raciocinio

RACIOCÍNIO LÓGICO-QUANTITATIVO

Estruturas Lógicas

Proposição

Denomina-se proposição a toda sentença, expressa em palavras ou símbolos, que exprima um juízo ao qual se possa atribuir, dentro de certo contexto, somente um de dois valores lógicos possíveis: verdadeiro ou falso.

Somente às sentenças declarativas pode-se atribuir valores de verdadeiro ou falso, o que ocorre quando a sentença é, respectivamente, confirmada ou negada. De fato, não se pode atribuir um valor de verdadeiro ou falso às demais formas de sentenças como as interrogativas, as exclamativas e outras, embora elas também expressem juízos.

• São exemplos de proposições as seguintes sentenças declarativas: O número 6 é par. O número 15 não é primo. Todos os homens são mortais. Nenhum porco espinho sabe ler. Alguns canários não sabem cantar. Se você estudar bastante, então aprenderá tudo. Eu falo inglês e espanhol. Míriam quer um sapatinho novo ou uma boneca.

• Não são proposições: Qual é o seu nome? Preste atenção ao sinal. Caramba!

Proposição Simples Uma proposição é dita proposição simples ou proposição atômica quando não contém

qualquer outra proposição como sua componente. Isso significa que não é possível encontrar como parte de uma proposição simples alguma outra proposição diferente dela. Não se pode subdividi-la em partes menores tais que alguma delas seja uma nova proposição.

Exemplo:

A sentença “Cíntia é irmã de Maurício” é uma proposição simples, pois não é possível identificar como parte dela qualquer outra proposição diferente. Se tentarmos separá-la em duas ou mais partes menores nenhuma delas será uma proposição nova.

Proposição Composta

Uma proposição que contenha qualquer outra como sua parte componente é dita proposição composta ou proposição molecular. Isso quer dizer que uma proposição é composta quando se pode extrair como parte dela, uma nova proposição.

Conectivos Lógicos

Existem alguns termos e expressões que estão frequentemente presentes nas proposições compostas, tais como não, e, ou, se ... Então e se e somente se aos quais denominamos conectivos lógicos. Os conectivos lógicos agem sobre as proposições a que estão ligados de modo a criar novas proposições.

Exemplo:

A sentença “Se x não é maior que y, então x é igual a y ou x é menor que y” é uma proposição composta na qual se pode observar alguns conectivos lógicos (“não”, “se ... então” e “ou”) que estão agindo sobre as proposições simples “x é maior que y”, “x é igual a y” e “x é menor que y”.

Uma propriedade fundamental das proposições compostas que usam conectivos lógicos é que o seu valor lógico (verdadeiro ou falso) fica completamente determinado pelo valor lógico de cada proposição componente e pela forma como estas sejam ligadas pelos conectivos lógicos utilizados, conforme estudaremos mais adiante.

As proposições compostas podem receber denominações especiais, conforme o conectivo lógico usado para ligar as proposições componentes.

Conjunção: A e B

Denominamos conjunção a proposição composta formada por duas proposições quaisquer que estejam ligadas pelo conectivo “e”.

A conjunção A e B pode ser representada simbolicamente como:

A ∧∧∧∧ B

Exemplo:

Dadas as proposições simples:

A: Alberto fala espanhol.

B: Alberto é universitário.

Se as proposições A e B forem representadas como conjuntos através de um diagrama, a conjunção ”A ∧ B” corresponderá à interseção do conjunto A com o conjunto B. A ∩ B.

Uma conjunção é verdadeira somente quando as duas proposições que a compõem forem verdadeiras, Ou seja, a conjunção ”A ∧ B” é verdadeira somente quando A é verdadeira e B é verdadeira também. Por isso dizemos que a conjunção exige a simultaneidade de condições.

Na tabela-verdade, apresentada a seguir, podemos observar os resultados da conjunção “A e B” para cada um dos valores que A e B podem assumir.

Disjunção: A ou B

Denominamos disjunção a proposição composta formada por duas proposições quaisquer que estejam ligadas pelo conectivo “ou”.

A disjunção A ou B pode ser representada simbolicamente como:

A ∨ B


A: Alberto fala espanhol.

B: Alberto é universitário.

A disjunção “A ou B” pode ser escrita como:

A ∨ B: Alberto fala espanhol ou é universitário.

Se as proposições A e B forem representadas como conjuntos através de um diagrama, a disjunção “A ∨ B” corresponderá à união do conjunto A com o conjunto B.

Exemplo:

Uma disjunção é falsa somente quando as duas proposições que a compõem forem falsas. Ou seja, a disjunção “A ou B” é falsa somente quando A é falsa e B é falsa também. Mas se A for verdadeira ou se B for verdadeira ou mesmo se ambas, A e B, forem verdadeiras, então a disjunção será verdadeira. Por isso dizemos que, ao contrário da conjunção, a disjunção não necessita da simultaneidade de condições para ser verdadeira, bastando que pelo menos uma de suas proposições componentes seja verdadeira.

Na tabela-verdade, apresentada a seguir, podemos observar os resultados da disjunção “A ou B” para cada um dos valores que A e B podem assumir.

Condicional: Se A então B

Denominamos condicional a proposição composta formada por duas proposições quaisquer que estejam ligadas pelo conectivo “Se ... então” ou por uma de suas formas equivalentes.

A proposição condicional “Se A, então B” pode ser representada simbolicamente como:

Exemplo:


A: José é alagoano.

B: José é brasileiro.

A condicional “Se A, então B” pode ser escrita como:

: Se José é alagoano, então José é brasileiro.

Na proposição condicional “Se A, então B” a proposição A, que é anunciada pelo uso da conjunção “se”, é denominada condição ou antecedente enquanto a proposição B, apontada pelo advérbio “então” é denominada conclusão ou consequente.

As seguintes expressões podem ser empregadas como equivalentes de “Se A, então B”:

Se A, B.

B, se A.

Todo A é B.

A implica B.

A somente se B.

A é suficiente para B.

B é necessário para A.

Se as proposições A e B forem representadas como conjuntos através de um diagrama, a disjunção “A ∨ B” corresponderá à união do conjunto A com o conjunto B.

Uma condicional “Se A então B” é falsa somente quando a condição A é verdadeira e a conclusão B é falsa, sendo verdadeira em todos os outros casos. Isto significa que numa proposição condicional, a única situação que não pode ocorrer é uma condição verdadeira implicar uma conclusão falsa.

Na tabela-verdade apresentada a seguir podemos observar os resultados da proposição condicional “Se A então B” para cada um dos valores que A e B podem assumir.

Bicondicional: A se e somente se B

Denominamos bicondicional a proposição composta formada por duas proposições quaisquer que estejam ligadas pelo conectivo “se e somente se”.

A proposição bicondicional “A se e somente se B” pode ser representada simbolicamente como:

Exemplo:

• Dadas as proposições simples: A: Adalberto é meu tio. B: Adalberto é irmão de um de meus pais.

A proposição bicondicional “A se e somente se B” pode ser escrita como:

: Adalberto é meu tio se e somente se Adalberto é irmão de um de meus pais.

Como o próprio nome e símbolo sugerem, uma proposição bicondicional “A se e somente se B” equivale à proposição composta “se A então B”.

Podem-se empregar também como equivalentes de “A se e somente se B” as seguintes expressões:

A se e só se B.

Todo A é B e todo B é A.

Todo A é B e reciprocamente.

Se A então B e reciprocamente.

A somente se B e B somente se A.

A é necessário e suficiente para B.

A é suficiente para B e B é suficiente para A.

B é necessário para A e A é necessário para B.

Se as proposições A e B forem representadas como conjuntos através de um diagrama, a proposição bicondicional “A se e somente se B” corresponderá à igualdade dos conjuntos A e B.

A proposição bicondicional “A se e somente se B” é verdadeira somente quando A e B têm o mesmo valor lógico (ambas são verdadeiras ou ambas são falsas), sendo falsa quando A e B têm valores lógicos contrários.

Na tabela-verdade, apresentada a seguir, podemos observar os resultados da proposição bicondicional “A se e somente se B” para cada um dos valores que A e B podem assumir.

Negação: Não A

Dada uma proposição qualquer A denominamos negação de A à proposição composta que se obtém a partir da proposição A acrescida do conectivo lógico “não” ou de outro equivalente.

A negação “não A” pode ser representada simbolicamente como:

Podem-se empregar, também, como equivalentes de “não A” as seguintes expressões:

Não é verdade que A. É falso que A.

Se a proposição A for representada como conjunto através de um diagrama, a negação “não A” corresponderá ao conjunto complementar de A.

Uma proposição A e sua negação “não A” terão sempre valores lógicos opostos.

Na tabela-verdade, apresentada a seguir, podemos observar os resultados da negação “não A” para cada um dos valores que A pode assumir.

Tautologia

Uma proposição composta formada pelas proposições A, B, C, ... é uma tautologia se ela for sempre verdadeira, independentemente dos valores lógicos das proposições A, B, C, ... que a compõem.

Exemplo:

A proposição “Se (A e B) então (A ou B)” é uma tautologia, pois é sempre verdadeira, independentemente dos valores lógicos de A e de B, como se pode observar na tabela-verdade abaixo:

Contradição

Uma proposição composta formada pelas proposições A, B, C, ... é uma contradição se ela for sempre falsa, independentemente dos valores lógicos das proposições A, B, C, ... que a compõem.

Exemplo:

A proposição “A se e somente se não A” é uma contradição, pois é sempre falsa, independentemente dos valores lógicos de A e de não A, como se pode observar na tabela-verdade abaixo:

O exemplo acima mostra que uma proposição qualquer e sua negação nunca poderão ser simultaneamente verdadeiros ou simultaneamente falsos.

Como uma tautologia é sempre verdadeira e uma contradição sempre falsa, tem-se que:

A negação de uma tautologia é sempre uma contradição

Enquanto

A negação de uma contradição é sempre uma tautologia

Proposições Logicamente Equivalentes

Dizemos que duas proposições são logicamente equivalentes ou simplesmente equivalentes quando são compostas pelas mesmas proposições simples e suas tabelas-verdade são idênticas. Uma conseqüência prática da equivalência lógica é que ao trocar uma dada proposição por qualquer outra que lhe seja equivalente, estamos apenas mudando a maneira de dizê-la.

A equivalência lógica entre duas proposições, A e B, pode ser representada simbolicamente como:

Da definição de equivalência lógica pode-se demonstrar as seguintes equivalências:

Negação de Proposições Compostas

Um problema de grande importância para a lógica é o da identificação de proposições equivalentes à negação de uma proposição dada. Negar uma proposição simples é uma tarefa que não oferece grandes obstáculos. Entretanto, podem surgir algumas dificuldades quando procuramos identificar a negação de uma proposição composta. Como vimos anteriormente, a negação de uma proposição deve Ter sempre valor lógico oposto ao da proposição dada. Deste modo, sempre que uma proposição A for verdadeira, a sua negação não A deve ser falsa e sempre que A for falsa, não A deve ser verdadeira.

Em outras palavras, a negação de uma proposição deve ser contraditória com a proposição dada.

A tabela abaixo mostra as equivalências mais comuns para as negações de algumas proposições compostas:

Argumento

Denomina-se argumento a relação que associa um conjunto de proposições P1, P2, ... Pn, chamadas premissas do argumento, a uma proposição C a qual chamamos de conclusão do argumento.

No lugar dos termos premissa e conclusão podem ser usados os correspondentes hipótese e tese, respectivamente.

Os argumentos que têm somente duas premissas são denominados silogismos. Assim, são exemplos de silogismos os seguintes argumentos:

P1: Todos os artistas são apaixonados. P2: Todos os apaixonados gosta de flores. C: Todos os artistas gostam de flores. P1: Todos os apaixonados gostam de flores. P2: Míriam gosta de flores. C: Míriam é uma apaixonada. Argumento Válido Dizemos que um argumento é válido ou ainda que ele é legítimo ou bem construído

quando a sua conclusão é uma consequência obrigatória do seu conjunto de premissas. Posto de outra forma: quando um argumento é válido, a verdade das premissas deve garantir a verdade da conclusão do argumento. Isto significa que jamais poderemos chegar a uma conclusão falsa quando as premissas forem verdadeiras e o argumento for válido.

É importante observar que ao discutir a validade de um argumento é irrelevante o valor de

verdade de cada uma das premissas. Em Lógica, o estudo dos argumentos não leva em conta a verdade ou falsidade das proposições que compõem os argumentos, mas tão-somente a validade destes.

Exemplo: O silogismo: “Todos os pardais adoram jogar xadrez. Nenhum enxadrista gosta de óperas. Portanto, nenhum pardal gosta de óperas.” Está perfeitamente bem construído (veja o diagrama abaixo), sendo, portanto, um

argumento válido, muito embora a verdade das premissas seja questionável.

Op = Conjunto dos que gostam de óperas X = Conjunto dos que adoram jogar xadrez P = Conjunto dos pardais Pelo diagrama pode-se perceber que nenhum elemento do conjunto P (pardais) pode

pertencer ao conjunto Op (os que gostam de óperas).

Argumento Inválido Dizemos que um argumento é inválido, também denominado ilegítimo, mal

construído ou falacioso, quando a verdade das premisssas não é suficiente para garantir a verdade da conclusão.

Exemplo: O silogismo: “Todos ps alunos do curso passaram. Maria não é aluna do curso. Portanto, Maria não passou.” é um argumento inválido, falacioso, mal construído, pois as premissas não garantem

(não obrigam) a verdade da conclusão (veja o diagrama abaixo). Maria pode Ter passado mesmo sem ser aluna do curso, pois a primeira premissa não afirmou que somente os alunos do curso haviam passado.

P = Conjunto das pessoas que passaram. C = Conjunto dos alunos do curso. Na tabela abaixo, podemos ver um resumo das situações possíveis para um argumento:

LÓGICA DE ARGUMENTAÇÃO

Desde suas origens na Grécia Antiga, especialmente de Aristóteles (384-322 a.C.) em diante, a lógica tornou-se um dos campos mais férteis do pensamento humano, particularmente da filosofia. Em sua longa história e nas múltiplas modalidades em que se desenvolveu, sempre foi bem claro seu objetivo: fornecer subsídios para a produção de um bom raciocínio.

Por raciocínio, entende-se tanto uma atividade mental quanto o produto dessa atividade.

Esse, por sua vez, pode ser analisado sob muitos ângulos: o psicólogo poderá estudar o papel das emoções sobre um determinado raciocínio; o sociólogo considerará as influências do meio; o criminólogo levará em conta as circunstâncias que o favoreceram na prática de um ato criminoso etc. Apesar de todas estas possibilidades, o raciocínio é estudado de modo muito especial no âmbito da lógica. Para ela, pouco importam os contextos psicológico, econômico, político, religioso, ideológico, jurídico ou de qualquer outra esfera que constituam o “ambiente do raciocínio”.

Ao lógico, não interessa se o raciocínio teve esta ou aquela motivação, se respeita ou

não a moral social, se teve influências das emoções ou não, se está de acordo com uma doutrina religiosa ou não, se foi produzido por uma pessoa embriagada ou sóbria. Ele considera a sua forma. Ao considerar a forma, ele investiga a coerência do raciocínio, as relações entre as premissas e a conclusão, em suma, sua obediência a algumas regras apropriadas ao modo como foi formulado etc.

Apenas a título de ilustração, seguem-se algumas definições e outras referências à

lógica: “A arte que dirige o próprio ato da razão, ou seja, nos permite chegar com ordem,

facilmente e sem erro, ao próprio ato da razão – o raciocínio” (Jacques Maritain). “A lógica é o estudo dos métodos e princípios usados para distinguir o raciocínio

correto do incorreto” (Irving Copi). “A lógica investiga o pensamento não como ele é, mas como deve ser” (Edmundo D.

Nascimento). “A princípio, a lógica não tem compromissos. No entanto, sua história demonstra o

poder que a mesma possui quando bem dominada e dirigida a um propósito determinado, como o fizeram os sofistas, a escolástica, o pensamento científico ocidental e, mais recentemente, a informática” (Bastos; Keller).

Lógica formal e Lógica material Desde Aristóteles, seu primeiro grande organizador, os estudos da lógica orientaram-se

em duas direções principais: a da lógica formal, também chamada de “lógica menor” e a da lógica material, também conhecida como “lógica maior”.

A lógica formal preocupa-se com a correção formal do pensamento. Para esse campo de estudos da lógica, o conteúdo ou a matéria do raciocínio tem uma importância relativa. A preocupação sempre será com a sua forma. A forma é respeitada quando se preenchem as exigências de coerência interna, mesmo que as conclusões possam ser absurdas do ponto de vista material (conteúdo). Nem sempre um raciocínio formalmente correto corresponde àquilo que chamamos de realidade dos fatos. No entanto, o erro não está no seu aspecto formal e, sim, na sua matéria. Por exemplo, partindo das premissas que

(1) todos os brasileiros são europeus e que (2) Pedro é brasileiro, formalmente, chegar-se-á à conclusão lógica que (3) Pedro é europeu. Materialmente, este é um raciocínio falso porque a experiência nos diz que a premissa é

falsa. No entanto, formalmente, é um raciocínio válido, porque a conclusão é adequada às premissas. É nesse sentido que se costuma dizer que o computador é falho, já que, na maioria dos casos, processa formalmente informações nele previamente inseridas, mas não tem a capacidade de verificar o valor empírico de tais informações.

