questões de vestibular Circunferência (2009 a 2011)

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1. (Fuvest 2009) Considere, no plano cartesiano Oxy, a circunferência C de equação (x - 2)2 + (y -

2)2 = 4 e sejam P e Q os pontos nos quais C tangencia os eixos Ox e Oy, respectivamente.Seja PQR o triângulo isósceles inscrito em C, de base PQ, e com o maior perímetro possível.

Então, a área de PQR é igual a:

a) 2 - 2

b) 2 - 1

c) 2

d) 2 + 2

e) 2 + 4

2. (Fuvest 2009) No plano cartesiano Oxy, a circunferência C tem centro no ponto A = (-5, 1) e é tangente à reta t de equação 4x - 3y - 2 = 0 em um ponto P. Seja ainda Q o ponto de intersecção da reta t com o eixo Ox.

Assim:a) Determine as coordenadas do ponto P.b) Escreva uma equação para a circunferência C.c) Calcule a área do triangulo APQ. 3. (Ufc 2009) Considere as seguintes regiões do plano cartesiano xOy:

A = {P(x,y); x2 + y2 - 4x - 4y + 4 ≤ 0} eB = {P(x,y); 0 ≤ y ≤ x ≤ 4}.

a) Identifique e esboce graficamente a região A.b) Identifique e esboce graficamente a região B.c) Calcule a área da região A B. ⋂ 4. (Ufrj 2009) Os pontos ( - 6, 2), ( 3, - 1), e ( - 5, - 5) pertencem a uma circunferência.Determine o raio dessa circunferência. 5. (Ufsc 2009) Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S). 01) O efeito estufa é a retenção de calor na Terra causada pela concentração de diversos tipos de gases na atmosfera. Segundo os cientistas, o resultado mais direto do efeito estufa será o

aumento da temperatura do planeta em até 5,8°C ao final de 100 anos. Supondo que nos próximos 100 anos a temperatura do planeta aumente linearmente em função do tempo, então

daqui a aproximadamente 34,4 anos haverá um acréscimo de 2°C nessa temperatura.

02) A figura a seguir representa parte do mapa de um país, em que o ponto C(6,0) foi o epicentro de um terremoto cujos efeitos foram sentidos, no máximo, até um raio de 5 km. (Considere 1 unidade linear do plano cartesiano correspondendo a 1 km.) Com base na figura, pode-se afirmar que a região afetada pelo terremoto é representada, nesse sistema de eixos,

pela inequação x2 + y2 + 12x + 11 ≤ 0.

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04) Um projétil desloca-se no plano cartesiano e seus deslocamentos, em metros, na horizontal e na vertical, são descritos, respectivamente, pelas equações:

em que t(t ≥0) representa o tempo em minutos. A distância percorrida pelo projétil entre o ponto A, para t = 0, e o ponto B, para t = 5 minutos, é de 20 metros.

08) Se, a partir de cada vértice de um cubo de madeira com x (x >2) cm de aresta retirou-se um

cubinho com 1 cm de aresta, então o volume do bloco remanescente, em cm3, após a retirada

dos pequenos cubos, é V = (x2 + 2x +4)(x - 2).

6. (Unicamp 2009) A circunferência de centro em (2, 0) e tangente ao eixo y é interceptada pela

circunferência C, definida pela equação x2 + y2 = 4, e pela semirreta que parte da origem e faz

ângulo de 30° com o eixo-x, conforme a figura a seguir.

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a) Determine as coordenadas do ponto P.b) Calcule a área da região sombreada. 7. (Fuvest 2010) No plano cartesiano x0y, a reta de equação x + y = 2 é tangente à circunferência C no ponto (0,2).Além disso, o ponto (1,0) pertence a C. Então, o raio de C é igual a

a)

b)

c)

d)

e)

8. (Ufrgs 2010) Os pontos de interseção do círculo de equação (x - 4)2 + (y - 3)2 = 25 com os eixos coordenados são vértices de um triângulo. A área desse triângulo é a) 22. b) 24. c) 25. d) 26. e) 28 9. (Fgv 2010) Dada a circunferência de equação x2 + y2 – 6x – 10y + 30 = 0, seja P seu ponto de ordenada máxima. A soma das coordenadas de P e: a) 10 b) 10,5 c) 11 d) 11,5 e) 1 10. (Ita 2010) Considere as circunferências C1: (x – 4)2 + (y – 3)2 = 4 e C2: (x – 10)2 + (y – 11)2

