INTRODUOA nova ordem mundial vem se caracterizando por grandes mudanas tecnolgicas e sociais e com o conseqente aumento da competitividade na maioria dos setores da economia. Na disputa por novos mercados e na tentativa de manuteno dasatuaisposies, necessriosefazumagestoeficienteeeficazquegarantaa continuidade do empreendimento no longo prazo, alm do cumprimento de sua misso.Paraquepossacumprir suamisso, aorganizaodependedos resultados obtidos. Sendoassim, aotimizaodautilizaodosrecursosdisponveisemuma organizao constitui um fator de extrema importncia principalmente se considerarmos o alto grau de competitividade dos mais diversos ramos de atividade e as exigncias do mercado atual.Estudamos no Captulo 1 o que a otimizao pode ser dividida em duas etapas: o reconhecimento dos pontos problemas emuma indstria e a soluo destes problemas. Em algumas situaes estes problemas podem ser modelados matematicamente como um problema linear, estudado no Captulo 2.Neste captulo estudamos como modelar o problema seguindo objetivos e restries do problema e 1observando algumas limitaes. Para a soluo deste problemas lineares podemos usar dois mtodos de soluo: o mtodo simplex e o mtodo solver excel. Embora no seja o foco principal desta monografia o estudo aprofundado do mtodoSimplex, estudamosnoCaptulo3oformatopadroparaseresolver um problema linear utilizando o mtodo simplex. No Captulo 4 estudamos sucintamente omtodosolver doexcel iniciandocomumproblema real de uma empresa de fabricao de bolas. Mas ainda, mostramos a soluo grfica deste problema e fizemos uma anlise de sensibilidade permitindo-nos observar as conseqncias das variaes dos coeficientes . NoCaptulo5aumentamosonmerodevariveisdoproblemaalinear e obtemos sua soluo utilizando o recurso do excel. primeiramente o que otimizao e o que so modelos, passando ento ao estudo da programao linear como mtodo de resoluo de certos problemas de otimizao. Logo aps temos uma breve introduo do mtodo simplex e mais profundamente o mtodo solver do excel, almdos respectivos teoremas matemticos e das resolues grficas.Finalmente, apresentamos as Concluses onde verificamos a eficincia do solver do Excel para resoluo de problemas lineares.231.O QUE OTIMIZAO A otimizao pode ser definida como a necessidade de eficincia. Tem origem psicolgica e pode-se dividir em duas etapas: O reconhecimento de alternativas e a deciso. Numa primeira fase, a mente reconhece, numa tarefa ou problema, a possibilidade de optar entre vrias hipteses e, em seguida, acaba por escolher aquela que considera a melhor opo. Pode ser qualitativa,quando o julgamento feito atravs do bom senso, ou quantitativa quando a escolha se baseia em meios matemticos. Existem trs categorias de otimizao: a preferencial, baseada na preferncia e no gosto, a matemtica, que se baseia no aspecto quantitativos, e a econmica, que surge como uma combinao das duas anteriores. Noentanto, nesta categoria de otimizao, valores humanos so expressos de uma forma quantitativa, utilizando a matriz de apoio tomada de deciso. Emcasos reais, oanalistatemdeformular oproblemadetal formaque consiga a otimizao desejada para o seu objetivo. No entanto note-se que modelagem da realidade no tarefa fcil, assimo valor timo de ummodelo no necessariamente o valor timo na realidade. Para qualquer que seja o seu modelo, programa tradutor da realidade a analisar, o analista deve estabelecer as seguintes trs consideraes: A resposta possvel?4 A resposta realmente a soluo tima? Quo sensvel o valor timo? Ficando implcito que, para otimizar necessrio uma ferramenta para modelar esolucionar oproblema. Paracertos problemas estaferramentaaprogramao linear. 2.COMO SURGIU A PROGRAMAO LINEAR Os primeiros conceitos da programao linear foram desenvolvidos entre 1947 e 1949, durante a segunda guerra mundial, por George Dantzig para serem aplicados a programas militares, desde a rea logstica, at estratgica. Foi aps a guerra que ele foi impulsionado a encontrar formas eficientes de desenvolver esta metodologia. Foi Dantzigoprimeiro a reconhecer que umprograma de planejamento poderia ser expresso por umsistema de inequaes lineares, assimcomo foi o primeiro a apresentar, na forma de uma expresso matemtica explicita, um critrio para seleo do melhor plano, ao que hoje chamamos funo objetivo. 