,.

PROG~~ SÃO

l»q -::o •• PG alternada ou oscilant;

I Numa P.G. finita. o produto de dois termos eqüidistantes Idos extremos é igual ao produto dos extremos.

( 1 2 4, 8 , 16 , 32 , 64)

jLJ.~--

Progressão geométrica é uma seqüência denúmeros reais não nulos em que o quociente entre

um termo qualquer e seu antecedente é umnúmero fixo. chamado razão da progressão.

i:J (5. '0.20.40 .... ) ~ P.G. de razão q = 2

i:J (27.9.3. ' ) ~ P.G. de razão q = '/3

i:J (5. -5. 5. -5 ) ~ P.G. de razão q =-,i:J (2. -6. 18. -54 ) ~ P.G. de razão q = -3

i:J (4. '2. 36. 108 ) ~ P.G. de razão q = 3

Numa P.G .. qualquer termo. a partir do segundo. éMÉDIA GEOMÉTRICA. entre o anterior e o

pos~ rv:»,(1, 3, 9, 27, 81, 243, ...).. ~"""----------13=,Il.9 = -191 181= mm == J656l1

-,Termo Geral

a, = a,a2 = a, qa, = a2.q = a,.q.q = a,:q2

a, = a3.q = a,.q2q = a,.q3

....le~I11O:.Ge.ralQuando não tiver o aI (primeiro termal! !):

Sendo ap um termo qualquer. Pode ser osegundo (p=Z). oitavo (p=8), vigésimo?= .e

b) Calcule a fórmula de seu tel1110 geral.

P.G.

I:! =-

2. Seja aP.G. (1,.J2,2, ...)

b) Obtenha a fórmula de seu termo geral.

P.G.

{al=l ~q =-fi

I. Seja a seqüência infinita (~,I, 2, . .)

a) Calcule seu 8° termo.

jal =~

q=2n=8

PG

a =64

a) Calcule seu décimo [ermo.

:Sq •• ?ü "

PG.

ra = 1

n = 10

2. Seja a P.G. (I, 2,2 •...)

c) Calcule seu 811 termo racional.

(1,fi, 2, 2fi, 4, 4fi, 8, .. .) -+ Racionais = (1, 2, 4, 8,.)

PG

jal = 1q=2

n=8

Ex, 10) Numa PG, o quarto termo é igual a 32 e o I' é igual a V,.Determine a razão da PG, e em seguida obtenha seu 8' termo.

Ex 12) Determinar x a fim de que a sequência ((9x+5)/2,x+ l,x-2) sejaumaPG.

a2 =~ •• x~l_ = x-2 •• 2x+2 = x-2 ••at a2 9XT) x+! 9x+5 x+ l

2

::: : :;x+-21X2+.20' 91

:' ~ ~r:'~I:I

"Quatro termos ~ (-;-,~, x.y, x.y3)Y y

3. A razão de uma progressão geométrica de 4 termos, cuja soma dosextremos él J2 e a soma dos dois termos médios e 48, é:

{a, +a,.q' = 112

a,.q+a,.q' =48

(l+q).(I-q+q')

q(l+q)

3(I-q+q')=7q

{a,.(1 +q')= 112a,q(l+q)=48

3q' -10q+3 = O

Iq = 31 aLI Iq= ~I

4. Obtenha os termos da P.G. (a" "", a,), sabendo que a, + a, + ., = 14 e81,8'1,a3 = 64.

I,:!'" Iou

1q=-

2•(8,4,2)

5. Três números positivos, cuja soma é 30, estão em progressãoaritmética. Somando-se, respectivamente, 4, -4, e ·9 ao primeiro, segundoe terceiro termos dessa progressão arirmética, obtemos três números emprogressão geométrica, Então, escreva a PA.

=:;: -:---- -:-" -:-'-9

Ex 13) Determinar três números em PG cujo produto seja1000 e a soma do 10 com o 30 termo seja igual a 52.

