Processamento Digital de Sinais Aula03 Simas Ufba

8/12/2019 Processamento Digital de Sinais Aula03 Simas Ufba

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Filtros Digitais

EduardoSimas

Introducao

FiltrosAnalogicos

Aproximacao deButterworth

Aproximacao deChebyshev

Filtros Digitais

EstruturasBasicas deFiltros Digitais

Projeto deFiltros Digitais

Aproximacoespara Filtros FIR

Aproximacoespara Filtros IIR

Filtros Linearesde Mnimo ErroQuadraticoMedio

Disciplina: Processamento Digital de Sinais

Aula 03 - Filtros Digitais

Prof. Eduardo Simas([email protected])

Programa de Pos-Graduacao em Engenharia EletricaUniversidade Federal da Bahia


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Introducao

FiltrosAnalogicos



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Conteudo

1 Introducao

2 Filtros AnalogicosAproximacao de ButterworthAproximacao de Chebyshev

3 Filtros DigitaisEstruturas Basicas de Filtros Digitais

Projeto de Filtros DigitaisAproximacoes para Filtros FIRAproximacoes para Filtros IIRFiltros Lineares de Mnimo Erro Quadratico Medio


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Introducao

FiltrosAnalogicos



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Introducao

Filtros sao sistemas lineares invariantes no tempo capazes demodificar as caractersticas dos sinais conectados em suaentrada, de modo que, apenas uma parcela especfica doscomponentes de frequencia do sinal chega a sada do filtro.

Considerando sinais analogicos x(t) e y(t) e um filtro comfuncao de resposta ao impulso h(t), temos:

y(t) =h(t) x(t)

No domnio da frequencia pode-se escrever:

Y(j) =H(j)X(j)


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Introducao

FiltrosAnalogicos



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Filtros Analogicos Ideais

Os filtros analogicos podem ser classificados quando ao modocomo atuam no domnio da frequencia em:

- Passa-Baixas (FPB): |H(j)| =

1, || c0, || > c

- Passa-Altas (FPA): |H(j)| =

0, || c1, || > c

- Passa-Faixa (FPF): |H(j)| =

1, 1 < || 20, 1 || e || > 2

- Rejeita-Faixa (FRF):

|H(j)| =

0, 1 < || 21, 1 || e || > 2

Onde |H(j)| representa as respostas de modulo ideais para os

filtros acima (mostradas graficamente na figura a seguir).


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Introducao

FiltrosAnalogicos



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Filtros Analogicos Ideais

|H(jw)|

wwc

Passa-Baixas

|H(jw)|

wwc

Passa-Altas

|H(jw)|

ww1

Passa-Faixa

|H(jw)|

w

Rejeita-Faixa

w2 w1 w2


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Filtros Analogicos

Na pratica nao e possvel realizar um filtro ideal e as transicoesentre as bandas de passagem e de corte sao mais suaves:

|H(jw)|

wwc

Passa-Baixas

Quanto maior a complexidade (ordem) do filtro, mais proximo

estamos da resposta ideal, porem maior e mais complexo sera ocircuito analogico necessario para realiza-lo.

A ordem de um filtro esta diretamente ligada a quantidade depolos da funcao de transferencia, que por sua vez, depende do

numero de elementos armazenadores de energia (capacitores eindutores) do circuito analogico.


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Filtros Analogicos - Exemplo

Considerando que um sinal de interesse x(t) = sin(20t) estacontaminado por um rudo de alta frequencia r(t) = sin(100t),de modo que o sinal medido e s(t) =x(t) +r(t).

Uma aproximacao x(t) do sinal x(t) pode ser obtida a partir dautilizacao de um filtro passa-baixas com frequencia de cortec 20 rad/s.

Quanto maior a ordem do filtro, melhor e a aproximacao obtida,

conforme pode-se observar nas figuras a seguir.

Quando a ordem do filtro e suficientemente grande, umaaproximacao satisfatoria e obtida.


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0 0.2 0.41

0

1Sinal de Interesse

0 0.2 0.42

0

2Sinal + Ruido

0 0.2 0.4

1

0

1

Sinal Filtrado (Ordem 1)

0 0.2 0.4

1

0

1


0 0.2 0.41

0

1


0 0.2 0.41

0

1Sinal Filtrado (Ordem 10)


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Resposta em frequencia

ordem dos filtros:

0 1 2 30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

|H(j)|

Ordem 10

Ordem 1

Percebe-se que com o aumento da ordem, a resposta do filtrotende para a resposta ideal.

Em contrapartida, os filtros analogicos de alta ordem sao demontagem complexa e altamente dependentes dos valores doselementos do circuito.

Ja os filtros digitais de alta ordem demandam maior capacidade deprocessamento, devido ao maior numero de operacoes necessarias.


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Projeto de Filtros Analogicos


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Projeto de Filtros Passa-Baixas Analogicos

Existem diversas tecnicas utilizadas para o projeto de filtrospassa-baixas analogicos.

A seguir iremos apresentar duas das principais abordagens(aproximacoes de Butterworth e de Chebyshev) e apresentar

exemplos de projeto com o auxlio do MATLAB.