Já, a lógica material preocupa-se com a aplicação das operações do pensamento à

realidade, de acordo com a natureza ou matéria do objeto em questão. Nesse caso, interessa que o raciocínio não só seja formalmente correto, mas que também respeite a matéria, ou seja, que o seu conteúdo corresponda à natureza do objeto a que se refere. Neste caso, trata-se da correspondência entre pensamento e realidade.

Assim sendo, do ponto de vista lógico, costuma-se falar de dois tipos de verdade: a

verdade formal e a verdade material. A verdade formal diz respeito, somente e tão-somente, à forma do discurso; já a verdade material tem a ver com a forma do discurso e as suas relações com a matéria ou o conteúdo do próprio discurso. Se houver coerência, no primeiro caso, e coerência e correspondência, no segundo, tem-se a verdade.

Em seu conjunto, a lógica investiga as regras adequadas à produção de um raciocínio

válido, por meio do qual visa-se à consecução da verdade, seja ela formal ou material. Relacionando a lógica com a prática, pode-se dizer que é importante que se obtenha não somente uma verdade formal, mas, também, uma verdade que corresponda à experiência. Que seja, portanto, materialmente válida. A conexão entre os princípios formais da lógica e o conteúdo de seus raciocínios pode ser denominada de “lógica informal”. Trata-se de uma lógica aplicada ao plano existencial, à vida quotidiana.

Raciocínio e Argumentação Três são as principais operações do intelecto humano: a simples apreensão, os juízos e o

raciocínio. A simples apreensão consiste na captação direta (através dos sentidos, da intuição

racional, da imaginação etc) de uma realidade sobre a qual forma-se uma idéia ou conceito (p.

ex., de um objeto material, ideal, sobrenatural etc) que, por sua vez, recebe uma denominação (as palavras ou termos, p. ex.: “mesa”, “três” e “arcanjo”).

O juízo é ato pelo qual os conceitos ou idéias são ligadas ou separadas dando origem à

emissão de um “julgamento” (falso ou verdadeiro) sobre a realidade, mediante proposições orais ou escritas. Por exemplo: “Há três arcanjos sobre a mesa da sala”

O raciocínio, por fim, consiste no “arranjo” intelectual dos juízos ou proposições,

ordenando adequadamente os conteúdos da consciência. No raciocínio, parte-se de premissas para se chegar a conclusões que devem ser adequadas. Procedendo dessa forma, adquirem-se conhecimentos novos e defende-se ou aprofunda-se o que já se conhece. Para tanto, a cada passo, é preciso preencher os requisitos da coerência e do rigor. Por exemplo: “Se os três arcanjos estão sobre a mesa da sala, não estão sobre a mesa da varanda”

Quando os raciocínios são organizados com técnica e arte e expostos de forma tal a

convencer a platéia, o leitor ou qualquer interlocutor tem-se a argumentação. Assim, a atividade argumentativa envolve o interesse da persuasão. Argumentar é o núcleo principal da retórica, considerada a arte de convencer mediante o discurso.

Partindo do pressuposto de que as pessoas pensam aquilo que querem, de acordo com as

circunstâncias da vida e as decisões pessoais (subjetividade), um argumento conseguirá atingir mais facilmente a meta da persuasão caso as idéias propostas se assentem em boas razões, capazes de mexer com as convicções daquele a quem se tenta convencer. Muitas vezes, julga-se que estão sendo usadas como bom argumento opiniões que, na verdade, não passam de preconceitos pessoais, de modismos, de egoísmo ou de outras formas de desconhecimento. Mesmo assim, a habilidade no argumentar, associada à desatenção ou à ignorância de quem ouve, acaba, muitas vezes, por lograr a persuasão.

Pode-se, então, falar de dois tipos de argumentação: boa ou má, consistente/sólida ou

inconsistente/frágil, lógica ou ilógica, coerente ou incoerente, válida ou não-válida, fraca ou forte etc. De qualquer modo, argumentar não implica, necessariamente, manter-se num plano distante da existência humana, desprezando sentimentos e motivações pessoais. Pode-se argumentar bem sem, necessariamente, descartar as emoções, como no caso de convencer o aluno a se esforçar nos estudos diante da perspectiva de férias mais tranqüilas. Enfim, argumentar corretamente (sem armar ciladas para o interlocutor) é apresentar boas razões para o debate, sustentar adequadamente um diálogo, promovendo a dinamização do pensamento. Tudo isso pressupõe um clima democrático.

Inferência Lógica Cabe à lógica a tarefa de indicar os caminhos para um raciocínio válido, visando à

verdade. Contudo, só faz sentido falar de verdade ou falsidade quando entram em jogo asserções nas quais se declara algo, emitindo-se um juízo de realidade. Existem, então, dois tipos de frases: as assertivas e as não assertivas, que também podem ser chamadas de proposições ou juízos.

Nas frases assertivas afirma-se algo, como nos exemplos: “a raiz quadrada de 9 é 3”

ou “o sol brilha à noite”. Já, nas frases não assertivas, não entram em jogo o falso e o verdadeiro, e, por isso, elas não têm “valor de verdade”. É o caso das interrogações ou das frases que expressam estados emocionais difusos, valores vivenciados subjetivamente ou

ordens. A frase “toque a bola”, por exemplo, não é falsa nem verdadeira, por não se tratar de uma asserção (juízo).

As frases declaratórias ou assertivas podem ser combinadas de modo a levarem a

conclusões consequentes, constituindo raciocínios válidos. Veja-se o exemplo: (1) Não há crime sem uma lei que o defina; (2) não há uma lei que defina matar ET’s como crime; (3) logo, não é crime matar ET’s. Ao serem ligadas estas assertivas, na mente do interlocutor, vão sendo criadas as

condições lógicas adequadas à conclusão do raciocínio. Esse processo, que muitas vezes permite que a conclusão seja antecipada sem que ainda sejam emitidas todas as proposições do raciocínio, chama-se inferência. O ponto de partida de um raciocínio (as premissas) deve levar a conclusões óbvias.

Termo e Conceito Para que a validade de um raciocínio seja preservada, é fundamental que se respeite

uma exigência básica: as palavras empregadas na sua construção não podem sofrer modificações de significado. Observe-se o exemplo:

Os jaguares são quadrúpedes; Meu carro é um Jaguar logo, meu carro é um quadrúpede. O termo “jaguar” sofreu uma alteração de significado ao longo do raciocínio, por isso,

não tem validade. Quando pensamos e comunicamos os nossos pensamentos aos outros, empregamos

palavras tais como “animal”, “lei”, “mulher rica”, “crime”, “cadeira”, “furto” etc. Do ponto de vista da lógica, tais palavras são classificadas como termos, que são palavras acompanhadas de conceitos. Assim sendo, o termo é o signo linguístico, falado ou escrito, referido a um conceito, que é o ato mental correspondente ao signo.

Desse modo, quando se emprega, por exemplo, o termo “mulher rica”, tende-se a pensar

no conjunto das mulheres às quais se aplica esse conceito, procurando apreender uma nota característica comum a todos os elementos do conjunto, de acordo com a ‘intencionalidade’ presente no ato mental. Como resultado, a expressão “mulher rica” pode ser tratada como dois termos: pode ser uma pessoa do sexo feminino cujos bens materiais ou financeiros estão acima da média ou aquela cuja trajetória existencial destaca-se pela bondade, virtude, afetividade e equilíbrio.

Para que não se obstrua a coerência do raciocínio, é preciso que fique bem claro, em

função do contexto ou de uma manifestação de quem emite o juízo, o significado dos termos empregados no discurso.

Princípios lógicos Existem alguns princípios tidos como conditio sine qua non para que a coerência do

raciocínio, em absoluto, possa ocorrer. Podem ser entendidos como princípios que se referem tanto à realidade das coisas (plano ontológico), quanto ao pensamento (plano lógico), ou seja, se as coisas em geral devem respeitar tais princípios, assim também o pensamento deve respeitá-los. São eles:

a) Princípio da identidade, pelo qual se delimita a realidade de um ser. Trata-se

de conceituar logicamente qual é a identidade de algo a que se está fazendo referência. Uma vez conceituada uma certa coisa, seu conceito deve manter-se ao longo do raciocínio. Por exemplo, se estou falando de um homem chamado Pedro, não posso estar me referindo a Antônio.

b) Princípio da não-contradição. Se algo é aquilo que é, não pode ser outra coisa,

sob o mesmo aspecto e ao mesmo tempo. Por exemplo, se o brasileiro João está doente agora, não está são, ainda que, daqui a pouco possa vir a curar-se, embora, enquanto João, ele seja brasileiro, doente ou são;

c) Princípio da exclusão do terceiro termo. Entre o falso e o verdadeiro não há

meio termo, ou é falso ou é verdadeiro. Ou está chovendo ou não está, não é possível um terceiro termo: está meio chovendo ou coisa parecida.

A lógica clássica e a lógica matemática aceitam os três princípios como suas pedras

angulares, no entanto, mais recentemente, Lukasiewicz e outros pensadores desenvolveram sistemas lógicos sem o princípio do terceiro excluído, admitindo valor lógico não somente ao falso e ao verdadeiro, como também ao indeterminado.

Argumentação e Tipos de Raciocínio Conforme vimos, a argumentação é o modo como é exposto um raciocínio, na tentativa

de convencer alguém de alguma coisa. Quem argumenta, por sua vez, pode fazer uso de diversos tipos de raciocínio. Às vezes, são empregados raciocínios aceitáveis do ponto de vista lógico, já, em outras ocasiões, pode-se apelar para raciocínios fracos ou inválidos sob o mesmo ponto de vista. É bastante comum que raciocínios desse tipo sejam usados para convencer e logrem o efeito desejado, explorando a incapacidade momentânea ou persistente de quem está sendo persuadido de avaliar o valor lógico do raciocínio empregado na argumentação.

Um bom raciocínio, capaz de resistir a críticas, precisa ser dotado de duas

características fundamentais: ter premissas aceitáveis e ser desenvolvido conforme as normas apropriadas.

Dos raciocínios mais empregados na argumentação, merecem ser citados a analogia, a

indução e a dedução. Dos três, o primeiro é o menos preciso, ainda que um meio bastante poderoso de convencimento, sendo bastante usado pela filosofia, pelo senso comum e, particularmente, nos discursos jurídico e religioso; o segundo é amplamente empregado pela ciência e, também, pelo senso comum e, por fim, a dedução é tida por alguns como o único raciocínio autenticamente lógico, por isso, o verdadeiro objeto da lógica formal.

A maior ou menor valorização de um ou de outro tipo de raciocínio dependerá do objeto a que se aplica, do modo como é desenvolvido ou, ainda, da perspectiva adotada na abordagem da natureza e do alcance do conhecimento.

Às vezes, um determinado tipo de raciocínio não é adequadamente empregado. Vejam-

se os seguintes exemplos: o médico alemão Ludwig Büchner (1824-1899) apresentou como argumento contra a existência da alma o fato de esta nunca ter sido encontrada nas diversas dissecações do corpo humano; o astronauta russo Gagarin (1934-1968) afirmou que Deus não existe pois “esteve lá em cima” e não o encontrou. Nesses exemplos fica bem claro que o raciocínio indutivo, baseado na observação empírica, não é o mais adequado para os objetos em questão, já que a alma e Deus são de ordem metafísica, não física.

Raciocínio analógico Se raciocinar é passar do desconhecido ao conhecido, é partir do que se sabe em direção

àquilo que não se sabe, a analogia (aná = segundo, de acordo + lógon = razão) é um dos caminhos mais comuns para que isso aconteça. No raciocínio analógico, compara-se uma situação já conhecida com uma situação desconhecida ou parcialmente conhecida, aplicando a elas as informações previamente obtidas quando da vivência direta ou indireta da situação-referência.

Normalmente, aquilo que é familiar é usado como ponto de apoio na formação do

conhecimento, por isso, a analogia é um dos meios mais comuns de inferência. Se, por um lado, é fonte de conhecimentos do dia-a-dia, por outro, também tem servido de inspiração para muitos gênios das ciências e das artes, como nos casos de Arquimedes na banheira (lei do empuxo), de Galileu na catedral de Pisa (lei do pêndulo) ou de Newton sob a macieira (lei da gravitação universal). No entanto, também é uma forma de raciocínio em que se cometem muitos erros. Tal acontece porque é difícil estabelecer-lhe regras rígidas. A distância entre a genialidade e a falha grosseira é muito pequena. No caso dos raciocínios analógicos, não se trata propriamente de considerá-los válidos ou não-válidos, mas de verificar se são fracos ou fortes. Segundo Copi, deles somente se exige “que tenham alguma probabilidade” (Introdução à lógica, p. 314).

A força de uma analogia depende, basicamente, de três aspectos: a) os elementos comparados devem ser verdadeiros e importantes; b) o número de elementos semelhantes entre uma situação e outra deve ser

significativo; c) não devem existir divergências marcantes na comparação.

No raciocínio analógico, comparam-se duas situações, casos, objetos etc. semelhantes e

tiram-se as conclusões adequadas. Na ilustração, tal como a carroça, o carro a motor é um meio de transporte que necessita de um condutor. Este, tanto num caso quanto no outro, precisa ser dotado de bom senso e de boa técnica para desempenhar adequadamente seu papel.

Aplicação das regras acima a exemplos: a) Os elementos comparados devem ser verdadeiros e relevantes, não imaginários ou

insignificantes.tc "a) Os elementos comparados devem ser verdadeiros e relevantes, não imaginários ou insignificantes."

Analogia forte - Ana Maria sempre teve bom gosto ao comprar suas roupas, logo, terá

bom gosto ao comprar as roupas de sua filha. Analogia fraca - João usa terno, sapato de cromo e perfume francês e é um bom

advogado; Antônio usa terno, sapato de cromo e perfume francês; logo, deve ser um bom advogado.

b) O número de aspectos semelhantes entre uma situação e outra deve ser

significativo.tc "b) O número de aspectos semelhantes entre uma situação e outra deve ser significativo."

Analogia forte - A Terra é um planeta com atmosfera, com clima ameno e tem água; em

Marte, tal como na Terra, houve atmosfera, clima ameno e água; na Terra existe vida, logo, tal como na Terra, em Marte deve ter havido algum tipo de vida.

Analogia fraca - T. Edison dormia entre 3 e 4 horas por noite e foi um gênio inventor;

eu dormirei durante 3 1/2 horas por noite e, por isso, também serei um gênio inventor. c) Não devem existir divergências marcantes na comparação.tc "c) Não devem existir

divergências marcantes na comparação.." Analogia forte - A pescaria em rios não é proveitosa por ocasião de tormentas e

tempestades; a pescaria marinha não está tendo sucesso porque troveja muito. Analogia fraca - Os operários suíços que recebem o salário mínimo vivem bem; a

maioria dos operários brasileiros, tal como os operários suíços, também recebe um salário mínimo; logo, a maioria dos operários brasileiros também vive bem, como os suíços.

Pode-se notar que, no caso da analogia, não basta considerar a forma de raciocínio, é

muito importante que se avalie o seu conteúdo. Por isso, esse tipo de raciocínio não é admitido pela lógica formal. Se as premissas forem verdadeiras, a conclusão não o será necessariamente, mas possivelmente, isto caso cumpram-se as exigências acima.

Tal ocorre porque, apesar de existir uma estrutura geral do raciocínio analógico, não

existem regras claras e precisas que, uma vez observadas, levariam a uma conclusão necessariamente válida.

O esquema básico do raciocínio analógico é: A é N, L, Y, X; B, tal como A, é N, L, Y, X; A é, também, Z logo, B, tal como A, é também Z. Se, do ponto de vista da lógica formal, o raciocínio analógico é precário, ele é muito

importante na formulação de hipóteses científicas e de teses jurídicas ou filosóficas. Contudo, as hipóteses científicas oriundas de um raciocínio analógico necessitam de uma avaliação posterior, mediante procedimentos indutivos ou dedutivos.

Observe-se o seguinte exemplo: John Holland, físico e professor de ciência da

computação da Universidade de Michigan, lançou a hipótese (1995) de se verificar, no campo da computação, uma situação semelhante à que ocorre no da genética. Assim como na natureza espécies diferentes podem ser cruzadas para obter o chamado melhoramento genético - um indivíduo mais adaptado ao ambiente -, na informática, também o cruzamento de programas pode contribuir para montar um programa mais adequado para resolver um determinado problema. “Se quisermos obter uma rosa mais bonita e perfumada, teremos que cruzar duas espécies: uma com forte perfume e outra que seja bela” diz Holland. “Para resolver um problema, fazemos o mesmo. Pegamos um programa que dê conta de uma parte do problema e cruzamos com outro programa que solucione outra parte. Entre as várias soluções possíveis, selecionam-se aquelas que parecem mais adequadas. Esse processo se repete por várias gerações - sempre selecionando o melhor programa - até obter o descendente que mais se adapta à questão. É, portanto, semelhante ao processo de seleção natural, em que só sobrevivem os mais aptos”. (Entrevista ao JB, 19/10/95, 1º cad., p. 12).

