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Derivada De Funcoes PolinomiaisAs Regras do Produto e do Quociente

Regras De Derivacao

Jairo Menezes e Souza

UFG/CAC

23/10/2013

Jairo Menezes e Souza Regras De Derivacao


Funcao ConstanteFuncao PotenciaNovas Derivadas A Partir Das AntigasFuncoes Exponenciais

Funcao Constante

x

y

y = c

inclinacao = 0

Vamos calcular a derivada da funcao constante, f (x) = c .O graficoe a reta horizontal y = c e tem inclinacao 0 em todos os pontos.

f ′(x) = limh→0

f (x + h) − f (x)

h= lim

h→0

c − c

h= lim

h→00 = 0.




Funcao Constante

x

y

y = c

inclinacao = 0

Vamos calcular a derivada da funcao constante, f (x) = c .

O graficoe a reta horizontal y = c e tem inclinacao 0 em todos os pontos.

f ′(x) = limh→0

f (x + h) − f (x)

h= lim

h→0

c − c

h= lim

h→00 = 0.




Funcao Constante

x

y

y = c

inclinacao = 0


f ′(x) = limh→0

f (x + h) − f (x)

h= lim

h→0

c − c

h= lim

h→00 = 0.




Funcao Constante

x

y

y = c

inclinacao = 0


f ′(x) = limh→0

f (x + h) − f (x)

h

= limh→0

c − c

h= lim

h→00 = 0.




Funcao Constante

x

y

y = c

inclinacao = 0


f ′(x) = limh→0

f (x + h) − f (x)

h= lim

h→0

c − c

h

= limh→0

0 = 0.




Funcao Constante

x

y

y = c

inclinacao = 0


f ′(x) = limh→0

f (x + h) − f (x)

h= lim

h→0

c − c

h= lim

h→00 = 0.




Assim,

derivada de uma funcao constante

d

dx(c) = 0




Funcao Potencia

x

y y = x inclinacao = 1

Agora olhamos para a funcao f (x) = xn onde n e um inteiropositivo. Se n = 1 o grafico e uma reta com inclinacao 1. Daıpodemos mostrar que

derivada de y = x

d

dx(x) = 1 (1)




Podemos mostrar que

d

dx(x2) = 2x (2)

e que

d

dx(x3) = 3x2 (3)

Ainda que

d

dx(x4) = 4x3 (4)

Fazemos a conjectura que ddx (xn) = nxn−1




Proposicao

Se n e um inteiro positivo, entao

d

dx(xn) = nxn−1




Demonstracao.

Primeiro note que

xn − an = (x − a)(xn−1 + xn−2a + · · · + xan−2 + an−1)

Daı

f ′(a) = limx→a

f (x) − f (a)

x − a

= limx→a

xn − an

x − a= lim

x→a(xn−1 + xn−2a + · · · + xan−2 + an−1)

= an−1 + an−2a + · · · + aan−2 + an−1 = nan−1




Demonstracao.

Primeiro note que


Daı

f ′(a) = limx→a

f (x) − f (a)

x − a

= limx→a

xn − an

x − a

= limx→a

(xn−1 + xn−2a + · · · + xan−2 + an−1)

= an−1 + an−2a + · · · + aan−2 + an−1 = nan−1




Demonstracao.

Primeiro note que


Daı

f ′(a) = limx→a

f (x) − f (a)

x − a

= limx→a

xn − an

x − a= lim

x→a(xn−1 + xn−2a + · · · + xan−2 + an−1)

= an−1 + an−2a + · · · + aan−2 + an−1 = nan−1




Demonstracao.

Primeiro note que


Daı

f ′(a) = limx→a

f (x) − f (a)

x − a

= limx→a

xn − an

x − a= lim

x→a(xn−1 + xn−2a + · · · + xan−2 + an−1)

= an−1 + an−2a + · · · + aan−2 + an−1

= nan−1




Demonstracao.

Primeiro note que


Daı

f ′(a) = limx→a

f (x) − f (a)

x − a

= limx→a

xn − an

x − a= lim

x→a(xn−1 + xn−2a + · · · + xan−2 + an−1)

= an−1 + an−2a + · · · + aan−2 + an−1 = nan−1




A regra da multiplicacao por constante

A regra da multiplicacao por constante

Se c for uma constante e f uma funcao derivavel, entao

d

dx(cf (x)) = c

d

dx(f (x))




Demonstracao.

Temos que

(cf )′(x) = limh→0

(cf )(x + h) − (cf )(x)

h

= limh→0

cf (x + h) − cf (x)

h= lim

h→0c

[f (x + h) − f (x)

h

]

= c limh→0

f (x + h) − f (x)

h= cf ′(x)




Demonstracao.

Temos que

(cf )′(x) = limh→0

(cf )(x + h) − (cf )(x)

h

= limh→0

cf (x + h) − cf (x)

h

= limh→0

c

[f (x + h) − f (x)

h

]

= c limh→0

f (x + h) − f (x)

h= cf ′(x)




Demonstracao.

Temos que

(cf )′(x) = limh→0

(cf )(x + h) − (cf )(x)

h

= limh→0

cf (x + h) − cf (x)

h= lim

h→0c

[f (x + h) − f (x)

h

]

= c limh→0

f (x + h) − f (x)

h= cf ′(x)




Demonstracao.

Temos que

(cf )′(x) = limh→0

(cf )(x + h) − (cf )(x)

h

= limh→0

cf (x + h) − cf (x)

h= lim

h→0c

[f (x + h) − f (x)

h

]

= c limh→0

f (x + h) − f (x)

h

= cf ′(x)




Demonstracao.

