Programa Curricular de Econometria Textos de...

UNIVERSIDADE AGOSTINHO NETO

Faculdade de Economia

Centro Universitário do Lubango

PPrrooggrraammaa CCuurrrriiccuullaarr ddee EEccoonnoommeettrriiaa

TTeexxttooss ddee AAppooiioo

Armando Manuel – MSc Janeiro 2003

TEXTOS DE APOIO DE ECONOMETRIA Docente: Armando Manuel, MSc

VERSÂO C – Jan 2003

2

Tabela de Assuntos

I. INTRODUÇÃO.............................................................................................................. 4

1. Aspectos conceituais ......................................................................................................... 4 a) REGRESSÃO ..................................................................................................................................................... 4 b) CORRELAÇÃO ................................................................................................................................................. 5 c) CAUSAÇÃO ...................................................................................................................................................... 5 d) RELAÇÃO DETERMINISTA E ESTOCÁSTICA ............................................................................................ 5

2. A Natureza e a fonte dos dados ........................................................................................ 5 3. Elementos Chave dos Conceitos Básicos ........................................................................ 6

II. A REGRESSÃO SIMPLES ............................................................................................ 7

1. A Função de Regressão Populacional (FRP) ................................................................... 7 2. Propriedades ..................................................................................................................... 7

a) A LINEARIDADE .............................................................................................................................................. 7 b) A ESPECIFICAÇÃO ESTOCÁSTICA .............................................................................................................. 7 c) A PERTURBAÇÃO ESTOCÁSTICA E A FUNÇÃO DE REGRESSÃO AMOSTRAL .................................. 8

3. Mínimos Quadrados Ordinários –OLS ............................................................................ 9 a) ACESSIBILIDADE DOS MQO-OLS; ............................................................................................................... 9 b) HIPÓTESES BÁSICAS DO MODELO; .......................................................................................................... 10 c) PROPRIEDADES DOS ESTIMADORES- GAUSS MARKOV THEOREM; ................................................ 11 d) DETERMINAÇÃO DOS ESTIMADORES ..................................................................................................... 12

4. Elementos Chave da Regressão Simples ....................................................................... 15

III. CASOS PRÁTICOS .....................................................................................................16

1. Teste de hipótese e intervalos de confiança; .................................................................. 16 a) O INTERVALO DE CONFIANÇA ................................................................................................................. 16 b) FORMULAÇÃO DAS HIPÓTESES NULAS E ALTERNATIVAS ............................................................... 17 c) A ESCOLHA DO NÍVEL DE SIGNIFICÂNCIA ............................................................................................ 18

2. Diagnostico básico da Análise de regressão .................................................................. 18 a) ESTATÍSTICAS DE T ..................................................................................................................................... 18 b) ESTATÍSTICA DE F ........................................................................................................................................ 18 c) ANÁLISE DA MUDANÇA ESTRUTURAL COM O TESTE DE CHOW ..................................................... 19 d) O COEFICIENTE DE DETERMINAÇÃO ...................................................................................................... 20

IV. A REGRESSÃO MÚLTIPLA .......................................................................................21

1. Pressupostos básicos; ..................................................................................................... 21 2. Inferência a versão matricial da regressão múltipla .................................................... 21 3. Inferência ao método de Crammer para a matriz inversa ............................................. 22 4. Inferência aos experimentos de Monte Carlo ................................................................ 24 5. Outros indicadores na versão matricial ......................................................................... 25

a) O TESTE DE F ................................................................................................................................................. 25 b) O COEFICIENTE DE DETERMINAÇÃO ...................................................................................................... 25 c) O COEFICIENTE DE DETERMINAÇÃO AJUSTADO ................................................................................. 25 d) A VARIÂNCIA E A MATRIZ VARIÂNCIA COVARIÂNCIA ..................................................................... 26

6. Exercício: Ilustração ...................................................................................................... 27

V. RELAXANDO AS HIPÓTESES BÁSICAS DO MODELO .............................................32

1. A Micronumerosidade e Multicolinearidade .................................................................. 32 a) FONTES DA MULTICOLINEARIDADE ....................................................................................................... 33 b) PRESENÇA, DETENÇÃO E MEDIDAS CORRECTIVAS ............................................................................ 33 c) CONSEQUÊNCIAS PRATICAS DA MULTICOLINERARIDADE .............................................................. 35

2. Elementos Chave da Multicolinearidade ........................................................................ 36 3. A Heteroskedasticidade versus Homoskedasticidade ..................................................... 37



3

a) PRESENÇA, DETENÇÃO E MEDIDAS CORRECTIVAS ............................................................................ 37 b) TESTES DE HIPÓTESES ................................................................................................................................ 38 c) O MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS GENERALIZADOS .............................................................. 39

4. A Autocorrelação ............................................................................................................ 40 a) PRESENÇA, DETENÇÃO E MEDIDAS CORRECTIVAS ............................................................................ 40 b) TESTES DE HIPÓTESES ................................................................................................................................ 42

5. Elementos Chave da Autocorrelação ............................................................................. 43

VI. TÓPICOS QUALITATIVOS .........................................................................................44

1. A regressão de variáveis dummies ................................................................................. 44 a) INCIDÊNCIA NO INTERCEPTO ................................................................................................................... 44 b) INCIDÊNCIA NO PARÂMETRO DE INCLINAÇÃO ................................................................................... 45

2. Exercício: Inferência de dumies no angulo de inclinação ............................................. 46 3. Extensões do modelo de variaveis dummies ................................................................... 47

a) MODELO LOGIT ............................................................................................................................................ 47 b) MODELO PROBIT .......................................................................................................................................... 47 c) MODELO TOBIT ............................................................................................................................................. 48

4. Elementos Chave da Inferência das Variáveis Dummies ............................................... 49

VII. MODELAGEM ...........................................................................................................50

1. Modelos de equações simultâneas .................................................................................. 50 2. Problema da Identificação dos Modelos ........................................................................ 51

a) CONDIÇÃO DE ORDEM ................................................................................................................................ 51 b) CONDIÇÃO DO POSTO ................................................................................................................................. 51

3. Elementos Chave das equações simultaneas .................................................................. 53 4. Métodos para resolução ................................................................................................. 53

a) MÍNIMOS QUADRADOS INDIRECTOS - IOLS .......................................................................................... 53 b) MÍNIMOS QUADRADOS EM DOIS ESTÁGIOS – MQ2E OU OLS TWO STAGES ................................. 54 c) MODELAGEM RECURSIVA ......................................................................................................................... 57

5. Elementos Chave sobre os metodos de resolução .......................................................... 61

ÍNDICE REMISSIVO ............................................................................................................63



4

I. INTRODUÇÃO O QUE É A ECONOMETRIA

• A econometria pode ser definida como a análise quantitativa de fenómenos económicos concretos, baseada no desenvolvimento simultâneo de teoria e da observação, relacionadas por métodos de inferência adequados.'

• A econometria, consiste na aplicação da estatística matemática aos dados económicos para dar suporte empírico aos modelos construídos pela economia matemática e para obter resultados numéricos.

• A econometria pode ser definida como a ciência social na qual as ferramentas da teoria económica, matemática e inferência estatística são aplicadas à análise dos fenómenos económicos.

• A econometria se ocupa da determinação empírica das leis económicas.

• A arte do econometrista consiste em achar o conjunto de hipóteses que sejam tanto suficientemente específicas quanto realistas, para lhe permitir tirar o máximo proveito possível dos dados à sua disposição.'

• Os econometristas... prestam uma inegável contribuição à tentativa de afastar a pobre imagem pública da economia (quantitativa ou não), tida como um assunto no qual latas vazias são abertas, supondo a existência de abridores de lata, para revelar.

• O principal interesse da economia matemática é expressar a teoria económica na forma matemática (equações), sem levar em conta a imensurabilidade ou a verificação empírica da teoria. Já a econometria, como destacamos anteriormente está interessada na verificação da verificação empírica da teoria;

SOBRE A METODOLOGIA

Embora as questões de metodologia têm sido objecto de constantes críticas e sugestões, a abordagem clássica apresenta 7 passos ou eixos sequenciais que nos sugerem a metodologia de estudo da econometria:

o Formulação da teoria ou da hipótese o Especificação do modelo matemático da teoria o Especificação do modelo econométrico da teoria o Obtenção de dados o Estimativa dos parâmetros do modelo econométrico o Teste de hipótese o Previsão ou predição

1. ASPECTOS CONCEITUAIS a) REGRESSÃO

O termo “regressão” foi introduzido por Francis Galton num estudo relacionado a hereditariedade, no qual descobriu a tendência dos filhos nascerem com características próximas as dos pais. Outros nomes adicionados a estas descobertas, dizem respeito a Karl Pearson que encontrou resultados robustos ao verificar que a altura média de filhos pertencentes a um grupo de pais baixos era superior à altura de seus pais.



5

A análise de regressão diz respeito ao estudo da dependência de uma variável em relação a uma ou mais variáveis cujo comportamento é independente. Este estudo visa determinar o valor médio da variável dependente.

b) CORRELAÇÃO

A relação de correlação, é o processo no qual medimos a intensidade da relação existente entre duas variáveis, sempre que desenvolvermos um cálculo de regressão, o coeficiente de ajustamento do modelo, permite-nos obter a noção do grau de correlação entre ambas as variáveis. Podemos dizer, que trata-se do grau de associação linear.

Na análise de correlação não se estabelece distinção entre variáveis dependentes ou independentes, como fizemo-lo na análise de regressão. Numa situação de correlação baseamo-nos numa hipótese de aleatoridade enquanto para a análise de regressão consideramos a aleatoridade apenas para a variável dependente contrariamente as vaiáveis independentes em cujo valores são fixados e ou não-estocástico.

c) CAUSAÇÃO

A regressão explica a relação de dependência entre uma variável e outra. Este tipo de relação consiste numa relação meramente estatística, que não obstante permitir encontrar uma relação, não implica necessariamente uma relação de causação.

A teoria económica faz referência a Causalidade de Granger

d) RELAÇÃO DETERMINISTA E ESTOCÁSTICA

No estudo do comportamento das variáveis, encontramos variáveis cujo comportamento obedece tendências probabilísticas. Estas variáveis seguem um comportamento aleatório também chamadas variáveis estocásticas. Exemplo: pluviosidade, a temperatura ambiental, queda de aeronaves soviéticas em Angola etc...

Quando nos referimos a relações determinísticas, tratam-se de relações nas quais intervêm variáveis cujo comportamento é determinístico e não aleatório. Exemplo: Lei de gravidade de Newton, Nascimento de um ser como resultado da fecundação de espermatozoides etc... Alguns Conceitos Sinónimos:

Variável Endógena Variável Exógena Variável de Resposta Variável de Estimulo ou Controlo Regredida Regressor Predita Preditor Variável Explicada Variável Explicativa Variável Dependente Variável Independente

2. A NATUREZA E A FONTE DOS DADOS

Os tipos de dados existentes para o trabalho empírico series temporais, dados cross-secionais, dados qualitativos, e ainda dados de painel. .

São dados qualitativos quando no acto da colheita tomamos uma categoria ou um atributo cujo resultado toma o valor 1 ou 0 exemplo: homem ou mulher, empregado ou desempregado. A este tipo de dados também chamamos por dummies.



6

Na maior parte dos casos, os economistas fazem recurso ou uso de series de variáveis temporais. Na maior parte das series temporais económicas apresentam um comportamento dinâmico isto é, a sua media e variância tendem ambas a variar em função do tempo.

Os dados cross-seccionais, também chamados por “dados de corte”, são dados de uma ou mais variável colectados ano mesmo ponto de tempo. Uma grande implicação das series cross-seccionais, diz respeito a heterogeneidade forçada por hiatos no tamanho e no efeito de escala.

Por outro lado, existem situações nas quais consideramos a combinação de dados de series temporais e de dados cross-seccionais.

Quanto a fontes dos dados, estes podem ser colectados por agencias governamentais ou independentes. E os dados colectados podem ser experimentais ou não-experimentais. Todavia os dados colectados no domínio das ciências sociais são quase sempre não-experimentais o que pressupõe dizer que são dados em que o pesquisador não consegue exercer influência significativa.

A precisão dos dados constitui um outro factor importante. Certamente que a colecta de dados raramente ilustra 100% da realidade; quase sempre ocorrem erros de observação, omissão e ou execução. Porém do esforço em aproximar os dados estatísticos à realidade especifica, é um factor muito importantíssimo.

3. ELEMENTOS CHAVE DOS CONCEITOS BÁSICOS

1. A idéia-chave da análise de regressão é a dependência estatística de uma variável (a variável dependente) em relação a uma outra ou outras variáveis (as variáveis explicativas).

2. O objectivo desta análise é estimar e/ou prever a média ou o valor médio da variável dependente, com base nos valores conhecidos ou fixados das variáveis explicativas.

3. Na prática, o sucesso da análise de regressão depende da disponibilidade de dados apropriados. Este capítulo discutiu a natureza, as fontes e as limitações dos dados que geralmente estão disponíveis para pesquisa, especialmente nas ciências sociais.

4. Em qualquer pesquisa, o pesquisador deve informar claramente as fontes dos dados utilizados na análise, suas definições, seus métodos de colecta e quaisquer lacunas ou omissões nos dados, bem como quaisquer revisões dos dados. Lembre-se de que os dados macro-económicos publicados pelo governo são frequentemente revistos..



7

II. A REGRESSÃO SIMPLES 1. A FUNÇÃO DE REGRESSÃO POPULACIONAL (FRP)

Diremos que geometricamente, a curva de uma função de regressão é o espaço geométrico onde as médias ou expectativas condicionais das variáveis dependentes para os valores fixados da variável explicativa;

)X(f)XY(E ii = Equação 1

Onde X é uma função explicativa e Y é linear em X. Chamaremos assim a equação 1 como função de população de regressão (FPR)de duas variáveis. Assim, assumindo que X pode tomar valores nulos, podemos transcrever a FPR em

i21i X)XY(E β+β= Equação 2

onde os parâmetros beta um e beta dois são desconhecidos, todavia fixos e chama-se coeficientes de regressão. Também são conhecidos como intercepto e coeficiente de inclinação , respectivamente.

O objectivo presente consiste em estimar os parâmetros desconhecidos da FRP descrita na equação Nº 2.

2. PROPRIEDADES

a) A LINEARIDADE

Assumimos que a nossa FRP é linear, o que significa que a expectativa condicional de Y em relação a X é consequência de uma função linear, podendo esta ser representada geometricamente por um gráfico.

Semelhantemente, a FRP é linear nos parâmetros, ou seja a expectativa condicional de Y em relação a X é linear nos parâmetros. Todavia, se obtivermos uma função do tipo

2i21i X)XY(E β+β= ela continua sendo linear nos parâmetros embora não seja na variável.

Todavia, um caso como i21i X)XY(E β+β= não é um modelo de regressão linear nos

parâmetros.

Consideraremos um Modelo de Regressão Linear (MRL) i21i X)XY(E β+β= todo

aquele modelo onde )XY(E i é linear quer nos parâmetros como nas variáveis.

b) A ESPECIFICAÇÃO ESTOCÁSTICA

Consideremos que dada a variável Y e a sua estimativa condicional em relação a Y, ocorrerá sempre um desvio a que chamaremos o erro termo, a perturbação estocástica ou ainda o white noise :

iii )XY(EY µ=− Equação 3

Alternativamente, podermos escrever da seguinte maneira iii )XY(EY µ+= e

consequentemente ii21i XY µ+β+β=

Assim sendo o primeiro elemento do lado esquerdo será o elemento sistemático ou deterministico, e o segundo termo, corresponde ao componente assistematica ou aleatória,



8

cuja propriedade facilmente podemos obter quando aplicamos expectativas em ambos os lados da equação condicional a X:

[ ] )X(E)XY(EE)XY(E iiii µ+= Equação 4

)X(E)XY(E)XY(E iiii µ+=

note que para que a igualdade vigore, é necessário que )X(E iiµ seja igual a zero

0)X(E ii =µ Equação 5

Neste contexto, considerando que ao extrapolar o caso para a vida prática, encontraremos variáveis sendo explicadas por outras, o termo erro iµ representará sempre aqueles factores não considerados na explicação da variável dependente. Isso pode ser o caso de variáveis omissas.

c) A PERTURBAÇÃO ESTOCÁSTICA E A FUNÇÃO DE REGRESSÃO AMOSTRAL

Para além do aspecto da omissão de variáveis destacado no ponto anterior, existem outros factores que justificam a razão de existência da perturbação estocástica no nosso modelo, apontando-se:

1. Inexactidão da teoria 2. Escassez de dados 3. Forma funcional errada 4. Casualidade intrínseca ao comportamento humano 5. Variáveis fracas 6. Principio da parcimónia e 7. Variáveis essenciais versus variáveis periféricas

Considerando a aleatoriedade do erro, a representações de uma função de regressão populacional para varias amostragens, da origem a chamada função de regressão amostral FRA, tal que a amostra da equação 2 pode ser representada por:

i21i XˆˆY β+β= Equação 6

onde o Y é estimador de )XY(E i , beta um chapeu é estimador de 1β e beta dois chapeu

é o estimador de 2β .

