Prof.ª Prof. Leonardo Garcia dos Santos Prof. Luiz Carlos ...

2016

Álgebra linear e Vetorial

Prof.ª Grazielle JenskeProf. Leonardo Garcia dos SantosProf. Luiz Carlos Pitzer

Copyright © UNIASSELVI 2016

Elaboração:

Prof.ª Grazielle Jenske

Prof. Leonardo Garcia dos Santos

Prof. Luiz Carlos Pitzer

Revisão, Diagramação e Produção:

Centro Universitário Leonardo da Vinci – UNIASSELVI

Ficha catalográfica elaborada na fonte pela Biblioteca Dante Alighieri

UNIASSELVI – Indaial.

512J51a Jenske; Grazielle

Álgebra Linear e Vetorial / Grazielle Jenske; Leonardo Garcia dos Santos; Luiz Carlos Pitzer : UNIASSELVI, 2016.

245 p. : il.

ISBN 978-85-7830-956-5

1.Álgebra. I. Centro Universitário Leonardo Da Vinci.

Impresso por:

III

apresentação

Prezado(a) acadêmico(a)! Bem-vindo(a) à disciplina de Álgebra Linear e Vetorial. Este é um ramo da matemática que surgiu do estudo minimalista de sistemas de equações lineares. Conceitos, definições, propriedades e representações gráficas farão parte dos seus estudos nesta disciplina, que tem o intuito de aprimorar seus conhecimentos da matemática algébrica, relembrando e ampliando os tópicos já vistos em sua vida de estudante do Ensino Médio.

Este caderno de estudos está dividido em três unidades que contemplam partes importantes da Álgebra Linear e Vetorial, como: matrizes, determinantes, sistemas de equações lineares, vetores, espaços vetoriais, transformações lineares e a aplicação destes conteúdos.

Na Unidade 1, você terá acesso aos conceitos iniciais de Matrizes, onde estudará suas características, propriedades e operações. Aprenderá a representar e interpretar uma tabela de números como uma matriz e a resolver as operações possíveis. Irá exercitar técnicas para o cálculo do determinante de uma matriz, compreendendo seu significado. Também estudará os modelos de resolução de sistemas lineares, sabendo interpretar dados e sugerindo soluções.

Na unidade seguinte, você terá as primeiras noções de vetores. Estas noções servirão como base para o estudo mais aprofundado no decorrer desta unidade e da unidade subsequente. Entre as noções que serão apresentadas estão as operações de vetores: soma, subtração e multiplicação por escalar. Após este conhecimento, veremos as operações entre vetores e suas aplicações na resolução de problemas geométricos que envolve o produto escalar, vetorial e misto. Por fim, na última parte desta unidade, você estará estudando sobre os espaços vetores, seus subespaços, base, dimensão, ou seja, compreendendo todo o universo onde os vetores estão contidos.

Por fim, na Unidade 3, iremos adentrar no universo da Álgebra Linear e Vetorial aplicada. Você irá conhecer o estudo das transformações lineares, que servem como referencial teórico para a aplicação das tecnologias gráficas e computacionais. Através deste conceito, iremos juntos relacionar o estudo das transformações com sua representação matricial, que irá trazer uma praticidade maior para o processo de cálculo e que nos permitirá a troca de referencial de um problema, facilitando sua resolução. Em seguida, discutiremos a aplicabilidade dos autovalores e autovetores, onde, além de suas aplicações no estudo das matrizes, você irá descobrir uma forma de relacionar um modelo analítico com sua caraterização, a partir de sua equação geral.

Queremos lembrar, que este material traz um curso introdutório da Álgebra Linear e Vetorial. Você deve se sentir curioso e instigado a pesquisar outros materiais para ampliar e completar seu aprendizado. Durante o texto, deixamos algumas sugestões e outras podem ser verificadas nas referências bibliográficas.

IV

Você já me conhece das outras disciplinas? Não? É calouro? Enfim, tanto para você que está chegando agora à UNIASSELVI quanto para você que já é veterano, há novidades em nosso material.

Na Educação a Distância, o livro impresso, entregue a todos os acadêmicos desde 2005, é o material base da disciplina. A partir de 2017, nossos livros estão de visual novo, com um formato mais prático, que cabe na bolsa e facilita a leitura.

O conteúdo continua na íntegra, mas a estrutura interna foi aperfeiçoada com nova diagramação no texto, aproveitando ao máximo o espaço da página, o que também contribui para diminuir a extração de árvores para produção de folhas de papel, por exemplo.

Assim, a UNIASSELVI, preocupando-se com o impacto de nossas ações sobre o ambiente, apresenta também este livro no formato digital. Assim, você, acadêmico, tem a possibilidade de estudá-lo com versatilidade nas telas do celular, tablet ou computador. Eu mesmo, UNI, ganhei um novo layout, você me verá frequentemente e surgirei para apresentar dicas de vídeos e outras fontes de conhecimento que complementam o assunto em questão.

Todos esses ajustes foram pensados a partir de relatos que recebemos nas pesquisas institucionais sobre os materiais impressos, para que você, nossa maior prioridade, possa continuar seus estudos com um material de qualidade.

Aproveito o momento para convidá-lo para um bate-papo sobre o Exame Nacional de Desempenho de Estudantes – ENADE. Bons estudos!

Você, aluno da Educação a Distância, deve saber que, além da curiosidade, existem outros fatores importantes para um bom desempenho: a disciplina, a organização e um horário de estudos predefinido são essenciais para que se obtenha sucesso nesta trajetória.

Esperamos que, ao término deste estudo, você consiga notar a evolução da sua matemática, nos seus conceitos e definições, pois a melhoria constante deve ser o objetivo de todo(a) acadêmico(a). Desta forma, esta disciplina pretende oportunizar a compreensão da construção dos conhecimentos aqui trabalhados e servir de subsídio para as próximas disciplinas.

Bons estudos!

Profª Grazielle JenskeProf. Leonardo Garcia dos Santos

Prof. Luiz Carlos Pitzer

NOTA

V

Olá acadêmico! Para melhorar a qualidade dos materiais ofertados a você e dinamizar ainda mais os seus estudos, a Uniasselvi disponibiliza materiais que possuem o código QR Code, que é um código que permite que você acesse um conteúdo interativo relacionado ao tema que você está estudando. Para utilizar essa ferramenta, acesse as lojas de aplicativos e baixe um leitor de QR Code. Depois, é só aproveitar mais essa facilidade para aprimorar seus estudos!

UNI

VII

UNIDADE 1 – MATRIZES E SISTEMAS LINEARES .................................................................. 1

TÓPICO 1 – MATRIZES ..................................................................................................................... 31 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................. 32 DEFINIÇÃO ....................................................................................................................................... 43 MONTAGEM DE UMA MATRIZ ................................................................................................. 5

3.1 REPRESENTAÇÃO GENÉRICA DE UMA MATRIZ ............................................................. 53.2 ELEMENTOS CORRESPONDENTES ...................................................................................... 73.3 IGUALDADE DE MATRIZES .................................................................................................... 8

4 TIPOLOGIA DAS MATRIZES ...................................................................................................... 85 PROBLEMAS QUE ENVOLVEM A DEFINIÇÃO DE MATRIZES E SUAS TIPOLOGIAS .................................................................................................................................... 146 OPERAÇÕES ENTRE MATRIZES ................................................................................................ 19

6.1 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE MATRIZES ............................................................................... 196.2 MULTIPLICAÇÃO DE UMA MATRIZ POR UM NÚMERO REAL .................................... 236.3 MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES .......................................................................................... 256.4 MATRIZ INVERSA ...................................................................................................................... 276.5 OUTROS EXEMPLOS QUE ENVOLVEM OPERAÇÕES COM MATRIZES ...................... 35

RESUMO DO TÓPICO 1 .................................................................................................................... 42AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................. 43

TÓPICO 2 – DETERMINANTES E INVERSÃO DE MATRIZES .............................................. 471 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................. 472 O CÁLCULO DO DETERMINANTE ........................................................................................... 48

2.1 DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE PRIMEIRA ORDEM .......................................... 482.2 DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE SEGUNDA ORDEM ......................................... 482.3 DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE TERCEIRA ORDEM – REGRA DE SARRUS . 492.4 COFATOR ..................................................................................................................................... 522.5 DETERMINANTE DE ORDEM N > 3 ....................................................................................... 532.6 CÁLCULO DA MATRIZ INVERSA UTILIZANDO DETERMINANTE ............................. 552.7 PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES ............................................................................ 572.8 MATRIZ SINGULAR ................................................................................................................... 60

3 ESCALONAMENTO DE MATRIZES ........................................................................................... 613.1 FORMA ESCALONADA DE UMA MATRIZ ......................................................................... 613.2 MÉTODO DE ELIMINAÇÃO DE GAUSS ............................................................................... 623.3 O ESCALONAMENTO NO CÁLCULO DO DETERMINANTE ......................................... 673.4 O ESCALONAMENTO NO CÁLCULO DA MATRIZ INVERSA ....................................... 69


TÓPICO 3 – SISTEMAS LINEARES E SEU ENSINO .................................................................. 751 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................. 752 EQUAÇÃO LINEAR ......................................................................................................................... 75

sumÁrio

VIII

2.1 SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES .................................................................................. 762.2 FORMA MATRICIAL .................................................................................................................. 772.3 MATRIZES ASSOCIADAS A UM SISTEMA LINEAR ........................................................... 772.4 CLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR ....................................................................... 78

3 RESOLUÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR ................................................................................. 813.1 REGRA DE CRAMER ................................................................................................................. 803.2 SISTEMAS EQUIVALENTES ..................................................................................................... 84

3.2.1 Propriedades dos sistemas equivalentes ......................................................................... 843.3 SISTEMAS ESCALONADOS – MÉTODO DE GAUSS .......................................................... 85

4 DISCUSSÃO DE UM SISTEMA LINEAR ................................................................................... 915 APLICAÇÕES DE SISTEMAS LINEARES .................................................................................. 94LEITURA COMPLEMENTAR ........................................................................................................... 96RESUMO DO TÓPICO 3 .................................................................................................................... 99AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................. 100

UNIDADE 2 – ESPAÇOS VETORIAIS ........................................................................................... 105

TÓPICO 1 – VETORES ....................................................................................................................... 1071 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................. 1072 DEFINIÇÃO DE VETOR ................................................................................................................. 107

2.1 VETOR POR SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS .......................................... 1092.2 REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA EM R2 E R3 .................................................................. 1092.3 VETOR DEFINIDO POR DOIS PONTOS ................................................................................ 1122.4 VETORES NA FORMA MATRICIAL ....................................................................................... 1142.5 IGUALDADE DE VETORES ...................................................................................................... 1142.6 MÓDULO OU NORMA DO VETOR ........................................................................................ 1152.7 VETOR UNITÁRIO E NORMALIZAÇÃO .............................................................................. 116

3 OPERAÇÕES ENTRE VETORES .................................................................................................. 1183.1 ADIÇÃO ........................................................................................................................................ 1183.2 SUBTRAÇÃO DE VETORES ...................................................................................................... 1213.3 MULTIPLICAÇÃO POR UM ESCALAR ................................................................................. 122


TÓPICO 2 – OPERAÇÕES VETORIAIS ......................................................................................... 1271 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................. 1272 PRODUTO ESCALAR ..................................................................................................................... 127

2.1 ÂNGULO ENTRE VETORES ..................................................................................................... 1283 PRODUTO VETORIAL ................................................................................................................... 132

3.1 CÁLCULO DE ÁREA .................................................................................................................. 1364 PRODUTO MISTO .......................................................................................................................... 142

4.1 CÁLCULO DE VOLUMES ......................................................................................................... 1435 PARALELISMO DE DOIS VETORES .......................................................................................... 146RESUMO DO TÓPICO 2 .................................................................................................................... 149AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................. 151

TÓPICO 3 – ESPAÇOS VETORIAIS ............................................................................................... 1531 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................. 1532 DEFINIÇÃO ....................................................................................................................................... 1533 SUBESPAÇOS VETORIAIS ........................................................................................................... 158

IX

4 COMBINAÇÕES LINEARES ......................................................................................................... 1615 DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR ....................................................................... 1656 SUBESPAÇOS GERADOS .............................................................................................................. 1687 DIMENSÃO DE UM ESPAÇO VETORIAL ................................................................................ 1728 BASE .................................................................................................................................................... 173

8.1 BASE ORTOGONAL ................................................................................................................... 1748.2 BASE ORTONORMAL ............................................................................................................... 1758.3 PROCESSO DE ORTOGONALIZAÇÃO DE GRAM-SCHMIDT ......................................... 176

LEITURA COMPLEMENTAR ........................................................................................................... 180RESUMO DO TÓPICO 3 .................................................................................................................... 182AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................. 184

UNIDADE 3 – OPERADORES DE TRANSFORMAÇÃO ........................................................... 187

TÓPICO 1 – TRANSFORMAÇÕES LINEARES ............................................................................ 1891 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................. 1892 DEFINIÇÃO ....................................................................................................................................... 1893 LEI DE FORMAÇÃO DE UMA TRANSFORMAÇÃO ............................................................. 1914 IMAGEM E NÚCLEO DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR ........................................... 1935 TEOREMA DO NÚCLEO E IMAGEM DE UMA TRANSFORMAÇÃO .............................. 197RESUMO DO TÓPICO 1 .................................................................................................................... 201AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................. 202

TÓPICO 2 – MATRIZ DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR ............................................... 2031 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................. 2032 FORMA MATRICIAL DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR ........................................... 2033 MATRIZ DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR ................................................................... 2054 TRANSFORMAÇÕES PLANAS ESPECIAIS ............................................................................. 207

4.1 TRANSFORMAÇÃO DE REFLEXÃO ...................................................................................... 2074.1.1 Em torno do eixo X ............................................................................................................. 2074.1.2 Em torno do eixo Y ............................................................................................................. 208

4.2 TRANSFORMAÇÃO DE PROJEÇÃO ...................................................................................... 2094.2.1 Projeção sobre o eixo X ...................................................................................................... 2094.2.2 Projeção sobre o eixo Y ...................................................................................................... 210

4.3 TRANSFORMAÇÕES DE DILATAÇÃO OU CONTRAÇÃO ............................................... 2114.3.1 Na direção do vetor ( )α ∈R ........................................................................................... 2124.3.2 Na direção do eixo X (horizontal) .................................................................................... 2134.3.3 Na direção do eixo Y (vertical) ......................................................................................... 214

4.4 TRANSFORMAÇÕES DE ROTAÇÃO (DE UM ÂNGULO a NO SENTIDO ANTI- HORÁRIO) .................................................................................................................................... 216

5 MATRIZ DE MUDANÇA DE BASE ............................................................................................. 218RESUMO DO TÓPICO 2 .................................................................................................................... 221AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................. 222

TÓPICO 3 – AUTOVALORES E AUTOVETORES ....................................................................... 2251 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................. 2252 DEFINIÇÃO ....................................................................................................................................... 2253 AUTOVALORES E AUTOVETORES DE UMA MATRIZ ........................................................ 2274 MULTIPLICIDADE DOS AUTOVETORES DE UMA TRANSFORMAÇÃO ..................... 232

X

5 MATRIZES SEMELHANTES E DIAGONALIZAÇÃO DE OPERADORES ........................ 2335.1 MATRIZES SEMELHANTES ..................................................................................................... 2335.2 DIAGONALIZAÇÃO .................................................................................................................. 233

LEITURA COMPLEMENTAR ........................................................................................................... 236RESUMO DO TÓPICO 3 .................................................................................................................... 242AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................. 243

REFERÊNCIAS ..................................................................................................................................... 245

1

UNIDADE 1

MATRIZES E SISTEMAS LINEARES

OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM

PLANO DE ESTUDOS

A partir desta unidade, você será capaz de:

• conceituar, operacionar e interpretar matrizes;

• calcular o determinante de uma matriz;

• utilizar a linguagem matricial e as operações com matrizes como instru-mento para interpretar dados e soluções;

• utilizar o cálculo de determinantes, a regra de Cramer e o escalonamento para a resolução e discussão de sistemas lineares;

• entender vetores;

• visualizar as aplicações de vetores;

• compreender a real importância de autovalores e autovetores;

• formalizar o estudo de transformações lineares.

Esta unidade está dividida em três tópicos. No final de cada um deles você encontrará atividades que reforçarão seu aprendizado.

TÓPICO 1 – MATRIZES TÓPICO 2 – DETERMINANTES E INVERSÃO DE MATRIZES TÓPICO 3 – SISTEMAS LINEARES E SEU ENSINO

Assista ao vídeo desta unidade.

3

TÓPICO 1UNIDADE 1

MATRIZES

1 INTRODUÇÃO

A história da matemática retrata que os estudos das matrizes tiveram seu início por volta do século II a.C., presentes em textos chineses sobre aplicação de sistemas lineares. O livro chinês intitulado “Nove capítulos da arte matemática” apresenta, em seu capítulo VII, 19 problemas que apresentam o método de matrizes para resolver equações lineares.

Ainda nas obras matemáticas de autoria chinesa é possível observar o uso de diagramas de formato quadrado. Eles também detêm o primeiro registro de um quadrado mágico. Um quadrado mágico é uma tabela quadrada de n lados, onde a soma dos números das linhas, das colunas e das diagonais é constante, sendo que nenhum destes números se repete. Este tipo de quadrado é também conhecido como Sudoko.

Porém, o nome matriz veio somente no século XIII, com James Joseph Sylvester. E foi apenas no século XIX que o matemático inglês Arthur Cayley sistematizou a teoria das matrizes a partir da Teoria das Formas Quadráticas. Hoje, contudo, o estudo das formas quadráticas é um mero capítulo da Teoria das Matrizes.

Assim, foi somente há pouco mais de 150 anos que as matrizes tiveram sua relevância reconhecida. Atualmente, consideramos imprescindível estudar essas formas através da notação e metodologia matricial e não as encontramos apenas no estudo da matemática, mas também na engenharia, na informática, em tabelas financeiras etc.

UNIDADE 1 | MATRIZES E SISTEMAS LINEARES

4

Arthur Cayley nasceu em 16 de agosto de 1821, em Richmond, na Inglaterra. Vindo de uma família de comerciantes, seu pai desejava que continuasse os negócios da família, porém, em 1835 ele ingressou no Kings College School, onde sua aptidão para a matemática se tornou mais aparente. Assim, seu pai resolveu enviá-lo para Cambridge.Em 1838 ele começou seus estudos no Trinity College, em Cambridge, onde se graduou em 1842.Em 1843 trabalhou fundamentalmente em álgebra, mas também trabalhou em geometrias não euclideanas e geometria n-dimensional, usando determinantes como elemento essencial.A partir de 1849 trabalhou durante 14 anos como advogado, e desistiu da docência, pois continuar nela implicaria em tomar hábitos religiosos. Embora muito hábil nessa carreira, a considerava apenas como uma forma de sustento para prosseguir com a matemática. Durante esses 14 anos publicou aproximadamente 250 trabalhos matemáticos, a maioria sobre a teoria dos invariantes algébricos.

FONTE: Disponível em: <http://www.matematica.br/historia/cayley.html>. Acesso em: 30 jan. 2016.

IMPORTANTE

É importante destacar que o objetivo deste tópico é dar uma visão geral do conteúdo de matrizes, ou seja, pretende-se definir o que é uma matriz, alguns tipos de matrizes, suas operações aritméticas, como também estabelecer algumas de suas propriedades algébricas.

2 DEFINIÇÃO

Segundo Paiva (2013, p. 95), denomina-se "matriz do tipo m x n (lê-se m por n) toda tabela de números dispostos em m linhas e n colunas. Tal tabela deve ser representada entre parênteses ( ) ou colchetes [ ]".

A matriz é representada por uma letra maiúscula do alfabeto e cada item da matriz é denominado de elemento. Os elementos de uma matriz podem ser números reais ou complexos ou até mesmo expressões algébricas, e são chamados de entradas da matriz. Vejamos alguns exemplos:

( ) ( )( ) ( )

1 5 - i7 - 5 9 cos x sen x 8 3A= B= C= D= 4i 1

- sen x cos x 5 4 6 3 0 - 2 - 5i

TÓPICO 1 | MATRIZES

5

Uma matriz é real se os seus elementos são números reais ou expressões que assumem valores reais.

3 MONTAGEM DE UMA MATRIZ

Acompanhe a seguir uma situação de montagem de uma matriz.

Um professor de matemática que trabalha de segunda a sexta fez o seguinte número de aulas por dia em três semanas de trabalho:

• Semana 1 - 5, 2, 7, 8, 6.• Semana 2 - 10, 7, 6, 8, 9.• Semana 3 - 4, 7, 3, 8, 6.

Imagine uma matriz que represente nas linhas as semanas de trabalho e nas colunas as aulas dadas, nos cinco dias da semana em ordem cronológica. Como são três semanas de trabalho, teremos uma matriz com apenas três linhas. Já os dias trabalhados são cinco, portanto, o número de colunas será de cinco.

Para tanto, a matriz resultante do fato acima ficará assim:

3x5

5 2 7 8 6A= 10 7 6 8 9

6

4 7 3 8

Concluindo, a matriz acima será 3x5, pois tem três linhas e cinco colunas. É importante lembrar que sempre escrevemos primeiro o número de linhas e depois o número de colunas.

3.1 REPRESENTAÇÃO GENÉRICA DE UMA MATRIZ

Os números que aparecem na matriz são chamados de elementos da matriz. Vejamos, por exemplo, a matriz que criamos anteriormente:

3x5

5 2 7 8 6A= 10 7 6 8 9

4 7 3 8 6


6

Nela, podemos observar que:

• O elemento 5 está na primeira linha e na primeira coluna. Indicamos por a11 e lemos “o elemento a um um é igual a 5”.

• O elemento 10 está na segunda linha e na primeira coluna. Indicamos por a21 e lemos “o elemento a dois um é igual a 10”.

• O elemento 4 está na terceira linha e na primeira coluna. Indicamos por a31 e lemos “o elemento a três um é igual a 4”.

• O elemento 2 está na primeira linha e na segunda coluna. Indicamos por a12 e lemos “o elemento a um dois é igual a 2”.

• O elemento 3 está na terceira linha e na terceira coluna. Indicamos por a33 e lemos “o elemento a três três é igual a 3”.

Assim, devemos considerar:

• Para representar o elemento de uma matriz usamos uma letra com dois índices: o primeiro indica em que linha o elemento se encontra, e o segundo, em que coluna. Por exemplo: a23 é o elemento que está na segunda linha e na terceira coluna.

• O elemento genérico de uma matriz A será indicado por aij, em que i representa a linha e j representa a coluna na qual o elemento se encontra; ele é chamado de ij-ésimo elemento da matriz.

A matriz A, do tipo mxn, será escrita, genericamente, do seguinte modo:

Os m elementos correspondentes às linhas serão localizados pelo índice i e os n elementos correspondentes às colunas serão localizados pelo índice j.

ATENCAO

( Lemos: matriz A, dos ( )ij mxnA a , com 1 i m, 1 j n e i, j IN= ≤ ≤ ≤ ≤ ∈

elementos aij do tipo m por n, com i assumindo valores de 1 até m e j assumindo valores de 1 até n sendo i e j pertencentes ao conjunto dos números naturais).

1 2 3

11 12 13 1n

21 22 23 2n

m m m mn mxn

a a a aa a a aA = a a a a


7

Podemos classificar as matrizes quanto ao seu tipo, ou melhor dizendo, sua ordem. Generalizando, podemos escrever o tipo, ou ordem, da matriz por: m x n. Observe a classificação das matrizes utilizadas nos exemplos do item 2:

( ) 8 3

A= matriz de ordem 2x2 dois por dois . 5 4

( )7 - 5 9

B= matriz de ordem 2x3 dois por três .6 3 0

( ) ( )( ) ( ) ( )

cos x sen xC= matriz de ordem 2x2 dois por dois .

- sen x cos x

( )1 5 - i

D= matriz de ordem 3x2 três por dois .4i 1- 2 - 5i

3.2 ELEMENTOS CORRESPONDENTES

Dadas duas matrizes de mesma ordem (ou tipo), A e B,

11 12 13 1n 11 12 13 1n

21 22 23 2n 21 22 23 2n

m1 m2 m3 mn m1 m2 m3 mnmxn mxn

a a a a b b b b a a a a b b b b

e B

a a a a b b b b

= … … … … … … … …

dizemos que os elementos

de mesmo índice (linha e coluna) são correspondentes.

Assim:a11 e b11 são correspondentes.a12 e b12 são correspondentes.a13 e b13 são correspondentes.

amn e bmn são correspondentes.


8

3.3 IGUALDADE DE MATRIZES

Duas matrizes A e B de mesma ordem mxn são iguais quando todos os seus elementos correspondentes são iguais, isto é, sendo A = (aij)mxn e B = (bij)mxn, temos A = B quando aij = bij para todo i (i = 1, 2, 3, ..., m) e todo j (j = 1, 2, 3, ..., n).

Por exemplo, para que as matrizes a 5 - 1 dA= e B=

3 b c 4

sejam iguais, devemos ter:

4 TIPOLOGIA DAS MATRIZES

Nas representações de matrizes, temos nomenclaturas específicas para cada tipo de matriz, conforme apresentadas a seguir.

Matriz Coluna

Dizemos que A é uma matriz coluna quando A for de ordem m x 1, ou seja, quando o n = 1.

Por exemplo:

5a) 2 é uma matriz coluna de ordem 3x1.

- 1

3 2

b) - 5 é uma matriz coluna de ordem 5x1. 4- 8

Esse tipo de matriz é importante para o estudo da Álgebra Linear, pois é comumente utilizada para representar vetores.

IMPORTANTE

a = - 1b = 4

.c = 3d = 5


9

Matriz Linha

Dizemos que A é uma matriz linha quando A for de ordem 1 x n, ou seja, quando o m = 1. Por exemplo:

a) [1 3 -2] é uma matriz linha de ordem 1 x 3.

b) [cos x 1 0 sen x] é uma matriz linha de ordem 1 x 4.

Matriz Nula

No conjunto das matrizes, a matriz que tem todos os elementos iguais a zero é denominada de matriz nula. São exemplos da matriz nula:

( )0 0 0 0 0

0 0A 0 0 B C 0 0 0 D 0 0 0 0

0 00 0 0 0 0

= = = =

Matriz Transposta

Dada uma matriz A = (aij)mxn, denominamos transposta de A (e indicamos At) a matriz At = (a’ji)nxm, tal que a’ji = aij. Em outras palavras, a matriz At é obtida trocando-se as linhas pelas colunas da matriz A. Exemplos:

t2 4 2 8a) A transposta de A é a A .

8 6 4 6

= =

Observe que:

a11 = 2 = a’11a21 = 8 = a’12a12 = 4 = a’21a22 = 6 = a’22

1 41 2 3

b) A transposta de B é B 2 5 .4 5 6

3 6

= =

t

a b c a d gc) A transposta de C d e f é C b e h .

g h i c f i

= =


10

Acadêmico(a), note que, se A= (aij) é de ordem mxn, então At = (a’

ij) é de

ordem nxm.

IMPORTANTE

Matriz Oposta

Dada uma matriz A = (aij)mxn, a sua matriz oposta será definida por – A = (– aij)mxn. Isso significa que a matriz oposta da matriz A é aquela que possui elementos opostos correspondentes ao da matriz A. Vejamos os exemplos:

2 - 4 - 2 4a) A matriz oposta de A= é - A= .

8 6 - 8 - 6

Observe que:

a11 = 2 e é oposto de (-a11) = - 2a21 = 8 e é oposto de (-a21) = - 8a12 = - 4 e é oposto de (-a12) = 4a22 = 6 e é oposto de (-a22) = - 6

1 - 2 3 - 1 2 - 3b) A matriz oposta de B = é - B = .

4 5 - 6 - 4 - 5 6

a b c - a - d - gc) A matriz oposta de C = d e f é - C = - b - e - h .

g h i - c - f - i

Matriz Quadrada

Quando m = n, ou seja, o número de linhas for igual ao número de colunas, dizemos que a matriz é quadrada de ordem nxn ou simplesmente de ordem n. Nesse caso, teremos ordem do tipo 1x1, 2x2, 3x3, 4x4, e assim por diante. Como já sabemos que o número de linhas é igual ao número de colunas, basta informar a ordem, ou seja, uma matriz 1x1 pode ser simplesmente classificada como matriz de ordem 1, uma matriz 2x2 de matriz de ordem 2, uma matriz 3x3 de matriz de ordem 3, uma matriz 4x4 de matriz de ordem 4 e assim sucessivamente. Exemplos:


11

3 5A

2 6

=

é uma matriz quadrada de ordem 2 ( m = n = 2)

5 3 10 B = - 1 - 4 6

12 0 - 2

é uma matriz quadrada de ordem 3 ( m = n = 3)

Numa matriz quadrada de ordem n, os elementos a11, a

22, a

33, ... a

nn formam a

diagonal principal da matriz, isto é, onde os elementos aij possuem i = j.

IMPORTANTE

A outra diagonal da matriz quadrada é denominada diagonal secundária, que é composta pelos elementos a

ij com i + j = n + 1.

diagonal principal 3 2

A= - 1 6

diagonal principal

1 3 10 B= - 3 0 8

5 - 1 6

diagonal secundária 3 2

C = - 1 6

diagonal secundária

1 3 10 D = - 3 0 8

5 - 1 6


12

Acadêmico(a), as classificações a seguir são utilizadas somente para matrizes quadradas, ou seja, matrizes de ordem n.

Matriz Triangular

Em uma matriz quadrada, quando os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são todos nulos (iguais a zero), dizemos que a matriz é triangular. Exemplos:

7 0 0A = 8 1 0

2 9 - 5

todos os elementos acima da diagonal principal da matriz A são nulos.

1 4 76

0 3 85B

0 0 03

0 0 04

=

todos os elementos abaixo da diagonal principal da matriz B são nulos.

Em uma matriz triangular, temos aij = 0 para i > j ou a

ij = 0 para i < j.

ATENCAO

Matriz Diagonal

Em uma matriz quadrada de ordem n, quando todos os elementos posicionados acima e abaixo da diagonal principal são nulos, denominamos de matriz diagonal. Exemplos:

1 0 0 0 2 0 0

0 5 0 0 6 0 A = B = 0 1 0 C =

0 0 9 0 0 - 3 0 0 8

0 0 0 2


13

Em uma matriz diagonal, temos aij = 0 para i ≠ j.

ATENCAO

Matriz Identidade

Em uma matriz quadrada de ordem n, quando todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os outros elementos são iguais a zero, denominamos de matriz identidade e seu símbolo é In (onde n representa a ordem da matriz). Exemplos:

5 3 2

1 0 00 1 0 0

0 1 00 1 0 I I 0 1 0 I

0 0 10 0 1 0 0 1

0 0 0 1

= = =

Em uma matriz identidade, temos aij = 1 para i = j e a

ij= 0 para i ≠ j.

ATENCAO

Matriz Simétrica

Em uma matriz quadrada, quando tiver o elemento aij igual ao elemento aji, a matriz é denominada de simétrica. Exemplos:

1 2 69 1 4 5

2 3 72 A B 4 2 6 C

6 7 71 5 6 3

9 2 14

a cc b

= = =


14

Acadêmico(a), perceba que os termos abaixo da diagonal principal são uma reflexão dos termos acima da diagonal principal.

ATENCAO

5 PROBLEMAS QUE ENVOLVEM A DEFINIÇÃO DE MATRIZES E SUAS TIPOLOGIAS

Acadêmico(a), neste item vamos resolver algumas situações que envolvem os conceitos e definições estudadas até aqui.

Exemplo 1: Dada a seguinte matriz quadrada de ordem 2, escreva a matriz A, com aij assumindo os seguintes valores:

ij

ij

a 2 , A .

a 0, i j parai j

parai j= + ≥

= = <

Resolução: Como a matriz é 2x2, ela deverá ter quatro elementos, conforme a matriz genérica:

11 12

21 22 2 2

a aA

a a x

=

Desta forma, os elementos em que, na sua posição, o número de linhas (i) for maior ou igual ao número de colunas (j), serão determinados pela fórmula “i + 2j”, que é o que afirma a primeira condição, Assim,ija i 2 j, para i j.= + ≥

a11 = 3 (sendo i = 1 e j = 1, então: i + 2j = 1 + 2·1 = 3) a21 = 4 (sendo i = 2 e j = 1, então: i + 2j = 2 + 2·1 = 4) a22 = 5 (sendo i = 1 e j = 2, então: i + 2j = 1 + 2·2 = 5)

Já os elementos em que na sua posição o número de linhas (i) for menor que o número de colunas (j), serão determinados pela fórmula Neste caso, apenas o elemento de posição a12 obedece este critério, assim: a12 = 0 (neste caso em que i = 1 e j = 2 (i < j), o valor deste elemento é 0).

ij"a 0, para i j"= <


15

Portanto, a matriz A será igual a: 2 2

3 0A

4 5

= x

Exemplo 2: Construa a matriz quadrada de ordem 3,

Resolução: Tomemos, inicialmente, a matriz genérica de ordem 3.

2 2, .i iC c j sendoc j i j= = +

11 12 13

21 22 23

31 32 33 3x3

c c cC c c c

c c c

=

Agora, basta aplicar a fórmula para definir o valor de cada elemento, levando em consideração sua posição na matriz. Lembre-se de que o i representa a posição do elemento em relação à linha e o j representa a posição do elemento em relação à coluna.

2 2ijc i j= +

2 2ijc i j= +

2 211c 1 1 1 1 2= + = + =

2 221c 2 1 4 1 5= + = + =

2 231c 3 1 9 1 10= + = + =

2 212c 1 2 1 4 5= + = + =

2 222c 2 2 4 4 8= + = + =

2 232c 3 2 9 4 13= + = + =

2 213c 1 3 1 9 10= + = + =

2 223c 2 3 4 9 13= + = + =

2 233c 3 3 9 9 18= + = + =

Assim, a matriz C será igual a:

3x3

2 5 10C 5 8 13

10 13 18

=


16

Acadêmico(a), observe que temos aqui uma matriz simétrica.

ATENCAO

1 2 3

2 1A x y z

z

=

Exemplo 3: A matriz admite a transposta

1 22 1 .

3 6

t

xA x y

y y z

= − −

Nestas condições, calcule x, y e z.

Resolução: Denominamos de matriz transposta de A a matriz At = (a’ji)nxm, tal que a’ji = aij. Em outras palavras, a matriz At é obtida trocando-se as linhas pelas colunas da matriz A. Assim, podemos estabelecer a seguinte relação para a matriz genérica de A:

11 12 13

21 22 23

31 32 33 3x3

a a aA a a a

a a a

=

11 11a a'=

21 12a a'=

31 13a a'=

12 21a a'=

22 22a a'=

32 23a a'=

13 31a a'=

23 32a a'=

23 33a = a'


17

O elemento aij corresponde à matriz A e o elemento a’

ij corresponde à matriz At

(transposta de A). Acadêmico(a), note também que os elementos da diagonal principal não se alteram, visto que i = j.

ATENCAO

Considerando a matriz A e sua transposta At, podemos estabelecer:

11 11a a' 1 1= ⇔ =

21 12a a' x x= ⇔ =

31 13a a' 2 2= ⇔ =

12 21a a' 2 x 2 x 4= ⇔ = − ⇔ =

22 22a a' y y= ⇔ =

32 23a a' 1 1= ⇔ =

13 31a a' 3 3y y 1= ⇔ = ⇔ =

23 32a a' z 6 y Como sabemos que y 1, então : z 6 1 z 5= ⇔ = − = = − ⇔ =

33 33a a' z z= ⇔ =

Portanto, x = 4, y = 1 e z = 5.

Exemplo 4: Dadas as matrizes ( )ij ij2x2

2 1A a ,a 3i j e B ,

x x y

= = − = + determine x e y sabendo que A = B.

Resolução: Vamos iniciar, determinando os elementos da matriz A.

11 12

21 22 2 2

a aA

a a x

=

ija 3i j= −

11a 3 1 1 2= ⋅ − =

21a 3 2 1 5= ⋅ − =

12a 3 1 2 1= ⋅ − =

22a 3 2 2 4= ⋅ − =


18

Assim, a matriz A é: 2 2

2 1A

5 4 x

=

Sabemos que A = B, para isso, seus elementos também devem ser iguais. Desta forma, temos que:

11 11a b 2 2= ⇔ =

21 21a b 5 x= ⇔ =

12 12a b 1 1= ⇔ =

22 22a b 4 x y Como x 5, então : 4 5 y y 1= ⇔ = + = = + ⇔ = −

Exemplo 5: Uma matriz A é simétrica se, e somente se, A = At. Determine

o valor de a para que A = seja simétrica.21

A 2a

a

=

A condição de Resolução: A matriz transposta de A é: 2

1 A

2t a

a

=

simetria nos garante que A = At e, como vimos no exemplo 3,

11 11a a'=

21 12a a'=

12 21a a'=

22 22a a'=

Neste caso:

11 11a a' 1 1= ⇔ =

221 12a a' a a= ⇔ =

212 21a a' a a= ⇔ =

22 22a a' 2 2= ⇔ =


19

Para descobrirmos o valor de a, basta calcular a equação a = a2.

a2 – a = 0 (é uma equação do segundo grau incompleta, pois falta o termo c)a ( a – 1) = 0Desta forma a’ = 0 e,a” – 1 = 0a” = 1

Portanto, para que as matrizes sejam simétricas, o valor de a deve ser 0 ou 1.

6 OPERAÇÕES ENTRE MATRIZES

No desenvolvimento do cálculo com matrizes realizamos operações matemáticas seguindo regras específicas. Veremos, a seguir, estas regras, que são aplicadas na adição, subtração e multiplicação.

6.1 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE MATRIZES

Inicialmente, consideremos duas matrizes A e B do tipo 2x3: 3 5 - 2

A = 4 7 - 6

1 - 4 - 1 B =

6 3 2

Agora vamos determinar uma matriz C, tal que seus elementos sejam resultantes da soma dos elementos de A com os elementos de B, da seguinte forma: cij = aij + bij. Portanto, os seis elementos de C (2x3 = 6) serão calculados a partir da mesma posição dos elementos em A e B. Vejamos como ficará a adição dessas duas matrizes.

( )12 12 12 5 – 4 5 – 4 1c a b= + = + = =

22 22 22 7 3 10c a b= + = + =

( ) ( )13 13 13 – 2 – 1 – 2 – 1 – 3c a b= + = + = =

( )23 23 23 – 6 2 – 4c a b= + = + =

11 11 11 3 1 4c a b= + = + =

21 21 21 4 6 10c a b= + = + =

É simples, mas precisamos ter atenção, principalmente

nos sinais!


20

Portanto: A + B = C e podemos operacionalizar da seguinte maneira:

Note, acadêmico(a), que somente é possível somar matrizes que possuem a mesma ordem, isto é, o mesmo número de linhas e colunas.

IMPORTANTE

Assim podemos concluir:

• Denominamos de matriz C a soma da matriz A com a matriz B ou a soma das matrizes A e B.

• Dadas duas matrizes A e B do mesmo tipo mxn, a soma da matriz A com a matriz B, que representamos por A + B, é a matriz C do tipo mxn que é obtida adicionando cada elemento correspondente de A e B.

Definição: Sejam duas matrizes A = (aij) e B = (bjj) de ordem mxn, a soma A + B é a matriz C = (cij) de ordem mxn, tal que: cij = aij + bij , para i = 1, 2, 3, ..., m e j = 1, 2, 3, ..., n.

( ) ( ) ( )( )

3+1 5+ - 4 - 2 + - 13 5 - 2 1 - 4 - 1 4 1 - 3 + = =

4+6 7+3 - 6 +24 7 - 6 6 3 2 10 10 - 4

Para a subtração de matrizes utilizaremos a ideia de soma com a matriz oposta. Assim, sendo A e B duas matrizes do tipo mxn, denominamos diferença entre A e B (representada por A - B) a soma da matriz A com a matriz oposta de B, isto é, A - B = A + (-B).

ATENCAO

Vejamos, também, um exemplo de subtração de matrizes. Dadas as matrizes A e B anteriores e vamos determinar a matriz D resultante da subtração A – B.

3 5 - 2 1 - 4 - 1 A = B =

4 7 - 6 6 3 2


21

( ) ( ) ij ij ijD A B A B d a b= − = + − ⇔ = + −

( ) ( )11 11 11 3 – 1 3 – 1 2d a b= + − = + = =

( ) ( )21 21 21 4 – 6 4 – 6 – 2d a b= + − = + = =

( ) ( )12 12 12 5 4 5 4 9d a b= + − = + + = + =

( ) ( )22 22 22 7 – 3 7 – 3 4d a b= + − = + = =

( ) ( ) ( )13 13 13 – 2 1 – 2 1 – 1a bd = + − = + + = + =

( ) ( ) ( )23 23 23 – 6 – 2 – 6 – 2 – 8d a b= + − = + = =

Portanto: D = A + (– B) e podemos operacionalizar da seguinte maneira:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

3 + - 1 5 + + 4 - 2 + + 13 5 - 2 - 1 + 4 + 1 D = + = =

4 + - 6 7 + - 3 - 6 + - 24 7 - 6 - 6 - 3 - 2

Propriedade da Adição de Matrizes

Assim como os números, as matrizes possuem propriedades operatórias. Com a definição dada para adição de matrizes é possível verificar que essas propriedades, utilizadas para a soma de números reais, também são válidas para a adição de matrizes. Estas propriedades poderão auxiliar nas operações entre matrizes, pois nos possibilitam resolvê -las mais rapidamente.

Propriedade Associativa: Para quaisquer matrizes A, B e C, de mesma ordem mxn, vale a igualdade:

(A + B) + C = A + (B + C)

Prova: [A + (B + C)]ij = aij + (B + C)ij = aij + (bij + cij) = (aij + bij) + cij = (A + B)ij + cij == [(A + B) + C]ij

Propriedade Comutativa: Para quaisquer matrizes A e B, de mesma ordem mxn, vale a igualdade:

3 - 1 5 + 4 - 2 +1 2 9 - 1 ÛD =

4 - 6 7 - 3 - 6 -2 - 2 4 - 8

⇔


22

A + B = B + A

Prova: (A + B)ij = aij + bij = bij + aij = (B + A)ij

Propriedade do Elemento neutro: Existe uma matriz nula 0 que somada com qualquer outra matriz A de mesma ordem fornecerá a própria matriz A, isto é:

0 + A = A

Prova: Consideremos que A + U = A, para qualquer matriz A, mxn. Comparando os elementos correspondentes, temos que aij + uij = aij, ou seja, uij = 0, para i = 1, 2, 3, ..., m e j = 1, 2, 3, ..., n. Portanto, a única matriz que satisfaz à equação acima é a matriz em que todos os seus elementos são iguais a zero. Denotamos esta matriz por: matriz nula e representamos por 0.

Propriedade do Elemento oposto: Para cada matriz A existe uma matriz -A, denominada a oposta de A, cuja soma entre ambas fornecerá a matriz nula de mesma ordem, isto é:

A + (-A) = 0

Prova: Dada uma matriz A de ordem mxn e seja B uma matriz de ordem mxn, tal que: A + B = 0.

Comparando os elementos correspondentes, temos que: aij + bij = 0, ou seja, bij = - aij, para i = 1, 2, 3, ..., m e j = 1, 2, 3, ..., n. Portanto, a única matriz que satisfaz a equação anterior é a matriz em que todos os seus elementos são iguais aos opostos dos elementos de A. Denotamos esta matriz por -A.

Acadêmico(a), crie matrizes A, B e C de mesma ordem e verifique estas quatro importantes propriedades.

DICAS


23

6.2 MULTIPLICAÇÃO DE UMA MATRIZ POR UM NÚMERO REAL

Dada a matriz 5 8 - 1

A = - 4 3 6

vamos determinar A + A.

( ) ( )( ) ( )

5 + 5 8 + 8 - 1 + - 1 5 8 - 1 5 8 - 1 A + A = + =

- 4 + - 4 3 + 3 6 + 6- 4 3 6 - 4 3 6

10 16 - 2 A + A = .

- 8 6 12

Considerando que A + A = 2·A, temos:

( )( )

2 . 5 2 · 8 2 · - 15 8 - 1 10 16 - 2 2 · A = 2 · = =

2 · - 4 2 · 3 2 · 6- 4 3 6 - 8 6 12

Observamos, então, que o produto de um número real pela matriz A é uma matriz que se obtém multiplicando-se o número real pelos elementos de A.

