RESISTÊNCIA DE ONDAS DE EMBARCAÇÕES SEMIPLANADORAS...

COPPE/UFRJCOPPE/UFRJ

RESISTÊNCIA DE ONDAS DE EMBARCAÇÕES SEMIPLANADORAS

Henrique José Caribé Ribeiro

Tese de Doutorado apresentada ao Programa de

Pós-graduação em Engenharia Oceânica,

COPPE, da Universidade Federal do Rio de

Janeiro, como parte dos requisitos necessários à

obtenção do título de Doutor em Engenharia

Oceânica.

Orientador: Carlos Antônio Levi da Conceição

Rio de Janeiro

Março de 2009

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TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DO INSTITUTO ALBERTO LUIZ

COIMBRA DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA DE ENGENHARIA (COPPE) DA

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS

REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE DOUTOR EM

CIÊNCIAS EM ENGENHARIA OCEÂNICA.

Aprovada por:

________________________________________________

Prof. Carlos Antônio Levi da Conceição, Ph.D.

________________________________________________ Prof. Marcelo de Almeida Santos Neves, Ph.D.

________________________________________________ Prof. Paulo de Tarso Themístocles Esperança, D.Sc.

________________________________________________ Prof. Juan Bautista Villa Wanderley, Ph.D.

________________________________________________ Prof. André Luís Condino Fujarra, D.Sc.

________________________________________________ Prof. Marcos Donato Auler da Silva Ferreira, Ph.D.

RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL

MARÇO DE 2009

iii

Ribeiro, Henrique José Caribé

Resistência de Ondas de Embarcações

Semiplanadoras/ Henrique José Caribé Ribeiro. –

Rio de Janeiro: UFRJ/COPPE, 2009.

XVI, 113 p.: il.; 29,7 cm.


Tese (doutorado) – UFRJ/ COPPE/ Programa

de Engenharia Oceânica, 2009.

Referencias Bibliográficas: p. 105-113.

1. Resistência de Ondas. 2. Embarcações

Semiplanadoras. 3. Método dos Painéis. 4. Fontes

de Rankine. 5. “B-Splines”. I. Conceição, Carlos

Antônio Levi da. II. Universidade Federal do Rio

de Janeiro, COPPE, Programa de Engenharia

Oceânica. III. Titulo.

iv

Dedico este trabalho à minha amada esposa,

Ana Márcia Reis Coutinho,

que soube compreender minhas necessidades

sempre crescentes de tempo,

e que com seu apoio não permitiu que eu esmorecesse.

v

AGRADECIMENTOS

A Deus, que me infundiu o sopro da vida e me permitiu participar da maravilha

da criação. Sem isso essa experiência não teria sido possível.

Ao Professor Carlos Antônio Levi da Conceição, orientador deste trabalho, que

com sua dedicação sempre encontrou tempo para revisá-lo e dar valiosas sugestões,

mesmo imerso em suas incontáveis tarefas.

À minha esposa, por ter suportado em silêncio meus momentos mais difíceis, e

por ter me dado compreensão e apoio imprescindíveis.

A meus pais, Victor e Áurea, e a meus padrinhos, Áureo e Esther, pelo incentivo

que sempre me deram para estudar nas fases iniciais de minha vida.

Ao grande amigo Alexandre Alves Santiago pela amizade, apoio e opiniões que

deu durante o decorrer deste trabalho.

À funcionária Lucimar Silva de Carvalho por sua amizade e incansável

interseção em todas as instâncias burocráticas necessárias à concretização deste

trabalho.

A todos os professores e funcionários do Departamento de Engenharia Naval e

do Programa de Engenharia Oceânica que tornaram possível minha formação

acadêmica. A todos o meu mais sincero muito obrigado!

vi

Resumo da Tese apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos necessários

para a obtenção do grau de Doutor em Ciências (D.Sc.)



Março/2009


Programa: Engenharia Oceânica

Este trabalho desenvolve um modelo potencial não linear, baseado no Método dos

Painéis de alta ordem, aplicável ao cálculo da resistência de ondas de embarcações

semiplanadoras. Condições de contorno são inicialmente impostas na versão

linearizada, a fim de obter-se uma solução de base a partir da qual é endereçada a

solução não linear. Para tanto, a metodologia proposta utiliza-se do método das

perturbações e da imposição de sub-relaxações, para garantir a produção de uma

sequência convergente de soluções. Além disso, o trabalho apresenta também um

algoritmo de determinação dos coeficientes de influência de alta ordem, a serem

utilizados no cálculo das velocidades induzidas, necessárias para a solução do problema

de valor de contorno aqui definido. Para validação da metodologia de solução proposta,

o modelo matemático é aplicado a embarcações quinadas e prismáticas, dentro do

regime de semiplaneio, concluindo por sua aplicabilidade.

vii

Abstract of Thesis presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the

requirements for the degree of Doctor of Science (D.Sc.)

WAVE RESISTANCE OF SEMI-PLANING BOATS


March/2009

Advisor: Carlos Antônio Levi da Conceição

Department: Ocean Engineering

This work presents a non-linear potential model based on a higher order Panel

Method, applicable to the calculation of the wave resistance of semi-planing boats.

Linearized boundary conditions are initially imposed in order to obtain the first order

solution, that allows to access the desired non linear solution. To succeed, the proposed

methodology uses the perturbation method and also imposes under-relaxations to

guarantee a sequence of convergent solutions. Besides, the work also presents an

algorithm to determine the higher order influence coefficients to be introduced in the

calculation of the induced velocities, necessaries to solve the boundary value problem

here defined. To test the validity of the proposed methodology, the mathematical model

is then applied to prismatic hard-chine boats, in semi-planing speed regime, concluding

for its applicability.

