EQUAES DO 2 GRAU

Smbolos

: pertence: existe

: no pertence: no existe

: est contido: para todo (ou qualquer que seja)

: no est contido: conjunto vazio

: contmN: conjunto dos nmeros naturais

: no contmZ : conjunto dos nmeros inteiros

/ : tal queQ: conjunto dos nmeros racionais

: implica queQ'= I: conjunto dos nmeros irracionais

: se, e somente se: conjunto dos nmeros reais

Smbolos sobre OperaesA B: A interseco B A B: A unio B a - b: diferena de A com B a < b: a menor que b a b: a menor ou igual a b a > b: a maior que b a b: a maior ou igual a b a b: a e ba b: a ou b

CONJUNTOS

A noo de conjunto em matemtica a mesma da linguagem corrente, ou seja, conjunto sinnimo de agrupamento, coleo, classe etc.

Se x um elemento e A um conjunto, ento se quisermos indicar que x o elemento de A, usaremos a relao de pertinncia, escrevendoa) x A, significa x pertence a A b) x A, significa x no pertence a AExemplo : - Dado o conjunto A = {2, 4, 6, 8} 2 pertence a A 2 A 3 no pertence a A 3 A

REPRESENTAO DE CONJUNTOS

Um conjunto pode ser representado de trs maneiras:

a) Por enumerao de seus elementosex: A = {a, e, i, o, u}

b) Por descrio de uma propriedade caracterstica do conjuntoex: A = {x / x vogal}* Quando representarmos um conjunto atravs de uma propriedade ou por enumerao faremos usando chaves { }.

c) Atravs do diagrama de Euler-Vennex:

CONJUNTO UNITRIO: o conjunto formado por apenas um elemento. ex : A = { 2 }

CONJUNTO VAZIO: o conjunto que no possui elementos. Representado por ou { }

IGUALDADE DE CONJUNTOS: dois conjuntos so ditos iguais quando possuem os mesmos elementos.ex: A = { q, u, i, t, o } e B = { t, o, q, u, i, o }Logo A = B

SUBCONJUNTO

um conjunto que faz parte de outro conjunto.Se quisermos indicar que A um subconjunto de B, usaremos a relao de incluso, escrevendo:a) A B, significa A est contido em Bb) A B, significa A no est contido em B

O conjunto A um subconjunto do conjunto B se todo elemento de A elemento de B.

Simbolicamente:

A B { x / x A x B}

Exemplo :1) {a, b} {a, b, c, d}2) {a} {a, b} Ateno !!!

... qualquer que seja o conjunto AObs:( )relao de pertinncia entre um ELEMENTO e um CONJUNTO.( )relao de incluso entre um CONJUNTO e outro CONJUNTO.

Operaes com conjuntos

UNIO OU REUNIO DE CONJUNTO

Dados os conjuntos A e B, chama-se reunio ou unio desses conjuntos e escreve A B ao conjunto constitudo pelos elementos de A ou B ou de ambos.

A B = {x / x A ou x B}

INTERSECO DE CONJUNTOS

Dados os conjuntos A e B, chama-se interseco desses conjuntos e escreve-se A B ao conjunto constitudo aos elementos comuns de A e B.

A B = {x / x A e x B}

Obs:Dois conjuntos que tm interseco vazia so chamados de DISJUNTOS.

DIFERENA DE CONJUNTOS

Dados os conjuntos A e B, chama-se diferena entre A e B e indica-se por A - B ao conjunto dos elementos de A que no pertencem a B.

