Progressões geométricas apostila

Governo do Estado de Mato Grosso do Sul

Secretaria Estadual de Educação

Escola Estadual Vilmar Vieira Matos

MATEMÁTICA - PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS - Prof. Dênis Rodrigues - 1

Aluno(a):_____________________________________________________________________

PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS (P.G)

1. INTRODUÇÃO

Observe a sequência:

(3, 6, 12, 24, 48,...)

Note que, dividindo um termo qualquer dessa sequência por termo antecedente, o resultado é

sempre igual a 2:

e assim por diante.

Tem-se também que, considerando três termos consecutivos dessa sequência, o quadrado do

termo central é igual ao produto dos outros dois. Dizemos que o termo central é a média

geométrica dos extremos.

Assim, temos:

Podemos escrever então que: , pois são termos

consecutivos

2. DEFINIÇÃO

Progressão Geométrica (PG) é uma sequência de números reais não nulos em que o quociente

entre um termo qualquer (a partir do segundo) e o termo antecedente é sempre o mesmo

(constante).

Essa constante é chamada razão da PG e é indicada pela letra q.

Exemplo 1: Determinar a razão q das PGs abaixo.

a) (2, 6, 18, 54,...) é uma PG de razão q=___.

b) (-5, 15, -45, 135,...) é uma PG de razão q=___.

c) (20, 10, 5, 5/2,...) é uma PG de razão q=___.

d) (4, -4, 4, -4, ...) é uma PG de razão q=___.

Exemplo 2: Determine a razão q da P.G.

3. CLASSIFICAÇÃO

Se an é uma PG, então dizemos que:

a) Quando , a PG é constante.

b) Quando , a PG é alternada ou oscilante.

c) Quando a PG é crescente.

d) Quando a PG é decrescente.





Exemplo 3: Classifique as PGs do exemplo 1.

a) (2, 6, 18, 54,...) é uma PG _______________.

b) (-5, 15, -45, 135,...) é uma PG _______________.

c) (20, 10, 5, 5/2,...) é uma PG _______________.

d) (4, -4, 4, -4, ...) é uma PG _______________.

Exemplo 4: Se a razão de uma P.G. é maior do que 1 e o primeiro termo é negativo, a P.G. é

chamada:

a) decrescente b) crescente c) alternada d) constante e) nenhuma das alternativas

4. TÓPICO ESPECIAL: REVISÃO DE POTENCIAÇÃO.

Antes de prosseguirmos no assunto de progressões geométricas é necessário que relembremos as

definições e propriedades da potenciação, ferramenta chave para a resolução de vários problemas

que envolvam esse assunto. Abaixo temos um resumo com as principais definições e

propriedades que envolvem a potenciação.

DEFINIÇÕES PROPRIEDADES

e

, com a≠0

=

, com b≠0

Exemplo 5: Calcule as potências abaixo

a) =_____

b) =_____

c) =_____

d)

=_____

Exemplo 6: A razão da P.G. é:

a) x b) 1 c) 3 d) 1/3 e) x-3





5. TERMO GERAL DA PG.

Seja uma PG de razão q.

Temos:

Concluímos assim que, o termo an , que ocupa a n-ésima posição na sequência, é dado por:

onde é o n-ésimo termo da sequência, é o primeiro termo, q é a razão e n a posição do

termo na sequencia.

A expressão acima conhecida como fórmula do termo geral da PG, permite calcular qualquer

termo de uma PG em função do primeiro termo a1 e da razão q.

Exemplo 7: Determine o quarto e o sétimo termos da P.G. (3, -6, 12, ...).

Exemplo 8: O número de termos da P.G. (1/9, 1/3, 1, ..., 729), é:

a) 8 b) 9 c) 10 d)81 e) 4





Exemplo 9: Construa a P.G. em que a soma do 3º com o 5º termo é 5/4 e a soma do 7º termo

com o 9º termo é 20.

Exemplo 10: Interpolar cinco meios geométricos entre 2/3 e 486.

6. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

NOBILIONI, G, 1940- Álgebra I;São Paulo: Centro de Recursos Educacionais, 1996.(Coleção

Objetivo. Sistema de métodos de aprendizagem; livro 37)

IEZZI, G.; DOLCE, O.; DEGENSZAJN, D.; PÉRIGO, R.; ALMEIDA, N. D.; MATEMÁTICA

Ciência e Aplicações Vol 1, 2ºEdição – 2004, São Paulo/Brasil

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