Os filtros passa-baixas analogicos normalizados podem serconvertidos em outros tipos de filtros (passa-altas, passa-faixa erejeita-faixa).

Os filtros digitais serao estudados apos essa introducao aosfiltros analogicos

Uma forma de projeto de filtros digitais envolve a conversao dafuncao de transferencia do filtro analogico para o domniodigital.


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Especificacoes do Filtro

O primeiro passo no projeto de um FPB e definir as especificacoes dofiltro, que podem ser associadas a figura abaixo:

P - frequencia limite da banda de passagem;

S - frequencia limite da banda de rejeicao;

11+2

- atenuacao maxima da banda de passagem;

1A - atenuacao mnima da banda de rejeicao.


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Aproximacao de Butterworth

Na aproximacao de Butterworth considera-se que a funcao detransferencia do filtro de ordem N e tal que:

|Ha(j)|2 = 1

1 +

c2N

O ganho de um filtro de Butterworth e definido por:

G() = 10 log10 |Ha(j)|2 dB

Observa-se que:

- Para um sinal DC ( = 0) temos: G(0) = 1.- Para = c: G(c) = 10 log10(

12 )= 3 dB.

E possvel provar que a resposta de magnitude o filtro deButterworth e maximamente plana em = 0 e nao apresenta

oscilacoes.


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Filtros Digitais







Exemplos de resposta de magnitude para filtros deButterworth

:

A ordem do filtro pode ser calculada considerando-se que:

|Ha(jp)|2 = 11 +p

c

2N = 11 +2

|Ha(js)

|2 =

1

1 +

sc2N = 1

A2


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Resolvendo para N temos:

N= 1

2

log10[(A2 1)/2]

log10(s/p)

O valor de c(frequencia de corte de -3 dB) pode ser obtido porsubstituicao nas expressoes de

|Ha(jp)

|2 e|Ha(js)

|2.

Se for feita a substituicao de N na expressao de|Ha(js)|2 garante-seexatamente a especificacao para s (banda de rejeicao) econsegue-se exceder a especificacao para p, garantindo umamargem de seguranca na banda de passagem (e vice-versa).

Com os valores de Ne de c e possvel determinar Ha(s) = C

DN(s),

onde os coeficientes do polinomio de Butterworth de ondem N(DN(s)) podem ser calculados ou obtidos de tabelas.

No exemplo a seguir sera utilizado o Matlab para auxlio ao projeto

de um FPB usando a aproximacao de Butterworth.

P j t M tl b d FBP d


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Filtros Digitais






Projeto em Matlab de um FBP usandoaproximacao de Butterworth

Inicialmente determina-se N (ordem do filtro) e Wn (freq. decorte de -3 dB) usando o comando buttord e em seguidadetermina-se o a funcao de transferencia do filtro usando ocomandobutter:

O comando buttordtem a sintaxe:

[N,Wn]=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,s)

sendo Wpa frequencia limite da banda de passagem (emrad/s), Wsa frequencia limite da banda de rejeicao (em rad/s),

Rpa maxima atenuacao da banda de passagem (em dB) e Rs amnima atenuacao na banda de rejeicao (em dB).

O comando buttertem a sintaxe:

[num,den]=butter(N,Wn)


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Filtros Digitais






Exemplo

Projetar, usando o Matlab, um filtro de Butterworth com asespecificacoes a seguir:

- frequencia limite da banda de passagem 100 Hz;

- frequencia limite da banda de rejeicao 300 Hz;

- maxima atenuacao na banda de passagem 0,5 dB;

- mnima atenuacao na banda de rejeicao 20 dB;

Neste caso, a sequencia de comandos a ser utilizada e:

[N,Wn]=buttord(100,300,0.5,20,s);

Assim obtemos: N= 4 e Wn= 168.9145.

Os polinomios do numerador e do denominador da funcao detransferencia do filtro (no domnio de Laplace) podem ser obtidas de:

[num,den]=butter(N,Wn,s);


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Exemplo

As respostas de modulo e fase do filtro podem ser obtidas por:

freqs(num,den)

O resultado encontrado e:

101

102

103

200

0

200

Frequency (rad/s)

Phase(degrees

)

101

102

103

104

102

100

Frequency (rad/s)

Magnitude


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Aproximacao de Chebyshev

A aproximacao de Chebyshevtenta minimizar a diferenca entrea resposta do filtro e a resposta ideal em uma das bandas defrequencia (de passagem ou de rejeicao).

Eistem dois tipos de filtros de Chebyshev, que variam quanto a

localizacao da ondulacao na resposta de modulo:- Tipo 1: Ondulacao na banda de passagem e monotonico na

banda de rejeicao;

- Tipo 2: Monotonico na banda de passagem e ondulacao na

banda de rejeicao;

As aproximacoes de Chebyshevproduzem filtros de menorordem para um mesmo problema se comparadas a aproximacaode Butterworth. Em contrapartida, as respostas de amplitudedos filtros produzidos apresentam oscilacoes.