Assim sendo, podemos representar a FRP de duas formas, demonstradas pelas equações 2 e a extensão da equação 3, teremos:

ii21i ˆXˆˆY µ+β+β= Equação 7

em síntese, concluímos que o nosso principal objectivo consiste em determinar FRP

ii21i XY µ+β+β= dada a função amostral –FRA. ii21i ˆXˆˆY µ+β+β=

Adicionalmente podemos ainda apresentar FRA do seguinte modo:

iii ˆYY µ+= Equação 8

e em termos de FRP



9

iii )XY(EY µ+= Equação 9

3. MÍNIMOS QUADRADOS ORDINÁRIOS –OLS

a) ACESSIBILIDADE DOS MQO-OLS;

Conforme referido anteriormente, constitui objecto principal testar a FRP tendo como referência a FRA. Dos enumeras métodos existentes1, vamos aqui considerar o método dos quadrados mínimos MQO também denominado por Ordinary Least Squares –OLS desenvolvido pelo matemático Alemão Car Friederich Gauss.

O método em causa baseia-se nos principio dos mínimos quadrados.

Sabe-se que a FRP ii21i XY µ+β+β= não é directamente observável, o que nós

conhecemos é sim ii21i ˆXˆˆY µ+β+β= conforme as equações 6 e 7 o elemento erro ou resíduo é dado pela diferença do Y observado e Y estimado.

iii YY −=µ Equação 10

i21i XˆˆY β+β−=

O interesse consistirá neste caso em determinar a FRA mais próxima do Y observado , o que em outras palavras pressupõe dizer-que quanto menor for resíduo quadrado melhor será.

( )∑∑ −=µ iii YYˆ . Note que o critério MQO consiste em minimizar a soma do erro. Porém,

veja na figura, a soma do erro 4321 ˆeˆ,ˆ,ˆ µµµµ é nula, dada a sua assimetria. Entretanto, nós

estamos mais interessados é no quadrado da soma, pois fazendo assim tornamos os valores negativos em positivos e o interesse consistirá em encontrar o menor valor possível o que em outras palavras significa obter resíduos mais próximos da FRA.

Ilustração 1 Demonstração do critério dos mínimos quadrados.

1 Existem os métodos da Máxima Verosimilhança, OLS-two stage, Equações simultâneas e outros.



10

Assim sendo, tomamos a equação 10 e aplicamos sobre ela o quadrado.

( )2ii2i YY∑∑ −=µ Equação 11

( )∑ β−β−=2

i21i XˆˆY

Em outras palavras podemos dizer que o resíduo quadrado é função dos estimadores. Quanto maior for o grau de significância dos estimadores, maior é a probabilidade de se obter

um resíduo quadrado menor. ( )212i

ˆ,ˆfˆ ββ=µ∑ .

Abaixo temos um exemplo hipotético no qual assumimos inicialmente que 1β = 2.752

e 2β =1.673 com estes estimadores e conhecendo a serie de X, estimamos a população real

ou seja, obtemos iY na coluna (3) uma vez conhecido iY , determinamos iµ na coluna (4) efectuando a diferença entre as colunas (1) e (3) conforme a equação 10. Seguidamente a coluna (6) representa a aplicação da equação 11 obtendo um 115460.104ˆ 2

i =µ∑ . No

segundo cenário, assumimos novos valores para os parâmetros de estimação 1β =3 e 2β = 1 o

que permite encontrar um quadrado da soma do resíduo 14ˆ 2i =µ∑ inferior ao obtido no

cenário inicial.

Yi Xi Y1i chapeu ui1 chapeu

ui1 chapeu

Quadado Y2i chapeu ui2 chapeu

ui2 chapeu

Quadado

1 2 3 4 5 6 75 1 4.4250 0.5750 0.330625 4.0000 1 18 3 7.7710 0.2290 0.052441 6.0000 2 4

10 7 14.4630 -4.4630 19.918369 10.0000 0 012 11 21.1550 -9.1550 83.814025 14.0000 -2 435 22 -12.814000 104.115460 0 14

Tabela 1 Determinação Experimental da FRA

Assim, podemos representar a equação computada em (3) e (6) como:

ii1 X673.1752.2Y += e ii1 X3Y += respectivamente.

b) HIPÓTESES BÁSICAS DO MODELO;

Veremos agora as hipóteses básicas do Modelo Clássico de Regressão Linear(MCRL), que de uma forma mais avançada, infere as hipóteses enunciadas por Gauss Markov.

Hipótese 1 - Modelo de Regressão Linear- O modelo é linear nos parâmetros conforme mostrado em ii21i XY µ+β+β= ;

Hipótese 2 - Os valores de X são fixados em amostras iterativas – Os valores assumidos pelo regressor X são considerados fixados em repetidas2 amostras. A variável é um dado não estocástico.

Hipótese 3 - O valor médio do resíduo iµ é nulo – Dado o valor X, o valor

esperado da perturbação residual iµ é zero. ( ) 0XE ii =µ

2 Para o caso especifico dos experimentos de Monte Carlo, considerando que o resíduo segue uma distribuição aleatória, conforme veremos adiante.



11

Hipótese 4 - Homoskedasticidade ou variância igual de iµ - Dado o valor da

variável independente, a variância de iµ é invariante ao tempo.

( ) ( )[ ]( ) 2

i2i

2

iiiii

XE

XEEXvar

σ=µ=

µ−µ=µ 3

Hipótese 5 - Não existe autocorrelação entre as perturbações4 e, entre a perturbação iµ e a variável independente X. – Dados dois valores

ji ueu tal que ( )ji ≠ a correlação entre quaisquer valores residuais

de períodos distintos é zero.

( ) ( )[ ] ( )[ ]( )( )

0

XXE

XEXEEX,X,cov

jjii

jjjiiijiji

=

µµ=

µ−µµ−µ=µµ

( ) ( )[ ] ( )[ ]( )( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( )0

oestocasticnãoéXEondeXEEXE

XEXE

XEXEEX,cov

iiiii

iji

iiiiiii

=

µ−µ=

−µ=

−µ−µ=µ

Hipótese 6 - O número de observações n deve ser superior ao número de parâmetros5.

c) PROPRIEDADES DOS ESTIMADORES- GAUSS MARKOV THEOREM;

GAUSS MARKOV – dadas as hipóteses básicas do modelo clássico de regressão linear, os estimadores por mínimos quadrados ordinários são os melhores estimadores lineares não enviesados MELNV com variância mínima.

Com ajuda das hipótese básicas do modelo clássico e do teorema de Gauss Markov, os estimadores dos mínimos quadrados apresentam algumas propriedades básicas dentre as quais:

1. os estimadores OLS são lineares; 2. os estimadores OLS não são viesados (unbiesed), isto quer dizer que o valor

esperado da estimativa de beta ( )iˆE β converge ao seu valor real iβ .

3. os estimadores OLS são eficientes – possuem a variância mínima a nível da classe dos estimadores lineares.

3 Lembre-se que para o desdobramento, aplicamos a hipótese 4. Sempre que a variância alterar em função do tempo, estaremos em presença da Heteroskedasticidade. 4 Trata-se da ausência da autocorrelação ou da correlação serial. 5 A esta hipótese juntam-se as hipóteses da necessidade de suficiente variabilidade nas variáveis independentes (necessidade de um número positivo finito )Xvar( - hipótese da multicolinearidade), assim como a hipótese de que o modelo foi correctamente especificado – retira-se a hipótese de existência de um viés de especificação.



12

Ilustração 2 Distribuição amostral de 2β e *2β

O gráfico demonstra a distribuição amostral de dois estimadores. Onde 2β é MELNV.

d) DETERMINAÇÃO DOS ESTIMADORES

(i) derivação dos estimadores por OLS (modelo univariável) Como derivar a estimativas dos mínimos quadrados? Tomamos a função expressa na

equação 11 e determinamos as derivadas parciais em relação a iβ e 2β .

( ) ( )∑ ∑∑

µ−=β−β−−=β∂

µ∂ii21i

1

2i ˆ2XˆˆY2

ˆ

ˆ Equação 12

( ) ( )∑ ∑∑

µ−=β−β−−=β∂

µ∂iii21i

2

2i ˆ2XXˆˆY2

ˆ

ˆ Equação 13

Resolvendo estas equações igualando-as a zero e efectuando os cortes necessários, resulta em:

XYˆ21 β−=β Equação 14

∑∑

=β2i

ii2 x

yxˆ 6 Equação 15

(ii) linearidade e ausência de viés

Como provar que os estimadores OLS são de facto MELNV? Tomando a equação 15, considerando a anotação feita no rodapé, tornamos a função da estimativa de 2β como uma função linear de Y onde:

∑∑

=β2i

ii2 y

Yxˆ logo assumimos que i2i

i kx

x=

∑, logo escreveremos

ii2 Ykˆ ∑=β Equação 16

Note agora que a equação 16 apresenta o estimador 2β é apresentado como uma função linear de Y dado o valor de k.

6 Lembra-se que esta função pode ser desdobrada para apresentações alternativas como

∑∑

− 22i

ii

XnX

Yx ou ainda

∑∑

− 22i

ii

XnX

yX, onde iiii YxyX ∑∑ = e finalmente os desvios de

X e Y em relação a média dados por ( ) ( )YYy;XXx iiii −=−= .



13

Agora como demonstrar que a o MELNV converge ao seu valor real?

Assumimos que o somatório de k é nulo, que o somatório do quadrado de k é igual 1 sobre o somatório de x (no seu desvio em relação a media). E finalmente

∑∑ == 1Xkxk iiii

Vejamos por exemplo provando que o somatório de k é nulo.

∑∑

∑∑

∑ =

= i2

i2i

ii x

x

1

x

xk considerando que o somatório do desvio de X em

relação a média é nulo, a multiplicação do último termo resulta num valor nulo.

Agora substitua a FRP ii21i XY µ+β+β= na equação 16 resultará em:

( )ii21i2 Xkˆ µ+β+β=β ∑

∑∑∑ µ+β+β=β iiii2i12 kXkkˆ 7

∑ µ+β=β ii22 kˆ Equação 17

aplicando expectativas na nossa função teremos:

( ) ( )∑ µ+β=β ii22 EkÊ

sabendo que o valor esperado do resíduo é nulo, conseguimos provar que o estimador OLS converge ao seu valor real.

( ) 22Ê β=β Equação 18

(iii) variância e erro padrão dos estimadores OLS

Conhecendo a definição da variância como sendo o quadrado do valor esperado da diferença entre o estimador e o seu valor médio, escreveremos:

( ) ( )[ ]2

222ÊÊˆvar β−β=β Equação 19

usando a demonstração de convergência da estimativa ao seu valor real, substituímos ( )2Ê β

( ) [ ]2

222Êˆvar β−β=β

( ) ( )2

ii2 kEˆvar ∑ µ=β 8

( ) ( )n1nn1n21212n

2n

22

22

21

212 kk2kk2k....kkEˆvar µµ+µµ+µ++µ+µ=β −−∑

( ) ∑σ=β 2i

22 kˆvar

( )∑

σ=β

2i

2

2 xˆvar Equação 20

( )∑

σ=β

2i

2x

êp Equação 21

(iv) covariância entre as estimativas de 1β e 2β

7 Aplicando as propriedades enunciadas acima, somatório de k igual a zero e somatório de k vezes X igual a um.

8 Lembre-se que a equação 17 pode ser desdobrada sob forma de ∑ µ=β−β ii22 kˆ



14

Existirá correlação entre dois estimadores diferentes 1β e 2β ? Vejamos por definição:

[ ][ ]{ }( )( )2211

221121

ˆÊ

)ˆ(Eˆ)ˆ(EÊ)ˆ,ˆcov(

β−ββ−β=

β−ββ−β=ββ

( )( )2

2

2221

ˆvarX

ÊX)ˆ,ˆcov(

β−=

β−β−=ββ Equação 22

Consequentemente teremos

σ−=ββ

∑ 2i

2

21 xX)ˆ,ˆcov( Equação 23

(v) propriedades da variância mínima.

Lembra-se da equação 16 na qual demonstramos que 2β é um estimador linear em relação a Y, efectuamos algumas considerações para k. Consequentemente, podemos representa-las do seguinte modo.

( ) ∑∑=

−

−=

2i

i2

i

ii x

x

XX

XXk Equação 24

Agora, no mesmo espirito que a equação 16, achemos estimador alternativo, também linear em relação a 2β :

ii*2 Yw∑=β Equação 25

onde embora w seja um coeficiente linear de beta em relação a Y todavia não

necessariamente igual a k. ( )

( )

∑∑∑∑

β+β=

β+β=

=β

ii2i1

i21i

ii*2

Xww

XEw

YEw)(E

agora para que o presente estimador seja não enviesado, é necessário que 0w i =∑ e

consequentemente 1Xw ii =∑

Semelhantemente, nota que:

∑=β ii*2 Ywvarvar

i2i

*2 Yvarwvar ∑=β

∑σ=β 2i

2*2 wvar Equação 26

Tomando a equação 26, podemos introduzir transformações de formas a atingir um

resultado desejado:

∑∑∑

+−σ=β

2

2i

i2i

i1

2*2 x

x

x

xwvar

( )22i

2i2

2i

i2i

ii

2

2

2i

ii

2*2

x

x

x

x

x

xw2

x

xwvar

∑∑

∑∑∑

∑∑

σ+

−σ+

−σ=β



15

σ+

−σ=β

∑∑

∑ 2i

2

2

2i

ii

2*2 x

1

x

xwvar

( )∑

σ=β

2i

2*2 x

var Equação 27

fica assim provado que ( ) ( )2*2

ˆvarvar β=β considerando que ii kw = , a variância do estimador linear beta asterisco deve ser igual a variância do estimador de mínimos quadrados.

4. ELEMENTOS CHAVE DA REGRESSÃO SIMPLES

1. A idéia-chave que fundamenta a análise de regressão é o da função de regressão populacional(FRP).

2. Consideramos a FRP lineares, isto é regressões lineares nos parâmetros desconhecidos. Elas podem não ser obrigatoriamente lineares na variável dependente e na variável independente.

3. Para trabalhos empíricos interessa mais a FRP estocástica.

4. FRP é um conceito idealizado, pois na realidade quotidiana, o que se tem é uma observação da população. Por esta razão utiliza-se a função de regressão amostral estocástica FRA, para estimar FRP.

5. A estrutura básica da análise de regressão é o MCRL, baseado num conjunto de hipóteses. Com base nessas hipóteses, os estimadores por mínimos quadrados adquirem certas propriedades resumidas no teorema de Gauss-Markov, em que, na classe dos estimadores lineares não-viesados, os estimadores de mínimos quadrados têm mínima variância. Em suma, eles são MELNV

6. A precisão dos estimadores por MQO é medida por seus erros-padrão.

7. O grau de ajuste global do modelo de regressão é medido pelo coeficiente de determinação, 2R . Com ele se tem a proporção da variação na variável dependente, ou regredido, que é

explicada pela variável explicativa, ou regressor. Este 2R está entre 0 e 1; quanto mais

próximo de 1, melhor é o ajuste.

8. Um conceito ligado ao coeficiente de determinação é o de coeficiente de correlação, r. É uma medida da associação linear entre duas variáveis e está entre -1 e +1.

9. O MCRL é uma abstracção ou construção teórica, pois se baseia em um conjunto de hipóteses que podem ser rígidas ou "irrealistas". Mas tal abstracção é com frequência necessária nos estágios iniciais do estudo de qualquer campo do conhecimento. Uma vez alcançado o domínio do MCRL, pode-se descobrir o que acontece se uma ou mais de suas hipóteses não forem satisfeitas.



