Raciocinio Logico - Aula 05

7/30/2019 Raciocinio Logico - Aula 05

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RACIOCNIO LGICO-QUANTITATIVOPROFESSORA: KARINE WALDRICH

1. Aula 8: Estruturas Lgicas. Lgica de Argumentao. DiagramasLgicos...................................................................................... 2

2. Memorex ............................................................................. 74

3. Lista das Questes Comentadas.... Erro! Indicador no definido.

4. Gabarito .................................... Erro! Indicador no definido.

AULA 5


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Prof. Karine Waldrich www.pontodosconcursos.com.br 2

1. Aula 5: Estruturas Lgicas. Lgica de Argumentao. DiagramasLgicos.

Bom dia, pessoal.

Hoje teremos nossa 5a aula, de Lgica.

Lgica um assunto muito cobrado pela ESAF. Ela, inclusive, utilizaproposies como forma para cobrar outros assuntos do edital, como lgebra,Geometria... Vocs vero nos exerccios.

Por hora, fiz um pequeno resumo introdutrio. Fixem-no, que ele bemimportante.

Esta a nossa ltima aula. Obrigada pela participao de vocs. Muito sucessona prova da CGU. Qualquer coisa, me escrevam [email protected].

Boa aula.

Conectivo E

Nome: conjunoSmbolo: ^O que significa: a proposio composta s ser verdadeira se ambas asproposies simples forem verdadeiras.

Por exemplo:

A Espanha ganhou a Copa de 2010 ea Holanda ficou em segundo.

Se a primeira proposio (A Espanha ganhou a Copa de 2010) estiver correta,e a segunda (Holanda ficou em segundo) tambm, a proposio toda (a frasetoda) est correta. Seno, ela est errada.

Ou seja, se VeV= V.

Da mesma maneira, se uma das proposies estiverem erradas, a proposiocomposta estar errada. Portanto:

VeF= F

Por exemplo:

O Mano Menezes o tcnico da Seleo Brasileira eo Rogrio Ceni jogadorda Seleo


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PS: o Mano Meneses realmente o tcnico da seleo brasileira, ou seja, aprimeira proposio est correta. Mas o Rogrio Ceni no jogador da SeleoBrasileira, ento a segunda proposio est errada.

Portanto, o valor lgico (a alma da proposio) :

VeF= F

(ou seja, a proposio composta Falsa)

Mais um exemplo:

O Zagallo o tcnico da Seleo Brasileira e o Alexandre Pato jogador da

Seleo.

PS: o Zagallo no o tcnico da seleo brasileira, ou seja, a primeiraproposio est falsa. Mas o Alexandre Pato jogador da Seleo Brasileira,ento a segunda proposio est correta.

Portanto, o valor lgico :

FeV= F

(ou seja, a proposio composta Falsa)

ltimo exemplo:

O Zagallo o tcnico da Seleo Brasileira e o Rogrio Ceni jogador daSeleo

PS: o Zagallo no o tcnico da seleo brasileira, ou seja, a primeiraproposio est falsa. E o Rogrio Ceni no jogador da Seleo Brasileira,ento a segunda proposio tambm est errada.

Portanto, o valor lgico :

FeF= F

Assim, em resumo, o conectivo E se comporta da seguinte forma (a tabelaabaixo conhecida como Tabela-Verdade. No se preocupem com esse nomeagora, mais a frente falarei mais sobre ela):

CONECTIVO E

VeV= VVeF= F


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FeV= FFeF= F

Conectivo Ou

Nome: disjunoSmbolo: vO que significa: Se uma das proposies simples for verdadeira, aproposio composta j ser verdadeira. Dessa forma, ela s ser falsa seambas as proposies simples forem falsas em todos os outros casos, aproposio composta ser sempre verdadeira.

Por exemplo:

O Mano Menezes o tcnico da Seleo Brasileira ou o Alexandre Pato jogador da Seleo.

Valor lgico: VouV

Como falamos, a proposio composta s ser falsa se as duas proposiesestiverem falsas. E, nessa proposio, as duas proposies esto corretas.Portanto, a proposio composta Verdadeira.

Ou seja, se VouV= V.

Da mesma maneira, se uma das proposies estiver correta, a proposiocomposta estar correta. Portanto:

VouF= V

Mais um exemplo: O Mano Menezes o tcnico da Seleo Brasileira ouo

Rogrio Ceni jogador da Seleo

Valor lgico: VouF= V(ou seja, a proposio composta Verdadeira)

Terceiro exemplo: O Zagallo o tcnico da Seleo Brasileira ouo AlexandrePato jogador da Seleo

Valor lgico: FouV= V

(ou seja, a proposio composta Verdadeira)

ltimo exemplo:


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O Zagallo o tcnico da Seleo Brasileira ou o Rogrio Ceni jogador daSeleo

Nesse caso, temos duas proposies falsas. Agora sim, a proposio compostater valor lgico falso (nico caso).

Valor lgico: FouF= F(ou seja, a proposio composta Falsa)

Assim, em resumo, o conectivo OU se comporta da seguinte forma:

CONECTIVO OU

VouV= VVouF= VFouV= VFouF= F

Conectivo Se...Ento

Nome: Condicional

Smbolo: O que significa: A primeira proposio exprime uma condio para asegunda. Se a primeira frase for Verdadeira, ento a segunda tambm deverser. Se a primeira frase for Falsa, ento a condio no se cumpriu, ou seja,tanto faz se a segunda frase for Verdadeira ou Falsa, porque a frase toda serVerdadeira.

Por exemplo:

Se o Mano Menezes o tcnico da Seleo Brasileira ento o Neymar jogador da Seleo.

Valor lgico: Se VentoV= V


Mais um exemplo:

Seo Muricy o tcnico da Seleo Brasileira entoo Rogrio Ceni jogadorda Seleo.

Valor lgico: Se FentoF= V



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E

Se o Muricy o tcnico da Seleo Brasileira ento o Neymar jogador da

Seleo.Valor lgico: Se FentoV= V


Reparem que, se a primeira proposio for falsa, a sentena sersempre verdadeira. Afinal, se o Muricy for o tcnico, ento o RogrioCeni pode ser jogador e o Neymar tambm. Gravem isso: se a primeiaproposio do Se...ento falsa, a sentena como um todo

verdadeira.ltimo exemplo:

Seo Mano Menezes o tcnico da Seleo Brasileira entoo Rogrio Ceni jogador da Seleo.

Valor lgico: Se VentoF= F(ou seja, a proposio composta Falsa)

Esse o caso mais importante, e dele que vocs vo lembrar toda vez quefizerem uma questo sobre o assunto.

A sentena composta Se...ento s falsa se a primeira proposio forverdadeira e a segunda falsa.

Ou seja, para uma sentena composta, cuja primeira proposio verdadeira, ser verdadeira, a segunda proposio deveNECESSARIAMENTE ser verdadeira tambm.

Da mesma forma, se a segunda proposio for falsa, a primeira

proposio dever ser falsa tambm.

Resumindo, a situao Se V ento F PROIBIDA.

Assim, em resumo, a estrutura Se...ento se comporta da seguinte forma:

ESTRUTURA SE...ENTOSe VentoV= VSe VentoF= FSe FentoV= VSe FentoF= V


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Conectivo Se e somente se

Nome: bicondicionalSmbolo:

O que significa: A primeira proposio simples exprime uma condio para asegunda, e a segunda tambm exprime uma condio para a primeira. A frases estar correta se ambas as proposies forem Verdadeiras ou foremFalsas (uma s no vale).

Por exemplo:

O Neymar jogador da Seleo se e somente seo Mano Menezes o tcnicoda Seleo Brasileira

Valor lgico: Vse e somente seV= V(ou seja, a proposio composta Verdadeira)

Mais um exemplo: O Neymar jogador da Seleo se e somente se oMuricy o tcnico da Seleo Brasileira

Valor lgico: Vse e somente seF= F(ou seja, a proposio composta Falsa)

Terceiro exemplo: O Rogrio Ceni jogador da Seleo se e somente seoMano Menezes o tcnico da Seleo Brasileira

Valor lgico: Fse e somente seV= F(ou seja, a proposio composta Falsa)

ltimo exemplo: O Rogrio Ceni jogador da Seleo se e somente se oMuricy o tcnico da Seleo Brasileira

Valor lgico: Fse e somente seF= V(ou seja, a proposio composta Verdadeira)

Assim, em resumo, o conectivo Se e somente se se comporta da seguinteforma:

CONECTIVO SE E SOMENTE SEVse e somente seV= VVse e somente seF= F


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Fse e somente seV= FFse e somente seF= V

Conectivo Ou...Ou

Nome: disjuno exclusivaSmbolo: v

O que significa: Ou um, ou outro. A frase s estar correta se uma dasproposies for Verdadeira e a outra for Falsa (as duas no vale). ocontrrio da estrutura Se e somente se, que vimos acima.

Por exemplo:

Ouo Neymar jogador da Seleo ouo Mano Menezes o tcnico da SeleoBrasileira.

Valor lgico: OuVouV= F(ou seja, a proposio composta Falsa)

Mais um exemplo: Ou O Neymar jogador da Seleo ou o Muricy otcnico da Seleo Brasileira.

Valor lgico: OuVouF= V

(ou seja, a proposio composta Verdadeira)Terceiro exemplo: Ou o Rogrio Ceni jogador da Seleo Ou o ManoMenezes o tcnico da Seleo Brasileira

Valor lgico: OuF ouV= V(ou seja, a proposio composta Verdadeira)

ltimo exemplo: OuO Rogrio Ceni jogador da Seleo Ouo Muricy otcnico da Seleo Brasileira

Valor lgico: OuFOuF= F(ou seja, a proposio composta Falsa)

Assim, em resumo, o conectivo Ou...Ou se se comporta da seguinte forma:

CONECTIVO OU...OUOuVouV= FOuVouF= VOuF ouV= VOuFOuF= F


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Smbolos dos Conectivos

Como vimos, cada conectivo possui um smbolo. Muitas questes usam os

smbolos, ao invs de escreverem por extenso os conectivos.As proposies tambm, so normalmente representadas por letrasminsculas. As mais usadas sop e q.

Por exemplo:

p: Se o Mano Menezes o tcnico da Seleo Brasileiraq: ento o Neymar jogador da Seleo

Vou agrupar os conectivos e seus smbolos na tabela abaixo, para que fiquebem fixado para vocs:

SMBOLOS DOS CONECTIVOS

CONECTIVO SMBOLO EXEMPLOS SIGNIFICADO

E ^ p ^ q

p e q

O Mano Menezes otcnico da Seleo

Brasileira eo Neymar jogador da Seleo

ou v p v q

p ou q


Brasileira ouo Neymar jogador da Seleo

ou... ou V p v q

Ou p ou q

Ouo Mano Menezes otcnico da SeleoBrasileira ouo Neymar jogador da Seleo

Se...ento p q

Se p ento q

Seo Mano Menezes otcnico da SeleoBrasileira entoo

Neymar jogador da

Seleose e somentese

p qp se e somente se q


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Brasileira se esomente seo Neymar

jogador da Seleo

Sugiro que, ao resolverem uma questo, vocs substituam as frases pelossmbolos, para no ter que ficar escrevendo o tempo todo (alm de ajudar amemorizar os smbolos para a prova).

Apelidos dos Conectivos

s vezes, as questes de concursos criam outros nomes para as estruturas quevimos (os conectivos).

Por exemplo, ao invs de usar Se A, ento B, ela usa Quando A, B.

a mesma coisa, basta trocar pelo Se...ento que j conhecemos.

Sintetizei na tabela abaixo os apelidos que j vi serem utilizados em provas.Primeiramente, vamos ver os apelidos do Se...ento.

APELIDOS DA ESTRUTURA SE...ENTOEXEMPLO DEPROPOSIO

EQUIVALENTECOM APELIDO

APELIDOUTILIZADO

Seo Mano Menezes otcnico da Seleo

Brasileira entoo Neymar jogador da Seleo

Seo ManoMenezes otcnico daSeleo

Brasileira, oNeymar

jogador daSeleo

Se... (sem oento)



O Neymar jogador daSeleo,seoMano Menezes o tcnico da

SeleoBrasileira

...se (invertido esem o ento)


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QuandooMano Menezes o tcnico da

Seleo

Brasileira, oNeymar jogador da

Seleo

Quando...



O ManoMenezes ser o

tcnico daSeleo

Brasileiraimplicao

Neymar ir Copa

...implica...



O ManoMenezes ser o

tcnico daSeleo

Brasileira condio

suficienteparao Neymar ir

Copa

...condiosuficiente...



O Neymar ir Copa

condionecessriapara o Mano

Menezes ser otcnico daSeleo

Brasileira.

...condionecessria...


Brasileira se e somenteseo Neymar jogador da

Seleo

O Neymar ir Copa

condionecessria e

suficientepara o Mano

Menezes ser otcnico daSeleo

Brasileira.

...condionecessria esuficiente...


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Esse macete serve para lembrar que, se a frase possui Sol (condiosuficiente) basta substituir diretamente por Se...ento.

No entanto, se for dia de Nuvem (condio necessria), no to simples,deve-se inverter as proposies, para depois substituir pelo Se...ento.

A estrutura Se e somente se tambm possui um apelido:

APELIDO DA ESTRUTURA SE E SOMENTE SEEXEMPLO DEPROPOSIO

EQUIVALENTECOM APELIDO

APELIDOUTILIZADO

O Neymar jogador daSeleo se e somente se

o Mano Menezes otcnico da SeleoBrasileira

O ManoMenezes ser o

tcnico daSeleo

Brasileira condio

necessria esuficiente parao Neymar ir

Copa

Condio

necessria esuficiente

Agora falaremos de um assunto importante, os equivalentes lgicos.

Proposies Equivalentes

Duas proposies so equivalentes quando querem dizer a mesma coisa. Paraficar mais claro, vamos resolver utilizando o conceito das tabelas-verdade.

Condio

Suficiente Dia deSol

Basta substituir

pelo Se...ento

Condio

Necessria Dia deNuvem

Deve-se inverter asproposies primeiro,para depois substituir

pelo Se...ento

MACETE DO SOL E NUVEM


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Tabela-verdade um nome difcil para aqueles esquemas que vimos em cadaEstrutura, do tipo:

ESTRUTURA SE...ENTOSe VentoV= VSe VentoF= FSe FentoV= VSe FentoF= V

Essa a tabela-verdade da Estrutura Se...ento. Ela lista todas aspossibilidades para as proposies com a estrutura.

Sabendo isso, devemos deixar claro que Equivalentes Lgicos so

proposies em que as tabelas-verdade so iguais.

Vamos ver com mais detalhes nas questes. Resumidamente, vou sintetizar asproposies equivalentes na tabela abaixo:

EQUIVALENTES LGICOS

PROPOSIOPROPOSIOEQUIVALENTE

EXEMPLO RESULTADO

CONDICIONAL

Se...ento

p q

~q ~p

( a condicionalcom os termosinvertidos e

negados) Seo ManoMenezes otcnico da

Seleo Brasileiraentoo Neymar

jogador daSeleo

Seo Neymar no

jogador da Seleoentoo ManoMenezes no o

tcnico da SeleoBrasileira.

~p v qq v ~p

( a disjuno

com o primeirotermoda

condicionalnegado)

O Mano Menezes no o tcnico da

Seleo Brasileira ouo Neymar jogador

da Seleo

O Neymar jogadorda Seleo ou o

Mano Menezes no o tcnico da Seleo

Brasileira.

BICONDICIONAL

Se somente se

p q

(p q) ^ (q p)

( a condicionalde idaE a

condicional devolta)

O Mano Menezes o tcnico da

Seleo Brasileirase e somente se

o Neymar jogador daSeleo

Seo Mano Menezes o tcnico da

Seleo Brasileiraentoo Neymar

jogador da Seleo ESe o Neymar

jogador da Seleoento o Mano


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Menezes o tcnicoda Seleo Brasileira

DISJUNOEXCLUSIVA

Ou...Ou...

p v q

p ~q~p q

( abicondicionalcom o um dos

termos negados)

Ouo ManoMenezes otcnico da

Seleo Brasileiraouo Neymar

jogador daSeleo


Brasileira se esomente seoNeymar no

jogador da SeleoO Mano Menezes no

o tcnico daSeleo Brasileira se

e somente seoNeymar jogador da

Seleo

Negao de proposies

Negar uma proposio inverter o seu sentido. Falando em termos de tabela-verdade, uma proposio negao de outra quando suas tabelas-verdadeforem opostas (o que Verdadeiro em uma, Falso em outra, e vice-versa).

Sintetizei as negaes na tabela abaixo. Veremos como funciona na prticadurante os exerccios comentados.

NEGAO DE PROPOSIES COMPOSTAS

NEGAO EXEMPLOCOMO FAZER

(Passo-a-passo)RESULTADO

Negao deconjuno

=

~(p ^ q)

Negao de (OMano Menezes otcnico da Seleo

Brasileira eoNeymar jogador

da Seleo)

OBS: existemduas maneiras de

se negar umaconjuno. Na

primeira, forma-se

Para se formar umadisjuno:

1: Negara primeira(p)

2: Negara segunda(q)

3: Trocar o e por ou


Seleo Brasileira ouo Neymar no

jogador da Seleo

=

~p v ~q


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uma disjuno (pOU q). Na

segunda, forma-seuma condicional

(se p, ento q).

Para se formar umacondicional:

1: Mantera primeira(p)


3: Trocar o e por

Seo Mano Menezes o tcnico da

Seleo Brasileira

entoo Neymar no jogador da Seleo

=

p ~q

Negao de

disjuno

=

~(p v q)

Negao de (O

Mano Menezes otcnico da Seleo

Brasileira ouoNeymar jogador

da Seleo)

1: Negara primeira(p)2: Negara segunda

(q)3: Trocar o ou por e


Seleo Brasileira ouo Neymar no jogador da Seleo

=

~p ^ ~q

Negao dedisjuno

exclusiva

=

~(p v q)

Negao de (OuoMano Menezes otcnico da Seleo

Brasileira ouoNeymar jogador

da Seleo)

1: Substituir o v por

OBS: vocs se lembramque j vimos isso,

quando falamos sobre oconectivo Se e somente

se?


Brasileira se esomente seo

Neymar jogador daSeleo

=

p q

Negao decondicional

=

~(p q)

Negao de (SeoMano Menezes o

tcnico da SeleoBrasileira entooNeymar jogador

da Seleo)

1: Mantera primeira(p)


3: Trocar o por e


Brasileira eoNeymar no

jogador da Seleo

=

p ^ ~q

Negao debicondicion

al

=~(p q)

Negao de (OMano Menezes otcnico da Seleo

Brasileira se e

somente seoNeymar jogadorda Seleo)

1: Substituir o porv

OBS: reparem queestamos fazendo o

inverso do que fizemosacima (na negao dadisjuno exclusiva)

Ouo Mano Menezes o tcnico da

Seleo Brasileira ouo Neymar jogador

da Seleo

=


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p v q

Muitas vezes, as questes propem negaes de expresses matemticas.

Veja abaixo como elas ocorrem:

Expresso Negao Exemplo= ~(x = 7) = x 7

= ~(x 7) = x = 7

< ~(x 7) = x < 7

> ~(x > 7) = x 7

> ~(x 7) = x < 7

< ~(x < 7) = x 7

Veremos mais sobre isso nos exerccios.

Tautologia e Contradio

A Tautologia e a Contradio so nomes dados quando:

Tautologia: a tabela-verdade da proposio possui todas as linhas iguais a V.

Por exemplo, vejam a proposio [B]v{[B]A} (OBS: (cantoneira)significa o mesmo que o ~, ou seja, negao):

A B ~B {[B]A} [B]v{[B]A}

V V F V VV F V V VF V F V VF F V F V

Contradio: a tabela-verdade da proposio possui todas as linhas iguais aF.

Por exemplo, vejam a proposio ~[p v ~(p ^ q)]:

p q p ^ q ~(p ^ q) p v ~(p ^ q) ~[p v ~(p ^ q)]V V V F V FV F F V V FF V F V V FF F F V V F


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2. Questes comentadas.

Questo 2 ESAF/Ministrio da Fazenda/ATA/2009

Entre os membros de uma famlia existe o seguinte arranjo: Se Mrciovai ao shopping, Marta fica em casa. Se Marta fica em casa, Martinhovai ao shopping. Se Martinho vai ao shopping, Mrio fica em casa.Dessa maneira, se Mrio foi ao shopping, pode-se afirmar que:

a) Marta ficou em casa.b) Martinho foi ao shopping.c) Mrcio no foi ao shopping e Marta no ficou em casa.d) Mrcio e Martinho foram ao shopping.e) Mrcio no foi ao shopping e Martinho foi ao shopping.

