Propriedades da materia de vortices em supercondutores ...

Propriedades da materia devortices em supercondutoresmesoscopicos tridimensionais

Antonio Rodrigues de Castro Romaguera

Orientador: Mauro Melchiades Doria

Co-orientador: Francois M. Peeters

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO

INSTITUTO DE FISICA

Propriedades da materia devortices em supercondutoresmesoscopicos tridimensionais

Antonio Rodrigues de Castro Romaguera

Tese de Doutorado apresentada ao Programa de Pos-graduacao em Fısica

da Universidade Federal do Rio de Janeiro, como parte dos requisitos

necessarios a obtencao do tıtulo de Doutor em Ciencias (Fısica).

Orientador:

Mauro Melchiades Doria

Co-orientador:

Francois M. Peeters

Rio de Janeiro

20 de Agosto de 2007

Romaguera, Antonio Rodrigues de Castro

R756 Propriedades da Materia de Vortices em Supercondutores

Mesoscopicos Tridimensionais Antonio Rodrigues de Castro

Romaguera - Rio de Janeiro: UFRJ / IF, 2007

xvii, 160f.: il.; 31 cm.

Orientador: Mauro Melchiades Doria

Co-Orientador: Francois M. Peeters

Tese (Doutorado) - UFRJ / Instituto de Fısica / Programa de

Pos-graduacao em Fısica, 2007

Referencias Bibliograficas: f. 148-160

1. Supercondutividade. 2. Teoria de vortices. 3. Teoria de

Ginzburg-Landau. I. Doria, Mauro Melchiades. II. Universidade

Federal do Rio de Janeiro, Instituto de Fısica, Programa de Pos-graduacao

em Fısica. III. Propriedades da Materia de Vortices em Supercondutores

Mesoscopicos Tridimensionais

Dedicatoria

A minha querida esposa,

que foi o farol dessa jornada chamada Doutorado

Agradecimentos

• Aos amigos de tantas coincidencias, Leonardo Cisneiro e Erico Andrade.

• Aos amigos de apartamento Romero Rocha e Cezar Santos no Rio de Janeiro

e Vyacheslav Misko na Antuerpia.

• Aos amigos do Rio de Janeiro Luiz Maia, Carolina Amorim, Rafael Coutinho

e Amelia Paes.

• Aos amigos de profissao Clecio Clemente e Clessio Leao.

• Aos amigos da Universidade da Antuerpia Yosip Sidor, Kwinten Nelissen,

Hartwin Peelaers, Ben Baelus, Roeland Geurts, An Slachmuylders, Arkady

Chanenko, Denis Vodolazov, Golibjon Berdiyorov, Azamat Elmurodov, Milo-

rad Milosevic, Vladan Mlinar, Nga Nguyen e Gyorgy Papp.

• Ao CNPq, por ter financiado os custos do Doutorado no Brasil e no exterior.

• Ao professor e Co-orientador Francois M. Peeters.

• Ao professor, amigo e Orientador Mauro M. Doria.

Resumo

Nesta tese estudamos as propriedade da materia de vortices em supercondu-

tores nano-estruturados tridimensionais. Chamam-se de supercondutores nano-

estruturados aqueles que possuem dimensoes na escala do comprimento de coerencia

do material utilizado. Tais supercondutores se dividem em duas categorias: aqueles

cujas proprias dimensoes sao definidas pelo comprimento de coerencia (supercondu-

tores mesoscopico) e os chamados volumetricos, que embora nao possuam fronteiras

externas tem em seu interior regioes nao-supercondutoras cujas dimensoes sao da

ordem do comprimento de coerencia (inclusoes mesoscopicas). Os superconduto-

res nano-estruturados apresentam meta-estabilidade intrınseca em seu comporta-

mento magnetico ocasionado pela presenca de varias configuracoes energeticamente

acessıveis para um mesmo estado termodianmico, definido pelas variaveis de campo

magnetico e de temperatura. Tais configuracoes com energias muito proximas cor-

respondem a configuracoes de vortices que diferem entre si por um certo numero

quantico, e.g., o momento angular.

Esta tese apresenta tres conjuntos de contribuicoes principais. No primeiro con-

junto, capıtulos 3 e 4, os supercondutores nano-estruturados sao estudados atraves

da resolucao numerica da teoria de Ginzburg-Landau feita atraves do metodo de Re-

cozimento Simulado “Simulated Annealing”, que e baseado no algoritmo de Metropolis

- Monte Carlo. A teoria de Ginzburg-Landau e reformulada para incorporar as

condicoes de contorno dentro da energia livre, de tal forma que fornece uma visao

unificada das regioes supercondutoras e nao-supercondutoras. Dentro deste trata-

mento, as duas categorias de supercondutores nano-estruturados sao interpretados

como sistemas complementares, uma vez que as regioes supercondutoras sao sempre

revestidas de regioes nao-supercondutoras e vice-versa. Tanto a forma das inclusoes

dentro do supercondutor, ou a dos supercondutores mesoscopicos no interior de um

vii

meio nao-supercondutor, sao facilmente manipulados no presente esquema teorico.

No segundo conjunto de contribuicoes, capıtulo 5 e 6, investigamos os efeitos de in-

clusoes magneticas localizadas no interior de supercondutores. Nos mostramos que a

presenca das inclusoes magneticas leva ao surgimento de lacos de vortices confinados.

A fase definida por esses estados de vortices e precursora de uma ordem de longo

alcance, conhecida na literatura por fase espontanea de vortices. Os efeitos que uma

corrente aplicada produz nos lacos de vortices confinados tambem sao estudados. O

terceiro conjunto de contribuicoes, capıtulo 7, esta diretamente relacionada com a

fısica experimental. Analisamos as curvas isotermicas de magnetizacao obtidas por

Y. Wang et al. [Phys. Rev. Lett. 95 247002 (2005)] para compostos subdopado e

otimamente dopado de Bi2Sr2CaCu2O8+!.

No terceiro capıtulo desta tese, empregamos tecnicas numericas de minimizacao

que permitem a obtencao de solucoes em geometrias genuinamente tridimensio-

nais para estudar os supercondutores nano-estruturados com inclusoes mesoscopicas

esfericas. Nos variamos o raio das inclusoes mantendo fixa a distancia entre as in-

clusoes nas celulas vizinhas. Estas esferas isolantes ou metalicas aprisionam um

numero crescente de linhas de vortices produzindo um verdadeiro estado emara-

nhado. A configuracao, e tambem a propria forma das linhas, resulta da competicao

entre varias energias presentes: a elastica, associada a deformacao da linha para

acessar uma certa inclusao; a ancoragem da linha pelo defeito e finalmente a re-

pulsao entre duas linhas vizinhas. Perto do campo crıtico superior a interacao

vortice-defeito se modifica substancialmente permitindo o surgimento de vortices

gigantes, resultantes do colapso de varios vortices aprisionados por uma unica in-

clusao. Neste capıtulo provamos que a energia livre do supercondutor com inclusoes

isolantes exibe valores mais negativos do que no supercondutor homogeneo. No

caso de uma inclusao metalica, tal efeito nao ocorre e a energia livre do sistema

com inclusoes e sempre mais elevada. Nesse cenario, vortices sao mais favoraveis a

nuclear em supercondutores que apresentam uma estrutura porosa, ou ate mesmo

podendo induzir uma natureza porosa no interior do supercondutor. Tambem neste

capıtulo estudamos o comportamento de uma linha de vortice em um supercondu-

tor nano-estruturado com duas inclusoes isolantes por celula unitaria. As inclusoes

foram posicionadas de maneira a formar uma rede tipo zigzag. Determinamos que

dependendo do tamanho e da posicao das inclusoes zigzag, os vortices se deformam

para acessar essas inclusoes ate que o seu comprimento atinge um valor maximo, a

viii

partir do qual ocorre uma transicao de desancoramento.

No quarto capıtulo estudamos um cilindro e uma esfera supercondutora com

dimensoes mesoscopicas. Obtemos as curvas de magnetizacao para os estados com

diferente vorticidade e o ciclo de magnetizacao nessas geometrias tridimensionais.

Alem da intensidade do campo magnetico, tambem foi variada a orientacao do campo

em relacao a geometria do sistema. Ao rotacionar o campo em relacao ao eixo de

um cilindro, observamos mudancas estruturais no arranjo de vortices, assim como a

variacao do numero de vortices no sistema.

No quinto capıtulo determinamos o padrao de vortices que se origina da inclusao

de um dipolo magnetico no centro de uma esfera supercondutora mesoscopica. Uma

vez que o campo magnetico produzido por tal fonte da origem a linhas de campo

fechadas, os vortices presentes nesse meio sofrem grande influencia da topologia do

campo originando os lacos de vortices confinados, cuja origem e desaparecimento

so ocorrem nos polos do dipolo magnetico. Mostramos que a primeira configuracao

estavel de lacos de vortices confinados, distribuıdos em torno do eixo do dipolo, exibe

tres vortices e nao outro numero. Para valores elevados do momento magnetico, os

lacos de vortices confinados afloram a superfıcie do supercondutor dando origem aos

pares de vortices externos.

No sexto capıtulo estudamos a dinamica de um laco de vortice confinado em

presenca de uma corrente eletrica aplicada. O comportamento do laco e analisado

nas orientacoes principais da corrente em relacao ao dipolo magnetico e ao plano

que contem o laco. Solucionamos as equacoes de movimento no regime viscoso (flux

flow), com a aproximacao de lacos rıgidos. As frequencias caracterısticas associadas

ao surgimento do laco em torno do dipolo e seu desaparecimento na superfıcie da

amostra tambem sao obtidas.

No setimo capıtulo aplicamos as leis de escala de Landau-Ott para obter o com-

portamento do campo crıtico superior Hc2(T ) em funcao da temperatura T , norma-

lizado pelo seu valor numa temperatura de referencia. Concluımos pela existencia

de uma temperatura T !, acima da temperatura crıtica Tc, onde Hc2(T !) se anula.

O significado dessa nova temperatura esta associado ao termino da ordem de longo

alcance, a partir da qual o supercondutor divide-se em multiplos domınios sem

coerencia de fase entre si.

Abstract

In this thesis, we study the properties of the vortex matter in tridimensional

nano-structured superconductors. Nano-structured superconductors are those with

a length scale comparable to the coherence length. Such superconductors are classi-

fied in two categories: those whose size is in the coherence length scale (mesoscopic

superconductors) and some bulk superconductors. Although the latter does not pos-

sess external boundaries, it has non-superconducting regions in its interior with size

comparable the coherence length (mesoscopic inclusions). The nano-structured su-

perconductors exhibit intrinsic meta-stability in their magnetic behavior caused by

the presence of di!erent configurations energetically accessible for the same ther-

modynamic state, defined by the magnetic field and temperature variables. Such

configurations are very close energies and correspond to vortex arrangements with

di!erent quantum number, e.g., the angular momentum.

The contributions of this thesis are split into three di!erent kinds. In the first

one, contained in Chapters 3 and 4, the nano-structured superconductors are studied

through the numerical analysis of the Ginzburg-Landau theory using the simulated

annealing method, which is based on the Metropolis - Monte Carlo algorithm. The

Ginzburg-Landau theory is reformulated so to incorporate the boundary conditions

into the free energy expression. This new version o!ers a unified view of supercon-

ducting and non-superconducting regions. In this view, the two categories of nano-

structured superconductors are complementary to each other, since the supercon-

ducting regions of one become the non-superconducting regions of the other and vice

versa. Thus the shape of the inclusions inside the bulk superconductor, or equally,

the shape of the mesoscopic superconductors coated by a non-superconducting me-

dia, is easily manipulated in the present theoretical approach. In the second kind

of contribution, described in Chapters 5 and 6, we show that the presence of mag-

x

netic inclusions leads to the appearance of confined vortex loops. This vortex state

is precursor of a long-range order, known as the spontaneous vortex phase. The

e!ects of an applied electric current on the confined vortex loops are also studied

here. The third and last contribution, given in Chapter 7, is directly relevant to

experiments. There we analyze the isothermal magnetizations curves measured by

Y. Wang et al. [Phys. Rev. Lett. 95 247002 (2005)] for underdoped and optimally

doped Bi2Sr2CaCu2O8+! compounds.

In Chapter 3, we obtain truly tridimensional solutions of the Ginzburg-Landau

theory through numerical minimization in case of bulk superconductors with sphe-

rical mesoscopic inclusions. We vary the radius of the inclusions keeping fixed their

density. We find that either insulating or metallic spheres trap an increasing number

of vortex lines producing literally an entangled state. The configuration and the re-

sulting shape of the lines are a consequence of the following competing energies: the

elastic energy, associated to the stretch of the vortex line pinned by inclusions; the

pinning energy of the vortex line to the inclusion; and finally the repulsion between

two neighboring vortices. Near the upper critical field, the vortex-inclusion inte-

raction is substantially modified allowing the nucleation of giant vortices, resultant

from the collapse of some vortices trapped by a single inclusion. In this thesis, we

prove that the free energy of the superconductor with insulating spherical inclusions

exhibits lower values than that of the homogeneous superconductor. However such

e!ect does not occur in case of a metallic inclusion, whose free energy is always

larger than that of the homogeneous free energy. Hence we show that vortices nu-

cleate more easily in a superconductor with a porous insulating structure than in the

homogeneous one, and perhaps, can even induce a porous nature to the supercon-

ductor. In addition, we study the behavior of a vortex line in a bulk superconductor

with fixed density of two insulating spherical inclusions by unit cell. The inclusions

are positioned in a way to form a zigzag chain. We determine the maximum stretch

of the line for several choices of size and position of the zigzag inclusions. The line

vortex deforms its trajectory to access these inclusions until its length reaches a

maximum value, from which a depinning transition occurs.

In Chapter 4, we study mesoscopic superconductors with truly tridimensional

geometry, namely, with cylindrical and spherical shape. We obtain their full mag-

netization curves and labeled their branches by states with di!erent vorticities. We

vary the magnetic field, not only in strength, but also in orientation with respect to

xi

the major axis defined by the system’s geometry. Upon tilting the field in relation

to the cylinder’s axis, we observe structural changes in the vortex arrangement, as

well as changes in the total number of vortices.

In Chapter 5, we find the vortex pattern that stem from the presence of a mag-

netic dipole in the center of a mesoscopic superconducting sphere. The magnetic

field streamlines are closed since the dipole is their only source and sinkhole. Conse-

quently, the vortices, which follow the streamlines, are confined loops, whose origin

and disappearance only occur in the poles of the magnetic dipole. We show that the

first stable configuration is made of exactly three confined vortex loops vortices and

not of any another number. For large magnetic moment values, the confined vortex

loops spring to the superconductor’s surface giving rise to external vortex pairs.

In Chapter 6 we study the dynamics of confined vortex loops in presence of an

applied electric current. This dynamics is analyzed for the simplest choices of current

orientation with respect to the magnetic dipole and the plane that contains the loop.

We solve the equation of motion in the flux flow regime within the approximation of

a rigid loop. Estimations for the characteristic frequencies of the periodic motions,

such as the growth of the loop and its subsequent shrinkage after touching the

surface, are also obtained here.

In Chapter 7 we apply the Landau-Ott scaling to obtain the upper critical field

Hc2(T ) as a function of the temperature T , normalized by its known value at some

reference temperature. We conclude the existence of a temperature T !, above the cri-

tical temperature Tc, where Hc2(T !) vanishes. The meaning of this new temperature

is related to the end of long-range order, possibly because above this temperature

the superconductor splits into a multi-domains structure without phase coherence.

Samenvatting

In deze thesis worden de eigenschappen van vortices in driedimensionale nanos-

tructuur supergeleiders bestudeerd. Nanostructuur supergeleiders zijn supergelei-

ders waarvan de dimensies van dezelfde grootte orde zijn als de coherentie lengte

van het bestudeerde materiaal. Deze supergeleiders kunnen we in twee klassen

indelen: diegene die afmetingen hebben die vergelijkbaar zijn met de coherentie

lengte (mesoscopische supergeleiders) en bulk supergeleiders. Deze laatste hebben

dan niet-supergeleidende gebieden met afmetingen vergelijkbaar met de coherenti-

elengte (mesoscopische inclusies). Nanostructuur supergeleiders vertonen een in-

trinsieke metastabiliteit in hun magnetisch gedrag. Dit wordt veroorzaakt door de

aanwezigheid van meerdere mogelijke configuraties bij een zelfde thermodynamische

toestand, die gedefinieerd wordt door het magnetische veld en de temperatuur. Deze

configuraties met bijna gelijke energieen komen overeen met vortex structuren met

een verschillend kwantumgetal, zoals het angulair moment.

Deze thesis bestaat uit drie delen bestaande uit nieuwe bijdragen. In het eerste

deel, namelijk in hoofdstukken 3 en 4, worden de nanostructuur supergeleiders bes-

tudeerd met behulp van het numeriek oplossen van de Ginzburg-Landau theorie

door gebruik te maken van de methode van de “simulated annealling en het Metro-

polis - Monte Carlo algoritme. De Ginzburg-Landau theorie wordt geherformuleerd

om de randvoorwaarden te introduceren in de uitdrukking voor de vrije energie.

Deze nieuwe versie zorgt voor een geunificeerde kijk op de supergeleidende en niet-

supergeleidende gebieden. Op deze manier worden de twee types nanostructuur

materialen complementair, want de supergeleidende gebieden zijn steeds omgeven

door een niet-supergeleidend gebied en omgekeerd. De vorm van de inclusies bin-

nen de supergeleider, of de vorm van de mesoscopische supergeleider omgeven door

een niet-supergeleidend materiaal, kunnen eenvoudig gemanipuleerd worden in deze

xiii

theoretische benadering. In het tweede deel, in hoofdstuk 5 en 6, worden de e!ecten

van magnetische inclusies in het inwendige van de supergeleider bestudeerd. We

tonen aan dat de aanwezigheid van magnetische inclusies aanleiding geeft tot het

ontstaan van vortex lussen. De fase gedefinieerd door deze vortex toestanden is een

voorloper van een lange afstandsorde, bekend als de spontane vortex fase. De e!ec-

ten veroorzaakt door een aangelegd elektrisch veld op de vortex lussen worden ook

behandeld. Het derde deel, hoofdstuk 7, gaat meer over experimenten. We analy-

seren hier de isothermische magnetisatie curves zoals opgemeten door Y. Wang et

al. [Phys. Rev. Lett. 95 247002 (2005)] bij ondergedopeerd en optimaal gedopeerd

Bi2Sr2CaCu2O8+! materiaal.

In het derde hoofdstuk van deze thesis gebruiken we numerieke minimalisatie

technieken die ons toelaten om driedimensionale oplossingen te vinden. Dit hebben

we toegepast op nanostructuur supergeleiders met sferische mesoscopische inclusies.

We hebben de straal van deze inclusies gevarieerd, waarbij de afstand tussen de

inclusies in nabijgelegen cellen vast gehouden werd. Deze isolerende of metallische

bollen vangen een toenemend aantal vortex lijnen op en creeren zo een “entangled

state. De configuratie en de vorm van de lijnen zijn een resultaat van een competitie

tussen de verschillende aanwezige energiebijdragen: de elastische energie, veroorza-

akt door de vervorming van een vortex lijn om een bepaalde inclusie te bereiken, de

pinning van de vortex door de inclusie en de afstoting tussen twee naburige vortices.

Bij het maximale kritische veld wordt de vortex-inclusie interactie gewijzigd, zodat

er giant vortices ontstaan, die veroorzaakt worden door het ineenstorten van de vers-

chillende vortices die door een inclusie opgevangen worden. In deze thesis bewijzen

we dat de vrije energie van de supergeleider met isolerende sferische inclusies kleiner

is dan die van een homogene supergeleider. Bij een metallische inclusie treedt dit

e!ect niet op en is de vrije energie van het systeem met inclusies steeds groter. Het

is dus voordeliger voor vortices om zich te vormen in een supergeleider met een

poreuze structuur of om een poreuze structuur binnenin de supergeleider te vero-

orzaken. We hebben ook het gedrag van vortices bestudeerd in een nanostructuur

supergeleider met twee isolerende bollen per eenheidscel. Deze bollen vormen een

zigzaglijn. Afhankelijk van de grootte en positie van de zigzaglijn zal het traject van

de vortex vervormen zodat de vortex deze inclusies kan bereiken. Dit gebeurt totdat

de baan een maximale lengte bereikt, waarna een depinning overgang optreedt.

In het vierde hoofdstuk bestuderen we een supergeleidende cilinder en een super-

xiv

geleidende bol die beiden een mesoscopische dimensie hebben. We hebben de mag-

netisatiecurves van toestanden met een verschillende vorticiteit en de magnetisatie

cycli in deze driedimensionale structuren berekend. De magnetische veldsterkte,

maar ook de orientatie ervan ten opzichte van de geometrie van de structuren, werd

gevarieerd. Wanneer dit veld gekanteld werd ten opzichte van de as van de cilinder

werden er structurele veranderingen van de vortex configuraties en van het aantal

vortices in het systeem geobserveerd.

In het vijfde hoofdstuk zochten we het vortex patron dat veroorzaakt wordt door

de aanwezigheid van een magnetische dipool in het centrum van de mesoscopische

supergeleidende bol. Omdat dit magnetische veld gesloten veldlijnen creeert, worden

de vortices sterk beınvloed door de topologie van het veld veroorzaakt door de ge-

bonden vortex lussen. Deze kunnen enkel ontstaan en verdwijnen in de polen van de

magnetische dipool. We tonen aan dat de eerste stabiele configuratie van gebonden

vortex lussen rond de dipoolas slechts drie vortices heeft. Andere aantallen komen

niet voor. Bij grotere magnetische momenten komen de vortex lussen tevoorschijn

op het oppervlak van de supergeleider en geven zo aanleiding tot externe vortex

paren.

In het zesde hoofdstuk bestuderen we de dynamica van gebonden vortex lussen

in de aanwezigheid van een elektrische stroom. Het gedrag van de lus wordt gea-

nalyseerd als functie van de richting van de stroom ten opzichte van de magnetische

dipool en het vlak dat de lus bevat. We lossen de bewegingsvergelijkingen in het

flux flow regime, gebruik makend van de benadering van een starre lus. De karak-

teristieke frequenties van het verschijnen rond de dipool en het verdwijnen aan het

oppervlak van de vortex lus werden ook bekomen.

In het zevende deel passen we de Landau-Ott scaling toe om het gedrag van

het grootste kritische veld Hc2(T ) als functie van de temperatuur T , genormaliseerd

door zijn gekende waarde bij een referentietemperatuur, te verklaren. We kunnen

hier het bestaan van een temperatuur T ! waarbij Hc2(T !) nul wordt aantonen. Deze

temperatuur is groter dan de kritische temperatuur Tc. De betekenis van deze nieuwe

temperatuur is gerelateerd aan het einde van de lange afstandsorde, waarbij de

supergeleider opgesplitst wordt in meerdere domeinen zonder fase coherentie tussen

de gebieden.

Sumario

Folha de rosto i

Folha de aprovacao ii

Ficha catalografica iii

Dedicatoria iv

Agradecimentos v

Resumo vi

Abstract ix

Samenvatting xii

Glossario xviii

1 Introducao 2

2 Teoria de Ginzburg-Landau 82.1 Comprimentos caracterısticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2 Os dois tipo de supercondutores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3 A corrente supercondutora e a magnetizacao . . . . . . . . . . . . . . 112.4 O regime linear e o de ! ! 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.5 Incorporando as condicoes de contorno no funcional de energia . . . . 132.6 A magnetizacao em supercondutores tipo-II extremos . . . . . . . . . 152.7 Unidades reduzidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3 Supercondutores nano-estruturados com inclusoes mesoscopicas 173.1 Transicao para um supercondutor com cavidades isolantes . . . . . . 193.2 Propriedades da linha de vortice nos supercondutores volumetricos

com duas inclusoes mesoscopicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.2.1 A modelagem das inclusoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.2.1.a O modelo de rotacao de duas inclusoes . . . . . . . . 293.2.1.b O modelo de deslocamento de duas inclusoes . . . . . 31

SUMARIO xvi

3.2.2 Comportamento crıtico da linha de vortice no modelo de rotacao 333.2.2.a Dependencia da energia com os parametros do mo-

delo de rotacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.2.3 Comportamento crıtico da linha de vortice no modelo de des-

locamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.2.4 Multiplos vortices e as inclusoes mesoscopicas . . . . . . . . . 51

3.3 Principais resultados e conclusoes desse capıtulo . . . . . . . . . . . . 53

4 Supercondutores mesoscopicos em campo aplicado 554.1 Efeitos das condicoes de contorno sobre a configuracao de vortice nos

supercondutores mesoscopicos tridimensionais . . . . . . . . . . . . . 584.1.1 Descricao dos modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.1.2 Discussao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.2 Vortices inclinados em um cilindro supercondutor mesoscopico . . . . 674.2.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.2.2 Campo magnetico paralelo e perpendicular . . . . . . . . . . . 684.2.3 A transicao entre vortice gigante e multivortice . . . . . . . . 754.2.4 Campo inclinado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.2.4.a Zero-para-zero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794.2.4.b Um-para-zero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814.2.4.c Um-para-um . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824.2.4.d Dois-para-um . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844.2.4.e Tres-para-um . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 864.2.4.f Tres-para-dois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

4.2.5 Analise do comprimento do vortice . . . . . . . . . . . . . . . 884.3 Principais resultados e conclusoes desse capıtulo . . . . . . . . . . . . 89

5 A coexistencia de magnetismo e supercondutividade 935.1 Triplete de lacos de vortices em supercondutores com um nucleo

magnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 935.2 Aspectos teoricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 955.3 A simetria triplete - threefold symmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . 975.4 A evolucao dos estados de vortice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1025.5 Principais resultados e conclusoes desse capıtulo . . . . . . . . . . . . 103

6 A dinamica dos lacos de vortices confinados 1066.1 A forma dos lacos de vortices confinados . . . . . . . . . . . . . . . . 1076.2 Corrente paralela ao dipolo magnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

6.2.1 Equacao de movimento para o segmento transversal . . . . . . 1136.3 Corrente perpendicular ao dipolo magnetico . . . . . . . . . . . . . . 117

6.3.1 Resistividade do regime flux flow . . . . . . . . . . . . . . . . 1196.4 Principais resultados e conclusoes desse capıtulo . . . . . . . . . . . . 120

SUMARIO xvii

7 A lei de escala de Landau-Ott para o campo crıtico superior dossupercondutores de alta temperatura crıtica 1237.1 O desaparecimento do campo crıtico superior no composto Bi2Sr2CaCu2O8+!

baseado na lei de escala de Landau-Ott . . . . . . . . . . . . . . . . . 1237.2 Aspectos teoricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1257.3 Principais resultados e conclusoes desse capıtulo . . . . . . . . . . . . 130

A A teoria de Ginzburg-Landau na rede 133A.1 A energia livre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133A.2 A densidade de corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134A.3 Quasi-periodicidade e invariancia de gauge . . . . . . . . . . . . . . . 135

A.3.1 Translacao do Parameto de ordem na rede . . . . . . . . . . . 135A.3.2 Translacao do Potencial vetor na rede . . . . . . . . . . . . . . 135A.3.3 Determinacao do gauge "µ(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135A.3.4 Relacoes envolvendo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

A.4 Solucao para os termos de campo: "B e "h(n) . . . . . . . . . . . . . . 137A.4.1 Inducao Magnetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137A.4.2 Campo magnetico local constante . . . . . . . . . . . . . . . . 137

B O metodo de recozimento simulado (Simulated Annealing) 138B.1 O recozimento simulado aplicado a teoria de Ginzburg-Landau na rede140B.2 Funcional de Ginzburg-Landau na rede 3-D . . . . . . . . . . . . . . 142

B.2.1 Simplificando a energia livre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143B.2.2 Variacao da parte Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144B.2.3 Variacao da parte Imaginaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144B.2.4 Variacao do potencial vetor:Ax . . . . . . . . . . . . . . . . . 145B.2.5 Variacao do potencial vetor:Ay . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146B.2.6 Variacao do potencial vetor:Az . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

Referencias bibliograficas 160

Glossario

Hc(T ) - Campo crıtico termodinamico que define a transicao Supercondutor/Normal

nos supercondutores tipo-I.

Hc1(T ) - Campo crıtico inferior a temperatura T . Seu valor define a intensidade

mınima do campo magnetico necessaria para permitir a nucleacao de vortices

em um supercondutor tipo-II.

Hc2(T ) - Campo crıtico superior a temperatura T . Seu valor define a intensidade

do campo magnetico capaz de destruir a supercondutividade no interior de um

supercondutor tipo-II. Hc2(T ) > Hc1(T )

Hc3(T ) - Campo crıtico superficial. Seu valor define a intensidade do campo magnetico

capaz de destruir a supercondutividade remanescente que existe apenas em

torno da superfıcie nos supercondutores tipo-II. Hc3(T ) > Hc2(T ).

hL - Campo de nivelamento, deriva diretamente da expressao inglesa matching

field. Corresponde ao valor do campo magnetico capaz de tornar as energias

livre associada aos estados com vorticidade L e L + 1 identicas.

H" - Campo magnetico orientado paralelamente ao eixo principal de um cilindro.

H# - Campo magnetico orientado perpendicularmente ao eixo principal de um

cilindro.

n"max - Numero maximo de vortices que podem ser acomodado sob campo paralelo

ao eixo principal.

n#max - Numero maximo de vortices que podem ser acomodado sob campo perpen-

dicular ao eixo principal.

Href - Campo magnetico experimental capaz de destruir a supercondutividade em

um cilindro de altura D e raio R aplicado paralelamente ao eixo principal.

SUMARIO 1

h(T ) - Campo crıtico superior a temperatura T normalizado pelo campo crıtico su-

perior a temperatura de referencia T0. Pode ser reescrito como Hc2(T )/Hc2(T0).

Tc - Temperatura crıcia que define a transicao Supercondutor/Normal.

T ! - Temperatura crıtica obtida pela extrapolacao da curva Hc2(T ) no ponto em

que Hc2(T !) = 0.

CVL - Laco de vortice confinado. deriva diretamente da expressao inglesa confined

vortex loop. Corresponde a um estado em que a trajetoria do vortice e uma

curva fechada.

EVP - Par de vortices externos. Deriva diretamente da expressao inglesa external

vortex pairs. Corresponde a um estado produzido pelo rompimento do CVL.

µB - Magneton de Bohr cuja expressao e µB = #0rc/2$, onde rc e o raio classico

do eletron.

µ0 - Unidade de momento magnetico utilizada pela descrever o campo de dipolo na

vizinhanca de vortices cuja expressao e µ0 = #0%/2$, onde % e o comprimento

de coerencia.

Capıtulo 1

Introducao

A supercondutividade foi descoberta em 1911 por Heike Karmelingh Onnes em

Leiden - Holanda (87). Esse descobrimento foi consequencia dos sucessivos avancos

das tecnicas de laboratorio empregada na obtencao de temperaturas cada vez mais

baixas que comecaram quando Louis Caillet na Franca (118) e Raoul Piectet na Suıca

(119) conseguiram liquefazer com sucesso pequenas quantidades de ar, Nitrogenio

e Hidrogenio em 1877. No caso de Cailletet, ele usou o efeito Joule-Thomson para

liquefazer os gases. O gas era comprimido enquanto era resfriado e em seguida o gas

submetido a expansao livre, resfriando-se ainda mais. O resultado foi a producao de

algumas gotas de oxigenio apos sucessivas repeticoes destes procedimentos. Piectet

liquefez o gas oxigenio de maneira completamente distinta, combinando acido sul-

furosos e carbonicos. Esses gases eram famosos naquela epoca porque as tentativas

anteriores de liquefaze-los realizadas por Michael Faraday e outros renomados pes-

quisadores haviam sido mal sucedidas (26) o que criou uma atmosfera de competicao

em busca de temperaturas cada vez mais baixas. A fısica de baixas temperaturas

consolidou-se em 1891 quando Z. F. Wroblewski em Cracovia - Polonia obtive com

sucesso a condensacao de ar lıquido em quantidades suficientes para implementacoes

experimentais. Wroblewski passou a investigar a resistividade eletrica de metais pu-

ros e verificou que esses materiais possuıam uma curiosa dependencia com a tempe-

ratura. Suas observacoes sugeriam que a resistencia eletrica nesses metais se anularia

a uma temperatura nao nula. Essa intrigante possibilidade gerou diversas teorias

para descrever o comportamento de resistividade no limite de baixas temperaturas.

Em 1892, James Dewar, na Inglaterra, inventou (117) uma camera de vacuo, que

hoje e denominada com o nome de seu criador, que o possibilitou obter, armazenar

e transportar quantidades experimentais de hidrogenio lıquido. Suas observacoes

Introducao 3

sobre o comportamento da resistividade em baixas temperaturas, ao contrario do que

se acreditava na epoca, mostraram que & tornava-se gradativamente independente

da temperatura.

Menos de duas decadas depois que, em Glasgow - Escocia, William Ramsay des-

cobriu em 1895 que o Helio existe na Terra, Karmeling Onnes conseguiu liquefaze-lo

em 1911. O Helio lıquido tornou disponıvel para experimentos em temperaturas uma

ordem de grandeza mais baixas do que as entao disponıveis. Tres anos mais tarde,

Karmeling Onnes e seu estudante G. Holst descobriram o notavel desaparecimento

descontınuo da resistencia eletrica em uma amostra de Mercurio ocorrida na tem-

peratura critica Tc = 4, 2 K, obtida a medida em que a amostra era resfriada com

o auxılio de um reservatorio de helio lıquido. Em um experimento posterior, uma

corrente persistente foi induzida em uma pequena porcao de Mercurio. Esse novo

fenomeno foi chamado de supracondutividade (do latim supra - alem de), significa

literalmente alem da condutividade. A denominacao atual supercondutividade, ape-

sar de ser silabicamente parecida, faz referencia a uma condutividade potencializada,

como denominado pelo prefixo super.

Figura 1.1: Medidas da resistividade doMercurio (Hg) em funcao da tempera-tura feitas por H. K. Onnes em Leiden-Holanda. A temperatura Tc = 4, 2 K aresistividade cai abruptamente para zero,dando lugar a supracondutividade, comoo Onnes se referiu a esse novo estado. Afigura foi extraıda de seu artigo original de1911.

Em 1933 a descoberta do diamagnetismo perfeito por Walter Meissner e R. Och-

senfeld em Berlim-Alemanha mostrou que a supercondutividade era um fenomeno

termodinamicamente reversıvel. A essa descoberta se seguiu rapidamente o modelo

de dois fluıdos de Cornelis Gorter e Hendrik Casimir e as equacoes de Fritz e Heinz

London descrevendo a eletrodinamica do fenomeno em termos de correntes superfici-

ais que limitam a penetracao do campo magnetico a um comprimento de penetracao

'. A investigacao de Brian Pipppard a respeito do comportamento de ' como uma

funcao do livre caminho medio do eletron resultou na versao nao-local da teoria de

Introducao 4

London.

Na entao Uniao Sovietica,, investigacoes do estado intermediario em que regioes

supercondutoras coexistem com regioes normais em presenca de um campo magnetico

externo resultou, em 1950, na teoria fenomenologica proposta por Vitaly L. Ginz-

burg e Lev Landau (45).

A teoria de Ginzburg-Landau, como e conhecida, foi uma aplicacao da teoria

de transicao de fases, desenvolvida anteriormente por Landau, onde foi adotado um

parametro de ordem complexo que depende da posicao. Por se tratar de uma teoria

fenomenologica, os valores para a massa e carga das partıculas envolvidas podiam

ser tratados por valores efetivos, o que levou a grandes divergencias entre os formu-

ladores da teoria. Em 1955, baseado em comparacoes com experimentos, o proprio

Ginzburg concluiu que a carga efetiva das partıculas envolvidas com a supercondu-

tividade era de duas a tres vezes a carga do eletron. O trabalho experimental de Lev

Shubnikov ja tinha estimulado Alexei Abrikosov em 1957 para estender a teoria de

Ginzburg-Landau de forma a incluir os sistemas em que a energia de superfıcie entre

as regioes normal e supercondutora fossem negativas (1). Abrikosov previu um novo

estado, conhecido por supercondutor do tipo-II, em presenca de campo magnetico

acima de um valor mınimo Hc1. A notavel intuicao subjacente a essa teoria tornou-

se evidente logo depois que historico artigo de John Bardeen, Leon Cooper e Robert

Schrie!er (8; 86) apareceu em 1957 onde eles mostraram que nos supercondutores

ocorre o emparelhamento de eletrons com momentos e spins opostos. O condensado

desses pares de partıculas de spin nulo, formalmente quase-partıculas bosonicas, e o

responsavel pela supercondutividade. Lev Gorkov obteve as equacoes de Ginzburg-

Landau a partir da teoria microscopica BCS, assim mostrando a equivalencia do

parametro de ordem com a funcao de onde do par do condensado.

Muito antes da teoria BCS, Fritz London tinha previsto que se a funcao de onda

supercondutora fosse unica, o fluxo magnetico teria de ser quantizado em multiplos

de h/c. Em 1961, duas medicoes independentes do fluxo quantico magnetico for-

neceram uma verificacao da teoria do emparelhamento (24; 27). Os experimentos

encontraram que o fluxo quantico era somente a metade da quantidade prevista por

London, indicando que a unidade de carga relevante e a de um par de eletrons.