16

III. CASOS PRÁTICOS 1. TESTE DE HIPÓTESE E INTERVALOS DE CONFIANÇA;

Para abordagem do teste de hipótese, importa fazer menção a conceitos fundamentais como:

• distribuição de probabilidade, • erros do tipo I , • erros do tipo II, • intervalos de confiança, • poder de um teste estatístico e • intervalo de confiança

a) O INTERVALO DE CONFIANÇA

Admita que queiramos descobrir quão próximo é iβ de iβ , para isso tentamos descobrir dois números positivos, δ e α , onde α posiciona-se entre 0 e 1, de modo a que a

probabilidade de o intervalo aleatório ( )δ+βδ−β 22ˆ;ˆ conter o verdadeiro 2β é de a 1 - α .

α−=δ+β≤β≤δ−β 1)ˆˆPr( 222 Equação 28

Porém note que a equação acima apresentada, reflecte um intervalo aleatório, já que

2β é um parâmetro desconhecido, a não ser que tenhamos uma amostra especifica e

obtivermos um valor especifico de 2β .

Conhecido o estimador dos mínimos quadrados, calculados à luz dos pressupostos básicos do modelo clássico; normalmente distribuído com esperança nula e variância conhecida, e consequentemente o desvio padrão, a estatística de t seguindo a distribuição de t student é calculada do seguinte modo:

( ) estimadordoestimadopadrãoerro

parâmetroestimadorêp

ˆt

i

ii −≡

β

β−β= Equação 29

onde t segue uma distribuição de n-2 gl , portanto, em vez de usarmos a distribuição

normal, usamos as distribuição de t estabelecendo um intervalo de confiança para 2β tal como se segue:

α−=≤≤− αα 1)tttPr( 22 Equação 30

onde 2tα é o valor da variável i obtido da distribuição t para o nível de significância

2α e 2n − graus de liberdade; também chamado por t critico que se pode encontrar na

tabela.

( ) α−=

≤

β

β−β≤− αα 1t

êp

ˆtPr 2

i

ii2 Equação 31

Assim é que se desejar calcular o intervalo de confiança, tomará a formula:

( )i2iêptˆ β±β α Equação 32



17

A interpretação deste intervalo é dada pelo intervalo de confiança de 95% ao longo

prazo, tal que 95 a 100% dos intervalos como (0,4268; 0,5914) conterão o verdadeiro 2β . Sabe-se ainda que a amplitude do intervalo de confiança é proporcional ao erro padrão do estimador. Quanto maior este for o erro padrão maior será a amplitude do intervalo.

b) FORMULAÇÃO DAS HIPÓTESES NULAS E ALTERNATIVAS

A questão da formulação das hipóteses estatísticas, relaciona-se aos casos nos quais, dada uma observação, nos perguntamos até que ponto ela é compatível com a hipótese previamente formulada. Estatisticamente a hipótese formulada é conhecida como hipótese nula 0H . Geralmente ela é testada seguida de uma hipótese alternativa AH por vezes também

designada por hipótese sustentada.

Exemplo:

0:H0:H 2A20 ≠β=β Equação 33

Uma vez construído o intervalo ou detectado os valores críticos para o nível de significaria achado pertinente, caso 2β cair na área de )%1(100 α− , não rejeitar a hipótese

nula. Porém caso cair fora, na considerada área critica, deve-se rejeitar a 0H . Este tipo de teste

é um teste bicaudal.

Equação 34 Intervalo de Confiança de 100(1- α )% para 2β

Quando rejeitamos a hipótese nula, dizemos que estamos em presença de resultados estatisticamente significantes. Porém, quando não rejeitamos, os resultados não são estatisticamente significantes.

Tabela de Decisão para o Teste de Hipótese

Tipo de hipótese 0H :Hipótese Nula 1H : Hipótese

Alternativa

Regras de decisão: rejeitar 0H : se

Duas caudas 2β = *

2β 2β ≠ *2β gl,2/tt α>

Cauda a direita 2β ≤ *

2β 2β > *2β gl,2/tt α>

Cauda a Esquerda 2β ≥ *

2β 2β < *2β gl,2/tt α−<

Onde beta asterisco é o valor numérico hipotético



18

c) A ESCOLHA DO NÍVEL DE SIGNIFICÂNCIA

A rejeição ou não da hipótese nula, depende em grande parte da escolha do nível de significância ou seja do valor α ou a probabilidade de cometer o erro do tipo I- a probabilidade de rejeitar a hipótese verdadeira. Quando o erro do tipo II é a probabilidade de aceitar a hipótese falsa.

A literatura sugere maior atenção nos erros do tipo I. Geralmente, α é geralmente fixado entre 1% a 5%, no máximo chega-se até 10%. Quanto maior for a probabilidade de se rejeitar a hipótese nula tomando um intervalo de significância inferior quanto possível, melhor.

Alguns autores consideram a arbitrariedade na escolha de α , como sendo o calcanhar de Aquiles da teoria clássica. A escolha do nível exacto de significância, diz respeito ao valor ρ ou ainda o valor da probabilidade; conhecido como nível de significância exacto ou a probabilidade exacta de cometer-se um erro do tipo I.

Uma abordagem prática sugere-nos de que, não devemos confundir significância estatística com significância prática ou económica. Goldberg advertiu que quando se estabelece um hipótese nula de que 1j =β significa dizer que é que o parâmetro beta seja mais

próximo possível de 1. Assim é que em determinados casos, o teste estatístico resume-se em valores tão próximos como por exemplo 1,1. A estatística apenas mede o coeficiente estimado em relação ao seu erro- padrão, que todavia não são unidades apropriadas para medir o comportamento económico. Assim é que, o termo significância é usado mais para exprimir o nível de fiabilidade dos dados estatísticos, quando a substancialidade é usada para efectuar o juízo económico advindo

2. DIAGNOSTICO BÁSICO DA ANÁLISE DE REGRESSÃO

a) ESTATÍSTICAS DE T

A estatística de t é o indicador tomado para testar o grau de significância estatística de um simples coeficiente ou estimador. Requer para o efeito que conheçamos o valor estimado do estimador, requer que tenhamos a hipótese nula devidamente identificada para que substituamos nela o valor de iβ , assim como requer que conheçamos o erro padrão.

( ) estimadordoestimadopadrãoerro

parâmetroestimadorˆep

ˆt

i

ii −≡

β

β−β= Equação 35

Lembre-se que para um caso estremo da hipótese nula, teríamos ( )iiˆep0ˆt β−β=

b) ESTATÍSTICA DE F

O teste de F é usado para testar a significância global do modelo isto é não obstante o número de parâmetros existentes no modelo. Vejamos como derivar a estatística de F tomando a nossa função de regressão. Coeficiente de determinação;

Consideremos

apresentamos a função de regressão iii YY µ+= nos seus desvio em relação a média:



19

( ) ( ) ( )∑∑∑ −+−=−2

ii

2

i

2

i YYYYYY Equação 36

teremos assim teremos a representação dos desvios em relação a média:

∑∑∑ += 222 dyy

note que sendo ∑ 2d a representação da componente residual, e querendo nós eliminar

esta, introduziremos transformações no modelo tal que:

∑∑

∑∑

∑∑

+=2

2

2

2

2

2

d

d

d

y

d

y = 1

d

y

d

y2

2

2

2

+=∑∑

∑∑ Equação 37

onde 1d

y

d

yF

2

2

2

2

−==∑∑

∑∑ alternativamente, podem se encontrar outros

desdobramentos do teste F como sendo: c) ANÁLISE DA MUDANÇA ESTRUTURAL COM O TESTE DE CHOW

O teste de Chow, é uma versão do teste de F. Trata-se de um cenário no qual o modelo é sujeito a restrições. As restrições submetidas a um modelo podem obedecer várias formas, desde os parâmetros do modelo, especificação ao tamanho da população.

No teste de chow, procuramos saber até que ponto o nível de significância global do modelo sofre alterações ao longo do tempo. O teste de Chow respeita algumas propriedades básicas dentre as quais:

1. ),0(N~ 2it σµ o resíduo é normalmente distribuído com esperança nula e

variância conhecida;

2. jtit ;µµ os erros de períodos distintos distribuem-se de forma independente,

quer dizer que não estão correlacionados.

Para o efeito, tomamos a população em estudo e fixamos um período de referência no qual achamos estar caracterizado com um acontecimento específico, seja de política económica ou secular. Assim a população inicial reparte-se em dois períodos, sendo I = 1n e

II= 2n permitindo-os estimar separadamente. Os passos a seguir seriam:

1. 1º Passo – efectuamos uma regressão inicial combinando os dados todos, digamos I = 1n e II= 2n ; com os graus de liberdade ( 1n + 2n -k) , onde k é o número de parâmetros estimados. O objectivo consistirá na determinação do quadrado da soma dos resíduos 1S .

ii21i XY µ+λ+λ= Equação 38

3. 2º Passo estimamos em separado as regressões compreendendo os períodos I = 1n e II= 2n com os graus de liberdade ( 1n -k) e ( 2n -k) igualmente

determinamos a soma do quadrado residual SQR, 2S e 3S . De seguida,

somamos os quadrados do resíduo 324 SSS += com os graus de liberdade

( 1n + 2n -2k).

ii21i XY µ+γ+γ= Equação 39 t=1,2, .... 1n



20

ii21i XY µ+ω+ω= Equação 40 t=1,2, .... 2n

4. 3º Passo Obtemos a diferença entre a SQE da primeira regressão e da soma das duas regressões em separado. 415 SSS −=

monta-se assim o teste de chow:

( )k2nnS

kS

F

21

4

5

−+

= Equação 41

Conhecendo os graus de liberdade dados por (K;n1+n2-2k) vamos para tabela estatística e tomamos o valor critico dado o nível de significância(5% preferencialmente). Se o valor de F calculado exceder o valor critico, rejeitamos a hipótese de que as regressões I e II são semelhantes, isto que dizer que existe mudança estrutural no comportamento da variável

d) O COEFICIENTE DE DETERMINAÇÃO

Por definição, o coeficiente de determinação, é o racio entre a soma do quadrado do erro e a soma do quadrado total

∑∑β

==2i

ii22

y

xyˆ

SQT

SQER Equação 42

o que em outra palavras significa perguntar, em que nível a variável dependente capta a informação proveniente das variáveis independentes. Quando este indicador aproxima-se a 1, significa dizer que o modelo afigura-se poderoso e estatisticamente significante. Quando o indicador é baixo, pressupõe dizer que existem outras variáveis que explicam de melhor forma o modelo.



21

IV. A REGRESSÃO MÚLTIPLA 1. PRESSUPOSTOS BÁSICOS;

Os pressupostos básicos a serem observados na regressão múltipla, dizem respeito aos

abordados no modelo clássico, porem resumindo-se em 5 hipótese básicas.

Notação Escalar Notação Matricial 1. 0)(E i =µ para cada i 1. 0)(E =µ em que u e 0 são vectores coluna nx1,

sendo 0 um vector nulo.

2. 2

ji 0)(E

σ=

=µµ onde ji ≠

2. I)(E 2σ=µ′µ em que I é uma matriz

identidade nxn

3. k,32 XX,X são não estocásticos e fixos. 3. A matriz nxk X não é estocástica, ou seja é formada por um número de conjuntos fixos

4. Não há nenhuma relação linear exacta entre as variáveis X, ou seja nenhuma multicolinearidade

4. O posto(rank) de X é k)X( =ρ em que k é o

número de colunas em X e k é menor que o número de observações n.

5. Para testar hipóteses assumimos que:

),0(N~ 2i σµ

5. O vector u é distribuído normalmente

multivariedade isto é )I,0(N~ 2i σµ

2. INFERÊNCIA A VERSÃO MATRICIAL DA REGRESSÃO MÚLTIPLA

Uma abordagem mais realista do modelo de regressão múltipla, sugere-nos o uso de

matrizes devido ao facto de maior parte dos modelos implicarem a inclusão de k variáveis. Seja:

n...,,3,2,1iondeuX...XXY ikiki33i221i =+β++β+β+β= Equação 43

onde beta um é o intercepto, e os demais betas são os coeficientes parciais. u é o erro tomando um comportamento aleatório.

Adicionalmente , a equação pode ser apresentada sob forma de um sistema de equações e posterior sob forma de um sistema de equações.

nknkn33n22nn

22kk32322222

11kk31321211

uX...XXY

................................................................

uX...XXY

uX...XXY

+β++β+β+β=

+β++β+β+β=

+β++β+β+β=

Equação 44

Segue-se a forma matricial:

1nXn

2

1

1kXk

2

1

nXkkn

2k

1k

n3

32

13

n2

22

21

1nXn

2

1

u.

.u

u

.

.

X.

.X

X

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

X.

.X

X

X.

.X

X

1.

.1

1

Y.

.Y

Y

+

β

β

β

=

Equação 45

Podendo ainda assumir a forma matricial reduzida:

1nx1kxnxk1nx

uXy +β= Equação 46



22

Onde y=n X 1 é um vector coluna da variável dependente X=n X k é a matriz das variáveis independentes, B=k X 1 vector coluna dos parâmetros por estimar. u=n X 1 vector coluna nos n erros(distúrbios). Efectuamos assim o cálculo dos estimadores dos mínimos quadrados ordinários:

ikiki33i221i uXˆ...XˆXˆˆY +β++β+β+β= Equação 47

Assim teríamos a equação do resíduo quadrado

( )2kiki33i221ii2 Xˆ...XˆXˆˆYu ∑∑ β−−β−β−β−= Equação 48

Matricialmente teríamos a equação representada do seguinte modo:

β′β′+′β′−′=β−′β−=′ ˆXXˆyXˆ2yy)ˆXy()ˆXy(uu Equação 49

( )β′+′−=

β∂

′∂ ˆXX2yX2ˆuu

Equação 50

depois de efectuados os corte necessários, nos é dada a equação dos estimadores,

representada por um vector segundo a representação vectorial acima. :

( ) yXXXˆ 1 ′′=β−

Equação 51

3. INFERÊNCIA AO MÉTODO DE CRAMMER PARA A MATRIZ INVERSA

O método de crammer é recorrido apenas com o interesse de determinar-se quer os

parâmetros como a matriz inversa da matriz produto das variáveis exógenas ( ) yXXXˆ 1 ′′=β−

considerando ser elemento determinante para o calculo do vector dos estimadores.

Nesta secção seria mais sensato que você desse uma vista aos velhos conhecimento de álgebra linear em como determinar a matriz inversa. Todavia, eu apresentar-lhe ei aqui os passos básicos, visto que o conhecimento da matriz inversa faz-se necessário.

PARA O CÁLCULO DOS PARAMETROS

A regra de Crammer requer que a Matriz A tenha uma solução única, tal que )x,......,x(X n1= de um sistema de ordem nxn bAx = .

Tal que i

ii Adet

Bdetx = onde B é a matriz A com o membro direito igual a b

Assim para um modelo:



23

3333232131

2323222121

1313212111

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

=++

=++

=++

Equação 52

o que seria mo mesmo dizer

=

3

2

1

3

2

1

333231

232221

131211

b

b

b

x

x

x

aaa

aaa

aaa

Note que embora a simbologia não seja proporcional ao modelo de regressão, quando no modelo de regressão precisamos calcular o vector beta, aqui o vector bete corresponde a ao vector x quando a matriz dos “a” corresponde a matriz de “x” no modelo de regressão.

Assim sendo, a regra de Crammer pressupõe que:

1

333231

232221

131211

33323

23222

13121

1

aaa

aaa

aaa

aab

aab

aab

x

−

=

1

333231

232221

131211

33331

23221

13111

2

aaa

aaa

aaa

aba

aba

aba

x

−

=

1

333231

232221

131211

33231

22221

11211

2

aaa

aaa

aaa

baa

baa

baa

x

−

=

Logo, conhecendo a matriz inversa, o resto reduz-se numa multiplicação.

PARA O CALCULO DA MATRIZ INVERSA

Poderá recorrer a esta opção, calculando a matriz inversa e depois fazer o uso da formula obtida no desdobramento dos MQO na versão matricial.

A formula para o cálculo é:

AAdjuntaMatrixAdet

1A 1 =− Equação 53

Um exemplo da Regra de Crammer:

=

101

030

542

A

primeiro passo, encontrar o determinante da matriz, assegurando que 0A ≠ para que

exista um solução única.

