Prof. Dr. Ednaldo Carvalho...
178
resarial resarial berlândia berlândia ática ática stica Empr stica Empr SÉRIES TEMPORAIS SÉRIES TEMPORAIS eral de Ub eral de Ub e Matemát e Matemát em Estatís em Estatís idade Fede idade Fede culdade de culdade de ialização e ialização e Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães Universid Universid Fac Fac de Especia de Especia Curso d Curso d
Transcript of Prof. Dr. Ednaldo Carvalho...
resari
alres
arial
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ndia
berlâ
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ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr SÉRIES TEMPORAISSÉRIES TEMPORAIS
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia
Curso
dCu
rso d
BIBLIOGRAFIAres
arial
resari
al FERRAZ, M. I. F. Uso de modelos de séries temporais naprevisão da série de precipitações pluviais mensais no município
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr de Lavras - MG. Lavras: UFLA, 1999, 97 p. (Dissertação de
mestrado).
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís
HOFFMANN, R. e VIEIRA, S. Análise de regressão: umaintrodução à econometria. São Paulo: Hucitec, 379 p.
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e
int odução à economet ia. São au o: uc ec, 379 p.
MORETTIN, P. A.; TOLOI, C. M. de C. Séries temporais. São
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia Paulo: Atual, 2005, 420 p.
SPIEGEL M Estatística São Paulo: Makron Books 1993
Curso
dCu
rso d SPIEGEL, M. Estatística. São Paulo: Makron Books. 1993.
STEVENSON, W. J. Estatística aplicada à administração. São, p çPaulo: Harbra, 2003.
TEMAS A SEREM ABORDADOSres
arial
resari
al TEMAS A SEREM ABORDADOS
• Introd ção
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr • Introdução
• Decomposição de uma série temporal
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís
p ç p
• Regularização exponencial
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e • Função autocorrelação
• Modelos de previsão automáticos
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia • Modelos de previsão automáticos
• Modelos de previsão não automáticos
Curso
dCu
rso d p
• Uso de softwares na análise de séries temporais
resari
alres
arial
“[ ] tempo s m (sXIII cf FichIVPM) duração
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr [...] tempo s.m. (sXIII cf. FichIVPM) duração
relativa das coisas que cria no ser humano aidéia de presente passado e futuro; período
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís idéia de presente, passado e futuro; período
contínuo e indefinido no qual os eventos sesucedem [ ]”
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e sucedem [...]
Dicionário Houaiss da Língua Portuguesa
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia Dicionário Houaiss da Língua Portuguesa
Curso
dCu
rso d
1 INTRODUÇÃOres
arial
resari
al 1. INTRODUÇÃObe
rlând
iabe
rlând
iaáti
ca
ática
sti
ca Em
prsti
ca Em
pr Uma série temporal é um conjunto deobservações ordenadas em intervalos det t d t d b tit íd
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís tempo; contudo, o tempo pode ser substituído
por variáveis como espaço, profundidade, etc..
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e
Matematicamente, uma série temporal éd fi id l l d
Unive
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Unive
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Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia definida pelos valores y1, y2, y3,...... de uma
variável y, nos tempos t1, t2,..... Portanto y éuma função de t simbolizada por y= f(t) ou Z
Curso
dCu
rso d uma função de t simbolizada por y= f(t), ou Zt.
Modelo de Regressão x Modelos de sériesres
arial
resari
alModelo de Regressão x Modelos de séries
temporais
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
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ca
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Empr
stica
Empr
Modelo de Regressão ordem das
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís Modelo de Regressão ordem das
observações (pares) são irrelevantes para aanálise
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e
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Unive
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Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia
Séries Temporais ordem dos dados écrucial dependência serial
Curso
dCu
rso d p
Aplicações de Séries Temporaisres
arial
resari
alAplicações de Séries Temporais
Economia preços diários de ações; taxal d d
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr mensal de desemprego;
produção industrial;etc..
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís Medicina eletrocardiograma,
eletroencefalograma,etc..
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e Epidemiologia número mensal de novos
casos de dengue, etc..
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia
g ,
Meteorologia precipitação pluviométrica,temperatura
Curso
dCu
rso d temperatura
CLASSIFICAÇÃO DAS SÉRIESres
arial
resari
alCLASSIFICAÇÃO DAS SÉRIES
Série Contínua observações são feitas
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr Série Contínua observações são feitas
continuamente no tempo. Exemplo: oeletrocardiograma
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís eletrocardiograma
Série Discreta observações são feitas em
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e
çtempos específicos. Exemplo: Inflação mensal,cotação diária do dolar
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Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia
ç
Séries inerentemente discretas x séries
Curso
dCu
rso d discretizadas
resari
alres
arial Previsibilidade da série depende da
série (Ex. Temperatura média mensal
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr série (Ex. Temperatura média mensal
grau alto de previsibilidade; bolsa devalores baixa previsibilidade)
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís valores baixa previsibilidade)
Nível de incerteza da série quanto mais
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e Nível de incerteza da série quanto mais
longe no futuro, maior a incertezai d à i ã
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia associada à previsão
Erro de previsão:
Curso
dCu
rso d Erro de previsão:
)()(^
tZZte = )()( tZZte kttk −−=
INTERESSE NA ANÁLISEres
arial
resari
al Descrição propriedades da série (tendência;sazonalidade; outliers; alterações
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr sazonalidade; outliers; alterações
estruturais)
Explicação variação em uma série para
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís Explicação variação em uma série para
explicar a variação em outrasérie (modelo causal)
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e
série (modelo causal)
Predição valores futuros com base emvalores presentes (modelo
Unive
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Unive
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Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia valores presentes (modelo
autoprojetivo)
Curso
dCu
rso d Controle de Processos controle estatístico
de qualidade
ABORDAGENSres
arial
resari
alABORDAGENS
Técnicas Descritivas gráficos,id tifi ã d d õ t
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr identificação de padrões, etc..
Modelos probabilísticos seleção de
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís Modelos probabilísticos seleção de
modelos, estimação, prediçãoferramenta básica autocorrelação
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e
e a e ta bás ca autoco e ação
Análise Espectral
Unive
rsid
Unive
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Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia
Métodos não paramétricos alisamento ousuavização
Curso
dCu
rso d ç
Outras abordagens modelos não lineares,é i lti i d tséries multivariadas, etc..
COMPORTAMENTO DA SÉRIEres
arial
resari
al
2 000 000
2 500 000
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr
1 000 000
1 500 000
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís
-
500 000
1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e anos
Evolução do Consumo de Gasolina no Brasil entre Jan/99 e Nov/02 Evolução do Índice NASDAQ
11 Jan 95 a 10 Jan 03
Unive
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Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia
2,00
2,10
2,20
2,30
hões
de
m3)
11.Jan.95 a 10.Jan.03
4000
5000
6000
Curso
dCu
rso d
1,60
1,70
1,80
1,90
Con
sum
o (e
m m
il
1000
2000
3000
Índi
ce
1,50
Jan/
99
Mar
/99
Mai
/99
Jul/9
9
Set/9
9
Nov
/99
Jan/
00
Mar
/00
Mai
/00
Jul/0
0
Set/0
0
Nov
/00
Jan/
01
Mar
/01
Mai
/01
Jul/0
1
Set/0
1
Nov
/01
Jan/
02
Mar
/02
Mai
/02
Jul/0
2
Set/0
2
Nov
/02
Mês
0
01/1
0/95
04/2
0/19
95
07/3
1/19
95
11/0
7/95
02/1
6/19
96
05/2
9/19
96
09/0
6/96
12/1
6/19
96
03/2
7/19
97
07/0
8/97
10/1
5/19
97
01/2
7/19
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05/0
7/98
08/1
7/19
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11/2
4/19
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03/0
9/99
06/1
7/19
99
09/2
7/19
99
01/0
5/00
04/1
4/20
00
07/2
6/20
00
11/0
2/00
02/1
4/20
01
05/2
5/20
01
09/0
5/01
12/1
9/20
01
04/0
3/02
07/1
2/02
10/2
1/20
02
Data
Índice Nasdaq
2. DECOMPOSIÇÃO DA SÉRIEres
arial
resari
al
O modelo clássico das séries temporais
Çbe
rlând
iabe
rlând
iaáti
ca
ática
sti
ca Em
prsti
ca Em
pr
As séries são compostas por quatro padrões, ou
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís elementos básicos: Tendência, Variações
Cíclicas, Variações Sazonais e Variações
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e Irregulares.
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia Estas componentes podem ser desmembradas e
estudas individualmente.
Curso
dCu
rso d
Os modelos de previsão são construídos a partirdessas componentes.
Classificação dos movimentos das sériesres
arial
resari
alClassificação dos movimentos das sériestemporais
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr Tendência da série:
• Direção geral da série temporal em um longo
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís • Direção geral da série temporal em um longo
intervalo de tempo.
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e • Os fatores observados influenciam os dados
• Um modelo de regressão pode ser utilizado
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia • Um modelo de regressão pode ser utilizado
na inferência.
Curso
dCu
rso d • Exemplo: população mundial de 1900 a 2000.
Variações cíclicas :res
arial
resari
alVariações cíclicas :
• oscilações a longo prazo desvios em torno d t d d t dê i
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr da reta ou da curva de tendência.
• Observável apenas para séries longas
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís Observável apenas para séries longas
• Variações periódicas ou não em torno da t dê i
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e tendência
• Utilizada em casos específicos
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia p
• Exemplo: explosões solar
Curso
dCu
rso d
Observação:Vale ressaltar, que para detectar variações cíclicas de caráter nãoempírico necessitamos a transição para o domínio da freqüência.
Variações por estações (variações sazonais):res
arial
resari
alç p ç ( ç )
• Movimentos similares, que uma série temporal obedeced t ( di i t )
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr durante os mesmos meses (semanas, dias, quinzenas, etc)
de anos sucessivos.
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís • Um índice de Sazonalidade tem por objetivo, analisar o
comportamento típico de uma série temporal.
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e • Para tanto, esta análise deve ser realizada em intervalos
de tempos eqüidistantes. Como, por exemplo:
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia
p q , p p
a cada 12 meses;
Curso
dCu
rso d
a cada 7 dias.
• Exemplo: vendas no comércio ao longo dos anosExemplo: vendas no comércio ao longo dos anos.
resari
alres
arial Movimentos irregulares ou aleatórios
(variações irregulares):
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr
( ç g )
•Deslocamentos esporádicos das séries
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís temporais.
•Dificilmente passível de avaliação
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e •Dificilmente passível de avaliação
• Não podem ser captados por nenhuma das
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia
p p ptrês componentes: tendência, ciclo esazonalidade
Curso
dCu
rso d
• São chamados de erros aleatórios ou ruídobranco
A representação gráfica dos movimentos são:res
arial
resari
al
40
p ç gbe
rlând
iabe
rlând
iaáti
ca
ática
sti
ca Em
prsti
ca Em
pr
20
30Y
crescentedecrescente
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís
0
10
0 3 6 9 12 15
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e tempo
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia
Séries que apresentam tendência nos dados
Curso
dCu
rso d
25res
arial
resari
al
5101520
Y
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr 0
5
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
Tempo
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís p
Variações cíclicas
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e
304050
ano1
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia
0102030
r t vano2
ano3
Curso
dCu
rso d
jan mar
maio jul set
nov
Variações sazonais
resari
alres
arial
z
107107.5
108108.5
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr
104.5105
105.5106
106.5107
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís
103.5104
0 20 40 60 80
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e
é
Variações aleatórias
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia Uma série temporal pode apresentar,
simultaneamente, mais de uma componente eã é i
Curso
dCu
rso d não raro encontramos séries que apresentam
as componentes de tendência, sazonal ei lirregular.
