Resistência II

UNIVERSIDADE DE UBERABA

Resistência dos materiais, volume 2

Larissa Soriani Zanini Ribeiro Soares Silva

Núbia dos Santos Saad Ferreira

William Bossas Paulino

Uberaba - MG 2011

© 2011 by Universidade de Uberaba Todos os direitos de publicação e reprodução, em parte ou no todo, reservados para a

Universidade de Uberaba.

Reitor: Marcelo Palmério

Pró-Reitora de Ensino Superior:

Inara Barbosa Pena Elias

Pró-Reitor de Logística para Educação a Distância: Fernando César Marra e Silva

Assessoria Técnica:

Ymiracy N. Sousa Polak

Produção de Material Didático: • Comissão Central de Produção

• Subcomissão de Produção

Editoração: Supervisão de Editoração

Equipe de Diagramação e Arte

Capa: Toninho Cartoon

Edição:

Universidade de Uberaba Av. Nenê Sabino, 1801 – Bairro Universitário

Sobre os autores

Larissa Soriani Zanini Ribeiro Soares

Graduada em Engenharia Civil pela Universidade de Uberaba. Professora das disciplinas de

Física e Matemática no Ensino Médio pela rede Estadual de Ensino.

Núbia dos Santos Saad Ferreira

Graduada em Engenharia Civil pela Universidade Federal de Uberlândia – FECIV/UFU, em

1996; Mestra em Engenharia de Estruturas, pela Universidade de São Paulo – EESC/USP,

em 1998; Doutoranda em Engenharia de Estruturas – FEMEC/UFU; Professora do Curso de

Graduação em Engenharia Civil – UNIUBE/Uberlândia.


Engenheiro de Produção pela Universidade Federal de Ouro Preto - UFOP, com experiência

em controle de processo. Atualmente é mestrando da Universidade Estadual Paulista –

UNESP em Engenharia de Produção – Linha de pesquisa em Métodos Quantitativos.

Docente do curso de Engenharia de Produção EAD –UNIUBE – Uberaba.

Sumário

Apresentação.....................................................................................................................................05 Capítulo 1 – Deformação de vigas.....................................................................................................06

Capítulo 2 – Torção............................................................................................................................54

Capítulo 3 – Flambagem de colunas..................................................................................................76

Capítulo 4 – Círculo de Mohr............................................................................................................104

5

Apresentação Caro(a) aluno(a) Você está recebendo o livro Resistência dos Materiais II que foi elaborado continuar os estudos iniciados no livro Resistência dos Materiais I. Para tanto, ele é composto por quatro capítulos, sendo assim distribuídos:

No primeiro capítulo, intitulado Deformação de vigas você aprenderá a calcular as deformações que ocorrem em seção transversal de uma viga reta prismática e isostática, em função das ações atuantes e das condições de contorno (tipos de apoios da viga). Verá como se determina a equação da curva de deflexão (ou linha elástica) do eixo de uma viga, em função dos tipos de carregamento e de apoio desse elemento estrutural e, também, os cálculos de deslocamentos (flechas, deflexões) e os giros (inclinações, declividades) de seções transversais de uma viga, através da equação da linha elástica obtida.

No segundo capítulo, intitulado Torção você aprenderá a utilizar os conceitos da

Resistência dos materiais para a solução de problemas, a determinar as tensões e

deformações produzidas em peças de seção transversal circular e em barras de

seção transversal prismática, assim como, analisar os eixo de rotação e calcular a

potência transmitida pelos eixos (projeto de eixos de transmissão ou eixos motrizes).

No terceiro capítulo, intitulado Flambagem de colunas você será levado a compreender a importância de se determinar as condições para que as colunas, em um carregamento axial, não entrem em colapso e ocasionem falhas.

No último capítulo, intitulado Círculo de Mohr você aprenderá as transformações de componentes de tensão que se encontram associados a um sistema de coordenadas com orientações diferentes. Em seguida, verá como calcular a tensão normal máxima e de cisalhamento máxima em ponto qualquer e determinar a orientação dos elementos sobre os quais atuam estas tensões.

Os conteúdos abordados, neste livro, são fundamentais para sua atuação profissional. Assim, recomendamos que estude com afinco e determinação.

Bons estudos!

6

1

Deformação de vigas

Núbia dos Santos Saad Ferreira Larissa Soriani Z.R. Soares Silva

Introdução

Este capítulo de estudos conduzirá você ao conhecimento e cálculo das deformações

(deslocamentos e giros) que ocorrem em qualquer seção transversal de uma viga reta

prismática e isostática, em função das ações atuantes e das condições de contorno (tipos de

apoios da viga).

Você sabia que, normalmente, uma viga se deforma ao ser carregada? Na maioria das

situações estruturais, isso é imperceptível, pois são pequenas as deformações. Imagine-se

sobre uma tábua que esteja apoiada nas extremidades, em dois tijolos, por exemplo. É fácil

perceber que este elemento estrutural, ao receber a carga do seu peso, se desloca

verticalmente para baixo e também apresenta movimento de giro! Fazer o mesmo com uma

régua presa em uma das extremidades por seus dedos e livre na outra, recebendo uma

ação na extremidade livre, também te permite visualizar tais deformações.

Objetivos

Ao final dos seus estudos, você estará apto (a) a:

determinar a equação da curva de deflexão (ou linha elástica) do eixo de uma viga, em função dos tipos de carregamento e de apoio desse elemento estrutural;

calcular os deslocamentos (flechas, deflexões) e os giros (inclinações, declividades) de seções transversais de uma viga, através da equação da linha elástica obtida.

Esquema

1. Considerações Iniciais 2. Linha Elástica

2.1. Definições 2.2. Relação entre Momento Fletor e Curvatura 2.3. Equação da Linha Elástica

3. Exemplos Resolvidos 4. Atividades

7

1. Considerações iniciais

É de fundamental importância, para o engenheiro calculista, o conhecimento dos valores

máximos de deslocamentos e inclinações que ocorrem em uma viga.

No projeto estrutural, consideram-se os limites máximos para as deformações prescritos nos

textos normativos, em função do material estrutural que se esteja utilizando (concreto

armado, aço, madeira e outros) e das condições de contorno de tais elementos. Ou seja, as

normas apresentam valores para as deformações que não podem ser ultrapassados. Por

isso, a importância de se quantificar flechas e giros.

Neste capítulo de estudos, a equação da linha elástica e os valores de deformações de uma

viga são obtidos através de procedimentos analíticos que incluem métodos de integração

direta.

2. Linha elástica

1.1 Definições

Denomina-se linha elástica (ou curva de deflexão) o diagrama que representa os

deslocamentos do eixo longitudinal de uma viga. Esse eixo passa pelo centróide (centro de

gravidade C.G., já conhecido por você) de cada área das infinitas seções transversais que

constituem a viga.

Em outras palavras, a linha elástica também pode ser definida como a configuração

deformada do eixo de uma viga fletida, ou seja, que possui um carregamento perpendicular

ao seu eixo, gerando momento fletor em cada seção da mesma.

Para a construção da configuração deformada de uma viga, é necessário o conhecimento

de como os deslocamentos e as inclinações são restritos em função dos vínculos de apoio

da mesma. Os apoios fixos ou móveis de uma viga impedem deslocamentos e permitem o

giro, e os engastes impedem deslocamentos e giros.

Veja, na Figura 1, as representações esquemáticas destes vínculos para extremos de vigas

ou para posições intermediárias em seus comprimentos. Nestes desenhos, as vigas são

representadas por seus eixos.

(a) apoio móvel (b) apoio fixo (c) engaste

Figura 1 – Visualização dos tipos de apoios freqüentes em vigas.

A figura 2 mostra dois exemplos típicos de linhas elásticas para vigas solicitadas por uma

força concentrada P.

8

(a) viga apoiada-engastada (b) viga bi-apoiada com balanço

Figura 2 – Visualização da linha elástica em duas situações comuns de vigas.

Se a linha elástica de uma viga for de difícil estabelecimento, sugere-se a construção prévia

do diagrama de momentos fletores, para se ter idéia dos trechos onde ocorrem as

concavidades para cima e para baixo.

1.2 Relação entre momento fletor e curvatura

Você aprendeu, quando do estudo de flexão, que uma viga prismática submetida à flexão

pura se deforma, assumindo a configuração geométrica de um arco; e que, estando no

regime elástico (segue à Lei de Hooke, com tensões diretamente proporcionais às

deformações), a curvatura da linha neutra pode ser expressa pela Eq.1, na qual:

(Eq.1)

= raio de curvatura (lê-se: rô) do arco correspondente a um ponto do eixo da viga, sendo o

seu inverso 1

denominado curvatura;

M = momento fletor interno atuante na viga, no ponto onde é determinado;

E = módulo de elasticidade do material de que é constituída a viga;

I = momento de inércia da área da seção transversal da viga, calculado em relação à linha neutra.

EI

M1

P P

9

Perceba que a curvatura será uma função do momento fletor, obtido para cada seção

transversal da viga, em função de sua posição neste elemento estrutural.

Para que você possa visualizar geometricamente a relação entre momento fletor e

curvatura, considere, por exemplo, uma viga AB com uma extremidade livre e outra

engastada, ou seja, em balanço, de comprimento L, submetida à ação de uma força P

aplicada em sua extremidade livre A, como ilustrado na Figura 3.

Figura 3 – Esquema de uma viga em balanço deformada.

Você entende bem o significado físico da curvatura? Veja que ela é o

inverso do raio de uma curva. Para facilitar o entendimento físico de tais

conceitos, considere dois pontos no plano e imagine duas curvas passando

por eles, com raios diferentes. A curva de menor raio terá maior curvatura e

vice-versa.

Antes de prosseguir, é necessário que você se recorde em que consiste

a linha neutra. Lembre-se que ela representa o eixo da peça que une os

pontos de cada seção transversal nos quais tanto as tensões como as

deformações são nulas.

Normalmente, a linha neutra coincide com o eixo da peça.

Relembrando

P

A B

B

*

*

A

x

y

L

Explicando melhor

10

Você sabe que Para qualquer seção transversal desta viga, tendo-se o eixo x com origem

no ponto A, o valor do momento fletor, em função da posição x de cada seção vale: M(x) = –

P.x (Lembre-se que o sinal é negativo, pois o momento traciona a viga em cima!).

Substituindo M(x) na Eq.1, tem-se:

EI

xP1

Ou seja:

Para qualquer ponto da viga, pode-se calcular o valor da curvatura 1/ e, portanto, o valor

do raio de curvatura . Tudo bem até aqui? Prossiga, então!

Quando x = 0 (ponto A), a curvatura 1/ A é nula, implicando no valor infinito do raio A, que é o inverso da mesma. Isso faz sentido, pois nesta extremidade livre, não há curvatura, já que neste ponto a curva de deformação da viga torna-se retilínea.

Quando x = L (ponto B), a curvatura e o raio são, respectivamente, EI

PL1

B e

PL

EIB . Nesse caso, tem-se o raio com valor em módulo, pois o mesmo não possui

sinal, já que é uma medida de comprimento.

Quanto à convenção para o sinal da curvatura, tem-se dos estudos de flexão que, quando a

curva tem concavidade voltada para cima, sua curvatura é positiva, e quando a concavidade

é voltada para baixo, a curvatura é negativa. Havendo transição de duas curvaturas, tal

ponto de encontro é denominado inflexão, cuja curvatura é nula. Veja desenho ilustrativo na

Figura 4.

(a) curvatura positiva (b) curvatura negativa

Figura 4 – Convenção de sinais para a curvatura.

Veja que o sinal da curvatura obtida no exemplo é negativo, pois a concavidade da linha

elástica é para baixo. Essa convenção está diretamente relacionada à convenção de sinal

para o momento fletor, oriunda dos estudos de flexão, pois são grandezas que se

relacionam conforme a Eq.1:

Curvatura para cima: sinal positivo. Nesse caso, a viga é tracionada embaixo: momento fletor também positivo.

+

–

11

Curvatura para baixo: sinal negativo. Nesse caso, a viga é tracionada em cima: momento fletor também negativo.

Na sequência, você aprenderá como a curvatura oriunda da flexão será utilizada para se

obter a equação da linha elástica, ou seja, a equação da curva na qual se transforma o eixo

da viga ao ser deformado à flexão.

1.3 Equação da linha elástica

Finalmente, será obtida a equação da linha elástica! Antes de se desenvolverem as

equações, faz-se necessária uma representação esquemática genérica, para o

entendimento dos parâmetros geométricos intervenientes.

Na Figura 5 é ilustrada uma viga com seu eixo deformado, no qual será adotado um ponto

genérico Q, que possui os dois tipos de deformação: deslocamento vertical y e giro

(inclinação). O eixo x, com orientação positiva para a direita, corresponde ao eixo original da

viga indeformada.

Para o cálculo diferencial, será assumida como variável a posição x do ponto Q na viga.

Serão funções da variável x, tanto o deslocamento vertical y(x) do ponto Q como o seu giro

em relação à horizontal (x). Na verdade, o que se deforma é a seção transversal da viga

situada na posição referente ao ponto Q. Está claro?

Figura 5 – Representação esquemática genérica de uma linha elástica.

A partir de conceitos básicos do Cálculo Diferencial e Integral, sabe-se que a curvatura de

um ponto qualquer Q(x, y) pertencente a uma curva plana pode ser obtida através da Eq.2.

(Eq.2)

23

2

2

2

dx

dy1

dx

yd

1

Q

x

y

y(x)

x

O

(x)

12

A Eq.2 permite a determinação da curvatura para qualquer ponto localizado no eixo de uma

viga deformada.

Na expressão apresentada, as razões dy/dx e d2y/dx2 são, respectivamente, a primeira e a

segunda derivadas da função y(x), que corresponde à ordenada (coordenada vertical) de

um ponto pertencente à curva plana mencionada. No estudo em questão, a curva é a linha

elástica e a função y(x), sua deflexão em cada ponto.

Tem-se que o quadrado de dy/dx, que aparece no denominador da expressão em apreço

pode ser desprezado, em face da unidade que se soma a ele. Isso pelo fato de a razão

dy/dx ser muito pequena, pois as deflexões y também o são. Dessa forma, a expressão

para a curvatura pode ser simplificada, resultando na Eq.3.

(Eq.3)

A partir das Eq.1 e Eq.3, obtém-se a Eq.4, que é uma Equação Diferencial Linear Ordinária

de segunda ordem (EDO) que rege o comportamento da linha elástica.

(Eq.4)

O produto EI é denominado rigidez flexional (ou rigidez à flexão). No caso de vigas

prismáticas, que é a situação mais usual em estruturas, a rigidez flexional é constante. Caso

Recordando o que você aprendeu no estudo de Cálculo Diferencial e Integral, uma

equação é diferencial quando possui derivadas; é linear, quando as derivadas estão

elevadas à potência unitária; é ordinária quando apresenta apenas uma variável (no

caso, x); e é de segunda ordem, quando a maior derivada da equação é a segunda

derivada da função do problema (no caso, y).

Lembre-se que resolver uma EDO significa explicitar sua função, através de

integrações. Em nosso estudo, tal função é y(x) que representa os deslocamentos

dos nós da viga (deflexões, flechas) para cada posição x.

EI

)x(M

dx

yd2

2

2

2

dx

yd1

Parada para reflexão

13

a inércia não seja constante ao longo da viga, como é o caso de vigas de seção variável,

deve-se escrever tal parâmetro geométrico em função de x.

Procedendo-se à resolução da equação diferencial (Eq.4), para a obtenção da função y(x),

multiplicam-se ambos os membros desta equação por EI e se integra toda a equação na

variável x. Com isso, chega-se à Eq.5, na qual C1 é uma constante real de integração.