Do calculo ficamos a saber que 9A −=

Segundo passo, determinamos a matriz dos cofactores:



24

310

03c11 =+= 0

11

00c12 =−= 3

01

30c11 −=+=

410

54c21 −=−= 3

11

52c22 −=+= 4

01

42c11 =−=

1503

54c31 −=+= 0

00

52c32 =−= 6

30

42c11 =+=

Matriz Adjunta A seria igual a:

=

332313

322212

312111

CCC

CCC

CCC

Aadj

Note que esta matriz foi transposta; temos primeiro expressas as colunas depois as linhas, contrariamente ao pressuposto normal, o que nos leva a afirmar que a a Matriz adjunta, é a matriz dos co-factores na sua transposta.

4. INFERÊNCIA AOS EXPERIMENTOS DE MONTE CARLO

Os experimentos de Monte Carlo constituem um mecanismo que nos permite colocar em teste a propriedade MELNV dos estimadores, procurando saber até que ponto elas são validas.

Para melhor entendimento quanto a noção básica dos experimentos de Monte Carlo, apresentaremos em síntese um conjunto de passos sucessivos:

a) Considere uma função de regressão populacional do tipo: ii21 XY µ+β+β=

b) Admitimos a hipótese que os parâmetros reais são conhecidos, sendo: 1β = 20 e

2β =0,6. c) Assumimos um tamanho da amostra de 25 observações, assim como fixamos os

valores de X para cada observação. d) Escolhemos 25 observações aleatórias tomando uma distribuição normal

),0(N~ σ e chamamos estes de resíduos iµ Considerando que o valor de 1β , 2β ,

iX e iµ são conhecidos, implica dizer que podemos determinar o valor de iY

e) Agora, com o valor de iY , e tomando os valores de iX , calcule uma regressão

para determinar 1β , 2β .

f) Imagine agora que você repete o mesmo 19 vezes, tomando os valores de 1β , 2β ,

iX , a medida que se forem criando aleatoriamente os valores de iµ , chargará ao

ponto de obter 20 de 1β , 2β , então, tomando estas observações, determinamos as

média dos parâmetros ficando com 1β , 2β . Se porventura as medias encontradas

forem iguais ou bem próximas aos valores iniciais de 1β e 2β , então estes estimadores são de facto estimadores não viesados. Na verdade este tipo de experimentos faz-se para 1000, 2000, 5000 ou muito mais iterações, geralmente com ajuda do computador.



25

g) Em síntese o método de Monte Carlo é o mecanismo prático para testar as

hipóteses: ( ) 11ˆE β=β e de ( ) 22

ˆE β=β

5. OUTROS INDICADORES NA VERSÃO MATRICIAL a) O TESTE DE F

Na versão matricial, a estatística de F obedece os mesmos pressupostos enunciados na versão escalar.

No entanto, a formula para o cálculo da estatística de F conforme ja foi dito, diz-nos qual é o grau de significancia global do modelo. Geralmente, infere-se ao modelo ANOVA (designado para o estudo da variância), permitindo-nos analisar todos os possíveis de cenários de significância global do modelo.

( )

( )kn

yXˆyy1k

YnyXˆ

F

2

−′β′−′

−−′β′

= Equação 54

onde o teste segue a distribuição de F, com k-1 e n-k graus de liberdade.

Considerando a relação próxima entre o coeficiente de determinação e a estatística de F, podemos apresentar F como sendo:

( )

( )( )kn

yXˆyyR11k

YnyyR

F2

22

−′β′−′−

−−′

=( )

knR1

1kR

F2

2

−−

−=⇒ Equação 55

b) O COEFICIENTE DE DETERMINAÇÃO9

2

22

Ynyy

YnyXˆ

SQT

SQER

−′

−′β′== Equação 56

Lembre-se que 2YnyXˆ −′β′ representa a soma do quadrado do erro –SQE e é um

escalar. Analogamente 2Ynyy −′ representa a soma do quadrado total –SQT também um escalar.

c) O COEFICIENTE DE DETERMINAÇÃO AJUSTADO

O grande aspecto a considerar, é que 2R é uma função não decrescente em ralação ao número de variáveis independentes ou dos parâmetros regressores presentes no modelo. Conforme aumenta o número de regressores, 2R também tende a aumentar. Para resolver este problema, expurgamos o efeito dos graus de liberdade obtendo o coeficiente de determinação ajustado:

9 Lembre-se que anteriormente referenciamos que o coeficiente de determinação também pode ser apresentado como:

∑∑µ

−= 2i

2i2

yˆ

1R ; SQT

SQR1R 2 −=



26

( )

( )1ny

knˆ

1R2i

2i

2

−

−µ

−=∑

∑ Equação 57

curiosamente, repare que o que temos acima não é nada mais do que os conceitos da variância do erro e a variância de Y, logo podemos escrever:

2Y

22

S

ˆ1R

σ−= Equação 58

mais além, nota que ainda podemos manipular 2R usando 2R passando a ser:

( ) ( )( )kn

1nR11R 22

−

−−−= Equação 59

assim sempre que k>1 implica que 2R > 2R

d) A VARIÂNCIA E A MATRIZ VARIÂNCIA COVARIÂNCIA

Considere o vector de estimadores dos mínimos quadrados ordinários e façamos um desenvolvimento preliminar:

( )

( ) ( )

( ) uXXX

uXXXXXXX

)uX(XXXˆ

1

11

1

′′+β=

′′+β′′=

+β′′=β

−

−−

−

implica que,

( ) uXXXˆ 1 ′′=β−β− Equação 60

Determinemos agora a variância da covariância:

( )( )

( )( ) ( )( )

′′′′′=

′β−ββ−β=β−

−− uXXXuXXXE

ˆˆE)ˆcov(var

11

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) 1111 XXXuuEXXXXXXuuXXXE −−−− ′′′′⇒′′′′=

( ) ( ) 121 XXIXXXX −− ′σ′′= finalmente obtemos a matriz variância – covariância:

( ) 12 XX)ˆcov(var −′σ=β− Equação 61 na verdade a equação apresentar-se-ia do seguinte modo,

1

2

2

2

2

22

2

2

...

............

...

...

1...00

............

0...10

0...01

)ˆcov(var

−

=−

∑∑∑

∑∑∑∑∑

kiikiki

kiiii

kii

XXXX

XXXX

XXn

σβ

onde por obediência das hipóteses básicas, apenas consideramos os valores da coluna diagonal esquerda-direita, i.e. as variâncias



27

Consequentemente, teremos:

βββββ

βββββ

βββββ

=β−

)ˆvar(...)ˆ,ˆcov()ˆ,ˆcov(

............

)ˆ,ˆcov(...)ˆvar()ˆ,ˆcov(

)ˆ,ˆcov(...)ˆ,ˆcov()ˆvar(

)ˆcov(var

k2k1k

k2212

k1211

De seguida, para o calculo da matriz do erro padrão teremos:

βββββ

βββββ

βββββ

=β

)ˆvar(...)ˆ,ˆcov()ˆ,ˆcov(

............

)ˆ,ˆcov(...)ˆvar()ˆ,ˆcov(

)ˆ,ˆcov(...)ˆ,ˆcov()ˆvar(

)ˆ(ep

k2k1k

k2212

k1211

onde serão válidos apenas os elementos da diagonal. Note que você encontrará alguns valores negativos fora da diagonal (esquerda –direita) e estes não terão raiz quadrada.

6. EXERCÍCIO: ILUSTRAÇÃO Dados:

Ordem Qtid lbs Preç $/lbs Gastos em Propaganda $

1 55 100 5.5 2 70 90 6.3 3 90 80 7.2 4 100 70 7 5 90 70 6.3 6 105 70 7.35 7 80 70 5.6 8 110 65 7.15 9 115 60 7.5

10 130 55 7.15

11 130 50 6.5

Pretende-se: 1. Provar se os dados conferem com a equação abaixo:

i3i2ii X237.11X326.1532.117tidQ ε++−=

2. Fazer o check up dos sinais esperados 3. Fazer o teste de t para cada parâmetro. 4. Calcular o coeficiente de determinação sem tomar em conta os graus de liberdade. 5. Interprete os resultados obtidos

RESOLUÇÂO: Primeiro formulamos o modelo:



28

uXY

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

50.6501

15.7551

50.7601

15.7651

60.5701

35.7701

30.6701

00.7701

20.7801

30.6901

50.51001

130

130

115

110

80

105

90

100

90

70

55

1x1111

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

1x33

2

1

3x111x11

+β=

+

β

β

β

=

Cálculo da Matriz quadrada ( )XX′ das variáveis exógenas.

=

5975.4965.516355.73

5.516357450780

55.7378011

50.6501

15.7551

50.7601

15.7651

60.5701

35.7701

30.6701

00.7701

20.7801

30.6901

50.51001

5.615.75.715.76.535.63.672.73.65.5

50556065707070708090100

11111111111

Cálculo da matriz inversa da matriz quadrada ( ){ }1XX −′ das variáveis exógenas

=

5975.4965.516355.73

5.516357450780

55.7378011

ASeja

Calculamos o determinante:

DET (A)=83815.75 Aplicar regra de Crammer neste momento segundo os passos:

• Calcular determinante • Calcular a matriz dos coofactores • Calcular a matriz ajunta (transp cofactores) • Dividir pelo determinante de A

Elementos da Coluna 1 Elementos da Coluna 2



29

51867794.125975.4965.5163

5.516357450c11 =+=

7570.6255975.4965.5163

55.73780c21 −=−=

7570.6255975.49655.73

5163780c12 −=−=

52.975975.49655.73

55.7311c22 =+=

570.55.5163780

55.7311c22 =−=

Elementos da coluna 3

-197917.55.516355.73

57450780c13 =+=

570.55.516355.73

78011c23 =−=

2355057450780

78011c33 =+=

Montamos neste momento a matriz adjunta

−

−

=

23550570.5197917.5-

570.552.977570.625

197917.5-7570.62551867794.12

AAdj

Calculamos a matriz inversa, dividindo o determinante a transposta da matriz adjunta.

−

−

=−

23550570.5197917.5-

570.552.977570.625

197917.5-7570.62551867794.12

75.83815

1A 1

Encontramos a matriz inversa:

−

−

=−

50.2809734470.0068065922.36131340-

70.0068065910.000631980903246.0

22.36131340-090324611.022.2845244

A 1

Determinamos agora a matriz X’ y via multiplicação de matrizes, para computar o vector dos parâmetros

-197917.55.516357450

55.7378031 =+=c



30

=

=′

75.7301

72950

1075

130

130

115

110

80

105

90

100

90

70

55

5.615.75.715.76.535.63.672.73.65.5

50505560657070708090100

11111111111

yX

Okay, conhecendo a fórmula dos estimadores ( ) yXXXˆ 1 ′′=β− , podemos calcula-los.

−

−

=β

75.7301

72950

1075

50.2809734470.0068065922.36131340-

70.0068065910.000631980903246.0

22.36131340-090324611.022.2845244ˆ

Multiplicando obtemos o vector dos estimadores:

−=β

698356216.9

295842369.1

7475407.124ˆ

E finalmente montamos a nossa função estimada:

iiii GP698356216.9P295842369.17475407.124Qtid ε++−= Vamos agora calcular a variância do erro:

( )32775314.33

8

1266.622025

kn

ˆXXˆyyuu

kn

u 2i

==−

β′β′−′=′=

−

∑

Sabendo que:

12 )XX()ˆcov(var −′σ=β−

−

−

=

50.2809734470.0068065922.36131340-

70.0068065910.000631980903246.0

22.36131340-090324611.022.2845244

32775314.33

−

−=β−

364214.9226849.0698163.78

226849.0021063.0010316.3

698163.78010316.3693128.742

)ˆcov(var

Assim teríamos o vector do erro padrão:

=βσ

06010026.3

14512933.0

2523967.27

)ˆ(

e as estatísticas de t que nos dizem qual o grau de significância estatística



31

−=β

169294.3

92888.8

578223.4

)ˆ(t

Neste momento, efectuamos o teste de hipóteses para avaliar o resultado obtidos:

Como se pode observar, ao nível de significância todos os parâmetros são poderosa e

estatisticamente significantes. O Calculo do coeficiente de determinação:

0.952543012105056.818110675

2105056.818110408.378

Ynyy

YnyXˆR

2

22 =

−

−=

−′

−′β′=



32

V. RELAXANDO AS HIPÓTESES BÁSICAS DO MODELO 1. A MICRONUMEROSIDADE E MULTICOLINEARIDADE

O termo Multicolinaridade foi introduzido por Ragner Frisch para ilustrar a existência de uma perfeita ou exacta relação linear entre variáveis independentes de um modelo.

Existe uma relação linear exacta quando:

0X.....XXX kk332211 =ρρ+ρ+ρ Equação 62

onde k21 ...., ρρρ são constantes do modelo mas que todavia nem todas são iguais a zero.

É comum encontra-se modelos com multicolinearidade porem não em situação de colinearidade perfeita

Quando estamos em presença de multicolinearidade perfeita, os coeficientes da regressão tornam-se indetermináveis e o erro padrão tende para o infinito. Se a multicolinearidade é menos que perfeita, a tendência é tão somente de observar-se um alto erro padrão o que traduz a dificuldade de estimação do erro padrão.

Um aspecto importante a fazer menção é que ainda que o modelo observe alta multicolineriadade, este facto não afecta as propriedade básicas dos estimadores dos mínimos quadrados ordinários. Eles mantém-se MELNV. Defacto Cristopher Achen salienta:

“Estudantes principiantes de metodologia às vezes se preocupam com o facto de suas variáveis independentes estarem correlacionadas - o assim chamado problema da multicolinearidade. Mas a multicolinearidade não viola nenhuma hipótese de regressão. Estimativas não-viesadas e consistentes vão ocorrer, e seus erros-padrão serão correctamente estimados. O único efeito da multicolinearidade é tornar difícil a obtenção de estimativas de coeficientes com pequeno erro-padrão. Mas ter um número pequeno de observações também têm esse efeito, assim como ter variáveis independentes com pequenas variâncias. (Na verdade, em nível teórico, multicolinearidade, poucas observações e pequenas variâncias nas variáveis independentes são, basicamente, o mesmo problema.) Assim, "O que devo fazer com a multicolinearidade?" é uma questão semelhante a "O que devo fazer se não tiver muitas observações?". Nenhuma resposta estatística pode ser dada.”



33

a) FONTES DA MULTICOLINEARIDADE

Montogomery e Peck, terão desenvolvido um trabalho extensivo no qual é possível identificar as potenciais fontes da multicolinearidade:

1. O método usado na colheita de dados: sobretudo quando consubstancia-se numa gama limitada de observações tende a traduzir-se em relações colineares no pressuposto de que tomando o comportamento de determinadas series em tamanhos ou intervalos de tempo curtos, nunca chega a ser suficientemente explicativo para captar as tendências reais de mudança;

2. Restrições impostas ao modelo: costuma-se usar o exemplo da relação rendimento e consumo de electricidade, partindo do pressuposto de que escalões de baixo rendimento tendem a associar-se com habitações restritas em termos de espaço e consequentemente no consumo de energia;

3. Mispecification Bias: Quando as variáveis a incluir no modelo não forem devidamente especificadas ou quando o modelo possui um número de parâmetros superior ao tamanho da população. (observações)

b) PRESENÇA, DETENÇÃO E MEDIDAS CORRECTIVAS

Como detectar a multicolinearidade constitui uma das questões preocupantes para principiantes em econometria. De facto a existência ou a não existência da multicolinearidade não deve constituir preocupação. O que mais deve preocupar são os distintos níveis da multicolinearidade;

Veremos alguns indicadores básicos que nos permitem induzir a existência da multicolinearidade:

1. Alto coeficiente de determinação e poucos parâmetros afigurando-se estatisticamente significantes: Geralmente toma-se como referencia 80%, e em muitos dos caso o teste de F rejeita a hipótese nula de simultaneidade dos coeficientes parciais;

2. Correlação elevada entre dois a dois parâmetros: se computando o grau de correlação entre dois a dois parâmetros vislumbra-se num coeficientes de associação acima de 80% constitui uma pista para suspeitar a existência de alto nível de colinearidade; Argumenta-se também que para alguns casos a colinearidade pode existir mesmo em situações em que o grau de correlação de ordem zero entre variáveis é baixo.

