Relao de StewartSeja ABC um tringulo de lados que divide em dois segmentos e seja o comprimento de uma ceviana .

A relao de Stewart dada por:

Demonstrao: Aplicando a lei dos cossenos nos tringulos e , vem:

Multiplicando a primeira equao por , vem:

, a segunda por

e sabendo que

Somando as duas equaes acima, temos:

Como

, conclumos que:

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EXERCCIOS RESOLVIDOS 1) A figura mostra quatro circunferncias tangentes entre si de centros C, D, E e O. Calcule o raio da circunferncia de centro E, sabendo-se que o raio da circunferncia de centro D 1 cm e o raio da circunferncia de centro C igual a 2 cm.

Resoluo Sendo o raio da circunferncia de centro O igual a 3 e centro E, no tringulo DEC, temos: o raio da circunferncia de

Utilizando Stewart, vem

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2) Mostre que a mediana relativa ao ponto

dada por

Resoluo Sendo , a relao de Stewart fornece

Analogamente, o resultado tambm serve para

3) Determinar a bissetriz do ngulo maior de um tringulo cujo permetro

e cujos lados so proporcionais a 4, 6 e 9. Resoluo O permetro do tringulo 38 . Da soma

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Portanto, os lados do tringulo medem 8, 12 e 18.

Do teorema da bissetriz interna, temos:

Usando a relao de Stewart, vem:

Sendo B a medida da bissetriz.

4) Calcule a medida da mediana relativa ao lado , sabendo que

de um tringulo

Resoluo Desenvolvendo a expresso dada no enunciado, temos:

Substituindo no resultando encontrado na questo 2, vem:

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5) Considere uma elipse de focos e , e um ponto qualquer dessa curva. Traa-se por duas secantes e , e que interceptam a elipse em e , respectivamente. Demonstre que a soma constante .

Sugesto: Calcule inicialmente a soma

Resoluo

Aplicando a relao de Stewart no tringulo

, vem:

Tendo em conta que

, temos:

Desenvolvendo a equao acima, chegamos em:

Analogamente,

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Multiplicando

por

e

por

, encontraremos:

Somando as duas equaes, vem:

Sendo

constantes. Portanto,

EXERCCIOS PROPOSTOS 1) Seja a bissetriz interna relativa ao lado de um tringulo. Usando a relao de Stewart, mostre que

2) Seja

a bissetriz externa relativa ao lado

de um tringulo

. Usando a relao de Stewart, mostre que

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