Resistência de materiais.pdf exercícios resolvidos em 26 mar 2016

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AFONSO CARIOCA – WHATSAPP/ZAPZAP (62) 8109-4036 / 9469-8239

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS (REMA) – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

01) A coluna de aço A-36 é usada para suportar as cargas simétricas dos dois pisos de um edifício. Determine o

deslocamento vertical de sua extremidade, A, se P1 = 200 kN, P2 = 310 KN e a coluna tiver área de seção

transversal de 14.625 mm²

SOLUÇÃO:

2 6 2

AB BC

3 3

1 2

9

Dados :

L L 3,6 m A 14.625 mm 14.625 10 m

P 200 kN 200 10 N P 310 kN 310 10 N

E 200 GPa 200 10 Pa

Trecho AB

2 6 2

AB

3 9

1

y AB 1 AB 1

AB

Dados :

L 3,6 m A 14.625 mm 14.625 10 m

P 200 kN 200 10 N E 200 GPa 200 10 Pa

Assim :

F 0 P 2 P 0 P 2 P 2 200 kN 400 kN

P 400 kN contração




3 64AB AB

AB 9 6 9

4

AB

Assim :

P L 400 10 3,6 1,44 10m m 4,9231 10 m

E A 200 10 14.625 10 2,925 10

Assim :

4,9231 10 m

Trecho BC

2 6 2

BC

3 3

1 2

9

y BC 1 2 AB 1 2

BC

BC BCBC

Dados :

L 3,6 m A 14.625 mm 14.625 10 m

P 200 kN 200 10 N P 310 kN 310 10 N

E 200 GPa 200 10 Pa

Assim :

F 0 P 2 P 2 P 0 P 2 P 2 P 2 200 2 310 kN 1020 kN

P 1020 kN contração

Assim :

P L 1020

E A

3 63

9 6 9

4

BC

4 3 3

A AB BC

A

10 3,6 3,672 10m m 1,2554 10 m

200 10 14.625 10 2,925 10

Assim :

1,2554 10 m

Dessa forma:

4,9231 10 1,2554 10 m 1,74771 10 m

Assim :

1,74771 mm




02) A haste de aço A-36 está sujeita ao carregamento mostrado. Se a área de seção transversal da haste for

60 mm2, determine o deslocamento de B e A. Despreze o tamanho dos acoplamentos em B, C e D.

SOLUÇÃO:

2 6 2

AB BC CD

3 3 3

A B C

9

Dados :

L 0,5 m L 1,5 m L 0,75 m A 60 mm 60 10 m

P 8 kN 8 10 N P 2 kN 2 10 N P 3,3 kN 3,3 10 N

E 200 GPa 200 10 Pa

Trecho AB




2 6 2

AB BC CD

3 3 3

A B C

9

y AB A AB A AB

3

AB ABAB 9 6

Dados :

L 0,5 m L 1,5 m L 0,75 m A 60 mm 60 10 m

P 8 kN 8 10 N P 2 kN 2 10 N P 3,3 kN 3,3 10 N

E 200 GPa 200 10 Pa

Assim :

F 0 P P 0 P P P 8 kN Tração

Assim :

P L 8 10 0,5 4 1m

E A 200 10 60 10

34 4

AB6

0m 3,3333 10 m 3,3333 10 m

12 10

Trecho BC

y

y y

y

2 6 2

AB BC CD

3 3 3

A B C

9

B

B 3 3 3BB B B

y BC B

Dados :

L 0,5 m L 1,5 m L 0,75 m A 60 mm 60 10 m

P 8 kN 8 10 N P 2 kN 2 10 N P 3,3 kN 3,3 10 N

E 200 GPa 200 10 Pa

Pr oje tando a força P no eixo y :

PP 3P P 0,6 2 10 N 1,2 10 N P 1,2 10 N

5 3 5

F 0 P 2 P

y

3 3

A BC A B

3

BC BC

3 33 3BC BC

BC BC9 6 6

P 0 P P 2 P 8 10 2 1,2 10 N

P 10,4 10 N P 10,4 kN Tração

Assim :

