Projeto final de graduação -...

AVALIAÇÃO PROBABILÍSTICA DAS VARIÁVEIS DE PROJETO DE

EDIFÍCIOS

Raoni Rodrigues Fragoso Silva

Projeto de Graduação apresentado ao

Curso de Engenharia Civil da Escola

Politécnica, Universidade Federal do Rio de

Janeiro, como parte dos requisitos necessários

à obtenção do título de Engenheiro.

Orientador: Sergio Hampshire de Carvalho Santos

Rio de Janeiro

Março de 2018

ii


EDIFÍCIOS


PROJETO DE GRADUAÇÃO SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DO

CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DA ESCOLA POLITÉCNICA DA

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS

REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE

ENGENHEIRO CIVIL.

Examinada por:

__________________________________________

Prof. Sergio Hampshire de Carvalho Santos, D. Sc.

__________________________________________

Prof. Silvia Corbani, D. Sc.

__________________________________________

Prof. Bruno Martins Jacovazzo, D. Sc.

RIO DE JANEIRO, RJ – BRASIL

MARÇO DE 2018

iii

Silva, Raoni Rodrigues Fragoso

Avaliação probabilística das variáveis de projeto de

edifícios / Raoni Rodrigues Fragoso Silva. – Rio de

Janeiro: UFRJ/Escola Politécnica, 2018.

XVI, 131 p.: Il.; 29,7 cm.


Projeto de Graduação – UFRJ/ Escola Politécnica/ Curso

de Engenharia Civil, 2018.

Referências Bibliográficas: p. 121 a 123

1. Introdução. 2. Teoria de Probabilidade 3.

Engenharia Estrutural 4. Teoria de Confiabilidade 5.

Modelos de Estudo 6. Conclusões

I. Santos, Sergio Hampshire de Carvalho II.

Universidade Federal do Rio de Janeiro, Escola

Politécnica, Curso de Engenharia Civil. III. Avaliação

probabilística das variáveis de projeto de edifícios.

iv

AGRADECIMENTOS

Gostaria de dedicar esses agradecimentos principalmente à minha família, que me

deu suporte, financeiramente e emocionalmente, para que eu pudesse concluir a

graduação. Minha mãe Marilda, meu pai Robson, e minha irmã Carolina, que também,

sempre apoiaram minhas decisões.

Um agradecimento especial aos meus amigos, que conheci durante esses cinco

anos de curso; tanto os que entraram comigo, quanto os que eu conheci no último ano,

todos tiveram participação importantíssima na conclusão do curso, assim como na

minha vida pessoal: Victor Santiago, Gabriela Batalha, Carolina Saba, Gustavo Barud,

Yuri Donegate, Laurent Feu Grancer, Diogo Costa, Vítor Telles, Marcus Plaisant,

Alessandra Zoellner, Saulo Costa, Ana Beatriz, e Jorge Reis. Ter vocês junto comigo

durante toda essa jornada foi fundamental, pois muitas das vezes eu passava mais tempo

na faculdade do que em casa, e vocês transformaram a UFRJ em uma segunda casa para

mim. Todas as noites mal dormidas antes das provas e/ou entregas de trabalhos, vocês

estavam presentes, seja por mensagens, e-mails, ou até por Skype. Vocês estiveram

presentes em todos os momentos bons ou ruins, quando íamos para as festas, ou quando

tínhamos dúvidas se estávamos no caminho certo, nas conversas de corredor, ou na hora

que precisava de um abraço. Obrigado por toda ajuda nos estudos, por todas as palavras

de incentivo, as conversas para passar o tempo e principalmente pela amizade.

Quero deixar meu agradecimento aos professores que fizeram parte da minha

história, tanto na faculdade, quanto no ensino básico. Às professoras Solange e Icéa que

me receberam na minha primeira escola e me fizeram aprender a gostar de estudar; aos

professores Wagner e Helena, que sempre me impulsionaram a cursar escola técnica;

aos professores Zenildo Oliveira e Regina Célia que no ensino técnico sempre foram

referências pra mim, como profissionais da área e como pessoas; aos professores Bruno

e Alberiz que no pré-vestibular me fizeram gostar e entender matemática, como eu

nunca tinha aprendido e possibilitaram o meu ingresso na UFRJ; à professora Noemi,

que me ensinou Cálculo I de forma que facilitou muito meu caminho durante o ciclo

básico na UFRJ; obrigado por sempre terem acreditado em mim mesmo quando eu

duvidava.

v

Aos professores do ciclo básico, Aloísio Pina, Eleonora Pinto, Wilton Kort-Kamp,

Thiago Linhares, e Paula Viero; e do ciclo profissional, Assed Haddad, Bruno

Jacovazzo, Marcos Barreto, Leonardo Becker, Elaine Garrido, Virgílio Noronha,

Marcelo Miguez, Sandra Oda, Cláudia Éboli, Flavia Moll, Ricardo Valeriano,

Alessandra Conde, Eduardo Batista e Michèle Pfeil por sempre terem sido exemplos e

referências quando penso em qualidade de ensino, didática em sala de aula e dedicação

aos alunos.

Principalmente, ao meu orientador, Sergio Hampshire, por toda paciência e apoio

ao longo do desenvolvimento desse trabalho. Por sempre se mostrar disponível e

presente. Pela qualidade das aulas e por todo o conteúdo passado durante as várias

matérias ministradas ao longo do meu período de graduação. E também aos professores

da banca, Bruno Jacovazzo e Silvia Corbani, pela atenção e disponibilidade.

Por último, mas não menos importante, gostaria de agradecer aos meus chefes

Enio Kaippert e Zenildo Oliveira, que também foi meu professor, pelo apoio na vida

profissional, por sempre estarem dispostos a dividir conhecimento comigo, e terem me

abraçado no estágio, tanto na época do ensino técnico, como na graduação,

acompanhando meu crescimento durante todo esse tempo, que tem muito das suas

contribuições também.

vi

Resumo do Projeto de Graduação apresentado à Escola Politécnica/ UFRJ como

parte dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Engenheiro Civil.


EDIFÍCIOS


Março/2018


Curso: Engenharia Civil

Para o projeto de edifícios é de suma importância a consideração das incertezas

das variáveis presentes no projeto de estruturas, dentre elas, cargas permanentes e

acidentais, pressão de vento, resistência do concreto e do aço, e dimensões geométricas.

Essas incertezas, podem ser de diversas naturezas, como imperfeição na execução da

estrutura, incertezas de modelagem, variações nas propriedades mecânicas dos

materiais, etc., e são consideradas nas normas através de coeficientes de segurança. Este

trabalho visa avaliar se esses coeficientes são adequados, verificando diversos modos de

ruptura em estruturas, como compressão simples, tração simples, flexão pura,

cisalhamento puro, e flexão composta reta. São aplicados métodos probabilísticos como

Monte Carlo, FORM e SORM, através da Teoria da Confiabilidade, resolvidos por

algoritmos na linguagem Python e programa comercial chamado VaP, utilizando

valores médios e de desvio das variáveis calculados a partir de dados obtidos em

ensaios e publicado em artigos bem aceitos no cenário mundial.

Palavras-chave: Confiabilidade, Monte Carlo, FORM, Projeto de Edifícios, Incertezas.

vii

Abstract of Undergraduate Project presented to POLI/UFRJ as a partial

fulfillment of the requirements for the degree of Engineer.

PROBABILISTIC EVALUATION OF BUILDING DESIGN VARIABLES


March/2018

Advisor: Sergio Hampshire de Carvalho Santos

Course: Civil engineering

In buildings design, it is of the utmost importance to consider the deviations in the

variables utilized in the structure design, among them, dead and live loads, wind

pressure, concrete and steel resistance and geometric dimensions. These deviations, may

be of different natures, such as imperfection in the execution of the structure, deviations

of modeling, variations in the mechanical properties of materials, etc., and are

considered in the codes through security coefficients. This work aims to verify the

adequacy of these coefficients, verifying several rupture modes in structures, such as

simple compression, simple traction, pure bending, pure shearing, and straight

composite bending. This work makes use of probabilistic methods applicable to the

Theory of Reliability - such as Monte Carlo, FORM and SORM - through algorithms in

the Python language and in the commercial software VaP, using average and deviations

values of variables calculated with data obtained in experiments and published articles

well-accepted by the international community.

Keywords: Reliability, Monte Carlo, FORM, Design Buildings, Deviations.

viii

Sumário

Capítulo 1. INTRODUÇÃO .............................................................................. 1

1.1. MOTIVAÇÃO ........................................................................................ 1

1.2. OBJETIVOS ........................................................................................... 2

1.3. ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO ...................................................... 2

Capítulo 2. TEORIA DE PROBABILIDADE ................................................... 3

2.1. INTRODUÇÃO ...................................................................................... 3

2.2. PROBABILIDADES .............................................................................. 3

2.2.1. Teoria de conjuntos ........................................................................... 3

2.2.2. Definição de Probabilidade ............................................................... 5

2.2.3. Espaço de probabilidades ................................................................. 6

2.2.4. Probabilidades condicionais ............................................................. 6

2.2.5. Teorema da Probabilidade Total ....................................................... 7

2.2.6. Teorema de Bayes ............................................................................. 7

2.2.7. Independência de eventos ................................................................. 7

2.3. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS ................................................................. 8

2.3.1. Definição de variável aleatória ......................................................... 8

2.4. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS .......................................... 9

2.4.1. Distribuição de probabilidade ........................................................... 9

2.4.2. Função de distribuição acumulada .................................................... 9

2.4.3. Momentos de uma variavél aleatória discreta................................. 10

2.4.4. Modelos de distribuição discretas ................................................... 12

2.5. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS ....................................... 16

2.5.1. Distribuição de probabilidade ......................................................... 16

ix

2.5.2. Função de distribuição acumulada .................................................. 16

2.5.3. Medidas de centralidade e dispersão .............................................. 17

2.5.4. Quantis de uma variável aleatória ................................................... 19

2.5.5. Distribuições aleatórias contínuas .................................................. 20

2.5.6. A Distribuição Normal ................................................................... 23

2.5.7. Distribuições derivadas da Normal ................................................. 26

2.5.8. Distribuições de extremo valor ....................................................... 28

2.6. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS BIDIMENSIONAIS ............................. 30

2.6.1. Variáveis aleatórias bidimensionais contínuas ............................... 30

2.6.2. Função de distribuição acumulada bidimensionais ........................ 30

2.6.3. Distribuições marginais .................................................................. 31

2.6.4. Variáveis aleatórias independentes ................................................. 31

2.6.5. Medidas de centralidade e dispersão .............................................. 32

2.6.6. Covariância e correlação ................................................................. 33

2.6.7. Variáveis aleatórias multidimensionais .......................................... 34

2.7. FUNÇÃO DE UMA OU MAIS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS ........... 34

2.7.1. Distribuição de probabilidades da função de uma v.a. ................... 34

2.7.2. Medidas de centralidade e dispersão da função de uma v.a. .......... 34

2.7.3. Distribuição de probabilidades da função de duas v.a. ................... 35

2.7.4. Medidas de centralidade e dispersão da função de duas v.a. .......... 35

2.7.5. Momentos da função de várias v.a. ................................................ 36

Capítulo 3. ENGENHARIA ESTRUTURAL .................................................. 38

3.1. INTRODUÇÃO .................................................................................... 38

3.2. TEORIA DE CONCRETO ARMADO ................................................ 39

3.2.1. Estados limites ................................................................................ 39

3.2.2. Ponderações de solicitações e resistências ..................................... 39

x

3.2.3. Valores característicos .................................................................... 43

3.2.4. Propriedades dos materiais ............................................................. 44

3.3. HIPÓTESES BÁSICAS DO DIMENSIONAMENTO ........................ 48

3.3.1. Hipóteses básicas para o dimensionamento em concreto armado .. 49

3.4. DOMÍNIOS DE DIMENSIONAMENTO ............................................ 50

3.4.1. Domínio 1 ....................................................................................... 52

3.4.2. Domínio 2 ....................................................................................... 54

3.4.3. Domínio 3 ....................................................................................... 56

3.4.4. Domínio 4 e 4a ................................................................................ 56

3.4.5. Domínio 5 ....................................................................................... 57

3.5. TRELIÇA DE MÖRSCH ..................................................................... 59

3.6. DIMENSIONAMENTO ....................................................................... 62

3.6.1. Tração simples ................................................................................ 62

3.6.2. Compressão simples ....................................................................... 62

3.6.3. Flexão simples ................................................................................ 63

3.6.4. Flexão composta reta ...................................................................... 74

3.6.5. Cisalhamento por esforço cortante ................................................. 77

Capítulo 4. TEORIA DE CONFIABILIDADE ............................................... 80

4.1. INTRODUÇÃO .................................................................................... 80

4.2. EQUAÇÃO DE FALHA ...................................................................... 80

4.3. PROBABILIDADE DE FALHA .......................................................... 82

4.4. ÍNDICE DE CONFIABILIDADE ........................................................ 82

4.5. VALORES CARACTERÍSTICOS X VALORES MÉDIOS ............... 85

4.6. SIMULAÇÃO DE MONTE CARLO ................................................... 87

4.7. MÉTODOS DE TRANSFORMAÇÃO ................................................ 87

4.7.1. First Order Second Moment (FOSM) ............................................. 88

xi

4.7.2. First Order Reliability Method (FORM) ........................................ 88

4.7.3. Second Order Reliability Method (SORM) .................................... 88

4.8. VARIÁVEIS BÁSICAS ....................................................................... 89

4.8.1. Variáveis de solicitações ................................................................. 89

4.8.2. Variáveis de resistências ................................................................. 93

4.9. CALIBRAGEM DE NORMA .............................................................. 95

Capítulo 5. MODELOS DE ESTUDO ............................................................ 98

5.1. INTRODUÇÃO .................................................................................... 98

5.2. COMPRESSÃO SIMPLES .................................................................. 99

5.3. TRAÇÃO SIMPLES ........................................................................... 105

5.4. FLEXÃO SIMPLES ........................................................................... 107

5.5. CISALHAMENTO PURO ................................................................. 114

5.6. FLEXÃO COMPOSTA RETA .......................................................... 116

Capítulo 6. CONCLUSÃO ............................................................................ 119

Capítulo 7. BIBLIOGRAFIA ......................................................................... 121

ANEXOS .......................................................................................................... 124

ALGORITMO MONTE CARLO ................................................................. 124

xii

Lista de Figuras

Figura 2-1 : Gráficos de funções de densidade e distribuição acumulada,

respectivamente. Fonte: UFPR (2018), acessado em 19/03/2018:

http://www.leg.ufpr.br/~paulojus/embrapa/Rembrapa/Rembrapase12.html .................. 17

Figura 2-2 : Gráficos da funções de densidade da distribuição Normal. Fonte:

Portal Action (2018), acessado em 19/03/2018:

http://www.portalaction.com.br/probabilidades/62-distribuicao-normal ....................... 24

Figura 3-1 : Diagrama tensão-deformação do aço. Fonte: Santos (2017). ......... 45

Figura 3-2: Diagrama tensão-deformação do concreto. Fonte: ABNT (2014) ... 46

Figura 3-3 : Diagramas de deformações no concreto. Fonte: Santos (2017) ...... 49

Figura 3-4 : Domínios de dimensionamento do concreto. Fonte: ABNT (2014) 51

Figura 3-5 : Seção transversal. Fonte: Santos (2017) ......................................... 51

Figura 3-6 : Seção longitudinal. Fonte: Santos (2017) ....................................... 52

Figura 3-7 : Deformações no domínio 1. Fonte: Santos (2017) ......................... 53

Figura 3-8 : Deformações no domínio 1 com sistema de eixos coordenados.

Fonte: Santos (2017) ....................................................................................................... 53

Figura 3-9 : Deformações no domínio 2. Santos (2017)..................................... 55

Figura 3-10 : Esquema gráfico do domínio 5. Fonte: Eboli (2016) .................... 57

Figura 3-11 : Deformações no domínio 5. Fonte: Santos (2017) ....................... 58

Figura 3-12 : Deformações no domínio 5 com sistema de eixos coordenados.

Fonte: Santos (2017) ....................................................................................................... 58

Figura 3-13 : Modelo de treliça generalizada para vigas. Fonte: Eboli (2016) .. 59

Figura 3-14 : Seção de Ritter com inclinação 𝜽. Fonte: Eboli (2016) ................ 60

Figura 3-15 : Esforços de cálculo corrigidos. Fonte: Eboli (2016) .................... 61

Figura 3-16 : Esquema com esforços atuantes em vigas. Fonte: Eboli (2016) ... 64

Figura 3-17 : Esquema com esforços atuantes em vigas T. Fonte: Eboli (2016) 69

xiii

Figura 3-18 : Esquema com esforços atuantes em vigas T: linha neutra na mesa.

Fonte: Eboli (2016) ......................................................................................................... 70

Figura 3-19 : Esquema com esforços atuantes em vigas T: linha neutra na alma.

Fonte: Eboli (2016) ......................................................................................................... 71

Figura 3-20 : Esquema com esforços atuantes em vigas T: linha neutra na alma.

Fonte: Eboli (2016) ......................................................................................................... 71

Figura 3-21 : Envoltória de segurança na flexão composta reta. Fonte: Santos

(2017) ............................................................................................................................. 74

Figura 3-22 : Tipos de seções consideradas na flexão composta reta. Fonte:

Santos (2017) .................................................................................................................. 75

Figura 4-1 : Problema fundamental de Confiabilidade. Fonte: Beck (2015)...... 81

Figura 5-1: Gráfico de índice de confiabilidade x porcentagem de carga variável

para 𝛾𝑓 = 1,40 ............................................................................................................. 100


para 𝛾𝑓 = 1,50 ............................................................................................................. 101


para 𝛾𝑓 = 1,60 ............................................................................................................. 102


para 𝛾𝑓 = 1,70 ............................................................................................................. 103


para 𝛾𝑓 = 1,80 ............................................................................................................. 104


para 𝛾𝑓 = 1,40 ............................................................................................................. 106


para 𝛾𝑓 = 1,40 ............................................................................................................. 109


para 𝛾𝑓 = 1,40 ............................................................................................................. 110


para 𝛾𝑓 = 1,40 ............................................................................................................. 111

xiv

Figura 5-10: Gráfico de índice de confiabilidade x porcentagem de carga

variável para 𝛾𝑓 = 1,40 ............................................................................................... 112


variável para 𝛾𝑓 = 1,40 ............................................................................................... 113


variável para 𝛾𝑓 = 1,40 ............................................................................................... 115


variável para 𝛾𝑓 = 1,40 ............................................................................................... 117

xv

Lista de Tabelas

Tabela 3-1 : Coeficientes de majoração das solicitações. Fonte: ABNT (2014). 40

Tabela 3-2 : Coeficientes de combinação das solicitações. Fonte: ABNT (2014).

........................................................................................................................................ 40

Tabela 3-3 : Combinações no ELU. Fonte: ABNT (2014) ................................. 41

Tabela 3-4 : Combinações no ELU (Cont.). Fonte: ABNT (2014) .................... 41

Tabela 3-5 : Combinações no ELS. Fonte: ABNT (2014) ................................. 42

Tabela 3-6 : Coeficientes de minoração das resistências. Fonte: ABNT (2014) 43

Tabela 3-7 : Deformações no aço. ...................................................................... 45

Tabela 3-8 : Limites para tensão de escoamento na reta b do Domínio 5. ......... 62

Tabela 3-9 : Limites para o 𝑘𝑚𝑑 ........................................................................ 67

Tabela 4-1 : Classes de consequência. Fonte: Eurocode (2002)......................... 84

Tabela 4-2 : Restrições do 𝛽 de acordo com o a classe de confiabilidade. Fonte:

Eurocode (2002) ............................................................................................................. 84

Tabela 4-3 : Tempo de vida útil das construções. Fonte: FIB (2012) ................ 85

Tabela 4-4 : Restrições do 𝛽 de acordo com o estado limite. Fonte: Eurocode

(2002) ............................................................................................................................. 85

Tabela 4-5 : Valores médios e coeficientes de variação. Fonte: Holický et al.

(2011) ............................................................................................................................. 89

Tabela 4-6 : Valores médios e CV[.]. Fonte: Beck (2014) ................................. 90

Tabela 4-7 : Coeficientes de variação. Fonte: JCSS (2001) ............................... 90

Tabela 4-8 : Valores médios e covariâncias. Fonte: JCSS (2001) ...................... 91

Tabela 4-9 : Resumo dos parâmetros das variáveis de projeto ........................... 94

Tabela 5-1 : Índices de confiabilidade para compressão simples 𝛾𝑓 = 1,40 ... 100


xvi




Tabela 5-6 : Fator de majoração das cargas para porcentagem de carga variável

𝜒 .................................................................................................................................... 105

Tabela 5-7 : Índices de confiabilidade para tração simples 𝛾𝑓 = 1,40 ............ 106

Tabela 5-8 : Índices de confiabilidade para flexão pura (seção ret. e arm.

simples) 𝛾𝑓 = 1,40....................................................................................................... 108

Tabela 5-9 : Índices de confiabilidade para flexão pura (seção retangular e arm.

dupla) 𝛾𝑓 = 1,40 .......................................................................................................... 109

Tabela 5-10 : Índices de confiabilidade para flexão pura (seção T e armadura

simples) 𝛾𝑓 = 1,40....................................................................................................... 110

Tabela 5-11 : Índices de confiabilidade para flexão pura (seção T e armadura

dupla) 𝛾𝑓 = 1,40 .......................................................................................................... 111

Tabela 5-12 : Índices de confiabilidade para flexão pura (laje) 𝛾𝑓 = 1,40 ..... 113

Tabela 5-13 : Índices de confiabilidade para cisalhamento por cortante 𝛾𝑓 =

1,40 ............................................................................................................................... 115

Tabela 5-14 : Índices de confiabilidade para flexão composta reta 𝛾𝑓 = 1,40 117

1

Capítulo 1. INTRODUÇÃO

1.1. MOTIVAÇÃO

Incertezas fazem parte da vida de todo engenheiro. Existem vários tipos de

incertezas: física, de previsão, estatística, de decisão, do modelo, fenomenológica e

erros humanos. Na engenharia civil, especificamente na engenharia estrutural, no

dimensionamento de estruturas, são atribuídos coeficientes de segurança para cargas e

resistências no cálculo determinístico, reconhecendo que existem incertezas de diversas

naturezas, tais como, a magnitude e distribuição do carregamento, as características

mecânicas dos materiais, a modelagem estrutural (a distância entre o modelo teórico e o

real), e as imperfeições na execução da estrutura. Esses coeficientes não preveem

possíveis erros humanos, visto que esses erros são imprevisíveis.

Os coeficientes utilizados pela maioria dos engenheiros civis são encontrados nas

normas de ações e cargas, e de projetos estruturais, no entanto, esses valores devem ser

calibrados de acordo com níveis de segurança mínimos estabelecidos. Para isso, as

variáveis envolvidas em um projeto são avaliadas de acordo com seus valores médios e

desvios, utilizando de métodos probabilísticos difundidos. Esses métodos são avaliados

segundo a Teoria de Confiabilidade. Confiabilidade é um termo utilizado para expressar

o grau de confiança de um sistema para a falha, respeitadas certas condições.

A Teoria da Confiabilidade é muito utilizada atualmente para definir

probabilidade de falha em função do tempo no funcionamento de sistemas durante o seu

ciclo de vida, principalmente aplicado na engenharia mecânica, de automação e

eletrônica; na construção de aviões, submarinos, centrais nucleares, etc.

Em engenharia de estruturas, é muito comum o dimensionamento ser feito com

modelos determinísticos, sendo a análise de Confiabilidade mais aplicável em

verificações. No entanto, seu emprego é maior no meio acadêmico, com profissionais

envolvidos na calibragem das normas de projeto de estruturas, campo explorado nesse

trabalho, dada a importância de obter coeficientes adequados a segurança requisitada

nesse tipo de projeto, visto que lida com a segurança de vidas.

2

1.2. OBJETIVOS

Este trabalho tem como objetivo principal verificar a segurança dos coeficientes

estabelecidos em norma. Para esse fim, serão analisadas diversas combinações de cargas

permanente, acidental e vento, para diversos modos de ruptura existentes em uma

estrutura real. Neste trabalho são avaliadas a: compressão simples, tração simples,

flexão pura, cisalhamento puro por cortante e flexão composta reta. Os níveis de

segurança mínimos utilizados como parâmetro são os valores limites de probabilidade

de falha de estruturas estabelecidos na EN-1990 (EUROCODE, 2002). O cálculo das

probabilidades de falha foi feito com implementação de uma rotina desenvolvida em

linguagem Python, e comparada com o software comercial de confiabilidade VaP.

1.3. ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO

Este trabalho tem início com revisão bibliográfica de todos os assuntos abordados

no decorrer da análise dos modelos. No Capítulo 2 são abordados temas relativos a

Teoria de Probabilidades, introduzindo conceitos como espaço de probabilidades,

variáveis aleatórias, distribuições de variáveis aleatórias e operações com variáveis

aleatórias. No Capítulo 3 são mostradas definições apresentadas pela norma de projeto

de estruturas em concreto armado, a NBR 6118 (ABNT, 2014), que dá diretrizes para o

dimensionamento e verificação de estruturas em concreto armado. No Capítulo 4 são

apresentados os conceitos fundamentais de Teoria da Confiabilidade aplicável a

engenharia de estruturas e feita uma discussão sobre os valores médios e de desvios

atribuído às variáveis de projeto. No Capítulo 5 são realizados modelos de estudo e é

verificada a segurança dos coeficientes de ponderação de acordo com os níveis mínimos

exigidos no estado limite último. No Capítulo 6 estão as conclusões, considerações

finais e sugestões para trabalhos futuros.

3

Capítulo 2. TEORIA DE PROBABILIDADE

2.1. INTRODUÇÃO

Modelos determinísticos são modelos que podem ser calculados com uma

fórmula, bastando saber as condições iniciais, como por exemplo, na segunda lei de

Newton: 𝐹 = 𝑚𝑎. Nesse caso, basta saber a massa e a aceleração de um corpo, que

conseguimos calcular a força aplicada por ele.

Modelos probabilísticos são utilizados, quando existe um problema no qual,

mesmo sabendo as condições iniciais, nós não temos a capacidade de determinar o

resultado final. Como por exemplo o lançamento de um dado, nós sabemos que existem

seis faces possíveis, o número de cada uma, mas não conseguimos determinar

precisamente qual será a face mostrada para cima, apenas a “chance” de que cada uma

ocorra.

Nas seções seguintes serão abordados conceitos que explorarão mais a fundo

como definir as “chances” de ocorrência em modelos probabilísticos.

2.2. PROBABILIDADES

2.2.1. Teoria de conjuntos

A aplicação do conceito de conjuntos à Teoria de Probabilidade é muito

recorrente, dito isso, serão apresentadas a seguir algumas definições importantes

(BECK, 2015).

• Espaço amostral (Ω): conjunto de todos os possíveis resultados de um

experimento aleatório;

• Ponto amostral (𝑤𝑖): 𝑖 − é𝑠𝑖𝑚𝑜 resultado possível de um experimento

aleatório;

• Evento 𝐴 = {𝑤𝑖}∗: conjunto de pontos amostrais que satisfazem a uma

determinada regra; subconjunto do espaço amostral Ω;

• Evento elementar: contém um único ponto amostral;

• Evento composto: formado por mais de um ponto amostral;

4

• Evento nulo (∅): nenhum ponto do espaço amostral satisfaz a regra que

caracteriza evento, ou seja, o evento é um conjunto vazio;

• Evento certo: é aquele que ocorre com probabilidade um, e.g. 𝑃[Ω] = 1;

• Espaço amostral discreto: formado por um número finito de pontos

amostrais;

• Espaço amostral contínuo: formado por um número infinito de pontos

amostrais.

As probabilidades são associadas apenas a eventos, e não a pontos amostrais.

Experimento aleatório

O conceito de experimento aleatório deve obedecer às seguintes características

(PINHEIRO, et al., 2011):

a) Pode ser realizado sob condições idênticas um número indeterminado de

vezes;

b) O resultado não pode ser determinado antes do experimento ser

realizado;

c) O experimento apresenta regularidade, visto que, se for feito um número

muito grande de realizações, a frequência deum resultado se aproxima de

um valor constante;

d) Cada resultado possui uma medida de confiança estatística

(probabilidade de ocorrência).

Operações de Conjuntos

A seguir são apresentadas algumas operações que podem ser realizadas com

eventos (BECK, 2015).

i. Soma ou União:

𝐴 + 𝐵 conjunto dos elementos pertencentes a 𝐴, 𝐵, ou ambos.

𝐴 ∪ 𝐵 idem ao de cima.

5

ii. Produto ou interseção:

𝐴 ∙ 𝐵 conjunto dos elementos comuns a 𝐴 e 𝐵.

𝐴 ∩ 𝐵 idem ao de cima.

iii. Conjuntos mutuamente exclusivos:

𝐴 ∩ 𝐵 = 0 𝐴 e 𝐵 não possuem elementos em comum.

iv. Evento complementar:

𝐴 todos elementos de Ω que não estão em 𝐴.

∅ = Ω 𝐴 + 𝐴 = Ω

Ω = ∅ 𝐴 ∩ 𝐴 = ∅

2.2.2. Definição de Probabilidade

Sendo 𝑁𝐴 o número de possíveis resultados favoráveis do evento 𝐴 e 𝑁 o

número total de resultados possíveis, que sejam equiprováveis, a definição clássica de

probabilidades é descrita pela seguinte equação:

𝑃[𝐴] =𝑁𝐴𝑁

(2-1)

A Teoria Matemática das Probabilidades é baseada em três axiomas

fundamentais. Nos quais, seja um evento 𝐴, a probabilidade do evento obedece aos

postulados a seguir (PINHEIRO, et al., 2011):

i. 𝑃[𝐴] ≥ 0 , i.e., a probabilidade é um número maior ou igual a zero;

ii. 𝑃[Ω] = 1 , i.e., a probabilidade de um evento certo é igual a um;

iii. 𝑃[𝐴 ∪ 𝐵] = 𝑃[𝐴] + 𝑃[𝐵] se 𝐴 e 𝐵 eventos mutuamente exclusivos.