A - B = { x / x A e x B }

Exerccios

01. Se A e B so dois conjuntos no vazios, tais que: A B = {1, 2, 3 , 4, 5, 6, 7, 8}, A - B = {1, 3, 6, 7} e B - A = {4, 8}, ento A B o conjunto:R.: {2, 5}A - B (apenas A) 1,3,6,7B - A (apenas B) 4,8A U B 1,2,3,4,5,6,7,8A inter B = 2, 5. Os elementos 2 e 5 s aparecem na unio, logo so comuns a A e B

02. Se A e B so dois conjuntos no vazios, tais que: A B = {-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4} e A B = {-1, 3} e B - A = {-2, 4}, ento A - B o conjunto:R.: {0, 1, 2}

03. Num grupo de pessoas, detectou-se que 23 pessoas so fumantes, 52 tomam caf e todos os fumantes tomam caf. 10 pessoas sofrem de insnia porque fumam e outros 5 s porque tomam caf. Determine o nmero de pessoas no fumantes, consumidoras de caf, que no tem problemas para pegar no sono.R.: 2423 fumantes52 caf 52-23= 2910 insonia 5 por caf5 por fumar29-5= 24

04. Numa escola h n alunos. Sabe-se que 56 lem o jornal A, 21 lem os jornais A e B, 106 lem apenas um dos dois jornais e 66 no lem o jornal B. O valor de n :R.: 15856-21= 35 JA106-35= 71 LEEM APENAS O JB66-35= 31 NO LEEM NADA= 35+71+21+31=158

05. Feito exame de sangue em um grupo de 200 pessoas, constatou-se que: 80 delas tm sangue com fator Rh negativo, 65 tm sangue tipo O e 25 tm sangue tipo O com fator Rh negativo. O nmero de pessoas, com sangue de tipo diferente de O e com fator Rh positivo :R.: 8080-25= 5565-25=40200-35=135135-55= 80

06. Num grupo de estudantes, 80% estudam ingls, 40% estudam francs e 10% no estudam nenhuma destas duas lnguas. Nesse grupo, a porcentagem de alunos que estudam ambas as lnguas :R.: 6080+40+10= 130= 30%

07. Em uma classe, h 20 alunos que praticam futebol, mas no praticam vlei e h 8 alunos que praticam vlei mas no praticam futebol. O total dos alunos que praticam vlei 15. Ao todo, existem 17 alunos que no praticam futebol. O nmero de alunos da classe :R.: 44F=20S VOL=8VF=15-8=7NF=17-8=920+8+7+9 = 44

08. Em uma universidade, foram entrevistadas vrias pessoas a respeito de suas preferncias literrias. Os resultados da pesquisa indicaram que:59 lem Augusto dos Anjos63 lem lvares de Azevedo67 lem Manuel Bandeira24 lem Augusto dos Anjos e lvares de Azevedo23 lem Augusto dos Anjos e Manuel Bandeira25 lem lvares de Azevedo e Manuel Bandeira13 lem Augusto dos Anjos, lvares de Azevedo e Manuel Bandeira32 lem Drumond 15 lem Cruz e Souza28 lem Fernando PessoaQuantas pessoas foram entrevistadas?R.: 205

09. Num avio os passageiros so de quatro nacionalidades; argentinos, brasileiros, chilenos e paraguaios. Se desses passageiros 27% so argentinos, 78% no so chilenos e 83% no so paraguaios, qual a porcentagem de brasileiros?R.: 34%

10. Numa Academia temos que:34 Alunos no fazem natao nem aerbica.58 Alunos no fazem natao.83 Alunos no fazem aerbica.21 Alunos fazem natao e aerbica.Determine o nmero de alunos dessa academia.R.: 128

11. Numa empresa foi realizado um concurso escrito constitudo de dois problemas; 340 candidatos acertaram somente um problema, 300 acertaram o segundo, 120 acertaram os dois e 250 erraram o primeiro. Quantos candidatos fizeram a prova? R.:

12. Numa sociedade, existem 35 homens (que usam culos ou no), 18 pessoas que usam culos, 15 mulheres que no usam culos e 7 homens que usam culos. O nmero de pessoas que so homens ou usam culos :R.:

13. Numa cidade foi feito um levantamento para se saber quantas crianas haviam recebido as vacinas Sabin, Trplice e contra Sarampo. Os dados obtidos foram: VacinasNmeros de Crianas

