Raciocínio Lógico - AFRFB

Raciocínio Lógico-Quantitativo Correção da Prova – AFRFB 2009 – Gabarito 1 – Parte 1

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Prof. José Jayme Moraes Junior www.pontodosconcursos.com.br 1

RACIOCÍNIO LÓGICO-QUANTITATIVO

31- Considere a seguinte proposição: “Se chove ou neva, então o chão fica molhado”. Sendo assim, pode-se afirmar que: a) Se o chão está molhado, então choveu ou nevou. b) Se o chão está molhado, então choveu e nevou. c) Se o chão está seco, então choveu ou nevou. d) Se o chão está seco, então não choveu ou não nevou. e) Se o chão está seco, então não choveu e não nevou. Resolução 1. Se chove ou neva, então o chão fica molhado. Tipo de Proposição: Condicional p = Chove ou neva q = O Chão fica molhado p �� q => Chove ou neva �� O chão fica molhado ~p = Não choveu e não nevou ~q = O chão não fica molhado = O chão está seco Proposição Equivalente: ~q �� ~p => O chão está seco �� Não choveu e não nevou Resposta: Se o chão está seco, então não choveu e não nevou. GABARITO: E 32- Três meninos, Zezé, Zozó e Zuzu, todos vizinhos, moram na mesma rua em três casas contíguas. Todos os três meninos possuem animais de estimação de raças diferentes e de cores também diferentes. Sabe-se que o cão mora em uma casa contígua à casa de Zozó; a calopsita é amarela; Zezé tem um animal de duas cores – branco e laranja –; a cobra vive na casa do meio. Assim, os animais de estimação de Zezé, Zozó e Zuzu são, respectivamente: a) cão, cobra, calopsita. b) cão, calopsita, cobra. c) calopsita, cão, cobra. d) calopsita, cobra, cão. e) cobra, cão, calopsita.

Proposições Equivalentes: p � q �� ~q � ~p


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Resolução Três meninos: Zezé, Zozó e Zuzu, todos vizinhos, moram na mesma rua em três casas contíguas. Todos os três meninos possuem animais de estimação de raças diferentes e de cores também diferentes. Informação 1: O cão mora em uma casa contígua à casa de Zozó. Informação 2: A Calopsita é amarela. Informação 3: Zezé tem um animal de duas cores – branco e laranja. Informação 4: A cobra vive na casa do meio. Partindo da informação 4, temos: Informação 4: A cobra vive na casa do meio. Casas 1 2 3

Meninos Animais Cobra Cores Informação 3: Zezé tem um animal de duas cores – branco e laranja. Supondo que o animal de duas cores seja o cão e esteja na casa 1. Casas 1 2 3

Meninos Zezé Animais Cão Cobra Cores Branco e laranja Informação 2: A Calopsita é amarela. A Calopsita estará na casa 3. Casas 1 2 3

Meninos Zezé Animais Cão Cobra Calopsita Cores Branco e Laranja Amarela Informação 1: O cão mora em uma casa contígua à casa de Zozó. Logo, Zozó mora na casa 2 e Zuzu mora na casa 3. Casas 1 2 3

Meninos Zezé Zozó Zuzu Animais Cão Cobra Calopsita Cores Branco e Laranja Amarela Vamos pensar em outra hipótese: Partindo da informação 4, temos: Informação 4: A cobra vive na casa do meio. Casas 1 2 3

Meninos Animais Cobra Cores


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Informação 3: Zezé tem um animal de duas cores – branco e laranja. Supondo que o animal de duas cores seja o cão e esteja na casa 3. Casas 1 2 3

Meninos Zezé Animais Cobra Cão Cores Branco e laranja Informação 2: A Calopsita é amarela. A Calopsita estará na casa 1. Casas 1 2 3

Meninos Zezé Animais Calopsita Cobra Cão Cores Amarela Branco e Laranja Informação 1: O cão mora em uma casa contígua à casa de Zozó. Logo, Zozó mora na casa 2 e Zuzu mora na casa 1. Casas 1 2 3

Meninos Zuzu Zozó Zezé Animais Calopsita Cobra Cão Cores Amarela Branco e Laranja Repare que os animais de Zezé, Zozó e Zuzu continuam os mesmos: Cão (Zezé), Cobra (Zozó) e Calopsita (Zuzu). Vamos pensar em outra hipótese: Partindo da informação 4, temos: Informação 4: A cobra vive na casa do meio. Casas 1 2 3

Meninos Animais Cobra Cores Informação 3: Zezé tem um animal de duas cores – branco e laranja. Supondo que o animal de duas cores seja o cobra (a calopsita não pode ser, pois ela já é amarela). Casas 1 2 3

