Problemas - Paraná
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PROBLEMAS REVISTA DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA 46, 2001 37 Cláudio Possani Élvia Mureb Sallum Flávio Wagner Rodrigues IME–USP Soluções e Sugestões RPM – Problemas Caixa Postal 66281 05315-970 São Paulo, SP Problemas 194. Dado um quadrado ABCD, quantos triângulos equiláteros existem, que possuem os três vértices sobre os lados do quadrado? Justifique. (Enviado por Chico Nery, SP.) 195. Calcular o raio da circunferência esboçada na figura ao lado. (Do Concurso do Colégio Militar, enviado por Rizio Sant’Ana, MG.) A B C D 20 12 8 5 r 196. Usando as letras A, B e C podemos formar n 3 “palavras” de n letras. Quantas dessas palavras não possuem dois ou mais A’s adjacentes? (Retirado do livro Problem-solving strategies, de Arthur Engel.) 197. No jogo da Quina, administrado pela Caixa Econômica Federal, em cada sorteio são escolhidas cinco dezenas distintas entre as dezenas 01, 02, …, 80. Em cada aposta, o jogador pode escolher entre o mínimo de cinco e o máximo de oito dezenas. Você ganha um prêmio se acertar três, quatro, ou todas as cinco dezenas sorteadas. Um jogador, com o objetivo de garantir ao menos um prêmio de quadra, escolheu dez dezenas, dividiu-as em cinco blocos de duas dezenas cada um e em seguida agrupou esses
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PROBLEMAS
REVISTA DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA 46, 2001 37
Cláudio PossaniÉlvia Mureb SallumFlávio Wagner RodriguesIME–USP
Soluções e SugestõesRPM – ProblemasCaixa Postal 6628105315-970 São Paulo, SP
Problemas
194. Dado um quadrado ABCD, quantos triângulos equiláterosexistem, que possuem os três vértices sobre os lados do quadrado?Justifique. (Enviado por Chico Nery, SP.)
195. Calcular o raio dacircunferência esboçadana figura ao lado.(Do Concurso do Colégio Militar,enviado por Rizio Sant’Ana, MG.)
A
B C
D20
12
8
5
r
196. Usando as letras A, B e C podemos formar n3 “palavras” den letras. Quantas dessas palavras não possuem dois ou mais A’sadjacentes?(Retirado do livro Problem-solving strategies, de Arthur Engel.)
197. No jogo da Quina, administrado pela Caixa Econômica Federal,em cada sorteio são escolhidas cinco dezenas distintas entre asdezenas 01, 02, …………, 80. Em cada aposta, o jogador podeescolher entre o mínimo de cinco e o máximo de oito dezenas.Você ganha um prêmio se acertar três, quatro, ou todas as cincodezenas sorteadas. Um jogador, com o objetivo de garantir aomenos um prêmio de quadra, escolheu dez dezenas, dividiu-as emcinco blocos de duas dezenas cada um e em seguida agrupou esses
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blocos quatro a quatro. Com isso ele obteve cinco jogos de oitodezenas cada um. Suponha que as cinco dezenas sorteadas pelaCaixa estavam entre as dez que ele escolheu. Qual é aprobabilidade condicional de que ele ganhe o prêmio da Quina?
... e probleminhas
1. Para fazer de cabeça: Se uma garrafa e a sua tampa custam$110,00 e a garrafa custa $100,00 a mais que a tampa, quantocusta a tampa? (Enviado por Jorge Luís R. Silva, CE.)
2. Três atletas disputavam o melhor tempo para uma corrida de 100metros. Enquanto um corria, outro cronometrava. No final, ocronômetro de Marcelo registrava 10,7 segundos, o de Roberto,10,8 segundos e o de Eduardo, 10,9 segundos. Eduardo deu osparabéns ao vencedor. Qual foi a classificação?(Enviado por Jorge Luís R. Silva, CE.)
