Processos de Markov - Departamento de Informática e...
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1 Processos de Markov Processos “sem memória”: probabilidade de X t assumir um valor futuro depende apenas do estado atual (desconsidera estados passados). P(X n =x n | X 1 =x 1 ,X 2 =x 2 ,...,X n-1 =x n-1 ) = P(X n =x n |X n-1 =x n-1 ) para n = 0, 1, 2, ... Seja X t um processo de Markov, i e j estados, e t tempos: p ij = P[X t ( + t) = j | X t () = i] ≥ 0 e t ≥ 0 Se p ij independe do tempo então o processo de Markov é dito ESTACIONÁRIO ou homogêneo.
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Processos de Markov
Processos “sem memória”: probabilidade de Xt assumir um
valor futuro depende apenas do estado atual (desconsidera
estados passados).
P(Xn=xn| X1=x1,X2=x2,...,Xn-1=xn-1) = P(Xn=xn|Xn-1=xn-1)
para n = 0, 1, 2, ...
Seja Xt um processo de Markov, i e j estados, e t tempos:
pij = P[Xt( + t) = j | Xt() = i] ≥ 0 e t ≥ 0
Se pij independe do tempo então o processo de Markov é dito
ESTACIONÁRIO ou homogêneo.
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Processos de Markov
Parâmetros Estados
Discretos Contínuos
Discretos Cadeias de Markov
com tempo discreto
Processos de Markov
com tempo discreto
Contínuos Cadeias de Markov
com tempo contínuo
Processos de Markov
com tempo contínuo
Cadeias de Markov a tempo discreto
Estados discretos, parâmetros discretos.
Probabilidade de estado pi[n] = P(Xt = ai) i=1,2,...
Probabilidades de transição: pij[n1,n2] = P(Xtn2 = aj | Xtn1 = ai)
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]n[pn,kpkp1n,np jij
i
i
j
21ij
i
l
j
k n1
n2
pii pil
pij
pik
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Matriz de transição
O conjunto P(Xtn2|Xtn1) para n = 1, 2, ... constitui as
probabilidades de transição de um passo.
Matriz N+1 por N+1 de elementos pij que satisfaz:
pij ≥ 0 ij = 0, 1, 2, ..., N pij = 1 para j=1,...,n e i.
NN1N0N
N11110
N00100
ij
p...pp
............
p...pp
p...pp
pP
Se pij independentes
do tempo: processo
HOMOGÊNEO.
Cadeias de Markov a tempo contínuo
Estados discretos, parâmetros contínuos.
Probabilidade de estado pi[t] = P(Xt(t) = ai) i=1,2,...
Probabilidades de transição: pij[t1,t2] = P(Xt(t2)= aj| Xt(t1)= ai)
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]t[pt,tptp1t,tp 2j21ij
i
1i
j
21ij
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Processos de Nascimento e Morte
Modelam as alterações em uma “população”: caso particular
de cadeias de Markov a tempo contínuo.
Estado do processo no instante t (Xt) representa o tamanho
da população no instante t.
Filas e sistemas de telecomunicações.
Assume-se que “nascimentos” e/ou “mortes” múltiplos
ocorrem ao mesmo tempo com probabilidade zero.
As transições ocorrem apenas entre estados vizinhos.
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Processos de Nascimento e Morte
K - 1 K K + 1
1 nascimento
1 morte
1 nascimento
1 morte
Processos de Nascimento e Morte
Taxas de nascimento λi para i = 0,...,
Taxas de morte μi para i = 0,...,
Processo de nascimento puro: μi = 0 para i 0
Divisão de bactérias
Processo de morte puro: λi = 0 para i 0
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Processo de Poisson
Processo de nascimento puro pois a taxa de nascimento é
constante: .
Pk(t) = [(t) k e - t]/k! Para k≥0 e t≥0.
Probabilidade de haver k nascimentos no intervalo (0,t).
