PROJETO DE PESQUISA

ESTRUTURAS DISCRETAS, COMPLEXIDADE E ALGORITMOS

MANOEL JOSE MACHADO SOARES LEMOS

Sumario

1. Problemas estruturais sobre grafos e matroides 1

2. Combinatoria extremal, probabilıstica e assintotica 6

3. Pseudoaleatoriedade em combinatoria e em teoria da computacao 16

4. Algoritmos sobre estruturas discretas e aplicacoes 19

Referencias 28

1. Problemas estruturais sobre grafos e matroides

Apresentamos a seguir alguns problemas especıficos de nosso interesse sobre grafos e matroides.

1.1. Grafos e matroides menores-minimais. Uma companhia telefonica desejava substituir,

em um distrito, sua rede convencional por uma de fibra otica. Uma rede telefonica pode ser vista

como um grafo, tendo os nos como vertices e os cabos como arestas. Uma ligacao telefonica percorre

um caminho neste grafo. Como cabos convencionais sao capazes de realizar um numero limitado

de ligacoes simultaneamente, varias opcoes de trajeto para cada ligacao telefonica tem de estar

disponıveis. Contudo, para telefonia, podemos considerar que um cabo de fibra otica pode realizar

um numero ilimitado de ligacoes. Portanto, a rede de fibra otica necessitava ser apenas conexa, e

por razoes de economicas, bastava ser minimamente conexa. Mas os grafos minimamente conexos

sao as arvores, e por esta razao, a companhia telefonica tinha de substituir os cabos convencionais

que estavam em uma arvore geradora por cabos de fibra otica e desativar os demais.

Como um grafo possui uma grande quantidade de arvores geradoras, a companhia desejava

descobrir aquela com custo mınimo para a substituicao de seus cabos. Para tanto, estimou o custo

de substituir cada cabo convencional por um de fibra otica e aplicou um algoritmo conhecido,

chamado de guloso, para encontrar uma arvore geradora de custo mınimo. A companhia ficou

bastante satisfeita com o resultado, ja que economizou bastante. Contudo, um dos cabos foi

rompido, fazendo com que uma parte do distrito ficasse sem comunicacao com o seu exterior.

Isto gerou grandes transtornos para a companhia e esta pos algumas questoes visando resolver o

problema:

• O que podemos afirmar sobre um grafo que e minimamente n-conexo, para algum inteiro

n > 1? Muito ja era conhecido. Nao tem uma caracterizacao destes grafos, mas varias

propriedades estruturais e extremais foram obtidas por Dirac [43], para n = 2, Halin [75],

1

para n = 3, e Mader [120], para n ≥ 4. Ja para matroides, Murty [133], para n = 2, e

Oxley [139], para n = 3, resolveram o problema equivalente. Para n > 3, nada e conhecido.

Existe uma grande dificuldade em obter resultados especıficos para matroides n-conexas,

quando n > 3.

• Existe algoritmo eficiente para encontrar um subgrafo gerador minimamente n-conexo em

um grafo dado que possua custo mınimo?

• Dado um subgrafo conexo de um grafo n-conexo, qual o menor numero de arestas deste

grafo que necessitamos adicionar a este subgrafo para que tambem se torne n-conexo? E

como acha-las de forma que o custo do subgrafo resultante seja mınimo?

Das tres questoes apresentadas anteriormente, a que mais interessava a companhia telefonica era

a terceira, ja que esta possuıa uma malha de fibra otica, que tinha a forma de uma arvore, e desejava

substituir mais alguns cabos convencionais por fibra otica, aumentando a conectividade da rede,

sem ter um custo elevado para realizar a substituicao. Um dos problemas que trataremos neste

projeto e uma generalizacao do terceiro problema listado pela companhia, mas para matroides.

Seja M uma matroide que e menor-minimal com respeito as seguintes propriedades:

• Ter uma matroide N como menor.

• Ser 3-conexa.

Desejamos obter um limite superior otimo para o numero de elementos que pertencem a M

e nao pertencem a N . Na verdade, desejamos resolver uma conjectura proposta por Lemos e

Oxley [101], que passamos a descrever. Seja X o numero de componentes conexas de N , e Y o

numero de matroides 3-conexas que obtemos a partir de N utilizando as operacoes inversas da

1-soma e 2-soma. Sera verdade que

|E(M)| − |E(N)| < X + 5Y − 5 ?

Lemos e Oxley [101] mostraram que

|E(M)| − |E(N)| < 5Y − 4

no caso em que N e conexa. Membros deste grupo estao tentando melhorar este limite no caso em

que N e um circuito (que foi a parte mais longa da demonstracao de Lemos e Oxley no caso geral).

Acredita-se que no caso em que N e um circuito o seguinte limite e valido:

|E(M)| − |E(N)| < 3Y − b,

para algum inteiro b.

No caso de matroides conexas, ou equivalentemente 2-conexas, Lemos e Oxley [99] resolveram

completamente o problema correspondente. Para matroides n-conexas, com n > 3, um limite similar

nao existe, como observado por Geelen, Hlineny e Whittle [59]. Surpreendentemente, para grafos,

este problema torna-se muito mais complexo, ja que uma matroide pode ter muitas representacoes

graficas. Contudo, no caso 2-conexo, Lemos e Oxley [102] obtiveram o seguinte resultado: Para

numeros reais a e b, as seguintes afirmacoes sao equivalentes:

2

• Para todos grafos G e H tais que G e menor-minimal com respeito a ser 2-conexo e ter H

como menor,

|E(G)| − |E(H)| < a[cc(H) − 1] + b[b(H) − 1] + 1.

• a + b e pelo menos 5; 2a + 5b e pelo menos 20; e b e pelo menos 3.

Utilizamos cc(H) e b(H) para denotar respectivamente o numero de componentes conexas e o

numero de blocos de H. Os outros problemas que serao tratados neste topico do projeto de pesquisa

tambem envolvem fortemente o conceito de n-conectividade em grafos e matroides, algumas vezes

na sua formulacao e outras na solucao de problemas correlatos. Membros do grupo irao considerar

a generalizacao deste resultado para o caso em que o grafo G e 3-conexo. Acreditamos que sera

impossıvel resolver este problema em geral de forma satisfatoria, isto e, obtendo o melhor limite

possıvel. Contudo, no caso em que H e 2-conexo, talvez seja possıvel obter o melhor limite superior

possıvel, caso exista.

1.2. Matroides com poucas bases nao-comuns. Mills [131] propos a seguinte conjectura:

Conjectura 1. Se M e N sao matroides n-conexas com k bases que nao sao comuns, para algum k

inferior a n, entao existe uma matroide que e obtida a partir de M e N relaxando um total de k

circuitos-hiperplanos.

Esta conjectura foi demonstrada por Truemper [164], para k = 1, Mills [131], para k = 2, e

Lemos [96], para todo k > 2. Lemos [97] generalizou este resultado para matroides verticalmente

n-conexas. Em Lemos [98] ha outras extensoes deste resultado. Pretendemos considerar o seguinte

problema, que generaliza a conjectura de Mills: o que podemos afirmar sobre duas matroides n-

conexas que possuem poucos circuitos contendo um elemento fixo que nao sao comuns?

1.3. Dupla cobertura por cocircuitos. Para uma matroide conexa M com pelo menos dois ele-

mentos, denotamos por c(M) a cardinalidade do maior circuito de M e por c(e,M) a cardinalidade

do maior circuito de M contendo o elemento e. Bonin, McNutly e Reid [21] propuseram a seguinte

conjectura:

Conjectura 2. Se M e uma matroide conexa com pelo menos dois elementos, entao o numero de

elementos de M e limitado superiormente por c(M)c(M∗)/2.

Esta conjectura, que foi demonstrada por Lemos e Oxley [100], sugere o seguinte problema

proposto por Ding:

Problema 3. Para uma matroide conexa M com pelo menos dois elementos, e possıvel encontrar

uma famılia com c(M) cocircuitos de M que cubra cada elemento de M pelo menos duas vezes?

Pretendemos trabalhar neste problema. Lemos e Oxley [100] responderam afirmativamente a

seguinte pergunta relacionada de Seymour:

Problema 4. Para um elemento e de uma matroide conexa com pelo menos dois elementos, e

possıvel encontrar c(e,M)− 1 cocircuitos de M contendo o elemento e que cubra cada elemento de

M?

3

Esta pergunta foi inspirada por um limite superior para o numero de elementos de uma matroide

conexa, a saber: (c(e,M) − 1)(c(e,M∗) − 1) + 1, demonstrado por Lemos e Oxley [100].

1.4. Maiores circuitos em matroides. Grotschel [73] propos a seguinte conjectura:

Conjectura 5. Em um grafo k-conexo, quaisquer dois circuitos de comprimento maximo possuem

pelo menos k vertices em comum.

No mesmo artigo, Grotschel verifica esta conjectura para k < 7, e afirma que, segundo Haggkvist

e Bondy, esta conjectura esta resolvida para k < 11. (Aparentemente esta ultima afirmacao nao e

verdadeira.) Em geral, o problema continua em aberto. Membros do grupo pretendem trabalhar

em uma conjectura de Wu, que generaliza esta conjectura para matroides:

Conjectura 6. Se C e D sao circuitos de comprimento maximo em uma matroide k-conexa, entao

r(C + D) < r(C) + r(D) − k.

Utilizamos C + D para denotar a uniao dos conjuntos C e D. Esta conjectura foi solucionada

por McMurray, Reid, Wei e Wu [130] para k = 2. Como, para grafos, a conjectura e muito difıcil

nao esperamos resolve-la em geral, mas apenas para pequenos valores de k, digamos k = 3 e k = 4.

1.5. Conjuntos dominantes. Seja G um grafo. A vizinhanca fechada de um vertice v em G,

denotada por N(v), e o conjunto formado pelo proprio vertice v e todos os vertices adjacentes a v.

Dizemos que um conjunto S ⊆ V (G) e um conjunto dominante de G se V (G) ⊆ ∪v∈SN(v), isto

e, cada vertice de G pertence a S ou e adjacente a algum vertice de S. O numero de dominacao

(dominating number) de G, denotado por γ(G), e definido como a cardinalidade mınima de um

conjunto dominante de G, ou seja,

γ(G) := min |S| : S e um conjunto dominante de G.

O conceito de conjunto dominante foi introduzido por Berge [14] em 1962. No entanto, foi Ore [137]

quem cunhou a terminologia atual e observou que γ(G) ≤ |V (G)|/2 para qualquer grafo G sem

vertices isolados.

No que segue vamos denotar por n o numero de vertices do grafo em consideracao. Blank [16],

em 1973, mostrou que um grafo conexo G com grau mınimo pelo menos 2 ou satisfaz γ(G) ≤ 2 n/5,

ou e um de sete grafos muito bem especificados: um deles com 4 vertices e os outros seis com 7

vertices. Este resultado foi obtido independentemente por McCuaig e Shepherd [129], e e o melhor

possıvel para este caso: sabe-se que existem infinitos grafos para os quais a desigualdade acima vale

com igualdade.

No que se refere a grafos cubicos, Reed [143] mostrou que γ(G) ≤ 3 n/8. Novamente, neste

caso, esta delimitacao superior e a melhor possıvel. Reed, ainda nesse trabalho, conjecturou que

γ(G) ≤ ⌈n/3⌉ quando G e cubico conexo. Em 2005, Kostochka e Stodolsky [94] mostraram que esta

conjectura e falsa. Entretanto, ela e claramente verdadeira para grafos hamiltonianos (basta tomar

um ciclo hamiltoniano de G e selecionar cada terceiro vertice desse ciclo). Alem disso, Plummer

considerou a possibilidade de que neste caso, isto e, quando G e hamiltoniano, γ(G) ≤ ⌊n/3⌋.

4

Cropper, Greenwell, Hilton e Kostochka [41] mostraram que a conjectura e verdadeira quando

n ≡ 0 (mod 3) e n ≡ 1 (mod 3), mas e falsa quando n ≡ 2 (mod 3).

Em abril de 2006, Alexandr Kostochka visitou o IME-USP e, nessa ocasiao, apresentou a cons-

trucao do exemplo que mostrou ser falsa a conjectura de Reed. Nessa ocasiao, forneceu materiais

recentes a respeito do assunto, e lancou varias ideias que podem ser uteis no tratamento do pro-

blema. Uma das conjecturas levantadas por esse pesquisador e a seguinte:

Conjectura 7. Se G e um grafo bipartido cubico e hamiltoniano, entao γ(G) ≤ n/3.

Alem dessa conjectura, ha varias outras questoes interessantes a respeito do parametro γ(G), em

particular para classes especiais de grafos. Por exemplo, um problema em aberto e o de determinar

se γ(G) ≤ n/4 quando G e um grafo planar triangulado de ordem n.

Pretendemos investigar esse parametro tendo como ponto de partida essa conjectura e a famili-

arizacao com o assunto atraves da leitura de textos [80, 79] que trazem varios resultados sobre esse

parametro.

Do ponto de vista algorıtmico, o problema de determinar γ(G) para um dado grafo G e um

problema NP-difıcil. Sabe-se que esse problema e equivalente ao problema da cobertura mınima; e

portanto, ele e aproximavel dentro de uma razao 1 + log n e nao admite uma razao de aproximacao

constante (veja [9]). Outro problema correlato e o de encontrar, num dado grafo, um conjunto

dominante conexo de cardinalidade mınima. Este problema e de grande interesse pela sua relacao

com varios outros, como por exemplo os problemas do emparelhamento maximo induzido e o

problema da arvore geradora com um numero maximo de folhas [30]. Dependendo do andamento

da pesquisa sobre esse topico, contemplamos a possibilidade de estudar questoes de carater mais

algorıtmico e de inaproximabilidade sobre esse parametro.

1.6. Trabalhos anteriores. Membros deste grupo tem feito contribuicoes na linha de pesquisa

discutida nesta secao; destacamos aqui os seguintes trabalhos:

• G. Calinescu, C.G. Fernandes, e B. Reed. Mul-

ticuts in unweighted graphs and digraphs with

bounded degree and bounded tree-width. J. Al-

gorithms, 48(2):333–359, 2003.

• J. Donadelli e Y. Kohayakawa. A density result

for random sparse oriented graphs and its re-

lation to a conjecture of Woodall. Electron. J.

Combin., 9(1):Research Paper 45, 10 pp. (elec-

tronic), 2002.

• C.G. Fernandes, E.L. Green, e A. Mandel. From

monomials to words to graphs. J. Combin. The-

ory Ser. A, 105(2):185–206, 2004.

• O. Lee e Y. Wakabayashi. Note on a min-

max conjecture of Woodall. J. Graph Theory,

38(1):36–41, 2001.

• O. Lee e Y. Wakabayashi. On the circuit co-

ver problem for mixed graphs. Combin. Probab.

Comput., 11(1):43–59, 2002.

• M. Lemos. On Mills’s conjecture on matroids

with many common bases. Discrete Mathema-

tics, 240:271–276, 2001.

• M. Lemos. Matroids with many common bases.

Discrete Mathematics, 270:193–205, 2003.

• M. Lemos. Non-separating cocircuits in binary

matroids. Linear Algebra and Its Applications,

382:171–178, 2004.

• M. Lemos e J. Oxley. On packing minors

into connected matroids. Discrete Mathematics,

189:283–289, 1998.

• M. Lemos e J. Oxley. A sharp bound on the

size of a connected matroid. Transactions of the

5

American Mathematical Society, 353:4039–4056,

2001.

