MDULO II PARTE 11 Progresses MATEMTICA 2011 1Prof. Bruno Vianna ProjetoVestibular I PROGRESSO ARITMTICA : Uma P.A. uma seqncia em que cada termo, a partir do segundo, a soma do anterior com uma constante r dada. Exemplos: F1 = (1, 3, 5, 7, 9, ...) em quea1 = 1er= 2 F2 = (0, -2, -4, -6, -8, ...) em quea1 = 0er= -2 F3 = (4, 4, 4, 4, 4, ...) em quea1 = 4er= 0 F4=||

\|,...29,27,25,23,21 em quea1 = 21er= 1 F5=||

\|,...38, 3 ,310,311, 4em quea1 = 4 er= 31 Classificaes: 1) crescentesso as P.A. em que cada termo maior que o anterior.(r> 0) Exemplos: F1eF4 2) constantesso as P.A. em que cada termo igual ao anterior.(r= 0) Exemplo: F3 3) decrescentesso as P.A. em que cada termo menor que o anterior.(r< 0) Exemplos: F2eF5 Termo Geral Dada uma P.A. (a1, a2, a3, a4, a5, a6,...,an) Sendo a1 o primeiro termo e an o ltimo termo, vemos que: a2 = a1 + r a3 = a2 + r>>a3 = a1 + 2r a4 = a3 + r>>a4 = a1 + 3r ... an = a1 + (n-1)r --- Termo geral da P.A. Soma dos Termos de uma P.A. DadaaP.A.(a1,a2,a3,a4,a5,a6,...,an-2,an-1,an)derazor, podemos escreve-la na forma: (a1 , a1 + r, a1 + 2r,...,an 2r, an r, an) VamoscalcularasomadosnprimeirostermosdessaP.A., queindicaremosporSn.Repetindooraciocnioanterior, temos: Sn = a1 + (a1 + r)+(a1 + 2r)+ ... +(an 2r)+(an r)+ an

+Sn = an + (an - r)+(an - 2r)+ ... +(a1 + 2r)+(a1 + r)+ a1

2 Sn = (a1+an)+ (a1+an)+ +(a1+an)+ (a1+an)+ (a1+an) n vezes Logo:2 Sn = (a1+an) . n ( )2.1n a aSnn+= Exerccios Resolvidos 01) Vamos calcular o 20 termo da P.A. (26,31,36,41,...) Sabemos que a1 = 26er = 31 26 = 5 Utilizando a expresso do termo geral, escrevemos: a20 = a1 + 19r a20 = 26 + 19 . 5 a20 = 121 02)VamosdeterminaraP.A.quepossuiasseguintes caractersticas: o 10 termo vale 16 e a soma do 5 com o 9 termo igual a 2. De acordo com o enunciado, temos: = += += + + += += +=2 12 216 92 ) 8 ( ) 4 (16 9216111 119 510r ar ar a r ar aa aa ... r =5 e a1= -29, assim a P.A. (-29,-24,-19,...) 03)VamosencontraroprimeirotermonegativodaP.A. (63,59,55,51,...). Sabemos quea1 = 63er = - 4Pelo termo geral teremos:an=63 + (n-1)(-4) an =63 4n +4 an= 67 4n Para descobrir o 1 termo negativo, faamos:an< 0 , isto 67 4n < 0 n > 467n> 16,75 Como n natural conclumos que: a17 = 67 4 . 17 a17 = -1 04) Determinemos x de modo que a seqncia (x+5, 4x-1, x21) seja uma P.A. + += 2) 1 ( ) 5 (1 42x xx8x 2 = x2 + x + 4 x2 7x + 6 = 0 x=1 ou x=6 para x = 1a PA (6,3,0) e para x = 6 a PA (11,23,35)

MDULO II PARTE 11 Progresses MATEMTICA 2011 2Prof. Bruno Vianna ProjetoVestibular 05) Vamos interpolar oito meios aritmticos entre 2 e 47. Interpolarouinseriroitomeiosaritmticosentre2e47 significa determinar oito nmeros reais de modo que se tenha uma P.A . em que a1 = 2ea10 =47 e os oitos nmeros sejam a2 , a3 , ... a9 :

2 ________ 47 Daa10 = a1 + 9r 47 = 2 + 9r 9r =45 r =5 Assim a PA ( 2,7,12,17,22,27,32,37,42,47).