Definição: Seja a matriz A = (aij)mxn e k um número real. O produto de K pela matriz A (indica-se: K·A) é a matriz B = (bij)mxn, em que bij = k·aij, para todo i (i = 1, 2, 3, ..., m) e para todo j (j = 1, 2, 3, ..., n).

Observe os exemplos a seguir:

( ) ( )1) Se A = 2 5 8 , então 3 · A = 6 15 24 .

2 4 4 8 12) Se B = , então · A = .55 10 2 52

( ) 3 - 2 3 - 6 4 - 2 3

3) Se C = - 1 5 7 , então -2 · C = 2 - 10 - 14 . 4 1 0 - 8 - 2 0


24

Propriedades da Multiplicação de uma Matriz por um Número Real

Sendo A e B matrizes de mesma ordem mxn e x e y números reais quaisquer, valem as seguintes propriedades:

Propriedade Associativa: ( ) ( )x · yA = xy · A

Demonstração: sejam ij A= a = ijB b ∈R .k

( ) ij ij ijx . y . A = x . y . (a ) = x . y. a = x . y . a

e Então, e

Propriedade distributiva de um número real em relação à adição de matrizes:

x·(A + B) = x·A + x·B

∈R.x ( )

) ]

ij ij

ij ij ij ij ij ij

x . A+B = x . (a + b ) =

x . (a + b = x . a + k . b = x . a + . b x ⇒ + = + . . . .ij ijx a x b x A x B

Demonstração: sejam ij A= a = ijB be , e Então

( )

) ]

ij ij

ij ij ij ij ij ij

x . A+B = x . (a + b ) =

x . (a + b = x . a + k . b = x . a + . b x( )

) ]

ij ij

ij ij ij ij ij ij

x . A+B = x . (a + b ) =

x . (a + b = x . a + k . b = x . a + . b x

( )

) ]

ij ij

ij ij ij ij ij ij

x . A+B = x . (a + b ) =

x . (a + b = x . a + k . b = x . a + . b x

Onde foi utilizada a distributividade da multiplicação com relação à adição dos números reais. c.q.d.

Propriedade distributiva de uma matriz em relação à adição de dois números reais:

(x + y) · A = x·A + y·A

∈R, .k q ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ij ij ij ij ijx + y . A = x + y . a = x + y . a = x + y . a = x . a + y . aDemonstração: sejam ij A= a e Então

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ij ij ij ij ijx + y . A = x + y . a = x + y . a = x + y . a = x . a + y . a

( ) ( ) ⇒ ij ij ij ijx . a + y . a = x . a + y . a = x . A + y . A

c.q.d.


25

Propriedade do elemento neutro: x·A = A, para x = 1, ou seja, 1 · A = A1 . A = A

.ijA = a ( ) ( ) ij ij ij1 . A = 1 . a = 1 . a = a = ASeja Então,

c.q.d.

Acadêmico(a), verifique as demonstrações das propriedades da adição de matrizes e busque demonstrar estas quatro propriedades. A demonstração é um processo importante da matemática. Vá treinando, você usará muito durante a sua graduação!

UNI

6.3 MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES

Acadêmico(a), a multiplicação de matrizes não é uma operação tão simples como as outras já estudadas até aqui, pois não basta multiplicar os elementos correspondentes. Fique atento à explicação!

ATENCAO

Vamos iniciar este conceito com uma situação-problema. Observe a tabela a seguir, ela apresenta as notas obtidas na disciplina de Álgebra Linear e Vetorial pelos acadêmicos Cristiane, Leonardo e Luiz nas quatro avaliações propostas.

Avaliação 1 Avaliação 2 Avaliação 3 Avaliação 4Cristiane 7 6 7 8Leonardo 4 5 5 7Luiz 8 7 9 10

Para calcular a média final da disciplina, o professor deve fazer uma média ponderada, onde a avaliação 1 tem peso 1, a avaliação 2 tem peso 1, a avaliação 3 tem peso 4,8 e a avaliação 4 tem peso 3,2. Assim, a média de cada aluno será determinada pela fórmula:


26

o que equivale a escrever:( ) ( ) ( ) ( ) Avaliação 1×1 + Avaliação 2×1 + Avaliação 3×4,8 + Avaliação 4×3,2 1 + 1 + 4,8 + 3,2

( ) ( ) ( ) ( ) Avaliação 1×0,10 + Avaliação 2×0,10 + Avaliação 3×0,48 + Avaliação 4×0,32 .

A tabela de notas pode ser representada pela matriz:

3 4

7 6 7 84 5 5 78 7 9 10

=

A

x

E os pesos das avaliações, pela matriz:

0 100 100 480 32

4x1

,,

B = ,,

Agora vamos calcular as médias dos alunos nesta disciplina:

( ) ( ) ( ) ( )Cristiane: 7×0,10 + 6×0,10 + 7×0,48 + 8×0,32 = 7,22

( ) ( ) ( ) ( )Leonardo: 4×0,10 + 5×0,10 + 5×0,48 + 7×0,32 = 5,54

( ) ( ) ( ) ( )Luiz: 8×0,10 + 7×0,10 + 9×0,48 + 10×0,32 = 9,02

Essas médias podem ser registradas em uma matriz C, que é o produto

da matriz A (notas) pela matriz B (pesos):

3 1

7 225 549 02

= x

,C ,

,

A ideia utilizada para obter a matriz C será usada agora para definirmos matematicamente a multiplicação de matrizes.

Definição: Dada uma matriz A = (ajj) do tipo mxn e uma matriz B = (bjj) do tipo nxp, o produto da matriz A pela matriz B é a matriz C = (cij) do tipo mxp, tal que o elemento cij é calculado multiplicando-se ordenadamente os elementos da linha i, da matriz A, pelos elementos da coluna j, da matriz B, e somando-se os produtos obtidos. Para dizer que a matriz C é o produto de A por B, vamos indicá-la por AB.


27

Observe que só definimos o produto AB de duas matrizes quando o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B; além disso, notamos que o produto AB possui o número de linhas de A e o número de colunas de B: A

mxn . B

nxp = AB

mxp.

ATENCAO

Acompanhe a multiplicação das matrizes A de ordem 3x2 e B de ordem 2x4:

1 2 1 1 2 2

A = 2 3 e B = 2 3 3 2

3 4

O primeiro fato a observar é que só podemos multiplicar matrizes quando o número de colunas da primeira matriz for igual ao número de linhas da segunda matriz. Note que na definição A tem n colunas e B tem n linhas. Essa igualdade tem que ocorrer para que a multiplicação possa ser calculada. Como A possui duas colunas e B possui duas linhas, podemos calcular C = A·B

11 12 13 14

21 22 23 24

31 32 33 34

1 2 c c c c1 1 2 2

C = A B = 2 3 = c c c c2 3 3 2

3 4 c c c c

⋅ ⋅

Sabemos que a matriz C terá ordem 3x4 devido à definição, pois a ordem da matriz é resultado da multiplicação de duas matrizes, onde herda o número de linhas da primeira e o número de colunas da segunda. Observe:

3x2 2x4 3x4A B = C⋅

Agora, precisamos definir os elementos cij da matriz resultante C e para isso é necessário saber que:

• c11 é o resultado da multiplicação dos elementos da 1ª linha da matriz A com os elementos da 1ª coluna da matriz B.



28







• E assim por diante.

Observe o cálculo de cada elemento da matriz resultante C:

11

1ª Linha A1ª Coluna B

12

1c = 1 2 = 1 1 + 2 2 = 1 + 4 = 5

2

1c = 1 2 = 1 1 + 2 3 = 1 + 6 = 7

3

⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅

13

14

2c = 1 2 = 1 2 + 2 3 = 2 + 6 = 8

3

2c = 1 2 = 1 2 + 2 2 = 2 + 4 = 6

2

⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅

21

22

1c = 2 3 = 2 1 + 3 2 = 2 + 6 = 8

2

1c = 2 3 = 2 1 + 3 3 = 2 + 9 = 11

3

⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅


29

23

24

2c = 2 3 = 2 2 + 3 3 = 4 + 9 = 13

3

2c = 2 3 = 2 2 + 3 2 = 4 + 6 = 10

2

⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅

31

32

1c = 3 4 = 3 1 + 4 2 = 3 + 8 =11

2

1c = 3 4 = 3 1 + 4 3 = 3 + 12 = 15

3

⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅

33

34

2c = 3 4 = 3 2 + 4 3 = 6 + 12 = 18

3

2c = 3 4 = 3 2 + 4 2 = 6 + 8 = 14

2

⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅

Com isso, finalmente, teremos:

11 12 13 14

21 22 23 24

31 32 33 34

1 2 c c c c 5 7 8 61 1 2 2

C= A × B = 2 3 × = c c c c = 8 11 13 102 3 3 2

3 4 c c c c 11 15 18 14

Nunca esqueça: todos os elementos das linhas da primeira matriz multiplicam todos os elementos das colunas da segunda matriz.

IMPORTANTE


30

6.4 MATRIZ INVERSA

Dada uma matriz quadrada A, de ordem n, se X é uma matriz, tal que AX = In e XA = In, onde In é a matriz identidade de ordem n, então X é denominada matriz inversa de A, sendo simbolizada por 1A−

Analisando a definição, é possível perceber que a matriz inversa nem sempre existe. Quando existir a matriz inversa de A, dizemos que A é uma matriz invertível ou não singular.

ATENCAO

Acadêmico(a), observe que a matriz é invertível e sua matriz inversa é:

1 - 1 A =

2 0

- 1 0 1/2 1 - 1 0 1/2 1 0 0 1/2 1 - 1 1 0 A = , pois: . = e . = .

- 1 1/2 2 0 - 1 1/2 0 1 - 1 1/2 2 0 0 1

Acadêmico(a), observe que a matriz A multiplicada pela inversa nos dá a matriz identidade.

IMPORTANTE

Exemplo 1: Sendo a matriz ,vamos determinar a matriz inversa de A, se existir.

Resolução: Existindo, a matriz inversa é de mesma ordem de A. Como, para que exista inversa, é necessário que A·A-1= A-1·A = , vamos trabalhar em duas etapas:

Inicialmente, fixamos a condição de que A·A-1 = e determinamos A-1:

2 x 2

1 2 - 2 1

A =

nI

nI

n 2 x 2 2 x 2 2 x

-

2

1 1 2 a b 1 0 I = A A =

- 2 1 c d 0 1

⇒ ⋅ ⇒

⋅


31

2 x 2 2 x 2

2 x 2 2 x 2

1 . a + 2 . c 1 . b + 2 . d 1 0 =

- 2 . a + 1 . c - 2 . b + 1 . d 0 1

a + 2 c b + 2 d 1 0 =

- 2 a + c - 2 b + d 0 1

⇒ ⇒

⇒

A partir da igualdade de matrizes, resolvemos o sistema acima pelo método da adição:

__________________

2 a + 4 c = 2 a + 2 c = 1 ( -2 )

- 2 a + c = 0- 2 a + c = 0

2 5 c = 2 c = 5

⇒ ↵⊕ ⇒

- 2 a + c = 0

2 1 - 2 a + = 0 a = 5 5

⇒

__________________

2 b + 4 d = 0 b + 2 d = 0 ( - 2 )

- 2 b + d = 1 - 2 b + d = 1

1 5 d = 1 d = 5

⇒ ↵⊕ ⇒

- 2 b + d = 1

1 2 - 2 b + = 1 b = - 5 5

⇒

Assim temos:

2 x 2 2 x

-

2

11 2- a b 5 5 =

c d 2 1 5A =

5


32

É importante verificarmos se A·A-1 = : 2I

- 1

2 x 2 2 x 2

1 2- 1 2 5 5 2 1 - 2 1 5 5

A

A = ⋅

⋅

( ) ( ) ( )( )

2 x 2 2 x 2

2 x 2

1 4 2 2 + -5 5 5 5 = = = 2 2 4 1 - + 5 5 5 5

5 0 15 = = 5 0 5

1 2 1 2 . 1 + - . - 2 . 2 + - . . 1 5 5 5 5 2 1 2 1 . 1 + . - 2 . 2 + . 15 5 5 5

2

0 = I

0 1

Logo, A-1 é inversa de A e pode ser representada por:

- 1

2 x 2

1 2 -5 5 A = 2 1 5 5

Exemplo 2: Verifique se existe e, em caso afirmativo, determine a matriz

inversa de 5 8

A = .2 3

Resolução: Seja X a matriz quadrada de ordem 2 procurada, isto é: a bX = .

c d

Pela definição, inicialmente devemos ter:

5 8 a b 1 0 5 a + 8 c 5 b + 8 d 1 0 . = =

2 3 c d 0 1 2 a + 3 c 2 b + 3 d 0 1

⇒

5 8 a b 1 0 5 a + 8 c 5 b + 8 d 1 0 . = =

2 3 c d 0 1 2 a + 3 c 2 b + 3 d 0 1

⇒

Pela igualdade de matrizes, temos os sistemas:

( ) 5 a + 8 c = 1I

2 a + 3 c = 0

que resolvido nos dá a = -3 e c = 2.


33

( ) 5 b + 8 d = 0II

2 b + 3 d = 1

que resolvido nos dá b = 8 e d = - 5.

Embora teremos um tópico sobre sistemas lineares, acreditamos que todos tenham tido contato com esses sistemas pequenos tanto no Ensino Fundamental quanto no Médio, como também na disciplina de Introdução ao Cálculo. Caso você não entenda a resolução deste sistema, é importante que retome o material da disciplina de Introdução ao Cálculo e faça um estudo sobre os sistemas lineares de ordem 2.

DICAS

Temos para a qual AX = I2

A seguir, verificamos se XA = Então,

podemos dizer que é a matriz inversa de ou seja:

2

- 3 8 5 8 1 0 I : . = .

2 - 5 2 3 0

1

- 3 8 2 - 5

5 82 3

- 1 - 3 8 A = .

2 - 5

DICAS

Assim, se você quiser ter certeza de que calculou a matriz inversa corretamente, basta efetuar a multiplicação . Se essa multiplicação resultar na

identidade , você terá calculado corretamente, caso contrário, refaça os cálculos.

- 1A- 1A A⋅

1 00 1

I

=

Propriedades da Multiplicação de matrizes

Como o produto de matrizes é definido de forma diferente do produto de uma matriz por um número real, as propriedades satisfeitas pela multiplicação de números reais em geral não valem para a multiplicação de matrizes.

Vamos supor que as matrizes A, B e C sejam de ordens tais que as operações a seguir sejam possíveis. Assim, são válidas as seguintes propriedades para a multiplicação de matrizes:

Propriedade Associativa: (A·B) · C = A · (B·C)


34

Demonstração: Suponhamos que as matrizes A, B e C tenham ordens respectivamente: n r r se s m, × × ×

Temos que: ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1

s s r

kj il lk kjikijk k l

A B . C A B c = a b . c. . .= = =

=

∑ ∑ ∑

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )1 1 1

r s r

il ik kj il lj ijl k l

a . b c = a . B C = A . B C . .= = =

⇒

∑ ∑ ∑

c.q.d.

Propriedade Distributiva à direta em relação à adição: (A + B) ·C = A·C + B·C


Temos que: ( ) ( ) ( ) ( )( )1 1

n n

ik ik kj kj ik ikk k

A B . C = b c . c = c a b= =

+ + +∑ ∑

( )1 1 1

n n n

kj ik kj ik kj ik kj ik ij ijk k k

c a c b = c a c b A C B C = . .= = =

⇒ + + + ∑ ∑ ∑

ijA.C B C = A C B C . . . ⇒ + +

c.q.d.

Propriedade Distributiva à esquerda em relação à adição: A·(B + C) = A·B + A·C


Temos que: ( ) ( ) ( )( )1 1

n n

ik ik kj kjkjk k

A . B C = a B C = a b c = =

+ + + ∑ ∑

( )1 1 1

n n n

ik kj ik kj ik kj ik kj ij ijk k k

a b a c = a b a c A B A C = . .= = =

⇒ + + + ∑ ∑ ∑

ijA B A C = A B A C . . . . ⇒ + +

c.q.d.

Importante:

• Em geral, A·B ≠ B·A, para A e B duas matrizes quaisquer, isto é, não é válida a propriedade comutativa da multiplicação para matrizes.


35

• A·I = I·A = A, onde I é a matriz identidade de ordem apropriada e A é uma matriz qualquer.

• (A·B)T = BT·AT , para A e B matrizes.• 0·A = 0 e A·0 = 0, para toda matriz A (onde 0 é a matriz nula de ordem

apropriada).

É possível A·B = 0, sem termos A = 0 ou B = 0.

IMPORTANTE

Para exemplificar o que o UNI acabou de informar, considere as matrizes:2 00 5

A

=

e note que A ≠ 0 e B ≠ 0 (onde 0 é a matriz nula de 0 - 3

B = 1 0

ordem apropriada).

Com isso teremos2 0 0 - 3 0 0

A B = = 0 5 1 0 0 0

⋅ ⋅

6.5 OUTROS EXEMPLOS QUE ENVOLVEM OPERAÇÕES COM MATRIZES

A seguir veremos mais alguns exemplos de situações que envolvem matrizes e suas operações.

Exemplo 1: Dadas as matrizes: 1 2 3 - 2 0 1 A = , B = e D = 2 - 1

2 1 - 1 3 0 1

Calcule D . (2A + 3B).

Resolução: Primeiramente, vamos calcular a prioridade da expressão que é definida pelos parênteses.

1 2 3 - 2 0 1 2A + 3B = 2 + 3

2 1 - 1 3 0 1

2 4 6 - 6 0 3 2-6 4+0 6+3 - 4 4 9 2A + 3B = + = =

4 2 - 2 9 0 3 4+9 2+0 - 2+3 13 2 1

⋅ ⋅


36

Agora, resolveremos a multiplicação:

( ) 11 12 13 1x2 1x3 2x3

- 4 4 9 D n 2A + 3B = 2 - 1 n = d d d

13 2 1

Lembre-se de que é necessário verificar se a multiplicação é possível, ou seja, se o número de colunas da primeira matriz é igual ao número de linhas da segunda matriz.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1x3

D 2A + 3B = 2 - 4 + - 1 13 2 4 + - 1 2 2 9 + - 1 1 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

( ) 1x3D 2A + 3B = - 8 - 13 8 - 2 18 - 1 ⋅

( ) 1x3D 2A + 3B = - 21 6 17 ⋅

Exemplo 2: Sejam as matrizes A = (aij)2x2, com aij = 2i - j2 e B = (bij)2x2, com bij = aij - 1, encontre a matriz X de modo que: X - 2A + B = 0.

Resolução: Vamos iniciar construindo as matrizes A e B.

Matriz A

Como é uma matriz 2x2, sua genérica é: 11 12

21 22

a aA

a a

=

Conforme orienta o enunciado, cada elemento aij será determinado por aij = 2i – j2.

Matriz B

Como é uma matriz 2x2, sua genérica é: 11 12

21 22

b bB =

b b

2 11 a = 2 1 - 1 = 2 - 1 = 1⋅

2 21a = 2 2 - 1 = 4 - 1 3 = ⋅

2 12 a = 2 1 - 2 = 2 - 4 2 = - ⋅

2 22a = 2 2 - 2 = 4 - 4 0 = ⋅

1 - 2 A =

3 0

2 ija = 2i - j


37

Conforme orienta o enunciado, cada elemento bij será determinado por bij = aij - 1.

ij ijb = a - 1

11b = 1 - 1 = 0

21b = 3 - 1 = 2

12 b = - 2 - 1 = - 3

22b = 0 - 1 = - 1

Este valor (aij) você irá buscar na matriz A.

0 - 3 B =

2 - 1

Determinadas as matrizes A e B, vamos resolver a equação X – 2A + B = 0.

Assim como em uma equação do primeiro grau, sugerimos isolar a matriz X antes de substituir as matrizes.

DICAS

( )2 + 0 - 4 + 3

X = 6 + - 2 0 + 1

2 - 1 X =

4 1

2X A B – =

1 - 2 0 - 3 X = 2 -

3 0 2 - 1

⋅

( )2 1 2 - 2 0 - 3 X = -

2 - 1 2 3 2 0

⋅ ⋅

⋅ ⋅

2 - 4 0 - 3 X = -

6 0 2 - 1

2 - 4 0 3 X = +

6 0 - 2 1

2 0X A B – + =

Lembre-se: resolvemos a subtração de matrizes

somando a matriz oposta!

Essa é a matriz X.


38

Exemplo 3: Seja A = (aij) a matriz 2x2 real definida por aij = 1 se i ≤ j e aij = -1 se i > j. Calcule A2.

Resolução: Vamos iniciar construindo a matriz A.

11 12

21 22

a aA

a a

=

Como é uma matriz 2x2, sua genérica é:

Conforme orienta o enunciado, cada elemento aij será determinado por aij = 1 se i ≤ j e aij = -1 se i > j.

11

21

12

22

a = 1a = - 1a

= 1a = 1

1 1 A =

- 1 1

Agora, basta calcularmos A2.

ATENCAO

Calcular A2 não é elevar cada um de seus elementos ao quadrado, mas sim

multiplicar a matriz por ela mesma, ou seja, A2 = A · A . 2 1 1 1 1 A = A A =

- 1 1 - 1 1

⋅ ⋅

Para resolver esta multiplicação é necessário verificar se o número de linhas da primeira matriz é igual ao número de colunas da segunda matriz.

2 2x2 2x2 2x2A A = A ⋅

( )( ) ( ) ( )

2 1 1 + 1 - 1 1 1 + 1 1 1 1 1 1 A = =

- 1 1 - 1 1 - 1 1 + 1 - 1 - 1

1 + 1 1

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

2 1 - 1 1 + 1 0 2 A = =

- 1 - 1 - 1 + 1 - 2 0


39

Exemplo 4: (UFRJ) Uma confecção vai fabricar três tipos de roupas utilizando três materiais diferentes. Considere a matriz A abaixo, onde cada elemento aij representa quantas unidades de material j serão empregados para fabricação de roupas do tipo i.

5 0 2A = 0 1 3

4 2 1

a) Quantas unidades de material 3 serão empregados na confecção de uma roupa tipo 2?

b) Calcule o total de unidades do material 1 que será empregado para fabricar cinco roupas do tipo 1, quatro roupas do tipo 2 e duas roupas do tipo 3.

Resolução: De acordo com o enunciado, temos a tabela:

Material 1 Material 2 Material 3Roupa tipo 1 5 0 2Roupa tipo 2 0 1 3Roupa tipo 3 4 2 1

a) O número de unidades de material j = 3 na confecção de uma roupa tipo i = 2 é o elemento a23 da matriz A, ou melhor, é o elemento da segunda linha com a terceira coluna a23 = 3 unidades.

b) O valor procurado é 5a11 + 4a21 + 2a31 = 5×5 + 4×0 + 2×4 = 25 + 0 + 8 = 33 unidades.

Exemplo 5: (PUC) Um batalhão do exército resolveu codificar suas mensagens através da multiplicação de matrizes. Primeiramente, associa as letras do alfabeto aos números, segundo a correspondência abaixo considerada:


40

Desta forma, supondo que o batalhão em questão deseja enviar a

mensagem "PAZ", pode-se tomar uma matriz 2x2, da forma: a qual,

usando-se da tabela acima, será dada por:

P AZ - 15 1

25 0

Tomando-se a matriz-chave C para o código, isto é: transmite-se a

mensagem "PAZ" através da multiplicação das matrizes M e C, ou seja:

2 31 2

15 1 2 3 31 47M C = = .

25 0 1 2 50 75

⋅ ⋅

Ou através da cadeia de números 31 47 50 75. Desta forma, utilizando-se a mesma matriz-chave C, a decodificação da mensagem 51 81 9 14 será compreendida pelo batalhão como a transmissão da palavra:

a) LUTEb) FOGOc) AMORd) VIDAe) FUGA

Resolução: Para construir a Matriz D vamos usar o fato de que D é a matriz inversa de C se, e somente se, C×D = D×C = I, onde I é matriz identidade. Depois, basta resolvermos os sistemas de equações resultantes.

IMPORTANTE

Como já falamos, só existe a inversa de matrizes quadradas. E mais do que isso, a inversa terá sempre a mesma ordem da matriz além disso, a identidade também terá essa mesma ordem.

- 1A A I


41

- 1a b 2 3D = , C = e D = C

c d 1 22 3 a b 2 a + 3 c 2 b + 3 d 1 0

. = = 1 2 c d a + 2 c b + 2 d 0 1

2 a + 3 c = 1 2 b + e

a + 2 c = 0

⇒

⇒

3 d = 0b + 2 d = 1

a = 2 ; b = - 3 ; c = - 1 ; d = 2

⇒

Acadêmico(a), veja que a matriz C codificou a mensagem multiplicando a matriz M pela direita, assim, temos que decifrar a mensagem também pela direita multiplicando por D = C-1 , pois a propriedade comutativa no produto de matrizes não é válida. Decodificando a mensagem 51 81 9 14, encontramos:

51 81 2 -3 102 - 81 - 153 + 162 . = =

9 14 -1 2 18 - 14 - 27 + 28

21 9 =

4 1

Logo, a mensagem 51 81 9 14 será compreendida como 21 9 4 1, correspondendo à palavra VIDA, e a alternativa (D) é a opção correta.

42

Neste tópico você viu:

• Uma matriz é uma organização de dados em linhas e colunas e que cada ente da matriz é denominado elemento. Uma matriz é representada por uma letra maiúscula e os elementos podem estar dispostos entre parênteses ou colchetes. A ordem de uma matriz é a informação da quantidade de linhas (m) e colunas (n).

• Alguns tipos de matrizes: quadrada, nula, coluna, linha, oposta, diagonal, identidade, triangular, transposta e simétrica.

• Algumas operações: soma de matrizes, multiplicação por um número real e multiplicação de matrizes. Aqui vale destacar:

o Só podemos somar matrizes de mesma ordem. o Para multiplicar matrizes o número de colunas da primeira matriz tem que ser

igual ao número de linhas da segunda. Já a matriz resultante (produto) terá o número de linhas da primeira matriz e o número de colunas da segunda matriz.

oNa multiplicação de matrizes não vale a propriedade comutativa, isto é,

podemos ter para duas matrizes quaisquer A e B.

RESUMO DO TÓPICO 1

A B B A⋅ ≠ ⋅

43

Acadêmico(a), um dos princípios da UNIASSELVI é “Não basta saber, é preciso saber fazer”. Agora chegou a sua vez de colocar em prática os conceitos sobre matrizes estudados neste tópico.

1 Sendo dadas as matrizes:

AUTOATIVIDADE

8 3 1 4 - 1 8 A = 2 4 , B = 5 3 , C = - 2 - 4

1 5 8 5 - 3 - 5

Calcule:

a) A + B d) A + B + Cb) A + C e) A - B - Cc) B + C f) A + C - B

2 Dadas as matrizes:

2 - 3 0 1 - 2 8A = , B = e C =

4 - 1 2 3 1 - 3

Calcule:

a) 5A + 3B c) A + 5B - 2Cb) 6A - 4B d) 2B - C

3 Calcule os produtos indicados:

( )2

a) 1 - 3 4 . 15

- 1 2 3 8 3 b) .

3 - 4 1 2 4

2 - 3 1 3 4 5 c) .

0 3 - 3 2 1 4

1 0 2 3 d) .

0 1 7 0

44

4 Dada a matriz mostrada adiante:

1 2 3 A = 0 1 2

- 1 1 - 1

Determine:

t b) A . A t c) 2A . 3A 2a) A

5 Sejam as matrizes A = (aij)2x2, com aij = i – j2 e B = (bij)2x2, com bij = aij + 1, encontre a matriz X de modo que: X – At + 2Bt = 0.

6 Dados determine x e y sabendo que A = B.

( )ij ij 2x2

2 1A = a , a = 3i - j e B =

x x + y

7 Dadas as matrizes

ij

0, se i ja = .

i + j, se i = j

≠

10 Determine x, y, z e t sabendo que:

Calcule:

3 33 A + I e 2 A - I .

x 3 10a y - - 1 = 2

z 5)

5

t t t

0 3 6 - 5 4

A = e B = 7 10 , calcule ( A . B ) e B . A . - 3 2 - 1

8

11

calcule

8 A e B são suas matrizes quadradas de ordem 2, cujos elementos são dados por

9 Seja A uma matriz quadrada de ordem 3 cujos elementos são dados por

( ) 2

ij ij ij a = 3i - 2j e b = a . Calcule A - B.Calcule

45

x y x 3 10 - 1 b) + =

3 2 z t z 4 18

x - 5 1 - 1 1 - 6 y - 1 + - 3 2 = 2 1 z 0 - 4 - 5 - 5 - 5

c)

11 (FUNIVERSA) Duas empresas, 1 e 2, são investigadas em três crimes fiscais, I, II e III. As evidências que relacionam as duas empresas aos crimes são tais que:

A evidência Relaciona a(s) empresa(s) Ao(s) crime(s)

A 1 I e III

B 1 e 2 I e II

C 2 II e III

D 1 I e II

E 1 e 2 I, II e III

F 2 III

G 1 I e II

H 1 e 2 II e III

I 2 I e III

Para tratar as informações necessárias à investigação desses crimes, um perito montou uma matriz M na qual cada elemento aij corresponde à quantidade de evidências que relacionam a empresa i ao crime j.

Com base nessas informações, a matriz M é:

5 3 3 5 3 55 5 3 3 4 5

a) 5 4 b) c) d) 4 5 e) 5 43 4 5 5 5 3

3 5 5 3 5 3

12 (UFMT) Sejam as matrizes A = (aij)2x3 tal que aij = j – 3i; B = (bij)3x2 tal que bij = 2i + j2; e C = (cij)2x2 tal que cij = ij. O elemento de maior módulo dentre os que formam a diagonal principal da matriz P, em que P = AB + 20C, é:

a) 20 d) -12b) 9 e) 0c) -16

Assista ao vídeo deresolução da questão 12

46

13 Leia atentamente as sentenças a seguir:

I- O produto das matrizes A, de ordem 4x2, e B, de ordem 2x2, é uma matriz de ordem 4 x 2.

II- O produto das matrizes A de ordem 5x4 e B de ordem 5x2 é uma matriz de ordem 5x2.

III- O produto das matrizes A de ordem 2x3 e B de ordem 3x4 é uma matriz quadrada.

As sentenças verdadeiras são:

a) ( ) I e III b) ( ) Apenas Ic) ( ) Apenas IIId) ( ) Apenas II e) ( ) I e II

14 (UEL-PR) Dadas as matrizes A = , definida por , definida por , definida por C = A . B, é correto afirmar que o elemento é:

a) ( ) Igual ao elemento b) ( ) Igual ao produto de c) ( ) O inverso do elemento d) ( ) Igual à soma de e) ( ) Igual ao produto de

( ) ij 3x2a

ij ij 2x3a = i - j ; B = ( b )

ij ijb = j, C = (c ) 23c

12c .

23 23a por b . 32c .

12 11a com b . 21 13a por b .

por

compor

15 Prove que a matriz é inversa de A =- 1

2 2 1- 3 3 31 2 1 - 3 3 31 1 1-

A

3

3

=

3

1 1 00 1 11 0 2

16 Determine a matriz inversa da A = .1 1 00 1 11 0 2

17 Considere a matriz A = (aij)4x4 definida por aij = 1 se i ≥ j e aij = i + j se i < j. Calcule a soma dos elementos da diagonal secundária.

47

TÓPICO 2

DETERMINANTES E INVERSÃO DE MATRIZES

UNIDADE 1

1 INTRODUÇÃO

Na história da matemática, a ideia de determinante aparece em soluções de sistemas lineares pelo menos um século antes do matemático inglês Arthur Cayley criar as teorias das matrizes. Apesar de hoje estudarmos primeiro matrizes, depois determinantes e, em seguida, sistemas lineares, a ordem histórica foi: sistemas lineares, determinantes e, somente mais tarde, as matrizes.

Presume-se que a primeira ideia de determinante surgiu na China antiga, onde os coeficientes de equações lineares eram representados com varetas de bambu. O qual foi aperfeiçoado pelo matemático japonês Seki Shinsuke Kowa, no século XVI, e se assemelha ao processo usado hoje para o cálculo de determinantes.

Ainda no século XVI, o matemático alemão Göttfried Wilhelm Leibniz criou a teoria dos determinantes enquanto buscava soluções para sistemas lineares. E, no século seguinte, o matemático suíço Gabriel Cramer, por desconhecer os trabalhos já realizados, reinventou os determinantes ao estabelecer e publicar uma regra que leva seu nome (a qual estudaremos neste tópico), também na busca de resoluções de sistemas lineares.

Em 1812, Cauchy sistematizou o estudo dos determinantes em uma publicação de 84 páginas e, a partir daí, a teoria dos determinantes tornou-se um ramo da Álgebra, passando, então, a ser largamente utilizada.

NOTA

Até 1858, quando o conceito de matriz aparece pela primeira vez, não se falava

em determinante de uma matriz , mas sim em determinante de um sistemaa bc d

ax + by = e .

cx + dy = f


48

2 O CÁLCULO DO DETERMINANTE

O determinante é um número real associado a uma matriz quadrada. É importante destacar que cada matriz possui um único determinante.

O determinante de uma matriz A será denotado por “det A” ou por DA.

2.1 DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE PRIMEIRA ORDEM

O determinante de uma matriz de primeira ordem, A = (a11), é definido pelo valor do seu elemento único a11, ou seja:

Exemplos:

1) Se M = (6), então det M = 6.2) Se Z = então det Z =

11 11det A a a . = =

- 2 , - 2 .

2.2 DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE SEGUNDA ORDEM

A matriz quadrada de segunda ordem tem como

determinante o número real obtido pela expressão

Indicamos por:

11 12

21 22

a aA =

a a

11 22 12 21a a - .a a ⋅ ⋅

11 12 11 22 12 21

21 22

a adet A = = a a - a a

a .

a

⋅ ⋅

Portanto, o determinante de uma matriz de segunda ordem é dado pela diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária.

Dada a matriz indicaremos o seu determinante por

11 12 13 1

21 22 23 2

1 2 3

n

n

m m m mn mxn

a a a a a a a a

A

a a a a

= … … … …

11 12 13 1

21 22 23 2

1 2 3

n

n

m m m mn mxn.

a a a a a a a a

det A

a a a a

= … … … …

TÓPICO 2 | DETERMINANTES E INVERSÃO DE MATRIZES

49

Veja os exemplos a seguir:

Exemplo 1: Calcular o determinante da matriz 2 7

B = .4 8

Resolução: det B = 2·8 - 7·4 ↔ det B = 16 – 28 ↔ det B = -12.

Exemplo 2: (GIOVANNI; BONJORNO; GIOVANNI JR., 2002, p. 314) Calcule o determinante da matriz A do tipo 2x2, cujos elementos são:

ij 2

ij

a = i + 2j, se i ja = i - j, se i < j

≥

Resolução: Partimos da matriz genérica para determinar os elementos da matriz.

Matriz A

11 12

21 22

a aA =

a a

ija = i + 2j, se i j≥

11a = 1 + 2 · 1 = 1 + 2 = 3

21a = 2 + 2 · 1 = 2 + 2 = 4

22a = 2 + 2 · 2 = 2 + 4 = 6

2 ija = i - j, se i < j

2 12a = 1 – 2 = 1 – 2 = – 1 .

Logo, 3 - 1

A = . 4 6

Portanto, det A = 3 · 6 - 4 · (-1) ↔ det A = 18 + 4 ↔det A = 22.

2.3 DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE TERCEIRA ORDEM – REGRA DE SARRUS

O cálculo do determinante de terceira ordem pode ser feito por meio de um dispositivo prático, denominado regra de Sarrus.


50

Seja a matriz .11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a aA = a a a

a a a

1° passo: Repetimos as duas primeiras colunas ao lado da terceira coluna:

11 12 13 11 12

21 22 23 21 22

31 32 33 31 32

a a a a aa a a a aa a a a a

2° passo: Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal principal com os dois produtos obtidos pela multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal:

11 12 13 11 12

21 22 23 21 22 11 22 33 12 23 33 13 21 32

31 32 31 32 33

a a a a a a a a a a = ( a a a + a a a + a a a )

a a a a a

paralelas

diagonal principal

11 12 13 11 12

21 22 23 21 22 13 22 31 11 23 32 12 21 33

31 32 31 32 33

a a a a a a a a a a = ( a a a + a a a + a a a )

a a a a a

paralelasdiagonal secundária

3° passo: Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal secundária com os dois produtos obtidos pela multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal:

4° passo: Por fim, devemos operar: a soma do produto da diagonal principal com suas paralelas, menos a soma do produto da diagonal secundária com suas paralelas. Desta forma:

11 22 33 12 23 32 13 21 32 13 22 31 11 23 32 12 21 33det A = ( a a a + a a a + a a a ) - ( a a a + a a a + a a a )


51

Sempre que tivermos uma matriz dentro de barras simples, estaremos tratando

de cálculo de determinante. Por exemplo, estamos indicando que o determinante da matriz é 19.

ATENCAO

3 1 = 19

5 8

3 4 2 3 42 1 5 2 10 7 4 0 7

Resolução: Iniciamos repetindo as duas primeiras colunas após a terceira.

Exemplo 1: Calcule o determinante da matriz .3 4 2

B = 2 1 50 7 4

Det B = (3 · 1 · 4 + 4 · 5 · 0 + 2 · 2 · 7) - ( 2 · 1 · 0 + 3 · 5 · 7 + 4 · 2 · 4)Det B = (12 + 0 + 28) - (0 + 105 + 32)Det B = 40 - 137Det B = - 97

Exemplo 2: Resolver a equação: 2 3 - 2 0 1 x = 2 2 x - 3

Resolução: A representação indica que o determinante desta matriz é 2. Assim, vamos calcular o determinante e igualar a 2.

2 3 - 2 2 3 0 1 x 0 1 = 2 2 x - 3 2 x

Assim:


52

( ) ( ) ( ) ( ) 2 · 1 · – 3 + 3 · x · 2 + – 2 · 0 · x – – 2 · 1 · 2 + 2 · x · x + 3 · 0 · – 3 = 2

( ) ( ) 2 – 6 + 6 x + 0 – – 4 + 2 x + 0 = 2

2– 6 + 6 x + 4 – 2 x = 2 2– 2 x + 6 x – 4 = 0

Não se esqueça de realizar a propriedade distributiva,

devido ao sinal de negativo.

Para simplificarmos a equação, vamos dividir ambos os lados da igualdade por (-2). x2 – 3x + 2 = 0

Aplicando a fórmula de Bháskara, determinamos os valores para x que tornam o determinante da matriz igual a 2. Assim, x’ = 1 e x” = 2.

2.4 COFATOR

Dada uma matriz A=[aij], quadrada de ordem , denominamos cofator de aij o produto de (-1) i j+ pelo determinante da matriz (Dij) que se obtém de A, suprimindo a linha de ordem i e a coluna de ordem j. Notação: cij.

2 *n e n≥ ∈N

( ) i+j

ij ijC = - 1 D ⋅

Assim, se considerarmos a matriz quadrada de terceira ordem, temos:

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a aA = a a a

a a a

( ) ( ) 1+1 1+1 22 23 11 11

32 33

a aC = - 1 D = - 1

a

a ⋅ ⋅

Neste caso, eliminamos a linha 1 e a coluna 1.

( ) ( ) 2+3 2+3 11 12 23 23

31 32

a aC = - 1 D = - 1

a

a ⋅ ⋅

Neste caso, eliminamos a linha 2 e a coluna 3.


53

Exemplos:

2 31) A =

- 1 5

1+1 11

1+2 12

c = ( - 1 ) . 5 = 5

c = ( -1) . - 1 = 1

2+1 21

2+2 22

c = ( - 1 ) . 3 = - 3

c = ( - 1 ) . 2 = 2

3+2 32

1 3 41 4

2) A = - 2 0 5 c = ( - 1 ) . = - 1 . ( 5 + 8 ) = - 13- 2 5

7 6 8

2.5 DETERMINANTE DE ORDEM N > 3

Para calcularmos o determinante de matrizes de ordem superior a 3, usaremos o Teorema de Laplace. Este teorema pode ser utilizado para matrizes de ordem 2 ou superior, porém, julgamos que os métodos ensinados anteriormente apresentam resolução mais rápida.

Teorema de Laplace

O determinante de uma matriz quadrada de ordem é a soma dos produtos dos elementos de uma fila (linha ou coluna) pelos respectivos cofatores.

n 2≥

A resolução se torna mais rápida quando consideramos a fila que contém o maior número de zeros, pois neste caso não é necessário calcular o determinante.

ATENCAO

Exemplos:

12 22 32

1+2 12

det A = 3 . C + 0 . 1 3 4

1) A = - 2 0 5 7 6 8

- 2 5c = (

C + 6 . C

- 1 ) . = - 1 . ( - 51 ) = 517 8


54

( )

3+2 32

1 4c = ( - 1 ) . = - 1 . ( 5 + 8 ) = -

det A = 3 . 51 + 6 . -13 = 153 - 78

13-

=

2 5

75

41 42 43 44

4+4 44

2 3 1 00 2 0 3

2) = 0 . c + 0 . c + 0 . c + 6 . c = 6 . 6 = 365 - 1 4 00 0 0 6

2 3 1C = ( - 1 ) . 0 2 0 = 1 . 6 = 6

5 - 1 4

Pierre Simon Marquis de Laplace nasceu na França, em Beaumont-en-Auge, no dia 23 de março de 1749, tendo falecido na cidade de Paris, a 5 de março de 1827. Destacou-se nas áreas da Física, da Astronomia e da Matemática. Organizou a astronomia matemática, sumariando e ampliando o trabalho de seus predecessores nos cinco volumes do seu Mécanique Céleste (Mecânica Celeste) (1799-1825). Esta obra-prima traduziu o estudo geométrico da mecânica clássica usada por Isaac Newton para um estudo baseado em cálculo, conhecido como mecânica física.

Ele também formulou a equação de Laplace. A transformada de Laplace aparece em todos os ramos da física matemática, campo em que teve um papel principal na formação. O operador diferencial de Laplace, do qual depende muito a matemática aplicada, também recebe seu nome.

Pierre Laplace era filho de um pequeno trabalhador rural ou talvez um empregado de fazenda e ficou a dever a sua educação ao interesse de alguns vizinhos abastados, graças às suas habilidades e presença atrativa. Parece que, de pupilo, se tornou professor-assistente na escola em Beaumont; mas, tendo procurado uma carta de apresentação a Jean le Rond d’Alembert, foi a Paris tentar sua sorte. Um artigo sobre os princípios da mecânica instigou o interesse de d’Alembert e, sob sua recomendação, foi oferecido um lugar na escola militar a Laplace.Seguro das suas competências, Laplace dedicou-se, então, a pesquisas originais e, nos 17 anos seguintes, entre 1771 e 1787, produziu uma boa parte dos seus trabalhos originais em astronomia. Tudo começou com uma memória, lida perante a Academia Francesa em 1773, em que mostrava que os movimentos planetários eram estáveis, levando a prova até ao

IMPORTANTE


55

ponto dos cubos das excentricidades e das inclinações. Isso foi seguido por vários artigos sobre tópicos em cálculo integral, diferenças finitas, equações diferenciais e astronomia.Laplace tinha um amplo conhecimento de todas as ciências e dominava todas as discussões na Académie. De forma razoavelmente única para um prodígio do seu nível, Laplace via os matemáticos apenas como uma ferramenta para ser utilizada na investigação de uma averiguação prática ou científica.

Laplace passou a maior parte de sua vida trabalhando na astronomia matemática, que culminou na sua obra-prima sobre a prova da estabilidade dinâmica do sistema solar, com a suposição de que ele consistia num conjunto de corpos rígidos movendo-se no vácuo. Ele formulou independentemente a hipótese nebular e foi um dos primeiros cientistas a postular a existência de buracos negros e a noção do colapso gravitacional.

Ele é, nos dias de hoje, lembrado como um dos maiores cientistas de todos os tempos (às vezes, chamado de Newton francês ou Newton da França), com uma fenomenal capacidade matemática natural sem par entre os seus contemporâneos. Parece que Laplace não era modesto sobre as suas capacidades e realizações e ele provavelmente não conseguia reconhecer o efeito de sua atitude sobre seus colegas. Anders Johan Lexell visitou a Académie des Sciences em Paris, em 1780-81 e relatou que Laplace deixava claro que se considerava o melhor matemático da França. O efeito sobre os seus colegas só seria relativamente atenuado pelo fato de que Laplace muito provavelmente estaria correto.

FONTE: Disponível em: <http://www.explicatorium.com/biografias/pierre-laplace.html>. Acesso em: 22 fev. 2016.