P L 10,4 10 1,5 15,6 10m m 1,3 10 m 1,3 10 m

E A 200 10 60 10 12 10




Trecho CD

y

y y

y

2 6 2

AB BC CD

3 3 3

A B C

9

B

B 3 3 3BB B B

y BC B

Dados :

L 0,5 m L 1,5 m L 0,75 m A 60 mm 60 10 m

P 8 kN 8 10 N P 2 kN 2 10 N P 3,3 kN 3,3 10 N

E 200 GPa 200 10 Pa


PP 3P P 0,6 2 10 N 1,2 10 N P 1,2 10 N

5 3 5

F 0 P 2 P

y

y y

3 3

A BC A B

3

BC BC

C

3 3 3

C C C C C

y CD B C A Cd A B C

P 0 P P 2 P 8 10 2 1,2 10 N

P 10,4 10 N P 10,4 kN Tração


P P sen 60 P 0,866P 0,866 3,3 10 N 2,8578 10 N P 2,8578 10 N

F 0 P 2 P 2 P P 0 P P 2 P 2 P 8

CD CD

3 33 3CD CD

CD CD9 6 6

2 1,2 2 2,8578 kN

P 8 2,4 5,7156 kN P 16,1156 kN Tração

Assim :

P L 16,1156 10 0,75 12,0867 10m m 1,0072 10 m 1,0072 10 m

E A 200 10 60 10 12 10

4 3 3

AB BC CD

3 3 3

B BC CD B

4 3 3

A AB B A

Dados :

3,3333 10 m 1,3 10 m 1,0072 10 m

Assim :

1,3 10 1,0072 10 m 2,3072 10 m 2,3072 mm

e

3,3333 10 2,3072 10 m 2,6405 10 m 2,6405 mm




03) O conjunto é composto por uma haste CB de aço A-36 e uma haste BA de alumínio 6061-T6, cada uma com

diâmetro de 25 mm. Determine as cargas aplicadas P1 e P2 se A se deslocar 2 mm para a direita e B se deslocar

0,5 mm para a esquerda quando as cargas forem aplicadas. O comprimento de cada segmento quando não

alongado é mostrado na figura. Despreze o tamanho das conexões em B e C e considere que elas são rígidas.

SOLUÇÃO:

Roteiro:

(1) Listar os dados do problema, fazendo as devidas conversões.

(2) Separar a estrutura em partes, como indicado na figura abaixo:

(3) Aplicar as equações de deslocamento:

3 3

A B AB

9 3

22 3 2 4 4

AB

3 3AB AB 1A B 9 4

Trecho AB

2 mm 2 10 m 0,5 mm 0,5 10 m L 1,2 m

E 68,9 GPa 68,9 10 Pa d 25 mm 25 10 m

A d 0,785 25 10 m 4,906 10 m A 4,906 10 m4

P L P 1,22 10 0,5 10

E A 68,9 10 4,906 10

Assim

3 3 6 311 16

3

! 1

:

P 1,22,5 10 1,2 P 2,5 10 33,802 10 1,2 P 84,505 10

33,802 10

Assim :

84,505P N 70,42 10 N P 70,42 kN

1,2




3 9

B BC aço

3

22 3 2 4 4

BC

1 23BC BCB 9 4

1 23

Trecho BC

0,5 mm 0,5 10 m L 0,6 m E 200 GPa 200 10 Pa

d 25 mm 25 10 m

A d 0,785 25 10 m 4,906 10 m A 4,906 10 m4

P P 0,6P L0,5 10

E A 200 10 4,906 10

Assim :

P P 0,60,5 10

9

3 6 3

1 1 26

33 3

! 2 ! 2

3

1

3 3 3

! 2 2

2

1,2 P 0,5 10 98,12 10 0,6 P P 49,06 108,12 10

Assim :

49,06 10P P N 81,77 10 N P P 81,77 10 N

0,6

Mas :

P 70,42 10 N

Substituindo :

P P 81,77 10 70,42 10 P 81,77 10 N

Assim :

P 81,77

3 3 3

210 70,42 10 152,19 10 N P 152,19 kN




04) O eixo AC de aço A-36 com 15 mm de diâmetro é sustentado por um colar rígido fixado ao eixo B. Se for

submetido a uma carga axial de 80 kN em sua extremidade, determine a distribuição de pressão uniforme p no

colar exigida para o equilíbrio. Calcule também o alongamento nos segmentos BC e BA.

