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Distribuicoes de probabilidade


Professora Ana Hermınia Andrade

Universidade Federal do AmazonasFaculdade de Estudos Sociais

Departamento de Economia e Analise

Perıodo 2016.2


Modelos de distribuicao

Para utilizar a teoria das probabilidades no estudo de um fenomenoconcreto, devemos encontrar um modelo probabilıstico adequado atal fenomeno. Por modelo probabilıstico para uma v.a Xentendemos uma forma especıfica de funcao de distribuicao deprobabilidade que reflita o comportamento de X .

Nesse processo de escolha utilizamos, em muitas situacoes, algummodelo classico. Nos Estudaremos os modelos discretos: Bernoulli,Binomial e Poisson e o modelo continuo: Normal.


Distribuicao Bernoulli

Na pratica muitos experimentos admitem apenas dois resultados.

Exemplo

1 Uma peca e classificada como boa ou defeituosa;

2 Cara ou coroa no lancamento de uma moeda;

3 Um servidor de internet esta ativo ou nao ativo;

4 Houve falha ou nao na transmissao de um arquivo;

5 O resultado de um exame medico foi positivo ou negativopara deteccao de uma doenca.



Seja X uma variavel aleatoria com dois resultados possıveis: 1se ocorrer sucesso e 0 se ocorrer fracasso;

Associaremos p, a probabilidade de sucesso (evento que nosinteressa) e 1− p, a probabilidade de fracasso;

Entao X uma v. a. com distribuicao Bernoulli e sua funcao deprobabilidade e dada por:

xi 0 1

p(xi ) 1− p p

ou P(X = xi ) = pxi (1− p)1−xi .


Exemplo

Uma lampada e escolhida ao acaso. Considere: X = A lampada edefeituosa (sucesso).

X =

{0 se a lampada nao e defeituosa1 se a lampada e defeituosa

xi 0 1

p(xi ) 4/7 3/7



Notacao: X ∼ Bernoulli(p), indica que a v.a X temdistribuicao de Bernoulli com parametro p.

Se X ∼ Bernoulli(p) pode-se mostrar que:

E(X ) = p e Var(X ) = p(1− p) = pq.

Observacao

Repeticoes independentes de um ensaio de Bernoulli dao origem aomodelo Binomial.


Distribuicao Binomial

Considere a repeticao de n ensaios de Bernoulli, sob asmesmas condicoes.

Considere todos os ensaios independentes;

A probabilidade de sucesso p e fracasso 1− p se mantemconstante em todos os ensaios.

A variavel aleatoria X = numero de sucessos nas n realizacoestem distribuicao Binomial.



Considere 3 ensaios de Bernoulli, n = 3.

P(defeituosa)= p = 3/7

P(perfeita)= (1− p) = 4/7

Seja X = o numero de defeituosas

1 O experimento consiste de tres ensaios de Bernoulli identicos;

2 Os ensaios sao independentes.

3 As probabilidades p e (1-p) sao as mesmas em cada ensaio;

4 A v.a. X tem distribuicao Binomial.



X = o numero de defeituosas

n = 3⇒ X = {0, 1, 2, 3}P(D) = p = 3/7

P(P) = 1− p = 4/7

P(X = 0) = P(PPP)

P(X = 1) = P(PPD) + P(PDP) + P(DPP)

P(X = 2) = P(DDP) + P(DPD) + P(PDD)

P(X = 3) = P(DDD)



P(X = 1) = P(PPD) + P(PDP) + P(DPP)

=4

7· 4

7· 3

7+

4

7· 3

7· 4

7+

3

7· 4

7· 4

7

= 3×(

3

7· 4

7· 4

7

)=

(3

1

)(3/7)1(4/7)2

P(X = 2) =

(3

2

)(3/7)2(4/7)1

P(X = 3) =

(3

3

)(3/7)3(4/7)0

P(X = 0) =

(3

0

)(3/7)0(4/7)3



Considere a repeticao de n ensaios de Bernoulli independentes etodos com a mesma probabilidade de sucesso p. A v.a. que contao numero total de sucessos nos n ensaios de Bernoulli temdistribuicao Binomial com parametros n e p e sua funcao deprobabilidade e dada por:

P(X = x) =

(n

x

)px(1− p)n−x , x = 0, 1, . . . , n

em que

(n

x

)=

n!

x!(n − x)!e lembre-se que 0! = 1.