(Eq.5)

Está representado na Figura 5 o ângulo de inclinação (x), que a reta tangente à curva pelo

ponto Q forma com a horizontal. Recordando conceitos básicos do Cálculo Diferencial, é

sabido que a tangente deste ângulo corresponde à primeira derivada da função y(x) no

ponto Q:

dx

dytg

E em razão do ângulo ser muito pequeno, pode-se assumir sua tangente como o próprio

valor do ângulo (x), medido em radianos, ou seja:

dx

dy)x(

Com isso, reescreve-se a Eq.5 agora, em função de (x):

(Eq.6)

Para que se possa explicitar a função y(x), será necessário integrar-se toda a equação

diferencial (Eq.5) novamente, na variável x. Com isso, aparecerá outra constante real de

integração denominada C2:

Portanto, ter-se-á:

2

x

0

1

X

0

CdxCdx)x(MyEI

1

X

0

Cdx)x(M)x(EI

1

X

0

Cdx)x(Mdx

dyEI

14

(Eq.7)

Caro aluno, com o estudo realizado até aqui, você está apto a obter a função das

deformações que ocorrem em uma viga (inclinação e deslocamento y), para qualquer

seção transversal de posição x, que se esteja considerando.

Em seguida, serão discutidos e resolvidos exercícios de aplicação, para variadas situações

de cargas e, consequentemente, de momento fletor. Serão consideradas diferentes

condições de contorno (apoios) para as vigas, responsáveis pela obtenção das incógnitas

reais C1 e C2, para cada caso.

Consideração importante!

Quando a viga estiver solicitada por carregamentos diferentes, é possível utilizar a

Superposição de Efeitos, tabelas anexas, ou seja, calculando flechas e deflexões para

cada tipo de carregamento e somando os resultados, com os respectivos sinais, no final,

para se obterem os reais valores dessas deformações. Isso será ilustrado em exercício de

aplicação constante no exemplo 7. Confira!

3. Exemplos resolvidos

Exemplo 1

A viga em balanço AB, de comprimento L e módulo de elasticidade E, possui seção

transversal uniforme (prismática) e suporta uma carga concentrada P em sua extremidade

livre A (balanço).

Pede-se determinar a equação da linha elástica y(x) e da inclinação (x), bem como os

valores de flecha (y) e declividade ( ) que ocorrem no ponto A.

Figura 6 – Representação esquemática da viga em balanço AB solicitada pela carga concentrada P.

Resolução:

Obtenção da expressão genérica para o momento fletor: Como visto no estudo de flexão, o valor do momento fletor para qualquer seção S da viga,

situada a uma distância x do ponto A, vale: M(x) = – P.x, sendo negativo em toda a viga,

pois traciona a mesma em sua parte superior.

21

x

0

X

0

CxCdxdx)x(MyEI

P

A B

x

y

L

S

x

15

Obtenção da expressão genérica para a inclinação :

Substituindo o valor de M(x) na Eq.6, você encontrará a função (x) para qualquer posição

da viga. Siga os passos apresentados, de resolução da EDO, para que se chegue à

expressão de (x) em função apenas da variável x.

Valha-se da Eq.6: 1

X

0

Cdx)x(M)x(EI

Substitua a expressão de M(x): 1

X

0

CdxPx)x(EI

Resolva a integral em x: 1

2

C2

Px)x(EI

Perceba que a equação obtida possui EI constante, já que a seção transversal da viga não

varia. Portanto, resta-lhe apenas encontrar o valor da constante real de integração C1. Isso

será feito a partir de uma seção transversal de inclinação conhecida, ou seja, para um par

ordenado de variável e função (x, (x)) conhecido.

Analise a viga, e pense em qual seção da mesma, você poderia obter o valor da inclinação,

sem realizar cálculos!

Verifique que a seção transversal da viga situada no ponto B, por ser engastada, é impedida

de girar! Lembre-se que o engaste restringe tanto deslocamento como giro. Portanto, no

ponto B, que possui x = L, tem-se que = 0.

Levando esse par ordenado conhecido (x, (x)) = (L, 0) na última expressão de (x) obtida,

você prossegue com a resolução, conforme descrito abaixo.

Substitua o par (L, 0) na expressão de (x): 1

2

C2

PL0EI

Calcule o valor de C1: 1

2

C2

PL0

2

PLC

2

1

Finalmente, obtenha a função (x): 2

PL

2

Px)x(EI

22

Explicitando (x) você obtém: 22 Lx

EI2

P)x(

16

Sabendo que (x) = dy/dx, também se escreve: 22 Lx

EI2

P

dx

dy

Cálculo da inclinação no ponto A: Portanto, desejando-se calcular a inclinação da seção transversal situada no ponto A, basta

substituir o valor de xA = 0 na função (x):

22

AA L0EI2

P0x

EI2

PL2

A

ATENÇÃO! ANALISE O SINAL DA FLECHA A!

Sendo a flecha (dy/dx) a primeira derivada de y, ela corresponde à inclinação da reta tangente ao

gráfico da função y (ou seja, à elástica da viga), no ponto em que se esteja considerando. Lembra-se

do Cálculo Diferencial e Integral?

Você verá a representação da flecha A, no fechamento deste problema: corresponde a uma

inclinação ascendente, crescente, para cima, ou seja, positiva!

Obtenção da equação da linha elástica:

Agora, continue a resolução para encontrar a equação da linha elástica y(x).

Veja que bastará integrar mais uma vez, em x, a expressão obtida para (x) = dy/dx, pois

esta já contempla o valor de C1. Acompanhe, portanto, os passos para a obtenção de y(x):

Valha-se da expressão: 2

PL

2

Px

dx

dyEI

22

Integre toda a equação acima em x: 2

23

C2

xPL

6

PxyEI

Analogamente à obtenção de C1, você calculará C2 substituindo na expressão um par

ordenado conhecido, agora em termos de x e de y(x), pois a função aqui é y!

Qual seria um ponto desta viga para o qual você já poderia saber o valor da flecha y?

Analise a viga!

Você constata que o ponto B tem deflexão nula, pois se trata de um engaste! Portanto, o par

ordenado conhecido a ser substituído na expressão de y(x) será: ( x, y(x) ) = (L, 0).

Prossiga com os passos para a resolução!

17

Substitua o par (L, 0) na expressão de y(x): 2

23

C2

LPL

6

PL0EI

Calcule o valor de C2: 2

33

C2

PL

6

PL0

3

PLC

3

2

Obtenha a expressão final para y(x): 3

PL

2

xPL

6

PxyEI

323

Explicitando y(x) você obtém a Equação da Linha Elástica:

323 L2xL3xEI6

Pxy

Cálculo da flecha no ponto A: Portanto, desejando-se calcular a deflexão da seção transversal situada no ponto A, basta

substituir o valor de xA = 0 na função y(x):

323

AA L20L30EI6

Py0x

EI3

PLy

3

A

Visualização dos resultados: A seguir é feita uma representação esquemática dos resultados obtidos – vide Figura 7.

Destaca-se que a curva esboçada corresponde a uma parábola do terceiro grau, conforme a

expressão de y(x) que foi obtida.

Figura 7 – Esboço da linha elástica da viga em balanço AB solicitada pela carga concentrada P.

P

A B

x

y

L

yA

A

18

Há como verificar a consistência dos resultados analíticos. Se você substituir o valor L para

a variável x, obterá valores nulos tanto para a inclinação como para o deslocamento

referentes ao ponto B, coerente com a situação-problema estudada. Faça os cálculos!

Exemplo 2

A viga bi-apoiada AB, de comprimento L e módulo de elasticidade E, possui seção

transversal uniforme (prismática) e suporta uma carga uniformemente distribuída p por

unidade de comprimento, ao longo de toda a sua extensão. Vide Figura 8.

Pede-se determinar a equação da linha elástica y(x) e o valor da flecha máxima ymáx que

ocorre no ponto médio da viga.

Figura 8 – Representação esquemática da viga bi-apoiada AB solicitada pela carga distribuída p.

Resolução:

Obtenção da expressão genérica para o momento fletor: Primeiramente, você equacionará M(x) para uma seção transversal S da viga, distante x do

ponto A. Para isso, será necessário calcular a reação de apoio referente ao nó A (RA), que

corresponde à força vertical e para cima, que o elemento de apoio que recebe a viga no nó

A, aplica na mesma.

Imagine no ponto A, por exemplo, um pilar de apoio que recebe a viga. Pela Lei de Ação e

Reação, a viga descarrega neste apoio parte de sua carga e este apoio reage aplicando na

viga uma força contrária reativa. Lembra-se?

No exemplo em questão, a reação de apoio valerá metade da carga total aplicada, pois se

trata de carregamento uniformemente distribuído em viga bi-apoiada. Portanto:

2

pLRA

Destacando o trecho da viga até a seção S, você poderá equacionar M(x). Veja esquema

mostrado na Figura 9.

p

A B

x

y

L

S

x

19

Figura 9 – Trecho da viga utilizado para equacionar o momento M em função de x.

A partir desse esquema e lembrando que o momento fletor é positivo se traciona a viga em

sua região inferior, você obterá:

2

pLx

2

px)x(M

2

pxx

2

pL)x(M

2

xxpxR)x(M

22

A

Obtenção da equação da linha elástica: Prossiga, então, para a resolução da EDO que resultará na expressão da função y(x) que

corresponde à equação da linha elástica desejada.

Valha-se da Eq.5: 1

X

0

Cdx)x(Mdx

dyEI


X

0

2

Cdx2

pLx

2

px

dx

dyEI


23

C4

pLx

6

px

dx

dyEI

Integre novamente em x, para explicitar y(x): 21

34

CxC12

pLx

24

pxyEI

Finalmente, para que seja obtida a função de deflexão y(x), é necessária a determinação

das constantes de integração reais C1 e C1.

Perceba que nesse caso, diferente da aplicação anterior, ainda não foi calculada a

constante C1, ou seja, na mesma equação de y(x), têm-se duas incógnitas e, portanto, para

que estas sejam encontradas, serão necessárias duas informações para x e y(x) para que

você monte um sistema de equação de ordem dois.

p

A S

x

2

pLRA

pL

x/2

20

Veja que a diferença, com relação ao exercício anterior, é que ambas as informações

necessárias referem-se a flechas, pois a equação é apenas de deflexão e não de inclinação.

Analise a situação-problema e verifique em quais pontos é conhecida a flecha da viga.

Veja que tanto na seção situada no ponto A como no B, tem-se restrição de deslocamento!

Ou seja, nos dois casos: x = 0 e x = L, tem-se que y = 0. Desta forma, escrevem-se os

pares ordenados de variável e função (x, y): (0, 0) e (L, 0).


Substitua o par (0, 0) na expressão de y(x): 21

34

C0C12

0pL

24

0p0EI

Calcule o valor de C2: 0C2

Reescreva a atual expressão de y(x): xC12

pLx

24

pxyEI 1

34

Substitua o par (L, 0) na expressão de y(x): LC12

LpL

24

pL0EI 1

34

Calcule o valor de C1: LC12

pL

24

pL0 1

44

24

pLC

3

1


xpL

12

pLx

24

px)x(yEI

334


xLLx2xEI24

p)x(y 334

Cálculo da flecha para o ponto médio da viga: Veja que a curva obtida é uma parábola o quarto grau. Agora resta calcular a flecha máxima

que ocorre na viga, para seu ponto médio (x = L/2):

2

LL

8

LL2

16

L

EI24

py

334

máxEI384

pL5y

4

máx

O resultado de fecha pode ser assumido sempre em valor modular, ou seja:

EI384

pL5y

4

máx

21

Isso porque estará correspondendo a uma medida de comprimento. Neste exemplo, a

deflexão ocorreu para baixo, contrária à orientação positiva do eixo y e por isso, você

encontrou sinal negativo para a mesma.

Visualização dos resultados: Na Figura 10 está esquematizada a linha elástica com visualização da maior deflexão que

nela ocorre.

É sempre importante o aluno verificar a consistência dos resultados, atribuindo valores às

variáveis e calculando respectivas funções. Utilize disso, em suas resoluções! Por exemplo,

para os pontos A e B, verifique se a flecha é mesmo nula!

Figura 10 – Esboço da elástica da viga bi-apoiada AB solicitada pela carga distribuída p.

Exemplo 3

Para a viga referente à 2ª Aplicação, pede-se calcular os valores das inclinações das seções

transversais correspondentes aos apoios A e B.

Resolução:

Obtenção da expressão genérica da inclinação:

Uma das maneiras de se obter a expressão da inclinação dx

dy)x( é derivando-se a

função y (já que a inclinação é a primeira derivada de y):

Portanto, tendo-se a função de y: xLLx2xEI24

p)x(y 334

Sua primeira derivada, dy/dx será:

323 LLx6x4EI24

p)x('y

dx

dy)x(

p

A B

x

y

L

ymáx

22

Agora, basta você substituir nesta expressão os respectivos valores da posição x, para

encontrar as inclinações que ocorrem nas seções das vigas correspondentes aos apoios A e

B, para este problema:

Obtenção da inclinação no apoio A:

323

A L0L604EI24

p)0x(

EI24

pL3

A

Obtenção da inclinação no apoio B:

323

A LLL6L4EI24

p)Lx(

EI24

pL3

B

Visualização dos resultados: Na Figura 11 estão mostrados os giros obtidos na viga. Constate a coerência do desenho

com os valores obtidos para os giros!! O comentário é semelhante ao feito para a primeira

aplicação.

O giro em A corresponde a uma inclinação decrescente, descendente, para baixo, e,

portanto, positiva. Já no apoio B, a reta tangente tem inclinação ascendente, crescente, para

cima, ou seja, sua inclinação é positiva!

Figura 11 – Esboço dos giros que ocorrem nos apoios da viga AB.

Exemplo 4


transversal uniforme (prismática) e suporta um momento fletor M em sua extremidade livre B

(balanço). Vide Figura 12.


valores de flecha (y) e declividade ( ) que ocorrem no ponto B.

p

A B

x

y

L

A B

23

Figura 12 – Representação esquemática da viga em balanço AB solicitada pelo momento M.

Resolução:


situada a uma distância x do ponto A, vale: M(x) = – M, sendo negativo, pois traciona a

mesma em sua parte superior. Observe que em toda seção transversal da viga, atua o

mesmo valor de momento fletor.





Valha-se da Eq.6: 1

X

0

Cdx)x(M)x(EI


X

0

CdxM)x(EI

Resolva a integral em x: 1CxM)x(EI

Perceba que a equação obtida possui EI constante, já que a seção transversal da viga não

varia. Portanto, resta-lhe apenas encontrar o valor da constante real de integração C1. Isso

será feito a partir de uma seção transversal de inclinação conhecida, ou seja, para um par

ordenado de variável e função (x, (x)) conhecido.

Verifique que a seção transversal da viga situada no ponto A, por ser engastada, é impedida


ponto A, que possui x = 0, tem-se que = 0.

Levando esse par ordenado conhecido (x, (x)) = (0, 0) na última expressão de (x) obtida,


Substitua o par (0, 0) na expressão de (x): 1C0M0EI

Calcule o valor de C1: 1C00 0C1

M

A B

x

y

L

S

x

24

Finalmente, obtenha a função (x): xM)x(EI

Explicitando (x) você obtém: EI

xM)x(

Sabendo que (x) = dy/dx, também se escreve: EI

xM

dx

dy

Cálculo da inclinação no ponto B: Portanto, desejando-se calcular a inclinação da seção transversal situada no ponto B, basta

substituir o valor de xB = L na função (x):

EI

LMLx BB

EI

LMB

ATENÇÃO! ANALISE O SINAL DA FLECHA B!

Sendo a flecha (dy/dx) a primeira derivada de y, ela corresponde à inclinação da reta tangente ao

gráfico da função y (ou seja, à elástica da viga), no ponto em que se esteja considerando!

Você verá a representação da flecha B, no fechamento deste problema: corresponde a uma

inclinação descendente, decrescente, para baixo, ou seja, negativa

Obtenção da equação da linha elástica: Agora, continue a resolução para encontrar a equação da linha elástica y(x).