3. Regressões auxiliares: outra técnica pertinente para detenção da existência de multicolinearidade tem sido computar regressões auxiliares de cada variável independente sobre as demais e o consequente calculo do coeficiente de determinação para averiguar o grau de ajustamento do modelo.

Conhecidas as fontes e detectada a presença da multicolinearidade, que mediadas

correctivas? A multicolinearidade é essencialmente um problema de amostra, o que torna simples identificar a s medidas correctivas para livrar-se dela.



34

1. A informação a prior constitui um factor determinante na medida em que a percepção do tipo de variáveis em causa ou o tipo de questões que se tenham colocado num inquérito específico, tendem a fornecer um foco de correcção; Exemplo, o modelo de determinação do consumo como função do rendimento pessoal disponível e da riqueza é um dos casos de alta associação.

2. O tamanho da amostra, conforme já abordado, sempre que for possível incrementar o tamanho da amostra, para alguns dos casos tende a expurgar o efeito colinear entre determinadas variáveis;

3. Re-especificação do Modelo: por vezes é possível num determinado modelo ter variáveis redundantes, uma vez retiradas, o grau de significancia estatística do modelo não sofre grandes alterações; Também associam-se nestes casos a especificação correcta do modelo.

Exemplo:

O modelo correcto previsto é dado por:

ii33i22ii XXY µ+β+β+β= Equação 63

todavia nós especificamos o modelo da seguinte maneira:

ii212ii ˆXY µ+α+α= Equação 64

quando sabe-se afinal de contas que: ( ) 323212E αβ+β=α onde 32α é o ângulo

de inclinação das variáveis X2 e X3. Consequentemente, ocorrerá que a 12α

será um estimador enviesado de 2β desde que 32α seja diferente de zero.

4. A Transformação de variáveis: Ocorre para muitas variáveis não estacionarias, geralmente quando estas apresentarem um comportamento com “trend” tal que usando o exemplo do rendimento e consumo, a tendência de ambas as variáveis seguem a mesma direcção. Estes caso cria em certa parte um comportamento ilusório que para alguns dos casos traduz-se em multicolinearidade. A transformação de variáveis muitos casos consiste na aplicação de logaritmos para abrandar o comportamento do trend ou no cálculo da primeira diferença.


aplicando uma desfazem , teríamos

1t1t331t22i1t XXY −−−− µ+β+β+β= Equação 66

consequentemente, a diferença de ambas as funções seria:

( ) ( ) t1t3t331t2t221tt vXXXXYY +−β+−β=− −−− Equação 67

5. A combinação de dados de corte (cross-secionais) e series temporais, embora seja um artificio um pouco complexo, constitui uma das sugestões pertinentes para resolução do problema;



35

c) CONSEQUÊNCIAS PRATICAS DA MULTICOLINERARIDADE

1. Não obstante continuarem sendo MELNV, os estimadores do mínimos quadrados ordinários tendem a produzir variâncias e covariâncias com um tamanho bastante alto, difíceis de serem estimadas;

2. Consequentemente, os intervalos de confidencia tendem a ser bastante largos forçando a imediata aceitação da hipótese nula (de que o coeficiente da população real é igual a zero);

3. Existe uma tendência das estatísticas de t de cada coeficientes, mostrarem-se estatisticamente insignificantes em contraste, o coeficiente de determinação do modelo 2R tende em muitos dos casos para um valor próximo de 100% demonstrando que o modelo estimado ajusta-se ao modelo real;

4. Pequenas alterações nos dados estatísticos, deixam os estimadores e os desvios-padrão bastante sensíveis a mudanças.



36

2. ELEMENTOS CHAVE10 DA MULTICOLINEARIDADE

10 Quanto a alínea (d) Além disso, como destacaram C. Robert' Krishna Kumar, John O'Hagan e Brendan McCable, há alguns problemas estatísticos com o teste de correlação parcial sugerido por Farrar e Glauber.

1. Uma das hipóteses do modelo clássico de regressão linear é a de que não haja multicolinearidade entre as variáveis explicativas, os Xs. Interpretada a grosso modo, multicolinearidade se refere à situação em que há uma relação linear exacta ou aproximadamente exacta entre as variáveis X.

2. As consequências da multicolinearidade são estas: se houver uma colinearidade perfeita entre os Xs, seus coeficientes de regressão serão indeterminados e seus erros-padrão não serão definidos. Se a colinearidade for alta, porém não perfeita, a estimativa dos coeficientes de regressão será possível, mas seus erros-padrão tenderão a ser grandes. Como resultado, os valores dos coeficientes na população não podem ser estimados precisamente. Porém, se o objectivo for estimar as combinações lineares desses coeficientes, as funções estimáveis, isto pode ser feito mesmo na presença da multicolinearidade perfeita.

3. Embora não haja nenhum método infalível para detectar a colinearidade, há diversos indicadores dela, que são os seguintes:

(a) O indício mais claro da multicolinearidade surge quando 2R é bastante alto, mas nenhum dos coeficientes de regressão é estatisticamente significativo segundo o teste t convencional. Este caso, naturalmente, é extremo.

(b) Nos modelos envolvendo apenas duas variáveis explicativas, pode-se obter uma idéia razoavelmente boa da colinearidade examinando-se o coeficiente de correlação simples, ou de ordem zero, entre as duas variáveis. Se estão correlação for alta, geralmente a culpada é a multicolinearidade.

(c) Os coeficientes de correlação de ordem zero, porém, podem ser enganadores em modelos que envolvam mais de duas variáveis X, pois é possível ter baixas correlações de ordem zero e, apesar disso, existir alta multicolinearidade. Em tais situações, talvez tenhamos de examinar os coeficientes de correlação parcial,

(d) Se 2R for alto mas as correlações parciais forem baixas, a multicolinearidade e uma possibilidade. Aqui, uma ou mais variáveis podem ser supérfluas. Mas se o

2R for alto e as correlações parciais também forem altas, a multicolinearidade pode não ser facilmente detectável.

(e) Portanto, podemos regredir cada uma das variáveis X. sobre as demais variáveis X no modelo e descobrir os respectivos coeficientes de determinação



37

3. A HETEROSKEDASTICIDADE VERSUS HOMOSKEDASTICIDADE

Uma das mais relevantes hipóteses do modelo clássico, consiste no comportamento homoscedastico da variância do resíduo ao longo do tempo 22 )( σµ =Var . (característica básica

das series temporais estacionarias). A questão colocas-se defacto em questionar o que ocorre no modelo se esta hipótese for violada?

Na abordagem matricial, estaríamos em presença da matriz do resíduo, dada sob forma de:

σ

σ

σ

=µ′µ=µ

2n

22

21

...00

............

0...0

0...0

)(E)var( Equação 68

o que significa que ao longo do tempo, os erros de distintos períodos possuem correlação nula, quanto aos erros do mesmo período correspondem a variância. (expressa na linha diagonal), e segundo o postulado clássico, esta variancia deve assumir valores constantes. Contrariamente, estamos em presença da heterorskedaticidade.

A figura abaixo é uma ilustração clara da alteração da dispersão do resíduo como função do tempo. Um caso comum sustentando a heteroskedasticidade é o modelo das expectativas racionais- na justificação de que a medida em que o tempo passa as pessoas ajustam o seu comportamento com os seus erros, tal que as oportunidades de cometer um erro tornam-se reduzidas. Para este caso, teríamos por exemplo um gráfico semelhante ao debaixo. Porém, com a distribuição do resíduo variando do sentido inverso.

Um outro exemplo semelhante diz respeito a firmas de pesquisa. Estas tendem a melhorar a técnica de colecta de dados ao longo do tempo, também diz respeito a reduções graduais que se vão registando na componente do resíduo.

Ilustração 3 Perturbações Heteroscedasticas

a) PRESENÇA, DETENÇÃO E MEDIDAS CORRECTIVAS

Na presença de heteorskedasticidade, notamos que 22i σ≠σ afectando a prior a formula

da variância conforme visto anteriormente. Segundo, nas abordagens anteriores fez-se menção



38

ao facto de 2β ser um estimador linear não viesado –MELNV desde que as hipóteses do modelo clássico sejam observadas.

Até este ponto, o simples facto da violação da homoskedasticidade, não retira a propriedade de MELNV. Todavia, ocorre que estes estimadores dos mínimos quadrados ordinários continuam sendo melhores e não viesados porém não mais são eficientes ou seja, não possuem variância mínima.

b) TESTES DE HIPÓTESES

Para a detenção da heteroskedasticidade, utilizam-se vários métodos dentre os quais:

MÉTODOS INFORMAIS:

• Métodos Gráficos: Não existindo informação alguma, basta fazer um plot do resíduo em relação ao tempo ou em relação a variável dependendente, tão fácil podemos observar um comportamento(patetern) especifico que nos permite perceber a variação do resíduo em função do tempo ou da variável dependente.

Ilustração 4 Ilustração de vários padrões de resíduos quadrados estimados.

MÉTODOS FORMAIS:

Existem vários testes para o efeito. O Teste de Gelser,Teste de Park , Teste de Glejsere, Teste de Correlação de Spearman, White’s General Heteroscedasticity, Teste de Goldfield Quandt.

• White’s General Heteroscedasticity –

Inicialmente computamos a regressão auxiliar do quadrado do erro nos valores de X, no quadrado de X e nos produtos cruzados

ii3i262i35

2214i33i221i vXXXXXXu +α+α+α+α+α+α= Equação 69

de seguida computamos o coeficiente de determinação efectuamos o teste de hipóteses. 2df

2 ~Rn χ Equação 70

Se o valor computado da estatística for superior ao valor critico chi-square segundo os graus de liberdade(sem o intercepto) Conclui-se que existe Heteroscedasticidade. Se não exceder: então 0654321 =α=α=α=α=α=α o que significa estar-se em presença de

homoskedaticidade.



39

• Teste de Goldfield Quandt –

( )( ) knu

knu

glSRQ

glSRQ

22

2elomod

12

1elomod

1

2

−

−==λ∑∑ Equação 71

onde: SRQ= Soma do resíduo quadrado

gl = graus de liberdade

Constitui passos para o emprego do presente teste: o Organizar a amostra em ordem crescente a X o Omitir m observações centrais tal que (n-m) seja num número par o Dividir a amostra em duas regressões (n-m)/2 o Obter a soma dos resíduos quadrados de ambas regressões

Se lambda for superior ao valor critico tabelado de F, segundo os graus de liberdade ((n-c)/2)-k, rejeitamos a hipótese de homoscedaticidade; A variância comporta-se heteroscedasticamente.

c) O MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS GENERALIZADOS

Sempre que estivermos em presença da Heteroskedasticidade, o método dos mínimos quadrados ordinários, não mais é valido. Nestas circunstancias, fizemos recurso ao método dos Mínimos Quadrados Generalizados, um método que consiste na transformação do modelo com vista a poder estimá-lo.

Vejamos um modelo com tres variáveis:


podendo também ser escrito do seguinte modo

ii33i22i0ii XXXY µ+β+β+β= Equação 73

onde 1X i0 = suponha que seja conhecida a variância 2iσ então dividiremos a equação

anterior pelo desvio padrão.

σ

µ+

σβ+

σβ+

σβ=

σ i

i

i

i33

i

i22

i

i0i

i

i XXXY Equação 74

o que facilita escrevermos o modelo como: *i

*i3

*3

*i2

*2

*i0

*1

*i XXXY µ+β+β+β= Equação 75

Neste momento as variáveis sofreram uma transformação, tendo sido eliminado o efeito da variância heteroskedastica. Assim sendo, estamos em condições de estimar o modelo aplicando os mínimos quadrados ordinários. Assim:

( )2

i

i2*i

*i E)(Evar

σ

µ=µ=µ Equação 76



40

( ) ( ) 2i2

i

2i2

i

2*i

*i

1E

1)(Evar σ

σ=µ

σ=µ=µ sabendo que ( ) 2

i2iE σ=µ Equação 77

( ) 1)(Evar 2*i

*i =µ=µ Equação 78

Onde a variância dos mínimos quadrados ordinários generalizados possuem variância semelhante a observada pelos MQO ou OLS, que é de facto uma constante.

4. A AUTOCORRELAÇÃO a) PRESENÇA, DETENÇÃO E MEDIDAS CORRECTIVAS

A semelhança da heteroskedasticidade, na presença da autocorrelação os estimadores dos MQO continuam sendo os melhores estimadores lineares não viesados mas não mais possuem a variância mínima entre todos os estimadores não viesados

O termo Auto-correlação significa correlação entre elementos da mesma serie ao longo do tempo, todavia, o pressuposto do modelo clássico é de que não deve existir este tipo de perturbações.

0)(E ji =µµ quando ji ≠ Equação 79

Todavia quando estivermos em presença deste tipo de perturbação, contrariamente a hipótese clássica, teremos um cenário de:

0)(E ji ≠µµ quando ji ≠ Equação 80

A titulo de exemplo, num cenário destes, a greve que ocorre neste trimestre afecta o resultado do trimestre seguinte, ou seja um erro cometido durante um mandato influenciará os mandatos seguintes. De facto este cenário 0)(E ji ≠µµ é o que mais representa a realidade.

CAUSAS

Uma das características principais de determinadas series temporais diz respeito a Inércia ou a rigidez. Isto ocorre muitas vezes com os índices de preços, PNB, emprego/desemprego e outras variáveis que apresentam flutuações cíclicas ao longo do tempo. Geralmente obedecem um tendência, de recessão para períodos de reanimação, expansão e boom para depois voltar em baixo e seguir novamente o ciclo iterativo.

Outras vezes, a especificação errónea do modelo ou a omissão de determinadas variáveis de destaque, constitui razão de existência da auto-correlação.

Também salientam-se casos como o fenómeno cobb-web(teia de aranha) no qual a oferta de produtos agrícolas reage aos preços com uma defasagem de um período.

1t21t PBananasOfert −α−α= Equação 81

A manipulação de dados, sobretudo quando se tem dados brutos ao invés de dados regulares. Circunstancias nas quais se tomam dados brutos de um trimestre e calcula-se a média para criar series mensais, é em muitos dos casos factor causador de auto-correlação.

Alguns autores como Tinter distinguem o termo auto-correlação do termo correlação serial, embora nos pareçam ter o mesmo significado, existe uma pequena diferença. A autocorrelação é a serie defasada consigo mesma segundo um número de unidades de tempo. Quando o termo correlação serial diz respeito a desfazagem de series diferentes.



41

NATUREZA – AR(i) e MA(i)

Os modelos com auto-correlação na variável dependente denomina-se modelos auto-regressivos. exemplo:

ti3i21t10i ICRNRN ε+α+α+α+α= − Equação 82

uma representação mais comum, é o caso da regressão do erro

t1tiu ε+ρµ= − Equação 83

onde ρ é o coeficiente de correlação. Neste contexto, o modelo pode ser designado como modelo auto-regressivos de ordem um AR(1).

Quando estivermos em presença de uma função do erro dependendo de componentes com desfazagem, porem sendo estas perturbações aleatórias com média zero, dizemos que estamos em presença de um esquema de média móvel-MA(1)

1ttiu −λε+ε= Equação 84

Também podemos representar modelos com combinações AR e MA, designando-os ARMA(1,1)

1tt1tiu −− λε+ε+ρµ= Equação 85

MEDIDAS CORRECTIVAS

Em presença de auto-correlação, os estimadores continuam sendo MELNV porém não mais possuem variância mínima, o que quer dizer que deixam de ser eficientes. Se utilizarmos

a 1AR2 )ˆvar(β , os intervalos de confiança tendem a ser muito amplos, tornando difícil a rejeição da hipótese nula.

Considerando que o erro não é conhecido, a questão da auto-correlação muitas vezes é fruto de especulações. O remédio depende em grande parte do conhecimento tido quanto as interdependências entre as distintas variáveis, pois lidaremos com duas situações, uma quando a estrutura da correlação é conhecida, outra, quando ela não é conhecida.

Quando o coeficiente de correlação é conhecido, tomaremos uma FRP valida no período t todavia também no período t-1. tal que:

tt2ti XY µ+β+β=

1t1t2i1t XY −−− µ+β+β= Equação 86

multiplicando a FRP desfasada pelo coeficiente de correlação em ambos os lados, teríamos.