~lomadlos Ietm.os,~deuma'PiGu SOMA DE UM N° FINITO DETERMOS

1 P.G. : (14 -', 6, 1 + r) I

1 c4 PA.=(10-r,10,10+,)

1,=21 ou 1,=111

Não convém

Ex 14 Interpelar cinc meios geornetricos entre 3 e 486.

a n=5+2=7

2 L-J 6 -18 ~:=m; r 486 í

~ !2J0 ~ ~ ~ ~4861

Ex 16) Quantos termos da PG (2, 6, 18, ...) devem serconsiderados a fim de que a soma resulte 19682?

a

·1.

~~omaUSÉRIE

:?SejaaP

I.[GS; =

1-2

ISlo == 1,998

IS20 == 1,99

~Dma,dti

mUMITE-OVALOR RS_OMA'O

Ex. 19) Uma batingir o solocai e atinge om, e assim porQuantos metro•200

@~100 l

~([SUBIR (200, 1E CAIR

Áo todo: 20

",d,os-e,term.o~de",uma~Pi,GGEOMÉTRICA CONVERGENTE

G (1,1/2,1/4,1/8 ...) sendo q = 1/2

r -1]1=1,93751-I

I9998

1

os,tetm,os~d,e-umalG InfinitaSÉRIE GEOMÉTRICA

CONVERGENTE

AsbMA:10 Ou'ALA

ONVÉRGE

ola é atirada ao chão de uma altura de 200 m. Aopela primeira vez, ela sobe até uma altura de 100m,solo pela segunda vez, subindo até uma altura de 50

diante até perder energia e cessar o movimento.s a bola percorre ao todo?

•••• S = 20000, 50, ... ) ..,.. ~ I

1--2

= 200 = 400I2

0+ 400 = 600m

Seja a PO (ai' ~, a3,.· ) cuja razão q é tal que

Assim, quando o número de termos da sequênciatende ao infinito, o termo geral tende a ser zero:

Ex. 17) Calcular o valor de 2+2/3+2/9+ ....

PG ÇONVERGENTE! 1(-1 < q < 1)1

I. No dia 1° de dezembro, uma pessoa enviou pela inremet umamensagem para x pessoas. No dia 2, cada uma das x pessoas que recebeua mensagem no dia )0 enviou a mesma para outras duas novas pessoas.No dia 3, cada pessoa que recebeu a mensagem no dia 2 também envioua mesma para outras duas pessoas e, assim, sucessivamente. Se do dia )0

até O final do dia 6 de dezembro 756 pessoas haviam recebido amensagem. o valor de x é:

Ir.G. ~ (x, 2x, 4x, ·..)1

756 = x.(26 -I)2-1

756 = 63x

Ix = 121

2. a) Obtenha a soma dos 10 primeiros termos da seqüência (3-2, 3*1, 30, _O)

s ,,:al·(q"-l)n q-1

1 (310-I)S =---

10 9' 3-1

~ _(310-I)~1's, -I 18

3. uma pessoa adquire wn automóvel pagando ema entrada de RS5.000,00 e o restante em n parcelas mensais decrescentes. sendo aprimeira de RS 500,00 e cada uma das demais sofrendo uma redução de10%em relação à parcela imediatamente anterior.

a) Obtenha urna expressão que permita calcular o valor total a ser pagopelo veículo em função de n.

ri (-500-. -450-. 4-0-5,- ..-.)-

. 1- '.<r 1P.G.

'al=-OO

lq =0,9Valor Total'

IV = 5000+5000(1-0,9")

4. A soma dos n primeiros termos de uma P.G. é dada por Sn = 2'\'" I - 2.

a) Calcule o primeiro teimo dessa seqüência.

2 b) Determine a fórmula da soma dos n primeiros teTlT10S da seqüênciaem função de n.

1,ai ='9q=3

b ~. \"3.or ~o pelo \'el o se o pr2ZO p2!'a quitar as prestações forde um ano e mec? (Coesidere (0,9," = 0,15)

IV = 5000~ 5000e 1-0,9")1

4. A soma dos n primeiros teimas de uma P.G. é dada por Sn = 2n.,.1 - 2.

b) Determine n de modo que Sn = 2046

S . • . fi . (1 1 I ) M dif5. eja a seqüência m truta "2''4'8'''' ostrequea I erença

entre o limite da soma dos infinitos termos e a soma de seus

10 primeiros termos é inferior a 1 milésimo.

Soma dos infinitos termos:

Soma dos 10 primeiros termos: