (não rotulados) do nó 2 : 4.

4 ← [2+, min { ε(2), b24 − x24 }] ≡ [2+, min { 1, 3 }] ≡ [2+, 1]

RotuladosVarridos = { 1, 3, 2 }


NãoRotulados = ∅

Como T = 4 foi rotulado, foi determinado um caminho de aumento de fluxo.

Passo 3. (mudança de fluxo : o aumento de fluxo é de ε(4) = 1 unidades)

fluxo = fluxo + ε(4) =2 + 1 = 3

4 ← [2+, 1] ⇒ x24 = x24 + ε(4) = 0 + 1 = 1

2 ← [3−, 1] ⇒ x23 = x23 − ε(4) = 1 − 1 = 0

3 ← [1+, 1] ⇒ x13 = x13 + ε(4) = 1 + 1 = 2

Passo 1.

Fluxo actual = 3

1 ← [1+, ∞]

RotuladosVarridos = ∅


NãoRotulados = { 2, 3, 4 }

Passo 2.





Como não é possível rotular mais nenhum nó, e como o nó T = 4 não foi rotulado, então não

existe caminho de aumento de fluxo; logo, o fluxo actual é máximo.



Resultados a retirar após o final do algoritmo :

Fluxo máximo = 3.

X = { 1 }

X = { 2, 3, 4 }

C(X, X ) = b12 + b13 = 3 = Fluxo máximo


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