Exemplo 1 . Série de precipitação mensal deres
arial
resari
alp p p ç
Uberlândia – MG ( Fonte: Laboratório de Climatologia –IG/UFU)
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr
ANO/MÊS JAN FEV MAR ABR MAI JUN JUL AGO SET OUT NOV DEZ1.981 256,2 99,1 169,0 41,1 17,0 59,9 0,0 0,1 0,9 155,7 273,0 431,61.982 647,4 124,3 321,6 105,7 73,6 40,0 19,0 42,6 23,7 188,1 218,8 402,3
ALTURAS PLUVIOMÉTRICAS - MENSAL E ANUAL (mm)UBERLÂNDIA (MG) - 1981/2000
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís 1.983 400,4 231,6 226,9 89,1 38,7 6,1 50,6 1,2 119,9 240,8 234,6 323,0
1.984 191,4 82,2 233,1 93,6 43,6 0,0 0,0 45,9 36,0 76,4 189,6 286,31.985 570,0 111,5 291,6 75,4 24,7 0,0 0,0 0,0 23,6 66,5 150,8 263,41.986 215,3 176,4 164,8 99,8 27,6 0,0 1,6 50,0 42,0 135,0 107,6 545,01.987 238,2 201,2 169,3 102,1 28,0 10,0 0,0 0,0 37,8 59,2 282,5 348,91.988 174,8 285,2 256,4 150,1 43,0 5,4 0,0 0,0 42,3 124,2 116,6 316,5
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e 1.989 174,8 285,2 256,4 150,1 43,0 5,4 0,0 0,0 42,3 124,2 116,6 316,5
1.990 110,9 150,1 97,6 25,3 68,7 0,0 43,3 37,8 51,5 103,3 168,4 155,71.991 383,5 255,0 469,4 178,7 4,7 0,0 0,0 0,0 39,3 79,3 113,4 258,71.992 398,8 383,7 112,8 119,5 46,2 0,0 0,0 4,8 80,9 148,7 363,5 310,61.993 180,9 285,0 137,8 107,2 30,2 72,2 0,0 18,8 78,0 199,8 98,6 433,51.994 385,3 142,6 340,6 26,6 35,9 9,4 9,4 0,0 7,4 135,0 177,3 351,9
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia 1.995 288,2 422,2 239,1 57,1 121,6 3,4 1,6 0,0 22,0 65,2 133,5 308,2
1.996 279,8 137,6 176,6 39,8 56,1 8,4 6,8 6,9 86,4 46,3 255,6 236,81.997 268,9 111,6 331,3 107,1 23,4 105,8 0,0 0,0 28,2 90,5 305,5 270,71.998 120,8 160,0 99,6 68,5 58,8 33,3 0,0 63,7 4,2 165,0 155,1 295,11.999 287,2 185,1 184,7 57,4 9,2 8,8 0,0 0,0 69,7 45,8 258,8 226,5
Curso
dCu
rso d
Exemplo 2 Vendas da Empresa X de 1999 a 2002res
arial
resari
alExemplo 2 – Vendas da Empresa X de 1999 a 2002
Ano
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr Ano
mês 1999 2000 2001 2002jan 346 456.91 582 889.53 691 436.94 658 077.62fev 373 658 42 553 508 05 568 375 61 645 680 37
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís fev 373 658.42 553 508.05 568 375.61 645 680.37
mar 521 747.80 538 282.97 700 132.33 739 147.07 abr 406 768.37 436 758.55 692 094.73 833 610.48 mai 408 681 13 571 327 25 809 750 86 806 457 72
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e mai 408 681.13 571 327.25 809 750.86 806 457.72
jun 401 295.02 659 906.87 799 857.16 742 798.54 jul 437 569.24 647 799.85 877 810.23 851 623.08 ago 417 755 25 656 213 85 743 052 29 722 818 62
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia ago 417 755.25 656 213.85 743 052.29 722 818.62
set 498 464.86 593 066.11 675 614.61 780 708.07out 491 050.72 596 377.40 675 354.57 842 930.23nov 485 456 17 637 569 78 680 250 00 856 114 67
Curso
dCu
rso d nov 485 456.17 637 569.78 680 250.00 856 114.67
dez 500 989.96 676 565.00 606 311.87 858 120.06
Os modelos de decomposiçãores
arial
resari
al Modelo Multiplicativo produto dascomponentes: Tendência (T) Cíclica (C) Sazonal
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr componentes: Tendência (T), Cíclica (C), Sazonal
(S), Aleatória (I)
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís
TCSIISCTY =×××=
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e Modelo Aditivo soma das componentes
individuais
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia
ISCTY +++=
Curso
dCu
rso d
Como identificar se o modelo a ser usado deve ser o aditivo oumultiplicativo????multiplicativo????
•A análise gráfica pode ser usada para identificar o tipo deres
arial
resari
al modelo a ser usado
• modelo aditivo variação constante em toda série
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr modelo aditivo variação constante em toda série
• modelo multiplicativo variação não constante com ot
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís tempo
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia
Curso
dCu
rso d
Modelo aditivo
resari
alres
arial
110
130150
170
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr
3050
7090
110
Y
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís
10
30
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
t
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e
Modelo multiplicativo
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia
Curso
dCu
rso d
• A tendência é uma quantidade efetivares
arial
resari
al• A tendência é uma quantidade efetiva.
• Modelo aditivo C, S e I também são
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr quantidades efetivas.
• Modelo multiplicativo estas componentes
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís Modelo multiplicativo, estas componentes
são expressas em relação à tendência(percentagens da tendência)
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e (percentagens da tendência).
• Embora o modelo aditivo pareça ser mais
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia fácil de lidar, pode-se, na prática, utilizar o
modelo multiplicativo, quando este expressar
Curso
dCu
rso d melhor a realidade dos dados.
O estudo de cada componente da sérieres
arial
resari
alO estudo de cada componente da série
a) Componente de Tendência (T)
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr
) p ( )
Pode-se pensar a tendência como sendo umamudança de longo de prazo no nível médio da
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís mudança de longo de prazo no nível médio da
série.
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e Objetivos:
a) remover a tendência de modo a permitir a
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia a) remover a tendência de modo a permitir a
análise de outras componentes
Curso
dCu
rso d
b) identificar a tendência de modo a utilizá-lacomo suporte em planejamentos e decisões.
Determinação da tendência usando regressãores
arial
resari
al • tendência pode ser linear ou não.
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr • Inspeção visual do gráfico da série.
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís
• A forma mais simples de tendência é:
Principais tipo de tendências
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e • A forma mais simples de tendência é:
tt tY εβα ++=
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia
• Outras formas de tendências:
Curso
dCu
rso d
Função polinomial:
kY βββ 2t
kkt tttY εβββα ++++= ...2
21
resari
alres
arial Curva de Gompertz:
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr t
t rY βα +=log 0 < r < 1
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís
Curva Logística:
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e
g
Y α
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia
ctt eY −+=
β1
Curso
dCu
rso d
Exemplo: Vamos supor que os dados a seguirres
arial
resari
al representem a demanda por um determinado produtonos últimos 20 anos. Analisar a série quanto àtendência
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr tendência.
Ano (X) Demanda (Y) Ano (X) Demanda (Y)
1 10 11 15
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís 1 10 11 15
2 12 12 18
3 7 13 20
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e
3 7 13 20
4 11 14 23
5 11 15 24
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia 6 15 16 21
7 16 17 26
Curso
dCu
rso d 8 12 18 25
9 18 19 28
10 17 20 3010 17 20 30
• representação gráfica res
arial
resari
al
30
40
nda
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr
0
10
20
Dem
an
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís 0 5 10 15 20 25
tempo (anos)
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e
• Parece razoável adotarmos um modelo linear pararepresentar a tendência dessa série.
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia p
• Adotando o modelo Y = a +bt, e aplicando o métododos mínimos quadrados para determinar os valores de
Curso
dCu
rso d dos mínimos quadrados para determinar os valores de
a (coeficiente linear) e b (coeficiente angular) temos:
Y = 6,9368 + 1,0489 tY 6,9368 + 1,0489 t
40res
arial
resari
al
20
30
eman
da
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr y = 1.0489x + 6.9368
R2 = 0.90440
10
0 5 10 15 20 25D
e
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís
tempo (anos)
S d j f i ã d d d
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e Se desejarmos fazer uma previsão da demanda para o
21o ano, podemos usar a linha de tendência (equação deregressão) para fazer essa previsão:
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia regressão) para fazer essa previsão:
Y = 6,9368+1,0489. (21) = 28,96
Curso
dCu
rso d
OBS: As extrapolações usando modelos de regressãodevem ser feitas com restrições e apenas para períodosdevem ser feitas com restrições e apenas para períodoscurtos.
Determinação da tendência usando médiasres
arial
resari
alDeterminação da tendência usando médias
móveis
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr média móvel é uma média aritmética dos últimos k
pontos observados.
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís
Yk
kit∑
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e
kMM kti −==
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia • a medida que se considera cada nova
observação, despreza-se a mais antiga.
Curso
dCu
rso d
• média móvel remover variações sazonais,cíclicas e irregulares, resultando apenas ag , ptendência.
• na prática é impossível removerres
arial
resari
al• na prática é impossível removercompletamente as variações cíclicas eirregulares
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr irregulares
• O ideal escolher um período remoção
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís das variações cíclicas e irregulares.
• mais dados incluímos na média menos
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e mais dados incluímos na média menos
sensível se torna ela a valores recentes.
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia
Exemplo: usar os dados da demandaapresentados no exemplo anterior multiplicado por
Curso
dCu
rso d apresentados no exemplo anterior multiplicado por
100 e ajustar a média móvel com 3 e com 5períodosperíodos
ano demanada 3 per 5 per 1 1000
resari
alres
arial
1 1000
2 1200 966.6667 3 700 1000 1020 4 1100 966.6667 1120
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr 4 966.6667 1120
5 1100 1233.333 1200 6 1500 1400 1300 7 1600 1433.333 1440
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís 8 1200 1533.333 1560
9 1800 1566.667 1560 10 1700 1666.667 1600 11 1500 1666 667 1760
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e 11 1500 1666.667 1760
12 1800 1766.667 1860 13 2000 2033.333 2000 14 2300 2233 333 2120
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia 14 2233.333 2120
15 2400 2266.667 2280 16 2100 2366.667 2380 17 2600 2400 2480
Curso
dCu
rso d
18 2500 2633.333 2600 19 2800 2766.667 20 3000
resari
alres
arial
2500
3000
a2500
3000
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr
1000
1500
2000
Dem
anda
y = 104.89x + 693.68R2 = 0.9044
1500
2000
Dem
anda
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís
5000 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
tempo (anos)500
1000
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
tempo (anos)
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e demanada 3 per 5 per
tempo (anos)
Comparação dos métodos deédi ó i d ã
Valores observados e ajuste deédi ó i 3 5 l
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia médias móveis e de regressãomédias móveis com 3 e 5 valores
• “vantagem” do método de médias móveis
Curso
dCu
rso d • vantagem do método de médias móveis
sobre a tendência linear abrangetendências tanto lineares como não linearestendências tanto lineares como não lineares.
• “Desvantagem” os primeiros e os últimosres
arial
resari
al• Desvantagem os primeiros e os últimosvalores não possuem valores correspondentesna média móvel embora apresentem valores
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr na média móvel, embora apresentem valores
para a regressão.
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís
determinação da tendência usando diferenças
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e • Diferenças da série até que ela se torne
estacionária
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia
• Dados não sazonais primeira diferençageralmente é suficiente
Curso
dCu
rso d geralmente é suficiente
• A nova série Yt é formada a partir da sérieoriginal Xt
Primeira ordemres
arial
resari
al
tttt xxxy ∇=−= 1
Primeira ordembe
rlând
iabe
rlând
iaáti
ca
ática
sti
ca Em
prsti
ca Em
pr tttt xxxy ∇−1
Segunda ordem
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís
2112 2)( +−=−∇=∇= xxxxxxy
Segunda ordem
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e 211 2)( −−− +∇∇ ttttttt xxxxxxy
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia
Exemplo: Vamos exemplificar usando os dados da demanda
Curso
dCu
rso d demanda
ano demanda dif1 dif2res
arial
resari
al 1 102 12 23 7 -5 -7
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr 4 11 4 9
5 11 0 -46 15 4 47 16 1 3
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís 7 16 1 -3
8 12 -4 -59 18 6 10
10 17 1 7
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e 10 17 -1 -7
11 15 -2 -112 18 3 513 20 2 -1
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia 13 20 2 1
14 23 3 115 24 1 -216 21 -3 -4
Curso
dCu
rso d 17 26 5 8
18 25 -1 -619 28 3 420 30 2 -1
resari
alres
arial
30
35
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr
15
20
25
demandadif1
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís
0
5
10dif1dif2
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e
-10
-5
00 5 10 15 20 25
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia
Curso
dCu
rso d
Determinação da tendência “A SENTIMENTO”res
arial
resari
alDeterminação da tendência A SENTIMENTO
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr Evolução do Índice NASDAQ
11.Jan.95 a 10.Jan.036000
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís
4000
5000R1Método do
S ti t
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e
3000
4000
Índi
ce
R2
Sentimento
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia
1000
2000R2
Curso
dCu
rso d
0
1/10
/95
20/1
995
31/1
995
1/07
/95
6/19
96
29/1
996
9/06
/96
6/19
96
27/1
997
7/08
/97
5/19
97
27/1
998
5/07
/98
7/19
98
24/1
998
3/09
/99
7/19
99
27/1
999
1/05
/00
4/20
00
26/2
000
1/02
/00
4/20
01
25/2
001
9/05
/01
9/20
01
4/03
/02
7/12
/02
21/2
002
01
04/2
07/3 11
02/1
05/2 09
12/1
03/2 07
10/1
01/2 05
08/1
11/ 2 03
06/1
09/ 2 01
04/1
07/ 2 11
02/1
05/ 2 09
12/1 04 07
10/2
Data
Índice Nasdaq
Teste para tendênciares
arial
resari
alTeste para tendência
Teste de hipóteses estatísticas para verificar
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr Teste de hipóteses estatísticas para verificar
se realmente existe tendência na série. O testepode ser aplicado em duas etapas:
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís pode ser aplicado em duas etapas:
a) Antes da estimação da tendência
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e b) Depois que se obtém a tendência
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia
Curso
dCu
rso d
T tres
arial
resari
al Testes:
Regressão Teste de hipóteses para coef. de
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr Regressão Teste de hipóteses para coef. de
regressão (βi); intervalos de confiança;análise de variância para o modelo de
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís análise de variância para o modelo de
regressão
O t ét d T t ã ét i
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e Outros métodos Testes não paramétricos
a) Teste de sequências (Wald-Wolfowitz)
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia a) este de sequê c as ( a d o o t )
b) Teste do Sinal (Cox-Stuart)
Curso
dCu
rso d
c) Teste do coeficiente de correlação deSpearmanp
b) C t í li i l (C I)res
arial
resari
al b) Componentes cíclicas e irregulares (C + I)be
rlând
iabe
rlând
iaáti
ca
ática
sti
ca Em
prsti
ca Em
pr • Variações cíclicas são variações periódicasde amplitude superior a um ano.