• M. Lemos e J. Oxley. On the minor-minimal 3-

connected matroids having a fixed minor. Eu-

ropean Journal Combinatorics, 24:1097–1123,

2003.

• M. Lemos e J. Oxley. On the minor-minimal 2-

connected graphs having a fixed minor. Discrete

Mathematics, 280:77–118, 2004.

• J.C. de Pina e J. Soares. A new bound for the

Caratheodory rank of the bases of a matroid. In

Proceedings of the Eleventh Annual ACM-SIAM

Symposium on Discrete Algorithms, pages 942–

943, New York, 2000. ACM.

• J.C. de Pina e J. Soares. Improved bound for the

Caratheodory rank of the bases of a matroid. J.

Combin. Theory Ser. B, 88(2):323–327, 2003.

• H. van der Holst and J.C. de Pina. Length-

bounded disjoint paths in planar graphs. Dis-

crete Appl. Math., 120(1-3):251–261, 2002. Sixth

Twente Workshop on Graphs and Combinatorial

Optimization (Enschede, 1999).

2. Combinatoria extremal, probabilıstica e assintotica

Combinatoria extremal estuda quao grande ou quao pequeno pode ser um objeto (uma sequencia,

um grafo, uma configuracao de pontos, etc.) que satisfaz certas restricoes. Um exemplo classico

da teoria extremal dos grafos (veja, por exemplo, [19]), que teve Paul Erdos como o seu principal

expoente, e o teorema de Turan de 1940 que diz qual e o maior numero de arestas em um grafo

com n vertices que nao possui um dado subgrafo completo.

Nas proximas secoes descrevemos alguns dos problemas extremais de interesse de membros do

grupo. Aspectos probabilısticos e assintoticos tem papel fundamental nesta linha de pesquisa.

2.1. Regularidade de grafos e hipergrafos. Este topico da combinatoria extremal e assintotica

tem como foco um resultado fundamental da teoria dos grafos e combinatoria conhecido como o

Lema de Regularidade de Szemeredi [157] e suas diversas variantes, conjuntamente com algumas

de suas aplicacoes recentes. Para uma introducao a este topico, veja [89, 92, 93] e tambem [61, 85]

para desenvolvimentos mais recentes. Por simplicidade, a discussao que segue e restrita a grafos; a

versao para hipergrafos e tecnicamente muito mais complexa (o leitor interessado pode consultar,

por exemplo, Rodl et al. [145] e Rodl e Schacht [149]).

Os problemas especıficos a serem estudados neste topico sao, na maioria, problemas envolvendo a

inter-relacao entre os varios lemas de regularidade desenvolvidos recentemente e algumas aplicacoes

especıficas desses lemas. Membros do grupo tem investigado aplicacoes e extensoes deste lema

estrutural fundamental de Szemeredi ha varios anos.

O vigor da pesquisa em torno do topico que propomos e ilustrado por trabalhos recentes de Alon,

Elek, Gowers, Lovasz, Rodl, Schacht, Szegedy, e Tao, dentre outros.

Listamos a seguir alguns topicos especıficos a serem investigados. Para tanto, enunciamos antes

o lema classico de Szemeredi, apos darmos algumas definicoes fundamentais.

2.1.1. Definicoes basicas e o lema de regularidade. Seja G = Gn um grafo de ordem |V (G)| = n

fixo. Para U , W ⊂ V = V (G), escrevemos E(U,W ) = EG(U,W ) para o conjunto de arestas de G

com um extremo em U e o outro extremo em W . Pomos e(U,W ) = eG(U,W ) = |E(U,W )|. O

conceito (um tanto natural) de densidade d(U,W ) = dG(U,W ) do par (U,W ) em G e definido

6

como segue: para quaisquer dois conjuntos disjuntos nao-vazios U , W ⊂ V , pomos

dG(U,W ) =eG(U,W )

|U ||W |. (1)

O lema de regularidade de Szemeredi afirma a existencia de particoes do conjunto de vertices

de grafos em um numero limitado de blocos com a maioria dos pares de blocos formando pares

surpreendentemente uniformes, conhecidos como pares ε-regulares.

Definicao 8 (Pares ε-regulares). Seja 0 < ε ≤ 1 um numero real. Seja G um grafo e U , W ⊂

V = V (G) dois conjuntos disjuntos nao-vazios de vertices de G. Dizemos que o par (U,W ) e

(ε,G)-regular, ou simplesmente ε-regular, se temos |dG(U ′,W ′) − dG(U,W )| ≤ ε para todo U ′ ⊂ U

e W ′ ⊂ W com |U ′| ≥ ε|U | e |W ′| ≥ ε|W |.

No lema regularidade, o conjunto de vertices dos grafos sao particionados em um numero limitado

de blocos, basicamente todos do mesmo tamanho.

Definicao 9 (Particao (ε, k)-balanceada). Dado um grafo G, um numero real 0 < ε ≤ 1, e um

inteiro k ≥ 1, dizemos que uma particao Q = (Ci)k0 de V = V (G) e (ε, k)-balanceada se temos

(i) |C0| ≤ εn e (ii) |C1| = . . . = |Ck|. A classe C0 e conhecida como a classe excepcional de Q.

Podemos agora introduzir a nocao fundamental de uma particao ε-regular para um grafo G.

Definicao 10 (Particao ε-regular). Dado um grafo G, uma particao (ε, k)-balanceada Q = (Ci)k0

de V = V (G) e (ε,G)-regular, ou simplesmente ε-regular, se no maximo ε(k2

)

pares (Ci, Cj) com 1 ≤

i < j ≤ k nao sao ε-regulares.

Podemos agora enunciar o celebre lema de Szemeredi [157].

Teorema 11 (Lema de regularidade). Para quaisquer ε > 0 e k0 ≥ 1, existem constantes K0 =

K0(ε, k0) ≥ k0 e N0 = N0(ε, k0) tais que todo grafo G = Gn com n ≥ N0 vertices admite uma

particao (ε,G)-regular, (ε, k)-balanceada de seu conjunto de vertices com k0 ≤ k ≤ K0.

O Teorema 11 mostrou-se de grande utilidade, especialmente em teoria dos grafos, combinatoria,

e teoria da computacao. Mais recentemente, variantes foram desenvolvidas para novas aplicacoes,

de forma que podemos falar hoje sobre ‘lemas de regularidade’.

2.1.2. O limite de sequencias de grafos densos. Um resultado recente de Lovasz e Szegedy [115]

introduz o conceito de um objeto limite (natural) para sequencias de grafos densos. O referido objeto

e simplesmente uma funcao mensuravel simetrica W : [0, 1]2 → [0, 1], e captura a ‘frequencia’ com

que grafos de tamanho fixo ocorrem, como subgrafos, nos grafos da sequencia. O trabalho [115]

usa lemas de regularidade de forma essencial. (Mencionamos brevemente que a forte relacao entre

regularidade e pseudoaleatoriedade e explorada por Lovasz e T. Sos em [113], atraves de objetos

limite.)

Em um trabalho posterior, fazendo uso de objetos limite, Lovasz e Szegedy [114] deram uma

prova alternativa para um resultado de grande generalidade devido a Alon e Shapira [4] na area de

teste de propriedade de grafos. A prova original de Alon e Shapira e fortemente baseada em lemas

de regularidade.

7

A testabilidade de parametros de grafos (um conceito muito proximo a testabilidade de propri-

edades) e explorada por Borgs et al. [23]. A nocao de limite de sequencias de grafos e sua relacao

com informacoes estruturais dos grafos da sequencia e explorada em maior generalidade em Borgs

et al. [24].

Os resultados ate agora provados na direcao brevemente discutida nesta secao restringem-se a

grafos densos (isto e, grafos de ordem n com Ω(n2) arestas). Kohayakawa e seus colaboradores

(veja, por exemplo, [61, 85]) tem trabalhado em problemas envolvendo a generalizacao do uso de

regularidade para tratar grafos esparsos (grafos de ordem n com o(n2) arestas).

Problema 12. Estabelecer uma nocao adequada de objetos limite para sequencias de grafos esparsos

e explorar suas aplicacoes.

Problema 13. Investigar a testabilidade de propriedades e parametros no caso esparso.

2.1.3. O lema da aproximacao regular. Um resultado surpreendente descoberto recentemente por

Rodl e Schacht [149] afirma que particoes extremamente regulares podem ser obtidas para qualquer

grafo, desde que permitamos considerar perturbacoes dos grafos dados. Para podermos descrever

este resultado um pouco melhor, precisamos entrar em alguns detalhes tecnicos.

A prova do Teorema 11 fornece uma constante K0 = K0(ε, k0) bastante grande: trata-se de uma

funcao ‘torrencial’, isto e, do tipo torre. O valor de K0 que se obtem e basicamente uma torre de

exponenciais de altura proporcional a 1/ε5. Este ponto nao e uma fraqueza da prova: Gowers [67]

demonstrou que ha grafos para os quais K0 e necessariamente torrencial.

O fato de K0 ser muito grande em relacao a 1/ε impossibilita certas aplicacoes do Teorema 11.

Grosseiramente falando, o que Rodl e Schacht [149] descobriram e que, se permitimos perturbar o

grafo G a ser regularizado, entao existem particoes δ-regulares com δ ≪ 1/k, onde k e o numero de

blocos na particao de Szemeredi. Este fato, descoberto no estudo de regularidade para hipergrafos,

tem consequencias profundas, como demonstrado em [149]. Este resultado foi recentemente deri-

vado, de forma alternativa e bastante surpreendente, por Elek e Szegedy [50], atraves de tecnicas

analıticas nao-standard.

Problema 14. Explorar aplicacoes de aproximacoes regulares no contexto esparso.

2.1.4. As versoes de Alon et al., Tao, Lovasz e Szegedy, e Elek e Szegedy. Varias versoes do lema

original de Szemeredi sao hoje importantes em varias aplicacoes. As variantes de maior desta-

que sao, possivelmente, os lemas de regularidade para hipergrafos, especialmente as versoes de

Gowers [66] (veja tambem [70]), Rodl e Skokan [150], Rodl e Schacht [149], Tao [159], e Elek e

Szegedy [50].

Alon et al. [1] desenvolveram uma versao importante para testes de propriedades de grafos.

Tao [158] coloca o lema no contexto da teoria da probabilidade (dando inclusive uma versao envol-

vendo entropia). Por outro lado, Lovasz e Szegedy colocam o lema no contexto analıtico [116].

2.2. Versoes probabilısticas de resultados da teoria combinatoria dos numeros. Este

topico enquadra-se na area de combinatoria probabilıstica e tem como foco resultados classicos da

8

area de teoria de Ramsey para inteiros e as respectivas versoes de densidade. Comecemos com um

resultado bem conhecido da teoria combinatoria dos numeros, o teorema de van der Waerden [166]:

Teorema 15 (van der Waerden, 1927). Toda particao de N em um numero finito de partes e tal

que alguma parte contem progressoes aritmeticas arbitrariamente longas.

Erdos e Turan [51] conjecturaram uma versao mais forte que o Teorema de van der Waerden,

a saber, eles conjecturam a “versao de densidade” do Teorema 15: se uma parte dos inteiros e

“grande”, entao ela contem progressoes aritmeticas arbitrariamente longas. Esta conjectura foi

confirmada nesta generalidade apenas em 1975, por Szemeredi, atraves de seu celebre resultado:

Teorema 16 (Szemeredi, 1975). Todo conjunto A ⊂ N com densidade superior positiva, isto e,

com

d(A) = lim supn→∞

n−1|A ∩ 1, . . . , n| > 0, (2)

contem progressoes aritmeticas arbitrariamente longas.

Podemos interpretar os resultados acima como dizendo que progressoes aritmeticas sao abun-

dantes nos naturais N = 1, 2, . . . . Uma pergunta natural e entao a seguinte: para quais outros

conjuntos de naturais Γ progressoes aritmeticas sao abundantes no sentido desses teoremas? Neste

projeto, estamos interessados em considerar conjuntos tıpicos Γ, isto e, conjuntos aleatorios Γ de

inteiros positivos de acordo com certas distribuicoes naturais.

A pergunta acima foi originalmente formulada por Lefmann e, independentemente, por Erdos

e Sos (veja [147, p. 937]), apos um resultado analogo para o Teorema de Ramsey para grafos ter

sido provado por Rodl e Rucinski [146, 147]. Na Secao 2.2.1 abaixo, discutiremos os resultados

principais conhecidos nesta linha, e descreveremos precisamente os problemas centrais da area.

2.2.1. Versoes probabilısticas de resultados classicos. Comecamos considerando os Teoremas de van

der Waerden e Szemeredi.

Versoes probabilısticas dos Teoremas 15 e 16. Sera mais conveniente considerar as seguintes versoes

“finitas” dos Teoremas 15 e 16.

Teorema 17. Para todo r e k inteiros positivos, existe um inteiro n0 = n0(r, k) com a seguinte

propriedade: para todo n ≥ n0, toda particao de [n] = 1, . . . , n em r partes e tal que alguma parte

contem uma progressao aritmetica com k elementos.

Teorema 18. Para todo real η > 0 e inteiro positivo k, existe um inteiro n0 = n0(η, k) com a

seguinte propriedade: para todo n ≥ n0, todo conjunto A ⊂ [n] com densidade pelo menos η, isto e,

n−1|A ∩ [n]| ≥ η, (3)

contem uma progressao aritmetica com k elementos.

Sera tambem conveniente escrever

Γ → (PAk)r (4)

9

se Γ ⊂ N satisfaz a propriedade descrita no Teorema 17, isto e, se toda particao Γ = U1 ∪ · · · ∪Ur e

tal que algum Ui contem uma progressao aritmetica com k elementos. Definimos de forma analoga

a notacao

Γ →η PAk (5)

para todo conjunto Γ ⊂ N finito. Escrevemos (5) se todo U ⊂ Γ com |U | ≥ η|Γ| contem uma

progressao aritmetica com k elementos. Os Teoremas 17 e 18 dizem que segmentos iniciais Γ = [n]

de N suficientemente grandes satisfazem as relacoes (4) e (5).

(*) O que podemos dizer sobre conjuntos tıpicos Γ ⊂ [n]?

Para podermos falar sobre “conjuntos tıpicos”, definimos uma distribuicao de probabilidade sobre

os subconjuntos de [n]. A distribuicao mais simples que podemos considerar e a distribuicao

uniforme; na realidade, fixamos um inteiro N ≤ n e consideramos o conjunto([n]

N

)

de todos os

subconjuntos Γ ⊂ [n] de cardinalidade N e o munimos com a medida de probabilidade uniforme.

Escreveremos [n]N para um conjunto aleatorio sorteado uniformemente ao acaso dentre todos os

membros de([n]

N

)

. Assim, para todo conjunto fixo X ⊂ [n] com |X| = N , temos

P([n]N = X) =

(

n

N

)

−1

. (6)

Os dois proximos resultados que enunciamos fornecem uma resposta a nossa pergunta acima (*).

Observamos que o primeiro resultado, devido a Rodl e Rucinski [147], e um resultado que pode se

considerar completo, pois trata da propriedade (4) para todo k e r.

Teorema 19 (Rodl e Rucinski, 1995). Para todo inteiro k ≥ 3 e r ≥ 2, existem constantes

positivas c e C tais que

limn→∞

P([n]N → (PAk)r) =

0 se N ≤ cn1−1/(k−1),

1 se N ≥ Cn1−1/(k−1).(7)

O Teorema 19 afirma que ocorre uma transicao quando a ordem de grandeza de N passa

por n1−1/(k−1). A prova do resultado acima e complexa. Aqui, limitamo-nos a fazer uma ob-

servacao elementar que poderia dar suporte a um argumento heurıstico que da um papel especial

a funcao n1−1/(k−1): se Nn−1+1/(k−1) → 0, entao o numero de progressoes aritmeticas com k ele-

mentos em [n]N e o(N), e se Nn−1+1/(k−1) → ∞, entao o numero de tais progressoes e ωN , para

alguma funcao ω = ω(n) → ∞.

O segundo resultado probabilıstico que enunciamos, provado em [87],1 e ainda parcial, pois trata

da relacao (5) apenas para k = 3.

1Este trabalho e citado por Green e Tao, em seu celebre trabalho [72] em que aqueles autores provam a existencia deprogressoes aritmeticas arbitrariamente longas de numeros primos. Este trabalho e tambem citado na monografia deTao e Vu [160], sobre a teoria aditiva dos numeros.

10

Teorema 20 (Kohayakawa, Luczak, e Rodl, 1996). Para todo real η > 0, existem constantes

positivas c e C tais que

limn→∞

P([n]N →η PA3) =

0 se N ≤ cn1/2,

1 se N ≥ Cn1/2.(8)

A demonstracao do Teorema 20 e, infelizmente, bastante sutil e nao parece admitir uma ge-

neralizacao simples para k > 3. O fato de se conhecer uma versao probabilıstica ‘completa’ do

Teorema 17, mas termos apenas uma tal versao para k = 3 do Teorema 18 e razoavel, pois, ao que

tudo indica, o Teorema 18 e substancialmente mais profundo que o Teorema 17.

A versao probabilıstica do teorema de Rado. O Teorema 19 nao e a versao mais geral do que se

conhece nesta direcao. De fato, pelo menos em certos casos, e conhecida uma versao probabilıstica

do celebre Teorema de Rado [142], que generaliza o Teorema de van der Waerden.

Seja A = (aij) uma matriz k × l com entradas inteiras, e seja L(A) o sistema de equacoes

Ax = 0. (9)

Dizemos que A e regular em relacao a particoes de N, ou P-regular para N, se para todo natural r

e toda particao N = U1 ∪ · · · ∪ Ur, existe x ∈ Nl com todas as suas entradas em algum Ui tal

que Ax = 0. Isto e, A e P-regular para N se qualquer particao finita de N e tal que o sistema L(A)

admite uma solucao inteiramente contida em uma das partes.

Rado [142] caracterizou as matrizes P-regulares, generalizando amplamente o resultado de van

der Waerden. Para formularmos o resultado de Rado, precisamos introduzir uma nova definicao.

Sejam aj (1 ≤ j ≤ l) as colunas de A. Dizemos que A satisfaz a propriedade das colunas se podemos

reordenar as colunas de A de forma que, para algum s, existam 0 = l0 < · · · < ls = l tais que se

bj =∑

aj′ : lj−1 < j′ ≤ lj (1 ≤ j ≤ s),

entao (i) b1 = 0 e (ii) para todo 1 < j ≤ s, o vetor bj e uma combinacao linear sobre Q dos

vetores aj′ (j′ ≤ lj−1).

O celebre resultado de Rado e o seguinte.

Teorema 21 (Rado, 1937). A matriz A e P-regular para N se e so se A satisfaz a propriedade das

colunas.

E facil verificar que o Teorema 21 generaliza o Teorema de van der Waerden. De fato, para

se obter o Teorema de van der Waerden a partir do Teorema de Rado, basta considerar a matriz

correspondente ao sistema

x1 − 2x2 + x3 = · · · = xk−2 − 2xk−1 + xk = 0. (10)

Uma generalizacao analoga para o Teorema de Szemeredi, que examinaremos a seguir, foi obtida

por Frankl, Graham, e Rodl [57].

11

Uma matriz A e dita regular em relacao a densidade para N, ou D-regular para N, se todo

conjunto S ⊂ N com densidade superior positiva, isto e, com

d(S) = lim supn→∞

n−1|S ∩ [n]| > 0, (11)

e tal que (9) admite uma solucao x com todas as suas entradas em S. Segue que uma matriz

D-regular e P-regular.

Diremos que uma matriz A e irredundante se (9) admite uma solucao x com todas as suas

entradas distintas. No que segue, o caso das matrizes redundantes nao nos interessara. Frankl,

Graham, e Rodl [57] provaram o seguinte resultado.

Teorema 22 (Frankl, Graham, e Rodl, 1988). Uma matriz irredundante e D-regular para N se e

so se a soma de suas colunas e nula.

O Teorema 22 generaliza o Teorema de Szemeredi (veja (10)); entretanto, observamos que a prova

do Teorema 22 usa o Teorema de Szemeredi. Uma generalizacao impressionante do Teorema 19

e o Teorema 23 abaixo, devido a Rodl e Rucinski [148]. Se Γ ⊂ N e A e uma matriz inteira,

generalizando (4), escrevemos Γ → (A)r se toda particao Γ = U1 ∪ · · · ∪ Ur de Γ em r partes e tal

que (9) admite uma solucao x com todas as suas entradas em algum Ui.

Precisamos ainda definir um parametro m(A) para matrizes A; este parametro mede, de certa

forma, o grau de liberdade que temos para obter solucoes de (9). Observamos que a definicao exata

deste parametro nao e muito importante, pelo menos em uma primeira leitura; e suficiente observar

que m(A) e um real satisfazendo 0 < m(A) ≤ 1, que depende apenas de A.

Se Q e um subconjunto de colunas de A, escrevemos h(Q) para o posto da matriz que obtemos

ao eliminar as colunas em Q de A. Pomos

m(A) = maxq

maxQ

q − 1

q − 1 + h(Q) − k, (12)

onde o primeiro maximo e tomado sobre todos os inteiros 1 ≤ q ≤ l e o segundo maximo e tomado

sobre todos os conjuntos de colunas Q com |Q| = q. No caso da matriz A do sistema (10), um

argumento simples, mas que omitimos, mostra que m(A) = k − 1.

Teorema 23 (Rodl e Rucinski, 1997). Sejam A uma matriz D-regular para N e r um inteiro

positivo. Existem constantes positivas c e C tais que

limn→∞

P([n]N → (A)r) =

0 se N ≤ cn1−1/m(A),

1 se N ≥ Cn1−1/m(A).(13)

A assercao no Teorema 23 para o caso em que N ≤ cn1−1/m(A) e mais facil, e de fato pode ser

provada para matrizes P-regulares e nao so D-regulares.

2.2.2. Problemas centrais. No Teorema 23, o caso em que a matriz A e apenas regular em relacao

a particoes de N e muito interessante, e encontra-se em aberto.

Conjectura 24 (Rodl e Rucinski, 1997). O Teorema 23 e tambem valido para matrizes A regulares

em relacao a particoes de N.

12

A matriz mais simples que e P-regular mas nao e D-regular e a matriz correspondente a equacao x+

y − z = 0. O fato dessa matriz ser P-regular e um resultado classico de Schur [153].

Teorema 25 (Schur, 1916). Se N = U1 ∪ · · · ∪ Ur e uma particao de N em um numero finito de

partes, entao a equacao x + y = z e soluvel em uma das partes Ui.

Um passo na direcao da Conjectura 24 e o seguinte resultado, devido a Graham, Rodl, e

Rucinski [71]. Abaixo, escrevemos Γ → (Schur)r se toda particao de Γ em r partes e tal que

a equacao x + y = z e soluvel em alguma das partes.

Teorema 26 (Graham, Rodl, e Rucinski, 1996). Temos

limn→∞

P([n]N → (Schur)2) =

0 se N/n1/2 → 0,

1 se N/n1/2 → ∞.(14)

Finalmente, observamos que no caso de matrizes D-regulares, um resultado mais forte que aquele

do Teorema 23 pode ser verdade. De fato, podemos levantar o seguinte problema. Generali-

zando (5), dados uma matriz A, um real η > 0, e Γ ⊂ N, escrevemos Γ →η A se todo conjunto U ⊂ Γ

com |U | ≥ η|Γ| contem uma solucao de (9).

Problema 27. Sejam A uma matriz D-regular para N e η um real positivo. Prove que existem

constantes positivas c e C tais que

limn→∞

P([n]N →η A) =

0 se N ≤ cn1−1/m(A),

1 se N ≥ Cn1−1/m(A).(15)

No Problema 27, o caso em que a matriz A e aquela correspondente a progressoes aritmeticas

de tres elementos, isto e, correspondente a equacao x + z = 2y, e resolvido afirmativamente pelo

Teorema 20. Podemos enunciar a seguinte conjectura, que, se correta, generaliza aquele teorema.

Conjectura 28. Para todo real η > 0 e para todo inteiro k ≥ 3, existem constantes positivas c e C

tais que

limn→∞

P([n]N →η PAk) =

0 se N ≤ cn1−1/(k−1),

1 se N ≥ Cn1−1/(k−1).(16)

E nossa impressao que a Conjectura 24, o Problema 27, e mesmo a Conjectura 28, sao extrema-

mente difıceis.

Problema 29. Investigar a adaptabilidade das abordagens recentes usadas para fornecer provas

alternativas do Teorema de Szemeredi ao nosso contexto probabilıstico.

No Problema 29, estamos pensando nas tecnicas analıticas de Gowers, nas tecnicas combinatorias

de Rodl et al., e nas tecnias nao-standard de Elek e Szegedy.

Objetivos. O objetivo principal deste subprojeto e investigar a area descrita na Secao 2.2.1, pro-

curando contribuir na resolucao da Conjectura 24, Problema 27, e Conjectura 28. Tendo em vista

o estado-da-arte atual, acreditamos que uma solucao definitiva de qualquer um desses problemas

13

e conjecturas esta ainda muito distante. Entretanto, alguns casos particulares interessantes devem

estar ao nosso alcance.

De fato, encontrar uma demonstracao do Teorema 20 atraves de alguma versao probabilıstica

dos metodos de Roth [151] e Gowers [68, 69] ja seria muito interessante. Tal tentativa envolveria

um estudo sistematico de conjuntos de inteiros pseudoaleatorios esparsos, estendendo trabalhos de

Chung e Graham [36] (veja tambem a Secao 3.3).

Acreditamos que podemos ter sucesso nesta linha, continuando [87] (veja Teorema 20 acima), de-

vido a nossas investigacoes de versoes probabilısticas de resultados da teoria de Ramsey e resultados

extremais tipo Turan para grafos (veja, por exemplo, [60, 77, 78, 86, 88, 90, 152]).

2.3. Modelos de redes de grande escala. Planejamos tambem prosseguir com o estudo de

modelos de rede de grande escala que tem sido feito por membros do grupo [136]. Temos especial

interesse nas seguintes classes de modelos:

• Modelos de Preferential attachment. Na sua forma mais simples, estes sao modelos em que

a rede cresce com o acrescimo sucessivo de um no por vez, e cada novo no direciona uma

aresta a um vertice antigo w escolhido com probabilidade ponal a f(deg(w)), onde f e

uma funcao positiva e deg(w) e o grau de w no momento. Pesquisadores que ja abordaram

estes modelos incluem Bollobas, Borgs, Chayes, Riordan, Spencer e muitos outros; ainda

ha muito o que se aprender a respeito de variantes destes modelos.

• Modelos com graus esperados ou nao-homogeneos. Ao contrario do caso anterior, estes sao

modelos estaticos no tempo. Na recente versao de Bollobas, Janson e Riordan (Chung e Lu

tem um modelo mais restrito que e essencialmente um subcaso deste), n vertices sao postos

num espaco metrico “secreto” S e cada aresta em potencial xy existe com probabilidade

k(x, y)/n, onde k e uma funcao simetrica sobre S. Muitas das caracterısticas da Internet

e da Web sao melhor reproduzidas por esta classe de modelos do que pelas variantes de

Preferential Attachment, que tem por sua vez a vantagem de “explicar a dinamica da

rede”.

Nosso interesse especıfico e analisar modelos como estes e provar propriedades matematicas a seu

respeito. Uma parte especialmente importante deste programa e a analise do espectro tıpico dos

modelos metricos de grafos, que ainda nao foi efetuada e que, gracas a teoremas gerais, ja permite

a aproximacao do diametro, conectividade e outras propriedades dos referidos objetos. Tambem

e relevante o estudo geral de modelos dinamicos (como o de contato) sobre esta classe de grafos.

Por fim, estamos interessados em compreender melhor a relacao entre a estrutura destes grafos e a

analise de algoritmos sobre eles.

2.4. Geometria combinatoria no plano. Um dos principais assuntos em geometria combi-

natoria envolve conjuntos finitos de pontos [49]. Historicamente um dos primeiros problemas

combinatorios que perguntava sobre a existencia de uma configuracao de pontos com uma certa

propriedade foi proposto por Sylvester em 1893:

“E verdade que toda configuracao de pontos nao colineares no plano possui uma

linha contendo apenas dois pontos?”

14

Este problema foi revivido por Paul Erdos [138] em 1943. Uma resposta em afirmativo para esta

questao foi dada por Tibor Gallai [74] no que hoje e conhecido como teorema de Sylvester-Gallai.

Seja P um conjunto finito de pontos no plano. Por uv denotamos o segmento de reta entre

os ponto u e v. Dizemos que dois pontos distintos u e v em P se enxergam (em relacao a P ) se

P ∩ uv = u, v. Uma k-linha de P e um conjunto com k ou mais pontos colineares de P .

Neste topico o nosso interesse e na seguinte conjectura de Kara, Por e Wood [83]:

Conjectura 30. Para todos os numeros inteiros k, l ≥ 2 existe um numero inteiro n(k, l) tal que

toda configuracao de n(k, l) pontos no plano possui uma k-linha ou l pontos que mutuamente se

enxergam.

Algum progresso nessa conjectura ja vem sendo obtido por membros do grupo e pretendemos

dar continuidade a este trabalho.

2.5. Trabalhos anteriores. Membros do grupo tem feito contribuicoes na linha de pesquisa dis-

cutida nesta secao; destacamos aqui os seguintes trabalhos:

• B. Bollobas, Y. Kohayakawa, V. Rodl, M. Scha-

cht, e A. Taraz, Essentially infinite colou-

rings of hypergraphs, Proc. London Math.

Soc. (3) (2007), aceito para publicacao

(doi:10.1112/plms/pdm024).

• S. Gerke, Y. Kohayakawa, V. Rodl, e A. Ste-

ger, Small subsets inherit sparse ε-regularity, J.

Combin. Theory Ser. B 97 (2007), no. 1, 34–56.

• D. Dellamonica Jr., Y. Kohayakawa, M. Mar-

ciniszyn, e A. Steger, On the resilience of long

cycles in random graphs, submetido, 2007.

• V. Rodl, B. Nagle, J. Skokan, M. Schacht,

e Y. Kohayakawa, The hypergraph regularity

method and its applications, Proc. Natl. Acad.

Sci. USA 102 (2005), no. 23, 8109–8113.

• Y. Kohayakawa, V. Rodl, e M. Schacht, The

Turan theorem for random graphs, Combin. Pro-

bab. Comput. 13 (2004), no. 1, 61–91.

• C.G. Moreira e Y. Kohayakawa, Bounds for opti-

mal coverings, Discrete Appl. Math. 141 (2004),

no. 1-3, 263–276.

• Y. Kohayakawa, V. Rodl, e L. Thoma, An opti-

mal algorithm for checking regularity, SIAM J.

Comput. 32 (2003), no. 5, 1210–1235.