Nesse exemplo, fica bem clara a necessidade da averiguação indutiva das conclusões

extraídas desse tipo de raciocínio para, só depois, serem confirmadas ou não. Raciocínio Indutivo - do particular ao geral Ainda que alguns autores considerem a analogia como uma variação do raciocínio

indutivo, esse último tem uma base mais ampla de sustentação. A indução consiste em partir de uma série de casos particulares e chegar a uma conclusão de cunho geral. Nele, está pressuposta a possibilidade da coleta de dados ou da observação de muitos fatos e, na maioria dos casos, também da verificação experimental. Como dificilmente são investigados todos os

casos possíveis, acaba-se aplicando o princípio das probabilidades. Assim sendo, as verdades do raciocínio indutivo dependem das probabilidades

sugeridas pelo número de casos observados e pelas evidências fornecidas por estes. A enumeração de casos deve ser realizada com rigor e a conexão entre estes deve ser feita com critérios rigorosos para que sejam indicadores da validade das generalizações contidas nas conclusões.

O esquema principal do raciocínio indutivo é o seguinte: B é A e é X; C é A e também é X; D é A e também é X; E é A e também é X; logo, todos os A são X No raciocínio indutivo, da observação de muitos casos particulares, chega-se a uma

conclusão de cunho geral. Aplicando o modelo: A jararaca é uma cobra e não voa; A caninana é uma cobra e também não voa; A urutu é uma cobra e também não voa; A cascavel é uma cobra e também não voa; logo, as cobras não voam. Contudo, Ao sair de casa, João viu um gato preto e, logo a seguir, caiu e quebrou o braço. Maria

viu o mesmo gato e, alguns minutos depois, foi assaltada. Antonio também viu o mesmo gato e, ao sair do estacionamento, bateu com o carro. Logo, ver um gato preto traz azar.

Os exemplos acima sugerem, sob o ponto de vista do valor lógico, dois tipos de

indução: a indução fraca e a indução forte. É forte quando não há boas probabilidades de que um caso particular discorde da generalização obtida das premissas: a conclusão “nenhuma cobra voa” tem grande probalidade de ser válida. Já, no caso do “gato preto”, não parece haver sustentabilidade da conclusão, por se tratar de mera coincidência, tratando-se de uma indução fraca. Além disso, há casos em que uma simples análise das premissas é suficiente para detectar a sua fraqueza.

Vejam-se os exemplos das conclusões que pretendem ser aplicadas ao comportamento

da totalidade dos membros de um grupo ou de uma classe tendo como modelo o comportamento de alguns de seus componentes:

1. Adriana é mulher e dirige mal; Ana Maria é mulher e dirige mal; Mônica é

mulher e dirige mal; Carla é mulher e dirige mal; logo, todas as mulheres dirigem mal. 2. Antônio Carlos é político e é corrupto; Fernando é político e é corrupto;

Paulo é político e é corrupto; Estevão é político e é corrupto; logo, todos os políticos são corruptos. A avaliação da suficiência ou não dos elementos não é tarefa simples, havendo muitos

exemplos na história do conhecimento indicadores dos riscos das conclusões por indução. Basta que um caso contrarie os exemplos até então colhidos para que caia por terra uma “verdade” por ela sustentada. Um exemplo famoso é o da cor dos cisnes. Antes da descoberta da Austrália, onde foram encontrados cisnes pretos, acreditava-se que todos os cisnes fossem brancos porque todos os até então observados eram brancos. Ao ser visto o primeiro cisne preto, uma certeza de séculos caiu por terra.

Procedimentos indutivos Apesar das muitas críticas de que é passível o raciocínio indutivo, este é um dos

recursos mais empregados pelas ciências para tirar as suas conclusões. Há dois procedimentos principais de desenvolvimento e aplicação desse tipo de raciocínio: o da indução por enumeração incompleta suficiente e o da indução por enumeração completa.

a. Indução por enumeração incompleta suficiente Nesse procedimento, os elementos enumerados são tidos como suficientes para serem

tiradas determinadas conclusões. É o caso do exemplo das cobras, no qual, apesar de não poderem ser conferidos todos os elementos (cobras) em particular, os que foram enumerados são representativos do todo e suficientes para a generalização (“todas as cobras...”)

b. Indução por enumeração completa Costuma-se também classificar como indutivo o raciocínio baseado na enumeração

completa. Ainda que alguns a classifiquem como tautologia, ela ocorre quando: b.a. todos os casos são verificados e contabilizados; b.b. todas as partes de um conjunto

são enumeradas. Exemplos correspondentes às duas formas de indução por enumeração completa: b.a. todas as ocorrências de dengue foram investigadas e em cada uma delas foi

constatada uma característica própria desse estado de morbidez: fortes dores de cabeça; obteve-se, por conseguinte, a conclusão segura de que a dor de cabeça é um dos sintomas da dengue.

b.b. contam-se ou conferem-se todos as peças do jogo de xadrez: ao final da contagem,

constata-se que são 32 peças. Nesses raciocínios, tem-se uma conclusão segura, podendo-se classificá-los como

formas de indução forte, mesmo que se revelem pouco criativos em termos de pesquisa científica.

O raciocínio indutivo nem sempre aparece estruturado nos moldes acima citados. Às

vezes, percebe-se o seu uso pela maneira como o conteúdo (a matéria) fica exposta ou ordenada. Observem-se os exemplos:

- Não parece haver grandes esperanças em se erradicar a corrupção do cenário

político brasileiro. Depois da série de protestos realizados pela população, depois das provas apresentadas nas CPI’s, depois do vexame sofrido por alguns políticos denunciados pela imprensa, depois do escárnio popular em festividades como o carnaval e depois de tanta insistência de muitos sobre necessidade de moralizar o nosso país, a corrupção parece recrudescer, apresenta novos tentáculos, se disfarça de modos sempre novos, encontrando-se maneiras inusitadas de ludibriar a nação.

- Sentia-me totalmente tranqüilo quanto ao meu amigo, pois, até então, os seus atos

sempre foram pautados pelo respeito às leis e à dignidade de seus pares. Assim, enquanto alguns insinuavam a sua culpa, eu continuava seguro de sua inocência.

Tanto no primeiro quanto no segundo exemplos está sendo empregando o método

indutivo porque o argumento principal está sustentado pela observação de muitos casos ou fatos particulares que, por sua vez, fundamentam a conclusão. No primeiro caso, a constatação de que diversas tentativas de erradicar a corrupção mostraram-se infrutíferas conduzem à conclusão da impossibilidade de sua superação, enquanto que, no segundo exemplo, da observação do comportamento do amigo infere-se sua inocência.

Analogia, indução e probabilidade Nos raciocínios analógico e indutivo, apesar de boas chances do contrário, há sempre a

possibilidade do erro. Isso ocorre porque se está lidando com probabilidades e estas não são sinônimas de certezas.

Há três tipos principais de probabilidades: a matemática, a moral e a natural. a) A probabilidade matemática é aquela na qual, partindo-se dos casos

numerados, é possível calcular, sob forma de fração, a possibilidade de algo ocorrer – na fração, o denominador representa os casos possíveis e o numerador o número de casos favoráveis. Por exemplo, no caso de um sorteio usando uma moeda, a probabilidade de dar cara é de 50% e a de dar coroa também é de 50%.

b) A probabilidade moral é a relativa a fatos humanos destituídos de caráter

matemático. É o caso da possibilidade de um comportamento criminoso ou virtuoso, de uma reação alegre ou triste etc. Exemplos: considerando seu comportamento pregresso, é provável que Pedro não tenha cometido o crime, contudo... Conhecendo-se a meiguice de Maria, é provável que ela o receba bem, mas...

c) A probabilidade natural é a relativa a fenômenos naturais dos quais nem todas

as possibilidades são conhecidas. A previsão meteorológica é um exemplo particular de probalidade natural. A teoria do caos assenta-se na tese da imprevisibilidade relativa e da descrição apenas parcial de alguns eventos naturais.

Por lidarem com probabilidades, a indução e a analogia são passíveis de conclusões

inexatas. Assim sendo, deve-se ter um relativo cuidado com as suas conclusões. Elas expressam muito bem a necessidade humana de explicar e prever os acontecimentos e as

coisas, contudo, também revelam as limitações humanas no que diz respeito à construção do conhecimento.

Raciocínio dedutivo - do geral ao particular O raciocínio dedutivo, conforme a convicção de muitos estudiosos da lógica, é aquele

no qual são superadas as deficiências da analogia e da indução. No raciocínio dedutivo, inversamente ao indutivo, parte-se do geral e vai-se ao

particular. As inferências ocorrem a partir do progressivo avanço de uma premissa de cunho geral, para se chegar a uma conclusão tão ou menos ampla que a premissa. O silogismo é o melhor exemplo desse tipo de raciocínio:

Premissa maior: Todos os homens são mamíferos. universal Premissa menor: Pedro é

homem. Conclusão: Logo, Pedro é mamífero. Particular No raciocínio dedutivo, de uma premissa de cunho geral podem-se tirar conclusões de

cunho particular. Aristóteles refere-se à dedução como “a inferência na qual, colocadas certas coisas,

outra diferente se lhe segue necessariamente, somente pelo fato de terem sido postas”. Uma vez posto que todos os homens são mamíferos e que Pedro é homem, há de se inferir, necessariamente, que Pedro é um mamífero. De certo modo, a conclusão já está presente nas premissas, basta observar algumas regras e inferir a conclusão.

Construção do Silogismo A estrutura básica do silogismo (sýn/com + lógos/razão) consiste na determinação de

uma premissa maior (ponto de partida), de uma premissa menor (termo médio) e de uma conclusão, inferida a partir da premissa menor. Em outras palavras, o silogismo sai de uma premissa maior, progride através da premissa menor e infere, necessariamente, uma conclusão adequada.

Eis um exemplo de silogismo: Todos os atos que ferem a lei são puníveis Premissa Maior A concussão é um ato que fere a lei Premissa Menor Logo, a concussão é punível Conclusão O silogismo estrutura-se por premissas. No âmbito da lógica, as premissas são

chamadas de proposições que, por sua vez, são a expressão oral ou gráfica de frases assertivas ou juízos. O termo é uma palavra ou um conjunto de palavras que exprime um

conceito. Os termos de um silogismo são necessariamente três: maior, médio e menor. O termo maior é aquele cuja extensão é maior (normalmente, é o predicado da conclusão); o termo médio é o que serve de intermediário ou de conexão entre os outros dois termos (não figura na conclusão) e o termo menor é o de menor extensão (normalmente, é o sujeito da conclusão). No exemplo acima, punível é o termo maior, ato que fere a lei é o termo médio e concussão é o menor.

As Regras do Silogismo Oito são as regras que fazem do silogismo um raciocínio perfeitamente lógico. As

quatro primeiras dizem respeito às relações entre os termos e as demais dizem respeito às relações entre as premissas. São elas:

Regras dos Termos 1) Qualquer silogismo possui somente três termos: maior, médio e menor.

Exemplo de formulação correta: Termo Maior: Todos os gatos são mamíferos. Termo Médio: Mimi é um gato. Termo Menor: Mimi é um mamífero. Exemplo de formulação incorreta: Termo Maior: Toda gata(1) é quadrúpede. Termo Médio: Maria é uma gata(2). Termo Menor: Maria é quadrúpede. O termo “gata” tem dois significados, portanto, há quatro termos ao invés de três. 2) Os termos da conclusão nunca podem ser mais extensos que os termos das

premissas. Exemplo de formulação correta: Termo Maior: Todas as onças são ferozes. Termo Médio: Nikita é uma onça. Termo Menor: Nikita é feroz. Exemplo de formulação incorreta: Termo Maior: Antônio e José são poetas. Termo Médio: Antônio e José são surfistas.

Termo Menor: Todos os surfistas são poetas. “Antonio e José” é um termo menos extenso que “todos os surfistas”. 3) O predicado do termo médio não pode entrar na conclusão. Exemplo de formulação correta:

Termo Maior: Todos os homens podem infringir a lei. Termo Médio: Pedro é homem. Termo Menor: Pedro pode infringir a lei. Exemplo de formulação incorreta: Termo Maior: Todos os homens podem infringir a lei. Termo Médio: Pedro é homem. Termo Menor: Pedro ou é homem (?) ou pode infringir a lei. A ocorrência do termo médio “homem” na conclusão é inoportuna. 4) O termo médio deve ser tomado ao menos uma vez em sua extensão universal. Exemplo de formulação correta: Termo Maior: Todos os homens são dotados de habilidades. Termo Médio: Pedro é homem. Termo Menor: Pedro é dotado de habilidades. Exemplo de formulação incorreta: Termo Maior: Alguns homens são sábios. Termo Médio: Ora os ignorantes são homens

Termo Menor: Logo, os ignorantes são sábios O predicado “homens” do termo médio não é universal, mas particular. Regras das Premissas 5) De duas premissas negativas, nada se conclui. Exemplo de formulação incorreta: Premissa Maior: Nenhum gato é mamífero Premissa Menor: Lulu não é um gato.

Conclusão: (?). 6) De duas premissas afirmativas, não se tira uma conclusão negativa. Exemplo de formulação incorreta: Premissa Maior: Todos os bens morais devem ser desejados. Premissa Menor: Ajudar

ao próximo é um bem moral. Conclusão: Ajudar ao próximo não (?) deve ser desejado. 7) A conclusão segue sempre a premissa mais fraca. A premissa mais fraca é

sempre a de caráter negativo. Exemplo de formulação incorreta: Premissa Maior: As aves são animais que voam. Premissa Menor: Alguns animais não são aves.

Conclusão: Alguns animais não voam. Exemplo de formulação incorreta: Premissa Maior: As aves são animais que voam. Premissa Menor: Alguns animais não são aves. Conclusão: Alguns animais voam. 8) De duas premissas particulares nada se conclui. Exemplo de formulação incorreta: Premissa Maior: Mimi é um gato. Premissa Menor: Um gato foi covarde. Conclusão: (?)

TRIGONOMETRIA

Trigonometria no Triangulo Retângulo

Considere o triangulo retângulo abaixo:

Definimos seno (sen) de um ângulo α , cosseno (cos) de um ângulo α , tangente (tg)

de um ânguloα , cotangente (cotg) de um ângulo α , secante(sec) de um ângulo α e

cossecante (cossec) de um ângulo α , como :

H

CO

Hipotenusa

toCatetoOpos ==)sen(α

Hipotenusa

centeCatetoAdja ==)cos(α

CA

CO

centeCatetoAdja

toCatetoOpostg ==)(α

CO

CA

toCatetoOpos

centeCatetoAdjag ==)(cot α

CA

H

centeCatetoAdja

Hipotenusa ==)sec(α

CO

H

toCatetoOpos

Hipotenusa ==)sec(cos α

Exemplos:

Sabemos que sen(36º)=0.58, cos(36º)=0.80 e tg(36º)=0.72 , Calcular o valor de x em

cada figura:

Resolução:

a) cmxxx

8,510

58,010

)36sen( =⇒=⇒=°

b) mxxx

45

80,05

)36cos( =⇒=⇒=°

c) Kmxxx

tg 4,1420

72,020

)36( =⇒=⇒=°

Teorema de Pitágoras:

Em todo triangulo retângulo, a soma dos quadrados das medidas dos catetos é igual ao

quadrado da medida da hipotenusa. Isto é: 222 acb =+

Exemplo: Sabendo que α é um ângulo agudo e que 13

5)cos( =α , calcular )(αtg e

)(cot αg .

Resolução:

Existe um triangulo retângulo com ângulo agudo α tal que o cateto adjacente a α mede

5 e a hipotenusa mede 13.Chamamos x o valor do cateto oposto ao ângulo agudo.

Pelo teorema de Pitágoras temos:

222 135 =+x

12

144

251692

2

==

−=

x

x

x

Logo, 5

12)( ==

centeCatetoAdja

toCatetoOpostg α e

12

5)(cot ==

CO

CAg α

Exercício:

Sabendo que α é um ângulo agudo e que 5

3)sen( =α , calcular )(αtg e )(cot αg .

Tabela dos Ângulos Notáveis

30º 45º 60º

Sen 2

1

2

2

2

3

Cós 2

3

2

2

2

1

Tg 3

3 1 3

Por convenção:

)sen(sen

))(cos()(cos

))(sen()(sen

αααααα

kk

nn

nn

==

=

Exercícios:

Calcular o valor das expressões:

1))º45()º30(sen

)º30(cos)º60cos(53

2

tgE

++=

Resolução:

9

10

8

94

5

18

14

3

2

1

12

1

2

3

2

1

)º45()º30(sen

)º30(cos2

1

53

2

53

2

==+

+=

+

+

=+

+=

tgE

2)x

xxE

2cos

4cos2sen2

+= para x=15º

Resolução:

3

4

4

31

2

3

2

1

2

1

)º30(cos

)º60cos()º30sen(

)º15.2(cos

)º15.4cos()º15.2sen(222

==

+=+=+=E

3)Determinar o valor de x na figura:

Resolução:

Como o triangulo BCD é isósceles , pois possui dois ângulos de mesma medida; logo,

CD=BD=20m.

Assim, do triangulo ABD, temos que:

310

202

3

20º60sen

=

=

==

x

x

x

BD

x

Logo, 310=x m

4) Sabendo que 3,2 == βα tgtg , calcular o valor de x na figura

Resolução:

Vamos introduzir uma variável auxiliar, fazendo DA=y.