viii

SUMÁRIO DO TEXTO

1. Introdução 1

1.1. Revisão bibliográfica 2

1.2. Objetivos 8

1.3. Discussão 9

1.4. Plano da Tese 11

2. Representação gráfica de superfícies 12

2.1. Opções para modelação de superfícies 13

2.1.1. Malhas poligonais 13

2.1.2. Superfícies polinomiais paramétricas 13

2.1.3. Vantagens da modelação paramétrica 14

2.2. Curvas cúbicas paramétricas 15

2.2.1. Curvas de Hermite 17

2.2.2. Curvas de Bezier 19

2.2.3. “Splines” naturais e “B-Splines” 20

2.2.3.1 “B-Splines” uniformes e não racionais 21

2.3. Representação de superfícies 24

2.3.1. Modelação de superfícies através de “B-Splines” bicúbicas 26

2.3.2. Vetor normal à superfície 28

2.4. Aplicações da representação através de “B-Splines” bicúbicas 29

2.4.1. Modelação matemática dos retalhos:

Distribuição de Pontos 31

2.4.2. Representações gráficas das superfícies 32

2.5. Comentários gerais 34

3. Escoamento em torno do casco de embarcações de semiplaneio:

Modelo de solução proposto 35

3.1. Formulação do problema 35

3.1.1. Descrição do regime de velocidades 35

3.1.2. Formulação do problema 38

3.2. Características do modelo proposto 41

ix

3.2.1. Considerações quanto à forma de conduzir as iterações 42

3.2.2. Considerações quanto à forma de linearizar as

Condições de Contorno na superfície livre 43

3.2.3. Considerações quanto à formulação da terceira

Identidade de Green 44

3.2.4. Considerações quanto à forma de distribuir os

painéis na fronteira 45

3.2.5. Considerações quanto à atualização da atitude

do casco ao longo das iterações 46

3.2.6. Considerações quanto ao número de

pontos-campo por painel 47

3.3. Modelo linear – solução inicial 48

3.3.1. Modelo numérico 49

3.3.1.1. Discretização da malha 49

3.3.1.2. Determinação dos coeficientes de influência 53

3.3.1.3. Preenchimento da matriz de influência 59

3.4. Modelo não linear 63

3.4.1. Condições de Contorno 63

3.5. Cálculo da resistência ao avanço 65

4. Aplicações numéricas: Validação e simulações: 67

4.1. Introdução 67

4.2. Resultados experimentais empregados na validação 67

4.3. Influência da malha 70

4.3.1. Condição de teste para estudo de influência da malha 70

4.4. Comparação com resultados obtidos pelo modelo linear 73

4.5. Influência da atitude 75

4.6. Resultados de simulações 78

4.7. Análise de resultados 95

5. Conclusão 102

Referências Bibliográficas 105

x

LISTA DE FIGURAS

Capítulo 2

Figura 2-1 – Condições de extremidade da curva de Hermite 18

Figura 2-2 – Influência do ordenamento dos pontos de controle

na disposição de uma curva 22

Figura 2-3 – Malha paramétrica mostrando nós e painéis 26

Figura 2-4 – Malha paramétrica mostrando pontos de controle 27

Figura 2-5 – Domínio de representação da senoide e numeração de retalhos 29

Figura 2-6 – Algoritmos usados para curvas e superfícies abertas 31

Figura 2-7 – Malha poligonal 33

Figura 2-8 – “B-Splines” bicúbicas 33

Figura 2-9 – Malha real 34

Capítulo 3

Figura 3-1 – Exemplo de linhas de alto nos regime de semiplaneio

e planeio puro 36

Figura 3-2 – Exemplo de linhas de balizas para os regimes de

semiplaneio e planeio puro 36

Figura 3-3 – Regiões que se formam no escoamento em torno do

casco semiplanador quinado 37

Figura 3-4 – Sistema de coordenadas adotado 38

Figura 3-5 – Modelação com superfície única na vizinhança do

ponto de estagnação 50

Figura 3-6 – Coleta de pontos para interpolação da superfície livre 50

Figura 3-7 – Coleta de pontos na vizinhança do espelho de popa 51

Figura 3-8 – Forma de compor a malha da região fluida 52

Figura 3-9 – Pontos de Controle envolvidos na condição de extremidade 62

Capítulo 4

Figura 4-1 – Representação de um dos modelos. Dimensões em metros 68

Figura 4-2 – Discretização da malha com 720 painéis 71



Figura 4-5 – Influência da malha sobre a precisão dos resultados 73

xi

Figura 4-6 – Comparação entre resultados obtidos pelos modelos linear

e não linear 74

Figura 4-7 – Comparação de resultados obtidos nas condições

de modelo cativo e livre 76

Figura 4-8 – Resultados obtidos para a condição de teste N.º 1 80

Figura 4-9 – Deformação da superfície livre – Modelo 1 – V = 2,9 nós 81

Figura 4-10 – Perfil da onda gerada após o espelho na linha de centro

– Modelo 1 – V = 2,9 nós 81



– Modelo 1 – V = 3,9 nós 81



– Modelo 1 – V = 4,8 nós 82



– Modelo 1 – V = 5,8 nós 82




– Modelo 2 – V = 2,6 nós 84



– Modelo 2 – V = 3,5 nós 84



– Modelo 2 – V = 4,3 nós 85



– Modelo 2 – V = 5,2 nós 85




– Modelo 3 – V = 2,9 nós 87

xii



– Modelo 3 – V = 3,9 nós 87



– Modelo 3 – V = 4,8 nós 88



– Modelo 3 – V = 5,8 nós 88




– Modelo 4 – V = 3,2 nós 90



– Modelo 4 – V = 4,2 nós 90



– Modelo 4 – V = 5,3 nós 91



– Modelo 4 – V = 6,4 nós 91




– Modelo 5 – V = 2,9 nós 93



– Modelo 5 – V = 3,9 nós 93



– Modelo 5 – V = 4,8 nós 94


xiii


– Modelo 5 – V = 5,8 nós 94

Figura 4-53 – Deformação da superfície livre causada pela passagem do

modelo 2 nas diversas velocidades simuladas 98

Figura 4-54 – Aspectos geométricos da onda divergente após a popa seca 100

xiv

LISTA DE TABELAS

Capítulo 2

Tabela 2-1 – Malha de nós para a senoide bidimensional 30

Tabela 2-2 – Comparação de erros médios obtidos:

Malha poligonal x “B-Spline” bicúbica 32

Capítulo 4

Tabela 4-1 – Características dos modelos empregados na validação 68

Tabela 4-2 – Condições de carregamento / Atitude inicial dos modelos 69

Tabela 4-3 – Extensão panelizada na superfície livre 70

Tabela 4-4 – Resultados comparativos entre modelo linear e não linear 74

Tabela 4-5 – Influência da atitude sobre os resultados produzidos 76

Tabela 4-6 – Condição de teste 1 – Modelo 1 80





Tabela 4-11 – Distâncias entre a primeira crista e o espelho nas

diferentes simulações 99

Tabela 4-12 – Comparação entre comprimento da onda calculado e estimado 100

xv

LISTA DE SÍMBOLOS

aX , bX , cX , dX – Coeficientes;

Bi(s), Bj(t) – Funções de base;

C – Matriz de coeficientes;

C0 – Continuidade da função (ordem zero);

C1 – Continuidade da derivada primeira (primeira ordem);

Cn – Continuidade da enésima derivada (enésima ordem);

CW – Coeficiente de Resistência de Ondas;

EA – Erro médio absoluto;

EA – Erro pontual absoluto;

Fn – Número de Froude;

g – Aceleração da gravidade;

G – Vetor ou matriz de propriedades geométricas;

h – Imersão da quilha na popa da embarcação;

h(x,y) – Função que descreve a forma do casco;

i, j – Contadores dos nós de uma curva;

I, J – Contadores dos retalhos (painéis) de uma curva;

i, j, k – Vetores unitários ortogonais;

iC, jC – Contadores dos pontos de controle de uma curva;

J – Jacobiano;

k – Coeficiente;

LCG – Posição longitudinal do centro de gravidade a partir do bico de proa;

LH – Comprimento na linha dágua do casco;

LP – Comprimento da roda de proa;

LWC – Comprimento de onda calculado pelo modelo matemático;

LWE – Comprimento de onda estimado a partir da equação de dispersão em águas

profundas;

M – Matriz de ponderação;

n – Vetor normal a uma superfície;

p – Pressão;

Q – Número de Taylor = )ft(L

)nós(V;

xvi

RIJ,k – Distância entre ponto-campo k e ponto fonte situado no painel (I,J);

Rt – Resistência total ao avanço;

RW – Resistência de Ondas;

Rσ , Rζ – Índices de sub-relaxações;

s, t – Parâmetros;

Sf – Área molhada do fundo de uma embarcação quinada;

SIJ – Área do painel (I,J);

SR – Área de um retalho;

t – Ângulo de trim;

U – Velocidade do escoamento incidente;

v – Velocidade;

VCG – Posição vertical do centro de gravidade acima da quilha;

W – Peso;

XC, YC, ZC – Matrizes de pontos de controle ou coeficientes de influência;

ZETA, ZETAX, ZETAY – Matrizes de coeficientes de influência;

ZX, ZY – Variáveis paramétricas iguais às derivadas parciais y

ze

x

z

∂

∂

∂

∂;

β – Ângulo de pé de caverna;

δ – Ganho;

δP – Diferencial de pressão;

δζ – Perturbação imposta à elevação da superfície livre;

δΦ – Perturbação imposta ao potencial de velocidades;

ε – Erro relativo percentual;

ζ(x,y) – Função que dá as elevações da superfície livre;

ρ – Massa específica;

σ – Densidade de singularidade;

σC – Pontos de controle da densidade de singularidades;

Φ – Potencial de velocidades;

1

1. Introdução

O uso sustentável dos recursos naturais para geração de energia tem sido uma

preocupação ao longo da História da Humanidade. Modernamente, esta questão já se

estendeu inclusive ao projeto das embarcações velozes. É parte importante dessa atitude

o foco na otimização e racionalização do consumo de combustíveis em geral, que neste

caso está diretamente ligado à resistência ao avanço da embarcação.