Valha-se da expressão: xMdx

dyEI


2

C2

xMyEI



Você constata que o ponto A tem deflexão nula, pois se trata de um engaste! Portanto, o par

ordenado conhecido a ser substituído na expressão de y(x) será: (x, y(x)) = (0, 0).


25

Substitua o par (0, 0) na expressão de y(x): 2

2

C2

0M0EI



xMyEI

2


EI2

xMxy

2

Cálculo da flecha no ponto B: Portanto, desejando-se calcular a deflexão da seção transversal situada no ponto B, basta

substituir o valor de xB = L na função y(x):

LxB EI2

LMy

2

B

Visualização dos resultados: Na Figura 13 é apresentada uma representação esquemática dos resultados obtidos.

Destaca-se que a curva esboçada corresponde a uma parábola do segundo grau, conforme

a expressão de y(x) que foi obtida.

Figura 13 – Esboço da linha elástica da viga em balanço AB solicitada pelo momento M.

A B

x

y

L

yB

B

26

Exemplo 5


transversal uniforme (prismática) e suporta um carga linearmente distribuída p (força por

unidade de comprimento) ao longo de toda a sua extensão. Vide Figura 14.


valores de flecha (y) e declividade ( ) que ocorrem no ponto B.

Figura 14 – Representação esquemática da viga em balanço AB solicitada pela carga linear p.

Resolução:


situada a uma distância x do ponto A, pode ser calculado tanto da esquerda para a direita,

como da direita para a esquerda.

Neste problema, é conveniente caminhar pela direita, para a obtenção de M(x) pois assim,

não será necessário calcular as reações de apoio, já que M(x) poderá ser calculado apenas

pelo carregamento triangular.

Para isso, visualize, na Figura 15, a carga que gerará M(x) na seção genérica S,

caminhando-se até a mesma, pela direita da viga.

Figura 15 – Trecho da viga considerado para a obtenção da carga em uma seção genérica S.

B

x

L – x

S

p'

p

A B

x

y

L

S

x

27

É necessário se conhecer o valor de p' e isso é feito através de semelhança de triângulos

entre cargas e distâncias:

xL

L

'p

p

L

xLp'p

Para calcularmos o momento que esta carga triangular produz em S, concentramos seu

valor a um terço da base do triângulo, correspondendo ao C.G. (centro de gravidade) desta

figura geométrica (conforme visto em estudos anteriores).

E este valor de carga concentrada equivale ao cálculo da área triangular, ou seja:

2

xL

L

xLp

2

xL'p

2

alturaxbaseÁrea

L2

xLp2

Esquematizando-se a resultante do carregamento triangular, localizado no C.G. do triângulo,

tem-se a Figura 16.

Figura 16 – Locação do carregamento resultante para a seção genérica S.

A partir desse esquema e lembrando que o momento fletor é negativo se traciona a viga em

sua região superior, você obterá:

3

xL

L2

xLx2Lp)x(M

3

xL

L2

xLp)x(M

222

xLxLx2LL6

p)x(M 22

32222322 xLxLx2xL2xLLL6

pxLxLx2L

L6

p)x(M

3223 xLx3xL3LL6

p)x(M

L2

xLp2

B

x

L – x

S

p'

(L–x)/3

28

Pode-se, também, reescrever a expressão do momento fletor da seguinte forma:

L6

px

2

px

2

pLx

6

pL)x(M

322

Ou, ainda:

6

L

2

Lx

2

x

L6

xp)x(M

223





Valha-se da Eq.6: 1

X

0

Cdx)x(M)x(EI


X

0

223

Cdx6

L

2

Lx

2

x

L6

xp)x(EI


2234

C6

xL

4

Lx

6

x

L24

xp)x(EI

Resta-lhe encontrar o valor da constante real de integração C1. Isso será feito a partir de

uma seção transversal de inclinação conhecida, ou seja, para um par ordenado de variável e

função ( x, (x) ) conhecido.

Analise a viga, e pense em qual seção da mesma, você poderia obter o valor da inclinação,

sem realizar cálculos!

Verifique que a seção transversal da viga situada no ponto A, por ser engastada, é impedida


ponto A, que possui x = 0, tem-se que = 0.

Levando esse par ordenado conhecido (x, (x)) = (0, 0) na última expressão de (x) obtida,


Substitua o par (0, 0) na expressão de (x):

29

1

2234

C6

0L

4

0L

6

0

L24

0p0EI


Finalmente, obtenha a função (x): 6

xL

4

Lx

6

x

L24

xp)x(EI

2234

Explicitando (x) você obtém: 6

xL

4

Lx

6

x

L24

x

EI

p)x(

2234

Sabendo que (x) = dy/dx, também se escreve:

6

xL

4

Lx

6

x

L24

x

EI

p

dx

dy 2234

Cálculo da inclinação no ponto B: Portanto, desejando-se calcular a inclinação da seção transversal situada no ponto B, basta

substituir o valor de xA = L na função (x):

6

LL

4

LL

6

L

L24

L

EI

pLx

2234

BBEI24

pL3

B

Obtenção da equação da linha elástica: Agora, continue a resolução para encontrar a equação da linha elástica y(x).



Valha-se da expressão: 6

xL

4

Lx

6

x

L24

xp

dx

dyEI

2234


xL

12

Lx

24

x

L120

xpyEI

22345



30

Você constata que o ponto A tem deflexão nula, pois se trata de um engaste! Portanto, o par

ordenado conhecido a ser substituído na expressão de y(x) será: ( x, y(x) ) = (0, 0).


Substitua o par (0, 0) na expressão de y(x):

2

22345

C12

0L

12

0L

24

0

L120

0p0EI



xL

12

Lx

24

x

L120

xpyEI

22345


12

xL

12

Lx

24

x

L120

x

EI

pxy

22345

Cálculo da flecha no ponto B: Portanto, desejando-se calcular a deflexão da seção transversal situada no ponto B, basta

substituir o valor de xB = L na função y(x):

12

LL

12

LL

24

L

L120

L

EI

pyLx

22345

BBEI30

pLy

4

B

Visualização dos resultados:

Na Figura 17 é apresentada uma representação esquemática dos resultados obtidos.

Destaca-se que a curva esboçada corresponde a uma parábola do quinto grau, conforme a

expressão de y(x) que foi obtida.

A B

x

y

L

yB

B

31

Figura 17 – Esboço da linha elástica da viga em balanço AB solicitada por uma carga triangular.

Exemplo 6

A viga ABC suporta uma carga concentrada P na extremidade do balanço (ponto C) – vide

Figura 18. Pede-se obter:

(a) a equação da linha elástica para o trecho AB; (b) a deflexão máxima que ocorre no trecho AB; (c) o valor, em mm, da deflexão máxima que ocorre em AB, para uma viga que possua os

seguintes dados elástico-geométricos e de carga: a = 1,2 m L = 4,5 m P = 220 kN E = 200 GPa I = 3,01 x 108 mm4

Figura 18 – Representação esquemática da viga ABC solicitada por uma carga concentrada em C.

Resolução:

Obtenção da expressão genérica para o momento fletor: Para você equacionar M(x) em função da posição de uma seção qualquer S, situada no

trecho AB, será necessário calcular a reação de apoio no ponto A, denominada RA.

Com seu estudo realizado até aqui, é aconselhável que você realize a seguinte atividade:

Atividades de Auto-Verificação da Aprendizagem (1ª à 5ª)

A B

x

y

L a

P

C

Agora é a sua vez

32

Figura 19 – Esquema das forças que atuam na viga: reações de apoio e carga P.

O valor de RA pode ser obtido fazendo-se somatório de momentos fletores da viga, em

relação ao ponto B, igual a zero, pois desta forma, não será computado o valor de BR , já

que esse não produz momento em B.

0aPLR0B,M AL

PaR A

Com isso, constata-se que a reação em A é uma força orientada para baixo (Figura 20) e,

assim, pode-se equacionar M(x) em uma seção S contida em AB:

xL

Pa)x(M

Figura 20 – Trecho da viga considerado para obtenção de M para a seção genérica S.

Obtenção da linha elástica em AB (resolução do item a): Tendo-se a expressão estudada no tópico 4:

(Eq.4) EI

)x(M

dx

yd2

2

x

A B

x

y

L a

P

C S

ARBR

L

PaRA

x

A S

33

Você deverá integrar duas vezes tal equação diferencial, para obter a expressão de y em

função da variável x.

21

3

1

2

2

2

CxCxL6

PayEICx

L2

Pa

dx

dyEIx

L

Pa

dx

ydEI

Dessa forma escreve-se a equação da linha elástica:

EI

Cx

EI

Cx

LEI6

Pay 213

Para o cálculo das constantes de integração C1 e C2, você utilizará das restrições de

deslocamentos referentes aos apoios A e B, que impedem a viga de transladar:

Ponto A: (x = 0; y = 0) EI

C0

EI

C0

LEI6

Pa0 213

0C2

Ponto B: (x = L; y = 0) EI

0L

EI

CL

LEI6

Pa0 13

6

PaLC1

Reescrevendo a equação final da linha elástica, tem-se:

xEI6

PaLx

LEI6

Pay 3

L

xLx

EI6

Pay

3

Deflexão máxima que ocorre em AB (resolução do item b): Dada uma função, para que se obtenha seu valor máximo é necessário derivá-la e igualar

sua primeira derivada a zero. Lembra-se que recordamos isso nesse capítulo?

Portanto, fazendo a primeira derivada de y (dy/dx) igual a zero, chega-se a:

0L

x3L

EI6

Pa0

dx

L

xLx

EI6

Pad

dx

dy 2

3

L577,0x

Com isso, a deflexão máxima em AB é:

34

L

L577,0L577,0L

EI6

Pay

3

máx EI

PaL0641,0y

2

máx

Finalmente, calcula-se o valor da deflexão máxima solicitada no item (c), substituindo os

dados na expressão encontrada acima:

48

26

9

2333

máx

mm1001,3mm10

N10200

mm105,4mm102,1N102200641,0y mm7,5ymáx

Exemplo 7

Para uma viga em balanço carregada conforme esquematizado abaixo, pede-se obter o

valor da flecha que ocorre na extremidade do balanço (ponto C), por ocasião da atuação

conjunta das cargas P1 e P2. Vide Figura 21.

Sugestão: faça os cálculos utilizando a Superposição de Efeitos, ou seja, dividindo a viga

em duas (pois têm-se dois carregamentos distintos), calculando cada uma e somando seus

resultados de deformações. Para isso pode-se utilizar as tabelas constantes no anexo deste

capítulo.

Figura 21 – Esquema da viga em balanço ABC com duas cargas concentradas.

Resolução:

DEPOIS DE TER ESTUDADO E APRENDIDO ESSA 6ª APLICAÇÃO, É

ACONSELHÁVEL QUE VOCÊ DESENVOLVA A SEGUINTE ATIVIDADE:

Atividades de Auto-Verificação da Aprendizagem (6ª)

A B

x

y

C

L

a b

P2 P1

Agora é a sua vez

35

Neste caso, é conveniente você dividir a viga em duas situações de carregamentos (ficando

cada uma solicitada por uma carga concentrada) e somar seus deslocamentos ocorridos em

C.

Situação I:

( = )

Situação II:

( + )

Figura 22 – Divisão da viga inicial em duas vigas com apenas uma carga concentrada cada.

Primeiramente, analise a flecha que ocorre em C na Situação I (vide Figura 23).

Situação I:

A B C

P2

A B C

P1

A B C

P2 P1

L

a b

A C

P2

yC

L

36

Figura 23 – Flecha em C devida à carga concentrada P2.

Neste caso, como visto no 1º exercício de aplicação, o valor da flecha na extremidade do

balanço vale:

EI3

LPy

3

2C

Em seguida, analise a flecha que ocorre em C na Situação II (vide Figura 24).

Situação II:

Figura 24 – Flecha em C devida à carga concentrada P1.

Sob o efeito da carga P1, o deslocamento do nó C ocorrerá devido ao deslocamento do nó B

somado ao deslocamento do nó C, produzido pelo giro do nó B. Perceba que no trecho BC,

a elástica é uma linha reta, cuja inclinação é o valor da rotação que ocorre no nó B.

Ou seja, o deslocamento total do nó C é a soma das parcelas devidas ao deslocamento real

do nó B:

EI3

aPy

3

1B

e o deslocamento ocorrido em C decorrente do giro B :

xyx

ytg BBB by BC

Conforme visto na 1ª Aplicação: EI2

aP 2

1B

Ou seja:

bEI2

aPy

2

1C

Portanto, a deflexão total ocorrida em C, em módulo, pois se trata de medida de

comprimento, é:

B

A B C

P1

a b

yB

B . b

37

bEI2

aP

EI3

aP

EI3

LPy

2

1

3

1

3

2C

baP3aP2LP2EI6

1y 2

1

3

1

3

2C

Exemplo 8

Considere uma viga biapoiada carregada em determinada posição de seu comprimento, por

uma carga concentrada P (Figura 25).

Pede-se obter a equação da linha elástica ( y(x) ) e a função da inclinação ( (x) ) , para

cada trecho da viga, em função de uma posição qualquer x a partir da origem A.

Figura 25 – Representação esquemática da viga biapoiada AB com uma carga P qualquer.

Resolução:

Neste caso, haverá uma equação de momento no trecho de comprimento a, ou seja, do

apoio A até o ponto de aplicação da carga P e outra, para o trecho b, pois quando se passa

pela carga P, o momento fletor muda e, por isso, haverá duas equações para M(x) o que

implicará em duas equações para a linha elástica (flecha y) e duas para as inclinações.

Obtenção das expressões genéricas para o momento fletor:

APÓS TER ESTUDADO E APRENDIDO ESSA 7ª APLICAÇÃO, É

ACONSELHÁVEL QUE VOCÊ DESENVOLVA A SEGUINTE ATIVIDADE:

Atividades de Auto-Verificação da Aprendizagem (7ª)

P

A B

x

y

S

L

a b

Agora é a sua vez

38

Será necessário conhecer as reações de apoio (RA e RB), pois além da carga P que atua na

viga, também atuam nela, as forças reativas que os apoios imprimem na mesma. Vide

Figura 26.

Figura 26 – Visualização das forças atuantes na viga: reações de apoio e carga P.

Conforme já estudado em outras disciplinas, ao se fazer somatório de momentos fletores da

viga em relação ao ponto A igual a zero (porque a viga está em equilíbrio e neste caso, a

soma de todos os momentos fletores em qualquer seção transversal dela é nula), pode-se

encontrar o valor da reação RB.

aPLR0A,M B L

PaRB

Após se obter RB, calcula-se RA subtraindo-se RB da carga aplicada P (porque a viga está

em equilíbrio e por isso, todas as forças verticais orientadas para baixo se equilibram com

as orientadas para cima).

Nesse caso, a soma das reações será igual ao valor da carga aplicada P.

L

Pb

L

aLP

L

PaPL

L

PaPRPRR0Fv ABA

L

PbRA

Tendo-se calculado as reações de apoio, os momentos M(x) serão equacionados para os

dois trechos da viga AS e SB, considerando-se o sistema cartesiano xOy representado no

enunciado.

Trecho AS (x = x1)

P

A B S

RA RB

L

a b

39

Caminhando-se da esquerda para a direita (Figura 27), pode-se escrever o momento fletor

para qualquer posição x1 pertencente o trecho AS.

11 xL

PbxM

Figura 27 – Esquema para análise do momento genérico no trecho AS.

Trecho SB (x = x2)

Caminhando-se da esquerda para a direita (Figura 28), pode-se escrever o momento fletor

para qualquer posição x2 pertencente o trecho SB.

axPxL

PbxM 222

PaPxxL

PbxM 222

Figura 28 – Esquema para análise do momento genérico no trecho SB.

P

A B

x

y

S

x2

L

Pb

L

Pa

L

a b

P

A B

x

y

S

x1

L

Pb

L

Pa

L

a b

40

Obtenção das expressões genéricas para as inclinações e deflexões:

A inclinação (x) é obtida, conforme estudo realizado neste capítulo, por integração de M(x)

e a deflexão y(x) é obtida por integração da inclinação (x).