Propriedades de Probabilidades

a) 𝑃(∅) = 0

6

b) 𝑃(𝐴) = 1 − 𝑃(𝐴)

c) 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)

d) 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) + 𝑃(𝐶) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐶) −

𝑃(𝐵 ∩ 𝐶) + 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶)

e) Se 𝐴 ⊂ 𝐵, então 𝑃(𝐴) ≤ 𝑃(𝐵)

2.2.3. Espaço de probabilidades

Um experimento aleatório é formado por um espaço amostral, composto de

pontos amostrais. Esse espaço amostral é dito um espaço de probabilidades se para cada

ponto amostral associa-se um número real 𝑝𝑖, chamada de probabilidade do evento

elementar 𝑖.

No caso de um experimento com resultados equiprováveis o valor de 𝑝𝑖 para

cada resultado será o mesmo, expresso, analogamente, pela equação (2-1), como:

𝑝𝑖 = 𝑃[𝑤𝑖] =1

𝑁

No entanto, o número total de resultados do espaço amostral, e dos eventos

possíveis, pode não ser tão simples, em alguns casos. Para a determinação desses

valores é muito recorrente o uso de ferramentas de contagem, da análise combinatória.

2.2.4. Probabilidades condicionais

Se 𝐴 e 𝐵 são eventos que podem ocorrer em um determinado experimento, a

probabilidade condicional de 𝐵 ocorrer, quando se sabe que 𝐴 ocorreu, é representada

por 𝑃(𝐵|𝐴) (Lê-se, probabilidade de 𝐵, dado 𝐴) (SCHNEIDER, 2006). A probabilidade

condicional de 𝐴 dado 𝐵 pode ser calculada por:

𝑃[𝐴|𝐵] =𝑃[𝐴 ∩ 𝐵]

𝑃[𝐵] (2-2)

Se 𝐴 e 𝐵 são eventos mutuamente exclusivos, ou seja, (𝐴 ∩ 𝐵) = 0, então:

𝑃[𝐴 ∩ 𝐵] = 0 ∴ 𝑃[𝐴|𝐵] = 0

7

2.2.5. Teorema da Probabilidade Total

É dito que os eventos 𝐴1, 𝐴2, … , 𝐴𝑛 formam uma partição de um espaço

amostral, quando:

a) 𝑃(𝐴𝑖) > 0, para todo 𝑖 (𝑖 = 0,1,2, … , 𝑛)

b) 𝐴𝑖 ∩ 𝐴𝑗 = 0, para todo 𝑖 ≠ 𝑗, eventos mutuamente exclusivos entre si

c) ⋃ 𝐴𝑖𝑛𝑖=1 = Ω

d) ∑ 𝑃[𝐴𝑖] = 1𝑛𝑖=1

e) ∑ 𝑃[𝐴𝑖|𝐵] = 1𝑛𝑖=1

A teoria da probabilidade total diz que para qualquer evento 𝐵 contido em Ω,

pode-se escrever (PINHEIRO, et al., 2011):

𝑃[𝐵] = 𝑃[𝐴1 ∩ 𝐵] + [𝐴2 ∩ 𝐵] + ⋯𝑃[𝐴𝑛 ∩ 𝐵]

𝑃[𝐵] = 𝑃[𝐵|𝐴1] ∙ 𝑃[𝐴1] + 𝑃[𝐵|𝐴2] ∙ 𝑃[𝐴2] + ⋯𝑃[𝐵|𝐴𝑛] ∙ 𝑃[𝐴𝑛]

𝑃[𝐵] =∑𝑃[𝐵|𝐴𝑖] ∙ 𝑃[𝐴𝑖]

𝑛

𝑖=1

(2-3)

2.2.6. Teorema de Bayes

Considerando uma partição do espaço amostral, pelo teorema da probabilidade

total chega-se a:

𝑃[𝐴𝑖|𝐵] =𝑃[𝐵|𝐴𝑖] ∙ 𝑃[𝐴𝑖]

𝑃[𝐵|𝐴1] ∙ 𝑃[𝐴1] + 𝑃[𝐵|𝐴2] ∙ 𝑃[𝐴2] + ⋯𝑃[𝐵|𝐴𝑛] ∙ 𝑃[𝐴𝑛] (2-4)

Conhecido como Teorema de Bayes (SCHNEIDER, 2006).

2.2.7. Independência de eventos

Na existência de dois eventos 𝐴 e 𝐵, cuja probabilidade condicional 𝑃[𝐴|𝐵] =

𝑃[𝐴], ou 𝑃[𝐵|𝐴] = 𝑃[𝐵], é dito que os eventos são independentes, ou seja, a

8

probabilidade de ocorrência de um evento não é afetada pela ocorrência do outro

(PINHEIRO, et al., 2011). Dito isso, é possível afirmar que:

𝑃[𝐵 ∩ 𝐴] = 𝑃[𝐴] ∙ 𝑃[𝐵] (2-5)

2.3. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS

2.3.1. Definição de variável aleatória

O conceito geral de variável aleatória (v.a.) é: uma função que associa cada

elemento de um espaço amostral a um número real (PINHEIRO, et al., 2011).

Para facilitar a compreensão, será utilizada letra maiúscula para designar a

variável aleatória (ex: “𝑋”) e letra minúscula para designar uma realização da variável,

ou seja, o valor real que ela assume em um experimento (ex: “𝑥”).

O conjunto {𝑋 ≤ 𝑥} é considerado um evento para qualquer número real 𝑥, e é

lido como: “a variável aleatória 𝑋 assume qualquer valor menor do que 𝑥.

Existem variáveis aleatórias de dois tipos: discretas e contínuas.

Variáveis aleatórias discretas

Uma variável aleatória é dita discreta, se o número de valores que ela puder

assumir for finito, ou infinito numerável (existe uma correspondência um a um dos seus

elementos com os números do conjunto dos naturais) (PINHEIRO, et al., 2011).

Variáveis aleatórias contínuas

Do contrário da variável aleatória discreta, uma variável aleatória é dita

contínua, se o número de valores que ela puder assumir for qualquer valor dentro de um

intervalo de reais, ou seja, um infinito inumerável (BECK, 2015).

9

2.4. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS

2.4.1. Distribuição de probabilidade

A função 𝑝(𝑥𝑖) é chamada de função de distribuição de probabilidades de uma

variável aleatória, se para cada ponto do espaço amostral da variável aleatória 𝑋 existe

um valor real 𝑥𝑖 para o qual:

a) 𝑝𝑋(𝑥𝑖) = 𝑃[𝑋 = 𝑥𝑖]

b) 𝑝(𝑥𝑖) ≥ 0

c) ∑ 𝑝(𝑥𝑖)𝑛𝑖=1 = 1

2.4.2. Função de distribuição acumulada

Para qualquer variável aleatória com valores possíveis 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛, os eventos

{𝑋 = 𝑥1}, {𝑋 = 𝑥2}, … , {𝑋 = 𝑥𝑛} são mutuamente exclusivos. Logo,

𝑃[𝑋 ≤ 𝑥𝑛] = 𝑃[𝑋 = 𝑥1] + 𝑃[𝑋 = 𝑥1] + ⋯+ 𝑃[𝑋 = 𝑥𝑛]

𝐹𝑋(𝑥) = 𝑃[𝑋 ≤ 𝑥𝑛] = ∑𝑃[𝑋 = 𝑥𝑖]

𝑛

𝑖=1

(2-6)

é chamada de função de distribuição acumulada de probabilidades de uma variável

aleatória.

Propriedades da função de distribuição acumulada

a) 𝐹(𝑥) é uma função não decrescente, isto é, 𝑥 < 𝑦 implica 𝐹(𝑥) ≤ 𝐹(𝑦).

b) Seja 𝑥 < 𝑦, 𝑃[{𝑥 < 𝑋 ≤ 𝑦}] = 𝐹(𝑦) − 𝐹(𝑥)

c) lim𝑥→−∞

𝐹(𝑥) = 0.

d) lim𝑥→+∞

𝐹(𝑥) = 1.

e) O gráfico possui aspecto de “função escada”, subindo um degrau de

altura 𝑝(𝑥) no ponto 𝑥 sempre que 𝑝(𝑥) > 0.

10

2.4.3. Momentos de uma variavél aleatória discreta

As grandezas apresentadas abaixo também são conhecidas como parâmetros de

distribuição.

Esperança ou média

A média (também chamada de valor esperado ou esperança) é o valor de

centralidade de uma variável aleatória (PINHEIRO, et al., 2011). É representada por

𝐸[𝑋], ou na maioria das vezes como 𝜇𝑋, e calculada como:

𝐸[𝑋] = 𝜇𝑋 =∑𝑥𝑖 ∙ 𝑃[𝑋 = 𝑥𝑖]

𝑛

𝑖=1

=∑𝑥𝑖 ∙ 𝑝𝑋(𝑥𝑖)

𝑛

𝑖=1

(2-7)

As probabilidades de cada valor que a variável aleatória pode assumir funcionam

como ponderação no cálculo da média. Como a soma das probabilidades é sempre igual

a 1, não foi necessário dividir pelo número de elementos.

Variância e desvio padrão

A variância e o desvio padrão são medidas da dispersão dos valores da variável

aleatória, ou seja, eles medem quanto os valores observados variam em torno da média

(PINHEIRO, et al., 2011). A notação de variância é 𝑉𝑎𝑟[𝑋], ou mais comumente 𝜎2. A

variância é calculada através de:

𝑉𝑎𝑟[𝑋] = 𝜎𝑋2 =∑(𝑥𝑖 − 𝜇𝑋)² ∙ 𝑝𝑋(𝑥𝑖)

𝑛

𝑖=1

(2-8)

Pode-se demonstrar que a variância também pode ser calculada por:

𝑉𝑎𝑟[𝑋] = 𝜎𝑋2 =∑𝑥𝑖

2 ∙ 𝑝𝑋(𝑥𝑖)

𝑛

𝑖=1

− 𝜇𝑋2 = 𝐸[𝑋2] − 𝐸[𝑋]² (2-9)

O desvio padrão é a raiz quadrada não negativa da variância:

𝜎𝑋 = +√𝜎𝑋² (2-10)

A variância também é chamada de segundo momento central da variável aleatória.

A variância e o desvio padrão possuem unidades. Por exemplo, se a variável estudada

11

for uma força, com unidade em kN, o desvio padrão também terá unidade de kN e a

variância terá unidade de kN².

A variância e o desvio padrão são medidas importantes para o controle de

qualidade, sendo uma maneira de limitar a dispersão ou a variabilidade no processo

produtivo.

Média e variância de uma amostra

Quando é feita análise estatística de uma variável aleatória através de uma

amostra, que possui 𝑛 observações 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛, a média pode ser calculada através de

(BECK, 2015):

𝑥 =1

𝑛∑𝑥𝑖

𝑛

𝑖=1

(2-11)

É comum a notação da média para amostras ser o nome da variável aleatória em

minúsculo, com a barra em cima.

A exemplo da média, a variância de uma amostra é calculada da seguinte

maneira (BECK, 2015):

𝑣 =1

𝑛∑(𝑥𝑖 − 𝑥)²

𝑛

𝑖=1

(2-12)

Quando se analisa amostras de uma população (todos os valores possíveis que a

variável pode assumir), é comum utilizar o denominador (𝑛 − 1) em vez de 𝑛 no

cálculo da variância.


𝑠 = +√𝑣² (2-13)

É importante ressaltar que a média e a variância de uma amostra de uma variável

aleatória 𝑋, 𝑥 𝑒 𝑣, são diferentes da média e variância da população, 𝜇𝑋 𝑒 𝜎𝑋2, entretanto,

são considerados ótimos estimadores para um 𝑛 satisfatório.

12

Coeficiente de variação

O coeficiente de variação é o quociente entre o desvio padrão e a média de uma

variável aleatória. Sua notação é 𝐶𝑉[𝑋].

𝐶𝑉[𝑋] =𝜎𝑋𝜇𝑋

(2-14)

Desde que a média não seja igual a zero.

2.4.4. Modelos de distribuição discretas

2.4.4.1. Bernoulli

O modelo de Bernoulli, ou ensaio de Bernoulli se baseia em um experimento

que só possui dois resultados de interesse, “sucesso” ou “fracasso” (dois pontos

amostrais) (PINHEIRO, et al., 2011). Chamando de 𝑝 a probabilidade de sucesso, e de

(1 − 𝑝) a probabilidade de fracasso. Se a variável aleatória 𝑋 assumir o valor 0,0 para

fracasso e 1,0 para sucesso. E sendo 0 < 𝑝 < 1:

𝑃[𝑋 = 1] = 𝑝 (2-15)

𝑃[𝑋 = 0] = 1 − 𝑝 (2-16)

A partir disso pode-se calcular os valores da média e variância como:

𝜇𝑋 = 𝑝 (2-17)

𝜎𝑋2 = 𝑝 ∙ (1 − 𝑝) (2-18)

2.4.4.2. Binomial

No modelo binomial, o mesmo experimento de Bernoulli deve ser repetido 𝑛

vezes, de forma independente, e a variável aleatória representará o número de sucessos

nos 𝑛 experimentos.

13

Da mesma forma, a variável aleatória 𝑋 assumirá o valor 0,0 para fracasso e 1,0

para sucesso, e as probabilidades dos eventos de sucesso e fracasso serão 𝑝 e (1 − 𝑝).

O espaço amostral será um conjunto de 𝑘 sucessos e (𝑛 − 𝑘) fracassos, que

podem acontecer em diversas sequências. Em uma determinada sequência a

probabilidade de ocorrência dos 𝑘 sucessos e (𝑛 − 𝑘) fracassos será de 𝑝𝑘 ∙ (1 − 𝑝)𝑛−𝑘.

Como a ordem não é importante, o cálculo do número de maneiras de se obter 𝑘

sucessos em 𝑛 experimentos será uma combinação de 𝑛, 𝑘 a 𝑘:

(𝑛𝑘) =

𝑛!

𝑘! (𝑛 − 𝑘)!

Sendo assim, a função de probabilidade de uma variável aleatória de parâmetros

𝑛 e 𝑝 pelo modelo binomial será (PINHEIRO, et al., 2011):

𝑝𝑋(𝑘) = 𝑃[𝑋 = 𝑘] = (𝑛𝑘) ∙ 𝑝𝑘 ∙ (1 − 𝑝)𝑛−𝑘 (2-19)

As medidas de centralidade e dispersão são:

𝜇𝑋 = 𝑛 ∙ 𝑝 (2-20)

𝜎𝑋2 = 𝑛 ∙ 𝑝 ∙ (1 − 𝑝) (2-21)

Se uma variável aleatória 𝑋 segue o modelo binomial, diz-se que:

𝑋~𝐵𝑖𝑛(𝑛, 𝑝)

A distribuição Binomial possui uma importante propriedade:

𝐵𝑖𝑛(𝑛1, 𝑝) + 𝐵𝑖𝑛(𝑛2, 𝑝) = 𝐵𝑖𝑛(𝑛1 + 𝑛2, 𝑝) (2-22)

2.4.4.3. Geométrico

No modelo geométrico será calculada a probabilidade de sucesso no 𝑘 − é𝑠𝑖𝑚𝑜

experimento de Bernoulli realizado, ou seja, 𝑋 assumirá o valor 𝑘 apenas se ocorrerem

(𝑘 − 1) fracassos antes do primeiro sucesso, sendo assim, a probabilidade de ocorrer

sucesso no 𝑘 − é𝑠𝑖𝑚𝑜 experimento será (PINHEIRO, et al., 2011):

14

𝑝𝑋(𝑘) = 𝑃[𝑋 = 𝑘] = 𝑝 ∙ (1 − 𝑝)𝑘−1 (2-23)


𝜇𝑋 =1

𝑝 (2-24)

𝜎𝑋2 =

1 − 𝑝

𝑝2 (2-25)

Se uma variável aleatória 𝑋 segue o modelo geométrico, diz-se que:

𝑋~𝐺𝑒𝑜𝑚(𝑝)

Exemplo 2.1: Período de retorno (versão discreta) (BECK, 2015)

Pergunta: O conceito de tempo de retorno, ou período de retorno é comumente

usado na engenharia para quantificar a amplitude de alguns eventos, principalmente

fenômenos naturais (chuva, vento, etc.). O tempo é uma grandeza contínua, no entanto,

a distribuição geométrica pode ser empregada quando for possível discretizá-lo em

intervalos, tornando-o uma variável aleatória discreta. Além disso, o evento de interesse

deve ocorrer ao longo desses intervalos como uma sequência de tentativas

independentes de Bernoulli. Sendo 𝑇 a variável aleatória que descreve o número de

intervalos de tempo de ocorrência sucessiva, e 𝑝 a probabilidade de ocorrência de um

vento de 100 km/h, qual o período médio de recorrência desse vento, e a probabilidade

de não ocorrência durante o tempo de retorno?

Resposta: O valor do período médio de recorrência será dado por:

𝜇𝑇 =1

𝑝

Se 𝜏 é a variável aleatória que descreve o número de intervalos necessários para

a não ocorrência desse vento de 100 km/h, com probabilidade (1 − 𝑝). Durante o tempo

de retorno, a probabilidade de não ocorrência do evento de interesse, será igual a

probabilidade de não ocorrência durante 𝜇𝑇 intervalos, ou seja:

15

𝑃[𝜏 = 𝜇𝑇] = (1 − 𝑝)𝜇𝑇 (2-26)

Para pequenas probabilidades de ocorrência ou grandes períodos médios de

retorno é possível expandir a equação acima para:

𝑃[𝜏 = 𝜇𝑇] = exp(−𝑝 ∙ 𝜇𝑇) = exp(−1) = 0,368

Será explicado mais à frente a expansão feita acima.

Portanto, a probabilidade de ocorrência do evento dentro do período de retorno

será de:

𝑃[𝑇 = 𝜇𝑇] = 1 − 0,368 = 0,632. Para 𝜇𝑇 grande ou 𝜇𝑇 >10 intervalos.

2.4.4.4. Poisson

O modelo de Poisson calcula a probabilidade de sucesso de um evento ocorrido

em um contínuo, no qual os intervalos tendem a zero e o número de tentativas de

Bernoulli tende ao infinito. Utilizando uma taxa média de ocorrência 𝑣 por unidade (de

tempo ou espaço), multiplicando-a por 𝑡, o parâmetro de tempo ou espaço, obtém-se o

parâmetro 𝜆 da distribuição de Poisson, ou seja, 𝜆 = 𝑣 ∙ 𝑡. A função de probabilidade de

Poisson é (BECK, 2015):

𝑝𝑋(𝑘) = 𝑃[𝑋 = 𝑘] =𝑒−𝜆𝜆𝑘

𝑘! (2-27)


𝜇𝑋 = 𝜆 (2-28)

𝜎𝑋2 = 𝜆 (2-29)

Se uma variável aleatória 𝑋 segue o modelo de Poisson, diz-se que:

𝑋~𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛(𝜆)

16

2.5. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS

2.5.1. Distribuição de probabilidade

A função 𝑓(𝑥) é chamada de função de densidade de probabilidades de uma

variável aleatória, ou PDF (Probability Density Function), se:

a) 𝑓(𝑥) ≥ 0, ∀ 𝑥 ∈ ℝ

b) ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥+∞

−∞= 1

c) Sendo 𝑎 e 𝑏 reais, e 𝑎 < 𝑏, 𝑃[𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏] = ∫ 𝑓𝑋(𝑥) 𝑑𝑥𝑏

𝑎

Diferente da variável aleatória discreta, não existe um valor de probabilidade

para um valor real assumido por 𝑥, apenas para um intervalo, ou seja:

𝑃[𝑋 = 𝑎] = ∫ 𝑓𝑋(𝑥) 𝑑𝑥𝑎

𝑎

= 0

A interpretação física de integral torna essa expressão acima coerente, visto que,

a integral é a área sob o gráfico de uma função, no entanto, quando 𝑥 é igual a apenas

um valor, não existe uma área definida, apenas um segmento de reta, diferente de

quando ele pode assumir valores dentro de um intervalo.

Como o valor de probabilidade no ponto pode ser desprezado, é correto afirmar

que:

𝑃[𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏] = 𝑃[𝑎 < 𝑋 ≤ 𝑏] = 𝑃[𝑎 ≤ 𝑋 < 𝑏] = 𝑃[𝑎 < 𝑋 < 𝑏]

2.5.2. Função de distribuição acumulada

Se uma variável aleatória possui função de densidade de probabilidades igual a

𝑓(𝑥), sua função de distribuição acumulada, ou CDF (Cumulative Distribution

Function), será:

𝐹𝑋(𝑥) = 𝑃[𝑋 ≤ 𝑥] = ∫ 𝑓𝑋(𝑥)𝑑𝑥𝑥

−∞

(2-30)

Como corolário da equação acima, é possível afirmar que:

17

𝑑

𝑑𝑥𝐹(𝑥) = 𝑓(𝑥) (2-31)

Propriedades da função de distribuição acumulada

a) 𝐹(𝑥) é uma função contínua não decrescente, isto é, 𝑥 < 𝑦 implica

𝐹(𝑥) ≤ 𝐹(𝑦).

b) Seja 𝑥 < 𝑦, 𝑃[{𝑥 < 𝑋 ≤ 𝑦}] = 𝐹(𝑦) − 𝐹(𝑥)

c) lim𝑥→−∞

𝐹(𝑥) = 0.

d) lim𝑥→+∞

𝐹(𝑥) = 1.

Figura 2-1 : Gráficos de funções de densidade e distribuição acumulada,

respectivamente. Fonte: UFPR (2018), acessado em 19/03/2018:

http://www.leg.ufpr.br/~paulojus/embrapa/Rembrapa/Rembrapase12.html

2.5.3. Medidas de centralidade e dispersão

Tais quais as variáveis aleatórias discretas, as contínuas também possuem

parâmetros de distribuição.

Esperança ou média

A média uma variável aleatória contínua também é representada por 𝐸[𝑋] ou 𝜇𝑋,

e calculada como (SCHNEIDER, 2006):

http://www.leg.ufpr.br/~paulojus/embrapa/Rembrapa/Rembrapase12.html

18

𝐸[𝑋] = 𝜇𝑋 = ∫ 𝑥 ∙ 𝑓𝑋(𝑥)𝑑𝑥+∞

−∞

(2-32)

É fundamental distinguir o conceito de média e mediano, uma vez que, enquanto a

média é o valor mais esperado da distribuição, a mediana é o valor assumido pela

função de distribuição acumulada para o valor central de 𝑥, ou seja, 𝐹(𝑥𝑚𝑒𝑑).

Variância e desvio padrão

A variância e o desvio padrão de uma variável aleatória contínua também são

representadas por 𝑉𝑎𝑟[𝑋] ou 𝜎2. A variância é calculada através de (SCHNEIDER,

2006):

𝑉𝑎𝑟[𝑋] = 𝜎𝑋2 = ∫ (𝑥 − 𝜇𝑋)² ∙ 𝑓𝑋(𝑥)𝑑𝑥

+∞

−∞

(2-33)

A relação apresentada anteriormente continua válida:

𝑉𝑎𝑟[𝑋] = 𝜎𝑋2 = 𝐸[𝑋2] − 𝐸[𝑋]² = ∫ 𝑥² ∙ 𝑓𝑋(𝑥)𝑑𝑥

+∞

−∞

− 𝜇𝑋2 (2-34)


𝜎𝑋 = +√𝜎𝑋² (2-35)

Momentos de ordem 𝑘 de uma variável aleatória

A média é o momento de primeira ordem de uma variável aleatória, o momento

de ordem 𝑘 é definido por (BECK, 2015):

𝐸[𝑋𝑘] = 𝜇𝑘 = ∫ 𝑥𝑘 ∙ 𝑓𝑋(𝑥)𝑑𝑥+∞

−∞

(2-36)

O valor do momento de segunda ordem de uma variável aleatória é conhecido

como RMS ou valor médio quadrático.

Os momentos centrais de ordem 𝑘, calculados em relação a média, são escritos

por (BECK, 2015):

19

𝐸[(𝑋 − 𝜇)𝑘] = 𝑚𝑘 = ∫ (𝑥 − 𝜇)𝑘 ∙ 𝑓𝑋(𝑥)𝑑𝑥+∞

−∞

(2-37)

O momento de central de ordem um é igual a zero, o de ordem dois é a variância e

o de ordem três é chamado de fator de forma.

Coeficiente de variação

O coeficiente de variação é o quociente entre o desvio padrão e a média de uma

variável aleatória. Sua notação é 𝐶𝑉[𝑋].

𝐶𝑉[𝑋] =𝜎𝑋𝜇𝑋

(2-38)

2.5.4. Quantis de uma variável aleatória

O quantil de uma variável aleatória 𝑋 é representado por 𝜁𝑞, e definido como o

menor número que satisfaz 𝐹(𝜁) ≥ 𝑞 (PINHEIRO, et al., 2011).

O primeiro quartil, ou quartil inferior, da variável aleatória 𝑋 é denotado por

𝑞1(𝑋) e definido como o quantil 𝜁0,25.

O segundo quartil, quartil central, ou mediana, da variável aleatória 𝑋 é

denotado por 𝑞2(𝑋) e definido como o quantil 𝜁0,50.

O terceiro quartil, ou quartil superior, da variável aleatória 𝑋 é denotado por

𝑞3(𝑋) e definido como o quantil 𝜁0,75.

A distância interquartil, também considerada uma medida de dispersão, denotada

por 𝐷𝐼𝑄(𝑋), é a diferença entre o quartil superior e inferior, isto é:

𝐷𝐼𝑄(𝑋) = 𝑞3(𝑋) − 𝑞1(𝑋) (2-39)

No caso de utilizar uma divisão dos quantis em partes percentuais, é comum

chamá-los de percentis. Sendo 𝜁0,10 o décimo percentil, o quinquagésimo percentil é o

segundo quartil 𝑞2(𝑋) = 𝜁0,50.

20

2.5.5. Distribuições aleatórias contínuas

2.5.5.1. Uniforme

Na distribuição uniforme todos os eventos entre dois limites 𝑎 e 𝑏, são

equiprováveis. Sua função de densidade de probabilidades é expressa por (BECK,

2015):

𝑓𝑋(𝑥) = {1

𝑏 − 𝑎, 𝑠𝑒 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏

0, 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜 (2-40)

É possível demonstrar que a função de distribuição acumulada é:

𝐹𝑋(𝑥) = {

0, 𝑠𝑒 𝑥 < 𝑎𝑥 − 𝑎

𝑏 − 𝑎, 𝑠𝑒 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏

1, 𝑠𝑒 𝑥 > 𝑏

= (2-41)

Se a variável aleatória 𝑋 possui distribuição uniforme, seus momentos principais

são:

𝜇𝑋 =𝑎 + 𝑏

2 (2-42)

𝜎𝑋2 =

(𝑏 − 𝑎)2

12 (2-43)

Os parâmetros podem ser calculados através dos momentos principais:

𝑎 = 𝜇𝑋 − √3𝜎𝑋 (2-44)

𝑏 = 𝜇𝑋 + √3𝜎𝑋 (2-45)

Se a variável aleatória 𝑋 segue o modelo de distribuição Uniforme contínuo no

intervalo [𝑎, 𝑏] é dito que:

𝑋~𝑈(𝑎, 𝑏)

21

2.5.5.2. Exponencial

A distribuição exponencial é baseada no mesmo parâmetro 𝜆 = 𝑣 ∙ 𝑡 utilizado na

distribuição de Poisson. No limite de 𝑛 → ∞, a distribuição de Poisson tende a

exponencial. A função de densidade de probabilidades da distribuição exponencial é

(BECK, 2015):

𝑓𝑇(𝑡) = {𝑣𝑒−𝑣𝑡, 𝑠𝑒 𝑡 ≥ 00, 𝑠𝑒 𝑡 < 0

(2-46)

É possível demonstrar que a função de distribuição acumulada é:

𝐹𝑇(𝑡) = {1 − 𝑒−𝑣𝑡, 𝑠𝑒 𝑡 ≥ 0

0, 𝑠𝑒 𝑡 < 0 (2-47)

Se a variável aleatória 𝑋 possui distribuição exponencial, seus momentos

principais são:

𝜇𝑇 =1

𝑣 (2-48)

𝜎𝑇2 =

1

𝑣2 (2-49)

Se a variável aleatória 𝑋 segue o modelo de distribuição exponencial com

parâmetro 𝜆 é dito que:

𝑇~𝐸𝑥𝑝(𝑣)

2.5.5.3. Relação entre a Exponencial e a Poisson

Se 𝑋 é a variável aleatória que representa o número de ocorrências de

determinado evento durante um intervalo de tempo 𝑡, e 𝑇 é a variável aleatória que

representa o intervalo de tempo entre duas ocorrências consecutivas desse evento. É

possível afirmar que 𝑋 segue uma distribuição de Poisson com parâmetro 𝜆 = 𝑣 ∙ 𝑡, se e

somente se, 𝑇 segue a distribuição exponencial com parâmetro 𝑣, sendo 𝑣 a frequência

de ocorrência do evento devido ao tempo (PINHEIRO, et al., 2011). Em outras

palavras:

22

𝑃[𝑋 = 𝑘] =𝑒−𝑣𝑡(𝑣𝑡)𝑘

𝑘!↔ 𝑃[𝑇 ≤ 𝑡] = 1 − 𝑒−𝑣𝑡

Essa definição resolve questões como problemas que envolvem período de

recorrência no contínuo, pois como 𝑣 é a frequência de ocorrência de determinado

evento, o período médio de retorno é 1/𝑣. No corolário dessa definição, a frequência

pode ser calculada em função do período de retorno como 1/𝑇𝑅. Dessa forma, pode-se

enunciar o chamado processo de Poisson como:

𝑃[𝑇 ≤ 𝑡] = 1 − 𝑒−𝑡/𝑇𝑅 (2-50)

Entende-se da equação acima que 𝑃[𝑇 ≤ 𝑡] é a probabilidade de um evento com

tempo de retorno 𝑇𝑅 ocorrer em intervalos de tempo 𝑡. Isso pode ser utilizado para

diversos problemas dentro da engenharia civil, como por exemplo, ventos, chuvas,

cargas acidentais, etc.

Esta definição pode ser aplicada também ao conceito de espaço, não só para

relações de tempo, como por exemplo, unidades de comprimento, área e volume.

