PROJETO DE MONITORAMENTO

DE UMA VIGA

PROF. CARLOS AURÉLIO NADAL

TOPOGRAFIA INDUSTRIAL

MONITORAMENTO DE UMA VIGA

Seja monitorar os deslocamentos de uma viga de seção

retangular (0,30mx0,50m) situada em um pórtico, no

centro de uma sala conforme a planta e elevação

fornecidos a seguir.

Será utilizada estação total a ser instalada no ponto T1,

para visar os alvos a1, a2..., a7 situados no centro da face

da viga.

A precisão nominal angular da estação utilizada é de 5”,

já sua precisão nominal linear é de 3mm±3ppm. A

precisão da medida da altura da estação total é igual a

±1mm.

Calcular qual a precisão das coordenadas dos alvos

projetando o levantamento.

Planta da

sala

Elevação da sala

VISÃO TRIDIMENSIONAL DA SALA

Colocando-se um sistema de coordenadas cartesianas

tridimensionais dextrógiro na sala conforme

esquematizado abaixo pode-se obter as coordenadas

iniciais aproximadas dos pontos, supondo o eixo Y como

origem das contagens de azimutes

ZY

X

V2

VIGA

EM

ESTUDO

T1

ZY

X

a1a2

a7a5

DISPOSIÇÃO ESQUEMÁTICA DOS ALVOS

ponto X(m) Y(m) Z(m)

a1 1,000 4,850 3,550

a2 2,000 4,850 3,550

a3 3,000 4,850 3,550

a4 4,000 4,850 3,550

a5 5,000 4,850 3,550

a6 6,000 4,850 3,550

a7 7,000 4,850 3,550

Coordenadas aproximadas dos alvos

Coordenadas aproximadas da estação

ponto X(m) Y(m) Z(m)

T1 4,500 1,500 1,450

Cálculo dos valores aproximados das observações.

Cálculo da distância espacial entre os pontos T1 e ai

dT1ai = [(xai – xT1 )2 + (yai – yT1 )

2 + (zai – zT1 )2 ]1/2

Cálculo do ângulo zenital entre T1 e ai

zai – zT1

VT1ai = arc cos

[(xai – xT1 )2 + (yai – yT1 )

2 + (zai – zT1 )2 ]1/2

Cálculo do azimute entre os pontos T1 e ai

xai – xT1

AT1ai = arc tg

yai –Yt1

Cálculo das direções horizontais

H T1ai = AT1ai - AT1a1AT1a1 = azimute da direção estação alvo a1

direção Azimute

graus

Ang.

Vertical

graus

Distância

(m)

Direção

Horizontal

graus

T1-a1 313,7455° 66,56565° 5,280388 0

T1-a2 323,2672° 63,32546° 4,677873 9,521625

T1-a3 335,879° 60,2248° 4,228771 22,13347

T1-a4 351,5111° 58,20117° 3,985285 37,76551

T1-a5 8,488944° 58,20117° 3,985285 54,7434

T1-a6 24,12098° 60,2248° 4,228771 70,37543

T1-a7 36,73283° 63,32546° 4,677873 82,98728

Para estudo de propagação de variâncias num

projeto de levantamentos, adota-se o preconizado

por Chrzanowski 1977 “Design and error analysis

of surveying projects” a tolerância (erro máximo

admissível) igual a 3, equivalente a probabilidade

normal de 99,9%.

Tolerância angular = 15”

Tolerância linear = 9mm±9ppm

Tolerância na altura da estação =3mm

Considerando um sistema de coordenadas

com origem no ponto cardã (O)

y

x

z

ai

p’

xp

yp

zp

Aop

o

v dop

p”

ângulo vertical

ângulo horizontal

(azimute)

distância espacial

Equações do posicionamento neste sistema

xai = dT1ai sen VT1ai sen AT1ai

yai = dT1ai sen VT1ai cos AT1ai

zai = dT1ai cos VT1ai+I-S

Que pode ser simplificado na formax=d senV senAy=d senV cosAz=d cosV+I-S

Onde I é a altura da estação total e S a altura do sinal no caso (S=0)

A propagação de variância da grandeza SGGna grandeza SG é dada matricialmente por:

FSFS GG

T

G

Onde F é a matriz das derivadas parciais de dafunção original e SGG é a matriz variânciacovariância das observaveis.