EXERCCIOS PROPOSTOS 01)(PUC-2011)Considereaprogressoaritmtica (a1,a2,a3,...) com a1 + a5 = 9 e a2 + a3 = 8. Quanto vale a10? (A) 1 (B) 23/2(C) 12 (D) 25/2(E) 1024 02)(UNIRIO)Ofichriodaclnicamdicadeumhospital possui10.000clientescadastrados,emfichasnumeradasde 1a10.000.Ummdicopesquisador,desejosodesabera incidnciadehipertensoarterialentrepessoasque procuravamosetor,fezumlevantamento,analisandoas fichasquetinhamnmerosmltiplosde15.Quantasfichas NO foram analisadas ? (A) 666(B) 1500 (C) 1666(D) 8334(E) 9334 03) (UERJ-06-2ex) Durante uma experincia em laboratrio, observou-sequeumabolade1kgdemassa,deslocando-se comumavelocidade,medidaemkm/h,possuiuma determinada energia cintica E, medida em joules. Se(v,E,1)umaprogressoaritmticae 25 1+= o valor de v corresponde a: (A) 2 (B)(C) 2 (D) 3Lembre que 22mvE = 04)(UFRJ-96-PE)Osngulosinternosdeumquadriltero convexo esto em progresso aritmtica de razo igual a 20. Determine o valor do maior ngulo desse quadriltero. 05) (PUC-SP) Sendo f : , definida por f (x) = 2x + 3, ento f (1) + f (2) + f (3) + + f (25) igual a: (A) 725(B) 753(C) 653 (D) 575(E) 400 06)(UFRJ-00-PNE)MisterMM,oMgicodaMatemtica, apresentou-sediantedeumaplatiacom50fichas,cada uma contendo um nmero. Ele pediu a uma espectadora que ordenasseasfichasdeformaqueonmerodecadauma, excetuando-se a primeira e a ltima, fosse a mdia aritmtica donmerodaanteriorcomodaposterior.MisterMM solicitou a seguir espectadora que lhe informasse o valor da dcimasextaedatrigsimaprimeiraficha,obtendocomo resposta103e58respectivamente.Paradelriodaplatia, Mister MM adivinhou ento o valor da ltima ficha. Determine voc tambm este valor. 07) (UERJ-2002-1f-1 exame) Leia com ateno a histria em quadrinhos. Considerequeoleodahistriaacimatenharepetidoo conviteporvriassemanas.Naprimeira,convidouaLana parasair19vezes;nasegundasemana,convidou23vezes; naterceira,27vezeseassimsucessivamente,sempre aumentandoem4unidadesonmerodeconvitesfeitosna semana anterior. Imediatamenteapstersidofeitooltimodos492 convites,onmerodesemanasjdecorridasdesdeo primeiro convite era igual a: (A) 10(B) 12(C) 14(D) 16 08)(UFRJ-2001-PNE)Umgrupode40moradoresdeuma cidadedecidiudecorarumarvoredeNatalgigante.Ficou combinadoquecadaumterumnmeronde1a40eque os enfeites sero colocados na rvore durante os 40 dias que precedemoNataldaseguinteforma:omoradornmero1 colocar1enfeitepordiaapartirdo1dia;omorador nmero2colocar2enfeitespordiaapartirdo2diae assimsucessivamente(omoradornmeroncolocarn enfeites por dia a partir do n-simo dia).

