Capítulo I Séries Numéricas - Sistemas de Informação · é uma progressão geométrica. A...
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Capitulo I – Séries 2
Análise Matemática II Curso de Engª Electromecânica
1. SÉRIES NÚMERICAS
DEFINIÇÃO 1
Sendo 1 2, ,..., ,...nu u u uma sucessão numérica, chama-se série numérica de termo geral nu à
expressão
1 2 ... ...nu u u
que habitualmente se escreve
1
n
n
u
ou simplesmente 1
n
n
u
Para determinar a soma de uma série, usa-se a chamada sucessão de somas parciais.
DEFINIÇÃO 2
Associada a uma série, existe a sucessão de somas parciais definida por
1 1
2 1 2
3 1 2 3
1 2 3
.
.
.
... .n n
s u
s u u
s u u u
s u u u u
DEFINIÇÃO 3
Uma série 1
n
n
u
quanto à sua natureza, pode ser convergente ou divergente.
Será Convergente se a sucessão das somas parciais a ela associada for convergente, e isto
sucede quando lim nn
S
for um valor finito e determinado. Será Divergente se a sucessão das
somas parciais a ela associada for divergente, e isto sucede quando lim nn
S
for um valor
infinito ou indeterminado.
No caso da série ser convergente, o valor de lim nn
S
é a soma da série.
No caso da série ser divergente, não existe soma da série, como é obvio.
Capitulo I – Séries 3
Análise Matemática II Curso de Engª Electromecânica
₪ EXEMPLO 1
Dada a série 1
1
( 1)n n n
, determine a sua natureza e, caso seja convergente, calcule a sua
soma.
RESOLUÇÃO:
A Sucessão associada à série é:
1
2
3
4
1
2
1 1
2 6
1 1 1
2 6 12
1 1 1 1
2 6 12 20
..................................
1 1 1 1 1...
2 6 12 20 1n
s
s
s
s
sn n
Efectuando as operações acima indicadas, obtemos:
1
2
3
4
1
2
2
3
3
4
4
5
..................................
1n
s
s
s
s
ns
n
Vejamos então se existe e é finito o lim nn
S
.
lim lim 11
nn n
nS
n
.
Como o lim nn
S
existe e é finito, podemos afirmar que a série é convergente e portanto é
possível determinar a sua soma que será o valor do lim nn
S
, ou seja 1.
Capitulo I – Séries 4
Análise Matemática II Curso de Engª Electromecânica
₪ EXEMPLO 2
Dada a série 1n
n
, determine a sua natureza e, caso seja possível, determine a sua soma.
RESOLUÇÃO:
A Sucessão associada à série é:
1
2
3
4
1
1 2
1 2 3
1 2 3 4
..................................
1 2 3 4 ...n
s
s
s
s
s n
Efectuando as operações acima indicadas, obtemos:
1
2
3
4
1
1
3
6
10
..................................
. .1
22
nn
s
s
s
s
soma dos n primeiros termos de uma p an
s n u un
Vejamos então se existe e é finito o lim nn
S
.Temos: 2
lim lim2
nn n
n nS
.
Então, podemos afirmar que a série é divergente e que não é possível determinar a sua soma .
₪ EXEMPLO 3
Dada a série 1
1
2
nn
, determine a sua natureza e, caso seja possível, determine a sua soma.
Capitulo I – Séries 5
Análise Matemática II Curso de Engª Electromecânica
RESOLUÇÃO:
A Sucessão associada à série é:
1
2 2
3 2 3
4 2 3 4
2 3 4
1
2
1 1
2 2
1 1 1
2 2 2
1 1 1 1
2 2 2 2
..................................
1 1 1.
1 1 1 1 1 2 2 2...12 2 2 2 2
1 12
2
n
n n
s
s
s
s
Soma dos n primeiros termos
s de uma progressão geometrica
de razão
Vejamos então se existe e é finito o lim nn
S
.Temos: 1
1 1
2 2lim lim 11
2
n
nn n
S .
Então, podemos afirmar que a série é convergente e que a sua soma é lim nn
S
, ou seja 1 .
₪ EXEMPLO 4
Dada a série 1
2
n
n
, determine a sua natureza e, caso seja possível, determine a sua soma.
RESOLUÇÃO:
A Sucessão associada à série é:
Capitulo I – Séries 6
Análise Matemática II Curso de Engª Electromecânica
1
2
2
2 3
3
2 3 4
4
2 3 4
2
2 2
2 2 2
2 2 2 2
..................................
2 2 .22 2 2 2 ... 2
1 22
nn
n
s
s
s
s
Soma dos n primeiros termos
s de uma progressão geometrica
de razão
Vejamos então se existe e é finito o lim nn
S
.Temos: 1lim lim 2 2
n
nn n
S .
Então, podemos afirmar que a série é divergente e que por isso não é possível calcular a sua
soma.
1.1 ALGUMAS PROPRIEDADES DAS SÉRIES
Se duas séries 1
n
n
u
e 1
n
n
v
convergem e têm somas respectivamente U e V, então:
i) 1
n n
n
u v
, soma de 1
n
n
u
e 1
n
n
v
, converge e tem soma U+V.
ii)
1
,n
nu , converge e tem soma U.
Se a série 1
n
n
u for convergente e a série 1
n
n
b for divergente, a soma de 1
n
n
u e
1
n
n
b , 1
n n
n
u b , é divergente.
Se duas séries 1
n
n
a e 1
n
n
b divergem, 1
n n
n
a b , soma de 1
n
n
a e 1
n
n
b , pode não
divergir.
Capitulo I – Séries 7
Análise Matemática II Curso de Engª Electromecânica
1.2 EXEMPLOS DE ALGUMAS SÉRIES
1.2.1 SÉRIE GEOMÉTRICA
Chama-se Série geométrica a 0
n
n
u
, onde nu é uma progressão geométrica. A série
geométrica representa-se, habitualmente, por:
0
n
n
ar
A Sucessão associada à série é:
1
2
2
3
2 3
4
2 3
..................................
... n
n
s a
s a ar
s a ar ar
s a ar ar ar
s a ar ar ar ar
Vê-se facilmente que nS é a soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica de
razão r , que será portanto: 11
1 1
nn
n
a ra ar rS
r r
.
Para identificar a natureza da série, teremos que analisar o lim nn
S
, que depende de r.
Vejamos:
i) Se 11
1, lim lim1
n
nn n
a rr temos S
r
ii) 11
1, lim lim1 1
n
nn n
a r ar temos S
r r
iii) 11
1, lim lim1
n
nn n
a rr temos S
r
iv) 1
1 11, lim lim
2
n
nn n
ar temos S
não existe.