Notacao

X ∼ Binomial(n, p) indica que v.a. X tem distribuicao Binomialcom parametros n e p.

A esperanca e a variancia de X sao:

E(X ) = np

Var(X ) = np(1− p)



Considere uma loja de roupas que receba 3 clientes:

p = o cliente faz compra = 0, 30

(1− p) = o cliente nao faz compra = 0, 70

X : numero de clientes que compram

x p(x)

0 0, 3431 0, 4412 0, 1893 0, 027

P(X = 0) =

(3

0

)(0, 3)0(0, 7)3 = 0, 343

P(X = 1) =

(3

1

)(0, 3)1(0, 7)2 = 0, 441

P(X = 2) =

(3

2

)(0, 3)2(0, 7)1 = 0, 189

P(X = 3) =

(3

3

)(0, 3)3(0, 7)0 = 0, 027


Exemplo

O time Sport Clube do Recife tem 1/4 de probabilidade de perdersempre que joga em Recife. Se o time jogar 5 partidas, calcule aprobabilidade:

a) do time perder nenhuma partida.

b) do time perder exatamente 3 partidas.

c) do time perder mais de 3 partidas.

d) do time perder pelo menos uma partida.

e) Se o time jogar 30 partidas, em quantos partidas se esperaque o time perca?


Exemplo

X = no de partidas que o time perdeu em casa.p = P(perder)= 1/4 n = 5 partidasX ∼ Binomial(5, 1/4)

a) P(X = 0) =(5

0

) (14

)0 (34

)5= 0, 2373

b) P(X = 3) =(5

3

) (14

)3 (34

)2= 0, 2637

c) P(X > 3) = P(X = 4)+P(X = 5)

=(5

4

) (14

)4 (34

)1+(5

5

) (14

)5 (34

)0= 0, 0156

d) P(X ≥ 1) = 1 - P(X < 1) = 1 - P(X = 0)= 1− 0, 2373 = 0, 7627

e) E(X ) = np E(X ) = 30 ∗ 14


Distribuicao de Poisson

Representa a distribuicao de probabilidade de uma variavelaleatoria que registra o numero de ocorrencias em um intervalo detempo ou espaco especıficos.

Carros que passam por um cruzamento por minuto, duranteuma certa hora do dia.

Erros tipograficos por pagina, em um material impresso.

Defeitos em uma peca fabricada por unidade (m2, m, etc).

Lampadas queimadas em uma cidade por dia.

Problemas de filas de espera.



Se X uma variavel aleatoria que registra o numero de ocorrenciasem um intervalo especıfico e a probabilidade de uma ocorrencia eindependente e a mesma para quaisquer dois intervalos de tempo,entao a v.a. X tem distribuicao de Poisson com parametro λ e suafuncao de probabilidade e dada por:

P(X = x∣∣λ) =

λxe−λ

x!

λ = valor esperado ou numero medio de ocorrencias em umdado intervalo.

e = 2, 71828



Notacao: X ∼ Poisson(λ) indica que v.a. X tem distribuicaoPoisson com parametro λ.

Uma variavel aleatoria de Poisson nao tem limite superior.X = 0, 1, 2, 3, . . .

P(x∣∣λ) = a probabilidade de x ocorrencias em um intervalo

especıfico, considerando λ o numero medio de ocorrencias emtal intervalo.

A esperanca e a variancia de X sao:

Media: E(X ) = λ

Variancia: Var(X ) = λ


Exemplo

Em media ha 2 chamadas por hora em um certo telefone. Calculea probabilidade de:

a) receber nenhuma chamada em 1 horas.

b) receber uma chamada em 1 horas.

c) receber uma chamada em 2 horas.

d) receber no maximo 1 chamadas em 2 horas.

e) receber pelo menos 1 chamadas em 2 horas.