A força imposta pela água ao movimento das embarcações tem duas parcelas

dominantes: uma de origem viscosa e outra devida à geração do sistema de ondas que

acompanha a embarcação na superfície da água. No caso da componente de origem

viscosa, a formação da camada limite e da esteira na popa é responsável por essa parcela

de energia liberada pelo casco. Nas embarcações do tipo deslocamento, que operam em

faixas de velocidades mais baixas, a parcela devida à viscosidade é dominante, varia

aproximadamente com o quadrado da velocidade, e é influenciada diretamente pela

forma do casco. No entanto, mantidas as dimensões principais, pequenas variações dos

coeficientes de forma provocam apenas pequenas variações na parcela da resistência ao

avanço de origem viscosa.

Ao contrário do que acontece com a parcela de origem viscosa, pequenas

variações na forma do casco podem provocar variações significativas na parcela da

resistência devida à formação de ondas (GADD, 1981). Portanto, a redução da

resistência de onda é uma estratégia eficiente no processo de minimização da resistência

ao avanço, cuja consequente diminuição do consumo de combustível impacta

diretamente a economia da operação da embarcação. Por sua vez, a concepção da forma

se destaca entre outros aspectos do projeto do navio por influenciar praticamente todas

as demais etapas do seu desenvolvimento. Importante observar que a definição da forma

do casco sofre também influência direta da maioria dos demais requisitos de projeto.

Em função da sensibilidade da resistência devida à formação de ondas a

variações na forma do casco, a adequada capacidade de otimizá-la, minimizando-a a

partir de variações racionais na geometria do casco constitui-se em importante

habilidade dos projetistas navais. Isto vem motivando a realização de inúmeros

trabalhos de pesquisa que se desenvolvem nessa área, e foi o estímulo principal para a

definição do tema desta tese. Concretamente, as embarcações de alta velocidade

operando no regime de semiplaneio tem sido objeto de estudos intensos por parte da

comunidade técnica. A possibilidade de emprego militar e no transporte de passageiros

2

tem atraído grande interesse junto aos hidrodinamicistas, principalmente na investigação

de cascos que operam em regime de semiplaneio, cujo emprego tem uma aplicação mais

ampla que a dos planadores. Cascos semiplanadores podem ser dotados de relações

comprimento-boca maiores, o que tende a proporcionar um bom comportamento

dinâmico no mar, característica não encontrada nas embarcações que operam em regime

de planeio puro.

1.1 – Revisão bibliográfica

Desde os tempos pioneiros em que se desenvolveram os trabalhos de FROUDE

(1881), KELVIN (1887) e MICHELL (1898), o fenômeno da resistência de ondas vem

sendo objeto de intensos estudos e investigações teóricas e experimentais. Vários

pesquisadores têm apresentado suas respectivas contribuições em tempos mais recentes,

como se verá ao longo deste item.

A quantificação da parcela da resistência devida à formação de ondas é uma

tarefa complexa, principalmente nos regimes de velocidades mais elevadas. Uma forma

confiável de quantificar esta parcela baseia-se em ensaios experimentais. Um dos

trabalhos pioneiros na divulgação de resultados de ensaios realizados com modelos em

regime de semiplaneio e planeio puro foi publicado por CLEMENT (1963). O trabalho

apresenta resultados para a resistência ao avanço medida em ensaios realizados com

modelos quinados de variadas combinações de coeficientes de forma e em diferentes

regimes de velocidades, que foram condensados na forma de regressões polinomiais

para consulta.

Os ensaios conduzidos por FRIDSMA (1969) apresentam resultados

semelhantes aos anteriores, sendo, no entanto, aplicáveis apenas a cascos prismáticos.

Além dos resultados de resistência ao avanço, o trabalho divulga resultados medidos

para a variação da atitude do modelo com a velocidade, que facilita a validação de

resultados numéricos com modelos cativos.

Motivado pelos interesses constantes da Guarda Costeira e da Marinha

Americana em cascos semiplanadores, COMPTON (1986) apresentou igualmente um

trabalho dedicado especificamente à publicação de resultados de ensaios realizados com

modelos de cascos semiplanadores. O trabalho divulga resultados de resistência ao

avanço aplicáveis especificamente a cascos semiplanadores dotados de popa “transom”.

3

O grande desenvolvimento da Indústria Naval Italiana de barcos de esporte e

recreio velozes motivou também a publicação de resultados experimentais utilizando

catamarãs e monocascos semiplanadores, como os produzidos no trabalho de

BRIZZOLARA et al (1999).

O propósito deste texto foi realizar apenas uma breve revisão bibliográfica em

torno dos trabalhos experimentais. No entanto, apesar de cada vez mais escassos e

caros, resultados experimentais são bastante úteis na validação de métodos numéricos

de solução do problema da resistência ao avanço.

Um marco importante na busca por modelos numéricos adequados para análise

do escoamento em torno de corpos foi o trabalho escrito por HESS e SMITH (1964).

Destinado à modelação do escoamento em torno de corpos submersos tridimensionais

de geometria arbitrária, o trabalho apresenta um método de baixa ordem para a

modelação do escoamento. Nesta abordagem adotam-se painéis planos com distribuição

de singularidades sobre os painéis para representar o corpo em presença de um

escoamento uniforme de fluido ideal. São contribuições importantes deste trabalho os

resultados analíticos apresentados para cálculo da velocidade induzida num ponto

campo por influência de cada um dos painéis empregados na modelação da geometria

do corpo.

O aumento recente da capacidade de processamento de dados permite a busca de

modelos numéricos cada vez mais sofisticados. Computadores atualmente possuem a

capacidade de reproduzir numericamente resultados que aproximam, com razoável

precisão, os obtidos em tanques de provas. Alguns desses exemplos são: SHIPFLOW®

(FLOWTECH, 1993), WAVERES (MARINTEK, 2001), CFX (ANSYS, 2008), entre

outros.

No caso específico do estudo da resistência de ondas, um primeiro grupo de

modelos numéricos para sua quantificação é constituído pelos modelos lineares. Dentre

os diversos modelos de cálculo da resistência de ondas de embarcações convencionais

que foram propostos dentro dessa categoria encontram-se: BABA e HARA (1977),

EGGERS (1981), BRANDSMA (1985), NAKOS (1990), entre outros. No entanto,

talvez o mais popular deles possa ser aquele desenvolvido por DAWSON (1977). O

método proposto por Dawson merece um destaque especial porque contém várias

soluções e idéias originais, e acabou por estimular vários pesquisadores a tentar

aperfeiçoar seus resultados ((RAVEN, 1996), (TARAFDER e SUZUKI, 2008),

(MARINTEK, 1986)), a partir das idéias contidas em seu trabalho. A demonstração da

4

capacidade das fontes de Rankine para modelar escoamentos com superfície livre, como

alternativa às fontes de Kelvin nos modelos lineares, talvez tenha sido a sua maior

contribuição.

