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    MATEMÁTICA

    MÓDULO

    Fundamentos Algébricos

    Professor Matheus Secco

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    1. PRODUTOS NOTÁVEIS1.1) QUADRADO DA SOMA E DA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS:

    22 2 2 2

    a b k a b k 2ab 2ac 2a  

    1.2) QUADRADO DA SOMA DE TRÊS TERMOS:2

    2 2 2

    a b c a b c 2ab 2ac 2bc 

    22 2

    a b a 2ab b

     

    22 2

    a b a 2ab b

    Se quisermos calcular o quadrado da soma de mais termos, ocompleta

    Temos

    o quadrado da soma é igual à soma dos quadrados mais dudos produtos dos termos tom

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    1.3) PRODUTO DA SOMA PELA DIFERENÇA:

    1.4) CUBO DA SOMA E DA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS:

    3   3 3

    3   3 3

    a b a b 3ab a b

    a b a b 3ab a b

     

    3   3 2 2 3

    3   3 2 2 3

    a b a 3a b 3ab b

    a b a 3a b 3ab b

     

    2 2a b a b a b 

    Pode ser útil escrever o cubo da soma e da diferença da s

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    1.5) TRIÂNGULO DE PASCAL:

    1

    1 1

    1 2 1

    1 3 3 1

    1 4 6 4 1

    1 5 10 10 5 1

    1 6 15 20 15 6 1

    1 7 21 35 35 21 7 1

    1 8 28 56 70 56 28 8 1

    Serve para calcular (a + b)k. A linha k (a contagem inicia a par

    corresponde aos coeficientes da expansão de (a + b)k.

    4 4 3 2 2 3 4

    5 5 4 3 2 2 3 4 5

    6 6 5 4 2 3 3 2 4 5 6

    a b a 4a b 6a b 4ab b

    a b a 5a b 10 a b 10 a b 5ab b

    a b a 6a b 15 a b 20 a b 15a b 6ab b

     

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    2. FATORAÇÕESTÉCNICA 1 (COLOCAR EM EVIDÊNCIA): Evidenciar um termo qu

    todas as parcelas de uma expressão algébrica.

    TÉCNICA 2 (AGRUPAMENTO): Colocar em evidência sucessivas veze

    FATORAÇÃO 1 (DIFERENÇA DE QUADRADOS):

    FATORAÇÃO 2 (SOMA DE CUBOS):3 3 2 2

    a b a b a ab b

    ab ac bd cd a b c d b c b c a d 

    ab ac a b c 

    2 2a b a b a b

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    FATORAÇÃO 3 (DIFERENÇA DE CUBOS):

    FATORAÇÃO 4 (SOMA E DIFERENÇA DE POTÊNCIAS):

    n n n 1 n 2 n 2 n 1x a x a x x a xa a

     

    Para n inteiro positivo qualquer:

    Para n inteiro positivo ÍMPAR:

    n n n 1 n 2 n 2 n 1x a x a x x a xa a

     

    3 3 2 2a b a b a ab b

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    TÉCNICA 3 (COMPLETANDO QUADRADOS):  Útil quando temos exp

    assemelham muito a um quadrado. Vejamos um exemplo para assimilar a

    Devemos fatorar a4 + 4b4. Para isso, escreva:2

    4 4 2 2 2 4 2 2 2 2a 4b a 4a b 4b 4a b a 2b 2ab

    Pela diferença de quadrados, temos que:

    4 4 2 2 2 2

    a 4b a 2ab 2b a 2ab 2b

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    TÉCNICA 4 (EXPRESSÕES DO SEGUNDO GRAU): Para fatorar expresax2 + bx + c.

    Sendo x1 e x2 as raízes de ax2 + bx + c = 0, temos que:2

    1 2ax bx c a x x x x 

    TÉCNICA 5 (ENCONTRANDO RAÍZES DE UMA EXPRESSÃO ALGÉBR

    expressão algébrica na variável x se anula para x = a, então x – 

     aexpressão.

    Se a + b + c = 0, então a³ + b³ + c³ = 3abc.

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    3. INEQUAÇÕES3.1) REAIS POSITIVOS: Podemos dividir a reta real em duas parte

    menores que 0 (NEGATIVOS) e os números maiores que 0 (

    propriedade fundamental do conjunto dos reais positivos é: a som

    de dois reais positivos ainda é um real positivo.

    3.2) SIMBOLOGIA: Dizemos que a > b se a diferença a  –   b é p

    maneira de escrever isso é b < a. Dizemos que a ≥ b se a = b ou a > b

    OBSERVAÇÃO: Pensando na reta real, a > b significa que a está à

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    i) TRANSITIVIDADE: Se a > b e b > c, então a > c

    CUIDADO: Não podemos subtrair duas inequações!! Por exemplo, 5 > 3

    pudéssemos subtrair, teríamos 5  –  0 > 3  –  (-3), isto é, 5 > 6, o que é um

    3.3) PROPRIEDADES:

    ii) ADIÇÃO: Se a > b e c > d, então a + c > b + d

    iii) MULTIPLICAÇÃO POR UMA CONSTANTE: Se c é um número

    b, então ac > bc. Agora, fique atento: se c é um número neg

    então ac < bc (O SINAL INVERTE!!)

    iv) INVERTENDO DESIGUALDADES: Se a > b > 0, então .1 1

    a b 

    v) DESIGUALDADE BÁSICA: Se x é um número real, então x² ≥ 0

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