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís
• É praticamente impossível separar as
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e variações cíclicas das variações irregulares e,
portanto, essas são analisadas em conjunto.
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia
• Para isolar as variações cíclicas e
Curso
dCu
rso d irregulares, as demais variações (tendência e
sazonal) devem ser removidas dos dados.
A ã d i õ i dres
arial
resari
al • A remoção das variações sazonais pode serfeita, utilizando-se, por exemplo, médias
ó i ( t di t i
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr móveis (veremos este procedimento mais
adiante).
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís
• A remoção da tendência se faz através doj t d ã d ã
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e ajuste da equação de regressão ou por
medias móveis ou pela diferenças comoi t i t
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia vimos anteriormente
Curso
dCu
rso d
resari
alres
arial • No modelo aditivo, cada observação é
subtraída do correspondente valor de
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr tendência. O resultado será uma série de
desvios em relação à tendência.
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís
• No modelo multiplicativo, os valores
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e observados são divididos pelos
correspondentes valores estimados pela
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia tendência e em seguida multiplicados por 100.
Os dados são, portanto, expressos em
Curso
dCu
rso d percentagem da tendência.
Exemplo 1 - Para os dados a seguir eres
arial
resari
alExemplo 1 Para os dados a seguir eadmitindo o modelo de série aditivo: a)representar graficamente a série e discutir; b)
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr representar graficamente a série e discutir; b)
ajustar a reta de tendência; c) remover atendência; d) representar graficamente os
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís tendência; d) representar graficamente os
dados sem tendência.
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Y 12 15 18 19 20 21 22 25 28 31 34 35 36 37 38 41 44 47 50 51
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia
Curso
dCu
rso d
Solução:res
arial
resari
alç
405060
40
60
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr
010203040
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Y
y = 2t + 10R2 = 0.9955
0
20
40
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Y
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís
Representação da série e ajuste da tendência linear
tempo0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
tempo
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e Representação da série e ajuste da tendência linear
Remoção da tendência do modelo aditivo
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia
ç
T 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Y 12 15 18 19 20 21 22 25 28 31 34 35 36 37 38 41 44 47 50 51
Curso
dCu
rso d Y 12 15 18 19 20 21 22 25 28 31 34 35 36 37 38 41 44 47 50 51
Yt 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50
Y-Yt 0 1 2 1 0 -1 -2 -1 0 1 2 1 0 -1 -2 -1 0 1 2 1
resari
alres
arial
123
Y
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr
-2-10
0 5 10 15 20 25Yt
-Y
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís -3
tempo
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e
Representação gráfica da série sem a tendência
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia
Nota-se que após a remoção da tendência asérie apresenta apenas a componente cíclica e
Curso
dCu
rso d série apresenta apenas a componente cíclica e
aleatória.
Exemplo 2 - Considerando o modelores
arial
resari
alExemplo 2 Considerando o modelomultiplicativo para os dados a seguir, repita ositens a, b, c e d do exemplo anterior.
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr itens a, b, c e d do exemplo anterior.
T 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís Y 110 124 140 148 150 158 165 170 190 209 230 229 230 230 225 250 270 292 320 310 290
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e
200
300
400
Y y = 10t + 100200
300
400
Y
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia
0
100
200
0 5 10 15 20 25
tempo
Y y = 10t + 100R2 = 0.9594
0
100
0 5 10 15 20 25
tempo
Curso
dCu
rso d tempo tempo
Representação gráfica da série e da tendênciaRepresentação gráfica da série e da tendência
Remoção da tendênciares
arial
resari
al
T 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
Remoção da tendênciabe
rlând
iabe
rlând
iaáti
ca
ática
sti
ca Em
prsti
ca Em
pr Y 110 124 140 148 150 158 165 170 190 209 230 229 230 230 225 250 270 292 320 310 290
Yt 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310
(Y/Yt)*100 100 103 108 106 100 99 97 94 100 105 110 104 100 96 90 96 100 104 110 103 94
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís
Gráfico sem a tendência
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e
110115
0
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia
9095
100105
(Y/Y
t).10
Curso
dCu
rso d 85
0 5 10 15 20 25
tempo
c) Componente sazonal (S)res
arial
resari
alc) Componente sazonal (S)
• As variações sazonais são aquelas que ocorrem
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr regularmente dentro de um curto período de tempo
(por exemplo, um ano).
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís
• remover o padrão sazonal para estudar asi õ í li
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e variações cíclicas
• identificar os fatores sazonais de forma que eles
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia • identificar os fatores sazonais de forma que eles
possam ser levados em consideração na hora deuma decisão por exemplo se existe uma
Curso
dCu
rso d uma decisão, por exemplo, se existe uma
sazonalidade de vendas de um produto em umcerto período do ano, o comerciante pode fazerp , pum estoque do produto antecipadamente.
• Para predizer os padrões sazonais é precisores
arial
resari
alPara predizer os padrões sazonais é preciso
primeiro identificá-los e determina-lhes o alcance.
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr • Uma técnica usada para esta análise é o
método da razão para a média móvel.
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís
O método da razão para média móvel
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e
• Índices semanais, mensais ou trimestrais que
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia caracterizam observações de séries temporais
em termos de percentagem do total anual, ou
Curso
dCu
rso d seja, relativos sazonais.
• Método utilizado para modelos multiplicativos• Método utilizado para modelos multiplicativos
E lres
arial
resari
al Exemplos:
1) S ê d j h t í di l
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr 1) Se no mês de junho tem-se índice sazonal
de 0,80, isso indica que as vendas de junhoã 80% d édi l
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís são 80% da média mensal.
2) S t i t t í di l d
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e 2) Se um trimestre tem índice sazonal de
2,00, isso significa que as vendas daquelet i t ã i d t d b d
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia trimestre são aproximadamente o dobro da
média de vendas para todos os trimestres.
Curso
dCu
rso d
Passos para a aplicação da técnicares
arial
resari
al i) Obter uma média móvel de 4 períodos, se os dadosestão em trimestre ou de 12 períodos se estes são
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr estão em trimestre ou de 12 períodos, se estes são
mensais ou de 3 períodos para quadrimestrais e assimsucessivamente.
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís
• Problema da centragem da média móvel ao se usarum número par de períodos => Ex média de 4
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e um número par de períodos => Ex. média de 4
períodos onde locar o resultado na posição 2 ou na3???
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia
• Uma forma de contornar o problema é encontrar umamédia móvel de dois períodos para as médias móveis
Curso
dCu
rso d média móvel de dois períodos para as médias móveis.
• Períodos superiores a 12 messes sazonalidadepausente.
ii) Dividir os dados originais pelos valores correspondentes dares
arial
resari
al média móvel
SITC
TCSIMMY
==
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr TCMM
iii) Agrupar os relativos de períodos semelhantes e
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís determinar a razão sazonal média para cada período. Por
exemplo, para uma série mensal, agrupa-se todos osjaneiros fevereiros etc e calcula-se a média de cada mês
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e
janeiros, fevereiros, etc. e calcula se a média de cada mês.
Pode-se adota-se uma média modificada, que consiste emeliminar o menor e o maior valor de cada grupo antes de
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia eliminar o menor e o maior valor de cada grupo antes de
calcular a média.
iv) Padronizar as cifras resultantes. Isso se faz ajustando os
Curso
dCu
rso d ) j
relativos, de modo que sua soma seja igual ao número deperíodos. Logo, se há 12 períodos, o total dos relativossazonais deve ser 12sazonais deve ser 12.
Observação: Para o ajuste dos relativos (Rsc),res
arial
resari
al cria-se um fator de correção que é a relação entreo número de períodos (k) e o total dos relativos (∑
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr Rs).
∑=sc R
kR
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís ∑ sR
Exemplo: Com os dados trimestrais de vendas
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e Exemplo: Com os dados trimestrais de vendas,
apresentados abaixo, use o método da razãopara médias móveis
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia para médias móveis
Trim 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
Curso
dCu
rso d
Y 20 18 22 24 24 22 26 29 28 25 31 34
Trim 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
Y 32 29 35 38 36 32 40 43 40 36 44 48
Cálculosres
arial
resari
alCálculos
trimestre y mm4per mm2mm Y/mm2
1 20
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr 1 20
2 18 213 22 22 21.5 1.02 4 24 23 22.5 1.07 1 24 24 23.5 1.02
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís 2 22 25.25 24.625 0.89
3 26 26.25 25.75 1.01 4 29 27 26.625 1.09 1 28 28.25 27.625 1.01 2 25 29 5 28 875 0 87
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e 2 25 29.5 28.875 0.87
3 31 30.5 30 1.03 4 34 31.5 31 1.10 1 32 32.5 32 1.00 2 29 33 5 33 0 88
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia 2 29 33.5 33 0.88
3 35 34.5 34 1.03 4 38 35.25 34.875 1.09 1 36 36.5 35.875 1.00 2 32 37.75 37.125 0.86
Curso
dCu
rso d 3 40 38.75 38.25 1.05
4 43 39.75 39.25 1.10 1 40 40.75 40.25 0.99 2 36 42 41.375 0.87 3 443 444 48
montando os grupos:res
arial
resari
almontando os grupos:
gruposI II III IV1 02 0 89 1 02 1 07
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr 1.02 0.89 1.02 1.07
1.01 0.87 1.01 1.091 0.88 1.03 1.11 0 86 1 03 1 09
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís 1 0.86 1.03 1.09
0.99 0.87 1.05 1.1med. Modif.rel. sazonais 1.003 0.873 1.027 1.093
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e
Teste para sazonalidade
rel. sazonais 1.003 0.873 1.027 1.093
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia
Testes não-paramétricos:
Curso
dCu
rso d
a)Teste de Kruskal-Wallis
b) Teste de Friedmanb) Teste de Friedman
Teste paramétrico:res
arial
resari
al Teste de F com:
H : S =S = =S (não existe sazonalidade)
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr H0: S1=S2 =....=Sk (não existe sazonalidade)
H1: Si ≠ Sj (existe a sazonalidade)
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís
Estatistica para o Teste:s = período de sazonalidade
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e
⎟⎟⎟⎞
⎜⎜⎜⎛
−
⎟⎞
⎜⎛ −
=∑=
s
jjj YYn
sNT 1
2. )( N = número de observações
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia
⎟⎟⎟
⎠⎜⎜⎜
⎝−
⎟⎠
⎜⎝ −
=
∑∑= =
s
j
n
ijij
j
YYs
T
1 1
2. )(
1_
Y.J = média de cada período de sazonalidade
Curso
dCu
rso d
C l d T b l FComparar com valor da Tabela F
• O método da razão de médias móveis é usadores
arial
resari
alO método da razão de médias móveis é usado
para modelos de séries do tipo mutiplicativo.
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr • Se for adotado o modelo aditivo, os indices
sazonais são obtidos por diferenças.
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís
• A utilização de médias móveis com periodos
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e iguais ao período sazonal remove a sazonalidade
da série. Por exemplo se a sazonalidade é anual et t b lh d d d i
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia estamos trabalhando com dados mensais
devemos usar um k = 12 na média móvel pararemover a sazonalidade
Curso
dCu
rso d remover a sazonalidade.
• Veremos mais adiante nos modelos de previsãoVeremos mais adiante, nos modelos de previsão,que estas observações são muito importante.
EXERCÍCIOres
arial
resari
al 1) Com os dados abaixo, determine atendência e represente graficamente. Use os
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr
p gmétodos de regressão, média movel ediferenças
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís
ç
T 1 2 3 4 5 6 7 8
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e Y 60 53 45 51 57 56 60 65
T 9 10 11 12 13 14 15 16
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia T 9 10 11 12 13 14 15 16
Y 70 85 78 82 90 75 74 77
Curso
dCu
rso d
T 17 18 19 20 21 22 23 24Y 80 85 93 90 108 88 91 87Y 80 85 93 90 108 88 91 87
2) Tem-se abaixo o registro de vendas dores
arial
resari
al2) Tem-se abaixo o registro de vendas doproduto X. Usando uma média móvel trimestrale o método da razão para a média móvel
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr e o método da razão para a média móvel,
obtenha os relativos sazonais.
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís
Trim Anos
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e 1 2 3 4 5
I 45 48 53 48 39
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia
II 28 36 42 36 33III 17 19 18 17 14
Curso
dCu
rso d III 17 19 18 17 14IV 21 25 20 21 21
RECOMPOSIÇÃO DE UMA SÉRIE TEMPORALres
arial
resari
alRECOMPOSIÇÃO DE UMA SÉRIE TEMPORAL
Objetivo avaliar todos os componentes
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr Objetivo avaliar todos os componentes
simultaneamente
O d i ã d é i dif
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís • O processo de recomposição da série difere
de acordo com o modelo adotado (aditivo oulti li ti )
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e multiplicativo).
