Raciocínio Lógico

Assuntos abordados neste slide:Analise combinatória: Principio de contagem Fatorial ARRANJO SIMPLES PERMUTAÇÃO SIMPLES COMBINAÇÃO SIMPLES. PERMUTAÇÕES COM ELEMENTOS REPETIDOS PERMUTAÇÕESCIRCULARES Exercícios.

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Analise Combinatória

Olá nesta aula veremos as características da analise combinatória envolvendo alguns probleminhas que podemos resolver através deste conceito matemático.Desde de cedo você aprende a contar,então você já sabe combinatória basta apenas relembrar o assunto,certo?

Vamos lá!

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Problemas de contagemUm probleminha que surge logo quando você vai calcular algum problema de combinatória é quando somar? ou quando multiplicar?Veja o quadro abaixo:

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Soma (+) Principio aditivo

Multiplicar (*) Princípio

Mulplicativo ou Teorema

Fundamental de contagem

Divisão em casos do problema -Ideia do

OU

Decisões em sequência do

problema -Ideia do E

Problemas 1: Eu tenho: 4 uva e 3 pera,resolva minhas duvidas!

1º problema:De quantas maneiras eu posso escolher uma fruta.Veja que se formos falar o problema falaríamos assim:”1 uva ou 1 pera?”Olha a ideia do “ou” então: (divide em casos), Caso seja uva é 4 + 3 pera= 7 possibilidades de frutas

2º problema:De quantas maneiras eu posso escolher 1 uva e 1 pera.Você viu o “e” então sem duvida estamos diante de (decisões em sequencias).1 uva e 1 pera então:4*3=12 maneiras.

Obs.:As multiplicações decorre de uma soma.

Suponha que você tenha escolhido a uva 1 e depois você precisa escolher uma pera,da forma quando dividiremos em casos ou "soma",veja como fica abaixo:

U1:pA,pB,pC 3 opções- U2:pA,pB,pC 3 opções- U3:pA,pB,pC 3 opções- U4:pA,pB,pC 3 opções então decorre que 3+3+3+3=12 possibilidades diferentes que é o mesmo no multiplicativo 4*3=12 possibilidade.

E ai você pode fazer das 2 maneiras basta escolher aquela que pra você é a mais fácil.

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Raciocínio LógicoProblema 2: Quando o problema pedi para resolvermos o caso sem repetir nenhum elemento do problema,estamos diante de um problema com possibilidades distintas. Se ligue sempre quando aparecer a palavra “distintos”,assim fica fácil saber o que deve aplicar.

Ex:Quantas placas de veículos podem ser criadas,se forem usadas 2 letras de um alfabeto de 26 letras,seguidas por 4 algarismos?

26 25 10 9 8 7 Possibilidades

Logo:26*25*10*9*8*7= 3.276.000 possibilidades Obs.:Não há necessidade de se calcular quando o resultado for grande assim ,basta simplificar quando possível em forma de potencia.

Letras Algarismos

1ª

1ª2ª

2ª

3ª

4ª

FatorialQuando nos deparamos com problemas,tais que a contagem fica assim:3*2*1=6 ou seja é o resultado de sucessivos cálculos de números naturais,estamos diante de um numero fatorial ,que se escreve assim (n!).

Ex: De quantas maneiras podemos organizar 7 alunos em uma fila?

Pelo principio da contagem pode ser:1º ,2º 3º...7º ou 7º,6º,5º...1º ,na verdade a ordem não importa e se repetir ou não também não vem ao caso,então podemos calcular assim:

7! (lê-se 7 fatorial)=7*6*5*4*3*2*1=5.040 maneiras Blz!

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ARRANJO SIMPLESAgora galera,veremos formulas para se resolver problemas de analise combinatória de forma rápida e precisa,levando em consideração a não repetição de elementos.Vamos lá!

A ordem importa {A,B,C} diferente de {B, A, C}Formula:

Onde:A= arranjoP=partes ou grupos;N=total de elementos.

Obs1. Tanto o arranjo como a combinação são agrupamentos de K elementos distintos escolhidos a partir de um conjunto de n elementos. A diferença é que, no arranjo, se mudarmos a ordem dos elementos de certo agrupamento, obteremos um novo agrupamento; na combinação, mudando a ordem dos elementos de certo agrupamento, obteremos o mesmo agrupamento.

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A n,p = n! / (n-p)!