Em 1962, pensando sobre a possibilidade do tunelamento de eletrons empare-

lhados atraves de uma barreira, Brian Josephson previu exoticas propriedades para

uma corrente direta (dc) e alternada (ac) atraves de uma juncao supercondutora e

Introducao 5

Figura 1.2: Primeira observacao experi-mental do efeito Josephson feita em 1963por John Rowell. No eixo y e mos-trado a corrente crıtica atraves da juncaoem funcao do campo magnetico aplicado,no eixo x. O padrao de interferenciae a reducao da amplitude em tres or-dens de grandeza eliminou os argumentoscontrarios as previsoes de Brian Joseph-son. O grafico foi extraıdo do artigo origi-nal Phys. Rev. Lett. 11, 200 (1963)

os efeitos da interferencia quantica (53). O tunelamento de eletrons emparelhados

era considerado como impossıvel ate que Rowell e Philip W. Anderson confirmarem

experimentalmente as previsoes de Josephson (3; 99). A Fig. 1.1 mostra a primeira

observacao experimental do efeito Josephson feita por Jonh Rowell em 1963 que pos

fim a controversia dos resultados antecipados por Josephson. A interferencia entre

duas juncoes de tunelamento supercondutoras paralelas foi observada pela primeira

vez por um cientista da Ford (51). Eles introduziram o acronimo SQUID - super-

conducting quantum interference device - para esse novo dispositivo de interferencia

quantica supercondutora.

Apos a segunda guerra mundial, houve um enorme interesse pela procura de

novas famılias supercondutoras que proporcionassem implementacoes tecnologicas.

Bernard Matthias e John Hulm na Alemanha foram pioneiros nessa atividade, por

volta dos anos de 1950. Extensivas investigacoes nesse sentido resultaram na desco-

berta de milhares de supercondutores. Sem duvida, a mais espetacular achado dessa

abordagem veio tres decadas mais tarde com a descoberta da supercondutividade

nos cupratos lamelares por Georg Bednorz e Karl Alexander Muller nos laboratorios

da IBM em Zurique - Suıca (9).

Muitos compostos binarios interessantes de metal-metaloides foram encontrados

nos anos anteriores a descoberta de Bednorz e Muller, particularmente aqueles como

o V3Si e Nb3Sn (47; 73). A temperatura de transicao supercondutora mais elevada

conhecida naquela epoca, pouco acima de 20 K, foi encontrada na famılia desses

Introducao 6

Figura 1.3: As medidas experimentaisde Nb3Sn transportado elevadas correnteseletricas em presenca de campo magneticotornou os supercondutores aplicaveis naconstrucao de magnetos de alta potencia.No eixo y e mostrada a corrente crıticamedida em amperes e no eixo x o campomagnetico medido em kilogauss para dife-rentes secoes transversais se temperaturas.A Figura foi extraıda do artigo original deJ. E. Kunzler et al., Phys. Rev. Lett. 689. (1961)

compostos binarios. NbTi, uma liga com celula unitaria cubica de corpo centrado

tem se tornado o pilar da tecnologia de magnetos nos dos dias presentes, como

mostrado na Fig. 1.3 extraıda do artigo original de 1961.

Em 1961 Eugene Kunzler e colaboradores encontraram que amostras de Nb3Sn

suportavam elevadas correntes (excedendo 150 kiloamps) em campo magneticos

acima de 8.8 Teslas (60).

Vortices nos supercondutores fornecem um exemplo altamente acessıvel de ob-

jetos unidimensionais interagindo atraves de um simples potencial em presenca de

desordem controlada. Essas maleaveis linhas de fluxo magneticos mostram um com-

plexo comportamento no equilıbrio refletindo a natureza de fases lıquidas, cristalinas

e amorfas. Alem disso, elas podem ser submetidas a uma forca externa atraves da

aplicacao de uma corrente, permitindo que estados estacionarios constituıdos com

a dinamica dos movimento dos vortices sejam estabelecidos e explorados. Como

as fases de equilıbrio, as fases dinamicas exibem notavel complexidade, incluindo

diversos tipos de movimento plastico e elastico separados por novas fases dinamicas.

O controle dos vortices nos supercondutores de alta temperatura crıtica com

base nos filmes finos tem possibilitado o desenvolvimento de tecnologias como o

transporte de altas correntes eletricas em fios e cabos supercondutores imersos em

Introducao 7

Figura 1.4: Fio supercondutor flexıvel de multi-filamento feito com supercondutorde alta temperatura crıtica Bi2Sr2CaCu2O8 (BSCCO) e imersos em uma envoltoriade prata. O material supercondutor e inserido na forma de po em um conjunto depequenos tubos no interior de uma cabo de prata, mostrado na parte central dafigura. Em seguida o cabo e prensado e submetido a tratamento termico ate formaum cabo plano e flexıvel. A foto pertence a American Superconductor Corp.

um meio metalico. Muitas das potenciais aplicacoes requerem uma densidade de

corrente elevada com um mınimo de dissipacao, condicao que necessita a imobi-

lizacao ou ancoramento dos vortices contra a forca de Lorentz induzida por uma

corrente externa. Como um resultado pratico desse esforco, a Fig. 1.4 mostra um

fio supercondutor constituıdo por uma centena de micro fios de Bi2Sr2CaCu2O8

(BSCCO) embebidos num envoltorio de prata. Nos dias atuais, o conhecimento

necessario para impulsionar a performance de supercondutores foi gerada prelimi-

narmente por engenheiros e cientistas de materiais trabalhando empiricamente em

problemas especıficos. Agora, um cenario muito mais fundamental e detalhado da

fısica de vortices tem emergido, para o ponto onde princıpios gerais desenvolvidos

nos ultimos anos podem ser utilizados para entender e controlar o comportamento

dos vortices.

Capıtulo 2

Teoria de Ginzburg-Landau

Vitaly L. Ginzburg e Lev Landau desenvolveram uma teoria fenomenologica ba-

seada na teoria de transicao de fase de segunda ordem anteriormente desenvolvida

por Landau. Eles introduziram a funcao de onda ((r) para os eletrons supercon-

dutores como um parametro de ordem complexo nao nulo quando T < Tc e zero

para T ! Tc. O parametro de ordem introduzido e relacionado com a densidade dos

eletrons supercondutores ns pela expressao |((r)|2 = ns/2.

A teoria de Ginzburg-Landau expressa a energia livre associada ao estado su-

percondutor em termos de uma expansao em potencias do parametro de ordem.

Proximo da transicao supercondutor/normal, que ocorre a temperatura crıtica Tc,

o parametro de ordem e pequeno, permitindo escrever a energia livre na seguinte

forma:

F =

!dv

V

"")(T ) |((r)|2 +

1

2*(T ) |((r)|4 +

+!2

2m!

####

$#" ie!

!cA(r)

%((r)

####2

+1

8$|#$A|2

&, (2.1)

onde )(T ) e *(T ) sao parametros fenomenologicos especıficos do material, e e!

e m! sao a carga e a massa dos pares de Cooper com valores duas vezes a de

um eletron. Existem formulacoes mais gerais que tambem consideram os termos

|((r)|6 e |((r)|2#|((r)|2 alem dos termos presentes na Eq. (2.1). Contudo, es-

sas formulacoes mais gerais adicionam correcoes muito pequenas. Os parametros

)(T ) e *(T ) podem ser reescritos de forma que suas dependencias explıcitas com a

Teoria de Ginzburg-Landau 9

temperatura e da forma

)(T ) = )0(T " Tc) (2.2)

*(T ) = * (2.3)

com )0 e * maiores do zero.

A determinacao do parametro de ordem ((r) deve ser feita de uma maneira que

a energia livre da Eq. (2.1) e minimizada. Explicitamente, essa condicao impoe que

+F

+(!= 0, (2.4)

+F

+A= 0, (2.5)

resultando, respectivamente, na primeira e segunda equacao de Ginzburg-Landau

" )(T )((r) + *(T )((r) |((r)|2 " !2

2m!

$#" ie!

!cA(r)

%2

((r) = 0 (2.6)

#$#$A(r) ="ie!!2m! [(!(r)#((r)" ((r)#(!(r)]" e2

m!c|((r)|2 A(r) (2.7)

A condicao de contorno associada a Eq. (2.6) sao da forma

$#" ie!

!cA(r)

%· n((r) =

1

b((r), (2.8)

onde o valor de b depende do tipo de interface entre o material supercondutor e o

meio exterior. Alguns casos podem ser considerados da seguinte forma:

b =

'(((()

((((*

+% se o meio exterior for isolante ou vacuo

> 0 se o meio exterior for um metal no estado normal

0 se o meio exterior for magnetico

< 0 se o meio exterior for um supercondutor com um Tc mais elevado

(2.9)

O caso b & % corresponde a situacao em que a densidade de corrente super-

condutora nao pode fluir para fora do supercondutor. Com uma escolha apropriada


para o “gauge”do potencial vetor, a Eq. (2.8) pode tornar-se equivalente a condicao

de contorno de Neumman. Este e o caso mais importante entre os apresentados na

Eq. (2.9). Explicitamente, a Eq. (2.8) torna-se

$#" ie!

!cA(r)

%· n((r) = 0. (2.10)

Valores positivos de b correspondem a um meio exterior condutor enquanto que

valores negativos correspondem a um meio magnetico.

A condicao de contorno associada a Eq. (2.7) exige que longe do supercondutor

o campo local seja igual ao campo aplicado

limr$%

H(r) = Hext. (2.11)

Essa condicao pode ser aplicada em termo do potencial vetor, tal que,

limr$%

A(r) = Aext(r). (2.12)

2.1 Comprimentos caracterısticos

A teoria de Ginzburg-Landau introduz duas importantes escalas de comprimento:

o comprimento de coerencia %(T ) e o comprimento de penetracao '(T ). A primeira

escala indica o comprimento tıpico das variacoes do parametro de ordem ((r). O

comprimento de coerencia e relacionado com os parametros fenomenologicos )(T ) e

* pela expressao

%(T ) =

+!2

2m!|)(T )| . (2.13)

Como )(T ) e expresso em termos da Eq. (2.2), a dependencia da temperatura no

comprimento de coerencia assume a forma

%(T ) ' (Tc " T )&1/2. (2.14)

A segunda escala indica o comprimento tıpico das variacoes do campo magnetico

H(r). O comprimento de penetracao '(T ) e relacionado com )(T ) e * pela ex-


pressao

'(T ) =

+m!c2*

16$|)(T )|e2(2.15)

Utilizando-se novamente a Eq. (2.2) nos determinamos o comportamento do

comprimento de penetracao em funcao da temperatura, correspondendo a seguinte

forma:

'(T ) ' (Tc " T )&1/2 (2.16)

2.2 Os dois tipo de supercondutores

A razao entre o comprimento de penetracao '(T ) e o comprimento de coerencia %(T )

define a constante de Ginzburg-Landau ! = '(T )/%(T ). Os diferentes valores para a

razao dos comprimentos caracterısticos resulta em dois tipos de comportamento para

os supercondutores. Os supercondutores do tipo I correspondendo aos materiais que

possuem ! < 1/(

2 e os do tipo II correspondendo aos que possuem ! > 1/(

2.

Nos supercondutores tipo-I o material supercondutor apenas apresenta a fase

Meissner, que correspondo a uma completa expulsao do campo magnetico no interior

do material para campos magneticos inferiores ao campo crıtico Hc. Para campos

mais intensos a supercondutividade e destruıda.

Nos supercondutores tipo-II, os campos magneticos com intensidade menores

do que Hc1, o campo crıtico superior, sao completamente expulsos do interior do

supercondutor. Para intensidade no intervalo Hc1 < H < Hc2, com Hc2 sendo o

campo crıtico superior, o campo magnetico penetra no material por meios de tubos

de fluxos magneticos contendo um numero inteiro de unidades de fluxos quanticos

#0. Para campos mais intensos que Hc2 a supercondutividade e destruıda.

2.3 A corrente supercondutora e a magnetizacao

A densidade de corrente e obtida a partir da Eq. (2.7) e com a lei de Ampere

J ="ie!!2m! [(!(r)#((r)" ((r)#(!(r)]" e2

m!c|((r)|2 A(r) (2.17)


A resposta magnetica do supercondutor a um campo externo e obtida direta-

mente da distribuicao de corrente no interior do meio, de acordo com a expressao

da eletrodinamica classica

M =1

2c

!dv

Vr $ J (2.18)

A expressao acima possibilita extrair informacao sobre a componente da mag-

netizacao paralela ao campo Hext e tambem sobre as componentes perpendiculares.

Uma outra forma de obter a resposta magnetica do supercondutor e calcular a dife-

renca entre o campo externo e a media do campo local

M =Hext " )H(r)*

4$(2.19)

onde Hext e o campo externo e H(r) = #$A(r) e o campo local determinado pela

Eq. (2.7).

2.4 O regime linear e o de ! ! 1

As Eq. (2.6) e (2.7) sao a base para a determinacao do parametro de ordem e do

potencial vetor associados com a supercondutividade. Essas duas equacoes precisam

ser solucionadas conjuntamente, pois estao acopladas. Contudo, existem algumas

situacoes que permitem o desacoplamento e simplificacao dessas equacoes. Duas

situacoes sao particularmente interessantes, pois permitem obter solucoes analıticas

para o parametro de ordem.

O primeiro regime corresponde ao limite linear da Eq. (2.6), conhecido como

teoria de Ginzburg-Landau Linearizada. De acordo com a Eq. (2.6), o parametro de

ordem e determinado por uma equacao diferencial envolvendo um termo proporcio-

nal a ((r) e um termo proporcional a ((r)|((r)|2. Se considerarmos que ((r) + 1,

nos podemos eliminar o termo de ordem mais alta, tal que

((r) + ((r)|((r)|2 , ((r) (2.20)

A equacao resultante torna-se identica a equacao de Schrodinger para uma partıcula

de carga e! e massa m! em presenca de um campo magnetico H(r) = ! $A(r),


cujos metodo de resolucao sao bem conhecidos. A condicao de que ((r) seja pequeno

pode ser obtida quando T esta bastante proximo de Tc e o campo magnetico esta

proximo de Hc2. Apesar das solucoes obtidas com a aproximacao linear possuırem

validade restrita a campo e temperatura proximo aos valores crıticos, e possıvel

descrever o comportamento do supercondutor muito abaixo de Tc e a qualquer campo

expandindo o parametro de ordem em termos das funcoes obtidas com a aproximacao

linear.

O segundo regime corresponde a um comprimento de penetracao '(T ) muito

maior do que o tamanho da amostra. Essa condicao faz com que o campo magnetico

atravesse completamente o supercondutor sem sofrer variacoes locais, permitindo

que as Eq. (2.6) e (2.7) sejam desacopladas. O potencial vetor da Eq. (2.7) torna-

se igual ao potencial vetor associado ao campo externo. Essa condicao e obtida

nos supercondutores que possuem ! ! 1, os chamados supercondutores fortemente

tipo-II.

H(r) = Hext(r) = #$A(r) (2.21)

Ao longo de toda a tese nos utilizaremos o limite de ! ! 1 na obtencao dos esta-

dos de vortices em diferentes distribuicoes de campo magnetico e nas varias formas

dos supercondutores. Nessa aproximacao, a energia livre torna-se um funcional que

depende apenas do parametro de ordem.

2.5 Incorporando as condicoes de contorno no fun-

cional de energia

O grande entrave para encontrar os extremais do funcional da energia livre descrito

na Eq. (2.1) e aplicar as condicoes de contorno Eq. (2.4) e (2.5) as equacoes di-

ferenciais das Eq. (2.6) e (2.7) pois exige que a cada geometria a formulacao das

fronteiras seja representada em um sistema de coordenadas especıfico. Para in-

corporar as condicoes de contorno diretamente no funcional da energia livre, nos

utilizamos uma versao modificada da teoria de Ginzburg-Landau. A ideia basica e

introduzir uma funcao escalar tipo degrau descrevendo as regioes supercondutoras


e nao supercondutoras. O funcional de energia nessa nova formulacao e

F =

!dv

V

"",1(r))(T ) |((r)|2 +

1

2*(T ) |((r)|4 +

+!2

2m! ,2(r)

####

$#" ie!

!cA(r)

%((r)

####2

+1

8$|#$A|2

&, (2.22)

A minimizacao da Eq. (2.22) em relacao ao parametro de ordem (!(r) e ao

potencial vetor A(r) fornece as correspondentes equacoes de movimento:

",1(r))(T )((r) + *(T )((r) |((r)|2 " !2

2m! ,2(r)

$#" ie!

!cA(r)

%2

((r) +

+!

2m!#,2(r) ·$#" ie!

!cA(r)

%((r) = 0 (2.23)

J(r) = ,2(r)

,"ie!!2m! [(!(r)#((r)" ((r)#(!(r)]" e2

m!c|((r)|2 A(r)

-(2.24)

com #$#$A(r) = J(r). A diferenca entre a Eq. (2.23) e a Eq. (2.6) consiste na

presenca do termo proporcional ao gradiente da funcao ,2(r). No interior das regioes

descritas por essa funcao, o gradiente e sempre nulo, tornando a Eq. (2.23) identica

a Eq. (2.6). Na fronteira, unica regiao onde ,(r) muda de valor, o gradiente diverge

num comportamento similar a uma funcao delta de Dirac. Para que possamos obter

uma solucao finita, a expressao

!2m!#,2(r) ·

$#" ie!

!cA(r)

%((r) = 0 (2.25)

precisa ser satisfeita. Como consequencia imediata da Eq. (2.25), o parametro de or-

dem passa a obedecer a condicao de contorno de Saint James-de Gennes, Eq. (2.10).

As funcoes ,1(r) e ,2(r) possuem as seguintes propriedades:

se ,1(r) = 1 e ,2(r) = 1 o meio e supercondutor (2.26)

se ,1(r) = 0 e ,2(r) = 0 o meio e isolante/vacuo (2.27)

se ,1(r) = 0 e ,2(r) = 1 o meio e metalico (2.28)


Para a situacao da Eq. (2.26), nos recuperamos o funcional da energia livre de

Ginzburg-Landau. Na situacao da Eq. (2.27), a contribuicao negativa e o termo de

energia cinetica do funcional sao removidos de maneira que a solucao para Eq. (2.22)

e obtida apenas com ((r) = 0, ou seja, estamos descrevendo um meio isolante ou

vacuo. A ultima situacao, descrita pela Eq. (2.28), apenas remove a contribuicao

negativa do funcional de energia preservando o termo de energia cinetica. Nessa

situacao o parametro de ordem tende a se anular para minimizar a energia, mas

ele tambem tende a se adaptar ao campo magnetico, fazendo com que a |((r)|2

exista nessa regiao na forma de flutuacoes. Como pode ser observado na Eq. (2.24),

a densidade de corrente que flui entre os meios descritos por ,1(r) e preservada,

descrevendo efetivamente um meio metalico. O parametro de ordem decai continu-

amente no interior da regiao descrita por ,1(r) = 0 e ,2(r) = 1.

2.6 A magnetizacao em supercondutores tipo-II

extremos

No limite que ! ! 1, o campo magnetico atravessa o material completamente de

forma que a equacao Eq. (2.19) nao pode ser aplicada para determinar a magne-

tizacao. De forma a obter a resposta magnetica nesses supercondutores, nos precisa-

mos impor que a magnetizacao gerada pela densidade de corrente no supercondutor

corresponda ao estado Meissner em campos magneticos proximos de zero. Esse

procedimento pode ser traduzida pela introducao do fator de demagnetizacao da

seguinte forma:

M ' =1

2c

!dv

Vr $ J (2.29)

M = D · M ' =.

i,j=x,y,z

DijM'i i (2.30)

onde D e o tensor de demagnetizacao. O valor dos coeficientes do tensor e determi-

nado pela condicao do estado Meissner

4$M + H = 0. (2.31)

Que permite determinar univocamente as componentes da magnetizacao M . A


introducao do fator de demagnetizacao da Eq. (2.30) pode ser interpretado como

a introducao de uma constante que normaliza as componentes da magnetizacao de

forma que elas correspondam ao estado Meissner.

2.7 Unidades reduzidas

Ao longo de toda a tese, nos trabalharemos com unidades reduzidas de forma

que os resultados sao independentes das propriedades especıficas de determinado

material. As distancias serao medidas em unidade do comprimento de coerencia

% = !/(

2m!), o parametro de ordem em unidade de (0 =/

)/*, o potencial vetor

em unidade de #0/2$%, o campo magnetico sera medido em unidades do campo

crıtico superior Hc2 = #0/2$%2 = !(

2Hc e a energia em termos de F0 = H2c /4$

em que Hc =/

4$)2/* e o campo crıtico termodinamico e ! e a constante de

Ginzburg-Landau. A densidade de corrente supercondutora e expressa em unidades

de j0 = e!2"m! (

#$ )2.

Em termos dessas unidade, nos podemos reescrever o funcional de energia livre

da Eq. (2.1) na seguinte representacao

F =

!dv

V

"" |((r)|2 +

1

2|((r)|4 +

+ |[#" iA(r)] ((r)|2 + !2 |#$A|2&

, (2.32)

Nessa nova formulacao, a densidade dos pares de Cooper |((r)|2 assume valores

entre 0 e 1, o campo magnetico assume intensidade com valores tıpicos de ate 2 e a

energia e expressa com valores entre -1 e 0.

Capıtulo 3

Supercondutoresnano-estruturados com inclusoesmesoscopicas

Neste capıtulo vamos estudar solucoes periodicas da teoria de Ginzburg-Landau

tridimensional. Aqui abordamos os efeitos nos vortices produzidos por centros de

aprisionamento (pinning centers) com tamanho %. A periodicidade introduz o con-

ceito de celula unitaria, mas resultados fısicos devem ser invariantes sob esta escolha.

Uma particularidade da celula unitaria e que ela tem condicoes de contorno quase-

periodicas, necessarias para descrever uma rede cubica (veja o apendice A.1). Esse

sistema e estudado aqui atraves de uma versao modificada da teoria de Ginzburg-

Landau que considera as regioes supercondutoras e nao-supercondutoras da mesma

forma e satisfaz as condicoes de contorno durante o procedimento de minimizacao.

O assunto sera aqui discutido e os efeitos desta escolha nos nossos resultados. Dois

problemas distintos sao estudados neste capıtulo, aos quais chamamos de supercon-

dutor poroso e a linha em zigzag.

A compreensao da energia de superfıcie que separa o estado supercondutor do

isolante trouxe um avanco fundamental para a Supercondutividade. A nossa in-

tuicao fısica frequentemente nos indica que a homogeneidade deve corresponder a

um estado de menor energia e maior estabilidade do que o estado heterogeneo. A

heterogeneidade associam-se mudancas de um parametro fısico em questao, como

a densidade, e tal nos parece ser mais custoso em termos de energia. Entretanto,

o caso do supercondutor revelou-se contra intuitivo neste aspecto. De longa data

investigou-se a possibilidade de um supercondutor se subdividir em sub-domınios,

isto e, em filamentos internos onde o campo aplicado esta presente e o estado su-

Supercondutores nano-estruturados com inclusoes mesoscopicas 18

percondutor e excluıdo. Isto tras a tona a questao da homogeneidade versus a

heterogeneidade devido a possibilidade de coexistencia de duas regioes mutuamente

exclusivas, associadas ao magnetismo e a supercondutividade. Para saber qual e

o arranjo final e preciso caracterizar o decaimento de cada uma delas na presenca

da outra. Isto e definido atraves de dois comprimentos caracterısticos, ' e %, res-

pectivamente. O importante resultado que advem da teoria de Ginzburg-Landau

e que no caso mais simples de uma interface plana e infinita separando estes dois

meios o custo energetico e negativo para a energia magnetica ("'H2c /8$) e positivo

para a supercondutora (%H2c /8$) . Entao a energia superficial total desta interface e

(("'+%)H2c /8$) e fica evidente que a comparacao entre o tamanho destes dois com-

primentos e fundamental. Foi Abrikosov quem propos a existencia destes domınios

e portanto previu a existencia de dois tipos de supercondutores, os chamados do

tipo I para ! = '/% < 1/(

2 e II para ! > 1/(

2. Mas ele foi alem de simplesmente

prever a fragmentacao do supercondutor em domınios. Tambem previu que eles

ocorreriam na forma de vortices que sao caracterizados pelo comportamento da fase

supercondutora. Muito embora esta nao seja mensuravel, efeitos particulares resul-

tam dela. No caso para um supercondutor volumetrico (sem fronteiras) a variacao

da fase em 2$ ao redor do vortice implica na quantizacao do seu fluxo magnetico.

No caso do supercondutor mesoscopico, como veremos, o fluxo magnetico do vortice

nao e necessariamente quantizado.

Aqui nesta tese vamos analisar o estado de vortices num supercondutor poroso

definido pela presenca de regioes no seu interior que nao sao supercondutoras e sim

isolantes ou metalicas. Por outro lado definimos como supercondutor homogeneo

aquele sem nenhum defeito onde a rede de vortices e perfeita. Surpreendente-

mente encontramos que o supercondutor poroso pode ter energia menor do que

o homogeneo para certo valores de campo e de tamanho dos poros aqui tomados

como esferas de raio R. Portanto concluı-se ser vantajoso ao estado supercondutor

induzir a nucleacao de poros para reduzir a sua energia muito embora este processo

de reducao nao seja aqui estudado.

No problema classico do caixeiro viajante (95), o vendedor precisa encontrar o

caminho mais curto que conecta diversas cidade situadas em posicoes bem definidas

que ele tem visitar. Esse e um problema de minimizacao que no caso de um grande

numero de cidades, apresenta muitos mınimos locais. Isto significa que existem mui-

tos caminhos com comprimento proximo a rota mais curta. Semelhante ao caixeiro


viajante, nos podemos nos perguntar qual e o maximo caminho que uma linha de

vortice pode alcancar dentro de um supercondutor com centros de ancoragens.

3.1 Transicao para um supercondutor com cavi-

dades isolantes

Muito tempo atras Ovchinnikov (89) investigou varios tipos inclusoes em mate-

riais supercondutores. Ele determinou uma expressao para determinar o numero

de ocupacao de vortices por um defeito colunar em um supercondutor infinito.

A questao aqui e definir quais inclusoes podem ser consideradas como paredes de

domınio, espontanea nucleacao dentro do supercondutor por razoes energeticas.

Nessa secao nos consideraremos um supercondutor tipo-II extremo (! ! 1) com

regioes nao supercondutoras em seu interior, que nos chamamos de cavidades ou de-

feito, com tamanho topico de % e separado por uma dezena de %. O fato que cavidades

introduzem novas propriedades nos supercondutores foi mostrado anteriormente por

Doria e Zebende (37). Contudo, cavidades podem ser isolantes ou metalicas e isto

tem importantes consequencias para as propriedades desses supercondutores.

Os presentes resultados suportam a visao de cavidades isolantes como paredes de

domınio espontaneamente nucleadas dentro do supercondutor por razoes energeticas.

Em ambos os casos, o supercondutores porosos compartilham propriedades similares

as dos supercondutores homogeneos, como por exemplo o aprisionamento multiplos

de vortices por um unico defeito (20), meta-estabilidade nas proximidades dos cam-

pos de transicao (120) e estados de vortices gigantes (103; 105). Supercondutividade

superfıcial interna acima do campo crıtico superior Hc2 e somente possıvel para cavi-

dades isolantes (30; 37). Aqui nos mostramos que somente para cavidades isolantes,

mas nao para cavidades metalicas, os supercondutores porosos apresentam uma

subita mudanca do balanco energetico, descrito pela diferenca da energia livre,

#F = Fhomo " Fc (3.1)

entre o supercondutor poroso e o homogeneo. Essa diferenca #F muda de sinal

acima de uma inducao magnetica crıtica B!, localizada proxima e abaixo do campo

crıtico superior Hc2. O supercondutor poroso metalico sempre possui energia mais

positiva do que o supercondutor homogeneo, #F < 0, apesar do volume super-


condutor ser maior na caso das cavidades metalicas por causa dos efeitos de pro-

ximidade dentro da cavidade. De alguma maneira as propriedade que definem a

cavidade isolante, nominalmente aquela onde a componente da corrente normal a

parede da cavidade desaparece (100),, exercem uma importante influencia neste ba-

lanco energetico. Em conclusao, #F > 0 e somente possıvel em cavidades isolantes

e acima de um campo crıtico B!, cujas propriedades, como a dependencia com o

raio da cavidade, sao determinadas nesta secao, generalizando os dos trabalhos de

Doria e Zebende (37). O presente estudo pode ser de relevancia para a fabricacao

de supercondutores tridimensionais porosos, filmes supercondutores artificialmente

fabricados (80) com uma rede regular de buracos abertos - open holes (12), e de

buracos cegos - blind holes (15).

Nesta secao, nos estudamos a inducao magnetica crıtica B! no supercondutor

poroso modelado por esferas de raio R, com comprimento igual ou maior do que %,

formando uma rede periodica cubica, onde nos obtemos as seguintes propriedades:

a dependencia com o raio da esfera e com a densidade de cavidade 1/L3 para esferas

isolantes, L sendo a distancia entre duas cavidades consecutivas na rede cubica. Nos

encontramos que a diferenca na energia livre pode alcancar 10&3H2c /4$ para uma

rede tıpica de L = 12.0% de cavidades isolantes tratadas aqui.

A cavidade pode aprisionar varios vortices simultaneamente em seu interior.

Para entender esse processo, considere uma cavidade vazia que exerce um potencial

atrativo sobre um vortice externo. Uma vez capturado, o novo sistema vortice-

cavidade formado exerce uma nova barreira de potencial sobre um outro vortice

externo. que e repulsiva longe da cavidade e atrativa perto da mesma. O processo

de captura pode continuar ate que um numero maximo de vortices e alcancado, que

e justamente o limite de saturacao da cavidade. Quando os vortices externos encon-

tram a energia requerida para a entrada de um novo vortice para dentro da cavidade,

o sistema torna-se meta-estavel. Cavidades podem provocar a interseccao das linhas

de vortices apenas dentro delas pois fora das cavidades a repulsao entre as linhas

de vortices torna-se dominante. O numero de vortices aprisionados aumenta com

a inducao magnetica e eventualmente atinge um limite de saturacao. Proximo do

campo crıtico superior a repulsao dos vortices enfraquece e a pressao exercida pelos

vortice externos a cavidade sobre os vortices aprisionados e forte o suficiente para

produzir vortices gigantes na cavidade. O processo de aprisionamento de vortices

pela cavidade ocorre de modo semelhante ao processo de captura de Mkrtchyan ans


Schmidt (78; 89), que encontraram tempo atras o limite de saturacao R/2%, para

um defeito colunar de raio R.

Figura 3.1: Graficos da iso-superfıcie de uma rede supercondutora cubica de ladoL = 12.0% contendo uma cavidade por celula unitaria de diferentes tamanhos enatureza. (a) Cavidade metalica de raio R = 2.0% e N = 1 vortice na celulaunitaria (#F < 0), |((r)|2iso = 0.34, |((r)|2max = 1.00; (b) Cavidade metalica deraio R = 3.0% e N = 18 vortices na celula unitaria (#F < 0), |((r)|2iso = 0.14,|((r)|2max = 0.42; (c) Cavidade isolante de raio R = 2.0% e N = 9 vortices na celulaunitaria (#F < 0), |((r)|2iso = 0.28, |((r)|2max = 0.84; (d) Cavidade isolante deraio R = 4.2% e N = 22 vortices na celula unitaria (#F > 0),|((r)|2iso = 0.11,|((r)|2max = 0.32

A seguir vamos explicar nosso procedimento numerico para encontrar o mınimo

da energia livre. E feita para uma densidade de vortice fixa, nominalmente para N

fluxons furando duas faces paralelas da celula unitaria cubica que corresponde a uma

inducao magnetica B = 2$!N(%/L)2, onde L e o lado da celula unitaria cubica e

N e o numero de vortices nesta celula. Obviamente que os nossos resultados devem

permanecer validos para diferentes celulas unitarias. A escolha de celulas unitarias

maiores contendo mais de uma cavidade no seu interior nao necessariamente nos


levaria a resultados diferentes, mas consumiria muito mais recursos computacionais

nos calculos numericos. Como nos nao estamos incluindo as correntes de blindagem,

o campo magnetico e constante e igual a inducao magnetica em todo o espaco. A

configuracao mais simples possıvel de ser analisada consiste de uma celula unitaria

com um unico defeito no seu centro. Para descrever a celula unitaria, uma malha

de P 3 pontos e usada, e para a presente simulacao, a distancia entre dois pontos

consecutivos na malha e 2/3%, tal que L = 2%(P"1)/3. Nos mostramos na Fig. 3.1 a

distribuicao tridimensional da densidade dos pares de Cooper na celula unitaria para

algumas configuracoes selecionadas, obtidas usando uma resolucao de 103 pontos na

malha para descrever uma celula unitaria com lado igual a 12.0%. A Fig. 3.1(a)

mostra uma cavidade metalica de raio R = 2.0% com N = 1 enquanto a Fig. 3.1(b)

mostra uma cavidade metalica com raio R = 3.0% e N = 18 onde essa configuracao

apresenta 6 vortices formando um anel central em torno da cavidade com um unico

vortice aprisionado. Fig. 3.1(c) mostra uma cavidade isolante com R = 2.0% com

N = 9. Essa configuracao contem 2 vortices dentro da cavidade. Fig. 3.1(d) mostra

uma cavidade isolante de raio R = 4.2% com N = 22. Essa configuracao contem 9

vortices formando um anel central em torno da cavidade com 3 vortices aprisionados

proximos de se colapsarem em um vortice gigante. As Figs. 3.1(a), 3.1(b) e 3.1(c)

possuem #F < 0 enquanto que 3.1(d) e a unica que possui uma configuracao com

#F > 0. Para densidades de vortices altas a repulsao entre os vortices e fraca o

suficiente para permitir o agrupamento dos vortices em torno do defeito. Isto pode

ser visto em ambas as Figs. 3.1(b) e Fig.3.1(d). Contudo, apenas para a Fig. 3.1(d)

a energia livre e menor do que a energia do supercondutor homogeneo.

A cavidade e descrita por uma funcao tipo degrau, 0 dentro da cavidade e 1 dentro

da regiao supercondutora, onde tomamos uma funcao suave por razoes numericas

,(r) = 1" 2

1 + exp (|r|/R)k, (3.2)

com k = 8.

A cavidade metalica e definida por , '(r) = 1, pois esta condicao permite que o

condensado exista fora do supercondutor como uma flutuacao. Tais flutuacoes nao

sao possıveis se , '(r) = ,(r) (30; 37). O supercondutor homogeneo corresponde a

,(r) = 1 em todo o espaco.

Para entender a mudanca de sinal em #F , vamos comecar por uma celula


unitaria sem vortices (B = 0), que corresponde ao caso o mais simples possıvel.

Neste caso, o supercondutor homogeneo adquire o valor maximo para a densi-

dade em todo o espaco, |((r)|2 = 1, e sua densidade de energia e simplesmente

Fhomo = "0.5. O supercondutor porosos tem energia maior que o supercondutor ho-

mogeneo, como determinado numericamente para cavidades isolantes (L = 12/0%):

Fc = "0.498,"0.486,"0.456,"0.319,"0.303,"0.192, com R variando de 1.0% ate

6.0%, respectivamente. O comportamento da energia e descrito razoavelmente pela

expressao

Fc - (1" Vc/V )Fhomo = (1" 4$R3/3L3)Fhomo. (3.3)

Dentro da cavidade, o parametro de ordem se anula, |((r)|2 = 0, ocasionando

que a energia livre do supercondutor poroso se tornar aproximadamente igual ao

caso do supercondutor homogeneo com o volume da cavidade removida. Contudo,

tambem existe a contribuicao da energia cinetica para Fc, provocado pela curva-

tura do parametro de ordem proximo a superfıcie da cavidade, um efeito que se

torna mais pronunciado em cavidades maiores. A seguir analisaremos um vortice

na celula unitaria. O vortice nucleia sobre a cavidade para tirar proveito da regiao

nao supercondutora ja existente e minimizar o custo da energia total da linha. Para

exemplificar esse argumento, vamos assumir que o nucleo do vortice e um cilindro

de raio igual a %, o que implica que para R " % a cavidade esta totalmente dentro do

nucleo do vortice, situacao que nao ocorre para R ! %. Nesse sentido, na Fig. 3.1(a)

visualiza-se uma situacao com R > % mostrando que existe uma parte do volume da

cavidade fora do nucleo do vortice, e isto tem um custo energetico. Em conclusao, os

supercondutores porosos possuem energia mais elevada do que os supercondutores

livres de defeitos somente se R > % e portanto, como mostrado na Fig. 3.2, #F e

positiva para R = 1.0% e negativa para R = 2.0%. Para mais do que dois vortices na

celula unitaria, diversos efeitos que competem entre si contribuem para determinar

#F . O aprisionamento multiplo de vortices pela cavidade diminui a energia total de

nucleacao desde que o volume da cavidade seja simultaneamente ocupado por mais

de um vortice. A cavidade atua como uma eficiente “rota de cruzamento”e diminui

a soma total da auto-energia dos vortices. Entretanto, a repulsao mutua longe da

cavidade introduz uma curvatura aos vortices com custo energetico oposto, uma

vez que os vortices se tornam mais longos comparados com uma linha de vortice


reta encontrada nos supercondutores homogeneos. Dessa forma, acima da inducao

magnetica B! o balanco energetico e favoravel aos supercondutores porosos em uma

situacao de cavidades isolantes.