SOLUÇÃO:

Roteiro:

(1) Listar os dados e fazer as devidas conversões.

3 3

AB BC

3 3

AC colar

3 9

C aço

Dados :

L 200 mm 200 10 m L 500 mm 500 10 m

d 15 mm 15 10 m r 35 mm 35 10 m

P 80 kN 80 10 N E 200 GPa 200 10 Pa

(2) Cálculo da Distribuição de Pressão p

3 3 3

AC colar Colar

3

C

2 22 2 3 3 2

C colar AC

3 2 3 2

C C

3

C

3

C

Dados :

d 15 mm 15 10 m r 35 mm 35 10 m d 70 10 m

P 80 kN 80 10 N

Área do colar :

A d d 0,785 70 10 15 10 m4

A 0,785 4,675 10 m A 3,67 10 m

Assim :

P 80 10p Pa

A 3,67 10

621,80 10 p 21,80 MPa




(3) Separar a estrutura em partes, conforme a figura:

3 3

BC AB

9 3

aço AC

3 3

colar Colar

3 3

C AB BC C

22 3 2

AC

Dados :

L 500 mm 500 10 m L 200mm 200 10 m

E 200 GPa 200 10 Pa d 15 mm 15 10 m

r 35 mm 35 10 m d 70 10 m

P 80 kN 80 10 N P 0 P P 80 kN 80 10 N

Deslocamentos :

A d 0,785 15 10 m A 14

4 2

3 3 33BC BC

BC BC9 4 6

3

AB ABAB AB9 4

,766 10 m

Assim :

P L 80 10 500 10 40 10m m 1,1325 10 m 1,1325 mm

E A 200 10 1,766 10 35,32 10

e

P L 0 200 10m 0 0

E A 200 10 1,766 10




05) O conjunto é composto por três hastes de titânio e uma barra rígida A C. A área da seção transversal de

cada haste é dada na figura. Se uma força vertical P = 20 kN for aplicada ao anel F, determine o deslocamento

vertical do ponto F. Eti = 350 GPa.

SOLUÇÃO:

Roteiro:

(1) Listar os dados e fazer as devidas conversões

BA DC AE EC EF

2 3 2 3 2 3

BA DC EF

3 9

ti

Dados :

L 2 m L 2 m L 0,5 m L 0,75 m L 1,5 m

A 60 mm 60 10 m A 45 mm 45 10 m A 75 mm 75 10 m

P 20 kN 20 10 N E 350 GPa 350 10 Pa

(2) Aplique as equações de equilíbrio para encontrar BA DC

F e F

(3) Calcule os deslocamentos




DC DC BA BA EFC A EF

DC BA EF

ECE C A C F E EF

AC

F L F L P L

E A E A E A

Assim :

L

L

06) A coluna é construída de concreto de alta resistência e seis hastes de reforço de aço A -36. Se ela for

submetida a uma força axial de 150 kN, determine a tensão normal média no concreto e em cada haste. Cada

uma tem diâmetro de 20 mm.

