![d ] } & o Zarfaria/MT717_03.pdfî ì d v } ] o Z u v } _ ] Z } o À ] ( } u } Æ ] À W ( } u } W o ] î í o d u µ W v µ u v } v } o À v W ( } u } } & o µ ! v ] & o µ ! v ] (](https://static.fdocumentos.com/doc/165x107/5f95e52fcee3e735334a650c/d-o-z-arfariamt71703pdf-d-v-o-z-u-v-z-o-.jpg)
PRODUTOS DE VETORES - WordPress Institucional · u v u v u v 2 cosT a b c bc2 2 2 2 cosT c a b ....
26
PRODUTOS DE VETORES Álgebra Linear e Geometria Analítica – Prof. Aline Paliga
Transcript of PRODUTOS DE VETORES - WordPress Institucional · u v u v u v 2 cosT a b c bc2 2 2 2 cosT c a b ....
PRODUTOS DE VETORES
Álgebra Linear e Geometria Analítica – Prof. Aline Paliga
3.1 PRODUTO ESCALAR
Chama-se produto escalar (ou produto interno usual) de dois vetores u=x1i + y1j+z1k e v= x2i + y2j+z2k, e se representa por u.v, ao número real
Este produto também é indicado por <u,v>
e lê-se “u escalar v”
Exemplo: Se , tem-se
u . v=x1x2 + y1y2+z1z2
3 5 8 e 4 2u i j k v i j k
. 3 4 ( 5) ( 2) 8 ( 1) 12 10 8 14u v
3.2 MÓDULO DE UM VETOR
Módulo de um vetor v=(x,y,z), representado por |v|, é o número real não negativo
ou, em coordenadas,
ou
Exemplo: Se , então:
.v v v
( , , ).( , , )v x y z x y z 2 2 2( )v x y z
(2,1, 2)v
2 2 2= 2 1 ( 2) 4 1 4 9 3v
Observações:
a)Versor de um vetor
Se o versor do vetor v do exemplo dado for designado por u, tem-se:
b)Distância entre dois pontos
A distância d entre os pontos A(x1,y1,z1) e B(x2,y2,z2) é assim definida:
e, portanto,
vu
v
2 2 2v x y z
d AB B A
2 2 2
2 1 2 1 2 1( ) ( ) ( )d x x y y z z
3.3 PROPRIEDADES DO PRODUTO ESCALAR
Para quaisquer que sejam os vetores u=(x1,y1,z1), v=(x2, y2,z2), w=(x2, y2,z2), e m∈ℝ, é fácil verificar que:
I) somente se
II)
III)
IV)
V)
. 0u u 0 (0,0,0)u
. .u v v u
. . .u v w u v u w
. . .mu v m u v u mv 2
.u u u
3.4 ÂNGULO DE DOIS VETORES
O produto escalar de dois vetores está relacionado com o ângulo por eles formados. Se u≠0 , v≠0 e se θ é o ângulo formado por eles, então:
Prova:
Aplicando a lei dos cossenos ao triângulo
ABC, temos:
(1)
. cosu v u v
2 2 2
2 cosu v u v u v
2 2 2 2 cosa b c bc c
a b
Por outro lado, de acordo com as propriedades II, III e V do produto escalar :
(2)
Comparando as igualdades (2) e (1):
logo:
2 2 2
2 .u v u v u v
2 2 2 2
2 . 2 cosu v u v u v u v
. cosu v u v
. .u v v u
. . .u v w u v u w
2
.u u u
Observações:
. 0u v
0º 90º
agudo ou nulo
. 0u v
90º 180º
obtuso ou raso
. 0u v
90º
reto
cos 0 cos 0 cos 0
3.4.1 CÁLCULO DO ÂNGULO ENTRE DOIS VETORES
Da fórmula vem:
Dois vetores são ortogonais quando:
Exemplo:
. cosu v u v
.cos
u v
u v
3.4.2 CONDIÇÃO DE ORTOGONALIDADE DE DOIS VETORES
. 0u v
3.5 ÂNGULOS DIRETORES E COSSENOS DIRETORES DE UM VETOR
Ângulos diretores de um vetor v=xi+yj+zk são os ângulos
α, β e γ que v forma com os vetores i, j e k, respectivamente.