2.6 CÁLCULO DA MATRIZ INVERSA UTILIZANDO DETERMINANTE

No tópico anterior vimos como calcular a matriz inversa de uma matriz de ordem 2 utilizando a definição e resolvendo o sistema linear. Agora, veremos como utilizar o determinante da matriz para determinar sua inversa.

Definição: Seja uma matriz onde a, b, c e d são números reais

tais que det (A) ≠ 0. Então a inversa de A será dada por

a bA =

c d

( ) ( )

( ) ( )

- 1

d - bdet A det A

A = - c a

det A det

A

Exemplo 1: Calcule a inversa de .- 2 4

A = 5 - 1


56

Resolução: Pela definição, temos:( ) ( )

( ) ( )

- 1

d - bdet A det A

A = - c a

det A det

A

Assim, precisamos calcular ou seja:( )det A ,

( ) ( ) ( )( )( )

det A = - 2 - 1 - 5 4

det A = 2 - 20

det A = - 18

⋅ ⋅

Substituindo os valores de a, b, c, d e do det (A) na definição:

- 1

- 1

- 1 - 4- 18 - 18A = - 5 - 2

- 18 - 18

1 418 18 A = 5 2

18 1

8

Veja como é rápido efetuar essa inversa, porém a generalização é difícil. Portanto, é importante aprender os outros métodos.

ATENCAO

Exemplo 2: Calcule a inversa da matriz- 2 9

A = 1 3

Resolução: Novamente, pela definição, temos: ( ) ( )

( ) ( )

- 1

d - bdet A det A

A = - c a

det A det

A


57

Assim, precisamos calcular ou seja:( )det A ,

( ) ( )( )( )

det A = - 2 3 - 1 9

det A = - 6 - 9

det A = - 15

⋅ ⋅

Então, da matriz A, sabemos que a = - 2, b = 9, c = 1 e d = 3. Usando a definição da inversa, basta efetuar as devidas substituições.

( ) ( )

( ) ( )

- 1

- 1

- 1

d - bdet A det A

A = - c a

det A det A

3 - 9- 15 - 15 A = - 1 - 2

- 15 - 15

3 9- 15 15 A = 1 2

15

15

2.7 PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES

Acadêmico(a), assim como vimos no estudo das propriedades das matrizes, as propriedades dos determinantes facilitam certos cálculos, sendo possível fazer com que economizemos tempo na resolução desses cálculos. Vejamos, a seguir, quais são estas propriedades:

P1: Se os elementos de uma linha (ou uma coluna) de uma matriz quadrada forem todos iguais a zero, seu determinante será zero.

Exemplos:

4 9 - 8 7 3 0 15 0 0 0 01) = 0 2) 2 0 - 3 = 03 2 - 1 3 - 1 0 7

18 12 9 3


58

P2: Se os elementos de duas linhas ou colunas de uma matriz forem iguais, seu determinante será nulo.

Exemplo:

1 3

2 5 3 5 4 2 9 8

1) = 0 pois, 2 1 3 5 9

L =

7 3

L

4

P3: Se uma matriz possui duas linhas (ou colunas) proporcionais, então seu determinante será nulo.

Exemplo:

3 1

1 4 2 1) 2 1 4 = 0 pois C a

3 2 6= 2C

P4: Se trocarmos de posição, entre si, duas linhas (ou colunas) de uma matriz quadrada, o determinante da nova matriz é o anterior com o sinal trocado.

Exemplo:

1 2 3 2 1 - 1 = - 4 3 2 1

Trocando as posições de L1 e L2, por exemplo, temos:

2 1 - 1 1 2 3 = + 4 3 2 1

P5: Se multiplicarmos todos os elementos de uma linha (ou coluna) por um número real , então o determinante da nova matriz é o anterior multiplicado pelo número .

Exemplos:

αα


59

( ) 1Multiplicando C por 2, t 1 2 3 2 2 3

1) 2 1 - 1 = - 4 4 1 - 1 = 2 - 4 = - 8 3 2 1 6 2 1

emos: ⋅

15 1

5 - 10 0 2) 3 7 4 = Multiplicando - L145

por

2 0 - 1, te

mos:

( ) 1 - 2 0

1 3 7 4 = - 145 = - 295

2 0 - 1 ⋅

P6: O determinante de uma matriz quadrada A é igual ao determinante de sua transposta AT.

Exemplo:

t

1 2 3 1 2 2 2 1 2 = 9 Det 2 1 4 = 9 2 4 3 3 2 3

A = Det A =

P7: Teorema de Jacobi: o determinante de uma matriz não se altera quando somamos aos elementos de uma linha (ou coluna) uma combinação linear dos elementos correspondentes de linhas ou colunas paralelas.

Exemplo:

1 2 3 1) 2 1 2 = 9

2 4 3

Substituindo a 1ª coluna pela soma dessa mesma coluna com o dobro da 2ª, temos:

C1 + 2C2

1+2×2 2 3 5 2 3 2+1×2 1 2 = 4 1 2 = 9 2+4×2 4 3 10 4 3


60

P8: O determinante associado a uma matriz triangular é igual ao produto da diagonal principal.

Exemplos:

a 0 0 x g h 1) d b 0 = a b c 2) 0 y i = x y z

e f c 0 0 z ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

P9: Teorema de Binet: se A e B são matrizes quadradas, então Det (AB) = Det A·Det B

Exemplo:

( ) 5 2

10

2 1 1 0 4 2 , ,Se A = B = e A B = e det AB = det A det B

nt

3 4 2 2 ão:

11 8 ⋅⋅

P10: Matriz inversa: seja M uma matriz inversível de ordem n, temos: - 1 1Det M =

Det M

Exemplo:

- 1 5 8 - 3 8 1Seja: A = = - 1, então A = = = - 1 . 2 3 2 - 5 - 1

Crie outras matrizes e verifique passo a passo a validade de cada uma destas propriedades.

DICAS

2.8 MATRIZ SINGULAR

Uma matriz é denominada singular quando o seu determinante é nulo. Por exemplo, se uma matriz quadrada tiver pelo menos uma linha ou coluna nula, terá determinante zero (0), o que caracteriza uma matriz singular.


61

Existem nove matrizes singulares com dimensão 2x2 compostas dos números 0 e 1:

0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 , , , , , , , , ,

0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1

Descubra quantas matrizes singulares existem de dimensão 3x3.

DICAS

3 ESCALONAMENTO DE MATRIZES

O escalonamento de matrizes nos auxilia no cálculo de determinantes de qualquer ordem, no cálculo da inversa de uma matriz de qualquer ordem e também na resolução de sistemas lineares (tema do próximo tópico). Preste muita atenção em cada etapa, pois usaremos muito este método!

3.1 FORMA ESCALONADA DE UMA MATRIZ

Uma matriz é denominada de forma escalonada quando o número de zeros no lado esquerdo do primeiro elemento não nulo da linha aumenta a cada linha.

Exemplo 1: A matriz é uma matriz escalonada.

1 5 6 4 0 2 0 1 0 0 1 0 0 0 0 3

Exemplo 2: A matriz não é uma matriz escalonada.

1 5 6 4 0 0 2 1 0 1 1 0 0 0 0 3

Exemplo 3: No caso de uma linha se tornar nula, todas as linhas seguintes devem ser linhas nulas para manter a qualidade de matriz escalonada.


62

A matriz é uma matriz escalonada.

1 5 6 4 0 2 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0

3.2 MÉTODO DE ELIMINAÇÃO DE GAUSS

O método de eliminação de Gauss, também conhecido como escalonamento, é utilizado para converter uma matriz qualquer na forma de matriz escalonada, aplicando uma sequência de operações, denominadas operações elementares.

As operações elementares se constituem de três operações básicas:

• Multiplicar: podemos multiplicar uma linha inteira por uma constante não nula. Simbolizamos por:

• Trocar ou permutar: podemos trocar duas linhas inteiras entre si. Simbolizamos por:

• Somar ou subtrair: um múltiplo de uma linha a outra linha. Simbolizamos por:

* i iL = a . L ( a ) .∈ �

. i KL = L

* i kL = L i + a . L ( a ).∈ �

Preste bem atenção nas operações permitidas, pois não é qualquer operação que não altera os conjuntos relacionados às matrizes.

ATENCAO

Acadêmico(a), todo o escalonamento é efetuado em etapas, escolhendo as linhas de cima para baixo, ou seja, na primeira etapa inicia-se pela linha 1, na segunda etapa escolhe-se a linha 2 e assim por diante.

Após determinarmos a linha, teremos o olhar voltado para um elemento especial denominado pivô. O pivô, na primeira linha é o elemento a11, na segunda linha é o elemento a22, na terceira linha é o elemento a33 e assim sucessivamente. Ele deverá ter seu valor transformado em 1 e tem a função de nos auxiliar a anular os elementos abaixo dele, isto é, transformá-los em zero utilizando as três operações básicas entre linhas de matrizes.

A melhor forma de compreender o processo de eliminação de Gauss é através de exemplos. Vamos a eles:


63

Acadêmico(a), observe que para anular o elemento de uma linha, só poderemos usar ele e o múltiplo da linha pivô.

ATENCAO

Exemplo 1: Escalonar a seguinte matriz. 1 2 2 3

A = 3 7 5 1 2 4 4 4

O primeiro pivô será o elemento a11 que, no nosso exemplo, já é 1. Desta forma, vamos para o próximo passo, que é zerar os elementos abaixo de a11=1, ou seja, a21=3 e a31=2.

Como o pivô está na linha 1, esta linha será usada de base e, nesta primeira etapa, usaremos ela para zerar os elementos abaixo do pivô.

Lembre-se de que somente podemos fazer as operações permitidas. Assim, é possível somar a linha 2 (que contém o elemento 3 que queremos zerar) com a linha 1 (do pivô) multiplicada por algum número não nulo k. Vejam que esta é a terceira operação entre linhas de matrizes.

Todo o esforço se reduz a determinar qual o número k que, multiplicado com a linha do pivô (no caso a linha 1) e somado com a linha do elemento a zerar (no caso, a linha dois), consegue zerar o elemento efetivamente.

Para determinar esse escalar k basta dividir o elemento que se deseja zerar

pelo oposto do pivô. Ou seja:( )

3k = = - 3 - 1

Note que dividimos o 3 (elemento que queremos zerar) pelo (-1), que é o oposto de 1. Essa “troca” de sinal é o que caracteriza o oposto do pivô, e sempre terá que ocorrer para determinar o escalar c.

IMPORTANTE


64

Definido o escalar k, a “nova” linha 2 será a soma entre a “atual” linha 2 com a linha do pivô multiplicado por K (ou seja, com a linha 1 multiplicado por -3).

Teremos então:

( ) 2 2 1L L + - 3 × L

1 2 2 3 1 2 2 3 1 2 2 33 7 5 1 ~ 3 - 3 1 7 - 3 2 5 - 3 2 1 - 3 3 ~ 0 1 - 1 - 8 2 4 4 4 2 4 4 4 2 4 4 4→

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Conseguimos zerar o elemento 3 da linha 2. Agora, repetiremos o processo para zerar o elemento . Ainda usaremos como base a linha 1, pois o pivô pertence a esta linha.

Determinando o c:

31a = 2

( )2k = = - 2

- 1

Continuando o processo:

( ) 3 3 1L L + - 2 × L

1 2 2 3 1 2 2 3 1 2 2 30 1 - 1 - 8 ~ 0 1 - 1 - 8 ~ 0 1 - 1 - 8 2 4 4 4 2 - 2 1 4 - 2 × 2 4 - 2 2 4 - 2 3 0 0 0 - 2

→

⋅ ⋅ ⋅

Assim, já obtemos a matriz na forma escalonada.

Exemplo 2: Escalonar a matriz A, determinada a seguir: 2 5 1

A = - 5 1 6 2 2 0

Como, para determinar o escalar k devemos dividir o elemento que queremos zerar pelo pivô, se o pivô for igual a 1, o trabalho será reduzido. Com isso, sempre que possível, fazemos o pivô “virar” 1 multiplicando a linha por um número (segunda operação).

Nesse caso, ficaria ainda mais fácil se nós permutarmos a linha 3 com a linha 1, antes de nos preocuparmos em transformar o pivô em valor 1. Isso porque todos os elementos da linha 3 são pares, enquanto o mesmo não ocorre com os elementos da linha 1. Logo,


65

1 3 1 1

L L 1L L2

2 5 1 2 2 0 1 1 0 A = - 5 1 6 ~ - 5 1 6 ~ - 5 1 6

2 2 0 2 5 1 2 5 1 ↔

→ ⋅

Observe que trocamos a linha 1 pela linha 3 (L1↔L3) e, após isso, multiplicamos a linha 1 por ½.

Nosso primeiro pivô então será o elemento a11=1, e teremos que zerar os elementos a21= -5 e a31= 2.

Para zerar a21= -5, determinamos o k: ( )( ) - 5

k = = 5 - 1

Então:

2 2 1L L + 5 L

1 1 0 1 1 0 1 1 0 A ~ - 5 1 6 ~ - 5 + 5 1 1 + 5 1 6 + 5 0 ~ 0 6 6

2 5 1 2 5 1 2 5 1 → ⋅

⋅ ⋅ ⋅

Para zerar a31= 2, determinamos o k:( )

2k = = - 2 - 1

Então:

( ) 3 3 1L L + - 2 L

1 1 0 1 1 0 1 1 0 A ~ 0 6 6 ~ 0 6 6 ~ 0 6 6

2 5 1 2 - 2 1 5 - 2 1 1 - 2 0 0 3 1 → ⋅

⋅ ⋅ ⋅

A matriz ainda não está escalonada, pois abaixo do pivô a22 = 6 temos um elemento diferente de zero. Temos que zerá-lo, mas antes podemos fazer nosso pivô se transformar em 1. Essa transformação é feita no intuito de facilitar os próximos cálculos. Logo,


66

2 21L L6

1 1 0 1 1 0 A ~ 0 6 6 ~ 0 1 1

0 3 1 0 3 1

→ ⋅

Temos agora o pivô a22 = 1. Portanto, o escalar k necessário para zerar o

elemento a32=3 será dado por: ( )

3k = = - 3 - 1

Então,

( ) 3 3 2L L + - 3 L

1 1 0 1 1 0 1 1 0A ~ 0 1 1 ~ 0 1 1 ~ 0 1 1

0 3 1 0 - 3 0 3 - 3 1 1 - 3 1 0 0 - 2 → ⋅

⋅ ⋅ ⋅

Note que a linha base nesta última etapa é a segunda. Isso ocorre porque o pivô está nesta linha. Note também que não utilizamos o sinal de = entre as matrizes, simplesmente porque as matrizes não são iguais, apenas conservam propriedades importantes entre si.

IMPORTANTE

Exemplo 3: Seja a matriz escreva na forma escalonada.

, 1 - 1 2 0 1

A = 2 2 5 4 0 1 1 3 2 2

Neste exemplo só colocaremos os cálculos. Veja se você consegue acompanhá-lo. Para isso, preste atenção na representação das operações que estamos fazendo abaixo da matriz.


67

( )

( )

2 2 1L L + - 2 L

1 - 1 2 0 1 1 - 1 2 0 1 A = 2 2 5 4 0 ~ 2 - 2 1 2 - 2 - 1 5 - 2 2 4 - 2 0 0 - 2 1 ~

1 1 3 2 2 1 1 3 2 2

1 - 1 2 0 1~ 0 4 1 4

→ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

( )

( ) 3 3 1L L + - 1 L

1 - 1 2 0 1 - 2 ~ 0 4 1 4 - 2 ~

1 1 3 2 2 1 - 1 1 1 - 1 - 1 3 - 1 2 2 - 1 0 2 - 1 1

1 - 1 2 0 1~ 0 4 1 4 - 2

0 2 1 2 1

→ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

( ) 2 3 3 3 2L L L L + - 2 L

1 - 1 2 0 1 ~ 0 2 1 2 1 ~

0 4 1 4 - 2

1 - 1 2 0 1 ~ 0 2 1 2 1

0 4 - 2 2 1 - 2 1 4 - 2 2 - 2

↔ → ⋅

⋅ ⋅ ⋅

1 - 1 2 0 1 ~ 0 2 1 2 1

- 2 1 0 0 - 1 0 - 4

⋅

Pronto, a matriz está escalonada.

3.3 O ESCALONAMENTO NO CÁLCULO DO DETERMINANTE

A propriedade oito dos determinantes afirma que “O determinante associado a uma matriz triangular é igual ao produto da diagonal principal”. Assim, quando temos uma matriz em sua forma escalonada, basta multiplicarmos os elementos da diagonal principal para obtermos seu determinante.

É necessário lembrar que, para escalonar uma matriz, usamos três operações:

• Multiplicar: podemos multiplicar uma linha inteira por uma constante não nula. • Trocar ou permutar: podemos trocar duas linhas inteiras entre si. • Somar ou subtrair: um múltiplo de uma linha a outra linha.

Confrontando estas operações com as propriedades quatro, cinco e sete, dos determinantes, podemos concluir que ao multiplicarmos uma linha por uma constante não nula, o determinante da nova matriz é o anterior multiplicado pela constante. Quando trocamos a posição de uma linha, o determinante da nova matriz é o anterior com o sinal trocado. E, ao somarmos o múltiplo de uma linha a outra, o determinante de uma matriz não se altera.


68

Pelas afirmações e propriedades citadas, note que devemos tomar cuidados e lembrar de fazermos as devidas correções ao final do cálculo, para assim reduzir o determinante a um produto dos termos da diagonal principal. Vejamos como calcular o determinante por meio do escalonamento.

Exemplo 1: Dada a matriz , calcular o determinante. 1 1 2

A = - 2 5 1 2 2 1

( ) 2 2 1 3 3 1L L + 2 L L L + - 2 L

1 1 2 1 1 2 1 1 2 - 2 5 1 0 7 5 0 7 5 2 2 1 2 2 1 0 0 - 3

→ ⋅ → ⋅

� �

Chegamos em uma matriz triangular, assim, para calcular o determinante, basta multiplicarmos os termos da diagonal principal: 1·7·(-3) = -21. Portanto, o determinante da matriz é igual a -21.

Veja que, nesse caso, não foi necessário fazer nenhuma correção sobre o valor encontrado, pois não multiplicamos nenhuma linha por uma constante e nem permutamos duas linhas.

Exemplo 2: Por escalonamento, calcule o determinante da matriz

1 2 3 B = 2 2 3 .

- 2 5 0

( )

( )

3 3 1 2 2 1 2 2

32

L L + 2 LL L + - 2 L 1L - × L2

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 A = 2 2 3 ~ 0 - 2 - 3 ~ 0 - 2 - 3 ~ - 2 . 0 1

- 2 5 0 - 2 5 0 0 9 6 → ⋅→ ⋅

→

( )

( )

3 3 2

32

- 152

L L + - 9 L

1 2 3 ~ - 2 . 0 1

0 9 6 0 0→ ⋅

Da última matriz, temos que: 32

- 152

1 2 315 15 0 1 = 1 1 - = - 2 2

0 0

⋅ ⋅


69

Porém, para chegarmos à última matriz, multiplicamos a linha dois por -½. Assim, o determinante da última matriz deve ser multiplicado por (-2):

( ) ( ) 15det A = - 2 - = 152

⋅

3.4 O ESCALONAMENTO NO CÁLCULO DA MATRIZ INVERSA

No tópico anterior aprendemos a calcular a matriz inversa de matrizes de segunda ordem. Porém, para matrizes de ordem maiores, os sistemas se tornam mais complexos, por isso estudaremos o método de escalonamento para o cálculo da matriz inversa. Esse método é de fácil generalização, portanto vale a pena aprender a fazê-lo de maneira correta, para utilizar quando for necessário determinar matrizes de ordem grande.

Iniciaremos com exemplos de matrizes de ordem 2, depois faremos um de ordem 3 para que você perceba que o processo é o mesmo.

Exemplo 1: Determine a inversa da matriz,1 4

A = .3 11

Resolução: O primeiro passo será escalonar A. Para isso, vamos escrever

a matriz estendida de A da seguinte maneira 1 4 1 03 11 0 1

|

Veja que essa matriz estendida possui a matriz A do lado esquerdo do traço vertical e a matriz identidade do lado direito do traço vertical.

O objetivo agora é fazer operações sobre as linhas da matriz (as mesmas utilizadas no escalonamento) para transformar a matriz A que aparece no lado esquerdo do traço vertical em uma matriz identidade.

2 2 1

2 2 1 1

3L L + L- 1

L - 1 L L

L

1 4 1 0 1 4 1 0

| ~ | ~3 11 0 1 - 3 + 3 - 12 + 11 - 3 + 0 0 + 1

1 4 1 0 1 4 1 0~ | ~ |

0 - 1 - 3 1 0 1 3 - 1

→ ⋅

→ ⋅→

24+ L

- 1

0 + 1 - 4 + 4 - 12 + 1 4 + 0 ~ | ~

0 1 3 - 1

1 0 -11 4

~ | 0 1 3 - 1

⋅


70

2 2 1

2 2 1 1

3L L + L- 1

L - 1 L L

L

1 4 1 0 1 4 1 0

| ~ | ~3 11 0 1 - 3 + 3 - 12 + 11 - 3 + 0 0 + 1

1 4 1 0 1 4 1 0~ | ~ |

0 - 1 - 3 1 0 1 3 - 1

→ ⋅

→ ⋅→

24+ L

- 1

0 + 1 - 4 + 4 - 12 + 1 4 + 0 ~ | ~

0 1 3 - 1

1 0 -11 4

~ | 0 1 3 - 1

⋅

No lado esquerdo do traço está a matriz identidade. Nesse momento, a matriz inversa de A aparece do lado direito do traço direito, ou seja,

- 1 - 11 4A = .

3 - 1

Viu como não é difícil? Basta utilizar operações sobre linhas de matrizes para chegar na matriz inversa.

UNI

Exemplo 2: Dada a matriz A, determine a sua inversa.

1 2 2A = 3 7 4

1 5 - 3

Resolução: Iniciamos escrevendo a matriz expandida:

1 2 2 1 0 0 3 7 4 | 0 1 0 1 5 - 3 0

0 1

Agora, vamos utilizar as operações sobre linhas de matrizes para chegar à matriz identidade do lado esquerdo do traço vertical da matriz expandida:


71

2 2 1

3 3 1

3L L + L- 11L L + L

-

1

1 2 2 1 0 0 1 2 2 1 0 03 7 4 | 0 1 0 ~ - 3 + 3 - 6 + 7 - 6 + 4 | - 3 + 0 0 + 1 0 + 01 5 - 3 0 0 1 - 1 + 1 - 2 + 5 - 2 - 3 - 1 + 0 0 + 0 0

+ 1

→ ⋅

→ ⋅

1 1 2

3 3 2

2L L + L- 13L L

+ L- 1

~

1 2 2 1 0 0 0 + 1 - 2 + 2 4 + 2 6 + 1 - 2 + 0 0 + 0 ~ 0 1 - 2 | - 3 1 0 ~ 0 1 - 2 | -

0 3 - 5 - 1 0 1 0 + 0 - 3 + 3 6 -

5

→ ⋅

→ ⋅

1 1 3

2 2 3

6L L + L- 1- 2L L + -

L1

3 1 09 - 1 - 3 + 0 0 + 1

1 0 6 7 -2 0 0 + 1 0 + 0 - 6 + 6 ~ 0 1 - 2 | - 3 1 0 ~ 0 + 0 0 + 1 2

0 0 1 8 -3 1

→ ⋅

→ ⋅

- 48 + 7 18 - 2 - 6 + 0 - 2 | 16 - 3 - 6 + 1 2 + 0

0 0 1 8 - 3 1

1 0 0 - 41 16 - 6 ~ 0 1 0 | 13 - 5 2

0 0 1 8 -

3 1

Pronto, chegamos à matriz inversa do lado direito do traço vertical da matriz expandida.

- 1

- 41 16 - 6 A = 13 - 5 2

8 - 3

1

Refaça os cálculos do escalonamento num rascunho para entender bem o procedimento. É muito importante que você não continue sem ter certeza de que compreendeu o processo.

IMPORTANTE

72

RESUMO DO TÓPICO 2

Neste tópico você aprendeu que:

• Toda matriz quadrada A tem um número relacionado a ela denominado determinante de A.

• O determinante da matriz de ordem 1 é igual ao elemento da matriz.

• Para calcular o determinante da matriz de ordem 2, fazemos o produto dos elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal secundária.

• A regra de Sarrus é utilizada para calcular o determinante de matrizes de ordem 3.

• Ao escalonar uma matriz, mantemos propriedades importantes e facilitamos alguns cálculos, como o cálculo do determinante e da matriz inversa.

• As operações elementares entre linhas de matrizes se constituem de três operações básicas:

o Multiplicar: podemos multiplicar uma linha inteira por uma constante não nula. Simbolizamos por:

o Trocar ou permutar: podemos trocar duas linhas inteiras entre si. Simbolizamos por: Li = Lk.

o Somar ou subtrair: um múltiplo de uma linha a outra linha. Simbolizamos por:

• A matriz inversa da matriz pode ser obtida utilizando determinante. Assim,

* i iL = . L ( ) .α α ∈ �

*i kL = Li + . L ( ) .α α ∈�

a b A =

c d

( ) ( )

( ) ( )

- 1

d - bdet A det A

A = - c a

det A det

A

.

73

Prezado(a) acadêmico(a), chegou a hora de você testar seus conhecimentos sobre o cálculo dos determinantes e suas propriedades. Lápis e borracha em mãos e boa atividade!

1 Se A = ( aij ) é matriz quadrada de ordem 3 tal que aij = i - j então podemos afirmar que o seu determinante é igual a:

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) - 4

AUTOATIVIDADE

2 Encontre a solução da equação 2 1 3

4 - 1 n - 1 = 12 . n 0 n

3 (UFBA-90) Calcule o determinante da matriz:

1 0 2 - 1 2 1 3 - 2

A = 0 0 2 3 1 -1 0 2

4 Dadas as matrizes:

( ) ij ij 3 x 4

1, se i + j 4A = a , com a =

-1, se i + j = 4

≠

( ) ij ij 4 x 3

1, se i + j 4B = b , com b =

- 1, se i + e

j = 4 ≠

Calcule o determinante de AB.

5 Aplicando a regra da Sarrus, calcule os determinantes:

3 2 - 1 a) 5 0 4

2 - 3 1

2 1 - 2 b) 3 -1 0

4 1 - 3

6 Resolva a equação 2 3 - 2 0 1 x = 2 . 2 x - 3

7 Seja a matriz quadrada Calcule x de modo que det A = 0

x + 1 3 x A = 3 x 1

x 2 x - 1


74

10 O valor de um determinante é 42. Se dividirmos a primeira linha por 7 e multiplicarmos a primeira coluna por 3, qual será o valor do novo determinante?

11 Calcule os determinantes, utilizando o Teorema de Laplace. Obs.: Se aplicar as propriedades dos determinantes, justifique a resposta.

6 3 - 9 4 1 1 3 1 6 5 - 9 2 2 6 6 4

a) b) 6 2 - 9 -1 2 5 3 3 6 0 - 9 3 1 1 1 1

12 Sejam as matrizes:

1 1 0 3 1 0 0 0 0 - 2 1 - 2 - 1 - 2 0 0

A = e B = 0 0 1 0 2 1 1 0 0 0 0 3 - 3 5 4 3

13 Resolva as equações:

4 6 x a) 5 2 - x = - 128

7 4 2 x

3 5 7b) 2 x x 3 x = 39

4 6 7

2

5 1 3 c) 3 x 0 1 = 100

7 x 2 1

x + 3 x + 1 x + 4 d) 4 5 3 = - 7

9 10 7

2 0 0e) 0 x -1 0 = 0

0 0 5 x + 1

2

5 1 3 c) 3 x 0 1 = 100

7 x 2 1

x + 3 x + 1 x + 4 d) 4 5 3 = - 7

9 10 7

2 0 0e) 0 x -1 0 = 0

0 0 5 x + 1

Então, calcule o det (A B).

8 (Esam-RN) Assinale a proposição verdadeira:

a) ( ) Se M e N são matrizes quadradas de mesma ordem, então det(M·N)= det M·det N.

b) ( ) Se A é uma matriz quadrada de segunda ordem e k , então det (kA) = k·det A.

c) ( ) Se det A = 0, então a matriz A é nula.d) ( ) Se det A = 0, então qualquer que seja a matriz X, de mesma ordem que A,

tem-se AX = 0.e) ( ) O determinante da matriz resultante da soma de duas matrizes de mesma

ordem é igual à soma dos determinantes dessas matrizes.

9 Dadas as matrizes e

*∈R

1 2A =

1 0

3 - 1 B =

0 1

det A + det B e det (,calcu A le + B ).

75

TÓPICO 3

SISTEMAS LINEARES E SEU ENSINO

UNIDADE 1

1 INTRODUÇÃO

Você já iniciou os estudos sobre sistemas lineares no Ensino Fundamental e no Ensino Médio. Reviu estes conceitos na disciplina de Introdução ao Cálculo e agora vamos ampliá-los, buscando resolvê-los através do escalonamento e dos determinantes. Saiba que a solução de equações lineares é o problema central da álgebra linear.

Em todas as disciplinas específicas do seu curso, os autores buscaram apresentar problemas práticos no intuito de mostrar a aplicabilidade dos conceitos. Desta forma, se pensarmos na matemática como uma ciência a ser aplicada em problemas práticos, os sistemas lineares são a chave para as soluções desses problemas. Então, todos os problemas são resolvidos por um sistema linear? Claro que não, mas boa parte deles sim. Assim, sua importância é gigantesca.

2 EQUAÇÃO LINEAR

É toda equação da forma: bxaxaxa nn =+++ 2211 , onde naaa ,,, 21 são números reais que recebem o nome de coeficientes das incógnitas nxxx ,, 21 e b é um número real chamado termo independente.

Quando b = 0, a equação recebe o nome de linear homogênea.

IMPORTANTE


76

São exemplos de equações lineares:

( )1) 5 x - 2 y + 8 z = 9

2) x + y - 3 z - 2t = 0 equação linear homogênea3) 3 x + 2 z = 5 t - y + 6

2

1) x y + 2 z - t = 4 2) x - 2 y = 4 t - 5

3) x - 2 z = y

+ 7

São exemplos de equações não lineares:

2.1 SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES

Um sistema de equações lineares pode ser definido como um conjunto de n equações com n variáreis independentes entre si, na forma genérica como:

11 1 12 2 13 3 1n n 1

21 1 22 2 33 3 2n n 2

31 1 32 2 33 3 3n n 3

a x + a x + a x + ... + a x = ba x + a x + a x + ... + a x = ba x + a x + a x + ... + a x = b

n1 1 n2 2 n3 3 nn n na x + a x + a x + ... + a x = b

na qual aij (i, j = 1, 2, 3, 4, ..., n) são os coeficientes do sistema de equações xi (i = 1, 2, 3, 4, ..., n) são as n incógnitas de bi (i = 1, 2, 3, 4, ..., n) os termos independentes.

Dois sistemas de equações são equivalentes se, e somente se, toda a solução de qualquer um dos sistemas também é solução do outro.

IMPORTANTE

Uma solução de um sistema é uma sequência de números que satisfaz as equações simultaneamente.

( )1 2 3 n, , , … , α α α α

TÓPICO 3 | SISTEMAS LINEARES E SEU ENSINO

77

2.2 FORMA MATRICIAL

As equações lineares podem ser descritas na forma matricial como A·X = B, na qual:

1 1 11 12 13 1n

21 22 23 2n 2 2

m1 m2 m3 mn n n

X ba a a a a a a a X b

A = , X = e B = para o qual:… … … …

a a a a X b

1 111 12 13 1n

21 22 23 2n 2 2

m1 m2 m3 mn n n

X ba a a a a a a a X b

= … … … … … …

a a a a X b

⋅

Matriz dos coeficientes. Matriz das incógnitas.Matriz dos resultados ou

dos termos independentes.

2.3 MATRIZES ASSOCIADAS A UM SISTEMA LINEAR

A um sistema linear podemos associar as seguintes matrizes:

Matriz incompleta: é a matriz formada apenas pelos coeficientes das incógnitas do sistema. Em relação ao sistema:

2 3 -1a matriz incompleta é: A

2 x + 3 y - z = 0 4 x + y + z = 7 -

= 4 1 1- 2 x + y + 2 1 1 z = 4

Matriz completa: é a matriz que se obtém acrescentando à matriz incompleta uma última coluna formada pelos termos independentes das equações do sistema. Assim, para o mesmo sistema acima, a matriz completa é:

2 3 - 1 0 B = 4 1 1 7

- 2 1 1 4


78

2.4 CLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR

Acadêmico(a), ao longo de sua jornada você já estudou por diversas vezes a classificação de um sistema linear, mas vale lembrar que um sistema linear pode ser classificado como sendo de possível ou impossível solução. No caso de ser um sistema linear de possível solução, ele ainda pode ser: determinado ou solução única ou então, indeterminado ou de infinitas soluções. E, no caso de ser um sistema linear impossível, ele não terá solução. Assim, temos três tipos de sistemas lineares:

Sistemas Possíveis e Determinados (SPD)

Quando só há uma possibilidade de resposta para x1, x2, x3,…, xn de modo a satisfazer o sistema. Por esse motivo, dizemos que é determinado: há uma única solução.

Um sistema apresentar uma única solução significa que as equações que o compõem são retas concorrentes cujo ponto de intersecção é a solução do sistema.

11 1 12 2 1 a x + a x = b 21 1 22 2 2a x + a x = b

( ) 1 2Solução x , x 11 1 12 2 1

21 1 22 2 2

a x + a x = b a x + a x = b ⇒

Sistemas Possíveis e Indeterminados (SPI)

Nesse tipo de sistemas há infinitas possibilidades de combinações para x1, x2, x3,…, xn que satisfazem o sistema linear. Logo, este sistema é possível, mas é indeterminado, pois não há uma única e determinada solução, mas infinitas.

As equações que compõem o sistema representam duas retas coincidentes, ou seja, estão uma “em cima” da outra. Como todos os pontos de uma também são pontos da outra, isso acarreta em todos os pontos de uma das retas (que são infinitos) serem soluções do sistema.


79

Qualquer ponto da reta é solução

do sistema 11 1 12 2 1

21 1 22 2 2

a x + a x = b a x + a x = b ⇒

21 1 22 2 2 a x + a x = b

11 1 12 2 1 a x + a x = b

Sistemas Impossíveis (SI)

Como o próprio nome diz, são os sistemas que não têm soluções, ou seja, não há combinação possível para x1, x2, x3,…, xn de modo a satisfazer, simultaneamente, todas as m equações do sistema.

As retas que compõem o sistema são paralelas entre si, ou seja, não há ponto em comum entre elas. Logo, não há solução possível.

11 1 12 2 1

21 1 22 2 2

a x + a x = b a x + a x = b ⇒

11 1 12 2 1 a x + a x = b

21 1 22 2 2a x + a x = b

Não há solução

Exemplo 1: O sistema tem solução única: o par ordenado (3,5).

Portanto, o sistema linear é possível e determinado.

x + y = 8 2 x - y = 1


80

Exemplo 2: O sistema tem infinitas soluções. Algumas são

dadas pelos pares ordenados: (0, 8), (1, 7), (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3),.... Portanto, o sistema é possível e indeterminado.

Exemplo 3: O sistema não tem um par ordenado que satisfaz

simultaneamente as equações. Portanto, o sistema é impossível.

x + y = 82 x + 2 y = 16

x + y = 10 - x - y = 10

3 RESOLUÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR

As técnicas de adição e substituição não serão abordadas aqui, pois já foram estudadas detalhadamente na disciplina de Introdução ao Cálculo. Caso restem dúvidas, retome esse material.

Neste momento ampliaremos esse estudo, conhecendo a Regra de Cramer e o Método de Gauss-Jordan para resolver sistemas lineares.

3.1 REGRA DE CRAMER

A Regra de Cramer afirma que todo sistema normal tem uma única

solução dada por: em que i∈{ 1,2,3,...,n}, D = det A é o determinante

da matriz incompleta associada ao sistema, e Dxi é o determinante obtido pela substituição, na matriz incompleta, da coluna i pela coluna formada pelos termos independentes.

Vejamos alguns exemplos:

Exemplo 1: Resolver, com o auxílio da Regra de Cramer, o sistema:

xii

DX =

D

2 x + y = 72 x - 3 y = 3

Resolução: Iniciamos calculando o determinante da matriz D, que é

formada pelos coeficientes das incógnitas. 2 1

D = = - 6 - 2 = - 8 0 2 - 3

≠


81

Agora, para determinarmos o valor da incógnita x, devemos primeiramente calcular o determinante da matriz Dx, que é a matriz D com a coluna dos coeficientes da incógnita x substituídos pelos termos independentes

(coluna dos resultados). x

7 1 D = = - 21 - 3 = - 24

3 - 3

Obtemos o valor da incógnita x dividindo Dx por x D - 24 D . x = = = 3D - 8

Para determinarmos o valor da incógnita y, o processo é igual. Começamos

calculando o determinante yy

2 7 D = = 6 - 14 = - 8

2 3 D .

E agora, obtemos o valor da incógnita y dividindo Dy por y D - 8 D . y = = = 1D - 8

Desta forma, o sistema linear tem como solução {(3, 1)}, sendo um sistema possível determinado (SPD) e tem como representação geométrica duas retas concorrentes.

Exemplo 2: Resolver o sistema utilizando a regra de Cramer:

Resolução:

2 x + 3 y = 5 3 x - 2 y = 1

x

y

x

y

2 3D = = ( - 4 ) - ( 9 ) = -13

3 - 2

5 3D = = ( - 10 ) - ( 3 ) = - 13

1 - 2

2 5 D = = ( 2 ) - ( 15 ) = -13

3 1

D - 13x = = = 1D - 13

D - 13 y = = = 1D - 13

82


Desta forma, o sistema linear tem como solução {(1, 1)}, sendo um sistema possível determinado (SPD) e tem como representação geométrica duas retas concorrentes.

Exemplo 3: Resolver o sistema , utilizando a regra de Cramer: x - y = 33 x - 3 y = 6

Resolução:

x

y

x

y

1 - 1 D = = ( - 3 ) - ( - 3 ) = 0

3 - 3

3 - 1 D = = ( - 9 ) - ( - 6 ) = - 3

6 - 3

1 3 D = = ( 6 ) - ( 9 ) = - 3

3 6

D - 3 x = = SI D 0

D - 3 y = = SID 0

→

→

Desta forma, o sistema linear não tem solução, sendo um sistema impossível (SI) e tem como representação geométrica duas retas paralelas.

Exemplo 4: Calcular os valores de x, y e z, no sistema x + 2 y - z = 2 2 x - y + 3 z = 9 . 3 x + 3 y - 2 z = 3

Resolução: O processo é igual ao sistema 2x2, o que aumenta é a dificuldade para calcular o determinante, que agora será 3x3. Vamos iniciar calculando o determinante da matriz D, depois Dx, Dy e Dz e os respectivos valores das incógnitas.


83

( ) ( )

( ) ( ) x

1 2 - 1 1 2D = 2 - 1 3 2 - 1 = 2 + 18 - 6 - 3 + 9 - 8 = 14 - 4 = 10

3 3 - 2 3 3

2 2 - 1 2 2D = 9 - 1 3 9 - 1 = 4 + 18 - 27 - 3 + 18 - 36 = - 5 + 15 =

3 3 - 2 3

3

( ) ( )

x

y

y

10

D 10x = = = 1D 10

1 2 - 1 1 2D = 2 9 3 2 9 = - 18 + 18 - 6 - - 27 + 9 - 8 = - 6 + 26 = 20

3 3 - 2 3 3

D 20y = = = 2D 10

( ) ( ) z

z

1 2 2 1 2D = 2 - 1 9 2 - 1 = - 3 + 54 + 12 - - 6 + 27 + 12 = 63 - 33 = 30

3 3 3 3 3

D 30z = = = 3D 10

Desta forma, a solução deste sistema é {(1, 2, 3)}.

A representação em R3 será abordada na próxima unidade.

ESTUDOS FUTUROS

84


3.2 SISTEMAS EQUIVALENTES

Dois sistemas são ditos equivalentes quando possuem o mesmo conjunto

solução. Exemplo: Sendo e o par ordenado (x,

y) = (1, 2) satisfaz ambos e é único. Logo, são equivalentes:

1

x + y = 3S =

2 x + 3 y = 8

2

x + y = 3S =

x + 2 y = 5

1 2S S e 1 2S S ~ .

3.2.1 Propriedades dos sistemas equivalentes

A seguir, apresentamos as propriedades que irão nos auxiliar a trabalhar com sistemas equivalentes.

Propriedade 1: Trocando de posição as equações de um sistema, obtemos um outro sistema equivalente.

Exemplo: Sendo, 1 2

x + y + 2 z = 1 (I) x - z = 3 (II)S = x - z = 3 (II) e S = y + z = 2 (III)

y + z = 2 (III) x + y + 2 z = 1 (I)

temos, 1 2S ~ S .

Propriedade 2: Multiplicando uma ou mais equações de um sistema por um número real não nulo k, obtemos um sistema equivalente ao anterior.

Exemplo: Dado , multiplicando a equação (II) por

3, obtemos:

( )( ) 1

x + 2 y = 3 IS =

x - y = 0 II

2 2

x + 2 y = 3 x + 2 y = 3 S = S =

( x - y = 0 ) 3 3 x - 3 y = 0

⇒ ⋅

Propriedade 3: Adicionando a uma das equações de um sistema o produto de outra equação desse mesmo sistema por um número real não nulo k, obtemos um sistema equivalente ao anterior.

Exemplo: Dado substituindo neste sistema a

equação (II) pela soma da equação (I), multiplicada por (-1), com a equação (II), obtemos:

( )( ) 1

x + 2 y = 4 IS =

x - y = 1 II


85

' ' 1 1 2

- x - 2 y = - 4( x + 2 y = 4) (-1) x + 2 y = 4

S = S = x - y = 1 . Logo: S = x - y = 1 - 3 y = - 3

- 3 y = - 3

⋅ ⇒

Assim, S1 ~ S2, pois (x, y) = (2, 1) é solução de ambos os sistemas.

3.3 SISTEMAS ESCALONADOS – MÉTODO DE GAUSS

Você deve ter percebido que a Regra de Cramer não nos permite determinar soluções para sistemas que não tenham o mesmo número de equações e incógnitas. Para estes casos e quando queremos resolver sistemas lineares cujo número de equações (e de incógnitas) excede três, é indicado que utilizemos o Método de Gauss, que utiliza o escalonamento de matrizes na sua resolução.

Para escalonar o sistema, vamos utilizar as três operações sobre linhas de matrizes já conhecidas, visto que verificamos, com as Propriedades de Sistemas Equivalentes, que ao realizar estas operações obtemos sistemas equivalentes. Vejamos alguns exemplos:

Exemplo 1: Dê a solução do sistema linear a seguir, utilizando o escalonamento de matrizes.

4 x - 8 y + z = - 5 x - y + 2 z = - 2 2 x - 3 y + 3 z = - 4

Resolução: Escrevendo a matriz completa relacionada ao sistema, temos:

4 - 8 1 - 5 1 - 1 2 | - 2 2 - 3 3 - 4

A seguir, vamos escalonar a matriz utilizando as operações sobre linhas da matriz para deixá-la escrita sob forma de escada:

1 2L L

4 - 8 1 - 5 1 - 1 2 -

2 1 - 1 2 | - 2 ~ 4 - 8 1 | - 5 2 - 3 3 - 4 2 - 3 3 -

4

↔

86


Utilizando o elemento como pivô para zerar os elementos abaixo dele.

11a = 1

( )( )

2 2 1

3 3 1

L L + - 4 LL L +

- 2 L

1 - 1 2 - 2 1 - 1 2 - 2 4 - 8 1 | - 5 ~ 0 - 4 - 7 | 3 2 - 3 3 - 4 0 - 1 - 1

0

→ ⋅

→ ⋅

2 3L L

1 - 1 2 - 2 1 - 1 2 - 2 0 - 4 - 7 | 3 ~ 0 - 1 - 1 | 0

0 - 1 - 1 0 0

- 4 - 7 3

↔

Permutando as linhas 2 e 3:

Agora, usaremos o elemento como pivô para zerar o elemento abaixo dele.