Lembre-se que (x) = dy/dx. Portanto, seguem-se as resoluções.

Trecho AS

1

2

11

1X

0

111

X

0

1 CxL2

PbCdxx

L

PbCdx)x(M)x(EI

EI

Cx

LEI2

Pb

dx

dy)x( 12

1

1

111

211

3

12

X

0

1

2

11 CxCxL6

PbCCx

L2

Pb)x(yEI

1

EI

Cx

EI

Cx

LEI6

Pby)x(y 2

113

111

Trecho SB

3

2X

0

2223

X

0

2 CdxPaPxxL

PbCdx)x(M)x(EI

32

2

2

2

2 CxPax2

Px

L2

Pb

EI

Cx

EI

Pax

EI2

Px

LEI2

Pb

dx

dy)x( 3

2

2

2

2

2

2

222

4

X

0

32

2

2

2

22 CCxPax2

Px

L2

Pb)x(yEI

2

41

423

2

2

3

2

3

22 CxCx2

Pax

6

Px

L6

Pb)x(yEI

EI

Cx

EI

Cx

EI2

Pax

EI6

Px

LEI6

Pby)x(y 4

232

2

3

2

3

222

Encontradas as expressões genéricas para as deflexões e inclinações nos dois trechos da

viga, há que se encontrar o valor de cada uma das constantes de integração reais que

surgiram dos cálculos realizados: C1, C2, C3 e C4.

Para a obtenção das constantes de integração, será necessário o conhecimento de quatro

informações com relação à viga e são eles:

( I ) O ponto A possui deflexão nula, ou seja: 0y0x 11

( II ) O ponto B possui deflexão nula, ou seja: 0yLx 22

( III ) No ponto S, as deflexões são iguais, tanto pela esquerda como pela direita, ou

seja: 2121 yyaxx

( IV ) No ponto S, as inclinações são iguais, tanto pela esquerda como pela direita,

ou seja: 2121 axx

Substituindo cada uma das informações nas expressões acima, serão obtidos os seguintes

resultados:

( I ) 0y0x 11

EI

C0

EI

C0

LEI6

Pb0 213

0C2

( II ) 0yLx 22

EI

CL

EI

CL

EI2

PaL

EI6

PL

LEI6

Pb0 43233

43

232CLCL

2

PaL

6

PL

6

Pb0

42

43

222CLCL

2

PaL

6

PLL

6

Pb0

222

43 L2

PaL

6

PLL

6

PbCLC

222

43 L3

PaL

2

PaL

6

PaCLC

2

43 L3

PaCLC

( III ) 2121 yyaxx

EI

Cx

EI

Cx

EI2

Pax

EI6

Px

LEI6

Pb

EI

Cx

EI

Cx

LEI6

Pb 42

32

2

3

2

3

22

113

1

423

2

2

3

2

3

22

11

3

1 CxCx2

Pax

6

Px

L6

Pb

EI

CxCx

L6

Pb

43

23321

3CaCa

2

Paa

6

Pa

L6

Pb

EI

CaCa

L6

Pb

43

33

1 CaC2

Paa

6

PaC

3

431 a3

PCaCaC

( IV ) 2121 axx

EI

Cx

EI

Pax

EI2

Px

LEI2

PbCx

LEI2

Pb 32

2

2

2

21

2

1

43

3

22

1

2CaPaa

2

Pa

L2

PbCa

L2

Pb

3

22

1 CaPa2

PC

2

31 a2

PCC

Tem-se, portanto um sistema constituído por três equações e três incógnitas, tendo em vista

que o valor de C2 = 0 já foi obtido.

Utilizando-se de algum método, conforme aprendido na Disciplina Álgebra Linear,

determinam-se aos valores dessas incógnitas, ao resolver tal sistema:

6

PaC

3

4 6

Pa

3

PaLC

32

3 6

Pa

3

PaL

2

PaC

322

1

Portanto, escrevem-se as equações genéricas finais das inclinações e das deflexões, para

cada um dos trechos:

Trecho AS

EI6

Pa

EI3

PaL

EI2

Pax

LEI2

Pb

EI

Cx

LEI2

Pb

dx

dy)x(

3222

112

1

1

111

6

a

3

aL

2

a

L2

xb

EI

P)x(

3222

111

1

3

1

2

1

23

111 xEI6

Pax

EI3

PaLx

EI2

Pax

LEI6

Pby)x(y

1

3

1

2

1

23

111 x6

ax

3

aLx

2

ax

L6

b

EI

Py)x(y

Trecho SB

EI6

Pa

EI3

PaLx

EI

Pax

EI2

Px

LEI2

Pb

dx

dy)x(

32

2

2

2

2

2

2

222

6

a

3

aLxa

2

xx

L2

b

EI

P)x(

32

2

2

22

222

44

EI6

Pax

EI6

Pax

EI3

PaLx

EI2

Pax

EI6

Px

LEI6

Pby)x(y

3

2

3

2

22

2

3

2

3

222

6

ax

6

ax

3

aLx

2

a

6

xx

L6

b

EI

Py)x(y

3

2

3

2

22

2

3

23

222

4. Atividades

Tendo percorrido até aqui, é necessário que você se auto-avalie! Em seguida, são

apresentados alguns passos essenciais que lhe ajudarão nesta fase, propostos como

atividades de auto-verificação de aprendizagem.

Você, caro aluno, deverá ter a consciência de que neste importante estudo de sua formação

em Engenharia, não basta apenas a leitura!! É imprescindível que você faça suas próprias

anotações e se preocupe em raciocinar e se questionar a todo momento, fazendo as

paradas necessárias ao longo do seu estudo, para que você possa prosseguir, tendo

vencidos os degraus na medida em que vai escalando. Não pule nenhum deles, mas suba

cada um, com atenção e seguindo as recomendações propostas ao longo do capítulo!

Atividade 1

Faça um resumo sobre o conteúdo de deflexão estudado, apenas para a teoria e as

formulações. Lembre-se que é importante destacar os sinônimos dos termos e expressões!

Agora, faça o mesmo, para os problemas de aplicação resolvidos, apresentando uma

resolução sintética para cada um deles.

Atividade 2

Explique o que significam os termos deflexão e inclinação, relacionados à seção transversal

de uma viga fletida.

Atividade 3

Para a viga referente à 1ª Aplicação, pede-se calcular os valores da inclinação e da deflexão

para a seção transversal situada no meio da viga.

Atividade 4

45

Analisando a resposta da 3ª atividade, responda: considerando-se uma viga de seção

retangular, o que ocorreria com o valor da deflexão calculada, caso a altura de sua seção

transversal fosse o dobro?

Atividade 5


transversal uniforme (prismática) e suporta uma carga uniformemente distribuída p por

unidade de comprimento, ao longo de toda a sua extensão. Vide Figura 29.

Pede-se determinar a equação da linha elástica y(x) e o valor da flecha máxima ymáx que

ocorre na viga.

Figura 29 – Representação esquemática de uma viga em balanço AB com carregamento uniforme p.

Atividade 6

Para a viga esquematizada na Figura 30 pede-se obter a equação da linha elástica

referente ao trecho AB.

p

A B

x

y

L

S

x

A B

x

y

L a

C

p

46

Figura 30 – Representação esquemática de uma viga ABC com carregamento uniforme p em BC.

Atividade 7

Para a viga esquematizada na Figura 31 pede-se obter o valor da flecha no ponto C.

Figura 31 – Esquema da viga em balanço ABC com duas cargas concentradas e uma distribuída.

4. Conclusões

Espera-se que você, ao chegar até aqui, tenha se usufruído da melhor maneira, dos meios e

processos apresentados neste capítulo, para o seu aprendizado do conteúdo em questão,

adquirindo as competências pertinentes, na medida do cumprimento de cada etapa.

Esteja consciente de que, vencida esta etapa, você agrega conhecimentos de importante

valia para sua formação acadêmico-profissional. Parabéns por mais este degrau que você

acaba de subir!

Resumo

Prezado aluno, após o estudo realizado, você pode constatar que uma viga submetida a

determinado carregamento perpendicular ao seu eixo, é solicitada por momento fletor e se

deforma.

Ao se deformar, aparecem simultaneamente, em cada seção transversal deste elemento

estrutural, duas naturezas de movimento, sendo uma relativa a deslocamento (flecha,

deflexão) e outra, a giro (inclinação, rotação).

A B

x

y

C

L

a b

p

P2 P1

47

Você verificou que, em determinadas posições, a viga possui apenas uma (ou nenhuma)

dessas deformações em sua seção transversal, ficando a outra (ou as duas) impedida, por

restrição de movimento gerado pelos vínculos de apoio e engaste.

Este estudo servirá de base para o entendimento e a aplicação de conceitos e formulações

relacionadas a dimensionamentos de peças estruturais.

A partir dos valores das deformações que ocorrem em um elemento estrutural, sobretudo as

maiores, você verificará se estão de acordo com os valores prescritos pelos textos

normatizados, em função do material estrutural que se esteja utilizando (concreto armado,

aço, madeira, etc.). Há sempre que se ficar aquém dos valores máximos exigidos, para que

se concebam as dimensões estruturais (altura necessária para a seção transversal de uma

viga em concreto armado, por exemplo).

Referências Bibliográficas

BEER, Ferdinand Pierre, JOHNSTON JR., Elwood Russell. Resistência dos Materiais. 3.ed. São

Paulo: Makron Books do Brasil Editora Ltda., 1995. 654p.

HIBBELER, R C. Resistência dos Materiais. 3.ed. São Paulo: Editora Livros Técnicos e Científicos,

2000. 698p.

Anexos

Tabela 1 - Deflexões e Inclinações de Vigas Engastadas em balanço

y (x) – Equação da linha elástica;

B - Flecha máxima na extremidade direita da viga

B - Inclinação na extremidade direita da viga

___________________________________________________________________

48

³)³(.6

)³43(.24

)³4²²6³4(.24

)(

)3(12

)(

)233(12

²)(0

44

44

2

aLIE

qaLaL

IE

q

aaxxLLxxIE

qxyLxa

aLEI

baqxyax

bxabbLEI

xqxyax

BB

1.

__________________________________________________________________

2.

_______________________________________________________

3.

__________________________________________________________________

²)4²6(.24

²)( xxLL

IE

xqxy

IE

LqB

.8

4

IE

LqB

.6

³

IE

aqaL

IE

aq

axIE

aqxyLxa

EI

aqxyax

xaxaEI

xqxyax

BB.6

³)4(

.24

)4(.24

³)(

8)(

²)4²6(24

²)(0

3

4

49

)3(.6

²)( xL

IE

xPxy

IE

LPB

.3

3

IE

LPB

.2

²

IE

xMxy

.2

²)(

IE

LMB

.2

2

IE

LMB

.

IE

aPaL

IE

aP

axIE

aPxyLxa

EI

aPxyax

xaEI

xPxyax

BB.2

²)3(

.6

)3(.6

²)(

3)(

)3(6

²)(0

2

3

IE

Lq

IE

Lq

xLxxLLIEL

xqxy

BB.24

³

.30

³)²5²10³10(..120

²)(

4

4.

___________________________________________________________________

5.

___________________________________________________________________

6.

7.

___________________________________________________________________

50

IE

qL

IE

qLc

xLxLIE

xqxy

BA.24

³

.384

5max

³)²2³(.24

)(

4

IE

Lq

IE

Lq

xxLLIEL

xqxy

BB.8

³

.120

11

³)²10³20(..120

²)(

4

8.

Tabela 2 - Deflexões e Inclinações de Vigas Simplesmente Apoiadas

y (x) – Equação da linha elástica;

c - Deflexão no meio da viga

max - Deflexão máxima

A - Ângulo na extremidade esquerda da viga

B - Ângulo na extremidade direita da viga

1x - Distância de A ao ponto de deflexão máxima

___________________________________________________________________

1.

___________________________________________________________________

51

IE

Lq

IE

Lq

IE

qL

LxLLxxIE

qLxyLx

L

xLxLIE

xqxy

Lx

BAC.384

³7

.128

³3

.768

5

³)²17²248(.384

)(2

³)16²24³9(.384

)(2

0

4

3

IE

PL

IE

PL

xLIE

xPxy

Lx

BAC.16

²

.48

³

²)4²3(.48

)(2

0

max

2.

3.

²)²2(..24

²²)44²(

..24

²

³)2²6²²4²(..24

²)(

³)²4²²2²²4³4(..24

)(0 4

aLIEL

aqLaLa

IEL

aq

xLxxaxLLaIEL

aqxyLxa

LxaLxxaLaLaaIEL

xqxyax

BA

___________________________________________________________________

4.

52

²)4²3(.24.2

)(

)²33(.6

)(2

²)²33(.6

)(0

max

2

aLIE

aP

IE

aLPa

axLxIE

Paxy

Lxa

xaaLIE

xPxyax

CA

IE

LMmáxLx

IE

LM

IE

LM

IE

LM

xLxLIEL

xMxy

BAC

.39

²

3

31

.6

.

.3

.

.16

²

²)3²2(..6

.)(

1

5.

IEL

bLbPe

bLx

IE

bLbPbaSe

IEL

aLbaP

IEL

bLbaP

xbLIEL

xbPxyax

C

BA

..39

²)²(

3

²²

.48

²)4²3(

..6

)(

..6

)(

²)²²(..6

)(0

2/3

max1

6.

___________________________________________________________________

7.

___________________________________________________________________

53

IE

LM

IE

LM

xLIEL

xMxy

Lx

BAC.24

.

.24

.0

²)4²(..24

.)(

20

²)²3(..6

²)2²36(..6

²)²23(..3

.)(

²)²2²36(..6

.)(0

LaIEL

MLaaL

IEL

M

LaaLIEL

aMxyax

xLaaLIEL

xMxyax

BA

IE

LqmáxLx

IE

Lq

IE

Lq

IE

Lq

xxLLIEL

xqxy

BAC

.00652,05193,0

.45

³.

.360

³7

.768

5

)3²²107(..360

.)(

4

1

4

44

8.

________________________________________________________________

9.

10.

54

2

Torção


Introdução

O problema relacionado à torção data-se desde 1784, quando o cientista Coulomb criava

um dispositivo para medir a relação entre cargas elétricas e forças magnéticas. O

experimento consistia em um fio suspenso com uma agulha metálica. Coulomb verificou que

na extremidade do fio havia uma torção e por conseqüência um ângulo de rotação.

Na engenharia a torção pode ser vista em vigas de seções circulares, prismáticas e vigas

com seções vazadas de paredes finas, conforme visto a seguir:

Objetivos

Ao final do estudo deste capítulo, espera-se que vocês sejam capazes de:

Utilizar os conceitos da Resistência dos materiais para a solução de problemas;

Determinar as tensões e deformações produzidas em peças de seção transversal circular e em barras de seção transversal prismática;

Analisar os eixo de rotação e calcular a potência transmitida pelos eixos (projeto de eixos de transmissão ou eixos motrizes).

Esquema

1. Definição de Torção 2. Eixos de Seção Circular e Fórmula de Torção 3. Ângulo de Torção 4. Convenção de Sinais 5. Torção em Barra de Seção Transversal Prismática 6. Torção em Eixos Vazados de Paredes Finas 7. Transmissão de Potência

55

1. Definição de Torção

Torção se define como o giro de uma barra retilínea, conforme figura 1, de seção transversal

circular ou não circular, figura 2, quando carregada por momentos (ou torques) que tendem

a rotacionar o eixo longitudinal dessa barra.

Torque - esforço de rotação, em uma máquina ou motor.

A torção ocorre principalmente em eixos de transmissão, máquinas, estruturas, etc.

Figura 1: Torção em uma barra retilínea.

Figura 2: Torção em seção não circular.

