VETORES

VETORESQuantidades com magnitude e direção

Magnitude: Quanto(representado pelo comprimento de uma linha)

Direção: Qual direção ele aponta

Pode ser represntado por um segmento de reta (seta)Exemplos:

Velocidade Aceleração Deslocamento Força

É POSSÍVEL EXPRESSAR O DESLOCAMENTO

É POSSÍVEL EXPRESSAR O DESLOCAMENTO

SITUAÇÃO EXPERIMENTAL

Figura 1: Câmera 1 Figura 2: Câmera 2

Figura 3: Câmera 3 Figura 4: Câmera 4

P=(x,y)

X

Y

Posição em 2 dimensões

TRAJETÓRIA E DISTÂNCIA PERCORRIDA

Goleiro Lateral

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

10

20

30

40

50

60

ATAQUE DEFESA

Distância percorrida: 1969 m

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

10

20

30

40

50

60

ATAQUE DEFESA

Distância percorrida: 4925 m

Zagueiro Volante

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

10

20

30

40

50

60

ATAQUE DEFESA

Distância percorrida: 4558 m

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

10

20

30

40

50

60

ATAQUE DEFESA

Distância percorrida: 4280 m

TERMINOLOGIA DE VETORES Dois ou mais vetores atuando em um pesmo

ponto são denominados vetores concorrentes.

A soma de dois ou mais vetores é chamada de resultante (R). Um vetor simples pode substituir vetores

concorrentes Qualquer vetor pode ser descrito como tendo

componentes “x” e “y” em um sistema de coordenadas.

O processo de quebra de um vetor em componentes “x” e “y” é chamado de resolução de vetor.

Vetores são ditos em “equilibrio” se a soma for igual a zero.

E = 5 N R = 5 N at 180 ° at 0°

TERMINOLOGIA DE VETORES

QUAL A RESULTANTE DOS SEGUINTES VETORES?

E= 10 N a 0 graus R = 20 N a 0 graus

E =20 N a 45 graus R = 10 N a 225 graus

Nem sempre os vetores estão “em linha”, mas em um ângulo entre eles

TIP TO TAIL – 3 VETORES

Podemos adicionar 3 ou mais vetores ao colocá-los agrupados (tip to tail) em qualquer ordem, desde que sejam de mesmo tipo (força, velocidade, deslocamento, etc.).

azul + verde + vermelho

METODO GRAFICO DE ADIÇÃO DE VETORES

Vetores podem ser desenhados em escala e a resultante pode ser determinada com uma régua e um transferidor.

Vetores são adicionados ao desenhar a ponta do vetor à extremidade do segundo vector (“tip to tail”). A ordem não importa.

A resultante é sempre desenhada da ponta para a extremidade do último vetor.

EXEMPLOUma força de 50 N a 0° age concorrentemente a uma força de 20 N force a 90°.

R

R e são iguais em cada diagrama.

ADICIONE ESSES VETORES

a

b ab

R= a+b

UM NADADOR ATRAVESSA UM RIO A 8.00 M/S QUE TEM UA CORRENTEZA DE 5.00 M/S.

8.00 m/s

5.00 m/s

Largura do Rio

8.00 m/s

5.00 m/s

R = 9.43 m/s a 32°

RESOLUÇÃO TRIGONOMÉTRICA

h

sen = y / h

y = h sen

cos = x / h

x = h cos

- + ++- - +-

x

y

EXEMPLO:

5 N a 30°

6 N a 135° x y5 cos 30° = +4.33 5 sin 30° = +2.5

6 cos 45 ° = - 4.24

6 sin 45 ° = + 4.24

+ 0.09 + 6.74

R = (0.09)2 + (6.74)2 = 6.74 N

= arctan 6.74/0.09 = 89.2°

CÁLCULO PELOS COMPONENTES DOS VETORES

(6, 2)

(9, 9)

(11, 5)C

3

7

2

-4

XA, YA XB, YB(9 , 9) (11 , 5)(6 , 2) (9 , 9)(3 , 7) (2, - 4)

R (5 , 3)

R 3 5

R2 = 52 +32 = 5.83 m

AB

A B

A

B

C = A – B

ORIGEM DA LEI DOS COSSENOS

Θ

bc

a

d

e

m

cosΘ = d/b d=b.cosΘe= c – de= c - b.cosΘ

senΘ= m/b m=b.senΘ

a2 = m2+e2 (=> Norma)a2 = (b.senΘ)2 + (c - b.cosΘ)2

a2 = b2.senΘ2 + c2 – 2 cb.cosΘ+ b2cosΘ2

a2 = b2.senΘ2 + b2cosΘ2 + c2 – 2 cb.cosΘa2 = b2.(senΘ +cosΘ) 2 + c2 – 2 cb.cosΘ

a2 = b2.(1) 2 + c2 – 2 cb.cosΘa2 = b2+ c2 – 2 cb.cosΘ

CÁLCULO DO ÂNGULO ENTRE DOIS VETORES

x1 x2

y1

y2

LEI DOS COSSENOS c2 = a2+ b2 – 2|a.b|cos θ

a

b

c

Θcos Θ = a . b |a|.|b|

c = a-b (a-b)2 = |a2|+|b2| - 2|a.b|cos θ(a-b) *(a-b) = |a2|+|b2| - 2|a.b|cos θ

a*a – a*b – b*a + b*b = |a2|+|b2| - 2|a.b|cos θ|a2|- 2 (a*b) +| b2| = |a2|+|b2| - 2|a.b|cos θ

-(a*b) = - |a.b|cos θ (*-1)(a*b) = |a.b|cos θcos θ = (a*b) /|a.b|

ÂNGULOS ENTRE VETORES

x1 x2

y1

y2

Θ

Cos Θ = A . B |A|.|B| A B(XA, YA) (XB, YB)

Cos Θ =(XA* XB) + (YA * YB) (√XA

2 YA2)*(√XB

2 YB2)

VETORES EM 3 D

Cos Θ = A . B |A|.|B|

cos Θ =(XA* XB) + (YA * YB) +(ZA * ZB) (√XA

2+ YA2 + ZA

2 )*(√XB2 + YB

2+ ZB

2)

ÂNGULO ENTRE 2 VETORES

A (10, 60) B (40, 40)C (25, 15)

Cos Θ = A . B |A|.|B|

B (40, 40)

C (25, 15)

A (10, 60)

X yAB = (10-40) (60-40) = -30 20CB = (25-40) (15-40) = -15 -25

Cos Θ =(X1* X2) + (Y1 * Y2) (√X1

2 Y12)*(√X2

2 Y22)

Cos Θ =(-30* -15) + (20 * -25) (√-302 202)*(√-152 -252)Cos Θ = -0.04757 = 92.72o