2.5.5.4. Gama

Para introduzir a distribuição Gama é importante definir antes a função Gama. A

função Gama é definida para qualquer 𝑟 ∈ ℝ, como (PINHEIRO, et al., 2011):

Γ(𝑟) = ∫ 𝑥𝑟−1𝑒−𝑥𝑑𝑥∞

0

(2-51)

Propriedades da função Gama:

a) Para todo 𝑟 > 0, Γ(𝑟 + 1) = 𝑟Γ(𝑟);

b) Γ(1) = ∫ 𝑒−𝑥𝑑𝑥∞

0= 1;

c) Γ(𝑛 + 1) = 𝑛!, para 𝑛 ∈ ℕ;

d) Γ (𝑟 +1

2) =

1×3×5×⋯×(2𝑟−1)

2𝑟√𝜋, para 𝑟 ∈ ℕ.

23

É dito que uma variável aleatória possui distribuição Gama, com parâmetro de

configuração 𝑟 > 0 e parâmetro de escala 𝜆 > 0, se sua função de densidade é

(PINHEIRO, et al., 2011):

𝑓𝑋(𝑥) = {

𝜆

Γ(𝑟)(𝜆𝑥)𝑟−1𝑒−𝜆𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0

0, 𝑠𝑒 𝑥 < 0

(2-52)

Se a variável aleatória 𝑋 possui distribuição Gama, seus momentos principais

são:

𝜇𝑋 =𝑟

𝜆 (2-53)

𝜎𝑋2 =

𝑟

𝜆2 (2-54)

Para uma variável aleatória 𝑋 com distribuição Gama, é dito que:

𝑋~𝐺𝑎𝑚𝑎(𝑟, 𝜆)

Nota-se que 𝑋~𝐺𝑎𝑚𝑎(1, 𝜆) → 𝑋~𝐸𝑥𝑝(𝜆), ou seja, a distribuição exponencial é

um caso particular da distribuição Gama.

2.5.6. A Distribuição Normal

Também chamada de distribuição Gaussiana, devido ter sido criada pelo

matemático Gauss. É uma distribuição simétrica caracterizada pelo seu valor central

(esperança) 𝜇 e de dispersão (variância) 𝜎2 > 0, utilizada com muita frequência para

representar fenômenos físicos (SCHNEIDER, 2006). A sua função densidade de

probabilidade é dada pela expressão:

𝑓𝑋(𝑥) =1

√2𝜋 ∙ 𝜎𝑒−

1

2(𝑥−𝜇

𝜎)2

, ∀ 𝑥 ∈ ℝ (2-55)

A função de distribuição acumulada não tem uma expressão na forma analítica,

sua definição é:

24

𝐹𝑋(𝑥) = ∫1

√2𝜋 ∙ 𝜎𝑒−

1

2(𝑥−𝜇

𝜎)2

𝑑𝑥𝑥

−∞

(2-56)

Uma variável aleatória 𝑋 com distribuição Normal de parâmetros 𝜇 e 𝜎 pode ser

representada por:

𝑋~𝑁(𝜇, 𝜎)

Propriedades da distribuição Normal

a) A curva de densidade é simétrica em relação a reta vertical que passa por

𝑥 = 𝜇;

b) Quando a curva de densidade tende ao infinito positivo ou negativo, ela se

aproxima assintoticamente do eixo horizontal.

c) A curva de densidade possui ponto de máximo em 𝑥 = 𝜇, e pontos de

inflexão em 𝑥 = 𝜇 ± 𝜎;

d) Se 𝑋~𝑁(𝜇, 𝜎), então 𝑃[𝜇 − 2𝜎 ≤ 𝑋 ≥ 𝜇 + 2𝜎] ≅ 0,95, ou seja, existe

95% de chance de o valor da variável aleatória 𝑋 estar distante dois

desvios padrões da média.

No caso da realização de amostras de uma variável aleatória 𝑋, é possível

demonstrar que se 𝑛, o número de amostras, for grande o suficiente (𝑛 > 20,

geralmente), é possível dizer que 𝑋 possui distribuição Normal, com média 𝜇 e desvio

padrão 𝜎2/𝑛 (PINHEIRO, et al., 2011).

Figura 2-2 : Gráficos da funções de densidade da distribuição Normal. Fonte: Portal

Action (2018), acessado em 19/03/2018:

http://www.portalaction.com.br/probabilidades/62-distribuicao-normal

http://www.portalaction.com.br/probabilidades/62-distribuicao-normal

25

2.5.6.1. Distribuição Normal Padrão

Se uma variável aleatória possui distribuição Normal, com média zero e desvio

padrão igual a um, é dita que essa variável possui distribuição Normal Padrão

(PINHEIRO, et al., 2011).

A variável aleatória 𝑍 será utilizada para representar uma variável aleatória com

essa distribuição, 𝜑(𝑧) e Φ(𝑧) representarão as funções de densidade e distribuição

acumulada, respectivamente.

𝜑(𝑧) =1

√2𝜋𝑒−

1

2𝑧2 , ∀ 𝑧 ∈ ℝ (2-57)

Φ(𝑧) = 𝑃[𝑍 ≤ 𝑧] = ∫1

√2𝜋𝑒−

1

2𝑥2𝑑𝑥

𝑧

−∞

, ∀ 𝑧 ∈ ℝ (2-58)

Nesse caso, 𝑍 pode ser representada por:

𝑍~𝑁(0,1)

Propriedades da distribuição Normal Padrão

Valem todas as propriedades da distribuição Normal descritas acima, mas

especificamente para a Normal Padrão:

a) A curva de densidade 𝜙 é simétrica em relação a reta vertical que passa

por 𝑧 = 0, o que leva a concluir que Φ(−𝑧) = 1 − Φ(𝑧);

Essa propriedade da distribuição Normal Padrão é muito importante para o

cálculo de probabilidades. É muito comum o uso da distribuição Normal Padrão, no

cálculo de probabilidade de variáveis aleatórias com distribuições Normal quaisquer.

Para realizar esses cálculos é feito um procedimento chama de padronização

(PINHEIRO, et al., 2011).

Padronização

Se uma variável aleatória 𝑋 possui distribuição Normal com parâmetros 𝜇𝑋 e 𝜎𝑋,

pode-se dizer que 𝑍 possui distribuição Normal Padrão se:

𝑍 =𝑋 − 𝜇𝑋𝜎𝑋

(2-59)

26

Com essa definição, se for necessário calcular a probabilidade 𝑃[𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏],

utilizando a distribuição Normal Padrão:

(𝑎 − 𝜇𝑋𝜎𝑋

≤ 𝑍 ≤𝑏 − 𝜇𝑋𝜎𝑋

) = Φ(𝑏 − 𝜇𝑋𝜎𝑋

) − Φ(𝑎 − 𝜇𝑋𝜎𝑋

) (2-60)

2.5.7. Distribuições derivadas da Normal

2.5.7.1. Log-Normal

Se uma variável aleatória 𝑌 tem distribuição Normal, então a variável aleatória

𝑋 = 𝑒𝑌, tem distribuição log-normal, ou 𝑋~𝐿𝑁(𝜆, 𝜉). Suas funções de densidade e

distribuição acumulada são (BECK, 2015):

𝑓𝑋(𝑥) =1

𝜉𝑥√2𝜋𝑒−1

2(ln(𝑥)−𝜆

𝜉)2

, se 𝑥 ≥ 0 (2-61)

𝐹𝑋(𝑥) = Φ(ln(𝑥)−𝜆

𝜉), se 𝑥 ≥ 0 (2-62)

Os momentos principais de uma variável com distribuição log-normal são:

𝜇𝑋 = 𝑒𝜆+0,5𝜉2 (2-63)

𝜎𝑋 = 𝜇√𝑒𝜉2− 1 (2-64)

Os parâmetros de distribuição:

𝜆 = ln(𝜇) − 0,5𝜉2 (2-65)

𝜉 = √ln (1 +𝜎2

𝜇2) (2-66)

Os parâmetros da distribuição Normal equivalente:

𝜇𝑛𝑒𝑞 = 𝑥[1 − ln(𝑥)+ 𝜆] (2-67)

27

𝜎𝑛𝑒𝑞 = 𝑥𝜉 (2-68)

2.5.7.2. 𝑡 de Student

Uma variável aleatória 𝑋 tem distribuição 𝑡 de Student com 𝜈 graus de

liberdade, se sua função de densidade de probabilidade é (PINHEIRO, et al., 2011):

𝑓𝑋(𝑥) =Γ (

𝜈+1

2)

√𝜈𝜋Γ (𝜈

2)(1 +

𝑥2

𝜈)

−(𝜈+1

2)

, 𝑥 ∈ ℝ (2-69)

É retomada aqui a função Gama, apresentada na seção anterior.

Assim como a Normal, a distribuição 𝑡 de Student não tem uma forma analítica

para a função de distribuição acumulada

Quando o número de graus de liberdade da distribuição 𝑡 de Student tende ao

infinito, ela se aproxima da Normal Padrão.

A distribuição 𝑡 de Student é uma distribuição com função de densidade

centrada em zero, tal qual a Normal Padrão, sendo que mais dispersa em torno do eixo

central.

Os momentos de ordem 𝑘 da distribuição 𝑡 de Student são:

𝐸[𝑋𝑘] =

{

0, 𝑠𝑒 0 ≤ 𝑘 < 𝜈 𝑒 𝑘 é í𝑚𝑝𝑎𝑟1

√𝜋Γ (𝜈

2)[Γ (

𝑘 + 1

2) Γ (

𝜈 − 𝑘

2) 𝜈𝑘/2] , 𝑠𝑒 0 ≤ 𝑘 ≤ 𝜈 𝑒 𝑘 é 𝑝𝑎𝑟

𝑖𝑛𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑜, 𝑠𝑒 𝑘 ≥ 𝜈 𝑒 𝑘 é í𝑚𝑝𝑎𝑟∞, 𝑠𝑒 𝑘 ≥ 𝜈 𝑒 𝑘 é 𝑝𝑎𝑟

(2-70)

Especificamente para a variância:

𝑉𝑎𝑟[𝑋] = {

𝜈

𝜈 − 2, 𝑠𝑒 𝜈 > 2

∞, 𝑠𝑒 1 ≤ 𝜈 ≤ 2 (2-71)

A distribuição 𝑡 de Student possui uma característica de correlação com a

distribuição Normal, vide que é originada da mesma, muito interessante e bastante

utilizada, que será descrita a seguir.

28

Se 𝑋1, 𝑋2,⋯ , 𝑋𝑛 é uma amostra aleatória de uma variável aleatória 𝑋~𝑁(𝜇, 𝜎), é

possível dizer que 𝑇 segue uma distribuição 𝑡 de Student, com (𝑛 − 1) graus de

liberdade, se (PINHEIRO, et al., 2011):

𝑇 =𝑋 − 𝜇

𝑠/√𝑛 (2-72)

Sendo 𝑠 o desvio padrão amostral da variável aleatória 𝑋.

Esse artifício é utilizado quando não se conhece o desvio padrão populacional 𝜎

da variável aleatória 𝑋.

2.5.8. Distribuições de extremo valor

Em diversas aplicações da engenharia é interessante a aplicação de valores

extremos de uma variável, como por exemplo o máximo carregamento, ou a mínima

resistência.

Imagine que para uma amostra de tamanho 𝑛 de uma variável aleatória existam

valores máximos e mínimos. Para cada nova observação dessa amostra feita, novos

máximos e mínimos são obtidos, dito isso, os valores de máximo e mínimo são também

variáveis aleatórias com distribuição própria, estudados através da Teoria de Valores

Extremos.

A definição de máximo característico 𝑢, é importante para introduzir as

distribuições de valores extremos. Sendo assim, o máximo característico é definido

como o valor particular de 𝑋 tal que, dentre os 𝑛 valores, o número esperado de valores

maiores que 𝑢 seja exatamente 1,0 (BECK, 2015). Esse conceito será melhor explorado

nas próximas seções.

2.5.8.1. Weibull para máximos

Quando a cauda superior da distribuição inicial 𝑋 apresenta decrescimento

polinômico:

A distribuição dos máximos de 𝑋 tende assintoticamente a uma distribuição

Weibull, com função de densidade (JCSS, 2001):

29

𝑓𝑋𝑛(𝑥) =𝑘

𝑢(𝑥

𝑢)−𝑘−1

𝑒−(𝑥

𝑢)−𝑘

, 𝑠𝑒 𝑥 > 0 (2-73)

Sendo 𝑘 > 0 e 𝑢 > 0 os parâmetros de forma e escala da distribuição,

respectivamente.

Os valores de média e desvio padrão são descritos por:

𝜇𝑋 = 𝑢 ∙ Γ (1 −1

𝑘) (2-74)

𝜎𝑋 = 𝑢√Γ(1 −2

𝑘) − Γ2 (1 −

1

𝑘) (2-75)

2.5.8.2. Gumbel para máximos

Se a variável aleatória 𝑌 possui distribuição de Weibull, e a variável aleatória

𝑋 = log(𝑌), então é dito que a distribuição aleatória de 𝑋 é de Gumbel, com função de

densidade (JCSS, 2001):

𝑓𝑋𝑛(𝑥) = 𝛼 ∙ 𝑒[−𝛼(𝑥−𝑢)−𝑒−𝛼(𝑥−𝑢)], 𝑠𝑒 𝑥 ∈ ℝ (2-76)

Sendo os valores de média e desvio padrão:

𝜇𝑋 = 𝑢 +0,577216

𝛼 (2-77)

𝜎𝑋 =𝜋

𝛼√6 (2-78)

A distribuição de Gumbel possui diversas aplicações em engenharia, por isso é

tão importante. Sendo muito utilizada para descrever fenômenos ambientais (cheias,

precipitação, vento, ondas) e também cargas acidentais em edifícios.

30

2.6. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS BIDIMENSIONAIS

Até o exato momento, todas as variáveis aleatórias foram tratadas isoladamente.

Nesta seção serão tratadas as características de conjuntos de variáveis aleatórias.

Se (𝑋, 𝑌) é uma variável aleatória bidimensional, cada elemento do espaço

amostral corresponde a um único ponto de coordenadas [𝑋(𝜔), 𝑌(𝜔)], situado em um

plano.

2.6.1. Variáveis aleatórias bidimensionais contínuas

Diz-se que (𝑋, 𝑌) é uma variável aleatória bidimensional contínua se existe uma

função não negativa 𝑓 definida em todo o ℝ2, tal que, qualquer região 𝑅 ∈ ℝ2 (BECK,

2015):

𝑃[(𝑋, 𝑌) ∈ ℝ] =∬ 𝑓𝑋𝑌(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 (2-79)

Neste caso é dito que 𝑋 e 𝑌 tem uma distribuição contínua conjunta.

A função 𝑓 pode ser chamada de função de densidade de (𝑋, 𝑌), se:

a) 𝑓𝑋𝑌(𝑥, 𝑦) ≥ 0, ∀ 𝑥 𝑒 𝑦 ∈ ℝ

b) ∫ ∫ 𝑓𝑋𝑌(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦∞

−∞

∞

−∞= 1

2.6.2. Função de distribuição acumulada bidimensionais

Suponha 𝑋 e 𝑌 duas variáveis aleatórias. Sua função de distribuição acumulada

conjunta é a função 𝐹 definida para todo (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ, por (PINHEIRO, et al., 2011):

𝐹𝑋𝑌(𝑥, 𝑦) = 𝑃[𝑋 ≤ 𝑥, 𝑌 ≤ 𝑦] (2-80)

Variáveis aleatórias contínuas:

𝐹𝑋𝑌(𝑥, 𝑦) = ∫ ∫ 𝑓𝑋𝑌(𝑠, 𝑡)𝑑𝑠𝑑𝑡𝑦

−∞

𝑥

−∞

(2-81)

A função de densidade conjunta pode ser obtida através de:

31

𝑓𝑋𝑌(𝑥, 𝑦) =𝜕2𝐹𝑋𝑌(𝑥, 𝑦)

𝜕𝑥𝜕𝑦 (2-82)

caso a derivada segunda exista.

2.6.3. Distribuições marginais

Conhecendo as distribuições de probabilidade conjuntas, é possível determinar

as distribuições de probabilidade individuais de cada variável aleatória, no caso

chamadas de distribuições marginais.

Sejam as variáveis aleatórias 𝑋 e 𝑌. com distribuição marginal 𝑓𝑋 e 𝑓𝑌,

respectivamente, e função de densidade conjunta 𝑓𝑋𝑌, então (BECK, 2015):

𝑓𝑋(𝑥) = ∫ 𝑓𝑋𝑌(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦∞

−∞

(2-83)

𝑓𝑌(𝑦) = ∫ 𝑓𝑋𝑌(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥∞

−∞

(2-84)

2.6.4. Variáveis aleatórias independentes

Se as variáveis aleatórias 𝑋 e 𝑌 são independentes, é possível afirmar que as

suas funções de densidade são (PINHEIRO, et al., 2011):

𝑓𝑋𝑌(𝑥, 𝑦) = 𝑓𝑋(𝑥)𝑓𝑌(𝑦) (2-85)

A função de distribuição acumulada pode ser definida, para variáveis aleatórias

discretas e contínuas, como:

𝐹𝑋𝑌(𝑥, 𝑦) = 𝐹𝑋(𝑥)𝐹𝑌(𝑦) (2-86)

32

2.6.5. Medidas de centralidade e dispersão

Como apresentado na seção anterior, é possível obter as distribuições marginais

de probabilidade através da distribuição conjunta de probabilidades. Esses conceitos

também podem ser aplicados a fim de obter as medidas de centralidade e dispersão de

duas variáveis aleatórias com distribuição conjunta 𝑓𝑋𝑌 (PINHEIRO, et al., 2011).

𝐸[𝑋] = ∫ ∫ 𝑥 ∙ 𝑓𝑋𝑌(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦∞

−∞

∞

−∞

(2-87)

𝐸[𝑌] = ∫ ∫ 𝑦 ∙ 𝑓𝑋𝑌(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦∞

−∞

∞

−∞

(2-88)

𝑉𝑎𝑟[𝑋] = ∫ ∫ 𝑥2 ∙ 𝑓𝑋𝑌(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦∞

−∞

∞

−∞−𝐸[𝑋]2 (2-89)

𝑉𝑎𝑟[𝑌] = ∫ ∫ 𝑦2 ∙ 𝑓𝑋𝑌(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦∞

−∞

∞

−∞−𝐸[𝑌]2 (2-90)

Momentos conjuntos de ordens arbitrárias de duas variáveis aleatórias

Os momentos conjuntos de ordens arbitrárias de duas variáveis aleatórias 𝑋 e 𝑌

são definidos da seguinte maneira (BECK, 2015):

𝐸[𝑋𝑘𝑌𝑛] = 𝜇𝑋𝑌𝑘𝑛 = ∫ ∫ 𝑥𝑘𝑦𝑛 ∙ 𝑓𝑋𝑌(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦

∞

−∞

∞

−∞ (2-91)

Os momentos centrais de ordens arbitrárias são:

𝐸[(𝑋 − 𝜇𝑋)𝑘(𝑌 − 𝜇

𝑌)𝑛] = 𝑚𝑋𝑌

𝑘𝑛

𝑚𝑋𝑌𝑘𝑛 = ∫ ∫ (𝑥 − 𝜇𝑋)

𝑘∙ (𝑦 − 𝜇𝑌)

𝑛∙ 𝑓𝑋𝑌(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦

∞

−∞

∞

−∞ (2-92)

A soma 𝑘 + 𝑛 determina a ordem do momento do conjunto.

Para o caso de variáveis aleatórias discretas basta trocar as integrais no infinito

por um somatório de 0 a 𝑛.

33

2.6.6. Covariância e correlação

Quando duas ou mais variáveis estão definidas no mesmo espaço, é importante

descrever como elas variam conjuntamente. Uma dessas medidas é a covariância

𝐶𝑜𝑣[𝑋, 𝑌], representado pelo momento 𝑚𝑋𝑌11 das variáveis aleatórias 𝑋 e 𝑌 (BECK,

2015).

𝐶𝑜𝑣[𝑋, 𝑌] = ∫ ∫ (𝑥 − 𝜇𝑋) ∙ (𝑦 − 𝜇𝑌) ∙ 𝑓𝑋𝑌(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦∞

−∞

∞

−∞

(2-93)

É possível demonstrar que:

𝐶𝑜𝑣[𝑋, 𝑌] = ∫ ∫ 𝑥𝑦𝑓𝑋𝑌(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦∞

−∞

∞

−∞

− 𝜇𝑋𝜇𝑌 = 𝐸[𝑋𝑌] − 𝜇𝑋𝜇𝑌 (2-94)

Propriedades da Covariância

a) 𝐶𝑜𝑣[𝑋, 𝑌] pode ser positiva, negativa ou nula;

b) 𝐶𝑜𝑣[𝑋, 𝑋] = 𝑉𝑎𝑟[𝑋];

c) Se 𝑋 e 𝑌 são independentes, 𝐸[𝑋𝑌] = 𝐸[𝑋]𝐸[𝑌], logo, 𝐶𝑜𝑣 = 0. O contrário

não é verdade;

d) 𝑉𝑎𝑟[𝑋 + 𝑌] = 𝑉𝑎𝑟[𝑋] + 𝑉𝑎𝑟[𝑌] + 2𝐶𝑜𝑣[𝑋, 𝑌];

e) 𝐶𝑜𝑣[𝑎𝑋 + 𝑏𝑌, 𝑐𝑋 + 𝑑𝑌] = 𝑎𝑐 𝑉𝑎𝑟[𝑋] + 𝑏𝑑 𝑉𝑎𝑟[𝑌] + (𝑎𝑑 + 𝑏𝑐)𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌).

A covariância é uma medida com dimensão. Sua unidade é correspondente a do

produto 𝑋𝑌.

Uma medida adimensional da covariância entre duas variáveis aleatórias é dada

pelo coeficiente de correlação (PINHEIRO, et al., 2011):

𝜌𝑋𝑌 =𝐶𝑂𝑉[𝑋,𝑌]

𝜎𝑋𝜎𝑌, −1 ≤ 𝜌𝑋𝑌 ≤ 1 (2-95)

O valor de 𝜌𝑋𝑌 = ±1 indica que a correlação é perfeita, ou seja, existe a

correlação 𝑌 = 𝑎𝑋 + 𝑏. Já 𝜌𝑋𝑌 = 0 indica que a correlação é inexistente.

34

2.6.7. Variáveis aleatórias multidimensionais

Um conjunto de 𝑛 variáveis aleatórias {𝑋1, 𝑋2,⋯ , 𝑋𝑛}, pode ser representado por

um vetor �̃�. É dito que o vetor aleatório possui função de distribuição cumulativa

conjunta 𝐹�̃� se (PINHEIRO, et al., 2011):

𝐹�̃�(�̃�) = 𝑃[�̃� ≤ �̃�] = 𝑃[𝑋1 ≤ 𝑥1, 𝑋2 ≤ 𝑥2,⋯ , 𝑋𝑛 ≤ 𝑥𝑛] (2-96)

A função de densidade conjunta é representada por:

𝑓�̃�(�̃�) = 𝑓𝑋1𝑋2⋯𝑋𝑛(𝑥1, 𝑥2,⋯ , 𝑥𝑛) (2-97)

2.7. FUNÇÃO DE UMA OU MAIS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS

2.7.1. Distribuição de probabilidades da função de uma v.a.

Se 𝑋 é uma variável aleatória, então 𝑌 = 𝐻(𝑋) também é uma variável aleatória

definida como função de 𝑋. Dessa forma, é possível definir a função de distribuição

acumulada de 𝑌, sendo 𝐻 uma função monótona (função contínua com um valor real na

imagem associado a cada valor real do domínio) crescente ou decrescente, da seguinte

maneira (PINHEIRO, et al., 2011):

𝐹𝑌(𝑦) = 𝑃[𝑌 ≤ 𝑦] = 𝑃[𝐻(𝑋) ≤ 𝑦] = 𝑃[𝑋 ≤ 𝐻−1(𝑦)] = 𝐹𝑋 (𝐻

−1(𝑦))

𝐹𝑌(𝑦) = ∫ 𝑓𝑋(𝑥)𝑑𝑥𝐻−1(𝑦)

−∞ (2-98)

É simples verificar que, pela regra da cadeia, a função de densidade de 𝑌 é:

𝑓𝑌(𝑦) = 𝑓𝑋[𝐻−1(𝑦)] ∙ |

𝑑𝐻−1(𝑦)

𝑑𝑦| (2-99)

2.7.2. Medidas de centralidade e dispersão da função de uma v.a.

As medidas de centralidade e dispersão da função de uma variável aleatória

contínua podem ser expressas pelas seguintes equações (PINHEIRO, et al., 2011):

35

𝐸[𝑌] = 𝐸[𝐻(𝑋)] = ∫ 𝐻(𝑥) ∙ 𝑓𝑋(𝑥)𝑑𝑥∞

−∞ (2-100)

𝑉𝑎𝑟[𝑌] = 𝑉𝑎𝑟[𝐻(𝑋)] = ∫ 𝐻2(𝑥) ∙ 𝑓𝑋(𝑥)𝑑𝑥∞

−∞− 𝐸[𝐻(𝑋)]2 (2-101)

Propriedades da Esperança e da Variância

a) Se 𝑐 é uma constante, 𝐸[𝑐] = 𝑐 e 𝑉𝑎𝑟[𝑐] = 0

b) Se 𝑌 = 𝑎𝑋 + 𝑏, então 𝐸[𝑌] = 𝐸[𝑎𝑋 + 𝑏] = 𝑎 ∙ 𝐸[𝑋] + 𝑏, e

𝑉𝑎𝑟[𝑌] = 𝑉𝑎𝑟[𝑎𝑋 + 𝑏] = 𝑎2𝑉𝑎𝑟[𝑋]

2.7.3. Distribuição de probabilidades da função de duas v.a.

Se 𝑋 e 𝑌 são variáveis aleatórias, então 𝑍 = 𝐻(𝑋, 𝑌) também é uma variável

aleatória definida como função de 𝑋 e 𝑌. Dessa forma, é possível definir a função de

distribuição acumulada de 𝑍, sendo 𝐻 uma função definida no domínio 𝐷, da seguinte

maneira (PINHEIRO, et al., 2011):

{𝑍 ≤ 𝑧} = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷}

𝐹𝑍(𝑧) = ∫ ∫ 𝑓𝑋𝑌(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦𝐻−1(𝑧,𝑦)

−∞

∞

−∞

(2-102)

2.7.4. Medidas de centralidade e dispersão da função de duas v.a.

As medidas de centralidade e dispersão da função de duas variáveis aleatórias

contínua podem ser expressas pelas seguintes equações (PINHEIRO, et al., 2011):

𝐸[𝑍] = 𝐸[𝐻(𝑋, 𝑌)] = ∫ ∫ 𝐻(𝑥, 𝑦) ∙ 𝑓𝑋𝑌(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦∞

−∞

∞

−∞

(2-103)

𝑉𝑎𝑟[𝑍] = ∫ ∫ 𝐻2(𝑥, 𝑦) ∙ 𝑓𝑋𝑌(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦∞

−∞

∞

−∞

− 𝐸[𝐻(𝑋)]2 (2-104)

Propriedades da Esperança e da Variância

a) Se 𝑍 = 𝑎𝑋 + 𝑏𝑌, então 𝐸[𝑍] = 𝐸[𝑎𝑋 + 𝑏𝑌] = 𝑎 ∙ 𝐸[𝑋] + 𝑏 ∙ 𝐸[𝑌], e

𝑉𝑎𝑟[𝑍] = 𝑉𝑎𝑟[𝑎𝑋 + 𝑏𝑌] = 𝑎2𝑉𝑎𝑟[𝑋] + 𝑏2𝑉𝑎𝑟[𝑌] + 2𝑎𝑏 ∙ 𝐶𝑜𝑣[𝑋, 𝑌]

36

Se 𝑋 e 𝑌 são variáveis independentes:

𝑉𝑎𝑟[𝑍] = 𝑉𝑎𝑟[𝑎𝑋 + 𝑏𝑌] = 𝑎2𝑉𝑎𝑟[𝑋] + 𝑏2𝑉𝑎𝑟[𝑌] (2-105)

É possível provar que, se 𝑋 e 𝑌 são independentes e possuem distribuição

Normal, e existe variável aleatória 𝑍 = 𝑎𝑋 ± 𝑏𝑌 ± 𝑐, então:

𝐸[𝑍] = 𝑎 ∙ 𝐸[𝑋] ± 𝑏 ∙ 𝐸[𝑌] ± 𝑐 (2-106)

𝑉𝑎𝑟[𝑍] = 𝑎2𝑉𝑎𝑟[𝑋] + 𝑏2𝑉𝑎𝑟[𝑌] (2-107)

A equação acima pode ser generalizada para 𝑛 variáveis aleatórias, como

descrito abaixo.

Seja a variável aleatória 𝑍 definida como 𝑍 = 𝑎0 + 𝑎1𝑋1 ± 𝑎1𝑋1 +⋯+ 𝑎𝑛𝑋𝑛,

no qual, a distribuição das variáveis 𝑋𝑖 é do tipo Normal, pode se escrever que:

𝐸[𝑍] = 𝑎0 + 𝑎1𝐸[𝑋1] + 𝑎2𝐸[𝑋2] + ⋯+ 𝑎𝑛𝐸[𝑋𝑛] (2-108)

𝑉𝑎𝑟[𝑍] = 𝑎12𝑉𝑎𝑟[𝑋1] + 𝑎2

2𝑉𝑎𝑟[𝑋2] + ⋯+ 𝑎𝑛2𝑉𝑎𝑟[𝑋𝑛] (2-109)

Da equação acima é possível obter o seguinte corolário:

𝜎𝑍 = √𝑎12𝜎𝑋1

2 + 𝑎22𝜎𝑋2

2 +⋯+ 𝑎𝑛2𝜎𝑋𝑛

2 (2-110)

2.7.5. Momentos da função de várias v.a.

Se 𝑍 pode ser escrita como função de um conjunto de 𝑛 variáveis aleatórias

{𝑋1, 𝑋2,⋯ , 𝑋𝑛}, então 𝑍 = 𝐻(𝑋1, 𝑋2,⋯ , 𝑋𝑛) também é uma variável aleatória definida

como função de {𝑋1, 𝑋2,⋯ , 𝑋𝑛}. É dito então que a esperança de 𝑍 é (PINHEIRO, et al.,

2011):

𝐸[𝑍] = ∫ ⋯∫ 𝐻(𝑥1, 𝑥2, ⋯ , 𝑥𝑛)𝑓𝑋1𝑋2⋯𝑋𝑛(𝑥1, 𝑥2, ⋯ , 𝑥𝑛)∞

−∞

𝑑𝑥1⋯𝑑𝑥𝑛

∞

−∞

(2-111)

37

É possível ver que a integral acima não é de solução trivial, visto que se trata de

uma integral multidimensional, então será feita uma aproximação da função valor

esperado para várias variáveis.