2. Eixos de Seção Circular e Fórmula de Torção

Quando um eixo é submetido a um esforço de rotação externo, por consequência, condição

de equilíbrio, haverá um torque interno no interior do eixo. Este torque interno pode ser

relacionado com a distribuição dos esforços cisalhantes, ou seja, a tensão de cisalhamento.

Considerando este material elástico linear, pode-se aplicar a lei de Hooke, já vista

anteriormente, na qual:

.G

Onde:

- Tensão de Cisalhamento;

G – Módulo de Elasticidade transversal; - Deformação de cisalhamento.

56

Como conseqüência da aplicação da lei de Hooke, a tensão de cisalhamento varia

linearmente ao longo do raio , sendo nula no centróide e máxima na superfície, conforme

mostrado na figura 3:

Figura 3: Distribuição da tensão de cisalhamento

A tensão é dada como sendo: máxc

.

Seja a figura 4, um eixo circular de comprimento L e raio c, sujeito a um momento torçor

(torque) T. Sabe-se que para manter o eixo em equilíbrio o torque interno, aquele produzido

pela ação da distribuição das tensões, figura 3, sobre a seção transversal, é equivalente ao

torque interno T. Portanto:

Figura 4: Barra sujeita à torção

57

J

cTmáx

.

Onde:

máx = tensão máxima de cisalhamento no eixo;

T – Torque interno na seção transversal;

J – Momento polar de Inércia;

c – raio externo ao eixo c = máx .

Na figura 4, é a deformação do eixo devido à aplicação do torque. A deformação pode ser

expressa como sendo:

L

. e

L

cmáx

.

O Momento Polar de Inércia (J) de um elemento de área em relação a um ponto é o produto

da área deste elemento pelo quadrado de sua distância ao ponto considerado, conforme

mostrado na figura 5.

O momento polar de Inércia (J) será dado definido através dos seguintes cálculos integrais a

seguir:

Figura 5: Cálculo do Momento Polar de Inércia

58

A

dAyIx ².

A

dAxIy ².

AAAA

dAydAxdAyxdAJ ².².²)²(².

IxIyJ IyD

Ix64

. 4

64

.

64

. 44 DDJ

32

4DJ

Onde:

J = Momento polar de Inércia; D = Diâmetro externo do eixo

3. Ângulo de Torção

O cálculo do ângulo de torção é de suma importância para o projeto de um eixo, uma vez

que há limitações quanto à quantidade de rotação ou torção ocorrida quando o eixo é

submetido a um torque.

O ângulo de torção ocorre quando o eixo de está submetido a um momento torçor, ou seja,

um torque, figura 6. Este ângulo de torção é representado pela simbologia . A taxa de

variação do ângulo de torção é constante ao longo do comprimento L da barra.

Para a definição do ângulo de torção, adotaremos o material como homogêneo, portanto

com módulo de elasticidade (G) constante.

No caso de eixo circular de seção vazada, com diâmetro interno d1 e diâmetro

externo d2, o Momento Polar de Inércia (J) será dado por:

)(.32

4

1

4

2 ddJ

Obs.: O Momento Polar de Inércia (J) é uma propriedade geométrica da área da

seção circular, portanto seu valor sempre será positivo. A unidade para J é dada em

.4mm

Importante!

59

Figura 6: Ângulo de torção em uma barra

GJ

LT

.

.

Onde:

- ângulo de torção de uma extremidade do eixo em relação à outra;

T – Momento torçor – torque; J – Momento polar de Inércia; G – Módulo de elasticidade transversal do material.

Caso o eixo esteja sujeito a vários torques diferentes, ou se a área da seção transversal ou

o módulo de elasticidade transversal mudar repentinamente, o ângulo de torção será dado

por:

GJ

LT

.

.

A unidade do ângulo de torção é dada em radianos (rad).

Caso o módulo de elasticidade transversal (G), não seja dado, aplicar:

)1(2 U

EG

Onde:

E – módulo de elasticidade U – Coeficiente de Poisson

4. Convenção de Sinais

A direção e sentido do torque aplicado em um eixo podem ser definidos pela regra da mão

direita. O momento torçor (torque) e o ângulo de rotação serão positivos quando a direção

do dedo polegar for ao sentido de se afastar do eixo considerado, conforme figura 7. Os

demais dedos que encontram fechados indicam a rotação do elemento.

60

Figura 7: Convenção de Sinais Fonte: HIBBELER, R.C. Resistência dos materiais, 2004.

Exemplo 1 Determine a tensão de cisalhamento máxima e o ângulo de torção da figura a seguir, sabe-

se que E = 200 GPa e U = 0,3.

Figura 8: Barra sujeita à torção

Resolução:

)1(2 U

EG MPaG 923.76

)3,01(2

10.200 3

32

4DJ

44

327.25132

40mmJ

J

cTmáx

. MPamáx 97,5

327.251

20.000.75

61

GJ

LT

.

. rad

x

mmx 310.70,9923.76327.251

250075000

Respostas: MPamáx 97,5 e rad310.70,9

Exemplo 2 Determine o torque interno no eixo 3.

Figura 9: Motor em rotação Fonte: Adaptada de Mecmovie (2010).

Resolução:

Primeiramente vamos aplicar a regra da mão direita: O momento torçor (torque) e o ângulo

de rotação serão positivos quando a direção do dedo polegar for ao sentido de se afastar do

eixo considerado. Todos os torques que tiverem a mesma direção do de 11 N.m serão

positivos.

O exercício solicita o torque no eixo 3, portanto:

Figura 10: Esquema do torque no eixo Fonte: Adaptada de Mecmovie (2010).

mNTTxM .11112201122 33

Resposta: mNT .113

Exemplo 3 Determine a tensão de cisalhamento e o ângulo de torção no eixo 4, entre as engrenagens

D e E, sabendo que o mesmo possui um diâmetro de 20 mm e G = 28 GPa.

62

Figura 11: Rotação de um motor Fonte: Adaptada de Mecmovie (2010).

Resolução:

Pela regra da mão direita, os torques que tiverem a mesma direção do de 14 N.m serão

positivos.

mNTTxM .6814231794014231794 44

32

4DJ

44

708.1532

20mmJ

J

cTmáx

. MPa

xmáx 29,43

708.15

1010.68 3

GJ

LT

.

. rad

x

mmx04,0

000.28708.15

250³10.68

Respostas: MPamáx 29,43 e rad04,0

Exemplo 4 Um torque T = 50 N.m é aplicado a um membro de torção composta. O eixo 1 tem um

diâmetro de 32 mm e módulo de elasticidade transversal G = 37 GPa. O segmento 2 é feito

de um material cujo módulo de elasticidade transversal é G = 26 GPa. Determine o diâmetro

mínimo do eixo 2 sabendo que o ângulo de rotação em C em relação ao apoio A não deve

exceder 3º.

63

Figura 12: Torção composta Fonte: Adaptada de Mecmovie (2010).

Resolução:

GJ

LT

.

. 21c

mNTmNTxM .500.50 11

444

1 944.10232

32.

32mm

DJ

GJ

LT

.

. rad

xx

xx0236,0

³1037944.102

1800³10501

Transformar 3º em radianos.

180º = rad

3º = x

x = 0,0524 rad

21c 20236,00524,0 rad0288,02

mNTmNTxM .500.50 22

GJ

LT

.

.

4419.53³1026

800³10500288,0 mmJ

xxJ

xxrad

mmDDD

J 16,2732

419.5332

2

44

2

64

Resposta: mmD 16,272

Exemplo 5

Ao apertar um parafuso de roda para trocar um pneu um motorista aplica forças de 80 N nas

extremidades dos braços de uma chave de roda. A chave é feita de aço com G = 78 GPa.

Cada braço da chave tem 200 mm de comprimento e uma seção transversal sólida de

diâmetro d = 10 mm. Calcule a máxima tensão de cisalhamento no braço que está girando o

parafuso (braço A).

Figura 13: Chave de roda sujeita a torque

Resolução:

cmKNmNTTmNmNyM .2,3²10.10.32.320)2,0(80)2,0(80 3

44444

10.75,98175,98132

)10(

32cmmmJ

DJ

MPacmKNmáxJ

cTmáx 163²/30,16

10.75,981

5,0.2,3.4

Resposta: MPa163

Atividade 1

Determine a tensão de cisalhamento e o ângulo de torção no eixo 3, entre as engrenagens

C e D, sabendo que o mesmo possui um diâmetro de 14 mm e G = 28 GPa.

65

Figura 14: Esquema de um motor rotacionado Fonte: Adaptada de Mecmovie (2010).

Atividade 2

O tubo mostrado abaixo tem um diâmetro interno de 75 mm e um diâmetro externo de 90

mm. Determine a tensão cisalhante nas paredes internas e externas quando uma chave B é

torcida contra um suporte A.

Figura 15: Tubo rotacionado

5. Torção em Barra de Seção Transversal Prismática

Em barras de seção transversal prismática, figura 16, a tensão ocorre ao longo da linha

média da face mais larga, dada por:

2

1 .. bac

Tmáx e

Gbac

LT

..

.3

.2

Essas equações são válidas somente para regime elástico.

onde:

a – lado maior;

b – lado menor

66

Os valores de 1c e

2c são tabelados com relação à razão de b

a, conforme tabela 1.

Figura 16: Barra de seção prismática

Tabela 1 – Coeficientes para torção de barras retangulares.

a/b c1 c2

1,0 0,208 0,1406

1,2 0,219 0,1661

1,5 0,231 0,1958

2,0 0,246 0,229

2,5 0,258 0,249

3,0 0,267 0,263

4,0 0,282 0,281

5,0 0,291 0,291

10,0 0,312 0,312

0,333 0,333

Fonte: BEER, F. P.; JOHNSTON, E. R. Resistência dos materiais

67

Exemplo 6 Determine o ângulo torção e o valor do maior momento torçor que pode ser aplicado a um

tubo de alumínio de seção retangular (25 mm x 70 mm) e comprimento igual a 1 metro.

Sabe- se que G = 28 GPa e adm = 120 MPa.

Figura 17: Tubo de alumínio de seção retangular

Resolução:

a = 70 mm b = 25 mm a/b = 2,80

Como o valor da razão a/b não se encontra na tabela, devemos interpolar:

a/b c1 c2

2,5 0,258 0,249

2,8 c1 C2

3,0 0,267 0,263

1267,0

8,23

258,0267,0

5,23

c

2263,0

8,23

249,0263,0

5,23

c

1c = 0,263 2c = 0,257

2

1 .. bac

Tmáx

2

3

025,0070,0263,010.120

xx

T mNmKNT .1380.38,1

68

Gbac

LT

..

.3

.2

radxxxx

xx18,0

³10282570257,0

1000³1013803

.

Resposta: mmNT .380.1 e rad18,0

Atividade 3

Determine o torque que pode ser aplicado sobre as barras, sabendo que a máx = 150

MPA. Para este torque determine o ângulo de torção, sabendo que G = 80 GPa.

Figura 18: Barras com seções transversais

6. Torção em Eixos Vazados de Paredes Finas

A torção em eixos de paredes finas, figura 19, pode ser calculada como veremos agora.

Para o cálculo admite que o material tenha um comportamento elástico e linear.

Figura 19: Eixo de paredes finas

69

A tensão de cisalhamento em qualquer ponto da parede é dada como sendo:

At

T

..2

Onde:

t – espessura da parede; A – Área delimitada pela linha média

O ângulo de torção é dado por:

t

s

GA

LT

²..4

.

Onde:

s – é o comprimento da linha média.

Exemplo 7

Determine a tensão de cisalhamento e o ângulo de torção do eixo a seguir, sabe-se que G =

80 GPa, L = 3 m e T = 7 KN.m.

Figura 20: Eixo de parede fina retangular

Resolução:

At

T

..2 MPa

xxx

x50

)50140(102

107 6

70

t

s

GA

LT

²..4

. rad

xxx

xxx

xxx051,0

10

)2140250(

³1080)²14050.(4

³103107 6

Resposta: MPa50 e rad051,0

Atividade 4

Determine a tensão de cisalhamento e o ângulo de torção do eixo a seguir, sabe-se que G =

80 GPa, T = 10 KN.m e L = 5 m.

Figura 21: Eixo de parede fina circular

7. Transmissão de Potência

A potência desenvolvida por uma máquina é transmitida pelos eixos de seção transversal e

circular. O torque que atua em um eixo depende da potência gerada pela máquina e da

velocidade angular do eixo.

Em dinâmica a potência de uma máquina é a relação entre o trabalho

realizado por este corpo e o tempo gasto para realizá-lo.

A velocidade angular num movimento circular consiste na quantidade igual

à variação do ângulo θ descrito na unidade de tempo t.

Relembrando

72

O trabalho pode ser definido como o produto do torque pelo ângulo de rotação, portanto:

wTP .

Onde: P – Potência transmitida - [Watts]; T – torque - [N.m]; w – Velocidade angular – [rad/s].

Sabe-se que: fw 2 TfP .2 f

PT

2

Onde:

f – freqüência da rotação do eixo, ela representa o número de voltas completadas pelo eixo

durante um segundo; sua unidade é expressa em hertz [Hz] = 1 ciclo/s.

Em projetos de eixos, conhecendo o torque (T) e a tensão cisalhante admissível ( ) e

sabendo que o material possui um comportamento elástico linear, podemos concluir que:

adm

T

c

J

Onde:

J = Momento polar de Inércia;

c = Raio externo do eixo; 2

Dc

Para eixos maciços, sabe que: 32

4DJ

Portanto:

16

³.D

c

J adm

DT .

16

³.

É comum encontrarmos a medida de freqüência dada rotações por minuto (rpm) e a

potência em Horsepower (hp), ou em português cavalos - vapor (C.V). Para que não haja

nenhuma divergência de unidades na hora da aplicação das equações, se faz necessário a

conversão destas unidades:

Hzsrpm60

1

60

11 1

smNhp /.7461

73

Exemplo 8 Um eixo maciço AB de aço deve ser utilizado para transmitir 8 hp de um motor M ao qual é

fixado. Se o eixo gira com uma frequência de 240 rpm e o aço possui tensão cisalhante

admissível igual 100 MPa, determine o diâmetro necessário ao eixo para tal situação.

Resolução:

Potência:

smNhp

smNhp

/.968.58

/.7461

Frequência:

HzrpmHzsrpm 460

1.240240

60

1

60

11 1

Cálculo do Torque:

cmKNTmNTTss

mNTfP .75,23²10.10.5,237.5,237.

1.4.2.968.5.2 3

Cálculo do diâmetro:

mmcmDcm

KNDcmKNadm

DT 2330,2

²10.

16

³..75,23.

16

³.

Resposta: mmD 23

Atividade 5

Determine o valor do maior diâmetro a ser usado para o eixo do rotor de uma máquina de 10

hp, operando a 4.000 rpm, sabendo que a tensão de cisalhamento admissível é 60 MPa.

74

Resumo Neste capítulo abordamos os conceitos básicos relacionados à torção, sendo abordados separadamente e de maneira clara e objetiva, visando sempre o aprendizado do aluno. Os conceitos apresentados neste capítulo são de grande importância no estudo da resistência dos materiais devido aos efeitos da aplicação dos esforços torcionais em um elemento linear longo.

Referências

BEER, F. P.; JOHNSTON, E. R. Resistência dos materiais. 3. ed. São Paulo: Makron Books Ltda.,

1996.

HIBBELER, R.C. Resistência dos materiais. 5. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2004.

Finalizamos este capítulo com a indicação de algumas atividades de aplicação dos conceitos e formulação torção. Para tanto, acesse o endereço //web.mst.edu/~mecmovie. Acompanhe os exemplos resolvidos e resolva os seguintes tópicos: M 6.1 TORSION CONCEPTS M 6.9 GEAR BASICS M 6.10 GEAR TRAINS: TORQUE AND SHEAR STRESS M 6.11 GEAR TRAINS: TORQUE AND SHEAR STRESS M 6.12 GEAR TRAINS: ANGLES OF TWIST M 6.14 GEAR TRAINS: POWER TRANSMISSION

Pesquisando na Web

76

3

Flambagem de colunas


Introdução

Caro (a) aluno (a),

Como visto nos capítulos anteriores, caso uma estrutura não for bem projetada e calculada,

estará sujeita a falhas como, por exemplo: tensões baixas, deformações, deflexões e

fadigas. Essas falhas podem ser provenientes de vários fatores, como o tipo de material

usado, tipo de apoios, tipo de estrutura, dentre outros. Neste capítulo iremos discutir outro

tipo de falha a que as estruturas estão sujeitas, a Flambagem de Colunas.