Capitulo I – Séries 8
Análise Matemática II Curso de Engª Electromecânica
Concluímos então que a série geométrica 0
n
n
ar
é convergente se e só se 1r e neste caso
a sua soma é 1
aS
r
.
₪ EXEMPLO 5
a) Determine a natureza da série 1
1
2
3nn
.
b) Determine, caso seja possível a sua soma.
RESOLUÇÃO
Podemos usar dois métodos:
1º método:
a) Usando as propriedades das séries, temos:
11
2
3nn
=1 1
1 2 12
3 3 3 3
n nn n
. Ora, 1
1
3
nn
é uma série geométrica de razão 1
13 , logo
convergente.
b) A soma de uma série geométrica de razão r e cujo primeiro termo é a, é 1
a
r. No nosso
caso, teremos então a soma da série 1
1
3
nn
igual a
1
131 2
13
. Como a série que nos é dada é
1
2 1
3 3
nn
, a sua soma será 2 1 1
3 2 3 .
2º Método:
a) A Sucessão associada à série é:
Capitulo I – Séries 9
Análise Matemática II Curso de Engª Electromecânica
1 2
2 2 3
3 2 3 4
2 3 4 1
2
3
2 2
3 3
2 2 2
3 3 3
..................................
2 2 2 2...
3 3 3 3n n
s
s
s
s
Ora, nS nada mais é do que a soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica de
razão 1
3. Então
2 1
2 2 1
3 3 31
13
n
nS
. Calculemos lim nn
S
:2 1
2 2 1
13 3 3lim lim1 3
13
n
nn n
S
(
valor finito) logo, a série é convergente.
b) A sua soma será: 2 1
2 2 1
13 3 3lim lim1 3
13
n
nn n
S
.
1.2.2 .SÉRIE DE DIRICHLET OU SÉRIE DE RIEMMAN
Chama-se série de Dirichlet à série
1
1
n n
.
Esta série é uma série divergente, se 1 e convergente se 1 .
Se 1 , a série toma o nome de série harmónica.
₪ EXEMPLO 6
Determine a natureza da série 3
1
1
n n
.
Capitulo I – Séries 10
Análise Matemática II Curso de Engª Electromecânica
RESOLUÇÃO
A série dada é convergente, pois é uma série de Dirichlet, com 3 1 .
1.2.3 SÉRIE DE MENGOLI OU SÉRIE TELESCÓPICA
Consideremos a série 1
n
n
a
.
Se for possível decompor o termo geral numa diferença tal que n n n pa u u , à série
1
n n p
n
u u
dá-se o nome de Série de Mengoli ou Série Telescópica.
A série de Mengoli 1
n n p
n
u u
será convergente se a sucessão nu o for, ou seja se
lim nn
u k
, sendo k um valor finito e determinado. Neste caso a soma da série será dada por:
1 2 ... limp nn
s u u u p u
.
₪ EXEMPLO 7
Determine a soma da série 1
1
1 2
n n n
.
RESOLUÇÃO
Vamos tentar decompor o termo geral numa subtracção de duas fracções, usando a seguinte
regra:
“Na primeira fracção colocamos todos os factores do denominador da fracção original menos o
último e na segunda colocamos todos os factores do denominador da fracção original menos o
primeiro”.
1
1 2 1 2
A B
n n n n
Capitulo I – Séries 11
Análise Matemática II Curso de Engª Electromecânica
Deste modo, vem:
1 A(n 2) A(n 1) , logo A 1 e B 1 . Então:
1
1
1 2n n
=
1
1 1
1 2n n
Ora, 1
1 1
1 2n n
nada mais é do que uma série de Mengolli, onde p=1.
Já sabemos que uma série de Mengolli é convergente se a sucessão nu for. Neste caso
concreto temos lim nn
u
=
1lim
1n n =0, logo a sucessão nu é convergente e a soma da
série dada será então:
1
1 11. lim
1 2nu
n
.
₪ EXEMPLO 8
Caso seja possível, determine a soma da série 1
1, 1
3 6n
nn n n
.
RESOLUÇÃO
Vamos tentar decompor o termo geral numa subtracção de duas fracções, usando a seguinte
regra:
“Na primeira fracção colocamos todos os factores do denominador da fracção original menos o
último e na segunda colocamos todos os factores do denominador da fracção original menos o
primeiro”.
1
3 6 3 3 6
A B
n n n n n n n
Capitulo I – Séries 12
Análise Matemática II Curso de Engª Electromecânica
Deste modo, vem:
1 A(n 6) Bn , logo 1 1
A e B6 6
. Temos então:
1
1
1 2n n
=
1
1 1
6 6
3 3 6n n n n
Ora, 1
1 1
6 6
3 3 6n n n n
nada mais é do que uma série de Mengolli, onde p=3.
Já sabemos que uma série de Mengolli é convergente se a sucessão nu for. Neste caso
concreto temos lim nn
u
=
1
6lim3n n n
=0, logo a sucessão nu é convergente e a soma da
série dada será então:
1 2 3
13. lim
3nu u u
n n
ou seja
1 1 1
6 6 6 01 1 1
4 10 18
1.3. CONDIÇÃO NECESSÁRIA DE CONVERGÊNCIA DE UMA SÉRIE
A Condição necessária para que a série 1
n
n
u
seja convergente é que lim 0nn
u
. Isto
significa que:
Capitulo I – Séries 13
Análise Matemática II Curso de Engª Electromecânica
Dada a série 1
n
n
u
, se:
lim 0nn
u
, a série é divergente
lim 0nn
u
, a série poderá ser convergente ou divergente
₪ EXEMPLO 9
Determine a natureza da série 2
21
5 3
6 1n
n
n
.
RESOLUÇÃO
Calculemos lim nn
u
.
2
2
5 3 5lim lim 0
6 1 6n
n n
nu
n
.
Uma vez que não obedece à condição necessária de convergência podemos afirmar que a série
é divergente.
₪ EXEMPLO 10
Determine a natureza da série 1
1
n n
.
RESOLUÇÃO
Calculemos lim nn
u
.
1lim lim 0nn n
un
.
Nada podemos concluir pela análise do termo geral. Mas, 1
1
n n
é a série harmónica, de que já
se falou anteriormente e já se afirmou ser divergente.
Capitulo I – Séries 14
Análise Matemática II Curso de Engª Electromecânica
1.4 SOMA OU SUBTRACÇÃO DE UM NÚMERO FINITO DE TERMOS A UMA
SÉRIE
Não se altera a natureza de uma série, somando-lhe ou subtraindo-lhe um número finito de
termos.
₪ EXEMPLO 11
Determinar a natureza da série 1+2+3+1
1
2nn
.
