Programação Não Linear

Capítulo 7

Pesquisa Operacional na Tomada de Decisões

Programação Não Linear

Lachtermacher, G. Pesquisa Operacional na Tomada de Decisão, 4a. Edição, Pearson, 2009


De forma geral um problema de programação não linear tem a seguinte forma:

Nenhum algoritmo resolve todos os problemas que podem ser incluídos neste formato.

),...,,(= xonde 0x

,...,2,1 para )x(

)x( ou

21 n

ii

xxx

mibgst

fMinMax

Programação Não LinearAplicações

Problemas de Mix de Produtos em que o “lucro” obtido por produto varia com a quantidade vendida.

Problemas de Transporte com custos variáveis de transporte em relação à quantidade enviada.

Seleção de Portfolio com Risco

Considere o Problema de Programação Linear e sua solução gráfica

1

Max Z x x 3 51 2

1

2x 122

3x x 2 18 1 2

s r x 4. .

x x 0 01 2,

x2

x1

(0;6)(2;6)

(0;0)(4;0)

(4;3)SoluçãoViável

Programação Não LinearSolução Gráfica

Considere o Problema e sua solução gráfica.

Max Z x x 3 51 2

1s.t. x 4

x x 0 01 2,

9 5 21612

22x x

x2

1 2 3 4

4

2

6

00 x1

SoluçãoViável

(2;6)


A solução ótima: é a mesma do problema

linear. continua na fronteira do

conjunto de soluções viáveis.

não é mais um extremo do conjunto de soluções viáveis mas poderia ainda ocorrer em um ponto extremo.

Não existe a simplificação existente em Programação Linear

x2

1 2 3 4

4

2

6

00 x1

SoluçãoViável

(2;6)


1

2x 122

3x x 2 18 1 2

s r x 4. .

x x 0 01 2,

MaxZ= x x x x 126 9 182 131 12

2 22

x2

x1

(0;6)(2;6)

(0;0)(4;0)

(4;3)RegiãoViável


A função objetivo é uma equação quadrática.


Z= x x x x

Z x x x x

Z x x

Para x x

Para

126 9 182 13

9126

1813

182

269

126

9

126

1813

182

13

182

26

441 637 9 7 13 7

9 7 13 7

1 12

2 22

2 2

12

1

2

22

2

2

1

2

2

2

1

2

2

2

Z = 907 171 =

Z = 857

221 =

Z = 807 =

9 7 13 7

271 9 7 13 7

1

2

2

2

1

2

2

2

x x

Para x x

Max Z = x x x x = 857 126 9 182 131 12

2 22

2

4

4

6

2 x 1

x2

RegiãoViável

Z = 907

Z = 807Z = 857


Ótima

1

2x 122

3x x 2 18 1 2

s r x 4. .

x x 0 01 2,

Max Z= x x x x 54 9 78 131 12

2 22

x2

x1

(0;6)(2;6)

(0;0)(4;0)

(4;3)RegiãoViável


A função objetivo é uma equação quadrática

Z= x x x x

Z x x x x

Z x x

Para x x

Para

54 9 78 13

954

1813

78

269

54

9

54

1813

78

13

78

26

81 117 9 3 13 3

9 3 13 3

1 12

2 22

2 2

12

1

2

22

2

2

1

2

2

2

1

2

2

2

Z = 198 0 =

Z = 189

9 9 3 13 3

36 9 3 13 3

1

2

2

2

1

2

2

2

=

Z = 162 =

x x

Para x x


Solução no interior doconjunto de soluçõesviáveis e não mais na fronteira do conjunto

4

2

6

2 4 x1

x2

RegiãoViável

3

3

Z = 162Z = 189

Z = 198

222

211 1378954 xxxxZMax 2

22211 1378954198 xxxx=ZMax



A solução ótima de um problema de programação não linear (NLP), diferentemente de um problema de LP, pode ser qualquer valor do conjunto de soluções viáveis.

Isso torna os problemas de NLP muito mais complexos, obrigando os algoritmos de solução a pesquisar todos os valores possíveis.