• Para o modelo aditivo deve, ao recompor a
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia Para o modelo aditivo deve, ao recompor a
série, somar as componentes
P lti li ti lti li
Curso
dCu
rso d • Para o multiplicativo multiplicar as
componentes
Adi i M l i li iMêres
arial
resari
alAditivo
Y = T + S + CI
Multiplicativo
Y = TSCI
Mês
T S CI Y T S CI Y
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr T S CI Y T S CI Y
Fev 90 -5 -22 63 90 0,90 0,70 56,7
Mar 94 -4 -22 68 94 0,92 0,70 60,5
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís
Abril 98 -4 -22 72 98 0,92 0,70 63,1
Maio 102 -6 -22 74 102 0,86 0,70 61,4
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e Jun 106 -7 -22 77 106 0,82 0,70 60,8
Jul 110 -3 -20 87 110 0,94 0,80 82,8
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia Ago 114 -1 -20 93 114 0,94 0,80 86,6
Set 118 5 -20 103 118 1,10 0,80 103,8
O t 122 5 20 107 122 1 10 0 80 107 4
Curso
dCu
rso d Out 122 5 -20 107 122 1,10 0,80 107,4
Vamos trabalhar com algumas sériesres
arial
resari
al Case 1 – Vendas da Empresa X de 1999 a 2002
Ano
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr Ano
mês 1999 2000 2001 2002jan 346 456.91 582 889.53 691 436.94 658 077.62fev 373 658.42 553 508.05 568 375.61 645 680.37
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís mar 521 747.80 538 282.97 700 132.33 739 147.07
abr 406 768.37 436 758.55 692 094.73 833 610.48 mai 408 681.13 571 327.25 809 750.86 806 457.72 jun 401 295 02 659 906 87 799 857 16 742 798 54
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e jun 401 295.02 659 906.87 799 857.16 742 798.54
jul 437 569.24 647 799.85 877 810.23 851 623.08 ago 417 755.25 656 213.85 743 052.29 722 818.62 set 498 464.86 593 066.11 675 614.61 780 708.07
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia out 491 050.72 596 377.40 675 354.57 842 930.23
nov 485 456.17 637 569.78 680 250.00 856 114.67dez 500 989.96 676 565.00 606 311.87 858 120.06
Curso
dCu
rso d
Decompor a série em componente de tendência ecomponente sazonal, usando regressão para tendência erelativos sazonais para sazonalidade. Recompor a série ecom base nestas componentes prever 2003.
Case 2 – Uma empresa deseja elaborar uma previsão deres
arial
resari
alp j p
vendas para o próximo ano. O produto vendido apresentacomportamento sazonal e a empresa tem os dados dos últimos5 ( il l d )
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr 5 anos (em mil toneladas):
T i t 2003 2004 2005 2006 2007
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís Trimestre 2003 2004 2005 2006 2007
1 200 250 320 350 4002 100 150 210 190 230
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e 3 50 100 160 140 160
4 300 450 600 500 530Total de vendas 650 950 1290 1180 1320
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia Média 162,5 237,5 322,5 295 330
) C l l í di i d t i t
Curso
dCu
rso d a) Calcule os índices sazonais para cada trimestre
b) Determine a previsão de vendas para o ano de 2008 ) p p
3. REGULARIZAÇÃO EXPONÊNCIALres
arial
resari
al3. REGULARIZAÇÃO EXPONÊNCIAL
• A regularização exponencial é uma técnica queutiliza uma equação de médias móveis ponderadas
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr utiliza uma equação de médias móveis ponderadas
exponencialmente para regularizar a série temporal.
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís
• O objetivo é permitir a visualização de padrõesnão aleatórios que possam estar presentes nos
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e
q p pdados.
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia • Adicionamos ao nosso modelo clássico a
componente média.
Curso
dCu
rso d
• Quanto maior o número de períodos, menossensível será a média à inclusão de um novo valorsensível será a média à inclusão de um novo valor.
• O grau ótimo de regularização vai dependerres
arial
resari
alO grau ótimo de regularização vai depender
do grau da flutuações aleatórias, para altasflutuações faz-se necessário um alto grau de
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr flutuações faz se necessário um alto grau de
regularização.
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís
• A técnica das médias móveis regularizadasexponencialmente tem a vantagem de permitir,
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e
e po e c a e te te a a tage de pe t ,facilmente, o ajuste da quantidade deregularizações.
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia g ç
• A escolha do valor da constante de
Curso
dCu
rso d
regularização, ou seja do grau deregularização, pode ser feita com base nasg ç , psomas de quadrados dos resíduos.
• Deve-se considerar também que a técnica demédias móveis com regularização exponencial
resari
alres
arial
médias móveis com regularização exponencial,armazena as informações de todos os dados emum único valor
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr um único valor.
• A equação de regularização exponencial é dada
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís A equação de regularização exponencial é dada
por:
)( VDVV
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e )( 11 −− −+= sss VDVV α
V é o novo valor regularizado
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia Vs é o novo valor regularizado
Vs-1 é o valor regularizado anteriormente
Curso
dCu
rso d
D é o próximo ponto
é f t d l i ãα é o fator de regularização
Observe que o efeito do fator de regularização éres
arial
resari
al tomar uma porcentagem da diferença entre oúltimo e o próximo dado individual e somá-la à (ou
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr subtraí-la) da última média para obter a nova
média. Por exemplo, seja 100 a última média, 150t 0 10 A édi l l
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís o novo ponto e α = 0,10. A nova média se calcula
como:
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e 105)100150(10,0100 =−+=sV
C d édi t i f i l l d
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia Como cada média anterior foi calculada
exatamente da mesma maneira, teoricamentetodos os dados (pontos) passados estão
Curso
dCu
rso d todos os dados (pontos) passados estão
incorporados a Vs-1. Isso reduz grandemente anecessidade de armazenamento de dadosnecessidade de armazenamento de dadoshistóricos.
• Os valores de α comumente usados vão deres
arial
resari
al 0,01 a 0,30. Quando α é pequeno há umgrande número de dados anteriores incluídos
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr
gem Vs-1.
• O grau ou quantidade de regularização
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís • O grau ou quantidade, de regularização
depende do tamanho da constate deregularização Quando as variações são
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e regularização. Quando as variações são
grandes, faz-se necessário um valor pequenode α para regulariza la
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia de α para regulariza-la.
Exemplo: Regularizar os dados da série a seguir
Curso
dCu
rso d Exemplo: Regularizar os dados da série a seguir,
usando as constantes de regularizaçãoexponencial de 0,1 e de 0,3 e mostrarexponencial de 0,1 e de 0,3 e mostrargraficamente esta regularização.
resari
alres
arial
ano 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr
Y 37 33 40 50 52 46 44 46 40 47
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís ano 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Y 42 40 40 37 41 40 43 40 30 36
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e Y 42 40 40 37 41 40 43 40 30 36
ano 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia
Y 34 41 40 36 46 48 38 42 52 46
Curso
dCu
rso d
ano 31 32 33 34 35 36 37 38
Y 46 47 44 42 46 38 40 35Y 46 47 44 42 46 38 40 35
resari
alres
arial ano Y Y(α =0,1) Y(α = 0,3)
ano Y Y(α =0,1) Y(α = 0,3)
1 37 37 37 20 36 39.470 37.1062 33 36.600 35.800 21 34 38.923 36.1743 22
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr 3 40 36.940 37.060 22 41 39.131 37.622
4 50 38.246 40.942 23 40 39.218 38.3355 52 39.621 44.259 24 36 38.896 37.6356 46 40 259 44 782 25 46 39 606 40 144
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís 6 46 40.259 44.782 25 46 39.606 40.144
7 44 40.633 44.547 26 48 40.446 42.5018 46 41.170 44.983 27 38 40.201 41.1519 40 41.053 43.488 28 42 40.381 41.405
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e 10 47 41.648 44.542 29 52 41.543 44.584
11 42 41.683 43.779 30 46 41.989 45.00912 40 41.515 42.645 31 46 42.390 45.30613 40 41 363 41 852 32 47 42 851 45 814
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia 13 40 41.363 41.852 32 47 42.851 45.814
14 37 40.927 40.396 33 44 42.966 45.27015 41 40.934 40.577 34 42 42.869 44.28916 40 40.841 40.404 35 46 43.182 44.802
Curso
dCu
rso d
17 43 41.057 41.183 36 38 42.664 42.76218 40 40.951 40.828 37 40 42.398 41.93319 30 39.856 37.580 38 35 41.658 39.853
resari
alres
arial
50
55 Y Y(alpha =0,1) Y(alpha = 0,3)
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr
40
45
50Y
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís
30
35
40
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e 25
0 10 20 30 40
tempo
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia tempo
Curso
dCu
rso d
Exercício: Faça a regularização exponencial dares
arial
resari
alExercício: Faça a regularização exponencial dasérie abaixo usando constantes de 0,1 e 0,3.Represente os dados originais e regularizados
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr Represente os dados originais e regularizados.
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís Ano 1 2 3 4 5 6 7
P (ton) 12 10 13 14 11 12 10A 8 9 10 11 12 13 14
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e Ano 8 9 10 11 12 13 14
P (ton) 9 12 11 13 11 14 18Ano 15 16 17 18 19 20 21
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia Ano 15 16 17 18 19 20 21
P (ton) 20 16 13 16 12 11 13
Curso
dCu
rso d
Case 3. Preços de fechamento de ações dos últimos 40 dias
resari
alres
arial
40 dias
valor valor valor valor
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr
1 44,5 11 45 21 41,25 31 43,52 44,5 12 44 22 42 32 42,75
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís 3 43,75 13 43,75 23 42 33 42,75
4 44,75 14 44 24 42,75 34 42
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e 5 45,25 15 43,25 25 43 35 42,25
6 45,25 16 43,75 26 43,5 36 42,57 45 17 43 27 42 75 37 41 5
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia 7 45 17 43 27 42,75 37 41,5
8 45,5 18 42 28 43 38 41,259 45 75 19 42 25 29 44 25 39 41 75
Curso
dCu
rso d 9 45,75 19 42,25 29 44,25 39 41,75
10 44,75 20 41,75 30 44 40 41,25
Fazer a regularização da série usando α = 0 2 e α = 0 5Fazer a regularização da série usando α = 0,2 e α = 0,5. Qual deve ser adotado?
Ãres
arial
resari
al 4. AUTOCORRELAÇÃObe
rlând
iabe
rlând
iaáti
ca
ática
sti
ca Em
prsti
ca Em
pr • Importante ferramenta para se identificar aspropriedades de uma série temporal
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís
• Correlação entre observações defasadas 1,
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e 2, 3, .... Períodos de tempo
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia • Com n observações de uma série temporal
podemos formar os pares (x1, x2), .... (xn-1,
Curso
dCu
rso d xn), desta forma estimar o coeficiente decorrelação (rk).
• A formula geral para o cálculo dares
arial
resari
al• A formula geral para o cálculo daautocorrelação é a mesma da correlação dePearson entretanto no caso da
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr Pearson, entretanto, no caso da
autocorrelação estamos interessados emverificar a similaridade entre as observações
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís verificar a similaridade entre as observações
de uma série com a mesma série defasadade k
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e de k.
∑−kn
xxxx ))((
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia ∑
=+ −−
= nt
kt
k
xxxxr 1
1 ))((
Curso
dCu
rso d
∑ −n
t
k
xx 2)(=t 1
• A função autocorrelação é uma função que associa ares
arial
resari
alç ç ç q
cada valor de uma distância entre tempo, que échamado de “lag” k, o seu respectivo coeficiente de
l ã
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr correlação.
• A representação gráfica da autocorrelação é
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís p ç g ç
chamada de autocorrelograma ou simplesmentecorrelograma.
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e
• Espera-se um decréscimo da função autocorrelaçãoà medida que aumentamos a distância entre as
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia q
observações e, no caso das séries temporais, àmedida que o tempo passa.
Curso
dCu
rso d
• Podemos dizer que valores vizinhos guardam maissemelhanças entre si do que valores muitos distantessemelhanças entre si do que valores muitos distantes.
• A função autocorrelação é portanto uma medidares
arial
resari
alA função autocorrelação é, portanto, uma medida
de interdependência entre as observações.
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr • A função autocorrelação também é importante
para se verificar estacionaridade da série.
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís
• Se ao construir o correlograma o coeficiente nãodiminui rapidamente para zero à medida que k
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e diminui rapidamente para zero à medida que k
cresce, temos uma série não estacionária, casocontrário tem a série estacionária
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia contrário tem a série estacionária.
Estacionariedade
Curso
dCu
rso d
• Uma série temporal é estacionária quando eladesenvolve-se no tempo aleatoriamente ao redordesenvolve se no tempo aleatoriamente ao redorde uma média constante.
resari
alres
arial Observação:
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr Prática séries apresentam alguma
forma de não estacionariedade maior
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís parte dos procedimentos de análise
supõem que essas séries são
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e estacionárias caso os dados originais
não formem uma série estacionária, é
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia necessário transformá-los a
transformação mais comum consiste em
Curso
dCu
rso d tomar diferenças sucessivas da série
original, até se obter uma sérieestacionária.
Correlogramares
arial
resari
alCorrelograma
• gráfico com os k primeiros coeficientes de
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr • gráfico com os k primeiros coeficientes de
correlação como função de k é chamado decorrelograma e pode ser utilizado para
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís correlograma e pode ser utilizado para
identificar características de uma sérietemporal
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e temporal.
• pode se associar certos padrões de
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia • pode-se associar certos padrões de
correlograma com determinadascaracterísticas de uma série temporal
Curso
dCu
rso d características de uma série temporal
a) Séries aleatóriasres
arial
resari
al• série completamente aleatória valores
defasados são não correlacionados r 0
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr defasados são não correlacionados rk = 0
• x x variáveis aleatórias independentes
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís • x1,..., xn variáveis aleatórias independentes
e identicamente distribuídas com médiaarbitrária rk é assintoticamente normalmente
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e
arbitrária rk é assintoticamente normalmentedistribuído com:
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia E(rk) = -1/n e Var(rk) = 1/n
li it d fi i d d 95%
Curso
dCu
rso d • limites de confiança aproximados de 95%:
96,196,11±≈±
nnn±≈±−
• dificuldade de interpretação mesmo para sérieres
arial
resari
al• dificuldade de interpretação mesmo para sériecompletamente aleatória, espera-se que 1 em cada20 rk esteja fora destes limites Por outro lado um
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr 20 rk esteja fora destes limites. Por outro lado um
valor muito grade de rk tem menos chance de terocorrido por acaso do que um valor próximo dos
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís ocorrido por acaso do que um valor próximo dos
limites.