RESOLUÇÃO
Consideremos apenas a série 1
1
2nn
. É uma série geométrica de razão 1
12
r , logo
convergente.
A soma da série 1
1
2nn
é
1
2 11
12
.
Adicionando a este valor os restantes termos da série dada, ou seja 1, 2 e 3, vamos obter
1+1+2+3=7 , um valor finito. Podemos então dizer que a série 1+2+3+1
1
2nn
também é
convergente.
1.5 CONVERGÊNCIA DE SÉRIES DE TERMOS NÃO NEGATIVOS
Vamos em seguida estudar vários critérios de convergência de séries. Consideraremos apenas
séries de termos não negativos, ou seja séries de termos nulos ou positivos.
Capitulo I – Séries 15
Análise Matemática II Curso de Engª Electromecânica
1.5.1.CRITÉRIO GERAL DE COMPARAÇÃO
(1º CRITÉRIO DE COMPARAÇÃO)
Se, para qualquer n N , se tem 0 n na b ,
i) Se 1
n
n
b
é convergente, 1
n
n
a
também é convergente.
ii) Se 1
n
n
a
é divergente, 1
n
n
b
também é divergente
iii)
1.5.2 COROLÁRIO DO CRITÉRIO GERAL DE COMPARAÇÃO
( 2º CRITÉRIO DE COMPARAÇÃO)
Sejam as séries 1 2
1 1
n n
n n
S a e S b
i) Se lim 0,n
nn
ak
b , as séries são da mesma natureza.
ii) Se lim 0n
nn
a
b , e se a série nb é convergente, também a série 1S é convergente.
iii) Se lim n
nn
a
b , e se a série nb é divergente, também a série 1S é divergente.
Para se aplicar o critério geral de comparação assim como o seu corolário, é necessário
relacionar a série dada com qualquer outra série da qual se conheça a natureza. As séries que
se utilizam habitualmente para fazer essa comparação são as Séries Geométricas, Séries de
Mengoli e Séries de Dirichlet, já anteriormente mencionadas.
₪ EXEMPLO 12
Estude a natureza da série 1
5
n n
.
Capitulo I – Séries 16
Análise Matemática II Curso de Engª Electromecânica
RESOLUÇÃO
Sabemos que: 1 5
n n e que a série
1
1
n n
(série harmónica) é divergente. Então, aplicando o
critério geral de comparação( 1º critério de comparação) , podemos imediatamente concluir
que 1
5
n n
também é divergente.
₪ EXEMPLO 13
Estude a natureza da série 2
1
1
3n n
.
RESOLUÇÃO
Sabemos que 2 2
1 1
3n n
. Conhecemos também a natureza da série
21
1
n n
que é uma série
de Dirichlet com 2 , por isso convergente. Então, 2
1
1
3n n
convergente.
₪ EXEMPLO 14
Determine a natureza da série 3 2
2
1
lnn n n
.
RESOLUÇÃO
Sabemos que 3
2
1
n n
é convergente pois é uma série de Dirichlet com 3 .
Como 3 2
3
1
lnlim 01n
n n
n
,pelo corolário do critério geral de comparação concluimos que a
série 3 2
2
1
lnn n n
é também convergente.
₪ EXEMPLO 15
Determine a natureza da série 1
3
2
n
n n
u
u
, sabendo que a série
1
n
n
u
é convergente.
Capitulo I – Séries 17
Análise Matemática II Curso de Engª Electromecânica
RESOLUÇÃO
Se a série 1
n
n
u
é convergente, então obrigatóriamente lim 0nn
u
( pela cond. nec. de
convergência) .Usando o corolário do critério geral de comparação, temos que :
3
2 3 3lim lim 0,
2 2
n
n
n nn n
u
u
u u
Sendo assim, as séries são da mesma natureza, logo convergentes.
1.5.3 CRITÉRIO DA RAZÃO OU CRITÉRIO DE D´ALEMBERT
Consideremos a série 1
n
n
u
, de termos não negativos. Se:
1
11
1
1, ´
1, ´lim
1 , ´
1 ,
n
n
nn
nn
n
n
n
u e convergente
u e divergenteu
u
u e divergente
nada se pode concluir
O critério de D´Alembert está especialmente indicado quando no termo geral da série
aparecem factoriais, potências ou produtos sucessivos.
₪ EXEMPLO 16
Determine a natureza da série 1
1 3 5 2 3
2 4 6 2 2n
. . ...( n )
. . ...( n )
.
Capitulo I – Séries 18
Análise Matemática II Curso de Engª Electromecânica
RESOLUÇÃO
No termo geral da série estão presentes produtos sucessivos, estando portanto indicada a
utilização do critério de D´Alembert. Temos então:
1
1 3 5 2 5
2 4 6 2 4 2 51
1 3 5 2 3 2 4
2 4 6 2 2
n
n n nn
. . ... n
. . ... nu nlim lim lim
. . ... nu n
. . ... n
Logo, a série é Divergente.
₪ EXEMPLO 17
Determine a natureza das séries dadas abaixo, aplicando o critério de D´Alembert.
a)1
3n
n n!
b) 1
2
1n
n
n !
c)
2
1
3
n
n !
n!
RESOLUÇÃO
a) Aplicando o critério de D´Alembert temos:
1
1 3 30 1
1 3 1
n
n
nn n nn
u n!lim lim lim
u n ! n
.
Logo, a série dada é convergente.
b) Aplicando o critério de D´Alembert temos:
1
2
3
2 13 30 1
2 2 2 21
n
n n n nn
n
n ! n !u n nlim lim lim lim
nu n ! n nn !
Logo, a série dada é convergente.
Capitulo I – Séries 19
Análise Matemática II Curso de Engª Electromecânica
c) Aplicando o critério de D´Alembert temos:
2
1
2
3 1 3 1 3 2 3 3
3 1 11
n
n n nn
n ! n! n n nulim lim lim
u n ! n nn !
Logo, a série dada é divergente.
1.5.4. CRITÉRIO DA RAIZ
Consideremos a série 1
n
n
u
, de termos não negativos. Se:
1
1
1
1, ´
1, ´lim
1 , ´
1 ,
n
n
nn n
nn
n
n
u e convergente
u e divergenteu
u e divergente
nada se pode concluir
O critério da raiz está especialmente indicado nos casos em que todos os factores do termo
geral estão elevados pelo menos ao expoente n.
₪ EXEMPLO 18
Determine a natureza da série 1
1
1n
n n
.
RESOLUÇÃO
Aplicando o critério da raiz, temos:
1 1 10 1
11 1
n
n nnn nn n n nlim u lim lim lim
nn n
Logo, a série 1
1
1n
n n
é convergente.
