Lógica Proposicional-1

Prova por contradição

Premissas: Cube(c) Dodec(c) e Tet(b) Concluir: bc Prova:

– Supondo b=c– Da 1ª premissa: Cube(c) ou Dodec(c)

Se Cube(c) , então Cube(b) (indiscernibilidade dos idênticos)

o que contradiz Tet(b)

Se Dodec(c) então Dodec(b) (indiscernibilidade dos idênticos)

o que contradiz Tet(b)

Obtemos contradição nos 2 casos, logo contradição. Então, bc

Lógica Proposicional-2

Prova por contradição 2

Provar: é irracional–Factos acerca dos racionais

nº racional pode ser expresso como p/q, com pelo menos 1 de p e q ímpar elevando ao quadrado um número ímpar, obtém-se outro ímpar; se n2 é

par, n é par e n2 é divisível por 4

Prova:–Suposição: é racional

= p/q (um de p e q é ímpar)

p2 / q2 =2 ou p2 = 2 q2 : p2 é par e p2 é divisível por 4

p2 é divisível por 4, q2 é divisível por 2; q é par

p e q ambos pares: contradiz a afirmação incial

Então não é racional

Lógica Proposicional-3

O que é contradição?

Afirmação que não pode ser verdadeira Conjunto de afirmações que não podem ser verdadeiras

simultaneamente

NaSala(Rita) NaSala(Rita)

b b

Cube(c) e Tet(c)

Conjunto de frases é contraditório se não puder ser satisfeito Para provar F usando contradição:

Assume-se FConstrói-se FConclui-se F e portanto F

Lógica Proposicional-4

Premissas inconsistentes

Conjunto de frases é inconsistente: não existe um mundo no qual possam ser satisfeitas simultaneamente

Consequência lógica: qualquer fórmula é consequência de um conjunto inconsistente de premissas

– qualquer circunstância que as torne simultaneamente verdadeiras , torna a consequência verdadeira tambem

NaSala(Rita) NaSala(Luis)

NaSala(Rita)

NaSala(Luis) Argumentos com premissas insconsistentes: pouco úteis

– se não há circunstância que torne as premissas simultaneamente verdadeiras , não temos indicação quanto ao valor lógico da conclusão.

Lógica Proposicional-5

Regras de inferência para

Eliminação da conjunção

P1 Pi Pn

Pi

Introdução da conjunção

P1PnP1 Pi Pn

significa que todos os elementos P1 a Pn têm de aparecer na prova antes de se introduzir a conjunção

P1Pn

Lógica Proposicional-6

nas provas formais

1. A B C 2. B Elim: 1 3. C Elim: 1 4. C B C Intro: 3,2,3

Parêntesis: introduzir quando pode haver ambiguidade

1. P Q 2. R3. (P Q) R Intro: 1,2

1. P Q 2. R3. P Q R Intro: 1,2

Lógica Proposicional-7

Regras de inferência para

P1 Pi Pn

F

Eliminação da disjunção

Introdução da disjunção

Pi

P1 Pi Pn

P1

F

Pn

FProva por casos

Lógica Proposicional-8

nas provas formais

1. (A B) (C D) 2. (A B) 3. B Elim: 2 4. B D Intro: 3

5. (C D) 6. D Elim: 5 7. B D Intro: 6

8. B D Elim: 1, 2-4, 5-7

Lógica Proposicional-9

Exemplo

1. P (Q R) 2. P 3. P Q Intro: 2 4. P R Intro:5. Intro: 3,4

6. Q R7. Q Elim: 8. P Q Intro: 79. R Elim: 6 10. Intro: 911. (P Q) P R) Intro: 8,10

12. (P Q) P R) Elim: , 2-5, 6-

?

??

?

? ?

??