1t1t2i1t XY −−− ρµ+ρβ+ρβ=ρ Equação 87

Subtraindo da função primaria da equação 86 a da equação 87 teríamos:

)(XX)1(YY 1tt1t2t2i1tt −−− ρµ−µ+ρβ−β+ρ−β=ρ−

t1tt2i1tt )XX()1(YY ε+ρ−β+ρ−β=ρ− −− Equação 88

agora assumimos um modelo

t*t

*2

*1

*t XY ε+β+β= Equação 89



42

no qual, )XX(X);1();YY(Y 1tt*t1

*11tt

*t −− ρ−=ρ−β=βρ−=

Neste contexto, o resíduo respeita todas as premissas básicas dos MQO, sendo possível estimar a equação 89 sem risco de viés.

Sempre que tivermos conhecimento da dimensão da correlação, bastará aplicar diferenças ao modelo, reduzindo-o para tt2t XY ε+∆β=∆ , operação na qual ao aplicar o

operador da primeira diferença (delta) perdemos o intercepto. Nestas condições, semelhantemente, podemos estimar o modelo fazendo recurso ao método dos MQO.

b) TESTES DE HIPÓTESES

Durbin Watson O teste de DW é um dos testes tradicionais para testar a presença de auto-correlação.

Ele baseia-se nos resíduos e obedece uma distribuição estatística especifica, na qual são considerados os pontos de significancia superior e inferior. Quanto aos graus de liberdade, o parâmetro k não considera o intercepto da função. O teste DW não deve ser aplicado em modelos auto-regressivos. O teste tem a seguinte formula de cálculo:

( )

∑

∑

=

=−−

= n

1t

2t

n

2t

21tt

e

eed Equação 90

Para o uso dos valores críticos tabelados de DW, devemos seguir o seguinte diagrama que nos sugere em que circunstancias a correlação é positiva, negativa, ou quando é que não é possível detecta-la.

Ilustração 5 Áreas de decisão do teste de Durbin Watson



43

5. ELEMENTOS CHAVE DA AUTOCORRELAÇÃO

1. A autorrelação pode ocorrer por varias razões, pode ser derivada por inércia ou rigidez das series temporais económicas, viés resultante da omissão de variáveis importantes, ou por uso da forma funcional incorrecta, o fenómeno cobb-wed, a da teia de aranha ou ainda a manipulação dos dados.

2. Embora os estimadores de MQO permaneçam não-viesados e consistentes na presença de autocorrelação, eles deixam de ser eficientes. Como resultado, os testes de significancia t e F usuais não podem ser legitimamente aplicados. Por isso, são necessárias medidas correctivas.

3. o remédio depende da natureza da interdependência entre as perturbações Ut Mas como Ut não são observáveis, a prática comum é supor que sejam geradas por algum mecanismo.

4. o mecanismo comumente suposto é o esquema auto-regressivo de primeira ordem de Markov, que supõe que a perturbação no período corrente se relaciona linearmente com o termo de perturbação no período anterior, sendo que o coeficiente de autocorrelação fornece o grau da interdependência. Este mecanismo é conhecido como esquema AR(1).

5. Se o esquema AR(1) for válido e o coeficiente de autocorrelação for conhecido, o

problema da correlação serial pode ser facilmente atacado por meio da transformação dos dados seguindo o método da diferença generalizada. O esquema AR(1) pode ser facilmente generalizado para um esquema AR(p). Podemos também supor um mecanismo de média móvel (MA) ou uma mescla dos esquemas AR e MA, conhecida como ARMA.

6. Mesmo que usemos um esquema AR(1), o coeficiente de autocorrelação p não é conhecido a priori. Examinamos vários métodos para estimar p, tais como d de Durbin-Watson, d modificado de Theil-Nagar, método de Cochrane-Orcutt (C-O) em duas etapas, método C-O iterativo e o método de Durbin em duas etapas. Em grandes amostras, estes métodos geralmente produzem estimativas similares, mas não em pequenas amostras. Na prática, o método C-O iterativo se tornou bastante popular.

7. Naturalmente, antes de corrigir a autocorrelação, é preciso detectá-la. Há diversos métodos de detecção, dos quais o mais célebre é a estatística d de Durbin-Watson. Embora comumente usada e rotineiramente produzida pela maioria dos pacotes de software, a estatística d apresenta várias limitações. Muitas vezes, a estatística d

indica não uma autocorrelação pura, mas sim um viés de especificação ou o efeito ARCH.

8. Um modelo especial não discutido no nosso programa é o modelo ARCH (Autoregressive Conditional Heteroskedatic Model) , no qual a variância condicional do termo de erro se correlaciona serialmente com os valores passados do termo de erro elevados ao quadrado. Este modelo provou ser muito útil na modelagem e previsão de muitas variáveis financeiras, tais como taxas de câmbio, taxas de inflação etc. Usar-lo-emos na cadeira de Metodos de Previsão.



44

VI. TÓPICOS QUALITATIVOS 1. A REGRESSÃO DE VARIÁVEIS DUMMIES

No âmbito da análise de regressão, existem variáveis que não são facilmente quantificáveis numa escala definida. Estas variáveis quase frequentemente são denominadas por variáveis qualitativas, também designadas por variáveis dummies. A titulo exemplificativo, num determinado modelo, mantendo todas as variáveis constantes, se estivermos a tratar do rendimento, notaremos que o sexo feminino tende para alguns casos a auferir salários inferiores aos seus colegas do sexo masculino. Assim sendo, para a análise do rendimento, veremos que este difere na medida em que mudar o género. A este tipo de análise, diz respeito o tratamento das variáveis dummies.

As variáveis qualitativas geralmente indicam a presença ou a ausência de uma qualidade ou atributo. Em termos numéricos, elas assumem valores de 1 ou de 0, servindo de indicadores alternativos –variáveis dicotómicas, variáveis qualitativas, variáveis binárias.

a) INCIDÊNCIA NO INTERCEPTO

Tomemos como referência um modelo de uma variável, tendo o rendimento salarial como função dos anos de experiência acumulada. Nota-se porem que, não obstante os anos de experiência, há sempre uma tendência ao longo da população, encontrar valores que diferem, podendo estar por detrás varias causas como, origem regional, etinicidade, raça, ou género.

Vejamos o modelo abaixo:

iiiii uXDY +++= βαα 211 Equação 91

11 Nota que na verdade a inclusão das variáveis dummies implicaria ter as duas categorias, para o caso do rendimento como função da oferta de trabalho de professores, incluiríamos duas categorias, ilustrando a demanda de professores quando tratam-se de homens e mulheres, tal que o modelo apareceria do seguinte modo:

iiiiii uXDDY ++++= βααα 2312

Tal que teríamos:

contrariocaso

mulheresforseD

contrariocaso

emforseD

i

i

0

1

0

hom1

2

1

=

=

=

=

Entretanto, devido ao problema da multicolinearidade, não incluímos as duas categoria, incluímos apenas uma, no principio de que tomando o numero de categorias existentes, deveremos sempre deduzir uma. No nosso caso simples, a exclusão de uma categorias, será coberta pela outra categoria na medida em que o seus valores são exactamente o inverso da outra categoria.

Imagine que tivéssemos uma amostra com três observações de homens, e duas para mulheres, teríamos a a apresentação do seguinte modo.

Intercepto D1 D2 X1

Homem Y1 1 1 0 234 Homem Y2 1 1 0 434 Mulher Y3 1 0 1 325 Homem Y4 1 1 0 543 Mulher Y5 1 0 1 278

Note que este modelo tem problemas de multicolinearidade, porque a soma dos vectores D1 e D2 é perfeitamente igual ao vector do intercepto, logo estaríamos em presença de colinearidade perfeita. Para este caso, devemos excluir uma das

variáveis dummies, ou seja uma categoria da variável dummy e tão logo poderemos estimar o modelo.

Quanto ao resultado da regressão saberemos a partida que o valor do intercepto só ditaria os valores que a “intercepto” toma quando consideramos apenas



45

Neste caso, a nossa variável adicional expressa por D é a variável dummy. Esta toma dois valores diferentes. Se tratar-se de um homem, tomará o valor de 1 e se tratar-se de uma mulher, tomara o valor de 0.

De outro modo, formulando o modelo em relação ao valor convencional de Y em relação a X, teremos:

ii uXDYE ++== βα1)0|( Modelo representativo para as Mulheres

ii uXDYE +++== βαα )()1|( 21 Modelo representativo para os Homens.

Como pode notar, as duas variantes de alfa, representam o termo intercepto, logo, estamos em presença do efeito dummy sobre o intercepto.

Ilustração 6 Demonstração da Variação do Intercepto termo, numa função onde o salário é função dos

anos de experiência.

Uma variável dummy pode apresentar mais de duas categorias. Sempre que assim suceder, no acto da formulação do modelo, deduzimos sempre uma categoria (m-1).

b) INCIDÊNCIA NO PARÂMETRO DE INCLINAÇÃO

A abordagem da inferência das variáveis dummies na inclinação da linha de regressão, está estreitamente correlacionada como a abordagem do teste de chow. Lembre-se que o teste de chow diz respeito a averiguação da existência ou não de estabilidade estrutural, comparando duas regressões. Quando não existe estabilidade estrutural, quer dizer que a duas regressões em análise possuem graus de inclinação diferentes. O mesmo seria também dizer que existe uma alteração da tendência da linha de regressão ao longo do período, isto seria o mesmo que admitir a existência de uma variável independente cujo valor correlaciona-se com uma variável dummy, ao ponto desta variável tomar valores diferenciados em função do efeito dummy. Considere que para o teste de chow, juntamos as duas regressões possíveis e expressamo-las no modelo abaixo:

iiiiii uDXXXY +−+++= )(.... *223220 ββα Equação 92

Onde Y= representa por hipoteticamente rendimentos de firma da Água da Chela, Por hipótese poderíamos ter uma variável X1 Representando os gastos de exploração,

todavia, deixamos omissa para efeitos didácticos.. mulheres. Ao passo que se adicionarmos a este a variável seguinte-D1 (a dummy na sua primeira categoria) estaríamos obtendo os valores do intercepto considerando os homens.

Para livrar-se da armadilha da variável dummy, também se usa um artificio avançado que é o de incluir o numero inteiro de categorias, todavia eliminando o termo intercepto.



46

X2 =Volume de vendas geradas *2X Valor limiar das vendas, também designado como nó, (conhecido de ante mão).

Tal que: D=1 se X2 > *2X

D=2 se X2 < *2X

Admitindo que 0)( =iuE veremos imediatamente que:

ii uXDYE +++== 220 ....)0|( ββ Rendimentos até o ponto nível alvo de vendas *2X a.

iiiii uXXDYE +++++== 232*13 )(....)1|( βββα Que da o rendimento ultrapassando o

ponto alvo de vendas. Nota que este exemplo é semelhante ao teste de chow da estabilidade estrutural, no

qual a primeira regressão corresponderia a aos valores da regressão quando D=1 e a segunda regressão representaria D=2. Nota porém que, o facto da dummy incidir numa das variáveis independentes, subentende dizer que a inclinação da curva tenderá alterar.

2. EXERCÍCIO: INFERÊNCIA DE DUMIES NO ANGULO DE INCLINAÇÃO Derivamos alguns dados hipotéticos para estimar o comportamento dos custos de uma

firma, tomando o conhecimento que a determinado ponto do nível de produção ou de quantidades vendidas, o custo total muda de inclinação ao atingir 5500 unidades. Neste contexto, a variável dammy tomará valores de 0 até a quantidade vendida de 5500 unidades. Temos duas hipóteses para a análise.

• Uma hipótese é admitir a pura inclinação até esta quantidade, tomando a dummy valores de 1 a partir deste ponto. Neste caso a especificação do modelo seria a do tipo: iiiii uDXXY ++++= )(.... 23220 ββα

• Outra modalidade é de deduzir 5500 a partir do nível de produção acima deste ponto, teríamos assim um modelo do tipo

iiiiii uDXXXY +−+++= )(.... *223220 ββα .



47

Dados: Modelo 2

Rend Intercep Vendas *Dummy

256 1 1.000 0 414 1 2.000 0 634 1 3.000 0 778 1 4.000 0

1.003 1 5.000 0 1.839 1 6.000 500 2.081 1 7.000 1.500 2.423 1 8.000 2.500 2.734 1 9.000 3.500 2.914 1 10.000 4.500

iiiiii uDXXXY +−++−= )(0945,02791,0717,145ˆ * (176,73411) (0.046008) (0,082552) t= 2,01 6,066 1,144

2R =0,973706

Modelo 1 Rend. Intercep Venda Dummy** 256 1 1.000 1000*D=0 414 1 2.000 2000*D=0 634 1 3.000 3000*D=0 778 1 4.000 4000*D=0

1.003 1 5.000 5000*D=0 1.839 1 6.000 6000*(D=1) 2.081 1 7.000 7000*(D=1) 2.423 1 8.000 8000*(D=1) 2.734 1 9.000 9000*(D=1) 2.914 1 10.000 10000*(D=1)

iiiii uDXXY +++= 1082,0182052,073ˆ (36,30) (0.011) (0,007741)

t= 2,0199 16,3833 13,9831

2R =0,99 * = iiii uDXX +− )( *

22 **= iii uDX +)( 2

Importa realçar que no âmbito dos modelos de variáveis qualitativas, existem enumeras

versões relativas a inferência de variáveis dummies. Exemplo, existem versões nas quais a variável dependente também é uma variável qualitativa a ser regredida com variáveis quantitativas.

3. EXTENSÕES DO MODELO DE VARIAVEIS DUMMIES a) MODELO LOGIT

O modelo de Logit baseia-se no uso de funções de distribuição logística acumulada. Imaginemos que condicionalmente, quando uma família possui uma casa (Y=1) e caso não possua(Y=0), teremos assim uma variável dummy como variável dependente, contrariamente aos exemplos anteriores. Logit neste caso, desenvolve um modelo no qual é apresentada a função de propriedade condicionada pela renda familiar.

)( 211

1)|1(

iXiie

XYEPββ +−+

===

ou de forma simples, teríamos iZi

eP

−+=

1

1, onde iXZ 21 ββ +=

b) MODELO PROBIT

O modelo Probit, é um modelo de estimativa que emerge de uma função de distribuição cumulativa normal, embora por vezes seja conhecido como modelo normit.

O modelo Probit permite-nos encontrar resultados qualitativamente similares aos do modelo de Logit. Entretanto, em termos comparativos, é quase que impossível efectuar uma comparação directa devido ao facto da variância da variável normal na perspectiva de probit ser igual a um (1) enquanto que a variância de distribuição logística na perspectiva de logit é

igual a 33π . A figura abaixo demonstra a diferença entre as distribuição logística e probit. Tanto o modelo logit como o modelo probit asseguram que as probabilidades

estimadas se situam entre 0-1 e que elas se relacionam não linearmente com as variáveis explicativas. Todavia, logit é menos complicado pelo facto de oferecer-nos a possibilidade de transformar um modelo não linear em linear, a medida que aplicamos o logaritmo da razão da probabilidade, permitindo que se aplique o método dos mínimos quadrados ordinários.



48

Ilustração 7 Distribuição acumuladas de Logit e Probit

c) MODELO TOBIT

Trata-se de uma extensão do modelo probit. Foi desenvolvido por um vencedor do prémio nobel, de economia, - James Tobin. A descoberta deste modelo consiste em resolver situações nas quais, procurando estimar uma determinada variável, a população alvo caracteriza-se em dois cenários: 1) Situações nas quais possuímos dados sobre os regressores, e do regressando. 2) Situação na qual possuímos dados do regressor porém não existem dados do regressando, sendo necessário recorrer ao uso de variáveis dummies. Estes casos denominam-se por amostras censuradas.

NOTA: Uma abordagem mais detalhada dos destes tópicos podem ser encontradas nas

obras de G.S. Maddala e Willinam(Econometrics) e H. Greene (Econometric Analysis) .



49

4. ELEMENTOS CHAVE DA INFERÊNCIA DAS VARIÁVEIS DUMMIES

1. Variáveis dummies assumindo valores de 1 e 0 (ou suas transformações lineares) são um meio de introduzir regressores qualitativos na análise de regressão.

2. Variáveis dummies são um expediente classificatório de dados, uma vez que elas dividem uma amostra em vários subgrupos com base em suas qualidades ou atributos (sexo, estado civil, raça, religião etc.) e implicitamente nos permitem efectuar regressões individuais para cada subgrupo. Se houver diferenças na resposta do regressando a variação nas variáveis quantitativas dos diferentes subgrupos, elas vão se reflectir nas diferenças nos interceptos ou nos coeficientes de inclinação ou em ambos, das regressões dos diferentes subgrupos.