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e b) Correlação de curto prazo
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia • Uma série temporal na qual uma observação
acima da média tende a ser seguida por uma oui b õ i d édi i il t
Curso
dCu
rso d mais observações acima da média, similarmente
para observações abaixo da média, é dita tercorrelação de curto prazocorrelação de curto prazo.
• O correlograma desta série deverá exibir um valorres
arial
resari
al relativamente grande de r1 seguido de valores quetendem a ficar sucessivamente menores. A partir de
ma certa defasagem k os alores de r tendem a
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr uma certa defasagem k os valores de rk tendem a
zero.
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís
c) Correlação Negativa
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e • Se os valores da série tendem a se alternar acima
e abaixo de um valor médio, o correlograma desta
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia , g
série também tende a se alternar.
Curso
dCu
rso d
• Os valores de rk para k impar tendem a sernegativos e para k par tendem a ser positivos, poisas observações defasads de períodos pares,tendem a estar do mesmo lado da média.
d) Séries não estacionáriasres
arial
resari
ald) Séries não estacionárias
• Se a série é não estacionária rk não decairão
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr Se a série é não estacionária rk não decairão
para zero, a não ser para grandes defasagens.
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís
• Intuitivamente uma observação de um ladoda média tende a ser seguida por um grande
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e
da éd a te de a se segu da po u g a denúmero de observações do mesmo lado devidoa tendência.
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia
• Pouca ou nenhuma informação pode ser
Curso
dCu
rso d ç p
extraída tendência domina outrascaracterísticas
e) Variação sazonalres
arial
resari
al • Facilmente identificada no correlograma umasérie com variação sazonal exibirá no
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr série com variação sazonal exibirá no
correlograma oscilações na mesma frequência
S d ã l já é id t áfi d
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís • Se o padrão sazonal já é evidente no gráfico da
série original, o correlograma trará pouco ounenhuma informação adicional
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e nenhuma informação adicional.
f) Observações discrepantes
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia
• Se uma série possui uma ou mais observaçõesdiscrepantes (outliers) o correlograma pode ser
Curso
dCu
rso d p ( ) g p
seriamente afetado.
• Uma única observação discrepante pode• Uma única observação discrepante podeviesar os rk para zero
Vamos verificar o comportamento de sériesres
arial
resari
alp
usando o correlograma
1) Determinar a f nção a tocorrelação e a f nção
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr 1) Determinar a função autocorrelação e a função
autocorrelação dos resíduos
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís
T 1 2 3 4 5 6 7 8
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e Y 60 53 45 51 57 56 60 65
T 9 10 11 12 13 14 15 16
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia T 9 10 11 12 13 14 15 16
Y 70 85 78 82 90 75 74 77
Curso
dCu
rso d T 17 18 19 20 21 22 23 24Y 80 85 93 90 108 88 91 87Y 80 85 93 90 108 88 91 87
2) Determinar a função autocorrelaçãores
arial
resari
al2) Determinar a função autocorrelação
T i A
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr Trim Anos
1 2 3 4 5
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís
I 45 48 53 48 39II 28 36 42 36 33
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e II 28 36 42 36 33
III 17 19 18 17 14
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia IV 21 25 20 21 21
Curso
dCu
rso d
3) Determinar a função autocorrelaçãores
arial
resari
al
A 1 2 3 4 5 6 7
3) Determinar a função autocorrelaçãobe
rlând
iabe
rlând
iaáti
ca
ática
sti
ca Em
prsti
ca Em
pr Ano 1 2 3 4 5 6 7
P (ton) 12 10 13 14 11 12 10
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís Ano 8 9 10 11 12 13 14
P (ton) 9 12 11 13 11 14 18
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e
Ano 15 16 17 18 19 20 21
P (ton) 20 16 13 16 12 11 13
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia P (ton) 20 16 13 16 12 11 13
Curso
dCu
rso d
Continuação da análise de autocorrelaçãores
arial
resari
al Exemplos de padrões de comportamento deséries e a respectiva função autocorrelação
ç çbe
rlând
iabe
rlând
iaáti
ca
ática
sti
ca Em
prsti
ca Em
pr séries e a respectiva função autocorrelação(fac)
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia
Curso
dCu
rso d
Série aleatóriaSérie aleatória
resari
alres
arial
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia
Curso
dCu
rso d Autocorrelação da série aleatória
resari
alres
arial
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia
Curso
dCu
rso d
Série de curto prazo
resari
alres
arial
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia
Curso
dCu
rso d
autocorrelação da série de curto prazo
resari
alres
arial
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia
Curso
dCu
rso d
Série negativa
resari
alres
arial
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia
Curso
dCu
rso d
Autocorrelação de série negativa
resari
alres
arial
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia
Curso
dCu
rso d
Série com tendênciaSérie com tendência
resari
alres
arial
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia
Curso
dCu
rso d
Autocorrelação de série com tendência
55.. MODELOSMODELOS DEDE PREVISÃOPREVISÃOres
arial
resari
al
“Previsão é um elemento chave na tomada de decisão”
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr
Controle de
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís
Planejamento de Produção Planejamento de
Oportunidades
Processo
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e
Sistema de Previsão
p
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia Previsão
Planejamento Financeiro
Escalonamento de Pessoal
Curso
dCu
rso d
Gerenciamento de Estoque
PrevisãoPrevisãores
arial
resari
alPrevisãoPrevisão
P i ãPredição de eventos futuros,
i t it d di i i ã d
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr Previsão com o intuito de diminuição de
risco na tomada de decisão.
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís
Custo da
Custo Total
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e
ErroCusto da Previsão
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia
Ponto Ótimo!
Perdas Devido a IncertezaCusto Vs Benefício
Curso
dCu
rso d
DecisãoDecisãores
arial
resari
alDecisãoDecisão
Baseando-se em sistemas de Previsão:
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís
+=Decisão Previsão Erro
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e + Erro
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia
Curso
dCu
rso d
Algumas DefiniçõesAlgumas Definiçõesres
arial
resari
alg çg ç
Período da Previsão → Unidade básica det i ã
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr tempo na previsão.
Horizonte da Previsão →No. de períodos
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís Horizonte da Previsão →N . de períodos
cobertos.
I t l d P i ã F üê i d
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e Intervalo de Previsão →Freqüência de
atualização
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia
Poderíamos requerer uma previsão para aspróximas dez semanas com uma análise
Curso
dCu
rso d próximas dez semanas, com uma análise
semanal, assim o horizonte seria dez semanase o período de uma semanae o período de uma semana
Padrões de Séries TemporaisPadrões de Séries Temporaisres
arial
resari
alPadrões de Séries TemporaisPadrões de Séries Temporais
Processamentos que permanecem
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr Processamentos que permanecem
constantes sobre um certo nível todo otempo, com variações de período a período
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís p , ç p p
devido a causas aleatórias.
Padrões que ilustram tendências no nível
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e Padrões que ilustram tendências no nível
dos processos, de maneira que a variaçãode um período ao outro é atribuída a uma
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia p
tendência mais uma variação aleatória.
Processos que variam ciclicamente no
Curso
dCu
rso d Processos que variam ciclicamente notempo, como em processos sazonais(exemplo: o clima).(exemplo: o clima).
Modelos de Previsão de Séries TemporaisModelos de Previsão de Séries Temporaisres
arial
resari
alModelos de Previsão de Séries TemporaisModelos de Previsão de Séries Temporais
Os procedimentos de previsão de séries
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr Os procedimentos de previsão de séries
temporais podem ser divididos, grosseiramente,em duas categorias:
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís em duas categorias:
a) Automáticos, que são aplicados
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e diretamente, com a utilização de programas
simples de computador;
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia
b) Não-Automáticos, que exigem aintervenção de pessoal especializado para
Curso
dCu
rso d intervenção de pessoal especializado, para
serem aplicados
55..11.. ModelosModelos AutomáticosAutomáticosres
arial
resari
al Previsão de Séries Localmente Constantes
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr
NtaZ ttt ,,1, K=→+= μ
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís
μt é o nível da série 0 8
0,9
1
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e
μt é o nível da série
at é um ruído branco0,5
0,6
0,7
0,8
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia
0,2
0,3
0,4
Curso
dCu
rso d
0
0,1
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Médias Móveis Simples (MMS)Médias Móveis Simples (MMS)res
arial
resari
alMédias Móveis Simples (MMS)Médias Móveis Simples (MMS)
ZZZ +++ LCálculo da média
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr
rZZZ
M rtttt
11 +−− +++=
Laritmética das r últimas observações
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís
Previsão ( ) tt MhZ =)
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e
Vantagens: Desvantagens:
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia Simples Utilização
Aplicável para N
Determinação de r
Necessidade de l 1
Curso
dCu
rso d pequeno
flexibilidade variação de r de acordo
armazenar pelo menos r-1 observações
adequado para sériesvariação de r de acordo com o padrão da série
adequado para séries estacionárias
Vamos discutir um pouco mais o métodores
arial
resari
al • A técnica consiste em calcular a média aritméticadas r observações mais recentes isto e:
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr das r observações mais recentes, isto e:
ZZM
ZZZM rttrttt −+−− −
+=+++
= 11 ...
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís
rM
rM tt − +== 1
M é ti ti d ã l
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e • Mt é uma estimativa de μt que não leva em
consideração as observações mais antiga.
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia • A previsão de todos os valores futuros da série ,
a partir da origem t, é dada pela ultima média
Curso
dCu
rso d calculada.
• Para todo horizonte de previsão (h), com h = 1, 2,Para todo horizonte de previsão (h), com h 1, 2,3, ... tem-se:
ZZhh rtt −)1()(
^^res
arial
resari
al rZZ
hZMhZ rtttt
−− ++== )1()( 1
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr
• Esta equação pode ser interpretada como ummecanismo de atualização de previsão
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís mecanismo de atualização de previsão.
• A cada instante (ou nova observação) corrige-
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e
( ç ) gse a estimativa prévia de Zt+h
• depende do número r de observações
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia • depende do número r de observações
utilizadas na média valor grande de r fazcom que a previsão acompanhe lentamente as
Curso
dCu
rso d com que a previsão acompanhe lentamente as
mudanças de μt valor pequeno implica emreação mais rápidareação mais rápida.
• Se r =1 valor mais recente da série éres
arial
resari
al utilizado como previsão de todos os valoresfuturos ´”método ingênuo” ou método deNai e
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr Naive
• se r = N previsão igual a média aritmética
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís de todos os dados observados indicado para
série estritamente estacionária
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e • Valor de r deve ser proporcional a
aleatoriedade de at
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia t
• Método objetivo selecionar r que forneça a“melhor previsão” a um passo das observações
Curso
dCu
rso d melhor previsão a um passo das observações
já obtidas, ou seja, encontrar r que minimize:
∑N
2^
∑+=
−−=t
tt rXXS1
21 ))((
l
Exemplo de Aplicação: Aplicar o método deres
arial
resari
alExemplo de Aplicação: Aplicar o método deMédias Móveis Simples (MMS) à seguintesérie e em seguida fazer uma previsão para
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr série e em seguida fazer uma previsão para
mais 6 períodos.
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís
t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 X 1095 1067 1364 1510 1260 1229 1205 1237 1414 1299 1420 1360 t 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e t 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
X 1304 1213 1360 1587 1431 1267 1429 1517 1506 1627 1650 1606
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia
Curso
dCu
rso d
Alisamento exponencial simples (AES)res
arial
resari
alAlisamento exponencial simples (AES)
• Já descrevemos esta técnica anteriormenteá l f i õ
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr vamos usá-la para fazer previsões
• O AES pode ser descrito por:
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís O AES pode ser descrito por:
)1( ZZZZZ →+ αα
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e 11)1( ZZZZZ ottt =→−+= −αα
Z é o valor alisado e é a constante de
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia tZ é o valor alisado e α é a constante de
alisamento, com 0 < α < 1
Curso
dCu
rso d
• Utilizando a equação do AESres
arial
resari
al• Utilizando a equação do AESrecursivamente, tem-se:
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr ...)1()1( 2
21 +−+−+= −− tttt ZZZZ αααα
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís
• AES é uma medida ponderada que dá pesosmaiores às observações mais recentes
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e
çvantagem sobre o MMS
A previsão de valores futuros é dada pelo
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia • A previsão de valores futuros é dada pelo
último valor exponencialmente alisado
Curso
dCu
rso d
)1()1()( 1^^
+−+== − hZZZhZ tttt αα
é ã d t li ã d i ãres
arial
resari
al • essa é a equação de atualização da previsão,dado que temos uma nova observação
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr
• Necessidade de conhecer apenas o valor maisrecente (Zt), a previsão imediatamente anterior
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís recente (Zt), a previsão imediatamente anterior
( ) e o valor de α1−tZ
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e • Para processo estacionário, tem-se:
⎤⎡
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia
2^^
2)]([)( att hZVarehZE σ
ααμ−
≅≅⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
Curso
dCu
rso d 2 α⎦⎣
• Supondo at ~N(0, σa2) o IC de 95% para Zt+hp t ( , a ) p t+h
será dado por:
^ αres
arial
resari
al 2
296,1)( at hZ σ
αα−
±be
rlând
iabe
rlând
iaáti
ca
ática
sti
ca Em
prsti
ca Em
pr 2 α
Lembrando:
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís Lembrando:
• Quanto menor for o valor de α mais
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e estáveis as previsões, pois α baixo implica que
pesos maiores são dados às observações
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia
p çpassadas flutuações aleatórias do presenteexercerá menor peso no cálculo da previsão.