Capitulo I – Séries 20
Análise Matemática II Curso de Engª Electromecânica
₪ EXEMPLO 19
Determine a natureza da série
22
21
3
8 9
n
n
n
n
.
RESOLUÇÃO
Aplicando o critério da raiz, temos:
2 2 22 2
2 2
3 3 3 91
8 9 8 9 8 64
n
n nn
n n n
n nlim u lim lim
n n
Logo, a série é convergente.
₪ EXEMPLO 20
Determine a natureza da série
2
1 3
n
n
n
n
.
RESOLUÇÃO
Aplicando o critério da raiz, temos:
2
1 11
33 31
n
n n
n nn
n n n n
n nlim u lim lim lim
n n e
n
Logo, a série é convergente.
1.5.5.CRITÉRIO DO INTEGRAL
Seja f: ,1 uma função Contínua e Decrescente onde para cada n ,
nu f n .
A série de termo geral nu e o integral 1
f x dx
são da mesma natureza.
Capitulo I – Séries 21
Análise Matemática II Curso de Engª Electromecânica
OBSERVAÇÃO 1
Este critério permite concluir que a série de Dirichlet 1
1
n
e o integral 1
1dx
x
são da
mesma natureza.
₪ EXEMPLO 21
Estude a natureza das séries abaixo, recorrendo ao critério do integral.
a) 2
1
1
4n
b) 1
1
2 1n
RESOLUÇÃO
a) Consideremos a função 2
1
4f x
x . Esta função é continua e decrescente em
1, , então a série 2
1
1
4n
é da mesma natureza que o integral 2
1
1
4dx
x
. Vejamos então
qual é a natureza do integral:
2 2
11 1
1 1 1 1
4 4 4 4
tt
t tdx lim dx lim
x x x
O integral é convergente e então, pelo critério do integral, concluimos que a série 2
1
1
4n
também é convergente.
b) Consideremos a função 1
2 1f x
x
. Esta função é contínua e decrescente em 1, ,
então a série 1
1
2 1n
é da mesma natureza que o integral
1
1
2 1dx
x
.
Vejamos então qual é a natureza do integral 1
1
2 1dx
x
12
11 1
1 12 1
2 1 2 1
t t
t tdx lim dx lim x
x x
Capitulo I – Séries 22
Análise Matemática II Curso de Engª Electromecânica
O integral é divergente e então, pelo critério do integral, concluímos que a série 1
1
2 1n
também é divergente.
1.6 SÉRIES ALTERNADAS
DEFINIÇÃO 4
Chama-se série alternada a toda a série cujos termos são alternadamente positivos e
negativos. A sua forma é
1
1 0n
n n
n
u , u
.
Por exemplo, 1
1 2 3 4... 1
2 3 4 5 1
n
n
n
n
, e
n
n
n n1
cos
1 3 são séries
alternadas.
Para fazer o estudo da convergência deste tipo de séries é muito útil o critério de Leibniz, que
diz o seguinte:
1.6.1 CRITÉRIO DE LEIBNIZ
Dada a série alternada 1
1 0
n
n n
n
u , u , se nu for decrescente e se 0
n
nlim u ,
então a série é convergente.
₪ EXEMPLO 22
Determinar a natureza da série
1
1
1
n
n n.
RESOLUÇÃO:
A série dada é uma série harmónica alternada
1
1
1
n
n n. Pelo critério de Leibniz, podemos
afirmar que é convergente, pois :
Capitulo I – Séries 23
Análise Matemática II Curso de Engª Electromecânica
1 1
1
10
n
a )n n
b )limn
₪ EXEMPLO 23
Verifique se a série
1
1 3
4 1
n
n
n
n
é convergentes ou divergente.
RESOLUÇÃO
É uma série alternada, por isso, para estudar a sua natureza, vamos recorrer ao critério de
Leibniz. Verificamos que a 2ª condição deste não é satisfeita, ou seja 3 3
04 1 4n
nlim
n
.
Então, por este critério, nada podemos concluir. Mas, se recorrermos à condição necessária de
convergência, vemos que 1 3
4 1
n
n
nlim
n
não existe, logo a série é divergente.
1.6.2 CONVERGÊNCIA ABSOLUTA E CONVERGÊNCIA SIMPLES
Consideremos as séries 1 1
n n
n n
u e u
.
TEOREMA 1
Se 1
n
n
u
converge também 1
n
n
u
converge.
DEFINIÇÃO 5
Se uma série 1
n
n
u
e a série dos seus módulos, 1
n
n
u
, são ambas convergentes, a série
1
n
n
u
diz-se ABSOLUTAMENTE CONVERGENTE.
Capitulo I – Séries 24
Análise Matemática II Curso de Engª Electromecânica
DEFINIÇÃO 6
Se a série dos módulos, 1
n
n
u
, é divergente e a série 1
n
n
u
é convergente, a série 1
n
n
u
diz-se SIMPLESMENTE CONVERGENTE.
₪ EXEMPLO 24
Verifique se as séries são absolutamente convergentes, ou simplesmente convergentes
a)
1
1n
n n
b)
3
1
1n
n n
RESOLUÇÃO
a) Vamos analisar a série dos módulos:
Sabemos que
1 1
1 1n
n nn n
e já vimos que esta série é divergente ( série harmónica).
Vamos ver se
1
1n
n n
é convergente ou divergente, aplicando o critério de Leibniz. Ora,
10
nlim
n e nu é decrescente pois 1
1 1
1
n n, u u
n n, então
1
1n
n n
é
convergente. Podemos então concluir que
1
1n
n n
é simplesmente convergente, pois a série
dos módulos diverge e
1
1n
n n
converge.
b) Vamos analisar a série dos módulos:
Sabemos que
3 31 1
1 1n
n nn n
. Esta série é convergente (série de Dirichlet com 1 .
Como a série dos módulos é convergente, pelo teorema 1.7.2.1, podemos afirmar que a série
dada é convergente.
Capitulo I – Séries 25
Análise Matemática II Curso de Engª Electromecânica
Conclusão: A série
31
1n
n n
é absolutamente convergente, pois tanto a série dos módulos
como ela própria são convergentes.
OBSERVAÇÃO 2
Série Absolutamente Convergente Série Convergente.