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0-15

-12

-9

-6

-3

0

3x 10

-3

empty cell

1 vortex/cell

!F

B/"

L = 12.0#

R = 1.0#

R = 2.0#

Figura 3.2: O comportamento da di-ferenca da densidade de energia li-vre entre um supercondutor com umarede cubica de cavidades isolantes(L = 12.0%) e o supercondutor ho-mogeneo versus a inducao magnetica(#F $ B) para dois tamanhos de ca-vidade, R = 1.0% e 2.0%.

A diferenca entre as energias livres, #F , versus a inducao magnetica, B, e plo-

tada na Fig. 3.2 para dois valores de raio, R = 1.0% e 2.0%, ambos pertencendo a

uma celula unitaria de lado L = 12.0%. Para a cavidade de raio R = 1.0% espera-se

#F > 0 porque a cavidade cabe completamente dentro do nucleo do vortice e dimi-

nui a energia de nucleacao sem custo extra para o estado supercondutor. Contudo,

um comportamento oscilatorio e observado para baixas densidades que desaparece

no limite de altas densidades, acima de B = 0.5!, onde #F > 0. Todos os pontos em

que #F < 0 com R = 1.0% sao configuracoes em que as cavidades nao aprisionaram

vortices. Estes estados sao consequencia da fraca ancoragem dos vortices pela cavi-

dade e da forte repulsao vortice-vortice, tal que para certas densidades de vortices,

o aprisionamento de vortices pela cavidade e menos importante do que um eficiente

ordenamento dos vortices dentro da celula unitaria para minimizar a interacao re-

pulsiva global. Dessa maneira, os pontos na Fig. 3.2 em que #F < 0 e R = 1.0% nao

sao verdadeiramente estados onde os supercondutores porosos sao energeticamente

mais favoraveis do que os livres de defeitos. Eles sao apenas uma consequencia da

celula unitaria escolhida. Esses estados modificam-se para #F > 0, provando que

uma celula unitaria maior e capaz de acomodar a repulsao entre os vortices e ter

todas as cavidades preenchidas com vortices aprisionados. Para a cavidade de raio

R = 2.0%, o aprisionamento e de tal maneira que parte da cavidade permanece fora


do nucleo do vortice adicionando energia cinetica para Fc, resultando em um es-

tado com #F < 0. Dois vortices em uma celula unitaria apresentam um problema

de comensurabilidade, desde que a repulsao vortice-vortice e forte o suficiente para

sobrepor a atracao produzida pela cavidade resultando no nao aprisionamento de

ambos os vortices nos casos em que R = 1.0% e 2.0%. O balanco energetico e sus-

ceptıvel a mais do que dois vortices, como mostrado na Fig. 3.1. Um importante

resultado extraıdo da Fig. 3.2 e que para ambos os raios, o estado do supercondutor

somente torna-se estavel para uma inducao magnetica maior do que B! - 0.6!.

0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

1,5 Cavidade Isolante

!F

B/"

R = 2.0#

L = 19.3#

L = 11.3#

x 10-3

Figura 3.3: Diferenca da densidadede energia livre entre um supercon-dutor com uma rede cubica de cavi-dades isolantes (L = 12.0%) e o super-condutor homogeneo versus a inducaomagnetica (#F $B) para um tipo decavidade (R = 2.0%) e dois tamanhosde celula unitaria L = 11.3% e 19.3%.

Considerando o problema de um supercondutor com apenas uma cavidade iso-

lante, que e obtido no limite L &% de uma celula unitaria e utilizando os presentes

resultados obtidos para a rede, nos encontramos evidencias de que o supercondutor

com apenas uma cavidade possui energia mais baixa do que em supercondutores

livres de defeitos acima de uma certa inducao magnetica crıtica. Para alcancar

essa conclusao nos consideramos diferentes densidades de cavidade, especificamente,

L = 11.3% e L' = 19.3%, para um unico tipo de cavidade de raio R = 2.0%. A

Fig. 3.3 mostra que o plato onde #F < 0 possui uma relacao de escala inversamente

proporcional com o volume da celula unitaria. Os sistemas com diferentes tama-

nhos estao relacionados pela expressao L'3#F ' - L3#F com #F ' - 0.24 $ 10&3,

#F ' - 1.2$ 10&3 e (L'/L)3 - 0.2. A inducao magnetica crıtica permaneceu prati-

camente constante em ambos os sistemas, B! - B'! - 0.55!.

O supercondutor poroso metalico e estudado na Fig. 3.4 que mostra curvas #F

versus B para cavidade de raio igual a R = 2.0%, 4.0% e 6.0%. Nos dados obtidos

para os tres raios considerados foi constatado que #F < 0.


0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1-0,32

-0,28

-0,24

-0,20

-0,16

-0,12

-0,08

-0,04

0,00

!F

B/"

R=2.0#

R=4.0#

R=6.0#

Cavidade Metalica

Figura 3.4: Diferenca da densidadede energia livre entre um supercondu-tor com uma rede cubica de cavida-des metalicas (L = 12.0%) e o super-condutor homogeneo versus a inducaomagnetica (#F $B) em cavidades deraio R = 2.0%, 4.0%, e 6.0%. A desi-gualdade -F < 0 e sempre satisfeitaem todos os casos.

O maior tamanho que uma cavidade isolante pode possuir e que satisfaz a relacao

#F < 0 pode ser extraıdo a partir da Fig. 3.5 que mostra diversos conjuntos de pares

de dados (#F, B), onde cada conjunto tem seus pontos conectados por uma linha

reta. Os conjuntos estao associados a cavidades de raios distintos compreendidos

entre R = 3.0% e 6.0%. Esses pares de dados nao formam curvas suaves devido a

presenca de muitas configuracoes meta-estaveis cujas energias sao muito proximas

em valor. Cavidades com um raio grande sao energeticamente desfavoraveis pois

removem uma consideravel fracao da celula unitaria fazendo a energia livre subir de

acordo com a Eq. 3.3. Elas tambem requerem uma grande quantidade de energia

de superfıcie para a nucleacao de vortices devido a curvatura do parametro de or-

dem perto da interface. Consequentemente, todas as curvas de #F encontram-se

fortemente imersas dentro da regiao negativa para baixos valores de B, como indi-

cado pela Fig. 3.5. Mas para B > 0.7! a situacao muda e uma inducao magnetica

crıtica existe para cada valor de raio da cavidade. B! e aproximadamente obtido

como a intersecao do eixo B com o segmento de reta conectando os dois pontos #F

imediatamente acima e abaixo do valor 0. B! aproxima-se da inducao magnetica

superior Bc2 = ! para as cavidades de raio muito grande uma vez que o supercon-

dutor ja esta muito proximo do estado normal e o espaco restante para o estado

supercondutor fora da esfera e encolhido a medida que a cavidade cresce ate ser

completamente removido. Os estados de vortices acima de Bc2 sao estados de su-

percondutividade superficial (37). O subgrafico na Fig. 3.5 mostra B! obtido pelo

metodo aproximado versus R onde podemos concluir que para uma dada inducao

magnetica existem muitos supercondutores porosos energeticamente mais favoraveis


do que os supercondutores livres de defeitos limitados por um raio de cavidade

maxima possıvel.

0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 1,00 1,05

-0,003

-0,002

-0,001

0,000

0,001

0,002

0,003

3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0

0,75

0,80

0,85

0,90

0,95

B*

/!

R/"

#F

B/!

3.0 3.2 3.4 3.6 3.8 4.0

4.2 4.4 4.6 4.8 5.0

5.2 5.4 5.6 5.8

6.0

Insulating Cavity R/"

Figura 3.5: Diferenca da densidadede energia livre entre um supercon-dutor com uma rede cubica de cavi-dades isolantes (L = 12.0%) e o super-condutor homogeneo versus a inducaomagnetica (#F $ B) para valores doraio da cavidade entre R = 3.0% e6.0%, com uma variacao de 0.2%. Osgrafico estao focados na regiao onde#F muda de sinal. No subgrafico emostrada a inducao magnetica corres-pondente a regiao da mudanca do si-nal.

3.2 Propriedades da linha de vortice nos super-

condutores volumetricos com duas inclusoes

mesoscopicas

A ideia basica da teoria de ancoramento - pinning theory e que o vortice nao e

rıgido mas ajustavel a uma distribuicao de defeitos (18; 55; 68). Muitos fatores

podem contribuir para alterar o seu comprimento como as flutuacoes termicas, a

geometria da amostra, a anisotropia e a homogeneidade da amostra. Especialmente

nesse ultimo caso, imperfeicoes dentro do supercondutor podem comportar-se como

centros de ancoragem para os vortices. Por exemplo, em uma amostra plana com o

campo magnetico aplicado perpendicularmente a superfıcie principal, o comprimento

da linha e exatamente a altura da amostra. Contudo, as linhas de vortices ajustam

seu comprimento a distribuicao dos centros de ancoragem de modo a atravessar o

maior numero possıvel dessas regioes resultando em uma linha de vortice maior do

que a altura da amostra. A nucleacao de uma linha de vortice atraves de uma

inclusao mesoscopica e vantajosa (78) em supercondutores porque tanto o nucleo

do vortice quanto o centro de ancoragem sao regioes normais. O compartilhamento

dessa regiao pela inclusao e pelo vortice aumenta o volume supercondutor alem de


diminuir o tamanho do vortice. Contudo, se a linha de vortices passar por todos os

centros de ancoragem, realizando grandes desvios em relacao a uma trajetoria reta,

a auto-energia do vortice adquire valores demasiadamente elevados, resultando em

uma configuracao energeticamente desfavoravel.

O estudo dos efeitos centros de ancoragem e fundamental para o entendimento

dos supercondutores em diversas situacoes (18) e para o desenvolvimento de tecnolo-

gia de dispositivos baseados nesses materiais. A interacao dos centros de ancoragem

com os vortices tem sido estudada atraves de diversas abordagens (18; 55). Amos-

tras supercondutoras estao naturalmente impregnadas com centros de ancoragem e

uma maneira de recriar esse cenario e considerar amostras com centros de aprisi-

onamento artificialmente fabricados (94), com defeitos colunares (20; 69), antidots

(79; 121) e buracos micrometricos (14). Esses supercondutores nano-estruturados

sao interessantes porque trazem questoes chaves sobre as interacoes entre as linhas de

vortices e os centros de ancoragem, como a que estamos interessados aqui referindo-

se ao desalinhamento das linhas de vortices. Uma linha de vortice esta alinhada

com a direcao da inducao magnetica na ausencia de centros de ancoragem, mas em

presenca deles, ela se encurva e adquire uma nova forma apesar dela permanecer

globalmente orientada ao longo da inducao magnetica.

Se considerarmos que podemos controlar os parametros geometricos das inclusoes

mesoscopicas no interior de uma celula unitaria tridimensional, como a posicao e

forma de um centro de ancoramento, nos podemos determinar o comportamento

crıtico da linha de vortice. Por um lado nos podemos diminuir a energia associada

a linha com base nos resultados ja discutidos na secao anterior, posicionando as

inclusoes de forma a obter uma celula unitaria com um unico defeito por celula. Por

outro lado nos podemos aumentar o tamanho da linha de vortice posicionando os

centros de ancoragem em locais especıficos. Tal procedimento permite determinar

o comprimento maximo que a linha pode exibir de modo que a sua energia seja

menor do que a energia associada a uma celula unitaria sem inclusoes, ou seja, um

supercondutor homogeneo.

Para obter a solucao de um vortice em presenca de duas inclusoes mesoscopicas,

nos minimizamos a energia livre de Ginzburg-Landau dentro de uma celula unitaria

assumindo que fluxo magnetico que atravessa as faces do cubo e igual a #0, o que

corresponde a uma inducao magnetica B = 2$! (%/L)2 z. Do ponto de vista da

teoria de Ginzburg-Landau, o ancoramento de uma linha de vortice pode ser cau-


sado por flutuacoes espaciais da temperatura crıtica Tc(r) (68) em uma certa regiao

da amostra ou do livre caminho medio (18) afetando o coeficiente em frente ao

termo de energia cinetica, %2(r)###0#" 2%i

&0A(r)

1((r)

###2

, na expressao do funcional

de energia livre da Eq. (2.1). A interacao entre uma linha de vortice e um centro de

aprisionamento tem sido considerada por muitos autores no contexto da teoria de

Ginzburg-Landau, como pode ser verificado nas referencias (23; 30; 37; 38).

3.2.1 A modelagem das inclusoes

Para estudar o comprimento maximo que uma linha de vortice pode alcancar em

relacao a uma trajetoria reta, nos consideramos um unico vortice proximo a duas

inclusoes mesoscopicas posicionadas de modo a formar uma rede zigzag de centros

de ancoramento. Os centros de aprisionamento modelados aqui sao esferas isolantes

de raio R. Duas abordagem sao utilizadas para estudar o comprimento crıtico do

vortice: na secao 3.2.1.a nos mantemos fixa a distancia entre os centros de anco-

ramento e os rotacionamos em relacao ao campo magnetico, e na secao 3.2.1.b nos

deslocamos os centros de ancoramento em direcoes opostas a partir da posicao cen-

tral da celula unitaria. Em caso de ausencia de inclusoes o vortice e uma linha reta

orientado ao longo do eixo z.

3.2.1.a O modelo de rotacao de duas inclusoes

O modelo consiste de um supercondutor com uma rede cubica de defeitos, descrito

por sua celula unitaria mais simples: um cubo de lado L contendo duas esferas

R

R

L

L

D Figura 3.6: Posicaodos defeitos dentroda celula unitaria.O material supercon-dutor ocupa a regiaocinza e as cavidadesa regiao branca.


isolantes de raio R em seu interior, separadas por uma distancia D de forma que

o centro geometrico das duas esferas isolantes coincidem com o centro da celula

unitaria. A Fig. 3.6 mostra em detalhes o posicionamento das esferas e a definicao

de suas variaveis. Uma distribuicao mais geral para os centros de aprisionamento

e obtida rotacionando o segmento de reta que os une em torno do ponto central

da celula cubica, conforme mostrado na Fig. 3.7. O angulo de rotacao . e definido

entre a direcao da inducao magnetica, denominado eixo z e o segmento de reta de

comprimento D. As linhas de vortice permanecem com a forma de zigzag ate que o

aprisionamento das linhas pelos centros de ancoramento deixa de ser energeticamente

vantajoso em virtude do aumento energetico provocado pela auto-energia associada

a forma de zigzag.

D

D’

Figura 3.7: Visao es-quematica de variascelulas unitarias for-mando a rede de cen-tro de ancoramento.

Em um sistema de coordenadas cuja origem esta no centro da celula unitaria

e os eixos estao orientados ao longo das direcoes principais do cubo, as posicoes

dos centro das cavidades sao r1 = R (sin .x + cos .z) e r2 = "R (sin .x + cos .z)

como especificado na Fig. 3.6. Nesta abordagem, as cavidades sao descritas por

uma funcao degrau, 0 dentro das esferas e 1 fora das mesmas, modulada de maneira

suave para evitar problemas numericos como underflow ou overflow (95), assumindo

a seguinte forma:

,(r) = ,1(r),2(r) (3.4)

,i(r) = 1" 2

1 + exp (|r " ri| /R)k (3.5)


onde k = 8 e i = 1 ou 2. Existem muitas possibilidade para representar uma funcao

degrau em termos de uma funcao geratriz. A escolha de uma forma especıfica na

Eq. (3.5) e apenas uma delas. A escolha do coeficiente k = 8 e feita de maneira que

os resultados numericos nao dependam da forma da funcao geratriz.

Como ,(r) = 0 dentro das esferas isolantes, a Eq. (2.1) tem como solucao trivial

((r) = 0, que inclusive satisfaz a condicao de contorno

n ·2#" 2$i

#0A(r)

3((r)

####interface

(3.6)

na superfıcie das esferas.

3.2.1.b O modelo de deslocamento de duas inclusoes

Nesse modelo nos consideramos uma linha de vortice ancorada por uma rede de

inclusoes que sao esferas isolantes de raio R, da ordem do comprimento de coerencia

%, em uma celula unitaria ortorrombica de altura Lz e base de lado Lx = Ly = L.

O eixo z e a direcao da inducao magnetico. Os defeitos estao igualmente espacados

ao longo do eixo z e assumindo deslocamentos alternados u e "u ao longo do eixo

x. Apesar do zigzag de defeitos se encontrarem em um unico plano, o plano xz, o

problema e genuinamente tridimensional porque os defeitos sao esferas do tamanho

do comprimento de coerencia. A posicao do centro das duas esferas e especificada

pelas coordenadas (L/2" u, L/2, Lz/4) e (L/2 + u, L/2, 3Lz/4), conforme ilustrado

na Fig. 3.8.


Figura 3.8: Visao esquematica doplano central de nove celulas unitariasmostrando as cavidades de raio R des-locadas de u na direcao x. A celulaunitaria e ortorrombica de base L ealtura Lz.

A posicao de todos os outros defeitos na rede sao obtidas por meio de translacoes

da celula unitaria cujas. Nos mostramos o caso de 9 celulas unitarias na Fig. 3.9

onde tambem esta inserido o modelo para estimar o comprimento do vortice que e

ancorado pelas esferas isolantes.

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

u

Figura 3.9: Nove celulas unitarias saomostradas juntas onde a linha solidaconectando as cavidas mostra a tra-jetoria zigzag seguida pelo vortice.


3.2.2 Comportamento crıtico da linha de vortice no modelo

de rotacao

Nesta secao nos descreveremos a transicao de desancoramento em uma rede cubica

de lado L = 12.0% contendo duas esferas isolantes separadas por uma distancia

D = 6.0%. O raio das esferas e variado comecando em 1.2% ate o seu valor maximo

3.0%, que e definido quando as esferas se tocam e tambem tocam as paredes da celula

unitaria. Na variacao de R nos utilizamos incremento de 0.2%.

Para entender o comprimento da linha de vortice nesse modelo, vamos considerar

primeiramente . = 0(. Essa situacao torna o zigzag uma linha reta composta por

dois segmentos de comprimento D e L"D que separam as esferas isolantes. O raio

maximo das esferas isolantes que podem ser postas na celula unitaria e R = L&D2 .

Para um angulo . arbitrario, o segmento de reta conectando o centro da esfera

isolante superior ate o centro da esfera mais proxima (localizada na celula unitaria

vizinha) tem comprimento D' =/

(L"D)2 + 4DL sin2 (./2). Note que a densidade

de centros de ancoramento e independente de . e igual a 2/L3, uma vez que as

cavidades nunca tocam as paredes da celula unitaria. A transicao de desancoramento

e descrita em termos de um angulo crıtico .c ou por um comprimento relativo de

ancoragem, #l/l|c = [l(.c)" l(0()] /l(0(), onde l(.c) e o comprimento crıtico da

linha de vortice ancorada e l(0() e o comprimento formado pelos segmentos D e D'

ao longo do eixo z. Uma analise simples leva a seguinte expressao

#l

l(.) =

4(L"D)2 + 4DL sin2 (./2)" (L"D)

L(3.7)

E mais interessante caracterizar a transicao de desancoramento atraves do com-

primento relativo de ancoragem, Eq. 3.7, porque ele tambem descreve o cresci-

mento relativo da linha de vortice devido a presenca dos centros de ancoragem.

O maximo comprimento que a linha de vortice pode alcancar ocorre em . = 90(.

Assim, para o presente conjunto de parametros, o crescimento maximo relativo e

(#l/l)max = ((

5"1)/2, o que significa que um vortice ancorado pode ser ate 61.8%

maior do que uma linha reta.

A dependencia da densidade de energia livre F em funcao do raio das esferas

isolantes R e mostrado na Fig. 3.10 para diferentes angulos . entre 0( e 72(.

Para entender o crescimento da energia livre em relacao ao raio das esferas vamos


!"# !"$ !"% !"& # #"# #"$ #"% #"& '

!("$'

!("$#

!("$!

!("$

!("')

!("'&

*+,!-

./00+010/23

Figura 3.10: Variacao de F em funcaodo raio do centro de ancoramento Rpara especıficos valores de .. O raiovaria de 1.2% ate 3.0% com um in-cremento de 0.2%. Curvas distintascorrespondem a diferentes valores deangulo iguais a 0(, 9(, 18(, 27(, 36(,45(, 54(, 63( e 72( em ordem ascen-dente como indicado pela flexa.

considerar primeiramente a curva em que . = 0(, que corresponde a situacao de

menor energia na Fig. 3.10. A linha de vortice e ancorada pelas duas esferas que

estao alinhadas ao longo do eixo z e considerando que o nucleo do vortice e uma

regiao descrita por um cilindro nao-supercondutor de raio %, segue imediatamente

que se R " % as duas esferas isolantes serao completamente engolidas pelo nucleo

do vortice. Situacao que nao ocorre no caso que R > %. Essa fracao do volume

da esfera isolante que se encontra fora do nucleo do vortice cresce a medida que o

tamanho das esferas aumenta fazendo que a energia F se aproxime de zero, levando

o sistema para o estado normal pois a fracao do volume supercondutor tambem se

aproxima de zero. Esse comportamento e seguido nao apenas para . = 0(, mas para

qualquer ., como pode ser visto na Fig. 3.10. O procedimento inverso, o de fixar o

raio e variar o angulo, tambem foi realizado como pode ser observado na Fig. 3.11

para diversos raios R compreendidos entre 1.2% e 3.0% separados por um incremento

de 0.2%.

! "! #! $! %! &!! &"! &#! &$! &%!

!!'#(

!!'#"

!!'#&

!!'#

!!'()

!!'(%

!*+,-./--0

1/--*23-/.4 Figura 3.11: Variacao de F em funcao

do angulo . no intervalo de 0( ate180( com um incremento de 3(. Oraio R varia de 1.2% ate 3.0% e paracada incremento de 0.2% resulta emuma curva distinta, as curvas plota-das estao em ordem ascendente indi-cada pela flexa.


As curvas da Fig. 3.11 exibem simetria em relacao ao angulo de 90(, como es-

perado, uma vez que as trajetorias zigzag associados a . e a 180( " . sao imagens

refletidas uma da outra e portanto devem possuir a mesma energia. O mınimo de

energia e obtido com . = 0( e o maximo com . = 90( para qualquer que seja o

raio das esferas e a explicacao para esses valores e baseada na quantidade de volume

supercondutor que cada uma possui. Para . = 0(, as duas cavidades estao alinhadas

com o eixo z e ambas ancoram a linha de vortice, diferentemente de . = 90( em

que apenas uma cavidade ancora a linha de vortice e a outra contribui para reduzir

a energia de condensacao do supercondutor, elevando o seu valor de acordo com a

Eq. 3.8. A transicao de desancoramento ocorre em um angulo entre 0( e 90( apesar

das curvas das Figs. 3.10 e 3.11 nao exibirem nenhuma mudaca de comportamento.

Essa transicao nao e perceptıvel nas curvas F (.) nem em sua derivada em relacao

a ., possivelmente devido a limitacoes numericas ou resolucao da malha discreta

usada em nossos calculos. Em resumo, as Figs. 3.10 e 3.11 exibem diferentes visoes

dos mesmos dados, onde mostram que a densidade de energia livre cresce com R.

A transicao de desancoramento e revelada pelo termo de energia cinetica, Eq. 3.6,

uma vez que essa contribuicao cresce monotonicamente em relacao a ., com mınimo

em 0( e maximo em 90(. A transicao de desancoramento e caracterizada pela mu-

danca da declividade de Fkin, melhor vista nas curvas de dFkin/d.. As Figs. 3.12(a)

e 3.12(b) mostram a energia cinetica e sua derivada versus . para dois valores de raio

selecionados, R = 1.8% e R = 2.4%. Em ambos os casos o termo cinetico se anula em

0( e em 90(, dentro da precisao numerica, ocasionando a existencia de pelo menos

um maximo entre esses dois valores extremos (36).

Como pode ser notado nas Figs. 3.12(a) e 3.12(b), as curvas Fkin vs . exibem

uma estrutura de duas corcovas. O angulo crıtico e definido como sendo a posicao

do mınimo local localizado entre as duas corcovas. O angulo crıtico definido por

esse criterio e listado na tabela 3.1 para os raios considerados entre 1.2% e 3.0%.

A razao para a segunda corcova encontra-se na superposicao do nucleo do vortice

com as duas cavidades. Enquanto o vortice esta ancorado, o nucleo do vortice se

ajusta com uma unica interface comum envolvendo os centros de aprisionamento.

Para angulos maiores do que .c, uma das esferas se desancora, criando duas su-

perfıcies independentes: a do nucleo do vortice e a da superfıcie da cavidade, onde

o parametro de ordem se anula. Tal configuracao acarreta no surgimento de mais

energia cinetica pois o sistema possui contribuicao de duas superfıcies ao inves de


0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

0.032

0.034

0.036

0.038

0.04

0.042

0.044

0.046

! (degree)

Fkin

1.8"

2.4"

(a)

! "! #! $! %! &! '! (! )!

"

#

$

%

&

'

*+"!!%

!+,-./0..1

-23456-!

"7)"

#7%"

(b)

Figura 3.12: O termo de energia cinetica e sua derivada. Em 3.12(a) as curvasFkin $ . para R = 1.8% e R = 2.4%. Em 3.12(b) as correspondentes derivadas.

apenas uma.

O mais importante resultado dessa secao esta resumido na Fig. 3.13, onde o

comprimento crıtico relativo de ancoragem e mostrado, calculado pela Eq. 3.7 para

diversos valores de R, onde os pontos da curva foram obtidos utilizando-se os angulos

.c da tabela 3.1.

A utilidade de plotar #l/l(.c) ao inves de simplesmente .c e de obter informacao

direta sobre o crescimento relativo da trajetoria do vortice em presenca de centros de

ancoramento dispostos no formato de zigzag. Por exemplo, para dois valores de raio

selecionados R = 1.8% e R = 2.4%, a Fig. 3.13 fornece diretamente que a trajetoria

do vortice pode ser esticada ate um maximo de 31% e 46%, respectivamente, em

1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.80

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

R(!)

rela

tive

pin

nin

g le

ng

th

Figura 3.13: Comprimento crıtico re-lativo versus o raio dos centros de an-coramento. A linha tracejada repre-senta o comprimento relativo de an-coragem maximo, que e independentedo raio R.


Tabela 3.1: O angulo critico .c e para cada raio R da cavidade, definido pelo mınimolocal das curvas da Fig. 3.11.

Raio dos centro de ancoragem (R/%) angulo crıtico .c

1.2 33(

1.4 42(

1.6 48(

1.8 54(

2.0 60(

2.2 66(

2.4 72(

2.6 75(

2.8 78(

3.0 81(

presenca dos zigzag. O ancoramento mais forte ocorre para as cavidades de raio

maior, que, no caso de nossas simulacoes, corresponde a R = 3.0% com .c = 81( e

um crescimento relativo de 54%. O maximo crescimento relativo possıvel e igual

a 61.8% obtido no caso em que . = 90( que corresponde a linha pontilhada na

Fig. 3.13.

Todo o cenario descrito pela presenca das cavidades no supercondutor pode ser

visualizado com uso das Figs. 3.14 e 3.15 que mostram imagens semi-transparentes

da trajetoria do vortice (amarelo) e da superfıcies das cavidades (vermelho) para os

raio de R = 1.8% e R = 2.4%. Cada figura mostra a superfıcie “equipotencial”da den-

sidade dos pares de Cooper tamada no valor |((r)|2iso =53 |((r)|2max + |((r)|2min

6/4

e nos angulos . igual a 0(, 9(, 27(, 36(, 45(, 54(, 63( e 72(. E importante notar que

acima da transicao de desancoramento existe uma iso-superfıcie dentro da esfera iso-

lante. A razao para observarmos esse efeito se deve a presenca de uma funcao ,(r)

suave na Eq. 2.22. A interface normal supercondutora se torna contınua, permitindo

a existencia da supercondutividade numa certa camada da lado normal da interface

contendo 1 ou dois pontos da malha discreta. Se mudancas abruptas ocorrerem no

parametro de ordem em uma distancia menor do que a definida entre dois pontos

vizinhos na malha discreta o sistema pode se tornar instavel e a convergencia pode

nao ocorrer. A analise das Figs. 3.14 e 3.15 revela ainda que o desancoramento

sempre ocorre na esfera superior e nunca na esfera inferior. Essa aparente quebra de

simetria e consequencia do algoritmo numerico utilizado nas simulacoes que acessa


(a) (b) (c)

(d) (e) (f)

(g) (h) (i)

Figura 3.14: Visualizacao da densidade dos pares de Cooper |#|2 e dos centros deaprisionamento de raio R = 1.8%. Os valores extremos da densidade dentro da celulaunitaria sao |((r)|2max = 1.00 e |((r)|2min = 0.00. A densidade e visualizada para|((r)|2iso = 0, 25. as figuras (a)-(i) correspondem a . igual a 0(, 9(, 18(, 27(, 36(,45(, 54(, 63( e 72(, respectivamente.


(a) (b) (c)

(d) (e) (f)

(g) (h) (i)

Figura 3.15: Visualizacao da densidade dos pares de Cooper |#|2 e dos centros deaprisionamento de raio R = 2.4%. Os valores extremos da densidade dentro da celulaunitaria sao |((r)|2max = 1.00 e |((r)|2min = 0.00. A densidade e visualizada para|((r)|2iso = 0, 25. as figuras (a)-(i) correspondem a . igual a 0(, 9(, 18(, 27(, 36(,45(, 54(, 63( e 72(, respectivamente.


os sıtios em ordem pre-definida comecando no canto inferior esquerdo e terminando

no canto superior direito.

3.2.2.a Dependencia da energia com os parametros do modelo de rotacao

Nesta secao nos apresentamos uma expressao algebrica obtida por ajuste para um

conjunto de simulacoes nos diferentes valores de ., R, compreendidos no intervalo

(0(, 0.2%) ate (180(, 3.0%) com incrementos de (3(, 0.2%). Para cada simulacao nos

iniciamos com uma configuracao aleatoria a fim de obter apenas estados fundamen-

tais. Para um dado arranjo das cavidades, que significa valores especıficos de . e

R, juntamente com a condicao de um vortice na celula, nos determinamos a cor-

respondente energia livre da forma F (., R). Recuperando os resultados das secoes

anteriores, nos especificamos na tabela 3.2 os valores de angulo e raio que satisfazem

a condicao#F < 0

Tabela 3.2: Intervalo de . e R que exibe uma configuracao com #F < 0.

Raio dos centro de ancoragem (R/%) angulo de rotacao .0.4 0( - 3(

0.6 0( - 15(

0.8 0( - 24(

1.0 0( - 12(

1.2 0( - 27(

1.4 0( - 24(

1.6 0( - 21(

1.8 0( - 9(

Para adquirir familiaridade com a expansao da energia livre, Eq. 2.22, nos dis-

cutiremos a contribuicao que uma esfera vazia acarreta na energia livre no caso em

que a celula unitaria nao possui vortices. Um supercondutor homogeneo atinge a

densidade maxima |((r)|2 = 1 em todo o volume do supercondutor, e sua energia

livre e "0.5. O supercondutor com duas esferas isolantes possui energia mais elevada

porque o parametro de ordem dentro das cavidades e nulo, |((r)|2 = 0, implicando

numa energia livre aproximadamente igual a energia livre do caso sem defeitos mas


com o volume das duas esferas subtraıdas (31), obtendo a expressao,

F - F0

21" 2Vesfera

V

3= F0

78$R3/3L3

8, (3.8)

onde Vc = 4/3$R3 e o volume da cavidade e V = L3 e o volume da celula unitaria.

Esse resultado e valido aproximadamente uma vez que a curvatura do parametro de

ordem em torno da superfıcie das esferas produz um aumento da energia cinetica,

um efeito que se torna mais pronunciado em esferas de raio grande (R ! %). A

densidade de energia cinetica,

Fkin =

!dv

V,(r)%2

####

$#" 2$i

#0A(r)

%((r)

####2

(3.9)

e mais sensıvel (36) as transicoes de desancoramento do que a densidade de energia

livre devido a presenca do operador gradiente. Por essa razao, nos analisaremos o

comportamento da Eq. 3.9.

A simetria observada nas Fig. 3.11 e expandida na Fig. 3.16(a) impoe que F (., R)

! "! #! $! %! &!! &"! &#! &$! &%!

!!'#(

!!'#"

!!'#&

!!'#

!!'()

!!'(%

!*+,-./--0

1/--*23-/.4

(a)

!"# $ $"# % %"# &

!!"'&

!!"'%

!!"'$

!!"'

!!"&(

!!"&)

*+,!-

./00+010/23

(b)

Figura 3.16: Dependencia da energia livre F em relacao ao raio R dos centros deancoragem e ao angulo e rotacao .. 3.16(a) Variacao de F em relacao ao angulo .no intervalo de 0( ate 180(, obtidos com um incremento de 3(. O raio R varia entre0.2% ate 3.0% e cada incremento de 0.2% resulta em uma curva distinta, onde elasestao plotadas em ordem ascendente de baixo para cima.3.16(b) Variacao de F emrelacao ao raio R dos centro de ancoramento para valores especificados de .. Curvasdistintas correspondem a diferentes angulos iguais a 0(, 9(, 18(, 27(, 36(, 45(, 54(,63( e 72( em ordem ascendente de baixo para cima.


seja uma funcao par em relacao a ., como mencionado anteriormente. As curvas

da Fig. 3.16 exibem crescimento monotonico na energia apenas se R > 1.2% e um

maximo local para R = 1.0%. De fato, a energia exibe comportamento distinto

nesses dois regimes, R > 1.0% e R " %. Para entender o caso R " 1.0% vamos fixar o

angulo . e variar o raio da cavidade. Como encontrado nas equacoes Eqs. 3.3 e 3.8

F (.fixo, R) = Fhomo

21" 2Vc

V

3= Fhomo

21" 8$R3

3L3

3(3.10)

onde Fhomo e a energia do supercondutor homogeneo. O crescimento monotonico

observado na Fig. 3.16(b) e descrito com a dependencia cubica em R. A dependencia

em . pode ser descrita pela expressao

F (., Rfixo) = fk(Rfixo) sin2 . (3.11)

onde a juncao fk incorpora todos os efeitos cineticos produzido pela presenca das

cavidades de raio R. Na Fig. 3.16(a), fk(R) especifica a amplitude de oscilacao para

um valor fixo e raio e como ja mencionamos anteriormente, os efeitos cineticos se

tornam mais pronunciados em cavidades de raio maior o que nos leva a propor uma

dependencia linear como modelo mais simples para fk(R). Combinando as Eqs. 3.10

e 3.11, nos obtemos uma expressao geral para a energia

F (., T ) = Fhomo

21" 2Vc

V

3+ fk(R) sin2 . (3.12)

!"# !"$ !"% !"& ' '"# '"$ '"% '"& # #"# #"$ #"% #"& (!"!!!#!"!!!%!"!!'(

!"!!#)

!"!!*#

!"!!)(

!"!!+%

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,-./0123-4/56

78!9-:;<=!78!9/>;<=

Figura 3.17: Amplitude da oscilacaoda energia livre observada quando va-riamos o angulo e fixamos o raio. Aamplitude corresponde a diferenca deenergia entre os pontos F (90(, R) eF (0(, R)

A funcao fk(R) e obtida calculando a diferenca entre o valor maximo e o mınimo

na energia livre para um dado valor de R, mostrado pela Fig. 3.17. No caso do raio


da cavidade ser muito pequeno, a Eq. 3.12 precisa descrever um supercondutor livre

de defeitos, e, consequentemente, independente de . e R. Tal convergencia obriga a

funcao fk(R) a satisfazer a condicao limR$0 fk(R) & 0. Nos determinamos o termo

fk(R) com um ajuste linear nos dados da Fig. 3.17 onde foi encontrado os valores

fk(R) = "0.00358 + 0.00962R, (3.13)

onde a presenca de uma constante e oriunda do ruıdo numerico. Substituindo as

eqs. 3.12 na Eq. 3.13 nos obtemos a expressao final para a energia F (., R)

Fc(., R) = Fcf

21" 8$R3

3L3

3+ ("0.00358 + 0.00962R) sin2 .. (3.14)

3.2.3 Comportamento crıtico da linha de vortice no modelo

de deslocamento

O caminho crıtico associado a um deslocamento crıtico uc que nos determinamos

numericamente atraves da teoria de Ginzburg-Landau (1). Os resultados numericos

podem ser visualizados atraves das curvas de iso-superfıcie obtidos numericamente

usando a teoria de Ginzburg-Landau. Como um exemplo do comportamento do

parametro de ordem dentro da celula unitaria, nos mostramos a Fig. 3.18 onde a

superfıcie das esferas isolantes esta em vermelho e a iso-superfıcie em amarelo.

Uma maneira de visualizar o supercondutor que esta sendo estudado e reprodu-

zir a matriz supercondutora por translacao da densidade dos pares de Cooper nas

direcoes da celula unitaria. Fazendo translacoes no eixo x e z, nos reconstruımos

9 celulas unitarias na Fig. 3.19 que fornecem uma visao de um supercondutor que

possui uma densidade de 1 vortice por 144%2. As configuracoes de vortices obtidas

na Fig. 3.18 refletem a ideia do modelo para o comprimento da linha exposto na

figura Fig. 3.9, que preve a presenca de apenas duas cavidades por celula unitaria.

Uma quantidade maior de cavidades levaria a configuracoes mais sofisticadas do

que a mostrada na Fig. 3.19 como o entrelacamento de vortices ou a presenca de

cavidades desancoradas. Como nos estamos nos limitando aqui a descrever o deslo-

camento da linha de vortice em relacao a trajetoria reta, o modelo de duas cavidades

por celula unitaria e bastante apropriado.

