PROGRES SÕESGEOMÉTR I CAS

  Aceite para publicação em 22 de julho de 2013.

PROGRESSÕESGEOMÉTRICAS

Uma progressão geométrica é uma sucessão em que cada termo se obtém multiplicando o anterior por um número fixo chamado razão, que se representa pela letra r ( ).Assim, se (an) é uma progressão geométrica, verifica-se

Aplicação:1) A sequência de termos: 5, 15, 45, 135, 405, ... é uma

progressão geométrica? 2) E a sucessão de termo geral un = 2n ?

Para nos assegurarmos que uma sucessão é uma progressão geométrica temos que comprovar que o quociente entre cada termo e o anterior é sempre o mesmo. Esta comprovação elementar dá-nos também o valor da razão da progressão.

11 ,n

n nn

aa a r r n INa

0r

11 ,n

na a r n IN

Termo geral de uma progressão geométrica A expressão do termo geral de uma progressão geométrica (an) encontra-se observando que: a2 = a1 · r a3 = a2 · r = (a1 · r) · r = a1 · r2

a4 = a3 · r = (a1 · r2) · r = a1 · r3

a5 = a4 · r = (a1 · r3) · r = a1 · r4

Note-se que, em todos os casos, cada termo é o produto de duas quantidades: A primeira é sempre a1 A segunda é uma potência de base r e expoente um certo

número, que se obtém subtraindo uma unidade ao índice.

A expressão do termo geral é: Pode-se também facilmente provar que:

, , ,n kn ka a r n k IN n k

P R O G R E S S Õ E SG E O M É T R I C A S

Aplicação: Escreve a expressão do termo geral das progressões geométricas em que:

1) u1 = 10 e un+1 = 4un 2) u1 = 36 e u3 = 43)

1 2 4 8 16 ...

n

vn

O

16

-2

4

-8

-32

4)

PROGRESSÕESGEOMÉTRICAS

Se a razão de uma progressão geométrica é maior que 1 e

u1 > 0, a progressão é:

estritamente crescente e… não limitada.

E se u1 < 0?

PROGRESSÕESGEOMÉTRICAS

Comportamento de uma progressão geométrica

n

an

n

bn

O

O

Se a razão de uma progressão geométrica está compreendida entre 0 e 1 e

u1 > 0, a progressão é: estritamente decrescente e… limitada.

E se u1 < 0?

PROGRESSÕESGEOMÉTRICAS

n

cn

O

ndn

O

Se a razão de uma progressão geométrica é igual a 1, a progressão é: constante limitada

PROGRESSÕESGEOMÉTRICAS

Se a razão de uma progressão geométrica é igual a -1, a progressão é: não monótona limitada

n

fn

O

n

gn

O

Se a razão de uma progressão geométrica é maior que -1 e menor que 0, a progressão é:

não monótona e… limitada.

PROGRESSÕESGEOMÉTRICAS

Se a razão de uma progressão geométrica é menor que -1, a progressão é:

não monótona e… não limitada.

n

hn

O

n

ln

O

0 1

u1 > 0 - Crescente Não limitada

progressão constante

N ã o m o n ó t o n a

PROGRESSÕESGEOMÉTRICAS

• Progressão geométrica (un)

• Razão: r• 1º termo: u1

u1 < 0 - Decrescente Não limitada

u1 > 0 - Decrescente

Limitada

-1

Limitada

Não limitada

razão - r- +

Em resumo: comportamento de uma progressão geométrica

u1 < 0 - Crescente Limitada

Aplicações:1. Dá exemplo de uma progressão geométrica (un) que satisfaça a condição:

a) tenha primeiro termo positivo e seja decrescente;b) tenha primeiro termo positivo e seja não monótona;c) seja estritamente crescente e tenha razão positiva menor que

1;d) tenha o primeiro termo negativo e seja estritamente

decrescente.

2. Considera a sucessão (vn) de termo geral: vn = 5 x 21-n

e) Mostra que é uma progressão geométrica.f) (vn ) é monótona? Justifica.g) (vn ) é limitada? Justifica.

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A  LENDA  DO   JOGO  DE  XADREZDiz a lenda que um antigo Xá da Pérsia ficou tão impressionado com o jogo de xadrez, que ordenou ao seu inventor que pedisse a recompensa que desejasse.   O  inventor (provavelmente um matemático experiente...) pediu um grão de trigo pela primeira casa do tabuleiro de xadrez, dois grãos pela segunda casa, quatro pela terceira, oito pela quarta, e assim sucessivamente, até se percorrerem todas as casas do tabuleiro.