MDULO II PARTE 11 Progresses MATEMTICA 2011 3Prof. Bruno Vianna ProjetoVestibular a)Quantosenfeitestercolocadoaofinaldos40diaso morador nmero 13? b) A Sra. X ter colocado, ao final dos 40 dias, um total de m enfeites.Sabendoquenenhummoradorcolocarmais enfeites do que a Sra. X, determine m. 09)(UFRJ-98-PNE)NumKaKay,oorientalfamosoporsua inabalvelpacincia,desejabaterorecordemundialde construo de castelo de cartas. Elevaimontarumcastelonaformadeumprismatriangular no qual cada par de cartas inclinadas que se tocam deve estar apoiado em uma carta horizontal, excetuando-se as cartas da base,queestoapoiadasemumamesa.Afiguraaseguir apresenta um castelo com trs nveis. Num Ka Kay quer construir um castelo com 40 nveis. Determine o nmero de cartas que ele vai utilizar. 10)(UFRJ-2004-PE)Felipecomeaaescreverosnmeros naturaisnumafolhamuitogrande,umalinhaapsaoutra, como mostrado a seguir: ConsiderandoqueFelipemantenhaopadroadotadoem todas as linhas: a)determinequantosnmerosnaturaiseleescreverna 50 linha. b)determineasomadetodososnmerosescritosna50 linha. c) prove que a soma dos elementos de uma linha sempre o quadrado de um nmero mpar. 11) (UERJ-2005-2f) Afiguraacimaapresenta25retngulos.Observequequatro desses retngulos contm nmeros e um deles, a letra n. Podem ser escritos, em todos os outros retngulos, nmeros inteirospositivos,demodoque,emcadalinhaeemcada coluna,sejamformadasprogressesaritmticasdecinco termos. Calcule: A) a soma dos elementos da quarta linha da figura; B) o nmero que deve ser escrito no lugar de n. 12) (UNICAMP 2003) Considere o conjuntoS = {n N: 20n500}. A)Quantos elementos de S so mltiplos de 3 e de 7? B)Escolhendo-seaoacasoumelementodeS,quala probabilidade de o mesmo ser um mltiplo de 3 ou de 7? 13)(UFRJ-09-PNE)Umaparedetriangulardetijolosfoi construdadaseguinteforma.Nabaseforamdispostos100 tijolos,nacamadaseguinte,99tijolos,eassim sucessivamenteatrestar1tijolonaltimacamada,como mostraafigura.Ostijolosdabaseforamnumeradosde acordocomumaprogressoaritmtica,tendooprimeiro tijolo recebido o nmero 10, e o ltimo, o nmero 490. Cada tijolodascamadassuperioresrecebeuumnmeroigual mdiaaritmticadosnmerosdosdoistijolosqueo sustentam. Determine a soma dos nmeros escritos nos tijolos. 14) (UFRJ-2001-PNE) Os nmeros a, b e c so tais que seus logaritmos decimais log a, log b e log c, nesta ordem, esto em progresso aritmtica. Sabendo que log b = 2, determine o produto abc.

MDULO II PARTE 11 Progresses MATEMTICA 2011 4Prof. Bruno Vianna ProjetoVestibular II PROGRESSO GEOMTRICA : UmaP.G.umaseqnciaemquecadatermo,a partirdosegundo,oprodutodoanteriorcomuma constante q dada. Exemplos: F1 = (1, 2, 4, 8, 16, ...) em quea1 = 1eq= 2 F2 = (-1, -2, -4, -8, -16, ...) em quea1 = -1e q= 2 F3 =||