MAS A RECÍPROCA NÃO É VERDADEIRA
1.7. CRITÉRIO DA RAIZ E CRITÉRIO DE D´ALEMBERT PARA SÉRIES DE
TERMOS POSITIVOS E NEGATIVOS
1.7.1CRITÉRIO DA RAIZ
Consideremos a série 1
n
n
u
, de termos positivos e negativos, mas não alternada. Se:
1
1
1
1, ´
lim 1 ´
´
n
n
nn n
nn
n
n
u e absolutamente convergente
u u e divergente
u e divergente
1.7.2.CRITÉRIO DE D´ALEMBERT
Consideremos a série 1
n
n
u
, de termos positivos e negativos, mas não alternada. Se:
Capitulo I – Séries 26
Análise Matemática II Curso de Engª Electromecânica
1
1
1
1
1, ´
lim 1, ´
, ´
n
n
nn
nnn
n
n
u e absolutamente convergente
uu e divergente
u
u e divergente
ESTRATÉGIAS NA ESCOLHA DO CRITÉRIO A EFECTUAR PARA DETERMINAR A NATUREZA DE
UMA SÉRIE
Foram expostos aqui vários critérios para determinar a natureza de uma série. A destreza em
escolher e aplicar os vários critérios, consegue-se apenas com a prática. A seguir serão
apresentados um conjunto de procedimentos para escolher um critério adequado.
A estratégia deverá ser a seguinte:
1) O n-ésimo termo da série tende a zero? Se não tende, a série é divergente
(Condição necessária de convergência)
2) A série é uma série conhecida? ( geométrica, Mengolli, Dirichlet)
3) É uma série alternada?
4) Pode-se comparar com uma das séries conhecidas?
5) Pode-se aplicar o critério de D´Alembert, da raiz ou do integral?
Aplicando as estratégias para determinar a natureza das séries, determine a convergência ou
divergência das séries abaixo:
a) 1
1
5 3n
n
n
b)
1 5
n
n
c) 2
1
n
n
ne
d) 1
1
5 3n n
e) 1
31
5 3
n
n n
f) 1
!
5nn
n
g) 1
1
5 3
n
n
n
n
Solução
a) Condição nec. de Convergência: 1 1lim 0
5 3 5n
n
n
, logo a série é Divergente
b) Série geométrica: razão menor que 1, logo convergente.
Capitulo I – Séries 27
Análise Matemática II Curso de Engª Electromecânica
c) Critério do Integral. Série convergente
d) Teste de Comparação: Comparar com a série harmónica:
1
15 3lim 0,1 5n
n
n
, logo as
séries são da mesma natureza, por isso, divergentes.
e) Série alternada(analisar a série dos módulos, que é div. E em seguida aplicar o
critério de Leibniz), concluindo finalmente que é Convergente.
f) Critério de D´Alembert (o termo geral tem factoriais). Divergente.
g) Critério da raiz ( o termo geral está elevado ao expoente n). Convergente.
EXERCÍCIOS I
1 – Determine a sucessão das somas parciais e, caso seja possível, a soma de cada uma das
seguintes séries:
a) 1
1
2nn
b) 1
2n
n
c) 1
ln1n
n
n
d) 5
1
4 n
n
e) 1
1 1
1
n n n
2 - Considere a série numérica 2 2n
n
C
.
a) Mostre que é convergente qualquer que seja o valor da constante C .
b) Determine o valor da constante C de modo que a série tenha por soma 1.
3 – a) Verifique se 2
3
22
25 , 1
1
n n
n
x xx x para x
x
b) Considere 1
n
n
u uma série geométrica de razão 2
1
1 a com \ 0a . Sabendo
que a soma da série é 1, calcule o termo geral da série.
4 – Diga para que valores de a e b as séries 1
5
1
n
nn b
e
1
1
n
n
a
são convergentes e
calcule a soma de cada uma das séries para os valores encontrados.
Capitulo I – Séries 28
Análise Matemática II Curso de Engª Electromecânica
5 – Usando as propriedades das séries, determine, caso seja possível, a natureza das séries
abaixo:
a) 1
1 3
3 2
n
nn
b) 1
1 2
2 1 2
nn n n
c) 1
1 1
4n n nn
6- Determine a natureza das séries de Mengoli:
a) 1
1
1n n n
b)
21
2
5 4n n n
c)
22
1
1n n
d)
1
2
1 2n n n n
e) 1
1
3 3 9n n n
f) 2
1
2 2 4n n n
g) 1
1
4 3 4 1
n n n
7 – Determine a natureza das séries, analisando o seu termo geral:
a) 2
21
5 3 3
7 2 6n
n n
n n
b)
1
1
2 1
n
n
n c)
2
21 7 4
n
n
n
d) 2
1 3 2n
n
n
e)
1
1
1 2
n
n
n f)
4
1
11
n
n n
8 – Aplicando o 1º critério de comparação, classifique as séries abaixo
a) 2 2
1 1
1 1ln 1
n n
comparar comn n
b) 2
1 1
1 1
!
n n
comparar comn n
c) 2
1 1
1
1 1
n n
ncomparar com
n n d)
2 1
1 1
lnn n
comparar comn n
e) 1 1
1 2 2
5 5
n n
n n
comparar comn
f)1
, 1
n
n
dd
n 1
1
n
comparar comn
9 – Estude, aplicando o 2º critério de comparação, a natureza das séries abaixo:
a) 2
4 21
5 3
2 3n
n n
n n
b)
21
1
1
n n n
c) 2
51
2 3
5
n
n n
n d)
1
1
2 1
nn
Capitulo I – Séries 29
Análise Matemática II Curso de Engª Electromecânica
e) 3
1
1
3n
n senn
n
f)
3 21
4
3n n
g)
1
1n
n n
h) 2
1
1
n
n
n
i) 2
2
1
n
n
n n
j) 2
1
1
n
n n k) 3
1
1
5n n
l)
5 22
1
lnn n n
m) 5
1 4
n
n
n n)
1
2
1 3
n
nn
o) 1
1
n
senn
p) 2
6 21
1
1
n
n n
n n
10- Mostre que a série
1 1
32
n
nan
n é convergente, sendo na o termo geral de uma série
convergente.
11 – O que pode concluir quanto à natureza da série 1
n
n
a
?
a) 1 7
n
nn
alim
a b) 1 1
n
nn
alim
a c) 1 0 99
n
nn
alim .
a d)
1
2
n
nn
alim
a
12 – Estude a natureza das seguintes séries:
a) 1
2
1 2
n n n n
b)
11
3.2 1
2 1
n
nn
n n
n n
c) 1
1 3
3 2
n
nn
d) 1
1 2
2 1 2
nn n n
13 – Recorrendo ao critério de D´Alembert, determine a natureza das seguintes séries:
a)
3
1
2 !
!n
n
n
b)
1
1.3.5... 2 1
2.4.6... 2n
n
n
c)
1
!
n
nn
n
n
d) 1
, 0 1
n
n
bb
n e)
1
!, 0
nn
nd
d f)
1
!n
nn
n
n
Capitulo I – Séries 30
Análise Matemática II Curso de Engª Electromecânica
g)2 1
0
2
3
n
nn
n
h)
2
1
!