Antes de qualquer coisa, vou deixar claro um conhecimento que usaremosdurante toda a aula.

Uma das afirmaes do enunciado a seguinte:

Essa afirmao (como todas as outras semelhantes) pode ser dividida da

seguinte forma:

PROPOSIO SIMPLES 1 PROPOSIO SIMPLES 2

PROPOSIO COMPOSTA OU SENTENA COMPOSTA

Quando eu disser proposio 1, primeira proposio, estarei me referindo proposio inicial comeada em Se. Da mesma forma, se eu disser

proposio 2, segunda proposio, estarei me referindo proposio final,que pode ou no comear com ento (no caso desta questo, no comea).

A sentena ou proposio composta a frase como um todo, ligada por umaEstrutura Lgica, o conectivo Se...ento.

Se voc souber muito bem como funciona a estrutura Se...ento, tem grandeschances de acertar algumas questes de qualquer prova de Lgica.

Se Mrcio vai ao shopping, Marta fica em casa.



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A chave para resolver esse tipo de questo procurar uma afirmao comvalor lgico conhecido. Uma afirmao sem conectivos, que traga algumainformao do que considerado Verdadeiro pela questo.

Essa afirmao, s vezes, fornecida sutilmente, sem que percebamos.Reparem na seguinte afirmao do enunciado: Dessa maneira, se Mrio foiao shopping, pode-se afirmar que...

dada uma informao absoluta: Mrio foi ao shopping e pronto. No hnenhuma condio.

Dessa forma, j sabemos, pelo enunciado, que Mrio foi ao shopping. Agora,utilizamos os conhecimentos da estrutura Se...ento para descobrir as

verdades sobre as outras afirmaes. Fazemos isso colocando um V ou umF em cima das sentenas.

Mrio foi ao shopping, ento sabemos que o valor lgico dessa afirmao verdadeiro. Reparem que a terceira sentena possuiu a informao de queMrio ficou em casa, estando, portanto, falsa.

J sabemos que proposies com conectivo Se...ento..., quando asegunda proposio falsa, a primeira falsa tambm. Completando:


Se Marta fica em casa, Martinho vai ao shopping.

Se Martinho vai ao shopping, Mrio fica em casa.

Mrio foi ao shopping.





F

F

V

F


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Podemos completar tambm a segunda assertiva, que diz (falsamente, comosabemos) que Martinho foi ao shopping. E o mesmo acontece: segunda

proposio falsa com conectivo Se...ento..., significa primeira proposiofalsa, logo, Marta no ficou em casa. Podemos completar tambm a primeirafrase, e o esquema se repete. Ficamos com todas essas assertivas falsas.

Agora podemos avaliar as alternativas?

a) Marta ficou em casa. (Falso, Marta no ficou em casa)

b) Martinho foi ao shopping. (Falso, Martinho no foi ao shopping)c) Mrcio no foi ao shopping e Marta no ficou em casa. (Verdadeiro)

d) Mrcio e Martinho foram ao shopping. (Falso, ambos ficaram em casa)

e) Mrcio no foi ao shopping e Martinho foi ao shopping. (Falso, ambosficaram em casa)

Resposta: Letra C.

Questo 2 ESAF/ANA/Comum a todos os cargos/2009

Determinado rio passa pelas cidades A, B e C. Se chove em A, o riotransborda. Se chove em B, o rio transborda e, se chove em C, o rionao transborda. Se o rio transbordou, pode-se afirmar que:a) choveu em A e choveu em B.b) nao choveu em C.c) choveu em A ou choveu em B.d) choveu em C.

e) choveu em A.

Vejam que a questo igual anterior.





F

V

F

FF

F F


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Temos as seguintes afirmaes:

1)Se chove em A, o rio transborda.2)Se chove em B, o rio transborda e,

3)se chove em C, o rio no transborda.

4)Se o rio transbordou, pode-se afirmar que:

J sabemos que a frase que ir nos ajudar a resolver a questo a quarta

frase, que afirma, categoricamente, que o rio transbordou.Ento, sobre as proposies simples que afirmam que o rio transbordou,marcamos um V. E sobre as proposies simples que afirmam que o rio notransbordou, marcamos um F:

V1)Se chove em A, o rio transborda.

i. V2)Se chove em B, o rio transborda e,

F3)se chove em C, o rio nao transborda.

V4)Se o rio transbordou, pode-se afirmar que:

J sabemos que o caso proibido a proposio Se V ento F.

Reparem, na 3a proposio, que se chove em C for Verdadeiro, temos o casoproibido Se V ento F. Ento, se chove em C tem que ser Falso:

V1)Se chove em A, o rio transborda.

V2)Se chove em B, o rio transborda e,

F F3)se chove em C, o rio no transborda.

V4)Se o rio transbordou, pode-se afirmar que:

Assim, as duas nicas proposies que no sabemos se so Verdadeiras ou

Falsas so as proposies Chove em A e Chove em B.


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Se a proposio Chove em A for Verdadeira, teremos Se V ento V, que Verdadeira. J se Chove em A for Falsa, teremos Se F ento V, que tambm Verdadeira.

O mesmo ocorre com Chove em B. Se a proposio Chove em B forVerdadeira, teremos Se V ento V, que Verdadeira. J se Chove em B forFalsa, teremos Se F ento V, que tambm Verdadeira.

Ou seja, no temos como afirmar se choveu em A, em B ou nas duas. A nicacoisa que podemos afirmar com certeza que no choveu em C.

Analisando as alternativas de resposta:

a) choveu em A e choveu em B. No podemos afirmar que choveu em A e

em B, ao mesmo tempo. Falso.b) nao choveu em C. Realmente, no choveu em C. Verdadeiro.

c) choveu em A ou choveu em B. No podemos afirmar que choveu em Aou em B. Pode no ter chovido em nenhuma das duas e o rio ter transbordadomesmo assim. No sabemos. A nica coisa que sabemos que Falsa quechoveu em C.

d) choveu em C. Falso. No choveu em C.

e) choveu em A. Falso. No sabemos se choveu em A ou no.

Resposta: Letra B.

Questo 3 ESAF/SEFAZ-SP/APOFP/2009

Se Maria vai ao cinema, Pedro ou Paulo vo ao cinema. Se Paulo vai aocinema, Teresa e Joana vo ao cinema. Se Pedro vai ao cinema, Teresae Ana vo ao cinema. Se Tereza no foi ao cinema, pode-se afirmarque:

a) Ana no foi ao cinema.b) Paulo no foi ao cinema.c) Pedro no foi ao cinema.d) Maria no foi ao cinema.e) Joana no foi ao cinema.

Mais uma questo como as anteriores. Essa questo foi anulada, mas fareimesmo assim para vocs verem.

Temos as seguintes afirmaes:

1)Se Maria vai ao cinema, Pedro ou Paulo vo ao cinema.


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2)Se Paulo vai ao cinema, Teresa e Joana vo ao cinema.

3)Se Pedro vai ao cinema, Teresa e Ana vo ao cinema.

4)Se Teresa no foi ao cinema, pode-se afirmar que:

Pela ltima afirmao, a questo afirma, categoricamente, que Teresa no foiao cinema.

Na segunda e na terceira afirmaes, dito que Teresa vai ao cinema (ou comJoana, ou com Ana).

J sabemos que a proposio E s Verdadeira se ambas as proposies

compostas que a formam forem Verdadeiras. Assim, as proposies Teresa eJoana vo ao cinema e Teresa e Ana vo ao cinema so Falsas, porquesabemos que Teresa no foi ao cinema.

Assim, completando:

1)Se Maria vai ao cinema, Pedro ou Paulo vo ao cinema.F

2)Se Paulo vai ao cinema, Teresa e Joana vo ao cinema.F

3)Se Pedro vai ao cinema, Teresa e Ana vo ao cinema.V


Percebam, agora, o caso proibido na segunda e na terceira afirmaes.

Se Paulo vai ao cinema for Verdadeiro, teremos Se V ento F, caso proibido.Ou seja, Paulo vai ao cinema deve ser, obrigatoriamente, Falso.

O mesmo ocorre com Pedro vai ao cinema. Se Pedro vai ao cinema for

Verdadeiro, teremos Se V ento F, caso proibido. Ou seja, Pedro vai aocinema deve ser, obrigatoriamente, Falso.

Assim:

1)Se Maria vai ao cinema, Pedro ou Paulo vo ao cinema.F F

2)Se Paulo vai ao cinema, Teresa e Joana vo ao cinema.F F

3)Se Pedro vai ao cinema, Teresa e Ana vo ao cinema.V4)Se Teresa no foi ao cinema, pode-se afirmar que:


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J sabemos que nem Paulo nem Pedro vo ao cinema. Assim, a proposio

Pedro ou Paulo vo ao cinema, da primeira afirmao, Falsa.

F1)Se Maria vai ao cinema, Pedro ou Paulo vo ao cinema.F F




E, novamente, temos o caso proibido, na primeira afirmao. Maria vai ao

cinema deve ser Falso, porque, do contrrio, teremos Se V ento F:F F

1)Se Maria vai ao cinema, Pedro ou Paulo vo ao cinema.F F



4) Se Teresa no foi ao cinema, pode-se afirmar que:

Assim, conclumos que ningum foi ao cinema. Vejam as alternativas:

a) Ana no foi ao cinema.b) Paulo no foi ao cinema.c) Pedro no foi ao cinema.d) Maria no foi ao cinema.e) Joana no foi ao cinema.

Todas as alternativas esto corretas. Por isso, a questo foi anulada.

Resposta: anulada.

Questo 4 ESAF/RFB/ATRFB/2009

A afirmao: Joo no chegou ou Maria est atrasada equivalelogicamente a:a) Se Joo no chegou, Maria est atrasada.b) Joo chegou e Maria no est atrasada.c) Se Joo chegou, Maria no est atrasada.d) Se Joo chegou, Maria est atrasada.

e) Joo chegou ou Maria no est atrasada.

Agora temos uma questo de equivalentes lgicos.


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Na hora da prova, em uma questo de equivalentes lgicos, voc poderesolver de duas maneiras:

Maneira 1: fazer a tabela-verdade da proposio do enunciado, e depois fazera tabela-verdade de cada uma das alternativas. A alternativa equivalente sera que tiver a tabela-verdade igual.

Maneira 2: decorar os equivalentes lgicos previamente (especialmente osdo Se ento e do Ou, que mais caem.