\|,...811,271,91,31, 1em quea1 = 1eq= 31 F4= (-54, -18, -6 , -2, 32 ,...) em que a1 = -54 e q =31 F5= (7,7,7,7,7,...) em quea1 = 7 eq= 1 F6= (5,-5,5,-5,5,...) em quea1 = 5 eq= -1 F7= (3,0,0,0,0,...) em quea1 = 3 eq= 0 Termo Geral Dada uma P.G. (a1, a2, a3, a4, a5, a6,...,an) Sendo a1 o primeiro termo e an o ltimo termo, vemos que: a2 = a1 . q a3 = a2 . q>>a3 = a1 . q2 a4 = a3 . q>>a4 = a1 . q3 ... an = a1 . qn-1--- Termo geral da P.G Produto dos n termos de uma P.G. a1 = a1 a2 = a1 . q a3 = a1 . q2 a4 = a1 . q3 ... xan = a1 . qn-1 Pn = (a1 . a1 . a1 . ... . a1) . ( q . q2 .q3 . ... . qn-1) n fatores 1 ... 3 2 11. + + + +=n nnq a P 2) 1 (1.=n nnnq a P Soma dos Termos de uma P.G. finita Dada uma P.G. (a1, a2, a3, a4, a5, a6,...,an) podemos escrev-la como soma desses elementos da seguinte maneira: Sn=a1 + a1 q + a1 q2 + a1 q3 + ... + a1 qn-2 + a1 qn-1* Multiplicando ambos os membros por q , obtemos: q Sn= a1 q + a1 q2 + a1 q3 + ... + a1 qn-1 + a1 qn** Comparandoossegundosmembrosde*e**,podemos observarqueaparcelaa1ea1qnsaparecemem*e** respectivamente,etodasasoutrasparcelassocomunss duas igualdades; ento subtraindo, teremos: ** - * qSn- Sn = a1qn a1 Sn (q 1) = a1qn a1 Supondo q 1, resulta: ( )1111 1 1= =qq aSqa q aSnnnn ou ainda temos 11=qa q aSnn Demosntrao: ( )1 1 11 1 111 1 1===qa q aqa q q aqa q aSn n nn

Soma dos termos de uma P.G. infinita qaS=11 Estademonstraousavriosconceitosdadefiniode limitesesries,conceitoselementaresdeAnlisenaReta, umapartedamatemticaanveldegraduao,poreste motivo o teorema no ser demonstrado. Exerccios Resolvidos 01)Vamos determinar o 10 termo da PG. (31,1,3,9,...) Sabemos que a1 = 31eq = 3 , assim : a10 = a1 . q9 a10 = 31 . 39 a10 = 38 =6.561 02)NumaPG,o4termo32eo1termo21.Vamos determinar a razo da PG e, em seguida, obter seu 8 termo. Como a4 = a1 . q3 32=21 . q3 q3 = 64 q = 4 Usandonovamenteaexpressodotermogeral, determinemos o 8 termo: a8 = a1 . q7 a8 = 21 . 47 a8=2214=213 = 8.192 03)Vamosdeterminarxafimdequeaseqncia ||

\| ++2 , 1 ,25 9x xx seja uma PG.

MDULO II PARTE 11 Progresses MATEMTICA 2011 5Prof. Bruno Vianna ProjetoVestibular Utilizandoapropriedadedamdiageomtrica(trstermos consecutivos), podemos escrever: ( )0 12 17 725 9). 2 ( 11225 9122= ||

\| + = + +=++x xxx xxxxx As razes dessa equao so 3 e 74 . Para x = 3 a PG (16,4,1)e Para x =74, a PG ||

\| 718,73,141 04)VamosconstruiraPGemqueasomado3como5 termo 45 e a soma do 7 com o 9 termo 20. Doenunciado vem:2 1612045) 1 () 1 (:) ( 20 ) 1 () (45) 1 (204520454 2 612 212 612 21816141219 75 3 = = =++= += += += += += +qq q q aq q aII por I se DividindoII q q aI q q aq a q aq a q aa aa a Paraq = 2, substituindo em (I), vem: a1 . 22 . (1 + 22) =45 a1 =161e a PG ( ,...)41,81,161 Para q = -2, substituindo em (I), vem: a1(-2)2.[1+(-2)2]= 45a1=161eaPG:( ...)21,41,81,161 05)Vamosinterpolarcincomeiosgeomtricosentre 32e 486. Devemos formar uma PG, de sete termos na qual : a1 =32 e a7 = 486. Temos: a7 = a1 . q6 486 = 32 .q6 q6 = 729 q = 3 Para q = 3aPG. (32,2,6,18,54,162,486) Para q = -3 a PG (32,-2,6,-18,54,-162,486) 06) Vamos calcular o valor da soma dos dez primeiros termos da PG. (80,40,20,...). Sabemosquea1 =80eq=21:3251152110241023. 80211024 . 11. 80121121. 801) 1 .(1010110=||