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Filtros Digitais






Aproximacao de Chebyshevdo Tipo 1

Para o Tipo 1 temos:

|Ha(j)|2 = 11 +2T2N

c

Sendo T2N o polinomio de Chebyshevde ordem N:

T2N=

cos(Ncos1

), || 1cosh(Ncosh1 ), || >1

Exemplos de resposta de modulo para filtros de Chebyshevdo tipo 1.


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Filtros Digitais






Projeto de Filtros de Chebyshevusando o Matlab

De modo semelhante ao realizado para os filtros deButterworth, pode-se utilizar funcoes do Matlab para calcular aordem do filtro, a frequencia de -3 dB e os coeficientes dafuncao de transferencia.

Utilizando o mesmo exemplo anterior, para o Tipo 1:

[Nc1,Wnc1]=cheb1ord(100,300,0.5,20,s)

como resultado obtemos: Nc1 = 3 e Wnc1 = 100.

Para o Tipo 2:

[Nc2,Wnc2]=cheb2ord(100,300,0.5,20,s)

agora: Nc2 = 3 e Wnc2 = 205.3656

As funcoes de transferencia podem ser obtidas de:[numC1,denC1]=cheby1(Nc1,Rs,Wnc1,s) e

[numC2,denC2]=cheby2(Nc2,Rp,Wnc2,s);


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Filtros Digitais






Projeto de Filtros de Chebyshevusando o Matlab

A figura a seguir apresenta uma comparacao entre as respostas de

modulo (|H(j)|2 em dB) para os tres tipos de filtros estudados ateaqui.

0 100 200 300 400 50060

50

40

30

20

10

0

Frequencia (Hz)

|H(j)|2(

dB)

Butterworth (N=4)Chebyshev 1 (N=3)Chebyshev 2 (N=3)

Percebe-se que as especificacoes do projeto sao atendidas nos trescasos, porem os filtros de Chebyshevapresentam respostas maisseletivas, mesmo com uma ordem menor.


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P j d O Ti d Fil


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Projeto de Outros Tipos de Filtros

Com os comandos do slide anterior estamos especificando umFRF com banda de rejeicao para 600 rad/s, e banda de passagem para 300 <


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Filtros Digitais

Filt Di it i I t d


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Filtros Digitais - Introducao

Um filtro digital e a implementacao de um algoritmomatematico em hardwareou softwareque opera sobre sinal x[n]aplicado em sua entrada gerando na sada uma versao filtraday[n] de x[n].

Considerando que o filtro esta implementado num Processador

Digital de Sinais (PDS) e que o objetivo e processar um sinalanalogico x(t), temos:

ADCx(t) PDS DAC y(t)

Se os sinais a serem processados forem digitais o diagrama seresume a:

PDSx[n] y[n]

Filt Di it i Filt A l i


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Filtros Digitais






Filtros Digitais Filtros Analogicos

Entre as principais vantagens dos filtros digitais podemoslistar:

- Filtros digitais podem apresentar a fase perfeitamente linear.

- O desempenho dos filtros analogicos nao depende decomponentes do circuito, ou seja, sua resposta nao einfluenciada por mudancas ambientais (temperatura, umidade).

- A resposta em frequencia do filtro digital pode ser maisfacilmente modificada (caso esteja implementada em softwareou hardware programavel).

- Com o avanco da tecnologia de fabricacao eletronica os filtrosdigitais podem ser implementados em dispositivos cada vezmenores e mais economicos.

- Filtros digitais podem ser utilizados em sinais de frequencia

muito baixa (como e o caso de algumas aplicacoes biomedicas).

Filt Di it i Filt A l i


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Filtros Digitais






Filtros Digitais Filtros Analogicos

Entre as principais desvantagens dos filtros digitais pode-semencionar:

- Considerando as etapas de conversao AD e DA e o

processamento propriamente dito, os filtros digitais tem umavelocidade de resposta inferior aos analogicos.

- Os filtros digitais estao sujeitos aos erros inerentes ao processode quantizacao (na conversao AD) e tambem aos erros de

aproximacao devido ao uso de palavras digitais de comprimentofinito. Em filtros recursivos de alta ordem esses fenomenospodem levar a instabilidade.


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Tipos de Filtros Digitais


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FiltrosAnalogicos



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Tipos de Filtros Digitais

A sada de um filtro IIR do modo como foi definidaanteriormente nao pode ser obtida na pratica.

Utiliza-se, entao, uma representacao recursiva do tipo:

y[n] =

k=0

h[k]x[n k] =N

k=0

bkx[n k] M

k=1

aky[n k];

sendo ak e bkos coeficientes do filtro.

Aplicando-se a transformada z, obtemos as funcoes detransferencia H(z) =Y(z)/X(z) dos filtros digitais:

- FIR: H(z) =N1k=0

h(k)zk e IIR: H(z) =

Nk=0

bkzk

1 +M

k=1

akzk

Etapas para o Projeto de um Filtro Digital


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Etapas para o Projeto de um Filtro Digital

O projeto e a construcao de um filtro digital envolvem as etapasa seguir:

1 Especificacao das caractersticas do filtro;

2 Calculo dos coeficientes da funcao de transferencia;

3 Representacao do filtro por uma estrutura adequada(realizacao);

4

Analise dos efeitos do comprimento finito da palavradigital no desempenho do filtro;

5 Implementacao do filtro em softwareou hardware.

FIR ou IIR ?