Conta-se que o imperador ficou estupefacto, tendo até considerado, que era afrontoso o pedido do inventor por se tratar de coisa tão insignificante!Contudo, o inventor manteve o pedido e insistiu que lhe bastava vê-lo concretizado...Quantos grãos de trigo pediu, afinal, o inventor do jogo de xadrez?

Soma de n termos consecutivos de uma

progressão geométrica PROGRES SÕESGEOMÉTR I CA S

2 3 62 63

642 3 62

S 1 2 2 2 ... 2 21 2 1 2 2 2 ... 2

2 3 61 62 63641 2 2 2 ... 2 2 S 2

Resolução:

Ora,

Donde:

64

64

63 6464 64 64 64S 1 2 S 2 S 1

22

1S 2

S

1 2 4 8 16 32 64 128

18 446 744 073 709 551 615 grãos de trigo!!!

PROGRESSÕESGEOMÉTRICAS

Aplicação: Se uma progressão geométrica tem o termo geral , calcula a soma dos seus primeiros 21 termos .

112

n

nu

11 11

n

nrS u rr

A soma dos n primeiros termos consecutivos de uma progressão geométrica é dada por Sendo n o número de termos considerados e u1 o primeiro termo e r a razão.

PROGRESSÕESGEOMÉTRICAS

com

1.A partir de um quadrado com 16 cm2 de área foi gerada uma sequência de figuras em que os quatro primeiros elementos estão a seguir representados.

A sequência dos valores das áreas das partes sombreadas são os termos da sucessão (an)a) Justifica que (an) é uma progressão geométrica. b) Mostra que c) Calcula a soma das áreas das partes coloridas do 3º ao 10º termos

dasequência. Apresenta o resultado arredondado às centésimas.

41 ,2n na n IN

Aplicações

PROGRESSÕESGEOMÉTR ICAS

2. Sabe-se que a população de uma determinada cidade, com 50 mil habitantes, aumenta a uma taxa de 2% ao ano.

Admitindo que se mantém esta taxa de crescimento:

a) Justifica que a população desta cidade, daqui a n anos, é dada, em milhares de habitantes, por Pn = 50 x (1,02)n

b) Utiliza a calculadora para determinar quantos anos são necessários para que a população desta cidade duplique. Num breve texto explica como procedeste.

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3.As reservas naturais de petróleo em determinado país no começo de 1980 eram de 12 mil milhões (12×109 ) de toneladas. A extração nesse ano foi de 120 milhões (1,2×108 ) de toneladas.

a) Se o ritmo de extração se mantivesse todos os anos igual ao de 1980, em que ano as reservas ficariam esgotadas?

b) Supõe que todos os anos a extração de petróleo é reduzida em 2% em relação ao ano anterior, a começar em 1980.

b1)Escreve o termo geral da sucessão que dá a quantidade de petróleo, em toneladas, extraída em cada ano, desde 1980.

b2)Com esta redução é possível consumir indefinidamente? Justifica.

PROGRESSÕESGEOMÉTRICAS

Zenão de Eleia, filósofo sofista que viveu no séc. V a.C., formulou alguns paradoxos (*) com os quais pretendia contestar as concepções da Escola Pitagórica segundo as quais, por exemplo, o tempo era uma soma de instantes e o movimento uma soma de deslocamentos.Um paradoxo célebre, devido a Zenão, é o chamado “Paradoxo de Aquiles e da tartaruga”.

PROGRESSÕESGEOMÉTR ICAS

(*) Paradoxal é tanto aquilo que encerra uma contradição como o que vai contra a opinião comum. É o inverosímil, o absurdo, mas também o estranho.

SOMA DE TODOS OS TERMOS DE UMA PROGRESSÃO GEOMÉTRICA

Paradoxo de Aquiles e da tartarugaAquiles corre para apanhar uma tartaruga mas nunca chegará a alcançá-la porque, quando atingir o lugar onde estava a tartaruga, já ela lá não estará porque entretanto se deslocou; e esta situação repete-se indeterminadamente… Este raciocínio de Zenão, parecendo intocável, conduz a uma conclusão que a realidade mostra ser falsa.

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Math in a Minute: How a tortoise can win a race http://www.youtube.com/watch?v=Y1syYSPN57E

PROGRESSÕESGEOMÉTRICAS

Analisemos com auxílio de um EXEMPLO o paradoxo de Zenão.