A ideia basica e determinar numericamente a a dependencia da energia livre


Figura 3.18: A linha de vortice (ama-relo) permanece ancorada pelas duasesferas isolantes (vermelho) de raioR = 1.8% deslocadas da posicao cen-tral da celula unitaria de tamanhoLx = Ly = Lz = 12%. A iso-superfıciefoi obtida para um parametro de or-dem |((r)|2 = 0.25, que correspondea uma densidade equivalente a 25% dadensidade maxima.

com os parametros da celula unitaria, especificamente a base L e a altura Lz da

celula unitaria, do deslocamento u da linha em relacao a posicao central e do raio

das cavidades. Mantendo a base constante, L = 12%, nos determinamos a funcao

F (u, Lz, R). Uma vez conhecido a energia livre e sua dependencia, nos analisamos

o termo de energia cinetica (22),

Fkin(u, Lz, R) =

!dv

V,(r)%2

####

$#" 2$i

#0A(r)

%((r)

####2

(3.15)

e a sua derivada em relacao aos parametros da celula unitaria.

Na Fig. 3.20 nos analisamos o termo de energia cinetica e sua derivada para R =

1.8% e L = 12% em relacao ao deslocamento u onde e observada a presenca de dois

mınimos locais correspondentes ao desancoramento da linha de vortice em relacao a

primeira e a segunda cavidade. Ao impormos um deslocamento transversal pequeno

ao vortice, nos estabelecemos uma configuracao geometrica que possui variacao do

parametro de ordem a medida que u aumenta. Entre a energia cinetica obtida

no ponto do deslocamento crıtico uc = 2.6% e a obtida no deslocamento u = 1.4%

existe uma barreira de potencial que nao permite ao sistema desancorar a linha de

vortice em um deslocamento mais reduzido. Apesar de estarmos analisando o termo

de energia cinetica nos podemos extrair a informacao sobre a barreira de potencial

uma vez que o termo cinetico e o termo que possui contribuicoes positiva a expressao


Figura 3.19: Visao de nove celulasunitarias obtidas por translacao dadensidade do pares de Cooper, |((r)|2mostrando a matriz supercondutoracontendo uma densidade de 1 vorticepor secao transversal de 144%2.

geral da energia livre.

O deslocamento crıtico uc e melhor observado na derivada do termo da energia

cinetica (22). A Fig. 3.20(a) mostra a curva Fkin versus u para R = 1.8% e na

Fig. 3.20(b) a sua derivada, dFkin/du onde nos observamos a existencia de dois

mınimos locais na derivada da energia. Esse tipo de comportamento da derivada

tambem e observado para outros valores de raio, como pode ser constatado na

referencia (33).

Para deslocamentos u crescentes, a derivada assume valores positivos em todo o

intervalo analisado. O primeiro mınimo local corresponde a transicao de desanco-

ramento que ocorre em u = uc. O segundo mınimo local corresponde ao desancora-

mento da linha de vortice pela segunda cavidade. As configuracoes que apresentam

o menor valor na derivada da energia cinetica corresponde a situacao com as duas

esferas desancoras seguidas pela configuracao das duas esferas ancoradas de forma

que estabelecer um deslocamento elevado faz a energia do sistema convergir para

um mınimo de energia. Essas configuracoes podem ser interpretadas como pontos

de equilıbrio ja que a derivada da energia cinetica assume assintoticamente o valor

zero.

Para compreender esse comportamento precisamos descrever o comportamento

da linha quando o deslocamento e pequeno o suficiente para permanecer ancorada

por ambas as cavidades. Seguindo o formato zigzag, a trajetoria do vortice tenta


0 0.6 1.2 1.8 2.4 3 3.6 4.2 4.8 5.4 60.04

0.042

0.044

0.046

0.048

0.05

0.052

0.054

u/!

Fkin

(a)

! !"# $"% $"& %"' ( ("# '"% '"& )"' #!$

!

$

%

(

'

)*+$!

!(

,-!

./012-.,

(b)

Figura 3.20: No grafico da esquerda nos mostramos a curva da energia cinetica emfuncao do deslocamento u e o no grafico da direita a correspondente derivada. Osvales na curva da derivada da energia cinetica estao associados com desancoramentodo vortice. O deslocamento crıtico e associado com o mınimo desses vales. O raio doscentros de ancoramento e R = 1.8% e o tamanho da celula unitaria e L = Lz = 12%

ajustar em uma unica superfıcie o nucleo do vortice e a superfıcie das duas esfe-

ras. O maximo esticamento da linha corresponde a uma trajetoria no formato de

zigzag mais longa, uma configuracao que exige a maxima quantidade de corrente

circulando o vortice. Assim o maximo esticamento da linha de vortice e alcancado

quando a energia cinetica atinge um maximo. Logo apos a linha atingir o maximo

esticamento, o vortice se desancora de uma das cavidades ocasionando a reducao da

energia cinetica para incrementos subsequentes. Conseqentemente espera-se que a

energia cinetica passe por um mınimo e torne a crescer novamente. Note no caso

da nucleacao de duas superfıcies normais independentes geradas a partir de uma

unica superfıcie primordial, a diminuicao do parametro de ordem precisa ser levado

em conta. Esta nucleacao adiciona um crescimento extra na energia cinetica porque

existe um termo envolvendo o gradiente da amplitude do parametro de ordem, e nao

apenas a sua orientacao. A contribuicao dessas superfıcies, uma centrada na posicao

z = Lz/4 e a segunda centrada em z = 3Lz/4. O processo de desancoramento do

vortice e mostrado nas Fig. 3.21 com a visualizacao tridimensional da densidade

dos pares de Cooper, passo a passo, para determinados valores de deslocamento u.

Nas Figs. 3.22 e 3.23 nos mostramos os respectivos cortes transversais tomados nos

planos z = Lz/4 e z = 3Lz/4.


(a) (b) (c)

(d) (e) (f)

(g) (h) (i)

Figura 3.21: Visualizacao da densidade dos pares de Cooper |((r)|2 - 0.25(amarelo) em diferentes deslocamentos u em uma celula unitaria cubica de ladoLz = L = 12% e raio das cavidades (vermelho) R = 1.8%. As figuras de (a)-(i)correspondem a deslocamentos respectivamente iguais a 0.0, 0.4, 0.8, 1.2, 1.6, 2.0,2.4, 2.8, e 3.2. A figura (g), u = 3.2%, esta na iminencia de desancorar o vortice daesfera inferior. Apenas a figura (h) exibe uma situacao em que a linha de vorticeesta desancorada de uma das esferas em acordo com a Fig. 3.20(b).


(a) (b) (c)

(d) (e) (f)

(g) (h) (i)

Figura 3.22: Densidade dos pares e Cooper |((r)|2 na plano z = 3Lz/4 em umacelula unitaria cubica de ladoL = Lz = 12% para diferentes valores do deslocamentou correspondes as figuras tridimensionais da pagina anterior. A cor azul escurocorrespondem uma densidade dos pares de Cooper proxima de 0 e valores proximosa vermelho escuro correspondem a uma densidade 1. O plano escolhido e o planoda cavidade superior onde as figuras (a)-(i) mostram que esfera superior permaneceancorada ate o deslocamento de 3.2%


(a) (b) (c)

(d) (e) (f)

(g) (h) (i)

Figura 3.23: Densidade dos pares e Cooper |((r)|2 na plano z = Lz/4 em umacelula unitaria cubica de ladoL = Lz = 12% para diferentes valores do deslocamentou A cor azul escuro correspondem uma densidade dos pares de Cooper proxima de0 e valores proximos a vermelho escuro correspondem a uma densidade 1. O planoescolhido e o plano da cavidade inferior onde e mostra que a esfera inferior esta naiminencia de desancorar, figura (g), e nao esta mais ancorada, figura (i)


! !"# $"% $"& %"' ( ("# '"% '"& )"' #

!!"'(

!!"'%

!!"'$

!!"'

!!"(*

!!"(&

+,!

-.//0/1/.23

Figura 3.24: Energia livre F emfuncao do deslocamento u dos cen-tros de ancoramento para diferentesvalores de raio R. Tods as curvas fo-ram obtidas para uma celula unitariacubica com Lz = L = 12%. Os sim-bolos +, ., •, $, #, /, 0, 1 e / cor-respondem a esferasde raio R/% iguala 1.2, 1.4, 1.6, 1.8, 2.0, 2.2, 2.4, 2.6 e2.8 respectivamente.

O comportamento da energia livre F em funcao do deslocamento u, calculado

para uma celula unitaria cubica de lado Lz = L = 12.0% e mostrado na Fig. 3.24 para

diversos raios R compreendidos entre 1.2% e 2.8%, onde mostram que para cavidades

de raio menores a energia livre converge para o mesmo valor, diferentemente das es-

feras de raio maior, R > 1.8%, onde cada curva assume valores distintos. Uma analise

combinada da variacao do raio com a determinacao do deslocamento crıtico uc nos

leva a consequente determinacao de uc versus R, como mostrado na Fig. 3.26(a)

O deslocamento crıtico uc e dependente da altura da celula unitaria Lz uma

vez que a propria energia livre depende da altura da celula, como mostrado na

Fig. 3.25 para uma celula unitaria e lado L = 12.0% e com o raio das cavidade

igual a 2.0%. A consequente determinacao do deslocamento crıtico uc versus Lz

e mostrada na Fig. 3.26(b) onde e mostrada a energia livre em funcao da altura

da celula, F versus Lz, para diferentes valores de u compreendidos entre 0 e 6.0%.

Entre todas as curvas apresentadas na Fig. 3.26(b), a que apresenta menor energia

!" !# !$ !% !& !' !( !) "* "! "" "# "$

!*+$#

!*+$"%

!*+$"

!*+$!%

!*+$!

,-.!

/0112131045

Figura 3.25: Energia F versus Lz paradiversos valores do deslocamento u.Cada curva corresponde a um dife-rente valor de u, orientado de baixopara cima, variando de 0.0 ate 6.0%com incrementos de 0.2%. Para umareferencia, a curva com u = 2.8% temseus pontos em destaque.


1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.81.6

1.8

2

2.2

2.4

2.6

2.8

3

3.2

3.4

R/!

uc

(a)

12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 242.8

2.9

3

3.1

3.2

3.3

3.4

uc

Lz

(b)

Figura 3.26: dependencia do deslocamento crıtico uc com os parametros geometricosde uma celula unitaria. Em (a), e mostrada a curva uc versus R com L = Lz = 12%.Em (b), e mostrado uc versus Lz para R = 2.0% com a base da celula unitariaL = 12%.

e a curva com u = 0, e a que apresenta os valores mais elevados e a curva com u =

6.0%, onde esses resultados sao validos para cavidades de raio R = 2.0%, em acordo

com a ideia de que grandes cavidades isolantes aumentam a energia pois trazem

grandes regioes nao-supercondutoras. Segundos os resultados da Fig. 3.26(b), celulas

unitarias com alturas maiores permitem valores mais elevados para o deslocamento

crıtico uc. A rede de centro de ancoramento dispostas em zigzag nao requer tanto

da linha de vortice em c’elulas unitarias com altura muito maior do que a base pois

deslocamentos ao longo da base nao alteram consideravelmente o comprimento da

linha.

3.2.4 Multiplos vortices e as inclusoes mesoscopicas

Ate agora nos descrevemos o caso de apenas um vortice, ! = #0z proximo a uma

rede de cavidades disposta em zigzag. Nesta secao nos comentaremos brevemente

o caso geral de muitos vortices ao longo da direcao z, ! = nz#0z. A medida que

nz aumenta a inducao magnetica B se aproxima do campo crıtico superior Hc2 in-

troduzindo efeitos da supercondutividade superficial na superfıcie das cavidades. O

raio e a angulo de rotacao definirao novas configuracoes geometricas que resulta-

ram no aprisionamento multiplo de vortices e na formacao de vortices gigantes (37).

Um simples exemplo destas situacoes e mostrada na Fig. 3.27 onde sao mostrados


(a) (b)

Figura 3.27: Iso-superfıcie do parametro de ordem |((r)|2 no interior da celulaunitaria, um cubo de lado L = 12% contendo duas cavidades de raio R = 1.8% emvermelho. A Fig. 3.27(a) corresponde a . = 0( e mostra um vortice ancorado pelascavidades e o segundo vortice esta desancorado devido a a repulsao vortice-vortice.Na Fig. 3.27(b) as cavidades estao a um angulo de . = 90( e cada vortice estaancorado por cada uma das esferas.

dois vortices, nz = 2, numa celula unitaria de lado L = 12% e R = 1.8% para os

angulos . = 0( e 90(. No primeira caso, Fig. 3.27(a), o sistema apresenta forte

competicao entre a repulsao vortice-vortice e a atracao vortice-cavidade. Enquanto

um vortice esta ligeiramente aprisionado pela cavidade, o segundo esta desancorado,

posicionado a uma distancia de alguns % da cavidade. A rotacao das cavidades para

. = 90( resulta em uma configuracao onde cada cavidade ancora um vortice dife-

rente, Fig. 3.27(b). Para valores de nz maiores do que 2, situacoes mais complexas

tornam-se acessıveis.

E importante notar que a escolha da celula unitaria mais simples ajuda a reduzir

o tempo computacionalo do processo de minimizacao, mas por outro lado proıbe

configuracoes de vortices diferentes das de zigzag. Configuracoes mais elaboradas

exigem celulas unitarias maiores contendo mais centros de ancoragens, situacoes que

nao serao tratadas aqui.


3.3 Principais resultados e conclusoes desse capıtulo

Estudamos um supercondutor poroso formado por uma rede cubica de cavidades

esfericas e comparamos a sua energia livre com a de um supercondutor sem defeitos.

Comparamos alguns tamanhos de celula unitaria com uma densidade de vortices

alta. Nos observamos o aprisionamento multiplo de vortices por uma unica cavidade

e a discutimos a importancia da curvatura de uma unica linha de vortice na celula

unitaria, fornecendo uma visao dos supercondutores substancialmente diferente do

cenario padrao.

Nos encontramos aqui que a nucleacao espontanea de cavidades espontaneas

como paredes de domınios e um processo possıvel de ocorrer dentro de um composto

supercondutor acima de uma certa inducao magnetica crıtica B!.

O comprimento de uma linha de vortice dentro de um supercondutor com cen-

tros de ancoramento em seu interior esta sujeito a duas demandas conflitantes: (i)

a ancoragem pelo maior numero possıvel de centros de ancoramento e (ii) o con-

sequente aumento na energia devido a auto-energia. Nos estudamos esse problema

no contexto de um modelo simples com apenas um tipo de centro de ancoramento,

esferas isolantes de raio da ordem do comprimento de coerencia do material disposta

no formato de zigzag, proximas a uma linha de vortice. O zigzag e posicionado for-

mando uma rede, que e descrita por uma celula unitaria contendo duas cavidades

em seu interior cuja posicao central do segmento de reta que une o centro das esferas

coincide com o centro do cubo. Esse segmento e rotacionado livremente em torno

do centro, produzindo diferentes formacoes zigzag.

Os resultados apresentados nessecapıtulo foram publicados nosseguintes periodicos:

• M. M. Doria e A. R. de C. Romaguera, “Transition to a superconductor with

insulating cavities,” Europhys. Lett., vol. 67, pp. 446, May 2004. (7 pages)

DOI

• A. R. de C. Romaguera e M. M. Doria, “Critical vortex line length near a

zigzag of pinning centers,” Eur. Phys. J. B, vol. 42, pp. 3, November 2004.

(8 pages) DOI

• M. M. Doria e A. R. de C. Romaguera, “Energy dependence of a vortex line

length near a zigzag of pinning centers,” Braz. J. Phys., vol. 35, pp. 157,

November 2005. (5 pages) arXiv

• M. M. Doria, A. R. de C. Romaguera, e W. A. M. Morgado, “Three-dimensional

Ginzburg-Landau simulation of a vortex line displaced by a zigzag of pinning

spheres,” PRAMANA J. Phys., vol. 1, pp. 01, January 2006. (10 pages) arXiv

http://lanl.arxiv.org/abs/cond-mat/0411046

http://lanl.arxiv.org/abs/cond-mat/0503691

http://dx.doi.org/10.1209/epl/i2004-10072-2

http://dx.doi.org/10.1140/epjb/e2004-00352-1

Capıtulo 4

Supercondutores mesoscopicos emcampo aplicado

As propriedades de um disco supercondutor com dimensoes mesoscopicas ja fo-

ram estudadas em diversos trabalhos tanto do ponto de vista teorico (103; 105)

quanto do experimental (44). A pequena razao entre o volume e a area nesses su-

percondutores origina novas propriedades no estado de vortice tal como a presenca

de vortices gigantes recentemente detectados gracas aos novos avancos na tecnologia

de pequenas juncoes de tunelamento - small-tunnel-junction (54).

Estudos anteriores aos trabalhos desta tese limitam-se a geometrias bidimen-

sionais, ou seja, a supercondutores extremamente finos onde o campo aplicado e

paralelo ao vetor normal a superfıcie plana. As propriedades magneticas de discos

supercondutores muito finos tem sido medidas experimentalmente (41; 44) para di-

versos raios e seu comportamento esta em acordo com os estudos teoricos (25; 105).

Para um disco de raio R da ordem ou menor do que %, nenhum vortice pode entrar e

somente o estado Meissner e possıvel em tais supercondutores. Acima desse limite, e

para R < 2%, apenas vortices gigantes sao permitidos, enquanto que para R > 2% es-

tados de vortices multiplos tornam-se acessıveis, como reportado em (6). Os estudos

teoricos tem sido feitos no contexto da teoria fenomenologica de Ginzburg-Landau,

habilitada para predizer muitas das novas propriedades do padrao de vortices - vortex

pattern - em supercondutores mesoscopicos que nao sao encontradas em supercondu-

tores volumetricos - bulk. Por exemplo, em um quadrado supercondutor fino de lado

2', foi previsto teoricamente (46) que o padrao de vortices exibe a simetria do grupo

O4, resultando na inducao de anti-vortices para certos valores de campo magnetico

aplicado (54). Entretanto, estes estudos sao limitados ao entao chamado limite de

Supercondutores mesoscopicos em campo aplicado 56

filme fino com o campo aplicado orientado perpendicularmente a superfıcie plana.

Em tais situacoes, a espessura D da amostra e muito menor do que o comprimento

de coerencia, D + %, e o parametro de ordem e integrado ao longo da direcao mais

fina, reduzindo o problema a duas dimensoes.

Os discos finos sob a condicao D + ' foram intensamente estudados nas re-

ferencias (25; 105). Alem do limite de discos finos, a geometria de um fio (7) e de

amostras com constricoes (40) foram considerados com o campo magnetico orientado

paralelamente ao eixo central do cilindro. Este problema, que em alguns limites, e

discutido em livros texto (23; 55). O limite de filmes finos tambem foi aplicado

ao estudo de cascas esfericas supercondutoras (39). O fato de todos estes estudos

utilizarem alguma reducao da dimensao do problema desabilita-os de fazer algumas

perguntas interessantes associadas as propriedades verdadeiramente tridimensionais

do supercondutor. Por exemplo, algumas propriedades do estado misto variam de

acordo com a orientacao do campo magnetico em relacao a geometria da amostra, e

as configuracoes de vortices que podem se tornar estaveis sob uma certa orientacao

do campo e instavel sob uma outra. Portanto, o condensado supercondutor nao

varia ao longo da direcao do campo magnetico.

Neste capıtulo da tese, nos determinamos pela primeira vez as configuracoes de

vortices em supercondutores mesoscopicos tridimensionais. A abordagem teorica

e a mesma do capıtulo anterior onde estudamos os supercondutores volumetricos

(periodicos, sem fronteiras e infinito). Usa-se a funcao ,(r) para definir as regioes

supercondutoras e nao supercondutoras. Os supercondutores mesoscopicos com-

portam apenas um numero finito de vortices enquanto que nos volumetricos esse

numero e infinido. Nos aplicamos a mesma abordagem teorica do capıtulo anterior

para estudar um supercondutor mesoscopico. Uma rede tridimensional de inclusoes

em um supercondutor volumetrico transforma-se em uma rede tridimensional de

supercondutores mesoscopicos quando substituımos as regioes supercondutoras por

regioes isolantes e vice-versa. Para a rede tridimensional de supercondutores me-

soscopicos, o sistema se torna um conjunto de supercondutores independentes para

um comprimento de penetracao de London muito maior do que o tamanho das in-

clusoes. Neste caso, o campo local e constante e igual ao campo aplicado em todo

o espaco. Nesse contexto, nos obtemos a configuracao de vortices para um unico

supercondutor mesoscopico, especificamente uma esfera e um disco.

Por inclusoes nos nos referimos aos centros de ancoramento com tamanho da


ordem de alguns comprimentos de coerencia %. A presenca de tais inclusoes tra-

zem novas propriedades para a fısica de vortices uma vez que uma unica inclusao

pode ancorar muitas linhas de vortices em torno de sua vizinhanca. O estudo de

supercondutores volumetricos com uma rede regular de inclusoes e abordada aqui

no contexto de uma versao modificada da teoria de Ginzburg-Landau. Outros es-

tudos baseados na teoria de Ginzburg-Landau para sistemas tridimensionais tem

sido feitos, incluindo cascas esfeficas (39) e fios supercondutores constringidos (40)

ambos no limite de supercondutores extremo tipo-II. Metaestabilidade, campos de

nivelamento - matching fields, numero de ocupacao e vortices gigantes tem sido

estudados experimentalmente em filmes supercondutores com uma rede de centros

de ancoragem consistindo em buracos nao completamente perfurados - blind holes

(96) ou totalmente perfurados - open holes (12; 13) e micro buracos - micro holes

(80; 107).

Um supercondutor volumetrico com um arranjo de inclusoes genuinamente tri-

dimensionais ainda nao foi experimentalmente investigado apesar de ja ter sido es-

tudado teoricamente (11; 30). Tais inclusoes estao presentes como uma distribuicao

aleatoria (82; 106) nos supercondutores do tipo LRE-Ba-Cu-O, onde LRE significa

Terra Rara leve na sigla em ingles -Light Rare Earth como Neodımio (Nd), Samario

(Sm), Europio (Eu) e Gadolınio (Gd) e algumas das ideia apresentadas podem ser

uteis para explicar as propriedades nao usuais.

Existem diferencas notaveis entre os supercondutores mesoscopicos e os vo-

lumetricos. Um exemplo destas diferencas sao os vortices gigantes, que sao natu-

ralmente encontrados nos supercondutores mesoscopicos mas nao nos volumetricos.

Linhas de vortices com fluxo magnetico multiplo N$0 sao energeticamente proibidas

nos supercondutores volumetricos e somente a nucleacao de N vortices individuais

com fluxo $0 e possıvel. Isso deve-se ao fato de que a energia da linha e proporcional

ao quadrado do seu fluxo magnetico (N#0)2 > N#2

0.

Contudo, os supercondutores volumetricos com inclusoes apresentam vortices

gigantes como demonstrado para um defeito colunar no interior de um supercondutor


volumetrico (11; 20; 30; 78).

4.1 Efeitos das condicoes de contorno sobre a con-

figuracao de vortice nos supercondutores me-

soscopicos tridimensionais

Nesta secao nos obtemos a configuracao de vortice para uma esfera e um cilindro

mesoscopico. O cilindro, ou disco, de espessura desprezıvel foi estudado anterior-

mente (5; 10; 103; 105) onde a variacao do parametro de ordem ao longo do campo

magnetico e negligenciavel. Baelus e Peeters (5) tambem estudaram diversas ge-

ometrias planas com espessura 0.1% e obtiveram as configuracoes dos vortices a

partir das equacoes de Ginzburg-Landau em duas dimensoes suplementada pelas

condicoes de contorno de Saint-James-de-Gennes (100) nas bordas. Eles considera-

ram um parametro de Ginzburg-Landau ! = 0.28, e resolveram as duas equacoes de

GL. Aqui nos estudamos um disco grosso e comparamos nossos resultados com os

deles, embora resolvamos apenas uma equacao de Ginzgurg-Landau (limite ! ! 1).

Os principais resultados desta secao podem ser resumidos da seguinte forma: (i)

obtemos a configuracao de vortice para uma esfera mesoscopica de raio Rs = 4.0%,

(ii) mostramos que uma pequena mudanca na funcao ,(r) nas proximidades das

bordas podem aumentar substancialmente o valor do campo Hc3. Tal mudanca cor-

responde a uma fina camada em torno do supercondutor que atua como uma regiao

intermediaria entre a regiao isolante e a regiao supercondutora. Para um sistema

volumetrico os parametros fenomenologicos de GL sao relacionados aos parametros

microscopicos da seguinte forma: )0 2 (kTc)2/0F , * 2 (kTc)2/(0F n), onde Tc e a

temperatura crıtica, 0F e a energia de Fermi, e n e a densidade de eletrons. Essa

camada intermediaria corresponde a massas dos pares de Cooper m e no parametro

)0 ocasiona um aumento no campo Hc3. Portanto, a presente abordagem e interes-

sante para os supercondutores mesoscopicos uma vez que mostramos que pequenas

mudancas ocorridas a uma distancia % das bordas podem produzir grandes efeitos

no comportamento do supercondutor.

A presente abordagem baseia-se no procedimento de minimizacao da energia

livre realizado em todo o espaco, incluindo a regiao exterior ao supercondutor onde

o parametro de ordem se anula. O decaimento da densidade dos pares de Cooper


nas bordas, de um valor finito dentro do supercondutor para zero em seu exterior,

e considerado aqui. Observe que a abordagem padrao das equacoes diferenciais,

como as utilizadas em (5), somente consideram a regiao interior do supercondutor e

ignoram a descontinuidade entre o valor finito na borda e zero alem da borda. Neste

capıtulo nos consideraremos tres tipos de condicoes de contorno e as discutimos no

contexto de um disco de raio R = 4.0%.

Abaixo nos fornecemos uma descricao sucinta das diferentes condicoes de con-

torno para a esfera e do cilindro onde atribuımos nomes para facilitar a sua iden-

tificacao: (i) sharp: um disco e considerado e seu contorno e tratado de maneira

padrao por uma funcao ,(r) abrupta. Essa abordagem sera utilizada como referencia

para comparar com as outras abordagens. A malha discreta adotada para essa abor-

dagem possui pouca resolucao de modo a obter uma convergencia rapida e eficiente.

O nome sharp origina-se da definicao da interface normal-supercondutor. (ii) mesh:

este modelo e o mesmo que o modelo sharp exceto por tratar o disco com uma malha

discreta com 8.2 vezes mais pontos. (iii) sphere: uma esfera e tratada semelhante-

mente ao modelo sharp pois tambem servira para comparacao. (iv) BP2D: este e o

tratamento do disco reportado por Baelus e Peeters (5) com sua abordagem bidimen-

sional. (v) smooth: este tipo de condicao de contorno foi usado anteriormente nas

Refs. (22; 32) para esferas isolantes no interior de um supercondutor volumetrico.

Sua principal propriedade e que a densidade de corrente supercondutora normal a

superfıcie nao desaparece abruptamente mas sobre uma uma pequena regiao da or-

dem de % gracas ao emprego de uma funcao suave. (vi) step: este modelo contem

uma camada supercondutora que ajusta o desaparecimento da supercondutividade,

assim existem dois discos concentricos e entre eles uma camada intermediaria que

estabiliza o estado supercondutor no disco interior. Este modelo proporciona um

elevado valor para Hc3 comparado com os outros modelos.

4.1.1 Descricao dos modelos

Os modelos introduzidos na secao 4.1 tem suas caracterısticas resumidas na Ta-

bela 4.1 e 4.2 e algumas das propriedades de sua energia livre estao na Tabela 4.3

e para a magnetizacao na Tabela 4.4. A funcao ,(r) e definida como o produto de

funcoes independentes ortogonais a cada direcao. As principais propriedades das

diferentes funcoes sao:(i) sharp: Esse modelo trata os contornos de um disco de


raio R = 4.0% e altura d = 1.0% atraves da funcao ,(r) sendo 1 no interior e 0 no

exterior, assumindo a seguinte forma: ,(r) = ,'(&) · ,d(z). (ii) mesh: O mesmo que

o modelo sharp mas com uma resolucao maior, 61$ 61$ 26 ao inves dos 41$ 41$ 7

do modelo apresentado anteriormente. (iii) sphere - Esse modelo trata a esfera com

um modelo de funcao degrau ,(r) semelhante ao modelo sharp. (iv) BP2D: Este e

o disco da Ref. (5). Nesse modelo o disco e tratado com uma espessura de 0.1% e a

malha discreta possui 128$128$1 pontos. Apesar de ser um modelo bidimensional,

esse modelo contem 1.4 vezes mais pontos do que o modelo tridimensional sharp.

(v) smooth: Para esse modelo uma altura maior e considerada, 2.0%, para ajudar a

estabilizar o parametro de ordem dentro do disco. O suavidade da funcao ,d(z), que

assume valores menores do que 1 dentro da regiao |z| 3 d/2, tende a reduzir o valor

do parametro de ordem no interior do disco. A funcao ,(r) e descrita em termo

de uma exponencial cuja expressao encontra-se na Tabela 4.1 com o parametro de

controle assumindo o valor N=8. (vi) step: a altura e d = 1.5% e a funcao ,(r)

varia como uma funcao degrau, passando pelos valores 0, 0.8 e 1. A escolha do valor

intermediario 0.8 e arbitraria onde nos tambem observamos que se reduzirmos esse

valor para 0.5 o campo Hc3 exibe um considerado incremento em relacao ao valor

adotado. Assim, uma reducao da funcao ,(r) proximo a borda, e consequentemente

aos parametros de GL, podem afetar severamente o campo Hc3.

Tabela 4.1: Os diferentes modelos considerados para descrever as fronteiras do su-percondutor atraves da funcao ,(r) = ,'(&) · ,d(z). Rs e o raio da esfera. Ri e di

sao o raio interno do disco e a altura, respectivamente.Modelo ,'(&) ,d(z)

sharp ,' =

"1 & 3 R

0 & >R,d =

"1 2|z| 3 d

0 2|z| > d

mesh idem idem

sphere ,(r)=

"1 r 3 Rs

0 r > Rs

· · ·

BP2D dif. eq. · · ·smooth ,' =2/[1 + e('/R)N

] ,d =2/[1 + e(2|z|/d)N]

step ,' =

'()

(*

1 &3Ri

0.8 Ri <&3R

0 &>R

,d =

'()

(*

1 2|z|3di

0.8 di <2|z|3d

0 2|z|>d

A Fig. 4.1 mostra a densidade dos pares de Cooper a campo nulo em funcao


Tabela 4.2: Os parametros dos diferentes modelos usados nos calculos numericos.modelo malha a cellb parametrosc

sharp (41,41,7) (0.3,0.3,0.5) d=1.0mesh (61,61,26) (0.2,0.2,0.2) d=1.0sphere (41,41,41) (0.3,0.3,0.3) Rs=4.0BP2D (128,128,1) (0,0,-)smooth (41,41,13) (0.3,0.3,0.5) d=2.0,N=30step (41,41,7) (0.3,0.3,0.5) d=1.5,Ri=3.5, di=0.5

aO numero total de pontos na malha discreta nas tres direcoes da celula: (Nx, Ny, Nz).bO espacamento da rede nas tres direcoes da celula: (ax, ay, az).cTodos os comprimentos estao em unidades de !. O raio do disco e R = 4.0 em todos os casos.

Tabela 4.3: Os campos de nivelamento - matching fields hL L+1 entre os estados comvorticidade L e L + 1 para os diferentes modelos considerados aqui.

hi i+1 sharp mesh sphere BP2D smooth steph0 1 0.31 0.30 0.41 0.39 0.30 0.31h1 2 0.51 0.51 0.65 0.59 0.52 0.54h2 3 0.69 0.68 0.84 0.74 0.69 0.72h3 4 0.85 0.83 1.00 0.89 0.84 0.88h4 5 0.99 0.98 1.15 1.02 0.99 1.03h5 6 1.14 1.12 1.28 1.16 1.13 1.20h6 7 1.28 1.26 1.42 1.30 1.27 1.34h7 8 1.43 1.41 1.56 1.43 1.41 1.48h8 9 1.57 1.54 · · · 1.57 1.54 1.62h9 10 1.70 1.69 · · · 1.71 1.68 1.84h10 11 1.87 1.82 · · · 1.84 · · · 2.05h11 12 · · · · · · · · · · · · · · · 2.19

da distancia radial apartir do centro do disco, e no caso da esfera e a distancia

radial no plano equatorial. Para tornar os resultados mais claros, nos dividimos

os seis modelos em dois conjuntos de curvas mostrados em dois graficos. Com a

finalidade de comparacao o modelo BP2D e mostrado em ambos os graficos em

vermelho. Observe que no modelo BP2D, assim como o modelo para a esfera, o

maximo valor para a densidade supercondutora e 1.0 diferentemente dos outros

modelos que possuem o valor maximo de 0.8. Entre esses modelos, a esfera possui

o maior volume supercondutor e desta forma, os efeitos de superfıcies nao sao tao

efetivos para alterar o valor do parametro de ordem no seu interior.

Na presenca de um campo magnetico as simulacoes numericas sao realizadas da


-6 -4 -2 0 2 4 6

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

|!|2

radial distance (units of ")

BP2D

smooth

mesh

BP2D

step

sphere

sharp

Figura 4.1: O densidade dos pares de Co-oper |((r)|2 em funcao da distancia radialna ausencia de campo magnetico.

seguinte maneira. Para campo nulo uma configuracao aleatoria para o parametro de

ordem e tomada e a minimizacao da energia livre e efetuada. O campo magnetico

e aumentado a uma taxa constante e, para um dado valor do campo, toma-se o

parametro de ordem encontrado no campo anterior, de forma recursiva. Esse proce-

dimento e realizado sequencialmente ate que o campo magnetico atinja o valor Hc3

e o parametro de ordem desapareca em todo a amostra. Na etapa seguinte o campo

magnetico e reduzido com a mesma taxa ate atingir novamente o campo nulo. Uma

caracterısticas tıpica de supercondutores mesoscopicos (103; 105) e a presenca da

estrutura dente de serra nas curvas de magnetizacao. As duas curvas nao coincidem,

a curva ascendente possui uma resposta diamagnetica mais forte.

Observe que todas as curvas de magnetizacao mostradas nas Figs. 4.2, 4.3 e 4.4 se

decompoem em linhas independentes que nao se interceptam. A estrutura dente de

serra do ciclo de magnetizacao corresponde a evolucao do campo magnetico atraves

dos diferentes segmentos pertencentes a estas linhas independentes. A presenca

de linhas distintas na magnetizacao e na energia evidenciam uma grandeza que

permanece constante ao longo de cada linha. Uma analise do parametro de ordem

revela que o momento angular permanece constante ao longo de cada linha. Em

conclusao, para qualquer um dessas linhas o momento angular permanece constante,


de tal maneira que podemos nomea-las com o respectivo L.

Figura 4.2: A energia livre e a magne-tizacao para os modelos sharp, mostradoem vermelho, e o modelo mesh mostradoem preto. As iso-superfıcies tridimensio-nais dos estados com L = 1, 2, 3 e 4 saomostradas para campos magneticos seleci-onados. As iso-superfıcies foram definidasa 20% do valor maximo da densidade su-percondutora |((r)|2 = 0.2|((r)|2max.

A Tabela 4.3 descrimina os campos de nivelamento - matching field hL L+1 entre

os estados com momento angular vizinhos para os seis modelos considerados aqui. A

Tabela 4.4 e util para comparar os modelos uma vez que ela exibe o valor maximo da

magnetizacao para cada curva com um diferente valor de L e o seu correspondente

valor do campo magnetico.

4.1.2 Discussao

Nessa secao nos comparamos todos os modelos, cujas propriedades estao descritas

nas Tabelas 4.3 e 4.4, com o modelo sharp. O efeito do numero de pontos na malha

discreta pode ser verificado na Fig. 4.2 onde o modelo mesh possui 8.2 vezes mais

pontos do que o modelo sharp. O modelo mesh possui uma energia livre menor e

uma magnetizacao maior do no modelo sharp, mas seus valores diferem em menos

de 1 %. Efeitos devido a malha discreta tornam-se perceptıveis somente em campos

intermediarios, - 0.5Hc2, e imperceptıveis na regiao de um unico vortice. A com-

paracao entre sharp e mesh mostra que o presente procedimento numerico e robusto

pois a dependencia com a malha discreta pouco influi. A Fig. 4.2 tambem mostra a

iso-superfıcie tridimensional para quatro configuracoes selecionadas possuindo 1, 2,

3 e 4 vortices. Os correspondentes valores de campo magnetico para cada uma das

configuracoes podem ser obtido diretamente Fig. 4.2.