No meu caso, quando eu fiz a prova da Receita, levei um formulrio para aprova, com todas os equivalentes. Vi esse formulrio antes de entrar na salada prova. Na hora da prova, os equivalentes estavam fresquinhos na cabea, e

eu no fiz tabela-verdade nenhuma. Mesmo porque, invivel fazer tabela-verdade na hora da prova, leva um tempo...

Portanto, temos: Joo no chegou ou Maria est atrasada.

Colocando em letras e smbolos, temos:

p = Joo no chegou;q = Maria est atrasada.

A frase fica p v q.

No Memorex da aula coloquei a tabela abaixo. Ela sintetiza os equivalentes eas negaes, que vimos. Reparem que o equivalente do Ou o ~Se Ento:

ESTRUTURAS LGICASCONECTIVO TABELA-VERDADE SMBOLOGIA NEGAO EQUIVALENTE

E

conjuno

VeV = VVeF= FFeV= FFeF= F

p ^ q~p v ~qp ~q

Ou

Disjuno

VouV = VVouF= VFouV= VFouF= F

p v q ~p ^ ~q ~p q

ou... ou

DisjunoExclusiva

ou VouV= Fou VouF= Vou FouV= Vou FouF= F

p v q p qp ~q

~p q

Se...ento

Condicional

Se VentoV = VSe VentoF= F

Se FentoV= VSe FentoF= V p q p ^ ~q

~q ~p

~p v qse e Vse e somente se p q p v q (p q) ^


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somentese

Bicondicional

V = VVse e somente se

F= FFse e somente se

V= FFse e somente se

F= V

(q p)

Ou seja, temos:

Proposio Equivalentep v q ~p q

Assim, se temos:

p = Joo no chegou;q = Maria est atrasada.

Ento:

~p = Joo chegou;q = Maria est atrasada.

Assim, o equivalente fica ~p q = Se Joo chegou, Maria est atrasada.

Esta proposio exatamente a letra D.

Resposta: Letra D.

Questo 5 ESAF/SMF-RJ/Fiscal de Rendas/2010

A proposio um nmero inteiro par se e somente se o seuquadrado for par equivale logicamente proposio:a) se um nmero inteiro for par, ento o seu quadrado par, e se umnmero inteiro no for par, ento o seu quadrado no par.b) se um nmero inteiro for mpar, ento o seu quadrado mpar.c) se o quadrado de um nmero inteiro for mpar, ento o nmero mpar.d) se um nmero inteiro for par, ento o seu quadrado par, e se oquadrado de um nmero inteiro no for par, ento o nmero no par.e) se um nmero inteiro for par, ento o seu quadrado par.

Questo semelhante anterior.

Temos a proposio: um nmero inteiro par se e somente se o seuquadrado for par.


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Ou seja, colocando em termos de letras e smbolos:

p = um nmero inteiro par;

q = seu quadrado for par;A proposio fica: p q.

Pela tabela da questo anterior, vemos que o equivalente da bicondicional :

Proposio Equivalentep q (p q) ^ (q p)

Ento, o equivalente da proposio do enunciado :

(p q)= Se um nmero inteiro par, ento o seu quadrado par(q p)= Se o quadrado de um nmero inteiro par, ento o nmero inteiro par.

Com a proposio E, fica:

Se um nmero inteiro par, ento o seu quadrado deve ser par, E se oquadrado de um nmero inteiro for par, ento o nmero inteiro par.

Vejamos as alternativas:

a) se um nmero inteiro for par, ento o seu quadrado par, e se umnmero inteiro no for par, ento o seu quadrado no par.b) se um nmero inteiro for mpar, ento o seu quadrado mpar.c) se o quadrado de um nmero inteiro for mpar, ento o nmero mpar.d) se um nmero inteiro for par, ento o seu quadrado par, e se oquadrado de um nmero inteiro no for par, ento o nmero no par.e) se um nmero inteiro for par, ento o seu quadrado par.

Vejam que no h nenhuma frase igual a que encontramos.

Ento, vamos ver se no h nenhuma frase equivalente a (p q)ou (q p).

Vimos que o equivalente do Se ento :

Proposio Equivalentep q ~q ~p


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~p v q

As alternativas no usam o OU, apenas o Se ento. Ento, vamos usar oequivalente:

p q = ~q ~p.

A nossa frase (que encontramos) :

Se um nmero inteiro par, ento o seu quadrado deve ser par, E se oquadrado de um nmero inteiro for par, ento o nmero inteiro par.

Vamos pegar as alternativas mais parecidas com essa que encontramos.

Vejam que so a letra A e a letra D:

a) se um nmero inteiro for par, ento o seu quadrado par, e se umnmero inteiro no for par, ento o seu quadrado no par.

d) se um nmero inteiro for par, ento o seu quadrado par, e se oquadrado de um nmero inteiro no for par, ento o nmero no par.

A primeira parte igual a que temos, a segunda est diferente. Vamos fazer oequivalente da segunda parte da nossa frase, para ver com qual alternativa

fica igual.

Temos:

(p q)= Se um nmero inteiro par, ento o seu quadrado par (Ok, igual as das alternativas A e D).(q p)= Se o quadrado de um nmero inteiro par, ento o nmero inteiro par ( diferentes das alternativas A e D).

O equivalente do(q p)

~p ~q

, ou seja:

Se o nmero inteiro no par, ento o quadrado do nmero inteirono par.

Percebam que essa a segunda parte que est na alternativa A. Ou seja, aalternativa A a correta, equivalente frase do enunciado. Portanto, temos:

um nmero inteiro par se e somente se o seu quadrado for par =se um nmero inteiro for par, ento o seu quadrado par, e se umnmero inteiro no for par, ento o seu quadrado no par.

Resposta: Letra A.


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Questo 6 ESAF/MPOG/EPPGG/2009

A negao de Maria comprou uma blusa nova e foi ao cinema comJos :

a) Maria no comprou uma blusa nova ou no foi ao cinema com Jos.b) Maria no comprou uma blusa nova e foi ao cinema sozinha.c) Maria no comprou uma blusa nova e no foi ao cinema com Jos.d) Maria no comprou uma blusa nova e no foi ao cinema.e) Maria comprou uma blusa nova, mas no foi ao cinema com Jos.

Nessa questo, falamos sobre a negao de proposies. Mais especificamente,sobre a negao do OU e do E.

A negao mais importante, de todas as que vimos, e que mais cai, :

Proposio Negaop OU q ~p E ~q

Da mesma forma:

Proposio Negaop E q ~p OU ~q

A questo fornece a seguinte proposio:

Maria comprou uma blusa nova e foi ao cinema com Jos. Colocando emletras em smbolos, temos:

p = Maria comprou uma blusa novaq = Foi ao cinema com Jos

A proposio p E q.

A negao ~p OU ~q:

Maria no comprou uma blusa nova ou no foi ao cinema com Jos.

Essa exatamente a letra A.

Resposta: Letra A.


A negao de: Milo a capital da Itlia ou Paris a capital daInglaterra :a) Milo no a capital da Itlia e Paris no a capital da Inglaterra.


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b) Paris no a capital da Inglaterra.c) Milo no a capital da Itlia ou Paris no a capital da Inglaterra.d) Milo no a capital da Itlia.e) Milo a capital da Itlia e Paris no a capital da Inglaterra.

Como vimos na aula, h vrios tipos de negaes. A mais comum a negaodo E (que vira OU) e do OU (que vira E), que vimos na questo anterior:

~(p E q) = ~p OU ~q~(p OU q) = ~p E ~q

Essa questo cobra simplesmente isso. Temos:

Milo a capital da Itlia ou Paris a capital da Inglaterra.

p = Milo a capital da Itliaq = Paris a capital da Inglaterra

Milo a capital da Itlia ou Paris a capital da Inglaterra = p OU q.

A negao do p OU q ~p E ~q, que fica:

~p = Milo no a capital da Itlia~q = Paris no a capital da Inglaterra

~p E ~q = Milo no a capital da Itlia e Paris no a capital da Inglaterra.

Resposta: Letra A.

Questo 8 ESAF/RFB/AFRFB/2009

Considere a seguinte proposio: Se chove ou neva, ento o cho ficamolhado. Sendo assim, pode-se afirmar que:a) Se o cho est molhado, ento choveu ou nevou.b) Se o cho est molhado, ento choveu e nevou.

c) Se o cho est seco, ento choveu ou nevou.d) Se o cho est seco, ento no choveu ou no nevou.e) Se o cho est seco, ento no choveu e no nevou.

Mais uma questo de equivalente, do concurso da Receita de 2009. Nessaquesto, s se usam proposies Se Ento.

Sabemos que:

Proposio Equivalente

p q ~q ~p


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~p v q

Nessa questo vamos usar o equivalente p q = ~q ~p.

Temos:

Se chove ou neva, ento o cho fica molhado

Colocando em termos de smbolos:

p = chove ou nevaq = o cho fica molhado

Temos: p q, cujo equivalente ~q ~p, que :

~q = o cho no ficou molhado~p = negao de chove ou neva. Vimos na questo anterior que a negaodo OU o no E. Ou seja:

Proposio Negaop OU q ~p E ~q

Assim:

~p = negao de chove ou neva = no choveu E no nevou.

Assim, temos que:

~q ~p = Se o cho no ficou molhado, ento no choveu e no nevou.

Vejamos as alternativas:

a) Se o cho est molhado, ento choveu ou nevou.

b) Se o cho est molhado, ento choveu e nevou.c) Se o cho est seco, ento choveu ou nevou.d) Se o cho est seco, ento no choveu ou no nevou.e) Se o cho est seco, ento no choveu e no nevou.

A questo considerou que no ficou molhado = est seco.

Ento, nossa frase fica:

Se o cho est seco, ento no choveu e no nevou.

Essa frase igual letra E.


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Resposta: Letra E.

Questo 9 ESAF/MPOG/APO/2010

Sejam F e G duas proposies e ~F e ~G suas respectivas negaes.Marque a opo que equivale logicamente proposio composta: F see somente G.a) F implica G e ~G implica F.b) F implica G e ~F implica ~G.c) Se F ento G e se ~F ento G.d) F implica G e ~G implica ~F.e) F se e somente se ~G.

Questo sobre os apelidos dos conectivos.

Vimos que o implica um apelido do Se...Ento.

Assim, a frase A implica B equivalente frase Se A ento B.

O enunciado pede o equivalente de F se e somente se G.