Seguindo a mesma metodologia proposta pelo método de Dawson, TARAFDER

e SUZUKI (2008) propõem um modelo linear que incorpora pequenas modificações no

método de Dawson em busca de resultados mais precisos, aplicáveis a cascos do tipo

deslocamento. Os resultados produzidos por este modelo para resistência de ondas são

comparados com dados experimentais disponíveis para o casco de Wigley e para cascos

da série 60. A comparação mostra que o modelo produz resultados consistentes que

apresentam boa concordância com os experimentais empregados, embora possa haver

sensíveis divergências no perfil de ondas.

Ainda na categoria de solução linear da resistência de ondas, são de especial

interesse os modelos aplicáveis a embarcações dotadas de popa tipo “transom”, por

guardarem relação direta com o objeto de investigação do presente trabalho. TULIN e

HSU (1986) apresentaram um modelo numérico simplificado de solução do problema

após incorporar ao modelo características do escoamento baseadas em observação

experimental. Dentre as simplificações adotadas por Tulin incluem-se a consideração do

regime de velocidades de semiplaneio, a divisão do escoamento em regiões distintas, e

no estabelecimento de condições de contorno adicionais para cada uma destas regiões,

de acordo com o escoamento característico a cada região. Ao fim, os resultados

produzidos pelo modelo simplificado de Tulin apresentam uma concordância muito boa

com os experimentais para números de Froude superiores a 0,4.

WANG et al (1996) publicaram um interessante estudo comparativo entre três

diferentes modelos lineares: um primeiro, utilizando fontes de Kelvin; outro

empregando fontes de Rankine; e um terceiro considerando a teoria proposta por

TULIN e HSU (1986). Este estudo comparativo contribui de maneira significativa para

um melhor entendimento das características do escoamento em torno de embarcações

no regime de semiplaneio, e também sobre o correto estabelecimento das condições de

contorno que definem o escoamento. A discussão e comparação dos resultados obtidos

através de cada um dos modelos é especialmente esclarecedora de vários aspectos do

escoamento em questão. Consegue-se perceber que a incorporação dos efeitos de

afundamento e trim sobre a magnitude da resistência de ondas é bastante significativa

neste regime de velocidades. Dessa forma, o trabalho apresenta resultados para a

condição de modelo físico cativo e livre, onde é identificada a influência dos efeitos de

5

trim e afundamento sobre os resultados obtidos. Em relação à influência dos efeitos de

afundamento e trim sobre a boa qualidade desses resultados, o trabalho proposto por

MILLWARD et al (2003) chega às mesmas conclusões. O capítulo 3 do presente

trabalho apresenta uma discussão que incorpora modificações importantes sobre a

condição de modelo cativo adotada por WANG et al (1996).

TELSTE e REED (1994) propõem também um modelo linear de solução do

problema definido para um casco dotado de popa tipo “transom” que se desloca na

superfície livre em velocidade constante no regime de semiplaneio. A velocidade é

assumida como suficiente para manter a condição de popa seca e as condições de

contorno são linearizadas em torno da superfície livre média, como em outros modelos

lineares. No entanto, nas adjacências da popa, esta superfície livre média é a que se

origina na aresta de fuga e a ela é tangente. A incorporação desta modificação mostrou-

se essencial para a qualidade dos resultados obtidos.

O trabalho desenvolvido por MORENO (2004) é também uma importante

referência para o desenvolvimento de um modelo não linear de solução do problema da

resistência de ondas. Apesar das diferenças entre o trabalho então apresentado e o texto

da presente tese, tais como a imposição das condições de contorno linearizadas de

superfície livre e o emprego do método direto, em lugar do indireto, aqui empregado, o

modelo apresenta semelhanças importantes, tais como o emprego de “B-Splines” na

modelação das geometrias tridimensionais e do potencial de velocidades. Os resultados

consistentes alcançados, tanto para o coeficiente de resistência de ondas quanto para o

perfil da onda gerada pelas geometrias analisadas, demonstram que o método pode ser

aplicado à solução do escoamento em torno de corpos tridimensionais.

No contexto deste trabalho, a discussão da metodologia de solução empregada

por modelos lineares é importante na elaboração do modelo não linear de solução do

escoamento, uma vez que será utilizada como solução inicial no processo iterativo a ser

desenvolvido. Registre-se que uma solução inicial qualificada reduz significativamente

o número de iterações e pode ser determinante para definição de uma sequência

convergente. No caso de cascos que operam em regime de semiplaneio, a solução

linearizada não é capaz de fornecer resultados com precisão adequada a aplicações

práticas e de interesse. As características do escoamento em torno do casco fazem com

que a maior parte da contribuição da integral do campo de pressões se concentre de fato

na região da proa, onde as não linearidades são mais intensas. Além disso, na

vizinhança das arestas de fuga e de costado são esperadas mudanças bruscas na direção

6

das linhas de corrente que definem o escoamento, o que aumenta as chances de que a

perturbação produzida pelo casco implique em maiores deformações da superfície livre.

Deve-se ainda somar a estas limitações a incapacidade dos modelos lineares de

incorporar a contribuição das obras mortas do casco sobre a determinação da magnitude

da resistência de ondas.

Algumas alternativas de modelos não lineares influenciaram o desenvolvimento

deste trabalho. Uma delas é a solução proposta por RAVEN (1996), que a rigor propõe

modificações ao método proposto por DAWSON (1977). A proposta faz uso de um

método iterativo baseado no Método dos Painéis, com fontes de Rankine distribuídas na

vizinhança da superfície livre, atualizada ao fim de cada iteração. O potencial de base

empregado na solução inicial adotada nesse processo iterativo é o potencial do

escoamento incidente e as densidades de singularidades são distribuídas numa superfície

acima da superfície livre vigente na iteração anterior. O método apresenta atrativos

como a eliminação de integrais singulares sobre a superfície livre. Nessa abordagem

uma superfície média mantém-se fixa, enquanto os pontos campo movem-se para

posicionarem-se sobre a superfície livre atualizada, enquanto os painéis da superfície do

casco são distribuídos em sua real posição. Apesar do sistema de equações gerado para

solução ser claramente mal condicionado, os resultados publicados apresentam-se tanto

qualitativa quanto quantitativamente bons.

Um modelo similar ao citado no parágrafo anterior é proposto por JENSEN et al

(1988). Embora a idéia seja pouco usual, a proposta é inegavelmente atraente e consiste

em distribuir singularidades pontuais numa superfície igualmente situada acima da

superfície livre atualizada. Esta proposta também apresenta atrativos interessantes, uma

vez que a superfície de distribuição das singularidades pode ser razoavelmente saturada

para garantir uma descrição do escoamento mais precisa, sem ônus computacional

significativo.

Seguindo ainda uma metodologia semelhante à empregada nos dois trabalhos

citados acima ((RAVEN, 1996) e (JENSEN, 1988)), BECK et al (1994) propõem um

modelo que também utiliza singularidades pontuais acima da superfície livre, mas adota

uma abordagem ligeiramente diferente para resolver o problema de valor de contorno

através de um modelo transiente. O modelo possui atrativos semelhantes aos anteriores,

e os resultados obtidos para o casco de Wigley são bastante convincentes.