Os cossenos diretores de seus ângulos
diretores são dados por:
. ( , , ).(1,0,0)cos
1
. ( , , ).(0,1,0)cos
1
. ( , , ).(0,0,1)cos
1
v i x y z x
v i v v
v j x y z y
v j v v
v k x y z z
v k v v
3.5.1 PROPRIEDADES
I) O versor u do vetor v=(x,y,z)
ou
II) Como o versor de v é um vetor unitário, tem-se:
mas:
logo:
e:
( , , ), ,
cos ,cos ,cos
v x y z x y zu
v v v v v
u
2 2 2
2 2 2
2 2 2
cos ,cos ,cos 1
cos ,cos ,cos cos cos cos
cos cos cos 1
cos cos cos 1
3.6 PRODUTO VETORIAL
Dados os vetores u=x1i+y1j+z1k e v=x2i+y2j+z2k , tomados nesta ordem chama-se produto vetorial dos vetores u e v, e se representa por u x v (ou ), ao vetor:
cada componente desse vetor pode ainda ser expresso na forma de um determinante de 2º ordem:
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2u v=(y z - z y )i-(x z ) (x y )z x j y x k
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
1 1 1
2 2 2
y xu v= i- j+
y x
i j k
u v= x y z
x y z
z x z yk
z x z y
u v
Lê-se: “u vetorial v”
Exemplo:
Cálculo do produto vetorial dos vetores
v u
u v
u 5i+4j+3k e =i+k v
é ortogonal simultaneamente aos vetores
e seu sentido é dado pela regra da mão direita
u v u v e
3.7 PROPRIEDADES DO PRODUTO VETORIAL
I) , qualquer que seja o
II) anticomutativa
u u = 0 u
1 1 1
1 1 1
i j k
u u= x y z
x y z
u v = -v u
1 1 1
2 2 2
2 2 2
1 1 1
i j k
u v= x y z
x y z
i j k
v u= -x -y -z
x y z
III)
u (v + w) = u v + u w
3 3 3
2 3 2 3 2 3
1 1 1
2 3 2 3 2 3
1 1 1 1 1 1
2 2 2 3 3 3
w x z
v + w (x x ) ( ) ( )
i j k
u (v + w) = x y z
x x y y z z
i j k i j k
u v + u w = x y z x y z
x y z x y z
i y j k
i y y j z z k
IV)
V) se, e somente se, um dos vetores é nulo ou
se eles forem colineares.
VI)
1 1 1
2 2 2
i j k
u v = m x y z
x y z
m
u v = m u v = u mvm
u v = 0
2 2 2
i j k
u v = 0 0 0
x y z
2 2 2
2 2 2
2 2 2
u v
u x i j k
i j k
u v = mx my mz
x y z
m
m my mz
u v = u v sen
i j = k
j k =
i k =
i
j
Relações entre os vetores canônicos:
3.8 INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DO MÓDULO DO PRODUTO VETORIAL
Geometricamente, o módulo do produto vetorial dos vetores
e mede a área do paralelogramo ABCD determinado pelos vetores
Área =
u v
u AB e v AC
u v
vh sen
uÁrea h
u v = u v sen
u vÁrea sen
3.9 PRODUTO MISTO Chama-se produto misto dos vetores , tomados
nesta ordem, ao número real . Indica-se o produto misto por .
, v wu e
2 2 2 2 2 2
2 2 2
3 3 3 3 3 3
3 3 3
y xv w i- j+
y x
i j kz x z y
x y z kz x z y
x y z
, v, wu
. v w u
1 1 1 1 1 1
1 1 1
2 2 2 2 2 2
y x . v w = , v, w =x +y +z
y x
z x z yu u
z x z y
1 1 1
2 2 2
3 3 3
, v, w
x y z
u x y z
x y z
Exemplo:
Calcular o produto misto dos vetores:
2i +3j+5k, v i +3j+3k e w 4i -3j+2k.u
2 3 5
, v, w 1 3 3
4 3 2
u
2 3 2 -1 3 5 3 3 4 5 3 4 1 3 2 3 3 2
+
_
12 15 36 60 6 18
63 60 6 18
27
3.10 PROPRIEDADES DO PRODUTO MISTO I)
a)se um dos vetores for nulo
b)se dois deles são colineares
c)se três são coplanares
⊥ então produto
escalar é nulo.