\|=||

\|==(((

||

\|==qq aS EXERCCIOS PROPOSTOS 15) (UFF-97) - Sendo x um nmero real no nulo, a somado 3termodaProgressoAritmtica(x,2x,...)como3termo da Progresso Geomtrica (x,2x,...) igual a: (A)4x (B)5x (C)6x (D)7x(E)8x 16)(UERJ-2005)UmveculocomvelocidadeconstantedeV km/hpercorreSkmemumintervalodetempodeThoras, sendoTdiferentede1.ConsiderequeT,VeSestejamem progresso geomtrica, nessa ordem.Aalternativaqueindicaarelaoentreoespao percorrido S e a velocidade V : (A) 3V S = (B) 2V S =(C)V S = (D)V S =3 17) (PUC-RJ) A soma: 1+ 2 + 22 + 23 + 24 + + 2999 + 21000 igual a: (A)21001 1 (B) 21002 1 (C) 21001(D) 21000 1 (E) 21001 + 1

MDULO II PARTE 11 Progresses MATEMTICA 2011 6Prof. Bruno Vianna ProjetoVestibular 18)(UFF)OsretngulosR1,R2eR3,representadosnafigura, socongruenteseestodivididosemregiesdemesma rea. Aosecalcularoquocienteentreareadaregio pintada e a rea total de cada um dos retngulos R1, R2e R3, verifica-sequeosvaloresobtidosformamumaprogresso geomtrica ( P.G. ) decrescente de trs termos. A razo dessa P.G. : (A) 81(B) 41(C) 21

(D) 2 (E) 4 19)(UFRJ-97-PNE)Umaprogressogeomtricade8termos temprimeirotermoiguala10.Ologaritmodecimaldo produto de seus termos vale 36. Ache a razo da progresso. 20) (FGV) Na equao: O 1 membro a soma dos termos de uma PG infinita. Qual a soma das razes dessa equao? 21)(UFF-2002-1F)Certasimagenscaptadasporsatlites espaciais, quando digitalizadas, so representadas por formas geomtricasdeaspectoirregularoufragmentado, conhecidasporfractais.Podem-seobtertaisfractaispela alteraodaformaoriginaldeumacurvapormeiodeum processoemqueosresultadosdeumaetapasoutilizados como ponto de partida para a etapa seguinte. Considereoprocessotalque,emtodasasetapas,cada segmentoderetatransformadoemumapoligonalcujo comprimentoquatrovezesaterapartedosegmento original, como ilustrado na figura a seguir: Poresseprocesso,apartirdeumquadradocom1metrode lado, obtm-se a seqncia de figuras: Opermetro,emmetro,doquintopolgonodessaseqncia : (A) 4434 (B) 5434(C) 4534 (D) 5543(E) 4443 22) Uma bola atirada ao cho de uma altura de 200 m . Ao atingirosolopelaprimeiravez,elasobeatumaalturade 100 m, cai e atinge o solo pela segunda vez, subindo at uma altura de 50 m, e assim por diante at perder energia e cessar o movimento. Quantos metros a bola percorre ao todo ? (Dica: PG infinita) (A) 0(B) 1.000 m(C) 375 m (D) 600 m (E) 500 m 23)(UFRJ-97-PNE)Umaprogressogeomtricade8termos temprimeirotermoiguala10.Ologaritmodecimaldo produto de seus termos vale 36. Ache a razo da progresso. 24)Umadeterminadafiguraespacialconstrudada seguinte maneira: Pega-se um determinado cubo de aresta 3cm; Depoissocolocados6cubosmenoresdearesta 1cm (um tero da aresta do cubo maior), um em cada face do primeiro cubo, conforme mostra a figura; E a partir da, em cada passo, so sempre acrescidos cubosmenoresainda(dearestaigualaumterodaaresta doscubosqueforaminseridosanteriormente)emcadaface exposta dos cubos que foram colocados no passo anterior. Desse modo, o volume total do slido obtido executando esse processo infinitamente, : (A) 36cm3 (B) 54cm3 (C) 22729 cm3

