9. Relaes9.1 Relaes no Plano CartesianoSejam A e B conjuntos no vazios. Uma relao em AxB qualquer subconjunto R de AxB.

A relao mostrada na figura acima :R = { (a,3), (b,3), (c,2), (c,3), (d,2), (d,3) }Uma relao R de A em B pode ser denotadapor R: AB.Exemplo:Se A={1,2} e B={3,4}, o produto cartesiano AxB={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)} e neste caso, temos algumas relaes em AxB:1. R1={(1,3),(1,4)}2. R2={(1,3)}3. R3={(2,3),(2,4)}

9. Relaes9.2 Domnio e imagem de uma relao (R)As relaes mais importantes so aquelas definidas sobre conjuntos de nmeros reais e nem sempre uma relao est definida sobre todo o conjunto dos nmeros reais. Para evitar problemas com estes, costuma-se definir uma relao R: AB, onde A e B so subconjuntos de R, da seguinte forma: O conjunto A o domnio da relao R, denotado por D(R) e B o contradomnio da relao, denotado por C(R).D(R)= { xA: existe y em B tal que(x,y)}Im(R) = { xB: existe xA tal que(x,y) )}Domnio o conjunto D(R) de todos os primeiros elementos dos pares ordenados (x, y) que pertencem a R.Imagem o conjunto Im(R) de todos os segundos elementos dos pares ordenados (x, y) que pertencem a R.

Exemplo:1) Determine o domnio e a imagem das seguintes relaes:a) R1 = {(2, 6), (3, 7), (4, 8), (5, 9)}D(R1) = {2,3,4,5}Im(R1) = {6,7,8,9}b) R2 = {(0,1), (1,1), (1,2), (1,3)}D(R2) = {0,1}Im(R2) = {1,2,3}

9. Relaes9.3 Representaes grficas de relaes em AxB:R1={(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3),(c,1),(d,1),(d,2),(d,3)}

R2={(a,1),(b,2),(c,3),(d,1)}

R3={(a,1),(b,1),(b,2),(c,3),(d,3)}

9. Relaes

9.4 Relao BinriaDados dois conjuntos, A e B, no vazios, chamamos de relao binria (R) de A em B qualquer subconjunto do produto cartesiano AxB, ou seja, R AxB .O conjunto A chamado de domnio, isto , origem ou conjunto de partida de R.O conjunto B chamado de contradomnio, isto , destino ou conjunto de chegada de R.Os elementos de A so chamados de x e os elementos de B so chamados de y.O conjunto formado por todos os y pertencentes relao chamamos de imagem.Exemplo:Dados os conjuntos A = {1,2,3} e B = {4,5,6}, efetuando o produto cartesiano A x B, temos: A x B = {(1,4), (1,5), (1,6), (2,4), (2,5), (2,6), (3,4), (3,5), (3,6)}Vamos considerar uma relao binria do produto cartesiano AxB, em que, o y o dobro de x. Na linguagem simblica: xRy R = {(x, y) AxB | y = 2x}.Ou seja, a relao pedida : R = {(2,4), (3,6)}Esta relao pode ser representada por um diagrama de flechas e tambm por um grfico cartesiano:Neste exemplo temos:Domnio: D (R) = {1,2,3}Contradomnio: CD (R) = (4,5,6}Imagem: Im (R) = {4,6}

9. Relaes9.5 Relao InversaSeja R uma relao de A em B. A relao inversa de R, denotada por R-1, definida de B em A por: R-1 = {( y, x) BxA| (x, y) R}.Exemplo: Sejam A = {a,b,c} e B = {d,e,f} e R uma relao em AxB, definida por:Ento:R = {(a,d), (a,e),(a,f), (b,d),(b,e),(b,f),(c,d),(c,e),(c,f)}R-1 = {(d,a),(e,a),(f,a),(d,b),(e,b),(f,b),(d,c),(e,c),(f,c)}Observao:O grfico da relao inversa R-1 simtrico ao grfico da relao R, em relao reta y=x (identidade).

9. 6 Matriz de uma relaoSejam A e B dois conjuntos finitos. A representao R : AB como matriz :a) o nmero de linhas n (nmero de elementos do domnio)b) o nmero de colunas m (nmero de elementos da imagem)c) a matriz resultante possui m x n clulasd) cada uma da m x n clulas possuem valor lgico associadoe) se (x,y) R, ento a posio determinada pela linha i e pela coluna j da matriz contm valor verdadeiro (1); caso contrrio, seu valor ser falso (0).Exemplo: Dado os conjuntos A = {a}, B = {a,b} e C = {0,1,2}, temos que: a) R = {(x, y) B B | x = y}

=ab1001

9. Relaes9. 6 Matriz de uma relaob) R = {(x, y) C C | x < y}