= 9. Seja r uma reta tangente interna a C1 e C2, isto e, r tangência C1 e C2 e intercepta o

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segmento de reta definido pelos centros O1 de C1 e C2 de C2. Os pontos de tangência

definem um segmento sobre r que mede

a) 5 .

b) 4

c) 3

d)

e) 9. 11. (Ita 2010) Determine uma equação da circunferência inscrita no triangulo cujos vértices são A = (1,1), B = (1,7) e C = (5,4) no plano xOy. 12. (Fgv 2010) A representação gráfica da equação (x + y)2 = x2 + y2 no sistema cartesiano ortogonal é a) o conjunto vazio. b) um par de retas perpendiculares. c) um ponto. d) um par de pontos. e) um círculo. 13. (Fuvest 2010) No sistema ortogonal de coordenadas cartesianas Oxy da figura, estão representados a circunferência de centro na origem e raio 3, bem como o gráfico da função

Nessas condições, determine

a) as coordenadas dos pontos A, B, C, D de interseção da circunferência com o gráfico da função.b) a área do pentágono OABCD. 14. (Ufc 2010) Em um sistema Cartesiano de coordenadas, o valor positivo de b tal que a reta y =

x + b é tangente ao círculo de equação x2 + y2 = 1 é:

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a) 2 b) 1 c)

d)

e) 3 15. (G1 - cftsc 2010) Dada a figura abaixo cujas medidas estão expressas em centímetros,

e as proposições:

I – é uma circunferência de diâmetro 2 cm.II – é uma circunferência de área 4 cm².III – é uma circunferência de equação x² + y² = 4.

Considerando as proposições apresentadas, assinale a alternativa correta: a) Apenas as proposições I e III são verdadeiras. b) Apenas as proposições I e II são verdadeiras. c) Apenas a proposição III é verdadeira. d) Apenas as proposições II e III são verdadeiras. e) Apenas a proposição II é verdadeira. 16. (Ufpr 2010) A figura a seguir mostra uma circunferência tangente ao eixo y, com centro C sobre o eixo x e diâmetro de 10 unidades.

a) Sabendo que A = (8,4) e que r: 3y + x = 20 é a reta que passa por A e B, calcule a área do triângulo CAB.

b) Encontre as coordenadas do ponto D, indicado na figura acima, no qual a reta r intercepta a circunferência.

17. (Ufu 2010) No plano cartesiano, considere o círculo S descrito pela equação cartesiana x2 +

y2 = 5 e a reta r descrita pela equação cartesiana y = 2x. Assim, r intersecta S nos pontos A e B.

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Considerando uma nova reta h, descrita pela equação cartesiana y = x + 1, esta reta intersecta S nos pontos A e C.

a) Determine os pontos A, B e C.b) Determine a área de triângulo de vértices A, B e C. 18. (Unicamp simulado 2011) No desenho abaixo, que não está em escala, a reta y = 3x é perpendicular à reta que passa pelo ponto (2,0). O ponto de interseção dessas retas é A. A equação da circunferência com centro em A e tangente ao eixo x é dada por

a)

b)

c)

d)

19. (Uft 2010) Considere as equações das circunferências

C1: x2 – 2x + y2 – 2y = 0

C2: x2 – 4x + y2 – 4y = 0

cujos gráficos estão representados abaixo:

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A área da região hachurada é: a) unidades de área. b) unidades de área. c) unidades de área. d) unidades de área.

e) unidades de área.

20. (Unemat 2010) Dada uma circunferência de centro C (3; 1) e raio r = 5 e, seja o ponto P (0;a) , com , é correto afirmar. a) Se - 3 < a < 5, então P é externo à circunferência. b) Se - 3 < a < 5, então P é pertence à circunferência. c) Se a = 5 ou a = -3, então P é interno à circunferência. d) Se a < -3 ou a > 5, então P é externo à circunferência. e) Se a < -3 ou a > 5, então P é interno à circunferência. 21. (Uece 2010) No sistema usual de coordenadas cartesianas, a equação da circunferência inscrita no quadrado representado pela equação | x | +| y | = 1 é

a) 2x2 + 2y2 + 1= 0.

b) x2 + y2 – 1= 0.

c) 2x2 + 2y2 – 1= 0.

d) x2 + y2 – 2 = 0. 22. (Fgv 2011) No plano cartesiano, uma circunferência, cujo centro se encontra no segundo quadrante, tangencia os eixos x e y.Se a distância da origem ao centro da circunferência é igual a 4, a equação da circunferência é:

a)

b)

c)

d)

e)