22a = - 1 31a

( ) 3 3 2L L + - 4 L

1 - 1 2 - 2 1 - 1 2 - 2 0 - 1 - 1 | 0 ~ 0 - 1 - 1 | 0 0 - 4 - 7 3 0

0 -

3

3

→ ⋅

Por fim, façamos a leitura das linhas das matrizes, iniciando pela última linha:

3ª linha:- 3 z = 3

3z = - 3

z = - 1

2ª linha:

z = - 1

- y - z = 0

( )- y - - 1 = 0

- y + 1 = 0 -y = - 1

y = 1


87

1ª linha:

x - y + 2 z = - 2

( ) ( )x - 1 + 2 - 1 = - 2⋅

x = - 2 + 1 + 2

x = 1

x - 1 - 2 = - 2

Portanto, a solução do sistema linear dado é ( ){ }S = 1 , 1 , - 1

Veja que, quando representamos a solução do sistema linear, respeitamos a ordem das incógnitas, x, y, z (em ordem alfabética). Essa ordem é importante e não pode ser mudada ao escrevermos a solução nessa representação.

ATENCAO

Exemplo 2: Resolva o sistema: 1 2 3

1 2 3

1 2 3

3 x - 2 x + 5 x = 10x + x + 2 x = 12

- 4 x - 3 x + x = - 34

Resolução: Escrevendo a matriz completa do sistema, temos:

3 - 2 5 10

1 1 2 | 12 - 4 - 3 1 - 34

Para escalonar essa matriz, podemos utilizar todas as operações sobre linhas de matriz. Como é sempre útil deixar o pivô valer 1, vamos permutar (trocar) a linha 1 pela linha 2:

1 2L L

3 - 2 5

10 1 1 2 12 1 1 2 | 12 3 - 2 5 | 10 - 4 - 3 1 - 34 - 4 - 3 1 - 34

↔

�

88


Usando o elemento a11 = 1 como pivô para zerar os elementos a21 = 3 e a31 = -4, teremos:

2 2 1

3 3 1

1 1 2 12 1 1 2 12 3 - 2 5 | 10 ~ 3 - 3 - 2 - 3 5 - 6 | 10 - 36- 4 - 3 1 - 34 - 4 + 4 - 3 +

4 1 + 8 - 34 + 48

3L L + L- 1

- 4L L + L-

1

→ ⋅

→ ⋅

1 1 2 12Logo, 0 - 5 - 1 | - 26

0 1 9

14

Permutando a linha 2 com a linha 3, para ficarmos com o pivô a22 = 1, teremos:

Utilizando o pivô a22 = 1 para zerar o elemento a32 = -5:

3 3 2- 5L L + L- 1

1 1 2 12 1 1 2 120 1 9 | 14 ~ 0 1 9 | 140 - 5 - 1 - 26 0 + 0 - 5 + 5 - 1 + 45 - 26 + 70

→ ⋅

Efetuando as operações chegamos à matriz escalonada: 1 1 2 12 0 1 9 | 14 0 0 44 44

2 3L L

1 1 2 12 1 1 2 12 0 - 5 - 1 | - 26 ~ 0 1 9 | 14 0 1 9 14 0 - 5 - 1 - 26

↔

.


89

Lendo as linhas da matriz escalonada:

3ª Linha:

1 y + 9 z = 14

( )1 y + 9 1 = 14⋅

1 y + 9 = 14

y = 14 - 9

y = 5

1 y + 9 z = 14

( )1 y + 9 1 = 14⋅

1 y + 9 = 14

y = 14 - 9

y = 5

2ª Linha:

1ª Linha:

( ) ( )x + 5 + 2 1 = 12⋅

x + 5 + 2 = 12

x + 7 = 12

x = 12 - 7

x = 5

x + y + 2 z = 12

Portanto, a solução do sistema é ( ){ }S = 5 , 5 , 1

Exemplo 3: Resolver o sistema 3 x - y + z = - 1x + 2 z = 0

90


Resolução: Acadêmico(a), perceba que essa matriz tem duas equações e três incógnitas, logo, a matriz A será de ordem 2x3. Como a matriz completa tem uma coluna a mais (a coluna dos resultados), teremos uma matriz 2x4 como ampliada.

3 x - y + z = - 1 3 - 1 1 - 1

1 0 2 0 x + 2 z = 0

⇒

Note que na segunda linha não aparece incógnita y. Como a segunda coluna representa os coeficientes da incógnita y e ela não aparece na segunda linha, basta acrescentar o coeficiente zero como elemento correspondente.

Escalonando a matriz:

( ) 1 2 2 2 1L L L L + - 3 L

3 - 1 1 - 1 1 0 2 0 1 0 2 0 ~ ~ ~

1 0 2 0 3 - 1 1 - 1 3 - 3 1 - 1 - 3 0 1 - 3 2 - 1 - 3 0

↔ → ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

1 0 2 0 ~

0 - 1 - 5 - 1

Notem que esta matriz já está escalonada e lendo as linhas dessa matriz teremos duas equações:

1 0 2 0 x + 2 z = 0

0 - 1 - 5 - 1 - y - 5 z = - 1

⇒

Isolando x na primeira equação e y na segunda, obteremos o resultado

de x e y em função de z, ou seja, x + 2 z = 0 x = - 2 z

y = 1 - 5 z - y - 5 z = - 1

⇒

Portanto, existem infinitas soluções para esse sistema: para cada valor de z que considerarmos, teremos valores x e y diferentes associados a ele, a solução geral é representada por um ponto de três coordenadas (-2z, 1-5z, z) ou por um

vetor - 2 z

1 - 5 z . z

Como, por exemplo:


91

( )( )

0

1

0 , 1 , 0

- 2 , - 4 , 1

para z teremos

para z teremos

=

=

Os valores de x e y foram obtidos usando os resultados do sistema acima. Dizemos então que z é a variável independente do sistema.

Exemplo 4: Resolver o sistema 3 x + y = 2 x - y = 4 . 2 x - 3 y = 6

Resolução: Iniciamos escrevendo a matriz ampliada e escalonando.

( )( )

1 2 2 2 1 3 3 1

L L L L + - 3 LL L + - 2 L

3 1 2 1 - 1 4 1 - 1 4 1 - 1 4 ~ 3 1 2 ~ 3 - 3 1 1 - 3 ( - 1 ) 2 - 3 4 2 - 3 6 2 - 3 6 2 - 2 1 - 3

↔ → ⋅→ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

2 3

3 3 2

L L

L L + 4 L

1 - 1 4 ~ 0 4 10 ~

- 2 ( - 1 ) 6 - 2 4 0 - 1 - 2

1 - 1 4 1 - 1 4~ 0 - 1 - 2 ~ 0 - 1 - 2

0 4 10 0 4 + 4 ( - 1 ) 10 +

↔

→ ⋅

⋅ ⋅

⋅

1 - 1 4 ~ 0 - 1 - 2

4 ( - 2 ) 0 0 2

⋅

Pronto! A matriz já está escalonada. Lendo a última linha da matriz escalonada, temos a seguinte equação: 0x + 0y = 2, ou seja, estamos procurando valores de x e valores de y que a soma de seus produtos por 0 resulta em 2.

Isto é impossível, porque todo número x e todo número y multiplicados por 0 será igual a 0, então teremos sempre, para qualquer x e y, 0 + 0 no lado esquerdo da igualdade. E 0 + 0 é sempre igual a 0, nunca igual a 2. Portanto, esse sistema é impossível, ou seja, não há x e y que solucione o sistema. Nesse caso, representamos a solução como { }S = .

4 DISCUSSÃO DE UM SISTEMA LINEAR

Para discutir um sistema linear de n equações e n incógnitas, calculamos o determinante D da matriz incompleta. Assim, se:

92


• O sistema é possível e determinado (SPD), ou seja, tem solução única.• O sistema pode ser possível e indeterminado (SPI) (ter infinitas

soluções) ou impossível (SI) (não ter solução).

0D ≠ ⇒0D ≠ ⇒

No caso de , o sistema poderá ser SPI ou SI. Para identificarmos se ele é SPI ou SI teremos que encontrar todos os ’s para saber se o sistema é possível e indeterminado ou impossível. De que forma?

Se todos os forem iguais a 0, teremos um SPI.Se pelo menos um diferente de zero, teremos um SI.iD

iD

iD

'iD s

Exemplo 1: Discutir o sistema: x - y + z = 3 2 x + y - 3 z = 4 . 3 x - y + 2 z = 6

Resolução: O primeiro passo é sempre calcular o determinante D.

1 - 1 1 D = 2 1 - 1 = 3 0

3 - 1 2 ≠

Logo, o sistema é possível e determinado, apresentando solução única.

Exemplo 2: Discutir o sistema: x + 2 y + z = 1 2 x + y - 3 z = 4 . 3 x + 3 y -2 z = 0

Resolução: Calcular D.

1 2 1 D = 2 1 - 3 = 0

3 3 - 2

Como o valor foi nulo, precisamos verificar se o sistema é SPI ou SI e para isso devemos calcular os demais determinantes. Lembrando que, se algum for diferente de zero, teremos um sistema impossível.


93

x

1 2 1 D = 4 1 - 3 = 35 0

0 3 - 2 ≠

Sendo D = 0 e , o sistema é impossível, não apresentando solução.0xD ≠

Exemplo 3: Discutir o sistema: x + 3 y + 2 z = 1 - 2 x + y + z = - 2 - x + 4 y + 3 z = - 1

Resolução: 1 3 2

D = - 2 1 1 = 0- 1 4 3

Novamente, o valor foi nulo e precisamos verificar se o sistema é SPI ou SI e para isso devemos calcular os demais determinantes.

x

y

z

1 3 2 D = - 2 1 1 = 0

- 1 4 3

1 1 2 D = - 2 - 2 1 = 0

- 1 - 1 3

1 3 1 D = - 2 1 - 2 = 0

- 1 4 - 1

Logo, temos, Portanto, o sistema é possível e indeterminado, apresentando infinitas soluções.

Exemplo 4: Determinar , de modo que o sistema tenha solução.

Solução: Condição: det A ≠ 0:

x y zD = 0 , D = 0 , D = 0 , D = 0 .

k R∈k x + y = 3x + k y = 5

2 k 1 = k - 1 0 k ± 1 .

1 k ≠ ⇒ ≠

94


5 APLICAÇÕES DE SISTEMAS LINEARES

Conforme conversamos na introdução deste tópico, os sistemas lineares são a chave para resolver diversos problemas nas mais variadas áreas. Desta forma, trazemos a resolução de algumas aplicações.

Exemplo 1: (FGV-2005) Um motorista abasteceu seu carro Flex num posto com 10 litros de álcool e 30 litros de gasolina pagando R$ 90,00. Na semana seguinte, no mesmo posto, abasteceu com 30 litros de álcool e 20 litros de gasolina pagando R$ 102,00. Se não houve alteração nos preços, calcule o preço do álcool nesse posto.

Resolução: Utilizando as variáveis “x” e “y” para preços, respectivamente do álcool e da gasolina, montamos o sistema com as informações:

10 x + 30 y = 90 30 x + 20 y = 102

Escalonando o sistema, encontra-se a variável “y” e em seguida “x”.

1 23 L - L

10 x + 30 y = 90 10 x + 30 y = 90

30 x + 20 y =102 70 y = 168

�

Resposta: O preço do álcool vale R$ 1,80.

Exemplo 2: Em uma pastelaria, dois pastéis mais três caldos de cana custam R$ 5,40. Cinco pastéis mais dois caldos custam R$ 9,10. Qual o preço de quatro pastéis e quatro caldos?

Resolução: Utilizando as variáveis “x” e “y” para preços, respectivamente do pastel e do caldo, montamos o sistema com as informações:

2 x + 3 y = 5,40 5 x + 2 y = 9,10

Assim, Substituindo na 1ª equação, temos:168y = = 2,470

90 - 30 ( 2,4 ) 18x = = = 1,810 10 .


95

Escalonando o sistema, temos:

1 25 L - 2 L

2 x + 3 y = 5,40 2 x + 3 y =5,40

5 x + 2 y = 9,10 11 y = 8,80

8,80 5,40 - 3 (0,80) 3,00Logo, y = = 0,80 e x = = = 1.50 .11 2 2

�

Calculando quatro pastéis e quatro caldos: 4 . ( 0,80 ) + 4 ( 1,50 ) = 3,20 + 6,00 = R$9,20 .4 . ( 0,80 ) + 4 ( 1,50 ) = 3,20 + 6,00 = R$9,20 .

Resposta: O preço pedido é R$ 9,20.

Exemplo 3: (UERJ-2004) Um comerciante deseja totalizar a quantia de R$ 500,00 utilizando cédulas de um, cinco e dez reais, num total de 92 cédulas, de modo que as quantidades de cédulas de um e de dez reais sejam iguais. Neste caso, qual a quantidade de cédulas de cinco reais o comerciante precisará?

Resolução: Considerando “x”, “y” e “z”, respectivamente as quantidades de moedas e cédulas de R$ 1,00, R$ 5,00 e R$ 10,00, lembrando que x = z, montamos o sistema:

x + y + z = 92 2 x + y = 92

x + 5 y + 10 z = 500 11 x + 5 y = 500

⇒

Escalonando, temos:

1 211 . L - 2 . L

2 x + y = 92 2 x + y = 92

11 x + 5 y = 500 y = 12

�

Resposta: Logo, são necessárias 12 cédulas de R$ 5,00.

Exemplo 4: (UNIUBE-MG) Ao descontar um cheque, recebi somente notas de R$ 10,00 e R$ 50,00 em um total de 14 notas. Quando fui conferir, descobri que o caixa havia se enganado, pois recebi tantas notas de R$ 50,00 quanto as de R$ 10,00 que deveria ter recebido e vice-versa. Percebido o erro, verifiquei que, se gastasse R$ 240,00 da importância recebida, ainda ficaria com o valor do meu cheque. Qual era o valor do cheque?

96


Resolução: Considerando “x” as notas de R$ 10,00 e “y” as de R$ 50,00, o sistema, de acordo com as informações, é:

Escalonando o sistema:

1 240 . L - L

x + y = 14 x + y = 14 x = 1

40 x - 40 y = 240 80 y = 320 y = 4

⇒ ⇒ �

Resposta: Logo, o valor do cheque era (10). (R$ 10,00) + (4). (R$ 50,00) = R$ 300,00.

LEITURA COMPLEMENTAR

MATRIZES E CRIPTOGRAFIA

Uma forma bastante interessante de ensinar matrizes inversas e multiplicação de matrizes é utilizando a criptografia. Vamos utilizar um método bastante simples que envolve matrizes inversas. Sejam A e B, tal que B é a matriz inversa de A.

Logo, podemos verificar que AB = BA = 1.

A criptografia é o estudo dos princípios e técnicas pelas quais a informação pode ser transformada da sua forma original para outra ilegível, de forma que possa ser conhecida apenas por seu destinatário. Vamos utilizar essas duas matrizes como ‘chaves’ para codificar e decodificar a mensagem. O remetente vai usar a matriz A para codificar a mensagem e o destinatário vai usar a matriz B para decodificar a mensagem.

Para codificar uma mensagem o primeiro passo é convertê-la da forma alfabética para uma forma numérica. Então, vamos utilizar a tabela abaixo:

3 1 1 - 1 A = B =

2 1 - 2 3

A B C D E F G H I J1 2 3 4 5 6 7 8 9 10


97

K L M N O P Q R S T11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

U V W X Y Z . ! #21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

O remetente e o destinatário devem conhecer essa tabela alfanumérica e também podem fazê-la usando outras correspondências entre números e letras. Vamos codificar a seguinte mensagem: EU ACREDITO NA EDUCAÇÃO. Vamos fazer a correspondência entre as letras e os números usando a tabela dada.

E U # A C R E D I T O # N A # E D U C A C A O .5 21 29 1 3 18 5 4 9 20 15 29 14 1 29 5 4 21 3 1 3 1 15 27

Usamos o símbolo # entre as palavras para não causarmos confusão.

Como temos a matriz decodificadora A de ordem 2 (2x2), vamos colocar a sequência de números dispostos em uma matriz de duas linhas. Se o número de elementos da mensagem for ímpar, podemos acrescentar um caractere vazio, não vai alterar a mensagem. No caso o número 30.

5 21 29 1 3 18 5 4 9 20 15 29M =

14 1 29 5 4 21 3 1 3 1 15 27

Para codificar a mensagem, multiplicamos a matriz A por M, tal que N = A·M.

3 1 5 21 29 1 3 18 5 4 9 20 15 29 N = .

2 1 14 1 29 5 4 21 3 1 3 1 15 27

29 64 116 8 13 75 18 13 30 61 60 114 N =

24 43 87 7 10 57 13 9 21 41 45 85

Assim;

98


Os elementos de N constituem a mensagem codificada: 29, 64, 116, 8, 13, 75, 18, 13, 30, 61, 60, 114, 24, 43, 87, 7, 10, 57, 13, 9, 21, 41, 45, 85.

Quando a mensagem codificada chegar ao destinatário, ele usará a matriz B decodificadora para ler a mensagem. Sabendo que B·N= B·A·M = I·M·M, temos:

Multiplicamos a matriz B por N.

5 21 29 1 3 18 5 4 9 20 15 29 BN =

14 1 29 5 4 21 3 1 3 1 15 27

1 -1 29 64 116 8 13 75 18 13 30 61 60 114 BN = .

- 2 3 24 43 87 7 10 57 13 9 21 41 45 85

5 21 29 1 3 18 5 4 9 20 15 29 14 1 29 5 4 21 3 1 3 1 15 27

E U # A C R E D I T O # N A # E D U C A C A O .

Note que na mensagem inicial revertida em números há várias repetições de números, enquanto que a mensagem codificada não repete números, tornando-a mais difícil de ser desvendada. O que precisa ser escondido são apenas as matrizes A e B.

FONTE: Disponível em: <http://educacaomatematica2010.blogspot.com.br/2011/01/matrizes-e-criptografia.html>. Acesso em: 16 jan. 2016.

Finalmente, temos a matriz M=BN do remetente que é a mensagem original.

Agora é só reverter os números utilizando novamente a tabela alfanumérica.

99

RESUMO DO TÓPICO 3

Neste tópico você estudou que:

• Um sistema de equações lineares pode ser definido como um conjunto de n equações com n variáreis independentes entre si. E que todo sistema pode ser escrito sob forma matricial A·X = B.

• Um sistema pode ser classificado em: sistema possível determinado (SPD), sistema possível indeterminado (SPI) e sistema impossível (SI).

• Um sistema linear pode ser resolvido através da regra de Cramer, a qual afirma que todo sistema normal tem uma única solução dada por:

xi i

DX =

D

• O método de Gauss, que consiste em escalonar a matriz utilizando as operações elementares sobre linhas de matrizes.

100

Acadêmico(a), o processo de resolução de sistemas lineares pode parecer complicado no começo. Porém, não desista! É normal escolhermos caminhos que não nos levem à resposta esperada nas primeiras tentativas, mas o importante é reconhecer que a escolha foi errada e recomeçar outra vez. Lápis, borracha e mãos à obra!

AUTOATIVIDADE

1 Seja o sistema1 2 3

1 1 2 3

1 2 3

2x + 3x - x = 0S : x - 2x + x = 5

- x + x + x = - 2

a) Verifique se (2, -1, 1) é solução de S.b) Verifique se (0,0,0) é solução de S.

2 Solucione os sistemas a seguir, utilizando a regra de Cramer.

a) x + 2y = 5 2x - 3y = - 4

b) 3x - 4y = 1 x + 3y = 9

3 Se tivermos o sistema abaixo, então x + y + z + t é igual a:

x + y + z = - 1 x + z + t = 5 y + z + t = 7 x + y + t = 4

4 (UFBA) Dado o sistema , qual o valor de x + y + z? 2 x - y + z = 1

x + 2 y - z = - 33 x + 4 y + 2 z = - 5

5 (ACAFE) Considerando o sistema , qual o valor da incógnita z?

a + y + z = 72 x + y - z = 9

x - 2 y + 2 z = 2

101

6 O sistema linear

a) Admite solução única.b) Admite infinitas soluções.c) Admite menos de cinco soluções.d) Não admite soluções.

7 Resolva o seguinte sistema de equações:

x - y + 2 z = 22 x + 3 y + 4 z = 9x + 4 y + 2 z = 7

2 x + y + z + w = 1 x + 2 y + z + w = 2 x + y + 2 z + w = 3 x + y + z + 2 w = 4

8 Discuta o sistema 3 x + my = 2 x - y = 1

9 Determine m, de modo que o sistema seja impossível. x - y = 2 x + my + z = 0 - x + y - z = 4

10 Verifique se o sistema é determinado ou indeterminado. 3 x - 2 y = 0 x + y = 0

11 Determine m para que o sistema tenha única solução. 2 x - y + 3 z = 0 x + 4 y - 5 z = 0 3 x + my + 2 z = 0

12 Escalone e resolva os sistemas lineares a seguir:

a) 2 x + 3 y + z = 1 3 x - 3 y + z = 8 2 y + z = 0

b) x + y + z = 6 4 x + 2 y - z = 5 x + 3 y + 2 z = 13

c) x + 2 y + z = 7 2 x + 7 y + z = 21 - 3 x - 5 y + 2 z = - 8


102

13 (UERJ) Observe a tabela de compras realizadas por Mariana.

Sabendo que ela adquiriu a mesma quantidade de canetas e cadernos, além do maior número possível de lapiseiras, o número de corretores comprados foi igual a:

a) 11 c) 13 b) 12 d) 14

14 (UERJ) No sistema mostrado, x e y são números reais:

2

2 x ( x - 1 ) + y ( x - 1 ) = 4 ( x - 1 ) x + y = 7

A soma de todos os valores de x que satisfazem a esse sistema é igual a:

a) 1b) 2

15 (UERJ) Jorge quer distribuir entre seus filhos os ingressos ganhos para um show. Se cada um de seus filhos ganhar 4 ingressos, sobrarão 5 ingressos; se cada um ganhar 6 ingressos, ficarão faltando 5 ingressos. Podemos concluir que Jorge ganhou o número total de ingressos correspondente a:

a) 15 b) 25

16 (UERJ) Um comerciante deseja totalizar a quantia de R$ 500,00 utilizando moedas e cédulas de R$ 1,00, R$ 5,00 e R$ 10,00 num total de 92 cédulas, de modo que as quantidades de moedas de um e cédulas de dez reais sejam iguais. Neste caso, a quantidade de cédulas de cinco reais de que o comerciante precisará será igual a:

a) 12 b) 28 c) 40 d) 92

c) 3 d) 4

c) 29 d) 34

103

17 (UERJ) Numa granja há patos, marrecos e galinhas num total de 50 aves. Os patos são vendidos a R$ 12,00 a unidade, as galinhas a R$ 5,00 e os marrecos a R$ 15,00. Considere um comerciante que tenha gastado R$ 440,00 na compra de aves desses três tipos e que tenha comprado mais patos do que marrecos. O número de patos que esse comerciante comprou foi igual a:

a) 25 b) 20

18 (UERJ) Em um restaurante há 12 mesas, todas ocupadas. Algumas, por 4 pessoas; outras, por apenas 2 pessoas, num total de 38 fregueses. O número de mesas ocupadas por apenas 2 pessoas é:

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7

19 (UERJ) Observe os quadros I, II e III, anunciados em uma livraria.

c) 12 d) 10

I- Considere os quadros I e II. Supondo que todos os livros A foram vendidos ao preço regular e todos os livros B foram vendidos ao preço de oferta, a quantia total arrecadada pela livraria na venda desses livros foi:

a) R$ 1658,00 b) R$ 1568,00

II- Considere agora o Quadro III, que indica a quantia arrecadada na venda de certa quantidade dos livros A e B (valores em reais). Utilizando esses dados e os apresentados no Quadro II, a quantidade vendida do livro A (ao preço regular, edição de luxo) e a quantidade vendida do livro B (ao preço de oferta, edição de bolso) foram, respectivamente.

a) 100 e 200 b) 45 e 100

20 (UFF – 2000) As ligações entre as cidades A, B e C figuram num mapa rodoviário conforme ilustrado. Seguindo esse mapa, uma pessoa que se deslocar de A para C, passando por B, percorrerá 450km. Caso a pessoa se desloque de A para B, passando por C, o percurso será de 600km. Para se deslocar de B para C, passando por A, a pessoa vai percorrer 800km. Determine quantos quilômetros esta pessoa percorrerá ao se deslocar de A para B, sem passar por C.

c) R$ 2340,00 d) R$ 1348,00

c) 50 e 160 d) 40 e 160

105

UNIDADE 2

ESPAÇOS VETORIAIS


PLANO DE ESTUDOS

A partir desta unidade você estará apto a:

• entender a definição de vetor em suas variadas formas;• identificar a igualdade de vetores;• determinar o comprimento de cada vetor;• desenvolver as operações entre vetores;• compreender a utilização dos produtos vetoriais;• determinar ângulo, área e volume com o auxílio de vetores;• compreender a definição de Espaço Vetorial e como verificar;• identificar um subespaço vetorial e sua definição;• verificar combinações lineares;• identificar a dependência e independência linear;• determinar subespaços gerados;• compreender a definição de base e sua dimensão;• desenvolver o cálculo para a ortogonalização de Espaço Vetorial pelo pro-

cesso de Gram-Schmidt.


TÓPICO 1 – VETORES TÓPICO 2 – OPERAÇÕES VETORIAIS TÓPICO 3 – ESPAÇO VETORIAL


107

TÓPICO 1

VETORES

UNIDADE 2

1 INTRODUÇÃO

Caro(a) acadêmico(a), até o momento você desenvolveu conhecimentos que serão de grande serventia para o nosso estudo de vetores. Por esse motivo, quando houver necessidade, retorne aos estudos do tópico anterior.

O estudo de vetores neste tópico tratará, nos primeiros instantes, de defini-los em suas mais variadas formas, bem como demonstrar cálculos de como verificar sua igualdade, descobrir seu comprimento e modificar seu tamanho, quando necessário.

As operações entre vetores, como adição, subtração e multiplicação por um escalar, estão apresentadas logo após, para o fechamento deste tópico, serviram de base para o aprofundamento futuro dos conhecimentos que neste caderno serão abordados.

2 DEFINIÇÃO DE VETOR

Geometricamente, vetores são representados por segmentos de retas orientados no plano ou no espaço. A ponta da seta do segmento orientado é chamada ponto final ou extremidade (B) e o outro ponto extremo é chamado de ponto inicial ou origem (A) do segmento orientado. O seu comprimento indica a magnitude do vetor e sua seta orienta a direção e o sentido.

UNIDADE 2 | ESPAÇOS VETORIAIS

108

FIGURA 1 - VETOR

FONTE: O autor

Ao referenciar um vetor, devemos representá-lo:

• Utilizando uma letra minúscula do nosso alfabeto.

• Quando for tratado de dois pontos em um plano denotamos por

IMPORTANTE

( ) v

AB

Um exemplo do uso de vetores na física, onde muitas grandezas físicas podem ser quantificadas por único valor numérico acompanhadas pela sua respectiva unidade de medida, como massa e temperatura, a elas chamamos de Grandezas Escalares. Outras grandezas, como força, deslocamento e velocidade, necessitam, além do valor numérico e sua unidade de medida, outros pontos adicionais, como direção e sentido para o qual acontecerá o movimento. Para essas grandezas chamamos Grandezas Vetoriais.

Vendo de forma algébrica, um vetor é uma lista de números reais ordenados de elementos que podem ser relacionados com os sistemas de eixos cartesianos do plano e espaço. A denotação de um vetor pode ser dada por:

( )1 2 n v = v ,v , L , v

n

A quantidade de elementos indica a quantidade de dimensões em que o vetor está contido.

IMPORTANTE

TÓPICO 1 | VETORES

109

O número de elementos pode ser compreendido com a quantidade de dimensões onde o vetor está contido. Exemplo: para um vetor este, por conter três elementos em sua lista, trata-se de um vetor contido num plano de três dimensões, ou seja, em R³.

( )1 2 3v = v , v , v

2.1 VETOR POR SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS

Quando, no subtópico anterior, comentamos que um vetor pode ser relacionado com sistemas de eixos cartesianos, referíamos a vetores em e . São vetores contidos do plano e no espaço que obedecerão às coordenadas dos eixos x, y e z nos seus respectivos elementos. As representações destes vetores devem ser apresentadas por:

Dado um vetor:

Na representação acima temos um vetor em R³ que apresenta sempre na mesma ordem as coordenadas dos eixos x, y e z. O mesmo acontece para um vetor em R² que apresentará coordenadas nos eixos x e y.

Logo a seguir veremos como deve ser feita a representação geométrica no plano e espaço destes vetores.

2R 3R

( )1 2 3 1 2 3v = v , v , v v = v x + v y + v z ⇒

2.2 REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA EM E 2R 3R

2R 3R

Vimos em definição de vetor que os mesmos podem ser demonstrados a partir de uma lista de números e que a quantidade de elementos desta lista indicava a quantidade de dimensões em que o vetor estará contido. Os vetores que analisaremos geometricamente serão os em duas e três dimensões, já que acima disso ficaria complexo imaginarmos. A representação cartesiana no plano ( ) e espaço ( ) está apresentada a seguir.

FIGURA 2 – REPRESENTAÇÃO CARTESIANA NO PLANO E ESPAÇO

FONTE:O autor


110

Para nos orientarmos, devemos graduar ambos os planos e nos basear no seguinte:

• Nos casos em , os vetores serão apresentados na forma , c o m o os valores de e as respectivas coordenadas escalares nos eixos x e y, respectivamente representados no plano.

• Para um vetor em teremos ,com e as respectivas coordenadas escalares nos eixos x, y e z, respectivamente representados no espaço.

A seguir temos exemplos da demonstração e construção de um vetor em e outro em com o passo a passo necessário para representá-lo. Uma

observação importante é que, como não há um ponto de início para o vetor no plano, podemos arbitrariamente nos basearmos que um vetor iniciará na origem do plano.

Exemplo 1: Demonstre geometricamente o vetor

Resolução: Primeiramente devemos desenhar o plano graduado e encontrar os valores para x = 2 e y = 3 ligando-os por linhas tracejadas e perpendiculares aos eixos do plano.

x y v = v + v ,xv yv

x y zv v v v= + +

( ) z = 2, 3 .

3R

3R

3R

2R

x y zv , v vx y zv , v v

↑

↑

0

1

1 32

y

x

3

2

Ligue o ponto inicial com a intersecção do ponto do vetor com uma reta e uma seta na intersecção.

Com isso, finalizamos a demonstração de um vetor em R².

Exemplo 2: Demonstre geometricamente o vetor ( )v = 1, 2, 3 .

TÓPICO 1 | VETORES

111

↑

↑ ↑

0

1

1 32

y

x

z

3

2

Resolução: Primeiramente, devemos desenhar o plano graduado e encontrar os valores para x = 1, y = 2 e z = 3 ligando-os por linhas tracejadas e perpendiculares aos eixos do plano.

y

↑↑

↑

1

1

2

32

1

x

z

3

2

Agora que a ligação dos pontos dados foi encontrada e podemos observar os três retângulos formados, basta desenhar o restante de um paralelepípedo que se forma com linhas tracejadas.


112

y

↑↑

↑

1

1

2

32

1

x

z

3

2

Por fim, com o paralelepípedo formado, o vetor já pode ser desenhado a partir da origem do plano até o vértice oposto do paralelepípedo. Com isso, finalizamos a demonstração de um vetor em R³.

y

↑↑

↑↑

1

1

2

32

1

x

z

3

2υ

2.3 VETOR DEFINIDO POR DOIS PONTOS

Dados dois pontos distintos no plano ou espaço pelo sistema de coordenadas cartesianas, podemos definir um vetor para este intervalo. Observe a ilustração:

TÓPICO 1 | VETORES

113

FIGURA 3 – VETOR DEFINIDO POR DOIS PONTOS

↑

↑

0

1

1 32

y

A

B

x

3

2 ↑FONTE: O autor

Temos dois pontos na ilustração acima, o ponto A(1, 1) e B(3, 2). Ao ligarmos estes pontos temos um segmento de reta, no qual podemos indicar como o vetor funciona e representar ele por . Esta representação nos informa que o vetor tem sua origem no ponto A e extremidade em B. Se denotássemos este indicaria um vetor inverso do representado acima.

Como já estudamos anteriormente, há infinitos representantes de vetores iguais a este, possuindo mesmo módulo, sentido e direção. Podemos escrever o vetor como a diferença entre as coordenadas da extremidade pela sua origem:

. Essa diferença é feita subtraindo coordenada por coordenada de cada elemento. Esta representação de vetor definido por dois pontos está atribuída a Hermann Grassmann (alemão, 1809/1877), a qual muitos chamam de “A notação de Grassmann para os vetores”.

Exemplo 3: Dados os pontos a seguir, que representam um triângulo num plano cartesiano, represente eles por meio de vetores:

Resolução:

AB

AB

BA ,

AB = B - A

( ) ( ) ( )A 1,2 , B 3, 1 e C 2, 5

( )( )

AC = C - A

AC = C - A

AC = 2 - 1 , 5 - 2

AC = 1 , 3

( )( )

AC = C - A

AC = C - A

AC = 2 - 1 , 5 - 2

AC = 1 , 3

( )( )

AC = C - A

AC = C - A

AC = 2 - 1 , 5 - 2

AC = 1 , 3

( )( )

AC = C - A

AC = C - A

AC = 2 - 1 , 5 - 2

AC = 1 , 3

( ) ( )( )( )

BC = C - B

BC = 2 , 5 - 3 , 1

BC = 2 - 3 , 5 - 1

BC = - 1

, 4

( ) ( )( )( )

BC = C - B

BC = 2 , 5 - 3 , 1

BC = 2 - 3 , 5 - 1

BC = - 1

, 4

( ) ( )( )( )

BC = C - B

BC = 2 , 5 - 3 , 1

BC = 2 - 3 , 5 - 1

BC = - 1

, 4

( ) ( )( )( )

BC = C - B

BC = 2 , 5 - 3 , 1

BC = 2 - 3 , 5 - 1

BC = - 1

, 4

( ) ( )( )( )

AB = B - A

AB = 3 , 1 - 1 , 2

AB = 3 - 1 , 1 - 2

AB

= 2 , - 1

( ) ( )( )( )

AB = B - A

AB = 3 , 1 - 1 , 2

AB = 3 - 1 , 1 - 2

AB

= 2 , - 1

( ) ( )( )( )

AB = B - A

AB = 3 , 1 - 1 , 2

AB = 3 - 1 , 1 - 2

AB

= 2 , - 1

( ) ( )( )( )

AB = B - A

AB = 3 , 1 - 1 , 2

AB = 3 - 1 , 1 - 2

AB

= 2 , - 1


114

2.4 VETORES NA FORMA MATRICIAL

Uma outra forma de representar um vetor é por meio da notação matricial no formato , ou seja, uma matriz coluna com elementos em sua coluna.1n× n

( )1

21 2, , ,

= ⇒ =

n

n

vv

v v v v v

v

Podemos constatar, com tudo o que já foi visto, que as principais características que definem os vetores são: orientação por meio de uma seta, que indicará sua direção e sentido; comprimento, que mostrará a amplitude de sua magnitude; e demonstração por meio algébrico, uma matriz ou, ainda, de forma geométrica.

2.5 IGUALDADE DE VETORES

Já vimos que um vetor precisa ter magnitude (comprimento), sentido e direção; se estes três quesitos forem iguais, teremos vetores equivalentes ou equipolentes. Observe os exemplos e posteriormente a constatação da equivalência ou não dos vetores.

FIGURA 4 - VETORES EQUIVALENTES OU EQUIPOLENTES

FONTE: O autor

• Exemplo 1: podemos notar que os vetores não são iguais, pois possuem mesmo comprimento, mesma direção, mas em sentidos opostos.

• Exemplo 2: os vetores também não são equivalentes, pois apresentam mesma direção e mesmo sentido, mas ao verificarmos seu comprimento notamos que são diferentes.

• Exemplo 3: foge de quase todos os três quesitos que deveriam ser comtemplados. A única igualdade está em seu comprimento, direção e sentido são diferentes. Não são iguais.

EXEMPLO 1 EXEMPLO 2 EXEMPLO 3 EXEMPLO 4

TÓPICO 1 | VETORES

115

• Exemplo 4: temos dois vetores equivalentes, possuem mesmo comprimento, mesma direção e sentido iguais. Note que para os vetores terem mesmo sentido, devem ser paralelos ou colineares (estar presente na mesma reta), ou seja, vetores equivalentes devem ser paralelos ou colineares, obrigatoriamente.

2.6 MÓDULO OU NORMA DO VETOR

O módulo ou norma de um vetor nada mais é do que o seu comprimento e é calculado com base nas coordenadas do vetor.

2 2 21 2= + + + nv v v v

A dedução desta fórmula se dá através da utilização do Teorema de Pitágoras, onde, para cada elemento do veto, este indica o comprimento de um dos lados do triângulo. No caso de um vetor possuir apenas dois elementos, os mesmos são o comprimento dos catetos, bastando descobrir a hipotenusa. Para vetores com três elementos, o Teorema de Pitágoras deve ser aplicado duas vezes, verificando uma simplificação e retornando à fórmula apresentada acima. O mesmo se aplica para vetores em qualquer dimensão.

Chamamos de vetor nulo o vetor que apresenta apenas coeficientes zero, e representamos este vetor por

0 . Um ponto no espaço é um vetor nulo.

IMPORTANTE

Propriedade da norma:

v 0≥

De fato, por se tratar de comprimento não teremos valores negativos

0 0v somente se v ,= =

Intuitivamente ocomprimentodeumvetor sóserá zerose ele não possuir comprimento, .

v = v α α⋅ ⋅

2 . v = ( . v ) ( . v ) = ( v . v ) = ( v . v ) = . v .α α α α α α

(ou não existe comprimento, ou ele será maior que zero).

(só terá comprimento 0 se o vetor for nulo).

(multiplicação de um vetor (v) por um número real (α)

(ou nãoexiste comprimento, ou ele será maior que zero).


116

Exemplo 4: Determine a norma para os vetores ( ) ( ) ( )v = 4, 3 , z = 1, 4 e w = 1, 3, 5 .

( ) ( ) ( )v = 4, 3 , z = 1, 4 e w = 1, 3, 5 .

Resolução:

2

2

2

2

2

2 2

v = 4 + 3 = 5

z = 1 + 4 = 10

w = 1 + 3 + 5 = 35

2.7 VETOR UNITÁRIO E NORMALIZAÇÃO

São chamados de Vetores Unitários aqueles que apresentam seu comprimento igual a 1. Três importantes vetores unitários que utilizaremos no decorrer dos estudos são os presentes sobre os eixos do plano cartesiano,

denotados por vetores com base canônica , veja a demonstração.I J k, ,→ → →

↑ ↑

↑ y

↑↑

↑

x

i

k

j

z

Todos com procedência na origem do plano, o vetor i sobre o eixo x (abscissa), o vetor j sobre o eixo y (ordenadas) e o vetor k sobre o eixo z (cotas). O sentido das setas indica o positivo de cada eixo. Possuem as seguintes coordenadas:

TÓPICO 1 | VETORES

117

( )

( )

( )

1 00

0 1 0

0 0 1

i

j

k

, ,

, ,

, ,

=

=

=

Há casos em que há a necessidade de transformar um vetor (v) em unitário

(u). Para isso basta aplicar a seguinte fórmula: (exceto o nulo).1

= ⋅u vv

( )v = - 4 , 3 .

Exemplo 5: Determine um vetor unitário que esteja na direção de

Resolução: A primeira coisa a ser feita é descobrir seu comprimento.

( ) 2 ²v = - 4 + 3 = 5

Como ele não é unitário, aplicaremos a fórmula: 1 u = vv

⋅

Trocando os dados: ( )1u = - 4 , 3 5

⋅

Aplicando a distributiva:

( )

( )

1u = - 4 , 3 5

1 1u = - 4 , 35 5

⋅

⋅ ⋅

Fazendo as multiplicações: 4 3u = - , 5 5

Este novo vetor terá mesma direção e sentido com seu comprimento igual a 1 u.c.


118

3 OPERAÇÕES ENTRE VETORES

3.1 ADIÇÃO

Ao fazer a soma de vetores podemos observar geometricamente de duas formas o que acontece.

FIGURA 5 - SOMA DE VETORES

FONTE: O autor

Temos acima os dois vetores z e υ que serão somados. Ao juntarmos os dois vetores (z + υ) o resultado encontrado é um outro vetor, chamado vetor resultante (z + υ). Podemos notar que na forma Poligonal os vetores são ligados um em seguida do outro. O vetor resultante terá sua procedência na origem do primeiro e sua extremidade na extremidade do segundo. Na regra do Paralelogramo os vetores estão ligados a partir da mesma origem e traçados outros dois vetores iguais paralelamente para formar o paralelogramo. A diagonal deste paralelogramo é o vetor resultante.

Essa foi a visão geométrica da soma, quando queremos realizar a soma algébrica de dois vetores e encontrar o vetor resultante devemos proceder da seguinte forma:

Sendo os vetores:( )( )

1 2

1 2

, , ,

, , ,

= …

= …n

n

z z z z

v v v v

( ) ( ) ( )1 1 2 2, , ,+ = + + … +n nz v z v z v z vEntão:

Propriedades da soma de vetores:

( )z + v = v + z comutativaI .

Verifique sua validade no exemplo a seguir:

TÓPICO 1 | VETORES

119

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

2 3 1 5

2 3 1 5 1 5 2 3

2 1 3 5 1 2 5 3

3 8 3 8

Seja z e v

z + v = v + z

, ,

, , , ,

( , ,

, ,

= =

+ = +

+ + = + +

=

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

2 3 1 5

2 3 1 5 1 5 2 3

2 1 3 5 1 2 5 3

3 8 3 8

Seja z e v

z + v = v + z

, ,

, , , ,

( , ,

, ,

= =

+ = +

+ + = + +

=

( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )

0

0 0 0 0 0

z + v t = z v + t associativa

+ v = v elementoneutro

Dado v - v v - v = = elementooposto

, | , , , ,

+ +

∃ + …

II .

III .

IV .

As propriedades II, III e IV ficam a cargo do leitor verificar.

A leitura da quarta propriedade é: dado o vetor v existe um vetor −v � tal que o vetor v somado pelo vetor −v � resulta no vetor nulo.

IMPORTANTE

Exemplo 6: Dados os vetores z = ( 3 , 2 ) , υ = ( 1 , 5 ) e t =( -2 , 3 ) , determine:

a) z + t

Resolução:

( ) ( )( )( )

( )

z + t = 3, 2 + - 2, 3

= 3 + - 2 , 2 + 3

=

1 , 5 z +

t

z t

Visão geométrica da soma pela

regra do Paralelogramo


120

b) z + υ + t

( ) ( ) ( )( )( )

( )

3 2 1 5 2 3

3 1 2 2 5 3

2 10

z + v + t = -

-

, , ,

,

,

+ +

= + + + +

=

z +

υ +

t

t

υ

z

Visão geométrica

da soma pela regra do Poligonal

Exemplo 7: Sendo os vetores z = ( -2 , 2 ) e υ = ( 1 , 3 ), verifique se

z + v = z + v ::

Resolução: Faremos separadamente cada lado da igualdade, começando com o lado esquerdo:

z + v ⇒Temos que calcular a norma separadamente de cada uma por primeiro:

( )22 2 8 2 2

1 3 10

z -

v

²

² ²

= + = =

= + =

Somando ambos os resultados:

2 2 10

z + v =

+

Agora que encontramos o resultado do lado esquerdo, iremos verificar se o lado direito condiz:

z + v ⇒ temos que primeiramente somar os vetores

TÓPICO 1 | VETORES

121

( ) ( )( )

2 2 1 3

1 5

- +

- +

, , =

Calculando a norma da soma dos vetores

( ) ( )21 5 1 5 26 - + = - + = ²

Concluímos que pois . z + v z + v ≠ 2 2 10 26 + ≠

3.2 SUBTRAÇÃO DE VETORES

A subtração acontece analogamente como adição de vetor no que diz respeito à parte algébrica. Representamos a diferença de vetores de dois vetores por d = z - υ. Esta definição pode ser representada pela soma do primeiro pelo oposto do segundo, denotado por z + ( - υ )Acompanhe a definição abaixo:

( )( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )

1 2

1 2

1 1 2 2

1 1 2 2

n

n

n n

n n

z = z z z

v = v v v

z + - v = z + - v z + - v z + - v

z + - v = z - v z - v v

z -

, , , ,

, , ,

, , ,

, , ,

…

…

…

…

Na visão geométrica da subtração temos:

Ao fazer a diferença dos dois vetores, o resultado encontrado é um outro vetor z - υ ou z +(-υ) . Podemos notar que na forma Poligonal os vetores ligam-se um em seguida do outro, de forma que o segundo vetor terá seu sentido invertido. O vetor resultante por esta definição terá sua procedência na origem do primeiro e sua extremidade na extremidade do segundo, como na adição.