(D) 11378 cm3(E) impossvel de ser quantificado 25m. . . 100m 200m

MDULO II PARTE 11 Progresses MATEMTICA 2011 7Prof. Bruno Vianna ProjetoVestibular 2 = AB 25)(UFF-10-1F)Comoobjetivodecriticarosprocessos infinitos,utilizadosemdemonstraesmatemticasdesua poca,ofilsofoZenodeEleia(sculoVa.C.)propso paradoxodeAquileseatartaruga,umdosparadoxosmais famosos do mundo matemtico. Fonte: http://culturaclassica.blogspot.com/2008/05/aquiles-ainda-corre-os-paradoxos-de.html ExistemvriosenunciadosdoparadoxodeZeno.Oescritor argentino Jorge Luis Borges o apresenta da seguinte maneira: Aquiles,smboloderapidez,temdealcanaratartaruga, smbolodemorosidade.Aquilescorredezvezesmaisrpido queatartarugaelheddezmetrosdevantagem.Aquiles correessesdezmetros,atartarugacorreum;Aquilescorre essemetro,atartarugacorreumdecmetro;Aquilescorre essedecmetro,atartarugacorreumcentmetro;Aquiles correessecentmetro,atartarugaummilmetro;Aquiles correessemilmetro,atartarugaumdcimodemilmetro,e assiminfinitamente,demodoqueAquilespodecorrerpara sempre, sem alcan-la. Fazendo a converso para metros, a distncia percorrida por Aquiles nessa fbula igual a .10110 ...1011011 1002=||

\|+ = + + + + =nnd correto afirmar que: (A)+ = d (B)11 , 11 = d

(C) 991= d

(D)12 = d (E) 910= d 26)(UERJ-07-01EX.QUAL)Afiguraaseguirmostraum molusco Triton tritonis sobre uma estrela do mar. (www.wikimedia.org) Um corte transversal nesse molusco permite visualizar, geometricamente, uma seqncia de semicrculos. O esquema abaixo indica quatro desses semicrculos. Admita que as medidas dos raios ( ) ,... , , , , , FG EF DE CD BC AB formem uma progresso tal que: |||

\|= = = = = ...FGEFEFDEDECDCDBCBCAB Assim, considerando , a soma: ... + + + + DE CD BC AB ser equivalente a: (A)3 2 +(B) 5 2 + (C)3 3+ (D)5 3+ 27) (AFA-03) Considere uma P.G. onde o 1o termo a, a > 1, a razoq,q>1,eoprodutodosseustermosc.Se loga b = 4, logq b = 2 e logc b = 0,01, ento a soma dos termos da P.G. (A)1 aa a241(B)1 aa a240 (C)1 a1 a241(D) 1 a1 a240 28)(UFRJ-2001-PE)Sejax0,x1,...,xn,...umaseqncia infinitadenmerosreais.Sabendoquex0=10equeos logaritmos decimais: n nx a x a x a log ; ... ; log ; log1 1 0 0= = = formamumaPGderazo1/2,calculeovalorlimitedo produto : n nx x x x P = ...2 1 0 quando n tende a infinito. 29) (UFF 2005 2 fase) A soma dos n primeiros termos da seqncia de nmeros reais a1, a2, ..., an, ... 32npara todo inteiro positivo n. a) Verifique se a seqncia uma progresso geomtrica ou uma progresso aritmtica ou nenhuma das duas. Justifique sua resposta. b) Calcule o milsimo termo da seqncia.