Pode ser demonstrado que é uma boa aproximação de primeira ordem para a

esperança e a variância de 𝑍, caso 𝑋1, 𝑋2, ⋯ , 𝑋𝑛 sejam independentes (BECK, 2015):

𝐸[𝑍] = 𝐻(𝜇𝑋1 , 𝜇𝑋2 , ⋯ , 𝜇𝑋𝑛) (2-112)

𝑉𝑎𝑟[𝑍] =∑𝑉𝑎𝑟[𝑋𝑖] (𝜕𝐻

𝜕𝑋𝑖)2𝑛

𝑖=1

(2-113)

Aplicando o conceito mostrado acima e o da equação (2-107). Seja a variável

aleatória 𝑍 definida como 𝑍 = 𝑎 ∙ 𝑋1 ∙ 𝑋2⋯𝑋𝑛, no qual, as variáveis 𝑋𝑖 são

independentes e com distribuição do tipo Normal, pode se escrever que:

𝐸[𝑍] = 𝑎 ∙ 𝐸[𝑋1] ∙ 𝐸[𝑋2]⋯𝐸[𝑋𝑛] (2-114)

𝑉𝑎𝑟[𝑍] = 𝑎²(𝑉𝑎𝑟[𝑋1]∏ 𝐸[𝑋𝑖]2

∀𝑖≠1

+⋯+ 𝑉𝑎𝑟[𝑋𝑛]∏ 𝐸[𝑋𝑖]2

∀𝑖≠𝑛

) (2-115)

Para o caso que 𝑍 seja o produto de 2 variáveis:

𝑉𝑎𝑟[𝑍] = 𝑎2𝑉𝑎𝑟[𝑋1]𝐸[𝑋2]2 + 𝑎2𝑉𝑎𝑟[𝑋2]𝐸[𝑋1]

2 (2-116)

O desvio padrão será:

𝜎𝑍 = 𝑎√𝜎𝑋12 𝜇𝑋2

2 + 𝜎𝑋22 𝜇𝑋1

2 (2-117)

A equação (2-115) também pode ser escrita dividindo tudo por 𝐸2[𝑍]. Dessa

forma:

𝐶𝑉[𝑍] = 𝑎√𝐶𝑉2[𝑋1] + 𝐶𝑉2[𝑋2] + ⋯+ 𝐶𝑉

2[𝑋𝑛] (2-118)

38

Capítulo 3. ENGENHARIA ESTRUTURAL

3.1. INTRODUÇÃO

Em uma obra é necessária a construção de diversos sistemas, dentre eles, o

estrutural. A estrutura de uma edificação é parte fundamental de uma edificação, visto

que é a responsável por resistir aos esforços pela qual a edificação é solicitada durante

sua vida útil.

As estruturas devem ser projetadas de forma a possuir requisitos mínimos para

segurança e conforto dos usuários. A definição técnica para esses requisitos mínimos é

chamada de “estados limites”, divididos em estado limite último e de serviço. O estado

limite último (ELU) define a segurança da edificação quanto a ruptura pelos esforços

solicitantes na estrutura, ou qualquer outra forma de ruína estrutural que comprometa o

uso da estrutura, como descrita na NBR 6118 (ABNT, 2014). O estado limite de serviço

(ELS) define limites de deslocamentos e vibrações nas estruturas, para conforto do

usuário. É muito importante que essa avaliação seja feita levando em consideração as

fases construtivas da edificação, a fim de garantir a segurança não só na vida útil da

edificação, como também em todas as etapas da obra.

A obtenção de esforços solicitantes e deslocamentos é feita através das equações

de equilíbrio de forças e momentos (SUSSEKIND, 1981), equações de compatibilidade

de deslocamentos (SUSSEKIND, 1980), ou de compatibilidade de rigidezes

(SUSSEKIND, 1987). Esses conceitos são implementados a softwares de engenharia,

muito comumente utilizados atualmente para obter esforços em estruturas, através de

modelagem.

A modelagem depende muito das propriedades da estrutura analisada, inclusive

os materiais utilizados. Projetos de estruturas podem ser feitos para diversos tipos de

materiais. O material de uso mais comum no mercado brasileiro é o concreto armado

que será objeto de estudo nos subcapítulos seguintes.

O concreto armado é um aglomerado de cimento, água e agregados, com a

inclusão de barras de aço, utilizados como armadura passiva. Entende-se como

armadura passiva, a armadura que somente é tensionada quando solicitada pela

39

estrutura. Outro tipo de armadura é a ativa, utilizada no concreto protendido, por

exemplo, que trabalha todo o tempo tracionada.

3.2. TEORIA DE CONCRETO ARMADO

3.2.1. Estados limites

A NBR 6118 (ABNT, 2014) define vários estados limites de serviço, dentre eles:

• Estado limite de abertura de fissuras (ELS-W): Estado em que as fissuras

apresentam aberturas iguais aos máximos determinados;

• Estado limite de deformações excessivas (ELS-DEF): Estado em que as

deformações atingem os limites determinados devido ao uso;

• Estado limite de vibrações excessivas (ELS-VE): Estado em que as

vibrações atingem limites estabelecidos para a utilização da construção.

A condição de segurança para uma estrutura no estado limite último é

representada pela seguinte inequação na NBR 6118 (ABNT, 2014):

𝑅𝑑 ≥ 𝑆𝑑 (3-1)

sendo 𝑅𝑑 a resistência de cálculo e 𝑆𝑑 a solicitação de cálculo

3.2.2. Ponderações de solicitações e resistências

As solicitações de cálculo são majorações das solicitações características obtidas

a partir da análise estrutural, e as resistências de cálculo são minorações da resistência

característica. Para fazer a minoração de resistências e majoração das solicitações, a

NBR 6118 (ABNT, 2014) define coeficientes de ponderação, como apresentados

abaixo.

A NBR 6118 (ABNT, 2014) define tipos diferentes de combinações a serem

utilizados, devido a diferença entre as características das cargas. Conceitualmente

existem três tipos de ações:

40

• Ações permanentes (𝐹𝑔𝑘): Ações que atuam na estrutura durante toda sua

vida útil, como por exemplo, peso próprio;

• Ações variáveis (𝐹𝑞𝑘): Ações que atuam de forma intermitente na

estrutura, como por exemplo cargas variáveis de edifícios (pessoas,

móveis, etc.), vento, carga móvel;

• Ações devido a deformações (𝐹𝜀𝑘): Ações devido a recalques de apoio,

retração e temperatura.

Tabela 3-1 : Coeficientes de majoração das solicitações. Fonte: ABNT (2014).

Tabela 3-2 : Coeficientes de combinação das solicitações. Fonte: ABNT (2014).

41

Ações variáveis, pesos específicos de materiais usuais, dentre outros, são

determinados pela norma de ações NBR 6120 (ABNT, 2017).

As combinações determinadas pela NBR 6118 (ABNT, 2014) são apresentadas

na Tabela 11.3 e 11.4 da referente norma.

Tabela 3-3 : Combinações no ELU. Fonte: ABNT (2014)

Tabela 3-4 : Combinações no ELU (Cont.). Fonte: ABNT (2014)

42

As combinações usuais para ELU, em situações normais, e ELS, em combinação

quase permanente, são representadas, respectivamente, pelas equações abaixo:

𝐹𝑑,𝐸𝐿𝑈 = 𝛾𝑔𝐹𝑔𝑘 + 𝛾𝑞 (𝐹𝑞𝑘,1 +∑𝜓0,𝑖𝐹𝑞𝑘,𝑖𝑖

) (3-2)

𝐹𝑑,𝐸𝐿𝑆 =∑𝐹𝑔𝑘 +∑𝜓2,𝑖𝐹𝑞𝑘,𝑖𝑖

(3-3)

no qual, 𝐹𝑑 representa a solicitação de cálculo.

Tabela 3-5 : Combinações no ELS. Fonte: ABNT (2014)

A resistência de cálculo é obtida através dos seguintes coeficientes de minoração

apresentados pela NBR 6118 (ABNT, 2014), ilustrados na Tabela 3-6.

A resistência de cálculo do concreto é chamada de 𝑓𝑐𝑑:

𝑓𝑐𝑑 =𝑓𝑐𝑘𝛾𝑐

(3-4)

43

e a do aço para concreto armado de 𝑓𝑦𝑑:

𝑓𝑦𝑑 =𝑓𝑦𝑘

𝛾𝑠 (3-5)

sendo 𝑓𝑐𝑘 a resistência característica a compressão do concreto e 𝑓𝑦𝑘 a tensão de

escoamento característica do aço.

Tabela 3-6 : Coeficientes de minoração das resistências. Fonte: ABNT (2014)

3.2.3. Valores característicos

A NBR 6118 (ABNT, 2014) descreve a resistência característica de um material

como o valor que tem probabilidade de apenas 5% de não serem atingidos pelos

elementos de um determinado lote (amostra) do material. É admitida distribuição

normal para essas resistências.

A resistência característica é avaliada a partir do valor médio e do desvio padrão

das amostras como:

𝑓𝑘 = 𝑓𝑚 − 1,65𝑠 (3-6)

sendo 𝑓𝑘 a resistência característica do material, 𝑓𝑚 a resistência média e 𝑠 o desvio

padrão da resistência.

Para o concreto, a resistência característica à compressão é avaliada no momento

em que o concreto completa 28 dias de idade, através de corpos de prova submetidos ao

ensaio de compressão.

44

As classes dos concretos são classificadas de acordo com a sua resistência

característica, de forma que se um concreto possui 𝑓𝑐𝑘 = 30𝑀𝑃𝑎, ele é dito de classe

C30.

A resistência à tração pode ser obtida através de ensaios também, ou estimada

pelo 𝑓𝑐𝑘 através das equações estabelecidas na NBR 6118 (ABNT, 2014).

𝑓𝑐𝑡,𝑚 = 0,3𝑓𝑐𝑘2/3 (𝑓𝑐𝑘 ≤ 50𝑀𝑃𝑎) (3-7)

𝑓𝑐𝑡,𝑚 = 2,12 ln(1 + 0,11𝑓𝑐𝑘) (𝑓𝑐𝑘 > 50𝑀𝑃𝑎) (3-8)

𝑓𝑐𝑡𝑘,𝑖𝑛𝑓 = 0,7𝑓𝑐𝑡,𝑚 (3-9)

𝑓𝑐𝑡𝑘,𝑠𝑢𝑝 = 1,3𝑓𝑐𝑡,𝑚 (3-10)

Os aços utilizados em concreto armado têm sua composição especificada pela

NBR 6215 (ABNT, 2011) e classificados pela NBR 7480 (ABNT, 2008), de acordo

com o valor característico da tensão de escoamento, em CA-25, CA-50 e CA-60 (os

valores no nome de cada classe são a tensão de escoamento em kN/cm², ou seja, o aço

CA-50 possui tensão de escoamento de 50 kN/cm², por exemplo).

3.2.4. Propriedades dos materiais

Para a verificação no estado limite último, é utilizado um diagrama de tensão-

deformação linear genérico para o aço, definido pelo item 8.3.6 da norma NBR 6118

(ABNT, 2014) e representado pela Figura 3-1.

O módulo de elasticidade do aço considerado por norma é: 𝐸𝑠 = 210𝐺𝑃𝑎.

As deformações podem ser calculadas através da Lei de Hooke

(TIMOSHENKO, et al., 1983):

𝜎 = 𝐸 ∙ 𝜀 (3-11)

sendo 𝜎 a tensão, 𝐸 o módulo de elasticidade de Young e 𝜀 a deformação.

45

É possível observar no diagrama, que na tração, a deformação máxima

imediatamente antes do escoamento é representada por 𝜀𝑦𝑑, que depende do tipo de aço.

E a deformação máxima do aço no patamar plástico, que independe do tipo de aço, é

10‰.

Já na compressão, a deformação máxima do aço, no patamar plástico, é limitada

pela deformação máxima do concreto na ruptura, de 3,5‰ (para 𝑓𝑐𝑘 ≤ 50𝑀𝑃𝑎).

Figura 3-1 : Diagrama tensão-deformação do aço. Fonte: Santos (2017).

Na tabela abaixo são calculadas as deformações 𝜀𝑦𝑑 do aço, para os tipos de aço

comerciais, através da lei de Hooke:

Tabela 3-7 : Deformações no aço.

46

As dimensões das barras de aço também são padronizadas pela NBR 7480

(ABNT, 2008). As barras são produzidas a partir da bitola 4,2 mm e fornecidas em

comprimentos de 12 m. Diâmetros menores que 5 mm não tem aplicação como

armadura estrutural em pilares. Os fios são fornecidos em rolos com seções de 4,2 mm

até 9,5 mm.

O aço CA-60 é fornecido em fios e barras, geralmente empregado em lajes e

estribos. O aço CA-25 é o único redobrável, e é utilizado em construções especiais. O

CA-50 é o mais utilizado em todos os tipos de armadura.

As barras são classificadas pela NBR 6118 (ABNT, 2014) segundo sua

conformação superficial, como nervuradas (CA-50), lisas (CA-25), entalhadas (CA-60)

e barras de alta aderência (CA-50 e CA-60).

O diagrama tensão deformação do concreto para análise no estado limite último,

definido pela NBR 6118 (ABNT, 2014) é representado pela Figura 3-2.

Figura 3-2: Diagrama tensão-deformação do concreto. Fonte: ABNT (2014)

A equação da curva apresentada acima é:

𝜎𝑐 = 0,85𝑓𝑐𝑑 [1 − (1 −𝜀𝑐𝜀𝑐2)𝑛

] (3-12)

𝑛 = {

2, 𝑓𝑐𝑘 ≤ 50𝑀𝑃𝑎

1,4 + 23,4 [90 − 𝑓𝑐𝑘100

]4

, 𝑓𝑐𝑘 > 50𝑀𝑃𝑎 (3-13)

47

sendo 𝜎𝑐 a tensão no concreto, 𝜀𝑐 a deformação específica do concreto no ponto, e 𝜀𝑐2 a

deformação específica do concreto na plastificação.

Para concretos de classe até C50:

{𝜀𝑐2 = 2,0‰𝜀𝑐𝑢 = 3,5‰

(3-14)

Para concreto de classe maior que C50:

{

𝜀𝑐2 = 2,0‰+ 0,085‰(𝑓𝑐𝑘 − 50)0,53

𝜀𝑐𝑢 = 2,6‰+ 35‰[90 − 𝑓𝑐𝑘100

]4 (3-15)

O fator de 0,85 aplicado ao gráfico da Figura 3-2 prevê a diminuição da

resistência do concreto com a aplicação de carregamentos de longa duração.

Os módulos de elasticidade inicial e secante do concreto podem ser estimados

através das fórmulas estabelecidas no item 8.2.8 da NBR 6118 (ABNT, 2014).

𝐸𝑐𝑖 = {

𝛼𝐸 ∙ 5600√𝑓𝑐𝑘, 𝑓𝑐𝑘 ≤ 50𝑀𝑃𝑎

21,5 ∙ 103 ∙ 𝛼𝐸 ∙ (𝑓𝑐𝑘10

+ 1,25)1/3

, 𝑓𝑐𝑘 > 50𝑀𝑃𝑎 (3-16)

sendo 𝛼𝐸 um parâmetro que depende da rocha matriz da brita empregada como

agregado (1,2 para basalto e diabásio; 1,0 para granito e gnaisse; 0,9 para calcário; 0,7

para arenito).

𝐸𝑐𝑠 = 𝛼𝑖 ∙ 𝐸𝑐𝑖 (3-17)

𝛼𝑖 = 0,80 + 0,20 ∙𝑓𝑐𝑘80

≤ 1,0 (3-18)

Outras informações a respeito do concreto e do aço:

• Coeficiente de Poisson: 0,2 para o concreto e 0,3 para o aço;

• Coeficiente de dilatação térmica: 10−5/℃ para ambos.

48

3.3. HIPÓTESES BÁSICAS DO DIMENSIONAMENTO

O dimensionamento de uma seção retangular de uma peça homogênea

submetida à flexão pode ser feito através da Resistência dos Materiais, utilizando a

equação abaixo (TIMOSHENKO, et al., 1983):

𝜎𝑁 =𝑀 ∙ 𝑦

𝐼𝑥 (3-19)

sendo 𝜎𝑁 a tensão normal a uma distância 𝑦 da linha neutra (linha de tensões normais

iguais a zero) e 𝐼𝑥 o momento de inércia em torno do eixo horizontal da seção.

A tensão máxima solicitante calculada pela Equação (3-19) é comparada com a

tensão admissível do material, finalizando o dimensionamento.

No dimensionamento de um material homogêneo o diagrama de deformações da

seção é linear. Essas relações são válidas estritamente quando o material se comporta

segundo as hipóteses básicas necessárias (TIMOSHENKO, et al., 1983).

• Hipótese de Bernoulli ou da seção plana: a seção permanece plana e

perpendicular ao eixo fletido;

• Lei de Navier: 𝜀𝑥 = 𝑘 ∙ 𝑦, no qual 𝑘 = (𝜀𝑐𝑐 + 𝜀𝑐𝑡)/ℎ;

• Lei de Hooke: 𝜎 = 𝐸 ∙ 𝜀;

• Equilíbrio de tensões com a força normal: 𝑁 = ∫𝜎𝑥 ∙ 𝑑𝐴 =

∫𝐸 ∙ 𝜀 ∙ 𝑑𝐴 = ∫𝐸𝑘 ∙ 𝑦 ∙ 𝑑𝐴 ⇒ 𝑁 = 𝐸𝑘 ∫𝑦 ∙ 𝑑𝐴 = 0. Como 𝐸𝑘 ≠ 0,

conclui-se que 𝑄𝑠 = ∫𝑦 ∙ 𝑑𝐴 = 0, ou seja, a linha neutra passa pelo

centroide da seção, pois o momento estático da seção é igual a zero;

• Equilíbrio de momento fletor: 𝑀 = ∫𝜎𝑥 ∙ 𝑦 ∙ 𝑑𝐴 = ∫𝐸 ∙ 𝜀 ∙ 𝑦 ∙ 𝑑𝐴 =

∫𝐸𝑘 ∙ 𝑦2 ∙ 𝑑𝐴 ⇒ 𝑀 = 𝐸𝑘 ∫𝑦2 ∙ 𝑑𝐴 = 0. Como 𝐼 = ∫𝑦2 ∙ 𝑑𝐴, conclui-se

que a relação momento-curvatura é linear e igual a: 𝑀 = 𝐸𝐼 ∙ 𝑘.

No dimensionamento do concreto essa teoria não pode ser aplicada, já que uma

das premissas era a de o material ser homogêneo, o que não ocorre com o concreto,

tornando o cálculo bem mais complexo.

49

3.3.1. Hipóteses básicas para o dimensionamento em concreto armado

A NBR 6118 (ABNT, 2014) enuncia algumas hipóteses a serem consideradas no

dimensionamento à flexão.

• Os diagramas de deformações na seção apresentados abaixo são

considerados no dimensionamento do concreto.

Figura 3-3 : Diagramas de deformações no concreto. Fonte: Santos (2017)

• As seções transversais se mantêm planas após a deformação;

• A deformação das barras deve ser a mesma do concreto em seu entorno;

• As tensões de tração no concreto devem ser desprezadas no ELU;

• A distribuição de tensões no concreto se faz de acordo com o diagrama

parábola-retângulo com tensão máxima a 0,85𝑓𝑐𝑑. Esse diagrama pode

ser substituído por um retângulo de profundidade 𝑦 = 𝜆𝑥, no qual 𝜆 é

igual a:

𝜆 = {

0,80, 𝑓𝑐𝑘 ≤ 50𝑀𝑃𝑎

0,80 − [𝑓𝑐𝑘− 50

400] , 𝑓𝑐𝑘 > 50𝑀𝑃𝑎

(3-20)

A tensão constante até a profundidade 𝑦 pode ser igual a 𝛼𝑐𝑓𝑐𝑑, no caso

de a largura da seção não diminuir a partir da linha neutra até a borda

comprimida, ou 0,9𝛼𝑐𝑓𝑐𝑑, no caso contrário. Sendo 𝛼𝑐 definido como:

𝛼𝑐 = {

0,85, 𝑓𝑐𝑘 ≤ 50𝑀𝑃𝑎

0,85 ∙ [1,0 −𝑓𝑐𝑘− 50

200] , 𝑓𝑐𝑘 > 50𝑀𝑃𝑎

(3-21)

50

• A tensão nas armaduras é obtida a partir do diagrama tensão-deformação

apresentado pela Figura 3-1.

• Consideram-se os limites para 𝑥/𝑑, de modo a garantir ductilidade

suficiente para os elementos, a fim de não ocorrer ruptura frágil da

estrutura:

𝑥

𝑑≤ {

0,45, 𝑓𝑐𝑘≤ 50𝑀𝑃𝑎

0,35, 𝑓𝑐𝑘 > 50𝑀𝑃𝑎 (3-22)

• Os estados limites últimos são caracterizados quando a distribuição de

deformações na seção transversal atingir uma das configurações

definidas nos diversos domínios de dimensionamento estabelecidos pela

norma.

3.4. DOMÍNIOS DE DIMENSIONAMENTO

A NBR 6118 (ABNT, 2014) enuncia os seguintes domínios de dimensionamento

para peças de concreto armado:

Deformação plástica excessiva

✓ Reta a: tração uniforme.

✓ Domínio 1: tração não uniforme, sem compressão.

✓ Domínio 2: flexão simples ou composta, sem ruptura à compressão do

concreto, aço a 10‰.

Ruptura

✓ Domínio 3: flexão simples ou composta, com ruptura à compressão do

concreto, e escoamento do aço.

✓ Domínio 4: flexão simples ou composta, com ruptura à compressão do

concreto, e com aço tracionado sem escoamento.

✓ Domínio 4a: flexão composta com armaduras comprimidas.

✓ Domínio 5: compressão não uniforme, sem tração.

✓ Reta b: compressão uniforme.

51

Figura 3-4 : Domínios de dimensionamento do concreto. Fonte: ABNT (2014)

Nas seções seguintes serão desenvolvidas as equações de equilíbrio para cada

domínio de dimensionamento, considerando que 𝑓𝑐𝑘 ≤ 50𝑀𝑃𝑎. A posição da linha

neutra para cada domínio assume diferentes intervalos de valores.

✓ Domínio 1: de −∞ a 0

✓ Domínio 2: de 0 a 0,259𝑑

✓ Domínios 3 e 4: 0,259𝑑 a 𝑑

✓ Domínio 4a: de 𝑑 a ℎ

✓ Domínio 5: de ℎ a +∞

Para a determinação das equações serão utilizadas as seguintes convenções:

Figura 3-5 : Seção transversal. Fonte: Santos (2017)

52

Figura 3-6 : Seção longitudinal. Fonte: Santos (2017)

Sendo:

✓ 𝑏: base da seção de concreto;

✓ ℎ: altura da seção de concreto;

✓ 𝐴𝑠1: armadura mais próxima da face inferior;

✓ 𝐴𝑠2: armadura mais próxima da face superior;

✓ 𝑑′: distância do centro de gravidade da armadura 𝐴𝑠1 até a face superior;

✓ 𝑑": distância do centro de gravidade da armadura 𝐴𝑠2 até a face inferior;

✓ 𝑑 = ℎ − 𝑑′: altura útil da seção;

✓ 𝑐 = 𝑑 − 𝑑": distância entre centroides das armaduras 𝐴𝑠1 e 𝐴𝑠2;

✓ 𝐴𝑠𝑖: armadura genérica 𝑖;

✓ 𝑡𝑖: distância da face inferior até a armadura genérica 𝑖;

✓ 𝑁𝑑: esforço normal de cálculo referido ao centro de gravidade da seção;

✓ 𝑀𝑑: momento fletor de cálculo referido ao centro de gravidade da seção;

As forças normais positivas são as de tração, e os momentos fletores positivos

são os que tracionam as fibras inferiores.

3.4.1. Domínio 1

Esse caso abrange as situações de tração pura representadas pela reta a e as de

tração composta representadas pelo domínio 1. Ou seja, todas as deformações são

positivas e as tensões no concreto são nulas. O par de esforços 𝑁𝑑 e 𝑀𝑑 são resistidos

apenas pelas armaduras.

53

As deformações 𝜀𝑠1, 𝜀𝑠2, 𝜀𝑠𝑖 e 𝜀𝑐 são, respectivamente, na armadura mais

inferior 𝐴𝑠1, na armadura mais superior 𝐴𝑠2, em uma armadura genérica 𝐴𝑠𝑖 e no

concreto.

O domínio é definido para as seguintes deformações:

✓ 𝜀𝑠1 = 10‰

✓ 𝜀𝑐 = 10‰ a 0‰

Figura 3-7 : Deformações no domínio 1. Fonte: Santos (2017)

A Figura 3-7 ilustra o equilíbrio de forças atuando na seção. A deformação

específica em uma armadura genérica 𝑖 é obtida através da relação geométrica ilustrada

na Figura 3-8.

Figura 3-8 : Deformações no domínio 1 com sistema de eixos coordenados. Fonte:

Santos (2017)

Utilizando a congruência de triângulos:

54

𝜀𝑠1 − 𝜀𝑐𝑑

=𝜀𝑐 − 0

−𝑥⇒ 𝑥 = 𝑑 ∙

−𝜀𝑐𝜀𝑠1 − 𝜀𝑐

𝜀𝑠1 − 𝜀𝑠𝑖𝑡𝑖 − 𝑑′

=𝜀𝑠1 − 𝜀𝑐𝑑

⇒𝑡𝑖 − 𝑑′

𝑑=𝜀𝑠1 − 𝜀𝑠𝑖𝜀𝑠1 − 𝜀𝑐

⇒ 𝜀𝑠𝑖 = 𝜀𝑠1 −(𝑡𝑖 − 𝑑

′)(𝜀𝑠1 − 𝜀𝑐)

𝑑

De acordo com o diagrama tensão-deformação do aço:

𝜎𝑠𝑖 = {

𝜀𝑠𝑖|𝜀𝑠𝑖|

∙ 𝑓𝑦𝑑 , 𝜀𝑠𝑖 ≥ 𝜀𝑦𝑑

𝐸𝑠 ∙ 𝜀𝑠𝑖, 𝜀𝑠𝑖 < 𝜀𝑦𝑑 (3-23)

A força de tração em uma armadura genérica:

𝐹𝑖 = 𝐴𝑠𝑖 ∙ 𝜎𝑠𝑖 (3-24)

As equações de equilíbrio com relação extremidade mais inferior da seção:

𝑁𝑑 =∑𝐹𝑖 (3-25)

𝑀𝑑 = 𝑁𝑑 ∙ℎ

2−∑𝐹𝑖 ∙ 𝑡𝑖 (3-26)

3.4.2. Domínio 2

O domínio 2 representa as condições em que a parte superior da seção está sob

compressão, e as armaduras superiores estão tracionadas ou comprimidas. São diversas

situações de flexão simples ou composta.


✓ 𝜀𝑠1 = 10‰

✓ 𝜀𝑐 = 0‰ a −3,5‰

A Figura 3-9 representa o sistema de equilíbrio para o domínio 2. Utilizando de

congruência de triângulos é possível obter a posição da linha neutra:

−𝜀𝑐𝑥

=𝜀𝑠1𝑑 − 𝑥

⇒ 𝑥 = 𝑑 ∙−𝜀𝑐

𝜀𝑠1 − 𝜀𝑐

e a deformação em uma armadura genérica:

55

𝜀𝑠1 − 𝜀𝑠𝑖𝑡𝑖 − 𝑑′

=𝜀𝑠1 + (−𝜀𝑐)

𝑑⇒𝑡𝑖 − 𝑑′

𝑑=𝜀𝑠1 − 𝜀𝑠𝑖𝜀𝑠1 − 𝜀𝑐

⇒ 𝜀𝑠𝑖 = 𝜀𝑠1 −(𝑡𝑖 − 𝑑

′)(𝜀𝑠1 − 𝜀𝑐)

𝑑

Figura 3-9 : Deformações no domínio 2. Santos (2017)

As equações de tensões e forças no aço, usadas no domínio 1, também valem

nesse domínio.

Nesse caso o concreto resiste a compressão, e a força resistida por ele é expressa

pela seguinte equação:

𝐹𝑐 = −0,85𝑓𝑐𝑑 ∙ 𝑏 ∙ 0,8𝑥 (3-27)

O valor dessa força é negativo porque a força é de compressão.

A distância da força resistente do concreto até a face inferior da seção é:

𝑡𝑐 = ℎ− 0,4𝑥 (3-28)

As equações de equilíbrio com relação extremidade mais inferior da seção são:

𝑁𝑑 = 𝐹𝑐 +∑𝐹𝑖 (3-29)


2− 𝐹𝑐 ∙ 𝑡𝑐 −∑𝐹𝑖 ∙ 𝑡𝑖 (3-30)

56

3.4.3. Domínio 3

O domínio 3 representa condições em que a parte superior da seção está sob

compressão, e as armaduras estão tracionadas ou comprimidas. São diversas situações

de flexão simples ou composta com compressão.


✓ 𝜀𝑠1 = 10‰ a 𝜀𝑦𝑑

✓ 𝜀𝑐 = −3,5‰

As equações do domínio 2 para linha neutra, deformações, tensões e as de

equilíbrio são válidas no domínio 3.

3.4.4. Domínio 4 e 4a

O domínio 4 também representa condições em que a parte superior da seção está

sob compressão, e as armaduras estão tracionadas ou comprimidas. A diferença para o

domínio 3 é que o aço não ultrapassa o limite de escoamento. São diversas situações de

flexão composta com compressão. Como o aço não atinge o escoamento, e ruptura

ocorre de forma frágil (compressão no concreto), por isso a NBR 6118 (ABNT, 2014)

não permite seu uso para o dimensionamento na flexão simples (seções super armadas).