Suponhamos que no início da corrida, Aquiles deu uma vantagem de 100 m à tartaruga e, que as

respetivas velocidades são 10m/s e 1m/s. Então, em 10 segundos Aquiles atinge o ponto de onde a tartaruga partiu mas, durante esse tempo a tartaruga afastou-se 10 m. Para atingir esse segundo ponto, Aquiles demora 1 segundo mas, nesse segundo a tartaruga afasta-se mais 1 m. Para atingir este último ponto, Aquiles precisa de 0,1 segundos e, a tartaruga avançará mais 0,1 m e, assim sucessivamente...Em cada etapa percorrida, a distância entre eles vai diminuindo de acordo com o fator 0,1. Este processo continua até ao infinito.

A resposta a esta questão reside na soma dos incrementos de tempo que Aquiles leva para percorrer as sucessivas distâncias que existem entre ele e a tartaruga:

( 10 + 1 + 0,1 + 0,01 + 0,001 + 0,0001 + ...) segundos.

Apesar de existirem infinitos incrementos de tempo a ter em consideração, a sua soma é (finita). O que explica o paradoxo é o facto de ser finita a soma de um número infinito de parcelas. (O infinito pode estar na palma da nossa mão! )

Tartaruga

Aquiles

10

10

0,1 0,01

1

10,1

…

…

0,01

Pode a tartaruga ser alcançada?

, ...100

11 11119

P R O G R E S S Õ E SG E OM É T R I C A S

Ficamos, assim, a saber o momento exato (com um número infinito de casas decimais) em que Aquiles apanha a tartaruga. Após esse momento, Aquiles ultrapassa a tartaruga.

Embora à primeira vista possa parecer surpreendente, podemos adicionar um número infinito de quantidades finitas e o resultado ser finito.

t

y

O

Percurso de

Aquiles Percurso da tartaruga

Aquiles passa por um número infinito de lugares…

…num número infinito de instantes

para apanhar a tartaruga

PROGRES SÕESGEOMÉTR I CAS

Recorda que a soma Sn dos n primeiros termos consecutivos da progressão geométrica (un)

é dada por

10 1 0,1 0,01 0,001 0,0001 ...A soma de todos os termos desta progressão,

PROGRESSÕESGEOMÉTRICAS

1 ,1uS

r

Demonstra-se que a soma de todos os termos de uma progressão

geométrica de é dada por:

10 ; 1 ; 0,1 ; 0,01 ; 0,001 ; 0,0001 ; ...Designando, então, por (un), a sucessão de termos:

Progressão geométrica u1 = 10 e r = 0,1

1 010 1 0,110

1 0,11009

11,(1)1r

1r

11 11

n

nrS u rr

com

1 0r re

n1 0,1lim 10 1 0,1

será dada por:

uma vez que a sucessão (Sn) é convergente, pois ,

Só o cálculo de limites e a teoria de conjuntos permitiu esclarecer (24 séculos mais tarde!...) os paradoxos de Zenão,

cuja solução exige, como acabamos de ver, o cálculo da SOMA DE TODOS OS TERMOS DE UMA PROGRESSÃO GEOMÉTRICA.

lim nS S

A soma S, de todos os termos de uma progressão geométrica (un) em que o primeiro termo é u1 e a razão é r é, caso exista:

Se , (Sn) converge para . S é, pois, a soma de todos os termos deste tipo de progressões geométricas.

11lim 1

nrS ur

1 0r r

11uS

r

PROGRESSÕESGEOMÉTRICAS

e

Curva de Von Koch (ou curva floco de neve)

PROGRESSÕESGEOMÉTRICAS

Proposta de trabalho:Depois de estudares a curva de Von Koch, comenta a afirmação:“Apesar de a curva de Von Koch ter perímetro infinito, a área por ela limitada é finita.”

AnexoTraduzido de “Paradoja de la dicotomía”

de Epsilones – autor: Alberto Rodríguez Santos, uma página que

recomendo vivamente, em

http://www.epsilones.com/

Este argumento de Zenão assume que o espaço é contínuo e, portanto, infinitamente divisível. Contudo, não faz o mesmo com o tempo, o que conduz ao paradoxo.

Vamos primeiro ver o que faz com o espaçoSuposição: o espaço é infinitamente divisível

Embora à primeira vista possa parecer surpreendente, podemos adicionar quantidades infinitas e o resultado ser finito.

Um exemplo simples é o das progressões geométricas, que são aquelas sequências em que cada termo é obtido multiplicando o anterior por uma quantidade constante chamada razão.