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Aproximacao deButterworthAproximacao deChebyshev

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FIR ou IIR ?

A escolha entre os filtros FIR e IIR depende da aplicacaoespecfica e deve considerar as caractersticas do dois tiposcomo:

- Os filtros FIR tem resposta de fase linear. Isso implica que

nenhuma distorcao de fase e produzida no sinal filtrado. Essacaracterstica e importante em diversas aplicacoes comoprocessamento de audio e imagem, biomedicina e transmissaode dados.

- Filtros FIR sao realizados de modo nao-recursivo, e assim sao

sempre estaveis. O mesmo nao pode ser garantido para osfiltros IIR.

- Os efeitos da precisao finita e dos erros de quantizacao saomenos severos para os filtros FIR.

FIR ou IIR ?


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FIR ou IIR ?

- Filtros IIR, em geral, necessitam de menos coeficientes que osFIR para atender a uma mesma especificacao de projeto. Umfiltro de menor ordem tem menor tempo de execucao.

- Filtros analogicos podem ser facilmente convertidos em filtros

digitais IIR equivalentes

De modo geral pode-se usar as indicacoes abaixo:

- Utilize um filtro IIR sempre que for importante uma respostabem seletiva no domnio da frequencia ou quando for necessario

realizar a conversao das especificacoes de um filtro analogico;

- Utilize um filtro FIR quando o numero de coeficientes nao egrande (pois a estabilidade da estrutura FIR e garantida) eespecialmente quando a distorcao de fase desejada for pequena.


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Aproximacoespara Filtros FIRAproximacoespara Filtros IIR


Estruturas Basicas de Filtros Digitais



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Filtros Digitais






Os algoritmos computacionais de filtros lineares e invariantes notempo (LTI) podem ser representados em forma de diagrama deblocos utilizando estruturas basicas como:

- atrasos unitarios;

- ganhos (multiplicadores);

- somadores

- realimentacoes (para filtros recursivos).

Estruturas Canonicas e Nao-Canonicas:

Uma estrutura e dita canonica se o numero de atrasos nodiagrama de blocos e igual a ordem da equacao a diferencas (ouda funcao de transferencia) do filtro.

Estruturas de Filtros FIR (Nao-recursivos)


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Filtros Digitais





Estruturas de Filtros FIR (Nao recursivos)

Um filtro FIR pode ser descrito por: y[n] =

N1k=0

h[k]x[n k].

Uma modo simples de realizar um filtro FIR e utilizar estruturasna forma direta, conforme mostrado na figura a seguir.

Figure: Estrutura FIR na forma direta

Estruturas de Filtros FIR (Nao-recursivos)


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Estruturas de Filtros FIR (Nao recursivos)

Existem diversas implementacoes digitais para um mesmoproblema, sendo elas equivalentes quando ao calculo da sada dofiltro.

A seguir e apresentada a estrutura de um filtro FIR na formadireta alternativa:

Figure: Estrutura FIR na forma direta alternativa

As implementacoes na forma direta tem a vantagem deutilizarem os coeficientes da funcao de resposta ao impulso dofiltro (h(k)) como multiplicadores no diagrama.

Filtros FIR na Forma Cascata


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FiltrosAnalogicos

Aproximacao de

ButterworthAproximacao deChebyshev

Filtros Digitais





t os a o a Cascata

A implementacao na forma cascata e obtida pela conexao em cascata

de uma serie de filtros FIR de segunda ordem:

A funcao de transferencia associada a essa realizacao e da forma:

H(z) =N

k=1

(0k+1kz1 +2kz

2)

os coeficientes ikprecisam ser determinados em funcao dos h(k) da

funcao de resposta ao impulso do filtro.

Filtros FIR com fase linear


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FiltrosAnalogicos

Aproximacao de


Filtros Digitais





Uma importante classe de filtros FIR e aquela que apresentafase linear.

Esses filtros tem resposta em frequencia do tipo:

H(ej) =B()ej+j

onde B(j) e real, e sao constantes.

Calculando a sequencia de resposta ao impulso temos:

h[n] = 1

2

H(ej)ejnd=ejb[n ]

Apos algumas manipulacoes algebricas e considerando que ofiltro deve ser causal e ter duracao finita, entao chega-se a:

h[n] =e2jh[M n], sendo que o filtro existe para 0 n M.



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Aproximacao de


Filtros Digitais





Considerando o caso onde todos os coeficientes sao reais, entao:

h[n] =h[n] e

e2j R =k

2 , k Z.

Entao chega-se a:

h[n] = (1)kh[M n), k Z.

Na pratica, basta considerarmos os casos abaixo (todas as

outras combinacoes de k e M serao equivalentes):- Tipo I: k= 0 e M e par.- Tipo II: k= 0 e M e mpar.- Tipo III: k= 1 e M e par.- Tipo IV: k= 1 e M e mpar.