✓ 𝜀𝑠1 = 𝜀𝑦𝑑 a 0‰

✓ 𝜀𝑐 = −3,5‰

As equações do domínio 2 para linha neutra, deformações, tensões e as de

equilíbrio também são válidas no domínio 4.

O domínio 4a corresponde a uma transição entre os domínios 4 e 5, quando

surge uma pequena compressão na armadura 𝐴𝑠1, sendo tratado com as equações do

domínio 4, de maneira conservadora.

57

3.4.5. Domínio 5

O domínio 5 representa as condições de equilíbrio em que a seção está

completamente comprimida, inclusive as armaduras. São diversas situações de flexão

composta com compressão e compressão simples.

Outra característica do domínio, é que o ponto C, representado na Figura 3-10, a

deformação é fixa em 2‰, consequentemente, a deformação na extremidade inferior da

seção será função da deformação na face superior. O ponto C fica a uma distância

(𝜀𝑐𝑢−𝜀𝑐2

𝜀𝑐𝑢) ℎ da extremidade superior da seção (obtido através de semelhança de

triângulos), que no caso de um concreto com 𝑓𝑐𝑘 ≤ 50𝑀𝑃𝑎 pode ser escrito como 3

7ℎ.

Figura 3-10 : Esquema gráfico do domínio 5. Fonte: Eboli (2016)

Mantendo o ponto C fixo e variando a deformação na extremidade superior é

possível arrumar uma semelhança de triângulos para obter a deformação na extremidade

inferior, a partir da superior. Dessa forma, é possível afirmar que o domínio é definido

para as seguintes deformações:

✓ 𝜀𝑐 = −3,5‰ a −2,0‰

✓ 𝜀𝑐,𝑖𝑛𝑓 =−14−4𝜀𝑐

3⇒ 𝜀𝑐,𝑖𝑛𝑓 = −2,00‰ a −

3

7ℎ

58

Figura 3-11 : Deformações no domínio 5. Fonte: Santos (2017)

A equação da linha neutra no domínio 5 fica da seguinte maneira, utilizando

uma simples semelhança de triângulos:

𝜀𝑐 − 𝜀𝑐,𝑖𝑛𝑓

ℎ=𝜀𝑐 − 0

𝑥⇒ 𝑥 = ℎ ∙

𝜀𝑐𝜀𝑐 − 𝜀𝑐,𝑖𝑛𝑓

Utilizando os valores de deformação do domínio 5:

𝑥 = ℎ ∙3𝜀𝑐

7𝜀𝑐 + 14 (3-31)

Figura 3-12 : Deformações no domínio 5 com sistema de eixos coordenados. Fonte:

Santos (2017)

A partir da Figura 3-12 é possível, por semelhança de triângulos, obter o valor

da deformação específica em uma armadura genérica 𝑖:

59

𝜀𝑠𝑖𝑡𝑖 + 𝑥 − ℎ

=𝜀𝑐𝑥⇒𝑡𝑖 + 𝑥 − ℎ

𝑥=𝜀𝑠𝑖𝜀𝑐⇒ 𝜀𝑠𝑖 = 𝜀𝑐 ∙ (

𝑡𝑖 + 𝑥 − ℎ

𝑥)

Substituindo a equação (3-31) na equação acima:

𝜀𝑠𝑖 =7𝜀𝑐 ∙ 𝑡𝑖 + 14𝑡𝑖 − 4ℎ ∙ 𝜀𝑐 − 14ℎ

3ℎ (3-32)

As outras equações de tensões, forças e equilíbrio do domínio 4, também são

válidas no domínio 5.

3.5. TRELIÇA DE MÖRSCH

Uma viga pode ser representada de acordo com o modelo da treliça de Mörsch.

No qual, o banzo tracionado representa as armaduras longitudinais de tração; o banzo

comprimido, a seção de concreto entre a linha neutra e a extremidade mais comprimida;

as diagonais tracionadas, a armadura transversal (estribos e/ou barras dobradas); e as

diagonais comprimidas (bielas) o concreto sob compressão uniaxial na direção 𝜃

(direção das fissuras) com a horizontal (CEB, 1993).

A altura 𝑧 é a distância entre as resultantes de tração (armadura longitudinal) e

compressão na viga. As diagonais tracionadas possuem ângulo 𝛼 com a horizontal.

Figura 3-13 : Modelo de treliça generalizada para vigas. Fonte: Eboli (2016)

60

Sendo 𝑠 a distância entre as barras de armadura transversal; 𝐴𝑠𝑤 a área da seção

transversal das pernas de uma unidade de armadura transversal; 𝑝 o número de pernas

de uma unidade de armadura transversal; e 𝑎𝑠𝑡 a área da seção transversal da barra que

compõe a armadura transversal.

𝐴𝑠𝑤 = 𝑝 ∙ 𝑎𝑠𝑡 (3-33)

Considerando uma seção inclinada na direção 𝜃, em 𝑥, como representado na

Figura 3-14, e que a seção possui largura da base igual a 𝑏𝑤.

Sendo:

✓ 𝑅𝑠𝑤: resultante de tração nas 𝑛𝑥 unidades de armadura transversal

interceptadas pela fissura com inclinação 𝜃;

✓ 𝑅𝑠𝑑,𝑐𝑜𝑟(𝑥): resultante de tração na armadura longitudinal em 𝑥;

✓ 𝑅𝑐𝑑,𝑐𝑜𝑟(𝑥′): resultante de compressão em 𝑥′ = 𝑥 + 𝑧 ∙ 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝜃);

Figura 3-14 : Seção de Ritter com inclinação 𝜽. Fonte: Eboli (2016)

Sabendo que a resultante de tração nas armaduras transversais é:

𝑅𝑠𝑤 = 𝐴𝑠𝑤 ∙ 𝑛𝑥 ∙ 𝜎𝑠𝑤 (3-34)

61

Sendo 𝜎𝑠𝑤 a tensão de tração na armadura transversal, e o número de barras

escrito de acordo com o espaçamento entre as barras:

𝑛𝑥 =𝑧 ∙ [𝑐𝑜𝑡𝑔(𝜃) + 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝛼)]

𝑠 (3-35)

A resultante pode ser escrita como:

𝑅𝑠𝑤 =𝐴𝑠𝑤𝑠∙ 𝑧 ∙ [𝑐𝑜𝑡𝑔(𝜃) + 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝛼)] ∙ 𝜎𝑠𝑤 (3-36)

A componente vertical de 𝑅𝑠𝑤:

𝑉𝑠𝑤 = 𝑅𝑠𝑤 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝛼) =𝐴𝑠𝑤𝑠∙ 𝑧 ∙ 𝜎𝑠𝑤 ∙ [𝑐𝑜𝑡𝑔(𝜃)+ 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝛼)] ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝛼) (3-37)

Pelas equações de equilíbrio interno dos esforços é possível chegar a:

𝑅𝑠𝑑,𝑐𝑜𝑟 =𝑀𝑠𝑑

𝑧+𝑉𝑠𝑑2[𝑐𝑜𝑡𝑔(𝜃) − 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝛼)] (3-38)

Considerando a seção de Ritter inclinada na direção 𝛼, das armaduras, é possível

encontrar a mesma equação. E pelo equilíbrio em uma seção vertical, encontra-se que:

𝑅𝑐𝑑,𝑐𝑜𝑟 =𝑀𝑠𝑑

𝑧−𝑉𝑠𝑑2[𝑐𝑜𝑡𝑔(𝜃) − 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝛼)] (3-39)

As expressões deduzidas para 𝑅𝑆𝑑 e 𝑅𝑐𝑑 representam as correções do momento

fletor solicitante, devido a presença do esforço cortante, ilustradas na imagem abaixo.

Figura 3-15 : Esforços de cálculo corrigidos. Fonte: Eboli (2016)

62

3.6. DIMENSIONAMENTO

3.6.1. Tração simples

A tração simples de um tirante corresponde a situação ilustrada pela reta a dentro

do domínio 1, no qual a deformação específica do aço não deve ser maior que 10‰.

A equação de resistência de um tirante (𝑅𝑑), com dimensões externas 𝑏 e ℎ, será

a soma da resistência do concreto (𝑅𝑐𝑑) com a do aço (𝑅𝑠𝑑). Sendo que a resistência do

concreto à tração não é levada em consideração no estado limite de ruptura, logo, a

única resistência a ser considerada será a do aço.

A resistência do aço:

𝑅𝑑𝑠 = 𝑓𝑦𝑑𝐴𝑠 (3-40)

A resistência do tirante:

𝑅𝑑 = 𝑅𝑠𝑑 = 𝑓𝑦𝑑𝐴𝑠 (3-41)

3.6.2. Compressão simples

Na compressão simples de uma coluna curta, ou seja, não é levada em

consideração a ação de efeitos combinados de momentos com esforços normais, o

elemento resiste apenas ao esforço normal atuando em seu centroide. Configurado pela

reta b no Domínio 5, no qual a deformação específica em qualquer ponto da seção deve

ser no máximo 2‰. Nesse caso, a tensão admissível no aço pode ser expressa pela Lei

de Hooke, limitando as deformações a 2‰.

Tabela 3-8 : Limites para tensão de escoamento na reta b do Domínio 5.

Aço 𝒇𝒚𝒅 (kN/cm²) 𝜺𝒚𝒅 (‰) 𝜺𝒚𝒅 (‰) (*) 𝒇𝒚𝒅,𝒍𝒊𝒎 (kN/cm²)

CA-25 21.74 1.035 1.035 21.74

CA-50 43.48 2.070 2.000 42.00

CA-60 52.17 2.484 2.000 42.00

(*) As deformações dos aços CA-50 e CA-60 para as condições normais de trabalho

são maiores do que o permitido pelo domínio 5. Fixando suas deformações a 2‰, é

63

possível obter a tensão de escoamento limite de trabalho para esses dois aços no

domínio 5 (42,0 kN/cm²).

A equação de resistência de uma coluna curta (𝑅𝑑), com dimensões externas 𝑏 e

ℎ, será a soma da resistência do concreto (𝑅𝑐𝑑) com a do aço (𝑅𝑠𝑑).

A resistência do concreto é:

𝑅𝑑𝑐 =0,85𝑓𝑐𝑘𝛾𝑐

𝑏ℎ (3-42)

A resistência do aço:

𝑅𝑑𝑐 = 𝑓𝑦𝑑𝐴𝑠 (3-43)

A resistência da coluna curta:

𝑅𝑑 = 𝑅𝑐𝑑 + 𝑅𝑠𝑑 =0,85𝑓

𝑐𝑘

𝛾𝑐𝑏ℎ + 𝑓𝑦𝑑𝐴𝑠 (3-44)

3.6.3. Flexão simples

Na flexão simples (𝑀 ≠ 0 e 𝑁 = 0), ou seja, o elemento está submetido apenas

ao esforço de momento fletor (e cortante, caso o esforço cortante seja igual a zero,

chama-se flexão pura). Esse problema está descrito dentro dos domínios 2 e 3, pois

pretende-se que o concreto não rompa antes do aço entrar em escoamento, para que a

ruptura não seja do tipo frágil.

O problema de flexão simples, ilustrado na Figura 3-16, é o mais recorrente no

dimensionamento de vigas, com armadura simples (𝐴𝑠′ = 0), ou dupla (𝐴𝑠

′ ≠ 0).

64

Figura 3-16 : Esquema com esforços atuantes em vigas. Fonte: Eboli (2016)

Sendo:

• 𝜀𝑐𝑑: a deformação específica na extremidade comprimida do concreto;

• 𝜀𝑠𝑑: a deformação específica na armadura tracionada;

• 𝜀′𝑠𝑑: a deformação específica na armadura comprimida;

• 𝐴𝑠: a área de aço tracionada;

• 𝐴′𝑠: a área de aço comprimida;

• 𝑑′: a distância do centroide da armadura tracionada até a extremidade

mais próxima;

• 𝑑": a distância do centroide da armadura comprimida até a extremidade

mais próxima;

• 𝑑 = ℎ − 𝑑′: distância da armadura tracionada até a extremidade

comprimida da seção;

• 𝑧𝑠 = 𝑑 − 𝑑": distância entre os centroides das armaduras;

• 𝑏, ℎ: dimensões da seção de concreto (base x altura);

• 𝑥: altura da linha neutra;

• 𝑧: distância do centro de aplicação da força de compressão do concreto

ao centroide da armadura de tração;

• 𝑦𝑡 = 𝑑 − 0,5ℎ: distância do centroide da seção ao centroide das

armaduras tracionadas;

• 𝑅𝑐𝑑: força resultante de compressão no concreto;

• 𝑅′𝑠𝑑: força resultante na armadura de compressão;

• 𝑅𝑠𝑑: força resultante na armadura de tração;

• 𝑁𝑅𝑑 , 𝑀𝑅𝑑: esforços resistentes referidos ao centroide da seção;

65

• 𝑁𝑅𝑑𝑖 , 𝑀𝑅𝑑𝑖: esforços resistentes referidos ao centroide da armadura de

tração;

• 𝑁𝑆𝑑 , 𝑀𝑆𝑑: esforços solicitantes referidos ao centroide da seção;

• 𝑁𝑆𝑑𝑖 , 𝑀𝑆𝑑𝑖: esforços solicitantes referidos ao centroide da armadura de

tração;

Em estruturas, no geral, é comum a existência de dois problemas: o primeiro,

dado uma seção existente, descobrir o momento resistido pela mesma; e o segundo,

dimensionar, para um momento solicitante, uma seção que resista a ele. Os dois

problemas são comentados a seguir.

Equação do momento resistente de uma seção

As equações de equilíbrio para a situação ilustrada na Figura 3-16 são:

𝑁𝑠𝑑 = 𝑁𝑅𝑑 = 𝑅𝑠𝑑 − 𝑅𝑐𝑑 − 𝑅𝑠𝑑′ = 0 (3-45)

𝑀𝑠𝑑𝑖 = 𝑀𝑅𝑑𝑖 ⇒ 𝑀𝑆𝑑 −𝑁𝑆𝑑 ∙ 𝑦𝑡 = 𝑀𝑅𝑑 −𝑁𝑅𝑑 ∙ 𝑦𝑡 ⇒ 𝑀𝑆𝑑 = 𝑀𝑅𝑑 (3-46)

A contribuição da armadura de tração:

𝑅𝑠𝑑 = 𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑦𝑑 (3-47)

A contribuição da armadura de compressão:

𝑅′𝑠𝑑 = 𝐴′𝑠 ∙ 𝑓𝑦𝑑 (3-48)

A contribuição do concreto (utilizando o diagrama retangularizado):

𝑅𝑐𝑑 = 𝛼𝑐 ∙ 𝑓𝑐𝑑 ∙ 𝑏 ∙ 𝜆 ∙ 𝑥 (3-49)

Para o caso de concretos com 𝑓𝑐𝑘 ≤ 50𝑀𝑃𝑎:

𝑅𝑐𝑑 = 0,85 ∙ 𝑓𝑐𝑑 ∙ 𝑏 ∙ 0,80 ∙ 𝑥

66

𝑅𝑐𝑑 = 0,68𝑓𝑐𝑑𝑏𝑥 (3-50)

Da equação (3-45):

𝑅𝑠𝑑 = 𝑅𝑐𝑑 + 𝑅𝑠𝑑′ ⇒ 𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑦𝑑 = 𝐴

′𝑠𝑓𝑦𝑑 + 0,85𝑓𝑐𝑑𝑏 ∙ 0,80𝑥

𝑥 =𝑓𝑦𝑑(𝐴𝑠𝑑 − 𝐴′𝑠𝑑)

0,68𝑏𝑓𝑐𝑑 (3-51)

A equação de momento resistente será:

𝑀𝑅𝑑 = 𝑀𝑅𝑑𝑐 +𝑀𝑅𝑑𝑠 = 𝑅𝑐𝑑 ∙ 𝑧 + 𝑅𝑠𝑑′ ∙ 𝑧𝑠 (3-52)

Substituindo os valores, e sendo 𝑧 = 𝑑 − 0,5𝜆𝑥 = 𝑑 −𝜆

2𝑥, 𝑧𝑠 = 𝑑 − 𝑑" e 𝑑 =

ℎ − 𝑑′:

𝑀𝑅𝑑 = 𝑓𝑦𝑑[𝐴𝑠 ∙ (ℎ − 𝑑′) − 𝐴𝑠′ ∙ 𝑑"] − [

𝑓𝑦𝑑2 ∙ (𝐴𝑠 − 𝐴𝑠

′ )2

2𝛼𝑐 ∙ 𝑏 ∙ 𝑓𝑐𝑑] (3-53)

No caso de a viga possuir armação simples, a equação acima continua válida,

bastando entrar com o valor de 𝐴𝑠′ = 0.

Dimensionamento da seção para um momento solicitante

No dimensionamento das seções de vigas é comum a utilização de coeficientes

adimensionais definidos como:

𝑘𝑥 =𝑥

𝑑≤ 𝑘𝑥,𝑙𝑖𝑚 = {

0,45, 𝑓𝑐𝑘≤ 50𝑀𝑃𝑎

0,35, 𝑓𝑐𝑘 > 50𝑀𝑃𝑎 (3-54)

Como 𝑧 = 𝑑 −𝜆

2𝑥:

𝑘𝑧 =𝑧

𝑑= 1 −

𝜆

2𝑘𝑥 (3-55)

O momento resistente no concreto pode ser reescrito:

67

𝑀𝑅𝑑𝑐 = 𝑅𝑐𝑑 ∙ 𝑧 = 𝛼𝑐𝑓𝑐𝑑𝑏𝜆𝑥𝑧 = 𝛼𝑐𝑓𝑐𝑑𝑏𝜆𝑑2𝑘𝑥𝑘𝑧

Pode ser definido então que:

𝑘𝑚𝑑 =𝑀𝑅𝑑𝑐𝑏𝑑2𝑓𝑐𝑑

= 𝛼𝑐𝜆𝑘𝑥𝑘𝑧 (3-56)

Os coeficientes 𝑘𝑥 e 𝑘𝑧 podem ser determinados a partir do 𝑘𝑚𝑑:

𝑘𝑚𝑑 = 𝛼𝑐𝜆𝑘𝑥𝑘𝑧 = 𝛼𝑐𝜆𝑘𝑥 (1 −𝜆

2𝑘𝑥)

𝑘𝑥 =

1 − √1 −2𝑘𝑚𝑑

𝛼𝑐

𝜆≤ 𝑘𝑥,𝑙𝑖𝑚 (3-57)

Utilizando os valores de 𝑘𝑥,𝑙𝑖𝑚, 𝜆 e 𝛼𝑐 na equação acima, é possível encontrar o

𝑘𝑚𝑑,𝑚𝑎𝑥. No caso de 𝑓𝑐𝑘 ≤ 50𝑀𝑃𝑎:

1 −√1 −2𝑘𝑚𝑑,𝑚𝑎𝑥

0,85

0,80≤ 0,45 ⇒ 𝑘𝑚𝑑,𝑚𝑎𝑥 = 0,251

Os valores de 𝑘𝑚𝑑,𝑚𝑎𝑥 para outros valores de𝑓𝑐𝑘 são encontrados na Tabela 3-9:

Tabela 3-9 : Limites para o 𝑘𝑚𝑑

Com a equação (3-56) é possível determinar a altura mínima para uma viga, sem

utilizar armadura dupla:

𝑘𝑚𝑑,𝑚𝑎𝑥 =𝑀𝑅𝑑𝑐

𝑏𝑑𝑚𝑖𝑛2 𝑓𝑐𝑑

⇒ 𝑑𝑚𝑖𝑛 = √𝑀𝑅𝑑𝑐

𝑓𝑐𝑑𝑏𝑘𝑚𝑑,𝑚𝑎𝑥 (3-58)

Caso a 𝑑 > 𝑑𝑚𝑖𝑛, então 𝑘𝑚𝑑 > 𝑘𝑚𝑑,𝑚𝑎𝑥, logo, será necessário utilizar armadura

dupla.

68

Em seguida será explicado o roteiro para dimensionamento de uma viga submetida a

flexão simples.

i. Calcular o 𝑘𝑚𝑑 com o momento solicitante, admitindo que 𝑀𝑆𝑑 ≤ 𝑀𝑅𝑑𝑐:

𝑘𝑚𝑑 =𝑀𝑆𝑑𝑏𝑑2𝑓𝑐𝑑

ii. Se 𝑘𝑚𝑑 ≤ 𝑘𝑚𝑑,𝑚𝑎𝑥, proceder com o cálculo da armadura de tração, e não

será utilizada armadura de compressão, logo, no cálculo da armadura:

𝑅𝑐𝑑 = 𝑅𝑠𝑑

𝑀𝑆𝑑 = 𝑀𝑅𝑑𝑐 = 𝑅𝑐𝑑𝑧 = 𝑅𝑠𝑑𝑧 = 𝐴𝑠𝑓𝑦𝑑𝑧 = 𝐴𝑠𝑓𝑦𝑑𝑑𝑘𝑧

𝐴𝑠 =𝑀𝑆𝑑

𝑓𝑦𝑑 ∙ 𝑑 ∙ 𝑘𝑧 (3-59)

𝑘𝑥 =

1 − √1 −2𝑘𝑚𝑑

𝛼𝑐

𝜆

𝑘𝑧 =𝑧

𝑑= 1 −

𝜆

2𝑘𝑥

iii. Se 𝑘𝑚𝑑 ≥ 𝑘𝑚𝑑,𝑚𝑎𝑥, calcular o momento resistente limite do concreto:

𝑀𝑅𝑑𝑐 = 𝑏𝑑2𝑓𝑐𝑑𝑘𝑚𝑑,𝑚𝑎𝑥

Calcular armadura de compressão para 𝑀𝑅𝑑𝑠 = 𝑀𝑆𝑑 −𝑀𝑅𝑑𝑐:

𝐴′𝑠 =𝑀𝑅𝑑𝑠

𝑓𝑦𝑑𝑑𝑘𝑧

Calcular a armadura de tração para 𝑀𝑅𝑑𝑐:

𝐴𝑠 =𝑀𝑅𝑑𝑐

𝑓𝑦𝑑𝑑𝑘𝑧+ 𝐴𝑠

′

A armadura de tração deve ter a armadura de compressão somada nela

para o equilíbrio de forças internas.

69

3.6.3.1. Seção T

Como as vigas, de um modo geral, trabalham solidarizadas a laje, é comum a

utilização de seções T no dimensionamento de vigas de edifício.

Figura 3-17 : Esquema com esforços atuantes em vigas T. Fonte: Eboli (2016)

Sendo:

• 𝐴𝑠: a área de aço tracionada;

• 𝐴′𝑠: a área de aço comprimida;

• 𝑑′: a distância do centroide da armadura tracionada até a extremidade

mais próxima;

• 𝑑": a distância do centroide da armadura comprimida até a extremidade

mais próxima;

• 𝑑 = ℎ − 𝑑′: distância da armadura tracionada até a extremidade

comprimida da seção;

• 𝑏𝑤, ℎ: dimensões da nervura (base x altura);

• 𝑏𝑓 , ℎ𝑓: dimensões da mesa (ou flange);

• 𝑥: altura da linha neutra;

• 𝑀𝑑: momento de cálculo;

Quando a mesa está comprimida, existem duas possibilidades, ou a linha neutra

passa dentro da mesa, ou fora. As duas condições possuem dimensionamentos

diferenciados.

70

Dimensionamento de uma seção com linha neutra na mesa

Figura 3-18 : Esquema com esforços atuantes em vigas T: linha neutra na mesa. Fonte:

Eboli (2016)

Sendo:

• 𝜀𝑐𝑑: a deformação específica na extremidade comprimida do concreto;

• 𝜀𝑠𝑑: a deformação específica na armadura tracionada;

• 𝜀′𝑠𝑑: a deformação específica na armadura comprimida;

• 𝑧𝑠 = 𝑑 − 𝑑": distância entre os centroides das armaduras;

• 𝑧: distância do centro de aplicação da força de compressão do concreto

ao centroide da armadura de tração;

• 𝑅𝑐𝑑: força resultante de compressão no concreto;

• 𝑅′𝑠𝑑: força resultante na armadura de compressão;

• 𝑅𝑠𝑑: força resultante na armadura de tração;

Procedimento de dimensionamento:

i. Calcular o 𝑘𝑚𝑑 com o momento solicitante, admitindo que 𝑀𝑆𝑑 ≤ 𝑀𝑅𝑑𝑐:

𝑘𝑚𝑑 =𝑀𝑆𝑑

𝑏𝑓 ∙ 𝑑2 ∙ 𝑓𝑐𝑑

ii. Se 𝑘𝑚𝑑 ≤ 𝑘𝑚𝑑,𝑚𝑎𝑥, calcular a posição da linha neutra:

𝑘𝑥 =

1 − √1 −2𝑘𝑚𝑑

𝛼𝑐

𝜆

𝑥 = 𝑘𝑥 ∙ 𝑑

71

a. Se 𝜆𝑥 > ℎ𝑓, linha neutra na alma.

b. Se 𝜆𝑥 ≤ ℎ𝑓, calcular armadura de tração, e não será utilizada

armadura de compressão, logo, no cálculo da armadura:

𝑘𝑧 =𝑧

𝑑= 1 −

𝜆

2𝑘𝑥

𝐴𝑠 =𝑀𝑆𝑑

𝑓𝑦𝑑 ∙ 𝑑 ∙ 𝑘𝑧

iii. Se 𝑘𝑚𝑑 ≥ 𝑘𝑚𝑑,𝑚𝑎𝑥, linha neutra na alma:

Dimensionamento de uma seção com linha neutra na alma

Figura 3-19 : Esquema com esforços atuantes em vigas T: linha neutra na alma. Fonte:

Eboli (2016)

Nesse caso a resistência será decomposta em duas parcelas retangulares, uma na

alma de largura 𝑏𝑤 e altura 𝑥 e outra na mesa de largura (𝑏𝑓 − 𝑏𝑤) e altura ℎ𝑓.

Figura 3-20 : Esquema com esforços atuantes em vigas T: linha neutra na alma. Fonte:

Eboli (2016)

72

Sendo:

• 𝑀𝑅𝑑𝑓: o momento resistente do flange;

• 𝑀𝑅𝑑𝑤: o momento resistente da alma;

• 𝑅𝑐𝑑𝑤: força resultante de compressão no concreto, parcela da alma;

• 𝑅𝑐𝑑𝑓: força resultante de compressão no concreto, parcela da mesa;

• 𝑧𝑓 = 𝑑 −ℎ𝑓

2: distância do centro de aplicação da força resistente de

compressão da mesa ao centroide das armaduras de tração.

Procedimento de dimensionamento:

i. Depois de detectar que a linha neutra está situada na alma, pode-se

separar o momento resistente do concreto em duas parcelas, uma da mesa

e outra da alma:

𝑀𝑆𝑑 = 𝑀𝑅𝑑 = 𝑀𝑅𝑑𝑓 +𝑀𝑅𝑑𝑤

no qual,

𝑀𝑅𝑑𝑓 = 𝛼𝑐 ∙ 𝑓𝑐𝑑 ∙ (𝑏𝑓 − 𝑏𝑤) ∙ ℎ𝑓 ∙ (ℎ − 𝑑′ −

ℎ𝑓

2)

e,

𝑀𝑅𝑑𝑤 = 𝑀𝑆𝑑 −𝑀𝑅𝑑𝑓

ii. Calcular o 𝑘𝑚𝑑 com o momento na nervura, admitindo que o momento

resistido pela nervura não passa do limite 𝑀𝑅𝑑𝑤 ≤ 𝑀𝑅𝑑,𝑙𝑖𝑚:

𝑘𝑚𝑑 =𝑀𝑅𝑑𝑤

𝑏𝑤 ∙ 𝑑2 ∙ 𝑓𝑐𝑑

iii. Se 𝑘𝑚𝑑 ≤ 𝑘𝑚𝑑,𝑚𝑎𝑥, calcular armadura de tração, e não será utilizada

armadura de compressão:

𝑘𝑥 =

1 − √1 −2𝑘𝑚𝑑

𝛼𝑐

𝜆

𝑘𝑧 =𝑧

𝑑= 1 −

𝜆

2𝑘𝑥

73

𝐴𝑠 =𝑀𝑅𝑑𝑓

𝑓𝑦𝑑 ∙ (𝑑 −ℎ𝑓

2)+

𝑀𝑅𝑑𝑤

𝑓𝑦𝑑 ∙ 𝑑 ∙ 𝑘𝑧

iv. Se 𝑘𝑚𝑑 ≥ 𝑘𝑚𝑑,𝑚𝑎𝑥, calcular o momento resistente limite do concreto:

𝑀𝑅𝑑𝑐,𝑙𝑖𝑚 = 𝑏𝑤 ∙ 𝑑2 ∙ 𝑓𝑐𝑑 ∙ 𝑘𝑚𝑑,𝑚𝑎𝑥

a. Calcular armadura de compressão para 𝑀𝑅𝑑𝑠 = 𝑀𝑅𝑑𝑤 −𝑀𝑅𝑑𝑐,𝑙𝑖𝑚

𝑘𝑧 =𝑧

𝑑= 1 −

𝜆

2𝑘𝑥

𝐴′𝑠 =𝑀𝑅𝑑𝑠

(𝑑 − 𝑑") ∙ 𝑓𝑦𝑑

b. Calcular a armadura de tração para 𝑀𝑅𝑑𝑐,𝑙𝑖𝑚:

𝐴𝑠 =𝑀𝑅𝑑𝑓

𝑓𝑦𝑑 ∙ (𝑑 −ℎ𝑓

2)+

𝑀𝑅𝑑𝑐,𝑙𝑖𝑚

𝑓𝑦𝑑 ∙ 𝑑 ∙ 𝑘𝑧+ 𝐴𝑠

′

Equação do momento resistente para uma seção existente

Para o momento resistente, se 𝑥 ≤ ℎ𝑓, no qual:

𝑥 =𝑓𝑦𝑑 ∙ (𝐴𝑠𝑑 − 𝐴′𝑠𝑑)

𝛼𝑐 ∙ 𝜆 ∙ 𝑏𝑓 ∙ 𝑓𝑐𝑑 (3-60)

então o momento resistente pode ser calculado pela mesma fórmula da viga retangular,

substituindo 𝑏 por 𝑏𝑓.

