GUIA DE TEORIA

UNIDAD I: DERIVADAS PARCIALES

Profesor:

Pedro Colina

REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAMINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTALDE LA FUERZA ARMADA (UNEFA).

NUCLEO ZULIA –EXTENSIÓN MARACAIBOCICLO BASICOMatemática III

Maracaibo, Octubre 2.009

MATEMATICA III

UNIDAD I. DERIVADAS PARCIALES

CONTINUACION. SEGUNDA PARTE

1.2- GRADIENTE DE :

Recordemos que si una función es diferenciable en un punto P, eso significa que existe una

derivada en cualquier dirección que es tangente a la superficie dada por la funciónl en ese punto P,

eso hace que exista un plano tangente a la superficie que contiene a todas esas rectas tangentes que

pasan por P. Por otra parte sabemos que una de las maneras de definir un plano en el espacio es a

través de su vector normal, entonces resulta que las componentes de las derivadas parciales al

escribirlas como vector permite identificar un vector que es perpendicular al plano tangente a la

superficie en un punto, a este vector se le llama vector gradiente.

Observemos a continuación la figura 1, en ella las dos rectas tangentes y que se

intersecan en el punto de la superficie S.

Entonces el plano tangente a la superficie S en el punto se define como el plano que

contiene a las dos rectas tangentes y . El vector perpendicular a ese plano es el vector normal al

plano llamado gradiente de .

El gradiente de en es un vector normal al plano tangente de la superficie S en

el punto cuyas componentes son las derivadas parciales de evaluadas en P;

Se pueden escribir de manera vectorial así:

= ,

=

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAMINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICADE LA FUERZA ARMADA

NÚCLEO ZULIADIVISIÓN ACADÉMICA

TEOREMAS REFERIDOS A FUNCIONES DIFERENCIABLES.

TEOREMA 1.

Sea , abierto, . Se dice que la función es diferenciable en si existe y una función real tal que:

- = +

Donde = 0

es un punto que representa un vector posición que al multiplicar escalarmente con el gradiente que es un vector, obtenemos - = + +

Primero se halla el , si existe, sino no, no es diferenciable.Segundo se busca y luego se evalúa el límite si existe y es 0 es diferenciable.

TEOREMA 2.

Sea , abierto, . Si la función es diferenciable en , entonces es continua en .

De este teorema se concluye que: si es discontinua en entonces no es diferenciable en .

TEOREMA 3.

●●

figura 1

zPlano tangente

Sea , abierto, . Si la función posee las primeras derivadas parciales continuas en un entorno de entonces es diferenciable en .

DIFERENCIALES DE VARIABLES.

INCREMENTO DE UNA VARIABLE DEPENDIENTE.

La noción de diferenciabilidad de una función tiene que ver en gran medida de la variación o

incremento de la variable dependiente.

Para el caso de una función de una sola variable (independiente x), la función se denota:

, y su variación o incremento respecto a la variación se escribe:

.

Ahora cuando se tiene una función de dos variables independientes x e y , donde la variable z

se toma como dependiente , y su variación depende de los incrementos dados

, entonces el incremento correspondiente de , , se define como:

,

Donde el incremento representa el cambio en el valor de la función cuando ocurre una variación

del punto del dominio a .

En términos generales se dice que las diferenciales y son variables independientes lo cual

permite que se puedan evaluar en cualquier punto del dominio de la función.

Entonces se entiende por diferencial , también llamada la diferencial total, a la expresión:

,

representa el cambio en la altura del plano tangente, en tanto que representa el cambio en la

altura de la superficie , cuando cambia a .

1.3- PLANO TANGENTE Y RECTA NORMAL

1.3.1- PLANO TANGENTE

Para definir la ecuación de un plano que es tangente a un punto de alguna superficie S dada por la función es fácil definirla a través del gradiente evaluado en el punto de tangencia P. como la función es diferenciable en el punto de la superficie S dada por con gradiente entonces se define el plano tangente a S en como el plano que pasa por y es normal a

1.3.2- RECTA NORMAL

Para hallar la ecuación de la recta normal que pasa por P, debemos recordar que el vector gradiente es también normal al plano tangente que pasa por P, es decir, se conoce la dirección de la recta normal a través de la dirección del gradiente (con la dirección de ), falta entonces hacerla pasar por el punto P y se obtiene una ecuación de la recta que se llama la recta normal a S en P.

Se definen varios tipos de ecuaciones para esta recta normal:

Ecuación vectorial: Donde t es un parámetro cualquiera que corresponde con un número real.