Filtros FIR com fase linear - Caractersticas


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Aproximacao de


Filtros Digitais



Aproximacoes

para Filtros FIRAproximacoespara Filtros IIR




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Aproximacao de


Filtros Digitais



Aproximacoes



Exemplos de resposta ao impulso de filtros FIR de fase linear dos

tipos (a) I, (b) II, (c) III e (d) IV.

Estruturas Eficientes para Filtros FIR com faselinear


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Aproximacao de


Filtros Digitais



Aproximacoes



linear

Uma propriedade interessante de filtros FIR com fase linear e que eles

podem ser realizados atraves de estruturas eficientes que exploramsuas caractersticas de simetria e anti-simetria.

Realizacao de filtro de fase linear com resposta ao impulso simetrica

e ordem par.


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Filtros IIR na Forma Direta


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Aproximacao de


Filtros Digitais



Aproximacoes



Representando ao mesmo tempo N(z) e 1/D(z) temos uma

realizacao do filtro IIR na forma direta (na qual os coeficientesdo filtro estao explcitos na estrutura realizada):

Filtros IIR na Forma Canonica


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Aproximacao de


Filtros Digitais



Aproximacoes



A estrutura anterior pode ser modificada de modo a obter uma

realizacao equivalente, porem na forma canonica:

Filtros IIR na Forma Canonica


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Aproximacao de


Filtros Digitais



Aproximacoes



Outra estrutura tambem na forma canonica:

Outras Realizacoes de Filtros IIR


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Aproximacao de


Filtros Digitais



Aproximacoes



Existem ainda outras realizacoes utilizadas para filtros IIR como:

- Cascata:

- Paralela:

Outras Realizacoes de Filtros IIR


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Aproximacao de


Filtros Digitais



Aproximacoes



Nos casos mostrados no slide anterior, os blocos Hi(z)apresentam funcoes de transferencia simples, de primeira ousegunda ordem.

Como veremos futuramente, as diferentes realizacoes de filtros

digitais apresentam diferentes propriedades quando seconsideram uma implementacao pratica com precisao finita.

E preciso avaliar o comportamento da realizacao utilizadaquando ocorre quantizacao dos coeficientes e das operacoes

aritmeticas envolvidas.

A analise dos efeitos da precisao finita e uma etapa importantepara o projeto de filtros digitais.


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FiltrosAnalogicos

Aproximacao de


Filtros Digitais



Aproximacoes



Projeto de Filtros Digitais


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Aproximacao de


Filtros Digitais



Aproximacoes



Aproximacoes para Filtros FIR

Aproximacoes para Filtros FIR


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Aproximacao de


Filtros Digitais



Aproximacoes



Conforme visto anteriormente, a implementacao de um filtro e

realizada a partir da sua funcao de transferencia:

H(z) =

n=

h[n]zn

Porem, seu comportamento e melhor caracterizado por suaresposta em frequencia:

H(ej) =

n=

h[n]ejn

sendo que h[n] pode ser descrita por:

h[n] = 1

2

H(ej)ejnd

A seguir serao apresentados os pares H(ej) e h[n] para os

filtros ideais.

Caractersticas de Filtros Ideais


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FiltrosAnalogicos

Aproximacao de


Filtros Digitais



Aproximacoes



Aproximacoes para filtros FIR usandoFuncoes-Janela


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FiltrosAnalogicos

Aproximacao de


Filtros Digitais



Aproximacoes



Um modo de contornar as limitacoes para realizacao da funcaode resposta ao impulso dos filtros ideais h[n] e definir umasequencia auxiliar h(n) de comprimento finito de ordem M daforma:

h

[n] = h[n]w[n], |n| M

20, |n| > M2

Essa resposta, embora de comprimento finito, ainda enao-causal.

Porem ela pode ser transformada em causal atraves damultiplicacao por zM/2, sem distorcer a resposta de modulo esem destruir a propriedade de fase linear.

A sequencia w[n] e conhecida como funcao janela.

Filtros FIR usando Janela Retangular


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Introducao

FiltrosAnalogicos

Aproximacao de


Filtros Digitais



Aproximacoes



Para a janela retangular temos:

w[n] =

1, |n| M/20, |n| >M/2

Na verdade a janela retangular representa o simplestruncamento da resposta ao impulso do filtro ideal.

Considerando, entao, o projeto de um filtro passa-faixa com ascaractersticas a seguir:

- M=50- c1 =/4 rad/s- c2 =/2 rad/s- s= 2 rad/s



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FiltrosAnalogicos

Aproximacao de


Filtros Digitais



Aproximacoes



Considerando uma janela retangular, h[n] e obtido pelo script:

M = 49;wc1 = pi/4; wc2 = pi/2; ws = 2*pi;

n = 1:M/2;

h0 = 1 - (wc2 - wc1)/pi;

haux = (sin(wc1.*n) - sin(wc2.*n))./(pi.*n);

h = [fliplr(haux) h0 haux];

Os 25 coeficientes do filtro sao mostrados a seguir (os demais24 sao obtidos por rebatimento):



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FiltrosAnalogicos

Aproximacao de


Filtros Digitais



Aproximacoes



A resposta em frequencia obtida e:

Observa-se que aparecem ondulacoes nas extremidades da faixa depassagem chamadas Oscilacoes de Gibbs , que surgem devido adescontinuidade imposta pela janela da sequencia h[n].

