24/04/2012

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Lógica para computação

Professor Marlon Marcon

PROPRIEDADES SEMÂNTICAS DA LÓGICA

PROPOSICIONAL

Introdução • Esta seção considera a análise de algumas propriedades semânticas da LP que relacionam os resultados das interpretações das fórmulas.

• Estão são obtidas no mundo semântico, mas a partir de fórmulas que pertencem ao mundo sintático.

• O estudo desta relação entre propriedades semânticas e sintáticas é um dos enfoques centrais da Lógica.

Tautologia • Chama-se tautologia toda proposição composta, cuja última coluna de sua tabela-verdade encerra somente com o simbolo T

• Definição (tautologia):

• H é uma tautologia, se, e somente se, para toda interpretação I, I[H] = T

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Tautologia • Exemplo 1:

• ¬(P Λ ¬P)

• “Dizer que uma proposição não pode ser simultâneamente verdadeira e falsa é sempre verdadeiro” (Princípio da não-contradição)

P ¬P P Λ ¬P ¬(P Λ ¬P)

T F F T

F T F T

Tautologia • Exemplo 2:

• P V ¬P

• “Dizer que uma proposição é verdadeira ou é falsa é sempre verdadeiro” (Princípio do terceiro excluído)

P ¬P P V ¬P

T F T

F T T

Tautologia • Exemplo 3:

• P V (Q Λ ¬Q)↔ P

P Q ¬Q Q Λ ¬Q P V (Q Λ ¬Q) P V (Q Λ ¬Q) ↔ P

T T F F T T

T F T F T T

F T F F F T

F F T F F T

Contingência • Chama-se contingência toda proposição composta em cuja última coluna de sua tabela-verdade figuram os simbolos T e F cada um pelo menos uma vez.

• Definição (contingência):

• H é uma contingência, se, e somente se, existem duas interpretações I1 e I2, tais que I1[H] = T e I2[H] = F

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Contingência • Exemplo 1:

• P → ¬P

P ¬P P → ¬P

T F F

F T T

Contingência • Exemplo 3:

• P Λ Q → P

P Q P V Q P V Q → P

T T T T

T F T T

F T T F

F F F T

Contradição • Chama-se contradição toda a proposição composta cuja última coluna de sua tabela-verdade encerra somente com o simbolo F

• Definição (contradição):

• H é contraditória, se, e somente se, para toda interpretação I, I[H] = F

Contradição • Exemplo 1:

• P Λ ¬P

• “Dizer que uma proposição pode ser simultâneamente verdadeira e falsa é sempre falso”

P ¬P P Λ ¬P

T F F

F T F

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Contradição • Exemplo 2:

• P ↔ ¬P

P ¬P P ↔ ¬P

T F F

F T F

Contradição • Exemplo 3:

• (P Λ Q) Λ ¬(P V Q)

P Q P Λ Q P V Q ¬(P V Q) (P Λ Q) Λ ¬(P V Q)

T T T T F F

T F F T F F

F T F T F F

F F F F T F

Exercícios • Mostrar se as seguintes fórmulas são tautológicas, contingentes ou contraditórias:

• P V ¬(P Λ Q)

• ((P → Q) ↔ Q) → P

• ¬P Λ (P Λ ¬Q)

• (P Λ Q) → (P ↔ Q)

• P Λ R → ¬Q V R

Implicação Semântica • Definição (implicação semântica):

• H implica semanticamente G, ou G é uma consequência lógica semântica de H, se, e somente se, para toda interpretação I, se I[H]=T, então I[G]=T

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Implicação Semântica • Diz-se que uma fórmula H implica logicamente em outra fórmula G, se G é verdadeira todas as vezes que H é verdadeira.

� ⇒ �

• Em outros termos, uma fórmula H implica logicamente G, todas as vezes que nas respectivas tabelas-verdade dessas duas fórmulas não aparece T na última coluna de H e F na última coluna de G.

Implicação Semântica

• Em particular, toda proposição implica uma tautologia e somente uma contradição implica uma contradição.

• Uma fórmula H implica semanticamente outra G � ⇒ �, se e somente se a condicional � → � é tautológica

• Nota!!!