23. (Fgv 2011) No plano cartesiano, a reta tangente à circunferência de equação x2 + y2 = 8, no ponto P de coordenadas (2, 2), intercepta a reta de equação y = 2x no ponto:

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a)

b)

c)

d)

e)

24. (Ita 2011) Sejam m e n inteiros tais que é a equação 36x2 + 36y2 + mx + ny – 23 = 0

representa uma circunferência de raio r = 1 cm e centro C localizado no segundo quadrante. Se

A e B são os pontos onde a circunferência cruza o eixo Oy, a área do triângulo ABC, em cm2, é igual a

a)

b)

c)

d)

e)

25. (Ufjf 2011) No plano cartesiano, seja a circunferência de centro C = (3,5) e raio 4 e seja r a reta de equação y = -x + 6 .

a) Determine todos os valores de x para os quais o ponto P = (x, y) pertence à reta r e está no interior da circunferência .

b) Encontre a equação cartesiana da circunferência concêntrica à circunferência e tangente à reta r.

26. (Unicamp 2011) Suponha um trecho retilíneo de estrada, com um posto rodoviário no quilômetro zero. Suponha, também, que uma estação da guarda florestal esteja localizada a 40 km do posto rodoviário, em linha reta, e a 24 km de distância da estrada, conforme a figura a seguir.

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a) Duas antenas de rádio atendem a região. A área de cobertura da primeira antena, localizada na estação da guarda florestal, corresponde a um círculo que tangencia a estrada. O alcance da segunda, instalada no posto rodoviário, atinge, sem ultrapassar, o ponto da estrada que está mais próximo da estação da guarda florestal. Explicite as duas desigualdades que definem as regiões circulares cobertas por essas antenas, e esboce essas regiões no gráfico abaixo, identificando a área coberta simultaneamente pelas duas antenas.

b) Pretende-se substituir as antenas atuais por uma única antena, mais potente, a ser instalada em um ponto da estrada, de modo que as distâncias dessa antena ao posto rodoviário e à estação da guarda florestal sejam iguais. Determine em que quilômetro da estrada essa antena deve ser instalada.

TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO:

A figura a seguir apresenta parte do mapa de uma cidade, no qual estão identificadas a catedral, a prefeitura e a câmara de vereadores. Observe que o quadriculado não representa os quarteirões da cidade, servindo apenas para a localização dos pontos e retas no plano cartesiano.Nessa cidade, a Avenida Brasil é formada pelos pontos equidistantes da catedral e da prefeitura, enquanto a Avenida Juscelino Kubitschek (não mostrada no mapa) é formada pelos pontos equidistantes da prefeitura e da câmara de vereadores.

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27. (Unicamp 2011) O ponto de interseção das avenidas Brasil e Juscelino Kubitschek pertence à região definida por

a) (x − 2)2 + (y − 6)2 ≤ 1.

b) (x − 1)2 + (y − 5)2 ≤ 2. c) x ]1, 3[, y ]4, 6[. d) x = 2, y [5, 7].

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Gabarito:

Resposta da questão 1: [D]

Resposta da questão 2: a) P (-1,-2)

b) (x + 5)2 + (y - 1)2=25

c) 25/4 u.a.

Resposta da questão 3: a) Completando os quadrados, obtemos

A região A é um disco centrado em de raio igual a 2.

b) Temos que

A região B é um triângulo retângulo isósceles cujos catetos medem 4.

c) Como o centro do disco pertence à reta segue que a região corresponde a um semicírculo de raio 2. Portanto, sua área é dada por

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Resposta da questão 4: 5.

Resposta da questão 5: (01) + (08) = 09

Resposta da questão 6:

a) P = (3, ).

b) u.a.