Exemplo

X = numero chamadas por hora em um certo telefoneλ = 2 chamadas por hora

a) P(X = 0∣∣λ = 2) = 20e−2

0! = 0, 1353

b) P(X = 1∣∣λ = 2) = 21e−2

1! = 0, 2706

c) P(X = 1∣∣λ = 4) = 41e−4

1! = 0, 0732

d) P(X ≤ 1∣∣λ = 4) = P(X = 0

∣∣λ = 4) + P(X = 1∣∣λ = 4)

= 40e−4

0! + 41e−4

1! = 0, 0183 + 0, 0732 = 0.0915

e) P(X ≥ 1∣∣λ = 4) = 1− P(X < 1

∣∣λ = 4)= 1− P(X = 0

∣∣λ = 4) = 1− 0, 0183 = 0, 9817


Distribuicao Normal


Motivacao: Distribuicao Normal

Exemplo

Observamos o peso (kg) de 1500 pessoas adultas selecionadas aoacaso em uma populacao.O histograma e o seguinte:



A analise do histograma indica que:

a distribuicao dos valores e aproximadamente simetrica emtorno de 70kg;

a maioria dos valores (88%) encontra-se em torno da media,no intervalo (55; 85);

a proporcao das alturas vai diminuindo a medida que osvalores se afastam da media. Existe apenas uma pequenaproporcao de valores abaixo de 48kg (1, 2%) e acima de 92kg(1%).



Vamos definir a variavel aleatoria:

X = peso, em kg, de uma pessoa adulta escolhida ao acaso dapopulacao.

Qual a distribuicao de probabilidade de X?

A curva contınua denomina-se curva Normal.


Distribuicao Normal

A distribuicao Normal e uma das mais importantesdistribuicoes contınuas de probabilidade.

Muitos fenomenos aleatorios comportam-se de forma proximaa essa distribuicao. Exemplos:

1 Altura;2 Pressao sanguınea;3 Peso.

Pode ser utilizada para calcular, de forma aproximada,probabilidades para outras distribuicoes, como por exemplo,para a distribuicao Binomial.


Distribuicao Normal

Nem todos os fenomenos se ajustam a distribuicao Normal.

Exemplo

Y = Duracao, em horas, de uma lampada.

A distribuicao de Y deve ser assimetrica. Em que, a grandeproporcao de valores esta entre 0 e 500 horas e poucos valoresacima de 1500 horas.


Distribuicao Normal

Uma variavel aleatoria X tem distribuicao Normal comparametros µ e σ2 se sua funcao densidade de probabilidade edada por:

f (x) =1

σ√

2πe

− 12 ( x−µ

σ )2

Campo de variacao: −∞ < X < +∞;

E(X ) = µ;

Var(X ) = σ2 (e portanto, DP(X ) = σ).


Distribuicao Normal

Notacao

X ∼ N(µ, σ2

)indica que v.a. X tem distribuicao Normal com

parametros µ e σ2.

Propriedades

E simetrica em torno da media µ;

A media e a mediana sao coincidentes;

A area total sob a curva e igual a 1;

x = µ e ponto de maximo de f (x);

f (x)→ 0 quando x → ±∞.


Distribuicao Normal Padrao

Se µ = 0 e σ2 = 1, a distribuicao e chamada de distribuicaonormal padrao e a funcao de densidade de probabilidade reduz-sea:

f (z) =1√2π

exp

{−z2

2

}ou seja, Z ∼ N (0, 1).


Influencia de µ na curva da Distribuicao Normal

Curvas normais com mesma variancia, porem com mediasdiferentes (µ2 > µ1).


Influencia de σ2 na curva da Distribuicao Normal

Curvas normais com mesma media, porem com varianciasdiferentes (σ2

2 > σ21).


Calculo das Probabilidades

P(a < X < b) = area sob a curva e acima do eixo horizontal (X )entre a e b.

Problema: O calculo das integrais da funcao de densidadenormal nao tem solucao fechada.


Calculo das Probabilidades

Os calculos dessas areas (probabilidades) ja foram obtidosnumericamente e registrados em tabelas.

Pergunta

Se f (x) depende de µ e σ2, entao temos disponıveis umainfinidade de Tabelas, uma para cada par µ e σ2??


Uso da Tabela Normal Padrao

Essas probabilidades que estao registradas em tabelas sao paravariaveis que tem distribuicao normal padrao (Z ∼ N (0, 1)).