Lógica Proposicional-10

Regras de Inferência para

Eliminação da negação Introdução da negação

P

P

P Q Q

P

Prova por contradição

Nota: Sistemas formais são rígidos acerca do tipo de fórmulas que constituem a contradição: aqui é Q Q

Lógica Proposicional-11

nas provas formais

1. A 2. A3. A A Intro: 1,2

4. A Intro: 2-3 AA

1. P2. P

3. Q

4. P P Intro: 1,2

5. Q Intro: 3-46. Q Elim: 5

Prova-se fórmula arbitrária a partir de

premissas inconsistentes

Teorema 1

Lógica Proposicional-12

Exemplo

1. P Q P2. P Elim: 1 3. P Elim: 1

4. P P Intro: 2,3

5. (P Q P) Intro: 1-4

Prova de verdade lógica: não tem premissas

Lógica Proposicional-13

Uso de subprovas

1. (B A) (A C) 2. B A3. B Elim: 2 4. A Elim: 2

5. (A C) 6. A Elim: 5

7. A Elim: 1, 2-4, 5-68. A B Intro: 7,3

Errado8: usa passo 3de subprova

fechada

• Quando uma subprova é fechada:• Suposições são descarregadas• Subprova pode ser usada como um todo para justificar outros passos

Lógica Proposicional-14

Exemplo

1. (P R) 2. (P R)

3. P 4. P R Intro: 3 5. (P R) (P R) Intro: 4,2

6. P Intro: 3-57. P Elim: 6

8. R 9. P R Intro: 8 10. (P R) (P R) Intro: 9,2

11. R Intro: 8-1012. R Elim: 1113. P R Intro: 7,12 14. P R) Reit: 115. (P R) P R) Intro: 13,14

16. (P R) Intro: 2-1517. P R Elim: 16

Teorema 2

Lógica Proposicional-15

Citar teoremas

Para encurtar a prova em F : usar resultados prévios

1. (P Q) 2. P3. P Q Teor Prev (Teorema 2): 1 4. P Teor Prev (Teorema 1): 2 5. Q Teor Prev (Cancelamento): 3,4

Símbolos usados nas provas: podem ser substituídos– por outros símbolos– por fórmulas arbitrárias

Lógica Proposicional-16

Formas normais

Leis distributivas

Para toda a escolha de fórmulas P, Q e R(1) Distributividade de sobre : P (Q R) (P Q) (P R)(1) Distributividade de sobre : P (Q R) (P Q) (P R)

Forma normal disjuntiva (DNF):– Fórmula construída a partir de literais com as conectivas e :

reescrita como disjunção de conjunções de literais

Forma normal conjuntiva (CNF):– Fórmula construída a partir de literais com as conectivas e :

reescrita como conjunção de disjunções de literais

Lógica Proposicional-17

Exemplo

Transformar em forma normal disjuntiva(A B) (C D) (A B) C] (A B) D]

(A C) (B C) (A B) D](A C) (B C) (A D) (B D)

Transformar em forma normal conjuntiva(A B) (C D) (A B) C] (A B) D]

(A C) (B C) (A B) D](A C) (B C) (A D) (B D)

((A B) C) (A B) C(A B) C(A B) C(A C) B C)

Lógica Proposicional-18

Completude para as funções da verdade

Uma conectiva arbitrária pode ser expressa com , e ? Conectivas binárias: tabela de verdade tem 4 linhas

– cada linha pode ter V ou F– número de conectivas possíveis: 24

P Q P QV V valor1

V F valor2

F V valor3

F F valor4

C1= P QC2= P QC3= P QC4= P Q

Representação de *:disjunção dos Ci

correspondentes a linhas com valor V

Todas as funções binárias funcionais da verdade podem ser descritas com , e

Lógica Proposicional-19

Completude para as funções da verdade

Conectivas unárias

P PV valor1

F valor2

Ambos os valores F: P POutros casos: disjunção de C1= P e C2= P

Conectivas de outras aridades

P Q R @(P,Q,R)

V V V F

V

Exprimir conectiva em DNF:(P Q R)

Não são necessários , e : P Q P Q)