3. Redesenhar as figuras ao lado, mexendoapenas um palito, para tornar corretas asigualdades.
(Da Olimpíada Regional de Matemática em JoãoPessoa – 2000.)
(Respostas na pág. 60.)
Soluções dos problemas propostos na RPM 44
186. Dados os pontos A e B no primeiroquadrante, quais as condições sobresuas coordenadas para que exista umatrajetória “tipo bilhar” como aindicada na figura?
Solução:
y
x
α
α
β β
AB
Dados ),( 21 aaA = e ),( 21 bbB = no interior do 1o quadrante, existe
uma trajetória “tipo bilhar” como indicada na figura se, e somente se, areta 21121122 )()( babaybaxba −=+++ , que passa por
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),( 21 aa− e ),( 21 bb − ,
intercepta o 1o quadrantenum segmento, isto é, se esó se
022
2112 >+−
=ba
babax e
011
2112 >+−
=ba
babay ,
logo, se e só se02112 >− baba ,
ou 1
2
1
2
b
b
a
a > .
y
x
A a a=( , )1 2( , )−a a1 2
B b b=( , )1 2
( , )b b1 2−
(Solução enviada por João Linneu do A. Prado, SP.)
Observação: Muitos leitores resolveram este problema estabelecendorelações entre as coordenadas dos pontos A e B e os ângulos α e β.Observamos que o enunciado pede explicitamente “condições sobre suascoordenadas”.
187. Na figura, ABC é um triânguloequilátero, O é o centro dacircunferência inscrita e BE éigual à altura do triângulo.Determinar a área do triânguloODE em função do lado.
A
D
B
E
C
O
Solução:
Sendo a a medida do lado do ,ABC∆ temos: 2
3aBD = e
4
360sen
2
aaDH == o . Os triângulos BH’O e BHD são semelhantes
e BDBO3
2= logo, temos 6
3
3
2'
aDHOH == .
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Como área =∆ODE
área −∆ABD área −∆ADE área BEO∆ e
área ABD∆8
32a= ,
área =∆ADE
16
)32(3
42
3)(
2
2 −=×
−=⋅ aaBDaDHAEe
A
D
B
E
H
H’
C
O
área86
3
4
3
2
' 2aaaOHBEBEO ==⋅=∆ , então área ODE∆
16
2a= .
(Solução enviada por vários leitores.)
188. Encontre todos os números naturais de dois dígitos tais que suasoma com o número formado pelos mesmos dígitos em ordemcontrária resulta um quadrado perfeito.
Solução:
Sejam a e b, respectivamente, os algarismos das dezenas e dasunidades do número procurado. Como )(111010 baabba +=+×++×é um quadrado perfeito, então 11 é um divisor de ba + . Observandoque 181 ≤+≤ ba , resulta 11=+ ba . Verificando as possibilidadespara a e b, encontramos os seguintes números:
29, 38, 47, 56, 65, 74, 83 e 92.
(Solução enviada por diversos leitores.)
189. Um L-treminó é uma figura plana como a dodesenho (ou uma rotação dela). Considereum “tabuleiro de xadrez” de tamanho
nn 22 × do qual se remove uma qualquerdas casas. Mostre que o restante do tabuleiropode ser coberto por L-treminós semsuperposição.
Solução:
Faremos a demonstração por indução em n.
Para 1=n , o tabuleiro tem 422 11 =× casas, e ao retirar-se uma casa
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obtém-se exatamente um L-treminó. Portanto, o resultado é verdadeiropara 1=n .
Supondo que a propriedade verdadeira para um certo valor de k, k ∈ IN,
k > 1, isto é, para tabuleiros de kk 22 × casas, vamos provar que oresultado é verdadeiro para 1+= kn , ou para tabuleiros com
11 22 ++ × kk casas.
Podemos dividir o tabuleiro de11 22 ++ × kk casas, através de retas
que passam pelo seu centro, emquatro tabuleiros iguais, cada um
com kk 22 × casas.
A casa retirada pertence a um dosquatro tabuleiros menores e estepode ser coberto por L-treminóspela hipótese de indução.