• Y. Kohayakawa, B. Nagle, e V. Rodl, Heredi-

tary properties of triple systems, Combin. Pro-

bab. Comput. 12 (2003), no. 2, 155–189.

• Y. Kohayakawa e V. Rodl, Szemeredi’s regularity

lemma and quasi-randomness, Recent advances

in algorithms and combinatorics, CMS Books

Math./Ouvrages Math. SMC, vol. 11, Springer,

New York, 2003.

• Y. Kohayakawa e V. Rodl, Regular pairs in

sparse random graphs. I, Random Structures Al-

gorithms 22 (2003), no. 4, 359–434.

• E. Friedgut, Y. Kohayakawa, V. Rodl,

A. Rucinski, e P. Tetali, Ramsey games against

a one-armed bandit, Combin. Probab. Comput.

12 (2003), no. 5-6, 515–545, Special issue on

Ramsey theory.

• Y. Kohayakawa, B. Nagle, e V. Rodl, Ef-

ficient testing of hypergraphs (extended abs-

tract), ICALP 2002, 29th International Collo-

quium on Automata, Languages, and Program-

ming (Malaga, Spain, July 2002), Lecture No-

tes in Computer Science, Springer, Berlin, 2002,

pp. 1017–1028.

• Y. Kohayakawa e B. Kreuter, The width of ran-

dom subsets of Boolean lattices, J. Combin. The-

ory Ser. A 100 (2002), no. 2, 376–386.

• Y. Kohayakawa, B. Kreuter, e D. Osthus, The

length of random subsets of Boolean lattices,

Random Structures Algorithms 16 (2000), no. 2,

177–194.

• Y. Kohayakawa, B. Kreuter, e A. Steger, An ex-

tremal problem for random graphs and the num-

ber of graphs with large even-girth, Combinato-

rica 18 (1998), no. 1, 101–120.

15

• Y. Kohayakawa, Szemeredi’s regularity lemma

for sparse graphs, Foundations of Computatio-

nal Mathematics (Berlin, Heidelberg) (F. Cuc-

ker e M. Shub, eds.), Springer-Verlag, January

1997, pp. 216–230.

• Y. Kohayakawa, T. Luczak, e V. Rodl, On K4-

free subgraphs of random graphs, Combinatorica

17 (1997), no. 2, 173–213.

• Y. Kohayakawa e B. Kreuter, Threshold functi-

ons for asymmetric Ramsey properties involving

cycles, Random Structures and Algorithms 11

(1997), no. 3, 245–276.

• P.E. Haxell, Y. Kohayakawa, e T. Luczak,

Turan’s extremal problem in random graphs: for-

bidding odd cycles, Combinatorica 16 (1996),

no. 1, 107–122.

• P.E. Haxell, Y. Kohayakawa, e T. Luczak,

Turan’s extremal problem in random graphs: for-

bidding even cycles, Journal of Combinatorial

Theory, Series B 64 (1995), 273–287.

3. Pseudoaleatoriedade em combinatoria e em teoria da computacao

Um topico de bastante interesse em varias areas da matematica e teoria da computacao refere-

se a nocao de objetos ‘tıpicos’ ou ‘pseudoaleatorios’. Mencionamos um exemplo da teoria da

complexidade computacional.

Em alguns contextos especıficos, e possıvel provar que algoritmos probabilısticos sao mais ‘po-

derosos’ que algoritmos determinısticos. Entretanto, um dos problemas fundamentais da area da

teoria da complexidade e decidir se maquinas de Turing probabilısticas sao efetivamente mais

poderosas que maquinas determinısticas usuais. Este ponto esta longe de ser esclarecido. Um re-

sultado classico que limita o poder computacional de processos aleatorios, devido a Sipser, e que

BPP ⊂ Σ2.2 Muito grosseiramente falando, a prova desse resultado e baseada na construtibilidade

(de forma eficiente) de conjuntos pseudoaleatorios pequenos Ω′ que ‘tem o poder de simular’ espacos

de probabilidade Ω maiores (de tamanho exponencial na entrada x, para o qual queremos decidir

o problema de pertinencia “x ∈ L?”).

A ideia de como um espaco menor Ω′ pode ‘simular’ um espaco maior pode ser descrita informal-

mente como segue: basicamente, substituımos o sorteio de um elemento ω ∈ Ω pelo sorteio de um

elemento ω′ ∈ Ω′ [gastando assim uma quantidade menor de aleatoriedade], ou (no caso em que Ω′

e realmente pequeno) testamos todos os ω′ ∈ Ω′, obtendo assim um algoritmo determinıstico. (Este

processo e uma das formas de se ‘desaleatorizar’ um algoritmo probabilıstico.)

A discussao acima procura ilustrar a utilidade de estruturas ‘pseudoaleatorias’ construtıveis de

forma eficiente. Ademais, para demonstrar que certas estruturas pseudoaleatorias tem as proprie-

dades relevantes, torna-se necessario investigar propriedades tıpicas das estruturas em questao.

Neste subprojeto, estamos interessados na investigacao de estruturas discretas tıpicas, tendo em

vistas aplicacoes em combinatoria e em teoria da computacao. As tecnicas envolvidas na pesquisa

que propomos sao da ‘combinatoria pura’, da teoria da probabilidade, da algebra, e da teoria aditiva

dos numeros.

2BPP (bounded-error probabilistic polynomial) e a classe das linguagens L tais que a pertinencia x ∈ L de uma palavra

arbitraria x pode ser decidida em tempo polinomial com uma maquina de Turing probabilıstica, com probabilidade deerro limitada (nao entraremos em detalhes aqui). A classe Σ2 e formada pelas linguagens L tais que a pertinencia x ∈ Lpode ser caracterizada pela expressao “∃z ∀w qL(x, z, w) = 1,” onde qL e um predicado que pode ser verificado emtempo polinomial no comprimento de x (e ambos z e w tem comprimento polinomial no comprimento de x).

16

Estruturas ‘pseudoaleatorias’ sao de interesse devido a motivacoes diversas. Naturalmente, de-

pendendo da motivacao, a nocao de pseudoaleatoriedade muda. Descrevemos abaixo muito breve-

mente algumas perspectivas que sao relevantes para este projeto.

3.1. A perspectiva de Blum, Goldwasser, Micali, e Yao. Sob o ponto de vista da area da

complexidade computacional (ou desses autores, veja [17, 18, 65, 169]), a investigacao de estru-

turas pseudoaleatorias tem como princıpio fundamental a filosofia de se considerar objetos como

equivalentes se eles nao podem ser distinguidos por algoritmos eficientes. Assim, a ideia e inves-

tigar como gerar objetos (ou bits) pseudoaleatorios de forma determinıstica,3 tendo como criterio

de ‘correcao’ do metodo a impossibilidade computacional de se distinguir os objetos gerados de

objetos genuinamente aleatorios, atraves de algoritmos de tempo polinomial.

Caso tais metodos para gerar estruturas pseudoaleatorias sejam descobertos, entao poderemos

desaleatorizar algoritmos probabilısticos. De fato, um algoritmo probabilıstico pode ser pensado

como uma maquina de Turing usual M que recebe, alem da entrada x, uma sequencia de bits

(genuinamente) aleatorios y. Com base no par (x, y), a maquina M executa sua computacao

(determinıstica). Para desaleatorizar este processo, poderıamos substituir y pela saıda y′ de nosso

gerador de bits pseudoaleatorios. Se y e y′ nao podem ser distinguidos eficientemente, entao a

maquina M seria ‘ludibriada’ pelo par (x, y′): ela devolveria a saıda correta para a entrada x

(como se y′ fosse genuinamente aleatorio).4

Aleatoriedade e pseudoaleatoriedade deste ponto de vista, fundamentado na teoria da complexi-

dade computacional, e discutido por Goldreich [64] (veja tambem [63] e [118]).

3.2. Discrepancia. Diversos resultados das areas de algoritmos e complexidade computacional

baseiam-se na construcao de subconjuntos Ω′ pequenos de um conjunto grande Ω, com Ω′ de

alguma forma refletindo as propriedades de Ω. Por exemplo, em varias aplicacoes, ha um sistema

de conjuntos S ⊂ 2Ω sobre Ω em que estamos interessados, mas desejamos reduzir o tamanho do

sistema (Ω,S): a ideia e entao encontrar Ω′ ⊂ Ω de forma que o sistema S ′ = S ∩ Ω : S ∈ S e

tal que o par (Ω′,S ′) herda as propriedades relevantes de (Ω,S). Em muitos casos, a discrepancia

de Ω′ em relacao ao sistema (Ω,S) e o que nos iteressa,5 e o problema se reduz em encontrar Ω′

que tenha discrepancia pequena e cardinalidade pequena. Em varias situacoes, tomando-se Ω′ ⊂

Ω com cardinalidade adequada, de forma aleatoria, obtemos um conjunto como procurado com

alta probabilidade (quando existem). O problema e que em muitas circunstancias precisamos

construir Ω′ de forma eficiente e determinıstica, e essa restricao torna este problema extremamente

difıcil.

3Um pouco mais precisamente: queremos gerar uma sequencia longa de bits pseudoaleatorios a partir de sequenciacurta de bits genuinamente aleatorios, atraves de um algoritmo determinıstico polinomial.4Este esquema simplificado precisa ser elaborado, mas ele contem a ideia basica: a substituicao dos bits genuinamentealeatorios y por y′, gerado deterministicamente, mas de alguma forma ‘sofisticada’, simulando aleatoriedade.5A discrepancia de Ω′ em relacao ao conjunto S ⊂ Ω e

˛

˛|S|/|Ω| − |S ∩ Ω′|/|Ω′|˛

˛. (17)

A discrepancia de Ω′ em relacao ao sistema (Ω,S) e o maximo das quantidades (17), onde o maximo e tomado sobretodos os S ∈ S .

17

Da literatura nesta linha, merece especial destaque a monografia The Discrepancy Method—

Randomness and Complexity, de Chazelle [29]. Veja tambem Beck e Chen [13] e Matousek [124].

3.3. Grafos e estruturas correlatas. Sem duvida, o estudo de grafos, hipergrafos, e torneios

pseudoaleatorios ja se encontra bastante desenvolvido. Podemos citar Rodl [144] como um dos

trabalhos iniciais nesta linha. Seguiram-se Frankl, Rodl, e Wilson [58] e Thomason [162], que,

independentemente, introduziram as tecnicas basicas da area. Estas investigacoes ganharam uma

estrutura mais uniforme com Chung, Graham, e Wilson [37] e Thomason [163].

Uma teoria muito mais complexa esta sendo desenvolvida para estender os resultados dos tra-

balhos acima para hipergrafos. Um trabalho ‘maximal’ nesta linha e Chung e Graham [34]. Veja

tambem Chung [31, 32], Chung e Graham [33, 35], e Haviland e Thomason [76]. Uma contribuicao

nesta linha e um trabalho de Kohayakawa em conjunto com Rodl e Skokan [91].

Resultados de impacto, devidos independentemente a W. T. Gowers e a V. Rodl e seus co-autores

e, mais recentemente, devidos a Alon, Elek, Lovasz, Szegedy, e Tao, apontam para uma teoria

de hipergrafos pseudoaleatorios com grande aplicabilidade. Basicamente, esses autores tiveram

sucessos substanciais na generalizacao do assim chamado metodo da regularidade de grafos para

hipergrafos. O estudo dos fundamentos dessa area sera importante nesse projeto. Para mais

detalhes sobre regularidade (no caso de grafos), veja a Secao 2.1.

Outra estrutura bastante estudada no contexto de pseudoaleatoriedade sao subconjuntos de Z ou

de Zn = Z/nZ. Um trabalho de nosso interesse nesta linha e Chung e Graham [36]. Tais estruturas

sao tambem estudadas sob uma otica relacionada mas diferente por Mauduit e Sarkozy (veja, por

exemplo, [125]). Trabalhos de membros do grupo nessa linha sao [2, 3].

3.4. Geometria fractal e complexidade de sequencias. Um topico abordado por Mauduit e

Moreira [126] e o estudo de conjuntos de sequencias infinitas sobre alfabetos finitos com comple-

xidade limitada por uma certa funcao. Pretendemos estudar propriedades geometricas e estimar

dimensoes fractais generalizadas de tais conjuntos. Alguns resultados ja foram obtidos nessa direcao,

envolvendo aspectos dinamicos e combinatorios.

3.5. Topico especıfico de pesquisa. Atacaremos o problema de relacionar os resultados discuti-

dos nas Secoes 3.1, 3.2, 3.3 e 3.4. Temos grande interesse nos sucessos espetaculares dessa area [10]

e [11], que ilustram o impacto de tecnicas da area de complexidade computacional no problema do

estabelecimento de cotas inferiores construtivas para problemas da teoria de Ramsey.

Problema 31. Explorar relacoes entre a teoria da complexidade computacional e a combinatoria,

com o objetivo especıfico de, entre outros, produzir construcoes explıcitas de objetos combinatorios

extremais.

3.6. Trabalhos anteriores. Membros do grupo tem feito contribuicoes na linha de pesquisa dis-

cutida nesta secao; destacamos aqui os seguintes trabalhos:

• N. Alon, Y. Kohayakawa, C. Mauduit, C. G. Mo-

reira, e V. Rodl, Measures of pseudorandomness

for finite sequences: typical values, Proc. London

Math. Soc. (3), aceito para publicacao.

18

• N. Alon, Y. Kohayakawa, C. Mauduit, C. G.

Moreira, e V. Rodl, Measures of pseudorandom-

ness for finite sequences: minimal values, Com-

bin. Probab. Comput. 15 (2006), no. 1–2, 1–29.

• Y. Kohayakawa, V. Rodl, M. Schacht, P. Sis-

sokho, e J. Skokan, Turan’s theorem for pseudo-

random graphs, J. Combin. Theory Ser. A 114

(2007), no. 4, 631–657.

• Y. Kohayakawa, V. Rodl, e P. Sissokho, Embed-

ding graphs with bounded degree in sparse pseu-

dorandom graphs, Israel J. Math. 139 (2004),

93–137.

4. Algoritmos sobre estruturas discretas e aplicacoes

A pesquisa em fundamentos da ciencia da computacao, da matematica discreta e da otimizacao

naturalmente leva ao desenvolvimento de algoritmos eficientes para uma variedade de problemas,

advindos de diversas areas de aplicacao.

Esta secao descreve os topicos mais aplicados desse projeto, que incluem resultados de anos de

pesquisa basica em areas fundamentais, como grafos, topologia, teoria dos nos, otimizacao contınua

e combinatoria, automatos, e topicos avancados de algoritmos e estruturas de dados.

4.1. Metodos computacionais e combinatorios para variedades topologicas. Ha mais

de 20 anos, S. Lins e Mandel [109] propuseram uma representacao de variedades tridimensionais

por meio de grafos aresta-coloridos, as chamadas Gemas. Ao longo dos anos, novas representacoes

combinatorias foram propostas [27, 105, 106, 107, 108, 110], sendo as mais importantes strings e

blinks. Estes ultimos sao especialmente relevantes pelo fato de se poder decidir efetivamente se dois

blinks representam a mesma variedade [84].

Durante o seu doutorado, L. Lins [104] produziu uma primeira versao de um sistema denominado

BLINK, que consiste em uma linguagem para visualizar, reconhecer, classificar e manipular espacos

tridimensionais.

A proxima etapa do projeto e continuar o desenvolvimento e implementacao do sistema com-

putacional BLINK. Ele vai possibilitar a efetiva classificacao (a ser disponibilizada na Internet) de

todas as 3-variedades fechadas e orientadas (espacos) representaveis como framed links de ate 9

cruzamentos.