Ecuación Paramétricas: Despejando el parámetro e igualando tendremos la ecuación Simétrica.

Ecuación Simétrica:

TEOREMA El Gradiente es normal a las curvas de nivel.Si es diferenciable en un punto y además , entonces:

1.3.3- REGLA DE LA CADENA

Para funciones de dos o más de una variables se pueden aplicar algunos teoremas para hallar la derivada de funciones donde existan composiciones de funciones.

1.3.3.1- PARA UNA VARIABLE INDEPENDIENTE

Sea una función diferenciable de y . Si y son funciones derivables de , entonces es función derivable de , con

w

x y

tt

d d

Si , si cada es función de una sola variable , entonces se tiene:

1.3.3.2- DOS VARIABLES INDEPENDIENTES

Sea una función diferenciable de y . Si y y existen

las derivadas parciales , , y entonces y existen también y vienen dadas

por :

Si , si cada es función de dos variables y , entonces se tiene:

w

x y

tt

s s

Para el caso de más de una composición, la expresión de la relación entre las variables que intervienen en el diagrama de árbol se dibujan de manera análoga, solo que para el cálculo de alguna de ellas el proceso se hace un poco largo, por lo cual no serán analizados en este contenido.

1.4- MAXIMOS Y MINIMOS DE LAS FUNCIONES DE DOS VARIABLES.

DEFINICIÓN DE EXTREMOS RELATIVOS

1.4.1- MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS.

Si f es una función de x y y, que es diferenciable en todo su dominio D , entonces f tiene un

máximo relativo en (a, b) si f(a, b) f(x, y) para toda (x, y) en una pequeña cercanía de (a, b),

también f tiene un mínimo relativo en (a, b) si f(a, b) f(x, y) para toda (x, y) en una pequeña

cercanía de (a, b), y además f tiene un punto de silla en (a, b) si f tiene allí un mínimo relativo a lo

largo de un corte y un máximo relativo a lo largo de otro corte.

La función que se ilustra a continuación tiene un mínimo relativo en (0, 0), un máximo

relativo en (1, 1), y puntos de silla en (1, 0) y (0, 1).

1.4.2- DEFINICIÓN DE PUNTOS CRITICOS

El punto es un punto crítico de la función , si esta en el dominio de , y o

bien , o bien no existen, es decir, las derivadas

parciales evaluadas en el punto existen y valen cero, o simplemente ambas no existen.

Si es un extremo relativo (máximo o mínimo), entonces el punto que pertenece

al dominio de f, debe ser un punto crítico de . Sin embargo; aunque los extremos relativos pueden

ocurrir solamente en los puntos críticos, todo punto crítico no corresponde necesariamente a un

extremo relativo ya que según la definición en estos pudiera no existir sus derivadas parciales, por lo

cual se tiene que los puntos críticos son posibles puntos extremos relativos. Es decir, todo punto

extremo relativo proviene de un punto crítico pero todo punto crítico no refiere un extremo

relativo.

TEOREMASi tiene un extremo relativo en , entonces debe ser un punto crítico de

1.4.3- TEOREMA. CRITERIO DE LAS SEGUNDAS DERIVADAS

Suponga que tiene segundas derivadas parciales continuas en algún disco abierto que contiene al punto y que . Se define el discriminante D para el punto mediante

i) Si , entonces tiene un mínimo relativo en ii) Si , entonces tiene un máximo relativo en iii) Si , entonces tiene un punto de silla en iv) Si , entonces no se puede sacar conclusión alguna.

Sea un punto crítico de una función con las derivadas parciales de segundo orden continuas en P, y sea el determinante de su matriz Hessiana, entonces:

Entonces se puede seguir el siguiente resumen:

Criterio del HessianoTipo de punto

Positivo Positivo Mínimo

Positivo Negativo Máximo

Negativo Punto de Silla

cero No permite concluir nada

Es decir, si el Hessiano es positivo hay punto extremo relativo, para identificar si es máximo o mínimo se calcula (el tipo nos lo da ) si es negativa máximo y si es positiva mínimo). Si el Hessiano es negativo no hay extremo. Y si el Hessiano es cero hay duda (que habrá que resolver por otro método). Sin embargo para este curso solo utilizaremos este criterio para determinar valores extremos relativos en el dominio de una función sin restricciones.

1.4.1- PUNTOS EXTREMOS ABSOLUTOS.

MÁXIMOS Y MÍNIMOS ABSOLUTOS.