Para isso vamos supor que a força aplicada é perfeitamente centrada e a coluna esteja

completamente alinhada, ou seja, circunstâncias ideais, para as quais possa ser aplicada a

fórmula de Euler, flambagem elástica. No entanto, vale lembrar que na prática as condições

ideais geralmente não existem, ocasionando a flambagem inelástica, assunto esse que foge

do escopo deste capítulo, e que será tratado mais a frente em outros conteúdos como

estruturas metálicas, de madeiras e de concreto.

Quando se projetam colunas para sustentar os carregamentos axiais é necessário que

sejam determinadas as condições para que as colunas não entrem em colapso, como

características geométricas (área da seção transversal, comprimento) e propriedades do

material. Portanto, é de suma importância que as colunas sejam projetadas para resistir à

ruptura por instabilidade geométrica, ou seja, a flambagem. Esse estudo será objeto de

discussão neste capítulo.

Bons estudos!

Objetivos

Ao final do estudo deste capítulo, espera-se que vocês estejam aptos a:

Dimensionar colunas;

Determinar as cargas críticas de uma coluna;

Determinar o índice de esbeltez de uma estrutura;

Calcular as tensões críticas que atuam em uma coluna.

77

Esquema

1. Conceito de Carga Crítica 2. Fórmula de Euler para colunas com extremidades articuladas 3. Fórmula de Euler para Colunas com outras Condições de Extremidades 4. Tensão Crítica 5. Índice de Esbeltez

1. Conceito de carga crítica

Iniciaremos nosso estudo conceituando carga crítica. Quando um elemento é projetado deve

atender às condições de segurança: resistência, deslocamentos, limites e estabilidades. Nos

capítulos anteriores vimos alguns procedimentos que estavam relacionados com a

resistência e deslocamentos, sempre adotando a premissa de que o sistema estivesse em

equilíbrio estável.

No entanto, quando há influência de um carregamento axial (carga compressivas) o sistema

pode ser deslocado de sua posição de equilíbrio, ocasionando a instabilidade lateral.

Exemplos de estruturas nas quais pode ocorrer essa instabilidade são as colunas,

elementos longos e esbeltos.

Essa instabilidade lateral, ou deflexão, é chamada de flambagem (figura 1), que, em geral,

ocasiona uma falha repentina e catastrófica da estrutura.

Figura 22: Flambagem de uma coluna devido ao carregamento axial P.

Um exemplo de flambagem pode ser visto quando se aplica uma força axial a uma régua,

fazendo com que a mesma sofra um deslocamento lateral.

78

Carga crítica de flambagem ( crP ):

Para a determinação da carga crítica, suponham-se duas barras rígidas unidas por um pino

C (figura 2), uma mola de constante elástica K, e um peso P aplicado na extremidade B da

barra. Na posição (I) a mola se encontra indeformada antes da aplicação de P. Quando a

carga axial P é colocada sobre as barras o equilíbrio se desfaz, ocasionando um

deslocamento no pino C, situação II.

Na situação III, temos o diagrama de corpo livre, sendo que a carga P gera dois

componentes horizontais opondo-se a força elástica da mola. Pode-se verificar que as

componentes horizontais de P são responsáveis por empurrar o pino em C e em oposição a

este movimento a força elástica da mola tenta restaurar a situação de equilíbrio.

Figura 23: Barras sofrendo flambagem (I e II) e diagrama de corpo livre (III).

Vamos simular a compressão em uma estrutura para isso pegue uma régua de plástico de

30 cm e a coloque na posição horizontal. Agora a segure em dois pontos bem próximos,

cerca de 4 centímetros, e aplique uma força pressionando-a. Algo aconteceu? Vamos agora

aumentar a distância entre os dois pontos, cerca de 20 cm. Pronto, a gora está fácil de notar

que o formato da régua sofreu uma deformação, ela começa a se encurvar, ou seja, sofrer

flambagem. Segure agora nos extremos da régua e pressione, pode-se notar que a régua vai

perdendo sua estabilidade até o momento que ela se rompe. Caso esta a experiência seja

feita com réguas do mesmo material, mas com espessuras diferentes, as réguas mais

espessas irão exigir maiores esforços para flambar que as mais finas.

Experimentando

79

Portanto:

A força elástica da mola é dada como sendo o produto da constante elástica (K) pelo deslocamento (x):

(1)

Condição de Equilíbrio:

(2)

Como o valor de é muito pequeno, podemos afirmar que tg =

(3)

Substituindo a força elástica na equação acima, teremos:

(4)

Note que a carga P encontrada é o que chamamos de carga crítica.

Carga crítica ( crP ) é o valor da carga de axial de compressão máxima que uma coluna pode

suportar quando atinge a iminência da flambagem. Qualquer carga que for adicionada à

carga crítica ocasionará a flambagem da coluna (figura 1), ou seja, o equilíbrio deixa de ser

estável.

(5)

Com base na carga crítica que uma coluna suporta, pode-se classificar o equilíbrio da

estrutura em estável, instável ou neutro. Observe:

Estável: após a aplicação da carga o sistema estrutural retorna a sua posição inicial por si mesmo.

(6)

2..

LKelFxKelF

tgPelFelFtgPFx 2020

PelF 2

4

KLP

4

KLcrP

4

KLP

80

Instável: após a aplicação da carga o sistema estrutural não retorna a sua posição inicial, caracterizando uma instabilidade naquela posição.

(7)

Neutro: após a aplicação da carga o sistema estrutural assume uma nova posição de equilíbrio, ficando perfeitamente equilibrado para qualquer movimento.

(8)

2. Fórmula de Euler para colunas com extremidades articuladas – Barras

biarticuladas ou biapoiadas

Neste item iremos determinar a carga crítica de flambagem para uma coluna biapoiada.

Para tanto, iremos considerá-la como ideal (feita de um material homogêneo e sem

imperfeições geométricas).

Uma coluna pode ser considerada como uma viga que está na posição vertical e é

submetida a um carregamento axial P. A determinação para a flambagem da coluna

ilustrada (figura 3) envolverá um equacionamento do seu estado deformado, conforme visto

no capítulo referente à deformação de vigas.

Figura 24: Barra Flambando e condições de apoio.

4

KLP

4

KLcrP

81

A carga P, ao flambar a coluna, irá gerar momentos fletores ao longo do comprimento da

coluna: yPM .

(9)

(10)

Do cálculo Integral e diferencial temos a seguinte solução:

(11)

Os valores das constantes 1C e

2C são obtidos do capítulo sobre Deformação de Vigas.

Condições de contorno:

x = 0 y = 0 01.0.0 221 CCC (12)

x = L y = 0 000 1 xEI

Psenx

EI

PsenC (13)

Para que o seno de um ângulo seja nulo ele deve ser múltiplo de radianos.

(14)

(15)

O menor valor de P, ou seja, a carga crítica crP será obtida quando n = 1

(16)

²

..²

L

IEPcr

...3,2,1,²

..².²nsendo

L

IEnP

nxEI

Psen

xIE

PCx

EI

PsenCy

.cos21

EI

xM

dx

yd )(2

2

yPEIdx

ydxMEI

dx

yd..)(.

2

2

2

2

82

Onde:

crP : Carga Crítica

E: Módulo de Elasticidade do material I: Menor Momento de Inércia da seção L: Comprimento da coluna.

Compreendida a equação anterior vamos aplicá-la em um exemplo.

Para um melhor entendimento a cerca do assunto é fundamental que o aluno tenha total

conhecimento do momento de Inércia. A seguir são mostradas as principais seções

utilizadas e o formulário para cálculo.

Relembrando

A equação encontrada é conhecida como fórmula de Euler em homenagem ao

matemático suíço Leonhard Euler.

“Ao nos referirmos a Leonhard Euler estamos falando do escritor de matemática mais

produtivo de todos os tempos. Para se ter uma idéia, a Academia de Ciências de São

Petersburgo continuou a publicar trabalhos novos de Euler até 50 anos depois da sua

morte. Entre suas contribuições mais conhecidas na matemática moderna estão a

introdução da função gama, a relação entre o cálculo diferencial de Leibniz e o método

das fluxões de Newton e a resolução de equações diferenciais com a utilização do fator

integrante” (Fonte: Texto sobre o matemático Leonhard Euler escrito por Carlos

Eduardo Tibúrcio, do Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica da

Universidade Estadual de Campinas. . Disponível em

<http://www.ime.unicamp.br/~calculo/modulos/history/euler/euler.html>.

Saiba mais

83

Exemplo 1

Um tubo de aço com 2,00 metros de comprimento tem a seção transversal mostrada na

figura 4. O tubo será utilizado como uma coluna apoiada em suas extremidades. Determinar

o valor da carga axial máxima que a coluna pode suportar. Sabe-se que E = 12 GPa.

Figura 25: Barra de seção circular.

Resolução:

A fórmula que nos fornece a carga crítica é dada pela equação (16).

1º Passo: cálculo do Momento de Inércia “I”

4444 38,035.267)1525(4

1.

4

1mmIRIyIx

2º Passo: aplicação da equação (16)

Resposta: crP = 7.906,61 N

Nxx

L

IEPcr 61,906.7

²2000

58,035.267³10.12²

²

..²

84

3. Fórmula de Euler para Colunas com outras Condições de Extremidades

A fórmula de Euller deduzida anteriormente (equação 16) é válida para as colunas que

sejam biapoiadas. Para as colunas que sejam fixadas de outra forma, por exemplo, colunas

biengastadas ou engastadas-livre, é preciso estabelecer comprimento equivalente, FLL ,

para que a equação seja válida também para os demais casos.

A partir de agora, para se considerar qualquer caso possível de vinculação, adota-se, na

fórmula, a variável FLL , que dependerá dos tipos de apoio da coluna:

(17)

(18)

Onde: K: valores teóricos que dependem do tipo de apoio da coluna; L: comprimento real da coluna.

A figura 5 apresenta os valore de K. Os valores de K podem variar de 0,50 a 2,00 dependo

do tipo de apoio da coluna.

Figura 5: Valores teóricos de K para demais tipos de apoio de colunas.

²

..²

FL

crL

IEP

LKLFL .

85

Acompanhe os seguintes exemplos: Exemplo 2 A barra AB (figura 6) é livre em sua extremidade A e engastada em sua base B. Determinar a carga centrada admissível P, sabendo que E = 15 GPa.

Figura 6: Barra submetida a um carregamento.

Resolução:

1º Passo: Cálculo do Momento de Inércia “I”

43

75,718.34112

45.45mmIyxI

2º Passo: Cálculo do comprimento de flambagem – equação (18)

3º Passo cálculo da carga crítica, aplicação da equação (17)

Resposta: crP = 562,10 KN

mmxLLKL FLFL 3001502.

KNxxx

L

IEP

FL

cr 10,562²300

50,718.341³1015²

²

..²

86

Exemplo 3 Determinar o valor da maior carga a ser aplicada em uma coluna de 2,50 metros de comprimento e E = 100 GPa e seção transversal ilustrada na figura 7. Considere que a coluna seja engastada – apoiada para a flambagem em torno do eixo y e apoiada - apoiada para o eixo x.

Figura 7: Seção retangular de uma coluna.

Resolução:

Eixo x:

1º Passo: Cálculo do Momento de Inércia “I”

43

500.31212

50.30mmxI



Eixo y: 1º Passo: Cálculo do Momento de Inércia “I”

mmxLLKL FLFL 500.2500.21.

Nxxx

L

IEP

FL

cr 02,348.49²500.2

500.312³10100²

²

..²

87

4500.11212

50³.30mmyI



Resposta: O maior valor da carga a ser aplicada à coluna é crP = 36.255,69 N, um valor

superior a este ocasionaria a flambagem no eixo y.

4. Tensão Crítica de Flambagem

Como visto no Capítulo 1 de Resistência dos Materiais I, pode-se dizer que tensão atuante é

a força por unidade de área, ou a intensidade das forças distribuídas em uma seção

transversal.

Considerando uma barra sujeita a uma força axial P, a tensão é obtida dividindo-se P pela

área da seção transversal A.

(19)

Com base nisso pode-se escrever a expressão da carga de Euler em termos da tensão

crítica de flambagem.

(20)

Observação: A tensão de flambagem é um valor de tensão que, se atingido, muda o estado

de equilíbrio da barra, ou seja, a barra flamba.

Raio de Giração: O raio de giração pode ser definido como sendo raiz quadrada do

momento de inércia, I, de uma seção transversal dividida pela área, A, desta seção.

A

P

AL

IE

A

L

IE

A

P

FL

CRFL

CR

CR

CR.²

..²²

..²

mmxLLKL FLFL 750.1500.27,0.

Nxxx

L

IEP

FL

cr 69,255.36²750.1

500.112³10100²

²

..²

88

(21)

(22)

Com base na equação (22), podemos reescrever a equação (20) da tensão crítica da

seguinte forma:

²

²..²

FL

CRL

rE (23)

Veja, agora, mais um exemplo:

Exemplo 4 Com relação ao exemplo 1, fornecido anteriormente, determinar a tensão crítica de

flambagem que ocorre na coluna feita do tubo de aço de seção circular.

Resolução:

FLL = 2.000 mm

E = 12 x 10³ MPa

I = 267.035,58 4mm

²64,1256²)15(²)25( mmxxA

Cálculo da tensão crítica através da equação (20)

MPax

xxx

AL

IE

FL

CR 29,664,1256²2000

58,035.267³1012²

.²

..²

Ou ainda, aplicando somente a equação (19), uma vez que já possuímos a carga crítica que

atua na coluna:

MPaA

PCR 29,664,1256

61,906.7

A

Ir

A

Ir²

89

Resposta: cr = 6,29 MPa

5. Índice de Esbeltez

O índice de esbeltez de uma coluna, λ, é a razão entre a medida de seu comprimento pelo

raio de giração. Uma barra é esbelta quando seu comprimento é grande perante sua seção

transversal. Importante frisar que o índice de esbeltez é uma adimensional.

r

LFL (24)

Relacionando-se as equações (23) e (24):

22

.².²

²

²

.²

²

²..² E

r

L

E

r

L

E

L

rECR

FL

CR

FL

CR

FL

CR (25)

Onde:

CR = Tensão crítica

E = Módulo de Elasticidade do material

= Índice de esbeltez da coluna

A equação (25) mostra que a tensão de flambagem depende apenas do módulo de

elasticidade E (característica do material) e do coeficiente de esbeltez λ (característica

geométrica da coluna), sendo proporcional ao módulo de elasticidade e inversamente

proporcional ao quadrado do índice de esbeltez, conforme ilustrado no gráfico a seguir.

Figura 8: Gráfico da tensão em função do índice de esbeltez.

Com base no gráfico anterior podemos concluir que:

90

Para coeficientes de esbeltez menores que o limite, a fórmula de Euler não é válida, pois o material deixa de der elástico antes de iniciar o processo de flambagem, ou seja, não há mais proporcionalidade entre tensão e deformação e/ou há deformações residuais decorrentes da plasticidade.

Quando o valor da tensão crítica obtido for maior que a tensão de escoamento σ y, esse valor não nos interessará, uma vez que o material deixa de pertencer ao regime elástico, passando para a situação de flambagem inelástica ou plástica.

Para colunas com seção circular ou quadrada, o momento de Inércia da seção transversal em relação a qualquer eixo é o mesmo, portanto a coluna pode flambar em qualquer plano, dependendo apenas das restrições dos apoios.