Ademais, S. Lins tem um convite da World Scientific para elaborar uma monografia sobre este

assunto cujo tıtulo provisorio e: All Shapes of Spaces: Genealogy of Closed Oriented 3-Manifolds.

Um outro projeto computacionalmente ambicioso nesta linha e usar uma generalizacao da Teoria

de Strings desenvolvida por Lins [107] para obter espacos fechados 7-dimensionais aparecendo como

gemas pequenas e muito simetricas. Os prototipos sao S2×S1 e CP2 (induzido por gemas de apenas

oito vertices) em dimensoes 3 e 4. Este projeto tem motivacao na questao central da Teoria de

Strings em dimensao 11 da Fısica: qual a forma do espaco fechado de dimensao 7 para multiplicar

o espaco-tempo usual?

4.2. Empacotamentos de moleculas. A dinamica molecular e uma metodologia poderosa para

o estudo a nıvel molecular de diversos sistemas quımicos e bioquımicos. A teoria e as tecnicas

desenvolvidas para a analise estrutural e termodinamica estao bem desenvolvidas. Porem, desenhar

uma configuracao inicial para a dinamica pode ser complicado.

19

Do ponto de vista pratico, o melhor produto desenvolvido e o PACKMOL [123], um programa

para empacotar moleculas em regioes de diferentes tipos, usado em dinamica molecular.

O PACKMOL aborda o problema de achar uma configuracao inicial como um problema de empa-

cotamento de itens (discos, esferas, retangulos, etc.) em conjuntos convexos e o resolve utilizando

tecnicas de otimizacao.

Alguns membros deste grupo tem trabalhado ha varios anos em tecnicas de otimizacao contınua

e de otimizacao combinatoria para problemas de empacotamento. Em particular, Birgin esta en-

volvido no aprimoramento do PACKMOL.

O problema especıfico abordado pelo PACKMOL e modelado de forma tal que a distancia en-

tre atomos de diferentes moleculas seja maior que uma distancia mınima previamente fixada. O

principal inconveniente do modelo esta relacionado ao custo de avaliacao, que envolve o calculo da

distancia entre todos os pares de atomos de moleculas diferentes. Utilizando algoritmos eficientes

desenvolvidos para reduzir a complexidade computacional do chamado problema dos N-corpos [81],

e possıvel reduzir a complexidade computacional de avaliar o modelo. Mais ainda, o algoritmo resul-

tante e fortemente paralelizavel. No presente projeto, pretendemos, entre outras coisas, trabalhar

na implementacao paralela destas tecnicas.

Do ponto de vista teorico, o conceito mais interessante introduzido por Birgin, Martınez, Mas-

carenhas e Ronconi [15] e o de sentinelas. Dados dois itens A e B, dizemos que SA ⊆ A e SB ⊆ B

sao sentinelas de A e B respectivamente se o fato de A e B possuirem um ponto interior comum

implica necessariamente que um sentinela de A e interior a B ou que um sentinela de B e interior

a A. Pretendemos consolidar a teoria pela qual sentinelas adequados em retangulos foram definidos.

Possuımos atualmente uma teoria preliminar, completa mas excessivamente complicada.

4.3. Algoritmos lineares para analise de sequencias. A combinatoria das palavras tem ga-

nhado bastante importancia recentemente com o desenvolvimento de algoritmos que possibilitem

a analise, processamento e extracao de informacoes em sequencias cada vez mais compridas, sejam

elas textos disponıveis na internet, bibliotecas digitais ou sequencias genomicas. Face as dimensoes

cada vez maiores destas sequencias, algoritmos eficientes (lineares e ate sublineares) tem sido cada

vez mais requisitados.

Diversas formas de comparacoes de sequencias acabam por recorrer a solucao de problemas

como alinhamento de sequencias ou obtencao de uma subsequencia mais comprida que e comum as

sequencias comparadas. Estes algoritmos sao a grosso modo quadraticos, o que impossibilita sua

aplicacao a sequencias muito compridas, como as do tamanho de um genoma completo. Por conta

disto, no campo da biologia computacional por exemplo, varias heurısticas [6, 7, 140, 141, 161] tem

sido introduzidas de forma a que se possa eliminar estas limitacoes.

Nem todo problema admite uma solucao eficiente, mas aqueles que admitem acabam por se

tornar centrais. Tanto que novos modelos matematicos e boas heurısticas para problemas antes

intrataveis sempre acabam por recorrer a estes problemas, na busca de solucoes eficientes ainda que

as vezes aproximadas. Num processo normal de desenvolvimento de algoritmos aplicados a biologia,

propoem-se modelos matematicos o mais realistas possıveis, para uma posterior implementacao

dos algoritmos. De fato, muitas vezes a eficiencia de tecnicas como a construcao das arvores de

20

sufixos [46] e a obtencao do menor ancestral comum [46] interferem na elaboracao destes modelos de

forma que os algoritmos e heurısticas resultantes possam valer-se delas. Este e o caso de diversas

implementacoes de alinhadores de sequencias [12, 42] bem como ferramentas que se prestam ao

estudo das repeticoes numa sequencia genomica [95].

De fato, as arvores de sufixos e as tabelas necessarias a resolucao do problema do menor an-

cestral comum sao duas das estruturas de dados mais avancadas e importantes a elaboracao de

algoritmos eficientes que possam ser utilizados no estudo de sequencias extremamente compridas.

Recentemente foi escrito por Lago e Simon [46] um livro que aborda novamente os dois problemas e

foram tambem apresentados alguns algoritmos eficientes que constroem e fazem uso eficiente destas

estruturas.

Tres sao os algoritmos mais conhecidos que constroem uma arvore de sufixos em tempo linear no

comprimento da palavra: o de Weiner [168], o de McCreight [128] e o algoritmo on-line de Ukko-

nen [165]. O algoritmo de construcao em tempo linear da arvore de sufixos como e reapresentado

por Lago e Simon [46] baseia-se no de McCreight [128] de forma a incluir duas generalizacoes em

relacao ao que e encontrado na literatura: (1) a palavra (string) cuja arvore de sufixos e construıda

pode possuir a ultima letra que nao e distinta das anteriores; (2) os sufixos sao tomados de um

conjunto de varias palavras. Numa das aplicacoes apresentadas, o problema da busca de padroes

de comprimento m com ate k erros (mismatches) num texto de comprimento n, e resolvido em

tempo O(kn) (em contraposicao a uma solucao ingenua O(mn)) envolvendo as duas estruturas de

dados acima mencionadas.

E nosso proposito, dentro deste topico, a ampliacao da referida abordagem feita em relacao as

arvores de sufixos de forma a incluir duas melhorias, sem detrimento das generalizacoes anteriores:

(1) aproveitando-se de ideias de Ukkonen, alterar o algoritmo de construcao em tempo linear de

forma que o mesmo seja on-line; (2) dado um conjunto dos sufixos da(s) palavra(s) em questao,

construir em tempo linear ao tamanho do conjunto uma arvore de sufixos em que sejam soletraveis

a partir da raiz apenas os sufixos presentes neste conjunto. Acreditamos que o proposito e viavel

e original. Intencionamos tambem fazer um estudo de representacoes eficientes dos automatos que

permeiam os algoritmos ora comentados.

Outro problema relacionado que nos interessa investigar e aquele da obtencao de um fator (seg-

mento) mais comprido de duas sequencias com ate k erros. O melhor algoritmo que conhecemos

para resolver este problema tem tempo de execucao O(mn), onde m e n sao os comprimentos das

duas sequencias. E nosso proposito investigar a possibilidade de se encontrar um algoritmo mais

eficiente para o ultimo problema. Inspirados neste problema e no da busca de padrao com erros,

temos tambem o proposito de estudar alteracoes na estrutura de uma arvore de sufixos de forma a

poder embutir o tratamento de erros. Acreditamos no entanto que o sucesso destes dois intentos e

mais incerto e ambicioso.

Outras aplicacoes que nos interessam sao as seguintes: procura de repeticoes em uma sequencia;

a procura de um fator comum mais comprido a duas sequencias; a busca de padrao com erros; o

alinhador de sequencias de DNA MUMmer; a obtencao de uma subsequencia comum mais com-

prida; novos algoritmos de alinhamento, com particular interesse a deteccao de regioes altamente

21

conservadas; a identificacao de textos na internet que contenham uma dada palavra em tempo

linear no numero de textos.

4.4. Questoes algorıtmicas em biologia computacional. Os problemas discutidos na subsecao

anteriore ja sao de importancia para a area de biologia computacional. Aqui mencionamos mais

dois problemas de nosso interesse advindos desta area.

4.4.1. Alinhamentos com inversoes. O alinhamento de sequencias e amplamente utilizado [7] para

comparacao de sequencias biologicas onde sao considerados apenas eventos biologicos como mutacoes,

insercoes e delecoes. Outros eventos biologicos como inversoes nao sao automaticamente detectados

pelos algoritmos usuais de alinhamento e algumas estrategias alternativas tem sido empregadas na

tentativa de incluırem inversoes ou outros tipos de rearranjos.

Apesar de muitos resultados importantes na ultima decada, a complexidade do problema do

alinhamento com inversoes ainda e desconhecida. Em 1992, Shoniger e Waterman [155] propuseram

a hipotese simplificadora de que as inversoes nao se sobrepoem. Eles tambem apresentaram uma

solucao exata O(n6) para o problema do alinhamento sem a sobreposicao de inversoes, onde n e o

comprimento da mais longa das duas sequencias, e introduziram uma heurıstica que reduz a sua

complexidade na pratica.

Lago, Muchnik, Kulikowski [44] obtiveram uma melhora substancial, apresentando algoritmos

exatos relativamente simples, de programacao dinamica, para o problema simplificado. A com-

plexidade de tempo destes algoritmos e de O(n4) e de espaco em O(n2) para alinhamentos sem

sobreposicao de inversoes. Isso foi melhorado ainda mais, com uma versao de implementacao exata

e esparsa [8, 45, 167] desse procedimento, que usa muito menos recursos para algumas aplicacoes

com dados reais.

Pretendemos continuar esta frente de pesquisa por exemplo na direcao de generalizar os resultados

para diferentes tipos de alinhamentos e funcoes de otimizacao.

4.4.2. Busca de regioes altamente conservadas. Desde o completamento do rascunho do genoma

humano, novos projetos de sequenciamento tem sido desenvolvidos com a finalidade de serem com-

parados ao genoma humano. A procura por regioes altamente conservadas entre especies proximas

tem sido ferramenta cada vez mais utilizada no estudo das sequencias obtidas. Muitos programas

computacionais tem sido usados com este proposito, como VISTA [47, 127], GLASS, MUMmer [42],

PipMaker [154], e tambem BLAST 2 Sequences [161].

Este tipo de analise tem sido amplamente utilizado como forma de complementar as ainda insa-

tisfatorias predicoes genicas baseadas unicamente em metodos estatısticos. Um dos membros deste

projeto e colaboradores [132] conseguiram alguns resultados nesta linha, e pretendemos continuar

o desenvolvimento de ferramentas computacionais com esta finalidade.

4.5. Algoritmos de aproximacao para problemas em grafos. Na area de otimizacao combi-

natoria, o desenvolvimento de algoritmos de aproximacao e provas de inaproximabilidade de certos

problemas e uma das linhas de pesquisa que mais cresceu ultimamente. Esta observacao encontra

respaldo na grande concentracao de artigos de pesquisa nessa linha que surgiram nos ultimos anos,

22

e tambem de livros mostrando o amadurecimento dessa subarea, e o seu reconhecimento como uma

disciplina importante.

Varios membros deste grupo trabalham ha anos com algoritmos de aproximacao. Assim, dando

continuidade a esse trabalho, uma das linhas de pesquisa adotadas dentro deste topico sera a

busca por tais algoritmos e, quando pertinente, por resultados de inaproximabilidade. A seguir,

detalhamos alguns dos problemas dessa linha que pretendemos investigar. Varios outros problemas

de natureza semelhantes serao abordados dentro desse projeto.

4.5.1. Arvores geradoras com muitas folhas. Um dos problemas em que alguns membros deste

grupo estao trabalhando no momento e o seguinte.

Problema 32. Dado um grafo conexo, encontrar uma arvore geradora com numero maximo de

folhas.

Sabe-se que o Problema 32 e NP-difıcil. Um dos primeiros algoritmos de aproximacao para o

Problema 32 foi obtido por Lu e Ravi [117], que apresentaram uma 3-aproximacao. Em seguida,

Solis-Oba [156] melhorou esse resultado, exibindo uma 2-aproximacao. O algoritmo de Lu e Ravi

baseia-se em trocas locais feitas a partir de uma arvore geradora inicial arbitraria. Ja o algoritmo

de Solis-Oba constroi uma arvore partindo de um vertice, usando algumas regras simples que

objetivam manter a arvore parcialmente construıda “com bastante folhas”.

O caso especial em que o grafo de entrada e cubico tem sido bastante investigado. Esta vari-

ante ainda continua NP-difıcil. Lorys e Zwozniak [112] apresentaram uma 7/4-aproximacao para

Problema 32 restrito a grafos cubicos.

Um diamante e um circuito de comprimento quatro acrescido de uma corda. Recentemente,

Bonsma [22] provou se G e um grafo conexo com grau mınimo pelo menos 3 e com d diamantes in-

duzidos por vertices de grau 3, entao G tem uma arvore geradora com pelo menos ⌈(2n − d + 12)/7⌉

folhas. Mais recentemente, Correa, Fernandes, Matamala e Wakabayashi [40] obtiveram uma de-

limitacao inferior para o numero de folhas em uma arvores geradora do grafo dado que leva em

consideracao os diamantes presentes no grafo (nao apenas o seu numero). Essa delimitacao e sem-

pre pelo menos tao boa quanto a delimitacao provada por Bonsma para grafos com grau mınimo

pelo menos 3. A prova dessa delimitacao e construtiva e fornece uma 5/3-aproximacao para o Pro-

blema 32 em grafos cubicos, o que supera o resultado de Lorys e Zwozniak [112]. Esses resultados

serao apresentados em poucas semanas no WAOA 2007. Estamos tentando melhora-los, explorando

certas ideias novas que surgiram recentemente.

Temos tambem especial interesse em obter um algoritmo de aproximacao com razao melhor que 2

para o caso geral do Problema 32, ou entao provar algum resultado de inaproximabilidade mais

forte do que o que se conhece ate o momento.

4.5.2. Empacotamentos de subgrafos em grafos. Nesta linha, temos interesse tambem no seguinte

problema.

Problema 33. Dado um grafo G e uma famılia de grafos F , encontre um subgrafo H de G tal

que cada componente conexa de H seja um grafo da famılia F , e tal que H tenha o maior numero

possıvel de arestas.

23

Manic e Wakabayashi [121, 122] investigaram o caso em que F = K3 e F = K2,K3, obtendo

novos algoritmos de aproximacao e alguns resultados de inaproximabilidade. Estes resultados estao

sendo estendidos para o caso em que F e uma famılia de cliques [28].

Planejamos dar continuidade a esse trabalho, explorando novos algoritmos e considerando outras

famılias F .

4.6. Metodos probabilısticos em otimizacao combinatoria. Dentro deste topico, pretende-

mos explorar as possibilidades de se obter cotas e solucoes aproximadas de problemas NP-difıceis de

otimizacao combinatoria aplicando um conjunto de tecnicas conhecido como metodo probabilıstico

[5] a analise de solucoes aproximadas obtidas atraves da heurıstica conhecida como metodo gu-

loso [39]. Espera-se ainda que os resultados obtidos sejam aplicaveis as versoes on-line [25] dos

mesmos problemas.