5Todo este trabalho seria de aplicao prtica bastante limitada sem um mtodo eficiente, oualgoritmo, quepermitisseencontrar asoluotimadoconjuntode inequaeslinearesquemaximizassemouminimizassemafunoobjetivo. Assim, desenvolveu o algoritmo simplex que resolve de uma forma eficiente este problema.Curiosamente, j em1939 ummatemtico Sovitico e economistaL. V.Kantorovich tinha formulado e desenvolvido um problema de programao linear para aplicao em planejamento da produo. No entanto o seu trabalho ficou desconhecido durante vinte anos, no tendo impacto no desenvolvimento da programao linear aps a segunda guerra.6 2.1.O que programao linear A Programao Linear visa fundamentalmente encontrar a melhor soluo para problemas que tenham seus modelos representados por expresses lineares. A grande aplicabilidade e simplicidade que a caracterizam devem-se linearidade do modelo. A tarefa da Programao Linear consiste na maximizao ou minimizao de uma funo linear, denominada funo objetivo, respeitando-se um sistema linear de igualdades ou desigualdades que recebemo nome de restries do modelo. As restries representam normalmente limitaes de recursos disponveis (capitais, mo-de-obra, recursos minerais ou fatores de produo) ou, ento exigncias e condies que devem ser cumpridas no problema. Essas restries do modelo determinam uma regioqual damosonomedeConjuntodasSoluesViveis. Amelhordas solues viveis, isto , aquela que melhor maximiza ou minimiza a funo objetivo denomina-se Soluo tima. O objetivo da programao linear consiste na determinao da soluo tima.Basicamente ao formularum modelo linear o analista deve seguir sempre as seguintes fases: Identificao das variveis de decisoIdentificao da funo objetivo Identificao das restries7 Verificao dos axiomas de linearidadeFormulao matemticaSo necessrios dois passos para a resoluo de um problema de programao linear, o primeiro a modelagem do problema e o segundo a soluo do modelo.No existemtcnicas precisas, capazes de permitir o estabelecimento do modelodeumproblema, pormimportantetermosexperinciaecapacidadede anlise e sntese.Aseguirapresentamosquatromodelosclssicosdeprogramaolinear, so eles: Problema da Anlise das Atividades : esse modelo consiste em achar qual aquantidadedeprodutosaser fabricado, obedecendoalgumas restries quanto a matria prima, mode-obra e tempo de produo para que aempresa maximize os lucros. Paraque maximize a funo linearnx x x ,...., ,2 1(funo objetiva), devemos saber que essas incgnitas devem satisfazer algumas restries (anexo n:1) Problema de Mistura ou Combinaes: esse modelo consiste em achar qual a combinao que resultar no mnimo de material por unidades do produto final , um exemplo simples o da dieta (anexo n:2). Problema do Transporte: esse modelo tem como objetivo minimizar o custo total do transporte necessrio para abastecerncentros 8consumidores -destinos, apartir demcentrosfornecedores -origens. (anexo:3). Problema de Alimentao de Mquina: esse modelo consiste em achar qual a melhor maneira de seprocessar uma srieatravs de um grupo de mquina, obedecendo a capacidade da mesma almde outras restries, afim de que se obtenha uma srie de ordens que resultaro no custo mnimo.A resoluo dos problemas de programao linear na sua grande maioria se faz algebricamente, (anexo 5), pois graficamente s conseguimos determinar quando temos apenas duas ou no mximo trs variveis. (anexo 4) A grande maioria os problemas de programao linear esto relacionados com ambientes industriais onde a quantidade de variveis bem grande o que dificulta a resoluo algbrica. Por isso um dos grandes recursos usados o Mtodo Simplex.2.2.Limitaes da programao linearEstudando os modelos de programao linear precisamos ressalvar sobre as suas hipteses e limitaes.9 Coeficiente Constante: Nos modelos de programao linear os coeficientes soconsiderados comoconstantes conhecidas oquena prtica, esses valorespodem noser constantes e simvariveis. Para esses casos necessrioaanlisedesensibilidade domodelo, que permite fornecer os intervalos desses coeficientes para os quais a soluo tima continua a mesma. Divisibilidade : As solues timas dos modelos de programao linear podero apresentar valores no inteiros o que numa indstria no seria real . Umaoposeriaoarredondamento, maspoderiacausar erros grosseiros quandoademandapequena, logoparaminimizar estes erros temos que ter o cuidado de ao construir um modelo impor que o mesmotenhasuaprogramaolinear inteiraqueutiliza-sedeoutras tcnicas no especificadas aqui. Proporcionalidade: nos modelos de programao linear assume-se para aproduodecadaproduto, aeficinciaaumentaligeiramentecom taxas elevadas de produo , aumentando desta forma, o