122

Já na forma do Paralelogramo, os vetores estão ligados a partir da mesma origem e traçados outros dois vetores iguais paralelamente para formar o paralelogramo. A diagonal das extremidades dos vetores será o vetor resultante.

Exemplo 9: Sendo os vetores e determine a subtração entre eles.

Resolução:

( )z = 3, 2 ( )t = - 2 , 3 ,

( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )

1 1 2 2z + - v = z - v , z - v

z + - v = 3 - - 2 , ( 2 - 3

z + - v = 5

, - 1 z - t

z t

3.3 MULTIPLICAÇÃO POR UM ESCALAR

A multiplicação por um escalar nada mais é que a multiplicação de um vetor por um número real. Na visão algébrica utilizaremos α (alfa) para representar um número real e υ como um vetor. Acompanhe o processo da multiplicação.

Seja: e α um escalar( )1 2, , ,= … nv v v v

( )α α⋅ ⋅ 1 2 n v = v , v ,…,v

Fazendo a distributiva em todos os coeficientes do vetor

( )α α α α⋅ ⋅ ⋅ ⋅1 2 n v = v , v ,…, v

Algumas propriedades sendo α e β escalares e z e υ vetores:

( ) ( ) v = v α β α β⋅ ⋅ ⋅ ⋅I . ( associativa )


TÓPICO 1 | VETORES

123

( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )

Seja = 2, = - 3 e v = 1, 2

v = v

2 - 3 1, 2 = 2 - 3 1, 2

- 6 1, 2 = 2 - 3 , - 6

α β

α β α β⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅

( ) ( )- 6 , - 12 = - 6, - 12

II. α . ( z + v) = α. z + α. v (primeira distributiva - escalar nos vetores). III. ( α + β ) . v = α . v + β . v (segunda distributiva - vetor nos escalares). IV. 1 . v = v (identidade multiplicativa).

As propriedades II, III e IV ficam a cargo do leitor verificar ou provar.

Podemos notar que para cada coeficiente do vetor, todos os mesmos serão multiplicados pelo escalar (número real) e, como resultado, um vetor que sempre apresentará as características geométricas abaixo:

• Sempre terá mesma direção (exceto quando multiplicado por 0, pois teremos um vetor nulo).

• Pode mudar seu sentido quando multiplicado por um número negativo.• Será alterado seu comprimento quando multiplicado por um número diferente

de 1 ou -1.

Exemplo 10: Dado o vetor determine:( ) ( )2 4 1 2z - v, e , ,= =

a) 3 . z ₌


124

Resposta:

( )( )( )( )

= 3 - 2 , 4

= 3 - 2 , 3 4

= - 6 , 12

⋅

⋅ ⋅

b) ( z + υ ) . 2 ₌

Resposta:

( ) ( )( )( )( )

( )( )( )

( )

= - 2 , 4 + 1, 2 2

= - 2 + 1 , 4 + 2 2

= - 1 , 6 2

= - 1 2 , 6 2

= - 2 , 12

⋅

⋅

⋅

⋅ ⋅

( ) - 2 z + v z =⋅ ⋅c)

Resposta: Já vimos na questão “b” que , portanto sua norma será:

( )1 6z + v = - ,

z + v = 37

( )- 2 37 - 2 , 4 ⋅

( ) ( )2 - 1 , 6 = - 1 + 6² = 37

( ) - 2 z + v z ⋅ ⋅

( )= - 2 37 z⋅ ⋅

( ) ( ) ( )( )= - 2 37 - 2 , - 2 37 4 ⋅ ⋅

( )( )= 4 37 , - 8 37

Então

125

RESUMO DO TÓPICO 1

Neste tópico vimos que:

• Vetores podem ser definidos nas seguintes formas:

o Geometricamente: dado que seu comprimento indica a magnitude do vetor e sua seta orienta a direção e o sentido.

o Por coordenadas cartesianas: seus elementos dão as coordenadas de localização no plano ou espaço.

o Definido por dois pontos: quando houver a necessidade de converter pontos em vetores do plano ou espaço pela definição .AB = B - A

o Na forma matricial: um vetor pode ser demonstrado por meio de uma

matriz coluna

1

2

=

n

vv

v

v

o Igualdade de vetores: desde que os vetores possuam mesmo comprimento, mesmo sentido e mesma direção, serão equipolentes. Concluindo que há infinitos vetores iguais.

o Para calcular o comprimento do vetor, o qual chamamos de módulo ou norma do vetor: 2 2 2

1 2 = + + + nv v v v

o A normalização é pegar um vetor não unitário (que possui comprimento diferente de uma unidade de comprimento) e transformá-lo em unitário sem alterar seu sentido e direção. 1u = v

v⋅

o A adição ou subtração pode ser vista geometricamente (regra paralelogramo ou regra poligonal) ou algebricamente e definidas por:

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

1 1 2 2

1 1 2 2 - - - -

, , ,

, , ,

+ = + + … +

+ = + + … +n n

n n

z v z v z v z v

z v z v z v z v

o Na multiplicação por um escalar, que nada mais é que pegar todos os elementos de um vetor e multiplicado por um número real.

( )1 2 n v = v , v ,…, vα α α α⋅ ⋅ ⋅ ⋅

126

AUTOATIVIDADE

1 Represente os vetores abaixo na forma geométrica, obedecendo ao sistema de coordenadas cartesianas:

a)

b)

( )v = 2 , - 1

( )t = 1 , 2 , 2 d)

c) ( )w = 3, 2

( )z = 2 , 1 , 1

2 Dados os pontos e determine os vetores formados pelos segmentos:

( ) ( ) ( ) ( )2 3 1 2 4 2 1 1A B - C - D - , , , , , , , ( )2 1E - - ,

CB =

a)

DB =

b) AC =

d)

EA =

c)

3 Para os vetores encontrados na questão anterior, determine a norma de cada um, e, caso não forem unitários, transforme-os.

4 Com e determine: ( ) ( )1 2 2 0 1 3v = - t = , , , , , ( )2 2 1z = - - , , ,

a) 2 3z + t =

b) z - v =

c) z - v + t =

d) - t - v =

e) 3 t - 2 v =

5 Dado , determine o valor de para quê:( ) ( )1 2 2 1 3v = - t = m , , e , , m

a) 5 v + t =

b) 6 t =


127

TÓPICO 2

OPERAÇÕES VETORIAIS

UNIDADE 2

1 INTRODUÇÃO

Com os conceitos estudados no tópico anterior, começamos agora o estudo de outras operações envolvendo vetores. Estas operações nos ajudarão a dar entendimento do comportamento dos vetores no que se refere às suas relativas posições.

Poderemos notar que para cada operação, a mesma estará ligada a pelo menos uma aplicação na resolução de problemas, como: o ângulo formado entre os vetores, se os vetores são paralelos, para o cálculo de área de triângulos e paralelogramos e o cálculo do volume de tetraedros e paralelepípedos.

2 PRODUTO ESCALAR

O produto escalar (ou produto interno) é a multiplicação entre dois vetores cujo resultado é um escalar (um número real), podendo ser denotado por:

Sendo:

z v ou z , v ⋅

( )( )

1 2

1 2

n

n

1 1 2 2 n n

z = z z z

v =

v v v

z v = z v + z v + … + z v

, , ,

, , ,

…

…

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Algumas propriedades do produto escalar, sendo α escala e u, υ e t vetores:

( )z v = v z comutativa ⋅ ⋅I .


128


( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

Sejaosvetores z = 2 , - 1 e v = 1 , 3 z v = v z 2 , - 1 1 , 3 = 1 , 3 2 , - 1

2 1 + - 1 3 = 1 2 + 3 - 1 2 -

⋅ ⋅

⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

3 = 2 - 3 - 1 = - 1

( ) ( )z v + t = z v + z t distributiva ⋅ ⋅ ⋅II .

( ) ( ) ( ) ( ) z v = z v = z v associativacomescalar α α α⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅III .

As propriedades II e III ficam a cargo do leitor verificar ou provar.

Se um vetor υ não for nulo, então temos que:

Uma propriedade que não está presente no produto escalar é associativa entre vetores.

Seja: ( ) ( )z v t = z v t⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Não faz nenhum sentido multiplicar dois vetores para ter um escalar, o resultado seria um outro vetor.

Exemplo 11: Dado o vetor determine ( ) ( )1 2 2 3z = v = - , e , z v : ⋅

Resposta:

( )z v = 1 - 2 + 2 3 z v = - 2 + 6 = 4⋅ ⋅ ⋅

⋅

2.1 ÂNGULO ENTRE VETORES

A utilização do produto escalar está ligada à parte geométrica dos vetores, mais precisamente ao cálculo do ângulo formado entre eles.

θ⋅ ⋅ ⋅z v = z v cos

TÓPICO 2 | OPERAÇÕES VETORIAIS

129

Para a demonstração da equação acima imaginemos dois vetores não colineares, representados a seguir:

FIGURA 6 - VETORES NÃO COLINEARES

z - v

v

z θ

FONTE: O autor

A figura formada com a inclusão do vetor resultante da subtração dos vetores é um triângulo. Aplicando a lei do cosseno temos:

θ⋅ ⋅ ⋅ 2 2 2

z - v = z + v - 2 z v cos

A utilização da norma se dá pelo motivo de que queremos o comprimento do vetor. Acompanhe o desenvolvimento imaginando que estamos trabalhando com dois vetores em R².

Determinando a norma dos vetores:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

1 2 1 2 1 1 2 2

2 2

1 1 2 2

2 21 2

, , ,

z - v = z z - v v = z - v z - v

z - v = z - v + z - v

z = u + u

v

= v 2 21 2 + v

Trocando, na expressão, os valores das normas com exceção da parte ligada ao cosseno:

Eliminando os quadrados com a raiz quadrada:

( ) ( )2 2 2 2 2 21 1 2 2 1 2 1 2- + - = + + + - 2 z v co s θ⋅ ⋅ ⋅ z v z v z z v v

( ) ( ) ( ) ( )2 2 22 2 2 2 2 2

1 1 2 2 1 2 1 2

- + - = + + + - 2 z v cos θ ⋅ ⋅ ⋅

z v z v z z v v


130

Desenvolvendo os quadrados:

2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2z - 2 z v + v + z - 2 z v + v = z + z + v + v - 2 z v cos θ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Eliminando as partes iguais nos dois lados:

1 1 2 2- 2 z v - 2 z v = - 2 z v cos θ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Colocando o - 2 do em evidência: ( )21 1 2- 2 z v + z v = - 2 z v cos θ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Podemos eliminar o - 2 em ambos os lados e simplificar 1 1 2 2z v + z v⋅ ⋅por produto vetorial :z v⋅

z v = z v cos θ⋅ ⋅ ⋅

O produto escalar entre vetores pode nos trazer algumas visões geométricas do seu resultado, analogamente se:

FIGURA 7 - PRODUTO ESCALAR ENTRE VETORES

FONTE: O autor

O ângulo formado entre os vetores sempre será representado pelo menor ângulo entre eles, sendo compreendido . Para um eventual cálculo de ângulo podemos isolar o cosseno tendo a expressão:

0 180θ° ≤ ≤ ° z vcos = z v

θ ⋅⋅

Exemplo 12: Calcule o ângulo formado pelos vetores


131

( ) ( )( ) ( )

( )2 2 2

z v cos = z v

1, 1, 2 2, - 1, 1 cos =

1, 1, 2 2, - 1, 1

2 - 1 + 2 cos = 1 + 1 + 2² 2 + - 1 ² + 1²

3 cos = 6

6

θ

θ

θ

θ

⋅⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

3 cos = 6

1 cos = = 60°2

θ

θ θ⇒

Exemplo 13: Verifique se os vetores são perpendiculares.

Para que dois vetores sejam perpendiculares, basta que o produto escalar entre eles seja zero.

Resposta:

( ) ( )2 3 1 2 1 1z = - v = - - , , e , ,

( ) ( )z v = 2 , - 3 , 1 - 2 , - 1 , 1 ⋅ ⋅

( ) ( ) ( )z v = 2 - 2 + - 3 - 1 + 1 1 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

z v = - 4 + 3 + 1 = 0⋅

Portanto, os vetores são perpendiculares.

Exemplo 14: Qual o valor que x pode assumir para que o ângulo entre os vetores ( ) ( )1 2 4z = - v = x , e , seja agudo?


132

Resposta:

( ) ( )z v = - 1 , 2 n 3 , x ⋅

( )z v = - 1 2 + 2 x ⋅ ⋅ ⋅

Para formar um ângulo agudo, basta que o produto escalar seja maior que zero.

( ) - 1 4 + 2 x > 0 - 4 + 2 x > 0 2 x > 4

4 x > = 22

⋅ ⋅

⋅⋅

Para que os vetores tenham um ângulo agudo, basta que x > 2 .

3 PRODUTO VETORIAL

O produto vetorial é de grande utilidade para a física para analisar o comportamento no eletromagnetismo, mecânica de corpos rígidos e dos fluidos. Na matemática, o produto vetorial aplica-se a vetores em R³ resolvendo problemas na geometria, onde o produto entre dois vetores tem como solução um novo vetor, simultaneamente ortogonal aos outros dois. A representação do produto vetorial entre dois vetores é denotada por veja a ilustração:z × u ,

z × u

z × uz × u

Você pode estar se perguntando por que o produto vetorial entre os vetores acima resultou em um vetor apontando para cima e não para baixo (estas seriam as únicas duas soluções possíveis, já que o vetor resultante é ortogonal). Bem, esta analogia está correta, a resposta para ela é que o vetor resultante no produto vetorial segue a regra da mão direita.


133

A regra da mão direita é muito importante para determinar o sentido do vetor resultante e onde ele está localizado geometricamente. Há duas formas de demonstrar esta técnica, utilizaremos a que tem como base a ilustração a seguir:

Deixe o polegar (“dedão”) formando um ângulo reto em relação aos demais dedos que devem estar juntos. Aponte os dedos para o primeiro vetor do produto de modo que ao fechar a mão o sentido deve seguir o segundo vetor. Para onde o polegar estiver apontando será a direção e sentido do vetor resultante do produto vetorial.

Utilizando a regra da mão direita teremos o seguinte:

× =i j k × =i k - j × =j k i

× =j i - k × =k i j × =k j - i

0× = × = × =i i j j k k

Isto acontece porque vetores iguais são colineares.

Observe o macete que pode ser utilizado para decorar os produtos entre os vetores.


134

Colocando as letras e e repetindo-as novamente, formamos vários pares de letras que devem estar grudados. O sentido da ligação dos vetores indica se ele será positivo ou negativo.

Exemplo 15: Para o produto entre temos que o vetor resultante apontará para:

i , j k

k j ×

Resposta: Note que estão ligados da direita para esquerda, sentido negativo, portanto, a resposta é o vetor .

Outra definição importante do produto vetorial é que a norma do produto

vetorial entre vetores é dada por:

k j ×– i

z × v = z v sen θ⋅ ⋅

Nesta definição, um fato muito importante a ser observado é que podemos encontrar o ângulo formado por dois vetores com a ajuda do produto

vetorial. z × v

sen = z v

θ⋅

Agora que já definimos como deve ser o produto vetorial, basta vermos como se calcula este produto. Uma das formas é por coordenadas cartesianas.

Dados os vetores a seguir, podemos encontrar o valor do produto vetorial por meio do determinante de uma matriz que terá na primeira linha os vetores unitários e nas linhas seguintes os vetores.

Dados dois vetores:

i , j k

( )( )

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

w = w , w ,w

v = v , v ,v

i j kw v = det w w w

v v v

×

Observe que as coordenadas de x, y e z foram trocadas pelos vetores unitários (i,j e k) apresentados na regra da mão direita que seguem respectivamente os eixos.


135

i , j k

Podendo ser definido por (aplicando o Teorema de Laplace):

2 3 1 3 1 2

2 3 1 3 1 2

w w w w w ww v = det - det det

v v v v v v, ,

×

Podendo ser definido também por (aplicando Sarrus):

( ) ( ) ( )

1 2 3 1 2

1 2 3 1 2

2 1 3 2 1 3 2 3 3 1 1 2

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1

i j k i j w w w w w

v v v v v

- kw v - iw v - jw v + iw v + jw v + kw vw v i w v - w v + j w v - w v k w v v - w× = +

A prova do uso do determinante pode ser demonstrada da seguinte forma:

Dados dois vetores na forma de coordenadas cartesianas:

( )( )

1 2 3

1 2 3

w = w i + w j + w k

v = v i + v j + v k

( ) ( )1 2 3 1 2 3w v = w i + w j + w k × v i + v j + v k

×Então:

Deve-se fazer a distributiva em todos os elementos de w com todos os elementos de :v

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1 1 1 2 1 3

2 1 2 2 2 3

3 1 3 2 3 3

= w v i × i + w v i × j + w v i × k +

w v j × i + w v j × j + w v j × k +

w v k × i + w v k × j + w

v k × k

⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅

Observando a tabela da regra da mão direita para a simplificação dos produtos de e


136

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

1 2 1 3

2 1 2 3

3 1 3 2

= 0 + w v k + w v - j +

w v - k + 0 + w v i +

w v j + w v - i +

0

⋅ ⋅

⋅ ⋅

⋅ ⋅

Juntando os mesmos valores de ei , j k

( ) ( ) ( )2 3 3 2 1 3 3 1 1 2 2 1w × v = w v - w v i - w v - w v j + w v - w k v⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

A seguir, algumas propriedades do produto vetorial:

I . ( )z v = - v z anticomutativa × ×


( ) ( )2 0 1 3 2 2

2 0 13 2 2

Seja z = e v = z v = - v z

i j k det = - det

, , , , × ×

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

3 2 22 0 1

0 2 4 3 4 0 2 0 3 4 0 4

2 4 2 4

i j k

- i - - j + - k = - - i - - j + - k

- i - j + k = - i + j - k

2 4 2 4 - i - j + k = - i - j + k

( ) ( )z v + w = z v + z w distributiva × × ×

( ) ( ) ( ) ( ) z × v = z × v = z × v associativa por escalar α α α⋅ ⋅ ⋅

( )z × v = 0 somente quando z e v foremmúltiplo escalar umdooutro

II .

IV .

III .


Exemplo 16: Sejam os vetores determine o produto vetorial entre eles.

( ) ( )1 0 2 3 1 2z = - v = - , , e , , ,


137

1 2 3

1 2 3

i j k z × v = det z z z

v v v

i j k

z × v = det - 1 0 2 3 1 - 2

0 2 - z × v = det , - det

1 -

2

( )

1 2 - 1 0 , det

3 - 2 3 1

z × v = - 2 , 4 , -

1

Resolvendo por Sarrus:

i j k i jz × v = det - 1 0 2 - 1 0

3 1 - 2

3 1

Fazendo as multiplicações das diagonais:

( ) ( ) ( ) ( )( )z × v = - 2 0 i + 3 2 j + 1 - 1 k - 3 0 k + 1 2 i + - 2 - 1 j ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Fazendo as multiplicações: ( )z × v = 0 + 6 j - k - 0 + 2 i + 2 j z × v = 6 j - k - 2 i - 2 j

⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅

Juntando os termos:

( )z × v = - 2 i + 4 j - k z × v = - 2 , 4 , - 1

⋅ ⋅

Podemos notar que as duas formas estão corretas.


138

3.1 CÁLCULO DE ÁREA

Uma aplicação do produto vetorial é o cálculo de área de triângulos e de paralelogramos. A norma do produto vetorial é exatamente a área de um paralelogramo que tem como medida o comprimento dos vetores. Para o cálculo da área do triângulo, bastaria apenas dividir o resultado por dois, já que o paralelogramo tem o dobro da área do triângulo. Observe a imagem:

z z z

v v

z . sen θ

θθ

A explicação é que uma das formas de se calcular a área de um triângulo é multiplicando sua base pela sua altura e dividindo por dois. Por outro lado, a do paralelogramo é simplesmente sua base multiplicada por sua altura. Note que na imagem acima, a altura do suposto triângulo ou paralelogramo é definida com a utilização do seno pelo ângulo formado entre os vetores. Com isso podemos definir o seguinte:

Área do Triângulo Área do paralelogramo

z v sen A =

2θ⋅ ⋅

z × v A =

2

A = z v sen θ⋅ ⋅

A = z × v

ou ou

Exemplo 17: Calcule a área do paralelogramo definida pelos vetores

Resposta: A área do paralelogramo é definida:

Primeiramente, calculamos o produto vetorial e em seguida a norma.

( ) ( )1 1 2 2 1 2z = v = - , , e , , .A = z × v


139

i j k z × v = det 1 1 2

- 2 1 2

1 2 1 2 1 1z × v = det , - det , det

1 2 - 2 2 - 2 1

z × v = 0, - 6

,

3

( )

( )22 2

z × v = 0 + - 6 + 3

z × v = 45

A = 45 u

. c .

Exemplo 18: Para um triângulo com lados medidos em centímetros pelos vetores e , determine a sua área e a altura relativa ao lado

Resposta: Para melhor compreender o que está acontecendo, desenhamos o triângulo com os vértices.

( )4 5 0z = - , , ( )0 4 3v = - , , v.

h

v

z

A área do triângulo pode ser encontrada a partir de:

2

4 5 00 4 3

5 0 4 04 3 0 3

z v A =

i j k z v = det -

-

- z v = det - det det

-

- , ,

×

×

×

( )

2 2

4 50 4

15 12 16

15 12 16 2

-

z v =

z v = + +

, ,

×

×


140

2

4 5 00 4 3

5 0 4 04 3 0 3

z v A =

i j k z v = det -

-

- z v = det - det det

-

- , ,

×

×

×

( )

2 2

4 50 4

15 12 16

15 12 16 2

-

z v =

z v = + +

, ,

×

×

2

252

12 5

A =

A = cm,

Então:

Para sua altura podemos desenvolver o cálculo da seguinte forma:Sabemos que:

2b hA = ⋅

Note que temos três incógnitas na fórmula acima: área, base e altura. A área do triângulo sabemos, a base é possível encontrar a partir do vetor e posteriormente encontramos a sua altura. Calculando a norma do vetor

v v .

( ) 22 20 4 3

16 9

5

v + + -

v = +

v =

cm

=

Pela fórmula da área do triângulo:

12 52

5

55

b h A = 25 h =

12,5 2 = h

12,5 2 = h

h = cm

,

⋅

⋅

⋅

⋅

12 52

5

55

b h A = 25 h =

12,5 2 = h

12,5 2 = h

h = cm

,

⋅

⋅

⋅

⋅

12 52

5

55

b h A = 25 h =

12,5 2 = h

12,5 2 = h

h = cm

,

⋅

⋅

⋅

⋅

12 52

5

55

b h A = 25 h =

12,5 2 = h

12,5 2 = h

h = cm

,

⋅

⋅

⋅

⋅


141

Exemplo 19: Calcular a área do triângulo de vértices ( ) ( ) ( )2 1 4 1 3 3 1 2 1A - B - - e C - , , , , , , , .

( ) ( ) ( )2 1 4 1 3 3 1 2 1A - B - - e C - , , , , , , , .

Imaginemos a figura apresentada para visualizar o triângulo:

A

B

C

Para desenvolver o cálculo da área por produto vetorial devemos optar por dois segmentos que têm o mesmo vértice em comum para transformá-los em vetor.

( ) ( )( )

1 3 3 2 1 4

3 2 1

AB = B - A

AB =

- - - -

AB = -

- -

, , , ,

, ,

( ) ( )

( )1 1 2 1 4

1 1 3

AC = C - A= - 2 -

C

-

AC = - - -

, , , ,

, ,

2

3 2 11 1 3

2 11 3

AB AC A =

i j kAB AC = det - - -

- -

-

- - AB AC = det - det

- -,

×

×

×

( )

( ) 22 2

3 1 3 21 3 1 1

5 8 1

5 8 1

- - - - det

- -

- -

AB AC = -

AB AC = + - +

,

, ,

×

×

90

3 10

3 102 2

AB AC =

AB AC =

AB AC A = =

a

u

. .

×

×

×


142

2

3 2 11 1 3

2 11 3

AB AC A =

i j kAB AC = det - - -

- -

-

- - AB AC = det - det

- -,

×

×

×

( )

( ) 22 2

3 1 3 21 3 1 1

5 8 1

5 8 1

- - - - det

- -

- -

AB AC = -

AB AC = + - +

,

, ,

×

×

90

3 10

3 102 2

AB AC =

AB AC =

AB AC A = =

a

u

. .

×

×

×

Então:

4 PRODUTO MISTO

O produto misto tem este nome por envolver duas operações entre vetores ao mesmo tempo, o escalar e o vetorial. O resultado obtido sempre será um número real e a denotação é feita por: ou

Já sabemos que:

( )z w × v⋅ z w v( , , ).

2 3 1 3 1 2

2 3 1 3 1 2

w w w w w ww v = det - det det

v v v v v v, ,

×

Então:

( ) ( ) 2 3 1 3 1 2

2 3 1 3 1 2

2 3 1 3 1 2

2 3 1 3 1 2

1 2 3

1 2 3

w w w w w wz w × v = z , z ,z det - det det

v v v v v v

w w w w w w = det z - det z + det z

v v v v v

v

, ,

⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅

Com isso definimos que: ( )1 2 3

1 2 3

1 2 3

z z zz w × v = det w w w

v v v

⋅

Exemplo 20: Determine o produto misto formado pelos vetores

( ) ( ) ( )1 2 3 2 3 1 0 2 1z = w = - v = - , , , , , , , e

Resposta:


143

Aplicando Sarrus temos:

4.1 CÁLCULO DE VOLUMES

Com o auxílio do módulo do produto misto de vetores é possível calcular o volume de paralelepípedos que terá suas arestas definidas pelos vetores Um tetraedro definido pelos mesmos vetores também será possível calcular, j á que o paralelepípedo é equivalente a dois prismas triangulares iguais e estes equivalem a três tetraedros.

Seguem as definições dos cálculos dos volumes:

z w v , e .

( )1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 32 3 10 2 1


v v v

= det - -

⋅

-

( )

( )

1 2 3 1 22 3 1 2 30 2 1 0 2

3 0 12 0 2 4

=det -

- -

= + - - + +

z w × v = -15

⋅ - 15

ou ou

1 2 3

1 2 3

1 2 3

z z zA = det w w w

v v v

( )A = z w × v ⋅

1 2 3

1 2 3

1 2 3

16

z z zA = det w w w

v v v

⋅

( )16

A = z w v ⋅ ⋅ ×

Paralelepípedo Tetraedro


144

Algumas propriedades do produto misto:

I. (Se um vetor for nulo, se dois deles são colineares, ou se os três vetores são coplanares).

De fato: 1° - se o vetor z for nulo, teremos:

( )z w × v = 0⋅

1 2 3

1 2 3

1 2 3

0 z z z

det w w wv v v

=

z e w

2° - se os vetores z e w forem colineares é porque são múltiplos um do outro, então:

1 2 3

1 2 3

1 2 3

0

z = aw então aw = az

aw aw awdet w w w =

v v v

:

3° - se os vetores z, w e v forem coplanares, o vetor 3° - se os vetores z, w e v forem coplanares, o vetor w x v, por ser ortogonal aos vetores w e v , é ortogonal ao vetor z .

Se z e w x v são ortogonais, o produto escalar z . ( w x v ) é nulo. É fácil verificar que, reciprocamente, se nenhum dos vetores z, w e z é nulo e se dois quaisquer deles não são colineares, anulamento de ( z . ( w x v)) significa que z, w e v são coplanares.

II . (Independe da ordem circular dos vetores).

III .IV.

(Multiplicação por escalar).


Exemplo 21: Determine o valor que x deve assumir para que um paralelepípedo tenha volume de 24 u.v. (unidades de volume). Suas arestas estão definidas pelos vetores .

( ) ( ) ( )z w × v = w v × z = v z × w⋅ ⋅ ⋅

( ) ( ) ( ) ( )z w × v = z w × v = z w × v = z w × v α α α α ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

( ) ( ) ( )z = x , 5 , 0 , w = 1 , 1 , - 1 e v = 3 , - 2 , 1

( ) ( ) ( )z w × v + s = z w × v + z w × s ⋅ ⋅ ⋅ .


145

Resposta:

1 2 3

1 2 3

1 2 3

5 024 1 1 1

3 2 1

24 20

z z zA det w w w

v v v

xdet

x

=

= - -

= - -

Pela definição de módula, admite-se duas hipóteses:

20 24

44

20 24

4

44 4

x

x

x

x

x ou x

- - =

= -

- - = -

=

= - =

ou:

Portanto:

Exemplo 22: Calcular o volume de um tetraedro cujos vértices estão nos pontos: ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 7 4 3 4 6 2 4 3 4A B C D , , , , , , , , e , , .

Resposta: Para poder transformar os pontos em três vetores, devemos sempre escolher um dos pontos como fixo. Para o desenvolvimento desta optaremos por A.

( ) ( )( )

7 4 3 1 2 1

6 2 2

-

, ,

- ,

,

, ,

AB B A

AB

AB

=

=

=

( ) ( )

( )4 6 2 1 2 1

3 4 1

-

, ,

- , ,

, ,

AC C A

AC

AC

=

=

=

( ) ( )

( )4 3 4 1 2 1

3 1 3

-

, ,

-

, ,

, ,

AD D A

AD

AD

=

=

=


146

( )

( )

16

6 2 23 4 1 363 1 3

=

= =

A z w v

z w v det

⋅ ⋅ ×

⋅ ×

Portanto, temos que o volume é: 1 36 66

= = . .A u v⋅

5 PARALELISMO DE DOIS VETORES

Dois vetores serão paralelos (ou colineares) quando existir um número k tal que , ou seja: = v k w⋅

( )( )

1 2 3

1 2 3

= , ,

= , ,

v v v v

w w w w

Então:

( ) ( )( ) ( )

1 2 3 1 2 3

1 2 3 1 2 3

= , , = , ,

, , = , ,

v k wv v v k w w w

w w w k w k w k w

⋅

⋅

⋅ ⋅ ⋅

Pela definição de igualdade:

1 1

2 2

3 3

= = =

v k wv k wv k w

⋅⋅⋅

31 2

1 2 3

= = = vv v

kw w w

ou temos ainda que:

Quando suas coordenadas forem proporcionais, teremos a condição de paralelismo, que podemos denotar por .v w�


147

Exemplo 23: Verifique se os vetores são paralelos.

Resposta:

( )2 3 4 = , - , v ( )4 6 8 = , - , we

e

31 2

1 2 3

= = = vv v

kw w w

2 3 4 14 6 8 2

- = = = = -

k k⇒

Ou seja:

12

= v w⋅

1n 2n

eeeExemplo 24: Dados os pontos e os vetores verifique

se existem os números tais que

Resposta: Primeiramente encontraremos o vetor

( )1 1 , - A ( )2 3 , - B( )1 1 = - , v ( )2 1= , w

1n 2n 1 2 = + w n AB n v⋅ ⋅

AB:

( ) ( ) ( )2 1 1 3 1 2= - = , - - , - = , AB B A

Trocando os vetores na expressão dada:

( ) ( ) ( )1 2

1 22 1 1 2 1 1 = +

, = ,

- ,

w n AB n vn n

⋅ ⋅

⋅ + ⋅

( ) ( ) ( )1 1 2 22 1 2, = , + - , n n n n⋅

Fazendo as multiplicações pelos escalares .

( ) ( )1 2 1 22 1 2, = - , + n n n n⋅Aplicando a soma do lado direito:

1 2

1 2

22 1

- = + =

n nn n

⋅

Pela igualdade de vetores, teremos o sistema:

e1 1 = n 2 1= - nResolvendo o sistema obtemos a solução .


148

Logo, temos:

1 2 = +

= -

w n AB n v

w AB v

⋅ ⋅

Exemplo 25: Determine os valores de a e b para que sejam paralelos os vetores e ( )1 4 4 = - , , - v a

Resposta:

1 4 43 3 2 2

- - = = - +

ab

Como sabemos, a razão na proporção acima pela coluna do meio podemos dividir o problema da seguinte forma:

1 43 3

- = -

a

e

4 43 2 2

- = + b

Resolvendo as equações, temos que a solução:

( )3, 3, 2 2= − +w b

532

= − = −a e b

149

RESUMO DO TÓPICO 2


• O produto escalar entre vetores possui este nome, pois após esta operação o resultado é um escalar, denotado e definido por: 1 1 2 2 n n z v = z v + z v + … + z v⋅ ⋅ ⋅ ⋅

• O resultado do produto escalar pode ser interpretado como:

o (vetores perpendiculares). o (vetores formando um ângulo agudo). o (vetores formando um ângulo obtuso).

0z v⋅ =0z v⋅ ≥0z v⋅ ≤

• Com o produto escalar é possível encontrar o ângulo entre dois vetores por:

z vcos z v

θ ⋅=

⋅ .

• O produto vetorial possui este nome devido a que o resultado após a operação é um vetor, ortogonal aos outros dois vetores. É denotação e definido por:

.2 3 1 3 1 2

2 3 1 3 1 2

w w w w w ww × v = det , - det , det

v v v v v v

• O sentido e a direção do vetor resultante do produto vetorial são descobertos pela regra da mão direita.

• Com o auxílio do produto vetorial e entendimento de geometria, podemos definir que a norma do vetor resultante do produto vetorial é a área de um paralelogramo, sendo assim, a metade da área de um triângulo.

• Caso o produto vetorial seja igual a zero, então os vetores são colineares.

O produto misto tem este nome, pois envolve as duas operações já citadas: o produto escalar e o vetorial. É definido e denotado por:

( )1 2 3

1 2 3

1 2 3


v v v

⋅

150

• A norma do produto misto é o volume de um paralelepípedo definido pelos vetores do produto. Um sexto deste valor é o volume do tetraedro definido pelos mesmos.

• Para identificar o paralelismo de dois vetores basta aplicar a definição e verificar se o resultado encontrado em ambas as razões é uma constante 31 2

1 2 3

vv v = = = k .

w w w

151

AUTOATIVIDADE

( )5 4, , v m= AB

( )A 1, 2, - 3 ( )B 3, 4 , - 5

( ) ( ) ( )2 1 1 1 0 1 2 1 4, , , , , , , u - v - t - = = =( ) ( ) ( )2 1 1 1 0 1 2 1 4, , , , , , , u - v - t - = = =

a) Verifique dois a dois quais vetores são ortogonais.b) Calcule o ângulo, dois a dois, formado pelos vetores.c) Sejam estes vetores vértices de um tetraedro, determine o volume do

mesmo.

2 Calcule o valor de m para que o vetor seja ortogonal ao vetor , onde e .

u = ( m + 1 , 3, 1)( )v = 10, 4 n - 2 , 2 .

3 Calcule os valores de m e n para que sejam paralelos os vetores: e

4 Determine se o ângulo formado entre os vetores abaixo é agudo, obtuso ou se eles são ortogonais:

( )u = 4 i + j + 6 k ( )v = - 3 j + 2 k a) e

111

u =

100

- u

=

b) e

735

u =

842

- u

=

c) e

( ) ( )1 2 2 3 , , ,A B – ( )0 5, , C 5 No triângulo ABC, com os vértices determine:

a) Sua área, colocando como ponto fixo o ponto B .b) O comprimento dos lados.c) A altura relativa ao segmento . BA

e

( )2 0 0, , A ( )0 2 0, , B ( )0 0, , C z6 Determine z sabendo que , e são vértices de um triângulo de área 6.

7 Verifique se os vetores e são coplanares. (Observe a propriedade I do produto misto).

1 Considere os vetores , determine:( ) ( ) ( )v = 1, 2, 3 , t = - 5, 1, 1 w = 0, 0, 1e

152

( ) ( ) ( ) u = 0 , - 1 , 2 , v = - 4 , 2, - 1 t = 3, s, - 2 ( ) ( ) ( ) u = 0 , - 1 , 2 , v = - 4 , 2, - 1 t = 3, s, - 2 9 Calcule o valor de s para que o volume de um tetraedro determinado pelos

vetores seja 11/2.e

10 Determine um vetor ortogonal ao plano determinado pelos pontos A , B e C :

( ) ( ) ( )A 3, 0, 0 , B 0, 3, 0 e C 0, 0, 2a)

( ) ( ) ( )A 2, 3, 0 , B 0, 2, 1 e C 2, 0, 2b)

( )v = - 1, - 1 , - 2 ( )A 0, 3, 4 ( )B m, - 1, 2

11 O vetor forma um ângulo de 60° com o vetor , onde . . Calcular o valor de m.

AB

e

8 Determine o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores ( ) ( ) ( )3 1 4 2 0 1 2 1 5 , , , , , , , u - v w - = = =e .


153

TÓPICO 3

ESPAÇOS VETORIAIS

UNIDADE 2

1 INTRODUÇÃO

Neste último tópico da Unidade 2 estudaremos os Espaços e Subespaços Vetoriais e as bases. Um exemplo simples é o plano em ao traçarmos uma reta que passa pela origem do plano, esta reta pode ser vista como um Subespaço Vetorial do . Para verificar se um conjunto de vetores é um Espaço ou Subespaço Vetorial, iremos recorrer a duas operações: a adição de vetores e a multiplicação por escalar.

A Base de um Espaço Vetorial é um conjunto de vetores que podem formar qualquer outro vetor contido neste espaço. Para identificar se um conjunto de vetores é uma base de um Espaço Vetorial, há a necessidade de identificar e conhecer se os vetores presentes em um conjunto são formados por combinação linear uns dos outros, concluindo assim se os vetores são independentes ou dependentes uns dos outros e conhecendo a dimensão deste espaço.

2�2�

2 DEFINIÇÃO2�Espaços como estão bem definidos e podemos facilmente

entender sua dimensão em operações que realizamos. Estas operações, como igualdade, soma, multiplicação por escalar, se aplicarão também para espaços em dimensões em .

Seja um conjunto V, não vazio, sobre o qual estão definidas duas operações: adição e multiplicação por escalar, isto é: (Para todo vetor u e v pertencente ao conjunto V, a soma dos vetores u e v deve pertencer ao conjunto V).

(Para todo escalar pertencente aos números reais, para todo vetor u pertencente ao conjunto V, o escalar multiplicado pelo vetor deve pertencer ao conjunto V).

Para os conjuntos que obedecerem a estas duas operações e seus axiomas, chamaremos de Espaço Vetorial Real.

3�e

n�

, , u v V u v V∀ ∈ + ∈

, ,u V u Vα α∀ ∈ ∀ ∈ ∈R

154


Axiomas são verdades inquestionáveis universalmente válidas, muitas vezes utilizadas como princípios na construção de uma teoria ou como base para uma argumentação.

UNI

( ) ( )( )

( )

M ) Em relação à multiplicação por escalar:M 1) u = u

M 2) + u = u + â u

M 3) u + v = u + vM 4) 1 u = uPara u, v V e ,

α β α β

α β α

α α α

α β

⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅

⋅∀ ∈ ∀ ∈R

M 2)

Para verificar se um conjunto é um Espaço Vetorial, deve-se aplicar todos os oito axiomas acima mencionados. Um exemplo simples de tentar provar um Espaço Vetorial é o seguinte: dado o conjunto dos números naturais ( 1, 2, 3,...), ao aplicarmos M1 com um escalar negativo, a resposta será um número negativo, o qual não está contido nos números naturais. Como encontramos um número real que contradiz um dos oito axiomas, este basta para identificarmos que o conjunto dos números naturais não é Espaço Vetorial.

O fato relatado acima foi provado a partir de observações numéricas, o qual não utilizaremos em nossas demonstrações, pois há a necessidade de generalizar cada prova para todos os valores possíveis.

Todos os elementos de um Espaço Vetorial serão chamados de vetores, independentemente se forem polinômios, matrizes ou números. Todos estes estão relacionados, pois um Espaço Vetorial é um conjunto que possui restrições para sua definição. Quando falado de números há os complexos, e se usássemos estes o nome ficaria Espaço Vetorial Complexo. Salvo esta exceção, todos os demais serão simplesmente chamados de Espaço Vetorial.

( ) ( )

( ) ( )

123 0 04 0

A) Em relação à adição :A ) u v w u v w, u, v ,w VA ) u v v u, u, v VA ) V, u V ,u uA ) u V, - u V,u - u

+ + = + + ∀ ∈

+ = + ∀ ∈∃ ∈ ∀ ∈ + =

∀ ∈ ∃ ∈ + =

A 1)A 2)A 3)A 4)

A )

TÓPICO 3 | ESPAÇOS VETORIAIS

155

Exemplo 26: O conjunto é um Espaço Vetorial com as operações de adição e multiplicação por um número real assim definidas:

•

•

Prove que V é um Espaço Vetorial, caso contrário, diga qual dos axiomas não está compreendido.

Resposta: Note que pela primeira definição do problema, sempre que somarmos o primeiro elemento do vetor com o primeiro do segundo, o resultado é a soma dos dois. Isso é também verificado com a adição do segundo elemento. Então, sempre que tiver que realizar o teste nos axiomas da adição, para esta questão deve-se seguir a regra descrita.

( ){ }2 , / ,V x y x y= = ∈R R

( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 2 1 2, , ,x y x y x x y y+ = + +

( ) ( ), , x y x yα α α=

( ) ( )1) A u v w u v w+ + = + +

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )

1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3

1 1 2 3 2 3 1 2 1 2 3 3

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3

, , , , , ,

, ,

, ,

u v w u v w

x y x y x y x y x y x y

x y x x y y x x y y x y

x x x y y y x x x y y y

+ + = + +

+ + = + +

+ + + + = + + + +

+ + + + = + + + +

1 A verificado

2) A u v v u+ = +

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

1 1 2 2 2 2 1 1

1 2 1 2 2 1 2 1

2

, , , ,

u v v ux y x y x y x y

x x y y x x y y

+ = +

+ = +

+ + + = + + +

A verificado

3 0) A u u+ =

( ) ( ) ( )( ) ( )

1 1 1 1

1 1 1 1

00 0

3

, , ,

, ,

u ux y x y

x y x y

+ =

+ =

=

A verificado

156


( )4 0) - A u u+ =

( )( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

1 1 1 1

1 1 1 1

0

0 0

0 0

0 0 0 04

-

, - ,- ,

- , - ,

, ,

u u

x y x y

x x y y

+ =

+ =

=

=

A verificado

Pela segunda definição do problema, na multiplicação por escalar a regra também está bem definida. Quando um escalar multiplicar um vetor, este deve multiplicar ambos os elementos deste vetor.

( ) ( )M1) u = uαβ α β⋅ ⋅ ⋅

( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )

1

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

u = u

x , y = x , y

x , y = x , y

x , y = x , y

α β α β

α β α β

α β α β α β β

α β α β α β α β

⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅

⋅

M verificado

( )M2) + u = u + u α β α β⋅ ⋅ ⋅

( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1

+ u = u + u

+ x , y = x , y + x , y

+ x , + y = x , y + x , y

x + x , y + y = x + x ,

y

α β α β

α β α β

α β α β α α β β

α β α β α β α

⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅

( )2

1+ y

β

M verificado

( )M3) u + v = u + vα α α⋅ ⋅ ⋅

( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )

1 1 2 2 1 1 2 2

1 2 1 2 1 1 2 2

1 1 2 2

u + v = u + v

x , y + x , y = x , y

+ x , y

x + x + y + y = x , y + x , y

x + y , x + y =

α α α

α α α

α α α α α

α

⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅

⋅

⋅ ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

3

1 2 1 2

1 2 1 2 1 2 1 2

x + x , y + y

x + x , y + y = x + x , y + y

α α α α

α α α α α α α α

M verificado


157

M4) 1 u = u⋅

( ) ( )( ) ( )

4

1 1 1 1

1 1 1 1

1 u = u1 x , y = x , y

x , y =

x ,y

⋅

⋅

M verificado

Logo, V é Espaço Vetorial

Exemplo 27: O conjunto é um Espaço Vetorial com as operações de adição e multiplicação por um número real, assim definidas:

( ){ }2 , / ,V a b a b= = ∈R R

( ) ( ) ( ), , ,a b + c d = a + c b + d•

( ) ( ), , a b = a bβ β•

Prove que V é um Espaço Vetorial, caso contrário diga qual dos axiomas não está compreendido.

Resolução: Note que a operação de adição é analogamente igual à do exercício anterior com a mesma regra, por esse motivo não há a necessidade de provar novamente.