Curso
dCu
rso d p p
Vantagens: facilidade de aplicação eres
arial
resari
alVantagens: facilidade de aplicação e
entendimento; flexibilidade permitida pelavariação de α; necessidade de armazenar
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr variação de α; necessidade de armazenar
apenas Zt, e α
D t difi ld d d t i1−tZ
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís • Desvantagem: dificuldade em determinar o
valor apropriado da constante de alisamento
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e • Pode-se também utilizar o EQM para decidir o
valor de α
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia a o de α
Curso
dCu
rso d
Exemplo: Usar o AES para a série abaixo comres
arial
resari
alExemplo: Usar o AES para a série abaixo comα = 0,1;0,3 e 0,5. Determinar o melhor valor daconstante de alisamento Suponha que se
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr constante de alisamento. Suponha que se
queira fazer uma previsão a partir do t= 6,usando como origem t = 5
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís usando como origem t = 5.
t 1 2 3 4 5 6 7 8
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e
t 1 2 3 4 5 6 7 8X 47 64 23 71 38 64 55 41 t 9 10 11 12 13 14 15 16 X 59 48 71 35 57 40 58 44
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia X 59 48 71 35 57 40 58 44
Curso
dCu
rso d
Previsão de Séries com Tendênciares
arial
resari
alPrevisão de Séries com Tendência
NtaTZ 1=→++= μ
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr NtaTZ ttt ,,11 K=→++= μ
0,3
é í l d é i
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís
0,15
0,2
0,25μt é o nível da série
T1 é a tendência (linear
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e
0,05
0,1
0,151 (em t)
A é um ruído branco
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia
-0,05
00 20 40 60 80 100 120
At é um ruído branco
Curso
dCu
rso d
MMS e AES não são adequados quando existe tendência
Alisamento Exponencial Linear de Brown (AELB)Alisamento Exponencial Linear de Brown (AELB)res
arial
resari
al • Série com tendência linear• Calcular um segundo valor exponencialmente
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr
( )
Calcular um segundo valor exponencialmente alisado
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís ( ) 111 ,1 ZZZZZ ttt =−+= −αα
A ã d i ã fi
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e • A equação de previsão fica:
^^^
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia )()( 21 htbbhZ t ++=
Curso
dCu
rso d
• b1 e b2 são as estimativas dos parâmetros daequação linear simples, tendo como origem oinstante correspondente à primeira observação.
Mudando a origem para um tempo t qualquer,res
arial
resari
alg p p q q
temos:
hbahX^^^
)( +
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr hbahX ttt ,2,1)( +=
Em que:
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís
ttt XXa −= 21^
Em que:
)(,2
^
ttt XXb −=α
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e ttt XXa −= 2,1 )(
1,2 ttt
−α
A constante de alisamento pode ser
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia • A constante de alisamento pode ser
determinada de modo que minimize o EQM
Curso
dCu
rso d
• O AELB possui todas as vantagens do AES,alem de ser adequado às séries queq qapresentam tendência linear.
Exemplo: Usar o AELB com α = 0,2, parares
arial
resari
alExemplo: Usar o AELB com α 0,2, paraajustar a série abaixo e para fazer previsõesaté t = 30 usando com referência t = 24
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr até t 30 usando com referência t 24
t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 X 238 251 256 263 270 275 280 290 298 305 310 318
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís X 238 251 256 263 270 275 280 290 298 305 310 318
t 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 X 329 343 359 375 383 393 400 407 415 424 436 449
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia
Curso
dCu
rso d
ALISAMENTO EXPONENCIAL DE HOLT res
arial
resari
al (AEH) – 2 parâmetros• AES para séries com tendência subestimam ou
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr AES para séries com tendência subestimam ou
superestimam os valores reais
dif d AELB li di t t é i
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís • difere do AELB por alisar diretamente a série
• utiliza uma nova constante de suavização para
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e
utiliza uma nova constante de suavização paramodelar a tendência da série
O l d í l d t dê i d é i
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia • Os valores do nível e da tendência da série, no
instante t, serão estimados por:
Curso
dCu
rso d
NteATZAAZZ tttt ,....,210),)(1(^^
1
^
1 =<<+−+= −−
NteCTCZZCT tttt ,...,210,)1()( 1
^
1
^=<<−+−= −−
A previsão para um valor Z com origem em t éres
arial
resari
alA previsão para um valor Zt+h, com origem em t é dada por:
^^
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr
ttt ThZhZ )( +=Portanto a previsão é feita adicionando se ao
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís • Portanto, a previsão é feita adicionando-se ao
valor básico a tendência multiplicada pelonúmero de passos a frente que se deseja
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e número de passos a frente que se deseja
prever.
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia • A atualização da previsão tendo-se uma nova
observação será dada por:
Curso
dCu
rso d ç p
NteATZAAZZ tttt ,....,210),)(1(^^
^
11 =<<+−+= ++
NteCTCZZCT tttt ,...,210,)1()(^
1
^
1 =<<−+−= ++
^^res
arial
resari
al 111 )1()1( +++ −+=− ttt ThZhZbe
rlând
iabe
rlând
iaáti
ca
ática
sti
ca Em
prsti
ca Em
pr
• deve-se fazer hipóteses sobre os valoresiniciais
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís iniciais
22
^ZZeZZT ==
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e 22122 ZZeZZT =−=
C f
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia • A seleção dos valores de A e C são feitas de tal
forma que o EQM seja mínimo
Curso
dCu
rso d
Exemplo:3 5 106 7
resari
alres
arial
ano mês z1 1 71.61 2 72.51 3 73.51 4 74 5
3 5 106.73 6 107.93 7 110.43 8 112.33 9 114.1
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr 1 4 74.5
1 5 75.21 6 76.31 7 76.91 8 78.1
3 10 116.13 11 117.13 12 117.54 1 118.94 2 120.2
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís 1 9 80
1 10 80.91 11 81.71 12 82.92 1 84 7
4 3 122.14 4 124.24 5 125.24 6 126.24 7 127 6
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e
2 1 84.72 2 86.32 3 88.82 4 90.92 5 91.5
4 7 127.64 8 128.94 9 130.54 10 1324 11 133.24 12 133 9
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia 2 6 93.4
2 7 94.62 8 95.92 9 96.72 10 97 8
4 12 133.95 1 183.15 2 187.55 3 189.95 4 194.1
Curso
dCu
rso d 2 10 97.8
2 11 99.12 12 1003 1 102.23 2 103.7
5 5 197.85 6 2045 7 2085 8 2155 9 219
3 3 104.73 4 106
5 9 2195 10 223
5 11 2275 12 2306 1 238
8 5 5108 6 5358 7 558
resari
alres
arial
6 1 2386 2 2516 3 2566 4 2636 5 270
8 7 5588 8 5728 9 5868 10 602
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr 6 6 275
6 7 2806 8 2906 9 298
8 11 6178 12 6289 1 6539 2 667
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís 6 10 305
6 11 3106 12 3187 1 3297 2 343
9 3 7079 4 7319 5 7469 6 778
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e 7 2 343
7 3 3597 4 3757 5 3837 6 393
9 6 7789 7 8129 8 8409 9 8499 10 936
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia 7 6 393
7 7 4007 8 4077 9 4157 10 424
9 10 9369 11 9809 12 1049
10 1 109610 2 1133
Curso
dCu
rso d 7 11 436
7 12 4498 1 4568 2 474
10 2 113310 3 118210 4 123710 5 1309
8 3 4868 4 495
10 6 1374
Previsão de Séries Sazonais res
arial
resari
al
NtaTFZ ttttt ,,1, K=++= μSazonalidade M ltiplicati a
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr NtaTFZ ttttt ,,1 , K++μ
FTZ
Multiplicativa
Sazonalidade
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís
ttttt aFTZ +++= μAditiva
• Gera se três eq ações de alisamento ma para a
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e • Gera-se três equações de alisamento, uma para a
sazonalidade, uma para a tendência e outra para a série
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia • Este método é chamado de Alisamento Exponencial
Sazonal de Holt-Winters (HW)
Curso
dCu
rso d
• Tem grande aplicabilidade por considerar as trêscomponentes do modelocomponentes do modelo
Método HW MultiplicativoMétodo HW Multiplicativores
arial
resari
al
Equações de Alisamento:
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr
( ) NstDFDZ
DF tt
t ,,1,10,1 K))
+=<<→−+⎬⎫
⎨⎧
=
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís ( ) NstDFD
ZDF st
tt ,,1 ,10 ,1 K+<<→+
⎭⎬
⎩⎨ −
( )Z ⎫⎧
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e ( )( ) NstATZA
FZ
AZ ttst
tt ,,1 ,10 1 11 K
)) +=<<→+−+
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
= −−−
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia ( ) ( ) NstCTCZZCT tttt ,,1 ,10 ,1 11 K
))+=<<→−+−= −−
Curso
dCu
rso d
Previsão de série sazonal multiplicativares
arial
resari
alp
shFThZhZ shtttt ,....,2,1,)()(^^^
=+= −+
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr
sshFThZhZ shtttt
t
2,...,1,)()(
)()(
2
^^^+=+= −+
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís
MMAtualizações das previsões
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e
Atualizações das previsões
stt
t FDZZDF 1
^1
1
^)1( −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛= −+
++
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia
t
t
TZAZAZ
Z^^
1
1
))(1( ++⎟⎞
⎜⎛
⎠⎝
+
+
Curso
dCu
rso d tt
st
t TZAF
AZ
^^
1
^1 ))(1( +−+⎟⎟
⎠⎜⎜
⎝=
−+
+
tttt TCZZCT 11 )1()( −+−= ++
Nova previsãores
arial
resari
alNova previsão
1,....,2,1,))1(()1( 1
^
1
^
1
^
1 +=−+=− −+++++ shFThZhZ shtttt
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr
MM
12,...,2,))1(()1( 21
^
1
^
11
^++=−+=− −+++++ sshFThZhZ shtttt
t
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís MM
Valores iniciais das equações:
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e
sjZ
F jj 21
^==
Valores iniciais das equações:
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia sj
Zs
F s
kk
j ,...,2,1,1
1∑= ∑=
s
ks ZZ 1
Curso
dCu
rso d ∑
=ks 1
0^
=sT 0=sT
Método HW AditivoMétodo HW Aditivores
arial
resari
al
Equações de Alisamento:
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr
NstDFDZZDF 110)1()(^^
+=<<+=
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís
NstATZAFZAZ
NstDFDZZDF
ttsttt
stttt
,...,1,10),)(1()(
,...,1,10,)1()(
1
^
1
^^+=<<+−+−=
+=<<−+−=
−−−
−
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e
NstCTCZZCT tttt ,...,1,10,)1()( 1
^
1
^+=<<−+−= −−
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia
Curso
dCu
rso d
Previsão de série sazonal aditivares
arial
resari
alPrevisão de série sazonal aditiva
stttt FDZZDF 1
^
111
^)1()( −+−= −++++
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr
ttsttt
t
TZAFZAZ^^
1
^
11
1
))(1()(
)()(
+−+−= −+++
+
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís
tttt
ttsttt
TCZZCT^
11
^
111
)1()(
))(()(
−+−= ++
+++
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e
Atualizações:tttt 11 )()( ++
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia
shFThZhZ shtttt ,....,2,1,)(^^^
=++= −+
Curso
dCu
rso d
sshFThZhZ shtttt 2,...,1,)( 2
^^^+=++= −+
MM
Exemplo:2 9 10002 10 5022 11 512
resari
alres
arial
ano mês Z1 1 1431 2 1381 3 195
2 12 3003 1 3593 2 2643 3 315
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr 1 3 195
1 4 2251 5 1751 6 389
3 4 3613 5 4143 6 6473 7 836
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís 1 6 389
1 7 4541 8 6181 9 770
3 8 9013 9 11043 10 8743 11 683
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e 1 10 564
1 11 3271 12 235
3 12 3524 1 3324 2 2444 3 320
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia 2 1 189
2 2 3262 3 2892 4 293
4 3 3204 4 4374 5 5444 6 8304 7 1011
Curso
dCu
rso d 2 4 293
2 5 2792 6 5522 7 664
4 7 10114 8 10814 9 14004 10 11234 11 7132 7 664 4 11 7134 12 487
55 22 M d lM d l NãNã A t átiA t átires
arial
resari
al 55..22.. ModelosModelos NãoNão AutomáticosAutomáticos
• A obtenção dos parâmetros dos modelos e igem
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr • A obtenção dos parâmetros dos modelos exigem
um conhecimento mais apurado e exige programascomputacionais mais específicos
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís computacionais mais específicos
• Nesta classe os modelos mais utilizados são os
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e modelos de BOX-JENKINS
• Vamos abordar este tópico de forma sucinta e
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia • Vamos abordar este tópico de forma sucinta e
discutir resultados de modelos gerados porprogramas computacionais
Curso
dCu
rso d programas computacionais.