Temos que

(cf )′(x) = limh→0

(cf )(x + h) − (cf )(x)

h

= limh→0

cf (x + h) − cf (x)

h= lim

h→0c

[f (x + h) − f (x)

h

]

= c limh→0

f (x + h) − f (x)

h= cf ′(x)




Exemplo

1 ddx (4x5)

2 ddx (−5x2)




Regra da Soma

A derivada da soma de duas funcoes e a soma das derivadas

A regra da soma

Se f e g forem diferenciaveis, entao

d

dx((f + g)(x)) =

d

dx(f (x)) +

d

dx(g(x))




Demonstracao.

temos que

(f + g)′(x) = limh→0

(f + g)(x + h) − (f + g)(x)

h

= limh→0

[f (x + h) + g(x + h)] − [f (x) + g(x)]

h

= limh→0

[f (x + h) − f (x)

h

]+

[g(x + h) − g(x)

h

]

= limh→0

f (x + h) − f (x)

h+ lim

x→0

g(x + h) − g(x)

h= f ′(x) + g ′(x)




Demonstracao.

temos que

(f + g)′(x) = limh→0

(f + g)(x + h) − (f + g)(x)

h

= limh→0

[f (x + h) + g(x + h)] − [f (x) + g(x)]

h

= limh→0

[f (x + h) − f (x)

h

]+

[g(x + h) − g(x)

h

]

= limh→0

f (x + h) − f (x)

h+ lim

x→0

g(x + h) − g(x)

h

= f ′(x) + g ′(x)




Demonstracao.

temos que

(f + g)′(x) = limh→0

(f + g)(x + h) − (f + g)(x)

h

= limh→0

[f (x + h) + g(x + h)] − [f (x) + g(x)]

h

= limh→0

[f (x + h) − f (x)

h

]+

[g(x + h) − g(x)

h

]

= limh→0

f (x + h) − f (x)

h+ lim

x→0

g(x + h) − g(x)

h= f ′(x) + g ′(x)




Escreva a fincao (f − g)(x) = f (x) + (−1)g(x) assim usando aregra da soma e da multiplicacao por constante temos que

Regra da Diferenca

Se f e g forem diferenciaveis, entao

d

dx((f − g)(x)) =

d

dx(f (x)) − d

dx(g(x))




Exemplo

1 ddx (x8 + 12x5 − 5x3 + 10x + 5)

2 Ache os pontos sobre a curva y = x4 − 6x2 + 4 onde a retatangente e horizontal.




x

y

y = x4 − 6x + 4




Funcoes Exponenciais

Vamos tentar calcular a derivada da funcao f (x) = ax usando adefinicao de derivada.

f ′(x) = limh→0

f (x + h) − f (x)

h

= limh→0

ax+h − ax

h

= limh→0

axah − ax

h= lim

h→0ax

[ah − 1

h

]Como ax e constante com relacao a h, temos

f ′(x) = ax limh→0

ah − 1

h. Daı temos que

f ′(x) = ax f ′(0) (5)






f ′(x) = limh→0

f (x + h) − f (x)

h= lim

h→0

ax+h − ax

h

= limh→0

axah − ax

h= lim

h→0ax

[ah − 1

h



ah − 1

h. Daı temos que

f ′(x) = ax f ′(0) (5)






f ′(x) = limh→0

f (x + h) − f (x)

h= lim

h→0

ax+h − ax

h

= limh→0

axah − ax

h

= limh→0

ax[ah − 1

h



ah − 1

h. Daı temos que

f ′(x) = ax f ′(0) (5)






f ′(x) = limh→0

f (x + h) − f (x)

h= lim

h→0

ax+h − ax

h

= limh→0

axah − ax

h= lim

h→0ax

[ah − 1

h

]

Como ax e constante com relacao a h, temos


ah − 1

h. Daı temos que

f ′(x) = ax f ′(0) (5)






f ′(x) = limh→0

f (x + h) − f (x)

h= lim

h→0

ax+h − ax

h

= limh→0

axah − ax

h= lim

h→0ax

[ah − 1

h



ah − 1

h. Daı temos que

f ′(x) = ax f ′(0) (5)






f ′(x) = limh→0

f (x + h) − f (x)

h= lim

h→0

ax+h − ax

h

= limh→0

axah − ax

h= lim

h→0ax

[ah − 1

h



ah − 1

h

. Daı temos quef ′(x) = ax f ′(0) (5)






f ′(x) = limh→0

f (x + h) − f (x)

h= lim

h→0

ax+h − ax

h

= limh→0

axah − ax

h= lim

h→0ax

[ah − 1

h



ah − 1

h. Daı temos que

f ′(x) = ax f ′(0) (5)




Tınhamos definido o numero e como a base em que a inclinacaoda reta tangente a curva y = ax no ponto (0, 1)e igual a 1.Usando a definicao de derivada temos que

Definicao de e

e e o numero que satisfaz

limh→0

eh − 1

h= 1




De todas as funcoes exponeciais a funcao f (x) = ex e a funcao emque a tangente ao grafico de y = f (x) no ponto (0, 1) teminclinacao 1.

x

y y = 3x

y = exy = 2x

x

y

1 inclinacao = 1

(x , ex) inclinacao = ex

y = ex




Se pusermos a = e, temos que f ′(0) = 1 teremos na equacao 16,teremos esta formula de derivacao muito importante.

Derivada da funcao exponencial natural

d

dx(ex) = ex

Assim temos que a funcao y = ex e solucao da equacao diferencialordinaria y ′ = y .




Exemplo

1 Se f (x) = ex − x ache f ′ e f ′′.

2 Em que ponto da curva y = ex sua tangente e paralela a retay = 2x .


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