J vimos que o equivalente do se e somente se :


p q (p q) ^ (q p)Ento:

F se e somente se G = Se F ento G E se G ento F.

No existe alternativa assim. Algumas alternativas usam o implica. Vamossubstituir o Se ento pelo implica (seu apelido):

F se e somente se G = Se F ento G E se G ento F = F implica G E G implica

F.

Tambm no existe alternativa assim. Mas vejam que, nas alternativas, ossegundos termos esto negados (com o ~). Sabemos que o equivalente do

Se A ento B (p q) o Se no B, ento no A (~q ~p).

Ou seja, trocando o Se ento pelo apelido, o equivalente de A implica B (p q) o no B implica no A (~q ~p).

Trocando o segundo termo da proposio que encontramos pelo seu

equivalente:


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F se e somente se G = Se F ento G E se G ento F = F implica G E G implica F= F implica G E no F implica no G = F implica G E ~F implica ~G.

Essa exatamente a letra B.

Resposta: Letra B.


Considere que: se o dia est bonito, ento no chove. Desse modo:a) no chover condio necessria para o dia estar bonito.b) no chover condio suficiente para o dia estar bonito.c) chover condio necessria para o dia estar bonito.d) o dia estar bonito condio necessria e suficiente para chover.

e) chover condio necessria para o dia no estar bonito.Mais uma questo com apelidos dos conectivos.

Vimos na aula que:

Se A ento B = A condio suficiente para B = B condio necessria paraA.

Lembrem-se do Macete do Sol e Nuvem (Sol = suficiente = dia de sol =diretamente. Nuvem = necessria = dia nublado = tem que inverter A e B).

Assim, temos:

se o dia est bonito, ento no chove:

A = dia est bonitoB = no chove

Se A ento B = A condio suficiente para B = O dia estar bonito condiosuficiente para no chover.

Igualmente:

Se A ento B = B condio necessria para A = No chover condionecessria para o dia estar bonito.

A frase acima exatamente a letra A.

Resposta: Letra A.



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Entre as opes abaixo, a nica com valor lgico verdadeiro :a) Se Roma a capital da Itlia, Londres a capital da Frana.b) Se Londres a capital da Inglaterra, Paris no a capital da Frana.c) Roma a capital da Itlia e Londres a capital da Frana ou Paris

a capital da Frana.d) Roma a capital da Itlia e Londres a capital da Frana ou Paris a capital da Inglaterra.e) Roma a capital da Itlia e Londres no a capital da Inglaterra.

Essa questo de uma linha que a ESAF vem adotando. Em que ela pede querealmente utilizemos conhecimentos prvios para resolver.

Ou seja, temos de manjar de Geografia: saber que Roma a capital da Itlia,Londres a Capital da Inglaterra, Paris a capital da Frana...

A ESAF fez isso tambm com outros tipos de conhecimentos, que so pedidosno edital, por exemplo: lgebra, Geometria, etc (veremos questes a seguir).

Assim, vamos analisar cada alternativa:

a) Se Roma a capital da Itlia, Londres a capital da Frana.

Roma a Capital da Itlia, mas Londres no a capital da Frana.

Assim, temos Se V ento F, que o caso proibido, cujo valor lgico sempreFalso.

Alternativa falsa.

b) Se Londres a capital da Inglaterra, Paris no a capital da Frana.

Londres a capital da Inglaterra (V). Mas Paris no a capital da Frana F,porque Paris a capital da Frana.

Ou seja, temos Se V ento F. Valor lgico Falso.

Alternativa Falsa.

c) Roma a capital da Itlia e Londres a capital da Frana ou Paris a capital da Frana.

Temos uma proposio da forma A E B OU C.

Guardem isso: sempre juntamos o A E B, primeiro. Podemos at substituir:

A E B = D.

Assim, temos D OU C.


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Vamos ver se D = A E B Verdadeiro ou Falso:

A = Roma a capital da Itlia = V

B = Londres a capital da Frana = FAssim, A E B = V E F = F (o E, para ser V, exige que ambas sejam V).

C = Paris a capital da Frana = V.

Assim, temos D OU C = F OU V = V (para o OU, basta uma ser V).

Assim, o valor lgico da proposio V.

Alternativa correta.d) Roma a capital da Itlia e Londres a capital da Frana ou Paris a capital da Inglaterra.

Novamente, temos A E B OU C:

A = Roma a capital da Itlia = VB = Londres a capital da Frana = F

A E B = V E F = F.

C = Paris a capital da Inglaterra = F.

Assim, temos F OU F = F.

Alternativa falsa.

e) Roma a capital da Itlia e Londres no a capital da Inglaterra.

Roma a capital da Itlia (V), mas Londres no a capital da Inglaterra

Falso, porque Londres a capital da Inglaterra.

Temos, portanto, V E F, cujo valor lgico F.

Alternativa falsa.

Resposta: Letra E.


Assinale a opo verdadeira.a) 3 = 4 e 3 + 4 = 9


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b) Se 3 = 3, ento 3 + 4 = 9c) Se 3 = 4, ento 3 + 4 = 9d) 3 = 4 ou 3 + 4 = 9e) 3 = 3 se e somente se 3 + 4 = 9

Mais uma questo em que utilizamos conhecimentos prvios. Passemos anlise das alternativas.

a) 3 = 4 e 3 + 4 = 9

3 = 4: Falso.

3 + 4 = 9: Falso.

Ou seja, temos F E F = Falso.b) Se 3 = 3, ento 3 + 4 = 9

3 = 3: Verdadeiro.

3 + 4 = 9: Falso.

Temos o caso Se V ento F, que o caso proibido. Falso.

c) Se 3 = 4, ento 3 + 4 = 9

3 = 4: Falso.

3 + 4 = 9: Falso.

Sabemos que Se F ento F Verdadeiro. Alternativa correta.

d) 3 = 4 ou 3 + 4 = 9

3 = 4: Falso.

3 + 4 = 9: Falso.

Temos F OU F. Falso.

e) 3 = 3 se e somente se 3 + 4 = 9

3 = 3: Verdadeiro.

3 + 4 = 9: Falso.

No Se e somente se, a proposio s Verdadeira se ambas forem Verdadeirasou se ambas forem Falsas. Aqui, temos uma Verdadeira e uma Falsa. Falso.


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Resposta: Letra C.

Questo 13 ESAF/Ministrio da Fazenda/ATA/2009

X e Y so nmeros tais que: Se X 4, ento Y>7. Sendo assim:a) Se X 4, ento Y < 7.b) Se Y > 7, ento X 4.c) Se Y < 7, ento X 4.d) Se Y 7, ento X > 4.e) Se X < 4, ento Y 7.

Questo sobre o equivalente do Se ento.

Vimos que p

q = ~q

~p.Assim:

Se X 4, ento Y > 7:

p = X 4

q = Y > 7

p q.

A negao :

~p = X > 4~q = Y 7

A proposio equivalente :

~q ~p = Se Y 7, ento X > 4.

Resposta: Letra D.

Questo 14 ESAF/MPOG/Analista de Planejamento eOramento/2010

Se f(x) = x, ento g(x) = x. Se f(x) x, ento ou g(x) = x, ou h(x) = x,ou ambas as funes, g(x) e h(x) so iguais a x, ou seja, g(x) = x eh(x) = x. Se h(x) x, ento g(x) x. Se h(x) = x, ento f(x) = x.Logo,a) f(x) = x, e g(x) = x, e h(x) = x

b) f(x) x, e g(x) x, e h(x) xc) f(x) = x, e g(x) x, e h(x) xd) f(x) x, e g(x) = x, e h(x) = x


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e) f(x) = x, e g(x) = x, e h(x) x

Mais uma questo que parece lgebra, s que Lgica.

Temos as seguintes proposies:1)Se f(x) = x, ento g(x) = x.

2)Se f(x) x, ento ou g(x) = x, ou h(x) = x, ou ambas as funes,g(x) e h(x) so iguais a x, ou seja, g(x) = x e h(x) = x.

3)Se h(x) x, ento g(x) x.

4)Se h(x) = x, ento f(x) = x.

Nesta questo, ao contrrio de algumas que vimos anteriormente, no h umaafirmao dada como Verdadeira ou Falsa.

Neste caso, o melhor chutar um valor para algumas das proposiessimples.

Das 5 alternativas, 3 dizem que f(x) = x Verdadeiro. Ento, vamos chutarisso mesmo:

V1)Se f(x) = x, ento g(x) = x.


3)Se h(x) x, ento g(x) x.V


Se f(x) = x Verdadeiro, ento f(x) x Falso:

V1)Se f(x) = x, ento g(x) = x.

F2)Se f(x) x, ento ou g(x) = x, ou h(x) = x, ou ambas as funes,

g(x) e h(x) so iguais a x, ou seja, g(x) = x e h(x) = x.

3)Se h(x) x, ento g(x) x.V


Vejam. Na proposio 1, se g(x) = x for Falso, teremos o caso proibido Se Vento F. Por isso, g(x) = x deve ser Verdadeiro, e g(x) x deve ser Falso:


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V V

1)Se f(x) = x, ento g(x) = x.F


F3)Se h(x) x, ento g(x) x.

V4)Se h(x) = x, ento f(x) = x.

Na terceira proposio, se h(x) x for Verdadeiro, teremos o caso proibido,Se V ento F. Por isso, h(x) x deve ser Falso, e h(x) = x deve ser

Verdadeiro:V V

1)Se f(x) = x, ento g(x) = x.F

2)Se f(x) x, ento ou g(x) = x, ou h(x) = x, ou ambas as funes,

g(x) e h(x) so iguais a x, ou seja, g(x) = x e h(x) = x.F F

3)Se h(x) x, ento g(x) x.V V

4) Se h(x) = x, ento f(x) = x.

Completando a proposio 2 com as informaes:

V V1)Se f(x) = x, ento g(x) = x.

F V V2)Se f(x) x, ento ou g(x) = x, ou h(x) = x, ou ambas as funes,

Vg(x) e h(x) so iguais a x, ou seja, g(x) = x e h(x) = x.

F F3)Se h(x) x, ento g(x) x.

V V4) Se h(x) = x, ento f(x) = x.

Percebam que no chegamos a nenhuma incoerncia (por exemplo, achar queh(x) x F e h(x) x V, ao mesmo tempo). Por isso, nossa suposio foicorreta, e temos como Verdadeiro:

f(x) = x

g(x) = xh(x) = x


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Resposta: Letra A.