Suponga que la función de dos variables posee su dominio es un disco cerrado D,

además es continua en D, siendo una región acotada. Entonces se dice que posee valores

extremos absolutos en D, al menos un máximo absoluto y un mínimo absoluto en D.

Estos valores extremos pueden encontrarse en los puntos interiores del dominio como los puntos

extremos relativos o pueden encontrarse en la frontera.

TEOREMA. VALOR EXTREMO.

Suponga que es continua sobre la región cerrada y acotada .Entonces, tiene tanto un máximo absoluto como un mínimo absoluto en . Además, los extremos absolutos deben ocurrir en un punto critico de o en la frontera de .

Ejercicios.

1.- Halle y clasifique todos los puntos críticos.

a) b)

c) d)

e) f)

g) h)

i)

2.- Calcule los valores máximos y mínimos absolutos de sobre el conjunto D.a) , D es una región triangular cerrada, con vértices (0,0); (4,0) y (4,5).b) , D es una región triangular cerrada, con vértices (-1,1); (2,1) y (-1,-2).

1.5- MULTIPLICADORES DE LAGRANGE.

Este método o técnica es aplicada a la resolución de problemas de optimización con

restricciones. Supongamos que queremos hallar valores máximos o mínimos de la función ,

con la restricción . Suponemos que tanto como tienen primeras derivadas

continuas.

TEOREMA.Supongamos que y son funciones con primeras derivadas parciales

continuas y 0 sobre la superficie = 0- Suponga que se cumple una de las siguientes situaciones:

i) el valor mínimo de sujeto a la restricción = 0 ocurre en ;

ii) el valor máximo de sujeto a la restricción = 0 ocurre en

Entonces debe cumplirse:

para alguna constante (llamada multiplicador de Lagrange).

El teorema expresa que en cualquier extremo de en la superficie = 0 que representa una restricción o condición a cumplir, se tendrá al momento de satisfacer la ecuación vectorial anterior, la cual se puede escribir en función de las componentes de los vectores involucrados.

Ec nº 1

Ec nª 2 Ec nº 3

Ec nº 4

Entonces en estos casos para determinar los valores extremos que cumplan con la condición se reduce a resolver estas cuatro ecuaciones respecto a las cuatro incógnitas .

EJEMPLOS DEL METODO DE LAGRANGEPara cuando la función debe cumplir o satisfacer una condición.

Ejemplo 1:¿Cuál es el área máxima que puede tener un rectángulo si la longitud de su diagonal es 4

Solución:Represente un rectángulo con lados x e y, base y altura respectivamente.

La longitud de la diagonal es 4, fíjese que se forma un triangulo rectángulo.Función a optimizar: maximizar en este caso: Área.Área de un rectángulo: A = x.yCondición a cumplir: , de una manera más fácil:

Al tener identificadas la función y la condición, se determinan los gradientes.

Así las ecuaciones de Lagrange son:

…. (1)

x

y4

…..(2) …(3)

Al resolver el sistema, una de las formas puede ser:Multiplicar la ecuación (1) por x, y también la ecuación (2) por y,

…. (4) …..(5)

Se igualan las ecuaciones (4) y (5) al simplificar queda:

; queda: .Luego una variable se expresa en función de la otra y se sustituye en la ecuación (3).

Si y = x

Como estamos midiendo distancias, x solo puede tomar valores no negativos, así que se tiene un único punto que es para x= , la altura y también vale.Asi pues las dimensiones del rectángulo corresponden con un cuadrado de lado . Su área será: A= * =8

Ejemplo 2:¿Cuáles son los valores máximos y mínimos que puede tener una la función

, sobre el círculo ?

Solución:Se pide calcular los valores extremos de la función sujeta a la restricción Calculamos los gradientes:

Las ecuaciones de Lagrange pueden escribirse:

……ec nº 1 ……ec nº 2……ec nº3

Partiendo de la ecuación Nº 1 se tiene:

y , entonces se verifican estos dos valores en las otras ecuaciones.

Si x=0 en la ec nº4 se obtiene:

Luego si , en la ec nº2 se tiene y=0, y luego en la ec nº3,

Como consecuencia, tal vez tiene valores extremos en los puntos: (0,1) (0,-1) (1,0) (-1,0)

Al evaluar a en esos cuatro puntos se encuentra que:

o

Por consiguiente, hay dos valores máximos en los puntos (0,1); (0,-1) y dos valores mínimos en los puntos: (1,0) y (-1,0).