Para colunas com seção transversais de outra forma, a carga crítica deve ser calculada para I = I mín.

A flambagem ocorre primeiro em torno do eixo com maior índice de esbeltez.

A CRP pode ser aumentada alterando-se o material ou a seção, ou diminuindo o

comprimento de flambagem.

A seguir teremos quatro exemplos para clarificar melhor o que foi estudado até agora:

Exemplo 5 Uma barra de 2 metros de comprimento tem sua uma de suas extremidades livre e outra

engastada. Determinar o índice de esbeltez com base na seção transversal ilustrada da

figura 9.

Figura 9: Seção transversal de uma viga com perfil I

Cálculo da Área da Seção:

²500.5)15010()10200(2 mmxxxA

Cálculo dos Momentos de Inércia:

91

o Inércia em x:

00,85y

4

23

23

33,833.445.28

)8585(1501012

)15010()585(10200

12

)10200(2

mmI

xxx

xxx

xI

x

x

Inércia em y:

100x

4

22

33,833.345.13

)100100(1501012

)150³10()100100(10200

12

)10³200(2

mmI

xxx

xxx

xI

y

y

Usar o valor encontrado para o menor Momento de Inércia.

Cálculo do comprimento de flambagem – equação (18)


Cálculo do raio de giração, equação 21:

mmA

Ir 26,49

500.5

33,833.345.13

Cálculo do índice de esbeltez, equação 24:

20,8126,49

4000

mm

mm

r

LFL

Resposta: = 81,20

Exemplo 6 Qual o valor da carga axial máxima que pode ser aplicada a uma coluna de liga de alumínio forjado submetido à compressão, de comprimento L = 5 m? Sabe-se que as extremidades da coluna são engastadas e que ela possui uma seção vazada e de espessura 12,5 mm, conforme ilustrado na figura 10. Adotar um valor para o coeficiente de segurança igual a 2 e módulo de elasticidade transversal E = 70 GPa. Verificar se a equação de Euller é válida

92

para tal situação.

Figura 10: Seção transversal de uma coluna e gráfico da tensão x índice esbeltez

Resolução:

Cálculo da área da seção:

²875.1²25²50 mmA

Cálculo do Momento de Inércia: Como a seção da coluna é quadrada podemos afirmar que Ix = Iy

43

25,281.48812

³2525

12

5050mm

xxI

Cálculo do comprimento de flambagem – equação (18) Como as extremidades são engastadas, podemos dizer que trata-se de uma coluna biengastada com K = 0,5.


93

Passo cálculo da carga crítica, aplicação da equação (17)

KNxxx

L

IEP

FL

cr 97,53²500.2

25,281.488³1070²

²

..²

Cálculo da tensão crítica, aplicação equação (19)

MPax

A

PCR 78,28875.1

³1097,53

Como o valor encontrado para a tensão crítica é menor que a tensão de escoamento pode-se aplicar a equação de Euller. 28,78 MPa < 250 MPa

Cálculo da carga admissível:

KNSC

PP CR

adm 99,262

97,53

.

Resposta:P adm = 26,99 KN

Exemplo 7

Com relação ao gráfico do exemplo 6, determine o maior valor do raio de giração que a coluna pode possuir admitindo a equação de Euller e adotando o comprimento de flambagem igual a 2,5 m. Resolução:

Observando o gráfico podemos verificar que o índice de esbeltez máximo para a equação de Euller possui uma tensão crítica de 250 MPa.

Aplicando a equação 25 temos:

ensionalaE

CR dim57,52²

³10.70.²250

.²2

Cálculo do raio de giração, equação 24:

94

mmmmL

rr

L FLFL 56,4757,52

500.2

Resposta: r = 47,56 mm

Exemplo 8 A barra AB da estrutura, mostrada na figura 11, tem uma seção circular vazada.

Considerando que ela seja rotulada em suas extremidades, determinar a carga máxima P

que pode ser aplicada à estrutura. Utilize E = 200 GPa e um fator de segurança contra a

flambagem de 2,0. Determine também a tensão máxima atuante.

Figura 11: Esquema de carregamento e seção transversal da barra AB Fonte: Adaptada de HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais. 5. ed. São Paulo: Pearson

Prentice Hall, 2004.

Resolução:

E = 200 GPa

Cálculo da Inércia e da área da seção:

4444 536.101)1822(4

1.

4

1mmIRIyIx

²65,502²)18(²)22( mmxxA

95

Cálculo da carga crítica, equação (17)

Nxxx

L

IEP

FL

CR 63,131.3²000.8

536.101³10200²

²

..²

Cálculo da carga admissível:

NP

PxPP CR

adadCR 81,565.12

63,131.3

22

Cálculo da tensão, equação (19):

MPaA

Pad 12,365,502

81,565.1

Decomposição das forças no Nó B, através do diagrama de corpo livre:

Figura 12: Diagrama de corpo livre.

BCBC FPsenFPy2

1º30.0

O valor determinado da carga admissível na barra AB é igual ao valor da decomposição da

força BC no eixo horizontal, ou seja, a força AB.

NFPFFF ABadABBCAB 81,565.1º30cos.

NF

F ABBC 04,808.1

º30cos

81,565.1

º30cos

Cálculo da carga P:

NPFP BC 02,9042

04,808.1

2

1

96

Resposta: MPa12,3 e P = 904,02 KN

Exemplo 9 Uma coluna de 1,50 metros possui uma de suas extremidades engastada e outra livre. Ela é

constituída de uma liga de ferro fundido cujo módulo de elasticidade transversal E = 67 GPa

e adm = 20 MPa para compressão. Usando um coeficiente de segurança de 2,00 no

cálculo da carga crítica através da equação de Euler para a flambagem, determinar a

dimensão da seção transversal mostrada na figura 13, de modo que possa resistir com

segurança a uma força aplicada de 150 KN.

Figura 13: Seção Transversal de uma coluna.

Resolução:

Cálculo da carga crítica:

KNxcrPPxSCcrP 3001502.



Cálculo do Momento de inércia através da equação (17)

448,092.083.4³1067²

²3000³10300

²

²

²

..²mmI

xx

xxI

Ex

LxPI

L

IEP FLcr

FL

CR

Cálculo das dimensões da seção:

mmdxdxIddxd

I 841248,092.083.41212

³ 44

Verificação da tensão normal através da equação (19):

97

aceitávelNãoMPaMPax

A

P2026,2126,21

²84

³10150

Observação: como a tensão determinada é maior que a tensão admissível, é

preciso redimensionar a seção transversal baseando-se na resistência dada

para compressão:

Redimensionamento

²500.720

³10150mm

xA

PA

adm

mmdmmd 87²500.7²

Resposta: d= 87 mm

Exemplo 10

Um bloco rígido de massa “m” é suportado por duas colunas de 4 metros em alumínio com

módulo de elasticidade E = 68 GPa e seção transversal mostrada na figura 14. Usando

coeficiente de segurança C.S = 2,8 determine o maior valor de massa do bloco rígido para

essa situação, adote g = 10 m/s².

Figura 14: Bloco apoiado pelas colunas e seção Transversal.

Resolução:


98

A figura mostra que a coluna está engastada no solo e no bloco rígido, uma vez que há um apoio fixo no bloco que impede o deslocamento, portanto K = 0,5


Cálculo do Momento de Inércia:

43

500.30712

³4040

12

5050mm

xxI

Cálculo da carga crítica, equação (17)

Nxxx

L

IEP

FL

CR 593.51²000.2

500.307³1068²

²

..²

Cálculo da carga P admissível

NSC

PPPxSCP CR

admadmCR 426.188,2

593.51

..

O valor encontrado para P admissível é para apenas uma coluna, como são duas colunas

temos:

P = 36.852 N

Mas: Kgg

PmgxmP 685.3

10

852.36

Resposta: m = 3.685 Kg

Resumo

Neste capítulo abordamos os conceitos básicos relacionados à flambagem. Vimos que, ao projetar uma coluna, temos que ficar atentos quanto à escolha do material e as características geométricas a serem utilizadas para que a coluna não sofra o processo de flambagem. Verificamos, também, que o tipo de apoio a ser utilizado influi de maneira significativa na hora do cálculo da carga a ser trabalhada a fim de que a estrutura estabeleça um equilíbrio estável.

99

Atividades

Atividade 1

Faça um resumo sobre o conteúdo de flambagem estudado, apenas para a teoria e as

formulações. Lembre-se que é importante destacar os sinônimos dos termos e expressões!

Agora, faça o mesmo, para os exemplos de aplicação resolvidos, apresentando uma

resolução sintética para cada um deles.

Atividade 2

Escreva como podemos definir o conceito de carga crítica com relação ao estudo de

flambagem de colunas.

Atividade 3

Uma coluna de aço com 4 metros de comprimento é engastada – apoiada em suas

extremidades. Se a área da seção transversal tem as dimensões indicadas na figura 15,

determine o valor da carga crítica, sabendo que E = 200 GPa.

Figura 15: Seção transversal da barra

Atividade 4

Determine o valor máximo de P que pode ser aplicado sobre a treliça ilustrada na figura 16,

sabendo que MPaadm 100 .

100

Figura 16: Esquema de carregamento na treliça e seção transversal da barra

Atividade 5

Uma coluna de aço com 4 metros de comprimento é engastada em ambas suas

extremidades. Se a área da seção transversal tem as dimensões indicadas na figura 17, e o

módulo de elasticidade do material E = 200 GPa determine:

Figura 17: Seção transversal da coluna

a) o raio de giração da área da seção transversal; b) o índice de esbeltez da coluna; c) A carga crítica; d) A tensão crítica.

101

Atividade 6

Determine a relação da carga crítica entre as seções transversal quadrada e circular, a e b,

mostradas na figura 18, para uma coluna com comprimento de flambagem L e módulo de

elasticidade E.

Figura 18: Seções transversais.

Atividade 7

Com base no gráfico e na seção transversal, ilustrados na figura 19, determine a carga crítica que pode ser aplicada à coluna de madeira que possui 3 metros de comprimento sabendo que suas extremidades são apoiadas.

Figura 19: Gráfico da tensão x índice de esbeltez e seção transversal.

102

Referências

BEER, F. P.; JOHNSTON, E. R. Resistência dos materiais. 3. ed. São Paulo: Makron Books Ltda.,

1996.

HIBBELER, R. C. Resistência dos materiais. 5. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2004.

TIBURCIO, Carlos Eduardo. Leonhard Euler. Instituto de Matemática, Estatística e Computação

Científica da Universidade Estadual de Campinas. Disponível em

<http://www.ime.unicamp.br/~calculo/modulos/history/euler/euler.html>. Acesso em 08 de maio de

2010.

104

4

Círculo de Mohr


Introdução

Neste capítulo, veremos como transformar componentes de tensão associados a um

sistema de coordenadas com orientações diferentes. Uma vez estabelecidas as equações

de transformação necessárias, fica fácil determinar a tensão normal máxima e de

cisalhamento máxima em um ponto qualquer e determinar a orientação dos elementos sobre

os quais atuam estas tensões.

Para caracterizar completamente o estado de tensão causado por um único tipo de carga ou

por uma combinação de cargas, devemos desenvolver as equações de transformação de

tensões. Para isso, partiremos de um estado de tensões bidimensional chamado de tensão

plana e, na sequência, localizaremos os máximos e os mínimos das tensões cisalhantes e

finalizaremos com a representação gráfica desta transformação de tensões, que é o círculo

de Mohr.

Objetivos

Esperamos que você, ao final dos estudos propostos, seja capaz de:

identificar o estado de tensão plana;

construir o círculo de Mohr para tensão plana;

calcular as tensões principais e máxima cisalhante no círculo de Mohr;

transformar componentes de tensão associados a um sistema de coordenadas particulares em sistemas com orientações diferentes.

Esquema

1. Tensão Plana 2. Transformação de tensão para tensão plana 3. Tensões principais e máxima tensão cisalhante 4. Círculo de Mohr para tensão plana

105

1. Tensão plana

Para entendermos o conceito de tensão plana, podemos tomar como exemplo a situação

seguinte: ao passarmos três planos mutuamente ortogonais através de um ponto qualquer

de um corpo sob carga, podemos encontrar tensões normais ou cisalhantes nesses três

planos (x, y e z), de acordo com a figura 1a, a seguir.

Figura 1a: Três planos mutuamente ortogonais. Figura 1b: Estado de tensão tridimensional.

As figuras 1a e 1b mostram o chamado estado triaxial de tensões, estado este que pode ser

substituído em algumas situações por um estado bidimensional, pois nesses casos nem

todas as tensões relativas aos planos existem, o que é mostrado na figura 2.

Figura 2: Estado bidimensional de tensões.

106

Nesse elemento não existem tensões aplicadas diretamente na superfície do plano, desse

modo as tensões associadas ao eixo são todas nulas, e as

tensões associadas ao plano xy permanecem no corpo e diferentes de 0. Assim, podemos

dizer que o estado de tensão em um corpo pode ser chamado de tensão plana desde que:

(1)

(2)

O estado de tensões bidimensionais pode ser exemplificado de acordo com a figura 3, a

seguir.

Figura 3: Vista bidimensional.

Normalmente, corpos deformáveis que se encontram em um estado de tensão plana são

finos e parecidos com placas, como foi mostrado anteriormente na figura 2.

2. Transformação de tensão para tensão plana

As equações que desenvolveremos a seguir são aplicáveis aos problemas de tensão plana

e a uma classe bem mais ampla de situações, onde as tensões bidimensionais vistas

anteriormente pelas Eq. 1 e 2 não são válidas em todos os pontos do corpo. Se o estado de

tensão plana em um ponto é conhecido em relação a um sistema de coordenadas particular

podemos definir os novos valores de tensão, no caso do sistema ser rotacionado. Assim, se

antes tínhamos as tensões , agora teremos , que são os novos

valores das tensões do sistema rotacionado. Isso pode ser visto na figura 4a com as

tensões originais e pela figura 4b que mostra os eixos b e c rotacionados em relação a x e y.

107

Figura 4a: Estada de tensão no sistema sem rotação. Figura 4b: Tensão no corpo rotacionado.

Assim, podemos afirmar com base na figura 4, que existe apenas um único estado de

tensão em um ponto qualquer do plano, mas que pode ter representações diferentes ao se

variar a orientação dos eixos.

Para determinarmos a tensão normal e cisalhante em outras faces como a e b, devemos

considerar apenas uma face qualquer e relacionar as tensões nessa face com as tensões

xy. Considerando que conhecemos as tensões , como podemos determinar as

tensões ?

Figura 5: Relação entre o plano b e os eixos de referência.

A figura 6, a seguir, mostra as respectivas áreas e suas relações com as faces dos planos.

Conhecendo essa relação podemos estabelecer as equações de transformação com base

no equilíbrio, o que é mostrado pela figura 7, com o diagrama de corpo livre.

σy

τxy

σx

τyxface y

face x

108

Figura 6: Área das faces do plano. Figura 7: Diagrama de corpo livre.

Escrevendo as equações no estado de equilíbrio e sabendo que , temos:

(3)

(4)

Dividindo-se as equações anteriores por e agrupando os termos, chegamos a:

face x face a

face y

ΔAx=ΔAcosθ ΔAb≡ΔA

ΔAy=ΔAsenθ

Convenção de sinal

Depois de estabelecidos os eixos ou , o componente das tensões normal

ou de cisalhamento será positivo caso atue na direção positivada coordenada da

face positiva do elemento, ou, de modo semelhante, ele será também positivo

caso atue na direção negativa da face negativa do elemento. Assim, a tensão

normal positiva atua para fora de todas as faces e a tensão de cisalhamento

positiva atua para cima na face direita do elemento.

Importante!

109

(5)

(6)

Vale lembrar que nestas equações o ângulo é medido no sentido anti-horário desde a face

x até a face b. Utilizando as relações trigonométricas nas equações anteriores, podemos,

finalmente, obter as equações de transformação para tensão plana, que fica:

(7)

(8)

Exemplo 1

O estado de tensão em um ponto é mostrado na figura, a seguir:

Figura 8: Estado plano de tensão.