𝑀𝑅𝑑 = 𝑓𝑦𝑑[𝐴𝑠 ∙ (ℎ − 𝑑′) − 𝐴𝑠′ ∙ 𝑑"] − [


′ )2

1,7 ∙ 𝑏𝑓 ∙ 𝑓𝑐𝑑] (3-61)

caso contrário, do equilíbrio mostrado na Figura 3-20:

𝑅𝑠𝑑 = 𝑅𝑐𝑑𝑓 + 𝑅𝑐𝑑𝑤 + 𝑅𝑠𝑑′ ⇒

𝐴𝑠 ∙ 𝑓𝑦𝑑 = 𝐴′𝑠 ∙ 𝑓𝑦𝑑 + 𝛼𝑐 ∙ 𝑓𝑐𝑑 ∙ (𝑏𝑓 − 𝑏𝑤) ∙ ℎ𝑓 + 𝛼𝑐 ∙ 𝑓𝑐𝑑 ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝜆 ∙ 𝑥 ⇒

𝑥 =𝑓𝑦𝑑 ∙ (𝐴𝑠𝑑 − 𝐴

′𝑠𝑑) + (𝑏𝑤 − 𝑏𝑓) ∙ ℎ𝑓 ∙ 𝛼𝑐 ∙ 𝑓𝑐𝑑

𝛼𝑐 ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑓𝑐𝑑 ∙ 𝜆 (3-62)

74

A equação de momento resistente será:

𝑀𝑅𝑑 = 𝑀𝑅𝑑𝑓 +𝑀𝑅𝑑𝑤 +𝑀𝑅𝑑𝑠 = 𝑅𝑐𝑑𝑓 ∙ 𝑧𝑓 + 𝑅𝑐𝑑𝑤 ∙ 𝑧 + 𝑅𝑠𝑑′ ∙ 𝑧𝑠 (3-63)

Substituindo os valores:

.

𝑀𝑅𝑑 = 𝑓𝑦𝑑[𝐴𝑠(ℎ − 𝑑′) − 𝐴𝑠

′𝑑"] − 𝛼𝑐𝑓𝑐𝑑(𝑏𝑓 − 𝑏𝑤)ℎ𝑓2

2− {[𝑓𝑦𝑑(𝐴𝑠 − 𝐴𝑠

′ ) + (𝑏𝑤 − 𝑏𝑓)ℎ𝑓𝛼𝑐𝑓𝑐𝑑]2

2𝛼𝑐𝑏𝑤𝑓𝑐𝑑} (3-64)

Substituindo 𝑏𝑓 por 𝑏𝑤 e fazendo ℎ𝑓 = 0 a equação acima é reduzida para o caso

de seção retangular.

3.6.4. Flexão composta reta

As diversas possibilidades de dimensionamento e verificação de uma seção de

concreto na flexão composta reta se realizam quando os diversos domínios de

deformações no estado limite último são verificados.

O exemplo de dimensionamento resolvido nesse caso será aplicado para uma

seção do tipo 1. Na Figura 3-22 são representados os tipos de seções considerados

comumente no dimensionamento. O momento gira em torno do eixo de ℎ, ou seja, na

direção de 𝑏.

Figura 3-21 : Envoltória de segurança na flexão composta reta. Fonte: Santos (2017)

75

As equações de momento e normal são as apresentadas no subcapítulo anterior,

para cada domínio. Fazendo variar os valores de 𝜀𝑠1 e 𝜀𝑐 é possível criar uma curva que

define a segurança para um elemento sob flexão composta reta. Na Figura 3-21, é

mostrada a relação da envoltória com os domínios, para o exemplo anterior.

Tipo 1 Tipo 2 Tipo 3 Tipo 4

Figura 3-22 : Tipos de seções consideradas na flexão composta reta. Fonte: Santos

(2017)

Equações de resistência para a seção analisada

As deformações específicas no concreto:

✓ Domínio 1: 𝜀𝑐 = 10‰ a 0‰

✓ Domínio 2: 𝜀𝑐 = 0‰ a −3,5‰

✓ Domínio 3: 𝜀𝑐 = −3,5‰

✓ Domínio 4: 𝜀𝑐 = −3,5‰

✓ Domínio 5: 𝜀𝑐 = −3,50‰ a −2‰

76

Sendo 𝑡1 = 𝑑′, 𝑡2 = ℎ − 𝑑", as distâncias da extremidade inferior até as

armaduras 𝐴𝑠1 e 𝐴𝑠2.

As deformações específicas na armadura 𝐴𝑠1:

✓ Domínio 1: 𝜀𝑠1 = 10‰

✓ Domínio 2: 𝜀𝑠1 = 10‰

✓ Domínio 3: 𝜀𝑠1 = 10‰ a 𝜀𝑦𝑑

✓ Domínio 4: 𝜀𝑠1 = 𝜀𝑦𝑑 a 0‰

✓ Domínio 5:

𝜀𝑠1 =7𝜀𝑐 ∙ 𝑡1 + 14𝑡1 − 4ℎ ∙ 𝜀𝑐 − 14ℎ

3ℎ=7𝜀𝑐 ∙ 𝑑′ + 14𝑑′ − 4ℎ ∙ 𝜀𝑐 − 14ℎ

3ℎ

As deformações específicas na armadura 𝐴𝑠2:

Domínios 1, 2, 3, 4 e 4a:

𝜀𝑠2 = 𝜀𝑠1 −(𝑡2 − 𝑑

′)(𝜀𝑠1 − 𝜀𝑐)

𝑑= 𝜀𝑠1 −

(ℎ − 𝑑′ − 𝑑′′)(𝜀𝑠1 − 𝜀𝑐)

(ℎ − 𝑑′)

Domínio 5:

𝜀𝑠2 =7𝜀𝑐 ∙ 𝑡2 + 14𝑡2 − 4ℎ ∙ 𝜀𝑐 − 14ℎ

3ℎ=7𝜀𝑐 ∙ (ℎ − 𝑑′′) + 14(ℎ − 𝑑′′) − 4ℎ ∙ 𝜀𝑐 − 14ℎ

3ℎ

A posição da linha neutra 𝑥:

Domínios 1, 2, 3, 4 e 4a:

𝑥 = 𝑑 ∙−𝜀𝑐

𝜀𝑠1 − 𝜀𝑐= (ℎ − 𝑑′) ∙

−𝜀𝑐𝜀𝑠1 − 𝜀𝑐

Domínio 5:

𝑥 = ℎ ∙3𝜀𝑐

7𝜀𝑐 + 14

A tensão nas armaduras:

77

𝜎𝑠𝑖 = {

𝜀𝑠𝑖|𝜀𝑠𝑖|

∙ 𝑓𝑦𝑑 , 𝜀𝑠𝑖 ≥ 𝜀𝑦𝑑

𝐸𝑠 ∙ 𝜀𝑠𝑖 , 𝜀𝑠𝑖 < 𝜀𝑦𝑑

A força de nas armaduras:

𝐹1 = 𝐴𝑠1 ∙ 𝜎𝑠1

𝐹2 = 𝐴𝑠2 ∙ 𝜎𝑠2

A força de compressão no concreto:

𝐹𝑐 = −0,85𝑓𝑐𝑑 ∙ 𝑏 ∙ 𝜆𝑥

A distância do ponto de aplicação da força no concreto até a extremidade

inferior:

𝑡𝑐 = ℎ −𝜆

2𝑥

As equações de equilíbrio com relação extremidade mais inferior da seção:

𝑁𝑑 = 𝐹1 + 𝐹2 + 𝐹𝑐

𝑁𝑑 = 𝐴𝑠1 ∙ 𝜎𝑠1 + 𝐴𝑠2 ∙ 𝜎𝑠2 − 0,85𝑓𝑐𝑑 ∙ 𝑏 ∙ 𝜆 ∙ 𝑥 (3-65)


2− 𝐹1 ∙ 𝑡1 − 𝐹2 ∙ 𝑡2 + 𝐹𝑐 ∙ 𝑡𝑐

𝑀𝑑 = (𝐴𝑠1𝜎𝑠1 + 𝐴𝑠2𝜎𝑠2 − 0,85𝑓𝑐𝑑𝑏𝜆𝑥)ℎ

2− (𝐴𝑠1𝜎𝑠1)(𝑑

′) − (𝐴𝑠2𝜎𝑠2)(ℎ − 𝑑") + (0,85𝑓𝑐𝑑𝑏𝜆𝑥) (ℎ −𝜆

2𝑥) (3-66)

3.6.5. Cisalhamento por esforço cortante

O dimensionamento a esforço cortante, conforme demonstrado no subcapítulo

anterior, pode ser feito por meio da equação:

𝑉𝑠𝑤 =𝐴𝑠𝑤𝑠∙ 𝑧 ∙ 𝑓𝑦𝑑 ∙ [𝑐𝑜𝑡𝑔(𝜃)+ 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝛼)] ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝛼) (3-67)

A NBR 6118 (ABNT, 2014) permite aproximar o valor de 𝑧 por 0,9𝑑.

78

Nesse trabalho o valor de 𝑧 será tomado como o valor do diagrama retangular

aproximado 𝑑 −𝜆

2𝑥. E a posição da linha neutra será calculada de acordo com a

equação (3-51).

O valor do ângulo 𝛼 será tomado igual a 90°, pois se trata do caso mais comum

de armadura transversal utilizado. Para essa situação a equação se reduz para:

𝑉𝑠𝑤 =𝐴𝑠𝑤𝑠∙ (ℎ − 𝑑′ −

𝑓𝑦𝑑 ∙ (𝐴𝑠𝑑 − 𝐴′𝑠𝑑)

2𝛼𝑐 ∙ 𝑏 ∙ 𝑓𝑐𝑑) ∙ 𝑓𝑦𝑑 ∙ 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝜃) (3-68)

O valor do ângulo 𝜃 será tomado como o valor mínimo. Existem quatro modelos

de cálculo estabelecidos para esse valor (FIB, 2012).

✓ Nível de aproximação 1: O valor mínimo da inclinação das bielas é de

25° para peças com significante compressão axial ou protensão; 40° para

peças sob tração expressiva; e 30° para demais casos;

✓ Nível de aproximação 2: O valor mínimo de theta pode ser calculado

pela seguinte expressão:

𝜃𝑚𝑖𝑛 = 20 + 10000𝜀𝑥 (3-69)

Sendo 𝜀𝑥 a deformação na fibra localizada exatamente no meio da seção,

podendo ser adotado como 0,001 para efeito de pré-dimensionamento.

✓ Nível de aproximação 3: O valor mínimo para theta também é calculado

pela equação (3-69), no entanto o valor de 𝜀𝑥 é o seu valor exato,

calculado pela seguinte fórmula, no caso de peças de concreto armado:

𝜀𝑥 =𝑀𝑑/𝑧 + 𝑉𝑑2𝐴𝑠𝐸𝑠

(3-70)

✓ Nível de aproximação 4: A resistência de elementos sob esforço cortante,

ou cortante combinado com torção pode ser determinada aplicando

equações de equilíbrio e compatibilidade de deformações usando

diagramas de tensão-deformação adequados para o aço e para o concreto

com fissuras inclinadas.

79

A NBR 6118 (ABNT, 2014) permite a estimativa da resistência ao esforço

cortante da seção de concreto pela seguinte expressão:

𝑉𝑐 = 0,6𝑓𝑐𝑡𝑑 ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑 (3-71)

Sendo a resistência ao esforço cortante total:

𝑉𝑟𝑑 = 𝑉𝑐 + 𝑉𝑠𝑤 (3-72)

80

Capítulo 4. TEORIA DE CONFIABILIDADE

4.1. INTRODUÇÃO

Estruturas, em geral, são dimensionadas através de métodos determinísticos, ou

seja, sabendo a carga, é dimensionada uma seção que suporte aquele esforço.

Como foi visto no capítulo anterior, as estruturas devem atender requisitos de

segurança contra a ruptura e de conforto para o usuário. Para atender aos requisitos de

segurança é necessário que o dimensionamento considere a variância das variáveis

envolvidas no processo, para tal são utilizados os coeficientes de ponderação previsto

nas normas que tratam de projeto, como a NBR 6118 (ABNT, 2014).

Os coeficientes de ponderação devem garantir à estrutura um nível de segurança

com o máximo de economia possível. Por isso eles devem ser estudados e calibrados

para serem utilizados em norma.

Para calibrar esses coeficientes é utilizada a teoria da confiabilidade, que calcula

a probabilidade de uma estrutura falhar, e define valores limite para essa probabilidade

devido ao seu uso, importância, e consequências devido à falha.

4.2. EQUAÇÃO DE FALHA

A equação de falha para um sistema qualquer corresponde a função 𝑔(. ) das 𝑛

variáveis aleatórias envolvidas em um problema não satisfazerem os requisitos

mínimos, chamada de equação de estado limite, escrita da seguinte forma (BECK,

2015):

𝑔(�̃�) = 𝑔(𝑋1, 𝑋2,⋯ , 𝑋𝑛) = 0 (4-1)

Existem dois domínios para esse problema, o domínio de falha e o domínio de

sucesso. Quando 𝑔(�̃�) ≤ 0 é dito que esse ponto está no domínio de falha, e quando

𝑔(�̃�) > 0 é dito que o ponto pertence ao domínio de sucesso.

81

Ω𝑓 = {�̃� | 𝑔(�̃�) ≤ 0}

Ω𝑠 = {�̃� | 𝑔(�̃�) > 0} (4-2)

Em geral, a função 𝑔(. ) depende também do tempo, pois as variáveis aleatórias

de ações e resistências muitas vezes variam com o tempo, principalmente de ações da

natureza, como vento, ou ações acidentais. Para simplificar, o problema dependente do

tempo é convertido em um problema independente do tempo utilizando distribuição de

extremos (máximos) para essas variáveis.

A equação de estado limite mais comum, e também a mais simples em

engenharia estrutural, é a equação de resistência menos solicitações, chamada de

problema fundamental de confiabilidade.

𝑔(𝑅, 𝑆) = 𝑍 = 𝑅 − 𝑆 (4-3)

Figura 4-1 : Problema fundamental de Confiabilidade. Fonte: Beck (2015)

82

4.3. PROBABILIDADE DE FALHA

A probabilidade de falha de um sistema é o valor que representa as chances de

�̃� ∈ Ω𝑓 (BECK, 2015).

𝑃𝑓 = 𝑃[{�̃� ∈ Ω𝑓}] = 𝑃[{𝑔(�̃�) ≤ 0}] (4-4)

Se a função conjunta de probabilidades 𝑓�̃�(�̃�) é conhecida, então a

probabilidade de falha pode ser calculada pela integral, no domínio de falha (Ω𝑓):

𝑃𝑓 = ∫𝑓�̃�(�̃�)𝑑�̃� (4-5)

Para o problema fundamental da confiabilidade:

𝑃𝑓 = 𝑃[{𝑅 ≤ 𝑆}] = 𝑃[{(𝑟, 𝑠) ∈ 𝐷𝑓}] (4-6)

Ou, conhecidas a função de densidade conjunta das variáveis aleatórias, e

sabendo que o domínio de falha é representado pela equação 𝑟 = 𝑠:

𝑃𝑓 = ∫ ∫ 𝑓𝑅𝑆(𝑟, 𝑠)𝑑𝑟𝑑𝑠𝑠

−∞

∞

−∞

(4-7)

Se as variáveis aleatórias forem independentes:

𝑓𝑅𝑆(𝑟, 𝑠) = 𝑓𝑅(𝑟) ∙ 𝑓𝑆(𝑠)

𝑃𝑓 = ∫ ∫ 𝑓𝑅(𝑟) ∙ 𝑓𝑆(𝑠)𝑑𝑟𝑑𝑠𝑠

−∞

∞

−∞

= ∫ 𝑓𝑆(𝑠) [∫ 𝑓𝑅(𝑟)𝑑𝑟𝑠

−∞

] 𝑑𝑠∞

−∞

𝑃𝑓 = ∫ 𝑓𝑆(𝑠)𝐹𝑅(𝑠)𝑑𝑠∞

−∞ (4-8)

4.4. ÍNDICE DE CONFIABILIDADE

Segundo o problema fundamental de confiabilidade 𝑍 = 𝑅 − 𝑆, se 𝑅 e 𝑆 são

variáveis aleatórias, 𝑍 também é, e possui função de densidade de probabilidade 𝑓𝑍(𝑧).

83

A probabilidade de falha pode ser calculada através de 𝑍 da seguinte forma (BECK,

2015):

𝑃𝑓 = 𝑃[{𝑍 ≤ 0}] = ∫ 𝑓𝑍(𝑧)𝑑𝑧0

−∞= 𝐹𝑍(0) (4-9)

Se 𝑅 e 𝑆 são variáveis aleatórias normais, pode-se dizer que 𝑍 também é normal,

sendo a média e desvio padrão de 𝑍 iguais a:

𝜇𝑍 = 𝜇𝑅 − 𝜇𝑆 (4-10)

𝜎𝑍 = √𝜎𝑅2 + 𝜎𝑆

2 (4-11)

A variável 𝑍 pode ser transformada em uma variável 𝑌 normal padrão:

𝑌 =𝑍 − 𝜇𝑍𝜎𝑍

⇒ 𝑍 = 𝑌 ∙ 𝜎𝑍 + 𝜇𝑍 (4-12)

Sendo assim, a probabilidade de falha pode ser reescrita como:

𝑃𝑓 = 𝐹𝑍(0) = 𝑃[{𝑍 ≤ 0}] = 𝑃[{𝑌 ∙ 𝜎𝑍 + 𝜇𝑍 ≤ 0}]

𝑃𝑓 = 𝑃 [{𝑌 ≤ −𝜇𝑍𝜎𝑍}] = Φ (−

𝜇𝑍𝜎𝑍) = Φ(−𝛽) (4-13)

Sendo 𝛽 igual a:

−𝜇𝑍

𝜎𝑍= −β (4-14)

Para variáveis aleatórias com distribuição Normal:

𝛽 =𝜇𝑅− 𝜇

𝑆

√𝜎𝑅2 + 𝜎𝑆

2

(4-15)

De maneira geral:

𝛽 =𝐸[𝑍]

√𝑉𝑎𝑟[𝑍]

(4-16)

E 𝛽 conhecido como índice de confiabilidade de Cornell.

84

No Brasil, atualmente, não existe uma norma que limite os índices de

confiabilidade e probabilidade de falha em uma estrutura, no entanto, o Eurocode, no

anexo B da EN 1990 (EUROCODE, 2002), estabelece restrições para esses valores, de

acordo com classes de consequência.

Tabela 4-1 : Classes de consequência. Fonte: Eurocode (2002)

Para cada classe de consequência (CC) existe uma classe de confiabilidade (RC),

para cada uma delas os valores de beta limite são:

Tabela 4-2 : Restrições do 𝛽 de acordo com o a classe de confiabilidade. Fonte: Eurocode

(2002)

Como especificado na Tabela 4-2, o valor de 𝛽 está associado ao tempo de

serviço de uma construção. O tempo de vida útil de uma construção pode ser separado

nas seguintes categorias (ISO, 1998):

85

Tabela 4-3 : Tempo de vida útil das construções. Fonte: FIB (2012)

A EN 1990 (EUROCODE, 2002), no anexo C, restringe o valor de beta de

acordo com o estado limite analisado para a classe RC2.

Tabela 4-4 : Restrições do 𝛽 de acordo com o estado limite. Fonte: Eurocode (2002)

Estado limite Índice de Confiabilidade

1 ano 50 anos

Último 4,7 3,8

Fadiga 1,5 a 3,8

Serviço 2,9 1,5

4.5. VALORES CARACTERÍSTICOS X VALORES MÉDIOS

Como dito anteriormente, para considerar a dispersão das variáveis aleatórias

envolvidas em um projeto, no dimensionamento de estruturas é usual utilizar

coeficientes de ponderação no cálculo determinístico, a seguir são explicados mais

detalhes sobre como calibrar esses coeficientes através da formulação apresentada no

subcapítulo anterior (BECK, 2015).

O valor característico de uma variável aleatória com distribuição normal é obtido

com as seguintes equações:

𝑟𝑘 = 𝜇𝑅 − 𝑘𝑅 ∙ 𝜎𝑅 (4-17)

86

𝑠𝑘 = 𝜇𝑆 + 𝑘𝑆 ∙ 𝜎𝑆 (4-18)

sendo 𝑟𝑘 e 𝑠𝑘 os valores característicos da resistência e das solicitações,

respectivamente; 𝜇𝑅 e 𝜇𝑆 os valores médios da resistência e das solicitações,

respectivamente; 𝜎𝑅 e 𝜎𝑆 os valores dos desvios padrões da resistência e das

solicitações, respectivamente.

As constantes 𝑘𝑅 e 𝑘𝑆 são valores que refletem a confiança associada ao valor

característico. Na NBR 6118 (ABNT, 2014), de acordo com a equação (3-6), para um

nível de confiança de 95%, o fator 𝑘 para uma variável aleatória com distribuição

normal é de 1,645.

O nível de confiança está diretamente associado à função de distribuição

cumulativa de probabilidades. Seja 𝑝𝑘 o nível de confiança, para qualquer distribuição

de probabilidades:

𝑝𝑘 = 𝑃[{𝑅 > 𝑟𝑘}] = 1 − 𝐹𝑅(𝑟𝑘) (4-19)

𝑝𝑘 = 𝑃[{𝑆 < 𝑠𝑘}] = 𝐹𝑆(𝑠𝑘) (4-20)

Como corolário das equações acima:

𝑟𝑘 = 𝐹𝑅−1(1 − 𝑝

𝑘) (4-21)

𝑠𝑘 = 𝐹𝑆−1(𝑝

𝑘) (4-22)

Da relação entre os valores característicos e médios das variáveis, são obtidos

coeficientes muito utilizados em confiabilidade chamados de bias factor.

𝑏𝑖𝑎𝑠𝑟 =𝜇𝑅

𝑟𝑘> 1 (4-23)

𝑏𝑖𝑎𝑠𝑠 =𝑠𝑘

𝜇𝑆

> 1 (4-24)

87

4.6. SIMULAÇÃO DE MONTE CARLO

A Simulação de Monte Carlo (uma referência a cidade de Monte Carlo, no

principado de Mônaco) é uma técnica de solução de problemas, muito utilizada no caso

de problemas de muitas variáveis, já que o número de variáveis não aumenta a

complexidade de resolução, baseada na geração de um arranjo de números aleatórios. O

fator limitante para a utilização do método é a capacidade computacional

(SCHNEIDER, 2006).

O método consiste da simulação numérica de diversas possibilidades de arranjos

dentro da distribuição de cada variável aleatória, e calcular a quantidade de arranjos

falhos, o que na prática seria inviável, visto que não seria econômico, dado o número de

experimentos que teria de ser realizado.

A simulação de Monte Carlo é um método muito simples de ser aplicado, e por

ser uma experimentação não tem aproximações como outros métodos, no entanto deve

ser aplicada com cuidado, pois possui riscos de erro de modelagem, ou na aproximação

algorítmica para geração de números aleatórios.

Algoritmo de Monte Carlo (NOWAK, et al., 2012)

i. Gerar 𝑁 amostras para cada variável aleatória envolvida no projeto,

dentro de suas respectivas distribuições;

ii. Calcular se houve falha ou não para cada valor 𝑛𝑖 da amostra. Caso haja

falha 𝑛𝑓𝑖 = 𝑛𝑓𝑖−1 + 1, senão 𝑛𝑓𝑖 = 𝑛𝑓𝑖−1;

iii. No final, calcular o estimador da probabilidade de falha:

𝑃𝑓 =𝑛𝑓

𝑁

4.7. MÉTODOS DE TRANSFORMAÇÃO

A solução de problemas de confiabilidade estrutural nem sempre é viável de ser

realizada de forma analítica, devido ao fato das distribuições de probabilidade nem

sempre proporcionarem essa facilidade, como no caso da distribuição Normal (BECK,

2015).

88

É muito comum realizar a solução desses problemas com a utilização de

métodos de transformação para aproximar a função de densidade conjunta de

probabilidades das variáveis de projeto (𝑓�̃�(�̃�)), assim como o domínio de integração,

utilizando informações conhecidas, como a distribuição de probabilidades marginal das

variáveis.

Os métodos de transformação basicamente, transformam as variáveis aleatórias

�̃� de um problema com distribuição qualquer, em uma variável aleatória �̃� com

distribuição Normal padrão. O conjunto imagem do vetor �̃� será chamado de 𝕏, e o

conjunto imagem do vetor �̃� será chamado de 𝕐. Nas seções seguintes são descritos os

principais métodos de transformação.

4.7.1. First Order Second Moment (FOSM)

A equação de estado limite é aproximada por uma função linear. A informação

estatística para a construção de 𝑓�̃�(�̃�) são os momentos de primeira e segunda ordem

(média e desvio padrão). Entretanto, a representação das variáveis por esses momentos

assume que a distribuição de todas as variáveis envolvidas é do tipo Normal, limitando

a aplicação desse método em diversos problemas. No entanto, esse método é base para

outras formulações mais completas.

4.7.2. First Order Reliability Method (FORM)

No método de confiabilidade de primeira ordem (FORM) é utilizada toda

informação estatística a respeito das variáveis aleatórias (funções marginais de

probabilidades normais ou não, coeficientes de correlação entre variáveis, etc.). Já o

domínio de integração é aproximado por uma função linear.

4.7.3. Second Order Reliability Method (SORM)

No método de confiabilidade de segunda ordem (SORM), tal qual o FORM, é

utilizada toda informação estatística a respeito das variáveis aleatórias (funções

marginais de probabilidades normais ou não, coeficientes de correlação entre variáveis,

etc.). No entanto, o domínio de integração é aproximado por uma função quadrática.

89

4.8. VARIÁVEIS BÁSICAS

Nos problemas de verificação apresentados no capítulo anterior, as variáveis

eram tratadas de forma determinística, levando em consideração seus valores

característicos e utilizando de coeficientes de ponderação.

Neste subcapítulo as variáveis serão abordadas de maneira probabilística, sendo

consideradas como variáveis aleatórias, com distribuição determinada, valor esperado,

variância, etc.

4.8.1. Variáveis de solicitações

A tabela abaixo, mostrada por Holický et al. (2011), apresenta um compilado,

em que estão caracterizados os valores médios e desvios padrões, assim como a função

de distribuição para cada uma das variáveis de projeto.

Tabela 4-5 : Valores médios e coeficientes de variação. Fonte: Holický et al. (2011)

Os valores apresentados foram retirados em grande parte do JCSS (2001). Esse

artigo servirá como base para a maioria dos valores de bias e coeficientes de variação

utilizados nesse trabalho, pois trata-se com aceitação no mundo inteiro.

90

No Brasil, alguns acadêmicos estudaram as variáveis relacionadas ao projeto de

estruturas e publicaram valores baseados dados coletados de ensaios no país inteiro

(BECK, et al., 2014).

Tabela 4-6 : Valores médios e CV[.]. Fonte: Beck (2014)

Como é possível verificar na Tabela 4-7, retirada do JCSS (2001), para o

concreto os valores de coeficiente de variação estão dentro de um intervalo entre 0,01 e

0,10. A favor da segurança, nesse trabalho será tomado o valor de 0,10.

Tabela 4-7 : Coeficientes de variação. Fonte: JCSS (2001)

O valor do Bias a ser utilizado será de 1,05; diferente do apresentado no JCSS

(2001), pois é considerado que na execução de estruturas é muito comum o aumento nas

91

seções de concreto, o que aumentaria o carregamento médio (ELLINGWOOD, et al.,

1980), fato que ocorre bastante no nosso país.

A distribuição da carga permanente será adotada como Normal (HOLICKÝ, et

al., 2011).

No caso das cargas variáveis, o JCSS (2001) indica que a distribuição mais

adequada para cargas de curta e longa duração é a Gama. Estabelecendo valores médios

e de desvio calculados a partir da equação (4-25) e da Tabela 4-8.

𝜎𝑞 = √𝜎𝑣2 + 𝜎𝑢

2𝐴0𝐴𝜅 (4-25)

Sendo 𝜎𝑞 o desvio padrão da carga acidental, 𝜎𝑣 e 𝜎𝑢 valores de desvio

especificados na Tabela 4-8, assim como 𝐴0 valor da área relativa. O valor de 𝜅 é

tomado igual a 2,0. E caso 𝐴0/𝐴 > 1, tomar 𝐴0/𝐴 = 1.

Tabela 4-8 : Valores médios e covariâncias. Fonte: JCSS (2001)

No entanto, para a carga acidental acumulada (considerada em projeto), a

distribuição mais adequada seria uma distribuição de valores extremos, sendo a

Gumbel, a mais utilizada nesses casos. A distribuição de Gumbel também é utilizada

para a variável de pressão de vento.

92

No item 11.6.1.2 da NBR 6118 (ABNT, 2014), é especificado que a

probabilidade de falha das cargas acidentais deve estar entre 25% e 35% durante um

período de 50 anos. Nesse trabalho será tomado o ponto médio, e a probabilidade de

falha para a carga acidental será de 30%. Utilizando o processo de Poisson é possível

verificar que o tempo de retorno para essa probabilidade é de 140 anos.

Para a pressão de vento, segundo o item 5.1 da NBR 6123 (ABNT, 1988), o

tempo de recorrência do vento de cálculo atuante em uma estrutura é considerado como

50 anos. Pelo processo de Poisson é possível calcular que a probabilidade de falha para

esse tempo de retorno, de um vento em 50 anos é de 63%.

O valor de coeficiente de variação para as cargas acidentais (50 anos) e vento

(50 anos) serão utilizadas de acordo com Holický (2011), iguais a 0,35.

Os valores de Bias factor para a carga acidental e pressão de vento devem ser

calculados para o tempo de retorno e probabilidade de falha determinados.

Utilizando o valor característico de 𝑞𝑘 = 2𝑘𝑁/𝑚², coeficiente de variação

𝐶𝑉[𝑞] = 0,35, variando o Bias factor de 0 até o valor necessário, com incremento de

0,001, é possível calcular o Bias factor.