Ex:1) Uma corrida (torneio) é disputada por 4 atletas. Quantos

são os possíveis resultados para os três primeiros lugares (ouro, prata e bronze)?

Resp. N=4 e P= 3, A 4,3 = 4.3.2 => A 4,3 = 24

2) Quantas comissões de 3 elementos podemos formar dispondo de 6 elementos, sendo que um deve ser presidente, outro tesoureiro e outro deve ser secretário?

Resp.N=4 e P=3, A 6, 3 = 6.5.4 = 120 comissões

Obs.:Lembre-se sempre que (N )será o numero total de elementos e (P ) será as posições ou agrupamentos que queremos formar.

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PERMUTAÇÃO SIMPLESPERMUTAÇÃO SIMPLES (a ordem importa) – Chama-se

permutação simples de n elementos qualquer o arranjo simples desses n elementos tomados n a n.

Formula:Exemplos.P=permutação;N=Numero total de elementos.

1) Quantos são o anagrama da palavra livro.Resp. P5 = 5! = 5.4.3.2.1 = 1202) De quantas maneiras podemos arrumar 20 livros numa

prateleira de uma estante?Resp. P 20 = 20!

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P n = n!

COMBINAÇÃO SIMPLESA ordem não importa.

Formula:Exemplos.1) De um grupo de 5 mesa tenistas três serão escolhidos

para representar o Brasil. Quantos trios podemos formar? Solução: 5.4.3/3! = 10

2) Quantas cores podemos conseguir a partir das três cores fundamentais, combinadas(misturadas) duas a duas? Resp. C3,2 = 3

3) Quantas combinações alimentares podemos fazer com 7 alimentos se só devemos associar três em cada refeição? Resp. C7,2 = 7! / (73)! 3! = 35

4) De um grupo de 10 tenistas dois serão escolhidos para disputar um torneio de duplas. Quantas duplas podem ser formadas? Resp. C10,2 = 45 duplas

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C n,p = n! / (n-p)!*p!

Agora veremos exemplos de formulas onde a repetição é permitida.

PERMUTAÇÕES COM ELEMENTOS REPETIDOS

De modo geral, se temos n elementos, dos quais n1 são iguais a a1 (a1 representa, por exemplo uma letra), n2 são iguais a a2 (a2 representa outra letra), n3 são iguais a a3,...,nr são iguais a ar, o número de permutações possíveis é dado por:

Formula:Exemplos1) Quantos são os anagramas da palavra PARAÍBA.Solução: Se as

letras fossem diferentes a resposta seria 7!. Como as três letras “A” são iguias, quando trocamos entre si obtemos o mesmo anagrama e não um anagrama distinto, o que aconteceria se fossem diferentes. Isso faz com que na nossa contagem de 7! tenhamos contado o mesmo anagrama várias vezes, 3! Vezes precisamente, pois há 3! modos de trocar as letras “A” entre si. A resposta é 7!/3! = 840

2) Quantos são os anagramas da palavra PASSARELA? Solução: P(9;3,2) = 9! / 3!.2!

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P(n; n1,n2,...,nr) = n! / n1!.n2!....nr!

PERMUTAÇÕESCIRCULARESQuando elementos são dispostos ao redor de um círculo, a

cada disposição possível chamamos de permutação circular. Além disso, duas permutações circulares são consideradas idênticas se, e somente se, quando percorremos a circunferência no sentido anti horário (ou horário) a partir de um mesmo elemento das duas permutações, encontramos elementos que formam sequencias iguais.

Fórmula:Exemplos.1) Quantos colares podemos formar usando quatro contas,

todas diferentes?Solução: Pc(4) = (41)! = 6.2) De quantas formas 5 pessoas podem sentar ao redor de

uma mesa circular?Solução: Pc(5) = (51)! = 24.

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P c(n) = n! / n = (n-1)!

Permutação circularRaciocínio

1. Primeiro formamos o círculo com, por exemplo, 4 elementos.

2. Depois percorremos o círculo num sentido (horário ou anti horário, tanto faz), até completarmos uma volta. Após estes quatro passos(para o caso específico do nosso exemplo) iremos obter o mesmo resultado, pois os consecutivos serão os mesmos. Cuidado, não basta que os vizinhos da esquerda e da direita sejam os mesmos, os consecutivos é que deverão ser os mesmos.

3. Na operação 2 podemos associar a cada passo uma permutação em linha. No caso, 4 permutações em linha irão corresponder a somente uma permutação circular.