Resposta da questão 7: [B]

Equação da reta r: x + y = 2 mr = -1

Equação da reta s ms = 1 (mr. ms= -1)

y – 2 = 1(x – 0) y = x + 2

Logo o centro da circunferência será da forma C(k, k+2)OT = OP = R

= R

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Com o eixo x( y = 0)

(x - 4)2 + (0 – 3)2 = 25 x = 8 ou x = 0 logo os pontos são (0,0) ou (8,0)

Com o eixo y ( x = 0)

(0-4)2 + (y-3)2 = 25 y = 0 ou y = 6, logo os pontos são (0,0) e (0,6)

Portanto a área será A =

Resposta da questão 9: [A]

x2 – 6x + 9 + y2 – 10y + 25 = -30 + 9 + 25

(x – 3)2 + (x -5)2 = 4

Centro C(3,5) e raio R = 4Logo, o ponto de ordenada máxima será: P(3, 5 + 2) = P( 3,7)Somando as coordenadas temos: 3 + 7 = 10

Resposta da questão 10: [A]

C1 : centro (4,3) e raio 2

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C2 : centro (10,11) e raio 3

P1P2 = d

Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo vermelho, temos

d2 + 52 = 102 d=

P1

P2

O1

O2

5

10

d

P

x

y


dA,C = dB,C = 5

Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo assinalado, temos:

(4 - r)2 = r2 + 22 8r = 12 r = 2/3

E o centro C(1 + r, 4) = (5/3, 4)Logo a equação da circunferência será:

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A(1,1)

B(1,7)

C (5,4)

r

4-r

33

2

r

x

y


Desenvolvendo a expressão, temos:

x2 + 2xy + y2 = x2 + y2

2xy = 0 x = 0 ou y = 0 (eixos perpendiculares)


a) Equação da circunferência: x2 + y2 = 32

Resolvendo o sistema:

Resolvendo, temos:

Logo A( ,1) ; B(1, ); C(-1, ) e D(- ,1)

A1 = (área do trapézio)

A2 =

A = A1+ A2 A = 7 +

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Respostas:

Resposta da questão 14: [C]

x2 + y2 = 1, centro (0,0) e raio 1 e x – y + b = 0 é a equação geral da retaUtilizando a fórmula da distância de ponto à reta, temos:Distância do centro a reta é igual à medida do raio

Considerando somente o b positivo temos b =


(Falsa) - o diâmetro é 4cm

(Verdadeira) - A = .22 = 4 cm2

(Verdadeira) - (x – 0 )2 +( y – 02 = 22

Resposta da questão 16: a) No ponto B, onde a reta r intercepta o eixo dos x, temos y = 0, 3 . 0 + x = 20, ou seja, x = 20. Logo, B = (20, 0).

Calculando a área do triângulo temos: (observe a figura)

A = unidades quadradas.

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b) Para determinar o ponto D devemos obter a intersecção da reta r com a circunferência. Resolvendo o sistema:

x = 8 e y = 4, que corresponde ao ponto A.x = 5 e y = 5, que corresponde ao ponto D.

Resposta da questão 17: Vamos resolver dois sistemas.

Resolvendo, temos x = 1 y = 2 A (1, 2) x = -1 y = -2 B(-1,-2)

Resolvendo temos: x = 1 y = 2 A( 1, 2) x = -2 y = -1 C(-2,-1)

D =

A =


A reta decrescente terá coeficiente angular m = , pois é perpendicular à reta crescente de

coeficiente angular 3

Logo, sua equação será:

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y – 0 = (x – 2) x + 3y – 2 = 0

Determinaremos o ponto A resolvendo o sistema:

onde x = e y = (raio)

Portanto a equação da circunferência será:


C1: x2 – 2x + y2 – 2y = 0 centro (1,1) e raio

C2: x2 – 4x + y2 – 4y = 0 centro (2,2) e raio

A =


Equação da circunferência: (x – 3)2 + ( y – 1 )2 = 25Intersecções com o eixo y .(x = 0 )

(0-3)2 + (y – 1)2 =25 y = 5 ou y = -3 (veja a figura)O ponto P (0,a) pertence ao eixo y. Portanto, a resposta D é a correta;Se a < -3 ou a > 5, P é externo à circunferência.


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1.1 =

R =

Logo, a equação da circunferência é:

x2 + y 2 =

2x2 + 2y2 – 1 = 0


Seja com o centro da circunferência.

Como a diagonal do quadrado de lado vale segue que:

Assim:

Mas:

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Portanto, a equação pedida é:


Seja a reta tangente à circunferência no ponto

A equação de t é dada por:

Para temos:

Seja o ponto de interseção das retas e

O ponto é a solução do sistema formado pelas equações de e de

Portanto, o ponto pedido é


Dividindo a equação toda por 36, temos:

x2 + y2 + e considerando C(a,b) como centro temos:

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a2 + b2 – r2 =

Logo, n = 36 e m = -24 ou n = -36 e m = 4Como o centro está no segundo quadrante concluímos que m = 24 e n = -36

Logo, seu centro será

E sua equação será , fazendo x = 0, temos:

, logo AB =

Logo, a área será


A equação de é

Seja a função definida por

Um ponto está no interior de se

Como pertence à segue que Assim, queremos calcular tal que

b) Seja o ponto em que a reta tangencia a circunferência

A equação de é dada por em que é o raio e é o centro.