A metodologia proposta sera aplicada em um problema concreto de otimizacao combinatoria.

Trata-se de um problema em grafos que descrevemos a seguir. Seja G um grafo e ω : E(G) → Q

uma funcao que atribui a cada aresta e de G um peso ω(e). Definimos o peso de um subgrafo H

de G por ω(H) =∑

e∈E(H) ω(e). O problema do subgrafo planar maximo e o seguinte.

Problema 34. Dados um grafo G e ω : E(G) → Q, encontrar um subgrafo planar H de G cujo

peso ω(H) seja maximo.

O Problema 34 e NP-difıcil [111, 26]. As tentativas de se obter solucoes exatas para o Problema 34

de maneira eficiente apresentadas na literatura enquadram-se no esquema de enumeracao inteligente

do espaco de solucoes, metodo conhecido como branch and bound [54] e sua variante baseada em

programacao linear, conhecida como branch and cut [82]. Em ambos os metodos, e crucial para a

viabilidade computacional do algoritmo a capacidade de se obter de maneira eficiente boas cotas

inferiores para as instancias do problema examinadas ao longo do processo. Usualmente tais cotas

sao obtidas empregando heurısticas que fornecem solucoes aproximadas (sub-otimas) do problema.

Dentre as heurısticas utilizadas para obter solucoes aproximadas do Problema 34 [38, 48, 53, 55,

56, 62, 103] (veja [26] para uma analise comparativa), uma das que apresenta melhor desempenho e

a conhecida como algoritmo guloso, detalhada mais adiante. Apesar de fornecer cotas inferiores de

otima qualidade para o problema, esta heurıstica nao pode ser considerada “eficiente” no sentido

acima empregado, pois envolve a execucao de um teste de planaridade para cada aresta do grafo

dado. Como um teste de planaridade de um grafo de n vertices toma tempo Ω(n) e uma instancia do

Problema 34 pode ter Ω(n2) arestas, o tempo necessario para calcular cada cota inferior seria Ω(n3).

Mesmo a possibilidade de efetuar testes incrementais de planaridade proposta por Carmo [26] nao

pode ser considerada eficiente nesse sentido, pois o custo computacional para a determinacao de

cada cota seria ainda Ω(n2).

Outro fato notavel e que a razao de aproximacao absoluta para o algoritmo guloso aplicado ao

Problema 34 e de 1/3, e ha casos em que o algoritmo de fato atinge esta razao [26]. Ou seja, uma

razao melhor que essa nao vale no pior caso. Experimentalmente, entretanto, obtem-se fatores de

aproximacao muito melhores, da ordem de mais de 90% com o algoritmo guloso [53, 62].

24

A explicacao para esta lacuna tao substancial entre as garantias teoricas de aproximacao e

os valores observados experimentalmente parece ocultar-se na correlacao entre a distribuicao dos

valores de ω e a “evolucao” (no sentido de [52]) do grafo construıdo pelo algoritmo guloso. Nossa

proposta, portanto, pode ser entendida como sendo a de explorar esta correlacao e suas implicacoes.

O algoritmo guloso para o Problema 34 consiste em tomar o subgrafo H de G dado por V (H) =

V (G) e E(H) = ∅ e daı examinar as arestas de G em ordem nao-decrescente dos valores de ω. Para

cada aresta e examinada, se H + e e planar, acrescenta-se e a H. Neste caso dizemos que a aresta

e e aceita. Caso contrario, dizemos que a aresta e e rejeitada. Um subgrafo planar de G obtido

atraves deste algoritmo sera chamado de subgrafo planar guloso de G.

Seja G um grafo completo de n vertices e L = (e1, e2, . . . , eN ), com N =(n2

)

, uma lista

ordenada de suas arestas. Definimos as sequencias de grafos GLi e HL

i , para i = 0, . . . , N , onde

V (GLi ) = V (HL

i ) = V (G), E(GLi ) = ej | 1 ≤ j ≤ i e

E(HLi ) =

E(HLi−1) ∪ ei, se HL

i−1 + ei e planar

E(HLi−1), caso contrario.

A sequencia GLi e conhecida como um grafo em processo (graph process) no estudo de grafos

aleatorios e apresenta caracterısticas de grande interesse tanto teorico como pratico, representando

um dos modelos de grafo aleatorio mais bem estudados [20]. Um subgrafo planar guloso de G

construıdo a partir da sequencia L e, por sua vez, o resultado final do processo HLi , isto e, o

grafo HLN .

Observe que os processos GLi e HL

i , apesar de relacionados, sao diferentes. Por exemplo, ambos

coincidem ate o instante t em que Gt deixa de ser um grafo planar. Colocado em termos pro-

babilısticos, isto e, considerando o espaco de probabilidades dado pelas N ! possibilidades para L,

dirıamos que GLi e HL

i passam a divergir no limiar da planaridade, quando (t − n/2)n−2/3 → ∞

[119].

Em outras palavras, considere a sequencia binaria A(L) = (a1, . . . , aN ) das arestas aceitas pelo

algoritmo guloso, dada por ai = 1 se e somente se ei ∈ E(Hi). Como o peso do subgrafo planar

guloso de G e dado por

ω(HLN ) =

N∑

i=1

aiω(ei),

o conhecimento do comportamento da sequencia A(L) aliado ao conhecimento da distribuicao de ω

permite a determinacao (ou a estimativa, conforme o caso) do valor de ω(HN ), sem a necessidade

de testes de planaridade ou outro processamento computacionalmente custoso, oferecendo assim

uma alternativa muito interessante para a determinacao de solucoes exatas do problema.

Considere agora a versao do Problema 34 “em tempo real”, isto e, a cada aresta ei examinada,

o algoritmo deve decidir de maneira irrevogavel se aceita ou nao ei. Este problema constitui a

chamada “versao online” [25] do Problema 34. Versoes “online” de problemas e algoritmos de

otimizacao combinatoria vem recebendo crescente atencao da comunidade da area tanto por suas

implicacoes teoricas quanto pelas praticas.

25

A conexao entre a abordagem proposta acima e a formulacao da versao “online” do Problema 34

e evidente. Por isso, espera-se que os resultados atingidos com o trabalho proposto possam ser

aplicados tambem as versoes “online” dos respectivos problemas de otimizacao estudados.

4.7. Metodos de Monte-Carlo e cadeias de Markov. A simulacao de distribuicoes de proba-

bilidade complexas aparece como instrumento central em fısica computacional, estatıstica e com-

putacao. A classe mais importante de metodos para este problema e o Markov Chain Monte Carlo:

cria-se uma cadeia de Markov cujo estado de equilıbrio e a distribuicao desejada e simula-se esta

cadeia, na expectativa de que ela convirja rapidamente ao equilıbrio.

Isto motiva o estudo de cotas rigorosas de convergencia ao equilıbrio para cadeias de Markov

com espaco de fase discreto e contınuo. A literatura sobre este assunto e vasta, mas ainda esta

muito aquem do que seria desejavel em situacoes de interesse teorico e pratico.

Recentemente, um dos membros deste projeto apresentou um metodo para obter cotas de con-

vergencia para certo tipo de cadeias de Markov com espaco de estados contınuos que e uma extensao

a espacos de fase contınuos do metodo de path coupling de Bubley e Dyer [135]. A aplicacao desse

metodo a um famoso passeio aleatorio sobre o grupo SO(n) de matrizes n × n ortogonais (intro-

duzido por Mark Kac), obtendo para ele a melhor cota de convergencia ao equiıbrio conhecida, a

qual esta a um fator de no maximo O(ln n) do resultado otimo.

Planejamos buscar outras aplicacoes do metodo referido, tanto a problemas-modelo quanto a

cadeias de Markov que ocorrem na pratica de Markov Chain Monte Carlo (como por exemplo o

caso de projecoes aleatorias descrito abaixo). Alem disso, estamos interessados em outros metodos

e problemas com passeios aleatorios com motivacao tanto teorica quanto pratica. O que, por

exemplo, se pode dizer sobre a estrutura de uma cadeia de Markov com muitos estados em que o

tempo de equilıbrio e da mesma ordem do tempo de encontro ao acaso (o tempo esperado ate que

dois “andarilhos” independentes se encontrem)? Como ja foi dito, esta e uma area muito ampla

com muitos problemas em aberto; ha, portanto, grande variedade de problemas a serem atacados

e possivelmente resolvidos.

4.8. Geometria computacional em dimensao alta e reducao de dimensionalidade. Aqui

estamos interessados na geometria de conjuntos de pontos, politopos e variedades alojados dentro de

um espaco euclideano de dimensao alta. Em particular, estamos interessados em maneiras eficientes

de representar tais conjuntos de forma sucinta ou em um numero reduzido de dimensoes, sem que

sua geometria seja excessivamente deformada. Tais metodos tem grande importancia na resolucao

de problemas que poderiam ser afetados adversamente pelo numero excessivo de dimensoes do

espaco ambiente (curse of dimensionality) e tambem estao relacionados aos avancos recentes na

teoria algorıtmica de espacos metricos.

Um dos membros deste projeto [134] tem trabalho em andamento nesta area em que prova o

seguinte teorema:

Teorema 35. Seja M ⊂ Rn uma subvariedade de dimensao d. Entao uma “projecao aleatoria” para

k = O(ε−2 ln(κ/ε)d) dimensoes preserva todas as distancias intrınsecas e extrınsecas entre pontos

de M , a menos de fatores de 1 ± ε, onde κ depende da curvatura de M .

26

A melhor cota anterior, devida a Baraniuk e Wakin, tinha um fator extra de ln n, onde n e a

dimensao ambiente, enquanto a cota de Oliveira [134] so depende da dimensao da subvariedade.

Teoremas semelhantes valem para politopos, poliedros, variedades com singularidades e outras

estruturas.

Pretendemos continuar com este trabalho e buscar outras aplicacoes de metodos aleatorios

em geometria e algoritmos relacionados, em particular na inferencia de informacao topologica e

geometrica de uma subvariedade M .

4.9. Trabalhos anteriores. Membros deste grupo tem feito contribuicoes na linha de pesquisa

discutida nesta secao; destacamos aqui os seguintes trabalhos:

• E.G. Birgin, J. Martınez, W. Mascarenhas, e

D. Ronconi. Method of sentinels for packing ob-

jects within arbitrary regions. Journal of the

Operational Research Society, 57:735–746, 2006.

• E.G. Birgin, J.M. Martınez, F.H. Nishihara,

e D.P. Ronconi. Orthogonal packing of rec-

tangular items within arbitrary convex regions

by nonlinear optimization. Comput. Oper. Res.,

33(12):3535–3548, 2006.

• J.M. Boyer, C.G. Fernandes, A. Noma, e

J.C. de Pina. Lempel, even, and cederbaum pla-

narity method. In Proceedings of WEA 2004:

Workshop on Efficient and Experimental Algo-

rithms, volume 3059 of Lecture Notes in Comput.

Sci., pages 129–144. Springer, Berlin, 2004.

• G. Calinescu, C.G. Fernandes, U. Finkler, e

H. Karloff. A better approximation algorithm for

finding planar subgraphs. Journal of Algorithms,

27:269–302, 1998.

• G. Calinescu, C.G. Fernandes, H. Karloff, e

A. Zelikovsky. A new approximation algorithm

for finding heavy planar subgraphs. Algorith-

mica, 36(2):179–205, 2003.

• R. Carmo. O problema do subgrafo planar

otimo. Tese de Mestrado, IME-USP, 1994. (Pri-

meiro colocado no Concurso de Teses e Dis-

sertacoes 1995 da SBC; primeiro colocado no

Concurso de Teses e Dissertacoes 1995 da Con-

ferencia Latino-Americana de Informatica.)

• J. Carter e S. Lins. Thin-G theory and local mo-

ves for gems. Adv. Math., 143:251–283, 1999.

• F. Chataigner, G. Manic, Y. Wakabayashi, e

R. Yuster. Approximation algorithms and hard-

ness results for the clique packing problem. In

European Conference on Combinatorics, Graph

Theory and Applications (EUROCOMB), vo-

lume 29 of Electronic Notes in Discrete Mathe-

matics, pages 397–401. Elsevier, 2007.

• J.R. Correa, C.G. Fernandes, M. Matamala, e

Y. Wakabayashi. A 5/3-approximation for fin-

ding spanning trees with many leaves in cubic

graphs. In Proceedings of the Workshop on Ap-

proximation and Online Algorithms (WAOA),

Lecture Notes in Computer Science. Springer,

Berlin, 2007.

• J.R. Correa, C.G. Fernandes, e Y. Wakabayashi.

Approximating rational objectives is as easy

as approximating linear ones. In Algorithm

theory—SWAT 2006, volume 4059 of Lecture

Notes in Comput. Sci., pages 351–362. Springer,

Berlin, 2006.

• L. Kauffman e S. Lins. Temperley-Lieb recou-

pling theory and invariants of 3-manifolds, vo-

lume 134 of Annals of Mathematical Studies.

Princeton University Press, 1994.

• A.P. do Lago, I. Muchnik, e C. Kulikowski.

A sparse dynamic programming algorithm

for alignment with non-overlapping inversions.

RAIRO Theoret. Informatics Appl., 39:175–189,

2005.

• S. Lins. On the fundamental group of 3-gems

and a planar class of 3-manifolds. European J.

of Combinatorics, 9:291–305, 1988.

• S. Lins. Gems, computers and attractors for

3-manifolds, volume 5 of Series Knots and

Everything. World Scientific Publishing Com-

pany, 1995.

• S. Lins. A string theory for 3-manifolds with a

Kleinian action. J. of Knot Theory and its Ra-

mifications, 4:429–480, 1995.

27

• S. Lins. Twistors: bridges among 3-manifolds.

Discrete Math., 177:145–165, 1997.

• S. Lins e A. Mandel. Graph-encoded 3-

manifolds. Discrete Math., 57:261–284, 1985.

• S. Lins e M. Mulazzani. Blobs and flips on

gems. J. Knot Theory and its Ramifications,

15(8):1001–1035, 2006. To appear.

• G. Manic e Y. Wakabayashi. Packing triangles

in low-degree graphs and indifference graphs. In

European Conference on Combinatorics, Graph

Theory and Applications (EUROCOMB), vo-

lume AE of Discrete Mathematics and Theore-

tical Computer Science, pages 251–256 (electro-

nic). Elsevier, 2005.

• G. Manic e Y. Wakabayashi. Packing triangles in

low-degree graphs and indifference graphs. Dis-

crete Mathematics, 2007.

• I. Muchnik, A.P. do Lago, V. Llaca, E. Lin-

ton, C.A. Kulikowski, e J. Messing. Assignment-

like optimization on bipartite graphs with or-

dered nodes as an approach to the analysis of

comparative genomic data. DIMACS Workshop

on Whole Genome Comparison, 2001. http://di-

macs.rutgers.edu/Workshops/WholeGenome/.

• R. Oliveira. Dimenionality reduction with linear

dependence on the intrinsic dimension. Trabalho

em andamento, 2007.

• A.F. Vellozo, C.E.R. Alves, e A.P. do Lago.

Alignment with non-overlapping inversions

in O(n3)-time. In Proc. 6th International

Workshop on Algorithms in Bioinformatics

(WABI), volume 4175 of Lecture Notes in Com-

put. Sci., pages 186–196. Springer, 2006.

Referencias

[1] N. Alon, E. Fischer, M. Krivelevich, and M. Szegedy. Efficient testing of large graphs. Combinatorica, 20(4):451–

476, 2000.

[2] N. Alon, Y. Kohayakawa, C. Mauduit, C. G. Moreira, and V. Rodl. Measures of pseudorandomness for finite

sequences: typical values. Proc. London Math. Soc. (3). to appear.

[3] N. Alon, Y. Kohayakawa, C. Mauduit, C. G. Moreira, and V. Rodl. Measures of pseudorandomness for finite

sequences: minimal values. Combin. Probab. Comput., 15(1–2):1–29, 2006.

[4] N. Alon and A. Shapira. Every monotone graph property is testable. In STOC’05: Proceedings of the 37th

Annual ACM Symposium on Theory of Computing, pages 128–137, New York, 2005. ACM.

[5] N. Alon and J. H. Spencer. The probabilistic method. With an appendix by Paul Erdos, 1992.

[6] S. Altschul, T. Madden, A. Schaffer, J. Zhang, Z. Zhang, W. Miller, and D. Lipman. Gapped BLAST and

PSI-BLAST: a new generation of protein database search programs. Nucleic Acids Research, 25(17):3389–3402,

Sep 1997. Review.

[7] S. F. Altschul, W. Gish, W. Miller, E. W. Myers, and D. J. Lipman. Basic local alignment search tool. Journal

of Molecular Biology, 215(3):403–410, Oct 1990.

[8] C. E. R. Alves, A. P. do Lago, and A. F. Vellozo. Alignment with non-overlapping inversions in O(n3 lg n)-time.

Electronic Notes in Discrete Mathematics, 19:365–371, 2005. Proceedings of GRACO: Brazilian Symposium on

Graphs, Algorithms and Combinatorics.

[9] G. Ausiello, P. Crescenzi, G. Gambosi, V. Kann, A. Marchetti-Spaccamela, and M. Protasi. Complexity and

Approximation: Combinatorial Optimization Problems and Their Approximability Properties. Springer, 1999.

[10] B. Barak, G. Kindler, R. Shaltiel, B. Sudakov, and A. Wigderson. Simulating independence: new constructions

of condensers, Ramsey graphs, dispersers, and extractors. In STOC ’05: Proceedings of the 37th Annual ACM

Symposium on Theory of Computing, pages 1–10, New York, 2005. ACM.

[11] B. Barak, A. Rao, R. Shaltiel, and A. Wigderson. 2-source dispersers for sub-polynomial entropy and ramsey

graphs beating the frankl-wilson construction. In STOC ’06: Proceedings of the thirty-eighth annual ACM

symposium on Theory of computing, pages 671–680, New York, NY, USA, 2006. ACM Press.

[12] S. Batzoglou, L. Pachter, J. P. Mesirov, B. Berger, and E. S. Lander. Human and mouse gene structure:

comparative analysis and application to exon prediction. Genome Research, 10(7):950–958, Jul 2000.

28

[13] J. Beck and W. W. L. Chen. Irregularities of distribution, volume 89 of Cambridge Tracts in Mathematics.

Cambridge University Press, Cambridge, 1987.

[14] C. Berge. The theory of graphs and its applications. Wiley, 1962.

[15] E. G. Birgin, J. M. Martınez, W. F. Mascarenhas, and D. P. Ronconi. Method of sentinels for packing objects

within arbitrary regions. Journal of the Operational Research Society, 57:735–746, 2006.

[16] M. Blank. An estimate of the external number of a graph without suspended vertices. Prikl. Math. i Program-

mirovanie Vyp., 10:3–11, 1973.

[17] M. Blum and S. Micali. How to generate cryptographically strong sequences of pseudorandom bits. In 23rd

annual symposium on foundations of computer science (Chicago, Ill., 1982), pages 112–117. IEEE, New York,

1982.

[18] M. Blum and S. Micali. How to generate cryptographically strong sequences of pseudorandom bits. SIAM J.

Comput., 13(4):850–864, 1984.

[19] B. Bollobas. Extremal graph theory. Academic Press Inc. [Harcourt Brace Jovanovich Publishers], London, 1978.

[20] B. Bollobas. Random Graphs. Cambridge University Press, 2001.

[21] J. Bonin, J. McNulty, and T. Reid. The matroid Ramsey number c(6, 6). Combinatorics, Probability, and

Computing, 8:229–235, 1999.

[22] P. Bonsma. Spanning trees with many leaves: new extremal results and an improved FPT algorithm. Technical

report, Faculty of EEMCS, University of Twente, The Netherlands, 2006.

[23] C. Borgs, J. Chayes, L. Lovasz, V. T. Sos, B. Szegedy, and K. Vesztergombi. Graph limits and parameter testing.

In STOC’06: Proceedings of the 38th Annual ACM Symposium on Theory of Computing, pages 261–270, New

York, 2006. ACM.

[24] C. Borgs, J. Chayes, L. Lovazs, V. T. Sos, and K. Vesztergombi. Convergent sequences of dense graphs I:

Subgraph frequencies, metric properties and testing. http://research.microsoft.com/ borgs/, 24pp, 2006.

[25] A. Borodin and R. El-Yaniv. Online computation and competitive analysis. Cambridge University Press New

York, NY, USA, 1998.

[26] R. Carmo. O problema do subgrafo planar otimo. Master’s thesis, Instituto de Matematica e Estatıstica da

Universidade de Sao Paulo, May 1994. (primeiro colocado no Concurso de Teses e Dissertacoes 1995 da

Sociedade Brasileira de Computacao; primeiro colocado no Concurso de Teses e Dissertacoes 1995 da

Conferencia Latino-Americana de Informatica).

[27] J. Carter and S. Lins. Thin-G theory and local moves for gems. Adv. Math., 143:251–283, 1999.

[28] F. Chataigner, G. Manic, Y. Wakabayashi, and R. Yuster. Approximation algorithms and hardness results

for the clique packing problem. In European Conference on Combinatorics, Graph Theory and Applications

(EUROCOMB), volume 29 of Electronic Notes in Discrete Mathematics, pages 397–401. Elsevier, 2007.

[29] B. Chazelle. The discrepancy method. Cambridge University Press, Cambridge, 2000. Randomness and comple-

xity.

[30] M. Chlebık and J. Chlebıkova. Approximation hardness of dominating set problems. In Algorithms—ESA 2004,

volume 3221 of Lecture Notes in Comput. Sci., pages 192–203. Springer, Berlin, 2004.

[31] F. R. K. Chung. Quasi-random classes of hypergraphs. Random Structures and Algorithms, 1(4):363–382, 1990.

[32] F. R. K. Chung. Regularity lemmas for hypergraphs and quasi-randomness. Random Structures and Algorithms,

2(1):241–252, 1991.

[33] F. R. K. Chung and R. L. Graham. Quasi-random hypergraphs. Random Structures and Algorithms, 1(1):105–

124, 1990.

[34] F. R. K. Chung and R. L. Graham. Quasi-random set systems. Journal of the American Mathematical Society,

4(1):151–196, 1991.

[35] F. R. K. Chung and R. L. Graham. Cohomological aspects of hypergraphs. Transactions of the American

Mathematical Society, 334(1):365–388, 1992.

[36] F. R. K. Chung and R. L. Graham. Quasi-random subsets of Zn. J. Combin. Theory Ser. A, 61(1):64–86, 1992.

[37] F. R. K. Chung, R. L. Graham, and R. M. Wilson. Quasi-random graphs. Combinatorica, 9(4):345–362, 1989.

29

[38] R. Cimikowski. An analysis of some heuristics for the maximum planar subgraph problem. Proceedings of the

sixth annual ACM-SIAM symposium on Discrete algorithms, pages 322–331, 1995.

[39] T. H. Cormen, C. E. Leiserson, R. L. Rivest, and C. Stein. Introduction to Algorithms. MIT Press, 2001.

[40] J. R. Correa, C. Fernandes, M. Matamala, and Y. Wakabayashi. A 5/3-approximation for finding spanning trees

with many leaves in cubic graphs. In Proceedings of the Workshop on Approximation and Online Algorithms

(WAOA), Lecture Notes in Computer Science. Springer, Berlin, 2007.

[41] M. Cropper, D. Greenwell, A. Hilton, and A. Kostochka. The domination number of cubic hamiltonian graphs.

AKCE International Journal of Graphs and Combinatorics, 2(2), 2005.

[42] A. L. Delcher, S. Kasif, R. D. Fleischmann, J. Peterson, O. White, and S. L. Salzberg. Alignment of whole

genomes. Nucleic Acids Research, 27(11):2369–2376, Jun 1999.

[43] G. A. Dirac. Minimally 2-connected graphs. J. Reine Angew. Math., 228:204–216, 1967.

[44] A. P. do Lago, I. Muchnik, and C. Kulikowski. An O(n4) algorithm for alignment with non-overlapping inver-

sions. In Second Brazilian Workshop on Bioinformatics, WOB 2003, Macae, RJ, Brazil, 2003.

[45] A. P. do Lago, I. Muchnik, and C. Kulikowski. A sparse dynamic programming algorithm for alignment with

non-overlapping inversions. RAIRO Theoret. Informatics Appl., 39:175–189, 2005.

[46] A. P. do Lago and I. Simon. Topicos em Algoritmos sobre Sequencias. IMPA, Rio de Janeiro, 2003.

[47] I. Dubchak, M. Brudno, G. G. Loots, L. Pachter, C. Mayor, E. M. Rubin, and K. A. Frazer. Active conservation

of noncoding sequences revealed by three-way species comparisons. Genome Research, 10(9):1304–1306, Sep

2000.

[48] P. Eades, L. R. Foulds, and J. W. Giffin. An efficient heuristic for identifying a maximum weight planar graph.

In Lecture Notes in Mathematics. Springer Verlag, Berlin, 1982.

[49] H. Edelsbrunner. Algorithms in Combinatorial Geometry, volume 10 of EATCS Monographs on Theoretical

Computer Science. Springer, 1987.

[50] G. Elek and B. Szegedy. Limits of hypergraphs, removal and regularity lemmas. A non-standard approach,

2007.

[51] P. Erdos and P. Turan. On some sequences of integers. Journal of the London Mathematical Society, 11(2):261–

264, 1936.

[52] P. Erdos and A. Renyi. On the evolution of random graphs. Publ. Math. Inst. Hung. Acad. Sci, 5:17–61, 1960.

[53] L. R. Foulds, P. B. Gibbons, and J. W. Giffin. Facilities layout adjacency determination: An experimental

comparison of three graph–theoretic heuristics. Operations Research, 33(5):1091–1106, Sept./Oct. 1985.

[54] L. R. Foulds and D. F. Robinson. A strategy for solving the plant layout problem. Operational Research

Quarterly, 27(4 i):845–855, 1976.

[55] L. R. Foulds and D. F. Robinson. Graph theoretic heuristics for the plant layout problem. Int. J. Prod. Res.,

16:27–37, 1978.

[56] L. R. Foulds and D. F. Robinson. Construction properties of combinatorial deltahedra. In Discrete Applied

Mathematics, volume 1, pages 75–87. North–Holland Publishing Company, 1979.

[57] P. Frankl, R. L. Graham, and V. Rodl. Quantitative theorems for regular systems of equations. J. Combin.

Theory Ser. A, 47(2):246–261, 1988.

[58] P. Frankl, V. Rodl, and R. M. Wilson. The number of submatrices of a given type in a Hadamard matrix and

related results. J. Combin. Theory Ser. B, 44(3):317–328, 1988.

[59] J. Geelen, P. Hlineny, and G. Whittle. Bridging separations in matroids. SIAM Journal on Discrete Mathema-

tics, 18:683–646, 2005.

[60] S. Gerke, T. Schickinger, and A. Steger. K5-free subgraphs of random graphs. Random Structures Algorithms,

24(2):194–232, 2004.

[61] S. Gerke and A. Steger. The sparse regularity lemma and its applications. In B. S. Webb, editor, Surveys in

combinatorics 2005 (University of Durham, 2005), volume 327 of London Math. Soc. Lecture Note Ser., pages

227–258. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2005.

[62] J. W. Giffin and L. R. Foulds. Efficient graph planarity updating tests. Ars Combinatoria, 17 A:185–202, 1984.

30

[63] O. Goldreich. Modern cryptography, probabilistic proofs and pseudorandomness, volume 17 of Algorithms and

Combinatorics. Springer-Verlag, Berlin, 1999.

[64] O. Goldreich. Pseudorandomness. Notices Amer. Math. Soc., 46(10):1209–1216, 1999.

[65] S. Goldwasser and S. Micali. Probabilistic encryption. J. Comput. System Sci., 28(2):270–299, 1984.

[66] W. T. Gowers. Hypergraph regularity and the multidimensional Szemeredi theorem. 2004, 44pp.

[67] W. T. Gowers. Lower bounds of tower type for Szemeredi’s uniformity lemma. Geom. Funct. Anal., 7(2):322–

337, 1997.

[68] W. T. Gowers. Fourier analysis and Szemeredi’s theorem. In Proceedings of the International Congress of

Mathematicians, Vol. I (Berlin, 1998), number Extra Vol. I, pages 617–629 (electronic), 1998.

[69] W. T. Gowers. A new proof of Szemeredi’s theorem for arithmetic progressions of length four. Geom. Funct.

Anal., 8(3):529–551, 1998.

[70] W. T. Gowers. Quasirandomness, counting and regularity for 3-uniform hypergraphs. Combin. Probab. Comput.,

15(1-2):143–184, 2006.

[71] R. Graham, V. Rodl, and A. Rucinski. On Schur properties of random subsets of integers. J. Number Theory,

61(2):388–408, 1996.

[72] B. Green and T. Tao. The primes contain arbitrarily long arithmetic progressions, 2004. To appear in Annals

of Math. (2).

[73] M. Grotschel. On intersections of longest cycles. In B. Bollobas, editor, Graph Theory and Combinatorics, pages

171–189. Academic Press, 1984.

[74] T. Gruwald. Solution to Problem 4065. American Mathematical Monthly, 51:169–171, 1944.

[75] R. Halin. Untersuchungen uber minimalen n-fach zusammenhangende Graphen,. Math. Ann., pages 175–188,

1969.

[76] J. Haviland and A. G. Thomason. Pseudo-random hypergraphs. Discrete Mathematics, 75(1–3):255–278, 1989.

[77] P. E. Haxell, Y. Kohayakawa, and T. Luczak. Turan’s extremal problem in random graphs: forbidding even

cycles. J. Combin. Theory Ser. B, 64(2):273–287, 1995.

[78] P. E. Haxell, Y. Kohayakawa, and T. Luczak. Turan’s extremal problem in random graphs: forbidding odd

cycles. Combinatorica, 16(1):107–122, 1996.

[79] T. Haynes, S. Hedetniemi, and P. Slater, editors. Domination in graphs, volume 209 of Monographs and Text-

books in Pure and Applied Mathematics. Marcel Dekker Inc., New York, 1998. Advanced topics.

[80] T. Haynes, S. Hedetniemi, and P. Slater. Fundamentals of domination in graphs, volume 208 of Monographs

and Textbooks in Pure and Applied Mathematics. Marcel Dekker Inc., New York, 1998.

[81] R. Hockney and J. Eastwood. Computer Simulation using Particles. McGraw Hill, 1981.

[82] M. Junger and P. Mutzel. Solving the maximum weight planar subgraph. In G. Rinaldi and L. Wolsey, editors,

Proceedings of the 3rd IPCO Conference, 1993.

[83] J. Kara, A. Por, and D. Wood. On the chromatic nunber of the visibility graph of a set of points in the plane.