O aumento da ordem do filtro torna a resposta mais seletiva, mas

nao modifica a amplitude das oscilacoes.

Filtros FIR usando Janelas Triangulares


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Introducao

FiltrosAnalogicos

Aproximacao de


Filtros Digitais



Aproximacoes



O uso de janelas sem descontinuidade diminuem as oscilacoesde Gibbs.

Uma opcao simples e utilizar janelas de formato triangular como:

w[n] = 2|n|M+ 2+ 1, |n| M/2

0, |n| >M/2

Adicionando-se uma amostra igual a zero nas extremidades dajanela triangular obtemos a janela de Bartlett.

Em alguns casos e necessario a utilizacao de janelas maissofisticadas, que reduzem ainda mais as oscilacoes. Algumasdestas janelas serao apresentadas a seguir.

Filtros FIR usando Janelas de Hamming e Hanning


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Introducao

FiltrosAnalogicos

Aproximacao de


Filtros Digitais



Aproximacoes



A janela de Hamminggeneralizada pode ser definida por:

w[n] =

+ (1 ) cos(2n/M), |n| M/20, |n| >M/2

Para a janela de Hanningou Hann, faz-se: = 0, 50.

Para termos a janela de Hammingpropriamente dita, usamos= 0, 54:

As janelas do tipo Hammingapresentam maior atenuacao dasoscilacoes de Gibbs se comparadas as janelas triangulares.

Filtros FIR usando Janela de Blackman


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Introducao

FiltrosAnalogicos



Filtros Digitais



Aproximacoes



A janela de Blackman e obtida a partir de modificacoes najanela de Hamming, sendo definida por:

w[n] =

0, 42 + 0, 5 cos(2n/M) + 0, 08 cos(4n/M), |n| M/20, |n| >M/2

Comparada com as janelas anteriores, a de Blackman apresentacaractersticas como:

- Menor ondulacao na faixa de passagem;

- Maior atenuacao na banda de rejeicao.

Comparacao entre Janelas


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Introducao

FiltrosAnalogicos



Filtros Digitais



Aproximacoes



Nos proximos slides sera apresentada uma comparacao entrealgumas das funcoes janelas apresentadas considerando osdomnios do tempo e da frequencia.

No domnio do tempo, pode-se observar que, a menos da janelaretangular (boxcar), as demais tem caractersticas semelhantes.

No slide do domnio da frequencia temos as respostas parajanelas (a) retangular, (b) Hamming, (c) Hann e (d) Blackman.

Percebe-se que com a evolucao das janelas ha uma diminuicaodas oscilacoes de Gibbs.

Comparacao entre Janelas - Domnio do Tempo


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FiltrosAnalogicos



Filtros Digitais



Aproximacoes



Comparacao entre Janelas - Domnio da Frequencia


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Filtros Digitais






Filtros FIR usando Janela Ajustaveis


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Filtros Digitais






Conforme visto anteriormente, o uso de janelas produzoscilacoes de Gibbs que, para as janelas estudadas ate aqui, naopodem ser controladas.

O uso de janelas mais sofisticadas (Ex. Blackman) contribuipara a reducao das oscilacoes, porem sua amplitude e

independente da ordem do filtro.

Em muitos casos praticos, as especificacoes dos filtrosconsideram valores limitados para as oscilacoes tanto na bandade passagem como na banda de rejeicao.

Para atingir esse proposito e preciso utilizar janelas que possuamparametros ajustaveis associados as oscilacoes como:

- Janela de Kaiser- Janela de Dolph-Chebyshev

Filtros FIR usando Janela de Kaiser


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FiltrosAnalogicos



Filtros Digitais






A janela de Kaiser e definida por:

w[n] =

I0

1 ( 2nM

)2

I0() , |n| M/2

0, |n| >M/2

SendoI0(x) = 1 +k=1

(x/2)k

k!

2

a funcao de Bessel modificada

de primeira classe de ordem zero.

O parametro pode ser utilizado para controlar as

caractersticas da resposta em frequencia do filtro.

Os filtros projetados usando a janela de Kaiser tambemapresentam a mesma ondulacao tanto na banda de passagemcomo na de rejeicao, porem a amplitude das ondulacoes pode

ser ajustada atraves do parametro

Filtros FIR usando Janela de Kaiser


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Filtros Digitais






Considerando um filtro com as seguintes especificacoes:

O projeto usando a janela de Kaiser envolve os passos a seguir.

Etapas de Projeto usando Janela de Kaiser


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Filtros Digitais






1 Determine a resposta ao impulso ideal. Para FPB e FPA facac= (p+ r)/2.

2 Dadas as ondulacoes Ap e Arem dB encontre seus valores usando:

p= 100.05Ap 1100.05Ap + 1

e r = 100.05Ap.

3 Fazendo = min(p, r) recalcule as ondulacoes resultantes em dB:

Ap= 20log1 +

1 e Ar = 20log .