Essa e a area fornecida pela tabela e e denotada por P(Z ≤ z).


Exemplo

Calcular P(Z ≤ 0, 32).


Exemplo

P(Z ≤ 0, 32) = 0, 6255.


Exemplo

P(Z ≤ −1, 3) = 0, 0968.


Exemplo

P(Z ≥ 1, 5)


Exemplo

P(Z ≥ 1, 5) = 1− P(Z < 1, 5)

= 1− 0, 9332

= 0, 0668

ouP(Z ≥ 1, 5) = P(Z ≤ −1, 5) = 0, 0668

obs: P(Z ≥ z) = P(Z ≤ −z), pela simetria


Exemplo

P(0 < Z ≤ 1, 71)


Exemplo

P(0 < Z ≤ 1, 71) = P(Z ≤ 1, 71)− P(Z < 0)

= 0, 9564− 0, 5

= 0, 4564

obs: P(Z < 0) = P(Z > 0) = 0, 5, pela simetria


Exemplo

P(1, 32 < Z ≤ 1, 79)


Exemplo

P(1, 32 < Z ≤ 1, 79) = P(Z ≤ 1, 79)− P(Z < 1, 32)

= 0, 9633− 0, 9066

= 0, 0567


Exemplo

P(−1, 5 < Z < 1, 5)


Exemplo

P(−1, 5 < Z < 1, 5) = P(Z < 1, 5)− P(Z < −1, 5)

= 0, 9332− 0, 0668

= 0, 8664

ou

P(−1, 5 < Z < 1, 5) = 1− 2× P(Z < −1, 5)

= 1− 2× 0, 0668

= 0, 8664

Observacao

P(Z > 1, 5) = P(Z < −1, 5), pela simetria


Exemplo

P(−1, 32 < Z < 0)


Exemplo

P(−1, 32 < Z < 0) = P(Z < 0)− P(Z < −1, 32)

= 0, 5− 0, 0934

= 0, 4066


Exemplo

P(−2, 3 < Z < −1, 49)


Exemplo

P(−2, 3 < Z <− 1, 49) =

= P(Z < −1, 49)− P(Z < −2, 3)

= 0, 0681− 0, 0107

= 0, 0574


Exemplo

P(−1 < Z < 2)


Exemplo

P(−1 < Z < 2) = P(Z < 2)− P(Z < −1)

= 0, 9773− 0, 1587

= 0, 8186


Um problema inverso

Em alguns momentos nos sabemos a probabilidade deocorrencia de determinado evento e estamos interessados emsaber quem e esse evento.

A seguir veremos como fazemos para resolver esse tipo desituacao.


Exemplo

Como encontrar o valor z da distribuicao N (0, 1), tal queP(Z ≤ z) = 0, 975?


Exemplo


Exemplo

P(Z ≤ z) = 0, 975

Pela tabela, z = 1, 96.


Exemplo

Como encontrar o valor z da distribuicao N (0, 1) tal queP(Z ≤ z) = 0, 10?


Exemplo

P(Z ≤ z) = 0, 10

Pela tabela, z = −1, 28.


fExemplo

Qual o valor z da distribuicao N (0, 1) tal queP(0 < Z ≤ z) = 0, 4975?


Exemplo

Note que

P(Z < z) = P(Z ≤ 0) + P(0 < Z ≤ z)

P(Z < z) = 0, 5 + 0, 4975

P(Z < z) = 0, 9975



Exemplo

Como encontrar o valor z da distribuicao N (0, 1) tal queP(Z ≥ z) = 0, 3?


Exemplo

Note que

P(Z ≥ z) = 0, 3

1− P(Z < z) = 0, 3

P(Z < z) = 1− 0, 3

P(Z < z) = 0, 7



Exemplo

Como encontrar o valor z da distribuicao N (0, 1) tal queP(Z ≥ z) = 0, 975?


Exemplo

Note que

P(Z ≥ z) = 0, 975

1− P(Z < z) = 0, 975

P(Z < z) = 1− 0, 975

P(Z < z) = 0, 025

Pela tabela, z = −1, 96.


Exemplo

Como encontrar o valor z da distribuicao N (0, 1) tal queP(−z ≤ Z ≤ z) = 0, 8?