lucro marginal unitrio e diminuindo a capacidade de produo por unidade de aumento na taxa de produo. Apesar disso o Departamento de Pesquisa Operacional conclui que, para fins prticos, a proporcionalidade poderiasersuposta, semdistoresAditividade: estacondioexiste 10em todo o modelo de programao linear e consiste em considerar as atividades do modelo como entidades totalmente independentes o que no permite que haja uma interligao entre elas. Apesar de todas essa limitaes a programao linear ainda a ferramenta mais utilizada na resoluode problemas reais que envolvamformulao de modelos matemticos, nospor suasimplicidade mas comotambmaofatodomodelo semprepoder ser resolvidocomas tcnicas anteriormenteexplicadas. Pormno podemosdeixardeexplicarqueasoluodestesproblemasnasuagrandemaioria necessitado auxilio decomputadores exatamente pela quantidade de variveise de equaes a serem resolvidas.113.AFORMA PADRO DO MTODO SIMPLEX Paratrabalharmos comomtodosimplextemosquetransformar omodelo matemtico a ser tratado em uma forma padro algumas desigualdades em igualdades, pois oprograma simplex noentende estes parmetros. Existemalgumas regras bsicas para a transformao da resoluo de programao linear para a forma padro (a que o mtodo simplex aceita). Dizemos ento que um modelo de programao linear est na forma-padro quando ele respeita as seguintes condies; As restries de no negatividade ) ,... 2 , 1 ( 01m i b onde b x ainji j ij ) ,..., 2 , 1 ( 0 n j xj Funo objetivo njj jx c Mn x Q1) (Porm nem sempre encontramos o modelo com esta forma padro e quando isso ocorre temos que usar alguns incrementos ou artifcios para torn-lo um modelo padro para o mtodo simplex.Seguem algumas formas de reduo para a forma padro (anexo 5);12 Ocorrncia de desigualdade: qualquer desigualdade ou inequao linear pode ser transformada em uma equao se subtrairmos ou adicionamos variveis positivas ou negativas denominadas variveis de folga. Ocorrnciadoladodireitosernegativo: bastamultiplicarmos todaa ambos os lados por menos um.Ocorrncia de no restrio da varivel: ocorre quando a varivel pode assumir qualquer valor positivo, negativo ou nulo, neste caso temos que substituir a varivel livre por duas variveis positivas para mantermos a condio de no negatividade Ocorrncia de varivel no positiva: caso o modelo seja formulado com uma varivel negativa basta substitui-la por sua simtrica na equao do problema. Ocorrncia de a funo objetivo ser de maximizao: basta ento substituir a funo objetivo dada pela sua simtrica, passando a minimizar esta ltima.13144.O MTODO SOLVER DO EXCELEste mtodo fornece muito mais que o valor timo. Na realidade, s a soluo no um bom auxiliar de deciso. necessrio saber para onde, e como, varia essa soluo com as alteraes das variveis. A programao linear, atravs de ferramentas de anlise de sensibilidade, permite responder a esse requisito. Assim, questes como as abaixo apresentadas, ilustram os objetivos da anlise de sensibilidade. Qual a influncia dos coeficientes da funo objetivo? At que ponto a definio do objetivo compromete a soluo encontrada? Que quantidades de recursos tm de estar disponveis para no comprometer o programado? mais rentvel comprar recursos para ter uma soluo mais otimizada ou por outro lado, deve-se alocar recursos para outra atividade? Agora, na posse de toda esta informao mais fcil tomar decises acertadas no domnio da gesto em diversas aplicaes, tais como: Planejamento agregado de produo;Anlise de produtividade de servios; Planejamento de produtos; Otimizao do fluxo produtivo; Otimizao do processo de produo; Gesto de Inventrio.154.1.Apresentao do exemplo:Consultando uma empresa foi nos colocado o seguinte problema: Quantas bolas de cada tipo devemser produzida, amanh, a fimde maximizar o lucro, tendo em conta os recursos existentes? A empresa chama-se Tecnibola S.A. e tem como nica atividade fabricao de bolas, sendo todas elas em couro e fabricadas segundo os processos primordiais. Atualmente fabrica dois produtos, a bola de futebol Catechumboe a bola de vlei Voleitok. Ambos produtos so feitos do mesmo material, variando apenas na dimenso, tipo de costuras e rotulagem. Os recursos quedefinemafabricaodas bolas so: ocortedocouro, o trabalho de costura, a pintura de inscries na bola e preparao final. Esta ltima composta pelas atividades deenchimento, controle dequalidade (inspeovisual, 16passagem num peneiro calibrado e pesagem) e embalagem. O fluxograma que segue ilustra o processo de fabricao.