Assim do triangulo ABC temos:

y

x

y

xtg

+=⇒

+=

52

5α

Do triangulo ABD temos:

y

x

y

xtg =⇒= 3β

Devemos então resolver o sistema:

=⇒=

+=

)(3

3

)(5

2

IIx

yy

x

Iy

x

Substituindo (II) em (I), temos:

30

35

2 =⇒

+= x

xx

Logo, 30=x cm

Estudo na Circunferência

Unidades de Medidas de Arcos

• Sendo A e B pontos de uma circunferência de centro O, tal que o arco AB é

º360

1dessa circunferência , define-se a medida do ângulo AÔB e a medida do arco AB

como sendo um grau (1º); logo, uma circunferência mede 360º

• Sendo A e B pontos de uma circunferência de centro O, tal que o arco AB tem

o comprimento do raio dessa circunferência , define-se a medida do ângulo AÔB e a

medida do arco AB como sendo um radiano (1 rad); logo, uma circunferência mede

π2 rad, pois o comprimento de uma circunferência de raio r é rπ2

OBS: Radiano é a medida do ângulo central da circunferência, cujos lados determinam

sobre a circunferência um arco de comprimento igual ao raio.

Transformação de Unidades de Medidas de Arcos

Uma medida em radianos é equivalente a uma medida em graus se ambas são medidas

de um mesmo arco. Por exemplo, π2 rad é equivalente a 360º, pois ambas são medidas de um

arco de uma volta completa.

Consequentemente, temos que:

π rad é equivalente a 180°

Disso segue que: 1° é equivalente(~) π180

1rad e 1 rad é equivalente a

π°180

Exemplo: a)Ache a medida equivalente em radianos de 162°

b)Ache a medida equivalente em graus de 12

5π rad

Resolução:

a) 162° ~162.180

π rad

162° ~ 10

9π rad

b)π

ππ °180.

12

5~

12

5rad

°75~12

5rad

π

A Circunferência Trigonométrica

A Circunferência Trigonométrica também é chamada de ciclo trigonométrico, tem raio

unitário(1) e centro na origem.

Sobre a circunferência serão fixados arcos, com origem no ponto A(1,0).Esses arcos

serão percorridos no sentido anti-horário.Lembre-se de que a medida do ângulo central AÔP é

igual á medida angular do arco α=AP

Vejamos então, as definições de seno, cosseno e tangente de um arco de 0º a 360º ou de

0 rad a 2π rad

Definimos :

Seno de θ é a ordenada (correspondente ao eixoy)do ponto P (indicação: senθ )

Cosseno de θ é a abcissa (correspondente ao eixo x )do ponto P(indicação: cosθ )

Observe na figura que permanecem validas as definições de seno e cosseno para ângulos

agudos, num triangulo retângulo .

Veja:

OQOQ

raio

OQ

QPQP

raio

QP

===

===

1cos

1sen

θ

θ

Simetrias

Exemplos:

Assim:

1° Quadrante: 0° a 90° ou ( 0 rad a 2

πrad)

2° Quadrante: 90° a 180° ou ( 2

πrad a π )

3° Quadrante: 180° a 270° ou ( π rad a 2

3πrad)

4° Quadrante: 270° a 360° ou ( 2

3πrad a π2 )

Seno, Cosseno e Tangente de um Arco Trigonométrico

Exemplo: Sabendo que e 87,02

3º30cos5,0

2

1º30sen ≅=== , achar um valor

aproximado de:

a) sen 150º e cos 150º

b)sen 210º e cos 210º

Solução:

a) θ== º150AP

Então:

−≅−===

87,0º30cosº150cos

5,0º30senº150sen

b) θ== º210AP

Então:

−≅−=−=−=

87,0º30cosº210cos

5,0º30senº210sen

O exemplo anterior mostra que há uma relação entre o quadrante e o valor de seno e

cosseno.

Sendo θ a medida de um arco e P a sua extremidade, notamos que:

• P no primeiro quadrante: ;0cos0sen >> θθ e

• P no 2º quadrante: 0cos0sen <> θθ e ;

• P no 3º quadrante: 0cos0sen << θθ e

• P no 4º quadrante: 0cos0sen >< θθ e

Sendoθ a medida de um arco com extremidade no 1º quadrante:

• θθθθ cos)º180cos(sen)º180(sen −=−=− e

• θθθθ cos)º180cos(sen)º180sen( −=+−=+ e

• θθθθ cos)º360cos(sen)º360sen( =−−=− e

Funções Trigonométricas

Definição1:

Suponha que t seja um numero real.Coloque na posição padrão um ângulo com t rad de

medida e seja P a intersecção do lado final do ângulo com a circunferência do circulo unitário

com centro na origem. Se P for o ponto (x,y), então a função seno será definida por:

yt =sen

então a função cosseno será definido por:

xt =cos

Vemos que sen t e cos t estão definidas para todos os valores de t. Assim o domínio

das funções seno e cosseno é o conjuntos de todos os números reais . O maior valor da função

é 1 e o menor é –1.As funções seno e cosseno assumem todos os valores entre –1 e 1; segue

,portanto, que imagem da função é [ –1, 1].

Para certos valores de t, o seno e o cosseno são facilmente obtidos de uma figura.

Vemos que :

• sen(0) = 0 e cos(0) =1

• 2

22.

2

1

4cos

2

22.

2

1

4sen ==

==

ππ

• 02

cos12

sen =

=

ππ

• ( ) ( ) 1cos0sen −== ππ

• 02

3cos1

2

3sen =

−=

ππ

Propriedades:

1) )sen()sen( tt −=− e )cos()cos( tt =−

Ou seja, a função seno é uma função ímpar e a função cosseno é uma função par.

2) tt sen)2sen( =+ π e tt cos)2cos( =+ π

Esta propriedade é chamada de Periodicidade.

Definição2: Uma função f será periódica se existir um numero real 0≠p tal que

quando x estiver no domínio de f, então x+p estará também no domínio de f e f(x+p)=f(x).

O numero p é chamado de período de f .

Exemplo: Use a periodicidade da seno e cosseno para determinar o valor exato da

função

a)

4

17sen

π

b)

3

7cos

π

c)

−3

2cos

π

Resolução:

a)

4

17sen

π=

2

2

4sen2.2

4sen4

4sen

4

16

4sen

4

16sen =

=

+=

+=

+=

+ πππππππππ

b)

3

7cos

π=

2

1

3cos2

3cos

3

6cos =

=

+=

+ πππππ

c)

−3

2cos

π=

2

1

3

4cos2

3

4cos

3

64cos −=

=

−=

− πππππ

Relação Fundamental da Trigonometria

• 1cossen 22 =+ αα

Definição:

• ααα

cos

sen=tg

• α

αcos

1sec =

• ααα

sen

coscot =g

• α

αsen

1seccos =

Propriedades:

1) )()( ttgttg =+ π e )(cot)(cot tgtg =+ π

As funções tangente e cotangente são periódicas de período π .

2) tt sec)2sec( =+ π e tt seccos)2sec(cos =+ π

As funções secante e cossecante são periódicas de período π2 .

Identidades Notáveis

• αα 22 1sec tg+=

• αα 22 cot1seccos g+=

• 1)sec).(cos(sen =αα

• 1)).(sec(cos =αα

• 1)).(cot( =αα gtg

MATRIZES

O crescente uso dos computadores tem feito com que a teoria das matrizes seja cada vez mais aplicada em áreas como Economia, Engenharia, Matemática, Física, dentre outras. Vejamos um exemplo.

A tabela a seguir representa as notas de três alunos em uma etapa:

Química Inglês Literatura Espanhol

A 8 7 9 8

B 6 6 7 6

C 4 8 5 9

Se quisermos saber a nota do aluno B em Literatura, basta procurar o número que fica na segunda linha e na terceira coluna da tabela.

Vamos agora considerar uma tabela de números dispostos em linhas e colunas, como no exemplo acima, mas colocados entre parênteses ou colchetes:

Em tabelas assim dispostas, os números são os elementos. As linhas são enumeradas de cima para baixo e as colunas, da esquerda para direita:

Tabelas com m linhas e n colunas ( m e n números naturais diferentes de 0) são denominadas matrizes m x n. Na tabela anterior temos, portanto, uma matriz 3 x 3.

Veja mais alguns exemplos:

é uma matriz do tipo 2 x 3

é uma matriz do tipo 2 x 2

Notação geral

Costuma-se representar as matrizes por letras maiúsculas e seus elementos por letras minúsculas, acompanhadas por dois índices que indicam, respectivamente, a linha e a coluna que o elemento ocupa.

Assim, uma matriz A do tipo m x n é representada por:

ou, abreviadamente, A = [aij]m x n, em que i e j representam, respectivamente, a linha e a coluna que o elemento ocupa. Por exemplo, na matriz anterior, a23 é o elemento da 2ª linha e da 3ª coluna.

Na matriz , temos:

Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ], temos: a11 = -1, a12 = 0, a13 = 2 e a14 = 5.

Denominações especiais

Algumas matrizes, por suas características, recebem denominações especiais.

• Matriz linha : matriz do tipo 1 x n, ou seja, com uma única linha. Por exemplo, a matriz

A =[4 7 -3 1], do tipo 1 x 4.

• Matriz coluna: matriz do tipo m x 1, ou seja, com uma única coluna. Por

exemplo, , do tipo 3 x 1

• Matriz quadrada: matriz do tipo n x n, ou seja, com o mesmo número de linhas e colunas; dizemos que a matriz é de ordem n. Por exemplo, a matriz

• é do tipo 2 x 2, isto é, quadrada de ordem 2.

Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundária. A principal é formada pelos elementos aij tais que i = j. Na secundária, temos i + j = n + 1.

Veja:

Observe a matriz a seguir:

a11 = -1 é elemento da diagonal principal, pis i = j = 1

a31= 5 é elemento da diagonal secundária, pois i + j = n + 1 ( 3 + 1 = 3 + 1)

• Matriz nula : matriz em que todos os elementos são nulos; é representada por 0m x n.

Por exemplo, .

• Matriz diagonal: matriz quadrada em que todos os elementos que não estão na diagonal principal são nulos. Por exemplo:

• Matriz identidade: matriz quadrada em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais são nulos; é representada por I n, sendo n a ordem da matriz. Por exemplo:

Assim, para uma matriz identidade .

• Matriz transposta: matriz At obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as linhas por colunas ou as colunas por linhas. Por exemplo:

Desse modo, se a matriz A é do tipo m x n, At é do tipo n x m.

Note que a 1ª linha de A corresponde à 1ª coluna de A t e a 2ª linha de A corresponde à 2ª coluna de At.

• Matriz simétrica : matriz quadrada de ordem n tal que A = At . Por exemplo,

é simétrica, pois a12 = a21 = 5, a13 = a31 = 6, a23 = a32 = 4, ou seja, temos sempre a ij = a ij.

• Matriz oposta: matriz -A obtida a partir de A trocando-se o sinal de todos os

elementos de A. Por exemplo, .

Igualdade de matrizes

Duas matrizes, A e B, do mesmo tipo m x n, são iguais se, e somente se, todos os elementos que ocupam a mesma posição são iguais:

Operações envolvendo matrizes

Adição

Dadas as matrizes

, chamamos de soma dessas matrizes a matriz , tal que

Cij = aij + bij , para todo :

A + B = C

Exemplos:

Observação: A + B existe se, e somente se, A e B forem do mesmo tipo.

Propriedades

Sendo A, B e C matrizes do mesmo tipo ( m x n), temos as seguintes propriedades para a adição:

a) comutativa: A + B = B + A

b) associativa: ( A + B) + C = A + ( B + C)

c) elemento neutro: A + 0 = 0 + A = A, sendo 0 a matriz nula m x n

d) elemento oposto: A + ( - A) = (-A) + A = 0

Subtração

Dadas as matrizes , chamamos de diferença entre essas matrizes a soma de A com a matriz oposta de B:

A - B = A + ( - B )

Observe:

Multiplicação de um número real por uma matriz

Dados um número real x e uma matriz A do tipo m x n, o produto de x por A é uma matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicação de cada elemento de A por x, ou seja, bij = xaij:

B = x.A

Observe o seguinte exemplo:

Propriedades

Sendo A e B matrizes do mesmo tipo ( m x n) e x e y números reais quaisquer, valem as seguintes propriedades:

a) associativa: x . (yA) = (xy) . A

b) distributiva de um número real em relação à adição de matrizes: x . (A + B) = xA + xB

c) distributiva de uma matriz em relação à adição de dois números reais: (x + y) . A = xA + yA

d) elemento neutro : xA = A, para x=1, ou seja, A=A

Multiplicação de matrizes

O produto de uma matriz por outra não é determinado por meio do produto dos sus respectivos elementos.

Assim, o produto das matrizes A = ( aij) m x p e B = ( bij) p x n é a matriz C = (cij) m x n em que cada elemento cij é obtido por meio da soma dos produtos dos elementos correspondentes da i-ésima linha de A pelos elementos da j-ésima coluna B.

Vamos multiplicar a matriz para entender como se obtém cada Cij :

• 1ª linha e 1ª coluna




Assim, .

Observe que:

Portanto, .A, ou seja, para a multiplicação de matrizes não vale a propriedade comutativa.

Vejamos outro exemplo com as matrizes :

Da definição, temos que a matriz produto A . B só existe se o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B:

A matriz produto terá o número de linhas de A (m) e o número de colunas de B(n):

Se A3 x 2 e B 2 x 5 , então ( A . B ) 3 x 5

Se A 4 x 1 e B 2 x 3, então não existe o produto

Se A 4 x 2 e B 2 x 1, então ( A . B ) 4 x 1

Propriedades

Verificadas as condições de existência para a multiplicação de matrizes, valem as seguintes propriedades:

a) associativa: ( A . B) . C = A . ( B . C )

b) distributiva em relação à adição: A . ( B + C ) = A . B + A . C ou ( A + B ) . C = A . C + B . C

c) elemento neutro: A . In = In . A = A, sendo I n a matriz identidade de ordem n

Vimos que a propriedade comutativa, geralmente, não vale para a multiplicação de matrizes. Não vale também o anulamento do produto, ou seja: sendo 0 m x n uma matriz nula, A .B =0 m x n não implica, necessariamente, que A = 0 m x n ou B = 0 m x n.

Matriz inversa

Dada uma matriz A, quadrada, de ordem n, se existir uma matriz A' , de mesma ordem, tal que A . A' = A' . A = In , então A' é matriz inversa de A . representamos a matriz inversa por A-1

O determinante de uma Matriz é dado pelo valor numérico resultante da subtração entre o somatório do produto dos termos da diagonal principal e do somatório do produto dos termos da diagonal secundária. Nas matrizes quadradas de ordem 3x3 esses cálculos podem ser efetuados repetindo-se a 1ª e a 2ª coluna, aplicando em seguida a regra de Sarrus. Lembrando que uma matriz é quadrada quando o número de linhas é igual ao número de colunas.

Observe o cálculo de determinantes nas seguintes matizes quadradas de ordem 2x2 e 3x3:

Determinante de uma matriz A de ordem 2 x 2.

Diagonal principal: 2 * 6 = 12 Diagonal secundária: 9 * (–1) = – 9

DetA = 12 – (–9) DetA = 12 + 9 DetA = 21

Determinante de uma matriz B de ordem 3 x 3.

Regra de Sarrus

Diagonal principal

2 * 6 * 3 = 36 5 * 7 * (–1) = – 35 6 * 1 * 2 = 12

Soma 36 + (–35) + 12 36 – 35 + 12 48 – 35 13

Diagonal secundária

6 * 6 * (–1) = –36 2 * 7 * 2 = 28 5 * 1 * 3 = 15 Soma –36 + 28 + 15 –36 + 43 7

DetB = 13 – 7 DetB = 6

Portanto, nas matrizes de ordem 2 x 2, calculamos o determinante de forma prática, multiplicando os elementos de cada diagonal e realizando a subtração do produto da diagonal principal do produto da diagonal secundária. Nas matrizes de ordem 3 x 3 utilizamos a regra de Sarrus descrita anteriormente.

Demonstração geral da Regra de Sarrus

PROBABILIDADE

É conveniente dispormos de uma medida que exprima a incerteza em afirmações tais

como “É possível que chova amanhã” ou “Não há chance de vitória”, em termos de uma

escala numérica que varie do impossível ao certo.

O conceito de probabilidade é fundamental para o estudo de situações em que os

resultados são variáveis, mesmo quando mantidas inalteradas as condições de sua realização.

Por exemplo:

• As declarações de despesas por funcionário de uma empresa podem assumir

uma variedade de valores;

• A audiência estimada de um comercial de TV com 30 segundos de duração

não é a mesma para cada exibição.

Probabilidade pode ser definida como teoria matemática utilizada para se estudar a incerteza

oriunda de fenômeno de caráter aleatório.

Fenômeno Aleatório

Fenômeno – qualquer acontecimento natural.

Os fenômenos podem ser classificados, quanto aos seus possíveis resultados, de dois

tipos:

• Determinísticos;

• Aleatórios;

Fenômenos Determinísticos – são aqueles que repetidos sob mesmas condições

iniciais conduzem sempre a um só resultado.

Experimento Resultados

Experimentais

Jogar uma moeda Cara, coroa Selecionar uma peça

para inspeção Defeituoso, não

defeituoso Fazer um contato de

vendas Comprar, não comprar

Lançar um dado 1, 2, 3, 4, 5, 6 Jogar uma partida de

futebol Ganhar, perder, empatar

Fenômenos Aleatórios - são aqueles que repetidos sob mesmas condições iniciais

podem conduzir a mais de um resultado.