Questo 15 ESAF/RFB/AFRFB/2009

Se 3 e= , ento 3 e= . Se 3e= , ento ou so iguais a 3 e . Se 3e= ,

ento 3e= . Se 3 e= , ento 3 e= . Considerando que as afirmaes soverdadeiras, segue-se, portanto, que:a) 3e=== .

b) 3e== , mas 3 e= .

c) 3 e= , mas 3e== .

d) 3 e=== .

e)

3e==

, mas

3e=

.

Mais uma questo que parece de lgebra, mas de lgica.

Temos as seguintes proposies:

1)Se 3 e= , ento 3 e= .

2)Se 3e= , ento ou so iguais a3e .

3)Se 3e= , ento 3e= .

4) Se 3 e= , ento 3 e= .

Mais uma vez, devemos chutar uma proposio como Verdadeira. Percebamque 3 das 5 alternativas de resposta dizem que 3 e=

Por isso, vamos chutar que 3 e= Verdadeiro:

V1)Se 3 e= , ento 3 e= .


3)Se 3e= , ento 3e= .V

4) Se 3 e= , ento 3 e= .

Como3

e=

Verdadeiro,3

e=

Falso:

V


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1)Se 3 e= , ento 3 e= .F


3)Se 3e= , ento 3e= .V

4) Se 3 e= , ento 3 e= .

Na proposio 1, se 3 e= for Falso teremos o caso proibido, Se V ento F. Por

isso, 3 e= deve ser Verdadeiro, e 3e= deve ser Falso:

V V

1)Se

3e=

, ento

3e=

.F V2)Se 3e= , ento ou so iguais a

3e .

F3)Se 3e= , ento 3e= .

V4) Se 3 e= , ento 3 e= .

Mais uma vez, na proposio 3, se 3e= for Verdadeiro Teremos o caso

proibido. Ento,3

e=

deve ser Falso.

V V5)Se 3 e= , ento 3 e= .

F V6)Se 3e= , ento ou so iguais a

3e .

F F7)Se 3e= , ento 3e= .

V

8) Se3

e=

, ento3

e=

.

No sabemos se 3 e= , s sabemos que 3e= Falso (o fato de 3e= ser

Falso no indica que 3 e= Verdadeiro).

Analisando as alternativas:

a) 3e=== . (Falso, pois 3 e= e 3 e= ).

b) 3e== , mas 3 e= . (Falso, pois 3 e= e 3 e= ).

c) 3 e= , mas 3e== . (Falso, pois 3 e= ).


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d) 3 e=== . (No sabemos se 3 e= , mas no h nada de Falso naalternativa).e) 3 e== , mas 3e= . (Falso, pois 3 e= ).

Assim, a resposta deve ser a letra D ( a nica que no Falsa).

Resposta: Letra D.

Questo 16 ESAF/SMF-RJ/Agente de Trabalhos de Engenharia/2010

Por definio, um tringulo equiltero o que tem os trs lados iguais.Considere ento a proposio: Um tringulo equiltero se e somentese os trs ngulos so iguais. Uma concluso falsa desta proposio:

a) uma condio necessria e suficiente para que um tringulo sejaequiltero a de que os trs ngulos sejam iguais.b) os trs ngulos de um tringulo equiltero so iguais.c) um tringulo equiltero somente se os trs ngulos so iguais.d) se um dos ngulos de um tringulo diferente de outro ngulo,ento o tringulo no equiltero.e) se um tringulo no equiltero, ento os trs ngulos sodiferentes uns dos outros.

Mais uma questo que , supostamente, de Geometria, mas no fundo de

Lgica.

A questo fornece uma proposio e pede a concluso falsa. Ou seja, ela quersaber qual das frases no equivalente frase do enunciado.

Vamos anlise das alternativas:

a) uma condio necessria e suficiente para que um tringulo sejaequiltero a de que os trs ngulos sejam iguais.

A frase do enunciado Um tringulo equiltero se e somente se ostrs ngulos so iguais.

Ou seja:

p = Um tringulo equilteroq = Trs ngulos so iguais

Um tringulo equiltero se e somente se os trs ngulos so iguais= p q.

Vimos que o apelido do Se e somente se o condio necessria e suficiente.Assim:


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A SE E SOMENTE SE B = A CONDIO NECESSRIA E SUFICIENTE PARA B.

Para o Se e Somente Se no importa a ordem (ele igual ao OU). A se e

somente se B o mesmo que B se e somente se A (assim como A OU B omesmo que B OU A).

Portanto, no importa como a frase foi arranjada, ela diz isso: A condionecessria e suficiente para B. E isso o mesmo que A se e somente se B.

Alternativa verdadeira, portanto no resposta da questo (a questo pede afalsa).

b) os trs ngulos de um tringulo equiltero so iguais.

Essa alternativa no envolve lgica, s geometria. Se a frase do enunciado Um tringulo equiltero se e somente se os trs ngulos soiguais, possvel concluir que os trs ngulos de um tringulo equiltero soiguais.

Alternativa verdadeira (no resposta).

c) um tringulo equiltero somente se os trs ngulos so iguais.

No entendi essa alternativa, ela s repete a frase do enunciado.

Alternativa correta (no resposta).

d) se um dos ngulos de um tringulo diferente de outro ngulo,ento o tringulo no equiltero.

Mais uma vez, s geometria. Se um dos ngulos diferente, ento o tringulono equiltero.

Alternativa verdadeira (no resposta).

e) se um tringulo no equiltero, ento os trs ngulos sodiferentes uns dos outros.

Mais uma vez, s geometria. Se um tringulo equiltero, no significa que ostrs ngulos tem de ser diferentes, e sim que um deles deve ser diferente. 2podem ser iguais e um diferente ( o tringulo issceles).

Alternativa falsa.

Resposta: Letra E.

Questo 17 ESAF/MTE/AFT/2010


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Um poliedro convexo regular se e somente se for: um tetraedro ouum cubo ou um octaedro ou um dodecaedro ou um icosaedro. Logo:a) Se um poliedro convexo for regular, ento ele um cubo.

b) Se um poliedro convexo no for um cubo, ento ele no regular.c) Se um poliedro no for um cubo, no for um tetraedro, no for umoctaedro, no for um dodecaedro e no for um icosaedro, ento eleno regular.d) Um poliedro no regular se e somente se no for: um tetraedro ouum cubo ou um octaedro ou um dodecaedro ou um icosaedro.e) Se um poliedro no for regular, ento ele no um cubo.

Questo com o jeito da anterior, mas mais capciosa.

Vamos diretamente anlise das alternativas.a) Se um poliedro convexo for regular, ento ele um cubo.

A frase do enunciado :

Um poliedro convexo regular se e somente se for: um tetraedro ouum cubo ou um octaedro ou um dodecaedro ou um icosaedro.

Ou seja, o poliedro convexo regular se e somente se for A OU B OU C...

No podemos concluir que se o poliedro convexo for regular, ele um cubo.Pode ser um tetraedro OU um octaedro OU C OU D...

Alternativa falsa.

b) Se um poliedro convexo no for um cubo, ento ele no regular.

Igual alternativa anterior. Se no for um cubo, pode ser um tetraedro OU BOU C... e ser regular mesmo assim.

Alternativa falsa.

c) Se um poliedro no for um cubo, no for um tetraedro, no for umoctaedro, no for um dodecaedro e no for um icosaedro, ento eleno regular.

A questo fala apenas em poliedro (sem dizer que convexo).

O poliedro pode ser regular e no ser um cubo, nem B, nem C nem D... sser algum outro tipo de poliedro regular (no necessariamente convexo).

Alternativa falsa.


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d) Um poliedro no regular se e somente se no for: um tetraedro ouum cubo ou um octaedro ou um dodecaedro ou um icosaedro.

Igual anterior. O poliedro pode no ser um tetraedro, B, C... e ainda no ser

regular. Isso se for outro tipo de poliedro (no convexo).Alternativa falsa.

e) Se um poliedro no for regular, ento ele no um cubo.

Essa alternativa tambm suprime o convexo. Mas vejam s.

O enunciado diz que um cubo um poliedro convexo regular. Ou seja, o cubo regular.

Ou seja, se o poliedro no for regular, com certeza no ser um cubo. Porqueo cubo regular.

Por isso, a alternativa est certa.

Questo para atentos.

Resposta: letra E.

Questo 18 ESAF/SMF-RJ/Agente de Fazenda/2010

Qual das proposies abaixo tem a mesma tabela verdade que aproposio: Se |a| < 3, ento b 4 , onde a e b so nmeros reais?a) b 4 e |a| < 3.b) b 4 ou |a| 3.c) b > 4 e |a| < 3.d) b 4 ou |a| < 3.e) b > 4 ou |a| < 3.

Essa questo parece ser de lgebra, mas de Lgica.

Temos:

Se |a| < 3, ento b 4

Vamos substituir:

p = |a| < 3

q = b 4

Neste sentido, podemos assumir que (as alternativas fazem isso):


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~p = |a| 3

~q = b > 4

Ento, a frase original do enunciado :

p q.

A questo pede a alternativa que possui a mesma tabela-verdade. Ou seja,pede a alternativa equivalente. Vimos que os equivalentes do Se Ento so:


p q~q ~p

~p v q

Como as alternativas s falam de OU ou E, ficamos com o equivalente ~p v q:

Assim, p q = ~p v q. A expresso fica:

|a| 3 OU b 4

Essa a letra B, invertida (j vimos que no OU no importa a ordem dos

termos A e B).Resposta: Letra B.


Sendoxum nmero real, a proposio: x2 1 se e somente se x 1oux -1 equivale logicamente :a) sex= 1, entox2= 1.b) sex> 1, entox2> 1.c) se -1


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s =x -1

x2 1 se e somente sex 1 oux -1 = p (q v s)

Vimos que o equivalente do Se e Somente Se :

Proposio Equivalentep q (p q) ^ (q p)

Assim, temos:

p (q v s)

Podemos chamar q v s de t. Fica:

p t = p t E t p:

Ou seja:

p t E t p = p q v s E q v s p.

Substituindo pelos valores:

x2 1 x 1 vx -1 Ex 1 vx -1 x2 1

Que :

Sex2 1, entox 1 oux -1 E sex 1 oux -1, entox2 1.

As frases que mais se parecem com essa so as letras D e E:

d) se -1


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~(x2 1) x2< 1

Ento:

Se ~( x 1 oux -1), ento ~( x2

1) = Sex < 1 Ex > -1, entox2

< 1.Podemos substituirx < 1 Ex > -1 por 1 < x < 1. Fica:

Se 1 < x < 1, entox2< 1.