Colocamos um L-treminó na posição central do tabuleiro de11 22 ++ × kk casas, cobrindo uma casa de cada um dos outros três
tabuleiros menores. Podemos considerar esses tabuleiros com kk 22 ×casas com uma descoberta. Novamente, pela hipótese de indução,podemos cobri-los com L-treminós sem superposição.
Assim, o tabuleiro de 11 22 ++ × kk casas pode ser coberto semsuperposição de peças.(Solução enviada por diversos leitores.)
Relação dos leitores que enviaram soluções dosproblemas da RPM 44
Ailton Durigon, SC – 187 Hilda da Silva Pinhão, SP – 187, 188Alberto Hasser Raad, MG – 187, 188, 189 Jaime Oliveira, SE – 187, 188Alixanzito R. e S. da Costa, CE – 187 Joaquim Ferreira da Silva, PE – 187Amadeu C. de Almeida, RJ – 187, 188, 189 João Batista M. Barbosa, PA – 188Amaro J. de Oliveira Fo, PE – 187, 188, 189 João Linneu A. Prado, SP – 186, 187, 188, 189Anderson Antonio de Araujo, RJ – 187, 188 José Henrique Piccirillo, SP – 188Antonio Claudio Gumieri, SP – 187, 188 João Socorro Pinheiro Ferreira, AP – 187Antonio Ferreira Sobrinho, SP – 187, 188 José Hernandes, SP – 187, 188Antonio J. S. Cavalcante, CE – 187, 188 Luciano Marinho Fo, CE – 187, 188, 189
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Antônio Luiz Miranda, RJ – 188 Luiz César Niehues, SC – 187, 188Antônio Matos da Silva, PR – 187, 188 Luiz Henrique R. A. Mendes, RJ – 188Carl Henning Schinke, RJ – 187, 188 Luís Alexandre Chiconello, SP – 187, 188Carlos A. Mourão Jr., MG – 187, 188 Marcelo da Silva Mendes, PI – 188Carlos A.S. Victor, RJ – 186, 187, 188, 189 Marcelo Ribeiro de Souza, RJ – 188Carlos Edvaldo Esmeraldo, CE – 187 Maria de Lourdes F. Santos, SP – 187, 188Celso M. Rodrigues, MG – 188, 189 Milton Dini Maciel, SP – 187, 188Etiene S. Aguera Ramos, SP – 187, 188 Pierre Bedouch, MG – 186, 187, 188Evandro Makiyama, SP – 187, 188 Robério Bacelar da Silva, CE – 187Eudes V. Chiarelli Fo, MG – 187, 188 Ruy Carlos Miritz, RS – 187, 188, 189Florival C. Sousa, GO – 187, 188, 189 Sebastião Maurício Santos, MG – 187Fernando C. Ramos, RS – 186, 187, 188 Sebastião Paulo Tonolli, SP – 187, 188Francisco A. M. Paiva, CE – 187, 188, 189 Sérgio Orsi Filho, SP – 187, 188Geraldo Claudio Broetto, ES – 189 Tsunediro Takahashi, SP – 188Geraldo Perlino Jr., SP –187, 188, 189 Victor Chakur, SP – 187, 188Gilder da Silva Mesquita, PE – 187, 188 Wagner Raszeja, SP – 187, 188Guita Nascimento, RJ – 187, 188 Wanderley Gamba, SP – 187, 188Hermes Camilo Rodrigues, SP – 188 Zilton Gonçalves, RJ – 187, 188, 189
Nota 1: Na relação de acertadores publicada na RPM 45, deixamos demencionar que Wilson Carlos da Silva Ramos, do Pará, enviou soluções corretaspara os problemas 183, 184 e 185. A ele nossas desculpas.
Nota 2: O leitor Florival Carmo de Sousa, GO, escreveu observando, com razão,que o problema 183 da RPM 43 pode ser resolvido se for dado apenas o lado deum dos quadrados da figura.
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