2 !
n
n
n i)
1
2.4... 2 2
1.5... 4 1
n
n
n j)
1
n
n
n
n!
14 – Aplicando o critério da raiz, determine a natureza das séries abaixo
a) 1
1
3
n
n
n
n b)
2
1
3 1
5 1
n
n
n
n c)
1
4 1
4 3
n
n
n
n
d)
2
1 1
n
n
n
n e)
1
1
1 5
nn
n
f)
3
1
4
1
n
n
n
n
15 – Discuta a natureza da série 1
11
n
n
n
kn
, k .
16 – Recorrendo ao critério do integral, mostre que a série abaixo é divergente.
1 4 3 4 1n
n
n n
17 – Recorrendo ao critério de Leibniz determine a natureza das séries abaixo:
a)
1
1n
n n
b)
1
1
3
n
n
n
n
c)
1
1n
nn n
18 -. Utilize a série 0
3 11
1
n
n
n
n n
para mostrar que uma série pode ser simplesmente
convergente e não ser absolutamente convergente.
19 - Estude quanto à convergência simples e absoluta as séries
a)
1
3 1( 1)n
n
n
n
b)
1
1( 1)
2
n
n
n
n
n
c)
21
( 1)1
n
n
n
n
d) 1
2 11
1
n
n
n
n n
e)
2
21
14
n
n
n
n
f) 1
6 11
n
n
n
n
Capitulo I – Séries 31
Análise Matemática II Curso de Engª Electromecânica
20- Determine a natureza das séries abaixo indicadas:
a)
12
3 )5
(sen
n n
b)
1
2
2nn
senn
c)
13 32
3
n n
n d)
12
3
n
n
n
e)
1
!5
nn
n
n
n f)
1n
nn g) 1
tan( ) sen2 3n n n
h)
12 )ln1(
1
n nn i)
1 !
5
n
n
n j)
1
32
nn
n
n k)
112
!
nn
n
l)
22 2
)1(
n
n
n
n m)
3
1
n
nn
e
n
n)
2
1
log
1
n
n
n
o) 21
1 11
3 5
n
n n n
p)
1 !2
!
n n
n q)
1
1
1
ln 1
n
n n
r) 2
1 1
1 1n n n
s) 1
5
1
n
n
n
n !
t)
1
1 2
4 1
n
n
( ) n
n
u) 0
3 21
4 3
nn
n
n
n
x)
1
1
1
4
n
n
n
n
y)
1
2
1 3n n n n
z)2
1
1 11
n
n n n
a1)
41 3
cos
n
n
n
b1)3 2 2
1
1 4
2 2n nn
c1)2
1
1
2n n n
d1)
1
, 1n
n
dd
n
d2) 1
11
n
n n
d3) 2
1!
nn
n
n
n
e1)
11
3.2 1
2 1
n
nn
n n
n n
f1)
1
1 2
2 1 2nn n n
g1) 1
3
5
n
nn n
h1)
5 2
51
1 3
2 7
n
n n
nn i1)
2
21
2 ! 2
3
nn
nn
n
n
j1) 1
1
11
nn
n
k1) 3
7
71
14 3
n
n
n
n
n
l1)
10
31 52 1n
n
n
m1) 2
1
n
nn
e
n
n1) 2
1
1n
n
nn
e
n
o1) 2 1
0
2
3
n
nn
n
Capitulo I – Séries 32
Análise Matemática II Curso de Engª Electromecânica
21- Determine os valores inteiros positivos de K que tornam a série
2
1
!
!n
n
kn
convergente.
22- Considere a série numérica 1
3 n
n
k
.
a) Mostre que a série é convergente para todo o valor da constante k.
b) Determine o valor da constante k de modo que a série tenha soma 1.
Capitulo II – Séries de potências 34
Análise Matemática II Curso de Engª Electromecânica
2. SÉRIES DE POTÊNCIAS
DEFINIÇÃO 7
Uma série de potências de (x-a) é uma série da forma:
0n
n
n axa = ...)(...)(2
210 n
n axaaxaaxaa
DEFINIÇÃO 8
Uma série de potências de x , é uma série da forma:
n
n
n xa
0
= ......2
210 n
n xaxaxaa
( É o caso particular das série de potências de (x-a) onde se considera a = 0)
2.1 SÉRIE DE POTÊNCIAS DE X
Já vimos que uma série de potências de x é uma série da forma
n
n
n xa
0
= ......2
210 n
n xaxaxaa
Para que valores de x será a série de potências n
n
n xa
0
convergente?
Não há qualquer dúvida que para x = 0 a série é convergente, vejamos:
n
n
n xa
0
= 0210 0...00 aaaaa n ,
reduzindo-se ao primeiro termo.
Capitulo II – Séries de potências 35
Análise Matemática II Curso de Engª Electromecânica
Para determinar para que outros valores de x a série convergirá, pode aplicar-se o critério de
D´Alembert ou o Critério da Raiz à série dos módulos. Vejamos o exemplo abaixo:
₪ EXEMPLOS 25
1Determinar a natureza da série de potências
0
1
1n
n
n
x
RESOLUÇÃO
Vamos considerar a série dos módulos:
0
1
1n
n
n
x. Aplicando o critério de D´Alembert, temos:
2
2
1 1
11 12lim lim lim lim2 2 2
1
n
n
n nn n n n
xx nx n nn x x
x n x n n
n
Se 1x 1,1x , a série
0
1
1n
n
n
x é absolutamente convergente .
Se 1x a série 1
1
0
n
x n
n
é divergente.
Se x= 1 teremos que fazer uma análise pontual.
Se x=1 temos 0
1
1n n
que é uma série divergente (compara-se com
n
1) .
Se x=-1 temos 1
0
( 1)
1
n
n n
que é uma série alternada simplesmente convergente pelo critério
de Leibniz.
Conclusão: A série é convergente para 1,1x
Capitulo II – Séries de potências 36
Análise Matemática II Curso de Engª Electromecânica
₪ EXEMPLO 26
Determinar a natureza da série de potências
0 !n
n
n
x.
RESOLUÇÃO
Vamos considerar a série dos módulos:
0 !n
n
n
x. Aplicando o critério de D´Alembert, temos
1
1 ! 1( 1)!lim lim lim lim 0
( 1)! 1 1
!
n
n
n nn n n n
x
x n xnx
x n x n n
n
Conclusão: x , a série é convergente, pois 0<1.
₪ EXEMPLO 27
Determinar a natureza da série de potências n
nnx
n
0 2
!.