Sabin5428

Trplice 4346

Sarampo5800

Sabin e Trplice812

Sabin e Sarampo904

Trplice e Sarampo721

Trplice, Sabin e Sarampo521

Nenhuma1644

Assinale a alternativa falsa: a) 4233 crianas receberam apenas a Sabin.b) 3334 crianas receberam apenas a Trplice.c) 4696 crianas receberam apenas a de Sarampo.d) 874 crianas receberam pelo menos duas vacinas.e) Nenhuma. R.:

14. Uma pesquisa sobre determinado governo procurou levantar a opinio de vrias pessoas sobre trs pontos: A, B e C. Os trs pontos pesquisados foram:A - A poltica econmica do governo est correta.B - O governo tem maioria absoluta no congresso.C - O governo tem apoio da maior parte da populao. A pesquisa apresentou os resultados da tabela abaixo.PontosResponderam

A60

B80

C40

A e B20

B e C10

A e C10

A, B e C5

Nenhum dos trs225

A metodologia da pesquisa foi a seguinte: pergunta-se a uma pessoa se ela concordava simultaneamente com os trs pontos, em seguida se ela concordava com os pontos combinados dois a dois e, finalmente, se ela concordava com cada um dos trs pontos indicados individualmente. Quantas pessoas foram pesquisadas?R.:

15. Depois de n dias de frias, um estudante observa que:1. Choveu 7 vezes, de manh ou tarde;2. Quando chove de manh no chove tarde;3. Houve 5 tardes sem chuva;4. Houve 6 manhs sem chuva.Podemos afirmar ento que n igual a:R.: 9 dias

16. 52 pessoas discutem a preferncia por dois produtos A e B, entre outros e conclui-se que o nmero de pessoas que gostavam de B era:I -O qudruplo do nmero de pessoas que gostavam de A e B;II -O dobro do nmero de pessoas que gostavam de A;III -A metade do nmero de pessoas que no gostavam de A nem de B.Nestas condies, o nmero de pessoas que no gostavam dos dois produtos igual a: R.:

17. 35 estudantes estrangeiros vieram ao Brasil. 16 visitaram Manaus; 16 visitaram So Paulo, e 11 visitaram Salvador. Desses estudantes, 5 visitaram Manaus e Salvador, e desses 5, 3 visitaram tambm So Paulo. O nmero de estudantes que visitaram Manaus ou So Paulo foi:R.:

18. Um teste de literatura, com 5 alternativas em que uma nica verdadeira, referindo-se data de nascimento de um famoso escritor, apresenta as seguintes alternativas:a) sculo XIXb) sculo XXc) antes de 1860d) depois de 1830e) nenhuma das anterioresPode-se garantir que a resposta correta : R.:

19. Aps um jantar, foram servidas as sobremesas X e Y. Sabe-se que das 10 pessoas presentes, 5 comeram a sobremesa X, 7 comeram a sobremesa Y e 3 comeram as duas. Quantas no comeram nenhuma?R.:

20. Sejam A, B e C conjuntos finitos. O nmero de elementos de A B 30, o nmero de elementos de A C 20 e o nmero de elementos de A B C 15. Ento o nmero de elementos de A (B C) igual a:R.:

21. Dos 500 msicos de uma Filarmnica, 240 tocam instrumentos de sopro, 160 tocam instrumentos de corda e 60 tocam esses dois tipos de instrumentos. Quantos msicos desta Filarmnica tocam:a) Instrumentos de sopro ou de corda?b) Somente um dos dois tipos de instrumento?c) Instrumentos diferentes dos dois citados?R.:

22) Numa pesquisa feita com pessoas que foram aprovadas em trs concursos A, B, e C, obteve-se os resultados tabelados a seguir:ConcursosN. de aprovados

A150

B140

C100

A e B45

A e C30

B e C35

A, B e C10

Pergunta-se:a) Quantas pessoas fizeram os trs concursos?b) Quantos candidatos foram aprovados em somente um dos trs concursos?c) Quantos candidatos foram aprovados em pelo menos dois concursos?d) Quantos candidatos foram aprovados nos concursos A e B e no no C?R.: