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5/5/2014 Ruy Luiz Milidiú 1

Projeto e Análise de

Algoritmos

Prof. Ruy Luiz Milidiú


A Classe NPC


Resumo

Objetivo

Apresentar Classe de Problemas NPC

Sumário

P, NP, NP-difícil, e NP-completo

De 3-SAT para clique

De clique para cobertura de vértices

clique e cobertura de vértices estão em NPC


NP-Difícil

NP

SAT

3SAT

3DM 3C MAXC

CLIQUE 3XC

Teorema de

Cook

PLI

3CP

IND MPS ST XC 3SC

SC VC


Problemas de decisão

P resolvidos em tempo polinomial

NP verificáveis em tempo polinomial

NP-Difícil NP-Hard qualquer problema em NP pode ser reduzido a ele

NPC NP-Completos é NP verificador

é NP-Difícil redutor


NPC

SAT NPC

SAT NP

Teorema de Cook

3-SAT NPC

3-SAT NP

SAT 3-SAT

PLI NPC

PLI NP

SAT PLI

NP

SAT

3SAT PLI


CLIQUE

Grupo Exclusivo de G=(V,E) H V

u,vH então {u,v}E.

H = {u,v,x,y}

grupo exclusivo de G

tamanho 4

Problema de decisão

grupo exclusivo de tamanho k em G ?


CLIQUE NP

//Verificador

for all vV do na_clique[v] := 0

for all vH do na_clique[v] := 1

for all vV do

if (na_clique[v] = 1) then

total_na_clique := 0

for all wAdjacent[v] do

total_na_clique := total_na_clique + na_clique[w]

if (total_na_clique k-1) then return(NÃO)

return(SIM)


3-SAT CLIQUE

C = (x1x2x3)(x1x2x3)(x1x2x3) x1 x1 x2 x3 x2 x3 x2 x3 x1


3-SAT CLIQUE

C = (x1x2x3)(x1x2x3)(x1x2x3)

x1

x1

x2

x3

x2

x3

x2 x3

x1

x x

PROIBIDO


3-SAT CLIQUE

C = (x1x2x3)(x1x2x3)(x1x2x3)


3-SAT CLIQUE

//Redutor

input C = C1 C2 … Ck

for r=1,...,k do

criar três vértices em V, rotulados pelas variáveis de Cr

for all pairs u,vV de triplas diferentes

if (rótulo(u) rótulo(v)) then

criar a aresta {u,v} em E


3-SAT CLIQUE

C é capaz de satisfação

existe um grupo exclusivo de tamanho k em G


3-SAT CLIQUE


“” cada Cr possui ao menos um literal com atribuição 1 escolha esse literal e seu vértice correspondente em V

H são os k vértices escolhidos

todos os vértices de H estão ligados entre si pois a atribuição é consistente

H é CLIQUE de tamanho k


3-SAT CLIQUE

existe um grupo exclusivo de tamanho k em G

“”

Atribua 1 ao literal associado a cada vértice de H

Nenhuma aresta em E conecta vértices da mesma tripla ou complementares

H possui exatamente um vértice por tripla (tamanho k)

H não contém pares {x,x} (consistência)

Cada cláusula Cr é satisfeita

C é satisfeita


CLIQUE NPC

NP

SAT

3SAT PLI

CLIQUE


VERTEX-COVER

Cobertura de Vértices de G=(V,E)

V´ V tq se {u,v}E, então uV´ou vV´

V´= {z,w} cobertura de vértices de G tamanho 2


uma cobertura de vértices de tamanho k em G ?


VERTEX-COVER NP

//Verificador

for all vV do na_cobertura[v] := 0

for all vV’ do na_cobertura [v] := 1

for all vV do

if (na_cobertura[v] = 0) then

for all wAdjacent[v] do

if (na_cobertura[w] = 0) then return(NÃO)

return(SIM)


CLIQUE VERTEX-COVER

Redução

{v,w}E {v,w}E’

G´=(V,E´) G=(V,E)


CLIQUE VERTEX-COVER

X é CLIQUE de G

V-X é cobertura de vértices de G’


CLIQUE VERTEX-COVER

X é CLIQUE de G

“”

{u,v}E’

uX ou vX , pois se u,vX então {u,v}E

u(V-X) ou vV-X

{u,v} é coberta por V-X em G’


Obs.: |V-X| = n - k


CLIQUE VERTEX-COVER


“”

u,vX

(p/absurdo) {u,v}E

{u,v}E’

uV-X ou vV-X

X(V-X)

{u,v}E

X é clique de G


CLIQUE NPC

NP

SAT

3SAT PLI

CLIQUE

VC


3-COLOR

3-COLOR de G=(V,E) f: V {1,2,3}

{u,v}E então f(u)f(v)


uma 3-COLOR de G ?


3-COLOR NP

//Verificador

for all uV do

if f(u){1,2,3} then return(NÃO)

for all {u,v}E do

if (f(u) = f(v)) then return(NÃO)

return(SIM)


3-SAT 3-COLOR

(X X) = T (X Y) = T

X X

T F

G

Y

T

X


3-SAT 3-COLOR

C = (x1x2x3)(x1x2x3)(x1x2x3)

X2 X2 X3 X3 X1 X1

T F

G


3-SAT 3-COLOR

C = (x1x2x3)(x1x2x3)(x1x2x3)

X2 X3 X1

T


3-SAT 3-COLOR

C = (x1x2x3)(x1x2x3)(x1x2x3)

X2 X3 X1

T T


3-SAT 3-COLOR


existe f que é uma 3-COLOR de G


3-SAT 3-COLOR


“”

atribuição de cores

se u=T então f(u) = VERDE

se u=F então f(u) = VERMELHO

cada tripla tem pelo menos um nó VERMELHO

Podemos atribuir cores para os nós auxiliares

f é uma 3-COLOR de G


3-SAT 3-COLOR

C = (x1x2x3)(x1x2x3)(x1x2x3)

X2 X3 X1

T T


3-SAT 3-COLOR

existe f que é uma 3-COLOR de G

“”

atribuição de valores verdade

se f(u) = VERDE então u=T

se f(u) = VERMELHO então u=F

f(u) = VERDE f(u) = VERMELHO

f tem pelo menos um nó VERDE por tripla



3-SAT 3-COLOR

C = (x1x2x3)(x1x2x3)(x1x2x3)

X2 X3 X1

T T


3-SAT 3-COLOR

C = (x1x2x3)(x1x2x3)(x1x2x3)

X2 X3 X1

T T

Absurd !


3-COLOR NPC

NP

SAT

3SAT PLI

CLIQUE 3-COLOR


3-COLOR PLANAR

3-COLOR de G=(V,E)

f: V {1,2,3}

{u,v}E então f(u)f(v)

G é planar


uma 3-COLOR de G ?


3-COLOR PLANAR NP

//Verificador

if (not verificador_de_planaridade (G)) return(NÃO)

for all {u,v}E do

if (f(u) = f(v)) then return(NÃO)

return(SIM)


3-COLOR 3-COLOR PLANAR

cantos opostos tem mesma cor



?

?

W é 3-COLOR

então

cantos opostos tem mesma cor



u v

G



u v

G’



v u

G’



G é 3-COLOR

G’ é 3-COLOR



G é 3-COLOR G’ é 3-COLOR

u v

u

u



G é 3-COLOR G’ é 3-COLOR

v

u

u

u

u

u



G’ é 3-COLOR G é 3-COLOR

v

u

u

u

u

u




v

u

u

u

u

u




u v

u

u

u

u


3-COLOR NPC

NP

SAT

3SAT PLI

CLIQUE 3-COLOR

3-COLOR P

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