Na multiplicação por escalar não temos a mesma percepção que na questão anterior. Note que quando um escalar multiplica um vetor, somente o primeiro elemento é que será multiplicado, o segundo elemento acaba não sofrendo nenhuma alteração, apenas é copiado novamente.

( ) ( )M1) u = uα β α β⋅ ⋅ ⋅

( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )

1

u = u

a , b = a , b

a , b = a , b

a , b = a , b

α β α β

α β α β

α β α β

α β α β

⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅

⋅

M verificado

158


( )M2) + u = u + uα β α β⋅ ⋅ ⋅

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )

2

+ u = u + u

+ a , b = a , b + a , b

+ a , b = a , b + a , b

a + a , b = a + a , b + b

α β α β

α β α β

α β α β

α β α β

⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅

M não verificado

( )M3) u + v = u + vα α α⋅ ⋅ ⋅

( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

u + v = u + v

a , b + c , d = a , b + c , d

a + c , b + d = a , b + c , d

a + c , b + d = a + c , b + d

a + c , b + d = a + c , b +

α α α

α α α

α α α

α α α

α α α α

⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅

⋅

⋅

( )3

d M verificado

M4) 1 u = u⋅

( ) ( )( ) ( )

4

1 u = u1 a , b = a , b

a , b = a , b

⋅

⋅

M verificado

Logo, V não é Espaço Vetorial pelo axioma M2.

3 SUBESPAÇOS VETORIAIS

Podemos pensar nos subespaços vetoriais como os subconjuntos. Os subconjuntos possuem elementos que estão contidos num determinado conjunto; por outro lado, subespaços vetoriais são espaços contidos num determinado espaço. Por esse motivo, os subespaços devem seguir a regra dos oito axiomas para serem definidos como espaços vetoriais, mas sendo eles Subespaços, haverá a necessidade de verificar apenas as condições:


159

( ) :Na adição

u v S+ ∈

I .

: Namultiplicação por escalaru S

αα

∀ ∈∈

RI I.

De fato: Seja u um vetor qualquer em S . Pela condição II, para todo Fazendo vem ou seja, (axioma Fazendo s e g u e (axioma ). Os demais axiomas

de espaço vetorial são verificados em S pelo fato de ser S um subconjunto não vazio de V .

Exemplo 28: Seja , isto é, S é o conjunto de vetores do plano que tem a segunda componente igual a: o dobro da primeira.

Resolução:

u Sα ∈α ∈R 0,α = 0 ,u S∈ 0 S∈ 3 A

1, = - α ( )1 - u = - u S∈ 4 A

( ){ }2 2 , |V eS x x x= = ∈R R

. ) .

1 2 1 2 3 4, , , , A A M M M e M

( )( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )( )

1 1 2 2

1 2 1 2

1 2 1 2

2 2

2 2

2

, ,

,

,

u + v

x x + x x

x + x x + x

x + x x + x

I verificado a segunda é o dobro da p( )rimeira

( )

:Na adição

u v S+ ∈( )

:Na adição

u v S+ ∈

I .

: Na multiplicação por escalar

u S

α

α

∀ ∈

∈

R

( )( )

( )

1 1

1 1

2

2

,

,

u x x

x x

αα

α α

II verificado a segunda é o dobro da primeira


u S

α

α

∀ ∈

∈

RII .

( ){ }2 2 2 2V e S x, y |y x - = = ∈ =R R

Logo, S é Subespaço Vetorial de V.

Exemplo 29: Seja i s t o é , S é oconjunto de vetores do plano que tem a segunda componente igual a: duas unidades menos o dobro da primeira.

160


Resolução:

( )

:Na adição

u v S+ ∈

( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )

1 1 2 2

1 2 1 2

1 2 1 2

2 2 2 2

2 2 2 2

4 2

, ,

,

,

u v

x - x x - x

x x - x - x

x x - x x

+

+

+ +

+ +

I nã ( )4 o verificado a segunda é menos o dobro da primeira


u S

α

α

∀ ∈

∈

R

( )( )

1 1

1 1

2 2

2 2

,

,

ux x

x x

αα

α α α

-

-

II não verificado a segu( )2αnda é menos o dobro da primeira

( )

:Na adição

u v S+ ∈

I .

( )

:Na adição

u v S+ ∈

I .


u S

α

α

∀ ∈

∈

RII .

( )2 20 0

, ; , , , ; ,a b a b

V M a b c d e S a b c d

= = ∈ = ∈

R R

Logo, S não é Subespaço Vetorial de V.

Exemplo 30: Seja

isto é, S é uma matriz quadrada de ordem 2, onde os elementos da segunda linha são nulos.

Resolução:

( )

( )

1 1 2 2

1 2 1 2

0 0 0 0

0 0

u v

a b a b

a a b b

+

+

+ +

I verificado a segunda linha permanece nula

( )

:Na adição

u v S+ ∈


161


u S

α

α

∀ ∈

∈

RII . : Na multiplicação por escalar

u Sα

β∀ ∈

∈R

( )

1 1

1 1

0 0

0 0

u

a b

a b

β

β

β β

II verificado a segunda linha permanece nula

Logo, S é Subespaço Vetorial de V.

Algumas observações importantes:

Todo Espaço Vetorial admite pelo menos dois subespaços vetoriais:

1. O conjunto {0}, Subespaço nulo.2. E o próprio Espaço Vetorial

Alguns Subespaços vetoriais:

• Qualquer reta do que passa pela origem é um Subespaço Vetorial do .• Qualquer reta do que passa pela origem é um Subespaço Vetorial do .• Qualquer plano do que passa pela origem é um Subespaço Vetorial do .

2� 2�3�

3�3� 3�

4 COMBINAÇÕES LINEARES

Determinar novos vetores a partir de vetores dados é uma das características mais importantes de um Espaço Vetorial. Para isso, dizemos que um vetor ( v ) é a combinação linear de outros vetores de um Espaço Vetorial V , se existem os números reais tais que:

Exemplo 31: Escrever o vetor v V como combinação linear (CL) dos vetores

Resolução:

( )1 2, , , nv v v

( )1 2 , , , na a a 1 1 2 2 n n v = a v + a v + a v

( )4 18 7, , v - - =

( )1 1 3 2, , v = - ( )2 2 4 1, , .v = - e

162


1 1 2 2v = a v a v+

( ) ( ) ( )1 24 18 7 1 3 2 2 4 1, , , , , , - - = a - + a -

( ) ( ) ( )1 1 1 2 2 24 18 7 3 2 2 4, , , , , , - - = a - a a + a a - a

1

2

23

aa -

==

1 2

1 2

1 2

4 218 3 4

7 2

- = a + a- = - a + a

= a -

a

Pela igualdade de dois vetores temos o seguinte sistema:

Resolvendo o sistema acima encontramos uma solução:

1 22 3 v = v - vPortanto:

Esta solução pode ser encontrada com o auxílio de matrizes, pois fica bem clara a verificação da existência ou não da combinação linear.

IMPORTANTE

Exemplo 32: Mostre que o vetor não é combinação linear (CL) dos vetores

Resolução:

( )4 1 2, , v - =( ) ( )1 22 1 5 1 2 1, - , e , - , - .v v= =

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1 1 2 2

1 2

1 1 1 2 2 2

4 1 2 2 1 5 1 2 1

4 1 2 2 5 2

, , , , , ,

, , , , , ,

v = a v + a v - = a - + a - -

- = a - a a + a - a

- a

1 2

1 2

1 2

4 21 2

2 5

= a + a = - a -

a

- = a - a



163

2

21

22

7 11 265 3 2

2 5 8

v = x + x - v = x - x + v = - x

+ x -

( ) ( )1 1 2 2

2 2 21 2

2 2 21 1 1 2 2 2

7 11 26 5 3 2 2 5 8

7 11 26 5 3 2 2 5 8

v= a v + a v

x + x - = a x - x +

+ a

- x + x -

x + x - = x a - xa + a - x a + xa - a

1 2

1 2

1 2

7 5 211 3 526 2 8

= a - a = - a + a

- = + a - a

1

2

34

aa==

2

21

22

7 11 265 3 2

2 5 8

v = x + x - v = x - x + v = - x

+ x -

Observe que este sistema não admite solução, portanto v não pode ser escrito como combinação linear de vetores.

Exemplo 33: Verifique se um Espaço Vetorial dos polinômios de grau maior ou igual a 2, o polinômio é combinação linear dos polinômios:

2P

Resolução:

2 2 21 2

1 2

1 2

7 5 211 3 5

26 2 8

x = x a - x ax = - xa + xa

- = + a -

a


Eliminando os coeficientes:

Resolvendo o sistema acima encontramos uma solução:

1 23 4 v = v + vPortanto:

5 DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR

Um Espaço Vetorial em (por exemplo) pode ser gerado por três, quatro, cinco ou mais vetores. Para este exemplo o número mínimo de vetores geradores do seria três, os demais vetores seriam combinações vetoriais dos outros. É de grande serventia para nossos estudos identificar a quantidade mínima de geradores. O estudo da dependência ou independência linear nos ajudará a determinar o menor conjunto gerador de um Espaço Vetorial verificando a dependência de vetores.

3�

3�

164


Na imagem a seguir está sendo representada de forma geométrica a dependência linear de dois ou três vetores no 3�

z

x

y

{ }1 2,v v é LD

1 2( v e v estão representados na mesma reta que passa pela origem )

1v2v

z

x

y

{ }1 2 3, ,v v v é LD

1 2 3v( , v e v estão representados no mesma plano que passa pela origem )

1v

2v3v

3�Aqui está sendo representada de forma geométrica a independência linear

de dois ou três vetores no .

z

x

y1v

2v

3v

{ }1 2 3 v , v , v é LI

z

x

y

1v

2v

{ }1 2 v , v é LI

Definição: Sejam V um Espaço Vetorial e

Considere a equação

{ }1 2, , , nA v v v V= ⊂

1 1 2 2 0n na v a v a v + + + =


165

( ) ( ) ( ) ( )1 2 34 3 0

4 1 0 2 3 2 2 3 2 6 1 0 0 0, , , , , , , , v - v - v =

n - - - n - - - - =

Sabemos que essa equação admite pelo menos uma solução: chamada solução trivial. (Única resposta possível é zero)

• O conjunto A diz-se linearmente independente ( LI ) , ou os vetores são LI caso a equação admita apenas a solução trivial.

• Se existirem soluções , diz-se que o conjunto A é linearmente dependente ( LD ), ou que os vetores são LD .

Exemplo 34: No Espaço Vetorial , os vetores - mostre que é um conjunto linearmente

dependente.

Resolução:

Como já aprendemos em combinação linear, verificamos que há uma solução além da trivial:

1 20 0 0, , , na = a = a =

1 2Ŷ nŶ

0na ≠1 2, , , nv v v

3V = R( ) ( )1 21 0 2 2 1 3, , , , ,v = - - v = - -

( ) ( )1 21 0 2 2 1 3, , , , ,v = - - v = - - ( )3 4 6 2, , v - =

1 1 2 2 0n na v a v a v =+ + +

e

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1 1 2 2

1 2

1 1 2

1 2

1

01 2 2 0 0 0

2 2 0 0 0

2 02 0

, , ,

, , ,

n na v a v a va - + a =

- a a + a =

- a + a =

= a

+ + + =

Portanto, os vetores são LD .

Exemplo 35: No Espaço Vetorial formam um conjunto LI ou LD .

Resolução:

2V = R ( ) ( )1 21 2 2 0, e , v = - = v , os vetores

166


Como este sistema admite apenas a solução trivial:

Portanto, os vetores são LI .

Exemplo 36: No Espaço Vetorial M ( 2, 2 ) , verifique se os vetores são LI ou LD .

1 20 0 a = e a =

1 - 1 2 0 0 1A = , ,

2 - 3 1

- 1 -

1 2

1 1 2 2 n n

1 2 3

31 1 2

3 31 1 2 2

a v a v a v = 0

1 - 1 2 0 0 1 0 0a + a + a =

2 - 3 1 - 1 - 1 2 0 0

0 aa - a 2a 0 0 0 + + =

- a 2a2a - 3a a - a 0 0

+ + +

1 2 1 3

1 2 3 1 2 3

1 2

1 3

1 2 3

1 2 3

a + 2a - a + a 0 0 =

2a + a - a - 3a - a + 2a 0 0

a + 2a = 0- a + a = 0

2a + a - a = 0

- 3a

- a + 2a = 0

Resolução:

A única solução possível é a trivial:

Portanto, é LI .

Exemplo 37: No Espaço Vetorial M ( 2, 2 ) , verifique se os vetores são LI ou LD .

1 2 3 0 a a a = = =

1 1 0 1 2 43 0 3 1 0 2

- - A =

- - , ,


167

Resolução:

1 1 2 2 n n

1 2 3

3 3 1 1 2

31 2 2

a v a v a v = 0

1 1 0 1 - 2 - 4 0 0 a + a + a =

3 0 - 3 1 0 - 2 0 0

- 2a - 4aa a 0 a 0 0 + + =

0 - 2a3a 0 - 3a a 0 0

+ + +

1 3 1 2 3

1 2 2 3

1 3

1 2 3

1 2

2 3

a - 2a a + a - 4a 0 0 =

3a - 3a a - 2a 0 0

a - 2a = 0a + a - 4a = 0

3a

- 3a = 0a

- 2a = 0

A única solução possível não é apenas a trivial, admitindo outras respostas: e

Portanto, é LD.

Uma outra forma de verificar a dependência ou não dos vetores é pelo determinante de uma matriz constituída das coordenadas dos vetores. Esta forma só é válida para um conjunto de vetores, onde o número de vetores é igual à dimensão em que ele está contido, ou ainda, só é válido para matrizes quadradas. Quando o determinante da matriz for zero, temos que os vetores serão LD , caso possua valor diferente de zero os vetores serão LI.

1 32a a= 2 32a a=

00

det LDdet LI

= ⇒≠ ⇒

3RVocê pode estar pensando: por que isso funciona? Imagine três vetores no

, ao calcular o volume do paralelepípedo produzido pelos vetores e obtendo como resposta zero, é porque há um vetor que é: ou múltiplo escalar do outro ou está contido no mesmo plano.

Exemplo 38: No Espaço Vetorial , os vetores formam um conjunto LI ou LD .

( ) ( ) ( )1 2 31 2 3 2 0 2 1 1 1v - v = - v = - , , , , , e , ,=

( ) ( ) ( )1 2 31 2 3 2 0 2 1 1 1v - v = - v = - , , , , , e , ,=

3V = R

168


1 2 32 0 2 101 1 1

- det - =

-

Resposta: 4

Portanto LI

Exemplo 39: No Espaço Vetorial , os vetores formam um conjunto LI ou LD.

Resposta:

2V = R ( ) ( )1 22 3 6 9v = - v = - , e , ( ) ( )1 22 3 6 9v = - v = - , e ,

2 30

6 9 -

det = -

Portanto: LD.

6 SUBESPAÇOS GERADOS

Definição: Seja V um Espaço Vetorial e um subconjunto O conjunto S de todos os elementos de V que são combinação linear

dos vetores de A é um Subespaço Vetorial de V .

{ }1 2 0nA = v v v V A, , , ,⊂ ≠

{ }1 2 0nA = v v v V A, , , ,⊂ ≠

Todos os vetores que podem ser escritos como combinação linear dos vetores formam também um Espaço Vetorial que é chamado Subespaço gerado. Os vetores são chamados geradores do Subespaço de S , enquanto A é o conjunto gerador de S .

Dois vetores quaisquer de S podem ser escritos por:

1 2 nv v v, , , ,

1 2 nv v v, , ,

{ }1 2 1 1 2 2 1 2n n n nv v v = a v a v a v a a a , , , ; , , + + + ∈

R

Geradores Subespaço gerado

( )1 1 1 2 2 2

1 1 2 2

n n n

n n

w + v = a + b v + a + b v + + a + b v w = a v

+ a v + +

a v

( ) ( ) ( )( ) ( )α α α α

.


169

O subespaço S diz-se gerado pelos vetores , ou gerado pelo conjunto A , e representa-se por:

Exemplo 40: Determine um conjunto de geradores para o Subespaço Vetorial:

Resolução:

Há a necessidade de tentar escrever os vetores na menor quantidade de letras:

1 2 nv v v, , ,

( )1 2 nS = v v v ou S = G A, , ,

( ){ }3 3 0W = x y x de x - z = , , ;R

( ) 3 0x y x W x - z = , , ∈ ⇔

3 03

x - z = x = z

( ) ( )3x y x = z y z, , , ,

Portanto temos:

Pode-se perceber que o vetor de W possui duas letras. Por esse motivo escreveremos ele como sendo a soma de dois vetores, uma em função de z e a outra em função de y .

( ) ( ) ( )3 3 0 0 0z y z = z z + y, , , , , ,

( ) ( ) ( )( ) ( )

3 3 0 1 0 1 0

3 0 1 0 1 0

z y z = z + y

W =

, , , , , ,

, , , , ,

Em função de z Em função de y

Conjunto da combinação linear dos vetores que origina W

( ) ( ){ }3 0 1 0 1 0 , , , , , Portanto, o conjunto dos vetores geradores

Note a diferença entre escrever os vetores com chaves { } ou com colchetes [ ].

ATENCAO

170


Exemplo 41: Determine um conjunto de geradores para o Subespaço Vetorial

Resolução:

Há a necessidade de tentar escrever os vetores na menor quantidade de letras isolando uma delas. Uma dica importante é isolar a letra que aparece igual em ambos os lados neste caso:

( ){ }3 2 0W = x y x de x = z e x - y = , , ; R

( ) 2 0x y x W x = z e x - y = , , ∈ ⇔

0x - y = x = y

0x - y = x = y

2x = z

2y = z

( ) ( )2 2x y x = z z z, , , ,

( ) ( )( )

2 2 2 2 1

2 2 1

z z z = z

W =

, , , ,

, ,

como:

e , temos:

Portanto temos:

Pode-se perceber que o vetor de W possui apenas uma letra. Por esse motivo escreveremos como sendo multiplicação de um escalar por vetor.

Conjunto da combinação linear do vetore que origina W

Portanto, o conjunto do vetor gerador é

Exemplo 42: Determine o Subespaço de gerado pelo conjunto ou vetor a seguir.

a)

Resolução:

Temos que:

( ){ }2 2 1, ,

3R

( )1 2 4v , , =

( ) ( )1 2 4x y z a, , , , =


171

Exemplo 43: Seja e o subconjunto:

Determine o Subespaço G ( A )

Resposta:

Você notará que a única forma do sistema apresentar uma solução será quando (Exercite para a verificação).

Logo:

24

x ay az a

===

24

y xz x==

( ){ }

( ){ }3

2 4

2 4

v x x x x

ou

v x y z x y x e z x

, , ;

, , ;

= ∈

= ∈ = =

R

R ƒ

( ) ( ) ( )1 21 2 1 2 1 1x y z a - - + a , , , , , , =

1 2

1 2

1 2

22

a + a = x- a + a = y- a + a =

z

3 5 0x + y - z = .

( ){ }3 3 5 0v x y z x x + y - z, , ; = ∈ = R ƒ

( )2 2V M , =1 2 3 12 3 1 1

- - A

- ,

=

Com isso:

Donde:

Logo:

( ) ( ){ }1 2 1 2 1 1A - - , , , , , =b)

Resolução:

Da igualdade apresentada acima temos:

1 2

1 2 3 12 3 1 1

x y - - = a + a

z t -

172


Da igualdade apresentada acima temos:

1 2

1 2

1 2

1 2

322

3

- a + a = xa - a = y

- a + a = za + a = t

Terá solução: ( ) 2- y + t yG A y e t

- y t;

= ∈

R

Você deve notar que não há uma única solução possível, pois poderíamos isolar outras incógnitas que também gerariam o Subespaço.

IMPORTANTE

7 DIMENSÃO DE UM ESPAÇO VETORIAL

0dim V =

dimV = ∞

Seja V um Espaço Vetorial:

• Se V possui uma base com n vetores, então V tem dimensão n e anota-se

• Se V não possui base, • Se V tem base com infinitos vetores, então a dimensão de V é infinita e anota-se

Exemplo 44: Determine a quantidade de dimensões para cada item:

a) b) c) d) e) f) g)

2 22dim , pois toda base de tem dois vetores=R Rndim n=R( ) ( )2 2 4 dim M , matrizes=( ) ( ) dim M m, n m n matrizes= ×( )3 4dim P polinômios=

( )1 ndim P n polinômios= +{ }0 0dim =

dimV n .=


173

Exemplo 45: Verifique se é base de

Resposta: Testando as condições:

8 BASE

Um conjunto é uma base do Espaço Vetorial V se:

I . (linearmente independentes) II.

Para então verificar se um conjunto de vetores é base de um Espaço Vetorial, basta fazer as duas condições apresentadas acima. Um conjunto importante de vetores que constituem uma base como a apresentada a seguir é chamado de base canônica:

{ }1 2 nB v v v V, , , = ⊂

B é LI B geraV

( ) ( ){ }1 1 1 0B - , , , = 2R

( ) ( ) ( )1 1 1 0 0 0a + b - = , , ,

( ) ( ) ( )1 1 1 0x y a + b - , , , =

{ }1 é uma base canônica de R•

( ) ( ){ }1 0 0 1, , , é uma base canônica de ²R•

( ) ( ) ( ){ } 31 0 0 0 1 0 0 0 1, , , , , , , , é uma base canônica de R•

( )1 0 0 1 0 0 0 02 2

0 0 0 0 1 0 0 1 , , , é uma base canônica de M ,

•

00

a - b = a =

Pela igualdade:

( )0a b= =Como a única solução possível é a trivial então: B é LI

2B gera ?RII .

I . B é LI?

174


Como os vetores são múltiplos escalares, temos que: B é LD (Linearmente Dependentes)

Portanto, concluímos que B não é base de

Portanto, concluímos que B é base de

Exemplo 46: Verifique se é base de

Resposta: Testando as condições:

a - b xa y

= =

a y e b x - y = =

( ) ( ) ( )1 1 1 0x y = a + b - , , ,

( ) ( ) ( )( )1 1 1 0x y = y + x - y - , , ,

2B gera R

2R

2R

2R

( ) ( ){ }1 2 2 4B , , , =

Pela igualdade: , onde temos:

Portanto:

Isto é:

( ) ( ) ( )1 2 2 4 0 0a + b , , , =I . B é LI?

2 02 4 0a + ba + b

= =

Pela igualdade:

8.1 BASE ORTOGONAL

Diz-se que uma base de V é ortogonal se os seus vetores são dois a dois ortogonais.

Exemplo 47: No , o conjunto {( 1, 2, - 3 ) , ( 3, 0, 1) , ( 1, - 5 , - 3 )} é uma base. Verifique se é uma base ortogonal.

Resposta:

{ }1 2 nv v v, , ,

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

1 2 3 3 0 1 0

1 2 3 1 5 3 0

1 2 3 1 5 3 0

-

- - -

- - -

, , , ,

, , , ,

, , , ,

⋅ =

⋅ =

⋅ =

3R


175

Uma base de um Espaço Vetorial euclidiano V é ortonormal se B é ortogonal e todos os seus vetores são unitários, isto é:

I. Um vetor multiplicado por outro é sempre igual a zero.II. Um vetor multiplicado por ele mesmo é um.

O nome ortonormal vem da simples combinação de ortogonal com normalização, duas operações que já foram aprendidas no primeiro e no segundo tópico desta unidade. Uma base canônica sempre será uma base ortonormal.

Exemplo 48: Dada uma base:

3RComo todos os vetores são ortogonais uns com os outros, é uma base

ortogonal de .

8.2 BASE ORTONORMAL

{ }1 2 nB v v v, , ,=

3 1 1 32 2 2 2

B - , , , =

3 1 1 3 02 2 2 2

- , ,

⋅ =

2 2

1

22

2

3 1 3 1 12 2 4 4

1 3 1 3 12 2 4 4

v + +

v - + +

= = =

= = =

Verifique se é uma base ortonormal.

Resposta: Pelo produto interno podemos ver que são ortogonais:

Verificando também que os vetores são unitários:

Com isso, temos uma base que é ortonormal.

176


8.3 PROCESSO DE ORTOGONALIZAÇÃO DE GRAM-SCHMIDT

( )2 1 1

2 1 1 1

2 1

1 1

00

v - w wv w - w w

v w

w w

α

α

α

⋅ =

⋅ ⋅ =⋅

=⋅

2 12 2 1

1 1

v ww v - w

w w

⋅

= ⋅ ⋅

( )( )

( )( )

3 2 2 1 1 1

3 2 2 1 1 2

3 1 2 2 1 1 1 1

3 2 2 2 2 1 1 2

00

00

v - a w - ca w w

v - a w - a w w

v w - a w w - a w w v w - a w w

- a w w

( ) ( )

⋅ =

⋅ =

⋅ ⋅ ⋅ =

⋅ ⋅ ⋅ =

Dado um Espaço Vetorial euclidiano V e uma base qualquer desse espaço, é possível, a partir dessa base, determinar uma base

ortogonal de V.

De fato, supondo que não são ortogonais, considere-se e determine-se o valor de α de modo que o vetor s e j a

ortogonal a :

{ }1 2 nB v v v, , ,=

1 2 nv v v, , ,

1 1w v= 2 2 1w v - w α=1w

Isto é:

Assim, os vetores e são ortogonais.

Considere-se o vetor: e determina-se os valores de e de maneira que o vetor seja ortogonal aos vetores e

2w

3 3 2 2 1 1w = v - a w - a w 2a1a 3w 2w

1w

1w :

( )3 1 1 1 1

1 23 2 2 2 2

00

0 v w - a w w

w w temos v

w w w - a

( ), :

⋅ ⋅ =⋅ = ⋅ ⋅ =

Como

3 1 3 21 2

1 1 2 2

v w v wa

a w w w w

; ⋅ ⋅

= =⋅ ⋅

Então:

Ficando assim:


177

Exemplo 49: Seja uma base , onde e formam uma base não ortogonal. Usando o processo de Gram-Schmitd, determine uma base ortogonal de .

Resposta:

3 3 2 2 1 1

3 2 3 13 3 2 1

2 2 1 1

w = v - a w - a w

v

w v ww v - w - w

w w w w

⋅ ⋅

= ⋅ ⋅

1 1

2 12 2 1

1 1

3 2 3 13 3 2 1

2 2 1 1

w v

v w w v - w

w w

v w v ww v - w - w

w w

w w

=

⋅= ⋅

⋅

⋅ ⋅= ⋅ ⋅

⋅ ⋅

{ }1 2 3B v v v, ,= ( ) ( )1 20 1 1 1 1 1v v, , , , , = =( )3 0 0 1v , , =

Assim, os vetores são ortogonais.

Os vetores ficaram definidos por:

1 2w w, 3w e

3R

( )

1 1

1

w = v

w = 0, 1, 1

w

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )

2 12 2 1

1 1

2

2

v w= v - w

w w

1, 1, 1 0, 1, 1 w = 1, 1, 1 - 0, 1, 1

0, 1, 1 0, 1, 1

0 + 1 + 1 w = 1, 1, 1

- 0

⋅⋅

⋅

⋅⋅ ⋅

( )

( ) ( )

( ) ( )

2

2

0, 1, 1 + 1 + 1

w = 1, 1, 1 - 1 0, 1, 1

w = 1, 1, 1 + 0, - 1 , - 1

⋅

⋅

( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

2

3 2 3 13 3 2 1

2 2 1 1

3

w = 1, 0, 0

v w v w w = v - w - w

w w w w

0, 0, 1 1, 0, 0 w = 0, 0

, 1 - 1, 0, 0 1, 0, 0

⋅ ⋅⋅ ⋅

⋅ ⋅

⋅ ⋅

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )3

0, 0, 1 0, 1, 1 1, 0, 0 - 0, 1, 1

0, 1, 1 0, 1, 1

0 + 0 + 0 0 + 0 + 1 w = 0, 0, 1 - 1, 0, 0 - 0, 1, 11 + 0 + 0 0 + 1 + 1

⋅⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅

( ) ( ) ( )

( )

3

3

3

1 w = 0, 0, 1 - 0 1, 0, 0 - 0, 1, 12

1 1 w = 0, 0, 1 + 0, - , - 2 2

1 1 w = 0, - , 2 2

⋅ ⋅

178


2 2 21

2 2 22

2 22

3

0 1 1 2

1 0 0 1

1 1 1 102 2 2 2

v

v

v -

= + + =

= + + =

= + + = =

( )

1 1

1

w = v

w = 0, 1, 1

w

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )

2 12 2 1

1 1

2

2

v w= v - w

w w

1, 1, 1 0, 1, 1 w = 1, 1, 1 - 0, 1, 1

0, 1, 1 0, 1, 1

0 + 1 + 1 w = 1, 1, 1

- 0

⋅⋅

⋅

⋅⋅ ⋅

( )

( ) ( )

( ) ( )

2

2

0, 1, 1 + 1 + 1

w = 1, 1, 1 - 1 0, 1, 1

w = 1, 1, 1 + 0, - 1 , - 1

⋅

⋅

( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

2

3 2 3 13 3 2 1

2 2 1 1

3

w = 1, 0, 0

v w v w w = v - w - w

w w w w

0, 0, 1 1, 0, 0 w = 0, 0

, 1 - 1, 0, 0 1, 0, 0

⋅ ⋅⋅ ⋅

⋅ ⋅

⋅ ⋅

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )3

0, 0, 1 0, 1, 1 1, 0, 0 - 0, 1, 1

0, 1, 1 0, 1, 1

0 + 0 + 0 0 + 0 + 1 w = 0, 0, 1 - 1, 0, 0 - 0, 1, 11 + 0 + 0 0 + 1 + 1

⋅⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅

( ) ( ) ( )

( )

3

3

3

1 w = 0, 0, 1 - 0 1, 0, 0 - 0, 1, 12

1 1 w = 0, 0, 1 + 0, - , - 2 2

1 1 w = 0, - , 2 2

⋅ ⋅

( ) ( ) 1 10 1 1 1 0 0 02 2

B - ' , , , , , , , ,

=

Com isso nossa base ortogonal ficará:

( ) ( ) 1 10 1 1 1 0 0 02 2

B - ' , , , , , , , ,

=

Caso necessitemos que uma base, além de ser ortogonal, seja ortonormal, basta pegar os vetores encontrados no processo de ortogonalização de Gram-Schmidt e normalizar.

Exemplo 50: Com a base ortogonal encontrada no exercício 49, normalize para formar uma base ortonormal.

Resposta:

Verificando o comprimento de cada vetor:


179

3 33

3

1

1 1 101 2 22

u v v

u -

, ,

= ⋅

= ⋅

3

3

1 12 02 2

2 202 2

u -

u -

, ,

, ,

= ⋅

=

( )1 1 2 20 1 0 0 02 22 2

B' , , , , , , , , = −

Normalizando os vetores:

( )

1 11

1

1

1

1 0 1 12

1 102 2

u = v v

u =

u =

, ,

, ,

⋅

⋅

Como já é unitário, não há a necessidade de normalizar2v

Com isso nossa base ortonormal ficará:

180



A QUARTA DIMENSÃO QUE NINGUÉM ENXERGA

Nos últimos 100 anos, o conceito de dimensão desenvolveu-se de tal forma que atualmente é comum aos matemáticos falarem de mundos de infinitas dimensões e até de objetos com número fracionário de dimensões. É bem verdade que, há mais de 2.000 anos, os gregos, com base nos sentidos e nos princípios da Geometria de Euclides, o mais famoso matemático da Antiguidade greco-romana (século III a.C), viviam num mundo tridimensional. Eles observavam, como nós hoje, um mundo repleto de objetos com comprimento, largura e altura – tridimensionais. Natural, portanto, que considerassem o Universo que contém esses objetos também em três dimensões. Para Euclides, esses atributos – comprimento, largura e altura – correspondiam ao que chamamos matematicamente de dimensão. Assim, a linha passa a ser o modelo de objeto com apenas uma dimensão, pois tem só o comprimento.

Os objetos planos têm comprimentos e largura e, então, o plano passa a ser o modelo das coisas de duas dimensões. Já os sólidos, além de comprimento e largura, também têm altura e são os exemplos acabados de objetos tridimensionais. Dessa maneira, os matemáticos da época de Euclides concordavam com o senso comum de que o Universo é 3-D (tridimensional). Essa visão perdurou por séculos e a História registra algumas objeções célebres à ideia de uma quarta dimensão. Uma delas é atribuída ao astrônomo Alexandrino Ptolomeu, que ponderava: se é possível desenharmos no espaço três eixos perpendiculares entre si, não podemos ainda afirmar que o plano do Universo seja perpendicular aos outros três.

É curioso, mas nem sempre quem especula com ideias consideradas bizarras, que anos depois acabam se incorporando à ciência, são os cientistas. Um exemplo dessa visão premonitória aparece no livro Pontes para o infinito, de Michael Guillem, quando trata do tema dimensões. Ele relata que o filósofo inglês Henry More (1614-1687) insistia na existência de fantasmas que habitariam a quarta dimensão, suas ideias foram repelidas nos centros científicos.

Um caso exemplar desse preconceito é o do matemático e filósofo René Descartes: expandindo a linguagem da Geometria euclidiana, ele viu surgir a possibilidade de uma quarta dimensão e prontamente a rejeitou, por julgá-la irrealista. Na Geometria analítica inventada por Descartes, as dimensões de um objeto correspondem ao número de coordenadas necessárias para descrever com clareza seus pontos, o que fica bem determinado pela longitude e latitude. O plano é bidimensional, isto é, dois números ordenados segundo uma convenção, determinam um ponto desse plano. Da mesma forma, um sólido é tridimensional – três números ordenados localizam cada um dos seus pontos. Como destacou


181

Guillem, tratavam-se de dois enfoques diferentes: o de Euclides era qualitativo, assentado nas qualidades da forma – comprimento, largura e altura; o de Descartes, quantitativo, importava o número das coordenadas para descrever bem o objeto. Um interpretou nossas experiências sensoriais; o outro, nossa compreensão lógica.

Pode parecer pouco, mas tal mudança na visão do conceito de dimensão ocorreu quando os homens ainda estavam presos ao pensamento euclidiano. E não foi fácil perceber que um objeto da quarta dimensão não passa de uma entidade matemática que tem necessidade de quatro coordenadas para ser descrito adequadamente. Isso pode parecer óbvio ao estudante moderno, mas foi insuficiente para vencer a resistência dos matemáticos da geração de Descartes e dos que se seguiram, em aceitar a possibilidade da existência lógica de algo que não podiam visualizar.

Há menos de um século e meio, no entanto, Bernhard Riemann, jovem matemático alemão, ao estender a Geometria de Euclides e de Descartes, desenvolveu em detalhes a ideia de uma Geometria quadridimensional. Mais que isso: provou que a Geometria euclidiana é uma das muitas igualmente lógicas e consistentes geometrias que se referem a espaços de quaisquer números de dimensão, do zero ao infinito. Da semente plantada por Riemann, em 1854, nasceu um fruto colhido por Albert Einstein, em 1915. Ele mostrou que, embora nosso universo pareça uma variedade 3-D, é, de fato, 4-D. Ao alargar a noção de dimensão ele dava o primeiro passo para se perceber a variedade espaçotemporal que é o Universo. [...] Mas Ptolomeu não estava inteiramente errado: a régua que mede comprimento, largura e altura não é a mesma que mede o tempo.

Luiz Barco é professor da Escola de Comunicações e Artes da Universidade de São Paulo.

FONTE: Disponível em: <http://super.abril.com.br/ciencia/a-quarta-dimensao-que-ninguem-enxerga>. Acesso em: 15 fev. 2016.

182

RESUMO DO TÓPICO 3


• Será Espaço Vetorial se verificarmos os oito axiomas: o Quatro em relação à adição. o Quatro em relação à multiplicação por escalar.

• Todo Subespaço Vetorial deve manter: o Na adição:

o Na multiplicação por escalar

• Um vetor será combinação linear de outros se houver números reais tais que:

• Sobre dependência e independência linear o O conjunto A diz-se linearmente independente ( LI ) , ou os

vetores são LI caso a equação admita apenas a solução trivial. o Se existirem soluções , diz-se que o conjunto A é linearmente

dependente ( LD ) , ou que os vetores são LD .

• Subespaços Gerados a partir de um conjunto de vetores ou por uma condição imposta.

• Uma base deve atender a dois critérios: o o

• Representamos dim por a dimensão de um Espaço Vetorial. São exemplos:

( )u v S+ ∈

u S : α α∀ ∈ ∈R

1 1 2 2 n nv = a v + a v + + a v

1 1 2 2 0 n na v + a v + + a v =

1 2 nv v v, , ,

0na ≠1 2 nv v v, , ,

{ }1 2 1 1 2 2 1 2n n n n v v v = a v + a v + + a v a a a , , , ; , , ∈

R

Bé LI

B geraV

ndim n=R

( ) ( )( )1

n

n

dim ndim M m n = m n matrizes

dim P = n + polinômios

,

=

×

R

183

• Uma base ortogonal possui todos os vetores ortogonais entre si.

• Uma base ortonormal possui os vetores ortogonais e unitários.

• O processo de Gram-Schmidt ortogonaliza os vetores de uma base.

1 1

2 12 2 1

1 1

3 2 3 13 3 2 1

2 2 1 1

w v

v w w v - w

w w

v w v ww v

- w - w

w w w w

=

⋅= ⋅

⋅

⋅ ⋅= ⋅ ⋅

⋅ ⋅

184

1 Verifique quais deles são espaços vetoriais. Para aqueles que não são espaços vetoriais, cite os axiomas que não verificam.

a)

b) com as operações usuais

c)

d)

2 Verifique quais conjuntos abaixo são subespaço vetorial.

a) no

b) no

c) no

d) no

e)

3 Classifique os seguintes subconjuntos do em LI ou LD

a)

b)

c)

d)

e)

AUTOATIVIDADE

3R( ) ( ) ( ) x , y , z + a , b , c = x + a , y + b , z + c

( ) ( )0 0 0k x y z = , , , ,

( ){ }2 3x x x x, , ; ∈ R

2R

2R

2R

2R

( ) ( ) a , b = a , b β β β

( ) ( ) ( ) x , y + z , w = x + z , y + w

( ){ }S x y y - x , / = =

( ){ }2S = x x x, ; ∈ R

( ){ }2S = x y z z = x - y, , /

( ){ }2 0S = x y z y = x e z = , , / +

0a b

S = c = a + be d = c d

;

3R

3R

3R

( ){ }2 1 3- , ,

( ) ( ){ }1 1 1 1 1 1 - - - , , , , ,

( ) ( ) ( ){ }2 1 0 1 3 0 3 50 - - , , , , , , ,

( ) ( ) ( ){ }1 2 1 2 4 2 1 3 0 - - , , , , , , , ,

( ) ( ) ( ){ }1 1 2 2 1 1 1 0 3 - - - , , , , , , , ,

( ) ( )0 x , y = x ,β β

( ) ( ) ( ) x , y + z , w = x + z , y + w

185

4 Seja o Espaço Vetorial e os vetores e . Escreva o vetor w como combinação linear dos vetores e .

5 Determine o valor de r para que seja LI o conjunto:

6 Verifique quais dos conjuntos abaixo formam uma base de ou

a) b)

c)

d)

e)

f)

7 Considere o conjunto , onde e .

a) Verifique se B é uma base de .b) Usando o processo de Gram-Schmidt, determine uma base ortogonal a

partir de B .c) Seja o conjunto formado pelos vetores e de B substituindo-se o

vetor pelo vetor . Verifique se o conjunto é LI ou LD .d) Mostre que é combinação linear dos vetores e de B .e) Determine o espaço gerado pelos vetores e de B .

1 2 3 v v v ,

1 2 3 v v v ,

1 2 3 v v v ,

1 2 3 v v v ,

1 2 3 v v v ,

( )2 2M , 1 2 3 v v v ,

1 2 3 v v v ,

1 2 3

1 0 1 2 0 1 1 81 1 0 1 2 1 0 5

- - v = v = e v w =

,

=

( ) ( ) ( ){ }1 0 2 1 1 1 2 0- r - , , , , , , , ,

( ) ( ){ }0 0 2 3, , ,

( ) ( ) ( ){ }1 1 1 2 1 0 3 2 0 - - , , , , , , , ,

( ) ( ){ }1 2 1 3 - , , ,

( ) ( ) ( ){ }1 0 1 0 1 2 2 1 4 - - - , , , , , , , ,

( ) ( ) ( ){ }2 1 1 1 0 1 0 0 1 - - , , , , , , , ,

( ) ( ){ }3 6 4 8 - - , , ,

{ }1 2 3B = v v v, , ( ) ( )1 21 2 3 5 1 1v v - , , , , , = =( )3 0 0 1v , , =

( )3 7 3 5v' , , =( )3 7 3 5v' , , =

2R 3R

3R

B′


187

UNIDADE 3

OPERADORES DE TRANSFORMAÇÃO


PLANO DE ESTUDOS

A partir desta unidade você será capaz de:

• compreender o conceito de Transformação Linear;

• determinar a lei de formação de Transformações Lineares;

• definir o núcleo e imagem de uma transformação e suas bases;

• entender o Teorema da Dimensão;

• utilizar transformações lineares com o auxílio de matrizes;

• utilizar transformações lineares para o tratamento gráfico de vetores;

• mudar a base de um espaço vetorial;

• compreender e calcular autovalores e autovetores;

• diferenciar multiplicidade algébrica e geométrica;

• diagonalizar Operadores Lineares.


TÓPICO 1 – TRANSFORMAÇÕES LINEARES TÓPICO 2 – MATRIZ DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR TÓPICO 3 – AUTOVALORES E AUTOVETORES


189

TÓPICO 1

TRANSFORMAÇÕES LINEARES

UNIDADE 3

1 INTRODUÇÃO

Vimos até então, neste estudo acerca da Álgebra Linear e Vetorial, uma série de conceitos básicos que culminaram nas ideias de Espaços e Subespaços Vetoriais. Nestes conceitos podemos perceber que, a partir de conjuntos LI (linearmente independentes) temos a chance de reescrevê-los de modo mais elementar a partir de geradores: as bases!

Sendo assim, com estes conceitos bem fixados e com formas diferentes para representá-los, nosso próximo passo é desenvolver funções que possuem domínio em um espaço vetorial, e imagem em outro espaço vetorial.

Você já deve estar imaginando que ao invés de números, estas funções irão ter como valores de entrada e saída, vetores. Elas também devem manter as mesmas propriedades das funções escalares, ou seja, conservam as operações de soma e de produto por um escalar, para poderem ser ditas como Transformações Lineares.

2 DEFINIÇÃO

Definição 1: Sejam U e V espaços vetoriais. Definimos a função como sendo uma transformação linear, se, e somente se, forem verdade as seguintes condições:

a) b)

Exemplo 1: Dada a Transformação , definida por , informe se ela é classicada como linear.

Inicialmente, temos que compreender o universo que esta transformação abrange. Percebemos que ela pega vetores de , ou seja, que possuem duas coordenadas e os transforma em vetores de (três coordenadas).

T U V: →

( ) ( ) ( )T u v T u T v u v U, , ;+ = + ∀ ∈

( ) ( )T k u k T u k u U, , .⋅ = ⋅ ∀ ∈ ∀ ∈R

T : ² ³→R R( ) ( )2 0T x y x x y, , ,= +

2R3R

UNIDADE 3 | OPERADORES DE TRANSFORMAÇÃO

190

onde a segunda condição também é satisfeita. Assim sendo, podemos afirmar que é linear.

Exemplo 2: Verifique se a transformação , definida por é linear.

Neste exemplo, você já deve estar percebendo que trata-se de um caso não linear. Ora, verificamos pela estrutura encontrada que a transformação é associada por um modelo quadrático, certo? Porém, devemos mostrar que isto é verdade. Primeiramente, devemos mostrar que a transformação, dados os

Logo a primeira condição é satisfeita. Porém, ainda temos que verificar a segunda:

b)

E pela lei de formação, segue:

Resta agora, verificar se a transformação é de fato linear. Para isto, utilizaremos a Definição 1, lembrando que para verificar matematicamente, não são aceitos exemplos numéricos, então:

a) Sejam dois vetores de (vetores do domínio) . Temos:

, que utilizando a lei de formação indicada no

Exemplo 1, segue:

( ) ( )u a b e v c d de, , , ²= = R

( ) ( ) ( )( ) ( )T u v T a b c d T a c b d, , ,+ = + = + +

( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )

2 0

2 2 0

2 0 2 0

a c a c b d

a c a b c d

a a b c c d

T a b T c d

T u T v

, ,

, ,

, , , ,

, ,

.