4 Calcule a faixa de transicao: Tr = r p.5 Determine usando (expressao emprica de Kaiser):

=

0, Ar 210, 5842(Ar 21)0,4 + 0, 07886(Ar 21), 21< Ar 500, 1102(Ar 8, 7), Ar>50



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6 O comprimento da janela M e definido como o menor numero par

que satisfaz:

M sDTr

,

sendo sa frequencia de amostragem e Dcalculado por:

D=

0, 9222, Ar 21Ar 7, 95

14, 36 , 21< Ar

7 Uma vez determinados M e pode-se determinar w[n] (usando aexpressao do slide 67) e formar a sequencia h[n] =w[n]h[n], sendoh[n] a funcao de transferencia do filtro ideal calculada na Etapa 1.

8 A funcao de transferencia do filtro projetado e obtida de:

H(z) =zM/2Z{h[n]},sendo Z{} o operador da transformada z.



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FiltrosAnalogicos



Filtros Digitais






O procedimento descrito nos slides anteriores se aplica a filtrospassa baixas e passa altas.

Se for necessario projetar filtros passa faixa ou rejeita faixadeve-se acrescentar o seguinte:

- Calcular a faixa de transicao Trmais estreita que sera dada por:

Tr = r1 p1 ou Tr = r2 p2.

- As duas frequencias centrais sao determinadas usando:

c1 =

p1+ Tr

2

e c2 =

p2 T

r

2

Uma especificacao tpica de um filtro rejeita faixa e mostradano proximo slide.



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FiltrosAnalogicos



Filtros Digitais






Especificacao tpica de um filtro rejeita faixa:

O projeto usando Janela de Dolph-Chebyshev e realizado de modosemelhante ao descrito para a janela de Kaiser, sendo que a janela edefinida com base no polinomio de Chebyshev de ordem M.

Aproximacoes de Filtros FIR usando MetodosNumericos


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Filtros Digitais






Embora o projeto de filtros FIR utilizando janelas seja

relativamente simples e direto, ele tem limitacoes,principalmente quando deseja-se obter uma resposta nafrequencia com caractersticas pre-definidas.

O metodo baseado em janelas nao e eficiente para o projeto defiltros com amplitudes diferentes das ondulacoes nas faixas de

passagem e rejeicao e tambem nao sao capazes de produzir FPFe FRF assimetricos

Para esses casos pode-se utilizar metodos baseados emotimizacao numerica, que sao capazes de projetar filtros comfuncao de transferencia mais generica.

Entre os metodos numericos utilizados para o projeto de filtrosFIR pode-se destacar:

- Metodo WLS (Weighted Least Squaresou MnimosQuadrados Ponderados);

- Metodo Otimo de Chebyshev

Filtros FIR usando Metodos Numericos


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Filtros Digitais






Para o desenvolvimento dos metodos numericos de projeto de filtros

FIR e preciso considerar os quatro tipos de filtro com resposta de faselinear (Tipos I, II, III e IV vistos anteriormente).

Visando uma apresentacao unificada destes filtros define-se umafuncao auxiliar:

P() =

Ll=0

p(l) cos(l)

Com base nessa funcao pode-se expressar a resposta em frequenciados quatro tipos de filtros FIR com fase linear.

E definida entao uma funcao de erro:

E() =Wq()[Dq() P()]

sendo Wq() =W()Q(), Dq() =D()/Q(), W() a funcaopeso, D() a resposta em amplitude ideal do filtro e Q() umafuncao variavel com o tipo do filtro.



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Temos entao os valores de Q() em funcao do tipo do filtro:

- Tipo I: Q() = 1

- Tipo II: Q() = cos(/2)

- Tipo III: Q() = sen()

- Tipo VI: Q() = sen(/2)

Os valores de W() e D() podem ser calculados da tabela noslide a seguir.

Pela formulacao obtida no slide anterior o problema deotimizacao para projeto dos filtros FIR pode ser definido comodeterminar os coeficientes p(l) que minimizam a funcao E()em uma certa faixa de frequencias.



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Filtros FIR pelo Metodo dos Mnimos Quadrados

Ponderados (WLS)

O metodo WLS busca a minimizacao do valor medio quadraticodo erro.

Ou seja, os coeficientes p(l) do filtro sao ajustados visando:

min

0

|E()|2d

Filtros FIR pelo Metodo Otimo de Chebyshev

O metodo otimo de Chebyshev tem como objetivo aminimizacao do valor maximo do erro:

min

max{|E()|}

Projeto de Filtros FIR com auxlio do Matlab


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Filtros Digitais






O projeto de filtros FIR pode ser simplificado utilizando o

Matlab (principalmente em termos dos calculos que envolvem aobtencao dos coeficientes da funcao de resposta ao impulso).

O Matlab possui funcoes na Signal Processing Toolboxdedicadas para filtros digitais. Entre elas podemos listar:

- fir1: projeta filtros-padrao FIR (FPB, FPA, FPF e FRF)

utilizando o metodo da janela.- fir2: projeta filtros FIR com resposta arbitraria utilizando

o metodo da janela.- boxcar, triang, bartlet, hamming, hanning, blackman

e kaiser: determinam as funcoes janela correspondentes.

