Prof. Ivan Balducci

FOSJC / Unesp

Teste de TukeyComparação Múltipla de Médias

desenvolvido em 1953

John Wilder Tukey

16 de junho de 1915 – 26 de julho de 2000

J.W. Tukey

Após a IIª guerra mundial, o estatístico Wilks (da Univ. de Princeton)

deu-lhe o cargo de professor de estatística

no Depto. de Matemática da Universidade de Princeton.

Em 1965 é criado o Depto. de Estatística e ele foi nomeado chefe desse departamento da Univ. de Princeton.

*Químico pela Brown University, em 1936.** Doutor em Química, pela Brown University, (em 1937).***Doutor em Matemática, pela Univ. de Princeton, em 1939.

Teste de TukeyO teste de Tukey compara os pares

de médias, ou seja, as médias dos grupos.

Se eu estiver considerando 3 grupos: A, B e C,então, terei 3 comparações de médias: A vs B, A vs C e B vs C

Se eu estiver considerando 4 grupos,então, terei 6 comparações de médias

Se eu estiver considerando 5 grupos,então, terei 10 comparações de médias

Se eu tiver 7 grupos então…?

37

!4!3!7

3512341231234567

123567

57

Se eu tiver 7 grupos terei 35 comparações a serem realizadas

http://www.portalaction.com.br/anova/31-teste-de-tukey

Teste de Tukey

O teste proposto por Tukey (1953) é um teste exato em que,

para a família de todas as possíveis comparações duas a

duas,

a taxa de erro da família dos testes é exatamente alpha.

A estratégia de Tukey consiste em definir a menor diferença significativa. Tal procedimento utiliza a amplitude da

distribuição studentizada (q = t√2)

Fórmulas do teste de Tukey

= HSD / EPMq crit =

TabelaANOVA

Tabela

médias calculadas

Procedimento para o Teste deTukey

Calcule diferenças das médias das condições que você está comparando

Se a diferença das médias for pelo menos tão grande quanto a HSD, você pode rejeitar H0

Repita para qualquer outra comparação que precise ser realizada

Teste de Tukey

Requisito:

→o teste ANOVA já deve ter sido realizado.

→temos de ter a Tabela ANOVA.

Exemplo: Tukey HSD igual “n” por grupo, n = 12

médias dos grupos:

I II III IV V

63 82 80 77 70

Desejo Comparar essas 5 médias entre si (10 possibilidades)

Requisito: preciso da tabela ANOVA

1 x 21 x 31 x 41 x 5

2 x 32 x 42 x 53 x 43 x 5

4 x 5

Há 10 possibilidades !

Se forem aplicados 10 sucessivos testes t-Student, com erro de 5% em cada caso,

então a probabilidade de erro não é 5%, mas um valor maior, com 5 grupos é de 40,12%.

Com esse teste de Tukey se obtém

probabilidade de erro

máxima de 5%, nessas 10 comparações possíveis.

12

Com 5 grupos há 10 comparações, então, por meio de um teste t, a chance de encontrarmos ao menos uma diferença incorreta é  de 40,12 %. Verificamos com isso que a insistência em realizar muitas comparações duas a duas ao nível de significância por comparação , faz com que  obtenhamos conclusões de que dois tratamentos são diferentes, embora não sejam.

c % c % c %

1 5,00 10 40,12 15 53,672 9,75 11 43,12 20 64,153 14,26 12 45,96 30 78,534 18,55 13 48,67 40 87,145 22,62 14 51,23 50 92,30

http://www.portalaction.com.br/anova/teste-de-comparacoes-multiplas

.

Eis aqui a Tabela ANOVA:

Fonte SQ gl QM F p

Entre 2942.4 4 735.6 4.13 <.05

Dentro (erro) 9801 55 178.2

gl do erro = N-G = (5x12 = 60) – 5 = 55

Preciso, agora, do gl do resíduo e,

também ,preciso do QM do resíduo

Fonte SQ gl QM F p

Entre 2942.4 4 735.6 4.13 <.05

Dentro (erro) 9801 55 178.2

Grupos 1 2 3 4 5

Médias 63 82 80 77 70

Fonte gl QM

Grupos

Erro 55 178.2

Total

Exemplo: Tukey HSD

Grupos 1 2 3 4 5

Médias 63 82 80 77 70

Fonte SQ gl QM F p

Grupos 2942.4 4 735.6 4.13 <.05

Erro 9801.0 60-5 = 55 178.2

Total 12743.4 60-1=59

Exemplo: Tukey HSD

Grupos-> 1 2 3 4 5

Médias> 63 82 80 77 70

Fonte SQ gl QM F p

Grupos 2942.4 4 735.6 4.13 <.05

Erro 9801.0 60-5 = 55 178.2

Total 12743.4 60-1

K = 5 grupos; n = 12 por grupo, QMerro com gl = 55

Valor Tabelado de q com alpha =.05 é 3.98

34.1512

2.17898.3 n

MSqHSD error

Obtém-se o q crítico usando o correto nº de gl

Numerador = nº de grupos (médias) em comparação

Denominador = gl para QMerro = MSerro

Assim, gl = 5, 55 qcrit = 3.98 (Tabela de livro)

= 15.34 nesse caso

Quais diferenças dos pares de médias excedem esse valor?

I II III IV V 63 82 80 77 70

34.1512

2.17898.3 n

MSqHSD error

Grupos 1 2 3 4 5

1 63 0 7 14 17* 19*

2 70 0 7 10 12

3 77 0 3 5

4 80 0 2

5 82 0

Quais diferenças de pares de médias excedem esse valor de 15.34?

Diferenças entre as médias. Quais pares diferem ?

I V IV III II

63 70 77 80 82

I 63 0 7 14 17* 19*

V 70 0 7 10 12

IV 77 0 3 5

III 80 0 2

II 82 0

O valor crítico para as

diferenças entre as

médias dos grupos é

chamada de HSD

HSD = 15.34 nesse casoDiferem: 1 vs 2, 1 vs 3

HSD = 15.34

34.1512

2.17898.3 n

MSqHSD error

Grupos médiasGrupos

HomogêneosG1 63 A

G5 70 A B

G4 77 A B

G3 80 B

G2 82 B

Quais pares de médias excedem esse valor de 15.34?

diferem: 1 vs 2, 1 vs 3

Diferença honestamente significante (HSD)

Termos que devem ser familiares

Teste de Tukey

Grupos Homogêneos