Meninos Zezé Animais Cobra Cores Branco e laranja Informação 2: A Calopsita é amarela. Supondo que a Calopsita esteja na casa 1, o cão estará na casa 3. Casas 1 2 3

Meninos Zezé Animais Calopsita Cobra Cão Cores Amarela Branco e laranja


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Informação 1: O cão mora em uma casa contígua à casa de Zozó. Não é possível esta hipótese, pois o cão mora em uma casa contígua à casa de Zezé. Logo, há uma contradição e a hipótese deve ser desconsiderada. Casas 1 2 3

Meninos Zezé Animais Calopsita Cobra Cão Cores Amarela Branco e laranja GABARITO: A

33- Se 3 eα = , então 3 eβ = . Se 3eα = , então β ou δ são iguais a 3 e. Se

3eδ = , então 3eβ = . Se 3 eδ = , então 3 eα = . Considerando que as

afirmações são verdadeiras, segue-se, portanto, que:

a) 3eα β δ= = =

b) 3eα β= = , mas 3 eδ =

c) 3 eα = , mas 3eβ δ= =

d) 3 eα β δ= = =

e) 3 eα δ= = , mas 3eβ =

Resolução A primeira informação importante na questão é: Todas as afirmações são verdadeiras. Vamos relembrar a tabela-verdade da condicional:

p q p � q V V V V F F F V V F F V

Informação 1. Se 3 eα = , então 3 eβ =

Informação 2. Se 3eα = , então β ou δ são iguais a 3 e.

Informação 3. Se 3eδ = , então 3eβ =

Informação 4. Se 3 eδ = , então 3 eα = . Análise:

Informação 1. Se 3 eα = , então 3 eβ =

Supondo que 3 eα = seja verdadeiro, para que a condicional seja verdadeira, 3 eβ = também deve ser verdadeiro (linha 1 da tabela-verdade).


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Logo, teríamos as seguintes conclusões até o momento:

1. 3 eα =

2. 3 eβ =

Informação 3. Se 3eδ = , então 3eβ =

Da conclusão 2: 3 eβ = . Logo, 3eβ = é falso. Com isso, para que a condicional

seja verdadeira, é necessário que 3eδ = seja falso (linha 4 da tabela-verdade).

Logo, teríamos as seguintes conclusões até o momento:

1. 3 eα =

2. 3 eβ =

3. 3eδ ≠

Informação 4. Se 3 eδ = , então 3 eα = . Tipo de Proposição: Condicional

p = 3 eδ =

q = 3 eα =

p �� q => 3 eδ = �� 3 eα =

~p = 3 eα ≠

~q = 3 eδ ≠

Proposição Equivalente:

~q �� ~p => 3 eδ ≠ ��3 eα ≠

Como 3 eα ≠ é falso, para que a condicional seja verdadeira, 3 eδ ≠ deve ser

falso (linha 4 da tabela-verdade). Logo, pode-se que 3 eδ = .

Portanto, teríamos as seguintes conclusões até o momento:

1. 3 eα =

2. 3 eβ =

3. 3eδ ≠

4. 3 eδ =

Proposições Equivalentes: p � q �� ~q � ~p


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Informação 2. Se 3eα = , então β ou δ são iguais a 3 e.

Como 3eα = é falso e “β ou δ são iguais a 3 e” é verdadeiro, a condicional é

verdadeira (linha 3 da tabela-verdade), fato que está de acordo com a informação da questão de que todas as afirmações são verdadeiras. GABARITO: D 34- Considere as inequações dadas por:

2( ) 2 1 0f x x x= − + ≤ e 2( ) 2 3 2 0g x x x= − + + ≥ .

Sabendo-se que A é o conjunto solução de f (x) e B o conjunto solução de g(x), então o conjunto Y = A∩B é igual a:

a) 1

{ | 2}2

Y x x−

= ∈ < ≤�

b) 1

{ | 2}2

Y x x−

= ∈ ≤ ≤�

c) { | 1}Y x x= ∈ =�

d) { | 0}Y x x= ∈ ≥�

e) { | 0}Y x x= ∈ ≤�

Resolução

1. 2( ) 2 1 0f x x x= − + ≤

Calculando as raízes da equação: f(x) = x2 – 2x + 1 = 0 � (x – 1)2 = 0 (repare que (x – 1).(x – 1) = x2 – x – x + 1 = x2 – 2x + 1) � x = 1 (raiz dupla). Portanto, esta equação nunca é menor que zero,

mas será igual a zero em x = 1. Veja o gráfico:

2( ) 2 1 0f x x x= − + ≤ => A = {1}.