⋅ + + + + =

+ + + + =

+ + + =

+ =

+

( ) ( )( ) ( )T k u = T k a , b = T k a , k b ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

( )( )( )

( )

2 0

2 0

k a k a k b

k a a b

k T u

, ,

, ,

⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ =

⋅ ⋅ + =

⋅

( )T x y,

T : →R R ( )T x = u²

TÓPICO 1 | TRANSFORMAÇÕES LINEARES

191

vetores , a transformação conserva a operação de soma: pela definição. Sabemos também que: ,

e portanto, .

Conceitos importantes:

( )u a b,= ( )v c d,=( ) 2 2T u v u uv v²+ = + + ( ) ( ) 2T u T v u v²+ = +

( ) ( ) ( )T u v T u T v+ ≠ +

e

• A Transformação Linear , é dita Transformação Nula.

• Seja uma Transformação Linear . Se , então T é dito um Operador Linear.

• O Operador Linear é dito um Operador Identidade.

Observação 1: Uma outra forma de detectar que uma transformação não é linear trata-se de analisar a definição e perceber que dada uma transformação linear

, o vetor nulo do domínio, implicará no vetor nulo do contradomínio, ou seja, se E assim sendo, caso , a transformação não é linear.

( ) 0T U V talque dadou U T u V: , → ∈ ⋅ = ∈

T U V: → U V=

( )uI U U talque dadou U I u u: , → ∈ ⋅ =

T U V: →( )0 0 0U T V .∈ ⋅ = ∈

( )0 0T ≠

Cuidado! Para provar que uma transformação é linear não basta verificar que , deve-se realizar o procedimento tal qual o Exemplo 1. Tente com a transformação ( )0 0T =

( ) ( )3 2 4T talqualT x y x y z: , , , , .→ = +R R

Ao falar de Transformações Lineares, uma de suas características é que elas são ou podem ser encontradas apenas analisando seus coeficientes, referenciando-se a elementos de uma base.

Teorema 1: Sejam dois espaços vetoriais , e uma base não nula e finita de . Tomemos elementos quaisquer do domínio V . Sendo assim, existe uma transformação linear . E ainda se , podemos escrever:

U e V { }1 nU u u, , ,

T U V talque: , → ( ) ( )1 1 n nT u v T u v, ,= =

1 1 n nu a u a u= ⋅ + + ⋅

NOTA

3 LEI DE FORMAÇÃO DE UMA TRANSFORMAÇÃO


192

Que resulta em: . (Lei de formação da transformação).

( ) ( ) ( )1 1

1 1

n n

n n

T u a T u a T u a

v a v

= ⋅ + + ⋅ =

⋅ + + ⋅

Demonstração: Como podemos escrever temos que: , e utilizando a Definição 1, segue que:

1 1 n nu a u a u= ⋅ + + ⋅

( ) 1 1 n nT u T a u a u (= ⋅ + + ⋅

( )( ) ( )

( ) ( )

1 1

1 1

1 1

1 1

n n

n n

n n

n n

T a u a u

T a u T a u

a T u a T u a v a

v

⋅ + + ⋅ =

⋅ + + ⋅ =

⋅ + + ⋅ =

⋅ + + ⋅

( ) ( ( ) ( )( )( ) ( ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1 0 0 0 0 1

1 0 0 0 1 0 0 0 1

1 0 0 0 1 0 0 0 1

1 0 1 1 1 1

T x y z T x z

T x T y T z

x T y T z T

x y z -

, , , , , ,

, , , , , ,

, , , , , ,

, , ,

= ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ =

⋅ + ⋅ + ⋅ =

⋅ + ⋅ + ⋅

( ) ( )T x y z = x + y + z y - z, , ,

Como queríamos demonstrar.

Exemplo 3: Obtenha a lei de formação de uma Transformação Linear, sabendo que:

Você deve reparar que os vetores de entrada, na transformação, formam uma base do espaço (a base canônica,

diga-se de passagem). Logo, para resolver este exemplo, podemos nos basear no Teorema 1.

Vamos, inicialmente, tomar um vetor genérico do domínio . Seja ele Agora, vamos escrevê-lo como

combinação linear dos vetores da base indicada:

Logo, temos que:

Agora, como já provamos que existe um vetor que é combinação linear dos vetores da base, podemos escrever:

T : ³ ²→R R ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1T = T = e T = - , , , , , , , , , ,

( ) ( ) ( ){ }1 0 0 0 1 0 0 0 1, , , , , , , ,

( )³R ( )u x y z, ,=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0x y z = a b c = a + b + c = a b c, , , , , , , , , , , , , , , ,⋅ + ⋅ + ⋅( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0x y z = a b c = a + b + c = a b c, , , , , , , , , , , , , , , ,⋅ + ⋅ + ⋅

3R

x = a ; y = b ; z = c .


193

4 IMAGEM E NÚCLEO DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR

O termo “imagem”, apesar de já utilizado ao longo dos conceitos, por já conhecê-lo do estudo das funções, onde é o valor resultado encontrado a partir da utilização da função, ainda não foi formalizado. Sabemos que as Transformações Lineares possuem Espaços Vetoriais como Domínio e Contradomínio, e a partir disto, a imagem de uma transformação são os vetores do contradomínio que são resultados da aplicação dos vetores do domínio na Transformação. A seguir, vamos defini-lo formalmente:

Definição 2: Considerando a transformação linear A imagem de uma transformação linear é o conjunto de todos os vetores do contradomínio V que são resultados da aplicação de pelo menos um vetor .

Simbolicamente:

Exemplo 4: Seja a transformação dada por: determine a imagem dos vetores , quando aplicados na transformação indicada.

Perceba que estamos trabalhando com uma transformação que possui domínio em e contradomínio em , ou seja, toma vetores de duas coordenadas e os transforma em vetores de três coordenadas. Vamos verificar:

u U∈

( ) ( ){ }Im T v V talqueT u v paraalgumu U , , = ∈ = ∈

2 3T : →R R ( ) ( )2T x y x x y x - y, , , = +

( ) ( )1 2 0 3u - v, , ,= = ( )1 1w - ,=

T U V: → .

.

,e

3R2R

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 3T u T - - - - - , , , , ,= = ⋅ + =•

( ) ( ) ( ) ( )0 3 2 0 0 3 0 3 0 3 3T v T - - , , , , ,= = ⋅ + =•

( ) ( ) ( )( ) ( )1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 2T w = T - = - - - - = - - , , , , ,⋅ +•

A ideia por detrás do cálculo acima pode ser analisada no diagrama a seguir:

FIGURA 8 - REPRESENTAÇÃO DA INTERAÇÃO ENTRE OS ELEMENTOS DA TRANSFORMAÇÃO

2R 3R

( )1 2 - ,

( )0 3,

( )1 1 - ,

( )2 1 3 - , ,

( )0 3 3 - , ,

( )2 1 2 - - , ,

FONTE: O autor.


194

Exemplo 5: Seja a transformação linear , dada por ( ) ( )2 2T x y z x y y - z x z, , , ,= + + , encontre uma base para a imagem desta

transformação.

Uma das principais aplicações dos conceitos da imagem de uma transformação é encontrar uma base que gera todos os seus elementos. Isto quer dizer que, a partir deste subespaço gerado, podemos escrever todos os vetores que pertencem à imagem através de combinações lineares dos vetores que compõem a base.

T : ³ ³→R R

Vejamos: e este conjunto pode ser reescrito da seguinte forma:

.

Porém, note que o vetor . Logo, como ele é combinação linear dos outros componentes, podemos excluí-lo e aferir a seguinte base geradora para a imagem da transformação: .

Isto significa que todos os vetores da imagem podem ser gerados pela base acima.

( ) ( ){ }2 2Im T = x y y - z x z x y z, , , , , ,+ + ∈R( ) ( ) ( ) ( ){ }1 2 0 0 1 1 1 0 2Im T x y - z x y z, , , , , , , , ,= ⋅ + ⋅ + ⋅ ∈R

( ) ( ) ( ) ( ){ }1 2 0 0 1 1 1 0 2Im T x y - z x y z, , , , , , , , ,= ⋅ + ⋅ + ⋅ ∈R

( ) ( ) ( )1 2 0 1 0 2 2 0 1 1 = + - , , , , , ,⋅

( ) ( )1 0 2 0 1 1 - , , , , ,

• Dada a transformação linear , a transformação é dita injetora quando para quaisquer

• Dada a transformação linear , a transformação é dita sobrejetora quando o contradomínio é igual ao conjunto imagem, ou seja,

• Uma transformação é dita bijetora, quando ela é injetora e sobrejetora.

T U V: →

T U V: →( )Im T V .=

( ) ( )u v U se u v T u T v , , .∈ ≠ ⇒ ≠

Quando a tranformação , é bijetora, temos um caso de isomorfismo, ou seja, os Espaços Vetoriais U e V , são ditos isomorfos.

NOTA

T U V: →

Exemplo 6: Seja a transformação linear dada por verifique se existe algum vetor do

domínio que possui como imagem o vetor nulo.

Como já sabemos, o vetor nulo é aquele que possui suas coordenadas nulas. Sendo assim, para verificar qual o vetor , irá gerar imagem tal que

, basta resolver o sistema linear homogêneo a seguir:

T : ³ ²→R R

( )x y z, ,( ) ( )2 3 2 4 6 0 0x y - z - x - y z, ,+ + =

( ) ( )2 3 2 4 6T x y z x + y - z - x - y + z, , ,= ,


195

2 3 02 4 6 0x y - z

- x - y z + = + =

FIGURA 9 - REPRESENTAÇÃO DE ELEMENTOS DO NÚCLEO DE UMA TRANSFORMAÇÃO

T U V: →

U

u

w

v

V

0

FONTE: O autor

Exemplo 7: Determine o núcleo da tranformação , dada por T : ² ³→R R( ) ( )0 0T x y x y, , ,= + .

2 3x = - y + z ( ){ }2 3S - y z y z y z, , , ,= + ∀ ∈R1 2y = e z =

Agora, conforme visto na Unidade 1, os sitemas homogêneos possuem, pelo menos, uma solução, e que damos a ela o nome de solução trivial, ou seja, neste caso, temos o vetor (0,0,0) do domínio que implica na imagem nula. Resta saber se existem mais vetores que também possuem a mesma característica.

Ora, veja que o sistema acima possui duas linhas de sua matriz aumentada proporcionais, logo, possuímos um caso de um sistema com infinitas soluções, vejamos, isolando x na primeira equação (poderia ser a segunda equação): ou

seja, o conjunto é solução para o sistema. E assim temos, por exemplo, fazendo , o vetor (4,1,2) que também implicará na imagem nula.

Para este conjunto de vetores, que quando aplicados em uma transformação, geram o vetor nulo na imagem, damos o nome de Núcleo da Transformação.

Definição 3: O núcleo de uma tranformação linear ser indicado por , é o conjunto formado por todos os vetores de U que tem como imagem o vetor nulo de V , ou seja,

( ) ( )N T ou T kerT U V: →

( ) ( ){ }0N T u U talqueT u, = ∈ =

, que pode

.


196

Como definido, sabemos que o Núcleo da Transformação são os vetores ( )x y, , tal que ( ) ( )0 0 0 0 0x y, , , , .+ = Ora, neste caso, basta resolver: .

Assim sendo, o núcleo da transformação é dado por: . Este conjunto também pode ser expresso pelo subespaço gerado pela base

( )1 1 - , .

Observação 2: Note que . Ou seja, existe pelo menos um vetor do domínio da transformação que possui imagem nula. Pois ( )0U N T∈

já que .

0x y x - y+ = ⇔ =0x y x - y+ = ⇔ =

( ) ( ){ }N T - y y y, ,= ∀ ∈R( ) ( ){ }N T - y y y, ,= ∀ ∈R

( )N T ≠ ∅T U V: →

( )0 0U VT = ,

Por favor, se a Observação 2 não lhe foi clara, reveja a Observação 1.

NOTA

Exemplo 8: Determine o Núcleo e a Imagem da Transformação Linear , tal que .

Como já sabemos, por definição, o núcleo da transformação é o conjunto . Para tanto, devemos ter que:

o que recai no sistema linear homogêneo a seguir:

Agora, isolando y na segunda equação e fazendo , segue que: , e assim sendo, o núcleo é dado por:

.

Para finalizar, sabemos que o núcleo de uma transformação é um subespaço vetorial do domínio. Portanto, reescrevendo-o na forma de combinação linear temos a forma o que nos permite encontrar uma base para este subespaço, sendo ela dada por

Resta realizar o processo para encontrar o conjunto imagem desta transformação. Para isto, vamos partir da lei de formação, que é dada

Verificamos que podemos escrevê-la, também, na forma de combinação linear:

T : ³ ²→R R ( ) ( )2 3 2T x y z x - y z x y - z, , ,= + +

( ) ( ) ( )3 0 0N T u T u{ , ,= ∈ =R ( ) ( ) ( )2 3 2 0 0T x y z x - y z x y - z, , , , ,= + + =( ) ( ) ( )2 3 2 0 0T x y z x - y z x y - z, , , , ,= + + =

2 03 2 0

x - y zx y z

+ = + − =

5z x=3 2 3 2 5 7y - x z y - x x y x= + ⇒ = + ⋅ ⇒ =

( ) ( ){ }7 5N T x x x x, , ,= ∀ ∈R

( )1 7 5x , ,⋅( )1 7 5, , .

( ) ( )2 3 2T x y z x - y z x y - z, , ,= + +( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 2 2 3 2 2 3 1 1 1 2x - y z x y - z x x - y y z - z x y - z - , , , , , , ,+ + = + + = ⋅ + ⋅ + ⋅

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 2 2 3 2 2 3 1 1 1 2x - y z x y - z x x - y y z - z x y - z - , , , , , , ,+ + = + + = ⋅ + ⋅ + ⋅

por .

.


197

Desta forma, podemos escrever a imagem da transformação como o conjunto formado a partir desta combinação linear encontrada. Ou seja:

.

Observação 3: Note que o contradomínio deste exemplo é o espaço que possui dimensão 2. Portanto, para determinar uma base para a imagem, esta não pode ser , pois veja que este conjunto é formado por três vetores, logo, de dimensão 3. Porém, note que o vetor é LD com os outros dois vetores do conjunto, e, por este fato, podemos descartá-lo e gerar a base para a imagem tal como:

( ) ( ) ( ) ( ){ }2 3 1 1 1 2Im T x y - z - x y z, , , , , ,= ⋅ + ⋅ + ⋅ ∀ ∈R2R

( ) ( ) ( )2 3 1 1 1 2 - - , , , , , ( )1 2 - ,

( ) ( )2 3 1 1- , , , .

,

5 TEOREMA DO NÚCLEO E IMAGEM DE UMA TRANSFORMAÇÃO

Os conceitos de Núcleo e Imagem de uma transformação possuem uma forte ligação. A partir dele, podemos identificar um teorema que possui uma grande aplicação dentro da Álgebra Linear e Vetorial. Este teorema se baseia na análise da dimensão de cada um dos espaços vetoriais gerados por estes conjuntos. Para entendê-lo melhor, vamos, inicialmente, rever o conceito de dimensão.

Definição 4: Seja U um espaço vetorial com uma base finita de elementos. Se ,dizemos que a base deste espaço é 0. Se ,dizemos que a dimensão deste espaço é igual à quantidade de elementos de uma base qualquer de U .

Exemplo 8: Determine a dimensão do Núcleo e da Imagem do Exemplo 7.

Como visto anteriormente, os conjuntos do Núcleo e da Imagem são subespaços vetoriais do domínio e do contradomínio da transformação. No Exemplo 7 eles podem ser gerados pelas respectivas bases [( 1 , 7 , 5 )] (para o núcleo) e [( 2 , 3 ) , ( - 1 , 1 )] (para a imagem). Note que estas bases possuem um e dois elementos, nesta ordem. Assim sendo, podemos aferir que a dimensão do núcleo é 1, e a dimensão da imagem é 2.

Simbolicamente:

{ }0U = { }0U =

( ) ( )1 2N T Im T dim e dim .= =

Outros exemplos:

• A dimensão do conjunto dos números reais é 1.• A dimensão do conjunto formado por todos os elementos de é 2.• A dimensão do conjunto formado por todos os pontos de é 3.• O espaço vetorial formado pelos polinômios de grau n , possuem dimensão n .• O espaço vetorial formado pelas matrizes de ordem n , tem dimenão n .

2R3R


198

Agora que você já entendeu qual o conceito de dimensão de um espaço vetorial, iremos enunciar e demonstrar o Teorema do Núcleo e Imagem. Com certeza, você necessitará de alguns momentos de raciocínio para compreender esta demonstração, porém, na prática, seu entendimento é bastante simples, o veremos na sequência.

Teorema 2: (Teorema de Núcleo e Imagem) Seja uma transformação linear , onde U tem dimensão finita. Então: T U V: → ( ) ( )U N T Im Tdim dim dim= +

Demonstração: Seja ( )n N Tdim= . Se 1n ≥ , vamos escrever uma base 1B de ( )N T formada pelos vetores { }1 2 nu u u, , , . Como ( )N T U⊂ , podemos

completar 1B , com os vetores { }1 2 nu u u, , , , de modo que { }1 2 1 2n mu u u v v v, , , , , , , , forme uma base de U . Visto isto, temos que U n mdim = + . Resta mostrar que

( )T U mdim = e, para isto, mostraremos que ( ) ( ){ }1 mT v T v, , formam uma base de ( )T U .

Na prática, este teorema nos diz que, a soma das dimensões do núcleo e da imagem de uma transformação é igual à dimensão de seu domínio. No Exemplo 7 tínhamos uma transformação T : ³ ²→R R , onde concluímos que ( ) 1N Tdim = e ( ) 2Im Tdim = . Ora, basta perceber que o teorema é válido para o caso, pois, ( ) ( )3 N T Im Tdim dim dim= +R 3 = 2 + 1 .

( ) ( )1 1 0n mT v T vα α+ + = ( )1 1 0m mT v vα α+ + =

1 m, ,β β ∈ R 1 1 1 1m m n nv v u uα α β β+ + = + +

1 1 1 1m m n nv v u uα α β β+ + = + + { }1 2 1 2n mu u u v v v, , , , , , ,

1 1 0m nα α β β= = = = = = ( ) ( )1 mT v T v, ,

( ) ( ){ }1 mT v T v, , ( )T U ( )v T U∈u U∈ ( )T u v.= { }1 2 1 2n mu u u v v v, , , , , , ,

1 1n m, , , , ,α α β β ∈ R 1 1 1n n m n mu u u v uα α β β= + + + + +

1 1 1n n m n mu u u v uα α β β= + + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 1 1n n m n m n n m n m m n mv T u T u u v u T u T u T v T u T v T uα α β β α α β β β β= = + + + + + = + + + + + = + +

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 1 1n n m n m n n m n m m n mv T u T u u v u T u T u T v T u T v T uα α β β α α β β β β= = + + + + + = + + + + + = + + ( )1 2 nu u u N T, , , .∈

( )1 2 nu u u N T, , , .∈

1 1 m mv vα α+ +

então . Isto éDesta forma, existem , tais que

isto é, como formam uma base de U,segue que e, portanto, são linearmenteindependentes.

Se

Mostremos agora que geram . Seja .Logo existe ,tal que Como

, tais que,formam

uma base de U, existem e daí,

,já que Como queríamos demonstrar.

Exemplo 9: Determinar uma transformação linear

Podemos, a partir do enunciado, afirmar que o conjunto {(1,1,2,1) , (2,1,0,1)} forma uma base de ( )Im T , e como já visto, temos que ( ) 2Im Tdim = . Agora, utilizando o Teorema 2 (Teorema do Núcleo e Imagem), segue que:

4T : ³ →R R( ) ( ) ( )1 1 2 1 2 1 0 1Im T , , , , , , , =

, tal que.


199

( ) ( )( )

( )

3

3 2

1

N T Im T

N T

N T

dim dim dim

dim

dim

= +

= +

=

R

Escolhendo agora uma base para (note que escolhemos o primeiro termo da base canônica, por termos de facilidade), podemos completá-la a fim de atingir uma base de 3 R , como sendo {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} (base canônica).

( ) ( ){ }1 0 0N T , ,=

Descartando-se o elemento do núcleo, percebemos que formam uma base de Im ( T ) , e como já vimos, podemos desta forma escrever:

• T (1,0,0) = (0,0,0,0),pelo fato de pertencer ao núcleo.• T (0,1,0) = (1,1,2,1)• T (0,0,1) = (2,1,0,1)

Agora, conforme visto no Exemplo 3, podemos escrever:

( ) ( ){ }0 1 0 0 0 1T T, , , , ,

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

1 0 0 0 1 0 0 0 1

0 0 0 0 1 1 2 1 2 1 0 1

0 0 0 0 2 2 0

2 2

T x y z x T y T z T

T x y z x y z

T x y z y y y y z z z

T x y z y z y z y y z

, , , , , , , ,

, , , , , , , , , , ,

, , , , , , , , , , ,

, , , , ,

= ⋅ + ⋅ + ⋅ ⇒

= ⋅ + ⋅ + ⋅ ⇒

= + + ⇒

= + + +

Exemplo 10: Seja .

a) Indique o núcleo de T, uma base e sua dimensão.b) Determine a dimensão da imagem da transformação.

a) Para determinar o núcleo da transformação, devemos verificar que teremos . A partir daí, segue que 0z = e 0x - y x y= ⇒ =

Portanto, o conjunto do núcleo é dado por ( ) ( ){ }0N T x x x, , , .= ∀ ∈R Note agora, que podemos escrever ( ){ }1 1 0x x, , ,⋅ ∀ ∈R , ou seja, o conjunto LI [( 1,1,0 )] é uma base para ( )N T , e assim ( ) 1N Tdim .=

b) Utilizando o Teorema 2, que diz que: ( ) ( )U N T Im Tdim dim dim , = + podemos assumir:

( ) ( )T T x y z z x y z: ³ ³ , dada por , , , ,→ = −R R

( ) ( ) ( )0 0 0T x y z z x y z, , , , , ,= − = .


200

( ) ( )( )

( )

3

3 1

2

N T Im T

Im T

Im T

dim dim dim

dim

dim .

= +

= +

=

R

( ) ( )( )

( )

3

3 1

2

N T Im T

Im T

Im T

dim dim dim

dim

dim .

= +

= +

=

R

Resultados Importantes:

1) Se uma Transformação T, possui N(T) = { }0

, T é injetiva.2) Se uma Tranformação é tal que , temos que T é

injetiva e sobrejetiva.T U V: → U Vdim dim=

Lembrando que se uma transformação é injetiva e sobrejetiva ao mesmo tempo, dizemos que ela é bijetiva.

NOTA

201

RESUMO DO TÓPICO 1


• Para uma transformação ser dita linear, ela necessita conservar as operações de adição e multiplicação por escalar, tais que:

a)

b)

• A Transformação Linear , é dita Transformação Nula.

• Seja uma Transformação Linear , T então é dito um Operador Linear.

• O Operador Linear é dito um Operador Identidade.

• A imagem de uma transformação linear é o conjunto de todos os vetores do contradomínio V que são resultados da aplicação de pelo menos um vetor .

• O núcleo de uma tranformação linear , que pode ser indicado por ( ) ( )N T ou T ker , é o conjunto formado por todos os vetores de U que tem como

imagem o vetor nulo de V , ou seja, .

• A soma das dimensões do núcleo e da imagem de uma transformação é igual à dimensão de seu domínio, ou seja: .

( ) ( ) ( )T u v T u T v u v U, , ;+ = + ∀ ∈

( ) ( )T k u k T u k u U, , .⋅ = ⋅ ∀ ∈ ∀ ∈R

( ) 0T U V talque dadou U T u V: , → ∈ ⇒ = ∈

T U V U V: . Se → =

( )uI U U talque dadou U I u u: , → ∈ ⇒ =

u U∈

T U V: →

( ) ( ){ }0N T u U talqueT u, = ∈ =

( ) ( )U N T Im Tdim dim dim= +

202

AUTOATIVIDADE

1 Verifique quais das transformações a seguir são lineares:

a) T(x,y) = (x – 3y, 2x + 5y)b) T(x,y) = (x², y²)c) T(x,y) = (x + 1, y)d) T(x,y) = (2x + y, 4x + 2y)

2 Seja uma transformação linear tal que T(1,1) = (1,-2) e T(-1,1) = (2,3). Detemine a lei de formação desta transformação.

3 Determine a transformação linear T: R3→R3 tal que T(1,0,-1) = (1,-1,0) e T(1,1,1) = (-1,1,0) T(0,1,2) = (2,1,0).

4 Seja a transformação linear T: R2→R2 definida por T(x,y) =(x,0).

a) (0,2) pertence ao N(T)?b) (2,2) pertence ao N(T)?

5 Determine a imagem dos seguintes vetores, através da transformação .

a) u = (-1, 2)b) v = (-3, 2)c) w = (-2, -1)

6 Seja a transformação linear T: R2→R3 definida por T (x,y) = (x + y, x - y, 2x + y). Encontre uma base para a Im(T).

7 Seja a transformação linear T : ³ ³→R R , definida por

a) Determine o núcleo e a imagem de T.b) Determine bases para o núcleo e para a imagem.c) Verifique o teorema da dimensão.

8 Determine uma transformação linear 3T : ² →R R , tal que .

( ) ( )2 3 2T x y x - y x y x, , , = +

( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 0Im T , , , , , = ( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 0Im T , , , , , =

( ) ( )2 2 2 3T x , y , z = x - y - z - x + y + z , x - z , .( ) ( )2 2 2 3T x , y , z = x - y - z - x + y + z , x - z , .


203

TÓPICO 2

MATRIZ DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR

UNIDADE 3

1 INTRODUÇÃO

Uma alternativa muito importante de se representar uma transformação linear é a forma matricial. Através dela teremos mais facilidade em compreender algumas transformações especiais. Iremos verificar que toda matriz e s t á associada a uma transformação . A seguir, iremos perceber que boa parte do estudo das transformações lineares podem ser reduzidos ao estudo das matrizes, estabelecendo o recíproco da primeira parte, onde fixando bases α e β , dos espaços vetoriais U e V , respectivamente, a toda transformação linear T U V: → , estará associada uma única matriz.

m nT : →R Rm n×

2 FORMA MATRICIAL DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR

Inicialmente, vamos mostrar como uma matriz está associada a uma transformação linear a partir da Proposição 1. Para tanto, iremos imaginar uma tranformação dada pela multiplicação por uma matriz .

Proposição 1: Seja A uma matriz ,onde é o produto da matriz pelo vetor coluna

é linear.

Demonstração: Utilizando a Definição 1 (definição de uma tranformação linear), iremos provar que T ( u ) conserva as operações de soma e de multiplicação por escalar.

I) Sejam , temos que:

m n×

m n×

n mT : →R R

n mT : →R R( )T u A u= ⋅ A u⋅ m nA × 1nu × ( )T u

nu v, ∈R

e definida por

204


( ) ( )

( ) ( )

T u v A u v A u A v T u T v

+ = ⋅ + =

⋅ + ⋅ =

+

( ) ( )( )

( )

T u = A u

= A u

= T u

α α

α

α

⋅ ⋅

⋅ ⋅

⋅

n u e α∈ ∈R RII) Sejam , temos que:

Logo, T ( u ) é linear. E sendo assim, está provado que toda matriz pode ser utilizada para definir uma transformação , onde a imagem

é o produto da matriz , pelo vetor coluna .

Exemplo 11: Escreva as transformações lineares respectivamente, pelas matrizes:

m nA ×

m nA ×

n mT : →R R( )AT u

1nu ×

A B C DT T T T, , , , determinadas,

2 1 12 3

3 1 1 2 3 0 04 1

2 0 5

- A B C = - D =

- -

, , ,

= =

Resolução: A matriz A é de ordem 3 x 2, logo, ela está associada a uma transformação , onde temos que ela é definida pela multiplicação da matriz A pelo vetor genérico do domínio , na forma coluna.

T : ² ³→R R( )x y,

( )2 13 1 2 3 22 0

A -

xT = x - y x y x

y, ,

= ⋅ +

( )2 32 3 4

4 1B

xT = x y x - y

- y ,

= ⋅ +

Já por sua vez, a matriz B é de ordem 2 x 2, e está associada à transformação tal que:2 2:T →� �

TÓPICO 2 | MATRIZ DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR

205

x y z ., , , ( ) ( )2 3 0 5C DT x y - z e T x - z , ,= + =

Analogamente, note que as transformações resultantes são dadas pela quantidade de colunas da matriz, que representa o número de componentes da transformação e onde o valor indicado em cada coluna representa o coeficiente de cada incógnita Assim sendo: .

3 MATRIZ DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR

Nosso próximo estágio é definir a recíproca do item anterior, ou seja, mostrar que dada uma transformação linear , está associada uma única matriz. Para tanto, devemos fixar uma base α para U e para V . Sem perda de generalidade, utilizaremos .

• Sabemos também, que um vetor pode ser escrito conforme

como combinação linear dos vetores da base α , ou seja: . • Definimos também T ( u ) , que é um vetor de V , por:

como:

• E, a partir disso, definimos a matriz de uma transformação linear como sendo a matriz que multiplicada por , resulta em e que será representada por .

Simbolicamente:

T U V: →β

2 3Ŷdim e dim= =

1 1 2 2u x u x u= +

1

2

xu

xα

=

( ) 1 2 2 3 3T u yv y v y v= + +

( )1

2

3

yT u y

yβ

=

u

α ( )

T u

β

( )

T u u T

α

β αβ = ⋅

u U∈ ,

,

.

Observações:

• A matriz é um operador linear que transforma (coordenadas de u na base α em , coordenadas da imagem de u na base ).

• Sendo , com , temos com ordem .

• As colunas de são, respectivamente, o vetor das coordenadas das imagens de T dos vetores da base α em relação a .

• Fixada a dupla de bases α e , a matriz de transformação é única.

T

α

β

T

α

β

T

α

β

u

α

( )

T uβ

β

β

β

T U V: → U n V mdim e dim= =m n×

( ), 0, 5= −DT x x

206


É importante destacar que em muitos casos procura-se por uma matriz que represente uma transformação linear T de uma forma simples, tipo diagonal ou triangular. Com escolhas adequadas das bases α e β isso, em muitos casos, é possível, como veremos no estudo de diagonalização de operadores, mais adiante.

Exemplo 12: Encontre a matriz da tranformação linear T : ³ ²→R R , dada p o r , com relação às bases canônicas de e respectivamente.

Resolução: As bases canônicas de 3R e 2R são ( ) ( ) ( ){ }1 0 0 0 1 0 0 0 1, , , , , , , ,α = e ( ) ( ){ }1 0 0 1, , ,β = , respectivamente. Sendo assim, temos que:

ou seja, conforme definido anteriormente, estamos escrevendo a imagem dos vetores da base de 3R , como combinação linear dos vetores da base de 2R . Observe que o resultado será:

T

α

β

( ) ( )T x y z x y x - z, , ,= + 3R 2R

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

1 0 0 1 1 1 0 0 1

0 1 0 1 0 1 0 0 1

0 0 1 0 1 1 0 0 1

T a b

T c d

T - e f

, , , , ,

, , , , ,

, , , , ,

= = ⋅ + ⋅

= = ⋅ + ⋅

= = ⋅ + ⋅

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1 0 0 1 1 1 1 1

1 0 1 0 0 1 1 0 1 0

0 1 1 0 0 1 0 1 0 1

a b a b a e b

c d c d c e d

- e f - e f e e f -

, , , , , .

, , , , , .

, , , , , .

= ⋅ + ⇒ ⇒ = ⇒ = =

= ⋅ + ⇒ ⇒ = ⇒ = =

= ⋅ + ⇒ ⇒ = ⇒ = =

• ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1 0 0 1 1 1 1 1

1 0 1 0 0 1 1 0 1 0

0 1 1 0 0 1 0 1 0 1

a b a b a e b

c d c d c e d

- e f - e f e e f -

, , , , , .

, , , , , .

, , , , , .

= ⋅ + ⇒ ⇒ = ⇒ = =

= ⋅ + ⇒ ⇒ = ⇒ = =

= ⋅ + ⇒ ⇒ = ⇒ = =

•( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1 0 0 1 1 1 1 1

1 0 1 0 0 1 1 0 1 0

0 1 1 0 0 1 0 1 0 1

a b a b a e b

c d c d c e d

- e f - e f e e f -

, , , , , .

, , , , , .

, , , , , .

= ⋅ + ⇒ ⇒ = ⇒ = =

= ⋅ + ⇒ ⇒ = ⇒ = =

= ⋅ + ⇒ ⇒ = ⇒ = =•

1 1 01 0 1

T

-

α

β

=

Assim sendo,

Exemplo 13: Utilizando a matriz do exemplo anterior, se calcule .

Resolução: Como já visto, sabemos que ( )

T u = T u

α

β αβ ⋅ , ou

seja: onde, realizando a multiplicação das

matrizes chegamos em

( )2 1 3u - ,=

( )

T uβ

( )2

1 1 02 1 3 1

1 0 13

T - =

- -

, ,β

⋅

( ) 32 1 3

4 T - , ,

β

=

,

NOTA


207

4 TRANSFORMAÇÕES PLANAS ESPECIAIS

Neste momento do nosso estudo, vamos verificar como as representações matriciais das transformações lineares, vistas no subtópico anterior podem nos auxiliar no estudo das tranformações planas de vetores. Este estudo irá visualisar transformações que possuem várias aplicações na computação gráfica e no desenho gráfico, que são fortemente utilizados nos cursos de Engenharia, Computação, Design, entre outros.

2 2T : →R R

4.1 TRANSFORMAÇÃO DE REFLEXÃO

4.1.1 Em torno do eixo X

Expressão: ( ) ( )T x y x - y, ,=

Forma matricial (matriz A): Podemos escrever

Representação Geométrica:

( ) ( ) ( ) 1 01 0 0 1

0 1x - y x y - A

- , , ,

= ⋅ + ⋅ ⇒ =

( ) ( ) ( ) 1 01 0 0 1

0 1x - y x y - A

- , , ,

= ⋅ + ⋅ ⇒ =

( x , - y )

( x , y )

x

y

f0

Exemplo 14: Faça a reflexão em torno do eixo X, do vetor ( )1 2u ,= .

Resolução: Para gerar a reflexão solicitada, basta multiplicar o vetor dado

pela matriz 1 0 1 10 1 2 2

A = - -

:

⋅

, ou seja, obtemos o vetor ( )1 2u - , , ′ =

que é a reflexão em torno do

eixo X, com relação à u .

.

208


Geometricamente:

x

y

2

2

u'

u

4.1.2 Em torno do eixo Y

Expressão: ( ) ( )T x y - x y, ,=



( ) ( ) ( ) 1 01 0 0 1

0 1 - x y x - y A = , , ,

= ⋅ + ⋅ ⇒

( ) ( ) ( ) 1 01 0 0 1

0 1 - x y x - y A = , , ,

= ⋅ + ⋅ ⇒

( x , y )( - x , y )

x

y

f

0

.1 0

0 1−

=

A


209

Exemplo 15: Faça a reflexão em torno do eixo Y, do vetor ( )2 3u - ,= .


pela matriz 1 0 2 20 1 3 3

- - A = :

⋅

, ou seja, obtemos o vetor ( )2 3u , , ′ = que

é a reflexão em torno do eixo X, com relação à u .

Geometricamente:

x

y

- 2 2

u'u

3

4.2 TRANSFORMAÇÃO DE PROJEÇÃO

4.2.1 Projeção sobre o eixo X

Expressão:



( ) ( ) ( ) 1 00 1 0 0 0

0 0x x + y A ., , ,

= ⋅ ⋅ ⇒ =

( ) ( ) ( ) 1 00 1 0 0 0

0 0x x + y A ., , ,

= ⋅ ⋅ ⇒ =

( ) ( )0T x y x, ,=

210


x

y

0 f ( v ) = ( x , 0 )

v = ( x , y )

Exemplo 16: Faça a projeção sobre o eixo X, do vetor ( )2 4u ,= .


pela matriz 1 0 2 20 0 4 0

A = :

⋅

, ou seja, obtemos o vetor ( )2 0u , , ′ = que é

a projeção sobre o eixo X, com relação à u .

Geometricamente:

x

y

u

u'

4

2

4.2.2 Projeção sobre o eixo Y

Expressão: ( ) ( )0T x y y, ,=

Forma matricial (matriz A): Podemos escrever ( ) ( ) ( ) 0 00 0 0 0 1

0 1y = x y A = , , ,

⋅ + ⋅ ⇒

( ) ( ) ( ) 0 00 0 0 0 1

0 1y = x y A = , , ,

⋅ + ⋅ ⇒

.


211

x

y

uu'

- 4

3

x

y

0

f ( v ) = ( 0 , y ) v = ( x , y )

Exemplo 17: Faça a projeção em sobre o eixo Y, do vetor ( )3 4u - ,= .


pela matriz A: 0 0 3 00 1 4 4

=

- -

⋅

, ou seja, obtemos o vetor ( )0 4u - , , ′ =

que é a projeção sobre o eixo Y, com relação à u .

Geometricamente:


4.3 TRANSFORMAÇÕES DE DILATAÇÃO OU CONTRAÇÃO

212


4.3.1 Na direção do vetor ( )( )α ∈R

Expressão: ( ) ( )T x y x y, ,α α= ⋅ ⋅



( ) ( ) ( ) 00 0

0 x y x y A, , , .

αα α α α

α

⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ ⇒ =

( ) ( ) ( ) 00 0

0 x y x y A, , , .

αα α α α

α

⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ ⇒ =

x

y

f ( v )

0

v

Exemplo 18: Faça a ampliação do vetor ( )1 2u ,= utilizando 3α = . Ou seja, triplicar o seu módulo.


pela matriz A: 3 0 1 30 3 2 6

⋅ =

, ou seja, obtemos o vetor ( )3 6u , , ′ = que é a

dilatação em três vezes com relação à u .

Geometricamente:


213

x

y

u

u'

1 3

6

2

Observações:

a) Quando temos 0 1α< < , ocorre uma contração no vetor.b) Quando temos 0α < , ocorre uma “inversão” no sentido do vetor.

4.3.2 Na direção do eixo X (horizontal)

Expressão: ( ) ( )T x y x y, ,α= ⋅


Representação Geométrica: (para os casos 122

e α α= = )

( ) ( ) ( ) 00 0 1

0 1 x y x y A ., , ,

αα α

⋅ = ⋅ + ⋅ ⇒ =

( ) ( ) ( ) 0

0 0 10 1

x y x y A ., , ,α

α α

⋅ = ⋅ + ⋅ ⇒ =

x

y

0

1 x , y 2 ( ) x , y ( ) 2x , y

1 x2

x 2x

214


Exemplo 19: Faça a ampliação do vetor ( )2 2u ,= na direção do eixo X

utilizando 2α = e 12

α = .

Resolução: Para gerar a reflexão solicitada, basta multiplicar o vetor dado pela matriz A:

Para 2 0 2 4

20 1 2 2

:α

= ⋅ =

, ou seja, obtemos o vetor ( )4 2u , , ′ = que é

a dilatação em 2 vezes com relação à u , na direção do eixo X.

Para 1 2 1012 2 22 0 1

:α = ⋅ =

, ou seja, obtemos o vetor ( )1 2u , , ′ =′

que é a contração em 2 vezes com relação à u , na direção do eixo X.

Geometricamente:

x

y

0

u u'u'

4

2

21

4.3.3 Na direção do eixo Y (vertical)

Expressão: ( ) ( )T x y = x y, , .α


Representação Geométrica: 122

para os casos e α α = =

( ) ( ) ( ) 1 01 0 0

0x y = x + y A = , , ,α α

α

⋅ ⋅ ⋅ ⇒

( ) ( ) ( ) 1 01 0 0

0x y = x + y A = , , ,α α

α

⋅ ⋅ ⋅ ⇒


215

x

y

y

0

y12

2 y

12( x , y )

( x , y )

( x , 2 y )

Exemplo 20: Faça a ampliação do vetor ( )1 3u ,= na direção do eixo Y utilizando


pela matriz 1 0 1 10 2 3 6

A = =

⋅

, ou seja, obtemos o vetor ( )1 6u , , ′ = que é a

dilatação em 2 vezes com relação à u , na direção do eixo X.

Geometricamente:

2α =

x

y

u

u'

1

3

6

216


4.4 TRANSFORMAÇÕES DE ROTAÇÃO (DE UM ÂNGULO α NO SENTIDO ANTI-HORÁRIO)

Neste caso, iremos partir da representação geométrica para conseguirmos deduzir a matriz de transformação de rotação. É importante frisar que teremos que utilizar alguns conceitos importantes de trigonometria, e, por este fato, se necessário, busque apoio em outras literaturas se os conceitos, aqui, somente apresentados, não lhe foram claros.


RθR v( )θ

θ

x'

y

x

α

y'y

xα

v

Observando a representação geométrica, percebemos que os vetores v e sua rotação ( ) R vθ possuem mesmo módulo. Ou seja: ( ) v = R v θ .

Agora, vamos lembrar algumas identidades trigonométricas que nos auxiliarão nas deduções:

a) ( )sen + = sen cos + sen cosα θ α θ θ α⋅ ⋅

b) ( )cos + = cos cos - sen senα θ α θ α θ⋅ ⋅

c)ysen

v α =

d)xcos

v α =


217

( ) y y sen + = sen cos + sen cos = v v

y yx cos + sen = v v v

y = y cos + x sen

I) α θ α θ θ α

θ θ

θ θ

⋅ ⋅ ⋅

⇒ ⋅

⇒ ⋅ ⋅

′ ′

′

′

( ) x x cos + = cos cos - sen sen = v v

x x x cos + sen = v v v

x = x cos + y sen

II) α θ α θ α θ

θ θ

θ θ

⋅ ⋅ ⋅

⇒ ⋅

⇒ ⋅ ⋅

′ ′

′

′

E assim sendo, temos que, ao rotacionar o vetor θ unidades, seguem as seguintes relações:

Como o vetor ( ) ( ) R v x y,θ ′ ′= , podemos escrevê-lo tal que:( ) ( ) R v = x cos + y sen , y cos + x sen θ θ θ θ θ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ , e assim, colocando os fatores

x e y em evidência, chegamos à matriz de rotação:

Exemplo 21: Tome o vetor do plano ( )3 4u ,= e faça nele uma rotação de 30° no sentido anti-horário.

Resolução: Para gerar a rotação solicitada, basta multiplicar o vetor dado

pela matriz A dada por cos - sen

A = sen cos

:θ θθ θ

ou seja,

obtemos o vetor ( )0 6 5u , ; , =′ que é o vetor u , após uma rotação de 30o.

3 1 3 3-4- cos30° - sen30° 3 3 0,62 2 2 sen30° co

s30° 4 4 51 3 4 3+3

2 2 2

⋅ ⇒ ⋅ ⇒ ≈



y = y cos + x sen


θ θ

θ θ

⋅ ⋅ ⋅

⇒ ⋅

⇒ ⋅ ⋅

′ ′

′

′



y = y cos + x sen


θ θ

θ θ

⋅ ⋅ ⋅

⇒ ⋅

⇒ ⋅ ⋅

′ ′

′

′



x = x cos + y sen


θ θ

θ θ

⋅ ⋅ ⋅

⇒ ⋅

⇒ ⋅ ⋅

′ ′

′

′



x = x cos + y sen


θ θ

θ θ

⋅ ⋅ ⋅

⇒ ⋅

⇒ ⋅ ⋅

′ ′

′

′

–

–

y

–

cos sensen cos

θ θθ θ

− =

A

218


5 MATRIZ DE MUDANÇA DE BASE

Muitas vezes um problema complicado pode se tornar mais simples se pudermos utilizar um novo sistema referencial para verificá-lo. Este fato será chamado de mudança de base.