SOLUÇÃO:

3

conc conc aço

9 9

aço conc

22 2 3 2

conc conc conc

22 3 2

aço aço aço

Dados :

L 1,2 m r 100mm 0,1 m d 0,2 m d 20 mm 20 10 m

P 150 kN E 200 GPa 200 10 Pa E 29 GPa 29 10 Pa

Assim :

A d A 0,785 0,2 m 31,4 10 m4

e

A 6 d A 6 0,785 20 10 m 1,884

3 24 10 m




3

conc conc aço

9 9

aço conc

3 2 3 2

conc aço

aço

aço conc

Dados :

L 1,2 m r 100mm 0,1 m d 0,2 m d 20 mm 20 10 m

P 150 kN E 200 GPa 200 10 Pa E 29 GPa 29 10 Pa

A 31,4 10 m A 1,884 10 m

Compatibilidade :

P L

conc

aço aço

P L

E A

aço conc

conc conc aço aço conc conco

aço açoconc

9 3 9 3 6

P P

E A E A E A

Substituindo :

P PP

200 10 1,884 10 29 10 31,4 10 376,8 10

conc

6

P

910,6 10

aço concconc aço conc aço

Assim :

P P 910,6P P P 2,417 P 1

376,8 910,6 376,8

y aço conc aço conc aço conc

Equações de Equilíbrio :

F 0 : P P P 0 P P 150 0 P P 150 2

conc aço

aço conc

aço aço aço

aço aço

conc aço conc conc

1 2 :

P 2,417 P

P P 150

Assim :

P 2,417 P 150 3,417 P 150

Assim :

150P kN 43,90 kN P 43,90 kN

3,417

Mas :

P 2,417 P P 2,417 43,90 kN 106,10 kN P 106,10 kN




aço

3 2

aço

3aço 6

aço aço3

aço

Tensão Normal Média em uma Haste :

P 43,90 kN

A 1,884 10 m

Assim :

P 43,90 10Pa 23,30 10 Pa 23,30 MPa

A 1,884 10

3

conc

3 2

conc

36conc

conc conc3

conc

Tensão Normal Média no Concreto :

P 106,10 kN 106,10 10 N

A 31,4 10 m

Assim :

P 106,10 10Pa 3,38 10 Pa 3,38 MPa

A 31,4 10

07) O tubo de aço A-36 tem núcleo de alumínio 6.061-T6 e está sujeito a uma força de tração de 200 kN.

Determine a tensão normal média no alumínio e no aço devido a essa carga. O tubo tem diâmetro externo de 80

mm e diâmetro interno de 70 mm.

SOLUÇÃO:

int ext

9 9

aço alum

22 2 3 2

alum int alum

2 2 2 2 2

aço ext int aço

Dados :

L 400 mm 0,4 m d 70mm 0,07 m d 80 mm 0,08 m

P 200 kN E 200 GPa 200 10 Pa E 68,9 GPa 68,9 10 Pa

Assim :

A d A 0,785 0,07 m 3,847 10 m4

e

A d d A 0,785 0,08 0,07 m 1,14

3 2775 10 m




aço

aço alum

Compatibilidade :

P L alum

aço aço

P L

E A

aço

9alum alum

P

E A 200 10

31,1775 10

alum

9

P

68,9 10

33,847 10

aço açoalum alumalum aço

alum aço

Assim :

P PP P 265,06P P

200 1,1775 68,9 3,847 235,5 265,06 235,5

Assim :

P 1,1255 P 1

y aço alum aço alum aço alum

alum aço

aço alum

aço alum aço aço aço

aço

Equações de Equilíbrio :

F 0 : P P P 0 P P 200 0 P P 200 2

1 2 :

P 1,1255 P

P P 200

Assim :

P P 200 P 1,1255 P 200 2,1255 P 200

Assim :

200P kN 94,10 k

2,1255

aço

alum aço conc alum

N P 94,10 kN

Mas :

P 1,1255 P P 1,1255 94,10 kN 105,9 kN P 105,9 kN

3

aço

3 2

aço

3aço 6

aço aço3

aço

Tensão Normal Média do Aço :

P 94,10 kN 94,10 10 N

A 1,1775 10 m

Assim :

P 94,10 10Pa 79,92 10 Pa 79,92 MPa

A 1,1775 10




3

alum

3 2

alum

36alum

alum alum3

alum

Tensão Normal Média no Alumínio :

P 105,9 kN 105,9 10 N

A 3,847 10 m

Assim :

P 105,9 10Pa 27,53 10 Pa 27,53 MPa

A 3,847 10

08) A coluna é de concreto de alta resistência e reforçada com quatro hastes de aço A-36. Se for submetida a

uma força axial de 800 kN, determine o diâmetro exigido para cada haste de modo que 1/4 da carga seja

suportada pelo aço e 3/4, pelo concreto. E aço = 200 GPa e Ec = 25 GPa.