A distância do ponto à reta é igual à distância do ponto ao ponto Mas esta

distância é igual o raio de Logo,

Portanto,

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Resposta da questão 26: a) Se o posto rodoviário encontra-se na origem do sistema de coordenadas cartesianas, e a estrada está sobre o eixo das abscissas, temos que o pé da perpendicular baixada do ponto

sobre o eixo das abscissas determina um triângulo retângulo com a origem. Aplicando

o Teorema de Pitágoras, podemos calcular a abscissa do ponto

Daí, segue que a região de alcance da antena situada na estação da guarda florestal é dada por

Sabendo que o alcance da antena situada no posto rodoviário atinge, sem ultrapassar, o ponto da estrada que está mais próximo da estação da guarda florestal, temos que esse ponto é e, portanto, a região de alcance da segunda antena é dada por

A área coberta simultaneamente pelas duas antenas está sombreada no gráfico acima.

b) Seja o ponto médio do segmento de reta que une o Posto Rodoviário à Estação da Guarda Florestal. Logo,

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O ponto em que a nova antena deverá ser instalada é a interseção da mediatriz do segmento de reta que une o Posto Rodoviário à Estação da Guarda Florestal com o eixo das abscissas. O coeficiente angular da reta suporte desse segmento é dado por:

Logo, a equação da mediatriz é:

Desse modo, a antena deverá ser instalada no ponto de abscissa:


Sejam e respectivamente, as coordenadas da catedral, da câmara de vereadores e da prefeitura.

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O lugar geométrico dos pontos equidistantes da prefeitura e da câmara de vereadores é a mediatriz do segmento de reta

O coeficiente angular da reta suporte do segmento é

Seja o ponto médio do segmento Então,

Se é o coeficiente angular da mediatriz do segmento então

Desse modo, a equação do lugar geométrico correspondente à Avenida Juscelino Kubitschek é:

Sendo o ponto de interseção das avenidas, temos que:

Portanto, como

segue que o ponto pertence à região

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Resumo das questões selecionadas nesta atividade

Data de elaboração: 05/04/2011 às 20:36Nome do arquivo: CIRCUNFERÊNCIA

Origem/Doc: Server INTERBITS

Legenda:Q/Prova = número da questão na provaQ/DB = número da questão no banco de dados do SuperPro®

Q/prova Q/DB Matéria Fonte Tipo

1 86461 Matemática Fuvest/2009 Múltipla escolha 2 86471 Matemática Fuvest/2009 Analítica 3 86614 Matemática Ufc/2009 Analítica 4 86630 Matemática Ufrj/2009 Analítica 5 86642 Matemática Ufsc/2009 Analítica 6 86656 Matemática Unicamp/2009 Analítica 7 90543 Matemática Fuvest/2010 Múltipla escolha 8 91140 Matemática Ufrgs/2010 Múltipla escolha 9 91412 Matemática Fgv/2010 Múltipla escolha 10 91444 Matemática Ita/2010 Múltipla escolha 11 91456 Matemática Ita/2010 Analítica 12 91521 Matemática Fgv/2010 Múltipla escolha 13 92268 Matemática Fuvest/2010 Analítica 14 92429 Matemática Ufc/2010 Múltipla escolha 15 92908 Matemática G1 - cftsc/2010 Múltipla escolha 16 93394 Matemática Ufpr/2010 Analítica 17 93789 Matemática Ufu/2010 Analítica 18 94273 Matemática Unicamp simulado/2011 Múltipla escolha 19 96492 Matemática Uft/2010 Múltipla escolha 20 96741 Matemática Unemat/2010 Múltipla escolha 21 98315 Matemática Uece/2010 Múltipla escolha 22 100039 Matemática Fgv/2011 Múltipla escolha 23 100043 Matemática Fgv/2011 Múltipla escolha 24 101532 Matemática Ita/2011 Múltipla escolha 25 101862 Matemática Ufjf/2011 Analítica 26 102009 Matemática Unicamp/2011 Analítica 27 100793 Matemática Unicamp/2011 Múltipla escolha

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