Experimento Aleatório

Experimento - processo que gera resultados bem definidos.

São fenômenos aleatórios que possuem as seguintes características:

• Repetitividade – pode ser repetido quantas vezes quisermos;

• Regularidade – diz respeito à possibilidade da ocorrência dos resultados do fenômeno.

Exemplo de experimentos aleatório e seus respectivos resultados experimentais:

Espaço Amostral

O espaço amostral de um experimento, denotado por Ω , é o conjunto de todos os resultados

experimentais.

Exemplos:

1. Jogar uma moeda.

CoroaCara,=Ω

2. Selecionar uma peça para inspeção

Ω = Defeituosa, Não defeituosa

3. Lançar um dado

6,5,4,3,2,1=Ω

Obs: Quando o espaço amostral consiste em um número finito ou infinito enumerável de

‘resultados do experimento, é chamado espaço amostral discreto; se consistir em todos os

números reais de determinado intervalo, é um espaço amostral contínuo.

Regras de Contagem, Combinações e Permutações

• Regra de Contagem de experimentos e múltiplas etapas

Se um experimento pode ser descrito como uma seqüência de k etapas com n1 resultados

possíveis na primeira etapa, n2 resultados possíveis da segunda etapa e assim por diante, o

número total de resultados dos experimentos será dado por

)()()( 21 knnn ××× L .

Exemplo: Jogar duas moedas

O experimento de jogar duas moedas pode ser imaginado com um experimento de

duas etapas no qual a etapa 1 consiste em lançar a primeira moeda, e a etapa 2, em lançar a

segunda moeda.

),(),,(),,(),,( CoroaCoroaCaraCoroaCoroaCaraCaraCara=Ω

21 =n e 22 =n , então 4)2()2()( =×=Ωn .

Diagrama em árvore – representação gráfica que ajuda a visualizar um experimento em

múltiplas etapas.

Exemplo: Jogar duas moedas:

Diagrama em árvore do experimento de lançar duas moedas

• Combinações

Conta o número de resultados experimentais quando o experimento envolve escolher n

objetos (geralmente maior) de N objetos.

Regra de contagem de combinações:

O número de combinações de N objetos, tomados de n a cada vez, é:

)!(!

!

nNn

N

n

NCN

n −=

=

em que 12)2()1(! ×××−×−×= LNNNN

12)2()1(! ×××−×−×= Lnnnn

e, por definição, 1!0 =

Exemplo: Considerem um procedimento de controle da qualidade em que um inspetor

seleciona aleatoriamente duas de cinco peças para testar se há defeitos. Em um grupo de

cinco peças, quantas combinações de duas peças podem ser selecionadas?

N = 5 e n = 2

1012120

1231212345

)!25(!2!5

2

552 ==

××××××××=

−=

=C

• Permutações

Permite calcular o número de resultados do experimento quando n objetos são escolhidos de

um conjunto de N objetos em que a ordem de escolha é importante.

Regra de contagem de permutações:

O número de permutações de N objetos, tomados n a cada vez, é dado por:

!NPNN =

Exemplo: Considerem um procedimento de controle da qualidade em que um inspetor

seleciona aleatoriamente cinco das cinco peças para testar se há defeitos. Quantas

permutações podem ser escolhidas?

206

120123

12345)!25(

!552 ==

××××××=

−=P

Atribuindo Probabilidade

Requisito básico para atribuição de probabilidade:

1. A probabilidade atribuída a cada um dos resultados experimentais deve situar entre 0 e

1, inclusive. Se admitimos que iE denota o í-ésimo resultado experimental e que )( iEP é a

sua probabilidade, então esse requisito pode ser escrito na seguinte forma:

1)(0 ≤≤ iEP para todo i

2. A soma das probabilidades de todos os resultados experimentais deve ser igual a 1,0.

Para n resultados experimentais, esse requisito pode ser escrito na seguinte forma:

1)()()( 21 =+++ nEPEPEP K

Métodos de atribuição de probabilidade :

1. Através das freqüências de ocorrências (método de freqüência relativa)

Observamos o experimento aleatório n vezes e determinamos a freqüência relativa com que

cada resultado ocorre.

Números de vezes em que o evento ocorreu Número total de repetições do experimento

Obs.: Este método é apropriado quando se tem dados disponíveis para estimar a proporção

do tempo em que o resultado experimental ocorrerá se o experimento for repetidos inúmeras

vezes.

2. Através de suposições teóricas (método clássico).

Número de casos favoráveis ao evento Número de casos possíveis

Obs.: Apropriado quando todos os resultados experimentais são igualmente

prováveis.

Evento

Subconjunto do espaço amostral do experimento.

Notação: A, B, C, ...

φ (conjunto vazio): evento impossível.

Ω : evento certo

Exemplo: Lançamento de um dado.

Espaço amostral: 6,5,4,3,2,1=Ω

Alguns eventos:

A : sair face par A=2, 4, 6 Ω⊂

B : Sair face maior que 3 B=4, 5, 6 Ω⊂

C : Sair face 1 C=1 Ω⊂

Operações com Eventos

Interseção:

O evento interseção de dois eventos A e B equivale à ocorrência de ambos.

Notação: BA ∩

Eventos Mutuamente Exclusivos:

Dois eventos A e B dizem-se mutuamente exclusivos, ou mutuamente excludentes, quando a

ocorrência de um deles impossibilita a ocorrência do outro.

Exprime-se este fato escrevendo-se OBA /=∩ .

União

O evento união de A e B equivale à ocorrência de A, ou de B, ou ambas.

Notação: BA ∪

Complementar

A negação do evento A, denotado por A , é chamado de evento complementar de A.

A e A são complementares se sua intersecção é vazia e sua união é o espaço amostral, isto

é,

OAA /=∩ e Ω=∪ AA

Probabilidade de um Evento

É uma função que atribui um número aos eventos que pertence ao espaço amostral (se A é um

evento de Ω , P(A) é a probabilidade de A), que satisfaz as seguintes condições:

1. 1)(0 ≤≤ AP , Ω⊂∀ A ;

2. 1)( =ΩP ;

3. Se A e B são eventos mutuamente excludentes, então )()()( BPAPBAP +=∪ .

Teoremas Fundamentais

1. 0)( =/OP ;

2. )(1)( APAP −= ;

3. Se BA ⊂ , )()( BPAP ≤ ;

4. Regra da soma: Se A e B são eventos quaisquer de Ω , então:

)()()()( BAPBPAPBAP ∩−+=∪ .

Probabilidade Condicional

A probabilidade do evento A, quando se sabe que o evento B ocorreu, é chamado

probabilidade condicional de A dado B; denota-se por )|( BAP e é calculada por:

desde que 0)( >BP .

Da definição de probabilidade condicional podemos obter a regra de produtos de

probabilidades

Regra da Probabilidade Total

Sejam A e B dois eventos representados na figura abaixo.

Há duas maneiras de ocorrer A: ou A e B ocorrem (BA∩ ) ou A e B ocorrem

( BA∩ ).

Deste modo, )()( BABAA ∩∪∩= , onde BA∩ e BA∩ são eventos mutuamente

excludentes.

Pela regra da soma

)()()( BAPBAPAP ∩+∩= .

Pela regra do produto, regra da probabilidade total

ESTATÍSTICA DESCRITIVA

Podemos dividir a Estatística em duas áreas: estatística indutiva (inferência estatística)

e estatística descritiva. Estatística Indutiva: (Inferência Estatística) Se uma amostra é representativa de uma população, conclusões importantes sobre a

população podem ser inferidas de sua análise. A parte da estatística que trata das condições sob as quais essas inferências são válidas

chama-se estatística indutiva ou inferência estatística. Estatística Descritiva É a parte da Estatística que procura somente descrever e avaliar um certo grupo, sem

tirar quaisquer conclusões ou inferências sobre um grupo maior. A Estatística Descritiva pode ser resumida nas seguintes etapas: • Definição do problema: • Planejamento • Coleta dos dados Crítica dos dados • Apresentação dos dados - tabelas - gráficos • Descrição dos dados Nesse capítulo veremos como podem ser feitas tais apresentações (e descrições

resumidas) dos dados. Em estatística descritiva teremos, portanto dois métodos que podem ser usados para a

apresentação dos dados: métodos gráficos (envolvendo apresentação gráfica e/ou tabular) e métodos numéricos (envolvendo apresentações de medidas de posição e/ou dispersão).

Apresentação gráfica e tabular. Os gráficos constituem uma das formas mais eficientes de apresentação de dados. Um

gráfico é, essencialmente, uma figura constituída à partir de uma tabela, pois é quase sempre possível locar um dado tabulado num gráfico.

Enquanto as tabelas fornecem uma ideia mais precisa e possibilitam uma inspeção mais

rigorosa aos dados, os gráficos são mais indicados em situações que objetivam dar uma visão mais rápida e fácil a respeito das variáveis às quais se referem os dados.

Embora a confecção de gráficos dependa muito da habilidade individual, algumas

regras gerais são importantes. O leitor deve ficar atento e procurar saber sobre tais regras antes de se envolver na confecção de gráficos.

Existem vários tipos de gráficos que podem ser utilizados com o objetivo de descrever

um conjunto de dados resumidamente. Alguns deles serão aqui exemplificados. Vejamos, primeiro, uma forma tabular de apresentação de dados e, a seguir, veremos 3

tipos de apresentação gráfica.

• Distribuição de frequência Organização tabular dos dados em classes de ocorrência, ou não, segundo suas

respectivas frequências absolutas. Em alguns casos há também o interesse de se apresentar os dados em frequências relativas ou acumuladas.

A apresentação dos dados em tabelas obedecem a certas normas e recomendações.

Essas normas são úteis para que as tabelas sejam feitas de modo que simplicidade, clareza e veracidade perdurem. Diferentes revistas costumam usar pequenas variações na confecção de suas tabelas. Uma observação importante é que as tabelas devem ter significado próprio, ou seja, devem ser entendidas mesmo quando não se lê o texto em que estão apresentadas. O mesmo é válido para as tabelas de distribuição de frequências.

Exemplo: Foram anotados os pontos finais dos alunos de INF 160, referentes ao segundo semestre

de 1999. Foi feita a contagem e depois a organização dos dados na seguinte tabela:

• Diagrama de pontos (dot diagram) Este tipo de diagrama é muito útil para apresentar um pequeno conjunto de dados (até

cerca de 20 observações). Assim podemos ver, de uma maneira rápida e fácil, a tendência central dos dados, além da sua distribuição ou variabilidade.

Exemplo: Considere o seguinte resultado de um experimento no qual o engenheiro testa adição de

uma substância em cimento de construção para determinar seu efeito na força da tensão de aderência (em determinada unidade/cm2):

16,85 16,40 17,21 16,35 16,52 17,04 16,96 17,15 16,59 16,57

Para esse conjunto de dados o diagrama de pontos seria:

Observe que os dados estão centrados num valor próximo de 16,8 e que os valores da

tensão de aderência caem no intervalo de cerca de 16,3 até 17,2 ud/cm2. Este tipo de diagrama pode também ser usado para se comparar dois ou mais conjuntos

de dados. Por exemplo, suponha ter sido verificado a tensão de aderência em cimentos não modificados. Os resultados são apresentados abaixo.

17,50 17,63 18,25 18,00 17,86 17,75 18,22 17,90 17,96 18,15

Faça você mesmo o diagrama de pontos para os dois conjuntos de dados, ou seja,

colocando ambos os conjuntos de dados no mesmo diagrama. Observe que o diagrama revela imediatamente que o cimento modificado parece ter uma menor força de tensão de aderência, mas que a variabilidade das medidas dentro de ambos os conjuntos de dados parece ser a mesma.

Testes estatísticos para verificar essas duas afirmativas podem ser realizados com esses

dados apresentados, e serão discutidos no momento oportuno. Quando o número de observações é pequeno, geralmente se torna difícil identificar

algum padrão específico de variação. No entanto este tipo de diagrama pode ser útil em mostrar alguma característica incomum no conjunto de dados.

• Diagrama de ramos e folhas (stem-and-leaf diagram)

Quando o número de observações é relativamente grande, este diagrama pode ser de

boa utilidade.

Exemplo: Barulho é medido em decibéis, representado por dB. Um decibel corresponde ao nível

do som mais fraco que pode ser ouvido em um local silencioso por alguém com boa audição. Um sussurro corresponde a cerca de 30 dB; a voz humana em conversação normal corresponde a cerca de 70dB; um rádio em volume alto cerca de 100 dB; Desconforto para os ouvidos geralmente ocorre a cerca de 120 dB. Os dados abaixo correspondem aos níveis de barulho medidos em 36 horários diferentes em um determinado local.

82 89 94 110 74 122 112 95 100 78 65 60 90 83 87 75 114 85 69 94 124 115 107 88 97 74 72 68 83 91 90 102 77 125 108 65 O gráfico de ramos e folhas para o conjunto acima é:

• Histograma Para alguns conjuntos de dados o número de valores distintos da variável em estudo é

muito grande para serem considerados os tipos de apresentação gráfica apresentados acima. Em tais casos seria útil dividir os valores em grupos, ou intervalos de classe, e então plotar o número de valores dos dados correspondentes a cada intervalo de classe. Existem várias fórmulas para se estabelecer o número de classes, porém qualquer número de classes poderia ser utilizado, baseando-se nas seguintes observações:

(a) Não escolher muito poucas classes, para evitar perda de informação sobre os dados;

(b) Não escolher muitas classes, o que poderia fazer com que as frequências referentes a cada classe fossem tão pequenas a ponto de atrapalhar o discernimento de algum padrão de distribuição para a variável em estudo.

O que se faz na prática é tentar variados números de classes e verificar, com a ajuda de

um computador, o número ideal para os dados em questão. Além disso, comumente usamos intervalos de classe de iguais amplitudes.

Exemplo: (envolvendo distribuição de frequência e histograma, com algumas

variações) Suponhamos que uma empresa deseja avaliar a distribuição dos salários pagos por

hora a seus funcionários. O estatístico da empresa possui os seguintes dados:

13,3 15,2 12,4 15,8 9,6 10,4 13,2 8,8 8,3 8,5 10,2 11,5 12,6 10,7 12,6 9,7 12,1 13,5 10,3 14,3 9,8 12,3 10,4 11,6 12,4 12,9 11,6 10,3 14,2 13,8

Temos ai o que chamamos dados brutos. Dados como estes poderiam ser agrupados em classes. Uma maneira de escolher o

número de classes poderia ser usarmos um valor próximo à raiz quadrada do número de observações. Poderíamos usar, então, 5 classes. Tomando-se a diferença entre o maior e o menor valor do conjunto de dados, e dividindo pelo número de classes escolhido teríamos: (15,8 – 8,3)/5 = 1,5. Esse seria o valor para amplitude da classe, ou intervalo da classe. A seguinte tabela pode ser construída (com intervalo fechado à esquerda):

Agora podemos ter uma ideia da distribuição dos salários. Apenas com essas

informações poderíamos concluir que a classe de salários predominante na empresa é a terceira, ou seja, com salários de 11,3 a 12,8 salários mínimos.

Se quiséssemos obter maiores informações sobre os dados, poderíamos montar uma

nova tabela, incluindo outros tipos de frequência, como: frequência acumulada (fa), frequência relativa (fr), e frequência acumulada relativa (far).

• Na terceira coluna, a frequência acumulada 21 indica que, nessa empresa, 21 funcionários recebem salários/hora abaixo de 12,8 unidades;

• Podemos constatar, também, certa predominância de salários mais baixos.

Realmente cerca de 70% da distribuição de salários concentra-se até o salário de 12,8 unidades;

• Os maiores salários servem a apenas 10% dos funcionários da empresa; • 40% dos funcionários (12 funcionários) recebem até 11,3 unidades, sendo

23% (ou seja, 7 funcionários) recebendo entre 9,8 e 11,3 unidades. Essas informações preliminares, bem como outras, seriam impossíveis de serem obtidas

se a população de funcionários fosse muito maior e os dados correspondentes não estivessem tabelados.

O histograma pode ser feito a partir das frequências simples de cada classe ou a partir das frequências relativas. Bastaria informar corretamente o que seria usado no eixo vertical.

Algumas vezes há o interesse em plotar as frequências acumuladas, ou frequências

acumuladas relativas. Nesse caso teríamos a chamada Ogiva, ou ogiva percentual, respectivamente (veja abaixo).

Medidas de posição e de dispersão.

Nesse tópico serão apresentadas algumas estatísticas úteis para resumir, de modo

bastante conciso, as informações contidas em um conjunto dos dados. Estatística, nesse contexto, significa alguma quantidade numérica cujo valor é determinado pelos dados. Medidas de Posição

Serão apresentadas algumas estatísticas usadas para descrever o centro de um conjunto de dados.

• Média Aritmética Suponha termos um conjunto de n valores numéricos x1, x2, …, xn. A média aritmética

desses valores será dada por:

Obs.: o cálculo da média pode ser frequentemente simplificado se observarmos que,

para quaisquer constantes a e b.