RESOLUÇÃO
Vamos considerar a série dos módulos:
0 2
!
n
n
nx
n. Aplicando o critério de D´Alembert, temos
1
11
1
( 1)!1 ! 22lim lim lim 1 lim 1
! 2 ! 2 2
2
nnn
n
n nn n n nn
n
nx n x x
x n nn n x
x
Conclusão: A série é divergente . Só é convergente quando x=0 (neste caso, reduz-se ao
primeiro termo).
Capitulo II – Séries de potências 37
Análise Matemática II Curso de Engª Electromecânica
TEOREMA 2
Para toda a série de potências
n
n
n xa
0
existe um número real r , chamado raio de convergência (que pode ser zero, qualquer outro
número finito, ou infinito), tal que:
- A série é absolutamente convergente se rx
- A série é divergente se rx
- Em x r a série pode ser convergente ou divergente.
OBSERVAÇÃO 3
O raio de convergência pode ser determinado da seguinte forma:
1
lim
n
nn
ar
a ou ainda
1lim
n n
n
ra
₪ EXEMPLO 28
Determinar o raio de convergência da série de potências n
n
n x
0
4 .
RESOLUÇÃO
Segundo a definição anterior, n
nn a
r1
lim
. No caso presente temos 4
1
4
1lim
n nnr . O
raio de convergência será então 4
1.
Capitulo II – Séries de potências 38
Análise Matemática II Curso de Engª Electromecânica
DEFINIÇÃO 9
Chama-se Intervalo de Convergência da série n
n
n xa
0
ao conjunto de pontos x para os quais a
série de potências converge. Habitualmente é representado por I(r).
O Intervalo de convergência pode ser:
se r
0 se r = 0
rr, ou rr, ou rr, ou rr, , se ,0r
₪ EXEMPLO 29
Determinar o intervalo de convergência da série de potências n
n
n x
0
4 .
RESOLUÇÃO
Já vimos no exemplo anterior que o raio de convergência é 4
1.Então pelo teorema anterior a
série será convergente para 4
1: xx . Analisemos agora os extremos do intervalo:
Vejamos quando x = 4
1, temos
0 0
14 1
4
nnn
n n
que é uma série divergente uma vez
que o limite do termo geral é diferente de zero.
Vejamos quando x = - 4
1, temos
00
14
14
n
n
n
n
n que é uma série divergente uma
vez que o limite do termo geral não existe.
Capitulo II – Séries de potências 39
Análise Matemática II Curso de Engª Electromecânica
CONCLUSÃO: O INTERVALO DE CONVERGÊNCIA DA SÉRIE n
n
n x
0
4 É
4
1,
4
1.
EXERCÍCIOS II
1. a) Defina série de potências de x.
b) Defina raio e intervalo de convergência de uma série de potências de x e diga como se
calculam.
2. Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência das seguintes séries de
potências:
a)
0
3n
nn x b)
12
5
n
n
n
xn
c)
1
11
n
nn
n
x d)
0 2
!
n
n
nx
n
e)
0
1
11
n
nn
n
x f)
1 !1
2
n
nn
n
x g)
nn
n 2
nx
n !
h)
2 logn
n
n
x
i)
2 1
21
2
3 2
n n
n
x
n
j)
03 2
3
n
nn
n
x k)
0
2
!21
n
nn
n
x l)
n
n
xn
n
0 !2
!3
m) nn
x n
n
n
22
1
log1
n)
12
1 12...5.3.1
...3.2.11
n
n
nx
n
n o)
0 3nn
nx
p)
1
2.4.6... 2
4.7.10... 3 1
n
n
nx
n
q)
0
1 ! n
n
n x
r) 1
0
2
1
n n
n
x
n
3 - Provar que se a série de potências n
n
n xc
0
tem raio de convergência r, então a série
n
n
n xc 2
0
tem raio de convergência r .
4 – Se 0
4n
n
n
c
for convergente, as séries que se seguem são convergentes?
a) 0
2n
n
n
c
b) 0
4n
n
n
c
Capitulo II – Séries de potências 40
Análise Matemática II Curso de Engª Electromecânica
5 - Prove que a série
1 3n
sen nx
n n
é absolutamente convergente para x .
6- Se k for um inteiro positivo, encontre o raio de convergência da série
0
k
n
n
n!x
kn !
.
2.2. SÉRIES DE POTÊNCIAS DE (x-a)
Já vimos que uma série de potências de (x-a) é uma série da forma:
0n
n
n axa = ...)(...)(2
210 n
n axaaxaaxaa
Para séries de potências de (x-a)
n
n axa , os teoremas e propriedades anteriormente
apresentados para as séries de potências de x são adaptados substituindo x por (x-a). Assim:
TEOREMA 3
Para toda a série de potências
nn
n axa
0
existe um número real r (que pode ser zero, qualquer outro número finito, ou infinito), tal que:
- A série é absolutamente convergente se rax
- A série é divergente se rax
- Em rax a série pode ser convergente ou divergente.
Capitulo II – Séries de potências 41
Análise Matemática II Curso de Engª Electromecânica
OBSERVAÇÃO 4:
Chama-se Intervalo de Convergência da série n
n
n axa )(0
ao conjunto de pontos x para os
quais a série converge. Habitualmente é representado por I(r) .
O intervalo de convergência pode ser:
se r
a se r = 0
rara , ou rara , ou rara , ou rara , , se ,0r
₪ EXEMPLO 30
Determinar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
0 42
1
n
n
n
x
RESOLUÇÃO
Partindo da definição de 1
lim
n
n
n a
ar , temos:
11
62
42
1lim
62
142
1
lim
n
n
n
nrnn
.
CONCLUSÃO: O RAIO DE CONVERGÊNCIA É 1.
Capitulo II – Séries de potências 42
Análise Matemática II Curso de Engª Electromecânica
Vejamos agora qual é o intervalo de convergência. Pelo teorema 2.3.1, a série será
absolutamente convergente para 11 x , então temos :
–1< x-1<1 e portanto 0 < x <2.
Podemos então afirmar que a série é absolutamente convergente no intervalo 2,0 .
Temos que analisar agora a natureza da série nos extremos do intervalo:
Se x = 2 a série ficará
0 42
1
n n que é uma série divergente (comparação com a série
divergente
1
1
n n ).
Se x = 0 a série ficará
0 42
1
n
n
nque é uma série alternada. Para estudar a sua natureza
teremos que recorrer ao critério de Leibniz uma vez que a série dos módulos diverge .
Aplicando o critério de Leibniz, concluímos que a série é simplesmente convergente em x= 0,
pois
i) 042
1lim
nn
ii) na é decrescente pois, 062
1
42
1
nn
( 01 nn aa ).
Estando satisfeitas estas duas condições, podemos afirmar que a série é simplesmente
convergente quando x=0.
Conclusão: o intervalo de convergência é 2,0 .