Convex Programming Problems

One class of NLPs “Convex Programming Problems” can be solved by algorithms that are guaranteed to converge to the optimal solution.

The objective is to maximize a concave function or to minimize a convex function.

The set of constraints form a convex set.

Properties of Convex Programming Problems

A smooth function (no sharp points, no discontinuities) One global maximum (minimum). A line drawn between any two points on the curve of the

function will lie below (above) the curve or on the curve.

A One Variable Concave (Convex) Function

X

A Concave function

A convex function

X

An illustration of a two variable convex function

If a straight line that joins any two points in the set lies within the set, then the set is called a convex set.

Convex set Non-convex set

Convex Sets

In a NLP model all the constraints are of the “less than or equal to” form Gi(X) B.

If all the functions Gi are convex, the set of constraints forms a convex set.

NLP and Convex Sets

Unconstrained Nonlinear Programming

One-variable unconstrained problems are demonstrated by the Toshi Camera problem.

The inverse relationships between demand for an item and its value (price) are utilized in this problem.

TOSHI CAMERA

Toshi camera of Japan has just developed a new product, the Zoomcam.

It is believed that demand for the initial product will be linearly related to the price.

Price EstimatedP ($) Demand (X)

100 350,000150 300,000200 250,000250 200,000300 150,000350 100,000

Unit production cost is estimated to be $50. What is the production quantity that maximizes

the total profit from the initial production run?

SOLUTION

Total profit = Revenue - Production cost

F(X) = PX - 50X

TOSHI CAMERA

From the Price / Demand table it can be verified that P = 450 - .001X

The Profit function becomesF(X) = (450 - .001X)X = 400X - .001X2

This is a concave function.

400,0000

TOSHI CAMERA

To obtain an optimal solution (maximum profit), two conditions must be satisfied:

A necessary condition dF/dX = 0 A sufficient condition d2F/dX2 < 0.

The necessary condition is satisfied at:dF/dX = 400 - 2(.001)X = 0; X = 200,000.

The sufficient condition is satisfied since d2F/dX2 = -.002.

The optimal solution: Produce 200,000 cameras. The profit is F(200,000) = $40,000,000.

TOSHI CAMERA

If a function is known to be concave or convex at all points, the following condition is both a necessary and sufficient condition for optimality:

The point X* gives the maximum value for a concave function, or the minimum value for a convex function, F(X), if at X*

dF/dX = 0

Optimal solutions for concave/convex functions with one variable

Determining whether or not a multivariate function is concave or convex requires analysis of the second derivatives of the function.

A point X* is optimal for a concave (convex) function if all its partial derivatives are equal to zero at X*.

For example, in the three variable case:

FX

FX

FX

11

22

33

0 0 0 ; ; ;

F

XF

XF

X1

12

23

30 0 0 ; ; ;

Optimal solutions for concave/convex functions with more than one variable

Constrained Nonlinear Programming Problems – one variable

The feasible region for a one variable problem is a segment on a straight line (X a or X b).

When the objective function is nonlinear the optimal solution must not be at an extreme point.

TOSHI CAMERA - revisited

Toshi Camera needs to determine the optimal production level from among the following three alternatives: 150,000 X 300,000

50,000 X 175,000

150,000 X 350,000

4000

X 250,000X 350,000

X* = 250,000

40004000

Maximize F(X) = 400X - .001X2

X 150,000X 300,000

150

X 50,000X 175,000

50 175X*=200,000 X* = 175,000

The objective function does not change:

TOSHI CAMERA – solution

Constrained Nonlinear Programming Problems – m variables

mn21

2n21

1n21

n21

B)X..., ,X ,Gm(X

.

.

.

B)X..., ,X ,G2(X

B)X..., ,X ,G1(X

ST

)X..., ,X,X(FMaximize

Let us define Y1, Y2, …,Ym as the instantaneous improvementin the value of F for one unitincrease in B1, B2, …Bm

respectively.

This is a set of “necessary conditions” for optimality of most nonlinear problems.

If the problem is convex, the K-T conditions are also sufficient for a point X* to be optimal.

mm

211

mm2

11

1

mm2211

m21

XGmY...X

2G2YX1GYXn

F

.