Por exemplo, ao trabalhar com Geometria Analítica, e, mais especificadamente ao estudar a trajetória de um corpo que descreve um contorno elíptico, é muito mais simples descrevê-lo se, ao invés de utilizar o sistema de coordenadas usual, trabalharmos num sistema onde a base são os próprios eixos da elipse. Imagine esta trajetória sendo descrita por 2 2x + xy + y - 3 , no sistema cartesiano (x,y). Ela seria descrita após a mudança de base, agora, de forma mais simples por 2 23u + 2v = 6 . Veja a figura:

FIGURA 10 - REPRESENTAÇÃO DE UMA MUDANÇA DE BASE DE EIXOS DE COORDENADAS

v

x

y

u

FONTE: O autor

No problema da mudança de base, o que deve ser descrito é a transformação dos componentes de um vetor de uma base α , para uma outra base, β . Em outras palavras, temos que se α e β são bases conhecidas, podemos calcular

u

α quando conhecido

uβ

, e vice-versa. Esta matriz será indicada por

I

α

β

e será dada por:

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

m m mn

a a aa a a a a a

Iα

β

=


219

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 1 1 11 0 2 1 1 10 3 3

2 0 1 20 1 2 1 1 11 3 3

a - b a b - a e b -

a + b

c - d c d - c e d

c d

, , ,

, , ,

== ⋅ + ⋅ ⇒ ⇒ = = =

== ⋅ + ⋅ ⇒ ⇒ = = + =

onde cada elemento ija de

I

α

β é coordenada de β em relação à α . E, a partir daí,

podemos realizar a transformação mencionada, utilizando:

Ʒu = I u

α

β β α ⋅

ou ainda,

u = I u

β

α α β ⋅

Exemplo 22: Sejam ( ) ( ){ } ( ) ( ){ }2 1 1 1 1 0 0 1 - , , , e , , ,β α= = (base cannônica do 2R ).

a) Determine a matriz de mudança de base

I

β

α .

b) Transforme o vetor ( )1 3u ,= , da base β para a base α . Resolução:

a) Inicialmente, como queremos tranformar no sentido de β α→ , devemos escrever os vetores da base α como combinação linear dos vetores da base β .

Os valores de a, b, c e d encontrados são, respectivamente os valores dos

elementos 11 21 12 22a a a e a, , da matriz

I

β

α Logo:

1 13 31 23 3

-I .

β

α

=

b) Para realizar a transformação, basta utilizar a relação,

u I u

β

α α β = ⋅

e utilizar o vetor

uβ

na forma matricial, logo:

1 113 3

1 2 33 3

- u

α

= ⋅

2373

- u

α

=

, ou ainda 2 73 3

u - .,α

=

Exemplo 23: Considere 3R com as operações usuais. Tomemos duas de suas bases, são elas: ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ){ }1 0 1 1 2 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 , , , , , , , , e , , ; , , , , ,α β= = .

220


a) Obtenha a matriz de mudança de base de α para β .b) Calcule as coordenadas do vetor ( )2 3 1u , ,= na base β .

Resolução:

a) Lembrando que como queremos transformar um vetor no sentido α β→ , devemos escrever os vetores de β como combinação dos de α . Assim, temos:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

a + b = 11 11,1,1 = a 1,0,1 + b 1,2,1 + c 0,0,1 2b = 1 a = , b = e c = 02 2

a + b + c = 1

d + e = 11,0,1 = d 1,0,1 + e 1,2,1 + f 0,0,1 2 e = 0 d = 1, e = 0

d + e + f = 1

⋅ ⋅ ⋅ ⇒ ⇒

⋅ ⋅ ⋅ ⇒ ⇒

( ) ( ) ( ) ( )

e f = 0

g + h = 11 11,1,0 = g 1,0,1 + h 1,2,1 + i 0,0,1 2h = 1 g = , h = e i = - 12 2

g + h + i = 0

⋅ ⋅ ⋅ ⇒ ⇒

e sendo assim, temos que

1 1 02 21 0 01 1 12 2

I

-

α

β

=

b) Utilizando

u I u

α

β β α = ⋅ , segue que

1 1 50 22 2 21 0 0 3 21 1 1 312 2 2

u = .

-

β

= ⋅

O que significa que, 5 322 2

u ., ,β

=

Caro(a) acadêmico(a), essa agora é com você!

A partir do Exemplo 15, obtenha a matriz de mudança de base de β para α e faça a transformação do vetor u = (1,2,-2).

NOTA

221


• Toda matriz m×nA poder ser utilizada para definir uma transformação n mT : →R R , onde a imagem ( )AT u é o produto da matriz m×nA , pelo vetor

coluna 1nu × .

• Dada uma transformação linear T U V: → , está associada uma única matriz. Onde para transformar um vetor a partir desta matriz, basta utilizar:

( )

T u = T u

α

β αβ ⋅

• As transformações n nT : →R R possuem várias aplicações na computação gráfica e no desenho gráfico, que são fortemente utilizados nos cursos de Engenharia, Computação, Design, entre outros. São algumas delas:

o Transformações de Reflexão. o Transformações de Projeção. o Transformações de Dilatação ou Contração. o Transformação de Rotação.

• Se α e β são bases conhecidas, podemos calcular ,

uα

quando conhecido

u

β , e vice-versa. Esta matriz será indicada por

u

α

β ou

I

β

α e será dada

por:

u = I u

α

β β α ⋅ ou ainda,

u = I u

β

α α β ⋅

RESUMO DO TÓPICO 2

222

AUTOATIVIDADE

1 Escreva as transformações lineares , determinadas, respectivamente, pelas matrizes:

A B C DT T T T, , ,

1 03 10 1

- A - -

=

a)

1 3 22 0 10 1 1

-

B - -

=

b)

0 2 3 1C - = c)

211

D-

=

d)

2 Considere a transformação linear T : ² ²→R R definida por ( ) ( )2 2T x y x y x y, , = + + . Determine a matriz de transformação linear com

relação à base canônica de 2� .

3 Com relação ao exercício anterior, transforme os vetores, por meio da matriz encontrada.

4 Considere a transformação linear T : ³ ³→R R definida por ( ) ( )T x y z x y x z y z , , , , .= + + + Determine a matriz de transformação linear

com relação à base canônica de 3� .

( )1 2 1v - ,=a)

( )2 0 3v - ,=b)

( )3 1 2v - - ,=c)


223

5 Com relação ao exercício anterior, transforme os vetores, por meio da matriz encontrada.

( )1 2 1 0v - - , ,=a)

( )2 1 1 4v - , ,=b)

( )3 1 2 1v - - , ,=c)

6 Seja 3 2T : →R R definida por ( ) ( )T x y z x y x y - z, , , = + + .

a) Calcule a matriz que representa T na base canônica.b) Calcule o núcleo da transformação. T é injetiva?c) Calcule a imagem da transformação. T é sobrejetiva?d) T é bijetiva?

7 Esboce a imagem do vetor v = (2,1), através de:

a) Reflexão em torno do eixo x. b) Reflexão em torno do eixo y.

8 Esboce a projecão do vetor v = (2,4)

a) Sobre o eixo X:b) Sobre o eixo Y:

9 Esboce a imagem do vetor v = (6,3), através de:

a) Contração de fator 1/2 na direção x.b) Dilatação de fator 2 na direção x.c) Contração de fator 1/3 na direção y.d) Dilatação de fator 3 na direção y.

10 Esboce a imagem do retângulo de vértices A(0,0) , B(6,0) , C(6,3) e D(0,3) , através de:

a) Contração de fator 1/3 na direção x. b) Dilatação de fator 2 na direção x.c) Contração de fator 1/2 na direção y.d) Dilatação de fator 3 na direção y.

224

11 Determine a matriz que gera um ponto do plano em torno da origem um ângulo de:

a) 450 b) - 600

12 Esboce a imagem do vetor:

a) v = (2,4) através de uma rotação de 900.b) v = (3, 3 ) através de uma rotação de - 300.

13 Sejam ( ) ( ){ } ( ) ( ){ }4 2 2 2 1 0 0 1- , , , e , , ,β α= = (base cannônica do 2� ).

a) Determine a matriz de mudança de base

I

β

α

b) Transforme o vetor ( )1 3u - ,= , da base β para a base α .

14 Considere 3� com as operações usuais. Tomemos duas de suas bases, são elas: ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ){ }3 0 3 3 6 3 0 0 3 1 1 1 1 0 1 1 1 0 , , , , , , , , e , , ; , , , , ,α β= =

a) Obtenha a matriz de mudança de base de α para β .b) Calcule as coordenadas do vetor ( )2 1 0u - , ,= na base β .

15 Sabendo que A = {(1,2),(- 3,- 5)} e B = {(1,1),(1,0)} são base do 2� , determine:

a) Bν , sabendo que 1 1A = - ( , )ν

b) Aν , sabendo que 2 1B = - ( , )ν

225

TÓPICO 3

AUTOVALORES E AUTOVETORES

UNIDADE 3

1 INTRODUÇÃO

Em muitos problemas, principalmente os encontrados nas áreas de Mecânica Quântica, Processamento de Imagens, Análise de Vibrações, Mecânica dos Sólidos e Estatística, onde são apresentados operadores lineares T V V: → , para os quais a equação ( )T u uλ= ⋅ , possuem soluções não nulas. O uso dos autovalores e autovetores é muito importante, por se tratar de uma possibilidade de encontrar mudanças de referencial que possibilitam identificar a relação entre figuras geométricas e suas equações no plano e no espaço.

Além disso, as aplicações dos autovalores e autovetores se ampliam para o estudo das matrizes. Em particular, sabemos que uma das aplicações deste estudo viabiliza a inversão e a diagonalização de matrizes.

2 DEFINIÇÃO

Seja Ŷ : → , uma transformação linear (operador linear). Se existirem 0v V com v e , λ∈ ≠ ∈

R , tais que ( )T u uλ= ⋅ , então λ é um autovalor e v é um autovetor de T associados à λ .

Observação: Note que λ pode ser o número 0, porém v não pode ser o vetor nulo.

Sendo assim, de acordo com Boldrini (1984, p. 87), no conceito de autovalor e autovetor estamos interessados em saber que vetores não nulos são levados a um múltiplo de si mesmo através de uma transformação. Neste caso, teremos ( )T v será um vetor na mesma direção de v .


226

( )T v

v( )T v = vλ ⋅

Na prática:

I) Seja 2 2T : →R R dado por ( ) ( )2 2T x y x y, ,= . Podemos escrevê-lo como ( ) ( )2T x y = x y, ,⋅ . Ou seja, neste caso 2λ = é um autovalor de T e qualquer

vetor ( ) 0x y, ≠

é um autovetor associado à 2λ = .

II) Seja 2 2T : →R R dado por ( ) ( )T x y x - y, ,= . Este caso possui dois autovalores:

a) Note que se ( ) ( ) ( )0 0 1 0T y = - y = - y, , ,⋅ . Portanto, 1 1 - λ = é um autovalor de T e todo vetor ( )0 y, com 0y ≠ é um autovetor de T.

b) Veja que se ( ) ( ) ( )0 0 1 0T x = x = x, , ,⋅ . Portanto, 2 1 λ = é um autovalor de T e todo vetor ( )0x, com 0x ≠ é um autovetor de T.

Interpretação Geométrica:

T(v)

T(u)

u

v

u é autovetor de T, pois ( ) R / T u = u .λ λ∃ ∈

v não é autovetor de T, pois não ( ) R / T v = λ∃ ∈

TÓPICO 3 | AUTOVALORES E AUTOVETORES

227

Exercício: Quais são as matrizes associadas às transformações lineares dos Itens I e II acima?

NOTA

3 AUTOVALORES E AUTOVETORES DE UMA MATRIZ

Inicialmente, devemos lembrar que toda transformação linear T V V: → está associada a uma matriz quadrada de mesma dimensão de V em relação à base canônica. Sendo assim, representando a matriz identidade como I , temos que:

( )

( )

000

T v v A v A v - v A v - I v A - I v

λ λ

λλλ

= ⋅ ⇔ ⋅ = ⋅

⇔ ⋅ ⋅ =⇔ ⋅ ⋅ ⋅ =

⇔ ⋅ ⋅ =

λ

A partir daí, sabe-se que o sistema homogêneo acima só admitirá várias soluções, se: ( ) 0A Idet λ− ⋅ =

Esta equação é denominada Polinômio Característico da Transformação. As raízes desta equação são os autovalores associados à transformação e às soluções da equação: ( ) 0A - I v λ ⋅ ⋅ = são os autovetores associados à .

Exemplo 24: Encontre os autovalores e autovetores do operador linear: ( ) ( )2 2 3 4 2T dada por T x y = - x y - x y: , , ,→ + +R R .

Resolução: Utilizando o polinômio característico, vamos encontrar os autovalores associados à transformação:

( )

( ) ( )2

0

3 4 1 00

1 2 0 1

3 4 00

1 2 0

3 40

1 2

3 2 4

2 0

A - I

- -

-

- - -

- -

- -

- -

- - -

- polinômio caracterís

det

det

det

det

λ

λ

λλ

λλ

λ λ

λ λ

⋅ = ⇒

⋅ = ⇒

= ⇒

= ⇒

⋅ + ⇒

+ = ⇒ tico de T .


228

Cujas raízes (e portanto, os autovalores) são 1 12 1 - e λ λ= = Agora, para cada um dos autovalores encontrados, existe(m) autovetor(es)

associado(s). Sabemos também que a expressão ( ) 0A - I v = λ ⋅ ⋅ calcula os autovetores de uma transformação, então, pelo que foi resolvido antes temos que:

üü

- - x =

- - y.

λλ

⋅

a) Substituindo 1 2 Ŷλ = na expressão acima, temos que:

ou seja, um sistema possível e indeterminado (infinitas soluções), o que nos faz concluir que os autovetores associados à 1 λ tem a forma: ( )4 0v y y com y, , = ≠ ,

ou ainda 04xv = x com x, ,

≠

.

( )( )

3 2 4 0 1 4 0 4 04

0 1 4 0 4 01 2 2- - - x - x - x y

= = x yy - y - x y-

- -

+ =

⋅ ⇒ ⋅ ⇒ ⇒ = + =

( )( )

3 2 4 0 1 4 0 4 04

0 1 4 0 4 01 2 2- - - x - x - x y

= = x yy - y - x y-

- -

+ =

⋅ ⇒ ⋅ ⇒ ⇒ = + =

3 1 4 0 4 4 0 4 4 01 2 1 0 1 1 0 0

- - x - x - x + y = = x = y

- - y - y - x + y

=⋅ ⇒ ⋅ ⇒ ⇒ =

( ) ( )0 0v = y y com y v x x com x, , ou , , .≠ = ≠

( ) ( )3 3 3 5 3T T x y z = x - y z - x y z x - y z: , , , , ,→ + + + +R R

3 1 11 5 11 1 3

- A = -

-

b) Substituindo 2 1 λ = na expressão acima, temos que:

que também é um sistema possível e indeterminado, o que novamente nos faz concluir que os autovetores associados à 2 λ tem a forma:

Exemplo 25: Determinar os autovalores e autovetores do operador linear:

( ) ( )0 0v = y y com y v x x com x, , ou , , .≠ = ≠

Resolução: Este exemplo é um operador em 3R , e exigirá um pouco mais de trabalho do que o exemplo anterior. Inicialmente, vamos representar o operador (transformação) na forma matricial.


229

( )3 1 1 1 0 0

0 1 5 1 0 1 0 01 1 3 0 0 1

3 1 1 0 01 5 1 0 01 1 3 0 0

- A - I = - - =

-

- - - -

- -

det det

det

λ λ

λλ

λ

⋅ ⇒ ⋅

⇒ +

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

3 2

0

3 1 11 5 1 0

1 1 3

3 5 3 5 3 3 0

11 36

=

- - - - =

- -

- - - - - - - + - =

- -

det

. .

λλ

λ

λ λ λ λ λ λ

λ λ λ

⇒

⇒

⇒ + + 36 0 =

O próximo passo, como já visto, é encontrar o polinômio característico e encontrar suas raízes (autovalores do operador):

Logo, os autovalores são: λ1 = 2, λ2 = 4 e λ3 = 5. Agora, para encontrar os autovetores basta substituí-los na expressão ( ) 0A - I v = . λ ⋅ ⋅

a) Para 1

1 1 1 0 02 1 3 1 0 3 0

1 1 1 0 0

- x x - y z = - y = - x y z =

- z x - y z = : , λ

+ = ⋅ ⇒ + + +

onde, desta

vez, resolvendo por escalonamento recorre que:1 1 1 1 1 1 1 0 11 3 1 0 2 0 0 1 0 01 1 1 0 0 0 0 0 0

- - - z - x e y =

-

~ ~

⇒ =

1

1 1 1 0 02 1 3 1 0 3 0

1 1 1 0 0

- x x - y z = - y = - x y z =

- z x - y z = : , λ

+ = ⋅ ⇒ + + +

2 2 0 ;0 2 .

⇒ + = ⇒ = −⇒ − − = ⇒ =

y z y zx y z x z

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

2

3 5 3 5 3 3 0

3 5 3 5 0

5 3 3 1 0

5 6 8 0

5 4 2 0

λ λ λ λ λ λ

λ λ λ λ

λ λ λ

λ λ λ

λ λ λ

⇒ − ⋅ − ⋅ − − − + − − − =

⇒ − ⋅ − ⋅ − − − =

⇒ − ⋅ − ⋅ − − =

⇒ − ⋅ − + =

⇒ − ⋅ − ⋅ − =


230

b) Para , onde,

resolvendo por escalonamento recorre que:

Logo, quaisquer vetor que possuir a forma v = (2z, –z, z) é um autovetor de λ1 = 2. Isto quer dizer que, qualquer vetor múltiplo de (2, –1, 1) é um autovetor associado ao autovalor 2.

Logo, quaisquer vetor que possuir a forma v = (z, 0, z) ou v = (x, 0, x) é um autovetor de λ2 = 4. Isto quer dizer que, qualquer vetor múltiplo de (1, 0 1) é um autovetor associado ao autovalor 4.

c) Para onde, desta vez, , onde,

resolvendo por escalonamento recorre que:

Logo, apenas o vetor nulo v = (0, 0, 0) é um autovetor de λ3 = 5.

Exemplo 26: Se ( ) 51 1 12

u v- , e , = =

são autovetores de T, com relação

aos autovalores 1 21 6e = - =λ λ respectivamente. Determine T(x,y) e a imagem do vetor v = (1,4) nesta transformação.

2

1 1 1 0 04 : 1 1 1 0 0

1 1 1 0 0λ

− − − − + = = − ⋅ = ⇒ − + + = − − − − =

x x y zy x y zz x y z

1 1 1 1 1 11 1 1 ~ 0 2 0

1 1 1 0 0 0

− − − − − − −

2 0 0;0 .

⇒ = ⇒ =⇒ − − + = ⇒ =

y yx y z x z

3

2 1 1 0 2 05 : 1 0 1 0 0

1 1 2 0 2 0λ

− − − − + = = − ⋅ = ⇒ − + = − − − − =

x x y zy x zz x y z

2 1 1 2 1 11 0 1 ~ 0 1 3

1 1 2 0 0 6

− − − − − − − − −

0.⇒ = = =x y z


231

( ) 1 0 1 01

0 1 1 0

1 0 1 00 1 1 0

1 1 01 1 0

11

a bc d

a bc d

a bc d

a bc d

- - - . . =

- - - . =

-

- . =

- -

-

⇒

⇒

+⇒ +

+ + +

0 11 1

0 1a b

b a e d cc d

- = = = -

- -

+ =⇒ ⇒ + + =

( )51 0 0

6 20 1 01

56 0 020 6 01

56 026 01

5 1525 62

a bc d

a bc d

a bc d

a b

c d

- . .

- . =

- . =

-

-

-

= ⇒ ⇒

⇒

+ +

5 150 5 52 15 60 5 2 26

2

a b a cb e dc d

=

= = - = - =

+ ⇒ ⇒ + +

+

Resolução: Inicialmente, neste exemplo, devemos construir a transformação linear que gera estes resultados citados. Para tanto, iremos descobrir os coeficientes dos componentes da transformação, e pelo fato de que trata-se de T(x,y), podemos associá-la com uma matriz 2x2, chamando seus elementos de a, b, c e d, respectivamente.

Sabemos que ( ) 0A I v - = λ ⋅ ⋅ , logo:

Para ( )1 1 1 1u = - e = - , , temos :λ

Para 2

56 12

u e ,λ = =

, temos:


232

5 71 15 14 42 25 71 6 7 22 2

a aa a

c cc c

= - =

- = - = =

+ + ⇒ = ⇒

+ ⇒ ⇒

Daí segue que das relações assumidas vêm:

Como a = 4 e c = 2, resta calcular que b = 5 e d = 1. Assim sendo, a matriz

da transformação é dada por 4 52 1

A

=

, e por consequência a transformação é ( ) ( )4 5 2T x y x y x y, = ,+ + .

Por fim, para calcular a imagem do vetor (1,4) nesta transformação, basta substituí-lo na fórmula encontrada, ou multiplicá-lo pela matriz correspondente. Vamos utilizar

o segundo processo: ( )4 5 1 2424 6

2 1 4 6 . = . O vetor transformado é v’ = , .

4 MULTIPLICIDADE DOS AUTOVETORES DE UMA TRANSFORMAÇÃO

Após entender como se dá o cálculo dos autovalores e autovetores associados a uma transformação, vamos aproveitar para apresentar dois conceitos muito importantes: o de multiplicidade algébrica e o de multiplicidade geométrica.

a) Chamamos de multiplicidade algébrica de um autovalor a quantidade de vezes que ele aparece como raiz do polinômio característico.

Por exemplo, na transformação ( ) ( )3 3 2 2 2T T x y z x y y z z: , , , , ,→ = + +R R recaímos no polinômio característico ( )3

2 0 - λ = , que gera em três raízes iguais (caro(a) acadêmico(a), por favor, verifique!), sendo ela 1 2 3 2 λ λ λ= = = onde podemos dizer que 2λ = é um autovalor com multiplicidade algébrica igual a 3.

b) Chamamos de multiplicidade geométrica de um autovalor λ , a dimensão do subespaço gerado pelos autovetores associados à λ .

Por exemplo, na transformação do Exemplo 25, para 1 2 λ = , encontramos os autovetores da forma ( ) ( )1 0 1 0 1v x x x= , ,- . , ,-= que pode ser escrito na forma de uma base [(1,0,-1)], que possui dimensão 1. E, desta forma, dizemos que o autovalor

1 2 λ = possui multiplicidade geométrica igual a 1.


233

5 MATRIZES SEMELHANTES E DIAGONALIZAÇÃO DE OPERADORES

As matrizes triangulares e matrizes diagonais são interessantes, pois seus autovalores são determinados diretamente. Portanto, seria agradável se pudéssemos relacionar uma matriz à outra matriz triangular ou diagonal de forma que ambas tivessem os mesmos autovalores. Sendo assim, vamos ao seu estudo.

5.1 MATRIZES SEMELHANTES

Definição: Sejam A e B, matrizes n n× . Dizemos que A é semelhante a B, e simbolizamos por A B~ , se existir P, uma matriz quadrada n n× , que admite inversa, tal que A P P B . = .

Exemplo 26: Verifique se as matrizes 1 2 1 00 1 2 1

A B

= e = - -

-

são semelhantes. (Dica: utilize a matriz 1 11 1

P-

=

para realizar a verificação).

Resolução: Vamos verificar o que foi solicitado, utlizando a definição, que diz que inicialmente a matriz P deve possuir inversa. Vamos verificar pelo cálculo de seu determinante.

1 11 1 2 0

1 1P

- det = det = =

+ >

logo, a matriz P possui inversa.

Agora, vamos verificar o fato que

Como os resultados foram iguais, constatamos que as matrizes A e B são semelhantes.

1 2 1 1 1 1 1 00 1 1 1 1 1 2 1

A P P B - -

. = . : . = - - -

⋅

1 2 1 1 1 1 1 00 1 1 1 1 1 2 1

A P P B - -

. = . : . = - - -

⋅

3 1 3 11 1 1 1

- - =

- - - -

5.2 DIAGONALIZAÇÃO

Para trabalhar com conceitos e aplicações de operadores lineares temos a melhor situação possível quando uma matriz quadrada é semelhante a uma matriz diagonal. Para uma matriz ser diagonalizável, como veremos logo a seguir, a possibilidade de isso ocorrer está fortemente relacionada com a semelhança de matrizes, bem como com os autovalores e autovetores da matriz.


234

Definição: Uma matriz A é diagonalizável se exite uma matriz diagonal D tal que A D~ , ou seja, existe P, uma matriz quadrada n n× , que admite inversa, tal que A P P D . = .

Exemplo 27: (Caro(a) acadêmico(a), este exemplo é para você verificar!) A

matriz 1 32 2

A

=

é diagonalizável, pois existe 1 31 2

P

= -

invertível

(verifique que 0Pdet ≠ ) e uma matriz diagonal 4 00 1

D-

=

, tal que 4 34 2

A P P D-

. = . =

(faça as multiplicações e comprove).

Lembre-se: O entendimento de todos os exemplos deste caderno exigem uma verificação dos cálculos por parte do(a) acadêmico(a), mesmo os que já estão resolvidos.

NOTA

No exemplo anterior, dizemos que P é a matriz que diagonaliza A, e a matriz D é sua forma diagonal. Vamos agora, apresentar um teorema que nos permite compreender como podemos encontrar as matrizes citadas.

Teorema: A matriz A n n× é diagonalizável, se, e somente se, a matriz A tiver n vetores LI.

Para explicar este teorema, temos que imaginar que A só será diagonalizável se as colunas da matriz P forem compostas por n autovetores linearmente independentes de A, e os elementos da diagonal de D forem os autovalores correspondentes aos autovetores.

Exemplo 28: Se possível, encontre a matriz P que diagonaliza os operadores lineares a seguir, bem como a sua forma diagonal.

a) ( ) ( )3 3 2 5 4T T x y z y z x y z: , , , = , , - → +R Rb) ( ) ( )3 3 3 3T T x y z x z x z x z: , , , = - , - , - → +R R

Resolução:

a) Primeiramente, vamos verificar se é possível realizar o processo de diagonalização, a partir do cálculo dos autovalores:


235

Vamos, agora, determinar os autovetores, utilizando a relação( ) 0A I v - = λ ⋅ ⋅ .

Para

o que implica em autovetores da forma ( ) ( )1 1 1x x x x, , . , ,= Ou seja, vetores múltiplos de (1,1,1).

Para

o que implica em autovetores da forma ( ) ( )2 4 1 2 4x x x x, , = . , , . Ou seja, vetores múltiplos de (1,2,4).

Ora, verificamos que não é possível existirem nestas condições três vetores LI para formarem a matriz P. E pelo teorema anterior, A não é diagonalizável.

üüü

A-

=

( )0 1 0 1 0 0

0 0 0 1 0 1 0 02 5 4 0 0 1

0 1 0 0 00 0 1 0 0 02 5 4 0 0

A Idet - = det - = -

- det - =

- -

λ λ

λλ

λ

⋅ ⇒ ⋅

⇒ +

( ) ( ) ( )3 2

1 2 3

0 1 00 0 1 02 5 4

4 2 5 0

4 5 2 01 2e

- det - =

- -

- . - . - - =

- - + = = = =

λλ

λ

λ λ λ λ

λ λ λλ λ λ

⇒

⇒ +

⇒ +⇒

1 2

1 1 0 0 01 0 1 1 0 0

2 5 3 0 2 5 3 0

x x yy y z x y zz x y z

- - = : - = - =

- - =

λ λ

+ = = ⋅ ⇒ + ⇒ = = +

3

2 1 0 0 2 02 0 2 1 0 2 0 2 4

2 5 2 0 2 5 2 0

x x yy y z y x e z xz x y z

- - = : - = -

- - λ

+ = ⋅ ⇒ + = ⇒ = = + =

Representando o operador na forma matricial, segue:

Após este processo, vamos determinar e resolver o polinômio característico:


236

Observação: 1 2 1 λ λ= = tem multiplicidade algébrica igual a 2 e 3 2 λ = tem multiplicidade algébrica igual a 1. Cada autovalor gera somente um autovetor, portanto, a multiplicidade geométrica é 1, para qualquer autovalor.

a) Vamos calcular os autovalores:

Representando o operador na forma matricial: 1 0 13 0 31 0 1

A- - -

=

Após este processo, vamos determinar e resolver o polinômio característico:

( )1 0 1 1 0 0

0 3 0 3 0 1 0 01 0 1 0 0 1

1 0 1 0 03 0 3 0 01 0 1 0 0

A I-

det - = det - - = -

- - det - -

- -

λ λ

λλ

λ

⋅ ⇒ ⋅

⇒ +

( ) ( ) ( )3 2

0

1 0 13 0 3 01 0 1

1 1 0

2 0

=

- - det - - =

- -

- . - . - - =

λλ

λ

λ λ λ λ

λ λ

⇒

⇒ +

⇒ + =

1 2 30 2e - λ λ λ⇒ = = =

Determinando os autovetores, utilizando a relação ( ) 0A I v - = λ ⋅ ⋅

1 2

1 0 1 0 00 3 0 3 0 3 3 0

1 0 1 0 0

x x zy x z x z e y yz x z

- - : - = - = .

- - λ λ

+ = = = ⋅ ⇒ = ⇒ = =

3

1 0 1 0 02 3 2 3 0 3 2 3 0 3

1 0 1 0 0

x x zy x y z x z e y zz x z

- : - = - - -

λ

+ = = ⋅ ⇒ + = ⇒ = = + =

Para

o que implica em autovetores da forma ( ) ( ) ( )1 0 1 0 1 0x y x x y, , . , , . , ,= + . Ou seja, vetores de combinação de (1,1,1) e (0,1,0).

Para

Ou seja, vetores de combinação de (1, 0, 1) e (0, 1, 0).


237

o que implica em autovetores da forma ( ) ( )3 1 3 1z z z z- , - , = . - , - , . Ou seja, vetores múltiplos de ( - 1 , - 3 , 1 ).

De fato, percebe-se que encontramos três vetores LI. E assim sendo, podemos formar a matriz P que diagonaliza A. Basta utilizar os autovetores encontrados como colunas de P. Os vetores encontrados foram

( ) ( ) ( )1 2 31 01 0 1 0 1 3 1v v e v, , , , - , - ,= = = e assim sendo:

1 0 10 1 31 0 1

P - -

=

, onde P é a matriz que diagonaliza A. Agora, a forma diagonal

D, como colocado anteriormente, é formada pelos autovalores em sua diagonal.

Como 1 2 30 2e λ λ λ= = = , segue que: 0 0 00 0 00 0 2

D -

=

Observação: 1 2 0 λ λ= = tem multiplicidade algébrica igual a 2 e tem multiplicidade algébrica igual a 1. Temos que, 1 2 0 λ λ= = gera dois autovetores LI, portanto, possui multiplicidade geométrica igual a 2, enquanto que 3 2 - λ = que gera apenas um autovetor, tem multiplicidade geométrica 1.

Um resultado importante, que o item b, do exemplo acima nos traz, é o Teorema da Diagonalização, que formaliza os resultados nele encontrados. Por favor, caro(a) acadêmico(a), verifique se os itens (a), (b) e (c) do teorema a seguir condizem com o apresentado neste item b.

Teorema da Diagonalização

Seja A(nxn) com n autovalores distintos (não necessariamente distintos entre si). São equivalentes os enunciados:

a) A é diagonalizável. b) A união de todos os autovetores gerados pelos autovalores contém n vetores

LI. c) A multiplicidade algébrica de cada autovalor é igual a sua multiplicidade

geométrica.


238


Um pouco da história da Álgebra Linear – Contribuição dos grandes matemáticos

A teoria axiomática dos espaços vetoriais é um desenvolvimento recente na matemática e teve uma de suas origens na resolução de sistemas lineares. Giuseppe Peano (1858-1952) deu a primeira definição axiomática de espaço vetorial em 1888, mas, a teoria de espaços vetoriais não foi desenvolvida antes de 1920. Até a metade do século XVIII nada de substancial ocorreu com a álgebra linear.

Um assunto relevante cujas questões levaram ao desenvolvimento da teoria de sistemas lineares que por sua vez levaram ao desenvolvimento da teoria de espaços vetoriais é o estudo das curvas algébricas. Duas proposições referentes às curvas algébricas eram bem conhecidas, embora tenham sido provadas somente parcialmente até o começo do século XVIII:

I) “Duas curvas algébricas distintas de ordens m e n, respectivamente, têm mn pontos em comum”.

Sabe-se que estes pontos podem ser múltiplos, complexos ou infinitos, mas, os matemáticos da época também conheciam exemplos em que estes pontos eram todos simples e reais.

II) “Para determinar uma curva de ordem n são necessários e suficientes n(n + 3)/2 pontos”.

Esta segunda proposição leva a um paradoxo, pois quando n é maior que 2, n(n + 3)/2 ≤ n², então parece que duas curvas algébricas podem ter mais pontos em comum do que é suficiente para determinar cada uma delas. Colin Mclaurin (1698-1746) em 1720 foi o primeiro a identificar este paradoxo e Cramer o reformulou em 1750.

O ano de 1750 foi a data de publicação de dois dos trabalhos mais importantes na história do conceito de espaços vetoriais. Gabriel Cramer (1704-1752), escreveu o primeiro deles, intitulado “Introduction à l’analyse des courbes algébriques”, onde ele preparou a estrutura para a teoria de determinantes e Leonhard Euler (1707-1783) escreveu o segundo intitulado “Sur une contradiction apparente dans la doctrine des lignes curbes”, que tem relação com o paradoxo de Cramer e também está relacionado com as curvas algébricas. Neste trabalho, Euler identificou a natureza do problema. Depois de uma análise cuidadosa da situação, ele explicou que em alguns casos, a proposição (2) pode não ser verdadeira, quando n equações não são suficientes para determinar n incógnitas. Ele deu exemplos do que hoje é conhecido como sistemas indeterminados de equações lineares, ou seja, deu exemplos de sistemas de equações de curvas algébricas que não possuem solução, pois uma ou mais equações são dependentes das outras.


239

Euler foi um dos primeiros a evidenciar a importância da dependência linear, embora seu objetivo fosse dar soluções de sistemas lineares através do processo de substituição e eliminação, que ele ilustrou com exemplos, o que é diferente da definição moderna de dependência linear. Apesar das ideias de Euler constituirem as bases para abordar as noções de dependência e posto, porém, estas foram obscurecidas pelo trabalho de Cramer.

O conceito de dependência de equações num sistema linear foi rapidamente relacionado à anulação do determinante de um sistema, e foi a partir daí que se desenvolveu a ideia de “menor” (subdeterminante) e o fato de que o tamanho de um menor não nulo maximal determina o número Máximo de soluções independentes. Henry J. S. Smith (1826-1883), em um artigo de 1861, foi o primeiro a tratar esta ideia e com seu enfoque teórico marcou uma sutil, mas decisiva mudança, pois ele não queria dar modos de solucionar sistemas de equações; ele queria estudar as bases teóricas do problema.

Ferdinand Georg Frobenius (1849-1917), em um trabalho de 1875 intitulado “Über das Pfaffsche Problem” deu uma definição de independência para equações e n-uplas sem o uso de determinantes que é usada até hoje. Frobemenius também preparou a base para as noções de dualidade e invariância quando considerou n-uplas e equações como objetos similares, que podem ser vistos de dois ângulos diferentes. Dentro da teoria de determinantes, foi com Frobenius que o conceito de posto alcançou a maturidade (foi ele quem usou o nome posto pela primeira vez).

ÁLGEBRA LINEAR, TRANSFORMAÇÕES LINEARES E MATRIZES

Leonhard Euler (1707-1783) publicou, em 1770, um tratado intitulado “Problem Algebricum ob Affectiones Prorsus Singulares Memorabile” onde estudava quadrados de números que similares aos quadrados mágicos. Ele escreveu:

“Sejam A, B, C, D, E, F, G, H, I, que verificam as seguintes condições:

1) A2²+ B² + C² = 1 2) D² + E² + F² = 1 3) G² + H² + I² = 1 4) AB + DE + GH = 0 5) AC + DF + GI = 06) AB + DE + GH =0 7) A2 + D2 +G2 = 1 8) B2 + E2 + H2 = 19) C2 + F2 + I2 = 110) AD + BE + CF = 011) AG + BH + CI = 012) DG + EH + FI = 0


240

Ele então percebeu que estas 12 condições são equivalentes a seguinte transformação ortogonal: X = Ax + By + Cz;

Y = Dx + Ey + Fz;Z = Gx + Hy + Iz;o que é equivalente à afirmação: X² + Y² + Z² = x² + y² + z²

Então, mostrou que as seis primeiras relações implicam nas seis últimas. Euler não se preocupou com a questão da independência destas equações, pois seu raciocínio era intuitivo, mas mostrou que n² coeficientes têm n(n + 1)/2 condições e que essa transformação ortogonal irá depender de n(n - 1)/2 parâmetros. Assim sendo, Euler caracterizou as transformações ortogonais para n = 2 e 3, mas, a principal contribuição de Euler para o avanço deste conceito foi que ele não se limitou a n = 3. Seu raciocínio puramente algébrico permitiu que ele obtivesse soluções para n = 4 e 5 e generalizasse para todo valor de n. Isto não ocorria na geometria, pois resolver essas equações para n maior que três significava se aventurar por espaços de dimensão maior que três.

Joseph Louis Lagrange (1736-1813) entre 1773 e 1775, em seu “Recherche d’Arithmétique” enquanto estudava as propriedades dos números, que são a soma de dois quadrados, foi levado a estudar o efeito de transformações lineares com coeficientes inteiros numa forma quadrática de duas variáveis. Ele estabeleceu o fato de que o discriminante da nova forma quadrática é o produto do antigo discriminante pelo quadrado de uma quantidade que era conhecida como o determinante da transformação linear.

Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855) publicou, em 1798, “Disquisitiones Arithmeticae”, estudou a mesma questão com duas e três variáveis. Ele apresentou uma notação similar a da matriz que caracteriza a transformação linear. Além disso, estabeleceu a fórmula e uma notação simbólica para a composição de duas transformações lineares e também para o produto, o que marca um passo fundamental em direção ao conceito de matriz.

Ferdinand Gotthold Max Eisenstein (1823-1852), em 1844, fez uma das mudanças mais importantes no tratamento de operações com matrizes, que foi usar uma letra para se referir a matrizes e para descrever suas relações algébricas. Além disso, ele assinalou a não comutatividade do produto, que era conhecida, mas era tratada como um processo local não como uma operação algébrica. O que permitiu essa mudança foi a conexão das matrizes com vários objetos e também descobertas recentes como os quatérnios que alargaram o campo da álgebra.


241

Arthur Cayley (1821-1895), em 1858, publicou um tratado famoso intitulado “Memoir on the Theory of Matrices”, muitos autores atribuem a este trabalho de Cayley a definição de matriz, mas segundo Jean-Luc Dorier [2], neste trabalho, Cayley detalha e cuidadosamente reúne todos os resultados descobertos nas duas décadas anteriores, fazendo assim o estudo das operações algébricas com matrizes alcançarem o primeiro estágio de amadurecimento. Em 1846, Cayley publicou um outro tratado, intitulado “Sur Quelques Résultats de Géometrié de Position” onde ele deu um passo decisivo na direção de generalizar os espaços de dimensão maior que três, pois neste trabalho ele mostrou que se podem obter resultados em geometria tridimensional trabalhando-se com espaços de dimensão maior que três. Esse resultado poderia ter sido obtido por Möbius, mas ele adotou uma postura comum à sua época e descartou essa possibilidade.

FONTE: Universidade do Estado do Rio de Janeiro, A história da álgebra Linear. Disponível em: <http://www.fat.uerj.br/intranet/disciplinas/Algebra%20Linear>. Acesso em: 6 fev. 2016.

242


• No conceito de autovalor e autovetor estamos interessados em saber que vetores não nulos são levados a um múltiplo de si mesmos através de uma transformação.

• A equação ( ) 0A Idet - = λ ⋅ , é denominada Polinômio Característico da Transformação. As raízes desta equação são os autovalores associados à transformação.

• As soluções da equação ( ) 0A I v - = , λ ⋅ ⋅ são os autovetores associados à λ.

• Chamamos de multiplicidade algébrica de um autovalor a quantidade de vezes que ele aparece como raiz do polinômio característico.

• Chamamos de multiplicidade geométrica de um autovalor λ , a dimensão do subespaço gerado pelos autovetores associados à λ.

• Dizemos que A é semelhante a B, e simbolizamos por A B~ se existir P, uma matriz quadrada n n× que admite inversa, tal que A P P B . = . .

• Uma matriz A é diagonalizável se exite uma matriz diagonal D tal que A D~ ou seja, existe P, uma matriz quadrada n n× , que admite inversa, tal que A P P D . . = .

RESUMO DO TÓPICO 3

243

AUTOATIVIDADE

1 Determine, se existirem, os autovalores e autovetores das seguintes transformações lineares:

a) T: R2 → R2, T(x,y) = (x + 2y, -x + 4y)

b) T: R2 → R2, T(x,y) = (2x + 2y, x + 3y)

c) T: R2 → R2, T(x,y) = (5x - y, -x + 3y)

d) T: R2 → R2, T(x,y) = (y, -x)

2 Indique as multiplicidades algébrica e geométrica dos itens da questão 1.

3 Dada a matriz a seguir, ache os autovalores, os autovetores, a multiplicidade algébrica e geométrica, e verifique se ela pode ser diagonalizável.

1 3 33 5 36 6 4

A - - -

=

4 Demonstre como uma matriz A e sua transposta AT possuem os mesmos autovalores.

5 , são autovetores de T, com relação aos autovalores 1 21 0e = - =λ λ Determine T(x,y).

6 Os vetores v1 = (1,1) e v2 = (2,-1) são vetores próprios de um operador linear

T: R2 → R2, associados a 1 = 5 λ e 2 1 - λ = , respectivamente. Determinar a imagem do vetor v = (4,1) por esse operador.

7 (ENADE) Uma transformação linear 2 2T : →R R faz uma reflexão em torno do eixo X, conforme a figura, podemos afirmar que a transformação T:

( ) ( )2 5 3 7u v, - e - ,= =Se


244

T(u)

u

y

x2

2

- 2

- 2 4

a) ( ) É dada por ( ) ( )T x y x y, - ,=b) ( ) Tem autovetor (0,-1) com autovalor associado igual a 2.c) ( ) Tem autovetor (2,0) com autovalor associado igual a 1.d) ( ) Tem autovetor de multiplicidade 1.e) ( ) Não é inversível.

8 Determine os autovalores e autovetores, se existirem, do operador linear ( )T x y, obtido quando se faz uma reflexão em torno do eixo X, e em seguida

uma dilatação de 2 vezes.

9 Verifique se as matrizes a seguir são diagonalizáveis. Caso forem, determine a matriz que a diagonaliza e a forma diagonal.

a) 2 10 1

A

=

b) 1 0 07 1 04 3 1

B

- -

=

10 Determine uma matriz P invertível, que diagonaliza o operador linear ( ) ( )7 2 2 6 2 2 5T x y z x y x y z y z, , - , - - , - = + + bem como determine sua

forma diagonalizada.

11 Considere a matriz 0 1

1A

m m-

= +

, uma representação de um operador

linear T, onde m é um número real. a) Determine a equação que gera o polinômio característico de A.b) Calcule através deste polinômio característico os autovalores associados.c) Para quais valores de m, o operador é diagonalizável.

245

REFERÊNCIAS

ANTON, Howard; RORRES, Chris. Álgebra Linear com Aplicações. 8. ed. Porto Alegre: Bookman, 2001.

BOLDRINI, J. L.; COSTA, S. I. R.; FIGUEIREDO, V. L.; WETZLER, H. G. Álgebra linear. São Paulo: Harbra, 1980.

BOLDRINI, José Luiz. Álgebra Linear, 3. ed. São Paulo: Harbra, 1984.

CALLIOLI, C. A; COSTA, R. C. F; DOMINGUES, H. H. Álgebra linear e aplicações. 6. ed. São Paulo: Atual, 1990.

DANTE, Luiz Roberto. Matemática: volume único: contexto & aplicações: Ensino Médio. 3. ed. São Paulo: Ática, 2005.

FACCHINI, Walter. Matemática para a escola de hoje: volume único. São Paulo: FTD, 2006.

GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto; GIOVANNI JR., José Ruy. Matemática Fundamental: uma nova abordagem. São Paulo: FTD, 2002.

LIMA, Elon L. Álgebra Linear. Rio de Janeiro: IMPA/CNPq, 1995.

LIPSCHUTZ, Seymour. Álgebra Linear, 3. ed. São Paulo: Makron Books, 1994.

PAIVA, Manoel. Matemática: 2. 2. ed. São Paulo: Moderna, 2013.

STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Álgebra Linear. 2. ed. São Paulo: Pearson Makron Books, 1987.

STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Álgebra Linear. 2. ed. São Paulo: McGraw-Hill, 1987.

STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Geometria Analítica I. 2. ed. São Paulo: Pearson Makron Books, 1987.

Prof.ª Prof. Leonardo Garcia dos Santos Prof. Luiz Carlos ...

Documents

Transcript of Prof.ª Prof. Leonardo Garcia dos Santos Prof. Luiz Carlos ...