Tabela 4.4: O par de coordenadas (hL/Hc2;"4$DML/Hc2) corresponde ao valormaximo da magnetizacao associado a um determinado momento angular L e o res-pectivo campo magnetico daquela magnetizacao nos diferentes modelos utilizadosaqui.L sharp mesh sphere BP2D smooth step0 (0.38;0.25) (0.39;0.25) (0.43;0.28) (0.58;0.44) (0.39;0.25) (0.44;0.28)1 (0.58;0.19) (0.59;0.20) (0.66;0.19) (0.73;0.39) (0.59;0.19) (0.64;0.22)2 (0.75;0.14) (0.75;0.15) (0.84;0.13) (0.86;0.34) (0.75;0.14) (0.81;0.17)3 (0.91;0.11) (0.90;0.12) (0.98;90m) (0.98;0.29) (0.90;0.10) (0.98;0.13)4 (1.05;82m) (1.04;89m) (1.14;60m) (1.11;0.24) (1.04;77m) (1.13;0.11)5 (1.19;60m) (1.18;67m) (1.27;38m) (1.23;0.20) (1.17;55m) (1.27;83m)6 (1.32;44m) (1.30;49m) (1.39;22m) (1.34;0.15) (1.30;38m) (1.41;64m)7 (1.44;30m) (1.43;34m) (1.50;11m) (1.45;0.12) (1.41;25m) (1.55;48m)8 (1.56;19m) (1.54;22m) (1.60;3.4m) (1.56;83m) (1.53;15m) (1.67;36m)9 (1.67;11m) (1.67;13m) · · · (1.66;54m) (1.64;7.2m) (1.80;26m)10 (1.78;4.6m) (1.77;5.7m) · · · (1.78;29m) (1.74;2.3m) (1.92;16m)11 (1.88;88m) (1.86;97m) · · · (1.87;9.6m) · · · (2.03;10m)12 · · · · · · · · · · · · · · · (2.14;5.1m)13 · · · · · · · · · · · · · · · (2.24;1.9m)

Observe que m significa 10!3.

A Fig. 4.3 mostra os resultados da energia livre e da magnetizacao para a es-

fera (modelo sphere) e compara com o disco (modelo sharp). A Fig. 4.3 tambem

mostra quatro iso-superfıcies tridimensionais com dois cortes transversais da esfera.

Os valores de campo correspondentes as iso-superfıcies estao indicados no grafico da

Fig. 4.3. Essas quatro configuracoes de vortice ilustram uma propriedade geral dos

vortices que aparece claramente na esfera. Vortices alcancam a superfıcie perpen-

dicularmente, pois nao pode existir componente da corrente para fora do plano da

superfıcie (17; 19). Portanto, os vortices apresentam-se curvados no interior da esfera

de Rs = 4.0% como resultado estes efeitos de superfıcie. Os vortices encontram com-

primidos em torno do plano equatorial, como pode ser observado nas iso-superfıcies

tridimensionais, obtidas a 20% do valor maximo da densidade supercondutora. O

polo norte das iso-superfıcies fornecem uma visao do comportamento dos vortices

na superfıcie da esfera, mas as propriedades translucidas dessa imagem torna difıcil

perceber o mesmo comportamento no polo sul. A Fig. 4.3 tambem mostra as curvas

de contorno dos cortes transversais da esfera no equador (plano entre os polos) e

no plano do tropico (entre o polo e o equador). Esses contornos contem 10 regioes


Figura 4.3: A energia livre e a magnetizacao em funcao do campo magnetico para osmodelos sphere, curva em preto, e sharp, curva em vermelho. Na direita e mostradoas iso-superfıcies tridimensionais dos quatro primeiros estados de vortices, com seusrespectivos cortes transversais tomados a 1/2 da esfera (plano do equador) e a 1/4(plano do tropico).

mostradas em cores diferentes variando a partir da maxima densidade (vermelho)

ate a mınima (azul). Os cortes transversais mostram com mais evidencia a com-

pressao dos vortices em torno do plano equatorial. A posicao do nucleo do vortice

(regiao azul) aproxima-se do centro no plano do equador. Um outro fato observado

nos cortes e o crescimento do nucleo do vortice a medida que nos aproximamos

dos polos. Em relacao a resposta magnetica nos notamos diferencas entre a esfera

(sphere) e o disco (sharp) como mostrado na Fig. 4.3. Em campos baixos, o modelo

sphere possui uma resposta magnetica mais forte do que a computada no modelo

disk. Em campos altos e ate Hc3, o oposto ocorre e o modelo disk possui uma res-

posta magnetica mais intensa. Uma consequencia destes diferentes comportamentos

na magnetizacao e observado no numero de vortices onde o modelo sphere suporta


Figura 4.4: Energia livre e manetizacao em funcao do campo magnetico em tes mo-delos diferentes onde cada curva e plotadas em um grafico diferente ao lado da curvaassociada ao modelo sharp, curva vermelha tracejada, para efeito de comparacao.Em a)-b), nos mostramos o modelo BP2D, em c)-d) o modelo step e em e)-f) omodelo smooth.

ate 9 vortices e o modelo disc suporta ate 9. A medida que o campo e aumentado,

a configuracao de vortices no caso do modelo sphere desaparece mais rapidamente

do que em disc, possivelmente devido a existencia de vortices com comprimentos

diferentes.

A Fig. 4.4 mostra uma analise comparativa da curvas de energia livre e magne-

tizacao em funcao do campo magnetico para os modelos sharp, BP2D, step e smooth.

(i)BP2D-sharp: Os diferentes valores de ! utilizados nos dois modelos produz cur-

vas de magnetizacao significamente diferentes. O modelo BP2D possui uma resposta

magnetica muito forte e energia livre mais baixa para todos os estados de vortice re-

sultante de uma blindagem magnetica mais eficiente em relacao ao campo aplicado.

Contudo, o comportamento qualitativo de ambos os modelos e bastante similar uma

vez que ambos os modelos suportam ate 12 vortices, como mostrado na Tabela 4.3,

e apresentam boa concordancia entre os campos de nivelamento matching field nas

regioes de campo mais alto. Essa concordancia e explicada pelo enfraquecimento

das correntes diamagneticas em campos altos fazendo com que o comportamento

do modelo BP2D seja similar ao sharp. (ii)step-sharp: A presenca de uma regiao

intermediaria entre o supercondutor e o meio exterior torna os efeitos de superfıcie


mais relevantes em relacao ao modelo sharp. A resposta diamagnetica e mais forte

no modelo step e a energia livre assume valores mais negativos para todos os valo-

res de L e inclusive suporta dois estados de vorties a mais do que no modelo sharp,

como descrito na Tabela 4.3. (iii)smooth-sharp: O modelo smooth trata os contornos

de maneira diferente do modelo sharp. No caso do modelo smooth, a funcao ,(r)

decai suavemente em uma regiao maior do que a distancia definida entre dois pontos

na malha discreta, os parametros de rede ax, ay e az, de acordo com a expressao

da Tabela 4.1. Nos nao encontramos diferencas substanciais no comportamento do

supercondutor atraves dos diferentes modelos discutidos.

4.2 Vortices inclinados em um cilindro supercon-

dutor mesoscopico

4.2.1 Introducao

Neste secao nos investigamos os supercondutores mesoscopicos tridimensionais. Nos

consideramos dois cilindros mesoscopicos com diferentes razoes diametro-espessura

situadas entre os limites de um disco e um cilindro longo. Ambos os cilindros tem

o mesmo raio R = 4.0% mas as alturas sao diferentes, a saber, D = 4.0% e o 8.0%.

Daqui por diante, nos chamaremos esses cilindros de razao-curta e de razao-igual, em

alusao a razao entre a altura e o diametro respectivamente menor do que um e igual

a um. Esses espessuras encontram-se no limite D > %. Para um campo aplicado

nao orientado ao longo do eixo central do cilindro, nao basta usar argumentos de

simetria para determinar a configuracao de vortices. Assim um cilindro sob um

campo arbitrariamente inclinado exige um tratamento genuinamente tridimensional

das equacoes de Ginzburg-Landau e da aplicacao das condicao de contorno em toda

a interface supercondutor-isolante. A Fig. 4.5 mostra um desenho de um cilindro sob

campo arbitrariamente inclinado, onde o angulo . da rotacao e medido com respeito

ao eixo principal z: H = H0 cos .. Para . = 0( a comparacao com o disco fino e

possıvel (5; 25). O plano da rotacao e definido como o plano yz, e nos introduzimos

uma notacao especial para campos orientados paralelamente e perpendicularmente

a linha central principal: H" 4 H(. = 0() e H# 4 H(. = 90(), respectivamente.

Nos escolhemos expressar o campo magnetico em termos de um campo de referencia


Href = H"sc3 , o maximo campo possıvel orientado paralelamente ao eixo do cilindro

razao-curta.

Figura 4.5: Visao esquematica do ci-lindro de raio R e altura D subme-tido a um campo magnetico da formaH = H||z + H#x

4.2.2 Campo magnetico paralelo e perpendicular

Na presente secao nos consideramos os efeitos de um campo magnetico aplicado pa-

ralelamente ou perpendicularmente ao eixo do cilindro. Encontramos que as confi-

guracoes de vortices para o razao-curta e razao-igual diferem consideravelmente para

H# mas nao para H". As diferentes alturas dos dois cilindros (44) nao produzem

efeitos significantes no caso H", como esperado, mas possuem um efeito pronunciado

no caso H#.

Para ambos os casos, nos realizamos um ciclo completo de variacao do campo

magnetico, iniciando a campo nulo, aumentando-o gradativamente ate o seu valor

maximo, Hc3, onde a fase normal e atingida. O ciclo e fechado reduzindo o campo

ate zero novamente. Esse procedimento nos permite observar o comportamento

histeretico do supercondutor. Um fato geral bem conhecido sobre os ciclos de mag-

netizacao e que quando aumentamos o campo magnetico o sistema se encontra no

estado fundamental e quando diminuımos o campo, o sistema adquire configuracoes

de estados excitados (108). Esse comportamento e uma consequencia da barreira

de superfıcie de Bean-Livingston, que existe mesmo no presente caso de um super-

condutor do tipo-II extremo (! ! 1). A barreira de superfıcie de Bean-Livingston

origina-se de dois efeitos que competem entre si: a blindagem do campo magnetico

(efeitos Meissner) e o presenca de vortice imagem com vorticidade oposta. O pri-

meiro empurra o vortice para dentro da amostra, e o segundo tenta coloca-lo para

fora da amostra aproximando o vortice do vortice imagem. Aqui a blindagem do

campo magnetico nao e considerada, pois estamos no limite ! ! 1, mas existem

correntes superficiais que resultam em uma barreira de Bean-Livingston. As corren-

tes superficiais nas bordas da amostra e as correntes em torno do vortices fluem em


Figura 4.6: Na parte de cima as figuras (a)-(d) mostram a energia livre versus ocampo magnetico aplicado para os cilindros razao-curta (D = 4.0%) e a razao-igual(D = 8.0%) com raio igual a R = 4.0%. Uma visao esquematica dos cilindros e aorientacao do campo sao mostradas com subgraficos. Na pate de baixo as figuras(f)-(h) mostram as correspondentes curvas de magnetizacao. M ' se refere a DyyMy

ou a DzzMz nos casos de H# ou H", respectivamente. Os subgraficos na Fig. 2(h)sao ampliacoes da curva de magnetizacao que mostram uma descontinuidade coma transicao com a transicao estrutural observada para L = 2 (esquerda) e L = 6(direita).

direcoes opostas e esses comportamentos fazem com que os vortices procurem o cen-

tro da amostra quando estamos aumentando o campo magnetico, mas nao quando

estamos diminuindo. Nessa ultima situacao, a barreira de Bean-Livingston e enfra-

quecida pelo excesso de vortices ja dentro da amostra, e entao, nao atua mais eficien-

temente. Consequentemente, estados excitados com energia mais elevada tornam-se

acessıveis uma vez que os vortices estao arranjados longe do estado fundamental.

Este comportamento histeretico ja foi discutido em diversas publicacoes (59; 108) no

caso de uma superfıcie plana (H") e aqui nos o encontramos presente na superfıcie

lateral do cilindro (H#).

As curvas de energia versus o campo aplicado para ambos os casos, H# e H", mos-

tram qualitativamente a mesma estrutura, fato que requer algumas consideracoes.

Ambas as curvas consistem de uma soma de linhas independentes que se intercep-

tam, identificadas de acordo com o numero topologico, ou a vorticidade L, definida


como o numero de vezes em que a fase do parametro de ordem varia de 2$ quando

percorremos um caminho pela borda da amostra (90). Para H" o numero topologico

corresponde ao momento angular total, mas para H# a situacao e mais complexa

uma vez que existem vortices de diferentes comprimentos envolvidos no problema.

Neste aspecto, esta discussao sobre a estrutura da magnetizacao possui novos ele-

mentos em relacao aquela da secao 4.1.1.

Para H# os vortices no centro sao mais longos do que os nas bordas. Essa

caracterıstica nao oferece dificuldade para a abordagem numerica uma vez que nos

obtemos as configuracoes de vortices sem utilizar qualquer configuracao pre-definida.

Por exemplo, metodos que usam a abordagem tipo ponto de cela (saddle point states)

(6; 91; 104), expressam o parametro de ordem como uma combinacao linear de auto-

estados de diferentes momentos angular. Portanto nao se aplicam aqui. O momento

angular nao e um bom numero quantico para H# uma vez que nao existe simetria

de rotacao neste caso. Contudo, nos escolhemos usar a notacao, L, para designar os

estados produzidos em H# e em H". As transicoes entre estados com vorticidade L e

L+1 sao transicoes de primeira ordem, e o valor do campo no ponto onde as curvas

desses dois estados se cruzam corresponde ao campo de nivelamento matching fields

HL. Formalmente, nesse ponto F (HL) = F (HL+1) e a passagem de um estado para

outro e uma transicao de primeira ordem.

Primeiramente, as propriedade geometricas do cilindro serao discutidas afim de

entender sua influencia sobre as configuracoes de vortices para H# e H". Na ori-

entacao paralela qualquer rotacao em torno do eixo z e uma operacao de simetria

mas para a orientacao perpendicular a unica invariancia existente e uma rotacao de

$ em torno do eixo y. Consequentemente a densidade |((r)|2 para H# e diferente

proximo as duas superfıcies tangentes, nominalmente, as superfıcies fundo-topo e a

lateral. Note que H# e tangente em toda a area do fundo e do topo mas somente

em duas linhas da superfıcie lateral. Nos encontramos que a densidade |((r)|2 sofre

uma forte depreciscao proximo a superfıcie lateral.

As curvas de energia livre versus o campo magnetico aplicado sao plotadas na

Fig. 4.6 para os cilindros razao-curta e razao-igual. Figs. 4.6(a) e 4.6(c) (Figs. 4.6(b)

e 4.6(d)) mostram a energia livre para H" (H#) para os cilindros razao-igual e razao-

curta, respectivamente. Para efeito de comparacao, nos usamos como nossa unidade

de campo o maximo campo utilizado com orientacao paralela no cilindro razao-curta,

introduzido previamente, para expressar os outros campos crıticos. Encontramos que


H# sc3 /Href = 1.17, H" l

c3 /Href = 1.00, e H# lc3 /Href = 1.16. Como esperado, H"

c3 e in-

dependente do comprimento dos vortices, e consequentemente da altura do cilindro.

Para o cilindro razao-curta a vorticidade maxima, Lmax, (L = 0, · · · , Lmax) e igual

a 12 (paralelo) e 10 (perpendicular), e para o cilindro razao-igual foi encontrado 12

em ambas as orientacoes.

Tabela 4.5: Os campos de nivelamento -matching fields para cilindros de diferentesalturas na presenca de campo paralelo ao eixo central, H"

L, e perpendicular, H#L . Os

valores dos campos estao normalizados por H" sc3 .

L & L + 1D = 4.0%

H"D = 4.0%

H#D = 8.0%

H"D = 8.0%

H#

0 0.15 0.25 0.15 0.161 0.26 0.37 0.26 0.262 0.34 0.49 0.34 0.323 0.41 0.59 0.41 0.374 0.49 0.68 0.49 0.465 0.59 0.77 0.59 0.506 0.63 0.85 0.63 0.567 0.69 0.93 0.69 0.618 0.75 1.01 0.75 0.689 0.81 1.09 0.81 0.7110 0.88 · · · 0.85 0.7611 0.96 · · · 0.92 0.8012 · · · · · · 0.99 1.15

Uma estimativa do numero total de vortices e obtida assumindo que a area ocu-

pada por um vortice e igual a area de seu nucleo, $%2, e em uma dada area pode-se

colocar tantos vortices ate que o estado supercondutor seja constituıdo apenas de

nucleos normais. Assim, sob campo paralelo espera-se que n"max = (R/%)2 - 16, que

e um valor superestimado dos nossos resutados (12 vortices). Para o campo perpen-

dicular essa razao se refere a area lateral do cilindro n#max = 2RD/$%2: n# smax - 10 e

n# lmax - 20. Assim no caso de H#, este argumento preve que o cilindro razao-curta

pode conter duas vezes mais vortices do que o cilindro razao-igual, uma estimativa

que e inconsistente com nossos resultados de 10 (razao-curta) e 12 (razao-igual)

vortices. Nos atribuımos a diminuicao do parametro de ordem na lateral do cilin-

dro, onde os vortices mais curtos estao localizados, seja a responsavel por tornar

os valores de n# smax e n# l

max menores do que os obtidos por esta estimativa. Esses

valores superestimados indicam que a diminuicao do parametro de ordem na lateral


do cilindro e mais severa no cilindro razao-igual do que no razao-curta.

Os pontos onde as curvas de energia se interceptam fornecem os valores dos

campos de encontramemto - matching fields para H"L e para H#

L , em ambos os

cilindros, o que corresponde a quatro casos. Esses valores estao reunidos na Tabela

4.5. Os valores dos campos de nivelamento matching field obtidos com H"L sao

menores do que os obtidos com H#L para o cilindro razao-curta e maiores para o

cilindro razao-igual. O intervalo de campo em que um estado de vorticidade L e

energeticamente estavel e definido como #HL = HL+1"HL. A Tabela 4.5 mostra que

para o cilindro razao-curta o caso perpendicular possui intervalos #HL mais largos

do que o caso paralelo: #H#L > #H"

L. Isso sugere que as configuracoes de vortices

em campo perpendicular sao mais estaveis e robustas do que as configuracoes em

campo paralelo apesar da densidade dos pares de Cooper ser menor nas bordas do

caso perpendicular do que no paralelo. O maximo numero de vortices para o caso

perpendicular e menor do que o do paralelo porque a diminuicao do parametro de

ordem deixa menos espaco para a nucleacao de vortices.

As curvas de magnetizacao versus campo magnetico estao plotadas na Fig. 4.6.

As figuras 4.6(e) e 4.6(g) correspondem aos cilindros razao-curta e razao-igual, res-

pectivamente, no caso H", e similarmente, as figuras 4.6(f) e 4.6(h) descrevem o

caso perpendicular H#. A parte superior dos ciclos de magnetizacao foram obtidas

aumentando o campo magnetico e a parte inferior diminuindo o campo, formando

os ciclos de magnetizacao com o comportamento dente de serra. Assim, as curvas

vermelhas sao obtidas aumentando o campo e as curvas azuis diminuindo o campo.

Essas curvas mostram que a resposta magnetica e maior quando aumentamos o

campo do que quando o diminuımos, uma evidencia que aumentar o campo conduz

o sistema atraves dos estados fundamentais e diminuir o campo conduz o sistema

atraves de estados excitados. Esse comportamento tem sido extensamente discutido

em estudos sobre filmes finos (5) e aqui nos mostramos que o mesmo cenario ocorre

para o caso de um cilindro.

A maior barreira energetica separando dois estados consecutivos, L e L + 1,

ocorre para L = 1, em ambas os orientacoes H# e H". No caso de H" essa barreira

e forte o suficiente para produzir uma resposta paramagnetica, como mostrado na

Figs. 4.6(a) e 4.6(c) para os cilindros razao-curta e razao-igual, respectivamente. A

explicacao para essa magnetizacao paramagnetica e atribuıda a barreira energetica

que retardou a saıda do ultimo vortice do interior do cilindro. Essa situacao meta-


Tabela 4.6: Intervalos de campo mostrados aqui correspondem os estados estaveis docilindro razao-curta. A coluna da direita mostra a transicao esperada apos a rotacaoda orientacao do campo de paralelo para perpendicular. Os valores do campo estaonormalizados por H" s

c3 .

Intervalo decampo aplicado

H

# de vorticesparal. estaveis

n"

# de vorticesperp. estaveis

n#

Transicao devortices esperada

n" & n#0.00 - 0.15 0 0 · · ·0.15 - 0.25 1 0 1 & 00.25 - 0.26 1 1 · · ·0.26 - 0.34 2 1 2 & 10.34 - 0.37 3 1 3 & 10.37 - 0.41 3 2 3 & 20.41 - 0.49 4 2 4 & 20.49 - 0.56 5 3 5 & 30.56 - 0.59 6 3 6 & 30.59 - 0.63 6 4 6 & 40.63 - 0.68 7 4 7 & 40.68 - 0.69 7 5 7 & 50.69 - 0.75 8 5 8 & 50.75 - 0.77 9 5 9 & 50.77 - 0.81 9 6 9 & 60.81 - 0.85 10 6 10 & 60.85 - 0.88 10 7 10 & 70.88 - 0.93 11 7 11 & 70.93 - 1.00 11 7 11 & 71.00 - 1.01 · · · 8 · · ·1.01 - 1.12 · · · 9 · · ·

estavel permanece ate o ponto em que a corrente do vortice ultrapassa a corrente

de blindagem presente na superfıcie do cilindro. O vortice e a corrente de blinda-

gem possuem orientacoes opostas e a soma define o sinal da magnetizacao total.

Para um sinal positivo, onde a magnetizacao possui a mesma direcao do campo

aplicado, a situacao e paramagnetica. Figs. 4.6(f) e 4.6(h) mostram que esse efeito

paramagnetico nao existe no caso da orientacao perpendicular, uma vez que a mag-

netizacao nunca e positiva nas figuras da Fig. 4.6. Essa e uma indicacao clara de

que a barreira energetica separando os estados contendo um e zero vortice e maior

em campo paralelo do que em campo perpendicular.

A seguir determinamos os coeficientes de demagnetizacao a partir das relacoes da


secao 2.6 desenvolvidas no Cap. 2. Da nossa abordagem teorica nos obtemos a razao

entre as duas componentes independentes nao-nulas da demagnetizacao, Dyy/Dzz,

iguais a 1.7 e 1.0 para os cilindros razao-curta e razao-igual, respectivamente. No

limite de London, onde os fatores de demagnetizacao possuem expressoes analıticas

para diversas geometrias. Expressoes conhecidas para os fatores de demagnetizacao

para o cilindro (111) e tambem para elipsoides (88) preveem uma razao menor do

que um par o cilindro razao-curta, onde essas expressoes se aplicam em cilindros no

limite de London (R, D >> '), todavia nos temos tratados o limite de cilindros

mesoscopicos (R, D << '). A resposta do supercondutor a um campo magnetico

aplicado reduz-se a correntes superficiais, diferentemente do regime mesoscopico

onde a corrente e volumetrica. Os presentes resultados implicam que o fator de de-

magnetizacao tambem deve depender da razao entre os parametros fenomenologicos

de Ginzburg-Landau, ' e %, e dos fatores geometricos, R e D, dos quais essa de-

pendencia pode ser seguramente ignorada para cilindros macroscopicos (4). Daqui

por diante, nos normalizaremos a magnetizacao de modo a exibir a fase Meissner

linear, e entao, serao expressadas como "4$DzzMz vs H" e "4$DyyMy vs H#.

a) b)

c) d)Figura 4.7: Secao transversal da den-sidade dos pares de Cooper ((r) de-finida no meio do cilindro de alturaD = 8.0% (razao-igual), nos camposmagneticos H#/Href iguais a 0.226,0.286, 0.461 e 0.512.

Nos encontramos no arranjo de vortices uma transicao de fase estrutural para

H# mas nao para H". Os estados com vorticidade L = 2 e L = 6 exibem esta

transicao estrutural, relacionada com um abrupto reposicionamento dos vortices no

cilindro. Essas duas transicoes sao descritas nos subgraficos da esquerda e da di-

reita da Fig. 4.6(h) onde a magnetizacao desses estados e enfatizada. A densidade

dos pares de Cooper na secao transversal do cilindro e mostrada na Fig. 4.7. As

Figs. 4.7(a) e 4.7(c) (Figs. 4.7(b) e 4.7(d)) mostram a configuracao de vortice ime-


diatamente abaixo e acima da transicao estrutural. Nos explicamos essa transicao

em termos da diminuicao da densidade dos pares de Cooper nas bordas do cilindro

no caso de H#. A nucleacao de vortices e energeticamente favoravel proxima a su-

perfıcie lateral porque os vortices sao mais curtos nesta regiao. Contudo, a superfıcie

lateral tambem impoe aos vortices um efeito oposto que os empurra para dentro do

supercondutor. O aumento do campo magnetico faz com que os vortices se movam

da superfıcie lateral, onde a diminuicao e maior, para a regiao central com ganho de

estabilidade. A transicao estrutural para o caso mais simples de L = 2, significa que

abaixo os dois vortices estao proximos da superfıcie lateral, e acima da transicao,

eles estao alinhados ao longo da direcao fundo-topo, i.e., uma rotacao de 90( na

configuracao dos vortices.

4.2.3 A transicao entre vortice gigante e multivortice

Figura 4.8: Energia livre dos GVS (linha solida) e os MVS (linha tracejada) emfuncao do campo magnetico para um cilindro de raio R = 4.0% e altura D = 4.0%.A legenda ao lado de cada curva indica a vorticidade do sistema. Na regiao cinzaapenas GVS sao observados enquanto que na regiao branca ambos MVS e GVS saoobservados.


Figura 4.9: Em (a), magnetizacao emfuncao do campo magnetico para umcilindro de raio R = 4.0% e alturaD = 4.0%. As subfiguras sao as iso-superfıcie bidimensionais |((r))|2 =cte obtidas no campo H/Hc2 = 0.785com vorticidade 4 e 6. Em (b)e (c) emostrado as iso-superfıcies tridimen-sionais da densidade dos pares de Co-oper.

Cada estado de vortice e caracterizado por um numero inteiro que e a vortici-

dade total dentro do cilindro. Se aumentarmos a intensidade do campo magnetico

mantendo fixa a vorticidade total do cilindro, a configuracao de vortices passa de um

estado constituıda por um conjunto de vortices individuais, MVS, para um estado

composto por vortices gigantes, ou seja, vortices com vorticidade multipla. Essa

transicao entre os estados de multivortice (MVS) para os estados de vortices gigan-

tes (GVS) ocorre para todas as vorticideades em que L > 1, onde L e a vorticidade

total do cilindro, correspondendo a uma transicao de segunda ordem. Em geral o

MVS representa o estado fundamental para uma determinada vorticidade L pois

eles ocorrem a campos magneticos mais baixos. A medida que aumentamos a inten-

sidade do campo magnetica, induzindo a transicao de fase do estado de vortices com

vorticidade L de MVS para GVS, um novo estado composto por MVS com vortici-

dade L + 1 torna-se acessıvel e com energia mais baixa. Dessa forma, os GVS com

vorticidade L possuem maior energia do que os MVS com vorticidade L + 1. Nos

mostramos as transicoes entre MVS e GVS nas curvas da energia livre em funcao

do campo magnetico da Fig. 4.8 onde os estados de MVS sao plotados com linhas

tracejadas e os de GVS com linhas contınuas. A intensidade do campo magnetico

que torna os GVS metaestaveis e precisamente o campo de nivelamento - matching

field. Se a transicao MVS&GVS ocorrer a um campo superior a HL, o estado sera

metaestavel (102).


Todavia, para mesma condicao de campo com intensidade crescente e vorticidade

constante a configuracao de vortice torna-se meta-estavel a medida que outro estado

de vortice com diferente vorticidade adquire energia mais baixa. Essa mudanca de

estabilidade ocorre precisamente nos campos de nivelamento - matching field (102).

Na Nos mostramos a energa livre em funcao da intensidade do campo magnetico na

Fig. 4.8 e a respectiva magnetizacao na Fig. 4.9.

A curva com menor energia corresponde ao estado termodinamico mais estavel.

Um trexo dessa curva descreve a fase Meissner, que se extende de zero ate o pri-

meiro campo de nivelamento - matching field. Acima deste campo a entrada de um

vortice e favorecida. Contudo, o sistema pode permanecer no estado Meissner em

campos acima do primeiro campo de nivelamento - matching field mas como uma

configuracao meta-estavel. A pequena diferenca de energia em torno dos campos de

nivelamento torna possıvel o comportamento histeretico dos ciclos de magnetizacao.

Na Fig. 4.8 nos encontramos estados de multivortices (MVS) e estados de vortices

gigantes (GVS, na sigla em ingles). Nos apenas observamos MVS para campos

magneticos abaixo do valor H/Hc2 = 0.96 e somente GVS acima desse valor. Esses

resultado e diferente dos resultados obtidos em (102) onde eles encontraram somente

GVS como estado fundamental (MVS aparecem como estados meta-estavveis) em

um disco fino de raio de %. A cor vermelha na Fig. 4.9 corresponde a parte ascendente

do ciclo de magnetizacao, e a cor azul a parte descendente. Como ja descrito nas

secoes anteriores, a curva de magnetizacao e verdadeiramente uma colecao de linhas

independentes que nao se tocam, cada uma associada a uma vorticidade distinta.

A medida que o campo magnetico cresce, a configuracao de vortice “pula”de uma

linha para outra linha proxima provocando uma mudanca de vorticidade de L para

L + 1 e originando o comportamento histeretico da magnetizacao. As Figs. 4.9(b) e

4.9(c) exibem a iso-superfıcie tridimensional da densidade dos pares de Cooper em

duas diferentes configuracoes obtida no mesmo campo magnetico H/Hc2 = 0.785.

O estado com L = 4 no sentido de campo ascendente (vermelho) enquanto o estado

com L = 6 no sentido descendente (azul). Nos encontramos doze linhas de mag-

netizacao independentes, o que implica que a vorticidade maxima suportada pelo

cilindro e onze. Este valor esta em acordo com os onze vortices encontrados por

Baelus et al. (102) para um cilindro de mesmo raio e altura 0.1%, obtido em um

supercondutor com uma constante de Ginzgurg-Landat ! = 0.28. O estudo deles e

baseado em um metodo diferente do nosso que considera a evolucao temporal das


equacoes de Ginzburg-Landau. O numero maximo de vortices no cilindro pode ser

estimado com a razao entre a area da superfıcie do cilindro e o tamanho do nucleo

do vortice ns = R2/%2 = 16. Esse valor superestima o verdadeiro numero de vortice,

uma vez que a repusao dos vortices nao e considerada. De acordo com a Fig. 4.8,

o primeiro vortice ocorre no campo H/Hc22= 0.21 e a fase normal e alcancada no

campo Hc3/Hc22= 1.48. Para o disco utilizado em (102), valores mais elevados foram

encontrados para esses campos, especificamente 0.38 e 1.95 em unidades de Hc2.

4.2.4 Campo inclinado

A rotacao contınua do campo magnetico traz a tona propriedades interessantes da

configuracao de vortices, um fato que nos aqui mostramos para um cilindro me-

soscopico. As duas orientacoes do campo inclinado, paralelo e perpendicular, pro-

duzem diferentes regioes de estabilidade em cada vorticidade, #HL, nas duas ori-

entacoes do campo aplicado. Uma vez que os valores de #HL contidos na Tabela 4.6

possuem diferencas mais pronunciadas no cilindro razao-curta nos nos concentrare-

mos daqui por diante nesse caso. Para um valor do campo magnetico fixo, o numero

de vortices sob a orientacao paralela e a perpendicular nao necessariamente coinci-

dem. Consequentemente ocorre entrada ou saıda de vortices por meio da rotacao

do campo, resultando em transicoes de primeira ordem. A Tabela 4.6 resume essas

transicoes por rotacao no caso do cilindro razao-curta.

O numero de possıveis transicoes por rotacao cresce muito rapidamente com o

aumento no numero de vortices. Por exemplo, a presenca de quatro vortices resulta

em mais de 15 transicoes com a rotacao do campo. Por esse motivo nos nos limitare-

mos a detalhar as transicoes que envolvem ate tres vortices no cilindro razao-curta.

As transicoes sao classificadas de acordo com o numero inicial e final de vortices

de acordo com a notacao estado inicial-para-final: transicoes zero-para-zero, um-

para-zero, um-para-um, dois-para-um, tres-para-um e tres-para-dois. As transicoes

presentes nesses regimes envolvem vortices que conectam duas superfıcies do ci-

lindro sugerindo a definicao dos seguintes estados: fundo-topo(bt), fundo-lado(bs),

lado-topo(st) e lado-lado(ss). Essas definicoes derivam da nomenclatura inicialmente

adotada em lıngua inglesa: (bt) para botton-top, (bs) para botton-side, (st) para

side-top e (ss) para side-side.


4.2.4.a Zero-para-zero

A rotacao da orientacao do campo magnetico no regime 0.0 < H/Href < 0.15

mantem o cilindro na fase Meissner, de acordo com o primeiro intervalo da Tabela

4.6. Considerando que a fase Meissner esta presente no estado inicial e tambem no

estado final, somente fatores geometricos sao importante nesta rotacao. Este regime,

aparentemente trivial e bastante rico embora nao possua vortices. Obtem-se que a

fase Meissner na orientacao paralela e diferente da orientacao perpendicular. A

Fig. 4.10 mostra a curva de energia livre F e as duas componentes da magnetizacao,

Mz e My versus o angulo . de rotacao no regime zero-para-zero, obtida a um campo

magnetico H/Href = 0.103. A curva de energia livre versus a intensidade do campo

magnetico associada a fase Meissner e mostrada na Fig. 4.11 para a orientacao

paralela e perpendicular. O subgrafico no canto inferior direito da Fig. 4.11 mostra

a media da densidade dos pares de Cooper no cilindro, )|((r)|2*, em funcao da

intensidade do campo magnetico e contem o importante resultado )|((r)|2*# >

)|((r)|2*" valido em toda a fase Meissner. A densidade dos pares de Cooper no

estado Meissner apresenta diferencas entre H# e H". Para H#, |((r)|2 e menor

nas superfıcies laterais, proximo das regioes onde o campo e tangente ao cilindro,

quando comparado com o valor da densidade nas superfıcies do fundo e do topo.

esta diminuicao aumenta a densidade no interior do cilindro - o plano de rotacao

yz. Essa distribuicao da densidade supercondutora explica os valores mais baixos

na energia livre em H# comparado com os valores em H", como pode ser verificado

na Fig. 4.11.

A dependencia angular da energia livre na fase Meissnner pode ser ajustada -

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

-1.00

-0.98

-0.96

-0.94

-0.92

-0.90

-0.88

-0.86

0 30 60 90 120 150 180-0.2

-0.1

0.1

0.2

0 30 60 90 120 1500.00

0.05

0.15

0.20

! (degree)

F /

F0

-4"D

zzM

z

-4"D

yyM

y

Figura 4.10: Energia livre em funcaodo angulo de orientacao do campomagnetico para o cilindro razao-curta(R = 4.0% e D = 4.0%). O angulo . =0( corresponde a orientacao paralela eo campo aplicado e H/Href = 0.103.Os subgraficos mostram as correspon-dentes z e y magnetizacoes.


Figura 4.11: Energia livre em funcaoda intensidade do campo magneticopara o cilindro razao-curta na faseMeissner. O subgrafico mostraa media da densidade supercondu-tora, )|((r)|2*, em funcao do campomagnetico. A linha tracejada corres-ponde a orientacao paralela (. = 90()e a linha solida a perpendicular (. =0().

fitting pela seguinte funcao,

F (., h) = F0 + hp5c + d · sin2 .

6, (4.1)

onde os parametros c e d sao ajustaveis. Este ajuste foi aplicado as curvas da fase

Meisnner nas Figs. 4.10 e 4.12 obtendo uma concordancia em todos os pontos das

curvas. A Fig. 4.12 tambem mostra a energia livre do estado Meisner em funcao

do angulo . (linha preta solida ), obtida no campo magnetico H/Href = 0.201, que

corresponde ao segundo regime de campo contido na Tabela 4.6. Apenas para a

seguinte discussao nos assumiremos que h e uma notacao mais simplificada para

H/Href . Nos comecamos com a funcao tentativa dada por

F (., h) = F0 + a(h) + b(h) sin2 (.), (4.2)

onde F0 e uma constante aditiva e a(h) e b(h) sao funcoes que dependem somente

da campo magnetico. Os casos limites nos ajudam a deduzir essas funcoes apenas

baseando-se no comportamento assintotico. No caso de campo nulo, a energia se

torna independente de . e igual a seu valor de normalizacao, implicando que b(h =

0) & 0, a(h = 0) & 0 e F0 = "1. Para campo paralelo nao nulo, nos temos

que F (0(, h) = F0 + a(h), e este ultimo termo e determinado a partir dos valores

da energia contidos na Fig. 4.6. De forma equivalente, para . = 90(, nos temos

F (90(, h) = F (0(, h)+b(h). Novamente, os valores desta expressao sao conhecidos a


partir dos valores das curvas de energia da Fig. 4.6. Uma vez que as curvas F (0(, h) e

F (90(, h) possuem o mesmo comportamento e podem ser descritas satisfatoriamente

por uma lei de potencia da forma hp. Nos obtemos entao a Eq. (4.1) em termos de

tres constantes c, d e p deduzidas a partir das relacoes a(h) = c · hp e b(h) = d · hp.

De F (90(, h) < F (0(, h), decorrem as seguintes relacoes: c > 0 e d < 0. Em

conclusao, nos encontramos para o cilindro razao-curta que c = 3.347 e d = "1.202,

que sao constantes que dependem apenas de fatores geometricos, determinados pela

orientacao do campo magnetico em relacao ao eixo principal do cilindro. A escolha

de um unico expoente p nas funcoes a(h) e b(h) produz suficiente acuracia para um

ajuste simultaneo das curvas paralelas e perpendiculares: p=1.68.