.

.

XGmY...X

2GYX1GYX

F.4

0SY...,,0SY,0SY.3

0Y..., , Y,Y .2

.feasibleis*X.1

2

S1, S2, …,Smare defined as the slack variablesin each constraint.

Kuhn-Tucker optimality conditions

PBI INDUSTRIES

PBI wants to determine an optimal production schedule for its two CD players during the month of April.

Data Unit production cost for the portable CD player = $50.

Unit production cost for the deluxe table player = $90.

There is additional “intermix” cost of $0.01(the number of portable CD’s)(the number of deluxe CD’s).

Forecasts indicate that unit selling price for each CD player is related to the number of units sold as follows:

Portable CD player unit price = 150 - .01X1 Deluxe CD player unit price = 350 - .02X2

PBI INDUSTRIES

Resource usage Each portable CD player uses 1 unit of a particular

electrical component, and .1 labor hour. Each deluxe CD player uses 2 units of the electrical

component, and .3 labor hour. Resource availabilty

10,000 units of the electrical component units; 1,500 labor hours.

PBI INDUSTRIES

PBI INDUSTRIES – SOLUTION

Decision variablesX1 - the number of portable CD players to produce

X2 - the number of deluxe CD players to produce

The model

Max (150-.

X X X X XST

X X

X

01X1)X1+ (350-.02X2)X2 - 50X1- 90X2-.01X1X2 =

-.01X1

.1X1 +.3X2 1,500 - X1

2

. .

,

02 2 01 1 2 100 1 260 2

1 2 2 10 000

02 0

2

Production cannot be negative

Resource constraints

For a point X1, X2 to be optimal, the K-T conditions require that:Y1S1 = 0; Y2S2 = 0; Y3S3 = 0; Y4S4 = 0, and

)1(Y)0(Y)3(.Y)2(Y2602X04.X01.

or

XGYX

GYXGYX

GYXF

)0(Y)1(Y)1(.Y)1(Y100X01.X02.

or

XG4YX

GYXGYX

GYXF

43211

2

44

2

33

2

22

2

11

2

432121

1

4

1

33

1

22

1

11

1


Finding an optimal production plan. Assume X1>0 and X2>0.

The assumption implies S3>0 and S4>0.Thus, Y3 = 0 and Y4 = 0.

Add the assumption that S1 = 0 and S2 = 0.From the first two constraints we have X1 = 0 and X2 =

5000.X1= 0

A contradictionX1>0

AS A RESULT THE SECOND ASSUMPTION CANNOT BE TRUE


Change the second assumption. Assume that S1 = 0 and S2 > 0.

As before, from the first assumption S3 > 0 and S4 > 0. Thus, Y3 = 0 and Y4 = 0. From the second assumption Y2 = 0. Substituting the values of all the Ys in the partial derivative equations

we get the following two equations:

-.02X1 - .01X2 + 100 = Y1

-.01X1 - .04X2 + 260 = 2Y1 Also, since S1 = 0 (by the second assumption)

X1 + 2X2 = 10,000 Solving the set of three equations in three unknowns we get:


X1 = 1000, X2 = 4500, Y1 = 35

This solution is a feasible point (check the constraints). X1 and X2 are positive. 1X1 + 2X2 <= 10,000 [1000 + 2(4500) = 10,000] .1X1 + .3X2 <= 1,500 [.1(1000) + .3(4500) = 1450]

This problem represents a convex program since It can be shown that the objective function F is concave. All the constraints are linear, thus, form a convex set.

The K-T conditions yielded an optimal solution


Portable Deluxe Total ProfitApril Production 1000 4500 810000

Portable Deluxe Used AvailableElectrical Components 1 2 10000 10000Labor Hours 0.1 0.3 1450 1500

PBI INDUSTRIES

PBI INDUSTRIES – Excel SOLUTION

Programação Não LinearExcel

O Excel utiliza o algoritmo GRG (generalized reduced gradient) para chegar à solução para um dado problema.

O algoritmo não garante que a solução encontrada é uma solução global.