, v, w 0u
2 2 2
3 3 3
0 0 0
, v, w 0u x y z
x y z
2 2 2
2 2 2
3 3 3
, v, w 0
mx my mz
u x y z
x y z
v wu
. v w u
Se forma análoga, dizemos que quatro pontos A, B, C e D pertencem a um mesmo plano, se os vetores são coplanares ou
II)O produto misto independe da ordem circula dos vetores:
Mas muda de sinal quando trocamos as
posições de dois vetores consecutivos:
Esta propriedade cíclica, se deve a propriedade dos determinantes referente à troca de duas linhas e circulação de linhas.
, AC, AD 0AB
, v, w , w, u , u, vu v w
, v, w , u, wu v
III)
IV)
, v, w , v, w , v, ru r u u
, v, mw , mv, w , v, w , v, wu u mu m u
3.11 INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DO PRODUTO MISTO
Geometricamente, o produto misto é igual, em módulo, ao
volume do paralelepípedo de arestas determinadas pelos vetores
, v e wu AD AB AC
b
altura
A
v w
u cos
v w u cos
u v w cos
v w
b
V área da base
V h
A
h
V
V
a
fazendo:
comparando (1) com (2)
u cos 1
. u cos
. u cos 2
. . w = , , w
V a
u a a
u a a
V u a u v u v
![v ( } u } } u µ v ] } · o ] } } o ] u v } v P ] } o } P ] u À v - ADP … · 2020. 5. 7. · Title: Microsoft Word - Form_ Divulg_info_anexoVI_ADP Fertilizantes_UFAA_07.05.2020](https://static.fdocumentos.com/doc/165x107/60cfd5fbb85d303f1840b43e/v-u-u-v-o-o-u-v-v-p-o-p-u-v-adp-2020-5-7.jpg)
![Como Iniciar Sua Jornada No Empreendedorismo Digital · } u } / v ] ] ^ µ : } v v } u v } ] u } ] P ] o } ^ ] W Z W l l v P } ] } ] P ] o Á X } u X](https://static.fdocumentos.com/doc/165x107/5f56245a7882fd610e287842/como-iniciar-sua-jornada-no-empreendedorismo-digital-u-v-v-v.jpg)
![Prova de conhecimentos (AS) de conhecimento (AS).pdf · WZK /D EdK KE hZ^ > W } u µ u v Z ] u v } í ~ µ u } } o Z } v u } o ] o } i µ _ ] u P } · o ] } } u } ] v u ] v } v ]](https://static.fdocumentos.com/doc/165x107/5f6918c1ac7b22705720524d/prova-de-conhecimentos-as-de-conhecimento-aspdf-wzk-d-edk-ke-hz-w.jpg)
![v } u t ^ } ] ] o ] µ } / v ] ] o ] v } u µ v ... · / v } u t ^ } ] ] o ] µ } / v ] ] o ] v } u µ v ] } ys// } v P ...](https://static.fdocumentos.com/doc/165x107/5be4fe6309d3f22b448b5d46/v-u-t-o-v-o-v-u-v-v-u-t-o-.jpg)
![Slides - Webinar - Sabotadores- v2 - Para baixar … · ^ } ] v } } o u v } µ } o Z ^ } v } _ v µ ^Y µ u^ } u } _ ^K µ ( Ì u } _ ^ E } } v µ ] _](https://static.fdocumentos.com/doc/165x107/5ffddc4807a141008b44d3fa/slides-webinar-sabotadores-v2-para-baixar-v-o-u-v-o-z.jpg)