Capitulo II – Séries de potências 43
Análise Matemática II Curso de Engª Electromecânica
₪ EXEMPLO 31
Determinar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de
potências n
n
xn
0
3 .
RESOLUÇÃO
Partindo da definição de r temos: 1
lim
n
n
n a
ar .
Como nan , temos .11
lim
n
nr
n
CONCLUSÃO: O RAIO DE CONVERGÊNCIA É 1.
Passemos à determinação do intervalo de convergência:
Pelo teorema 2.3.1 a série será absolutamente convergente para 13 x , portanto, –1< x-3
<1 , logo 2< x <4.
Se x = 2 a série ficará 0
1
n
n
n
que é uma série alternada divergente.
.Se x = 4 a série ficará 0n
n
que é uma série divergente(cond. nec. conv)
Podemos então afirmar que a série é absolutamente convergente no intervalo 4,2 .
Capitulo II – Séries de potências 44
Análise Matemática II Curso de Engª Electromecânica
EXERCÍCIOS III
1.a) Defina série de potências de (x-a).
b) Defina raio e intervalo de convergência de uma série de potências de (x-a) e diga como se
calculam.
2 . Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência das seguintes séries de
potências:
a)
2 1
2!
n
n
n
xn b)
0 42
32
n
n
n
x c)
0 2
3
nn
nx
d)
1
111
n
nn
n
x e)
0
2
!12
1
n
nn
n
x f)
0
54
3
n
n
n
x
g)
1
2n
nxn h)
n
nn
xn
510
!1
0
i)
2
1
2 1
1 3
nn
nn
x
j)
0
21
2
n
n
nn
x
n
k)
1
2n
nn
x
n
l)
1
2 1n
n
n! x
m)
0
1 ! 4
10
n
nn
n x
n)
0 7 6 3
n
nn
x k
n
o)
1
3n
n
x
n
p) 0
1n
n
n x
q)
1
1
1
n
n
x
n n
r)
2
1
4 1n
n
x
n
s)
10
2
3
n
nn
n x
t)
1
3 2
3
n
nn
x
n
u) 3
0
5n
n
n x
Capitulo II – Séries de potências 45
Análise Matemática II Curso de Engª Electromecânica
2.3 REPRESENTAÇÃO DE FUNÇÕES POR MEIO DE SÉRIES DE POTÊNCIAS
Há funções que podem ser representadas por séries de potências, como por exemplo
2 3
0
11 1
1
n
n
f ( x ) x x x ... x , para xx
(1
1 x representa a soma da série de
potências 0
1n
n
x , para x
).
Se uma determinada função admitir representação em série de potências, em torno de um
ponto a, então ela será da forma
0
nn
n
f af ( x ) x a , para x a r ( raio de convergência da série )
n!
A esta série chama-se Série de Taylor da função f centrada em a .
OBSERVAÇÃO 5:
0
nn
n
f ax a
n!
representa f(x) por uma série de potências de (x-a), cujo domínio é o
intervalo de convergência ,I(r), da série.
0
nn
n
f ax a
n!
diz-se desenvolvimento de f segundo as potências de (x-a) em I(r).
Para o caso especial de a=0, a série de Taylor ficará:
0
0n
n
n
ff ( x ) x , para x r ( raio de convergência da série )
n!
que tem o nome de Série de Mac-Laurin.
Capitulo II – Séries de potências 46
Análise Matemática II Curso de Engª Electromecânica
OBSERVAÇÃO 6
0
0n
n
n
fx
n!
representa f(x) por uma série de potências de x, cujo domínio é o intervalo de
convergência, I(r), da série .
0
0n
n
n
fx
n!
diz-se desenvolvimento de f segundo as potências de x em I(r).
TEOREMA 4
Uma função que admite representação em série de potências no intervalo rr, é contínua
nesse intervalo, assim como uma função que admite representação em série de potências em
rara , é também contínua nesse intervalo.
₪ EXEMPLO 32
Considere a função 1
1f x
x
. Represente-a através de uma série de potências de x e diga
em que intervalo é válido esse desenvolvimento.
RESOLUÇÂO
Vamos achar a derivada de ordem n da função 1
1f x
x
, pois já sabemos que
f(x)=
0
0n
n
n
fx
n!
, para x r .
Capitulo II – Séries de potências 47
Análise Matemática II Curso de Engª Electromecânica
2
3
4
1
1
1
1
1
2
1
6
1
1
n
n
f xx
f xx
f xx
f xx
.
.
.
n!f x
x
agora facilmente calculamos 0n
f : 0n
f n! .
Então temos f(x)=
0
0n
n
n
fx
n!
, ou seja 0
n
n
f x x
, que será o desenvolvimento de
1
1f x
x
em série de potências de x. Falta saber agora qual é o intervalo em que este
desenvolvimento é válido. Vejamos:
O intervalo de convergência da série 0
n
n
x
é 11, , logo o intervalo em que o
desenvolvimento acima é válido é 11, .
CONCLUSÃO: O DESENVOLVIMENTO DE 1
1f x
x
, EM SÉRIE DE POTÊNCIAS DE X É:
0
n
n
f x x
,
VÁLIDO PARA 11x , .
TEOREMA 5
i) Se a série
0n
n
n xa tem raio de convergência r, então as séries
1
1
n
n
n xna e
x
n
n
n 0 0
a t dt
terão raio de convergência r.
Capitulo II – Séries de potências 48
Análise Matemática II Curso de Engª Electromecânica
ii) Se a série
0
)(n
n
n bxa tem raio de convergência r, então as séries
1
1)(n
n
n bxna e
x
n
n
0 n 0
a ( t b) dt
terão raio de convergência r.
Ou seja:
Se derivarmos ou primitivarmos todos os membros de uma série de potências de intervalo I(r),
obtemos uma série de potências cujo interior do intervalo é o mesmo.
₪ EXEMPLO 33
Desenvolver em série de potências de x a função 1f ( x ) ln( x ) .
RESOLUÇÃO
Sabemos de um exemplo anterior que x1
1 n
n
x
0
, para 1x , e sabemos também que
x
xf
1
1, então
0n
nxxf (válido para 1x ). Pelo teorema 2.4.2 temos que
n 1
n 0
xf ( x ) ln(1 x)
n 1
( integraram-se todos os termos da série
0n
nx ),válido para
1x .
EXERCÍCIOS IV
1 . Desenvolva em série de potências de x as funções de expressões analíticas indicadas e
determine os intervalos de convergência das séries obtidas.
a) x1
1 b)
x1
1 c)
21
1
x d)
21
1
x
e) x3
1 f)
2)1(
1
x g)
2)1(
1
x h)
x41
1
i) x
x
32 j) xe k)
2
3 x l) ln 3 x