• Os simbolos → e ⇒ são diferentes, o primeiro é de operação lógica e o segundo de relação lógica

Propriedades da implicação semântica

• Reflexiva

• � ⇒ �

• Transitiva

• Se � ⇒ � e

• � ⇒ �, então

• � ⇒ �

Propriedades da implicação semântica

• Dadas as tabelas-verdade das fórmulas � ∧ , � ∨ , � ↔ Temos que:

� ∧ ⇒ � ∨ � ∧ ⇒ � ↔

As tabelas-verdade também demonstram as regras de inferência:

� ⇒ � ∨ ⇒ � ∨ (Adição) � ∧ ⇒ � � ∧ ⇒ (Simplificação)

P Q P Λ Q P V Q P ↔ Q

T T T T T

T F F T F

F T F T F

F F F F T

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Propriedades da implicação semântica

• Dadas as tabelas-verdade das fórmulas � ↔ , � →

, → �

Temos que: � ↔ ⇒ � → � ↔ ⇒ → �

P Q P ↔ Q P → Q Q → P

T T T T T

T F F F T

F T F T F

F F T T T

Propriedades da implicação semântica

• Dadas as tabelas-verdade das fórmulas (� ∨ ) ∧ ¬�

Temos que: � ∨ ∧ ¬� ⇒ (�� !"#$%&'$ &%($#&%)*+,&-$)

Analogamente temos: (� ∨ ) ∧ ¬ ⇒ �

P Q . ∨ / ¬. (. ∨ /) ∧ ¬.

T T T F F

T F T F F

F T T T T

F F F T F

Propriedades da implicação semântica

• Outras regras

(� → ) ∧ � ⇒ �(RegraModusponens)(RegraModusponens)(RegraModusponens)(RegraModusponens)

(� → ) ∧ ¬ ⇒ ¬�(RegraModus(RegraModus(RegraModus(RegraModustollens)tollens)tollens)tollens)

Prove se as regras são verdadeiras

Propriedades da implicação semântica

• A fórmula (� → ) ∧ ( → 9) → (� → 9) é tautológica, logo, subsiste a implicação lógica:

(� → ) ∧ ( → 9) ⇒ (� → 9)

Da mesma forma:

• A fórmula � ∧ ¬� → é tautológica, logo: � ∧ ¬� ⇒

• A fórmula (� → ) ∧ ( → 9) → (� → 9) é tautológica, logo:

(� → ) ∧ ( → 9) ⇒ (� → 9)

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Equivalência Semântica • Definição (equivalência semântica):

• H implica semanticamente G, se, e somente se, para toda interpretação I, se I[H] = I[G]

• Diz-se que uma fórmula H é semanticamente equivalente à outra G, se as tabelas-verdade destas são idênticas.

� ⇔ �

Em particular, se H e G são ambas tautologias ou ambas contradições, então são equivalentes.

Propriedades da Equivalência Semântica

• Reflexiva

• � ⇔ �

• Transitiva

• Se � ⇔ � e

• � ⇔ �, então

• � ⇔ �

• Simétrica

• Se � ⇔ � então

• � ⇔ �

Propriedades da Equivalência Semântica

• As fórmulas ¬¬� � são equivalentes.

É chamada regra da dupla negação

Portanto, a dupla negação equivale à afirmação

P ¬P ¬¬P

T F T

F T F

Propriedades da Equivalência Semântica

• As fórmulas ¬� → � � são equivalentes.

É chamada regra de CLAVIUS

P ¬P ¬P → P

T F T

F T F

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Propriedades da Equivalência Semântica

• As fórmulas � → � ∧ � → são equivalentes.

É chamada regra da absorção

P Q P Λ Q P → P Λ Q P → Q

T T T T T

T F F F F

F T F T T

F F F T T

Propriedades da Equivalência Semântica

• As fórmulas � → ¬� ∨ são equivalentes.

É chamada regra da absorção

P Q P → Q ¬P ¬P v Q

T T T F T

T F F F F

F T T T T

F F T T T

Propriedades da Equivalência Semântica

• Outros exemplos:

(� ↔ ) ⇔ (� → ) ∧ ( → �)

(� ↔ ) ⇔ (� ∧ ) ∨ (¬� ∧ ¬)

• Prove se os exemplos estão corretos.

Propriedades da Equivalência Semântica

• Uma fórmula H é equivalente semanticamente à outra G (� ⇔ �), se e somente se a bicondicional � ⟷ � é tautológica.

• Nota!!!

• Os simbolos ⟷ e ⇔ são diferentes, o primeiro é de operação lógica e o segundo de relação lógica

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Propriedades da Equivalência Semântica

• A fórmula � ∧ → 9 ↔ (� → → 9 ) é tautológica, logo, são equivalentes:

� ∧ → 9 ⇔ (� → → 9 )

Propriedades da Equivalência Semântica

• Dada a condicional � → , chamam-se proposições associadas a � → as seguintes proposições que contém � e . o Proposição recíproca de . → /: / → .

o Proposição contrária de . → /: ¬. → ¬/

o Proposição contrapositiva de . → /:¬/ → ¬.

P Q P → Q Q → P ¬P → ¬Q ¬Q → ¬P

T T T T T T

T F F T T F

F T T F F T

F F T T T T