De modo que a média amostral do novo conjunto de dados será:

Exemplo: Considere o seguinte conjunto de dados: 284, 280, 277, 282, 279, 285, 281, 283, 278, 277 Encontre a média desses valores. Solução:

Uma solução é a seguinte: ao invés de adicionar esses valores diretamente, fica mais

fácil se subtrairmos 280 de cada um para obter os novos valores - 280 4, 0, -3, 2, -1, 5, 1, 3, -2, -3 A média dos valores transformados será:

Desse modo,

Algumas vezes queremos determinar a média de um conjunto de dados organizados em

uma tabela de distribuição de frequências onde os k valores distintos de X (x1, x2, …, xk) ocorrem nas respectivas frequências f1, f2, …, f k. Nesse caso a média aritmética será dada por:

Escrevendo a fórmula anterior como:

Pode ser observado que a média amostral corresponde à média ponderada dos valores

distintos de X na amostra, onde o peso dado a cada valor xi nesse caso corresponde à proporção dos n valores iguais a xi , com i = 1 a k.

Exemplo:

A seguinte distribuição de frequência dá as idades de jovens em determinada

lanchonete a determinada hora.

Encontre a média aritmética da idade dos indivíduos acima.

Solução:

Media =(2.15 + 5.16 + 11.17 + 9.18 + 14.19 + 13.20)/54 ≅ 18,24.

Idade Frequência 15 2 16 5 17 11 18 9 19 14 20 13

OBS.: se a tabela for organizada em classes de valores da variável, para o cálculo da média devemos substituir cada classe pelo seu ponto médio (média aritmética do limite superior e inferior da classe em questão) e calcular a média conforme discutido acima.

Mediana amostral

Outra estatística usada para indicar o centro de um conjunto de dados é a mediana

amostral, que pode ser definida, de maneira simplificada, como o valor intermediário do conjunto de dados, cujos n valores são dispostos em ordem crescente.

Se n for ímpar, a mediana será o valor que ocupa a posição (n + 1)/2; se n for par, a mediana será a média aritmética dos valores ocupando as posições n/2 e n/2 +1.

Exemplo:

Encontre a mediana para os dados apresentados acima.

Solução: Já que temos 54 observações, segue que a mediana amostral será a media dos valores

ocupando as posições 27 e 28, quando essas 54 observações são organizadas em ordem crescente. Portanto a mediana será o valor 18,5.

OBS.:

A escolha entre media e mediana depende do tipo de informação o pesquisador tenta

obter dos dados. A media é afetada por valores extremos ocorrendo na distribuição, enquanto a mediana faz uso de apenas um ou dois valores centrais, não sendo, portanto, afetada por valores extremos.

Moda amostral

Outra estatística que tem sido usada para indicar a tendência central de um conjunto de observações é a moda amostral. Ela é definida como o valor que ocorre com maior frequência. Podemos ter séries unimodais, bimodais ou multimodais, dependendo do número de valores modais ocorrendo na amostra.

Exemplo:

Encontre a moda para o mesmo exemplo acima.

Solução:

A moda será o valor 19, pois esse valor ocorre com maior frequência na distribuição.

Essa é uma distribuição unimodal.

Medidas de Dispersão

Essas medidas são úteis para complementar as informações fornecidas pelas medidas de posição. Descrevem a variabilidade ocorrendo no conjunto de dados sendo analisados.

Variância amostral

A variância amostral de um conjunto de dados, x1, x2, …, xn, é definida por

Exemplo:

Encontre a variância amostral para os dois conjuntos de dados abaixo:

A: 3, 4, 6, 7, 10

B: -20, 5, 15, 24

Solução:

A média para o conjunto A é 6; portanto a variância será:

s2 = [(-3)2 +(-2)2 + (0)2 + 12 + 42]/4 = 7,5

A média para o conjunto B também é 6; portanto a variância de B será:

s2 = [(-26)2 + (-1)2 + 92 + (18)2]/3 ≅ 360,67

Portanto, apesar dos dois conjuntos terem a mesma média, há maior variabilidade nos valores do conjunto B do que nos do conjunto A.

Para o cálculo da variância útil se faz a seguinte identidade algébrica:

Também, o cálculo da variância pode ser simplificado por notar que se:

Então, como visto atrás, b x a y + = e, então

Ou seja, adicionando uma constante a cada valor do conjunto de dados não altera a

variância amostral; enquanto multiplicando-se cada valor por uma constante, a nova variância amostral será igual à variância original multiplicada pelo quadrado da constante.

Exemplo:

O conjunto de dados abaixo fornece o número mundial de acidentes aéreos fatais de

aeronaves comerciais nos anos de 1985 a 1993.

Ano 1

985 1

986 1

987 1

988 1

989 1

990 1

991 1

992 1

993 Acide

ntes 2

2 2

2 2

6 2

8 2

7 2

5 3

0 2

9 2

4 Encontre a variância amostral do número de acidentes nesses anos.

Solução:

Considere o seguinte conjunto de dados resultante da subtração de 22 de cada valor original:

0, 0, 4, 6, 5, 3, 8, 7, 2

Chamando esses valores de y1, y2, …, y9, teremos

Portanto, já que a variância dos dados transformados corresponde exatamente à

variância dos dados originais, usando-se a identidade algébrica acima teremos:

OBS.: se a cada valor de X tivermos associado sua frequência de ocorrência, então

Desvio padrão amostral A raiz quadrada positiva da variância amostral é chamada de desvio padrão amostral,

ou seja,

Existem outras medidas também úteis para representar a dispersão dos dados.

Poderíamos citar: Amplitude Total, Erro padrão da média, Coeficiente de variação. Amplitude total

A amplitude total é a diferença entre o maior e o menor valor da série. Tem a vantagem

de ser rápido e fácil de ser calculada, porém fornece um número índice grosseiro da variabilidade de uma distribuição, por levar em conta apenas 2 valores de um conjunto. Erro-padrão da média

O erro-padrão da média mede a precisão da média. Sua fórmula é dada por:

Coeficiente de Variação

O coeficiente de variação é uma medida de dispersão relativa. É uma medida útil para

comparação, em termos relativos, do grau de concentração, em torno da média, de séries distintas. Por ser um número adimensional permite a comparação de séries de variáveis com unidades diferentes. Sua fórmula é dada por:

OBS.: se existem duas amostras distintas A e B, e se desejamos saber qual delas é a

mais homogênea, ou seja, de menor variabilidade, basta fazermos o seguinte: calculamos as médias e os desvios padrões de A e B, e:

- se então o próprio desvio padrão informará qual é a mais homogênea.

- se , então a mais homogênea será a que tiver menor C.V OBS.: valores muito altos de C.V. indicam pequena representatividade da média. Exemplo: Supor duas amostras: A=1, 3, 5 B=53, 55, 57 Qual das duas é a mais homogênea? Solução: C.V.A = 2/3(100) = 66,7% C.V.B = 2/55(100) = 3,6% Portanto a amostra B é a mais homogênea.

NOÇÕES BÁSICAS DE GEOMETRIA A palavra Geometria tem origem grega e significa medida da Terra (geo =

Terra, metria = medida). Para se aprender Geometria é necessário partir de três noções importantes, adotadas sem definição e por essa razão, chamadas de primitivas geométricas:

• Ponto: “A marca de uma ponta de lápis bem fina no papel dá a ideia do que é um ponto. Toda figura geométrica é considerada um conjunto de pontos.” (Imenes & Lellis. Microdicionário de Matemática. São Paulo: Scipione, 1998)

Costuma-se representar pontos por letras maiúsculas do nosso alfabeto.

• Reta: uma linha traçada com régua é uma reta. Imagine agora uma linha reta sem começo, sem fim, sem espessura. É assim que se concebe uma reta em matemática. (Imenes & Lellis. Microdicionário de Matemática. São Paulo: Scipione, 1998)

As retas são representadas por letras minúsculas do nosso alfabeto.

• Plano: A superfície de uma mesa é plana. Imagine que tal superfície, conservando-se plana, se estenda infinitamente em todas as direções. A nova superfície assim obtida é um plano. (Imenes & Lellis. Microdicionário de Matemática. São Paulo: Scipione, 1998).

Os planos são representados por letras gregas minúsculas. Por exemplo: Outras definições geométricas importantes: Semi-reta: Escolhendo-se um ponto sobre uma reta, formamos duas semi-retas:

Costuma-se dizer que as semi-retas têm começo mas não tem fim, já que é uma

parte da reta.

• Segmento de reta: é uma parte da reta compreendida entre dois de seus pontos. É representado pelos dois pontos que o limita, este s são chamados de extremos. Costuma-se dizer que um segmento de reta tem começo e fim.

• Ângulo: é o espaço compreendido entre duas semi-retas de mesma origem, ou seja, que iniciam no mesmo ponto.

Ao nomear um ângulo devemos prestar atenção, pois o ponto de origem das

semi-retas, também chamado de vértice do ângulo deve ficar no centro e apresentar o símbolo ^ que significa ângulo.

As unidades para medir ângulos são chamadas graus e o instrumento usado para

medi-los é o transferidor:

Para utilizá-lo, deve-se colocar seu centro (C) sobre o vértice do ângulo e sua

linha base sobre um dos lados do ângulo. O valor apontado pelo outro lado do ângulo será igual à medida deste.

Classificação dos ângulos: Quando um ângulo mede 90º chamamos de ângulo reto.

Como o ângulo de 90º é muito utilizado (é só olharmos cantos da sala de aula ou de uma mesa retangular, por exemplo), ao invés de colocar sua medida em números, utiliza-se do símbolo: Quando ele mede menos de 90º é chamado de ângulo agudo .

Quando ele mede mais de 90º é chamado de ângulo obtuso.

• Retas (ou segmentos) paralelas: dizemos que duas ou mais retas (ou segmentos) são paralelos quando a distancia entre as retas (ou segmentos) não se altera.

Diz-se que r//s (r é paralela a s).

• Retas concorrentes: são assim chamadas as retas que se encontram em um ponto.

São representadas por r X s.

• Retas (ou segmentos) perpendiculares: duas retas são chamadas perpendiculares quando são concorrentes e o ângulo formado entre elas mede 90º.

Diz-se que r s (r é perpendicular a s). Figuras geométricas: Polígonos:

As figuras geométricas recebem nomes diferentes dependendo da quantidade de

lados que possuem. Abaixo você encontrará alguns desses nomes:

Número de lados Nome Número de lados Nome 3 Triângulo 7 Heptágono 4 Quadrilátero 8 Octógono 5 Pentágono 9 Eneágono 6 Hexágono 10 Decágono

Um polígono é chamado regular quando seus lados têm a mesma medida e seus

ângulos têm medidas iguais. Estas figuras são muito utilizadas para se fazer mosaicos, em pavimentos de ruas, no chão de casas etc.

Entre os quadriláteros temos várias figuras, algumas com características

especiais como, por exemplo: 1. Trapézio: possui dois lados paralelos.

2. Paralelogramo: possui lados opostos paralelos.

Todo paralelogramos é também trapézios pois tem dois lados paralelos. 3. Retângulo: possui lados opostos iguais e todos os ângulos medem 90º.

Todos os retângulos são também paralelogramos, pois tem lados opostos

paralelos. 4. Quadrado: possui quatro lados de mesma medida e os quatro ângulos

medem 90º.

Podemos dizer que os quadrados são um tipo especial de retângulo: um

retângulo de 4 lados iguais.

Circunferência: É uma linha fechada onde cada ponto está a uma mesma distância do seu centro

(C).

Para se desenhar uma circunferência, costuma-se utilizar-se um instrumento

chamado compasso:

Outros elementos importantes da circunferência:

Raio(r) : é o segmento que une o centro a qualquer ponto da circunferência. Corda: é um segmento que une dois pontos quaisquer da circunferência. Diâmetro(d): é uma corda que passa pelo centro. Pode-se observa que o

diâmetro é igual a dois raios, ou seja, d = 2.r Quando se considera o interior da circunferência, e não apenas seu contorno,

tem-se um círculo. Geometria Espacial: Ao observarmos objetos do nosso dia-a-dia, como por exemplo uma caixa de

sapato, podemos perceber que nem todos os seus lados ficam em cima de um mesmo plano. Por esta razão, estas figuras são chamadas de figuras espaciais. Em uma figura espacial, temos, por exemplo:

Faces: são os “lados” do objeto; Vértices: pontos comuns às arestas dos objetos; Arestas: segmento onde duas faces se encontram. As figuras espaciais também têm nomes especiais assim como os polígonos.

Abaixo se encontram alguns deles:

• Paralelepípedo ou bloco retangular Todas as suas faces são retangulares, por exemplo, o desenho acima.

• Cubo É um paralelepípedo onde todas as faces são quadrados.

• Prisma As bases são um polígono qualquer e as faces são retangulares. Exemplos:

Quando o prisma apresenta as bases retangulares temos um paralelepípedo.

Portanto, podemos dizer que o paralelepípedo é um tipo especial de prisma.

• Pirâmide: A base é um polígono qualquer, as faces são triângulos e estes se encontram em

um único ponto chamado vértice da pirâmide. A mais conhecida é a pirâmide de base quadrada.

Quando toda a base é também um triângulo, a pirâmide é chamada tetraedro.

• Cilindro Tem bases circulares.

Esfera Todos os seus pontos estão a uma mesma distância de seu centro.

Por exemplo, as bolas:

MATEMÁTICA FINANCEIRA A Matemática Financeira é uma ferramenta útil na análise de algumas alternativas de

investimentos ou financiamentos de bens de consumo. Consiste em empregar procedimentos matemáticos para simplificar a operação financeira a um Fluxo de Caixa.

Capital O Capital é o valor aplicado através de alguma operação financeira. Também conhecido

como: Principal, Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado. Em inglês usa-se Present Value (indicado pela tecla PV nas calculadoras financeiras).

Juros Juros representam a remuneração do Capital empregado em alguma atividade produtiva.

Os juros podem ser capitalizados segundo dois regimes: simples ou compostos.

JUROS SIMPLES: o juro de cada intervalo de tempo sempre é calculado sobre o capital inicial emprestado ou aplicado.

JUROS COMPOSTOS: o juro de cada intervalo de tempo é calculado a partir do saldo no início de correspondente intervalo. Ou seja: o juro de cada intervalo de tempo é incorporado ao capital inicial e passa a render juros também.

O juro é a remuneração pelo empréstimo do dinheiro. Ele existe porque a maioria das pessoas prefere o consumo imediato, e está disposta a pagar um preço por isto. Por outro lado, quem for capaz de esperar até possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo, e neste ínterim estiver disposta a emprestar esta quantia a alguém, menos paciente, deve ser recompensado por esta abstinência na proporção do tempo e risco, que a operação envolver. O tempo, o risco e a quantidade de dinheiro disponível no mercado para empréstimos definem qual deverá ser a remuneração, mais conhecida como taxa de juros.

Quando usamos juros simples e juros compostos?

A maioria das operações envolvendo dinheiro utiliza juros compostos. Estão incluídas: compras a médio e longo prazo, compras com cartão de crédito, empréstimos bancários, as aplicações financeiras usuais como Caderneta de Poupança e aplicações em fundos de renda fixa, etc. Raramente encontramos uso para o regime de juros simples: é o caso das operações de curtíssimo prazo, e do processo de desconto simples de duplicatas.

Taxa de juros

A taxa de juros indica qual remuneração será paga ao dinheiro emprestado, para um determinado período. Ela vem normalmente expressa da forma percentual, em seguida da especificação do período de tempo a que se refere:

8 % a.a. - (a.a. significa ao ano).

10 % a.t. - (a.t. significa ao trimestre). Outra forma de apresentação da taxa de juros é a unitária, que é igual a taxa percentual

dividida por 100, sem o símbolo %: 0,15 a.m. - (a.m. significa ao mês).

0,10 a.q. - (a.q. significa ao quadrimestre) Convenções: FV = Valor Futuro PV = Valor Presente J = Juro I = Taxa N = Tempo M = Montante C = Capital am. = ao mês aa. = ao ano

JUROS SIMPLES

O regime de juros será simples quando o percentual de juros incidir apenas sobre o valor principal. Sobre os juros gerados a cada período não incidirão novos juros. Valor Principal ou simplesmente principal é o valor inicial emprestado ou aplicado, antes de somarmos os juros. Transformando em fórmula temos:

J = P . i . n

Onde:

J = juros P = principal (capital) i = taxa de juros n = número de períodos

Exemplo: Temos uma dívida de R$ 1000,00 que deve ser paga com juros de 8% a.m. pelo regime de juros simples e devemos pagá-la em 2 meses. Os juros que pagarei serão:

J = 1000 x 0.08 x 2 = 160

Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante.

Montante = Principal + Juros

Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Número de períodos )

M = P . ( 1 + ( i . n ) )

Exemplo: Calcule o montante resultante da aplicação de R$70.000,00 à taxa de 10,5% a.a. durante 145 dias.

SOLUÇÃO:

M = P . ( 1 + (i.n) )

M = 70000 [1 + (10,5/100).(145/360)] = R$72.960,42

Observe que expressamos a taxa i e o período n, na mesma unidade de tempo, ou seja, anos. Daí ter dividido 145 dias por 360, para obter o valor equivalente em anos, já que um ano comercial possui 360 dias.

Exercícios sobre juros simples:

1) Calcular os juros simples de R$ 1200,00 a 13 % a.t. por 4 meses e 15 dias.

0.13 / 6 = 0.02167

logo, 4m15d = 0.02167 x 9 = 0.195

j = 1200 x 0.195 = 234

2 - Calcular os juros simples produzidos por R$40.000,00, aplicados à taxa de 36% a.a., durante 125 dias.

Temos: J = P.i.n

A taxa de 36% a.a. equivale a 0,36/360 dias = 0,001 a.d.