Repare que poderíamos parar por aqui, pois queremos a interseção de A com B e, como A só possui um elemento (1), ou a interseção será um conjunto vazio (não há alternativa) ou será {1} (alternativa “c”).

x

y

1


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Somente para conferir vamos determinar o conjunto B:

2. 2( ) 2 3 2 0g x x x= − + + ≥

Calculando as raízes da equação: -2x2 + 3x + 2 = 0 a = -2, b = 3 e c = 2

22 3 3 4.( 2).24 3 9 16 3 52 42.( 2) 4

b b acx

a

− ± − −− ± − − ± + − ±= = = =

−− −

Raízes: x = (-3 + 5)/-4 = -1/2 x = (-3 – 5)/-4 = 2 Logo, como a é negativo (-2), o gráfico seria da seguinte forma:

2( ) 2 3 2 0g x x x= − + + ≥ => B = 1

{ | 2}2

x x−

∈ ≤ ≤�

Y = A∩∩∩∩B = 1 => { | 1}Y x x= ∈ =� GABARITO: C 35- Em uma repartição, 3/5 do total dos funcionários são concursados, 1/3 do total dos funcionários são mulheres e as mulheres concursadas correspondem a 1/4 do total dos funcionários dessa repartição. Assim, qual entre as opções abaixo, é o valor mais próximo da porcentagem do total dos funcionários dessa repartição que são homens não concursados? a) 21% b) 19% c) 42% d) 56% e) 32%

x

g

-1/2 2


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Resolução Supondo que o número de funcionários da repartição seja igual a 300 (para facilitar as contas na hora da divisão por 3, por 4 e por 5). Mulheres = (1/3) x Total de Funcionários = (1/3) x 300 = 100 Homens = Total de Funcionários – Mulheres = 300 – 100 = 200 Funcionários Concursados = (3/5) x 300 = 3 x 60 = 180 Mulheres Concursadas = (1/4) x Total de Funcionários = (1/4) x 300 = 75 Homens Concursados = Funcionários Concursados – Mulheres Concursadas =>

� Homens Concursados = 180 – 75 = 105 Homens Não Concursados = Homens – Homens Concursados =>

� Homens Não Concursados = 200 – 105 = 95 Percentual (Homens Não Concursados) = 95/Total de Funcionários =>

� Percentual (Homens Não Concursados) = 95/300 => � Percentual (Homens Não Concursados) = 0,31667 � Percentual (Homens Não Concursados) = 31,67% ≈32%

GABARITO: E 36- Um projétil é lançado com um ângulo de 30º em relação a um plano horizontal. Considerando que a sua trajetória inicial pode ser aproximada por uma linha reta e que sua velocidade média, nos cinco primeiros segundos, é de 900km/h, a que altura em relação ao ponto de lançamento este projétil estará exatamente cinco segundos após o lançamento? a) 0,333 km b) 0,625 km c) 0,5 km d) 1,3 km e) 1 km Resolução A questão estabelece que a trajetória inicial pode ser aproximada por uma linha reta. Portanto, inicialmente, vamos determinar quanto que o projétil percorreu em 5 segundos: Velocidade Média = 900 km/h Fazendo uma regra de três: 900 km ===== 1 hora = 60 minutos = 60 x 60 = 3.600 segundos Distância ===== 5 segundos Distância x 3.600 = 900 x 5 => Distância = (900 x 5)/3.600 = 1,25 km


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Contudo, a trajetória do projétil forma um ângulo de 30º em relação ao plano horizontal. Portanto, temos o triângulo retângulo abaixo: A questão pede a altura (h) que o projétil estará a 5 segundos do lançamento. Das relações trigonométricas, temos: Seno 30º = Cateto Oposto/Hipotenusa = h/1,25 (I) Seno 30º = 1/2 (II) h/1,25 = 1/2 => h = 1,25/2 = 0,625 km GABARITO: B 37- Com relação ao sistema ,

1

2 11

3 2 2

x y z

x y z

z x y

+ + =

− += =

+ +

onde 3 z + 2 ≠ 0 e 2 x + y ≠ 0 , pode-se, com certeza, afirmar que:

a) é impossível. b) é indeterminado. c) possui determinante igual a 4. d) possui apenas a solução trivial. e) é homogêneo. Resolução Temos um sistema de três equações e três incógnitas:

1

21 2 3 2 2 3 2

3 21

1 1 2 2 12

x y z

x yx y z x y z

zz

z x y x y zx y

+ + =

−= ⇒ − = + ⇒ − − =

+

+= ⇒ + = + ⇒ + − =

+

30º

1,25 h


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Sistema: x + y + z = 1 2x – y – 3z = 2 2x + y – z = 1 Calculando o determinante formado pelos coeficientes de x, y e z:

1 1 1

2 1 3 ( 1).( 1).1 1.( 3).2 1.2.1 1.( 1).2 2.1.( 1) 1.1.( 3)

2 1 1

1 1 1

2 1 3 1 6 2 2 2 3 4

2 1 1

D

D

= − − = − − + − + − − − − − −

−

= − − = − + + + + =

−

(alternativa “c”) Análise de um sistema

1) Sistema possível e determinado: D ≠ 0 (uma única solução) 2) Possível e indeterminado: se D = 0 e todos os determinantes Dx, Dy e Dz

forem iguais a zero. 3) Impossível: D = 0 e (Dx ou Dy ou Dz) forem diferentes de zero.