4.2.4.b Um-para-zero

A rotacao a partir de . = 0(, no caso de apenas um vortice no sistema, e interessante

pois o vortice tem que ser expelido em um determinado angulo crıtico onde a fase

Meissner se estabelece. O estado de um vortice reside em diferentes intervalos de

campo para a orientacao paralela, 0.15 < H"/Href < 0.26, e para a perpendicular,

0.25 < H#/Href < 0.37, como pode ser verificado na Tabela 4.5. Nenhum vortice

perpendicular e possıvel quando o cilindro se encontra no estado fundamental no

intervalo de campo 0.15 < H#/Href < 0.25, apesar dele poder existir como estado

meta-estavel, que corresponderia ao estado fundamental do segundo intervalo de

campo da Tabela 4.5.

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

-0.90

-0.85

-0.80

-0.75

-0.70

-0.65

-0.60

0 30 60 90 120 150 180

-0.24

-0.12

0.12

0.24

0 30 60 90 120 1500.00

0.06

0.18

0.24

!"

! (degree)

F /

F0

-4"D

zzM

z

-4"D

yyM

y

Figura 4.12: Energia livre F emfuncao do angulo de orientacao . entreo eixo principal e o campo magneticopara o cilindro razao-curta. Ossubgraficos mostram as corresponden-tes curvas de magnetizacao Mz e My.A intensidade do campo magnetico eH/Href = 0.201 que resulta no estadode um vortice (bt) representado pelascurvas vermelhas e na fase Meissner,representado pela cor preta.

Fig. 4.12 mostra a energia livre F em funcao do angulo de orientacao . a uma

intensidade do campo magnetico H/Href = 0.201. Para 0(, o estado com um vortice


e o estado Meisnner correspondem ao estado fundamental e ao primeiro estado ex-

citado, respectivamente. Ao rotacionar o campo magnetico provoca efeitos opostos

nestes estados: o estado de um vortice cresce em energia e o estado Meissner de-

cresce em energia, e exatamente a . 2= 44( as curvas de energia desses dois estado

se cruzam. Para esse angulo o campo paralelo, H"/Href = 0.201 cos (44() = 0.14,

encontra-se no primeiro intervalo descrito pela Tabela 4.6, que significa que o estado

Meissner, e nao o estado de um vortice, e estavel. Para angulos maiores do que 60(

nossa abordagem numerica nao e mais capaz de encontrar o estado meta-estavel (o

estado de um vortice) e apenas o estado fundamental, como indicado pelas curvas

na cor preta da Fig. 4.12. A Fig. 4.13 mostra a iso-superfıcie tridimensional da

densidade supercondutora em dois diferentes angulos de orientacao, (a) . = 0( e (b)

59(, em um campo magnetico com intensidade H/Href = 0.201. Esses dois angulos

correspondem ao primeiro e ultimo ponto da curva em vermelho (bt) da Fig. 4.12.

Note que o vortice esta orientado ao longo do campo nos dois estados mostrados

mas se encontram deformado no caso inclinado. O vortice tem que alcancar per-

pendicularmente as superfıcies do fundo do topo para que as condicoes de contorno

sejam satisfeitas e que nenhuma corrente passe para a regiao exterior.

Figura 4.13: Iso-surperfıcie tridimensional da densidade supercondutora gerada para|((r)|2 = 0.2 em um campo magnetico H/Href = 0.201 orientado nos angulosde orientacao em relacao ao eixo principal do cilindro de raio R = 4.0% e alturaD = 4.0%: . = 0( (a) e 59( (b).

4.2.4.c Um-para-um

Neste pequeno intervalo de campo, 0.25 < H/Href < 0.26, o vortice permanece

dentro do supercondutor atraves de toda a rotacao de 0( a 90(. Entretanto este

regime revela a presenca de duas transicoes ocasionadas por rotacao. Na rotacao,

o vortice no interior do cilindro razao-curta pula da configuracao fundo-topo para

a configuracao lado-topo, seguido por um segundo pulo num angulo maior, entre


a regiao lado-topo para a lado-lado. A Fig. 4.14 mostra a energia livre F e as

magnetizacoes Mz e My em funcao do angulo ., que exibem a simetria de reflexao

em torno do angulo de 90(, como esperado, em tres curvas distintas associadas

com os diferentes configuracoes: fundo-topo (bt) na cor verde, lado-topo(st) na cor

vermelha e lado-lado(ss) na cor preta.

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

-0.66

-0.64

-0.62

-0.60

-0.58

-0.56

-0.54

0 30 60 90 120 150 180-0.2

-0.1

0.1

0.2

0 30 60 90 120 1500.00

0.05

0.15

0.20

!"

#"

##

! (degree)

F /

F0

#"

!"

-4"D

zzM

z

-4"D

yyM

y

Figura 4.14: Energia livre em funcao doangulo . para o cilindro razao-curta. Ossubgraficos mostram as correspondentesmagnetizacoes ao longo do eixo y e z. Arotacao do campo magnetico com inten-sidade H/Href = 0.255 resulta nos esta-dos fundo-topo (curva verde), lado-topo oufundo-lado (curva vermelha) e lado-lado(curva preta).

Na Fig. 4.15 nos mostramos algumas iso-superfıcies tridimensional obtidas na

rotacao de 0( para 180( em incrementos de 0.5( e com a intensidade do campo

magnetico fixa em H/Href = 0.255. A energia livre F diminui de valor na mudanca

de orientacao do campo magnetico de paralelo para perpendicular, como ja consta-

tado na fase Meissner e um-para-zero. Porem, a dinnuicao da energia nunca ocorre

de forma monotonica, como pode ser observado na curva verde da Fig. 4.14 para

H/Href = 0.255, mesmo no caso de um vortice no cilindro durante todo o processo

de rotacao da orientacao. Nesta curva a energia livre tem um mınimo localizado em

. = 43(, um resultado surpreendente ja que torna essa configuracao estavel. Ela esta

separada das configuracoes paralela e perpendicular por uma barreira de potencial.

Note que ela implica num vortice inclinado com energia menor do que um vortice

reto. Surpreendentemente . = 0( e um maximo da energia livre nessa curva. A

segunda curva na cor vermelha compreendida de . = 58( ate . = 73( e corresponde

a configuracao lado-topo ou fundo-topo. Esta configuracao e energeticamente estavel

em um intervalo de 15(. A terceira curva, de cor preta, corresponde a configuracao

(ss), a regiao central do cilindro onde a configuracao lado-lado e encontrada. A

configuracao lado-lado exibe a menor energia livre entre as tres observadas nesse

intervalo de campo compreendido por uma janela angular de 34(. Apesar da confi-

guracao (ss) possuir a menor energia livre, e a configuracao (bt) que possui a maior

regiao angular de estabilidade.


Figura 4.15: Iso-superfıcies tridimensionais da densidade dos pares de Cooper defi-nidas por |((r)|2 = 0.2. As iso-superfıcies forma obtidas com H/Href = 0.255 e nosseguintes angulos de orientacao: (a) 56(, (b) 70(, (c) 88(, (d) 104( and (e) 120(.

A explicacao para o intervalo de estabilidade angular das curvas da Fig. 4.14 e

atribuıda as varias maneiras de acomodar o vortice na rotacao. Na configuracao

fundo-topo, o vortice tem mais espaco para efetuar a sua mudanca de orientacao do

que na configuracao lado-lado.

4.2.4.d Dois-para-um

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

-0.68

-0.64

-0.60

-0.56

-0.52

-0.48

-0.44

0 30 60 90 120 1500.00

0.04

0.12

0.16

0 30 60 90 120 150 180-0.16

-0.08

0.08

0.16

!"

#"

##

F /

F0

! (degree)

#"

2!" 2!"!"

-4"D

yyM

y

-4"D

zzM

z

Figura 4.16: Energia livre F emfuncao do angulo de orientacao . parao cilindro razao-curta. Os subgraficosmostram as correspondentes magne-tizacoes Mz e My obtidas a um campomagnetico H/Href = 0.28. A curvaazul corresponde a configuracao (2bt),a verde (bt), a vermelha e a preta (ss)

O caso da rotacao da orientacao do campo magnetico dentro do quarto intervalo

da Tabela 4.6 apresenta dois vortices para . = 0( e apenas um para . = 90(. Neste

regime existem muitas configuracoes iniciais, uma vez que nao existe posicionamento

preferencial para os vortices que se encontrem no plano xy. Uma vez que a rotacao


e iniciada, o cilindro rotacionado define uma direcao preferencial, removendo a de-

generescencia. Por esse motivo, uma rotacao de 180( nao devolve o sistema a sua

configuracao inicial, diferentemente dos caso anteriores que sempre permitiam recu-

perar a sua configuracao inicial por rotacao. Tambem e possıvel ocorrer um vortice

gigante L = 2 em torno do limite superior deste mesmo intervalo de campo. De

forma geral, vortices gigantes e vortices multiplos sao encontrados em diferentes in-

tervalos da intensidade do campo para uma vorticidade L fixa. A rotacao do campo

atua nos vortices gigantes de modo que um unico vortice gigante com L = 2 se

divide em dois vortices com L = 1 cada, para uma inclinacao pequena, e prossegue

apartir dessa configuracao com dois vortices individuais.

A Fig. 4.16 mostra que o estado de dois vortices (2bt), representado pela curva

azul, permanece ate o angulo 38(, e a partir desse angulo, apenas um vortice, tambem

bt, se estabelece no cilindro razao-curta. As configuracoes que o vortice restante

apresenta correspondem exatamente as propriedades descrita na secao 4.2.4.c, pas-

sando pelas configuracoes (bt), (st) ou (bs) ate chegar na configuracao (ss). A

Fig. 4.17 mostra as iso-superfıcies tridimensionais de |((r)|2 e a superfıcie do topo

do cilindro para o campo magnetico H/Href = 0.28 em dois diferentes angulos

. = 0( (a) e of 38( (b). Observe que em Fig. 4.17(a) a posicao dos dois vortices

e estabelecida de maneira aleatoria devido a degenerescencia das solucoes mas que

devido a uma rotacao na orientacao do campo, o nucleo dos vortices passam a se

alinhar com o eixo x.

X

Y

c)

X

Y

d)

Figura 4.17: (a)-(b) Iso-superfıcies tridimensionais da densidade dos pares de Cooperobtidas com a condicao |((r)|2 = 0.2 e H/Href = 0.28 para o cilindro razao-curta.Em (a) o angulo de orientacao ’e . = 0( e em (b) 38(. As correspondentes iso-superfıcies bidimensionais sao mostradas em (c) e (d) onde a cor azul correspondea valores menores da densidade supercondutora e a vermelha valores maiores.


4.2.4.e Tres-para-um

O quinto intervalo da Tabela 4.6 fornece diagramas de energia e magnetizacao ainda

mais elaborados do que os analisados anteriormente. A Fig. 4.18 mostra a energia

livre F e as magnetizacoes Mz e My para H/Href = 0.35, que apos a rotacao descreve

a seguinte sequencia de estados: 3bt & 2bt & 1bt+1st & 1st+1bs & 1ss. Observe

que o regime tres-para-um passa atraves do estado com dois vortices. Alguns estados

intermediarios (2bt e bt+st) exibem as caracterısticas encontradas previamente como

a presenca de um mınimo local em um determinado angulo de rotacao da orientacao

do campo magnetico.

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

-0.56

-0.54

-0.52

-0.50

-0.48

-0.46

-0.44

-0.42

-0.40

-0.38

-0.36

0 30 60 90 120 150 180-0.16

-0.08

0.08

0.16

0 30 60 90 120 1500.00

0.05

0.15

0.20

3!"2!"

!"+#"

##

!#+#"!"+#"

2!"

F /

F0

! (degree)

3!"

-4"D

zzM

z

-4"D

yyM

y

Figura 4.18: Energia livre F em funcaodo angulo de orientacao . do campomagnetico em relacao ao eixo principal docilindro razao-curta. Os subgraficos mos-tram as magnetizacoes Mz e My obtidasa um campo magnetico igual a H/Href =0.35 que devido a rotacao resulta nas se-guintes configuracoes: 3bt (curva ciano),2bt (curva azul), bt + st (curva verde),bs+st (curva vermelha) e ss (curva preta).Tambem e mostrado as iso-superfıcies tri-dimensionais para a configuracao (a) bt +st com . = 44( e (b) bs + st com . = 64(,determinadas com a condicao |((r)|2 =0.05.

4.2.4.f Tres-para-dois

O sexto intervalo da Tabela 4.5 sao os valores mais elevados de campo magnetico

considerados em minha descricao das possıveis configuracoes dos vortices quando

rotacionamos a orientacao do campo. Os estado que se estabelecem sob esses valores

de campo podem ser vistos na Fig. 4.19. A sequencia de configuracoes e descrita na

seguinte sequencia quando variamos o angulo de . = 0( ate 90(:3bt & 2bt + bs &st + bt + bs & st + 2bs & st + ss + bs & 2ss. De maneira distinta de todas

as outras configuracoes anteriores, nos observamos aqui a presenca da configuracao

ss conjuntamente com as configuracoes bs ou st. Essas configuracoes podem ser

visualizadas atraves das iso-superfıcies tridimensionais mostradas na Fig. 4.19.


0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

-0.52

-0.50

-0.48

-0.46

-0.44

-0.42

-0.40

-0.38

-0.36

-0.34

-0.32

-0.30

-0.28

0 30 60 90 120 150 180-0.10

-0.05

0.05

0.10

0 30 60 90 120 1500.00

0.03

0.09

0.12

2!"+!#

#"+!"+!#3!"

#"+!"+!#

#"+2!##"+##+!#

#"+2!#

2##

2!"+!#

F /

F0

! (degree)

3!"

-4"D

zzM

z

-4"D

yyM

y

Figura 4.19: Energia livre F em funcaodo angulo de orientacao . do campomagnetico em relacao ao eixo principal docilindro razao-curta. Os subgraficos mos-tram as magnetizacoes Mz e My obtidasa um campo magnetico igual a H/Href =0.40 que devido a rotacao resulta nas se-guintes configuracoes: 3bt (curva rosa),2bt + bs (ciano), st + bt + bs (azul), st +2bs (verde), st + ss + bs (vermelho) e2ss (preto). Tambem e mostrado as iso-superfıcies tridimensionais para a confi-guracao (a) st + bt + bs (. = 42() e (b)st + bt + bs (. = 64(), determinadas coma condicao |((r)|2 = 0.05.

Nos interpretamos as descontinuidades na pulos na energia livre, mostrados na

Figs. 4.12, 4.14 e 4.16 como sendo transicoes estruturais de primeira ordem seme-

lhantemente as transicoes analisadas na Fig. 4.7. Essencialmente as descontinui-

dades encontradas nas curvas de energia livre sao oriundas da impossibilidade dos

vortices moverem-se continuamente de uma superfıcie para outra. Se a passagem

do vortice ocorrer de maneira contınua da superfıcie do fundo para a superfıcie late-

ral, o fluxo magnetico contido em cada uma das superfıcies adquirira um valor nao

quantizado. Uma vez que essa teoria baseia-se na quantizacao do fluxo magnetico

expresso na forma de vortices, o deslocamento de um vortice de forma contınua nao

e permitido. Na Fig. 4.15 nos mostramos a iso-superfıcie para cinco angulos dife-

rentes correspondendo as tres configuracoes de vortices bt (a), bs (b), ss (c) ou st

(d) e bt (e).

Nos destacamos que as transicoes mostradas nas Figs. 4.10, 4.12, 4.14, 4.16, 4.18

e 4.19 refletem a relacao entre o diametro e a altura do cilindro razao-curta e sao

esperadas para se apresentar de maneira diferente em cilindros com outras razoes da

altura pelo diametro. Contudo, a possıveis transicoes que outros tamanhos de cilin-

dros devem exibir corresponderam a diferentes angulos crıticos e diferentes campos

de nivelamento -matching fields. Para cilindros muito altos (D ! R), a configuracao

lado-lado custara muito menos do que as configuracoes fundo-topo, simplesmente

porque tais vortices eram muito mais curtos. Consequentemente espera-se grandes

diferenca de energia, e consequentemente grandes descontinuidades, separando esses


dois estados nesse limite.

4.2.5 Analise do comprimento do vortice

A pequena razao entre o volume e a area em supercondutores produz novos e inte-

ressantes efeitos nos supercondutores mesoscopicos, como mostrado nesta tese. O

comprimento do vortice diretamente obtido dos nossos resultados numericos pode

ser comparamos com tres modelos simples para o comprimento do vortice no interior

do cilindro baseados nas seguintes expressoes:

l1(.) = D/ cos . (4.3)

l2(.) = D/ cos . + 2% (1" 1/ cos .) (4.4)

l3(.) = D51 + (1" 2%/D)2 tan2 .

61/2. (4.5)

O primeiro modelo consiste em uma linha reta passando atraves do centro do ci-

lindro e paralela ao campo magnetico. O seu comprimento, l1(.), alcanca o maximo

valor para . = atan(2R/D) 2= 63.4(, no caso do cilindro razao-curta. O segundo mo-

delo difere do primeiro nas proximidades das superfıcies do topo e do fundo porque

o a linha reta se quebra a uma distancia % para imergir perpendicularmente nas su-

perfıcies do fundo e do topo. O comprimento dessa linha, l2(.), e a soma de tres seg-

mentos, dois de tamanho % e um segmento central de comprimento (D"2%)/cos(.).

O terceiro modelo, l3(.), e composto por uma linha reta conectando as duas extre-

midades do segundo modelo. A linha desse modelo esta orientada por um angulo .'

ao inves de ser definida pela orientacao do campo magnetico .. A relacao de entre os

dois angulos e obtida pela relacao .' = (1" 2%/D) tan .. Esse modelo e util quando

comparado com uma vortice com um segmento nulo nas extremidades, ao inves de

um segmento % como proposto no segundo modelo. Determinamos numericamente

o comprimento da linha de vortice primeiramente localizando a posicao do nucleo

nas superfıcies do fundo e do topo. Entao nos prosseguimos na determinacao do

comprimento de duas maneiras. Em uma delas nos consideramos a posicao (x, y) do

mınimo da densidade supercondutora |((r)|2 em cada camada ao longo da direcao z.

Conectando cada uma das posicoes de cada uma das 48 camadas existentes em nossa

modelagem numerica nos obtemos o comprimento do vortice. Na outra maneira nos


simplesmente conectamos a posicao do nucleo do vortice nas duas extremidades por

uma linha reta. Essas duas maneira de determinar numericamente o comprimento do

vortice sao denominadas “comprimento tridimensional” 3D length e “comprimento

curto” short length, respectivamente. Note que essas duas ultimas nomenclaturas

foram definidas em lıngua inglesa para manter a conexao com o material publicado

inicialmente nessa lıngua.

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70

3.75

4.00

4.25

4.50

4.75

5.00

5.25

5.50

5.75

6.00

6.25

6.50

!(!)

! (degree)

!1

!2

!3

3D !"#$%& '&()%* !"#$%&

Figura 4.20: Comprimento do vorticeem funcao da orientacao . do campomagnetico em relacao ao eixo principaldo cilindro razao-curta. A intensidadedo campo e mantida constante e igual aH/Href = 0.255 enquanto o angulo e va-riado de 0( ate 180(.

Nos apresentamos todos esses modelos e as curvas numericas na Fig. 4.20. A

correspondencia de cada uma das cinco curvas encontra-se descriminada na legenda

da propria figura. Em angulos pequenos, proximo de zero, todas as curvas convergem

para o mesmo valor igual a altura do cilindro razao-curta, D = 4%. No intervalo

4( 3 . 3 24(, a curva 3D length exibe uma taxa de crescimento maior do que todas

as outras curvas basicamente devido a uma maior deformacao nas extremidades do

vortice. Para angulos grandes, 32( 3 . 3 60(, a diferenca entre as curvas short length

e 3D length e reduzida. As duas curvas numericas devem convergir assintoticamente

para o mesmo valor em . = 90(, mas esses modelos do comprimento do vortice so se

aplicam a configuracao fundo-topo, que so se estabelece para angulos menores do que

63.4(. Em resumo, estas comparacoes mostram claramente que vortices inclinados

emergem perpendicularmente nas superfıcies com uma distancia caracterıstica de %.


A configuracao de vortices em supercondutores mesoscopicos tridimensionais, espe-

cificamente um disco e uma esfera, foram obtidas atraves da minimizacao numerica

de recozimento simulado - simulated annealing a partir de uma versao modificada


do funcional de energia livre de Ginzburg-Landau que incorpora nativamente as

condicoes de contorno. Este procedimento fornece uma maneira eficiente de obter a

configuracao de vortice em supercondutores mesoscopicos requerendo relativamente

poucos pontos na discretizacao. O metodo e estavel em relacao a mudanca do ta-

manho da malha discreta, e na descricao do disco o metodo reproduz os resultados

encontrados anteriormente por outro metodo (5). Nos encontramos que pequenas

diferencas nas condicoes de contorno, como a introducao de uma camada superficial,

aumenta o campo crıtico superior e permite a presenca de um numero mais elevado

de vortices. No caso de uma esfera mesoscopica, nos encontramos que os vortices

sao naturalmente curvados devido a forte atuacao dos efeitos de superfıcie.

Nos mostramos, usando uma abordagem tridimensional para resolver a teoria

de Ginzburg-Landau, que a configuracao de vortices de um cilindro supercondutor

mesoscopico exibe propriedades unicas provocadas por seu tamanho finito. Dois

cilindros com distintas razoes da altura pelo diametro foram considerados e suas

propriedades determinadas, como os campos de nivelamento matching fields em

orientacao paralela e perpendicular. A existencia de transicoes estruturais foram

encontradas no caso de campo perpendicular. Antes da transicao, os vortices se po-

sicionam proximo as superfıcies laterais porque o seu comprimento, e consequente

energia, sao menores mas eles sao forcados a migrar para a regiao central do ci-

lindro uma vez que o arranjo de vortices se torna instavel devido a diminuicao do

parametro de ordem nas superfıcies. Os diferentes intervalos de estabilidade para

uma particular vorticidade faz com que a rotacao da orientacao do campo magnetico

apresente novas propriedades. Devido a pequena relacao entre o volume e a area

do supercondutor, a aplicacao de um campo magnetico oblıquo ao cilindro expoe os

vortices a duas demandas energeticas conflitantes: uma exigindo o vortice paralelo

ao campo magnetico e a outra exigindo que a extremidade do vortice seja perpen-

dicular as superfıcies de contato. Nos analisamos diversas transicoes decorrentes da

rotacao da orientacao do campo no caso de um, dois e tres vortices. Surpreendente-

mente para determinados valores de campo magnetico e possıvel encontrar vortices

inclinados com energia menor do que em vortices orientados paralelamente ao eixo

principal do cilindro. O aumento do angulo da orientacao do campo magnetico para

grandes inclinacoes provoca os seguinte efeitos: 1) Se vortices gigantes existem, eles

se dividem em multivortices, e entao 2) os vortices comecam a se inclinar de ma-

neira que a parte central permanece paralela ao campo magnetico e as extremidades


permanecem perpendicular a superfıcie. Com inclinacoes maiores da orientacao do

campo magnetico: 3) uma transicao de fase ocorre onde o vortice deixa a amostra,

ou dependendo da intensidade do campo magnetico, uma das extremidade “salta”da

superfıcie do fundo para a superfıcie lateral do cilindro resultando em uma confi-

guracao de vortice lado-topo. Subsequentemente, se outros vortices estao presen-

tes, 4) a extremidade oposta de outro vortice “salta”resultando numa configuracao

fundo-lado. A etapa seguinte, decorrente de inclinacao ainda maior, resulta nas

seguintes possibilidades, se nao mais do que dois vortices estao presentes, 5) a ex-

tremidade de um dos vortices inclinados “pula”de tal forma que um vortice esta

quase paralelo em relacao a superfıcie do topo/fundo. Dependendo da intensidade

do campo magnetico tambem e possıvel que antes do ultimo “pulo”ocorrer um dos

dois vortices presentes abandone o supercondutor. Quando mais do que dois vortices

estao presentes, existe uma outra possibilidade que pode ocorrer, especificamente,

6) um vortice na configuracao fundo-topo pode “pular”para uma configuracao quase

paralela a superfıcie do topo do cilindro. O cenario descrito acima continua ate

que todos os vortices estejam orientados perpendicularmente ao eixo do cilindro.

Fica claro que se em . = 0( a vorticidade no cilindro for grande, uma serie muita

rica de possıveis transicoes de fase deve ser experimentalmente observadas atraves

de medidas de magnetizacao, potencialmente feitas com Superconducting Quantum

Interface Device - SQUID (113) ou com micro-Hall magnetometer (42; 43) onde todo

o aparato experimental e inclinado em relacao a um campo magnetico estatico. A

estabilidade das diferentes configuracoes de vortices pode ser tracada atraves dos

ciclos de magnetizacao, obtidos aumentando e diminuindo a intensidade do campo

em determinada orientacao.

Os resultados apresentados nesse

capıtulo foram publicados nos

seguintes periodicos:

• M. M. Doria, A. R. de C. Romaguera, and F. M. Peeters, “E!ect of the

boundary condition on the vortex patterns in mesoscopic three-dimensional

superconductors - disk and sphere,” Phys. Rev. B, vol. 75, p. 064505, January

2007. Also selected for the February 15, 2007 issue of Virtual Journal of

Applications of Superconductivity. (7 pages) DOI

• A. R. de C. Romaguera, M. M. Doria, and F. M. Peeters, “Vortex pattern in

a nanoscopic cylinder,” Physica C, vol. , April 2007. (2 pages) DOI

• A. R. de C. Romaguera, M. M. Doria, and F. M. Peeters, “E!ects of boundaries

in mesoscopic superconductors,” Physica C, vol. , April 2007. (2 pages) DOI

• A. R. de C. Romaguera, M. M. Doria, and F. M. Peeters, “Tilted vortices

in a superconducting mesoscopic cylinder,” Phys. Rev. B, vol. 75, no. 18,

pp. 184525, May 2007. Also selected for the June 01, 2007 issue of Virtual

Journal of Applications of Superconductivity. (12 pages) DOI

• A. R. de C. Romaguera, M. M. Doria, and F. M. Peeters, “Transverse mag-

netization and torque in asymmetrical mesoscopic superconductors,” RAPID

COMMUNICATION Phys. Rev. B, vol. 76, no. 2, pp. 020505(R) , July 2007.

Also selected for the July 15, 2007 issue of Virtual Journal of Applications of

Superconductivity. Also selected for the July 30, 2007 issue of Virtual Journal

of Nanoscale Science & Technology (4 pages) DOI

http://dx.doi.org/10.1103/physrevb.75.184525

http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevB.76.020505

http://dx.doi.org/10.1103/physrevb.75.064505

http://dx.doi.org/10.1016/j.physc.2007.04.177

http://dx.doi.org/10.1016/j.physc.2007.04.178

Capıtulo 5

A coexistencia de magnetismo esupercondutividade

5.1 Triplete de lacos de vortices em supercondu-

tores com um nucleo magnetico

Neste capıtulo, nos consideramos uma nova estrutura de vortices que se origina do

campo magnetico inomogeneo de um dipolo magnetico pontual com momento µ que

e a unica fonte e sorvedouro das linhas de vortices e estabelece os eixos em torno

do qual os estados de vortices exibem simetria discreta. Para pequenos valores

de µ, como mostrado mais adiante, nos encontramos que os estados de vortices sao

constituıdos por um estado triplete: exatamente tres lacos de vortices confinados em

torno do eixo do dipolo. Para um momento magnetico µ maior, arranjos de vortices

mais elaborados se estabelecem devido a inomogeneidade do campo magnetico. O

aparecimento deste triplete de lacos de vortices em nosso sistema e uma consequencia

do balanco energetico como veremos adiante.

Portanto, a presente analise e bastante diferente dos estudos anteriores sobre es-

truturas de vortices e anti-vortices em sistemas hıbridos supercondutores/magneticos

(75–77) onde pontos magneticos - magnetic dots foram posicionados nas proximi-

dades, mas fora de uma amostra supercondutora fina. Enquanto que, nesse ultimo

caso mencionado, os vortices formam estruturas bidimensionais caracterizadas por

um nucleo semelhante a uma moeda, aqui eles sao linhas no espaco tridimensional,

baseado num formalismo que faz uso da teoria de Ginzburg-Landau completamente

tridimensional, de uma forma muito mais complexa do que nos trabalhos anteriores.

Consequentemente, novas fases de vortices com profundas caracterısticas tridimensi-

A coexistencia de magnetismo e supercondutividade 94

onais sao encontrados para esses conjuntos de vortices curvos, constituıdos por lacos

de vortices confinados - Confined Vortex Loops (CVL) e pares de vortices externos

- external vortex pairs (EVP). Para facilitar o tratamento numerico do problema,

consideramos o dipolo ocupando o centro de uma esfera mesoscopica. Como a esfera

nao quebra essa simetria muitos dos resultados apresentados tambem se aplicam

a inclusoes magneticas em supercondutores volumetricos. A presenca de uma su-

perfıcie externa torna possıvel o surgimento de pares externos que sao nada mais do

que lacos de vortices confinados que afloram a superfıcie.

Estados tripletes tem sido uma fonte de inspiracao desde os anos sessenta quanto

eles fora descobertos na fısica de hadrons - hadronic physics que resultou nos quarks

como os constituintes elementares da materia. Tripletes tambem aparecem em ou-

tras situacoes tais como na formacao dos estados ligados em gases de atomos de

cesio ultra-resfriados (58) e como solucao para a violacao do numero barionico nas

teorias das grandes unificacoes (2).

Na supercondutividade, a estrutura e simetria das linhas de vortices tem sido

o tema principal mesmo no inıcio de seu desenvolvimento, quando Abrikosov (1)

propos uma configuracao quadrada para a rede dos tubos de fluxo magnetico que

penetravam em um supercondutor volumetrico. Mais tarde, Kleiner et al. (57)

encontraram que a maneira mais eficiente de compactar tubos paralelos interagentes

e atraves de um padrao triangular. Contudo, em sistemas de baixa dimensionalidade,

a simetria da solucao de Abrikosov para a rede de vortices pode ser fortemente

afetada pelos contornos da amostra.

Os vortices, e aqui os lacos de confinados -confined vortex loops e os pares externos

- external vortex pairs, pertencem a categoria de solucoes topologicas em fısica, pois

a sua estabilidade se deve a uma propriedade topologica. No caso dos vortices,

e a fase do parametro de ordem que sempre carrega um valor de 0 a 2$ em seu

redor. Outras solucoes topologicas aparecem em varios sistemas fısicos, tais como

vortices em fluidos quanticos (84), deslocacoes em solidos (83), cordas cosmicas

globais (21; 70) e cadeias polimericas (116).


5.2 Aspectos teoricos

Podemos utilizar argumentos simples para estimar os campos crıticos Hc1 e Hc2

produzidos pelo campo magnetico de um dipolo pontual

B(r) =3(µ · r)r " µ

r3. (5.1)

Para tal vamos considerar o campo magnetico da Eq. (5.1) no plano equatorial da

esfera (µ · r = 0), e compara-lo com as expressoes conhecidas do campo crıtico

superior Hc2 e inferior Hc1 obtidas para uma rede de linhas de fluxo paralelas,

explicitamente Hc2 = $0/2$%2 e Hc1 = 0.5Hc2 ln !/!2. As regioes dos campos

crıticos sao atingidas na posicoes

r(Hc2) = (µ/µ0)1/3% (5.2)

r(Hc1) = r(Hc2)(2!2/ ln !)1/3. (5.3)

A condicao r(Hc2) 5 % ocorre para momentos magneticos maiores do que µ0 =

$0%/2$. Neste caso, o volume em torno do momento magnetico, onde a supercondu-

tividade e destruıda, possui um raio maior do que a escala mınima %, o tamanho dos

pares de Cooper. Obviamente a presenca de tais domınios magneticos com momento

µ0 requer um volume finito ao inves de um momento magnetico pontual. Vamos

assumir um nucleo esferico magnetizado de raio rM , e comparar sua magnetizacao

M com a magnetizacao de saturacao, definida aqui como sendo um magneton de

Bohr por atomo, M0 = µB/(4$a30/3) = 1.49 Tesla, onde a0 - 0.05 nm e o raio

atomico. O magneton de Bohr e µB = $0rc/2$, e rc e o raio classico do eletron.

Por exemplo, para % - 3.0 nm, µ0 possui aproximadamente um milhao de magne-

tons de Bohr orientados (%/rc - 106, %/a0 - 60). Neste caso o nucleo magnetizado

precisa ter um raio ligeiramente maior do que o comprimento de coerencia, mais

precisamente rM 5 1.7% para que possamos ter uma magnetizacao menor do que o

valor de saturacao (M 3 M0). Aqui, nos consideramos um supercondutor tipo-II de

tamanho finito, de tal o comprimento de penetracao de London e muito maior do

que o tamanho da amostra, tal que r(Hc1) nunca e alcancado. As linhas de campo

magnetico em torno do dipolo sao descritas em coordenadas esfericas pela expressao

r = a sin2 . (5.4)


onde o parametro a e associado com o tamanho do laco e . e o angulo em relacao

a direcao do momento magnetico. A curva da Eq. (5.4) e um caso especial de um

conjunto de curvas denominados curvas da rosa ou petalas de rosas, primeiramente

descritas pelo matematico italiano Guido Grandi no seculo 17. Nos mostramos a

curva da Eq. (5.4) normalizada para 1 em coordenadas polares na Fig. 5.1.

-1.2 -0.8 -0.4 0 0.4 0.8 1.2

-1.2

-0.8

-0.4

0.4

0.8

1.2

0.25!

0.5!

0.75!

!

1.25!

1.5!

1.75! Figura 5.1: Curva definida pelaEq. (5.4) em coordenadas polares. Ocırculo unitario corresponde ao eixoangular e a foi tomado igual a 1.

Para investigar o estado supercondutor de uma amostra com volume V , nos

minimizamos a energia livre F de Ginzburg-Landau em relacao ao parametro de

ordem ((r) de acordo com a Eq. (5.5)

F =

!dv

V

""|((r)|2 +

1

2|((r)|4 +

####

$"i#" µ$ r

r3

%((r)

####2&

, (5.5)

onde todas as distancias sao medidas em relacao a % e o momento magnetico µ e

medido em unidades de µ0. O parametro de ordem e mantido igual a zero no centro

da esfera onde o momento magnetico pontual esta localizado, uma condicao que nao

afeta nossos resultados uma vez que a regiao normal definida pelo campo Hc2 possui

raio maior do que % em torno do dipolo.

Uma questao importante neste estudo e porque de observarmos um estado tri-

plete (3 lacos) e nao estados dubletes (2 lacos) ou singlete (1 laco) ao redor do

dipolo magnetico. Para tal verificacao utilizamos tres metodos numericos diferen-

tes e independentes: a minimizacao por recozimento simulado - simulated annealing

(34), integracao das equacoes de GL (105) e expansao dos autovetores da energia


cinetica (104). Portanto, a estabilidade do estado triplete mostrou ser indepen-

dente do metodo. No restante desse capıtulo, nos consideraremos uma esfera de

raio R = 15.0% da qual nos determinamos os estados de vortices a medida que o

momento magnetico µ e aumentado.

5.3 A simetria triplete - threefold symmetry

Como o dipolo magnetico suprime fortemente a supercondutividade dentro do nucleo

definido pelo campo crıtico Hc2, os lacos de vortices nucleiam como objetos 3D na

vizinhanca do caroco central, ve-se nas iso-superfıcies da densidade dos pares de

Cooper mostrados na Fig. 5.2 para tres diferentes valores do dipolo magnetico.

A visualizacao destas iso-superfıcies tridimensionais atraves da animacoes geradas

a partir de iso-superfıcies semelhantes estao acessıveis para µ/µ0 igual a 18.75

e 28.75, que correspondem a um estado embrionario e outro plenamente desen-

volvido dos estados de lacos. O endereco na internet dessas animacoes e http:

//www.ua.ac.be/main.aspx?c=CMT&n=49942. Diferentemente dos vortices em duas

dimensoes, o comprimento da linha de vortice aqui exerce uma fundamental in-

fluencia. Aqui discutimos nosso notavel resultado - um unico laco ou um par de

lacos nao sao estaveis; o estado fundamental e composto por tres lacos. Com valores

crescente do dipolo magnetico µ/µ0 os lacos de vortices confinados CVL nucleiam

em tripletes a partir do caroco normal de maneira contınua, i.e. atraves de uma

transicao de fase de segunda ordem. Nos enfatizamos que tal comportamento foi

encontrado independentemente do tamanho da amostra (para R > 10%) e da sime-

tria da superfıcie externa (e.g. esfera e cubo). Portanto, a estabilidade do estado

triplete tambem se estende para o caso volumetrico, ou seja, sem a presenca de

uma superfıcie externa. O crescimento dos tripletes e uma consequencia do delicado

balanco energetico entre os linhas de vortices curvadas no espaco tridimensional.

Para verificar a estabilidade dos estados de vortices, nos utilizamos dois diferentes

metodos. O primeiro metodo e a expansao do parametro de ordem em termos de

autofuncoes do operador energia cinetica (104), uma metodo bastante apropriado

para provar a estabilidade porque proximo ao caroco normal o parametro de ordem

e pequeno, permitindo o negligenciamento de termos nao lineares. Nos expandimos

http://www.ua.ac.be/main.aspx?c=CMT&n=49942

http://www.ua.ac.be/main.aspx?c=CMT&n=49942


Figura 5.2: Iso-superfıcie tridimensionais da densidade dos pares de Cooper obtidasem uma esfera supercondutora de raio 15% com um momento magnetico µ/µ0 iguala 15, 20 e 25, nessa ordem. As superfıcies vermelha e cinza sao parte da mesmaiso-superfıcie obtidas a 20 % do valor maximo de |((r)|2.

o parametro de ordem

((r) =!.

k=1

Ck(k(r), (5.6)

em termos de autofuncoes ortonormais do operador energia cinetica em tres di-

mensoes

$i!