![,VDEHO 0DULD 3LQWR 5DPRV - dsi.uminho.pt · ... o } } W } µ P µ ! u ( v h W t h ... v Z u > ] } X u ... À ] Ç U s ] P ] v ] } u u } v Á o Z h v ] À ...](https://static.fdocumentos.com/doc/165x107/5bf6e7bf09d3f27c7c8c7b42/vdeho-0duld-3lqwr-5dprv-dsi-o-w-p-u-v-h-w-t-h-v.jpg)
![Z ] } : v ] } W ( ] µ D µ v ] ] o D Z ] u v } u } ] } v ...€¦ · } } Z ] } : v ] } W ( ] µ D µ v ] ] o D Z ] u v } u } ] } v } } í ï l ì óY µ W o](https://static.fdocumentos.com/doc/165x107/5fbb1a6cc5d958305744b563/z-v-w-d-v-o-d-z-u-v-u-v-z-v-.jpg)
![u v]u oWKhDWµv ] } }v } ] v](https://static.fdocumentos.com/doc/165x107/616a52a111a7b741a3513da0/u-vu-owkhdwv-v-v.jpg)
![z u v µ } ] } P ( ] · > ] W ! u ] } ] v ] W o µ v cZ v } ^ c } P Z ] z u v µ ^ ( } u ] v ] } } ' u u Ç > ] v } î ì í ô X](https://static.fdocumentos.com/doc/165x107/6142477655c1d11d1b3417e8/z-u-v-p-w-u-v-w-o-v-cz-v-c-p-z-z-u-v-.jpg)
![µ u } P u ] v } u } v } µ } } } } u } u o E } ^ ] v } v ] Ì E } W µ } ] À v ] ] v ... · 2016. 12. 21. · 5hvxpr 2emhwlyr 2 remhwlyr ghvwh hvwxgr irl dydoldu rv hihlwrv gh xp](https://static.fdocumentos.com/doc/165x107/613067541ecc51586944132a/-u-p-u-v-u-v-u-u-o-e-v-v-oe-e-w-v.jpg)
![Prof Fausto Pinto CV Junho 2018 3 - World Heart …...W P î } ( ñ Z ] u v ^ ] v ] ( ] } u u ] µ } Z } ò U D µ v ] Z ~' u v Ç U î ì ì î v µ } Z } ñ U E ] ~& v U î ì ì](https://static.fdocumentos.com/doc/165x107/5fb9211448401967983b28a9/prof-fausto-pinto-cv-junho-2018-3-world-heart-w-p-z-u-v-v.jpg)
![AULA 12 - AULA · W> d &KZD t W o ( } u ] W ±& u v µ ] o ] Ì o ] u /& Z E X X X Z ^ ^K / /^ d u } o ] } v u v } v } U Æ ]](https://static.fdocumentos.com/doc/165x107/602de165dfafe12bfb6af673/aula-12-aula-w-d-kzd-t-w-o-u-w-u-v-o-oe-o-u-.jpg)
![í D ] o ^ ] v > ] ] } v · ð P v u ] } ] } ] ] v } µ } ] À u } v Z ] u v } ] D^> À](https://static.fdocumentos.com/doc/165x107/5f09e7dd7e708231d429114f/-d-o-v-v-p-v-u-v-u-v-z-u-v-.jpg)
![W } } ^ P ] / d Z u } o ] } u o Æ ^ } ] o v v À ] } v u v ...](https://static.fdocumentos.com/doc/165x107/618d471c845c645340156a0d/w-p-d-z-u-o-u-o-o-v-v-v-u-v-.jpg)
![W o µ o ] Ì } W } ( ] ] } v o U v ] o u D µ v ] ] } } / v ...](https://static.fdocumentos.com/doc/165x107/618a4d75fa76c2241a24213c/w-o-o-w-v-o-u-v-o-u-d-v-v-.jpg)
![À v } } } W v u µ } ^ ] µ } W } P u & } u } ' } } o ~WZK' W Fina… · ' } À v } } } W v u µ } ^ ] µ } W } P u & } u } ' } } o ~WZK' W](https://static.fdocumentos.com/doc/165x107/5f6aee27c8e6717871591876/-v-w-v-u-w-p-u-u-o-wzk-w-fina-.jpg)