Discrete and Computational Geometry, 34:497–506, 2005.

[84] L. Kauffman and S. Lins. Temperley-Lieb recoupling theory and invariants of 3-manifolds, volume 134 of Annals

of Mathematical Studies. Princeton University Press, 1994.

[85] Y. Kohayakawa. Szemeredi’s regularity lemma for sparse graphs. In Foundations of computational mathematics

(Rio de Janeiro, 1997), pages 216–230. Springer, Berlin, 1997.

[86] Y. Kohayakawa, B. Kreuter, and A. Steger. An extremal problem for random graphs and the number of graphs

with large even-girth. Combinatorica, 18(1):101–120, 1998.

[87] Y. Kohayakawa, T. Luczak, and V. Rodl. Arithmetic progressions of length three in subsets of a random set.

Acta Arith., 75(2):133–163, 1996.

[88] Y. Kohayakawa, T. Luczak, and V. Rodl. On K4-free subgraphs of random graphs. Combinatorica, 17(2):173–

213, 1997.

31

[89] Y. Kohayakawa and V. Rodl. Szemeredi’s regularity lemma and quasi-randomness. In Recent advances in

algorithms and combinatorics, volume 11 of CMS Books Math./Ouvrages Math. SMC, pages 289–351. Springer,

New York, 2003.

[90] Y. Kohayakawa, V. Rodl, and M. Schacht. The Turan theorem for random graphs. Combin. Probab. Comput.,

13(1):61–91, 2004.

[91] Y. Kohayakawa, V. Rodl, and J. Skokan. Hypergraphs, quasi-randomness, and conditions for regularity. J.

Combin. Theory Ser. A, 97(2):307–352, 2002.

[92] J. Komlos, A. Shokoufandeh, M. Simonovits, and E. Szemeredi. The regularity lemma and its applications

in graph theory. In Theoretical aspects of computer science (Tehran, 2000), volume 2292 of Lecture Notes in

Comput. Sci., pages 84–112. Springer, Berlin, 2002.

[93] J. Komlos and M. Simonovits. Szemeredi’s regularity lemma and its applications in graph theory. In Combi-

natorics, Paul Erdos is eighty, Vol. 2 (Keszthely, 1993), pages 295–352. Janos Bolyai Math. Soc., Budapest,

1996.

[94] A. Kostochka and B. Stodolsky. On domination in connected cubic graphs. Discrete Mathematics, 304:45–50,

2005.

[95] S. Kurtz, J. Choudhuri, E. . Ohlebusch, C. Schleiermacher, J. Stoye, and R. Giegerich. REPuter: the manifold

applications of repeat analysis on a genomic scale. Nucleic Acids Research, 29(22):4633–4642, Nov 2001.

[96] M. Lemos. On Mills’s conjecture on matroids with many common bases. Discrete Mathematics, 240:271–276,

2001.

[97] M. Lemos. Matroids with many common bases. Discrete Mathematics, 270:193–205, 2003.

[98] M. Lemos. Non-separating cocircuits in binary matroids. Linear Algebra and Its Applications, 382:171–178,

2004.

[99] M. Lemos and J. Oxley. On packing minors into connected matroids. Discrete Mathematics, 189:283–289, 1998.

[100] M. Lemos and J. Oxley. A sharp bound on the size of a connected matroid. Transactions of the American

Mathematical Society, 353:4039–4056, 2001.

[101] M. Lemos and J. Oxley. On the minor-minimal 3-connected matroids having a fixed minor. European Journal

Combinatorics, 24:1097–1123, 2003.

[102] M. Lemos and J. Oxley. On the minor-minimal 2-connected graphs having a fixed minor. Discrete Mathematics,

280:77–118, 2004.

[103] J. Leung. A new graph–theoretic heuristic for facility layout. Management Science, pages 594–605, 1992.

[104] L. Lins. Blink: a new tool for manipulating 3-manifolds. PhD thesis, UFPE, 2006.

[105] S. Lins. On the fundamental group of 3-gems and a planar class of 3-manifolds. European J. of Combinatorics,

9:291–305, 1988.

[106] S. Lins. Gems, computers and attractors for 3-manifolds, volume 5 of Series Knots and Everything. World

Scientific Publishing Company, 1995.

[107] S. Lins. A string theory for 3-manifolds with a Kleinian action. J. of Knot Theory and its Ramifications,

4:429–480, 1995.

[108] S. Lins. Twistors: bridges among 3-manifolds. Discrete Math., 177:145–165, 1997.

[109] S. Lins and A. Mandel. Graph-encoded 3-manifolds. Discrete Math., 57:261–284, 1985.

[110] S. Lins and M. Mulazzani. Blobs and flips on gems. J. Knot Theory and its Ramifications, 15(8):1001–1035,

2006. To appear.

[111] P. C. Liu and R. C. Geldmacher. On the deletion of nonplanar edges of a graph. In Proccedings of the Tenth

Southeastern Conference on Combinatorics, Graph Theory and Computing (Florida Atlantic University, Boca

Raton, Fla), volume XXIV of Congressus Numerantium, pages 727–738. Utilitas Math., 1979.

[112] K. Lorys and G. Zwozniak. Approximation algorithm for maximum leaf spanning tree problem for cubic graphs.

In Proceedings of the 6th Annual European Symposium on Algorithms (ESA02), volume 2461 of Lecture Notes

in Computer Science, pages 686–698. Springer-Verlag, 2002.

[113] L. Lovasz and V. T. Sos. Generalized quasirandom graphs. J. Combin. Theory Ser. B. to appear.

32

[114] L. Lovasz and B. Szegedy. Graphs limits and testing hereditary graphs properties. Technical Report MSR-TR-

2004-79, Microsoft Research, 2005. http://research.microsoft.com/users/lovasz/papers.htm, 6pp.

[115] L. Lovasz and B. Szegedy. Limits of dense graph sequences. J. Combin. Theory Ser. B, 96(6):933–957, 2006.

[116] L. Lovasz and B. Szegedy. Szemeredi’s lemma for the analyst. Geom. Funct. Anal., 17(1):252–270, 2007.

[117] H.-I. Lu and R. Ravi. Approximating maximum leaf spanning trees in almost linear time. Journal of Algorithms,

29(1):132–141, 1998.

[118] M. Luby and A. Wigderson. Pairwise independence and derandomization. Technical Report 95-035, Internati-

onal Computer Science Institute, July 1995.

[119] T. Luczak, B. Pittel, and J. Wierman. The Structure of a Random Graph at the Point of the Phase Transition.

Transactions of the American Mathematical Society, 341(2):721–748, 1994.

[120] W. Mader. Ecken vom Grad n in minimalen n-fach zusammenhangende Graphen. Arch. Math. (Basel), 23:219–

224, 1972.

[121] G. Manic and Y. Wakabayashi. Packing triangles in low-degree graphs and indifference graphs. In European

Conference on Combinatorics, Graph Theory and Applications (EUROCOMB 2005), volume AE of Discrete

Mathematics and Theoretical Computer Science, pages 251–256 (electronic). Elsevier, 2005.

[122] G. Manic and Y. Wakabayashi. Packing triangles in low-degree graphs and indifference graphs. Discrete Mathe-

matics, 2007.

[123] J. M. Martınez and L. Martınez. Packing optimization for automated generation of complex system’s initial

configurations for molecular dynamics and docking. Journal of Computational Chemistry, 24:819–825, 2003.

[124] J. Matousek. Geometric discrepancy, volume 18 of Algorithms and Combinatorics. Springer-Verlag, Berlin, 1999.

An illustrated guide.

[125] C. Mauduit. Finite and infinite pseudorandom binary words. Theoret. Comput. Sci., 273(1-2):249–261, 2002.

WORDS (Rouen, 1999).

[126] C. Mauduit and C. Moreira. Generalized fractal dimensions and complexity of infinite sequences. Submitted,

2007.

[127] C. Mayor, M. Brudno, J. R. Schwartz, A. Poliakov, E. M. Rubin, K. A. Frazer, L. S. Pachter, and I. Dubchak.

VISTA : visualizing global DNA sequence alignments of arbitrary length. Bioinformatics, 16(11):1046–1047,

Nov 2000.

[128] E. M. McCreight. A space-economical suffix tree construction algorithm. J. Assoc. Comput. Mach., 23(2):262–

272, 1976.

[129] B. McCuaig and B. Shepherd. Domination in graphs of minimum degree two. Journal of graph Theory, 13:277–

295, 1989.

[130] M. McMurray, T. Reid, B. Wei, and H. Wu. Largest circuits in matroids. Adv. Appl. Math., 34:213–216, 2005.

[131] A. G. Mills. On matroids with many common bases. Discrete Mathematics, 203:195–205, 1999.

[132] I. Muchnik, A. P. do Lago, V. Llaca, E. Linton, C. A. Kulikowski, and J. Messing. Assignment-like optimization

on bipartite graphs with ordered nodes as an approach to the analysis of comparative genomic data. DIMACS

Workshop on Whole Genome Comparison, 2001. http://dimacs.rutgers.edu/Workshops/WholeGenome/.

[133] U. S. R. Murty. Extremal critically connected matroids. Discrete Mathematics, 8:49–58, 1974.

[134] R. I. Oliveira. Dimenionality reduction with linear dependence on the intrinsic dimension. Trabalho em anda-

mento, 2007.

[135] R. I. Oliveira. On the convergence to equilibrium of Kac’s random walk on matrices. Submetido, 2007.

[136] R. I. Oliveira and J. Spencer. Connectivity transitions in networks with super-linear preferential attachment.

Internet Mathematics, 2(2), 2006.

[137] O. Ore. Theory of graphs. In American Mathematical Society Colloquium Publications, volume XXXVIII. Ame-

rican Mathematical Society, 1962.

[138] P. E. os. Problem 4065: Three point collinearity. American Mathematical Monthly, 50:65, 1943.

[139] J. G. Oxley. On 3-connected matroids. Canadian Journal of Mathematics, 33:20–27, 1981.

33

[140] W. Pearson. Flexible sequence similarity searching with the FASTA3 program package. Methods in Molecular

Biology, 132:185–219, 2000.

[141] W. Pearson and D. Lipman. Improved tools for biological sequence comparison. Proceedings of the National

Academy of Sciences of USA, 85(8):2444–2448, Apr 1988.

[142] R. Rado. Studien zur Kombinatorik. Math. Z., 36:424–480, 1933.

[143] B. Reed. Paths, stars and the number three. Combinatorics, Probability and Computing, 5:277–295, 1996.

[144] V. Rodl. On universality of graphs with uniformly distributed edges. Discrete Math., 59(1-2):125–134, 1986.

[145] V. Rodl, B. Nagle, J. Skokan, M. Schacht, and Y. Kohayakawa. The hypergraph regularity method and its

applications. Proc. Natl. Acad. Sci. USA, 102(23):8109–8113, 2005.

[146] V. Rodl and A. Rucinski. Lower bounds on probability thresholds for Ramsey properties. In Combinatorics,

Paul Erdos is eighty, Vol. 1, Bolyai Soc. Math. Stud., pages 317–346. Janos Bolyai Math. Soc., Budapest, 1993.

[147] V. Rodl and A. Rucinski. Threshold functions for Ramsey properties. J. Amer. Math. Soc., 8(4):917–942, 1995.

[148] V. Rodl and A. Rucinski. Rado partition theorem for random subsets of integers. Proc. London Math. Soc. (3),

74(3):481–502, 1997.

[149] V. Rodl and M. Schacht. Regular partition of hypergraphs. Combin. Probab. Comput. to appear, 50pp.

[150] V. Rodl and J. Skokan. Regularity lemma for k-uniform hypergraphs. Random Structures Algorithms, 25(1):1–

42, 2004.

[151] K. F. Roth. On certain sets of integers. J. London Math. Soc., 28:104–109, 1953.

[152] M. Schacht. A Turan theorem for random graphs. Master’s thesis, Emory University, 2002.

[153] I. Schur. Uber die Kongruenz xm + ym ≡ zm mod . Jber. Deutsch. Math.-Verein, 25:114–117, 1916.

[154] S. Schwartz, Z. Zhang, K. A. Frazer, A. Smit, C. Riemer, J. Bouck, R. Gibbs, R. Hardison, and W. Miller.

PipMaker–a web server for aligning two genomic DNA sequences. Genome Research, 10(4):577–586, Apr 2000.

[155] M. Schoniger and M. S. Waterman. A local algorithm for DNA sequence alignment with inversions. Bulletin of

Mathematical Biology, 54(4):521–536, Jul 1992.

[156] R. Solis-Oba. 2-approximation algorithm for finding a spanning tree with maximum number of leaves. In

Proceedings of the 6th Annual European Symposium on Algorithms (ESA98), volume 1461 of Lecture Notes in

Computer Science, pages 441–452, 1998.

[157] E. Szemeredi. Regular partitions of graphs. In Problemes combinatoires et theorie des graphes (Colloq. Internat.

CNRS, Univ. Orsay, Orsay, 1976), pages 399–401. CNRS, Paris, 1978.

[158] T. Tao. Szemeredi’s regularity lemma revisited. Contrib. Discrete Math., 1(1):8–28 (electronic), 2006.

[159] T. Tao. A variant of the hypergraph removal lemma. J. Combin. Theory Ser. A, 113(7):1257–1280, 2006.

[160] T. Tao and V. Vu. Additive combinatorics, volume 105 of Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Cam-

bridge University Press, Cambridge, 2006.

[161] T. A. Tatusova and T. L. Madden. BLAST 2 Sequences, a new tool for comparing protein and nucleotide

sequences. FEMS Microbiology Letters, 174(2):247–250, May 1999.

[162] A. Thomason. Pseudorandom graphs. In Random graphs ’85 (Poznan, 1985), volume 144 of North-Holland

Math. Stud., pages 307–331. North-Holland, Amsterdam, 1987.

[163] A. Thomason. Random graphs, strongly regular graphs and pseudorandom graphs. In Surveys in combinatorics

1987 (New Cross, 1987), volume 123 of London Math. Soc. Lecture Note Ser., pages 173–195. Cambridge Univ.

Press, Cambridge, 1987.

[164] K. Truemper. Alpha-balanced graphs and matroids. Journal of Combinatorial Theory, Series B, 32:112–139,

1982.

[165] E. Ukkonen. On-line construction of suffix trees. Algorithmica, 14(3):249–260, 1995.

[166] B. L. van der Waerden. Beweis einer Baudetschen Vermutung. Nieuw Archief voor Wiskunde, 15:212–216, 1927.

[167] A. F. Vellozo, C. E. R. Alves, and A. do Lago. Alignment with non-overlapping inversions in o(n3)-time. In

Proc. 6th International Workshop on Algorithms in Bioinformatics (WABI), volume 4175 of Lecture Notes in

Comput. Sci., pages 186–196. Springer, 2006.

34

[168] P. Weiner. Linear pattern matching algorithms. In 14th Annual IEEE Symposium on Switching and Automata

Theory (Univ. Iowa, Iowa City, Iowa, 1973), pages 1–11. IEEE Comput. Soc., Northridge, Calif., 1973.

[169] A. C. Yao. Theory and applications of trapdoor functions. In 23rd annual symposium on foundations of computer

science (Chicago, Ill., 1982), pages 80–91. IEEE, New York, 1982.

Centro de Ciencias Exatas e da Natureza, Universidade Federal de Pernambuco, Rua Prof. Luiz

Freire s/n, Cidade Universitaria 50670-901 - Recife, PE - Brasil

Endereco Eletronico: manoel@dmat.ufpe.br

35