TARAFDER e SUZUKI (2007) também apresentam um modelo não linear de

solução do escoamento em torno de um catamarã dotado de cascos simétricos em várias

7

faixas de velocidades diferentes. A geometria de cada casco segue o formato parabólico

de Wigley, com simetria longitudinal e transversal. Devido à assimetria entre os

escoamentos interior e exterior, cada casco é abordado como uma superfície de

sustentação, o que naturalmente conduz à imposição formal da condição de Kutta junto

ao bordo de fuga. O método desenvolvido utiliza painéis de alta ordem, nos quais a

distribuição de singularidades é constante; emprega o método das diferenças finitas no

auxílio ao processo de derivação na superfície livre, enquanto que a condução das

iterações é executada através da adoção do método das perturbações. Os resultados

obtidos pelo modelo são comparados com os produzidos por MILLWARD et al (2001).

YU et al (1994) propõem uma abordagem mista para solução do problema da

resistência de ondas. Diante da hipótese de baixos números de Froude, as condições não

lineares de superfície livre são simplificadas e aplicadas na superfície livre não

perturbada, z = 0. O potencial total é decomposto classicamente no potencial do casco

duplo, adicionado a uma segunda componente, referente a uma perturbação sobreposta

ao potencial do casco duplo. O modelo utiliza ainda uma abordagem por zonas, onde

são definidas uma zona interior, próxima ao casco, e uma exterior. O modelo proposto

neste trabalho utiliza-se do método dos elementos finitos combinado com o método da

função de Green. A produção de resultados é aplicada a escoamentos com baixa

velocidade, à geometria da esfera e ao clássico casco de Wigley, com ângulos de

costado nulos.

CELEBI e BECK (1997) apresentaram um modelo transiente e não linear de

solução do escoamento em torno de cascos tipo deslocamento que emprega “B-Splines”

bicúbicas paramétricas na modelagem da superfície do casco. O método admite que a

superfície do corpo e a superfície livre são conhecidas a cada passo de tempo, sendo

empregada a condição cinemática e a condição dinâmica de superfície livre para

atualizar tanto os valores do potencial quanto a posição da superfície livre que será

utilizada na próxima iteração. Este modelo transiente combina-se com um método

desingularizado, no qual as singularidades são habitualmente posicionadas fora da

região fluida. Os resultados apresentados limitam-se a um regime de velocidades baixas,

concretamente para números de Froude de 0,25 e 0,29, sendo comparados com os

resultados obtidos por outros modelos e com os experimentais disponíveis. Os

resultados obtidos são consistentes e concordam bem com os experimentais,

especialmente com relação ao perfil da onda gerado na vizinhança do casco. Uma

proposta bastante semelhante à apresentada por CELEBI e BECK (1997) é publicada

8

por SCORPIO et al (1997), diferindo apenas na forma de conduzir a marcha no tempo

durante o processo de solução, que neste caso (SCORPIO et al, 1997) resolve as

integrais desingulares utilizando a abordagem multipolar.

1.2 - Objetivos

A construção de um modelo não linear de cálculo da resistência de ondas no

regime de semiplaneio é uma tarefa árdua. A discussão a ser apresentada nos próximos

capítulos não tem a pretensão de esgotar um tema reconhecidamente tão complexo. A

revisão bibliográfica não identificou um modelo não linear aplicável a geometrias

quinadas, e nem que se disponha à simulação da condição de costado seco, o que faz

com que este trabalho seja pioneiro neste aspecto. Além disso, a aplicação de métodos

de alta ordem baseados em “B-Splines” tem se restringido a geometrias bidimensionais

e a problemas que impõem as condições de superfície livre em suas formas linearizadas,

aplicando-as a geometrias simples.

Este trabalho propõe-se, então, a aprofundar a discussão do fenômeno envolvido

no escoamento em torno de embarcações semiplanadoras, visando os seguintes

objetivos:

• Apresentar uma proposta de solução não linear de alta ordem, baseado

em superfícies bicúbicas paramétricas do tipo “B-Splines”, capaz de

determinar a resistência de ondas de cascos semiplanadores que se

desloquem em águas profundas e em regime permanente;

• Apresentar uma ferramenta computacional capaz de determinar a

intensidade da resistência de ondas;

• Apresentar um algoritmo computacional de cálculo dos coeficientes de

influência de alta ordem para uso na formulação indireta da terceira

identidade de Green;

• Validar os resultados obtidos pela ferramenta computacional para a

resistência de ondas em comparação com resultados experimentais;

9

1.3 - Discussão

A revisão bibliográfica apresentada no item 1.1 cobriu diferentes tipos de

modelos desenvolvidos para serem empregados no cálculo da resistência de ondas.

Especialmente os modelos não lineares constituem-se em objeto mais específico desta

discussão. O exame da bibliografia específica mostrou que nenhum dos modelos

encontrados antecipou a proposta descrita neste trabalho. Neste sentido é relevante

observar que nenhum dos modelos aplicáveis a cascos de semiplaneio simula a condição

de costado seco, muito comum em embarcações quinadas, incorporando apenas a

condição de popa seca. Ao mesmo tempo, a maior parte dos trabalhos utiliza modelos

de baixa ordem. O modelo proposto por TARAFDER e SUZUKI (2007), aplicável à

geometria de catamarãs do tipo deslocamento, emprega painéis de alta ordem

hiperboloidais, mas mantém a densidade de singularidades no interior destes painéis

constante. Outra diferença marcante entre o presente trabalho de tese e os modelos não

lineares acima mencionados refere-se à extensão dos efeitos não lineares sobre a

solução do problema. Os modelos aplicáveis a cascos do tipo deslocamento sofrem uma

maior influência não linear sob o campo de velocidades difratadas na região da proa, na

vizinhança do ponto de estagnação, enquanto os modelos aplicáveis a cascos

semiplanadores estendem esta influência à vizinhança da aresta de fuga, além da proa.

O modelo apresentado ao longo desse texto aplica-se a tipos de geometria bastante

particulares, que são cascos semiplanadores dotados de quinas vivas. O escoamento que

se desenvolve em torno dessa geometria pode ser dividido em 3 regiões distintas: a

região de quinas secas, a de quinas submersas e a aresta fuga. A região de quinas secas,

definida até o ponto onde ocorre a submersão das quinas, caracteriza-se por uma forte

influência da pressão reinante no ponto de estagnação, formando-se aí, muitas vezes,

jatos de “spray”. Do ponto de submersão de quinas até o espelho de popa encontra-se a

região de quinas submersas. O campo de velocidades difratadas pelo casco nesta região

também é fortemente não linear, uma vez que o costado seco impõe que as linhas de

corrente mudem bruscamente de direção e curvatura nesta região, o que também

acontece na aresta de fuga do escoamento, nas adjacências do espelho de popa. Outro

aspecto não contemplado em nenhum modelo pesquisado é a modelação de geometrias

definidas para ângulos de costado altos, o que ocorre nas geometrias dotadas de quinas

vivas a partir do regime de semiplaneio. Neste caso o escoamento fica contido no fundo,

onde os ângulos de pé de caverna mais comuns não ultrapassam os 30º na maior

10

extensão do casco. Portanto, o grau de ineditismo da presente tese é bastante amplo,

contemplando a simulação de várias características do escoamento que ainda não foram

cobertas por outros modelos anteriormente elaborados.

Uma última característica desse trabalho de tese que é oportuno expor neste

momento refere-se ao uso de “B-Splines” bicúbicas paramétricas na construção do

modelo de alta ordem aqui desenvolvido. Esta forma de modelar superfícies, embora

cheia de atrativos, os quais são reconhecidos em várias referências bibliográficas, ainda

é bem pouco explorada. Dentre os modelos não lineares de cálculo da resistência de

ondas pesquisados pelo autor, apenas o trabalho proposto por CELEBI e BECK (1997)

emprega B-Splines bicúbicas, somente para modelar a superfície do casco. O modelo

aqui desenvolvido utiliza-se amplamente deste recurso, como será visto ao longo do

texto.