Agora, como a taxa e o período estão referidos à mesma unidade de tempo, ou seja, dias, poderemos calcular diretamente:

J = 40000.0,001.125 = R$5000,00

3 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 1,2% a.m. rende R$3.500,00 de juros em 75 dias?

Temos imediatamente: J = P.i.n ou seja: 3500 = P.(1,2/100).(75/30)

Observe que expressamos a taxa i e o período n em relação à mesma unidade de tempo, ou seja, meses. Logo,

3500 = P. 0,012 . 2,5 = P . 0,030; Daí, vem:

P = 3500 / 0,030 = R$116.666,67

4 - Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano, quantos meses serão necessários para dobrar um capital aplicado através de capitalização simples?

Objetivo: M = 2.P Dados: i = 150/100 = 1,5 Fórmula: M = P (1 + i.n) Desenvolvimento:

2P = P (1 + 1,5 n) 2 = 1 + 1,5 n n = 2/3 ano = 8 meses

JUROS COMPOSTOS

O regime de juros compostos é o mais comum no sistema financeiro e portanto, o mais útil para cálculos de problemas do dia-a-dia. Os juros gerados a cada período são incorporados ao principal para o cálculo dos juros do período seguinte.

Chamamos de capitalização o momento em que os juros são incorporados ao principal. Após três meses de capitalização, temos:

1º mês: M =P.(1 + i) 2º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = P x (1 + i) x (1 + i) 3º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = P x (1 + i) x (1 + i) x (1 + i)

Simplificando, obtemos a fórmula:

M = P . (1 + i)n

Importante: a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n, ou seja, taxa de juros ao mês para n meses.

Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do período:

J = M - P

Exemplo:

Calcule o montante de um capital de R$6.000,00, aplicado a juros compostos, durante 1 ano, à taxa de 3,5% ao mês.

(use log 1,035=0,0149 e log 1,509=0,1788)

Resolução:

P = R$6.000,00 t = 1 ano = 12 meses i = 3,5 % a.m. = 0,035 M = ?

Usando a fórmula M=P.(1+i)n, obtemos:

M = 6000.(1+0,035)12 = 6000. (1,035)12

Fazendo x = 1,03512 e aplicando logaritmos, encontramos:

log x = log 1,03512 => log x = 12 log 1,035 => log x = 0,1788 => x = 1,509

Então M = 6000.1,509 = 9054.

Portanto o montante é R$9.054,00

Relação entre juros e progressões

No regime de juros simples: M( n ) = P + n r P

No regime de juros compostos:

M( n ) = P . ( 1 + r ) n

Portanto:

• num regime de capitalização a juros simples o saldo cresce em progressão aritmética

• num regime de capitalização a juros compostos o saldo cresce em progressão geométrica

TAXAS EQUIVALENTES

Duas taxas i1 e i2 são equivalentes, se aplicadas ao mesmo Capital P durante o mesmo período de tempo, através de diferentes sistemas de capitalização, produzem o mesmo montante final.

• Seja o capital P aplicado por um ano a uma taxa anual ia . • O montante M ao final do período de 1 ano será igual a M = P(1 + i a ) • Consideremos agora, o mesmo capital P aplicado por 12 meses a uma taxa mensal im . • O montante M’ ao final do período de 12 meses será igual a M’ = P(1 + im)12 .

Pela definição de taxas equivalentes vista acima, deveremos ter M = M’ . Portanto, P(1 + ia) = P(1 + im)12

Daí concluímos que 1 + ia = (1 + im)12

Com esta fórmula podemos calcular a taxa anual equivalente a uma taxa mensal

conhecida. Exemplos: 1 - Qual a taxa anual equivalente a 8% ao semestre? Em um ano temos dois semestres, então teremos: 1 + ia = (1 + is)

2

1 + ia = 1,082

ia = 0,1664 = 16,64% a.a.

2 - Qual a taxa anual equivalente a 0,5% ao mês? 1 + ia = (1 + im)12

1 + ia = (1,005)12

ia = 0,0617 = 6,17% a.a.

TAXAS NOMINAIS

A taxa nominal é quando o período de formação e incorporação dos juros ao Capital não

coincide com aquele a que a taxa está referida. Alguns exemplos:

- 340% ao semestre com capitalização mensal.

- 1150% ao ano com capitalização mensal.

- 300% ao ano com capitalização trimestral. Exemplo:

Uma taxa de 15 % a.a., capitalização mensal, terá 16.08 % a.a. como taxa efetiva: 15/12 = 1,25 1,2512 = 1,1608

TAXAS EFETIVAS A taxa Efetiva é quando o período de formação e incorporação dos juros ao Capital

coincide com aquele a que a taxa está referida. Alguns exemplos:

- 140% ao mês com capitalização mensal.

- 250% ao semestre com capitalização semestral.

- 1250% ao ano com capitalização anual. Taxa Real: é a taxa efetiva corrigida pela taxa inflacionária do período da operação. A Taxa Efetiva é obtida pelas seguinte fórmula.

Exemplo: Uma taxa de 3% am forma um montante efetivo anual de qual valor? Tef = (1 + 0,03)12 - 1 Tef = (1,03)12 – 1 Tef = 1,4257-1 Tef = 0,4257 = 42,57% aa FLUXO DE CAIXA

O fluxo de caixa serve para demonstrar graficamente as transações financeiras em um período de tempo. O tempo é representado na horizontal dividido pelo número de períodos relevantes para análise. As entradas ou recebimentos são representados por setas verticais apontadas para cima e as saídas ou pagamentos são representados por setas verticais apontadas para baixo. Observe o gráfico abaixo:

Chamamos de VP o valor presente, que significa o valor que eu tenho na data 0; VF é o valor futuro , que será igual ao valor que terei no final do fluxo, após juros, entradas e saídas.

VALOR PRESENTE e VALOR FUTURO

Na fórmula M = P . (1 + i)n , o principal P é também conhecido como Valor Presente (PV = present value) e o montante M é também conhecido como Valor Futuro (FV = future value).

Então essa fórmula pode ser escrita como

FV = PV (1 + i) n

Isolando PV na fórmula temos:

PV = FV / (1+i)n

Na HP-12C, o valor presente é representado pela tecla PV.

Com esta mesma fórmula podemos calcular o valor futuro a partir do valor presente.

Exemplo:

Um capital de R$ 5.000,00 é aplicado, a taxa de 1,5% am durante 8 meses. Qual o montanre a ser resgatado?

FV = 5.000 (1 + 0,015)8

FV = 5.000 (1,015)8 FV = 5.000 (1,2649) FV = R$ 6.324,50 SAC – SISTEMA DE AMORTIZAÇAO CONSTANTE SISTEMA FRANCÊS Este sistema é muito usado no Brasil. Consiste em amortizar um empréstimo ou compra

a prazo com prestações constantes, periódicas e imediatas P= Prestações constantes

Exemplo:

Um comprador adquire uma mercadoria ou empréstimo de R$ 10.000,00 para ser pago em 3 prestações, à taxa de 3% am. Qual o valor de cada prestação ? Elaborar planilha. Considere o pagamento da primeira parcela em 30 dias após o empréstimo.

10.000 = P. (1 + 0,03)-3

0,03 P. 2,82861135 = 10.000 P = 10.000 2,82861135 P = R$ 3.535,30 Planilha

Mês Saldo Devedor Amortizações Juros Prestação 0 R$ 10.000,00 - - - 1 R$ 6.764,70 R$ 3.235,30 R$ 300,00 R$ 3.535,30 2 R$ 3.432,34 R$ 3.332,36 R$ 202,94 R$ 3.535,30 3 - R$ 3.342,34 R$ 102,97 R$ 3.535,30

DESCONTOS

Notações comuns na área de descontos:

D Desconto realizado sobre o título

A Valor Atual de um título

N Valor Nominal de um título

i Taxa de desconto

n Número de períodos para o desconto

Desconto é a diferença entre o Valor Nominal de um título (futuro) N e o Valor Atual A deste mesmo título.

D = N - A

Há dois tipos básicos de descontos: Comerciais (por fora) ou Racionais (por dentro).

Tipos de descontos

Descontos simples são obtidos com cálculos lineares, mas os Descontos compostos são obtidos com cálculos exponenciais.

Desconto Simples Comercial (por fora): O cálculo deste desconto é análogo ao cálculo dos juros simples, substituindo-se o Capital P na fórmula de juros simples pelo Valor Nominal N do título.

Desconto por fora Juros simples

D = N i n j = P i n

N = Valor Nominal P = Principal

i = taxa de desconto i = taxa de juros

n = no. de períodos n = no. de períodos

O valor atual no desconto por fora, é calculado por:

A = N-D = N-N.i.n = N(1-i.n)

Desconto Simples Racional (por dentro): O cálculo deste desconto funciona análogo ao cálculo dos juros simples, substituindo-se o Capital P na fórmula de juros simples pelo Valor Atual A do título.

O cálculo do desconto racional é feito sobre o Valor Atual do título.

Desconto por dentro Juros simples

D = A i n j = P.i.n

N = Valor Atual P = Principal

i = taxa de desconto i = taxa de juros

n = no. de períodos n = no. de períodos

O valor atual, no desconto por dentro, é dado por:

A = N / (1 + i n)

Desconto Comercial composto (por fora): Este tipo de desconto não é usado no Brasil e é análogo ao cálculo dos Juros compostos, substituindo-se o Principal P pelo Valor Nominal N do título.

Desconto composto por fora Juros compostos

A = N(1-i)n S = P(1+i)n

A = Valor Atual P = Principal

i = taxa de desconto negativa i = taxa de juros

n = nº. de períodos n = nº. de períodos

Apenas para fins didáticos, iremos obter a fórmula para o cálculo deste desconto. Ela é obtida por aplicações repetidas do desconto simples para 1 período.

Para n=1, o desconto composto por fora funciona como o desconto simples por fora, logo:

A1 = N(1-i)

onde A1 é o valor atual do título com valor nominal N. Para n=2, devemos reaplicar o mesmo processo, substituindo agora N por A1, para obter A2, isto é:

A2 = A1(1-i) = N(1-i)2

Por este raciocínio, temos que, para cada número natural n:

An = N(1-i)n

Esta fórmula é similar à formula do montante composto, dada por:

S = P(1+i)n

Desconto Racional composto (por dentro): Este tipo de desconto é muito utilizado no Brasil.

Como D = N - A e como N = A(1 + i)n , então

D = N-N(1+i)-n = N.[1-(1+i)-n]

O melhor estudo que se pode fazer com o desconto racional composto é considerar o Valor Atual A como o capital inicial de uma aplicação e o Valor Nominal N como o montante desta aplicação, levando em consideração que as taxas e os tempos funcionam de forma similar nos dois casos.

Exemplo a: Qual é o desconto racional composto de um título cujo valor nominal é R$10.000,00, se o prazo de vencimento é de n=5 meses e a taxa de desconto é de 3,5% ao mês.

Solução:

D = 10.000,00 [(1,035)5-1]/1,0355 = 1.580,30

Exemplo b: Uma empresa emprestou um valor que deverá ser pago 1 ano após em um único pagamento de R$ 18.000,00 à taxa de 4,5% ao mês. Cinco meses após ter feito o empréstimo a empresa já tem condições de resgatar o título. Se a empresa tiver um desconto racional composto calculado a uma taxa equivalente à taxa de juros cobrada na operação do empréstimo, qual será o valor líquido a ser pago pela empresa?

Dados: Valor nominal: N=18.000,00; taxa mensal: i=4,5%=0,045

Número de períodos para o desconto: n=12-5=7

Fórmula: D = N.[(1+i)n-1]/(1+i)n

COMPREENSÃO E ELABORAÇÃO DA LÓGICA PARA RESOLUÇÃO D E PROBLEMAS

O problema é o meio pelo qual a Matemática se desenvolve, ou seja, o “alimento” da

evolução matemática. Um problema tem seu grau de importância relacionado à quantidade de ideias novas que ele traz à matemática e o quão ele é capaz de impulsionar os diversos ramos da Matemática sobretudo aqueles em que ele não está diretamente relacionado.

A prova está indissoluvelmente ligada ao problema e é a única maneira de atestar ou não a

solução matemática do mesmo. A prova representa o rigor, a solidez e a consistência da teoria matemática e nada mais é do que uma sequência de raciocínios dedutivos que parte de fatos de veracidade já conhecida – como teoremas e axiomas – e chega até o resultado em demonstração, resolvendo o problema.

No contexto de educação matemática, um problema, ainda que simples, pode suscitar o

gosto pelo trabalho mental se desafiar à curiosidade e proporcionar ao aluno o gosto pela descoberta da resolução. Neste sentido, os problemas podem estimular a curiosidade do aluno e fazê-lo a se interessar pela Matemática, de modo que ao tentar resolvê-los o aluno adquire criatividade e aprimora o raciocínio, além de utilizar e ampliar o seu conhecimento matemático.

Enfim, o que é um problema? Agora que falamos da importância dos problemas à Matemática, podemos dar uma

definição intuitiva de problema: “um problema matemático é toda situação requerendo a descoberta de informações matemáticas desconhecidas para a pessoa que tenta resolvê-lo e/ou a invenção de uma demonstração de um resultado matemático dado”. Ainda, segundo Newell & Simon (1972), “um problema é uma situação na qual um indivíduo deseja fazer algo, porém desconhece o caminho das ações necessárias para concretizar a sua ação” ou segundo Chi e Glaser (1983) “o problema é uma situação na qual um indivíduo atua com o propósito de alcançar uma meta utilizando para tal alguma estratégia em particular”.

A partir das concepções de problemas acima, entendemos que existe um problema quando

há um objetivo a ser alcançado e não sabemos como atingir esse objetivo. Em matematiquês, existe um problema quando há um resultado – conhecido ou não – a ser demonstrado utilizando a teoria matemática.

Um problema é mais valioso à medida que o resolvedor – ou seja, quem está se propondo a encontrar uma solução ao problema - tenha de inventar estratégias e criar ideias . Quem resolve pode até saber o objetivo a ser atingido, mas ainda estará enfrentando um problema se ele ainda não dispõe dos meios para atingir tal objetivo.

Caracterizando um problema Resnick apontou várias características dos problemas as quais procuramos resumir abaixo: 1. Sem algoritmização: o caminho da resolução é desconhecido, ao menos em boa

parte.

2. Complexos: precisam de vários pontos de vista. 3. Exigentes: a solução só é atingida após intenso trabalho mental; embora o

caminho possa ser curto, ele tende a ser difícil. 4. Necessitam de lucidez e paciência: um problema começa com uma aparente

desordem de ideias e é preciso adotar padrões que permitirão construir o caminho até a solução. 5. Nebulosos: nem sempre todas as informações necessárias estão aparentes; por

outro lado, pode existir conflito entre as condições estabelecidas pelo problema. 6. Não há resposta única: normalmente ocorre de existirem várias maneiras de se

resolver um dado problema; no entanto, pode acontecer de não existir uma melhor solução ou até de não haver solução – ou seja, resolver um problema não é o mesmo que achar a resposta.

Problemas e exercícios: diferenças Por muitas vezes o professor de Matemática da Educação Básica costuma pedir para o

aluno resolver exercícios ou problemas - até os livros didáticos induzem a utilizar esta palavra para aprender um determinado tópico da matéria. Ou seja, é preciso diferenciar problema de exercício, palavras estas muitas vezes utilizadas como equivalentes pelos professores de Matemática.

O exercício é uma atividade de adestramento no uso de alguma habilidade ou

conhecimento matemático já conhecido pelo resolvedor, como a aplicação de algum algoritmo ou fórmula já conhecida. Ou seja, o exercício envolve mera aplicação de resultados teóricos enquanto o problema necessariamente envolve invenção e/ou criação significativa.

Por exemplo, considere como resolvedor um aluno no final do Ensino Fundamental (é

importante dizer o perfil do resolvedor, pois o que pode ser um problema para uma pessoa pode não ser para outra que tenha mais conhecimento ou que já tenha visto o problema antes):

• Exercício: resolver a equação (supõe-se que tal aluno conheça a fórmula de Bhaskara).

• Problema: provar a fórmula de Bhaskara (supõe-se que tal aluno nunca tenha visto tal

demonstração, mas conheça a fórmula); aqui percebemos a importância de definir o perfil do aluno, pois para o professor este não seria um problema uma vez que provavelmente ele já viu esta demonstração.

• Problema (mais difícil): descobrir, provando, uma fórmula para resolver toda e qualquer

equação algébrica do segundo grau (supõe-se que tal aluno não conheça a fórmula de Bhaskara). O que é um bom problema? Como podemos imaginar, problemas existem muitos. E, certamente, dependendo do nosso

propósito, alguns problemas são melhores do que outros.

Bons problemas para o desenvolvimento da matemática Caso o nosso interesse seja avaliar o quão bom e útil é um problema matemático à medida

que ele aprimora a ciência matemática, então é importante medir não só o poder desafiador do problema para os matemáticos, mas também o quanto ele ‘mexe’ com a Matemática. Quando dizemos que um problema “mexe” com a matemática, queremos dizer o quanto um problema pode fazer com que entendamos melhor a matemática, o quanto ele contribui para o desenvolvimento dos vários ramos da matemática, os benefícios que ele traz para o resolvedor de problemas no sentido de amadurecer o resolvedor para a habilidade de resolver problemas e ainda a possibilidade de surgimento de novos problemas.