3. Embora seja uma ferramenta versátil, a técnica da variável dummy precisa ser manipulada com cautela. Em primeiro lugar, se a regressão tiver um termo constante, o número das variáveis dummies deve ser menor que o número de classificações de cada variável qualitativa. Em segundo lugar, o coeficiente ligado as variáveis dummies deve sempre ser interpretado em relação ao grupo-base, ou grupo de referencia, ou seja, o grupo que assume o valor zero. Por fim, se um modelo tiver diversas variáveis qualitativas com diversas classes, a introdução de variáveis dummies pode consumir um grande número de graus de liberdade. Portanto, devemos sempre ponderar o número de variáveis dummies a serem introduzidas em confronto com o número total de observações disponíveis para a análise.

4. Dentre suas várias aplicações existentes no domínio variáveis dummies, apenas tomamos em consideração a comparação de duas (ou mais) regressões e a regressão de modelos de regressão linear por partes. Todavia, existem ainda outras abordagens que não fazem parte do nosso programa de ensino, como a desazonalização de dados de series temporais; a combinação de dados de corte(cross sectional) com series temporais.

5. Como as variáveis dummies são não-estocasticas elas não apresentam nenhum problema especial quanto a aplicação dos MQO (OLS). Porém, deve-se tomar cuidado ao transformar dados envolvendo variáveis dummies. Em particular, e preciso lidar atentamente com os problemas de autocorrelação e heteroscedasticidade.



50

VII. MODELAGEM 1. MODELOS DE EQUAÇÕES SIMULTÂNEAS

Nos capítulos anteriores, teve a oportunidade de estudar, a análise de regressão de funções isoladas. Na realidade, terá a oportunidade de aperceber-se que, as variáveis iteragem entre si, tal que uma variável tida como exógena em determinada função de regressão ou modelo, tenderá a portar-se como endógena em outro modelo.

Um exemplo tradicional e simplista do modelo de equações simultâneas, diz respeito ao modelo de equilíbrio da procura e da oferta no qual, em situação pré-equilibrio, os preços da procura não são os preços da oferta.

Como pressuposto básico, consideramos que em presença de equações simultâneas, um modelo geral é constituído por M equações e M variáveis endógenas conjuntamente dependentes.

Podemos escrever do seguinte modo:

MtktMktMtMtMMtMtMtMMt

ttkttMtMttt

ttkttMtMttt

ttkttMtMttt

uXXXYYYYY

uXXXYYYY

uXXXYYYY

uXXXYYYY

γγγββββ

γγγβββ

γγγβββ

γγγβββ

...

.......

......

......

.

12141332211

31113213133321313

211112212123231212

11111211113132121

=

=

=

=

Onde M são as variáveis endógenas, K são as variáveis predeterminadas, onde umas podem assumir o valor de 1 para formar o termo intercepto. Este tipo de apresentação é denominada como sendo o modelo de equações comportamentais ou estruturais. Onde os coeficientes e parâmetros, são os parâmetros estruturais.

Nota: que todas as variáveis precisam aparecer em todas equações (a excepção do processo de identificação).

As variáveis endógenas são consideradas estocásticas, enquanto que as variáveis predeterminadas são consideradas não–estocásticas. Interessa compreender aqui, que o conceito de variáveis predeterminadas envolve o conceito de variáveis exógenas (actuais e passadas) e endógenas defasadas. Geralmente compete ao criador do modelo identificar que variáveis são exógenas e que variáveis são predeterminadas, certamente sem ignorar os ditames dos postulados teóricos. Conhecendo o modelo na sua forma estrutural, o nosso objectivo primário consiste em encontrar a forma reduzida, onde as variáveis serão expressas em termos de coeficientes da forma reduzida. Vejamos um exemplo reduzido do modelo keynesiano,



51

iii uYC ++= 10 ββ Equação 93

iii ICY += Equação 94

Note que se tomarmos a decisão de substituir a função do consumo na função do rendimento, resolvendo, o modelo reduz-se na seguinte forma:

iii wIY ++= 10 ππ Equação 95

Esta função expressa a variável endógena unicamente pela variável exógena e da perturbação estocástica, onde os parâmetros reduzidos definem-se em:

1

00 1 β

βπ

−=

11 1

1

βπ

−=

11 β−= i

i

uw Equação 96

Os parâmetros reduzidos também designam-se por multiplicadores de impacto do curto prazo. Por intermédio destes, é possível estimar os parâmetros estruturais fazendo recurso ao método dos Mínimos Quadrados Indirectos (MQI). Para que possamos recuperar os coeficientes da forma estrutural da forma reduzida, precisamos inicialmente identificar cada uma das equações.

2. PROBLEMA DA IDENTIFICAÇÃO DOS MODELOS

a) CONDIÇÃO DE ORDEM

Para a identificação de um modelo, obedecem-se determinadas regras .Existe a regra do ranking e a regra do numero de variáveis presentes no modelo. Fazendo o recurso da condição de ordem, para que uma equação constante num modelo seja devidamente identificada, primeiro devemos verificar quantas variáveis endógenas o modelo todo possui depois devemos identificar quantas variáveis pré-determinadas.

Onde definiremos como: M= núnmero de variáveis endógenas no modelo m= número de variáveis endógenas em uma das equações K= número de variáveis endógenas no modelo k= numero de variáveis predeterminadas em uma das equações Regra Para Identificar As Equações Identificação 1−≥− mkK As predeterminadas ausentes devem ser em

numero superior as Endógenas presentes menos 1 Exactamente identificada 1−=− mkK As predeterminadas ausentes devem ser em

numero exactamente igual as Endógenas presentes menos 1 Super-Identificada 1−>− mkK

b) CONDIÇÃO DO POSTO12

A condição do posto é condição de intensificação necessária, mas não suficiente. Vezes há que esta condição é satisfeita, entretando existem ainda equações não identificadas.

Regra: Em um modelo com M equações em M variáveis endógenas, uma equação é identificada e somente se, pelo menos um determinante diferente de zero da ordem (M-1)(M-

12 NOTA: acate bem esta parte, pois a abordagem na sala de aulas não foi suficientemente aberta por razões de restrição temporal e por questões metodológicas de ordem pedagógica.



52

1) puder ser obtido das variáveis quer endógenas como pré-determinadas excluídas dessa equação especifica mas incluídas nas outras equações do modelo. Considere o modelo constituído por quatro equações:

...

...

...

...

.

3403240214014004

32302130113013003

2012202120132032002

1001101310321021001

Mttttt

ttttt

ttttt

ttttt

uXYYY

uXXYY

uXXYY

uXYYY

++=

+++=

++++=

++++=

γβββ

γγββ

γγββ

γβββ

Passo Inicial, transformamos as equações igualando a soma das variáveis ao resíduo.:

...

...

...

...

3403240214014004

32302130113013003

2012202120132032002

1001101310321021001

Mttttt

ttttt

ttttt

ttttt

uXYYY

uXXYY

uXXYY

uXYYY

=−−−

=−−−−

=−−−−

=−−−−

γβββ

γγββ

γγββ

γβββ

Segundo passo, montamos a matriz única dos coeficientes deste modelo excluindo o resíduo:

.

00104

00103

00102

00011

1

403402401400

302301301300

202201203200

101103102100

3214321

γβββ

γγββ

γγββ

γβββ

−−−

−−−

−−−

−−−

Equação

Equação

Equação

Equação

XXXYYYY

Agora, repare que para a primeira equação, ela exclui as variáveis Y4, X2 e X3, você

pode reparar pelos valores correspondentes a zero. Para que essa equação seja identificada, devemos pelo menos obter um determinante de ordem 3x3 diferente de zero, a partir das variáveis excluídas desta equação entretendo incluídas nas demais equações. Assim buscamos uma matriz que necessariamente inclui Y4, X2 e X3,. Assim teríamos:

−

−

−

= .

01

00

00

403

302

202

γ

γ

γ

A

Efectuando os cálculos, logo concluímos que infelizmente o determinante é igual a

zero, logo a 1ª equação não satisfaz a regra do posto e consequentemente não está identificada.

−

−

−

= .

01

00

00

det

403

302

202

γ

γ

γ

A

Uma diferença a apontar, é o facto da regra do posto isolar-se na identificação ou não

de uma equação, enquanto que a condição de ordem, diz-nos em que circunstancias a equação terá sido exactamente identificada ou sobreidentificada.



53

3. ELEMENTOS CHAVE DAS EQUAÇÕES SIMULTANEAS

4. MÉTODOS PARA RESOLUÇÃO

a) MÍNIMOS QUADRADOS INDIRECTOS - IOLS

Para uma equação exactamente identificada, é possível obter-se os coeficientes estruturais a partir das estimativas reduzidas dos MQO. Sempre que assim o fizermos, estaremos em presença do método dos mínimos quadrados Indirectos (MQI)

Quando uma equação está exactamente identificada significa que existe correspondência um a um entre os parâmetros da forma reduzida e da forma estrutural.

1. Em contraste com os modelos de equação única, os modelos de equações simultâneas envolvem mais de uma variável dependente, ou endógena, sendo necessárias tantas equações quanto for o número de variáveis endógenas

2. Uma característica singular dos modelo de equações simultâneas é que a variável endógena (isto é, regressando) em uma equação pode aparecer como uma variável explicativa (isto é, regressor) em outra equação do sistema.

3. Em consequência, tal variável explicativa endógena se torna estocástica e geralmente tem correlação com o termo de perturbação da equação em que ela aparece como uma variável explicativa.

4. Nesta situação, o método clássico dos MQO(OLS) não pode ser aplicado, porque os estimadores assim obtidos não são consistentes, ou seja, não convergem para seus valores verdadeiros na população por maior que seja a amostra.

5. 0 problema de identificação antecede o problema de estimativa. O problema de identificação pergunta se podemos obter estimativas numéricas únicas dos coeficientes estruturais a partir dos coeficientes estimados na forma reduzida.

6. Se isso puder ser feito, uma equação em um sistema de equações simultâneas e identificada. Se isso não puder ser feito, essa equação é subidentificada ou não identificada.

7. Uma equação identificada pode estar exactamente identificada ou sobre-identificada. No primeiro caso, podem ser obtidos valores únicos dos coeficientes estruturais; no segundo caso, pode haver mais de um valor para um ou mais parâmetros estruturais.

8. O problema de identificação surge porque o mesmo conjunto de dados pode ser compatível com diferentes conjuntos de coeficientes estruturais, ou seja, diferentes modelos. Assim, na regressão do preço sobre quantidade apenas, e difícil dizer se estamos estimando a função oferta ou a função demanda, já que o preço e quantidade entram em ambas as equações.

9. Para avaliar a identificação de uma equação estrutural, podemos aplicar a técnica das equações na forma reduzida, que expressa uma variável endógena exclusivamente como uma função de variáveis predeterminadas.

10. Porém, pode-se evitar esse moroso procedimento recorrendo-se ou a condição de ordem ou a condição de posto para identificação. Embora a condição de ordem seja fácil de aplicar, ela proporciona somente uma condição necessária para a identificação. Por outro lado, a condição de posto é uma condição tanto necessária como suficiente para a identificação. Se a condição de posto é satisfeita, a condição de ordem também é satisfeita, embora o inverso não seja verdadeiro para todos os casos. Na prática, porém, a condição de ordem é geralmente adequada para garantir a identificação.

11. Embora, na prática, decidir se uma variável é endógena ou exógena seja uma questão de bom senso, podemos usar o teste de especificação de Hausman para determinar se uma variável (ou grupo de variáveis) é endógena ou exógena. (Veremos isto no programa de Métodos de Previsão, abordando igualmente a Casualidade de Granger).



54

Passos Necessários Para Aplicar Os MQI

1. Obter a forma reduzida. (usando o principio de uma variável endógena e as demais exógenas + erro)

2. Isoladamente aplicamos o método dos MQO para obter as estimativas dos parâmetros reduzidos. Obtemos estimativas consistentes na medida em que operamos com apenas variáveis predeterminadas.

3. Obtemos estimativas dos coeficientes estruturais originais dos coeficientes por meio dos coeficientes estimados na forma reduzida.

b) MÍNIMOS QUADRADOS EM DOIS ESTÁGIOS – MQ2E OU OLS TWO STAGES

Para uma ilustração do método dos Mínimos quadrados ordinários de 2 estágios, veremos um exemplo de simultaneidade ou causalidade, na relação entre a renda e a oferta de moeda.

Função do Rendimento ttttt uXXYY 12102110121011001 ++++= γγββ Equação 97

Função da Oferta de Moeda ttt uYY 212012002 ++= ββ Equação 98

onde Y1.= Rendimento Nacional Y2 = Estoque de Moeda

X1= Investimento X2=Gastos do Governo com produtos e serviços

Nota que X1 e X2 são variáveis exógenas. Entretanto, observe que existe uma equação do rendimento, correspondente a uma versão do modelo Keynesiano, sendo esta determinada pelo estoque de moeda. Entretanto, a oferta de moeda por parte do Banco Central, é determinada de igual modo pelo nível do rendimento. Assim estamos em presença de equações cuja explicação é simultânea, requerendo que se efectue o teste da simultaneidade.

Fazendo recurso ao processo de identificação, denotamos que a equação de renda esta sub-identificada e a equação da oferta de moeda esta sobre-identificada. Nestas situações, nada se pode fazer em relação a equação da renda senão re-especificar o modelo. A função da oferta monetária, sobre-identificada, não pode ser estimada pela via dos mínimos quadrados indirectos MQI. Pelo facto de existirem duas estimativas de 201β 13.

Nota que para o presente caso, podemos fazer recurso aos MQO, entretanto, os resultados nele obtidos não são satisfatórios devido ao facto de existir uma correlação entre a variável explicativa estocástica Y1 e o resíduo estocástico 2u . Para resolução do caso, criamos uma variável proxy, que se pareça a Y1 mas que todavia não se correlaciona com o resíduo da segunda equação. (Esta variável proxy, também é chamada de variável instrumental).

Para encontrar-se a variável proxy, fizemos recurso ao método dos MQO2E, desenvolvido por Henri Theil e Robert Basmann .

Passos Necessários Para Aplicar Os MQO2E

13 Facilmente identificável ao computar os parâmetros da forma reduzida.



55

Estágio 1- Regredir Y1 sobre todas as variáveis predeterminadas do sistema inteiro, não apenas na equação rendimento mas se houver uma variável predeterminada nas demais equações, (o caso não temos variáveis predeterminadas na segunda equação, se tivéssemos, então deveríamos inclui-las.).

Assim teríamos:

tttt uXXY ˆˆˆˆ221101 +Π+Π+Π= Equação 99

onde tu são resíduos usuais segundo o método dos MQO, tal que, estimando o modelo

da equação 99, encontramos:

ttt XXY 221101ˆˆˆˆ Π+Π+Π= Equação 100

Repare que ao expressar Y1 em ordem das variáveis pré-determinadas é o mesmo

como se trata-se da forma reduzida, pois tY1 é uma estimativa do valor médio de Y condicional

aos Xs fixados. Neste caso podemos expressar:

ttt uYY ˆ21 += Equação 101

Nestes caso, o Y1 estocástico consiste em duas partes: tY1 que é uma combinação de

linear dos X’s não estocásticos, e um componente aleatório, tu . Seguindo a teoria dos MQO,

tY1 , e tu não tem correlação.

Estágio 2- Sabendo que a equação da oferta é sobreidentificada, podemos escrevê-la como:

tttt uuYY 222012002 )ˆˆ( +++= ββ Equação 102

)ˆ(ˆ220122012002 tttt uuYY +++= βββ Equação 103

*22012002 ˆˆ

ttt uYY ++= ββ Equação 104

onde ttt uuu 2201* ˆˆ += β . Note que na equação 104, a oferta de moeda não se

correlaciona directamente com *ˆtu assintoticamente. Em outras palavras, quer isso dizer que

quando o tamanho da amostra aumenta, não existe correlação directa entre a moeda e o resíduo *ˆtu . Neste contexto, é possível fazer uso dos MQO, os parâmetros obtidos, são neste

momento estimativas consistentes.