Modelos de Box & JenkinsModelos de Box & Jenkinsres
arial
resari
al
Box & Jenkins propuseram um métodoit ti id tifi ã d d l d
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr iterativo para a identificação do modelo de
uma série temporal – Modelo ARIMA.
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís Este método envolve investigações sobre os
dados da série, sem a necessidade de se teri f õ é i b é i
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e informações prévias sobre a série
Este é um procedimento muito poderoso,
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia p p ,
porém necessita de um conhecimento muitoapurado
Curso
dCu
rso d
Procedimentos de determinação do modeloProcedimentos de determinação do modelores
arial
resari
al
Escolhe um ou mais modelos candidatos Estagio 1: Identificação
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr ARIMA
Estagio 1: Identificação
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís Estima os parâmetros dos modelos
escolhidosEstágio 2: Estimação
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e
Checagem dos modelos quando à adequaçãoEstágio 3: Verificação
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia
Modelo é ti f tó i ?
PrevisãoSim Não
Curso
dCu
rso d satisfatório?
Modelo de Média Móvel (MA(q))res
arial
resari
al Seja et um processo puramente aleatório com médiazero e variância σ2
e. Um processo Zt é chamado ded édi ó i d d MA( )
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr processo de médias móveis de ordem q, ou MA(q),
se:
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís Zt = et +β1et-1+ ... + βqet-q
Com:
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e
E(Zt) = 0 e Var(Zt) = (1+β12 + .... + βq
2) σ2e
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia
Para q = 1, temos MA(1) e a função autocorrelaçãofica: ⎧ 01 k
Curso
dCu
rso d fica:
⎪
⎪⎨
⎧
>=
= 1001
)( kk
kρ⎪⎩ ±=+ 1)1( 2
11 Kββ
O MA(1) d itres
arial
resari
al• O processo MA(1) pode ser reescrito comouma regressão de ordem infinita nos seuspróprios alores defasados
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr próprios valores defasados.
• Para um processo MA(q) esta condição pode
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís p (q) ç p
ser expressa usando-se o operador detranslação para o passado B, que é definido
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e
ç p p , qcomo:
BjZ = Z para todo j
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia BjZt = Zt-j, para todo j.
• Desta forma, a equação da MA(q) fica:
Curso
dCu
rso d , q ç (q)
Zt = (1 + β1B + β2B2 + ... + βqBq)et
Modelo autoregressivo (AR(p))res
arial
resari
al Considerando et um processo puramente aleatório,pode-se definir o processo autoregressivo de
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr pode se definir o processo autoregressivo de
ordem p (AR(p)), como:
Z Z + + Z +
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís Zt = α1Zt-1+....+ αpZt-p + et
• similaridade com a regressão múltipla valores
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e passados são as regressoras
• O processo AR(1) pode ser escrito como:
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia O processo AR(1) pode ser escrito como:
Zt = αZt-1 + et
Curso
dCu
rso d
• Usando o operador de translação para o passadoa equação acima fica:q ç
(1-αB)Zt = et
Ou equivalentemente:res
arial
resari
al .......)1()1
1( 22
122 +++=+++=
−= −− tttttt eeeBBee
BZ αααα
α
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr
E(Xt) = 0 Var(Xt) = σe2/(1-α2) r(k) = αk
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís • O modelo AR(p) usando operador de translação
para o passado é:
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e
tpt eBBB
Z )1
1( 221 ααα −−−−
=
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia p BBB ...1 21 ααα
A autocorrelação será dada pela equação de Yule-
Curso
dCu
rso d A autocorrelação será dada pela equação de Yule
Walker
)()()( kkk )(...)1()( 1 pkrkrkr p −++−= αα ,Para k>0
Autocorrelações parciaisres
arial
resari
al • No processo AR(p), o último coef. αp mede o“excesso de correlação” na defasagem p que não é
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr excesso de correlação na defasagem p que não é
levado em conta no modelo AR(p-1).
E t é h d d é i f d
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís • Este é chamado de p-ésimo coef. de
autocorrelação parcial.
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e • Para k = 1, 2, ... Temos a função autocorrelação
parcial
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia observações:
• No modelo AR(p) os r(k) são nulos para k > p
Curso
dCu
rso d • No modelo AR(p) os r(k) são nulos para k > p
• O fato de r(k) = 0 para k>p é sugerido como umaferramenta para a determinação da ordem p doprocesso
Modelos Mistos (ARMA(p,q))res
arial
resari
al • Combinação dos modelos AR e MA objetivo é arepresentação da série com um número menor de
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr representação da série com um número menor de
parâmetros.
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís • O modelo ARMA(p,q) é dado por:
Z = α Z + +α Z +e + β e + +β e
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e Zt = α1Zt-1+ ... +αpZt-p+et-1 + β1et-1+ ... +βqet-q
se p=0 ou q=0 o modelo passa a ser um MA(q) ou
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia AR(p).
• Para operador de translação para o passado tem
Curso
dCu
rso d • Para operador de translação para o passado, tem-
se:
(1-α1B - α2B2 - ... - αpBp)Zt = (1+ β1B + β2B2 +βqBq)et
Modelos ARMA Integrados (ARIMA (p,d,q))res
arial
resari
al • Modelo ARMA (p,d,q) no qual Zt é substituídopela d-esima diferença
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr pela d esima diferença.
• Denotando a série diferenciada por:
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís
td
td
t ZBZW )1( −=∇=
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e • ARIMA(p, d, q) é dado por
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia
qtqttptptt eeeWWW −−−− ++++++= ββαα ...... 1111
á 1 2
Curso
dCu
rso d • Na prática se utiliza d=1 e excepcionalmente d =2
• Passeio aleatório ARIMA(0,1,0)( , , )
Relacionando a fac com o modelo das sériesres
arial
resari
alRelacionando a fac com o modelo das séries
• fac com queda lenta de r(k) nãoestacionaridade série precisa ser diferenciada
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr estacionaridade série precisa ser diferenciada
ARIMA(p,d,q)
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís • Se r(1) é significativamente diferente de zero e
demais r estão próximos de zero usar MA(1)
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e • Se r(1), r(2), r(3), ... Parecem estar decaindo
exponencialmente AR(1)
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia
p ( )
• ARMA (p, q) fac com decaimento exponencialou oscilatório após q e facp com mesmo
Curso
dCu
rso d ou oscilatório após q e facp com mesmo
comportamento após p.
Observação: Utiliza-se métodos iterativos parares
arial
resari
alç p
minimizar a soma de quadrados de resíduos e obter asestimativas dos parâmetros dos modelos de Box-J ki
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr Jenkins
Adequação do Modelo
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís Adequação do Modelo
a) Análise dos resíduos
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e • distribuição aleatória em torno de zero com
variância constante e não correlacionados
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia
• Se a variância dos resíduos for crescentetransformação logarítmica pode resolver
Curso
dCu
rso d transformação logarítmica pode resolver
• fenômeno de não constância chamado del tilid dvolatilidade
• correlação serial de resíduos uma ou maisres
arial
resari
alcorrelação serial de resíduos uma ou mais
característica da série não foi adequadamentedescrita pelo modelo
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr descrita pelo modelo
• representar graficamente os resíduos e suat l
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís autocorrelograma
• existem testes estatístico para verificar a
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e
e ste testes estat st co pa a e ca asignificância do resíduos, mas podemos usar afac dos resíduos com os respectivos intervalos
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia p
de confiança. Se a autocorrelações dosresíduos estiverem dentro do IC, o modelo é
Curso
dCu
rso d ,
adequado.
O t t t di ti• Outros testes veremos e discutiremosquando da utilização do softwares
Previsão usando modelos ARMA e ARIMAres
arial
resari
alPrevisão usando modelos ARMA e ARIMA
• As previsões podem ser obtidas usando-se
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr As previsões podem ser obtidas usando se
diretamente a equação do modelo
E l d l SARIMA(1 0 0) ((0 1 1)
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís • Exemplo modelo SARIMA(1,0,0) x ((0,1,1)12
Equação do modelo:
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e (1-αB)(1-B12)Zt = (1+θB12)et
i l t t
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia ou equivalentemente:
Zt = Zt 12 + α(Zt 1 – Zt 13) + et +θet 12
Curso
dCu
rso d Zt Zt-12 α(Zt-1 Zt-13) et θet-12
resari
alres
arial •Nesse caso, as previsões 1 e 2 passos à frente
ficam:
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr
111211
^)()1( −−− +−+= nnnnn eZZZZ θα
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís
1011
^
10
^))1(()2( −−− +−+= nnnnn eZZZZ θα
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e
• Previsões para horizontes maiores podem serobtidas recursivamente
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia obtidas recursivamente
Curso
dCu
rso d
resari
alres
arial • Modelos autoregressivos (AR(p)) Função
de previsão
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr
...)1( 11
^
ptptt ZZZ αα ++= +−
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís
)1()2(
)(^^
11 ptpt
ZZZ αα ++=
+−
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e ...)1()2( 21 ptptt ZZZ αα ++= +−
M
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia
)1()()1(^^^ZpZpZ αα +++
M
Curso
dCu
rso d )1(...)()1( 1 tptt ZpZpZ αα ++=+
• Modelos médias móveis (MA(q)) Funçãores
arial
resari
al• Modelos médias móveis (MA(q)) Função de previsão
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr
...)1( 11
^++= +Z qtqtt εβεβ
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís
)2(
)(^
11
++=
+−
ZZ
qtqtt
βεβ
ββ
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e ...)2( 22 ++= +−ZZ qtqtt βεβ
M
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia
)(^
=qZ εβ
M
Curso
dCu
rso d
210)(
)(^
=qZ tqt εβ
,....2,1,0)( ==+ jjqZ
TRANSFORMAÇÕESres
arial
resari
alÇ
• Existe situações em que é necessário fazer a
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr Existe situações em que é necessário fazer a
transformação dos dados antes da análise dasérie temporal
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís série temporal
• Transformação logarítmica é a mais usual
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e • Previsões são obtidas para série transformada
necessidade de ser transformada novamente
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia necessidade de ser transformada novamente
para a escala original
Curso
dCu
rso d
• Abordagem mais simples transformaçãores
arial
resari
alg p ç
inversa, por exemplo:
)l (ZY
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr )log(^^
ZY tt =
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís ))(exp()( kYkZ nn =
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e
• previsões via transformações inversas
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia
p çgeralmente são viesadas
alternativa usar intervalos de previsão
Curso
dCu
rso d • alternativa usar intervalos de previsão
boas propriedades estatísticas
PERFORMANCE PREDITIVAres
arial
resari
alPERFORMANCE PREDITIVA• Comparação de dois ou mais modelosbaseado em erros de predição
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr baseado em erros de predição
• Comparar erros de previsão com os erros dopasseio aleatório estatística U de Theil
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís passeio aleatório estatística U de Theil
∑−1
2^))((
n
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e ∑=
+ −= 1
1
21 ))((
nt
t tZZU
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia
∑−
=+ −
1
1
21 )(
n
ttt ZZ
Curso
dCu
rso d 1t
• valores maiores do que 1 erros de previsãograndesg
• ideal valores de U menores que 1
• Outras forma:res
arial
resari
al - comparar o erro quadrático médio ou o erroabsoluto médio (modulo dos erros) para diferentes
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr absoluto médio (modulo dos erros) para diferentes
modelos
ti d l l i d l
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís - estimar o modelo excluindo algumas
observações finais e depois usar o modelo paraprevê las comparar valores previstos com
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e prevê-las comparar valores previstos com
valores reais
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia
Curso
dCu
rso d
CRITÉRIOS DE INFORMAÇÃOres
arial
resari
alÇ
• forma de “discriminar” entre modeloscompetidores
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr competidores
• considera a qualidade do ajuste e penalizam a
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís inclusão de parâmetros extras
• regra básica selecionar o modelo cujo
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e regra básica selecionar o modelo cujo
critério de informação calculado seja mínimo.
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia • Os mais famosos e utilizados são: o AIC (
Critério de Informação de Akaike) e o BIC
Curso
dCu
rso d
(Critério de Informação Bayesiano)
a)Critério de Informação de Akaike (AIC)res
arial
resari
al AIC = -2logverossimilhança maximizada + 2m
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr m é o número de parâmetros Ex.: modelo
ARMA(p,q) m = p+q+1
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís
Para dados normalmente distribuídos e usando-seestimativas de máxima verossimilhança para os
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e parâmetros, tem-se:
2^
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia +=
2
2)log( mnAIC σ ε
Curso
dCu
rso d
∑= 22^ 1
tnεσ ε ∑n
b) Critério de Informação Baysiano (BIC)res
arial
resari
alb) Critério de Informação Baysiano (BIC)BIC = -2 log verossimilhança maximizada + m +mlogn
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr
• O BIC penaliza mais a inclusão de novosparâmetros do que o AIC
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís parâmetros do que o AIC
• Tanto o AIC quanto o BIC não devem ser
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e analisados considerando apenas um modelo
• Estes critérios podem assumir valores
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia Estes critérios podem assumir valores
negativos dependem da forma da função deverossimilhança
Curso
dCu
rso d verossimilhança
Exemplo 1: Aplicar os modelos de Box-Jenkins aosres
arial
resari
alExemplo 1: Aplicar os modelos de Box-Jenkins aosdados de vendas do produto X.