A principal motivação para o desenvolvimento de modelos de alta ordem é a

busca do melhoramento da precisão dos resultados, apesar do esforço computacional

despendido nesses modelos ser bem superior. No entanto, apesar de ser esperada uma

substancial melhora da precisão, a eficiência e a robustez ainda eram motivo de longos

debates. Em busca de esclarecer esses debates, HSIN et al (1994) apresentaram um rico

estudo em torno deste ponto, chegando à conclusão de que os métodos de alta ordem

baseados em “B-Splines” cúbicas paramétricas não são apenas mais precisos, como

demonstram os resultados produzidos pelo trabalho, mas também robustos e eficientes.

Apesar dos resultados produzidos serem apenas aplicados a geometrias bidimensionais

na ausência de superfície livre, tanto a geometria dos painéis quanto a distribuição de

singularidades em seu interior são definidas por “B-Splines”, sendo a terceira identidade

de Green aplicada em pontos campo selecionados, como de costume. Os resultados

desse trabalho são comparados com métodos de baixa ordem e mostram a eficiência e

robustez do método proposto, além da precisão esperada. É possível perceber que para

um mesmo erro o método proposto utiliza aproximadamente a metade do tempo

computacional gasto pelo método de baixa ordem, enquanto a discretização é muitas

vezes inferior, mostrando que a precisão é de fato superior. Uma vez que uma mesma

precisão é atingida com discretização muitas vezes inferior e na metade do tempo,

conclui-se que o método proposto é também eficiente.

11

1.4 - Plano da Tese

Este trabalho apresenta um modelo não linear de solução do escoamento em

torno de embarcações semiplanadoras que se deslocam sobre a superfície livre em águas

profundas, a velocidade constante, na ausência de ondas incidentes sobre o casco. O

objetivo dessa modelação é o cálculo da parcela da resistência ao avanço devida à

geração de ondas. Para obtenção do campo de velocidades será empregado o Método

dos Painéis de alta ordem, onde a densidade das singularidades e a geometria dos

painéis são descritas por B-Splines bicúbicas paramétricas. As condições de contorno na

superfície livre serão impostas em suas versões não lineares em toda a superfície livre.

O capítulo 2 apresenta conceitos básicos e definições sobre “B-Splines”, bem

como algoritmos já desenvolvidos e aplicados ao uso de “B-Splines” como funções

interpoladoras de nós que descrevem superfícies. A nomenclatura de modelação de

superfícies empregada ao longo do texto, bem como a relação entre pontos de controle,

nós e retalhos é também apresentada neste capítulo.

O capítulo 3 define o problema que será resolvido e propõe a respectiva

metodologia de solução.

No capítulo 4, o modelo é aplicado a cascos prismáticos quinados e dotados de

espelho de popa, tendo seus resultados confrontados com experimentais disponíveis.

O capítulo 5 concentra as conclusões deste trabalho.

12

2. Representação Gráfica de Superfícies

A modelação matemática de curvas e superfícies a partir de uma malha de

pontos tem sido uma estratégia importante adotada pela computação gráfica, com larga

utilização na engenharia, uma vez que muitas das aplicações de interesse para a

engenharia envolvem a modelação geométrica de diferentes aspectos do mundo real.

Atualmente já existem vários programas comerciais (AutoCAD®, Solid Edge® e 3D

Studio®, entre outros) disponíveis e utilizados efetivamente como ferramentas

computacionais populares na rotina profissional de engenheiros e arquitetos.

No caso do assunto tratado nesta tese, a qualidade da solução de problemas de

valor de contorno baseados no Método dos Painéis depende muito do padrão de

discretização da fronteira da região que limita o domínio tridimensional onde o

fenômeno ocorre. Portanto, erros cometidos na discretização da fronteira podem afetar

significativamente a qualidade dos resultados obtidos.

Na solução do Método dos Painéis, o uso de soluções ditas de baixa ordem e

malhas definidas por painéis planos impõe a necessidade de emprego de um número

bastante elevado de painéis. Além disso, as malhas poligonais quadrilaterais planas

apresentam “vazamentos” ao longo das arestas dos painéis.

Reconhecendo, portanto, a necessidade de melhor representar a fronteira e a

própria distribuição de intensidade de singularidades adotadas no Método dos Painéis,

este capítulo introduz uma discussão preliminar sobre representação geométrica de

superfícies usando “B-Splines” bicúbicas paramétricas. Inicialmente são apresentadas

opções para representação de curvas, generalizando-se posteriormente esta abordagem e

estendendo-a para a representação de superfícies. Algoritmos computacionais são

também apresentados com a finalidade de representar curvas abertas e fechadas, ou

superfícies, através de “B-Splines” bicúbicas paramétricas. Ao final do capítulo,

apresenta-se um caso de modelação de uma superfície aberta utilizando-se malhas

poligonais e “B-Splines”. Apesar do baixo grau de discretização adotado na

representação, a modelagem bicúbica paramétrica por “B-Splines” mostra-se eficiente e

precisa.

A representação geométrica de superfícies pode ser considerada como uma

generalização da representação de curvas. Portanto, o texto trata, em vários momentos,

da modelação de curvas, para posteriormente voltar à análise das superfícies.

13

2.1 Opções para modelação de superfícies

2.1.1 – Malhas poligonais

Uma malha poligonal é um conjunto de superfícies poligonais planas,

conectadas ou não entre si através de arestas. Este tipo de representação pode requerer

uma discretização com elevado número de painéis planos, mas tem emprego muito

frequente em engenharia, embora apresente certas limitações que podem inviabilizar seu

uso em alguns casos.

Uma dessas limitações consiste em que a superfície gerada apenas consegue ter

continuidade do tipo1 C0, para o caso em que sejam empregados retalhos do tipo

triangular. Se os retalhos forem quadrilaterais, nem a continuidade da função pode ser

evocada na maior parte dos casos. Isso acontece porque, em geral, quatro pontos não

definem necessariamente um plano, e a superfície pode apresentar “vazamentos” que

provocam a descontinuidade da função.

Outra limitação característica das malhas poligonais, que decorre da anterior, é o

erro existente entre a superfície real e a modelada, obrigando a adoção de um elevado

número de retalhos para uma modelação com erro aceitável.

Apesar dessas reconhecidas deficiências, as malhas poligonais são ainda

bastante utilizadas na discretização da fronteira de regiões fluidas, para solução do

escoamento em torno de corpos. No entanto, o modelo desenvolvido neste trabalho

buscará definir uma modelação mais refinada.

2.1.2 – Superfícies polinomiais paramétricas

Uma superfície é formada pela união contínua de pontos que se distribuem em

todas as direções. Na modelação matemática das superfícies é conveniente que ela seja

decomposta em vários retalhos. Se cada retalho possuir formulação própria, então a

superfície será analiticamente descrita por uma função com várias sentenças. Para

descrever um destes retalhos são necessárias duas variáveis uma vez que o domínio de

definição das superfícies é bivariável.

1 O termo “continuidade C0” é empregado em computação gráfica para designar a continuidade da função. Analogamente, a continuidade C1 designa a continuidade da derivada primeira, e assim por diante.

14

Um retalho de uma superfície polinomial paramétrica bivariável pode ser

definido por pontos de coordenadas x, y e z, onde a coordenada de cada ponto é

associada a uma função de duas variáveis paramétricas (por exemplo: x(s, t), y(s, t) e

z(s, t)), sendo as fronteiras de cada retalho formadas por curvas polinomiais. Uma vez

que no caso mais geral as superfícies são dotadas de curvatura em todas as direções,

para se garantir uma mesma precisão, é necessário considerar-se um número muito

menor de retalhos curvos do que planos.