A proposio toda fica:

Se 1 < x < 1, entox2< 1 E sex 1 oux -1, entox2 1.

Exatamente o que diz a letra D.Resposta: Letra D.


Considerexum nmero real. A negao da proposio 2/3 x5/3 ou1< x < 1 :a) 1 < x2/3.b) 1 x < 2/3.

c)x

1 ex > 5/3.d)x1 oux > 5/3.e) 1 x < 2/3 e x > 5/3.

Mais uma questo supostamente de lgebra... que de Lgica.

Queremos a negao de 2/3 x5/3 ou 1< x < 1. As alternativas esto comE, ento queremos a negao do OU que ~(A OU B) = ~A E ~B.

Assim, a proposio fica: ~(2/3 x5/3) E ~(1< x < 1).

Vamos analisar cada parte:

~(2/3 x 5/3) = queremos que o nmero no esteja entre 2/3 e 5/3. Ouseja, ele pode ser menor de 2/3 ou maior que 5/3. Queremos: x < 2/3 OU x >5/3.

~(1< x < 1) = queremos que o nmero no esteja entre 1 e 1 (mas podeser igual). Ou seja, ele pode ser menor ou igual a 1 ou maior ou igual a 5/3.Assim, queremos: x -1 OU x >= 1.

A proposio inteira fica:


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x < 2/3 OU x > 5/3 E x -1 OU x >= 1

O examinador no foi bonzinho e no deu essa resposta entre as alternativas.Ento, agora, precisamos saber quais as interseces entre x < 2/3 OU x >

5/3 E x -1 OU x >= 1.

Temos:

x < 2/3 OU x > 5/3:

2/3 5/3

x -1 OU x >= 1:

-1 2/3 1 5/3

A interseco (pontos que esto nas duas retas) :

-1 5/3

Colocando em nmeros:

x -1 E x > 5/3

Resposta: Letra C.

Questo 21 ESAF/MPOG/APO/2010

Questo que, para resolver, precisamos construir as tabelas-verdade.


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As alternativas a e e se referem proposio (F v G) ^ ~(~F ^~G). J asalternativas b, c e d se referem proposio (F v G) ^ (~F ^~G).

Vamos construir cada uma das tabelas-verdade e ver qual alternativa est

correta.Primeiramente, a tabela-verdade da estrutura (F v G) ^ (~F ^~G) (para fazera outra apenas negamos o segundo termo):

F G F v G ~F ~G ~F ^ ~G (F v G) ^ (~F ^~G)V V V F F F FV F V F V F FF V V V F F FF F F V V V F

Ou seja, pela tabela-verdade acima, a expresso (F v G) ^ (~F ^~G) umacontradio, pois, no importa qual os valores de F ou G, a expresso sempreretorna um valor lgico Falso.

Assim, j podemos marcar a alternativa correta, que a letra C.

Vamos fazer a estrutura (F v G) ^ ~(~F ^~G), apenas negando a penltimacoluna da tabela acima:

F G F v G ~F ~G ~F ^ ~G ~(~F ^ ~G) (F v G) ^~(~F ^~G)

F ^G

V V V F F F V V VV F V F V F V V FF V V V F F V V FF F F V V V F F F

A letra a afirma que a estrutura acima contradio (no , porque para 3valores de F e G a estrutura verdadeira), e a letra e afirma que igual F ^

G. Coloquei F ^ G na ltima coluna da tabela, para vocs verem como diferente.

Resposta: Letra C.


Entre as opes abaixo, qual exemplifica uma contradio formal?a) Scrates no existiu ou Scrates existiu.b) Scrates era ateniense ou Scrates era espartano.c) Todo filsofo era ateniense e todo ateniense era filsofo.d) Todo filsofo era ateniense ou todo ateniense era filsofo.e) Todo filsofo era ateniense e algum filsofo era espartano.


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Com esta questo, vamos ver as estruturas Todo, Algum e Nenhum.

Diagramas Lgicos so mecanismos utilizados para expressar proposies quealguns matemticos chamam de categricas: Todo, algum, nenhum.

Quando dizemos, por exemplo: todo brasileiro uma pessoa inteligente.Podemos traduzir a ideia dessa frase em um diagrama:

Vamos ver todas as possibilidades para a frase acima:

Brasileiro Pessoainteligente

Todo brasileiro umapessoa inteligente

V V Verdadeiro, pois se ele forbrasileiro, ser uma

pessoa inteligente (dentroda rea amarela do

diagrama)V F Falso, pois no existe a

possibilidade de serbrasileiro e no ser uma

pessoa inteligenteF V Verdadeiro, pois ele pode

ser uma pessoa inteligentee no ser brasileiro (estar

na rea laranja dodiagrama)

F F Verdadeiro, pois ele podeno ser brasileiro e, assim,

no ser uma pessoa

inteligente (estar fora dodiagrama, na rea em

cinza)

Pessoa inteligente

Brasileiro


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Portanto, a nica possibilidade de a frase ser falsa no caso em que o sujeito brasileiro e no uma pessoa inteligente, pois essa possibilidade no existe.

A tabela acima igual tabela-verdade da estrutura Se...ento. Podemosdizer, ento, que Todo brasileiro uma pessoa inteligente e Se brasileiro, ento uma pessoa inteligente so equivalentes.

Passando para outra estrutura: o algum. Podemos dizer: Alguns brasileirosso pessoas inteligentes. Isso pode ser representado atravs do diagramaabaixo:

Agora, todas as possibilidades so possveis. O sujeito pode ser brasileiro e serou no uma pessoa inteligente, assim como pode ser inteligente e ser ou nobrasileiro.

Portanto, importante frisar que, neste caso, alguns brasileiros sopessoas inteligentes e algumas pessoas inteligentes so brasileiras sofrases equivalentes:

=

Pessoa

inteligenteBrasileiro

Pessoa

inteligenteBrasileiro Brasileiro

Pessoa

inteligente


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Passemos para o nenhum. Podemos dizer: nenhum brasileiro uma pessoainteligente. Isso representado atravs do diagrama abaixo:

Dizer nenhum brasileiro uma pessoa inteligente e nenhuma pessoainteligente brasileira so expresses equivalentes, como podemos verpelo diagrama acima.

Vamos colocar todas as possibilidades de nenhum brasileiro uma pessoainteligente numa tabela:

Brasileiro Pessoainteligente

Nenhum brasileiro umapessoa inteligente

V V Falso, pois se ele forbrasileiro, no ser uma

pessoa inteligenteV F Verdadeiro, pois se ele for

brasileiro, no ser umapessoa inteligente

Pessoa

inteligenteBrasileiro


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F V Falso, pois se ele no forbrasileiro, pode ou no ser

uma pessoa inteligente(no estar dentro do

diagrama amarelo nosignifica necessariamenteestar dentro do diagrama

laranja. Pode estar na reaem cinza)

F F Falso, pois a pessoa podeno ser brasileira e ser

inteligente

Percebam que a tabela-verdade acima igual tabela-verdade da estrutura

Se...~ento. Vou fazer a Se...~ento para vocs verem:Brasileiro Pessoa

inteligentePessoano-

inteligente

Se brasileiro, ento no umapessoa inteligente

V V F Falso, pois se ele for brasileiro, verdadeiro dizer que no ser uma

pessoa inteligente, e no falsoV F V Verdadeiro, pois se ele for brasileiro,

no ser uma pessoa inteligente

F V F Falso, pois se ele no for brasileiro,pode ou no ser uma pessoainteligente ( falso dizer que, s porno ser brasileiro, ser inteligente)

F F V Falso, pois a pessoa pode no serbrasileira e ser inteligente

Portanto, so equivalentes as frases nenhum brasileiro inteligente e se brasileiro, ento no inteligente.

Vamos, ainda, falar sobre a negao do Todo, Algum e Nenhum.

Primeiramente, o Todo. Qual a negao de Todo A B?

B

A


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Podemos pensar que seria Nenhum A B:

Mas vejam que no, necessariamente. Se houver algum A que no for B, afrase Todo A B j est falsa. Portanto, basta ter a certeza de que h

Algum A no B.Assim, a negao de Todo A B Algum A no B.

Por exemplo: Todo mltiplo de 100 divisvel por 5. A negao Algummltiplo de 100 no divisvel por 5.

Agora passamos negao do Algum. Algum A B:

O Algum indica que pelo menos 1 A B. A negao disso dizer que nenhumA B. Como a palavra diz, nem-hum (nem um). So totalmente separados:

~ (Todo A B) = Algum A no B

B

A

B

A

BA


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J a negao do Nenhum o contrrio do que vimos acima. Negar queNenhum A B dizer que Algum A B.

Vimos que a contradio ocorre quando, para qualquer valor lgico das

proposies simples, a proposio composta sempre Falsa.Vamos analisar cada alternativa:

a) Scrates no existiu ou Scrates existiu.

Temos uma estrutura OU. O OU s Falso quando as duas proposiessimples forem Falsas.

As duas proposies simples so uma a negao da outra. Quando Scratesno existiu for Falso, Scrates existiu ser Verdadeiro. E o contrriotambm ocorrer: quando Scrates existiu for Falso, Scrates no existiuser Verdadeiro.

Ou seja, a frase ser sempre Verdadeira, pois uma das proposies sempreser Verdadeira. Ou seja, trata-se de uma tautologia (sempre V) e no de umacontradio (sempre F).

Alternativa errada.

b) Scrates era ateniense ou Scrates era espartano.

Nesta frase, tambm temos a proposio OU, mas uma proposio simples no o contrrio da outra. Scrates pode ter sido ateniense, ou espartano, ou dequalquer outro lugar.

Assim, a frase pode ser Verdadeira (se Scrates era ateniense for V ouScrates era espartano for V) ou Falsa (se Scrates no era nem ateniense enem espartano).

Dessa forma, a frase no uma contradio (no sempre F).

Alternativa errada.

~ (Algum A B) = Nenhum A B

~ (Nenhum A B) = Algum A B


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c) Todo filsofo era ateniense e todo ateniense era filsofo.d) Todo filsofo era ateniense ou todo ateniense era filsofo.

Vamos ver as duas alternativas juntas, pois elas diferem apenas pelo E ou OU.Sabemos que o Todo equivalente do Se...ento. Ento, podemos substituiros Todos acima por Se...ento:

Todo filsofo era ateniense e todo ateniense era filsofo = Se erafilsofo, era ateniense E se era ateniense, era filsofo.