Exemplo

Note que

P(Z ≤ −z) = 0, 1

ou

P(Z ≤ z) = 0, 9

Pela tabela, −z = −1, 28 e z = 1, 28.


Distribuicao Normal

Mas como eu faco para calcular as probabilidades quando avariavel nao tem distribuicao normal padrao (N (0, 1))?

Nesses casos as areas (probabilidades) sao calculadas atravesde uma transformacao.

Essa transformacao transforma qualquer variavel normal quetenha qualquer media e qualquer variancia em uma variavelnormal padrao (com media zero e variancia um).


Distribuicao Normal Padronizada

Essa transformacao e feita da seguinte maneira:

Seja X ∼ N (µ, σ2), definimos Z =X − µσ

Temos entao: E(Z ) = 0 e Var(Z ) = 1.

Com essa transformacao Z ∼ N (0, 1) (distribuicao normalpadrao).


Distribuicao Normal Padronizada

Com isso, podemos determinar as probabilidades de uma v.a.X ∼ N (µ, σ2), com base na tabela da distribuicao normalpadronizada. Portanto,

P (a < X < b) = P (a− µ < X − µ < b − µ)

= P

(a− µσ

<X − µσ

<b − µσ

)= P

(a− µσ

< Z <b − µσ

)


Exemplo

Seja X ∼ N (10; 64)(µ = 10, σ2 = 64 e σ = 8

)Calcular P(6 ≤ X ≤ 12)


Exemplo

P(6 ≤ X ≤ 12) = P

(6− 10

8≤ X − 10

8≤ 12− 10

8

)= P (−0, 5 ≤ Z ≤ 0, 25)

= P(Z < 0, 25)− P(Z < −0, 5)

= 0, 5987− 0, 3085

= 0, 2902


Exemplo

Calcular P(X ≤ 8 ou X > 14)


Exemplo

P(X ≤ 8) + P(X > 14) =

= P(Z ≤ 8− 10

8) + P(Z >

14− 10

8)

= P(Z ≤ −0, 25) + P(Z > 0, 5)

= P(Z ≤ −0, 25) + P(Z < −0, 5)

= 0, 7098


Um problema inverso quando X ∼ N (µ;σ2)

Existem situacoes em que sabemos a probabilidade deocorrencia de determinado evento de uma v.a. X ∼ N (µ;σ2)e estamos interessados em saber quem e esse evento.

Em tais momentos, podemos obter a v.a.X ∼ N (µ;σ2) por meio da v.a. Z ∼ N (0; 1), atraves datransformacao inversa:

X = µ+ Zσ.


Exemplo

Como encontrar o valor x da distribuicao X ∼ N (10; 64) tal queP(X ≥ x) = 0, 05?


Exemplo

P(X ≥ x) = 0, 05⇒ P(Z ≥ x−10

8

)= 0, 05

temos que

P(Z ≥ z) = 0, 05

1− P(Z < z) = 0, 05

P(Z < z) = 1− 0, 05

P(Z < z) = 0, 95

Pela tabela, z = 1, 64. Entao,x − 10

8= 1, 64 ⇒ x = 10 + 1, 64× 8 = 23, 12


Exemplo

Como encontrar o valor x da distribuicao X ∼ N (10; 64) tal queP(X ≤ x) = 0, 025?


Exemplo

P(X ≤ x) = 0, 025⇒ P(Z ≤ x−10

8

)= 0, 025

temos que P(Z ≤ z) = 0, 025

Pela tabela, z = −1, 96. Entao,

x − 10

8= −1, 96 ⇒ x = 10− 1, 96× 8 = −5, 68


Exercıcio

O tempo de instalacao de um software tem distribuicao normalcom media de 6 minutos e variancia de 4 minutos.

a) Qual a probabilidade de que um software leve entre 5 e 7minutos para ser instalado?

b) Qual a probabilidade de que um software leve mais que 6,5minutos para ser instalado?

c) Qual a probabilidade de que um software leve menos que 5minutos para ser instalado?

d) Qual o intervalo de tempo, simetrico em torno da media, quedetem uma probabilidade 95% para que o software sejainstalado?

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