Area de uma elipse via calculo integral e

diferencial

24/07/2013

Qual e a area de uma elipse?

Neste documento estudaremos apenas um caso da elipse. Os outros casos seguem

o mesmo raciocınio.

Considere a Elipse: x2

a2 + y2

b2= 11 cujo grafico segue abaixo:

Figura 1: Elipse - x2

a2 + y2

b2= 1

Voce que e matematico ou um estudioso da matematica ja deve ter se perguntado:

Qual e a area de uma Elipse. A resposta e simples: abπ, onde a e a distancia do

centro da elipse ao ponto onde a elipse toca o eixo x e b e a distancia do centro

da elipse ao ponto onde a elipse toca o eixo y. Apesar da resposta ser simples, a

demonstracao deste fato foge da matematica estudada no ensino medio, sendo ne-

1todo texto escrito neste documento faz referencia a este caso da elipse

1

cessario o uso de conteudos de matematica universitaria, em particular do calculo

diferencial e integral.

Dada a elipse x2

a2 +y2

b2= 1 podemos escreve-la da seguinte maneira: y = b

√

1− x2

a2 .

Considere agora apenas a regiao fechada OAB da figura 1(um quarto da elipse).

Vamos calcular a area da regiao hachurada da figura 1. Para isto temos a funcao

y = b

√

1− x2

a2 e a variacao no eixo x de zero a a.Assim, temos:

AREAHACHURADA =

∫ a

0

b

√

1−x2

a2dx

Tome x = asen(t), logo t = arcsen(xa); dx = acos(t)dt. Como vamos mudar a

variavel, devemos mudar o intervalo. Assim: se x = 0, entao t = arcsen( 0a) =

arcsen(0) ⇒ t = 0. Se x = a, entao t = arcsen(aa) = arcsen(1) ⇒ t = π

2 . Logo:

∫ a

0

b

√

1−x2

a2dx = b

∫ π

2

0

√

1−(asen(t))2

a2acos(t)dt =

b

∫ π

2

0

√

1−a2sen2(t)

a2acos(t)dt = b

∫ π

2

0

√

1− sen2(t)acos(t)dt =

ab

∫ π

2

0

√

cos2(t)cos(t)dt = ab

∫ π

2

0

cos2(t)dt.

Como: cos(2t) = cos(t+ t) = cos2(t)− sen2(t) = cos2(t)− 1 + cos2(t) =

2cos2(t)− 1 ⇒ cos2(t) = cos(2t)+12 .

Logo: ab

∫ π

2

0

cos2(t)dt = ab

∫ π

2

0

cos(2t) + 1

2dt =

ab

2

∫ π

2

0

(cos(2t) + 1)dt =

ab

2

(

sen(π)

2+

π

2−

sen(0)

2− 0

)

=ab

2(π

2) =

abπ

4.

Concluımos assim que a area hachurada da figura 1 vale abπ4 . Como a regiao ha-

churada e apenas um quarto da elipse, temos que a AREA DA ELIPSE vale 4abπ4

e, portanto AREAELIPSE = πab.

Exemplo: A area da elipse x2

32 + y2

42 = 1 e 3.4π = 12π ∼= 37, 7 unidade de area.

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