É evidente que os algoritmos empregados para modelação através de superfícies

polinomiais paramétricas são muito mais complexos, mas apresentam vantagens

importantes como será discutido adiante.

Da mesma forma como acontece com as curvas, na modelação das superfícies

podem ser empregados polinômios de diferentes graus. Neste trabalho a discussão se

concentrará nas superfícies bicúbicas paramétricas.

2.1.3 – Vantagens da modelação paramétrica

A modelação de uma curva na forma polinomial pode ser feita de várias formas:

1) Forma explícita: relaciona a variável dependente y como função de x, descrita

analiticamente na forma y = f(x). Essa forma, apesar de bastante comum, não se aplica à

modelação de curvas onde haja a duplicação da imagem para um mesmo ponto no

domínio, e dificulta o estabelecimento de uma relação explícita única para a maior parte

das curvas reais;

2) Forma implícita: exige a solução iterativa de uma equação não linear para

cada ponto (caso mais geral), e a equação permite soluções adicionais que dificultam a

seleção dos pontos mais adequados à representação;

3) Forma paramétrica: supera esses problemas e ainda apresenta atrativos

complementares: a definição da inclinação da curva é substituída na forma paramétrica

pelo uso do vetor tangente, possibilitando uma modelação mais geral; ao definir a curva

em segmentos, a forma paramétrica permite a escolha da forma de variação do

parâmetro; uma forma paramétrica adequada pode ser usada para definir todos os

segmentos considerados. Esta última característica é especialmente interessante e será

novamente explorada a seguir, ao serem mencionadas as matrizes de base que definem

as opções mais comuns de modelação paramétrica polinomial. A modelação

15

paramétrica de curvas de que trata o texto a seguir será restrita à forma polinomial, uma

vez que seu manuseio é reconhecidamente mais simples.

2.2 – Curvas Cúbicas Paramétricas

A motivação para modelar uma curva ou superfície matematicamente pode

surgir de duas formas diferentes. A primeira, que tem sido mais comum à computação

gráfica, à programação visual e à publicidade, consiste no desejo de criar algo novo, e

assim gerar uma geometria que possuirá uma formulação analítica a ela associada e,

portanto, se ajusta exatamente ao objeto que foi modelado. Note-se que neste primeiro

caso a criação da forma geométrica do objeto modelado é anterior à sua descrição

analítica. Este caso assemelha-se a uma modelação manual do objeto por tentativa e

erro. Uma vez obtida uma forma inicial, seu criador beneficia-se do controle local para

fazer pequenos ajustes na forma, ponto a ponto.

Uma segunda motivação pode surgir da necessidade de modelar algo pré-

existente, quando então são coletados pontos do objeto e feita uma adaptação de uma

curva ou superfície que seja capaz de interpolar as coordenadas dos pontos

selecionados.

No caso do projeto de embarcações, ambas as alternativas podem ocorrer.

Portanto, o problema que vai ser tratado neste item está intimamente ligado à

necessidade de estabelecer um equacionamento matemático para o lugar geométrico de

pontos que devem pertencer a uma curva. A reunião desses pontos na forma de uma

curva será representada por um polinômio que satisfaça a condições previamente

estabelecidas. No caso da proposta de solução para o problema que será formulado neste

trabalho, o objetivo consiste em disponibilizar um modelo numérico computacional que

requer o maior domínio possível sobre o equacionamento analítico da forma da

superfície de cada painel.

As curvas e superfícies cúbicas polinomiais satisfazem várias aplicações de

Engenharia, e possibilitam o uso de funções com derivadas até a terceira ordem,

tornando possível a imposição da continuidade C2. A fim de padronizar a nomenclatura

e a simbologia, bem como a forma analítica dos equacionamentos que serão adotados ao

longo deste trabalho, apresenta-se a seguir uma breve discussão acerca da adoção da

forma paramétrica na modelação de curvas e das opções de curvas cúbicas paramétricas

para modelação, procurando-se justificar a adoção de B-Splines feita por este trabalho.

16

A modelação de curvas cúbicas na forma paramétrica permite que se represente

cada ponto escolhido por suas três coordenadas, dependentes de um parâmetro t:

[ ])t(z)t(y)t(x)t(Q = (2-1)

Onde:

zz2

z3

z

yy2

y3

y

xx2

x3

x

dtctbta)t(z

dtctbta)t(y

dtctbta)t(x

+++=

+++=

+++=

(2-2)

Sendo a curva definida por segmentos ou pedaços, a variação do parâmetro t

pode ficar restrita ao intervalo limitado por t = 0 e t = 1. Por conveniência, um

parâmetro t – cuja relação com t é descrita abaixo – tomará sempre valores inteiros não

negativos nos extremos que limitam cada segmento que compõe a curva, passando

sempre do valor t num extremo ao valor 1+t no extremo seguinte. Daí:

ii

i

tt

ttt

−

−=

+1

(2-3)

Usando, então, o parâmetro t a partir deste ponto, a equação (2-2) pode ser

apresentada na forma matricial se:

[ ]1tttT 23= e (2-4)

=

zyx

zyx

zyx

zyx

ddd

ccc

bbb

aaa

C (2-5)

Finalmente, [ ] C.T)t(z)t(y)t(x)t(Q == (2-6)

Ao longo deste trabalho se dará amplo uso à forma matricial de apresentação das

equações em virtude da facilidade de desenvolvimento computacional e pelo formato

reduzido e simples de equacionar. Observe-se que as derivadas de Q(t) dão como

resultado as componentes do vetor tangente à curva.

Se um polinômio do terceiro grau for empregado na modelação, na forma da

equação (2-4), então, quatro condições devem ser satisfeitas em cada segmento para que

seja possível a modelação. A fim de facilitar a generalização, a matriz dos coeficientes

acima mencionada, C, será substituída pelo produto entre uma matriz de ponderação M

e um vetor que descreve condições geométricas genéricas que o polinômio deve

satisfazer em cada segmento da curva:

xx G.MC = (2-7)

17

E a equação (2-6) passará a ser descrita na forma da equação (2-8):

[ ] [ ]

==

z4y4x4

z3y3x3

z2y2x2

z1y1x1

41434241

34333231

24232221

14131211

23

GGG

GGG

GGG

GGG

mmmm

mmmm

mmmm

mmmm

1ttt)t(z)t(y)t(x)t(Q (2-8)

E separadamente:

z

y

x

G.M.T)t(z

G.M.T)t(y

G.M.T)t(x

=

=

=

(2-9)

Onde: Gx, Gy e Gz são os vetores-coluna constantes na equação (2-8).

Conforme se mencionou acima, a fim de ilustrar melhor a adoção paramétrica

nas modelações da fronteira da região fluida executadas ao longo deste trabalho, os itens

2.2.1, 2.2.2 e 2.2.3 apresentarão, brevemente, as três opções mais populares de curvas

paramétricas do terceiro grau: as curvas de Hermite, as curvas de Bezier e as curvas do

tipo B-Splines (BARTELS et al, (1987), FOLEY et al (1990)). A fim de simplificar a

apresentação das formulações, apenas as expressões para x(t) serão apresentadas. As

demais expressões são inteiramente análogas.

2.2.1 – Curvas de Hermite

As curvas de Hermite representam uma opção bastante atraente de modelação,

uma vez que interpolam os pontos extremos do intervalo modelado, satisfazendo a

condições de tangência pré-estabelecidas nos extremos. O vetor que dá as condições de

geometria de cada trecho é expresso por:

=

x3

x0

x3

x0

Hx

R

R

P

P

G (2-10)

Onde: P0x – coordenada x do primeiro ponto;

P3x – coordenada x do último ponto;

R0x – componente x do vetor tangente no primeiro ponto; e

R3x – componente x do vetor tangente no último ponto.