2m!#"e!

2m!cA(r)

%2

(k(r) = 0k(k(r). (5.7)

Em estruturas com simetria cilındrica, essas autofuncoes possuem a forma

(k(r) = exp(iL#)fn(r, .), (5.8)

onde L e o momento angular, # e o angulo azimutal em torno do eixo do dipolo, e o

ındice n enumera os diferentes estados com o mesmo L e k = (L, n) e um vetor que

especifica L e n. As autofuncoes fn sao reais e seus correspondentes autovalores sao

obtidos numericamente para cada L, utilizando-se a tecnica Housholder. Condicoes

de contorno de Neumann sao adotadas na superfıcie da amostra. O numero tıpico

de autofuncoes consideradas e da ordem de %=10-50, com L 6 ("5, 5) e n 6 (1, 5).

Para procurar pelo mınimo da energia livre, nos mapeamos os estados supercon-

dutores em um conjunto bidimensional de % partıculas classicas representadas por


(xk, yk) = (7(Ck),8(Ck)), que sao governadas pelo funcional de energia obtido

quando a expressao para ((r) e substituıda na Eq. (5.5). Em outras palavras, a

minimizacao da energia livre em relacao as variaveis complexas Ck resultam nos

estados de vortices estaveis. Observe que o momento angular total dos lacos de

vortices e igual a zero, assim ambos autofuncoes com L positivo e negativo precisam

ser incluıdos [L 6 ("Lmax, Lmax)]. A vorticidade maxima considerada Lmax deter-

mina o numero maximo de lacos de vortice que pode ser obtido. Para Lmax = 1 e

Lmax = 2, nos fomos capazes de estabilizar um e dois lacos respectivamente, mas

suas energias foram sempre muito maiores do que a energia do estado Meissner,

como mostrado pela Fig. 5.3.

Figura 5.3: Energia livre em funcaoda intensidade do dipolo magnetico,obtido pela expansao dos autovetoresda energia cinetica. Os subgraficosmostram a fase do parametro de or-dem dos correspondentes estados devortices tomados na secao transversalperpendicular ao dipolo no meio daesfera. A cor azul/vermelho corres-ponde a 0/2$.

A descontinuidade de 2$ (azul para vermelho / vermelho para azul) apresentado

nas curvas de contorno da fase mostrados na Fig. 5.3 sinalizam a presenca de um

vortice/anti-vortice. Contudo, quando autofuncoes com momento angular mais ele-

vado foram incluıdos no calculo, a energia mınima associada com apenas um e dois

lacos deixou de existir. Ao inves disso, estados estaveis com um laco mais pronunci-

ado e dois outros lacos menores (ou o contrario) foram encontrados, mas ainda com

energia maior do que os estados com perfeita simetria triplete.

O segundo metodo utilizado para fundamentar a estabilidade do estado de tres

lacos e baseado na minimizacao da energia livre de Ginzburg-Landau atraves do

procedimento de recozimento simulado (34) comecando de um estado construıdo,

&N(a, #), que depende das seguintes variaveis: o tamanho do laco, a, o angulo azi-

mutal em torno do eixo do dipolo, #, e o numero de zeros desta funcao de onda,


N . Este estado inicial e feito de tal maneira que a condicao &N(a0, #0) = 0 ocorre

em uma unica posicao do laco, a = a0, e para uma especial configuracao azimu-

tal determinada pela condicao exp(iN#0) = 1. Desde que este estado inicial se

anula ao longo de N lacos simetricos temos consequentemente N vortices iniciais.

Obviamente a condicao acima nao define unicamente a funcao &N(a, #), mas nos

nao precisamos discutir a funcao de onda especıfica pois encontramos invariancia

de nossos resultados em relacao a essa escolha. Para um valor fixo de µ a busca

numerica e realizada ate atingir o estado final. A colecao das diferentes simulacoes

e mostrada na Fig. 5.4 onde e mostrado a energia final em funcao do tamanho do

laco inicial, a0/R. Tres estados iniciais distintos foram considerados, i.e. N = 1, 2

e 3 CVLs. Como esperado, o procedimento numerico resultou em apenas um unico

estado final constituıdo por 3 CVL independentemente do numero lacos iniciais, as-

sim fundamentando a sua estabilidade. Contudo, esse fundamentacao so funciona

para pequenos valores da relacao a0/R, de acordo com a Fig. 5.4.

Figura 5.4: Energia livre do estado finalobtido apos relaxacao em funcao da razaoa0/R (tamanho do laco pelo raio da es-fera), para diferentes estados iniciais. Omomento magnetico e igual a µ/µ0 = 25e os estados iniciais correspondem a 1, 2e 3 lacos dispostos simetricamente no in-terior da esfera. O surgimento dos paresde vortices externos (EVP) so e possıvela medida em que o estado inicial se apro-xima da superfıcie da esfera.

Para um valor elevado de a0/R varios estados finais sao obtidos. A proximidade

com a borda explica o fato de que para a0/R > 0.73 o mınimo da energia livre

depende da escolha do estado inicial, como mostrado na Fig. 5.4. A proximidade

dos N lacos da superfıcie da esfera causa o surgimento de estados EVP durante

a busca numerica. De fato, para os tres maiores valores de a0/R, o numero de

EVPs e exatamente o numero de CVL no estado inicial (N). Essa correlacao direta

nao deixa duvida de que um estado inicial com um CVL muito proximo da borda

torna-se mais facilmente em EVP durante o procedimento de minimizacao. Apesar

da presenca dos EVP, todos os estados finais de vortices observados no grafico da

Fig. 5.4 exibem tres lacos confinados embrionarios bem proximo do caroco normal,


como mostrado na Fig. 5.5. A estabilidade dos estados de vortices em relacao a

configuracoes diferentes das de tres lacos so e possıvel quebrando-se explicitamente

a simetria azimutal da funcao de onda, como no caso de uma rede rıgida de momentos

magneticos dentro de um supercondutor volumetrico (28; 29).

Figura 5.5: Iso-superfıcie tridimensional da densidade dos pares de Cooper em umaesfera supercondutora de raio R = 15%. Os tres diferentes estados obtidos com amesma intensidade do dipolo magnetico µ/µ0 = 25 onde eles contem 1, 2 e 3 paresde vortices externos (EVP), nessa ordem. As superfıcies vermelha e cinza sao parteda mesma iso-superfıcie obtidas a 20 % do valor maximo de |((r)|2.

Assim, para uma pequena esfera supercondutora, i.e., com uma raio R/% nao

muito grande, a presenca das bordas influencia fortemente o estado de vortice como

visto nas Figs. 5.4 e 5.5. Esta influencia e justificada porque os CVL’s se locali-

zam muito proximo da superfıcie do supercondutor e eventualmente se quebram na

superfıcie, seguidos de uma deformacao, que da origem aos EVP’s. A mudanca de

um CVL em EVP induz uma transicao de fase de primeira ordem. EVP sao mos-

trados na Fig. 5.5 nas cores vermelha e cinza. Para supercondutores de tamanho

finito o estado de vortice e classificado de acordo com o numero de CVL e EVP,

uma importante diferenca em relacao aos estudos bidimensionais precedentes (75–

77) onde a unica distincao e feita entre entre estados de vortices gigantes e vortices

multiplos. Estados com multiplos EVP manifestam-se como uma colecao de vortices

na superfıcie da amostra, mas que sao combinados em um vortice gigante no cen-

tro da amostra. O momento angular total (winding number ou “vorticidade”) e

aumentado em um para cada EVP que e adicionado. De acordo com a Fig. 5.5,

o vortice gigante no interior da amostra tambem contem tres CVL embrionarios.

As seguintes animacoes mostram iso-superfıcies tridimensionais para os estados com


µ/µ0 iguas a 23.75, 31.75 e 33.75. Esses estados mostram 3 CVL embrionarios

com 1, 2 e 3 EVP’s respectivamente nos seguintes arquivos: EVP=0 d=19.mov,

EVP=0 d=25.mov e EVP=0 d=27.mov.

A transicao de primeira ordem de CVL para EVP provoca uma descontinui-

dade na magnetizacao (M = "+F/+µ), mostrado na Fig. 5.6 em funcao da inten-

sidade do dipolo magnetico µ. Observe que esta propriedade implica diretamente

na possibilidade de deteccao experimental dos estados compostos por EVP, e.g. por

medidas de magnetizacao baseadas em efeito Hall - Hall-probe magnetization measu-

rements. Entretanto, a observacao dos estado de CVL e mais exigente e requer uma

combinacao de varias tecnicas experimentais microscopicas complementares como

o espalhamento de neutrons de pequenos angulos - Small Angle Neutron Scattering

(SANS), rotacao do spin de muon - muon spin rotation (µSR) (110), e possivelmente

microscopia de varredura de tunelamento - scanning tunneling microscopy sobre su-

perfıcies curvas para detectar a pequena supressao devido a formacao dos tripletes

do parametro de ordem na superfıcie da esfera, como mostrado em tons de cinza na

Figs. 5.6(a-c).

Figura 5.6: Magnetizacao da amostra(em unidades arbitrarias) em funcaoda intensidade do dipolo magneticopara 1, 2 e 3 pares de vortices exter-nos (EVP). Os subgraficos correspon-dem a fase dos estados mostrados naFig. 5.5. Os cırculos em branco mar-cam o valor µ/µ0 = 25 utilizado naFig. 5.5. Em (a), (b) e (c) e mostradaas curvas de nıvel da superfıcie do he-misferio superior da amostra para osCVL obtidos com µ/µ0 = 20, 24 e 28,respectivamente.

5.4 A evolucao dos estados de vortice

O surgimento de um estado EVP revela aspecto interessante e fundamental da sime-

tria triplete devido a suave quebra de interacao que conduz a transicao de primeira

ordem. Esse surgimento por si so quebra a simetria triplete devido a transformacao


de um laco confinado em um par externo. A recuperacao da simetria triplete ocorre

e o seu processo e discutido aqui. Um CVL torna-se instavel proximo a superfıcie

do supercondutor e eventualmente se rompe para dar origem ao EVP, como mos-

trado nas Figs. 5.3-5.6. Para a nossa amostra esferica espera-se ingenuamente que

os tres lacos crescam igualmente e consequentemente alcancem simultaneamente a

superfıcie da esfera a medida em que a intensidade do dipolo magnetico cresce,

transformando-os simultaneamente em tres EVP. Contudo, um e dois EVP tambem

sao observados implicando que a simetria triplete e perturbada durante a evolucao

dos lacos por algum mecanismo suave de quebra, que em nossas simulacoes e causado

pelo uso de um malha discreta cubica. A evolucao dos outros dois CVL restantes,

uma vez que o terceiro transformou-se em EVP, e bastante interessante. O cresci-

mento de apenas um dos lacos do estado triplete provoca: (i) O encolhimento dos

outros dois lacos e (ii) o aparecimento de um novo CVL para recuperar a simetria

triplete em torno do caroco normal. O fato de surgir um novo laco proximo ao

caroco normal mostra que ali e menos custoso recuperar a simetria do triplete.

O desenvolvimento da simetria triplete durante a transicao entre os estados com

0 to 1 EVP obtidas com o recozimeto simulado - simulated annealing e mostrado na

Fig. 5.4. O estado com 3 CVL torna-se instavel em µ/µ0 = 28.5, correspondendo

a Fig. 5.4(a), e evolui para o estado com 1 EPV sob o controle dos parametros do

recozimento simulado. A simetria triplete e observada acima e abaixo do ponto de

transicao. Uma configuracao intermediaria, que corresponde a um estado instavel

obtido atraves do controle do recozimento simulado - simulated annealing, durante

esta transicao corresponde a Fig. 5.4(b). Nos confirmamos esses resultados por

uma analise do ponto de sela (104), realizado atraves da expansao em termo das

autofuncoes do operados da energia cinetica. Alem disso, nos observamos que a

presenca de uma corrente externa aplicada ao longo do dipolo magnetico pode in-

duzir esta transicao, como mostrado na seguintes animacoes feitas µ/µ0 = 10: cur-

rentjz 0to1 EVP.mov.


O crescimento de lacos de vortices confinados se da a partir do caroco normal pelo

surgimento de tripletes embrionarios. Como mostrado aqui, o estado supercondutor

com tres lacos de vortices e energeticamente favoravel em relacao a um e dois lacos e


Figura 5.7: Energia livre em funcao daintensidade do dipolo magnetico para osestados com 0 e 1 EVP obtidos pelometodo de recozimeto simulado. Os es-tados de vortice confinados (CVL) saometa-estaveis para µ/µ0 > 12.5 e tornam-se instaveis para µ/µ0 = 28.3. As iso-superfıcies do subgraficos sao uma des-cricao da consequente transicao de 0 para1 EVP.

independente da forma e superfıcie da amostra, portanto validando nossos resultados

para o volume sem superfıcies.

Nos esperamos que o presente cenario de quebra dos lacos na superfıcie pode

ser util para entender propriedades de um supercondutor volumetrico com uma dis-

tribuicao de domınios magneticos em seu interior, onde o crescimento de lacos de

vortices podem se interconectar com domınios vizinhos ao inves de se direcionar

para a superfıcie, o que resultaria numa fase espontanea de vortices observavel

experimentalmente (85). Muitas das propriedades dos supercondutores magneticos

recentemente descobertos (16) e ferromagnetos supercondutores (52; 101) sao in-

dicativas de vortices se originando em campos magneticos internos. Nos espera-

mos que os recentes avancos na sıntese de materiais, que resultaram na fabricacao

de diversos nano-compostos como o supercondutor MgB2 embebido com partıculas

nano-magneticas de Fe2O3 (109), ou partıculas de Gadolınio (Gd) incorporadas em

uma matriz de Niobio (Nb) (92), possam ser usadas para verificar o estado previsto

aqui previsto, constituıdo por lacos de vortices confinados CVL e pares de vortices

externos EVP.


• M. M. Doria, A. R. de C. Romaguera, M. V. Milosevic, and F. M. Peeters,

“Threefold onset of vortex loops in superconductors with a magnetic core,”

Europhys. Lett., vol 79, pp. 47006, July 2007. (5 pages) DOI

http://dx.doi.org/10.1209/0295-5075/79/47006

Capıtulo 6

A dinamica dos lacos de vorticesconfinados

Neste capıtulo estudamos os lacos de vortices visando a sua deteccao atraves da

presenca de uma corrente eletrica aplicada. A forca de Lorentz preve propriedades

notaveis para os lacos confinados dependendo da direcao e sentido da corrente apli-

cada em relacao ao plano que contem o laco e a orientacao do domınio magnetico.

Tal escolha de orientacao pode levar a contracao, expansao ou distorcao do laco

de vortice. Os resultados apresentados aqui aplicam-se tanto aos superconduto-

res mesoscopicos como aos volumetricos. Embora obtidos no modelo de linhas de

vortices rıgidas, como veremos a seguir, nossos resultados sao gerais e podem ser

utilizados para uma verificacao experimental da presenca de tais lacos. No caso dos

supercondutores volumeticos nos assumimos a presenca de domınios magneticos re-

sultantes da coexistencia da supercondutividade com o magnetismo. Tais domınios

magneticos surgem a uma temperatura que nao necessariamente coincide com a tem-

peratura crıtica do supercondutor. Se a magnetizacao desses domınios no interior do

supercondutor tornar-se maior do que Hc1, a condicao para a nucleacao de vortices

no supercondutor e satisfeita mesmo na ausencia de campo magnetico aplicado.

Nos propomos que primeiramente ocorre a nucleacao dos lacos confinados em

uma configuracao tal que os domınios magneticos nao se interconectam. Posteri-

ormente teremos lacos maiores, para valores mais intensos da magnetizacao, que

eventualmente se rompem interligando domınios magneticos vizinhos em uma confi-

guracao semelhante aos pares de vortices externos (EVP) apresentados no capıtulo

anterior. Sob essas condicoes, atinge-se uma ordem de longo alcance ocasionada

por vortices que interconectam os domınios magneticos e que atravessam o ma-

A dinamica dos lacos de vortices confinados 107

terial em toda a sua extensao na ausencia de um campo aplicado. Esse tipo de

comportamento nos supercondutores e conhecido como fase espontanea de vorticess

spontaneous vortex phase. Em sıntese, a aplicacao de uma corrente eletrica em di-

ferentes orientacoes permite extrair informacao da presenca dos lacos confinados,

resultando na confirmacao de sua existencia.

Para desenvolver essas ideias nos assumimos que os lacos de vortices tem sua

forma descrita em coordenadas polares pela equacao r = a sin2 ., que corresponde

a trajetoria tangente as linhas de campo produzidas por um dipolo pontual. Tres

situacoes sao consideradas: (i) corrente eletrica paralela ao dipolo e ao plano dos

lacos, (ii) corrente eletrica perpendicular ao dipolo e ao plano dos lacos, e (iii)

corrente eletrica perpendicular ao dipolo e paralela ao plano dos lacos. Baseado

num modelo que assume uma forma rıgida para os lacos de vortices, nos inferimos

as equacoes para a evolucao temporal dos vortices supondo um regime viscoso (flux

flow). Por fim obtemos as frequencias associadas a evolucao temporal dos lacos

confinados num supercondutor mesoscopico em presenca de uma corrente aplicada,

que esperamos ser independente do modelo.

6.1 A forma dos lacos de vortices confinados

Para obter a forma dos lacos de vortices confinados assumimos que a origem do

campo e um dipolo magnetico orientado na direcao x. A forma e determinada pela

condicao de que o vetor tangente ao laco seja paralelo ao campo magnetico nao

homogeneo. Decompondo o campo magnetico em componentes no plano xy,

B =µ

r3

573 cos2 . " 1

8x + µ (3 cos . sin .) y

6, (6.1)

e usando a condicao do vetor tangente ao laco ser paralelo ao campo da Eq. (6.1),

dl$B = 0, (6.2)

nos chegamos a forma dos CVL em presenca de um campo de dipolo, l(.) = r,

l(.) = a sin2 ., (6.3)

Observe que a forma do laco, descrito pela Eq. (6.3), e independente de µ, a

intensidade do dipolo magnetico. A presenca de diferentes fontes magneticas origina


diferentes formas para os CVL uma vez que a forma do laco e obtida pela condicao

da Eq. (6.2). Uma rede de dipolos magneticos ou dipolos extensos produzem campos

magneticos com um perfil diferente do apresentado na Eq. (6.1). A Fig. 6.1 mostra

a curva descrita pela Eq. (6.3) em coordenadas polares.

Figura 6.1: Trajetoria definida pelafuncao l(.) vista no plano xy. Em tresdimensoes as curvas possuem simetriaem torno do eixo x

onde . e o angulo polar e a e a maxima distancia entre um ponto sobre o laco e

a origem.

A trajetoria especificada pela Eq. (6.3) e determinada pela condicao #l(.) $B(r) = 0, ou seja, a trajetoria l(.) sempre e tangente ao campo vetorial do dipolo

magnetico. O laco descrito pela Eq. (6.3) define duas direcoes: a direcao tangente

ao laco u e a direcao perpendicular v

u =(3 cos2 . " 1)x + 3 cos . sin .y(

3 cos2 . + 1(6.4)

v =3 cos . sin .x" (3 cos2 . " 1)y(

3 cos2 . + 1(6.5)

cuja diagonalizacao fornece a relacao inversa,

x =(3 cos2 . " 1)u + 3 cos . sin .v(

3 cos2 . + 1(6.6)

y =3 cos . sin .u" (3 cos2 . " 1)v(

3 cos2 . + 1(6.7)

Algumas de suas propriedades como tamanho L, area e momento de inercia I


podem ser facilmente obtidas por integrais de funcoes elementares. O comprimento

L e determinado integrando-se a trajetoria da linha com o auxılio das expressoes

para o vetor posicao l e o seu elemento diferencial dl,

l = a sin2 . cos .x + a sin3 .y (6.8)

dl = a sin .d.5(3 cos2 . " 1)x + 3 sin . cos .y

6(6.9)

dl = a sin .d.(

3 cos2 . + 1 (6.10)

Chega-se a seguinte expressao para o tamanho do laco

L = 2

! !2

0

d.

####dl

d.

#### (6.11)

L = 2a

91 +

sinh&1((

3)

2(

3

:2= 2.7603a (6.12)

Um segmento do laco de tamanho dl sofre o efeito da forca de Lorentz que e

descrito pela seguinte expressao

dFLorentz =J

c$ "dl, (6.13)

onde " e um vetor com modulo igual ao fluxo magnetico e direcao tangente a linha.

Em campos magneticos homogeneos e isotropicos " descreve o numero de fluxons

magneticos transportado pelo vortice ao longo do campo aplicado, " = n#0H/|H|,mas em campos inomogeneos, como o considerado aqui, " tambem descreve a direcao

do fluxo magnetico por toda a extensao do vortice.

" = #0u (6.14)

De acordo com as Eq. (6.9) e (6.4), nos obtemos a relacao

"dl = #dl = #0a sin .d.(

3 cos2 . + 1u (6.15)

Devido a forca de Lorentz aplicar-se independentemente sobre os segmentos do

laco, as diferentes orientacoes da corrente precisam ser analisados cuidadosamente.

Definimos o dipolo magnetico orientado na direcao x e estudaremos a corrente J

orientada ao longo dos tres eixo principais. No primeiro caso J = Jx, no segundo


caso J = "J z e J = J y. A Fig. 6.2 mostra a direcao da forca de Lorentz em

varios pontos ao longo da trajetoria l(.) para as diferentes orientacoes da corrente

aplicada. Em cada uma das diferentes situacoes a evolucao do CVL ocorre de uma

maneira distinta. Destes modelos vamos extrapolar expressoes para a frequencia

caracterıstica, supondo que o intervalo de tempo onde ha ruptura dos lacos e des-

prezıvel. Todos os movimentos apresentam uma frequencia caracterıstica que esta

associado a rotacao dos CVL. Tal rotacao consiste num processo contınuo de ruptura

e recombinacao dos CVL. A fim de estudar o processo de rotacao nos modelamos

a dinamicos dos lacos por meio de equacoes diferenciais para um meio viscoso (flux

flow) em cada uma das situacoes especificadas na Fig. 6.2 como descrito nas secoes

6.2, 6.3 e 6.4.

(a) (b) (c)

Figura 6.2: As diferentes configuracoes da forca de Lorentz F = 1cJ $ "dl. A cor

azul representa a corrente aplicada J , a cor preta corresponde a trajetoria do vorticeonde a flecha na origem e o dipolo magnetico, e a cor vermelha e a forca de Lorentz.

6.2 Corrente paralela ao dipolo magnetico

Analisando a Fig. 6.2(a) nos observamos que a forca de Lorentz e positiva sobre

toda a regiao da curva em que l(.) pertence ao intervalo 0 < . < $/2 e negativa

para o intervalo $/2 < . < $. A forca resultante sobre essa regiao e determinada

pela integral

Fml =

! %/2

0

dFLorentz =

! (=!2

(=0

J

c$ "dl =

#0

caJ z (6.16)


onde o termo ml designa meio laco, "dl e definido pela Eq. (6.15), J = Jx e µ = µx.

A forca resultante que atua sobre a segunda metade do CVL, $/2 < . < $, tem a

mesma intensidade mas orientacao oposta, fazendo com que a forca total seja nula.

Contudo, o torque resultante que atua sobre o CVL nao e nulo o que acarreta na

deformacao do CVL pois o vortice e uma estrutura plastica sujeita a deformacoes.

O torque sofrido pela regiao do laco que esta no intervalo 0 < . < $/2 e deter-

minado pelas seguintes expressoes:

d# = y $ dFLoretz = y $$J

cz $ "dl

%(6.17)

(6.18)

A Fig. 6.3 mostra em detalhes como a forca de Lorentz atua sobre a trajetoria

do vortice levando a deformacao do CVL no caso especificado pela Fig.6.2(a).

Figura 6.3: Visualizacao esquematicadas forcas de Lorentz que atuam so-bre o CVL quando a corrente externaJ e aplicada paralelamente ao dipolomagnetico µ

O torque exercido pela corrente aplicado na primeira metade do vortice e entao

determinado integrando-se a trajetoria do CVL onde obtemos o valor descrito na

equacao abaixo

#ml =

! %/2

0

d# =3a2#0J

c

! %/2

0

cos . sin5 d.x =a2#0J

2cx (6.19)

Observe que o torque e paralelo ao eixo do dipolo o que implica na rotacao da


parte superior e inferior do laco em sentidos opostos. O conhecimento das Eq. (6.16)

e (6.19) explicam a deformacao do CVL, ilustrada na Fig. 6.3, em presenca da

corrente J = Jx. A consequencia das forcas opostas que atuam na parte superior e

inferior do laco e a propria deformacao do laco. Em nosso modelo, a parte superior

e a inferior permanecem com sua forma descrita pela Eq. (6.9). Neste caso por

deformacao entende-se o surgimento de um segmento que requer especial atencao.

No ponto em que a forca de Lorentz e nula, e consequentemente tambem o torque,

este segmento reto se orienta ao longo do eixo z como mostrado na Fig. 6.3. Tal

segmento e intuitivamente criado de forma que a trajetoria inicial do CVL continue

sendo tangente ao campo magnetico. O surgimento desse segmento transversal a

corrente aplicada levanta a questao sobre o seu custo energetico. No instante em

que incidimos a corrente J , nos podemos atribuir um custo energetico por unidade de

comprimento igual ao de uma linha reta de vortice no interior de um supercondutor

volumetrico

E(L) =

2#0

4$'

32

ln

2'

%

3L (6.20)

A tensao introduzida pela forca de Lorentz sobre o vortice fara com que o CVL

cresca apenas se a corrente aplicada no sistema for maior do que um valor mınimo.

Aumentar o tamanho do laco torna a energia do vortice mais elevada e esse acrescimo

de energia precisa ser fornecido pela corrente externa. Para determinar o valor

mınimo dessa corrente nos consideramos a energia associada a deformacao do laco

a partir da Eq. (6.20).

O trabalho necessario para estender o segmento transversal com comprimento L

para o comprimento L + #L e

Flinha =E(L + #L)" E(L)

#L=

2#0

4$'

32

ln

2'

%

3z (6.21)

Assim, se a forca de Lorentz for igual ou maior do que a forca Flinha o crescimento do

segmento transversal sera possıvel, resultando na rotacao do CVL. Ao igualarmos as

Eqs. (6.16) e (6.21) nos obtemos uma relacao entre a corrente mınima Jmin necessaria

a ampliacao do segmento transversal, que e funcao dos parametros do material ' e

%, e de a que descreve o tamanho do CVL.


4$

cJmin =

2#0

4$'2

3ln

2'

%

31

a(6.22)

Tal argumento so poder ser valido se o valor de Jmin na Eq. (6.22) for menor do

que o valor da corrente crıtica que destroi a supercondutividade (depairing current)

cujo valor e

4$

cJc =

#0

2$(

2%'2. (6.23)

Impondo-se a desigualdade Jmin < Jc, nos encontramos uma condicao para o

tamanho mınimo do CVL capaz de ser ampliado por uma corrente externa:

a >1(2

ln

2'

%

3% (6.24)

Nos ilustramos o tamanho mınimo do laco usando valores experimentais de ' e

% para alguns supercondutores. A tabela 6.1 indica o valor mınimo amin que satisfaz

a desigualdade da Eq. (6.24).

Tabela 6.1: Estimativa do tamanho mınimo amin do CVL em varios supercondutores.

Materialsupercondutor

Comprimento depenetracao ' (A)

Comprimento decoerencia % (A)

! amin

(A)Nb 390 380 1,02 5,32YBCuO (c) 1800 7 257,10 27,47YBCuO (ab) 270 43 6,27 55,82MgB2 1320 50 26,40 115,73Nb3Ge 900 300 3,00 233,05

Os valores experimentais foram coletados na referencia (74)

6.2.1 Equacao de movimento para o segmento transversal

Dentro do modelo que as partes superior e inferior do laco mantem a sua forma ao

sofrerem torque, ou seja, ainda sao descritas pela Eq. 6.3 mas os parametros do laco

evoluem com o tempo. Isso significa que ao determinarmos a(t), nos determinamos


a evolucao do laco de vortice.

Com o inıcio do movimento, os semi-lacos inferior e superior permanecem con-

tidos em planos distintos e assim definem um angulo de abertura ), cuja visao por

um angulo superior mostrada na Fig. 6.4 exibe essas duas partes do laco que ro-

tacionam. Nos podemos reescrever a Eq. (6.5) em termos do angulo ) de modo o

Figura 6.4: Vista do crescimento dolaco em uma visao lateral.

trabalho associado a uma pequena rotacao e dado pela expressao

Wml =

! #

0

Fml · ad)z =J#0a2)

c(6.25)

onde definimos uma forca F# que atua sobre o segmento com angulo )

F# =+

+aWml =

J#02a)

c(6.26)

Entao nesse modelo de semi-lacos rıgidos temos duas funcoes a determinar: a(t), ja

mencionada, e )(t). Aqui entram as equacoes do regime viscoso onde assume-se que

as linhas nao possuem massa.

A dinamica do laco resume-se a sua rotacao pelo angulo ) = )(t) e a sua ex-

pansao pelo parametro a = a(t), que sao descritas pelas seguintes equacoes para um

meio viscoso

" 1I) + , = 0, (6.27)

"1a + F = 0, (6.28)


onde , e o torque obtido na Eq. (6.19), F e a forca obtida na Eq. (6.26), ) e o angulo

de abertura, I e o momento de inercia do CVL, e 1 e o coeficiente de viscosidade.

As equacoes acima precisam ser solucionadas com as condicoes de contorno

)(t0) = 0, (6.29)

)(t0) = 0, (6.30)

a(t0) = a0, (6.31)

a(t0) = 0. (6.32)

A solucao analıtica para o conjunto de equacoes acima e,

a(t) =a0###cos

0a0

(AB (t" t0)

1###, (6.33)

)(t) = a0

;A

Btan

0a0

(AB (t" t0)

1, (6.34)

onde introduzimos a notacao A = &0J2c)I e B = 2&0J

c) .

Das Eqs. (6.33) e (6.34) nos chegamos as seguinte conclusoes:

(i) o comprimento da metade do laco analisada diverge em um intervalo de tempo

finito t = %2a0

)AB

;

(ii) entre os instantes t = 0 e t = t o laco realiza infinitas rotacoes;

(iii) o crescimento do laco entre os instantes t0 = 0 e t = t1 pode ser determinado

em termos de um unico parametro:

a(t1)2 = a2

0 + )(t1)2 A

B. (6.35)

Dessa forma, nos podemos determinar o tempo que um laco de tamanho a0

crescera ate atingir a superfıcie da amostra de tamanho R. Em geral, o tamanho da

amostra e muito maior do que o tamanho mınimo do laco amin, cujos valores estao

ilustrados na Tabela 6.1. Os lacos atingem a superfıcie da amostra quando o seu

proprio tamanho torna-se igual ao tamanho da amostra, a(tc1) = R, ou quando o

segmento transversal torna-se do tamanho da amostra, a(tc2))(tc2) = R.


Para a primeira condicao nos encontramos que

tc1 =cos&1(a0/R)

a0

(AB

. (6.36)

Ao substituirmos A e B por seus correspondentes valores e a0 pela expressao para

amin, encontramos que

tc1 =c1(

I

%#0J

(2

ln('/%)cos&1

$%

R

ln('/%)(2

%. (6.37)

O tempo correspondente a segunda condicao e obtida expandindo as Eqs. (6.33)

e (6.34) ate a primeira ordem com a aproximacao tc2a0

(AB + 1, onde encontramos

tc2 =a3

0

R

1

A. (6.38)

Substituindo novamente a0 por amin e A por &0J2c)I , obtemos o segundo tempo carac-

terıstico em termos dos parametros do material e do laco

tc2 =%32c1I

R#0J

$ln('/%)(

2

%3

. (6.39)

Os tempos tc1 e tc2 sao distintos uma vez que tc1 corresponde ao tempo necessario

para o segmento transversal do laco, . = $/2 na Eq. (6.3), alcancar a superfıcie da

amostra e tc2 corresponde ao tempo em que o tamanho do segmento transversal

atinge o tamanho da amostra. Para tempos maiores do que tc1 ou tc2 o laco se

rompe na superfıcie. A existencia destes dois tempos caracterısticos fornece uma es-

timativa das frequencias caracterısticas, f - 1/tc1 ou 1/tc2, associadas a nucleacao

em torno do caroco normal e rompimento na superfıcie da amostra. Uma observacao

experimental de tais frequencias e um indicador da presenca dos CVL em amostras

supercondutoras com domınios magneticos. Na determinacao das frequencias carac-

terısticas supomos que o tempo em que


6.3 Corrente perpendicular ao dipolo magnetico

Aplicando uma corrente perpendicular ao dipolo magnetico e ao laco, µ = µx e

J = "J z, conforme especificado na Fig. 6.2(b) onde as forcas sao mostradas em

vermelho, a corrente aplicada em azul e a trajetoria do CVL e o dipolo em preto.

Uma descricao mais detalhada das componentes da forca de Lorentz que atua sobre

o CVL e mostrada na Fig. 6.5

Figura 6.5: Visualizacao esquematicadas forcas de Lorentz que atuam so-bre o CVL quando a corrente externaJ e aplicada perpendicularmente aodipolo µ e a trajetoria l(.) do CVL.

O resultado da acao da corrente aplicada nessa orientacao faz com que o CVL

encolha ou aumente o seu tamanho, dependendo do lado em que se encontra como

mostra a Fig. 6.5. Um modelo para descrever o movimento do laco pode ser cons-

truıdo baseando-se na forca de Lorentz

dFLorentz ="J

cz $ #0dlu =

J#0

cdlv (6.40)

onde u $ z = v. De acordo com o modelo de flux flow, a forca viscosa que atua

em um segmento do vortice e proporcional a sua velocidade. Em nosso modelo

a expansao ou contracao nao altera a forma do laco, que permanece descrita pela

Eq. (6.3). Neste caso o unico parametro que evolui e o tamanho do laco, ou seja,

temos que a(t) e consequentemente V [a(t)] = V [a(t)] v. No caso dos CVL nos

podemos escrever esse comportamento com a expressao,

dFviscosa = "1V [a(t)] dl (6.41)


Note que a velocidade esta orientada ao longo da componente perpendicular v afim

de garantir a forma da laco. As unicas forcas que atuam sao a de Lorentz, Eq. (6.40),

e a forca viscosa, Eq. (6.41):

FLorentz + Fviscosa = 0 (6.42)

Essa igualdade resulta em

V [a(t)] =J#0

1c(6.43)

O modelo mais simples para descrever a velocidade da Eq. (6.41) assume que

V [a(t)] = a. (6.44)

Integrando-se trivialmente a Eq. (6.43) com a definicao da Eq. (6.44), nos obte-

mos uma relacao linear para a expansao do laco.

a(t) =J#0

1c(t" t0) + a(t0) (6.45)

De acordo com o modelo de Bardeen-Stephen (112) podemos relacionar a visco-

sidade 1 com a resistividade normal pela expresssao

1 - #0Hc2

&nc2(6.46)

Inserindo a Eq. (6.46) na Eq. ( 6.43 ), nos obtemos a evolucao de a(t) em termos

de grandezas observaveis

a(t) =&ncJ

Hc2(t" t0) + a(t0) (6.47)

Da Eq. (6.47) nos podemos determinar o tempo #T em que um laco de tamanho

amin, cujos valores estao exemplificados na tabela 6.1, alcance a superfıcie de uma

amostra de tamanho R > amin

#t = (R" amin)Hc2

c&nJ(6.48)

Supondo um processo cıclico para a nucleacao de um laco de vortice na regiao


do caroco normal, evolucao e afloramento a superfıcie da amostras no intervalo de

tempo #t, nos obtemos a frequencia caracterıstica

f 2=1

#t. (6.49)

6.3.1 Resistividade do regime flux flow

A expansao dos CVL’s no interior do supercondutor em decorrencia da presenca de

uma corrente externa e de um campo eletrico produz uma resistividade. A origem

dessa resistividade e atribuıda ao campo eletrico produzido pelo movimento dos

vortices

E(r) = B(r)$ V (6.50)

onde o campo B(r) e o campo magnetico produzido pelo dipolo pontual e

B(r) =µ

r3[3 (r · µ) r " µ] . (6.51)

Nos plano dos lacos nos temos que

[3 (r · µ) r " µ] = (3 cos2 . " 1)x + 3(sin . cos .)y =(

3 cos2 . + 1u (6.52)

reescrevendo a Eq. (6.51) em termos da Eq. (6.52), obtemos que

B(r) =µ

r3

(3 cos2 . + 1u (6.53)

O campo eletrico e entao obtido,

E(r) = Vµ

r3

(3 cos2 . + 1u$ v (6.54)

E(r) =µ&nJ

Hc2

(3 cos2 . + 1

a3 sin6 .z (6.55)

onde nos utilizamos a Eq. (6.43) e (6.46) para a velocidade V . Uma vez que

J = "J z e E = &vJ , nos temos

&v(r) = "µ&n

Hc2

(3 cos2 . + 1

a3 sin6 .(6.56)


escrevendo µ em termos de um comprimento, µ = &0

2%d, e Hc2 = #0/2$%2, nos temos

que

&v = "&nd%2

r3

(3 cos2 . + 1 (6.57)

Uma resistividade negativa implica que a diferenca de potencial e oposta a obser-

vada em um meio normal entre os pontos de entrada e saıda da corrente J . O valor

absoluto da razao entre a resistividade normal e a viscosa devido ao movimento dos

vortices, com d - % e a 2= 2%, e

####&v

&n

#### =

(3 cos2 . + 1

8 sin6 .. (6.58)

Para angulos proximos de $/2, onde o campo magnetico produzido pela Eq. (6.45)

e menor, a resistividade viscosa e menor do que a resistividade normal, fato que ga-

rante as propriedades da fase supercondutora. Contudo, para angulos proximos de

0 ou $, &v &%, justamente onde o campo magnetico e mais intenso. Essas regioes

dissipam mais energia do que num material normal, levando ao desaparecimento da

supercondutividade nessas regioes.