O Solver às vezes tem dificuldades de achar soluções para problemas que tenham condições iniciais para as variáveis iguais a zero. Uma boa medida é começar a otimização com valores diferentes de zero para as variáveis de decisão.

Programação Não LinearExcel

Uma maneira prática para tentar minorar o problema de

máximos e mínimos locais é começar a otimização de

diversos pontos iniciais, gerados aleatoriamente.

Se todas as otimizações gerarem o mesmo resultado,

você pode ter maior confiança, não a certeza, de ter

atingido um ponto global.

Programação Não Linear Controle de Estoque

Um dos modelos mais simples de controle de estoque é

conhecido como Modelo do Lote Econômico.

Esse tipo de modelo assume as seguintes hipóteses A demanda (ou uso) do produto a ser pedido é praticamente

constante durante o ano.

Cada novo pedido do produto deve chegar de uma vez no

exato instante em que este chegar a zero.


Determinar o tamanho do pedido e a sua periodicidade dado os seguintes custos: Manutenção de Estoque – Custo por se manter o capital no

estoque e não em outra aplicação, rendendo benefícios financeiros para a empresa.

Custo do Pedido – Associado a trabalho de efetuar o pedido de um determinado produto.

Custo de Falta – Associado a perdas que venham a decorrer da interrupção da produção por falta do produto.

Demanda Anual =100Lote=25,Pedido= 4Estoque Médio = 12,5

3 6 9 12meses

25

12,5

25

Demanda Anual =100Lote=50, Pedidos = 2Estoque Médio = 25

6 12meses

50



mC2

QS

Q

DCDTotal Custo

Constante Variável de Decisão

Q – Quantidade por Pedido

Função Objetivo =

Onde:D = Demanda Anual do Produto

C = Custo Unitário do Produto

S = Custo Unitário de Fazer o Pedido

Cm= Custo unitário de manutenção em estoque por ano

Caso LCL Computadores

A LCL Computadores deseja diminuir o seu

estoque de mainboards. Sabendo-se que o custo

unitário da mainboard é de R$50,00, o custo

anual unitário de manutenção de estoque é de

R$20,00 e o custo unitário do pedido é de

R$10,00, encontre o lote econômico para atender

a uma demanda anual de 1000 mainboards.


Na solução apresentada do lote econômico, a quantidade de pedidos por ano é fracionário, já que

Isso não representa um problema

25,3132

1000

º

LotedoTamanho

AnualDemandalotesden

Programação Não LinearProblemas de Localização

Um problema muito usual na área de negócios é o de localização de Fábricas, Armazéns, Centros de distribuição e torres de transmissão telefônica.

Nesses problemas devemos Minimizar a distância total entre os centros consumidores e o centro de distribuição, reduzindo assim teoricamente o custo de transporte.

Para tal, o usual é sobre um mapa colocar-se um eixo cartesiano e determinar a posição dos centro consumidores em relação a uma origem aleatória.

Caso LCL Telefonia Celular S.A.

Localidade X Y

Nova Iguaçu -5 10

Queimados 2 1

Duque de Caxias 10 5

O Gerente de Projetos da LCL Telecom, tem que localizar uma antena de retransmissão para atender a três localidades na Baixada Fluminense. Por problemas técnicos a antena não pode estar a mais de 10 km do centro de cada cidade. Considerando as localizações relativas abaixo, determine o melhor posicionamento para a torre.


Nova Iguaçu(-5,10)

Queimados (2,1)

Duque deCaxias(10,5)

X

Y


3

1

22 )()(i

ii YyXxMin

Variáveis de Decisão X – Coordenada no eixo X da torre de transmissão Y – Coordenada no eixo Y da torre de transmissão

Função Objetivo


10)()(

10)()(

10)()(

23

23

22

22

21

21

YyXx

YyXx

YyXx

Restrições de Distância

Caso LCL Telefonia Celular S.A. Modelo no Excel

=SOMA(D2:D4)

Caso LCL Telefonia Celular S.A.Parametrização

Caso LCL Telefonia Celular S.A. Solução

Programação Não Linear

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