MDULO II PARTE 11 Progresses MATEMTICA 2011 8Prof. Bruno Vianna ProjetoVestibular 30) A figura a seguir representa o grfico da funo: y = 2X , x 0 , e os primeiros elementos de uma seqncia infinitaderetngulos.Asomadasreasdetodosos retngulos dessa seqncia infinita : (A) 0,5ua (B) 1ua (C) 1,5ua (D) 2ua (E) maior do que 2ua. 31)(UFRJ-2003)AregiofractalF,construdaapartirdeum quadradodelado1cm,constitudaporumainfinidadede quadrados e construda em uma infinidade de etapas. A cada novaetapaconsideram-seosquadradosdemenorlado(l) acrescentados na etapa anterior e acrescentam-se, para cada umdestes,trsnovosquadradosdeladol/3.Astrs primeirasetapasdeconstruodeFsoapresentadasa seguir. Calcule a rea de F. 32) (UFRJ 2004) 33)(IME-2003)DadaumacircunfernciaderaioR,inscreve-senelaumquadrado.Aseguir,inscreve-seuma circunferncianestequadrado.Esteprocessoserepete indefinidamenteparaointeriordafigurademaneiraque cada quadrado estar sempre inscrito em uma circunferncia e simultaneamente circunscrito por outra. Calcule, em funo deR,asomadasreasdelimitadaspelosladosdos quadradosepelascircunfernciasqueoscircunscrevem, conforme mostra a figura.

MDULO II PARTE 11 Progresses MATEMTICA 2011 9Prof. Bruno Vianna ProjetoVestibular GABARITO: 01) B02) E03) B04)12005) A 06) x50 = 107) B08) a) 364b) 420 09) 242010) a) 99 b) 9801c) dem 11) a) 375 b) 1512) a) 23b ) 206/481 13) 1 262 50014) 1 000 00015) D16) D 17) A18) C19) Q=1020) {1,-1} 21) D22) D23)24) D 25) E26) D27) A28) 100 29)30)31) 3/232) a 33) Resoluo de algumas questes: Questo 6) Questo 8) Questo 9) Nvel 1 1 tringulo (3 cartas) Nvel 2 2 tringulos (3 cartas) .................................................... nvel 39 39 tringulos (3 cartas) nvel 40 40 tringulos (2 cartas)Total de Cartas = 3 x (1+2+...+39) + 2 x 40 = 3 x (40 x 39)/2 + 80 = 2420QUESTO 10) a) 99A primeira linha contm umnmero, a segunda 3, a terceira 5, e assim por diante.Se q(n) a quantidade de nmerosna n-sima linha, temos q(n) = 2n 1. Portanto, q(50) = 99.b) S = 9 801. Como o ltimo nmero escrito na 50a linha 50 + 98 = 148, temos que S = 50 + 51 + ..... + 148 = 9 801. Questo 11) a) ( )25 a aS5 15 +==( ) 375 = 5 75 b) n 65 2xy130 xz75 0 Na 3 linha +=+ == + =23x 652x 652x y2x 65r 4r 2x 130Na 4 linha275 xz+= Na 2 coluna z 65 2y + =

275 x65 3x 65++ = + x = 15 Questo 12) Os mltiplos de 3 e 7 so os mltiplos de 21. Temos a PA: (21, 42, , 483) an = a1 + (n - 1)r 483 = 21 + (n - 1) 21 n = 23 A)O nmero de elementos do espao amostral : 500 19 = 481 OnmerodeelementosdoeventoA(mltiplos3oude 7) obtido somando-se o nmero de mltiplos de 3 com onmerodemltiplosde7edescontando-seonmero de mltiplos de 21 (mltiplos de 3 e 7):

MDULO II PARTE 11 Progresses MATEMTICA 2011 10Prof. Bruno Vianna ProjetoVestibular m(3) = + = 160 n 3 1) - (n21 498498) ..., 24, (21, PA m(7) = + = 69 n 7 1) - (n21 497497) , ... 28, (21, PA m(21) {n = 23 Assim: n(A) = 160 + 69 23 = 206 A probabilidade : P(A) = 481206 Questo 13) Questo 14) Questo 31) Questo 32) Questo 33)