Calculamos os regimes dinamicos para um laco de vortices confinado nucleado ao

longo das linhas de campo de um dipolo magnetico, localizado no interior de um

supercondutor, quando submetido a uma corrente externa. Tais regimes sao deter-

minados pela orientacao da corrente externa em relacao ao dipolo magnetico e ao

plano de trajetoria dos vortices. Nos analisamos em detalhes duas das tres possıveis

orientacoes principais e determinamos: (i) a corrente mınima necessaria para que

ocorra crescimento do laco confinado, (ii) o tamanho mınimo do CVL em funcao do

comprimento de coerencia e penetracao, (iii) as frequencias caracterısticas associa-

das a evolucao do CVL a partir do caroco normal, regiao onde o campo de dipolo

assume valores acima de Hc2, ate a superfıcie da amostra e (iv) uma expressao para

a resistividade associada ao movimento dos vortices atraves do modelo viscoso que

depende da trajetoria do CVL. Nesse ultimo caso, a resistividade viscosa pode assu-

mir valores absolutos maiores do a resistividade do estado normal nas posicoes onde


o campo magnetico e mais intenso.

Tais resultados podem ser utilizados para caracterizar a existencia de lacos de

vortice confinados numa fase que antecede a fase espontanea de vortices, produzida

por domınios magneticos. Os resultados ainda indicam possıveis caminhos para a

observacao experimental desses fenomenos.


• M. M. Doria, A. R. de C. Romaguera, and F. M. Peeters, “Onset of confined

vortex loop dinamics,” Phys. Rev. B, to be submitted, August, 2007.

Capıtulo 7

A lei de escala de Landau-Ottpara o campo crıtico superior dossupercondutores de altatemperatura crıtica

Neste capıtulo apresentamos uma contribuicao diretamente relacionada com a

analise de dados adquiridos experimentalmente. Trata-se de um estudo do campo

crıtico superior Hc2 cuja determinacao nos materiais de alta temperatura crıtica tem

sido um assunto controverso desde a sua descoberta.

7.1 O desaparecimento do campo crıtico superior

no composto Bi2Sr2CaCu2O8+- baseado na lei

de escala de Landau-Ott

No momento, visoes conflitantes sobre a natureza do campo crıtico superior Hc2(T )

dos supercondutores de alta temperatura crıtica coexistem na literatura, possivel-

mente porque este conceito e chave para o entendimento de muitos fenomenos dis-

tintos. Na visao tradicional de Abrikosov (1), Hc2 corresponde a descricao de um

estado supercondutor onde os vortices estao densamente compactados de modo que

os seus nucleos passam a se tocar, fazendo com que o estado normal percole por

todo o supercondutor. O colapso dos vortices ocorre em uma temperatura Tc bem

definida porque o comprimento de coerencia %(T ), que define a area do nucleo do

vortice, diverge precisamente nessa temperatura crıtica fazendo com que o campo

A lei de escala de Landau-Ott para o campo crıtico superior dossupercondutores de alta temperatura crıtica 124

crıtico superior Hc2(T ) = $0/2$%(T )2 se anule em Tc.

limT$T"c

Hc2(T ) & 0 (7.1)

Recentemente, um nova interpretacao foi feita por Y. Wang et al. (114; 115) a

partir de medidas experimentais para o supercondutor de alta temperatura crıtica

Bi2Sr2CaCu2O8+! (Bi 2212). Eles obtiveram curvas isotermicas de magnetizacao

reversıvel utilizando magnetometria de torque de alta sensibilidade sensitive torque

magnetometry (115). Essa tecnica permite a medicao de curvas de magnetizacao

isotermicas em temperaturas abaixo e acima da temperatura crıtica Tc com precisao

de 10&12 emu, enquanto que medidas baseadas SQUID’s chegam a 10&9 emu. Eles

encontraram um sinal diamagnetico tanto abaixo como acima da temperatura crıtica

nas amostras subdopadas - underdoped e otimamente dopadas optimally doped. Ba-

seados nessas medicoes, eles interpretaram Tc como sendo a temperatura onde ocorre

perda de coerencia de fase do estado supercondutor. Portanto, os pares de Cooper

e os vortices ainda existem em T > Tc. Consequentemente, o campo Hc2(T ) nao se

anula em Tc podendo ate assumir valores elevados a partir dessas defnicoes. Estes

resultados corroboram aqueles encontrados atraves de medidas efetuadas pelo efeito

Nernst (114).

Baseando-se em medidas desses dois experimentos, duas novas temperaturas

crıticas, T ! e Tonset, sao definidas com valores acima de Tc. A mais elevada de-

las, T !, e associada com as correlacoes locais que afetam os graus de liberdade de

spin e a mais baixa, Tonset, com o inıcio da vorticidade e supercorrentes. O campo

crıtico superior ocorre apenas em uma temperatura bem mais elevada, onde a ex-

trapolacao da medida do efeito Nernst se anula. Em termos praticos, o campo

crıtico superior, nesse cenario, torna-se uma quantidade nao mensuravel experimen-

talmente para supercondutores de alta temperatura crıtica High-Tc (115) devido ao

seu elevado valor.

Por outro lado nao faz muito tempo I. L. Landau e H. R. Ott (62) propuseram

uma lei de escala para a magnetizacao de reversıvel que resulta na determinacao da

curva Hc2(T ) versus T e, como sub-produto, obtem-se a temperatura crıtica nesse

diagrama. Por temperatura crıtita entendemos a temperatura onde a resistividade

torna-se nula sem a presenca de campo magnetico. Esse metodo foi exaustivamente

aplicado a diversos supercondutores de alta Tc por Landau e Ott. Este metodo


(a) (b)

(c) (d)

Figura 7.1: Curvas de magne-tizacao M(T,H) em funcao docampo aplicado H em tempera-turas selecionadas T , graficos a)e b), e em funcao da tempera-tura T , nos graficos c) e d), paraas amostras UD (Tc = 50 K) eOP (Tc = 87.5 K). Os graficosa)-d) sao uma reproducao da fi-gura contida na referencia (114) erepresentam o conjunto de dadosque nos baseamos para aplicar alei de escala de Landau-Ott.

recupera de certa forma a visao tradicional de Abrikosov para Hc2(T ).

Aqui neste capıtulo nos aplicamos a lei de escala de Landau-Ott aos dados expe-

rimentais de magnetizacao obtidos por Wang et al.. Primeiro verificamos a validade

da lei de escala nos dados experimentais (ver Fig. 7.2). Segundo, e mais importante,

encontramos que a extrapolacao da curva de Hc2 versus T obtida nao ocorre na

temperatura Tc, mas sim num valor acima T !c > Tc.

7.2 Aspectos teoricos

O campo crıtico superior e o efeito Nernst estao relacionados atraves de uma quan-

tidade comum a ambas, o transporte de entropia por unidade de comprimento da

linha de vortice. De fato, o coeficiente de Nernst e apenas o produto da entropia

por unidade de comprimento da linha de vortice pela resistividade do material. A

relacao de Caroli-Maki-Hu (48; 49; 71; 72) fornece as equacoes necessarias para co-

nectar o transporte de entropia por unidade de comprimento da linha de vortice


com a magnetizacao reversıvel M(H,T ), e que por sua vez podem ser relacionadas

ao campo crıtico superior Hc2. A relacao entre a magnetizacao reversıvel e o campo

crıtico superior pode ser estabelecida utilizando-se a celebre expressao determinada

por Abrikosov (1; 56):

M(H, T ) =Hc2(T )"H

*A(2!2 " 1), (7.2)

onde *A e a constante que depende do arranjo da rede de vortices e ! e a constante

de Ginzburg-Landau associada as propriedade intrınsecas do supercondutor. Essa

expressao e o ponto de partida da lei de escala de Landau-Ott que propoe uma visao

tradicional do campo crıtico superior. O formalismo dessa lei de escala obtem exito

na descricao de inumeros supercondutores de alta temperatura crıtica High-Tc (62–

67), incluındo a famılia do Bi-2212. A lei de escala recupera a linha de transicao

quase linear do diagrama de fase H " T , de modo semelhante a proposta original

de Abrikosov que e descrita pela Eq.(7.2). Esse e um fato quase surpreendente,

considerando que a linha de transicao para os supercondutores de alta temperatura

crıtica, incluindo a de Bi-2212, usualmente exibem uma curvatura positiva ascen-

dente, observada desde ha muito tempo tanto para a linha de irreversibilidade (81)

como tambem para a linha de derretimento (93; 122).

A lei de escala de Landau-Ott baseia-se na suposicao basica de que a suscep-

tibilidade magnetica 2(h) 4 M(H,T )/H e uma funcao unica do campo reduzido

h = H/Hc2(T ), de tal maneira que toda a dependencia com a temperatura esta

contida no campo crıtico superior. A lei de escala e inspirada na Eq.(7.2), que

satisfaz essa condicao no caso em que ! e um parametro independente da tempera-

tura. A partir dessa suposicao, segue a relacao de escala conectando os valores da

magnetizacao em diferentes temperatura, T0 e T , que assumem a forma

M(H,T0) = M(hc2H,T )/hc2, (7.3)

onde hc2 = Hc2(T )/Hc2(T0). Esta relacao implica que todas as curvas isotermicas

da magnetizacao reversıvel colapsam em um unica curva por escolha do parametro

hc2(T ). Utilizando o valor do campo crıtico superior em um ponto de referencia

nos podemos reconstituir a curva Hc2(T ) com base no conjunto de pontos hc2(T )

para cada temperatura. Dessa maneira, da lei de escala de Landau-Ott obtem-se a

curva Hc2(T ) a partir do conhecimento da magnetizacao reversıvel. Uma direta con-


sequencia desse procedimento e a obtencao de uma temperatura crıtica T !c atraves

da extrapolacao da curva hc2(T ), ate o ponto em que hc2(T !c ) = 0. Essa temperatura

tem coincidido com Tc para os supercondutores High-Tc (62–67), uma confirmacao

experimental de que a lei de escala fornece os valores que descrevem adequadamente

tais materiais. Recentemente, a lei de escala de Landau-Ott foi aplicado a super-

condutores de baixa temperatura crıtica - low-Tc (35; 61) onde tambem se obteve

concordancia entre os valores de Tc e T !c .

Nos reportamos nesses capıtulo que as curvas Hc2(T ), obtidas por magnetometria

de torque de alta sensibilidade, numa amostra de Bi2212 (115), nao se anulam em Tc

com base na lei de escala de Landau-Ott. Dois compostos da amostra de Bi2212 fo-

ram consideradas, uma subdopada - underdoped (UD) e uma optimamente dopada

- optimally doped (OP). A temperatura crıtica Tc para cada um desses compostos

e respectivamente 50 K e 87.5 K. Wang et al. obtiveram duas famılias de curvas

associadas a esses compostos. A primeira restringe-se a campos magneticos meno-

res do que 14 Tesla, onde medicoes foram feitas em ambas as amostras. A segunda

famılia possui campos magneticos limitados a 32 Teslas, aplicados apenas ao com-

posto OP. A lei de escala de Landau-Ott fornece como temperatura crıtica T !c =57

K para o composto UD e T !c =93 K para o composto OP, valores significativamente

mais elevados do que as correspondentes valores de Tc=50 K e Tc=87.5 K, mesmo

considerando a incerteza de 0.8 K associada ao reescalonamento. No calculo da de-

terminacao da temperatura T !c nos apenas consideramos as curvas de magnetizacao

que satisfazem duas condicoes: (i) a temperatura T com a qual a curva foi obtida

precisa ser menor do que Tc e (ii) a temperatura T precisa ser proxima de Tc. Estas

duas condicoes estabelecem o intervalo de temperatura no qual a lei de escala de

Landau-Ott fornece os valores adequados para T !c .

A Fig. 7.2 mostra os ajustes - fitting para quatro curvas isotermicas da magne-

tizacao, extraıdas dos dados da Fig. 7.1, obtidos com o polinomio

Meff (H) = hc2

n.

i=0

Ai[ln(H/hc2)]i + c0H. (7.4)

onde o numero n foi tomado grande o suficiente para que ele nao interfira nos

resultados. Na Eq. (7.4) tambem e incluıdo o parametro c0 que remove a magne-

tizacao residual de fundo - background magnetization. A Fig. 7.2 mostra as qua-

tro curvas mais proximas a Tc representadas pela curvas solidas e obtidas com a


Eq. (7.4) a partir dos dados da Fig. 7.1a para a amostra otimamente dopada OP

nas temperaturas 70, 75, 80 e 85 K. Nos adotamos a curva 80 K como a curva de

referencia tal que (hc2 = 1). Para a escolha de n = 4 nos obtemos uma descricao

satisfatoria onde os coeficientes (A4, A3, A2, A1, A0) adquirem os seguintes valores

(+0.6438,"2.2732, +2.9544, +81.0093,"455.1729). As tres curvas isotermicas res-

tantes tambem sao ajustadas por fitting a este polinomio com o par de parametros

(hc2, c0) igual a (1.73,"1.55), (1.37,"0.7) e (0.64, 2.5) para as curva medidas nas

temperaturas 70, 75 e 85 K, respectivamente. O desvio medio padrao para o ajuste

dessas tres curvas e da ordem de 3% e para o ajuste da curva correspondente aos

dados obtidos a 80 K e da ordem de 0.07%.

A mesma analise polinomial foi aplicada aos dados obtidos com a variacao do

campo magnetico ate 14 Teslas para as amostra UD OP, que correspondem as

Fig. 7.1(a) e (b). O grafico principal da Fig. 7.3 mostra o colapso das curvas de

magnetizacao apos a lei de escala de Landau-Ott. As curvas originais sao mostradas

nos insets para efeito de comparacao.

A Fig. 7.4 mostra os parametros da lei de escala coletados hc2(T ) para as tempe-

raturas selecionadas. A extrapolacao linear revela a existencia de uma temperatura

crıtica T !c diferente da temperatura Tc. Observe que essa analise foi feita para o

composto OP utilizando-se os dados experimentais das duas variacoes de campos

de forma independente, obtendo o mesmo valor para T !c (a diferenca entre os dois

valores encontrados difere em menos de 0.8K). Uma evidencia da robustez da lei de

escala de Landau-Ott esta no fato dos valores encontrados para os compostos UD e

OP nao dependem da escolha da temperatura de referencia adotada para definir a

Figura 7.2: Curvas de magnetizacaoM(H, T ) em funcao do campo aplicado Ha temperatura constante. As curva solidascorrespondem a medidas experimentais deuma amostra otimamente dopada (OP) deBi-2212 extraıdas da referencia (114) cor-respondendo as temperaturas 70, 75, 80e85 K. As curvas tracejadas correspondema magnetizacao Meff (H), curvas obtidaspelo ajuste polinomial da Eq.(7.4) da leide escala de Landau-Ott.


Figura 7.3: Curvas de magnetizacao em funcao do campo magnetico a tempera-tura constante. As linhas solidas no grafico principal correspondem a Meff (H)obtidas com a lei de escala de Landau-Ott e os caracteres coloridos mostrados nosubgrafico correspondem aos dados experimentais. Em a) foram considerados ascurvas isotermicas da amostras UD nas temperaturas T=40, 41, 42, 43, 44, 45 e 46K, e em b) as curvas isotermicas para a amostra OP nas temperaturas T= 82, 83,84, 85, 86 e 86.3 K.

variavel h(T ) = Hc2(T )/Hc2(T0). Para verificar a independencia da temperatura de

referencia nao adotamos a temperatura de T=70 K nas curvas da Fig. 7.4, diferen-

temente da temperatura de 80 K nas curvas da Fig. 7.2.

A ideia de uma nova temperatura crıtica T !c nao e nova e ja foi proposta inumeras

vezes para explicar o comportamento da fronteira do diagrama de fase.

Notamos que uma extrapolacao da curva Hc2 versus T , obtida pelo efeito Nenrst,

foi feita ha muito tempo atras para um composto de YBCO. Tal como a nossa, ela

nao extrapolou paa Tc.

Huebener e colaboradores (50; 97; 98) introduziram uma nova temperatura

crıtica na descricao de um ajuste fitting das curvas de magnetizacao reversıvel ob-

tidas atraves do efeito Nernst. No composto de YBa2Cu3O7&! considerado por eles

o melhor ajuste para descrever o comportamento da Eq.(7.2) resulta em um campo

crıtico superior cuja extrapolacao para zero, de acordo com a Eq.(7.1), ocorre em

uma temperatura diferente de Tc. Huebener et al. encontram (97) um temperatura

crıtica igual a 93.8 K atraves da extrapolacao da curva do campo crıtico superior,

como descrito pela Eq. (7.1), que nao coincide com a temperatura de transicao de

resistividade nula igual a 93.0 K encontrada na literatura (97).


Figura 7.4: Dependencia do campo crıtico superior Hc2(T ) em funcao da tempera-tura T obtido atraves da lei de escala de Landau-Ott para tres conjuntos de medi-das experimentais. Em a) e mostrado Hc2(T )/Hc2(T0) para a amostra subdopada- underdoped de BI-2212 com T0=40 K para o conjunto de medidas com campomagnetico ate 14 teslas e em b), e mostrado os conjuntos de medidas ate 14 Teslase ate 32 Teslas para a amostra otimamente dopada (OP) com T0=40 K e 70 K,respectivamente. A extrapolacao linear fornece o valore de T !

c conforme indicadonos graficos.


A aplicacao da lei de escala de Landau-Ott ao composto BI-2212 revelou um resul-

tado cuja interpretacao implica na existencia da supercondutividade acima de Tc.

Como consequencia, propostas como a de Wang et al. de um campo crıtico extrema-

mente elevado perto da temperatura crıtica, Hc2(86 K) = 90 Tesla, sao desnecessario.

Em particular Wang et al. na referencia (114) ajustaram uma curva as medidas de

magnetometria de torque de alta sensibilidade - sensitive torque magnetometry em

compostos de Bi-2212 e NbSe2 com a expressao M 2 "[Hc2(T )"H], que e equiva-

lente a Eq. (7.2), para mostrar que os supercondutores de alta temperatura crıtica

High-Tc possuem comportamento nao usual comparado com os supercondutores de


baixa temperatura crıtica, Low-Tc. Uma possıvel conciliacao entre estas visoes an-

tagonicas e supor que na abordagem de Landau-Ott (62), as curvas de Hc2(T ) da

Fig. 7.4 estabelecem o desaparecimento do estado misto ao inves da completa su-

pressao da supercondutividade na amostra.


• M. M. Doria, A. R. de C. Romaguera, and S. Salem-Sugui Jr., “Vanishing of

the upper critical field in Bi2Sr2CaCu2O8+! from Landau-Ott scaling,” BRIEF

REPORT Phys. Rev. B, accepted, July 2007. DOI

http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevB.76.052504

Apendice A

A teoria de Ginzburg-Landau narede

A.1 A energia livre

A energia livre escrita que descreve o estado supercondutor no limite do contınuo

possui a seguinte forma:

FGL =1

V

!dr

",(r))0(T " Tc) |((r)|2 +

*

2|((r)|4 +

+!2

2m,(r)

####

2#" 2$i

$0A(r)

3((r)

####2

+1

8$|#$A(r)|2

&, (A.1)

onde V e o volume de integracao e r e a posicao em tres dimensoes. Quando

esse expressao e aplicada uma rede discreta, ela assume uma outra forma que leva

em consideracao as diferencas finitas entre os elementos da rede, obtendo assim a

expressao

F =1

NxNyNz

Nx.

nx=1

Ny.

ny=1

Nz.

nz=1

",(n))0(T " Tc)|((n)|2 +

*

2|((n)|4 +

+!2

2m

1

a2x

,(n)|((n + x)" ei 2!ax!0

Ax(n)((n)|2 +

+!2

2m

1

a2y

,(n)|((n + y)" ei2!ay!0

Ay(n)((n)|2

+!2

2m

1

a2z

,(n)|((n + z)" ei 2!az!0

Az(n)((n)|2 +1

8$|#$A(r)|2

&, (A.2)

A teoria de Ginzburg-Landau na rede 134

onde n representa o sıtio (nx, ny, nz). A expressao A.2 recupera a expressao A.1 no

limite que o parametro de rede tende a zero, permitindo expandir a exponencial ate

a primeira ordem e considerando as derivadas em termos dos primeiros visinhos.

+

+x((r) =

((n + x)" ((n)

ax(A.3)

+

+y((r) =

((n + y)" ((n)

ay(A.4)

+

+z((r) =

((n + z)" ((n)

az(A.5)

ei 2!ax!0

Ax(n) = 1 + i2$ax

$0Ax(n) (A.6)

A.2 A densidade de corrente

A primeira e a segnda equacao de Ginzburg-Landau sao obtidas minimizando

o funcional da energia livre A.2 em relacao ao parametro de ordem e ao potencial

vetor. No primeiro caso, *F*+! = 0, a expressao obtida para uma rede nao e dife-

rente da expressao obtida no contınuo. A unica diferenca e a depencia exponencial

com o potencial vetor, que sempre pode ser expandido em torno da origem ate a

primeira ordem. As diferencas significativas estao por conta da segunda equacao,*F*A = 0. No contiınuo nos temos a seguinte expressao para a densidade de corrente

supercondutora:

J(r) =e!m

|((r)|2$##" 2e

!cA(r)

%(A.7)

A densidade de corrente no caso discreto assume a seguinte forma:

Jx(n) = [Im ((n + x)Re ((n)"Re ((n + x)Im ((n)] cos Ax(r) +

" [Re ((n + x)Re ((n) + Im ((n + x)Im ((n)] sin #(r) (A.8)

Jy(n) = [Im ((n + y)Re ((n)"Re ((n + y)Im ((n)] cos Ay(r) +

" [Re ((n + y)Re ((n) + Im ((n + y)Im ((n)] sin #(r) (A.9)


Jz(n) = [Im ((n + z)Re ((n)"Re ((n + z)Im ((n)] cos Az(r) +

" [Re ((n + z)Re ((n) + Im ((n + z)Im ((n)] sin #(r) (A.10)

A.3 Quasi-periodicidade e invariancia de gauge

A.3.1 Translacao do Parameto de ordem na rede

((n + Nµµ) = ei"µ(n)((n)

((n"Nµµ) = e&i"µ(n)((n)

A.3.2 Translacao do Potencial vetor na rede

A)(n + Nµµ) = A)(n) ++

+)"µ(n)

A)(n"Nµµ) = A)(n)" +

+)"µ(n)

A.3.3 Determinacao do gauge "µ(n)

"1(n) = "312(ny " 1)N12

Ny+ 313(nz " 1)

N31

Nz

"2(n) = "323(nz " 1)N23

Nz+ 321(nx " 1)

N12

Nx

"3(n) = "331(nx " 1)N31

Nx+ 332(ny " 1)

N23

Ny

Onde os coeficientes 3ij satisfazem as relacoes

312 + 321 = 1

313 + 331 = 1

323 + 332 = 1


Os coeficientes Nx, Ny e Nz sao o numero de pontos nas direcoes x, y e z. O

coeficientes N23, N13 e N12 correspondem ao fluxo magnetico, em unidades de #0,

ao longo da direcao x, y e z, respevtivamente.

A.3.4 Relacoes envolvendo

+"1

+x(n) = 0

+"2

+x(n) = +321

N21axNx

+"3

+x(n) = "331

N31axNx

+"1

+y(n) = "312

N12ayNy

+"2

+y(n) = 0

+"3

+y(n) = +332

N23ayNy

+"1

+z(n) = "313

N31azNz

+"2

+z(n) = "323

N23azNz

+"3

+z(n) = 0


A.4 Solucao para os termos de campo: "B e "h(n)

A.4.1 Inducao Magnetica

"B =<"h(n)

== "2$!

2%

ay

3 2%

az

3N23

NyNzx

+2$!

2%

ax

3 2%

az

3N13

NxNzy

"2$!

2%

ax

3 2%

ay

3N12

NxNyz

A.4.2 Campo magnetico local constante

"h(n) = #$ "A(n) = "B

Ax(n) = 2$)21N12

NxNy(ny " 1) + 2$)31

N13

NxNz(nz " 1)

Ay(n) = "2$)12N12

NxNy(nx " 1) + 2$)32

N23

NyNz(nz " 1)

Az(n) = "2$)13N13

NxNz(nx " 1)" 2$)23

N23

NyNz(ny " 1)

Onde os coeficientes )ij satisfazem as relacao

)12 + )21 = 1

)13 + )31 = 1

)23 + )32 = 1

OBs. Os coeficientes )ij sao independentes dos coeficientes 3kl. A escolha desses

coeficientes e arbitraria.

Apendice B

O metodo de recozimentosimulado (Simulated Annealing)

A metodologia empregada e a do metodo de Recozimento Simulado (Simulated An-

nealing) Ref.[2], baseado no algoritmo de Metropolis (Monte Carlo) para resolver

numericamente problemas de minimizacao da teoria Ginzburg-Landau (GL) e as-

sim entender varias propriedades de equilıbrio dos supercondutores do tipo II. Esse

metodo guarda uma analogia profunda com a termodinamica do recozimento de me-

tais. Em metalurgia o recozimento de metais e um processo que se inicia elevando-se

a temperatura ate que o metal atinja um regime altamente desordenado, a sua fase

lıquida, onde os atomos estao aleatoriamente distribuıdos. Apos esse aquecimento

previo, a temperatura e diminuıda, lenta e gradualmente, ate obter-se o estado

fundamental, que e a rede cristalina perfeita, onde os atomos estao periodicamente

arranjados. A rede cristalina perfeita, o estado fundamental almejado a temperatura

zero absoluto, e atingida ainda a temperatura finita, embora a rede esteja acrescida

de pequenas vibracoes dos atomos em torno de suas posicoes de equilıbrio. Confi-

guracoes de energia meta-estaveis, muito proximas em energia ao mınimo absoluto,

existem: sao as redes com defeitos cristalograficos que podem surgir se o resfria-

mento for feito de maneira inapropriada. Por essa razao o processo de resfriamento

requer um certo conhecimento empırico para que tenha sucesso e tais configuracoes

sejam evitadas. A grande vantagem do Recozimento Simulado sobre os demais

metodos e exatamente a presenca de flutuacoes termicas, que permitem o escape

dos mınimos locais de energia na busca do mınimo absoluto, se a barreira que os

separa for ou igual ou menor do que a energia disponıvel no momento por flutuacao

termica (kT ). Outra vantagem importante do metodo e o tratamento estatıstico

O metodo de recozimento simulado (Simulated Annealing) 139

do espaco das variaveis que permite a sua utilizacao em situacoes onde o numero

de variaveis e extremamente grande. Por esta razao, o metodo de Recozimento Si-

mulado pode resolver satisfatoriamente problemas com muitas barreiras separando

varios mınimos locais, tais como o conhecido problema do caixeiro viajante (onde

se busca o menor caminho ligando um grande numero de cidades). Para aplicar

o Recozimento Simulado nesse problema, primeiramente discretiza-se o espaco tal

que a energia livre, F [((r), A(r)] passa a depender de ((r) (parametro de ordem)

e A(r) (potencial vetor), funcoes a serem determinadas em cada ponto n da rede.

Aplicando o Recozimento Simulado introduz-se no problema uma temperatura T !,

que conecta o funcional com um banho termico onde processos estatısticos ocorrem,

caracterizados por exp("F [((r), A(r)]/T !). Dada uma configuracao inicial, ((r0)

e A(r0), termaliza-se o funcional numa certa temperatura inicial e em varias outras

sucessivamente mais baixas, sempre utilizando o algoritmo de Metropolis para bus-

car o equilıbrio. Para uma temperatura T ! suficientemente baixa, deve-se encontrar

a configuracao de funcoes ((r) e A(r) que minimizam a energia livre, que fornecem

a solucao das equacoes nao lineares de Ginzburg-Landau, resultantes do princıpio

variacional de Euler Lagrange.

O metodo de recozimento simulado(simulated anealing) e uma simulacao do tipo

Monte Carlo que utiliza o algoritmo Metropolis para alcancar o mınimo de um dado

funcional. A ideia basica do metodo e modificar a variavel dependente x em uma

pequena quantidade - e verificar se a nova variavel x' = x + - diminui o valor da

variavel independente y. O algoritmo Metroplois introduz uma temperatura fictıcia

T associada a variavel dependente x. Se y(x') for menor do que Y (x), o sistema

“decai”e e feita uma atualizaca o da variavel x. Se y(x') nao for menor do que y(x'),

analisa-se a probabilidade de Boltzman associado a temperatura fictıcia. Esse pro-

cesso comeca em uma temperatura alta o suficiente para que a variavel dependente

sempre seja atualizada e entao gradativamente reduzida afim de obter o mınimo

da variavel independente. Dessa forma fica claro o porque do nome recozimento

simulado, pois o sistema comeca em uma temperatura alta e termina em uma tem-

peratura baixa.

O emprego do metodo de recozimento simulado a teoria de Ginzburg-Landau

exige distinc ao das variaveis dependentes. No caso mais geral, e de interesse mini-

mizar o funcional da energia livre em relac ao a posic ao e ao potencial vetor, o que

representa seis vari aveis. O problema da utilizac ao do recozimento simulado em


supercondutores se deve a presenc a das condic oes de contorno. Como o incremento

dado a variavel x e aleatorio, as tentativas de obter um x' que diminuam a energia

livre podem nao satisfazer as condicoes de contorno. Para adequar o recozimento

simulado as condicoes de contorno existem duas opc oes: re-impor as condi c oes de

contorno a cada mudanc a aceita na fronteira do sistema ou escrever uma ebergia

livre para cada regiao onde o recozimento simulado esta sendo aplicado. Essa se-

gunda opc ao possue uma grande vantagem sobre a primeira uma vez que reduz o

numero de tarefas que terao de ser executadas ao longo do algoritmo. Nas proximas

sec oes, descreveremos a variac ao da energia livre produzida pela adicao de uma

quantidade - - parte real ou imaginaria do parametro de ordem e nas componentes

do potencial vetor.

B.1 O recozimento simulado aplicado a teoria deGinzburg-Landau na rede

O processo de minimizac ao da eneria livre em relac ao a parte real e imaginaria,

aqui denominado de relaxac ao, e implementado de acordo com a posic ao do para-

meto de ordem no sistema. Em uma celula cubica unitaria, nos podemos classificar

27 diferentes regi oes onde a relaxacao assume diferentes equac oes. Sao elas: o

interior, as seis faces, as doze bordas e oito quinas. Dependo a qual regiao a relaxac

ao esta ocorrendo, uma expressao diferente sera utilizada.

Destacamos aqui as principais equacoes da teoaria de Ginzburg-Landau aplicada

a uma rede tridimencional. As definicoes de cada variavel estao relatadas a seguir:


Variavel significado

((n) Parametro de ordem complexo

Re(n) Parte real de (

Im(n) Parte imaginaria de (

Ax(n) Componente x do potencial vetor

Ay(n) Componente y do potencial vetor

Az(n) Componente z do potencial vetor

hx(n) Componente x do campo local

hy(n) Componente y do campo local

hz(n) Componente z do campo local

Rdifx(n) Componente real x da derivada

Rdify(n) Componente real y da derivada

Rdifz(n) Componente real z da derivada

Idifx(n) Componente imagiaria x da derivada

Idify(n) Componente imagiaria y da derivada

Idifz(n) Componente imagiaria z da derivada

"1(n) Invariancia de Gage na direcao x

"2(n) Invariancia de Gage na direcao y

"3(n) Invariancia de Gage na direcao z

ax parametro de rede na direcao x

ay parametro de rede na direcao y

az parametro de rede na direcao z

% comprimento de coerencia

' comprimento de penetracao

! constante de Ginzburg-Landau

Nx numeros de mesh pontos na direc ao x

Ny numeros de mesh pontos na direc ao y

Nz numeros de mesh pontos na direc ao z

N12 vorticidade na direcao z

N23 vorticidade na direcao x

N31 vorticidade na direcao y


B.2 Funcional de Ginzburg-Landau na rede 3-D

F =1

NxNyNz

Nx.

nx=1

Ny.

ny=1

Nz.

nz=1

",(n) |((n)|2 +1

2|((n)|4

> ?@ Atermo de condensado

+

+ ,(n)

2%

ax

32 ###((n + x)" eiAx(n)((n)###2+

+ ,(n)

2%

ay

32 ###((n + y)" eiAy(n)((n)###2+

+ ,(n)

2%

az

32 ###((n + z)" eiAz(n)((n)###2

> ?@ Atermo cinetico

+

+

2!%2

ayaz

32

[+yAz(n)" +zAy(n)]2 +

+

2!%2

axaz

32

[+zAx(n)" +xAz(n)]2 +

+

2!%2

axay

32

[+xAy(n)" +yAx(n)]2

> ?@ Atermos de campo


B.2.1 Simplificando a energia livre

F =1

NxNyNz

Nx.

nx

Ny.

ny

Nz.

nz

",(n)5Re(n)2 + Im(n)26 +

1

2

5Re(n)2 + Im(n)262

+.

µ

,(n)

2%

aµ

32 5Rdifµ(n)2 + Idifµ(n)26

+.

µµ"=! "="

2!%2

a"a#

32

hµ(n)2

Rdifµ(n) = Re(n + µ)" cos Aµ(n)Re(n) + sin Aµ(n)Im(n)

Idifµ(n) = Im(n + µ)" cos Aµ(n)Im(n)" sin Aµ(n)Re(n)

hx(n) = [Az(n + y)" Az(n)" Ay(n + z) + Ay(n)]

hy(n) = [Ax(n + z)" Ax(n)" Az(n + x) + Az(n)]

hz(n) = [Ay(n + x)" Ay(n)" Ax(n + y) + Ax(n)]


B.2.2 Variacao da parte Real

F (Re + -, Im,A)" F (Re, Im,A) =5-2 + 2-Re(n)

6,",(n) + Re(n)2 + Im(n)2 +

1

2[-2 + 2-Re(n)]

-

.

µ

,(n)

2%

aµ

32 B-2 " 2-[cos Aµ(n)Rdifµ(n) + sin Aµ(n)Idifµ(n)]

C

.

µ

,(n" µ)

2%

aµ

32 5-2 + 2-Rdifµ(n" µ)

6

B.2.3 Variacao da parte Imaginaria

F (Re, Im + -,A)" F (Re, Im,A) =5-2 + 2-Im(n)

6,",(n) + Re(n)2 + Im(n)2 +

1

2[-2 + 2-Im(n)]

-

.

µ

,(n)

2%

aµ

32 B-2 + 2-[sin Aµ(n)Rdifµ(n)" cos Aµ(n)Idifµ(n)]

C

.

µ

,(n" µ)

2%

aµ

32 5-2 + 2-Idifµ(n" µ)

6


B.2.4 Variacao do potencial vetor:Ax

F ((, Ax + -, Ay, Az)" F ((, Ax, Ay, Az) =

+,(n)

2%

ax

32

4 sin-

2sin

2Ax(n) +

-

2

3[Re(n)Re(n + x) + Im(n)Im(n + x)]

+,(n)

2%

ax

32

4 sin-

2cos

2Ax(n) +

-

2

3[Im(n)Re(n + x)"Re(n)Im(n + x)]

"2-

92!%2

axaz

32

hy(n)"2

!%2

axay

32

hz(n)

:+ -2

92!%2

axaz

32

+

2!%2

axay

32:

"2-

2!%2

axay

32

hz(n" y) + -22

!%2

axay

32

+2-

2!%2

axaz

32

hy(n" z) + -22

!%2

axaz

32

(B.1)


B.2.5 Variacao do potencial vetor:Ay

F ((, Ax, Ay + -, Az)" F ((, Ax, Ay, Az) =

+,(n)

2%

ay

32

4 sin-

2sin

2Ay(n) +

-

2

3[Re(n)Re(n + y) + Im(n)Im(n + y)]

+,(n)

2%

ay

32

4 sin-

2cos

2Ay(n) +

-

2

3[Im(n)Re(n + y)"Re(n)Im(n + y)]

"2-

92!%2

axay

32

hz(n)"2

!%2

ayaz

32

hx(n)

:+ -2

92!%2

axay

32

+

2!%2

ayaz

32:

"2-

2!%2

ayaz

32

hx(n" z) + -22

!%2

ayaz

32

+2-

2!%2

axay

32

hz(n" x) + -22

!%2

axay

32

(B.2)


B.2.6 Variacao do potencial vetor:Az

F ((, Ax, Ay, Az + -)" F ((, Ax, Ay, Az) =

+,(n)

2%

az

32

4 sin-

2sin

2Az(n) +

-

2

3[Re(n)Re(n + z) + Im(n)Im(n + z)]

+,(n)

2%

az

32

4 sin-

2cos

2Az(n) +

-

2

3[Im(n)Re(n + z)"Re(n)Im(n + z)]

"2-

92!%2

ayaz

32

hx(n)"2

!%2

axaz

32

hy(n)

:+ -2

92!%2

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