CouroCorteCosturaLogotipagemFinalizaoEnchimentoControlo de QualidadeEmbalagemLinhasCmara de Ar ExpedioCouroCorteCosturaLogotipagemFinalizaoEnchimentoControlo de QualidadeEmbalagemLinhasCmara de Ar ExpedioCorteCosturaLogotipagemFinalizaoEnchimentoControlo de QualidadeEmbalagemLinhasCmara de Ar ExpedioFigura 2. Produo de bolas Tecnibola S.A Os dados fornecidos pela empresa referentes quantidade de recursos necessrios para a produo e as quantidades disponveis para o dia de amanh so os indicados na Tabela 1. 17Recurso por bolaCouro [m2] 0,25 0,3ilimitadaLinhas [m] 2,5 4ilimitadaCmara de ar [uni] 1 125Embalagens [uni] 1 0ilimitadaOperao de Corte [min] 2 8ilimitadaOperao de Costura [min] 9 25480Operao de Logotipagem [min] 1,5 1ilimitadaOperaes de Finalizao [min] 11 6240Voleitok CatechumboBola Disponibilidade para amanhTabela 1. Recursos e disponibilidades na produo de bolas Tecnibola S.A Ocaso emestudo est simplificado pois alguns dos recursos no esto limitados eapenas onmerodecmaras dear; horas homemparaoperaode costura e horas homem para a operao de finalizao limitam o processo. Ainda mais, a empresa disponibilizou a informao dos custos envolvidos para a produo dos dois tipos de bolas, dadas pela Tabela 2.LucroProduo Venda []6.510BolaPreo []CatechumboVoleitok26 32.515 25 Tabela 2. Valores Monetrios em Euro184.2 - Formulao do Problema de Programao LinearAps a coleta dos dados do problema o prximo passo consiste em formular o moelo matemtico.Neste caso especfico fcil fazer esta identificao dado que o problema foi exposto sob a forma de tabelas. Como na generalidade das situaes a informao no est to organizada, explica-se aqui a forma de o fazer.Asvariveis dedecisorepresentamonvel deatividade quesepretende controlar no problema. Neste caso, na TecniBOLA, pretende-se controlar o nmero de bolas aproduzir numdiados tiposVoleitokeCatechumbo. Simbolicamente, por questes de maior facilidade na representao matemtica, designam-se respectivamente por x1 e x2 estas variveis.Definir a medida de eficincia associada s variveis do problema identificar a funo objetivo. Definida usualmente por Z, a funo objetivo do tipo:n nx C x C x C Z + + + ...2 2 1 1Onde os Ciso designados por coeficientes da funo objetivo e representam um benefcio (ou prejuzo, num problema de minimizao) por unidade da varivel de decisocorrespondente. Noproblemapedidoquesemaximizeolucro, tendoem contaosrecursosexistentes. DainformaodaTabela2surgequeZ, olucroda produo do dia em causa, definido por: 2 15 . 6 10 x x Z + 19aindaextremamenteimportanterealizar aidentificaodasrestriesque limitam os valores que podem tomar as variveis de deciso, e identificar os recursos associados. Como produto desta fase surge um conjunto de inequaes que identifica o espao de solues admissveis. Mais uma vez, por questes de facilidade de representao, importante numerar os recursos. Recurso 1 Cmara de ArRecurso 2 Operao de CosturaRecurso 3 Operaes de Finalizao20As inequaes obtidas so do tipo: i n in i iB x A x A x A + + + ...2 2 1 1, Onde os coeficientesAijrepresentam o consumo do recurso ipor unidade de varivel de deciso xj. Birepresenta a quantidade do recurso i disponvel no prazo em anlise(umdia). Nocasodoproblema, ambas asbolas, VoleitokeCatechumbo, necessitam de uma cmara de ar. Assim ambos os coeficientes A11e A12so iguais a um. O nmero mximo de cmaras de ar existentes em estoque para o dia da produo igual a25(coeficienteB1), comotal, vemqueainequaodelimitaoparao recurso 1 : 25 1 1 + 2 1x x Procedendo do mesmo modo para os outros dois recursos tem-se que: Recurso 2: [Operao de Costura]480 25 9 + 2 1x x