SOLUÇÃO:

conc conc

aço aço

2 2

aço aço aço aço conc aço

22 2 2

conc conc aço conc aço

aço

Dados :

3P 800 kN P P 0,75 800 kN 600 kN P 600 kN

4

1P P 0,25 800 kN 200 kN P 200 kN

4

A 4 d A 3,14d L L4

L 300mm 0,3 m A L A 0,3 m A 0,09 3,14d m

E 200 GPa 2

9 9

conc

aço conc

aço aço conc conc

aço aço conc conc

00 10 Pa E 25 GPa 25 10 Pa

Compatibilidade :

Assim :

P L P L

E A E A




aço conc

aço aço

Como L L

P L

conc conc

aço aço

P L

E A

aço conc

conc conc aço aço conc conc

P P

E A E A E A

Substituindo :

200

200

9200 10

2

aço

600

3,14d

200

925 10

2 2aço aço

2 2

aço aço2 2

aço aço

2 2 2 2 2

aço aço aço aço aço

2

aço

1 3

200 3,14d 25 0,09 3,14d0,09

Assim :

1 33 628d 1 2,25 78,5d

628d 2,25 78,5d

Assim :

1884d 2,25 78,5d 1884d 78,5d 2,25 1962,5d 2,25

Assim :

2,25d m 0,0338

1962,5

aço

6 m 33,86 mm d 33,86 mm




09) O poste A de aço inoxidável 304 está embutido em um tubo B de latão vermelho C83400. Ambos estão

apoiados sobre a superfície rígida. Se for aplicada uma força de 25 kN à tampa rígida, determine o diâmetro d

exigido para o poste de aço para que a carga seja compartilhada igualmente entre o poste e o tubo.

SOLUÇÃO:

aço latão

3 3 3

0 0

3 3 3 3

i 0 i

2 2

aço aço aço aço conc aço

2

latão 0

Dados :

1P 25 kN P P P 0,5 25 kN 12,5 kN

2

r 75 mm 75 10 m d 150 10 m c 12 mm 12 10 m

Assim :

r r c 75 10 12 10 63 10 m d 126 10 m

A d A 0,785d L L 200 mm 0,2 m4

A d4

2 22 2 2 3 3 2

i 0 i

3 2 3 2 3 2

latão latão

9 9

aço latão

aço conc

aço aço

aço aço

d 0,785 d d 0,785 150 10 126 10 m

A 0,785 6,624 10 m 5,2 10 m A 5,2 10 m

E 193 GPa 193 10 Pa E 101 GPa 101 10 Pa

Compatibilidade :

Assim :

P L

E A

latão latão

latão latão

P L

E A




aço tatão aço latão

aço

Como L L 0,2 m P 25 kN P P 12,5 kN

P

latão

aço aço

P

E A

aço aço latão latão

latão latão aço aço latão latão

2 2

aço aço latão

9 9

aço latão

9

aço aço latão latão

1 1E A E A

E A E A E A

Onde :

A 0,785d A 0,01246 m

E 193 GPa 193 10 Pa E 101 GPa 101 10 Pa

Substituindo :

E A E A 193 10

2 9

aço0,785d 101 10

3

2 3

aço

2 2 2

aço aço aço

2

aço aço

5,2 10

Assim :

193 0,785d 101 5,2 10

Assim :

0,5252151,51d 0,5252 151,51d 0,5252 d

151,51

Assim :

0,5252d m 0,05888 m 58,88 mm d 58,88 mm

151,51

Resistência de materiais.pdf exercícios resolvidos em 26 mar 2016

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