Se esta razão é menor do que 1 pode ser facilmente mostrado que a soma infinita de termos da sequência é obtida pela expressão S = a1/(1 - r), em que a1 é o primeiro dos termos.

De facto: aplicando a expressão anterior para a soma, temos:

A situação levantada por Zenão é essencialmente a mesma: suponhamos que a distância a percorrer é L. Então, os intervalos a percorrer pelo atleta serão L/2, L/4, L/8 ..., que são os termos de uma progressão geométrica de razão 1/2, cuja soma é a seguinte:

Isto é, não há qualquer problema em subdividir o espaço infinitamente.

Uma progressão particularmente intuitiva é 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32 ... Parece claro que se tomarmos a primeira metade da unidade e, em seguida, metade do que resta, e então metade do que resta, e assim até "ao infinito", acabamos tendo toda a unidade:

12 111 2

S

1

2... 12 4 8 2 1 2n

n

LL L L L L

A B

1/2 1/4 1/81/16

1/32

E o tempo? Se a velocidade do atleta é v (que, por comodidade, iremos considerar constante), o tempo que leva a percorrer o primeiro intervalo será L/2v, o segundo L/4v, e assim por diante. Zenão neste ponto considera que o corredor nunca poderá atingir a meta porque percorrer um número infinito intervalos levaria um tempo infinito. Mas está equivocado: se somarmos todos os tempos, tem-se:

que é uma quantidade tempo finita.

Conclusão

A não ser que alguma razão nos impeça, se aceitarmos a continuidade do espaço, devemos aceitar a do tempo, o que nos autoriza a percorrer um número infinito de intervalos espaciais num espaço de tempo finito.Deve notar-se que os cálculos anteriores não demostram que o movimento seja possível, mas que o argumento de Zenão não é correto.

1

2... 12 4 8 2 1 2n

n

LL L L L Lvv v v v v

O mundo físico

Até agora temos falado em termos puramente matemáticos. Mas o que diz a Física? Diz que ainda que não conheçamos a microestrutura detalhada do espaço-tempo sabemos que não pode ser cortado ilimitadamente. Para observar um detalhe é necessário um comprimento de onda menor do que o próprio detalhe. Para que o comprimento de onda seja menor deve aumentar-se a energia, mas isso só pode ser feito até um certo limite, pois alcançado este limite, a concentração de energia produziria um buraco negro. O comprimento em que isto acontece, o mais baixo possível, é conhecido como constante de Plank. O tempo de Plank é o tempo que a luz leva para atravessar essa distância. Uma vez que nada viaja mais rápido do que a luz, este é o tempo mínimo possível. Abaixo desta distância e deste tempo nada pode ser observado e a realidade deixa de fazer sentido.

Se isto é verdade (não nos esqueçamos que estamos a falar de física e, portanto, de teorias), estaríamos num espaço-tempo discreto e o paradoxo de Zenão desvanecer-se-ia automaticamente uma vez que, como vimos, o argumento de Zenão parte da suposição de um espaço infinitamente divisível.

Uma variante

Antes de chegar ao ponto médio de A e B, isto é, I1, o corredor deve chegar ao ponto médio de A e I1, isto é, I2. E antes de chegar a I2 deveria atingir o ponto médio de A e I2, isto é, I3. Repetindo o processo indefinidamente mergulharíamos o corredor numa estranha imobilidade, pois antes de alcançar qualquer ponto do percurso deveria ter passado por um número infinito de outros pontos.

In Epsilones

Auguries of InnocenceTo see a world in a grain of

sand,And a heaven in a wild

flower,Hold infinity in the palm of

your hand,And eternity in an hour.

[...]

William Blake, Auguries of Innocence.

Bibliografia: Novo Espaço

Matemática A -11º anoAutores: Belmiro Costa | Ermelinda Rodrigues

Infinito 11Matemática A -11º anoAutores: Ana Maria Brito Jorge| Conceição Barroso Alves | Cristina Cruchinho

Gabriela Fonseca | Judite Barbedo| Manuela Simões

Sebastião e Silva, Compêndio de Álgebra, 1º tomo – 6º ano

http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm45/restartaruga.htm (página consultada em 22/3/2013)

Epsilones - autor: Alberto Rodríguez Santos| http://www.epsilones.com/ (página consultada em 31/12/2012)

Material publicado sob Licença Creative Commons da Casa das CiênciasMaria José Guimarães Vaz da

Costa