Recurso 3: [Operaes de Finalizao]240 6 11 + 2 1x x Chama-se a ateno para outro tipo de limitao em programao linear em queseexigequeas propores decertas atividades tmdeser superiores aum determinadovalor. Umexemplotpicodestetipodelimitaooclculodeuma 21mdia ponderada de um recurso, cujas unidade esto por unidades produzida. A esse tipo de limitao designa-se de limitao de qualidade e so da forma: inn in i iBx x xx A x A x A+ + + + + + ......2 12 2 1 1Por fim necessrio verificar os axiomas de linearidade, isto , se as equaes at agora encontradas apresentam apenas termos das variveis de deciso, x1 e x2, no sendo admitidos termos cruzados ou de ordem superior, pelo que nesses casos deve-se realizar uma aproximao. Em suma, o problema resume-se em termos matemticos (Formulao matemtica) a:Z = maximizar2 1. 5 , 6 . 10 x x+ Sujeita as restries:

240 . 6 . 11480 . 25 . 925 . 1 . 12 12 12 1 + + +x xx xx x0021xx e inteiros224.3 - Soluo grfica A utilizao do mtodo grfico tem por objetivo representar as inequaes num plano, a fim de a identificar a disponibilidade de recursos para o processo a otimizar. A vantagemque esta metodologia apresenta a intuitividade na interpretao das restries. Noentanto, estavantagemdesvanece-sequandoosproblemaspossuem mais deduas variveis dedeciso, sendomesmolimitadoaummximodetrs variveis de deciso (espao 3 D). O mtodo consiste na representao das inequaes num grfico cujos eixos coordenados soas variveis dedeciso, x1ex2, eidentificar oespaosoluo, designado por rea vivel. Traa-se a reta que representa a funo objetivo Z acima da reavivel (num problemade maximizao). Qualquerponto sobreestareta temo mesmo valor de Z. Por fim desloca-se a reta ao encontro da rea vivel at interceptar um ponto pertencente a essa regio. Esse ser o ponto timo, isto , aquele com maior valor de Z.O ponto timo encontrado foi, produzir 18 bolas Voleitok e 7 bolas Catechumbo para o dia de amanh com um beneficio Z= 225.5.(Anexo 6 : grficos)Casosparticul aresdaaplicaodomtodogrfico: Pode ocorrer da equao que define a funo objetivo no intercepta a rea vivel num ponto singular mas sim num segmento de reta. Neste caso um conjunto de 23pontos a soluo tima e trar o mesmo benefcio. Do ponto de vista deste mtodo no se pode ir mais alm na eleio do ponto timo, pelo que a deciso final ter de ser tomada por outros critrios.Outra situao aquela em que no existe interseco entre as retas. Neste caso a rea vivel pode ser ou vazia, ou aberta, pelo que ou no existe soluo tima, ou no possvel defini-la .4.4 Anlise de sensibilidade 4.4.1- Variao dos coeficientes da funo objetivoComo j mencionamos esta anlise de sensibilidade permite saber at onde possvel variar os coeficientes da funo objetivo sem que o ponto timo se altere. Este resultado muito importante pois existem sempre incertezas nos valores por detrs da determinao dos coeficientes.No exemplo em anlise fornecida a informao de preo de produo, no entanto, por melhor que esta soluo tenha sido obtida deve-se ter emconta que existemsempre incertezas nessa determinao. Por outrolado, necessidades de mercado podem provocar oscilaes no preo de venda e conseqentemente nos coeficientes da funo objetivo. 