𝜇𝑞 = 𝐵𝑖𝑎𝑠 × 𝑞𝑘

𝜎𝑞 = 𝐶𝑉[𝑞] × 𝜇𝑞

Calculando os parâmetros da distribuição Gumbel através de:

𝜇𝑞 = 𝑢 +0,577216

𝛼

𝜎𝑞 =𝜋

𝛼√6

A função de densidade da variável:

𝑓𝑞(𝑥) = 𝛼 ∙ 𝑒[−𝛼(𝑥−𝑢)−𝑒−𝛼(𝑥−𝑢)]

A função de distribuição acumulada:

𝐹𝑞(𝑥) = 𝛼∫ 𝑒[−𝛼(𝑠−𝑢)−𝑒−𝛼(𝑠−𝑢)]𝑑𝑠

𝑥

0

93

A probabilidade de falha será igual:

𝑃𝑓(𝑥) = 1 − 𝐹𝑞(𝑥)

Como foi determinado que a probabilidade de falha da carga acidental é de 30%,

será necessário obter um valor que satisfaça as condições acima.

Implementando um algoritmo no software Mathcad foi possível obter o valor de

Bias igual a 0,890 para carga acidental, atendendo ao período de retorno de 140 anos.

Para o vento o processo é muito similar, e o valor encontrado para o Bias que

fornece probabilidade de falha igual a 63%, ou para tempo de retorno igual a 50 anos, é

igual a 1,187.

Também é necessária a consideração das incertezas com relação ao modelo

utilizado para a previsão das solicitações, para isso será definida a variável 𝜃𝑠. O JCSS

(2001) determina o valor de Bias igual a 1,0 e o coeficiente de variação igual a 0,10.

4.8.2. Variáveis de resistências

Como determinado na NBR 6118 (ABNT, 2014), a resistência do concreto

possui distribuição Normal, e sua resistência média é descrita por:

𝑓𝑐𝑘 = 𝑓𝑚 − 1,645𝜎𝑓𝑐

Dividindo tudo pela média:

1

𝐵𝑖𝑎𝑠= 1 − 1,645 × 𝐶𝑉[𝑓𝑐]

𝐵𝑖𝑎𝑠 =1

1 − 1,645 × 𝐶𝑉[𝑓𝑐] (4-26)

O coeficiente de variação utilizado para o concreto é de 0,15 (NOWAK, et al.,

2007), logo, o valor do Bias factor será 1,328.

Os parâmetros para a resistência do aço serão utilizados de acordo com Nowak

(2007), sendo Bias igual 1,089 e o coeficiente de variação igual a 0,05.

As dimensões seccionais do concreto serão utilizadas de acordo com o JCSS

(2001), considerando que a média é igual ao valor característico e o desvio padrão é

94

igual a 4mm+0,006L, sendo L a dimensão em estudo. O valor do desvio padrão é

limitado a 10 mm.

De acordo com Nowak et al. (2007), para a área das barras de aço o valor médio

é igual ao valor característico e o coeficiente de variação igual a 0,015.

A distância do CG das barras tem média considerada igual ao valor

característico e desvio padrão fixo considerado como 5 mm, de acordo com a NBR

14931 (ABNT, 2004), que determina que o erro dos cobrimentos não deve ser maior

que esse valor.

Da mesma forma que as solicitações, as resistências também possuem incertezas

com relação ao modelo cálculo, sendo assim, é criada a variável de erro de modelagem

das resistências 𝜃𝑟. O JCSS (2001) determina Bias factor igual a 1,0 e coeficiente de

variação igual 0,05 para esse caso.

A distribuição de todas as variáveis de resistência é a Normal.

A Tabela 4-9 mostra o resumo dos parâmetros de distribuição das variáveis

utilizadas em projetos de estruturas em concreto armado discutidas nesse subcapítulo.

Tabela 4-9 : Resumo dos parâmetros das variáveis de projeto

RESUMO DAS VARIÁVEIS PARA ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO

VARIÁVEL DISTRIBUIÇÃO BIAS FACTOR CV ou 𝜎 Fractil ou TR

Carga Permanente Normal 1,050 0,10 0,5

Carga Acidental (50 anos) Gumbel 0,890 0,35 140

Vento (50 anos) Gumbel 1,187 0,35 50

Modelagem das cargas Normal 1,000 0,10 -

Resistência do concreto Normal 1,328 0,15 0,05

Resistência do aço Normal 1,089 0,05 0,05

Dimensões seccionais Normal 1,000 4mm+0,006L≤10mm -

Área das barras Normal 1,000 0,015 -

Distância do CG das barras Normal 1,000 5mm -

Modelagem das resistências Normal 1,000 0,05 -

95

4.9. CALIBRAGEM DE NORMA

Supondo que todas as variáveis possuem distribuição Normal. Define-se 𝜆0

como:

𝜆0 =𝜇𝑟𝜇𝑠

(4-27)

No qual 𝜇𝑟 e 𝜇𝑠 são as médias da resistência e das solicitações.

Sendo a equação de margem de segurança 𝑍 = 𝑅 − 𝑆, é possível calcular o valor

de 𝛽 em função de 𝜆0, sabendo que 𝜎𝑠 = 𝜇𝑠𝐶𝑉[𝑠] e 𝜎𝑟 = 𝜇𝑟𝐶𝑉[𝑟].

𝛽 =𝜇𝑧𝜎𝑧=𝜇𝑟 − 𝜇𝑠𝜎𝑧

=𝜆0 − 1

√𝐶𝑉2[𝑟]𝜆02 + 𝐶𝑉2[𝑠]

(4-28)

Sendo

𝜎𝑧 = √𝜇𝑠2𝐶𝑉2[𝑠] + 𝜇𝑟

2𝐶𝑉2[𝑟] = 𝜇𝑠√𝜆02𝐶𝑉2[𝑟] + 𝐶𝑉2[𝑠] (4-29)

Por definição:

𝜆 =𝑓𝑘𝑟𝑓𝑘𝑠

(4-30)

Sendo 𝑓𝑘𝑟 e 𝑓𝑘𝑠 os valores característicos da resistência e das solicitações. E

sabendo que 𝑓𝑘𝑟 = (1 − 𝑘𝑟𝐶𝑉[𝑟])𝜇𝑟 e 𝑓𝑘𝑠 = (1 + 𝑘𝑠𝐶𝑉[𝑠])𝜇𝑠.

𝜆 =1 − 𝑘𝑟𝐶𝑉[𝑟]

1 + 𝑘𝑠𝐶𝑉[𝑠]𝜆0 (4-31)

Então:

𝜆0 =1 + 𝑘𝑠𝐶𝑉[𝑠]

1 − 𝑘𝑟𝐶𝑉[𝑟]𝜆 (4-32)

Para simplificar o cálculo, será feita uma linearização de 𝜎𝑧. Se:

𝜎𝑧 = 𝛼(𝜎𝑟 + 𝜎𝑠) (4-33)

96

Logo,

𝛼 =√𝐶𝑉2[𝑟]𝜆0

2 + 𝐶𝑉2[𝑠]

𝜆0𝐶𝑉[𝑟] + 𝐶𝑉[𝑠] (4-34)

Utilizando a linearização de 𝜎𝑧 o valor 𝛽 passa a ser calculado por:

𝛽 =𝜇𝑟 − 𝜇𝑠

𝛼(𝜎𝑟 + 𝜎𝑠)=

𝜆0 − 1

𝛼(𝜆0𝐶𝑉[𝑟] + 𝐶𝑉[𝑠]) (4-35)

Então:

𝜆0 =1 + 𝛼 ∙ 𝛽 ∙ 𝐶𝑉[𝑠]

1 − 𝛼 ∙ 𝛽 ∙ 𝐶𝑉[𝑟] (4-36)

Como

𝜆 =1 − 𝑘𝑟𝐶𝑉[𝑟]

1 + 𝑘𝑠𝐶𝑉[𝑠]𝜆0 =

1 − 𝑘𝑟𝐶𝑉[𝑟]

1 + 𝑘𝑠𝐶𝑉[𝑠]∙1 + 𝛼 ∙ 𝛽 ∙ 𝐶𝑉[𝑠]

1 − 𝛼 ∙ 𝛽 ∙ 𝐶𝑉[𝑟] (4-37)

Pode-se concluir que os coeficientes de ponderação das solicitações e das

resistências são:

𝛾𝑟=

1 − 𝑘𝑟𝐶𝑉[𝑟]

1 − 𝛼 ∙ 𝛽 ∙ 𝐶𝑉[𝑟] (4-38)

𝛾𝑠=1 + 𝛼 ∙ 𝛽 ∙ 𝐶𝑉[𝑠]

1 + 𝑘𝑠𝐶𝑉[𝑠] (4-39)

O valor de 𝛼 pode ser utilizado de maneira fixa, em situações comuns, igual a

0,7 para o caso das solicitações e 0,8 para o caso das resistências (SCHNEIDER, 2006).

Ainda segundo Schneider (2006), o valor de 𝛼 para as resistências e solicitações

pode ser estimado por:

𝛼𝑟 =𝜎𝑟𝜎𝑧=

𝜇𝑟𝐶𝑉[𝑟]

𝜇𝑠√𝜆02𝐶𝑉2[𝑟] + 𝐶𝑉2[𝑠]

=𝜆0𝐶𝑉[𝑟]

√𝜆02𝐶𝑉2[𝑟] + 𝐶𝑉2[𝑠]

(4-40)

𝛼𝑠 =𝜎𝑠𝜎𝑧=

𝜇𝑠𝐶𝑉[𝑠]

𝜇𝑠√𝜆02𝐶𝑉2[𝑟] + 𝐶𝑉2[𝑠]

=𝐶𝑉[𝑠]

√𝜆02𝐶𝑉2[𝑟] + 𝐶𝑉2[𝑠]

(4-41)

Sendo ∑𝛼𝑖2 = 1,0.

97

Beck (2015) prova pelo estudo de um ponto de projeto, através dos métodos de

transformação que (4-38) e (4-39) tem validade para os casos em que as distribuições

não necessariamente são normais. Para esses casos, os valores de 𝛼 calculados através

da linearização são boas estimativas, utilizados amplamente.

Nas normas atuais, como a ACI, a definição dos coeficientes é feita através do

método dos mínimos quadrados, a fim de que o 𝛽𝑎𝑙𝑣𝑜 (3,8 no caso de ELU) seja

atingido da forma mais uniforme possível, minimizando a distância entre os

coeficientes. Visto que usando coeficientes uniformes, o 𝛽𝑎𝑙𝑣𝑜 não é uniforme devido a

diferença entre as distribuições e coeficientes de variação das variáveis envolvidas. A

expressão para o cálculo dos coeficientes é (BECK, 2015):

𝑊 =∑𝑤𝑖[𝛽𝑎𝑙𝑣𝑜 − 𝛽𝑐𝑖(𝛾𝑟 , 𝛾𝑔, 𝛾𝑞 , 𝛾𝑤 ,⋯ )]

𝑛

𝑖=1

(4-42)

Sendo 𝛽𝑐𝑖 e 𝑤𝑖, respectivamente, o índice de confiabilidade e o peso atribuído ao

i-ésimo ponto de projeto.

98

Capítulo 5. MODELOS DE ESTUDO

5.1. INTRODUÇÃO

Neste trabalho serão analisados alguns elementos estruturais como modelos de

estudo para avaliação da segurança dos coeficientes de ponderação, utilizando de

métodos computacionais.

Foi utilizado o método de Monte Carlo na avaliação probabilística das equações

de falha, através da implementação em um algoritmo na linguagem Python, utilizando a

IDLE através do Python (x,y), com uso das rotinas Numpy, Scipy e Matplotlib. O

algoritmo utilizado se encontra disponível em anexo ao trabalho.

O número gerado de valores aleatórios para cada variável foi utilizado como

4.000.000 (quatro milhões), avaliando a precisão do algoritmo junto ao programa VaP,

que utiliza métodos de transformação, como o FORM e o SORM.

As equações de falha serão escritas a partir das equações de resistência

deduzidas no Capítulo 3, para cada um dos tipos de problemas de dimensionamento:

tração simples, compressão simples, flexão simples, cisalhamento e flexão composta

reta. De maneira geral, as equações de falha serão do tipo:

𝑍 = 𝑅𝑘 − (𝑆𝑔 + 𝑆𝑞 + 𝑆𝑤) (5-1)

Sendo 𝑅𝑘 a parcela de resistência, 𝑆𝑔 a parcela de solicitação devido a carga

permanente, 𝑆𝑞 a parcela de solicitação devido à sobrecarga acidental e 𝑆𝑤 a parcela de

solicitação devido ao vento.

Definindo 𝜒 como a porcentagem de sobrecarga variável e 𝜔 como a

porcentagem de vento dentro da sobrecarga variável, é possível equacioná-los da

seguinte maneira:

𝜒 =𝑆𝑞 + 𝑆𝑤

𝑆𝑔 + 𝑆𝑞 + 𝑆𝑤 (5-2)

99

𝜔 =𝑆𝑤

𝑆𝑞 + 𝑆𝑤 (5-3)

A equação (5-1) pode ser reescrita da seguinte maneira:

𝑍 = 𝑅𝑘 − [𝑆𝑘(1 − 𝜒) + 𝑆𝑘(𝜒)(1 − 𝜔) + 𝑆𝑘(𝜒)(𝜔)] (5-4)

Sendo 𝑆𝑘 = 𝑅𝑑/𝛾𝑓 a solicitação característica e 𝑅𝑘 = 𝑅𝑑𝛾𝑟 a resistência

característica.

Para a construção dos gráficos de índice de confiabilidade o valor de 𝜒 será

variado de 0,0 a 1,0 com incremento de 0,05. E o valor de 𝜔 de 0,0 a 1,0 com

incremento de 0,20.

Os valores de média e desvio padrão, assim como as distribuições das variáveis

de projeto foram calculadas dentro do algoritmo elaborado utilizando os parâmetro

apresentados no capítulo anterior, na Tabela 4-9.

Os problemas analisados foram dimensionados para esforços de projetos reais.

5.2. COMPRESSÃO SIMPLES

Como visto na equação (3-44) a compressão resistente de cálculo é igual a:

𝑅𝑑 =0,85𝑓𝑐𝑘𝛾𝑐

∙ 𝑏 ∙ ℎ + 𝑓𝑦𝑑 ∙ 𝐴𝑠

O gráfico da Figura 5-1 representa o índice de confiabilidade para uma coluna

curta quando solicitado por diferentes percentagens de carga permanente e variável,

com fator de majoração igual a 1,40. Os gráficos seguintes foram construídos variando

o coeficiente 𝛾𝑓.

A coluna estudada no exemplo foi dimensionada para um esforço característico

de 640 kN, obtendo as seguintes características da seção:

✓ Seção quadrada: 20 cm;

✓ 8 barras de aço de 12,5 mm de diâmetro;

✓ 𝑓𝑐𝑘 = 20 𝑀𝑃𝑎;

✓ 𝑓𝑦𝑑 = 42 𝑘𝑁/𝑐𝑚² (Aço CA-50 na reta b do domínio 5).

100

Tabela 5-1 : Índices de confiabilidade para compressão simples 𝛾𝑓 = 1,40

χ β (ω=0,0) β (ω=0,2) β (ω=0,4) β (ω=0,6) β (ω=0,8) β (ω=1,0)

0,00 3,75 3,77 3,77 3,75 3,75 3,74

0,05 3,77 3,75 3,76 3,71 3,72 3,71

0,10 3,76 3,72 3,71 3,68 3,65 3,56

0,15 3,69 3,68 3,66 3,58 3,50 3,35

0,20 3,55 3,60 3,58 3,47 3,31 3,12

0,25 3,41 3,49 3,48 3,33 3,11 2,89

0,30 3,25 3,36 3,35 3,18 2,92 2,69

0,35 3,10 3,22 3,23 3,03 2,75 2,50

0,40 2,96 3,09 3,10 2,88 2,59 2,32

0,45 2,82 2,95 2,97 2,74 2,44 2,17

0,50 2,69 2,83 2,84 2,61 2,30 2,03

0,55 2,59 2,72 2,72 2,49 2,18 1,91

0,60 2,48 2,61 2,61 2,37 2,06 1,80

0,65 2,39 2,51 2,51 2,27 1,96 1,69

0,70 2,30 2,42 2,42 2,17 1,86 1,60

0,75 2,22 2,33 2,32 2,07 1,77 1,51

0,80 2,14 2,26 2,23 1,99 1,68 1,43

0,85 2,07 2,18 2,15 1,90 1,61 1,36

0,90 2,01 2,11 2,07 1,83 1,54 1,29

0,95 1,95 2,04 1,99 1,76 1,47 1,23

1,00 1,90 1,99 1,94 1,70 1,42 1,18

Figura 5-1: Gráfico de índice de confiabilidade x porcentagem de carga variável para 𝜸𝒇 = 𝟏, 𝟒𝟎

1.00

1.50

2.00

2.50

3.00

3.50

4.00

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

Índ

ice

de

Con

fiab

ilid

ad

e (

β)

Porcentagem de Carga Variável L ( χ )

Índice de Confiabilidade (β) X Porcentagem de Carga Variável L ( χ )

ω = 0%

ω = 20%

ω = 40%

ω = 60%

ω = 80%

ω = 100%

β limite = 3,80

101


Χ β (ω=0,0) β (ω=0,2) β (ω=0,4) β (ω=0,6) β (ω=0,8) β (ω=1,0)

0,00 4,12 4,08 4,10 4,12 4,13 4,10

0,05 4,13 4,14 4,08 4,13 4,06 4,04

0,10 4,12 4,11 4,08 4,07 3,97 3,91

0,15 4,02 4,06 4,00 3,97 3,81 3,69

0,20 3,90 3,95 3,92 3,83 3,63 3,44

0,25 3,71 3,82 3,82 3,67 3,43 3,20

0,30 3,54 3,69 3,70 3,49 3,22 2,95

0,35 3,37 3,52 3,54 3,33 3,04 2,75

0,40 3,21 3,37 3,40 3,19 2,86 2,57

0,45 3,07 3,23 3,27 3,03 2,70 2,41

0,50 2,93 3,10 3,13 2,89 2,55 2,26

0,55 2,81 2,99 3,01 2,75 2,42 2,13

0,60 2,70 2,86 2,89 2,63 2,30 2,02

0,65 2,60 2,75 2,77 2,52 2,18 1,90

0,70 2,51 2,65 2,67 2,41 2,08 1,80

0,75 2,42 2,56 2,57 2,31 1,99 1,71

0,80 2,34 2,47 2,47 2,22 1,90 1,63

0,85 2,26 2,39 2,39 2,13 1,81 1,55

0,90 2,19 2,32 2,30 2,05 1,74 1,48

0,95 2,13 2,25 2,23 1,97 1,67 1,41

1,00 2,08 2,19 2,17 1,92 1,61 1,35

Figura 5-2: Gráfico de índice de confiabilidade x porcentagem de carga variável para 𝜸𝒇 = 𝟏, 𝟓𝟎

1.00

1.50

2.00

2.50

3.00

3.50

4.00

4.50

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

Índ

ice

de

Con

fiab

ilid

ad

e (β

)


Índice de Confiabilidade (β) X Porcentagem de Carga Variável L ( χ )ω = 0%ω = 20%ω = 40%ω = 60%ω = 80%ω = 100%

β limite = 3,80

102


χ β (ω=0,0) β (ω=0,2) β (ω=0,4) β (ω=0,6) β (ω=0,8) β (ω=1,0)

0,00 4,42 4,41 4,43 4,44 4,48 4,40

0,05 4,49 4,48 4,48 4,42 4,44 4,31

0,10 4,45 4,51 4,47 4,37 4,31 4,20

0,15 4,33 4,45 4,35 4,25 4,16 3,98

0,20 4,21 4,29 4,26 4,11 3,94 3,72

0,25 4,02 4,11 4,09 4,00 3,73 3,46

0,30 3,80 3,97 3,97 3,80 3,50 3,21

0,35 3,60 3,79 3,83 3,63 3,30 2,99

0,40 3,46 3,65 3,70 3,45 3,11 2,80

0,45 3,30 3,49 3,53 3,29 2,94 2,63

0,50 3,16 3,33 3,41 3,13 2,78 2,48

0,55 3,02 3,20 3,26 3,00 2,64 2,34

0,60 2,91 3,09 3,13 2,87 2,51 2,21

0,65 2,80 2,97 3,02 2,75 2,39 2,10

0,70 2,70 2,87 2,90 2,64 2,29 1,99

0,75 2,60 2,77 2,80 2,53 2,19 1,90

0,80 2,52 2,68 2,71 2,44 2,09 1,81

0,85 2,44 2,59 2,61 2,34 2,00 1,72

0,90 2,36 2,52 2,52 2,26 1,92 1,65

0,95 2,29 2,44 2,44 2,18 1,85 1,57

1,00 2,24 2,38 2,38 2,11 1,79 1,52

Figura 5-3: Gráfico de índice de confiabilidade x porcentagem de carga variável para 𝜸𝒇 = 𝟏, 𝟔𝟎

1.00

1.50

2.00

2.50

3.00

3.50

4.00

4.50

5.00

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

Índ

ice

de

Con

fiab

ilid

ad

e (β

)


Índice de Confiabilidade (β) X Porcentagem de Carga Variável L ( χ )ω = 0%ω = 20%ω = 40%ω = 60%ω = 80%ω = 100%

β limite = 3,80

103


χ β (ω=0,0) β (ω=0,2) β (ω=0,4) β (ω=0,6) β (ω=0,8) β (ω=1,0)

0,00 4,71 4,64 4,61 4,71 4,71 4,67

0,05 4,78 4,70 4,68 4,69 4,75 4,60

0,10 4,79 4,71 4,73 4,67 4,60 4,45

0,15 4,64 4,64 4,61 4,53 4,45 4,29

0,20 4,43 4,54 4,51 4,40 4,19 4,02

0,25 4,26 4,36 4,40 4,26 3,98 3,71

0,30 4,10 4,20 4,26 4,07 3,75 3,45

0,35 3,86 4,05 4,09 3,88 3,55 3,22

0,40 3,68 3,91 3,95 3,74 3,33 3,02

0,45 3,50 3,70 3,83 3,53 3,16 2,84

0,50 3,37 3,57 3,63 3,37 2,99 2,67

0,55 3,22 3,42 3,50 3,23 2,85 2,53

0,60 3,10 3,29 3,39 3,10 2,71 2,40

0,65 2,98 3,19 3,25 2,96 2,59 2,28

0,70 2,88 3,07 3,14 2,85 2,48 2,17

0,75 2,78 2,97 3,02 2,74 2,37 2,07

0,80 2,69 2,87 2,92 2,64 2,27 1,97

0,85 2,61 2,78 2,82 2,54 2,18 1,89

0,90 2,53 2,70 2,73 2,45 2,10 1,81

0,95 2,45 2,62 2,65 2,37 2,02 1,73

1,00 2,40 2,56 2,57 2,30 1,96 1,67

Figura 5-4: Gráfico de índice de confiabilidade x porcentagem de carga variável para 𝜸𝒇 = 𝟏, 𝟕𝟎

1.00

1.50

2.00

2.50

3.00

3.50

4.00

4.50

5.00

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

Índ

ice

de

Con

fiab

ilid

ad

e (β

)


Índice de Confiabilidade (β) X Porcentagem de Carga Variável L ( χ )ω = 0%

ω = 20%

ω = 40%

ω = 60%

ω = 80%

ω = 100%

β limite = 3,80

104


χ β (ω=0,0) β (ω=0,2) β (ω=0,4) β (ω=0,6) β (ω=0,8) β (ω=1,0)

0,00 4,75 4,75 4,74 4,80 4,75 4,75

0,05 4,88 4,85 4,85 4,89 4,89 4,78

0,10 5,03 5,03 4,89 5,03 5,03 4,81

0,15 5,03 5,03 4,94 4,90 4,89 4,64

0,20 4,81 4,80 4,89 4,81 4,51 4,25

0,25 4,56 4,65 4,67 4,67 4,21 3,94

0,30 4,26 4,51 4,49 4,34 3,95 3,64

0,35 4,10 4,26 4,35 4,19 3,75 3,42

0,40 3,89 4,10 4,24 3,96 3,55 3,22

0,45 3,71 3,96 4,02 3,75 3,36 3,03

0,50 3,54 3,76 3,92 3,60 3,20 2,86

0,55 3,41 3,65 3,75 3,44 3,04 2,71

0,60 3,27 3,51 3,60 3,31 2,90 2,57

0,65 3,15 3,38 3,48 3,17 2,77 2,44

0,70 3,05 3,26 3,34 3,05 2,66 2,33

0,75 2,95 3,15 3,23 2,94 2,55 2,23

0,80 2,85 3,06 3,13 2,83 2,44 2,13

0,85 2,76 2,96 3,03 2,73 2,35 2,04

0,90 2,68 2,87 2,93 2,63 2,26 1,96

0,95 2,61 2,78 2,84 2,55 2,18 1,88

1,00 2,55 2,72 2,77 2,48 2,12 1,82

Figura 5-5: Gráfico de índice de confiabilidade x porcentagem de carga variável para 𝜸𝒇 = 𝟏, 𝟖𝟎

1.00

1.50

2.00

2.50

3.00

3.50

4.00

4.50

5.00

5.50

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

Índ

ice

de

Con

fiab

ilid

ad

e (β

)



ω = 20%

ω = 40%

ω = 60%

ω = 80%

ω = 100%

β limite = 3,80

105

Como pode ser observado, existe uma tendência, com o aumento do fator de

majoração das cargas, maior pode ser a percentagem de carga variável na estrutura. Para

obter a segurança necessária para uma estrutura, é preciso aumentar o valor de 𝛾𝑓 de

forma a garantir a segurança para pelo menos 50% de carga acidental, o que contempla

a grande parte das estruturas de edifícios, que não costumam passar desse limite.

Observando os gráficos acima, é possível construir uma tabela com os valores de

𝛾𝑓 necessários para cada faixa de percentagem de carga acidental.

Tabela 5-6 : Fator de majoração das cargas para porcentagem de carga variável 𝜒

𝜒(%) 𝛾𝑓

0 1,40

0-20 1,50

20-30 1,60

30-40 1,70

40-50 1,80

5.3. TRAÇÃO SIMPLES

Como visto na equação (3-41) a tração resistente de cálculo de uma seção é:

𝑅𝑑 = 𝑓𝑦𝑑𝐴𝑠

O tirante estudado no exemplo foi dimensionado para um esforço característico

de 750 kN, obtendo as seguintes características da seção:

✓ 12 barras de aço de 16,0 mm de diâmetro;

✓ 𝑓𝑦𝑑 = 43,48 𝑘𝑁/𝑐𝑚² (Aço CA-50).

106

Tabela 5-7 : Índices de confiabilidade para tração simples 𝛾𝑓 = 1,40

χ β (ω=0,0) β (ω=0,2) β (ω=0,4) β (ω=0,6) β (ω=0,8) β (ω=1,0)

0,00 3,48 3,45 3,46 3,47 3,45 3,45

0,05 3,49 3,48 3,46 3,43 3,40 3,38

0,10 3,45 3,44 3,43 3,37 3,27 3,17

0,15 3,32 3,36 3,32 3,23 3,07 2,89

0,20 3,15 3,22 3,20 3,06 2,84 2,61

0,25 2,95 3,05 3,05 2,87 2,61 2,36

0,30 2,78 2,89 2,89 2,69 2,40 2,14

0,35 2,61 2,73 2,73 2,51 2,21 1,95

0,40 2,46 2,58 2,57 2,34 2,04 1,78

0,45 2,33 2,45 2,44 2,19 1,89 1,63

0,50 2,21 2,32 2,30 2,06 1,76 1,51

0,55 2,10 2,21 2,18 1,94 1,64 1,39

0,60 2,01 2,10 2,06 1,82 1,54 1,29

0,65 1,92 2,01 1,96 1,72 1,44 1,19

0,70 1,84 1,92 1,86 1,62 1,35 1,11

0,75 1,76 1,84 1,78 1,54 1,26 1,03

0,80 1,70 1,76 1,69 1,45 1,18 0,96

0,85 1,64 1,69 1,61 1,38 1,11 0,90

0,90 1,58 1,63 1,54 1,30 1,05 0,84

0,95 1,53 1,57 1,47 1,24 0,99 0,78

1,00 1,48 1,52 1,42 1,19 0,94 0,74


0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

3.00

3.50

4.00

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

Índ

ice

de

Con

fiab

ilid

ad

e (

β)



ω = 0%

ω = 20%

ω = 40%

ω = 60%

ω = 80%

ω = 100%

β limite = 3,80

107

No caso do tirante, o fato de a resistência estar atribuída apenas ao aço contribui

para a queda do índice de confiabilidade, já que na compressão simples a resistência do

aço e do concreto trabalham juntas.

5.4. FLEXÃO SIMPLES

Na flexão simples o momento resistente para uma seção retangular com

armadura dupla pode ser escrito pela equação (3-53):

𝑅𝑑 = 𝑓𝑦𝑑[𝐴𝑠 ∙ (ℎ − 𝑑′) − 𝐴𝑠′ ∙ 𝑑"] − [


′ )2

2𝛼𝑐 ∙ 𝑏 ∙ 𝑓𝑐𝑑]

No caso da seção T:

𝑥 =𝑓𝑦𝑑 ∙ (𝐴𝑠𝑑 − 𝐴′𝑠𝑑)

𝛼𝑐 ∙ 𝜆 ∙ 𝑏𝑓 ∙ 𝑓𝑐𝑑

Se 𝑥 ≤ ℎ𝑓:

𝑅𝑑 = 𝑓𝑦𝑑[𝐴𝑠 ∙ (ℎ − 𝑑′) − 𝐴𝑠′ ∙ 𝑑"] − [


′ )2

1,7 ∙ 𝑏𝑓 ∙ 𝑓𝑐𝑑]

Se 𝑥 > ℎ𝑓:

𝑥 =𝑓𝑦𝑑 ∙ (𝐴𝑠𝑑 − 𝐴

′𝑠𝑑) + (𝑏𝑤 − 𝑏𝑓) ∙ ℎ𝑓 ∙ 𝛼𝑐 ∙ 𝑓𝑐𝑑

𝛼𝑐 ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑓𝑐𝑑 ∙ 𝜆

𝑅𝑑 = 𝑓𝑦𝑑[𝐴𝑠(ℎ − 𝑑′) − 𝐴𝑠′𝑑"] − 𝛼𝑐𝑓𝑐𝑑(𝑏𝑓 − 𝑏𝑤)

ℎ𝑓2

2− {[𝑓𝑦𝑑(𝐴𝑠 − 𝐴𝑠

′ ) + (𝑏𝑤 − 𝑏𝑓)ℎ𝑓𝛼𝑐𝑓𝑐𝑑]2

2𝛼𝑐𝑏𝑤𝑓𝑐𝑑}

A seção T de estudo foi dimensionada para o esforço de 745 𝑘𝑁 ∙ 𝑚. Utilizando

as seguintes dimensões:

✓ 𝑏𝑓 = 80 𝑐𝑚

✓ ℎ𝑓 = 10 𝑐𝑚

✓ 𝑏𝑤 = 20 𝑐𝑚

✓ ℎ = 60 𝑐𝑚

108

✓ 𝑑′ = 𝑑′′ = 5 𝑐𝑚

✓ 𝐴𝑠 = 10 𝜙 25𝑚𝑚

✓ 𝐴′𝑠 = 2 𝜙 25𝑚𝑚

✓ Aço CA-50

✓ Concreto classe C30

No caso da seção retangular foi utilizado o valor de 𝑏𝑓 = 𝑏𝑤.