nn2n1

2n212

1n121

S S

S S

S S S

S

SSGG

nnn G

z

G

y

G

x

G

z

G

y

G

x

G

z

G

y

G

x

F 222

111

Derivadas parciais das funções

senVsenAd

x

VsenAdV

xcos

AdsenVA

xcos

0

I

x

0

S

x

AsenVd

ycos

AVdV

ycoscos

dsenVsenAA

y

0

I

y

0

S

y

Vd

zcos

dsenVV

z

0

A

z

1

I

z

1

S

z

Matriz variância-covariância das observações

σd=a mm b ppm

σ²d=(σd/1000)² m²

σV=a“

σ²V=[(a/3600)*/180]² rad²

σA=a“σ²A=[(a/3600)*/180]² rad²

σI=a mm

σ²I=(a/1000)² m²

σS=a mm

σ²S=(a/1000)² m²

FSFS GGT

G

n

n

n

G

z

G

z

G

z

G

y

G

y

G

y

G

x

G

x

G

x

21

21

21

nn2n1

2n212

1n121

S S

S S

S S S

S

S

nnn G

z

G

y

G

x

G

z

G

y

G

x

G

z

G

y

G

x

222

111

Resultados para o Alvo a1

0.3566 -0.3401 -0.2131

SG= 10-4 -0.3401 0.3268 0.2040

-0.2131 0.2040 0.3094

Erros nas coordenadas

ex=6,0mm

ey =5,7mm

ez=5,6mm

alvo Erro em X

(mm)

Erro em Y

(mm)

Erro em Z

(mm)

a1 6,0 5,7 5,6

a2 4,8 6,4 5,9

a3 3,2 7,1 6,2

a4 1,2 7,6 6,4

a5 1,2 7,6 6,4

a6 3,2 7,1 6,2

a7 4,8 6,4 5,9

Conclusão:

Com um instrumento desta qualidade

somente será possível detectar

deslocamentos superiores a 05mm em média.

MUDANÇA DE SISTEMA DE

COORDENADAS

Na maioria dos trabalhos de monitoramento de

obras o sistema de coordenadas utilizado para

observar os deslocamentos não deve estar

situado na estação total, mas na própria

estrutura.

MUDANÇA DE SISTEMAS DE COORDENADAS

TRANSLAÇÃO DE EIXOS

Z1

Y1

X1

Z2

Y2

X2

O1

O2

MODELO DE TRANSLAÇÃO DE EIXOS

DO SISTEMA 01X1Y1Z1 PARA 02X2Y2Z2

TX=-Xa1 (coordenadas X1 do alvo a1)

TY= -Ya1 (coordenadas Y1 do alvo a1)

Tz= -Za1 (coordenadas X1 do alvo a1)

COORDENADAS DOS OUTROS ALVOS

X2i= X1i+ TX o indice i diz respeito ao alvo ai

Y2i = Y1i+ TY

Z2i = Z1i+ TZ

Obs.: os sistemas 01X1Y1Z1 e 02X2Y2Z2 tem seus eixos

paralelos

T1

Z1Y1

X1

a1a2

a7a5

Z3

X3

Y3

ROTAÇÕES APLICADAS NO SISTEMA 02X2Y2Z2

MODELO DE ROTAÇÃO DE EIXOS DO

SISTEMA 02X2Y2Z2 PARA 03X3Y3Z3

a) Rotação em torno de Z2 para concidir o eixo X3 com

a direção a1-a7 (alvo a1 para alvo a7)

Calculo do azimute da direção 1-7

x2ai – x2a7

Aa1a7 = arc tg

y2a1i – y2a7

Calculo do ângulo de rotação

= 90º - Aa1a7

Matriz de rotação em torno do eixo Z2

cos sen 0

R3 () = -sen cos 0

0 0 1

b) Rotação em torno do eixo X3 para que o eixo Z fique

direcionado ao nadir (medição de recalques da viga)

ângulo de rotação

= 180º

Matriz de rotação utilizada em torno do eixo X3

1 0 0

R1 () = 0 cos sen

0 -sen cos

MODELO FINAL UTILIZADO

X3i = R1 (180º ) R3 () X2

i

Com

X3ai X2ai

X3i = Y3ai X2

i = Y2ai

Z3ai Z2ai

Com o índice i indicando o i-ésimo alvo

ponto X1(m) Y1 (m) Z1 (m)

a1 -3,5 3,35 3,55

a2 -2,5 3,35 3,55

a3 -1,5 3,35 3,55

a4 -0,5 3,35 3,55

a5 0,5 3,35 3,55

a6 1,5 3,35 3,55

a7 2,5 3,35 3,55

Utilizando um sistema de coordenadas cartesianas

ortogonais dextrógiro com origem na estação total

01X1Y1Z1 obtem-se:

Transferindo-se a origem do novo sistema para o alvo a1

Mantendo-se a orientação paralela ao sistema da estação

Parametros de translação

Dx=+3,5m Dy= -3,35m Dz=-3,55m

ponto X2(m) Y2 (m) Z12(m)

a1 0 0 0

a2 1 0,089 0

a3 2 0,133 0

a4 3 0,133 0

a5 4 0,133 0

a6 5 0,133 0

a7 6 0,089 0

Sistema dextrógiro origem no alvo a1 02X2Y2Z2

ponto X2(m) Y2 (m) Z12(m)

a1 0 0 0

a2 0.9997 -0.0003 -0.0002

a3 1.9997 -0.0003 -0.0003

a4 2.9998 0.0002 0.0000

a5 3.9997 0.0002 0.0000

a6 4.9998 -0.0001 -0.0003

a7 5.99978 0.0000 -0.0002

Sistema dextrógiro origem no alvo a1

03X3Y3Z3 (aplicadas as rotações propostas)