24 Emsuma, sesouber deantemoatondepodemvariar oscoeficientesda funo objetivo, pode-se conhecer at onde variar o preo de venda. este o objetivo para esta anlise neste problema. Omtodoconsisteemvariar odeclivedafunoobjetivoZ, mantendoa soluo tima. Sendo que o ponto timo foi obtido pela interseco de duas retas de restrio, este no se altera enquanto o declive da funo objetivo estiver contido entre o declive destas duas. Observa-se no problema em questo, que o ponto timo resulta da interseco das retas R1 e R3 (Anexo 7: grfico). Reorganizando as equaes que definem essas retas tem-se que os declives so -1e-11/6respectivamente. Damesmaformasabe-sequeodeclivedaretafuno objetivo expresso por -c1/c2.Assim, tem-se que:[ ] 1 161121 CCPara obteno dos limites de variao dos coeficientes da funo objetivo, fixa-se um deles e resolve-se a inequao [1] em funo do outro. Surge ento a soluo para o problema como:10 45 . 5 92 . 11 5 . 62 1 C C25Admitindo que o preo de produo se mantm constante, do resultado acima derivaqueospreosdevendadasbolasCatechumbopodemoscilarentre31.45e 37.92eospreosdasVoleitokvariamentre21.5e26.92, semqueadecisode produo tomada se altere.Note-se que o que se mantm o ponto timo mas no valor do seu beneficio.Uma reduo no valor dos coeficientes tem como implicao direta uma reduo do lucro total, isto , do valor de Z. ainda importante recordar que a anlise foi realizada variando apenas um coeficiente de cada vez, pelo que necessrio ter uma ateno especial quando se alteram os dois coeficientes em simultneo.4.4.2 - Anlise do lado direito das equaes O objetivo desta anlise determinar a gama de funcionamento do processo produtivo, isto, analisar atondeinteressaaumentar osrecursosdedeterminada atividade e at que ponto faz sentido diminuir os recursos semcausar sub-aproveitamento dos restantes. Assim, para os recursos que controlam o processo interessante aumentar a suadisponibilidade at aopontoemquecomumnovoaumentoos restantes se esgotame diminuir a sua disponibilidade at aopontoemque os outros ficam excedentes. Pararecursos quenorepresentamqualquer influncia nadecisode 26otimalidade previamente encontrada, de todo o interesse reduzir a sua disponibilidade at aoestritamente necessrio, isto, fazer passar a reta da sua restrio sobre o ponto timo. Como bvio no trar qualquer vantagem ao processo disponibilizar mais recursos do que esses. Graficamente estes passos, fazem-se traandoretasparalelas retado recursoem anlisepor forma arespeitaro acima afirmado. Veja como feito este estudo nas simulao seguintes: (anexo 7: grfico) Como se observou desta anlise de sensibilidade, as variaes que no comprometemo processo produtivo, nempor falta de disponibilidades nempor excesso das mesmas, so: RecursoDisponibilidade ExistenteVariao Admissvel+ -Cmara de Ar 25 3 3Op. de Costura 480 Qualquer 142.5Op. de Finalizao 240 35.4 44.44.4.3 -Preo Sombra uma ferramenta adicional que complementa a anlise de sensibilidade ao lado direito das restries. Matematicamente representa o incremento que a funo objetivo 27sofre devido ao aumento de uma unidade das disponibilidades do recurso em estudo. Na prtica diz-nos qual dever ser o preo mximo a pagar para adquirir mais recursos ou o preo mnimo de venda quando se pretende reduzir essa disponibilidade. O preo sombra poder ser determinado calculando o incremento sofrido pela funo objetivo, quando esta varia em conseqncia da variao de disponibilidades. Como obvio, esta definio, o preo sombra no varia quer estejamos a aumentar as disponibilidades, quer estejamos a reduzi-las.Em suma, o preo sombra pode ser determinado por:'mesma. da variao a aps e antes i recurso do idade disponibil B e ' B idade. disponibil da variao a aps e antes objectivo funo da valorZ e Z':''. .i icomB BZ ZS Pi i5.OBTENO DA SOLUO COM O RECURSO DO EXCEL A utilizaodoMicrosoft Excelpermite-nos deuma formamuitosimples e rpida obter solues de problemas de programao linear, recorrendo ao mdulo de otimizaoSolver. Pretende-senestepontorealizar oparalelocomoexemploda TecniBOLA, j resolvido pelo