Tabela 5-8 : Índices de confiabilidade para flexão pura (seção ret. e arm. simples) 𝛾𝑓 = 1,40

χ β (ω=0,0) β (ω=0,2) β (ω=0,4) β (ω=0,6) β (ω=0,8) β (ω=1,0)

0,00 3,22 3,23 3,20 3,21 3,21 3,20

0,05 3,21 3,23 3,19 3,20 3,19 3,18

0,10 3,21 3,20 3,19 3,17 3,17 3,15

0,15 3,20 3,19 3,18 3,16 3,13 3,10

0,20 3,19 3,19 3,15 3,13 3,09 3,04

0,25 3,17 3,17 3,14 3,10 3,04 2,97

0,30 3,14 3,14 3,12 3,06 2,97 2,86

0,35 3,10 3,11 3,08 3,01 2,89 2,74

0,40 3,04 3,07 3,05 2,95 2,80 2,61

0,45 2,97 3,02 3,00 2,90 2,69 2,48

0,50 2,90 2,96 2,94 2,81 2,59 2,36

0,55 2,82 2,91 2,89 2,74 2,49 2,24

0,60 2,73 2,83 2,83 2,65 2,38 2,13

0,65 2,65 2,76 2,76 2,57 2,29 2,02

0,70 2,57 2,69 2,69 2,48 2,19 1,92

0,75 2,50 2,62 2,61 2,40 2,10 1,83

0,80 2,42 2,55 2,54 2,32 2,01 1,75

0,85 2,36 2,47 2,47 2,24 1,93 1,67

0,90 2,29 2,41 2,39 2,17 1,86 1,59

0,95 2,23 2,34 2,33 2,09 1,78 1,52

1,00 2,18 2,29 2,28 2,03 1,73 1,47

109


Tabela 5-9 : Índices de confiabilidade para flexão pura (seção retangular e arm. dupla) 𝛾𝑓 = 1,40

χ β (ω=0,0) β (ω=0,2) β (ω=0,4) β (ω=0,6) β (ω=0,8) β (ω=1,0)

0,00 3,83 3,83 3,83 3,80 3,82 3,80

0,05 3,81 3,82 3,80 3,79 3,77 3,74

0,10 3,78 3,81 3,77 3,76 3,73 3,64

0,15 3,74 3,76 3,75 3,70 3,62 3,47

0,20 3,65 3,70 3,68 3,58 3,43 3,23

0,25 3,52 3,59 3,59 3,48 3,23 2,97

0,30 3,33 3,48 3,49 3,30 3,00 2,74

0,35 3,18 3,32 3,35 3,14 2,81 2,52

0,40 3,00 3,17 3,19 2,97 2,63 2,34

0,45 2,85 3,02 3,06 2,81 2,46 2,17

0,50 2,73 2,88 2,92 2,66 2,31 2,02

0,55 2,60 2,75 2,78 2,52 2,18 1,89

0,60 2,48 2,64 2,66 2,40 2,05 1,77

0,65 2,38 2,53 2,55 2,28 1,94 1,66

0,70 2,28 2,43 2,43 2,17 1,84 1,56

0,75 2,20 2,33 2,33 2,07 1,74 1,47

0,80 2,12 2,25 2,23 1,97 1,66 1,39

0,85 2,05 2,16 2,14 1,89 1,57 1,32

0,90 1,98 2,09 2,06 1,80 1,50 1,24

0,95 1,92 2,02 1,98 1,73 1,43 1,18

1,00 1,87 1,97 1,92 1,67 1,37 1,13

1.00

1.50

2.00

2.50

3.00

3.50

4.00

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

Índ

ice

de

Con

fiab

ilid

ad

e (

β)



ω = 0%

ω = 20%

ω = 40%

ω = 60%

ω = 80%

ω = 100%

β limite = 3,80

110


Tabela 5-10 : Índices de confiabilidade para flexão pura (seção T e armadura simples) 𝛾𝑓 = 1,40

χ β (ω=0,0) β (ω=0,2) β (ω=0,4) β (ω=0,6) β (ω=0,8) β (ω=1,0)

0,00 3,80 3,80 3,78 3,79 3,79 3,76

0,05 3,82 3,82 3,80 3,74 3,74 3,71

0,10 3,78 3,78 3,73 3,68 3,58 3,46

0,15 3,61 3,68 3,63 3,54 3,37 3,16

0,20 3,42 3,50 3,51 3,34 3,10 2,86

0,25 3,19 3,34 3,34 3,14 2,85 2,59

0,30 3,00 3,14 3,16 2,94 2,62 2,35

0,35 2,81 2,97 2,99 2,74 2,43 2,15

0,40 2,65 2,80 2,82 2,57 2,25 1,97

0,45 2,51 2,65 2,67 2,41 2,09 1,82

0,50 2,38 2,52 2,52 2,27 1,95 1,68

0,55 2,26 2,39 2,39 2,14 1,82 1,55

0,60 2,16 2,28 2,27 2,02 1,71 1,45

0,65 2,07 2,18 2,16 1,90 1,60 1,35

0,70 1,98 2,09 2,05 1,80 1,50 1,26

0,75 1,91 2,00 1,96 1,71 1,42 1,17

0,80 1,83 1,92 1,87 1,62 1,34 1,10

0,85 1,77 1,85 1,78 1,54 1,26 1,03

0,90 1,71 1,78 1,71 1,47 1,19 0,96

0,95 1,65 1,71 1,64 1,40 1,13 0,90

1,00 1,61 1,66 1,58 1,34 1,08 0,86

0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

3.00

3.50

4.00

4.50

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

Índ

ice

de

Co

nfi

ab

ilid

ad

e (β

)



ω = 20%

ω = 40%

ω = 60%

ω = 80%

ω = 100%

β limite = 3,80

111


Tabela 5-11 : Índices de confiabilidade para flexão pura (seção T e armadura dupla) 𝛾𝑓 = 1,40

χ β (ω=0,0) β (ω=0,2) β (ω=0,4) β (ω=0,6) β (ω=0,8) β (ω=1,0)

0,00 3,49 3,47 3,47 3,48 3,47 3,47

0,05 3,51 3,49 3,47 3,44 3,42 3,39

0,10 3,46 3,46 3,44 3,37 3,30 3,19

0,15 3,34 3,37 3,36 3,25 3,10 2,93

0,20 3,18 3,25 3,23 3,09 2,87 2,66

0,25 2,99 3,10 3,08 2,90 2,65 2,41

0,30 2,82 2,93 2,93 2,72 2,44 2,18

0,35 2,65 2,77 2,77 2,56 2,26 2,00

0,40 2,50 2,62 2,63 2,39 2,09 1,83

0,45 2,37 2,49 2,48 2,24 1,94 1,69

0,50 2,25 2,37 2,35 2,11 1,81 1,56

0,55 2,14 2,25 2,23 1,99 1,69 1,44

0,60 2,05 2,15 2,11 1,87 1,58 1,33

0,65 1,96 2,05 2,01 1,77 1,48 1,24

0,70 1,88 1,96 1,91 1,67 1,39 1,15

0,75 1,80 1,88 1,82 1,58 1,31 1,07

0,80 1,74 1,81 1,74 1,50 1,23 1,00

0,85 1,67 1,74 1,66 1,42 1,16 0,94

0,90 1,62 1,67 1,59 1,35 1,09 0,88

0,95 1,56 1,61 1,52 1,29 1,03 0,82

1,00 1,52 1,56 1,47 1,24 0,98 0,78

0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

3.00

3.50

4.00

4.50

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

Índ

ice

de

Con

fiab

ilid

ad

e (β

)



ω = 20%

ω = 40%

ω = 60%

ω = 80%

ω = 100%

β limite = 3,80

112


Além dos problemas envolvendo vigas, a flexão simples engloba também as

lajes, que possuem um comportamento diferente das vigas, mesmo sob o mesmo

esforço.

Dessa forma, será analisada uma laje dimensionada para o carregamento de 8,3

𝑘𝑁 ∙ 𝑚, com seção:

✓ 𝑏 = 1,00 𝑚

✓ ℎ = 0,10 𝑚

✓ Aço CA-50

✓ 𝑓𝑐𝑘 = 30 𝑀𝑃𝑎

✓ Armação: 𝜙 6,3 𝑚𝑚 𝑐 10 𝑐𝑚

0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

3.00

3.50

4.00

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

Índ

ice

de

Con

fiab

ilid

ad

e (

β)



ω = 0%

ω = 20%

ω = 40%

ω = 60%

ω = 80%

ω = 100%

β limite = 3,80

113

Tabela 5-12 : Índices de confiabilidade para flexão pura (laje) 𝛾𝑓 = 1,40

χ β (ω=0,0) β (ω=0,2) β (ω=0,4) β (ω=0,6) β (ω=0,8) β (ω=1,0)

0,00 2,64 2,63 2,63 2,63 2,62 2,62

0,05 2,64 2,63 2,62 2,60 2,59 2,57

0,10 2,63 2,62 2,59 2,55 2,51 2,47

0,15 2,59 2,58 2,54 2,49 2,41 2,33

0,20 2,54 2,53 2,49 2,41 2,30 2,18

0,25 2,46 2,47 2,42 2,32 2,18 2,03

0,30 2,38 2,39 2,35 2,22 2,06 1,89

0,35 2,29 2,31 2,27 2,12 1,94 1,76

0,40 2,20 2,23 2,18 2,02 1,82 1,63

0,45 2,11 2,15 2,09 1,93 1,72 1,52

0,50 2,03 2,07 2,01 1,84 1,62 1,42

0,55 1,95 2,00 1,93 1,75 1,52 1,32

0,60 1,88 1,92 1,85 1,66 1,44 1,23

0,65 1,81 1,85 1,78 1,58 1,35 1,15

0,70 1,75 1,79 1,70 1,51 1,28 1,08

0,75 1,69 1,72 1,64 1,44 1,21 1,01

0,80 1,63 1,66 1,57 1,37 1,14 0,94

0,85 1,58 1,60 1,51 1,31 1,08 0,89

0,90 1,53 1,55 1,45 1,25 1,02 0,83

0,95 1,49 1,50 1,40 1,19 0,97 0,78

1,00 1,45 1,46 1,35 1,15 0,93 0,74


0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

3.00

3.50

4.00

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

Índ

ice

de

Con

fiab

ilid

ad

e (β

)



ω = 0%

ω = 20%

ω = 40%

ω = 60%

ω = 80%

ω = 100%

β limite = 3,80

114

Analisando os gráficos acima verifica-se que o comportamento das seções de

viga sob flexão é muito semelhante ao da compressão simples. No entanto, para as vigas

com armadura simples, os valores de índice de confiabilidade foram um pouco

inferiores. Este fato ocorre devido à resistência na seção com armadura dupla estar

atribuída em na maior parte ao aço que possui dispersão muito menor. Enquanto que no

caso da armadura simples a resistência atribuída ao aço é igual a parcelo do concreto.

Para as lajes, os valores de índice de confiabilidade são muito ruins. É de se pensar que

o resultado foi influenciado pelas características geométricas da seção. Nesse caso

deveria haver a implementação de um coeficiente adicional, tal qual o 𝛾𝑛 utilizado em

pilares, para lajes, além das correções necessárias para o 𝛾𝑓. Verificando se existe

alguma característica da seção que influencia nessa queda do índice de confiabilidade,

como por exemplo a altura da laje/flange.

5.5. CISALHAMENTO PURO

A equação de cortante resistente é:

𝑅𝑑 =𝐴𝑠𝑤𝑠∙ (ℎ − 𝑑′ −

𝑓𝑦𝑑 ∙ (𝐴𝑠𝑑 − 𝐴′𝑠𝑑)

2𝛼𝑐 ∙ 𝑏 ∙ 𝑓𝑐𝑑) ∙ 𝑓𝑦𝑑 ∙ 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝜃) + 0,6 ∙ 0,21𝑓𝑐𝑘

2

3 ∙ 𝑏 ∙ (ℎ − 𝑑′)

A seção de estudo para esse caso é retangular, foi dimensionada uma seção para

o esforço cortante de 270 kN, com as seguintes características:

✓ 𝑏 = 0,30 𝑚

✓ ℎ = 0,60 𝑚

✓ Aço CA-50

✓ Concreto classe C30

✓ Armação transversal: 𝜙 6,3 𝑚𝑚 𝑐 15 𝑐𝑚

✓ 𝑑′ = 𝑑′′ = 5 𝑐𝑚

✓ 𝐴𝑠 = 10 𝜙 25𝑚𝑚

✓ 𝐴′𝑠 = 2 𝜙 25𝑚𝑚

115

Tabela 5-13 : Índices de confiabilidade para cisalhamento por cortante 𝛾𝑓 = 1,40

χ β (ω=0,0) β (ω=0,2) β (ω=0,4) β (ω=0,6) β (ω=0,8) β (ω=1,0)

0,00 2,57 2,57 2,57 2,56 2,56 2,55

0,05 2,58 2,57 2,55 2,53 2,51 2,49

0,10 2,56 2,54 2,51 2,48 2,42 2,36

0,15 2,51 2,50 2,46 2,39 2,30 2,20

0,20 2,44 2,44 2,39 2,30 2,16 2,02

0,25 2,34 2,35 2,31 2,18 2,02 1,85

0,30 2,23 2,26 2,21 2,06 1,87 1,69

0,35 2,13 2,17 2,11 1,95 1,74 1,54

0,40 2,03 2,07 2,01 1,83 1,61 1,41

0,45 1,93 1,98 1,91 1,72 1,50 1,29

0,50 1,84 1,89 1,82 1,62 1,39 1,19

0,55 1,76 1,80 1,73 1,53 1,29 1,09

0,60 1,69 1,72 1,64 1,44 1,21 1,01

0,65 1,62 1,65 1,56 1,36 1,12 0,92

0,70 1,56 1,58 1,48 1,28 1,05 0,85

0,75 1,50 1,52 1,42 1,21 0,98 0,79

0,80 1,44 1,46 1,35 1,14 0,92 0,72

0,85 1,39 1,40 1,29 1,08 0,85 0,67

0,90 1,34 1,35 1,23 1,02 0,80 0,62

0,95 1,30 1,30 1,17 0,96 0,75 0,57

1,00 1,27 1,26 1,13 0,92 0,71 0,53


0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

3.00

3.50

4.00

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

Índ

ice

de

Con

fiab

ilid

ad

e (

β

)



ω = 20%

ω = 40%

ω = 60%

ω = 80%

ω = 100%

β limite = 3,80

116

Nesse caso, a segurança com relação ao esforço cortante se mostrou

insatisfatória para a seção estudada, gerando índice de confiabilidade máximo muito

abaixo do limite estabelecido. Sendo o melhor ponto, o de 100% de carga permanente,

com cerca de 2,50 de índice de confiabilidade.

5.6. FLEXÃO COMPOSTA RETA

A flexão composta reta possui dos tipos de esforços, normal e momento fletor,

atuando em conjunto na mesma seção. As equações de esforço resistente de cálculo são

as apresentadas abaixo:

𝑁𝑑 = 𝐴𝑠1 ∙ 𝜎𝑠1 + 𝐴𝑠2 ∙ 𝜎𝑠2 − 0,85𝑓𝑐𝑑 ∙ 𝑏 ∙ 𝜆 ∙ 𝑥

𝑀𝑑 = (𝐴𝑠1𝜎𝑠1 + 𝐴𝑠2𝜎𝑠2 − 0,85𝑓𝑐𝑑𝑏𝜆𝑥)ℎ

2− (𝐴𝑠1𝜎𝑠1)(𝑑

′) − (𝐴𝑠2𝜎𝑠2)(ℎ − 𝑑") + (0,85𝑓𝑐𝑑𝑏𝜆𝑥) (ℎ −𝜆

2𝑥)

A seção de estudo para esse caso foi considerada retangular e do tipo 1. As

dimensões seccionais e propriedades dos materiais utilizados nesse exemplo seguem

abaixo:

✓ 𝑏 = 60 𝑐𝑚

✓ ℎ = 30 𝑐𝑚

✓ 𝑑′ = 𝑑′′ = 5 𝑐𝑚

✓ 𝑓𝑐𝑘 = 20 𝑀𝑃𝑎

✓ Aço CA-50

✓ 𝐴𝑠1 = 𝐴𝑠2 = 5 𝑐𝑚²

Como o problema da flexão composta reta é um problema em duas dimensões,

um pouco complexo, o algoritmo trabalhou conferindo ponto a ponto do ábaco de

interação se tanto a normal, como o momento, atuantes estavam abaixo do resistente.

Sendo um problema de tal complexidade, esse caso foi resolvido apenas para o

caso em que 𝜔 = 0.

117

Tabela 5-14 : Índices de confiabilidade para flexão composta reta 𝛾𝑓 = 1,40

χ 𝛽(𝑀𝑑, 𝑁𝑑)

0,00 3,96

0,05 3,94

0,10 3,91

0,15 3,82

0,20 3,71

0,25 3,59

0,30 3,45

0,35 3,29

0,40 3,15

0,45 3,02

0,50 2,89

0,55 2,78

0,60 2,67

0,65 2,58

0,70 2,48

0,75 2,40

0,80 2,32

0,85 2,25

0,90 2,18

0,95 2,12

1,00 2,06


1.00

1.50

2.00

2.50

3.00

3.50

4.00

4.50

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

Índ

ice

de

Con

fiab

ilid

ad

e (

β)



ω = 0%

β limite = 3,80

118

Observando o gráfico acima é possível observar um comportamento muito

semelhante ao da compressão simples e da flexão pura, no qual para níveis baixos de

carga acidental o índice de confiabilidade é satisfatório. Nesse caso sobrepondo um

pouco o valor limite de 𝛽 mínimo.

119

Capítulo 6. CONCLUSÃO

Nesse trabalho pôde ser observado que na análise dos modelos de estudo

nenhum mostrou nível de segurança adequado aos parâmetros utilizados.

No caso dos modelos de compressão simples o valor do índice de confiabilidade

para 100% de carga permanente se mostrou satisfatório, no entanto, quando aumenta a

porcentagem de carga variável, principalmente com o aumento da porcentagem de

vento. Essa condição se mostra em grande parte pelo aumento do Bias da carga

permanente, que é comumente utilizado como 1.0, e nesse trabalho foi adotado como

1.05 para considerar que, na média, ocorre um aumento das seções na execução de

estruturas.

Na flexão, ocorreu uma leve diferença entre as seções com armaduras simples e

duplas. Para as seções com armadura dupla o comportamento foi muito semelhante ao

da compressão simples, mostrando um nível quase satisfatória para baixas porcentagens

de carga variável. Para as seções com armadura simples ocorreu uma queda razoável no

índice de confiabilidade, não se mostrando satisfatória, nem para níveis baixos de carga

variável. No caso de lajes os valores de índice de confiabilidade foram muito ruins.

Para lajes é clara a necessidade de emprego de coeficiente adicional, devendo ser

estudado se existe um fator preponderante que influencie essa redução dos níveis de

segurança, como a espessura da laje/flange, por exemplo.

O comportamento dos tirantes, solicitados apenas à tração demonstraram

comportamento inferior aos outros casos devido a utilização de apenas um material no

modelo de resistências.

A análise de flexão composta reta forneceu resultados muito semelhantes ao da

compressão simples, mostrando-se até melhores.

No caso do cisalhamento, como os níveis de segurança foram muito

insatisfatórios, o modelo deve ser estudado mais profundamente, a fim de entender qual

das variáveis do problema é responsável pela queda do índice de confiabilidade.

Para a análise geral, o aumento do fator de majoração das cargas se mostrou

necessário, devendo ser acrescido de forma que garanta a segurança para pelo menos

120

um balanço de 50% de carga variável e 50% de carga permanente, de forma a tentar

abranger a maior quantidade de estruturas possível. No estudo da compressão simples o

fator de majoração mostrou resultados desse tipo quando igual a 1,80. No entanto,

coeficientes de majoração de cargas muito altos podem gerar projetos não econômicos,

deve se estudar a possibilidade de usar coeficientes diferentes para carga permanente e

variável, devido a variabilidade das duas ser muito diferente. Usar coeficientes iguais

tornaria projetos com pouca carga variável menos econômicos.

Esse tema possui grande abrangência de estudo, podendo ser explorado de

maneira mais aprofundada, e em diversos campos, como por exemplo:

a) Realizar estudo das variáveis através dos métodos de transformação

FORM e SORM, podendo ser feito o modelo de margem de segurança

para outros tipos de esforços, como a torção, ou a combinação de

esforços, como torção com cortante;

b) Estudar a segurança de outras normas de projeto, como a NBR 8800 de

estruturas em aço laminado e a NBR 14762 de projeto de estruturas em

perfis formados a frio;

c) Realizar o estudo das variáveis para problemas envolvendo protensão;

d) Verificar problemas no estado limite de serviço;

e) Verificar a segurança do fator de redução do método melhorado,

comparando com métodos analíticos para cálculo de efeitos de segunda

ordem.

121

Capítulo 7. BIBLIOGRAFIA

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. 2014. NBR 6118:

Projeto de estruturas de concreto - Procedimento. s.l. : ABNT, 2014.

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ABNT, 2017.

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1988.

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Vol. 1. [trad.] José Rodrigues de Carvalho. Rio de Janeiro : LTC, 1983. Vol. 1.

124

ANEXOS

ALGORITMO MONTE CARLO

import numpy as np

from numpy import *

from scipy.stats import norm

from scipy.special import ndtri

from scipy.interpolate import splrep

from scipy.interpolate import splev

from pylab import *

import math

raiz = math.sqrt

#Dados gerais

nSamples = 4000000 #numero de amostras para cada VA

div = 21

chiTab = np.linspace(0.0,1.0,div)

chiTab[0] = 0.01

chiTab[-1] = 0.99

print '\n'

print 40*'-'

125

print 'PROGRAMA QUE PLOTA O GRÁFICO DO\nÍNDICE DE

CONFIABILIDADE PELA\nPORCENTAGEM DE CARGA ACIDENTAL'

print 40*'-'

print '\n'

#Entradas do usuário

b = np.float32(20)/100 #Dimensão da base do pilar (b) em m

fck = np.float32(20)*1000 #Resistência a compressão do concreto (fck) em kPa

d = np.float32(12.5)/1000 #Diâmetro da barra (d) em m

n = np.float32(8) #Número de barras na seção do pilar (n)

fyk = np.float32(50)*10000 #Escoamento do aço (fyk) em kPa

Gamag = np.float32(1.5) #Coeficiente de majoração da carga permanente Gama g

Gamaq = np.float32(1.5) #Coeficiente de majoração da carga acidental Gama q

Percent = 0.2 #Porcentagem de carga acidental da estrutura de estudo

Betalim = 3.8 #Valor limite do índice de confiabilidade

#Cálculos relacionados as resistências

fcd = 0.85*fck #Resistência a compressão do concreto para carregamentos de longa

duração (fcd) em kPa

As = np.pi*(d**2)/4 #Área de uma barra de aço (As) em m2

Asd = n*As #Área de aço resistente (Asd) em m2

fyd = fyk*(np.float32(42)/50) #Tensão resistente de cálculo do aço (fyd) em kPa

126

#Cálculo de médias e desvios padrões das resistências

mub = b

if np.float32(4)/1000 + 0.006*mub < np.float32(10)/1000:

sigmab = np.float32(4)/1000 + 0.006*mub

else:

sigmab = np.float32(10)/1000

mufc = 1.328*fcd #Média da resistência a compressão do concreto para carregamentos

de longa duração (fcd) em kPa

sigmafc = mufc*0.15 #Desvio padrão da resistência a compressão do concreto para

carregamentos de longa duração (fcd) em kPa

muAs = Asd #Média da área de aço resistente (As) em m2

sigmaAs = muAs*0.015 #Desvio padrão da área de aço resistente (As) em m2

mufy = 1.089*fyd #Média da tensão resistente de cálculo do aço (fyd) em kPa

sigmafy = mufy*0.05 #Desvio padrão da tensão resistente de cálculo do aço (fyd) em

kPa

muOr = 1.0 #Média da modelagem das resistências

sigmaOr = 0.05 #Desvio padrão da modelagem das resistências

muphi = 0.0

sigmaphi = 1.0

127

#Cálculo da carga resistente

Rds = Asd*fyd #Carga resistente de cálculo em kN

Rdc = fcd*(b**2)/1.4 #Carga resistente de cálculo em kN

Rd = Rds+Rdc #Carga resistente de cálculo em kN

print ("\n\n")

print ("Valor da força normal resistente de cálculo:\n%.2f kN" %Rd)

print ("\n\n")

vPf = []

#Loop para cálculo do índice de confiabilidade e probabilidade de falha pelo método de

Monte Carlo

for j in range(len(chiTab)):

chi = chiTab[j] #Porcentagem de carga acidental

#Divisão de porcentagem de carga permanente e variável

Gamaf = Gamag*(1-chi)+Gamaq*chi #Fator de majoração resultante

Sk = Rd/Gamaf

Gk = Sk*(1-chi) #Parcela de carga permanente

Lk = Sk*chi #Parcela de carga variável

#Divisão de porcentagem de carga acidental e de Vento

theta = 0.2 #Porcentagem de carga de vento

Qk = Lk*(1-theta) #Parcela de carga acidental

Wk = Lk*theta #Parcela de carga de vento

128

#Cálculo de médias e desvios padrões de solicitações

muG = 1.05*Gk #Média da parcela de carga permanente

sigmaG = 0.1*muG #Desvio padrão da parcela de carga permanente

muQ = 0.846*Qk #Média da parcela de carga acidental

sigmaQ = 0.35*muQ #Desvio padrão da parcela de carga acidental

muW = 1.187*Wk #Média da parcela de carga acidental

sigmaW = 0.35*muW #Desvio padrão da parcela de carga acidental

muOs = 1.0 #Média da modelagem das cargas

sigmaOs = 0.1 #Desvio padrão da modelagem das cargas

#Conversão de distribuição Normal para Gumbel

beta = np.pi/(raiz(6)*sigmaQ)

u = muQ - 0.577216/beta

#Vetores de distribuição das variáveis aleatórias de resistências

vb = np.random.normal(mub,sigmab,nSamples)#Dimensões do pilar em metros

vfc = np.random.normal(mufc,sigmafc,nSamples)#Tensão no concreto em kN/m2

vAs = np.random.normal(muAs,sigmaAs,nSamples)#Área de aço em m2

vfy = np.random.normal(mufy,sigmafy,nSamples)#Tensão de escoamento em kN/m2

vOr = np.random.normal(muOr,sigmaOr,nSamples)#Modelagem das resistências

vphi = np.random.normal(muphi,sigmaphi,nSamples)#Normal

129

#Vetores de distribuição das variáveis aleatórias de solicitações

vG = np.random.normal(muG,sigmaG,nSamples)#Parcela de carga permanente

vQ = np.random.gumbel(muQ,sigmaQ,nSamples)#Parcela de carga acidental

vW = np.random.gumbel(muW,sigmaW,nSamples)#Parcela de carga acidental

vOs = np.random.normal(muOs,sigmaOs,nSamples)#Modelagem das solicitações

#Cálculo dos vetores de resistências e solicitações

R = ((vb*vb*vfc)+(vAs*vfy))*vOr

S = (vG+vQ+vW)*vOs

#Cálculo da confiabilidade

G = R-S

Pf = np.mean(G<0)

prob_lista = [Pf]

vPf = vPf + prob_lista

#Resultados finais

chiTab2 = np.linspace(0.0,1.0,div)

BetaC = -ndtri(vPf)

#Print da Tabela dos Índices de Confiabilidade

z = zip(chiTab2,BetaC,vPf)

print 'Tabela dos Índices de Confiabilidade\ndevido a porcentagem Chi de Carga

Acidental'

print 30*'-'

130

print '%7s | %7s | %7s' %('Chi','Beta','Prob Falha')

print 30*'-'

for t,s,r in z:

print '%7.2f | %7.2f | %7s' %(t,s,r)

print 30*'-'

#Interpolação por splines para suavizar o gráfico

m_x = chiTab2[0]

M_x = chiTab2[-1]

f_h = (M_x - m_x)/20

A = m_x - f_h

B = M_x + f_h

N = 300

X = np.linspace(m_x,M_x,N)

tck = splrep(chiTab2,BetaC)

spl3X = splev(X,tck)

#Ponto de estudo

PointX = Percent

PointY = 0

for i in range(len(chiTab)):

if X[i] < Percent:

131

PointY = spl3X[i]

#Plotagem do gráfico

R = np.append(X,spl3X)

m_y = 2.0

M_y = 6.0

f_v = (M_y - m_y)/20

C = m_y - f_v

D = M_y + f_v

plot(chiTab2,BetaC,'bo', label = 'Ponto')

plot(X,spl3X,'r-', label = 'Curva')

plot([0.0,1.0],[Betalim,Betalim],'k-', label = 'Beta limite')

title('Porcentagem de Carga Acidental (Chi) X Indice de Confiabilidade (Beta)')

axis([A,B,C,D])

xlabel('Chi')

ylabel('Beta')

axhline(y = 2.0, xmin = 0.0, xmax = 1.0, color = 'k')

axvline(x = 0.0, ymin = 0.0, ymax = 6.0, color = 'k')

grid(True)

show()

close()

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