Como pode notar, o objectivo deste método, é purificar a variável explicativa estocástica 1Y da influencia da perturbação estocástica 2u . Este alvo é alcançado efectuando a

regressão na forma reduzida de 1Y sobre todas as variáveis predeterminadas do sistema

(Estagio 1). Obtendo as estimativas de tY1 e substituindo 1Y na equação original pelo tY1 ,

estimado e então aplicando os MQO à equação transformada. (Estagio 2). Os estimadores encontrados são consistentes, significa que eles convergem para os seus valores verdadeiros conforme o tamanho da amostra aumenta indefinidamente.

Mais uma vez vejamos uma ilustração do MQO2E introduzindo modificações no nosso modelo, isto é especificamente na função da oferta de Moeda, incluindo mais variáveis exógenas.



56

ttttt uXXYY 12102110121011001 ++++= λλββ Equação 105

ttttt uXXYY 22204120312012002 ++++= λλββ Equação 106

onde Y1= Rendimento Nacional Y2= Estoque de Moeda

X1= Investimento X2= Gastos do Governo com produtos e serviços X3= Rendimento do período anterior. X4= Oferta monetária do período anterior.

Note agora que ambas as equações estão sobre identificadas. Para aplicar o método dos MQO3E procedemos da seguinte maneira:

Estagio 1: Regredimos as variáveis endógenas sobre todas as variáveis predeterminadas dos sistema.

tttttt uXXXXY 141431321211101 ˆˆˆˆˆˆ +Π+Π+Π+Π+Π= Equação 107

tttttt uXXXXY 241431321211102 ˆˆˆˆˆˆ +Π+Π+Π+Π+Π= Equação 108

Estagio 2: Substituímos 1Y em 2Y nas equações estruturais originais pelos seus valores estimados nas regressões anteriores, em seguida, rodamos as regressões pelos MQO como segue:

*12102110121011001

ˆttttt uXXYY ++++= λλββ Equação 109

*22204120312012002

ˆttttt uXXYY ++++= λλββ Equação 110

Onde ttt uuu 22102*1 ˆ += β and ttt uuu 21201

*2 ˆ += β

As estimativas assim obtidas serão constantes.

ASPECTOS NOTÓRIOS DOS MQO2E

1. Pode ser aplicado a uma equação individual no sistema sem se levar em conta directamente qualquer outra equação no sistema. Consequentemente, para resolver modelos econométricos envolvendo um grande número de equações, MQ2E oferece um método económico. Por esta razão, o método tem sido amplamente utilizado na prática.

2. Ao contrario do método dos MQI, que fornece múltiplas estimativas dos parâmetros nas equações sobreidentificadas, MQ2E fornece apenas uma estimativa por parâmetro.

3. E fácil de aplicar, pois tudo o que precisamos saber é o número total das variáveis exógenas ou predeterminadas do sistema, sem necessidade de conhecer quaisquer outras variáveis no sistema.

4. Embora especialmente criado para lidar com equações sobreidentificadas, o método pode também ser aplicado a equações exactamente identificadas. Mas, nesse caso, MQI e MQ2E dardo estimativas idênticas. (Por que?)

5. Se os valores de 2R nas regressões na forma reduzida (ou seja, regressões do Estágio 1) forem muito altos, digamos, acima de 0,8, as estimativas pelo método clássico dos MQO e as estimativas por MQ2E serão bastante próximas. Mas este resultado não deve causar



57

surpresa, já que, se o valor de 2R no primeiro estágio for muito alto, isso significa que os valores estimados das variáveis endógenas são bem próximos de seus valores verdadeiros e, consequentemente, é menos provável que estas últimas se correlacionem com as perturbações estocásticas nas equações estruturais originais. (Por que?)'s Se, porém, os valores de 2R nas regressões do primeiro estágio forem muito baixos, as estimativas por MQ2E praticamente não farão sentido, pois estaremos substituindo os Ys originais na

regressão do segundo estágio pelos sY estimados a partir das regressões do primeiro

estágio, que basicamente representado as perturbações nas regressões do primeiro estágio. Em outras palavras, neste caso, os Ys serão proxies pobres dos Ys originais.

6. Ao usar o metodo dos MQO2E note os seguintes aspectos recomendados por Henri Theil

A justificativa estatística dos MQO2E é do tipo de amostra grande. Quando não há variáveis endógenas defasadas, os estimadores dos coeficientes por MQO2E são consistentes se as variáveis exógenas são constantes em amostras repetidas e se as perturbações [que aparecem nas diferentes equações comportamentais ou estruturais] ... são independente e identicamente distribuídas com médias zero e variâncias finitas... Se essas duas condições são satisfeitas, a distribuição amostral de estimadores de coeficientes por MQ2E se torna aproximadamente normal em amostras grandes...

Quando o sistema de equação contém variáveis endógenas defasadas, a consistência e normalidade em amostra grande dos estimadores de coeficientes por MQO2E requerem uma condição adicional, ... de que, conforme aumenta a amostra, o quadrado médio dos valores assumidos por cada variável endógena defasada convirja em probabilidade para um limite positivo...

Se [as perturbações que aparecem nas diferentes equações estruturais] não se distribuem independentemente, as variáveis endógenas defasadas não são independentes da operação corrente do sistema de equações o que significa que essas variáveis não são realmente predeterminadas. Se essas variáveis, mesmo assim, forem tratadas como predeterminadas no procedimento dos MQO2E, os estimadores resultantes não serão consistentes

c) MODELAGEM RECURSIVA

Os métodos recursivos são muito importantes na análise dinâmica da economia (com relevo na macroeconomia), assim como nas demais ciências. Os modelos recursivos tiveram a sua origem depois da Segunda Guerra Mundial, notavelmente em trabalhos de Wald, Belman, e Kalman. O método consiste tomar um modelo dinâmico, reparti-lo em partes analisando funções com características semelhantes, mapeando o estado das funções na data t e consequente projecção para t+1. Não obstante eles pareçam tão simples a primeira vista, a sua simplificação advêm do facto de poder modelar variados cenários da incerteza futura, tomando as variáveis e funções presentes.

(i) Exemplo do modelo CAPM

O Famoso modelo CAPM – (Capital Asset Pricing Model), representa uma das mais conhecidas aplicações do método recursivo. No pressuposto de que existe uma correlação entre o retorno do activo especifico e o retorno global do mercado, explicado pelo coeficiente β . Um caso especifico do uso do modelo CAPM em equações recursivas, diz respeito ao estudo de Cheng F. Lee e W.P. Lloyd para a indústria petrolífera, onde cada uma das equações é estimada independentemente das demais, sem o risco da correlação serial.



58

ttttttttt

tttttttt

ttttttt

tttttt

ttttt

tttt

ttt

uMRRRRRRR

uMRRRRRR

uMRRRRR

uMRRRR

uMRRR

uMRR

uMR

7767657547437327217177

6656546436326216166

5545435325215155

4434324214144

3323213133

2212122

7711

++++++++=

+++++++=

++++++=

+++++=

++++=

+++=

++=

λββββββα

λβββββα

λββββα

λβββα

λββα

λβα

λα

onde R1= Taxa de retorno do titulo 1 (Sun Oil)

R3= Taxa de retorno do titulo 2 (Philips Petroleum) R4= Taxa de retorno do titulo 3 (Union Oil) R5= Taxa de retorno do titulo 4 (Standard of Ohio) R6= Taxa de retorno do titulo 5 (Shell Oil ) R7= Taxa de retorno do titulo 6 (Imperial Oil) R8= Taxa de retorno do titulo 7 (Standard of Indiana) Mt= Taxa de retorno do índice de mercado u8t= resíduos Para este caso, regredimos as equações separadamente sem preocupar-se com a

problemática da correlação serial14. (ii) Exemplo do modelo de St. Louis Federal Reserve

O famoso e muitas vezes polemico modelo de St Louis, desenvolvido originalmente no final dos anos 60, vem sendo revisado periodicamente. Uma das revisões diz respeito aos cenário aqui apresentado. O modelo consiste basicamente em 5 equações (de 1 a 5), enquanto que as demais representam definições. Onde as equações 1, 2 e 4 foram estimadas usando o método de desfazagens distribuídas de Almon. Enquanto que as primeiras equações foram corrigidas quanto à correlação serial de primeira ou segunda ordem.

Uma análise aos resultados, contrariamente a taxa de crescimento dos gastos para elevação do emprego, a taxa de crescimento do PNB nominal é determinada pela taxa de crescimento da oferta de moeda.(os coeficientes da moeda afiguram-se estatisticamente mais significativos) nos do governo.

A soma dos coeficientes é de 1,06, significando que um aumento continuado de 1% na oferta monetária resulta na média de um aumento de 1,06% no PNB nominal. Semelhante, a soma dos coeficientes E, cerca de 0,05, sugere que uma mudança na despesa do Governo para elevação do nível de emprego, tem pouco impacto sobre a taxa de crescimento do PNB nominal.

Entretanto, como pode reparar, há mais informações que se podem ser interpretadas analisando cautelosamente os dado apresentados nas tabelas.

14 A ordem dos titulo é processada em relação ao maior coeficiente de determinação obtido.



59

Especificação do Modelo de St. Louis

(1) t

i

ti

i

ti ECEMCMCY 1)()(14

0

1

4

0

11 ε+++= ∑∑=

−

=

−&&

(2)

tt

i

tti

i

ti

DUMCDUMDUMCDUMPACPA

FXXCDEPCPECP

2)2(2)1(1(

)()(24

0

1*

1

4

0

11

ε++++

−++= ∑∑=

−−

=

−&&&&

(3) )( 1

21

0

−

=∑= t

i

it PCPRLPA &

(4) tt

i

it PCPRLCRL 3)(3 1

20

0

ε++= −

=∑ &

(5) ttttt GAPCGGAPCGUFU 4)(1)( 1 ε++=− −

Definições

(6) ))(100/( ttt XPY =

(7) [ ]1001)/( 41 −= −ttt YYY

(8) [ ]1001)/( 41 −= −ttt XXX

(9) [ ]1001)/( 41 −= −ttt PPP

(10) [ ]100/)/( tttt XFXXFGAP =

(11) [ ] [ ]1001)/(1001)/( 41

*41

* −=−= −− tttttt XXFFXXXFXF & Onde: Y = PNB nominal M = estoque de moeda (M1) E = gastos para elevação do emprego P = deflator do PNB (1972=100) PE = preço relativo de energia X = produto em dólares de 1973 XF = produto em potencial (Rasche/Tatom) RL = taxa de títulos das grandes empresas. U = taxa de desemprego UF = Taxa de desemprego a pleno emprego DUM1= Dummy de controlo (3º trim/1971 a 1º trim/1973=1;0 em outros períodos) DUM2= Dummy de pós-controle (2º trim/1973 a 1º trim/1975=;0 em outros períodos)

Estimativas do Modelo

(1)

02,250,339,0

)34.0()52.0()57,0()63,0(

01,002,002,002,0

)46,1()11,0()82,0()18,2()06,5()38,3()15,2(

06,001,006,039,040,040,044,2

2

4321

4321

===

+−++

+−+++++=

−−−−

−−−−

DWepR

EEEE

EMMMMMY

tttt

ttttttt



60

(2)

12,0ˆ97,128,180,0

)71,2()02,1()49,10(

)2(65,1)1(61,003,1

)16,2()42,2()00,3()63,4(

)(01,0)(02,0)(02,0)(02,0

)43,1()18,0()38,1()73,0()96,1()75,0()53,2(

)(01,0)(00,002,001,004,001,096,0

2

*55

*44

*33

*22

*11

*4321

====

+−

−+−+−+−+

−+−−+−++=

−−−−−−−−

−−−−−−

ρDWepR

DUMDUMAP

XFXXFXXFXXFX

XFXXFXEPEPEPPEP

ttt

tttttttt

tttttttt

&

&&&&

(3)

94,0ˆ76,133,032,0

)22,5()12,3(

96,097,2

2

20

0

1

====

+= ∑=

−

ρDWepR

PRLi

tt&

(5)

52,0ˆ43,1ˆ95,117,063,0

)31,6()89,11(

)(14,0)(28,0

212

1

=====

+=− −

ρρDWepR

GAPGAPUFU tttt



61

5. ELEMENTOS CHAVE SOBRE OS METODOS DE RESOLUÇÃO

1. Admitindo que uma equação em um modelo de equações simultâneas esteja identificada (seja exactamente ou sobre), dispomos de diversos métodos para estimá-la. Estes métodos se enquadram em duas amplas categorias: métodos de equação única e métodos de sistemas.

2. Por razões de economia, erros de especificações etc., os métodos de equação única são de longe os mais populares. Um aspecto singular desses métodos e que podemos estimar uma equação única em um modelo de múltiplas equações sem nos preocuparmos excessivamente com outras equações no sistema. (Observação: Para fins de identificação, porém, as outras equações do sistema são levadas em conta.)

3. Três métodos de equação única comumente usados são MQO, MQI e MQ2E. 5. Embora MQO seja, em geral, impróprio no contexto dos modelos de equações simultâneas, o método pode ser aplicado aos chamados modelos recursivos, em que há uma relação de causa e efeito definida, porem unidirecional, entre as variáveis endógenas.

4. O método de MQI é adequado para equações identificadas precisa ou exactamente. Neste método, MQO é aplicado a equação na forma reduzida, e a partir dos coeficientes na forma reduzida que estimamos os coeficientes estruturais originais.

5. O método de MQ2E é especialmente projectado para equações sobreidentificadas em excesso, embora possa ser aplicado também a equações exactamente identificadas. Mas, então, os resultados de MQ2E e MQI são idênticos A ideia básica por trás de MQ2E é substituir a variável explicativa endógena (estocástica) por uma combinação linear das variáveis predeterminadas no modelo e usar essa combinação como a variável explicativa no lugar da variável endógena original. Assim, o método dos MQ2E se assemelha ao método de estimativa com variável instrumental, já que a combinação linear das variáveis predeterminadas serve como um instrumento, ou proxy, do regressor endógeno

6. Um aspecto digno de notar tanto de MQI como de MQ2E é que as estimativas assim obtidas são consistentes, ou seja, conforme o tamanho da amostra aumenta indefinidamente, as estimativas convergem para seus valores verdadeiros na população As estimativas podem não satisfazer propriedades de amostra pequena, tais como inexistência de viés e variância mínima. Portanto, os resultados obtidos pela aplicação desses métodos a amostras pequenas e as indecências extraídas deles devem ser interpretados com a devida cautela.



62

Referencias Bibliográficas Livros Básicos

• Damodar N. Gujarati (2000) Econometria Básica, 3ª Edição Makron Books Brasil Ltd – (Bibliografia Principal)

• Damodar N. Gujarati (1995) Basic Econometrics, International Edition, McGrawHill International Editions, New York;

• Jack Johnston e J. DiNardo(2001) Métodos Quantitativos, 4ª Edição, McGrawHill de Portugal Lda, Lisboa –São Paulo ;

• M. Mendes Oliveira, Alvaro Aguiar et al(1997)Econometria - Exercícios, McGrrawHill de Portugal;

• Salvatore Dominick (1983) Estatística e Econometria- Problemas Resolvidos- Segunda Edição McGrraw-Hill, São Paulo;

Livros Complementares

• BPP Publishing (2000) Quantitative Techniques for Business – A Course book 1st Edition, BPP Publishing Limited, London;

• Leonard J. Kazmier (1982) Estatística Aplicada a Economia e Administração – Livro de Exercícios, Schaum McGraw-Hill.

• SimonCarl-Lawrence Blume-(1994)Mathematics for Economists, First Edition W.W:Norton, New York London.



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Índice Remissivo

A Achen, 32 Aguiar, 62

B Basmann, 54 Belman, 57 BPP Publishing Limited, 62 Brendan McCable, 36

Ch Cheng, 57

C Cristopher, 32

G Galton, 4 Gauss, 9, 10 Gauss Markov, 10 Gelser, 38 Glejsere, 38 Goldberg, 18 Goldfield Quandt, 38, 39 Granger, 5 Gujarati, 62

H Henri, 54, 57

J John O'Hagan, 36 Johnston, 62

K Kalman, 57 Krishna Kumar, 36

L Lawrence Blume, 62 Lee, 57

Ll Lloyd, 57

M Mendes, 62 Montogomery, 33

P Park, 38 Pearson, 4 Peck, 33

R Ragner Frisch, 32 Robert, 36, 54

T Theil, 54, 57 Tinter, 40

W Wald, 57 White’s General, 38

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