mtodo grfico. Em geral o mdulo de Solver no est disponvelno arranque do Excel. Para o ativar, seleciona-se o mduloSolverno menuFerramentas - Suplementos. Este 28mdulo tem capacidade de resolver problemas de otimizao usando formas alternativas resoluo via mtodo simplex. A forma como se organiza a informao na folha de Excel deve respeitar certas regras, por forma ao usurio ser capaz de interpretar corretamente o problema e obter a soluo tima. Paracorrer omduloSolver deve-seselecionar afunosolvernomenu Ferramentas. Assim, e para que a exposio seja mais simples indica-se na figura seguinte uma forma possvel de organizar a informao e a forma de introduo dos dados no mdulo solver.29 Devem existir clulas indexadas aos valores das variveis de deciso. Assim, as clulas onde se definemexpresses, tais como a funo objetivo, devemestar relacionadas com as primeiras, por forma a que exista uma atualizao desses valores em resultado de alteraes nos valores das variveis de deciso. Veja-se isto mesmo na clula D17.30Na janelaParmetros do Solverdefinem-se os parmetros para o Solver atravs de trs campos fundamentais: Clulas variveis : Neste campo devem ser indicadas as clulas referentes s variveis de deciso. No exemplo apresentado as clulasB5 e C5definem, respectivamente, o nmero de bolas Voleitok e Catechumbo a produzir.Definir clula de destino: Neste campo deve ser indicada a clula D17 onde se definiu a expresso que define a funo objetivo.Como se verifica,esta funo foi definida custa das clulas B5 e C5.Submeter as restries: Aqui definem-se as condies de validade do problema Restries. Paratal devemser definidas emclulas separadas aexpressoquerelaciona o consumo do recurso com as variveis de deciso e a quantidade existente desse recurso.Aps formular oproblema noExcel, est-seemcondies deoresolver, carregandonobotoSolve. Noentanto, parafacilitar odesempenhodoalgoritmo otimizador devem-se ajustar umconjunto de opes que pode ser visualizada carregando em Options. Aqui se ajustam entre outros parmetros, a convergncia, o tipodemodeloeacondiodenonegatividadedasoluo, emummenucoma seguinte configurao: 31No final da execuo do mdulo de otimizao surge uma janela onde se define se a soluo encontrada pelo solver se mantm na folha de clculo (neste momento apenas possvel visualiz-la) e pedir trs tipos de relatrio. Afigura seguinte apresenta esta janela:

NoRelatrio de Respostasso apresentados os resultados referentes s variveis de deciso, funo objetivo e quantidade de recursos em uso. Os Relatrios 32de Sensibilidade so relatrios de sensibilidade aos coeficientes da funo objetivo, s disponibilidadesdosrecursosedopreosombranacompraouvendaderecursos. Abaixo apresentam-se estes relatrios.33Microsoft Excel 10.0 Sensitivity ReportWorksheet: [gp2-tabela.xls]Sheet2Report Created: 24-05-2001 0:15:52Adjustable CellsFinal Reduced Objective Allowable AllowableCell Name Value Cost Coefficient Increase Decrease$B$5 Voleitok 18 0 10 1,916666667 3,5$C$5 Catechumbo 7 0 6,5 3,5 1,045454545ConstraintsFinal Shadow Constraint Allowable AllowableCell Name Value Price R.H. Side Increase Decrease$D$10 Cmara de ar Em Uso 25 2,3 25 3,235294118 3,181818182$D$11 Operao de Costura Em Uso 337 0 480 1E+30 143$D$12 Operaes de Finalizao Em Uso 240 0,7 240 35 44,6875Microsoft Excel 10.0 Answer ReportWorksheet: [gp2-tabela.xls]Sheet2Report Created: 24-05-2001 0:15:52Target Cell (Max)Cell Name Original Value Final Value$D$17 Z 0 225,5Adjustable CellsCell Name Original Value Final Value$B$5 Voleitok 0 18$C$5 Catechumbo 0 7ConstraintsCell Name Cell Value Formula Status Slack$D$10 Cmara de ar Em Uso 25 $D$10