Ano
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr Ano
mês 1999 2000 2001 2002jan 346 456.91 582 889.53 691 436.94 658 077.62fev 373 658 42 553 508 05 568 375 61 645 680 37
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís fev 373 658.42 553 508.05 568 375.61 645 680.37
mar 521 747.80 538 282.97 700 132.33 739 147.07 abr 406 768.37 436 758.55 692 094.73 833 610.48 mai 408 681 13 571 327 25 809 750 86 806 457 72
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e mai 408 681.13 571 327.25 809 750.86 806 457.72
jun 401 295.02 659 906.87 799 857.16 742 798.54 jul 437 569.24 647 799.85 877 810.23 851 623.08 ago 417 755 25 656 213 85 743 052 29 722 818 62
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia ago 417 755.25 656 213.85 743 052.29 722 818.62
set 498 464.86 593 066.11 675 614.61 780 708.07out 491 050.72 596 377.40 675 354.57 842 930.23nov 485 456 17 637 569 78 680 250 00 856 114 67
Curso
dCu
rso d nov 485 456.17 637 569.78 680 250.00 856 114.67
dez 500 989.96 676 565.00 606 311.87 858 120.06
resari
alres
arial
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia
Curso
dCu
rso d
resari
alres
arial
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
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ializa
ção e
ializa
ção e
Unive
rsid
Unive
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Fac
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tatís
em Es
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idade
Fede
idade
Fede
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de de
culda
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ializa
ção e
ializa
ção e
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rsid
Unive
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de Es
pecia
de Es
pecia
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rso d
resari
alres
arial
12
Legend
VENDAS
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
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stica
Empr
stica
Empr
10
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís
8
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e
6
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia
4 X 1E+005
1999 2000 2001 2002 2003
Curso
dCu
rso d
resari
alres
arial
12
Legend
VENDAS
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr
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mát
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tatís
em Es
tatís
8
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Fede
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culda
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ção e
ializa
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pecia
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pecia 4
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1999 2000 2001 2002 2003
Curso
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e Mate
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em Es
tatís
em Es
tatís
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia
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rso d
resari
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e Mate
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em Es
tatís
em Es
tatís
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia
Curso
dCu
rso d
Exemplo 2 – serie de produçãores
arial
resari
alExemplo 2 serie de produção
mês TotalJan-80 694.84Feb-80 645.52
Jan-82 630.69Feb-82 614.96
Jan-84 623.97Feb-84 635.52
Jan-86 803.48Feb-86 749.18
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr Mar-80 690.91
Apr-80 661.98May-80 706.46Jun-80 690.49
Mar-82 712.64Apr-82 660.96May-82 692.24Jun-82 694.92
Mar-84 663.39Apr-84 626.80May-84 692.86Jun-84 670.10
Feb 86 749.18Mar-86 693.17Apr-86 705.40May-86 775.32Jun-86 808.29
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís Jul-80 732.28
Aug-80 701.09Sep-80 702.20Oct-80 739.23
Jul-82 724.06Aug-82 707.78Sep-82 669.95Oct-82 648.34
Jul-84 674.18Aug-84 711.67Sep-84 677.40Oct-84 750.17
Jun 86 808.29Jul-86 920.49
Aug-86 892.34Sep-86 898.36Oct-86 941.78
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e Nov-80 685.82
Dec-80 658.69Jan-81 683.07Feb-81 653.32
Nov-82 647.38Dec-82 610.27Jan-83 610.13Feb-83 588.31
Nov-84 732.46Dec-84 651.57Jan-85 733.41Feb-85 665.38
Oct 86 941.78Nov-86 854.26Dec-86 829.94Jan-87 888.97Feb-87 873 68
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia Mar-81 669.68
Apr-81 602.19May-81 598.35Jun-81 580.33
Mar-83 713.22Apr-83 661.11May-83 681.53Jun-83 686.28
Mar-85 707.37Apr-85 652.84May-85 702.31Jun-85 629.32
Feb 87 873.68Mar-87 921.70Apr-87 905.08May-87 903.18Jun-87 782 22
Curso
dCu
rso d Jul-81 618.56Aug-81 623.57Sep-81 637.14Oct-81 701.52
Jul-83 674.23Aug-83 668.02Sep-83 678.86Oct-83 689.28
Jun 85 629.32Jul-85 690.21
Aug-85 749.78Sep-85 736.48Oct-85 809.87
Jun 87 782.22Jul-87 722.22
Aug-87 743.15Sep-87 807.50Oct-87 832 39
Nov-81 670.74Dec-81 650.05
Nov-83 669.46Dec-83 591.90
Oct 85 809.87Nov-85 754.58Dec-85 730.05
Oct 87 832.39Nov-87 784.81Dec-87 725.91
Jan-88 725.75Feb-88 681 29
Jan-90 824.01F b 90 789 16
Jan-92 704.80F b 92 748 29
Jan-94 975.38F b 94 885 01
resari
alres
arial
Feb-88 681.29Mar-88 752.05Apr-88 701.25May-88 723.03
Feb-90 789.16Mar-90 579.64Apr-90 413.55May-90 726.72
Feb-92 748.29Mar-92 824.88Apr-92 766.13May-92 782.28
Feb-94 885.01Mar-94 1,041.93Apr-94 941.75May-94 1,038.71
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr Jun-88 764.76
Jul-88 781.99Aug-88 828.26Sep 88 818 28
yJun-90 802.06Jul-90 976.00
Aug-90 997.74Sep 90 902 16
yJun-92 796.57Jul-92 847.99
Aug-92 836.79Sep 92 893 24
y ,Jun-94 1,031.95Jul-94 1,022.46
Aug-94 1,117.57Sep 94 1 170 06
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís Sep-88 818.28
Oct-88 769.29Nov-88 784.71Dec-88 741.17
Sep-90 902.16Oct-90 887.30Nov-90 739.38Dec-90 516.47
Sep-92 893.24Oct-92 912.22Nov-92 878.34Dec-92 786.39
Sep-94 1,170.06Oct-94 1,211.33Nov-94 1,257.07Dec-94 1,259.43
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e Jan-89 706.62
Feb-89 623.63Mar-89 741.16Apr 89 791 76
Jan-91 659.39Feb-91 644.79Mar-91 812.79Apr 91 927 66
Jan-93 898.39Feb-93 903.81Mar-93 1,045.07Apr 93 979 01
Jan-95 1,285.61Feb-95 1,167.61Mar-95 1,360.50Apr-95 1 218 13
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia Apr-89 791.76
May-89 887.02Jun-89 941.18Jul-89 950.64
Apr-91 927.66May-91 972.76Jun-91 943.17Jul-91 1,031.75
Apr-93 979.01May-93 1,028.44Jun-93 990.85Jul-93 993.11
Apr-95 1,218.13May-95 1,229.34Jun-95 997.36Jul-95 929.16
A 95 1 040 64
Curso
dCu
rso d
Aug-89 1,056.02Sep-89 988.58Oct-89 1,013.05N 89 953 25
Aug-91 1,046.58Sep-91 955.25Oct-91 929.97Nov-91 758 36
Aug-93 979.69Sep-93 969.98Oct-93 1,036.92Nov-93 1 020 34
Aug-95 1,040.64Sep-95 1,052.90Oct-95 1,121.30Nov-95 1,127.47Nov-89 953.25
Dec-89 806.00Nov-91 758.36Dec-91 553.00
Nov-93 1,020.34Dec-93 930.43
,Dec-95 1,008.03
Jan-96 1,118.19Feb-96 1,090.69
Jan-98 1,251.28Feb-98 1,278.20
Jan-00 1,511.50Feb-00 1,565.79
Jan-02 1,740.41Feb-02 1,612.15
resari
alres
arial
Feb 96 1,090.69Mar-96 1,194.22Apr-96 1,189.41May-96 1,238.15
Feb 98 1,278.20Mar-98 1,421.28Apr-98 1,337.01May-98 1,351.62
Feb 00 1,565.79Mar-00 1,705.45Apr-00 1,649.72May-00 1,726.68
1,612.15Mar-02 1,825.50Apr-02 1,891.19May-02 1,857.21J 02 1 657 38
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr Jun-96 1,185.92
Jul-96 1,235.04Aug-96 1,276.58Sep-96 1 274 41
Jun-98 1,318.39Jul-98 1,326.12
Aug-98 1,365.14Sep-98 1 397 88
Jun-00 1,678.34Jul-00 1,708.03
Aug-00 1,837.70Sep-00 1 744 04
Jun-02 1,657.38Jul-02 1,767.28
Aug-02 1,933.37Sep-02 1 829 91
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís Sep-96 1,274.41
Oct-96 1,363.45Nov-96 1,390.11Dec-96 1,192.12
Sep-98 1,397.88Oct-98 1,435.41Nov-98 1,388.55Dec-98 1,287.85
Sep-00 1,744.04Oct-00 1,829.56Nov-00 1,830.55Dec-00 1,702.01
Sep 02 1,829.91Oct-02 1,925.58Nov-02 1,858.13Dec-02 1,543.02
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e Jan-97 1,269.28
Feb-97 1,175.03Mar-97 1,262.55A 97 1 309 72
Jan-99 1,291.39Feb-99 1,251.49Mar-99 1,431.23A 99 1 342 69
Jan-01 1,731.94Feb-01 1,573.83Mar-01 1,797.19A 01 1 728 25
Jan-03 1,541.24Feb-03 1,510.27Mar-03 1,590.06Apr 03 1 581 39
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia Apr-97 1,309.72
May-97 1,334.01Jun-97 1,365.03Jul-97 1 386 43
Apr-99 1,342.69May-99 1,445.69Jun-99 1,436.36Jul-99 1 368 50
Apr-01 1,728.25May-01 1,753.86Jun-01 1,664.08Jul-01 1 690 34
Apr-03 1,581.39May-03 1,534.92Jun-03 1,440.34Jul-03 1,499.09
Curso
dCu
rso d Jul 97 1,386.43
Aug-97 1,373.10Sep-97 1,402.51Oct-97 1,499.04
Jul 99 1,368.50Aug-99 1,452.12Sep-99 1,454.85Oct-99 1,457.14
Jul 01 1,690.34Aug-01 1,740.12Sep-01 1,657.58Oct-01 1,847.96
,Aug-03 1,548.85Sep-03 1,650.27Oct-03 1,770.80N 03 1 712 82Nov-97 1,363.59
Dec-97 1,153.26Nov-99 1,467.55Dec-99 1,362.81
Nov-01 1,812.10Dec-01 1,612.97
Nov-03 1,712.82Dec-03 1,479.11
Jan-04 1,576.08Feb-04 1,540.61
Jan-06 1,740.15Feb-06 1,648.34
resari
alres
arial Mar-04 1,798.57
Apr-04 1,715.38May-04 1,772.13J 04 1 789 16
Feb 06 1,648.34Mar-06 1,874.96Apr-06 1,742.12May-06 1,887.56
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr Jun-04 1,789.16
Jul-04 1,892.56Aug-04 1,862.69Sep-04 1 795 85
Jun-06 1,785.32Jul-06 1,767.01
Aug-06 1,886.49Sep 06 1 852 94
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís Sep 04 1,795.85
Oct-04 1,831.56Nov-04 1,808.20Dec-04 1,685.53
Sep-06 1,852.94Oct-06 1,958.64Nov-06 1,933.91Dec-06 1,709.73
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e Jan-05 1,614.20
Feb-05 1,548.39Mar-05 1,808.66A 05
, 09 3Jan-07 1,766.14Feb-07 1,702.68Mar-07 1,860.30
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia Apr-05 1,805.94
May-05 1,835.95Jun-05 1,868.66Jul-05 1 808 87
Apr-07 1,801.64May-07 1,873.88Jun-07 1,824.11Jul 07 1 839 44
Curso
dCu
rso d Jul-05 1,808.87Aug-05 1,890.06Sep-05 1,892.07Oct-05 1,841.45
Jul-07 1,839.44Aug-07 1,908.10Sep-07 1,904.07Oct-07 1,952.20,
Nov-05 1,877.75Dec-05 1,772.29
Oct 07 1,952.20Nov-07 1,917.00Dec-07 1,768.04
resari
alres
arial
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr
eral d
e Ub
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mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia
Curso
dCu
rso d
resari
alres
arial
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
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stica
Empr
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Empr
eral d
e Ub
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mát
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em Es
tatís
em Es
tatís
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia
Curso
dCu
rso d
resari
alres
arial
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr
eral d
e Ub
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e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia
Curso
dCu
rso d
resari
alres
arial
2000
Legend
PRODUCAO
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr 2000
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís 1500
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e 1000
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia
500
80 85 90 95 0 5
Curso
dCu
rso d
resari
alres
arial
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr
eral d
e Ub
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e Ub
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mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia
Curso
dCu
rso d
resari
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arial
berlâ
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berlâ
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ática
áti
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stica
Empr
stica
Empr
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mát
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mát
em Es
tatís
em Es
tatís
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia
Curso
dCu
rso d
resari
alres
arial
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia
Curso
dCu
rso d
resari
alres
arial
berlâ
ndia
berlâ
ndia
ática
áti
ca
stica
Empr
stica
Empr
“ Todos os modelos são errados mas alguns são úteis “
eral d
e Ub
eral d
e Ub
e Mate
mát
e Mate
mát
em Es
tatís
em Es
tatís
George Box
idade
Fede
idade
Fede
culda
de de
culda
de de
ializa
ção e
ializa
ção e
Unive
rsid
Unive
rsid
Fac
Fac
de Es
pecia
de Es
pecia
Curso
dCu
rso d