Determine a tensão normal e a tensão cisalhante na face , que está rotacionada em no

sentido anti-horário em relação à face x.

Relações trigonométricas

Para chegarmos às equações de transformação de tensão (7) e (8), utilizamos algumas

transformações trigonométricas. Faça essas transformações, lembrando que o ponto de

partida são as equações (5) e (6).

110

Resolução:

Primeiramente, devemos elaborar um diagrama de corpo livre orientando a face x’ com o

ângulo fornecido conforme a figura, a seguir.

Figura 9: Diagrama de corpo livre.

Fazendo:

Calcularemos, agora, a tensão normal σx, com base na equação de transformação de

tensão 3, vista anteriormente:

Resolvendo a equação anterior, temos como valor de tensão normal σx’ de 2,02 MPa.

Para acharmos a tensão cisalhante , substituiremos os valores das tensões do exercício

na equação de transformação 4:

Encontrando uma tensão de cisalhamento do corpo no valor de -24,8 MPa.

111

Generalizando, as equações de transformação de tensão para tensão plana, relacionam a

tensão normal σb e a tensão cisalhante em uma face qualquer, às tensões no sistema de

eixos xy. Ainda em relação às faces, podemos considerar que em faces ortogonais a soma

das tensões normais é constante, ou seja, elas não variam com o ângulo θ. Chamamos

essa constante de invariante de tensão.

Exemplo 2

O estado plano de tensões em um determinado ponto é representado, a seguir, de acordo

com a figura 10. Represente o estado de tensões, neste ponto orientado a 30°, no sentido

horário em relação à posição inicial.

Figura 10: Estado de tensão.

Resolução:

Iniciaremos a resolução do exercício definindo o diagrama de corpo livre, seccionando a

região delimitada pelo segmento b-b, conforme visto na figura a seguir:

Figura 11: Diagrama de corpo livre da figura 10.

112

Na figura, consideramos que o plano seccionado tenha área igual a ΔA, assim podemos

fazer a decomposição de forças para os outros planos. Aplicando as equações de equilíbrio

temos:

Resolvendo a equação anterior, temos como valor de tensão normal σx’ de -1,64 MPa.

Encontrando uma tensão de cisalhamento do corpo no valor de 34,15 MPa.

Diferentemente do exemplo anterior, fizemos a decomposição de forças diretamente, sem

utilizarmos a igualdade seguinte:

Exemplo 3

O seguinte estado de tensão plana está indicado conforme a figura 12:

Figura 12: Estado de tensão.

Usar as equações 7 e 8 de transformação plana para determinar as tensões nas faces

rotacionadas de 30º no sentido anti-horário.

113

Resolução:

Inicialmente, vamos determinar o sinal das tensões:

Em que temos:

Ao rotacionarmos a figura de 30º, teremos uma nova face x’ e y’ com o θ = 30º, de acordo

com a figura seguinte:

Figura 13: Plano rotacionado.

Usando as equações 7 e substituindo os respectivos valores:

Assim, temos um valor da tensão normal no plano x’ de 8,84 MPa.

Agora, vamos calcular a tensão cisalhante com base na equação 8, substituindo os

respectivos valores:

114

3. Tensões principais e máxima tensão cisalhante

A determinação das tensões máximas em um ponto é importante, pois um elemento

estrutural ou máquina podem vir a falhar devido a um excesso de tensões provocadas. Para

evitar que isso aconteça, é necessário ter o conhecimento dos valores das máximas tensões

a que um corpo pode estar submetido. Essas tensões máximas e mínimas são chamadas

também de tensões principais.

No caso do plano que estamos considerando, podemos afirmar que as tensões principais

agem em planos que tornem a seguinte equação verdadeira:

(9)

em que podemos definir σb(θ) de acordo com a equação (7), ficando a nova expressão da

seguinte forma:

(10)

Os ângulos determinam a orientação dos planos principais e são obtidos a partir da

tangente, utilizando a equação 11:

(11)

Com o valor da tangente encontrado, podemos então achar os ângulos , sabendo que

existem dois valores que satisfazem a equação e que esses valores se diferem de 180º, o

que é o mesmo que afirmar que estão orientados a 90º um do outro. Assim, os ângulos

achados são chamados de e , podendo ser substituídos na equação 7.

A partir da figura 14, podemos ver que o valor de R é positivo, e que temos duas direções

principais dadas pelas equações 12 e 13.

Figura 14: Ângulo 2θp.

Fonte: Adaptado de Craig (2003).

115

(12)

(13)

Utilizando as expressões 12 e 13 com a expressão 7, temos as duas tensões principais

denotadas pelas equações 14 e 15 a seguir:

(14)

(15)

(16)

Em que é definida como sendo a tensão normal máxima e como sendo a tensão

normal mínima no ponto.

Determinando as tensões cisalhantes nos planos principais e aplicando os mesmos critérios

que adotamos ao definir as equações 14 e 15, chegamos à conclusão que não existem

tensões cisalhantes nos planos principais. Assim, pode-se afirmar que 0 e que

0.

Depois da obtenção das tensões principais, vamos obter a máxima tensão cisalhante no

plano. Começaremos diferenciando a equação 8 em relação ao ângulo θ, como mostrado na

equação 17, o que nos permite chegar à equação 18, que é a equação que devemos utilizar

para achar o valor da tangente e substituir os dois ângulos .

(17)

(18)

Comparado aos planos principais, podemos dizer que os planos de tensão máxima

cisalhante se situam a ±45º dos mesmos e que estão orientados a 90º entre si.

116

Figura 15: Plana da tensão cisalhante máxima.

Fonte: Adaptado de Craig (2003).

Assim, temos:

(19)

(20)

Da mesma forma que as tensões principais foram definidas utilizando as equações de

transformação da tensão normal, podemos aplicar as equações da transformação cisalhante

às equações 19 e 20 anteriores.

(21)

(22)

Ainda em relação aos planos de cisalhamento máximo, podemos dizer que eles não estão

livres de tensões normais a menos que , assim pode-se afirmar que ambos os

planos estão submetidos à mesma tensão normal.

Exemplo 4

Em certo ponto de uma peça sujeita a tensão plana, as tensões , e são dadas de

acordo com os valores seguintes:

117

Determine as tensões principais e a tensão cisalhante máxima. Em todos os casos, faça um

esboço dos elementos de tensão.

Resolução:

Primeiramente, vamos determinar a orientação dos planos principais de acordo com a

equação 11, mostrada anteriormente:

Substituindo os valores das tensões, temos:

O que nos fornece como resultado um valor de de -10,90°. Assim, temos a orientação

dos planos principais, de acordo com a figura 16.

Figura 16: Plano principal.

Fonte: Adaptado do software MDSolids (2010).

Podemos observar que o valor negativo do ângulo encontrado fornece uma rotação no

sentido horário, como foi convencionado anteriormente. Os números 1 e 2 na figura indicam

a direção das tensões principais.

118

Depois de definida a orientação do plano das tensões principais, vamos determinar o valor

de R, de acordo com a figura 14, vista anteriormente:

Substituindo os valores:

5, 385 MPa

Como sabemos o valor de R, podemos, então, calcular o valor das tensões principais

usando as equações 14 a 16:

Vamos, agora, determinar o plano da tensão máxima cisalhante de acordo com a equação

18 apresentada anteriormente:

119

O que nos fornece um de 34, 099 MPa.

Como já definimos a orientação do plano, basta usar a equação 21 ou 22 para

determinarmos o valor de :

Exemplo 5

Determinaremos agora o valor das tensões nas faces rotacionadas, tensões principais e

máximas cisalhantes, utilizando a figura do exemplo 2 como referência, só que agora iremos

girá-la de apenas 15°anti-horários.

Figura 18: Estado plano de tensões.

Resolução:

Como vimos anteriormente, vamos calcular, primeiramente, as tensões nas faces

rotacionadas:

Figura 17: Plano principal.


120

Figura 19: Plano rotacionado.


Calcularemos agora as tensões principais.

Começaremos achando o valor de R, basta utilizar o teorema de Pitágoras, como na figura

14, vista anteriormente:

121

Agora, que sabemos o valor de R, podemos utilizar as equações 14 e 15, para acharmos as

tensões principais:

Finalmente, acharemos a tensão máxima cisalhante que atua no plano.

Das equações 21e 22, temos:

Figura 21: Orientação da tensão máxima cisalhante. Fonte: Adaptado do software MDSolids (2010).

Figura 20: Orientação das tensões principais. Fonte: Adaptado do software MDSolids (2010).

122

Podemos perceber que o valor da tensão máxima cisalhante é o mesmo nos novos planos

rotacionados.

4. Círculo de Mohr para tensão plana

O círculo de Mohr é uma representação gráfica das equações de transformação de tensão.

É utilizado por se tratar de um modo simples de visualização da variação de tensões de

acordo com a orientação do plano. Usaremos as equações 7, 8 e 16 para iniciar a

construção do círculo, conforme mostrado a seguir:

(7)

(8)

(16)

Primeiramente, vamos rearranjar a equação 7, conforme mostrado, a seguir:

(23)

(24)

Elevando ao quadrado os dois lados das equações 24 e 8:

(25)

(26)

Somando-se as duas equações e eliminando o θ:

(27)

Sabendo que:

(28)

Substituindo 28 em 27, temos, finalmente, a equação da circunferência que nos permite

construir o círculo de Mohr:

(29)

123

Agora, que temos a equação da circunferência, podemos iniciar a construção do círculo de

Mohr definindo os eixos σ e . Como já sabemos, as tensões , podemos, então,

marcar o centro do círculo C em ( ), adotanto como positivo para baixo. Se

conhecermos pelo menos um ponto do círculo, podemos marcar o raio. Assim, vamos

considerar o ponto em que o novo eixo x’ coincide com o eixo x, assim θ = 0º e

. Marcando esse ponto como X ( ), aplicando o teorema de Pitágoras,

podemos determinar o raio, e sabendo a localização dos pontos C e X, podemos, então,

traçar o círculo, conforme a figura 10, a seguir:

Figura 22: Círculo de Mohr para estado plano de tensões. Fonte: Adaptado do software MDSolids (2010).

Depois de definido o círculo de Mohr, podemos utilizá-lo para determinarmos as tensões

principais, a tensão de cisalhamento máxima, a tensão normal média e as tensões

associadas em qualquer plano.

Se as tensões em uma face qualquer for pedida, localiza-se o ponto N no círculo girando no

sentido anti-horário de um ângulo 2θ, o que corresponde a uma rotação horária de θ a partir

de algum plano de referência de tensão, e a partir das relações trigonométricas, pode-se

encontrar σ e .

124

As tensões principais podem ser calculadas usando as equações 14 e 15, e, novamente,

podemos usar trigonometria para determinar algum ângulo usado para determinar um plano

principal qualquer em relação ao plano x. A tensão máxima cisalhante pode ser encontrada

da mesma maneira.

Exemplo 6

Um estado plano de tensões é mostrado na figura seguinte:

Figura 23: Estado plano de tensões.

Construir o círculo de Mohr e determinar as tensões principais do elemento rotacionado de

30º.

Resolução:

Primeiramente, marcaremos o ponto X em ( , ), assim temos X (30MPa, -10MPa) e o

ponto Y em ( ,- ), obtendo Y (-20MPa, 10MPa). Obtemos o centro do círculo traçando

uma reta entre os dois pontos X e Y. O diâmetro cruza o eixo σ em C ( , 0), desse modo

podemos calcular de acordo com a equação 16:

Assim, temos o centro passando por X e Y, e podemos calcular o raio usando o teorema de

Pitágoras e o segmento XC como hipotenusa.

125

Figura 24: Círculo de Mohr. Fonte: Adaptado do software MDSolids (2010).

Deste modo, temos um raio de 26,93 MPa.

Para calcularmos as tensões principais, basta usar as equações 14 e 15:

Como o Raio tem o mesmo valor da tensão cisalhante máxima, podemos afirmar de acordo

com a equação 21 que:

Exemplo 8

Dado o seguinte estado plano de tensões, construa o círculo de Mohr, sabendo que a

inclinação do segmento AB é de 30° no sentido horário.

C

126

Resolução:

Começaremos usando as equações de transformação de tensão (equações 7 e 8) definidas

anteriormente:

Substituindo os valores das tensões, temos:

Achando o valor da tensão média ·:

Figura 25: Estado Plano de Tensões.

127

De posse desses resultados, podemos então usar a equação 29 da circunferência para

então obtermos o raio do círculo:

Sabe-se que no plano a distância da origem dos eixos σ e é a no ponto ( ),

podemos então marcar o centro do círculo neste ponto.

Depois de marcado o centro, deve-se então desenhar o círculo utilizando o valor encontrado

para o raio R = 17,49 MPa.

Por fim, marcaremos o segmento ab, usando os valores de e como pontos

pertencentes à circunferência.

Pelo círculo de Mohr, podemos também determinar as tensões principais:

Figura 26: Círculo de Mohr para o estado plano de tensões.

128

Resumo

Neste capítulo, vimos como modificar as tensões presentes em um corpo para um estado

plano de tensões. Essa representação é necessária, pois um mesmo corpo pode ser

analisado em posições diferentes. A análise das tensões consiste em determinar as

componentes dessas tensões em um plano qualquer a partir do conhecimento das

componentes de tensão inicial do corpo.

Para se determinar os componentes σx’, τx' y', seguimos alguns passos: primeiramente,

seccionamos um elemento do corpo, para, na sequência, esboçar o diagrama de corpo livre,

mostrando todas as forças que atuam sobre o elemento e considerar o corpo em equilíbrio

para fazer o somatório das forças.

Vimos, também, a importância de se representar as tensões principais e tensão máxima

cisalhante, pois elas determinam o máximo e mínino de tensão que pode ser aplicada no

corpo e em quais planos essas tensões são aplicadas.

E, finalizando, aprendemos como construir o círculo de Mohr para nos ajudar a calcular as

tensões normais, principais e cisalhantes.

Atividades

1) O estado de tensão plana em um ponto é dado pelas tensões ,

e de acordo com a figura a seguir.

Determinar a tensão normal e a tensão cisalhante no plano inclinado M.

MD Solids

Algumas figuras deste capítulo foram feitas com base no software acadêmico MD

Solids 3.4, elaborado por Timothy A. Philpot. Além de facilitar o cálculo de tensões

e traçar o círculo de Mohr sem a necessidade de cálculos trabalhosos, o software

ainda permite uma melhor visualização da transformação de tensões. Pesquise na

internet onde encontrar o software e utilize-os nos seus trabalhos para aprofundar

os conhecimentos e obter uma melhor visualização das transformações de tensão.

Pesquisando na Web

129

Figura 27: Plano referente atividade 1

2) Um elemento de tensão plana está submetido às tensões , e , como indicado

na figura 28. Use as equações de transformação de tensão para determinar as tensões , e do elemento rotacionado de um ângulo θ = 30°.

Figura 28: Referente a atividade

3) Quando a carga de torção é aplicada à barra da figura seguinte, é produzido um estado de tensão de cisalhamento no material de 20 MPa . Determine:

130

Figura 29: Referente a atividade 3

a) a tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média; b) as tensões principais.

4) Um estado plano de tensões é mostrado de acordo com a figura 30 seguinte:

Figura 30: Estado plano de tensões

Determine a tensão de cisalhamento máxima no plano e a orientação do elemento

onde elas atuam.

5) O estado plano de tensões em determinado ponto é mostrado de acordo com a seguinte figura 31:

131

Figura 31:Estado plano de tensões .

Represente este estado de tensão em um elemento orientado a 60° no sentido anti-

horário em relação à posição inicial da figura 31.

Referências

HIBBELER, R. C. Resistência dos materiais. 5. ed. São Paulo: Pearson Education, 2004.

CRAIG, R. R. Mecânica dos materiais. 2. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2003.

Resistência II

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