Número médio de nascimentos no intervalo (0,t) = t.
Processo de Parâmetros Contínuos e Estados Discretos.
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Processo de Poisson
Evento: “nenhuma chegada nos primeiros t minutos”
Equivalente à “primeira chegada após o tempo t”.
Seja t uma variável aleatória que represente o tempo de 0
até a 1ª chegada:
P(T > t) = e- t P(T ≤ t) = 1 - e- t = F(T)
f(T) = F(T)/t = e- t
T tem distribuição exponencial: E(T)=1/ V(T)=1/2
tt0
0 e!0
e)t()t(P
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Modelagem de falhas
Confiabilidade de sistemas
Necessário modelar o comportamento do sistema,
identificando os seus estados.
Importância do estado “fora de operação”, que é causado por
uma falha.
Obter alguma medida da frequência com que o sistema falha:
Taxa de falha (transição, risco – Hazard Rate)
Considerar a possibilidade de reparo.
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Taxa de falha em um momento t
ta 0 de ciasobrevivên de Prob.
1 te t entre falha de Prob.
)t(R
)t(f
)t(F1
)t(f)t(Z
Z(t): taxa de falha no momento t
f(t): função densidade de probabilidades de falha
F(t): função distribuição acumulada de falha.
R(t): confiabilidade do sistema
Raciocínio análogo para a taxa de reparo (t).
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Dados para os modelos de falha
Testes de tempo de vida.
Dados operacionais do sistema (campo).
Em t = 0, N componentes são colocados em
operação, e no tempo t existem apenas n(t)
sobreviventes
Deduzir as expressões da função densidade de falha
e da taxa de falha propriamente dita.
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Principais modelos de falha
1) Taxa de falha crescente: útil no período de
envelhecimento dos componentes.
Z(t) = Kt
2Kt2
1
eKt)t(f
2Kt2
1
e)t(R
t
f(t)
e
K
K
K
1 t
R(t)
K
1
e
1
1
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Principais modelos de falha
2) Taxa de falha linearmente decrescente: útil quando as
falhas vão diminuindo ao longo do tempo (fase inicial de vida
do equipamento).
tt
ttK/K
K/Kt0
)tt(K
0
tKK
)t(Z
0
010
10
0
10
Z(t)
K0
t K0/K1
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Principais modelos de falha
3) Curva usual para risco de falha: curva da banheira
Z(t)
Vida útil
Envelhecimento Queima
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Principais modelos de falha
4) Taxa de falha constante: Z(t) = .
f(t) = e -t R(t) = e -t = 1 – F(t)
Distribuição “independe do passado”: vida restante não depende
de quanto tempo o componente está em funcionamento
t
Z(t)
t
e
1
f(t)
t
1
e
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1
F(t)
t
1
e
1
1
R(t)
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Tempo Médio Para Falha
Caracterização do modelo de falha por um único parâmetro.
Do teste de vida feito em uma população de N elementos com
tempos de falhas t1, t2, ..., tn:
Usando um modelo de risco:
Para a exponencial: R(0) = 1, R(∞) = 0.
n
1i
itN
1TMPF
0
dt)t(tf)t(ETMPF
0
0dt)t(R)t(tR)t(ETMPF
0
dt)t(RTMPF
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Tempo Médio Entre Falha
Somente tem sentido se houver renovação: reparo ou troca
do componente falhado.
t1 t3 t2
TMPF TMPF TMPF
TMPR TMPR
TMEF = TMPF + TMPR
= taxa de falha = taxa de reparo Exponencial: TMPF=1/
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Exemplo 1
Seja z uma taxa de transição qualquer: se falha = , se
reparo = , se é uma transição do estado 1 para o 2 = 12.
TMPF = 1/ , TMPR = 1/
n
1i
i11 /1TMPF
Estado 1
Estado 2
2 1 5
T = 11
8
3
operação tempo
falhas no.12 P1 = 8/11