Logo, como D ≠ 0, o sistema é possível e determinado. Com isso, eliminamos as alternativas “a” e “b”. A solução trivial seria: x = y = z = 0, que não é solução do sistema. Logo, o sistema não possui a solução trivial. Sistema linear Homogêneo: os termos independentes de todas as equações são nulos. Todo sistema linear homogêneo admite pelo menos a solução trivial, que é a solução identicamente nula. No caso no sistema da questão, os termos independentes não são nulos. Portanto, eliminamos a alternativa “e”. GABARITO: C 38- Considere uma esfera, um cone, um cubo e uma pirâmide. A esfera mais o cubo pesam o mesmo que o cone. A esfera pesa o mesmo que o cubo mais a pirâmide. Considerando ainda que dois cones pesariam o mesmo que três pirâmides, quantos cubos pesa a esfera? a) 4 b) 5 c) 3 d) 2 e) 1


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Resolução Peso da Esfera = Pe Peso do Cubo = Pcb Peso do Cone = Pcn Peso da Pirâmide = Pp Pe + Pcb = Pcn (I) Pe = Pcb + Pp => Pp = Pe – Pcb (II) 2.Pcn = 3.Pp (III) Substituindo (II) em (III): 2.Pcn = 3.(Pe – Pcb) => Pcn = (3/2).(Pe – Pcb) =>

� Pcn = 1,5.(Pe – Pcb) (IV) Substituindo (IV) em (I): Pe + Pcb = 1,5.(Pe – Pcb) =>

� Pe + Pcb = 1,5.Pe – 1,5.Pcb => � 1,5.Pe – Pe = Pcb + 1,5.Pcb => � 0,5.Pe = 2,5.Pcb => Pe = 5.Pcb

GABARITO: B 39- Se um polinômio f for divisível separadamente por (x – a) e (x – b) com a ≠ b, então f é divisível pelo produto entre (x – a) e (x – b). Sabendo-se que 5 e -2 são os restos da divisão de um polinômio f por (x - 1) e (x + 3), respectivamente, então o resto da divisão desse polinômio pelo produto dado por (x - 1) e (x + 3) é igual a:

a) 13 74 4

x+

b) 7 134 4

x−

c) 7 134 4

x+

d) 13 134 4

x−

−

e) 13 74 4

x−

−

Resolução Se 5 é o resto da divisão de f por (x – 1) => f(1) = 5 Se -2 é o resto da divisão de f por (x + 3) => f(-3) = -2


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Se o resto da divisão do polinômio f pelo produto (x – 1).(x + 3) será dado por ax + b. Substituindo por x = 1 e x = -3, temos: a + b = 5 => a = 5 – b (I) -3a + b = -2 (II) Substituindo (I) em (II): -3.(5 – b) + b = -2 => -15 + 3b + b = -2 =>

� 4b = 13 => b = 13/4 (IV) Substituindo (IV) em (I): a = 5 – 13/4 = (20 – 13)/4 = 7/4

Portanto, o resto da divisão seria: 7 134 4

x+

GABARITO: C 40- Sabe-se que os pontos A,B,C, D, E, F e G são coplanares, ou seja, estão localizados no mesmo plano. Sabe-se, também, que destes sete pontos, quatro são colineares, ou seja, estão numa mesma reta. Assim, o número de retas que ficam determinadas por estes sete pontos é igual a: a) 16 b) 28 c) 15 d) 24 e) 32 Resolução A,B,C, D, E, F e G são coplanares => estão no mesmo plano 4 destes pontos são colineares => estão numa mesma reta I – Total de Retas Possíveis: combinação de 7 pontos, tomados 2 a 2.

7,2

7! 7! 7.6.5! 7.621

2!.(7 2)! 2!.5! 2.1.5! 2C = = = = =

−

II – Total de Retas formadas pelos 4 pontos colineares:

4,2

4! 4! 4.3.2! 4.36

2!.(4 2)! 2!.2! 2.1.2! 2C = = = = =

−

III – Número de Retas (N) determinadas pelos 7 pontos: N = C7,2 – C4,2 + 1 (reta formada pelo 4 pontos colineares) = 21 – 6 + 1 => => N = 16 GABARITO: A Moraes Junior [email protected]

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