Prof. Daniel Orquiza de Carvalho Eletromagnetismo I · SJBV § A solução de alguns dos problemas...

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SJBV

•  Aplicação da Lei de Gauss:

•  Linha Infinita de Cargas

•  Condutores Coaxiais

•  Lei de Gauss na forma Diferencial (ou Pontual)

Eletromagnetismo I - Eletrostática

EletromagnetismoI Prof.DanielOrquiza1

Aplicação da Lei de Gauss e Lei de Gauss na Forma Diferencial (Páginas 56 a 70 no livro texto)

SJBV

§  A solução de alguns dos problemas de eletrostática que são resolvidos com a Lei de Coulomb, se dá de maneira muito mais simples com a Lei de Gauss na forma Integral.

§  Isto acontece somente em problemas que possuem certas geometrias espaciais.

§  Nestes problemas, é possível escolher uma Superfície Gaussiana que simplifica a integral do lado esquerdo da L.G.



Lei de Gauss e Simetrias Espaciais

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Lei de Gauss e Simetrias Espaciais

§  Para encontrar a carga total em um dado volume, para uma distribuição de D conhecida, usamos a Lei de Gauss:

escolhemos uma superfície fechada tal que:

1.  Nas regiões onde D for normal à superfície:

2.  Nas regiões onde D for paralelo à superfície:

Q =!D ⋅d!S

S"∫ ,

!D ⋅d!S

S∫ = DS dSS∫

!D ⋅d!S

S∫ = 0

elem. de área (escalar)

magnitude de D na superf. S

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E de uma linha infinita de cargas

§  Problema: Calcular o campo em um ponto ‘P’ devido a uma linha infinita com densidade uniforme de cargas ‘ρL’.

ρ

ρL P

x

y

z

φ

Q = ρL dz0

L

∫

Q = ρLL

•  Podemos usar a Lei de Gauss ( ), mas qual a superfície gaussiana usar?

ψ =Q

•  Se usarmos um cilindro de altura L, a carga dentro do cilindro é:

•  A densidade linear de cargas não depende de ‘z’.

L

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§  O fluxo que atravessa o topo e a base do cilindro é nulo!


ρ

ρL P

x

y

z

φ

§  Como calculamos o fluxo na superfície lateral do cilindro?

L

SJBV



§  O fluxo que atravessa o topo e a base do cilindro é nulo!

!D ⋅d!S

S∫ = Dρ aρ( ) ⋅ρφ=0

2π

∫z=0

L

∫ dφ dz aρ

ψ = Dρ2πρL


ρ

ρL P

x

y

φ

§  Como calculamos o fluxo na superfície lateral do cilindro?

§  O fluxo na lateral fica:

§  A densidade de fluxo não é função de ‘φ’ ou ‘z’.

ρL

x

y

z

φ

L

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Dρ2πρL = ρLL

!D =

ρL2πρ

aρ

!E = ρL

2πρε0aρ


•  Agora podemos escrever a Lei de Gauss ( ).ψ =Q

•  Isolando D:

•  Como podemos calcular E?

ρ

ρL P

x

y

z

φ

L

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•  A carga concentrada na superfície é:



E entre dois condutores coaxiais

Q = ρSρφ=0

2π

∫z=0

L

∫ dφ dz

ρ = a

Q = 2πaLρS

§  Problema: Calcular o campo em um ponto ‘P’ situado entre dois condutores carregados com ρs C/m2, com raios ‘a’e ‘b’ tal que b > a.

•  Pergunta: qual superfície gaussiana usar?

•  Se usarmos um cilindro de altura L e raio ρ (a < ρ < b) :

ρ

P

x

y

z

φ

SJBV



!D ⋅d!S

S∫ = Dρ aρ( ) ⋅ρφ=0

2π

∫z=0

L

∫ dφ dz aρ

ψ = Dρ2πρL


§  Como calculamos o fluxo na superfície lateral?

§  O fluxo na superf. lateral do cilindro é:

§  Aqui novamente D não é função de ‘φ’ ou ‘z’.

§  O fluxo que atravessa o topo e a base da superfície gaussiana é nulo!

ρ

P

x

y

z

φ

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!D =

aρSρ

aρ (a < ρ < b)

!E = aρS

ρε0aρ (a < ρ < b) ρ

P

x

y

z

φ


•  Utilizando a Lei de Gauss e isolando D:

•  Como podemos calcular E?

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Lei de Gauss na forma diferencial

§  Teorema de Gauss (ou da Divergência): A integral de superfície do vetor Densidade de Fluxo Elétrico (D) ao longo de uma superfície fechada ‘S’ é igual a integral volumétrica do divergente de D no volume ‘V’ envolvido pela superfície ‘S’.

!D ⋅d!S =

S"∫ ∇ ⋅!Ddv

V∫•  Sabemos da Lei de Gauss na forma integral que:

!D ⋅d!S =

S"∫ ρv dvV∫

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O Divergente da Densidade de Fluxo Elétrico D é igual à densidade volumétrica de cargas.

§  Note que D é um campo vetorial definido em uma região do espaço e ρv é um campo escalar definido nesta mesma região.

§  Esta é a forma diferencial (ou Pontual) da Lei de Gauss, em contraste com a forma integral.

∇⋅!D = ρv


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§  Lembrando que o divergente do vetor D é igual ao fluxo elétrico saindo de um volume infinitesimal Δv por unidade de volume.

∇⋅!D = lim

Δv→0

!D ⋅d!S

S"∫Δv


§  A interpretação física da lei de Gauss é que uma densidade de carga positiva num ponto é fonte de fluxo elétrico. O fluxo elétrico sai do volume infinitesimal.

§  Uma densidade negativa é sumidouro de fluxo elétrico. O fluxo entra no volume.

§  Carga positiva é fonte de campo elétrico e carga negativa é sumidouro de campo.

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§  Considere a expansão de um gás dentro de um volume quando um embolo é puxado e a pressão sobre o gás é diminuída.


§  Enquanto o embolo está parado, o fluxo líquido de moléculas saindo do volume é zero. O que entra é igual ao que sai.

§  Se o embolo é puxado, há um fluxo liquido para fora do volume ( divergente positivo), indicando expansão do ar.

§  Se o embolo é empurrado, há um fluxo liquido para dentro (divergente negativo), indicando compressão do ar.

volume fixo

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Operador Divergente

§  Lembrando que o operador divergente é um operador que transforma um campo vetorial em um campo escalar.

§  Coordenadas cartesianas:

§  Coordenadas Cilíndricas:

§  Coordenadas Esféricas:

∇⋅!D =

∂Dx

∂x+∂Dy

∂y+∂Dz

∂z

∇⋅!D =

1ρ

∂ ρDρ( )∂ρ

+1ρ

∂Dφ

∂φ+∂Dz

∂z

∇⋅!D =

1r2∂ r2Dr( )∂r

+1

r.senθ∂ senθ Dθ( )

∂θ+

1r.senθ

∂Dφ

∂φ

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Seja: para r ≤ 0,08m

para r > 0,08m

a)  Calcule ρv para r = 0,06m.

b)  Calcule ρv para r = 0,1m.

c)  Que densidade superficial de carga poderia ser posicionada em r = 0,08m para fazer com que D = 0 para r > 0,08m?



!D = 5r2ar [mC /m

2 ],

!D = 0,205

r2ar [mC /m

2 ],

Exemplo

SJBV

Uma densidade volumétrica de cargas ρv = 60µC/m3 está presente em uma região definida por r ≤ a em coordenadas esféricas. Determine D para r ≤ a e para r ≥ a, onde a = 1mm.



Exemplo 2

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