- kaiserord: determina a ordem do filtro FIR com janelaKaiser (para ser utilizado com o comando fir1).- firls: projeta filtros FIR com fase linear utilizando o

metodo dos mnimos quadrados ponderados.- filter: realiza a filtragem de um sinal.- freqz: obtem a resposta em frequencia do filtro.


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Aproximacoes para Filtros IIR

Aproximacoes para Filtros IIR


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Os filtros de resposta ao impulso infinita (IIR) podem serrealizados a partir de uma estrutura recursiva (a sada atualdepende de versoes atrasadas dela mesma).

A estrutura recursiva produz uma funcao de transferencia comnumerador e denominador (ou seja, com zeros e polos),diferente dos filtros FIR que nao possuem polos.

Conforme comentado anteriormente uma caractersticainteressante de filtros digitais IIR e que eles podem ser obtidos apartir de estruturas analogicas correspondentes utilizando uma

transformacao de variaveis

Os filtros analogicos podem ser projetados usando um dosmetodos mostrados a partir do slide 10.

PDS A l

Filtros IIR pelo metodo da Transformacao Bilinear


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O metodo da transformacao bilinear consiste basicamente em

mapear o semi-plano s esquerdo no interior do ciclo unitario doplano z.

O mapeamento bilinear e definido por:

s= 2

T

z 1

z+ 1

A funcao de transferencia do filtro digital e obtida do domnioanalogico fazendo:

H(z) =HA(s)s= 2T z

1z+1

O mapeamento bilinear e nao-linear para altas frequencias,gerando uma distorcao na resposta de modulo conhecida comowarping(ou empenamento).

PDS A l 03



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Mapeamento realizado pela transformacao bilinear:

PDS A l 03


A i li d f bili d


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A caracterstica nao linear da transformacao bilinear produzdistorcao na resposta de modulo do filtro digital:

E possvel compensar esse efeito gerando artificialmente umapre-distorcao adequada das especificacoes do filtro analogico.


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Projeto de filtros IIR usando o Matlab


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O projeto de filtros IIR utilizando o Matlab pode ser realizado

com as mesmas funcoes utilizadas para o projeto dos filtrosanalogicos (conforme mostrado a partir do slide 10).

Entre as funcoes uteis podemos destacar:

- butter: projeta filtros analogicos e digitais IIR utilizando

a aproximacao de Butterworth.- buttord: estima a ordem necessaria para o filtro de

Butterworth a partir das especificacoes de projeto.- cheby1: projeta filtros analogicos e digitais IIR utilizando

a aproximacao de Chebyshev.

- cheby1ord: estima a ordem necessaria para o filtro deChebyshev a partir das especificacoes de projeto.- lp2lp, lp2hp, lp2bp, lp2bs: realizam a conversao do

filtro passa-baixas normalizado para filtros FPB naonormalizado, FPA, FPF e FRF, respectivamente.

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PDS Aula 03Filtros Digitais

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Filtros Lineares de Mnimo Erro Quadratico Medio

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Filtragem Linear de Mnimo Erro Quadratico Medio

Q d i l d i t S(t) t i d d


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Quando um sinal de interesse S(t) e contaminado por rudo

aditivo N(t), de modo que o sinal observado e:X(t) =S(t) +N(t) , surge o problema de obter uma

estimacao S(t) de S(t) a partir do sinal observado X(t).

Este problema pode ser definido, de modo equivalente como:

- Estimacao de S(t) a partir de X(t);- Filtragem do rudo N(t) existente no sinal medido X(t).

Entre os filtros Lineares de MMSE (Minimum Mean SquareError) podemos destacar:

- Filtros de Wiener e Filtros de Kalman

- Filtros Adaptativos

Os filtros MMSE normalmente tem estrutura FIR e sao obtidosa partir de uma analise estatstica dos sinais disponveis, sendoabordados com detalhes na disciplina:ENG A83 - Processamento Estatstico de Sinais.

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Exemplo de Filtragem MMSE


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Resumo

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Resumo


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Neste modulo foram abordados aspectos que envolvem o projetoe a implementacao de filtros digitais.

Inicialmente foram estudados os filtros analogicos.

A seguir deu-se a apresentacao de diversas estruturas digitaispara a realizacao de filtros de resposta ao impulso finita (FIR) einfinita (IIR).

As etapas que envolvem o projeto de filtros digitais foramabordadas separadamente para os filtros FIR e IIR.

Exemplos praticos de projeto e teste de filtros digitais foramrealizados em sala de aula com o auxlio do Matlab.

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Bibliografia Consultada


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Na elaboracao destes slides foram utilizadas as fontes a seguir:

- DINIZ, P. S. R., da SILVA, E. A. B. e LIMA NETTO, S.Processamento Digital de Sinais. Bookman, 2004.

- MITRA, S., Digital Signal Processing, Bookman, 2005.

- WEEKS, M. Processamento Digital de Sinais, LTC, 2011.

- ANTONIOU, A., Digital Signal Processing, McGraw-Hill,2006.

Algumas figuras foram retiradas na ntegras das referenciasacima.

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