Todo filsofo era ateniense ou todo ateniense era filsofo = Se erafilsofo, era ateniense OU se era ateniense, era filsofo.

Se era filsofo for V e se era ateniense tambm for V, teremos: Se V,ento V E se V, ento V, na alternativa C. Como Se V, ento V sempre V,teremos V E V, que sempre V.

Da mesma forma, teremos V OU V, que sempre V.

Se um dos dois for F (era filsofo for F ou era ateniense for F), em algumadas duas proposies teremos Se V, ento F, que sempre F. Neste caso, naalternativa C teremos F E V (ou ento V E F), que ser F. J na alternativa Dteremos F OU V (ou V OU F), que ser sempre V.

Se era filsofo for F e era ateniense tambm for F, teremos, na proposioC, Se F, ento F E se F, ento F, que ser V E V, ou seja, V. Da mesmaforma, teremos V OU V na proposio D, que sempre V.

Assim, na alternativa C teremos casos em que a proposio V e casos emque a proposio F. J a alternativa D ser sempre V. Em ambos os casos,no h contradio.

Alternativa errada.

e) Todo filsofo era ateniense e algum filsofo era espartano.

J podemos deduzir que esta alternativa certa.

E vejam, sem grande anlise podemos ver que h uma contradio, e que afrase ser sempre falsa. Isso porque temos o E, ento, para a frase serVerdadeira, Todo filsofo era ateniense deve ser Verdadeiro e Todo filsofoera espartano deve ser Verdadeiro, ao mesmo tempo.

Agora, vejam: Se todo filsofo era ateniense, porque nenhum filsofo eraespartano, certo?


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Podemos juntar os dois diagramas:

As alternativas relacionam filsofo e poeta.

Reparem que podem at haver filsofos que so poetas. No sabemos. A nicacoisa que sabemos, com certeza, que h alguns filsofos que no seropoetas, pois so os filsofos que so matemticos, e, como vimos, nenhumpoeta matemtico.

Assim, passemos anlise das alternativas:

a) algum filsofo poeta. No, pois, como vimos, sabemos que algunsfilsofos no so poetas.

b) algum poeta filsofo. No sabemos. O que sabemos que algunsfilsofos no so poetas.

c) nenhum poeta filsofo. No podemos afirmar que nenhum poeta filsofo. Pode at haver poetas filsofos, o que h, com certeza, so filsofos

que no so poetas.

d) nenhum filsofo poeta. No podemos afirmar que nenhum poeta filsofo. Pode at haver poetas filsofos, o que h, com certeza, so filsofosque no so poetas.

e) algum filsofo no poeta. exatamente isso, como explicamos acima.

Resposta: Letra E.


PoetaFilsofosMatemticos


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Numa empresa de nanotecnologia, sabe-se que todos os mecnicosso engenheiros e que todos os engenheiros so ps-graduados. Sealguns administradores da empresa tambm so engenheiros, pode-seafirmar que, nessa empresa:

a) todos os administradores so ps-graduados.b) alguns administradores so ps-graduados.c) h mecnicos no ps-graduados.d) todos os trabalhadores so ps-graduados.e) nem todos os engenheiros so ps-graduados.

Mais uma questo da mesma prova. Essa prova (EPPGG 2009) cobrou 5questes com o Todo-Algum-Nenhum.

Para resolver vamos, mais uma vez, fazer os diagramas. Quando h a

estrutura Algum mais fcil fazer por diagramas. Se s h o Todo e oNenhum, fica mais fcil substituir pelo Se...ento e pelo Se...~ento.

Temos:

Todos os mecnicos so engenheiros:

Todos os engenheiros so ps-graduados:

Engenheiros

Mecnicos

Engenheiros

Mecnicos

Ps-graduados


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Alguns administradores da empresa tambm so engenheiros:

Se alguns administradores da empresa tambm so engenheiros, temos queh administradores dentro do crculo laranja dos engenheiros (e tambm podehaver fora. O que sabemos com certeza que h dentro):

Administradores

Passemos anlise das alternativas:

a) todos os administradores so ps-graduados.

Alguns administradores so engenheiros. Neste caso, so ps-graduados, poistodos os engenheiros so ps-graduados. Mas pode haver administradores queno so engenheiros e, neste caso, no sabemos se so ps-graduados ouno.

Alternativa falsa.

b) alguns administradores so ps-graduados.

Como alguns administradores so engenheiros, e todos os engenheiros sops-graduados, ento com certeza alguns administradores so ps-graduados.

Alternativa correta.

c) h mecnicos no ps-graduados.

Todos os mecnicos so engenheiros e todos os engenheiros so ps-graduados. Assim, todos os mecnicos so ps-graduados.

Alternativa falsa.

d) todos os trabalhadores so ps-graduados.

Engenheiros

Mecnicos

Ps-graduados


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No, pois os administradores que no so engenheiros, por exemplo, podemno ter ps-graduao. a rea cinza do desenho.

Alternativa falsa.e) nem todos os engenheiros so ps-graduados.

No, pois todos os engenheiros so ps-graduados.

Alternativa errada.

Resposta: Letra B.

Questo 4 ESAF/MPOG/EPPGG/2009Admita que, em um grupo: se algumas pessoas no so honestas,ento algumas pessoas so punidas. Desse modo, pode-se concluirque, nesse grupo:a) as pessoas honestas nunca so punidas.b) as pessoas desonestas sempre so punidas.c) se algumas pessoas so punidas, ento algumas pessoas no sohonestas.d) se ningum punido, ento no h pessoas desonestas.e) se todos so punidos, ento todos so desonestos.

Temos o algum dentro de uma estrutura Se...ento.

A questo quer saber o equivalente da frase do enunciado, que : se algumaspessoas no so honestas, ento algumas pessoas so punidas.

Podemos dizer que:

p = algumas pessoas no so honestasq = algumas pessoas so punidas,

A frase fica: p q.

J sabemos que o equivalente do p q o ~q ~p. Ento, o equivalentedesta frase :

~q = ~(algumas pessoas so punidas) = nenhuma pessoa punida.~p = ~(algumas pessoas no so honestas) = nenhuma pessoa no honesta.

~q ~p = Se nenhuma pessoa punida, ento nenhuma pessoa no honesta.


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Substituindo o no honesta por desonesta, temos:

~q ~p = Se nenhuma pessoa punida, ento nenhuma pessoa no honesta = Se nenhuma pessoa punida, ento nenhuma pessoa desonesta.

Reparem que a frase acima a letra D, s que ao invs de nenhuma pessoa desonesta, a alternativa diz no h pessoas desonestas.

Resposta: Letra D.


A negao de noite, todos os gatos so pardos :a) De dia, todos os gatos so pardos.

b) De dia, nenhum gato pardo.c) De dia, existe pelo menos um gato que no pardo.d) noite, existe pelo menos um gato que no pardo.e) noite, nenhum gato pardo.

Alm de falar sobre a negao dos termos Todo, Algum e Nenhum, essaquesto mostra que, s vezes, com um pouco de malandragem, as bancastentam enganar o concurseiro. Vejamos:

A proposio proposta no enunciado :

noite, todos os gatos so pardos.

Se eu quiser negar essa preposio, posso falar De dia, nenhum gato pardo? Ou at mesmo De dia, todos os gatos so pardos?

No.

A questo tenta induzir o candidato a achar que a negao de noite dedia. O que errado.

Em questes anteriores, consideramos que a negao de competente incompetente, entre outras.

Mas essas so negaes diretas, simples.

Outra coisa, muito diferente, e errada, considerar contrrios comonegao.

Por exemplo, menino e menina so contrrios, no negao. Quente e frio socontrrios, mas no negao. Assim como noite e dia, caso desta questo.

Dito isso, j podemos excluir as alternativas A, B e C.


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A proposio " noite, todos os gatos so pardos".

Assim, vamos negar o Todo. Isso significa dizer que noite, algum gato no pardo.

A letra D diz isso. Ela diz que existe pelo menos um gato que no pardo.

Resposta: letra D.


Suponha que um pesquisador verificou que um determinado defensivoagrcola em uma lavoura A produz o seguinte resultado: Se odefensivo utilizado, as plantas no ficam doentes, enquanto que o

mesmo defensivo em uma lavoura distinta B produz outro resultado:Se e somente se o defensivo utilizado, as plantas no ficamdoentes. Sendo assim, se as plantas de uma lavoura A e de umalavoura B no ficaram doentes, pode-se concluir apenas que:a) o defensivo foi utilizado em A e em B.b) o defensivo foi utilizado em A.c) o defensivo foi utilizado em B.d) o defensivo no foi utilizado em A e foi utilizado em B.e) o defensivo no foi utilizado nem em A nem em B.

Essa questo refere-se aula passada, mas, no sei porque, eu pulei aresoluo dela. Por isso vamos fazer agora.

Temos duas proposies:

- Para a lavoura A: Se o defensivo utilizado, as plantas no ficamdoentes;

- Para a lavoura B: Se e somente se o defensivo utilizado, as plantasno ficam doentes.

A questo diz que as plantas da lavoura A e da lavoura B no ficaramdoentes.

Ou seja, temos:

V- Para a lavoura A: Se o defensivo utilizado, as plantas no ficam

doentes;V

- Para a lavoura B: Se e somente se o defensivo utilizado, as plantas

no ficam doentes.


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A primeira proposio possui uma estrutura do tipo Se...ento, que s Falsano caso proibido, Se V ento F. Como a segunda parte da proposio V, aproposio composta com certeza V, no importando o valor lgico daprimeira parte.

Ou seja, tanto se o defensivo utilizado for V quanto se o defensivo utilizado for F, a proposio composta V.

Ento, conclumos que o defensivo pode ou no ter sido utilizado. De ambas asmaneiras, as plantas no ficaram doentes.

Na segunda proposio, temos a estrutura Se e somente se. Ela est no incioda frase (normalmente aparece no meio), mas isso no importa. O que elaindica que a proposio composta s ser V se ambas as proposies simples

que a formam forem V ou se ambas as proposies simples que a formamforem F.

Assim, como a segunda proposio que a forma V, ento a primeiraproposio dever ser V tambm, para que a proposio composta seja V.

Portanto, para a lavoura B, o defensivo utilizado deve ser V.

Conclumos, ento, que o defensivo pode ou no ter sido utilizado em A, mascom certeza foi utilizado em B.

Assim, a resposta a letra C.

Resposta: letra C.

Raciocinio Logico - Aula 05

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