Um ótimo problema matemático é, sem dúvida alguma, o problema de Fermat:

O enunciado deste problema é, de fato, bastante simples. No entanto, sua demonstração

precisou de quase 400 anos e foi obtida pelo matemático A. Wilkes em 1995. A grandeza do Problema de Fermat não está na dificuldade ou utilidade deste resultado (que é praticamente inexistente) e sim no fato de que as tentativas de resolvê-lo produziram ideias e problemas que fertilizaram inúmeros campos da Matemática tais como a Teoria dos Números e a Geometria Algébrica.

Exemplo 1. Problema de sondagem.

Comentários acerca do exemplo 1. Observe que o aluno basicamente só precisa saber o que

é um triângulo para começar a pensar neste problema. Resolvido o problema, sem o auxílio do professor, o aluno ganha um acréscimo de conhecimento matemático (por exemplo, propriedades para triângulos retângulos como o Teorema de Pitágoras e propriedades para triângulos quaisquer como o fato do menor ângulo se opor ao menor lado e o maior ângulo se opor ao maior lado).

Exemplo 2. Problema de aprendizagem.

Nas condições do mapa, quantos passos em linha reta devemos andar, partindo do velho

carvalho para chegarmos ao tesouro? Comentários do problema 2. Este problema faz com que o aluno utilize conceitos de

geometria de forma intuitiva relacionando com o seu dia a dia; note que não há a reprodução de fórmulas matemáticas, pois o problema exige a intuição e a criatividade do aluno e, a priori, não é dada sugestão de caminho de resolução.

Exemplo 3. Problema de análise.

Comentários do problema 3. Este é um problema de investigação, que remete o aluno a

curiosidade e a descoberta. Para tal, o aluno precisa criar uma estratégia utilizando alguns conceitos já aprendidos e acaba por fixar estes conceitos e aprofundar o seu conhecimento.

Exemplo 4. Problemas de revisão e aprofundamento.

Ache a área de um triângulo isósceles em função da medida de um dos seus lados

congruentes e da altura do triângulo. Comentários do problema 4. Ao mesmo tempo em que o problema leva a revisão dos

conhecimentos relacionados a relações métricas em triângulos, ele possibilita a descoberta de um resultado novo.

As heurísticas de resolução de problemas Sobre o termo heurística Antes de entrarmos na exposição e análise das diversas heurísticas de resolução de

problemas é muito importante termos uma ideia clara sobre o significado da palavra heurística. Para tal, recorremos ao dicionário Houaiss que noz ‘traduz’ heurística em vários contextos:

• Contexto científico: “a ciência que tem por objetivo a descoberta dos fatos”; • Contexto de problematização: “a arte de inventar, de fazer descobertas” ou “método de

investigação baseado na aproximação progressiva de um dado problema”; e • Contexto pedagógico: “método educacional que consiste em fazer descobrir pelo aluno o

que se lhe quer ensinar”. Percebemos, portanto, que falar em heurística de resolução de problemas é falar sobre

“métodos e regras que conduzem à descoberta, inovação, investigação e resolução de problemas”. Podemos também observar que heurística pode referir-se tanto ao contexto científico quanto ao contexto educacional; para nós, ambos os contextos são pertinentes, pois ao mesmo tempo em que queremos avaliar a importância da resolução dos problemas na evolução da matemática – descoberta de novos resultados, criação de novos, problemas, ..., etc. - também queremos ressaltar a importância dos problemas no processo ensino-aprendizagem.

Um pouco de história: os primeiros passos para uma heurística de resolução de problemas Vários pensadores e pesquisadores estudaram ou têm estudado e pesquisado a respeito da

atividade de resolver problemas. Filósofos gregos Inicialmente, a atividade de resolver problemas recai na questão filosófica de “pensar sobre

o pensamento”; neste sentido, os filósofos gregos como Sócrates e Platão trazem algumas contribuições. Para Sócrates, o indivíduo já detém o conhecimento a ser usado para resolver o problema e, portanto, a atividade de resolver problemas não passa de mera ‘recordação’; para exemplificar seu método, certa vez Sócrates fez um escravo demonstrar o Teorema de Pitágoras ‘apenas’ lhe fazendo algumas perguntas.

Podemos notar, portanto, que o fato de Sócrates fazer perguntas já era um encaminhamento

na solução do problema, o que ao nosso ver já tira em grande parte o mérito do escravo na resolução pois ele contou com a ajuda das perguntas elaboradas por Sócrates.

As primeiras ideias com Descartes As primeiras ideias um pouco mais positivas e razoáveis no sentido da heurística de

resolução de problemas vem com filósofo e matemático francês Descartes (1596 - 1650). Para o nosso propósito, o importante em Descartes são suas ideias sobre ‘pensamento

produtivo’ que tinham um papel importante no seu ambicioso projeto de construção de um método geral de resolução de problemas. Descartes chegou a escrever dois volumes (o segundo incompleto) – dentre três planejados - do Rules for the Direction of the Mind, onde procurava expor em detalhes como, segundo seu método, seria possível resolver qualquer problema. Em resumo, Descartes vê o processo de resolução de problemas em três fases:

• Reduzir todo problema algébrico a um problema contendo apenas equação(ões);

• Reduzir todo problema matemático a um problema algébrico; e • Reduzir qualquer problema a um problema matemático. Podemos notar que Descartes objetiva reduzir todo problema que existe no mundo a um

problema matemático; mais que isso, a ideia de Descartes era completar o projeto de resolver problemas citado acima e ainda usufruir de seus benefícios. Fica evidente, ao menos em nossa concepção, o caráter irrealista do projeto de Descartes, a começar pela ideia de reduzir todo problema a um problema matemático (o que, convenhamos, nem sempre é possível).

No entanto, Descartes apresenta algumas ideias de valor e relevância relacionadas ao

ensino e que podem ser aplicadas a resolução de problemas como, por exemplo: • Regra IV: “É necessário método para descobrir as leis da natureza”, ressaltando a

importância da sistematização. • Regra III: “as únicas coisas que devemos aceitar são aquelas que ou podemos ver com

clareza ou podemos deduzir com certeza”, relevando a importância da argumentação ao invés do uso da autoridade.

• Regra VII: “Se chegarmos a um ponto onde não conseguimos entender o que está acontecendo, devemos fazer uma pausa e não prosseguir em um trabalho inútil”, mostrando que é importante mantermos controle sobre o que estamos fazendo sob pena de se perder em um trabalho infrutífero.

É importante citar Descartes em detalhes, pois algumas de suas sugestões para o ensino e a resolução de problemas antecipam ideias de George Polya.

Graham Wallas e a escola Gestaltista de psicologia Após Descartes, encontramos ideias originais acerca de resolução de problemas na escola

Gestaltista de psicologia com o psicólogo e cientista político inglês Graham Wallas (1858 - 1932).

Para Wallas as quatro fases de resolução de problemas são: 1. Saturação: você trabalha no problema até ter feito tudo o que podia com ele. 2. Incubação: você tira o problema do seu consciente e deixa o subconsciente tomar

conta dele. Ou seja, você ‘dorme’ sobre ele. Esta é à parte fácil. 3. Inspiração: a resposta chega subitamente, sem que você esteja pensando no

problema. 4. Verificação: você checa a solução apenas para ter certeza de sua correção. A visão Gestaltista de Wallas fornece uma visão interessante da solução de um problema e

representa um passo importante como contraposição às ideias de Descartes. No entanto, por apelar a noções vaga ligada ao funcionamento da ‘mente’, ela acaba não tendo grande valia como

uma estratégia de resolução de problemas. Skinner e a escola behavorista Uma mudança radical de posição em relação às ideias de Descartes ou de Wallas é

encontrada na escola behavorista com o psicólogo americano B. F. Skinner (1904 – 1990). Ele propõe, de fato, a completa exclusão do conceito de mente da teoria do conhecimento.

De acordo com Skinner as noções de mente e menta-lismo são, na melhor das hipóteses,

construções inúteis. A proposta de Skinner consiste então em: 1. Determinar as ações produtivas. 2. Reforçá-las. Apesar da relevância das ideias de Skinner para, digamos treinamentos de ratos e pombos,

elas se revelaram, no mínimo, insuficientes para o ensino em níveis mais elevados. A heurística de resolução de problemas de George Polya “Resolver problemas é uma habilidade prática, como nadar, esquiar ou tocar piano: você

pode aprendê-la por meio de imitação e prática. (...) se você quer aprender a nadar você tem de ir à água e se você quer se tornar um bom ‘resolvedor de problemas’, tem que resolver problemas”.

Biografia de Polya George Polya (1897 – 1985) foi um dos matemáticos mais importantes do século XX.

Nascido na Hungria, ele passou a maior parte do seu tempo pesquisando na universidade de Stanford nos Estados Unidos devido à situação política da Europa na época da Segunda Guerra Mundial. Pesquisou em vários ramos da matemática, como probabilidade e equações diferenciais parciais; sua maior contribuição, no entanto, está relacionada à heurística de resolução de problemas matemáticos com várias publicações relacionadas ao assunto, em especial How To Solve It – que vendeu mais de um milhão de cópias - em 1957. Polya é um dos matemáticos do nosso século que considera a Matemática uma “ciência observacional” na qual a observação e a analogia desempenham um papel fundamental; afirma também a semelhança do processo criativo na Matemática e nas ciências naturais.

Polya foi o primeiro matemático a apresentar uma heurística de resolução de problemas

específica para a matemática. Por isso, Polya representa uma referência no assunto, uma vez que suas ideias representam uma grande inovação em relação às ideias de resolução de problemas existentes até então (vide Descartes, Wallas, Skinner). Muitas de suas ideias são razoáveis até os dias atuais, servindo de alicerce para trabalhos de outros pesquisadores contemporâneos a Polya na área nesta área como Schoenfeld e Thompson.

Etapas de resolução de problemas, segundo Polya Procurando organizar um pouco o processo de resolução de problemas, Polya o dividiu em

quatro etapas. É importante ressaltar que Polya nunca pretendeu que a sua divisão correspondesse a uma sequência de etapas a serem percorridas uma depois da outra sem que nunca seja conveniente ou necessário voltar atrás ou que a sua divisão funcionasse como uma ‘poção mágica’ para resolver problemas matemáticos.

As quatro etapas de resolução de problemas segundo Polya são:

A importância de revisar a solução Conforme vimos anteriormente, Polya dividiu o processo de resolução de problemas

matemáticos em quatro etapas: entendimento do problema, invenção de estratégia de resolução, execução e revisão.

A revisão da solução é a etapa mais importante segundo Polya, pois esta etapa propicia

uma depuração e uma abstração da solução do problema: • Depuração: o objetivo é verificar a argumentação usada, procurando simplificá-la; pode-

se chegar ao extremo de buscar outras maneiras de resolver o problema, possivelmente mais simples, mas menos intuitivas e só agora acessíveis ao resolvedor. Há uma crítica generalizada aos matemáticos pesquisadores por publicarem demonstrações muito artificiais ou abstratas e que certamente não representam a maneira como o resultado em demonstração foi descoberto. Contudo, é inegável que a revisão de depuração é muito proveitosa.

• Abstração: agora, o objetivo é refletir no processo de resolução procurando descobrir a

essência do problema e do método de resolução empregado; tendo-se sucesso nessa empreitada, poder-se-á resolver outros problemas mais gerais ou de aparência bastante diferente. Ela representa a possibilidade de aumento do ‘poder de fogo’ do resolvedor. Feito por um matemático talentoso, esse trabalho de abstração representa a possibilidade de fertilização da Matemática.

Observamos que na Educação Básica existem ao menos caricaturas das três primeiras

etapas de Polya, mas nada no que toca à etapa da revisão. Os professores ou ignoram essa importante etapa ou alegam que a mesma é inviável de trabalhar face à falta de tempo, dificuldade de testar, frustração dos alunos, etc.

Os princípios heurísticos de Alan Schoenfeld Alan Schoenfeld, atualmente professor na área de desenvolvimento cognitivo do

departamento de Matemática da University de Califórnia at Berkeley, é um importante pesquisador na área de educação e desenvolvimento cognitivo relacionado à Matemática. Ele já foi presidente da American Educational Research Association (AERA) – Associação de Pesquisas Educacionais dos EUA - e membro da National Academy of Education – isto é, a Academia Nacional de Educação dos EUA.

De acordo com Alan Schoenfeld (1985), a compreensão e o ensino da matemática devem

ser abordados como um domínio de resolução de problemas. Em seu livro Mathematical Problem Solving (1985), ele afirma que quatro categorias de conhecimento ou habilidades são necessárias para alguém ser bem-sucedido na matemática:

1. Recursos: conhecimento de procedimentos e questões da matemática.

2. Heurísticas: estratégias e técnicas para resolução de problemas, tais como trabalhar o que foi ensinado, ou desenhar figuras.

3. Controle: decisões sobre quando e quais recursos usar. 4. Convicções: uma visão matemática do mundo, que determina como alguém

aborda um problema. A teoria de Schoenfeld é sustentada por uma vasta análise de protocolo de alunos

solucionando problemas. A estrutura teórica está baseada em outros trabalhos da psicologia cognitiva, particularmente o trabalho de Newell & Simon. Schoenfeld (1987) dá mais ênfase à importância da metacognição e aos componentes culturais envolvidos no aprendizado da matemática (isto é, sistemas de convicções) do que na sua formulação original.

Percebemos, por Schoenfeld, que o conhecimento de heurística de resolução de problemas

é uma habilidade importante para um bom matemático, de forma que não basta apenas ser um bom conhecedor da teoria matemática para ser um bom ‘resolvedor de problemas’.

Níveis de capacidade de resolução de problemas Mesmo que uma pessoa tenha extenso conhecimento de certo assunto matemático, estando

aí incluído um extenso conhecimento de algoritmos e até mesmo de heurísticas, isso não é bastante para garantir que ela tenha uma capacidade mínima de resolver problemas sobre esse assunto.

Em Matemática, diferentemente do que ocorre em muitas disciplinas, muito mais

importantes que erudição e treinamento são: • Uma intuição cultivada, capaz de fazer ressonar as informações dadas no problema com

conhecimentos e experiências do resolvedor. • Uma profundidade intelectual do resolvedor que seja capaz de relacionar itens

conceitualmente e/ou proceduralmente muito distantes entre si. Em outras palavras: para uma dada pessoa, além de muito da sua capacidade de resolver

problemas ser determinada geneticamente, a realização plena de seu potencial passa por uma orientação adequada e experiente.

Níveis no desenvolvimento do resolvedor de problemas M. G. Kantowski (1980), a partir de longas observações, dividiu o continuum das

capacidades pessoais de resolução de problemas matemáticos em quatro estágios. Novamente, a dotação genética e a qualidade da orientação didática determinarão quão longe uma dada pessoa conseguirá ir nesse continuum.

Ampliando os estágios de Kantowski para cinco, e usando nossa terminologia, teremos como estágios ou níveis de capacitação do resolvedor:

• Inerte: a pessoa tem nenhum ou quase nenhum entendimento do que seja resolver um

problema matemático; em particular, não é capaz de atinar por onde começar. O máximo que se consegue fazer nesse estágio é reproduzir procedimentos de resolução muito simples e que foram exaustivamente explicados e exemplificados. Ou seja: uma pessoa nesse estágio está restrita ao mundo dos exercícios e é necessário que esses sejam bastante exemplificados.

• Imitador: com pouca explicação e exemplificação, torna-se capaz de fazer exercícios,

mas ainda não é capaz de resolver verdadeiros problemas; é capaz de participar produtivamente em grupos que estejam discutindo a resolução de problemas de tipo novo, contudo é incapaz de trabalhar sozinho.

• Capaz: atingiu a capacidade de resolver problemas, mas esses devem ser variantes

relativamente simples de problemas que aprendeu ou já resolveu. • Avançado: além de demonstrar uma capacidade superior de resolução, através da

velocidade de resolução, da variedade e da maior complexidade dos problemas que é capaz de enfrentar, a pessoa começa a ser capaz de conceber processos de resolução diferentes dos que tinha aprendido.

• Artista: a pessoa não só atingiu uma proficiência superior de inventar novos processos de

resolução como se preocupa em explorar caminhos alternativos, buscando resoluções mais elegantes ou poderosas.

Exemplificando as ideias de Polya e Schoenfeld Apresentamos várias ideias relacionadas à resolução de problemas matemáticos. É

importante exemplificar problemas para que possamos ter uma noção da aplicação dessas ideias e percebermos que, de fato, o conhecimento da heurística de Polya e da concepção de Schoenfeld pode nos ajudar bastante a melhorar o nosso nível de resolução de problemas.

Procuraremos exemplificar qualitativamente, com poucos exemplos, mas de forma a extrair o máximo possível pertinente ao problema; ou seja, os exemplos serão abordados segundo a heurística de Polya (seguindo a estratégia passo a passo) ou segundo a concepção de Schoenfeld.

Nosso objetivo aqui é, portanto, complementar a teoria já apresentada até então para

facilitar a compreensão do leitor. Exemplo da utilização da concepção de Alan Schoenfeld Schoenfeld utiliza em seu livro Mathematical Problem Solving (1985) um problema para

ilustrar a sua teoria:

Exemplo da aplicação da estratégia de George Polya Vamos ilustrar a estratégia de resolução de problemas proposta por Polya em seu livro

How To Solve It através dos exemplos abaixo.

raciocinio

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