4. Em função de 2, podemos estabelecer a seguinte regra de três:: 4 (permutações em linha) está para 1 (permutação circular) assim como 4! está para x. Resolvendo, temos: x = 4! / 4 = (41)! Generalizando temos: Pc = (n1)!

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01) Com 5 homens e 5 mulheres, de quantos modos se pode formar um casal?

R: 25

Exercitando

02) Uma bandeira é formada por 7 listras que devem ser coloridas usando apenas as cores verde, azul e cinza. Se cada listra deve ter apenas uma cor e não se pode usar cores iguais em listras adjacentes, de quantos modos se pode colorir a bandeira?

R: 192

03) Quantos são os números de três dígitos distintos?

R: 9x9x8=648

04) O código Morse usa duas letras, ponto e traço, e as palavras

têm de 1 a 4 letras. Quantas são as palavras do código Morse?

R: 2+4+8+16=30

05) a) Quantos divisores inteiros e positivos possui o número 360?

b) Quantos desses divisores são pares?c) Quantos são ímpares?d) Quantos são quadrados perfeitos?

R: a) 24 b) 18 c) 6 d) 4

06) Quantos são os números pares de três dígitos distintos?

R: 72+256=328

07) a) Quantos são os anagramas da palavra “calor”?

b) Quantos começam por consoante?

R: a) 5!=120 b) 3x4!=72

08) De quantos modos podemos arrumar em fila 5 livros diferentes de Matemática, 3 livros diferentes de Estatística e 2 livros diferentes de Física, de modo que livros de uma mesma matéria permaneçam juntos?

R: 3!5!3!2!=8640

09) Quantos são os anagramas da palavra BOTAFOGO?

R:8!/3!=6720

10) De quantos modos podemos dividir 8 objetos em um grupo de 5 objetos e um de 3 objetos?

R: 8!/(5!3!)=56

11) De quantos modos 5 crianças podem formar uma roda de ciranda?

R: 120/5=24

12-(UFSCar SP-07) Um encontro científico conta com a participação de pesquisadores de três áreas, sendo eles: 7 químicos, 5 físicos e 4 matemáticos. No encerramento do encontro, o grupo decidiu formar uma comissão de dois cientistas para representá-lo em um congresso. Tendo sido estabelecido que a dupla deveria ser formada por cientistas de áreas diferentes, o total de duplas distintas que podem representar o grupo no congresso é igual a:

a) 46.b) 59.c) 77.d) 83.e) 91.

Resp:D

13-(Mackenzie SP-07) Em uma sala de aula há 25 alunos, quatro deles considerados gênios. O número de grupos, com três alunos, que pode ser formado, incluindo pelo menos um dos gênios, é:

a) 580b) 1200c) 970d) 1050e) 780

Resp:C

14-(UFF RJ-07) Hoje em dia, é possível realizar diversas operações bancárias a partir de um computador pessoal ligado à Internet. Para esse acesso, o cliente de determinado banco, após digitar o número de sua agência e conta corrente, deverá introduzir uma senha de quatro dígitos a partir de um teclado virtual como o da figura. Para inserir um dígito da senha da sua conta corrente, o cliente deste banco deve clicar em um dos quatro botões indicados pela inscrição “clique aqui”; isto é, para inserir o dígito 4, por exemplo, pode-se clicar no botão “clique aqui” situado abaixo dos dígitos “0, 4 ou 7” ou naquele situado abaixo dos dígitos “2, 4 ou 8”.

Pode-se afirmar que o número total de senhas compostas por quatro dígitos distintos que estão associadas à sequencia de “cliques”, primeiro, no botão correspondente aos dígitos 1, 5 ou 8; depois, no botão correspondente aos dígitos 0, 4 ou 7; novamente no botão correspondente aos dígitos 1, 5 ou 8 e, por último, no botão correspondente aos dígitos 0, 4 ou 7, é igual a:

a) 12 b) 24 c) 36 d) 54 e) 81 Resp:C

15-(UEPB PB-06) O número de triângulos que podemos obter à partir dos 8 pontos distintos distribuídos pela circunferência abaixo, é igual a:

a) 56b) 28c) 14d) 24e) 48

Resp :A

Bosquilha ,Alessandra.Minimanual compacto de matemática:teoria e pratica:ensino médio/Alessandra Bosquilha,Marlene Lima Pires Corrêa,Tânia Cristina Neto,G viveiro.---2 ª edição.rev.---São Paulo :Editora Rideel.

Referências