Os índices 0 e 3, associados ao primeiro e último ponto, respectivamente, foram

usados para manter a coerência com a nomenclatura que será usada nas demais curvas,

18

onde estarão presentes pontos intermediários que ocupam os índices 1 e 2, ficando

assim reservados os índices 0 e 3 aos pontos extremos. A figura 2-1 ilustra a

nomenclatura adotada.

Figura 2-1 – Condições de Extremidade da Curva de Hermite.

Impondo-se estas condições e praticando alguns algebrismos elementares2

chega-se à matriz de ponderação para a curva de Hermite:

−−−

−

=

0001

0100

1233

1122

M H (2-11)

Desenvolvendo-se o produto T. M chega-se às funções de ponderação3:

23H3

23H2

23H1

23H0

tt)t(B

tt2t)t(B

t3t2)t(B

1t3t2)t(B

−=

+−=

+−=

+−=

(2-12)

Da equação (2-9) deduz-se que:

x3H3x0H2x3H1x0H0 R).t(BR).t(BP).t(BP.)t(B)t(x +++= (2-13)

2 Veja FOLEY et al (1990) para a derivação completa da matriz 3 O termo “função de ponderação” é aqui empregado para indicar o peso da contribuição de cada elemento do vetor de propriedades geométricas da curva de Hermite. Por outro lado, as funções de ponderação não gozam das mesmas propriedades das funções de base, que serão apresentadas juntamente com as “B-Splines”.

19

As curvas de Hermite têm a vantagem de interpolar os pontos extremos,

o que é sempre desejável nas modelações empregadas na Engenharia, mas não

apresentam continuidade C1 se não for imposta. Então, a imposição formal da

continuidade C1 aumentaria desnecessariamente a complexidade do algoritmo

empregado, uma vez que há opções que satisfazem automaticamente até a continuidade

C2 ao longo de toda a curva modelada. As curvas de Hermite também não são capazes

de ter continuidade C2, o que é bastante desejável, em casos que serão tratados neste

texto. No método direto ou indireto, dependendo da metodologia de solução adotada, as

derivadas parciais de segunda ordem devem ser disponibilizadas. No caso de serem

adotadas as curvas de Hermite para modelação, estas derivadas não seriam contínuas ao

longo da fronteira, o que é indesejável.

2.2.2 – Curvas de Bezier

As curvas de Bezier diferem das curvas de Hermite apenas na forma de

avaliação do vetor tangente à curva nos extremos de cada segmento. Substituindo os

vetores de tangência por dois pontos de controle internos à curva, P1 e P2, pode-se

expressar as componentes do vetor tangente4 nos extremos por:

)PP(3R x0x1x0 −= )PP(3R y0y1y0 −= )PP(3R z0z1z0 −= (2-14)

Substituindo as expressões da equação (2-14) na equação (2-10) e levando-se em

conta a equação (2-11), obtém-se:

−

−

−−

=

0001

0033

0363

1331

M B (2-15)

Desenvolvendo a multiplicação T.M B chega-se às funções de base5 para as

curvas de Bezier:

3B0 )t1()t(B −= 2

B1 )t1(t3)t(B −= )t1(t3)t(B 2B2 −= 3

3 )( ttB B = (2-16)

E as coordenadas dos pontos que formam a curva podem ser finalmente

expressas por:

3B32B21B10B0 P)t(BP)t(BP)t(BP)t(B)t(Q +++= (2-17)

4 A constante 3 no lugar da unitária é essencial para definir propriedades importantes da curva de Bezier, não extensíveis às curvas de Hermite. Sobre isso consulte-se FOLEY et al (1990). 5 Também conhecidos como polinômios de Bernstein

20

Uma interessante propriedade das curvas de Bezier, e que será novamente

mencionada adiante, está associada com os valores das funções de base para valores do

parâmetro contidos entre zero e um. Note-se que para todo valor do parâmetro contido

neste intervalo, os valores das funções de base somam um e são não-negativas. Isso faz

com que as coordenadas de cada ponto da curva seja formado por combinação convexa

dos pontos que formam o vetor de propriedades geométricas, uma espécie de média

ponderada, onde os pesos são as funções de base. Além disso, essa propriedade implica

que cada trecho da curva esteja contido no fecho convexo formado pelos pontos de

controle. Em duas dimensões, o fecho convexo6 é o polígono formado pela envoltória

dos pontos de controle. Em três dimensões, o fecho convexo é formado pelo poliedro

que envolve os pontos de controle.

Apesar do relativo avanço, as curvas de Bezier possuem as mesmas limitações

que as citadas para as curvas de Hermite, e não se adequam, portanto, à modelação

geométrica de superfícies para uso na solução dos problemas abordados ao longo desse

texto.

2.2.3 – “Splines” Naturais e “B-Splines”

O termo “spline” está intimamente associado à construção naval. As réguas de

madeira flexíveis, frequentemente usadas nas salas de risco para traçado das balizas das

embarcações em construção, receberam este nome. Essas réguas eram bastante

adequadas ao traçado de linhas do casco, uma vez que as mudanças bruscas de

curvatura, reentrâncias e saliências, sendo indesejadas na maioria dos cascos das

embarcações convencionais, eram por elas evitadas. Se não fossem severamente

carregadas, as “splines” eram naturalmente dotadas da continuidade C2.

A modelação matemática da curva descrita por estas réguas recebe a

denominação de “splines” cúbicas naturais. Elas também gozam de continuidade C2 ao

longo da curva. As “splines” naturais também interpolam seus nós, o que representa

outra vantagem de sua adoção na representação de curvas e superfícies.

No entanto, a adoção de “splines” naturais para modelação geométrica de

superfícies está em declínio. Os coeficientes do polinômio por partes, em cada segmento

da curva ou retalho da superfície, são dependentes das coordenadas de todos os nós, o

6 Vejam-se as figuras 2-2 (A) e (B).

21

que faz com que a modificação de um nó afete toda a curva, implicando falta de

controle local.

Ao contrário das “splines” naturais, as “B-splines” consistem em segmentos de

curvas cujos coeficientes polinomiais em cada segmento dependem apenas de alguns

pontos de controle, fazendo com que haja controle local sobre a forma da curva.

Convém distinguir os pontos de controle dos nós da curva, que são os pontos por onde a

curva necessariamente passa para valores inteiros do parâmetro. Havendo n + 1 nós na

curva, haverá n segmentos e n + 3 pontos de controle nas “B-splines” bicúbicas,

conforme se verá a seguir.

“B-splines” satisfazem automaticamente a continuidade C2 nos nós internos,

mas não interpolam seus pontos de controle. No entanto, essa desvantagem é apenas

aparente, pois dados os nós por onde a curva deve passar pode-se facilmente determinar

os pontos de controle da curva interpolante. A letra “B”, que antecede o termo “spline”,

se deve ao fato de que esse tipo também utiliza funções de “base” para ponderar a

influência de cada ponto de controle sobre a forma da curva.

A seguir será descrito o tipo mais usual de “B-Spline” em uso e adotado neste

trabalho de tese. O tipo uniforme e não racional é o mais simples de todos, havendo

outros tipos, cada um com suas características próprias: Os mais comuns, além do

empregado neste trabalho são as “B-Splines” não uniformes e não racionais e as

“NURBS” (“Non Uniform Rational B Splines”). A designação uniforme se refere ao

espaçamento paramétrico constante e unitário entre os nós, enquanto que o termo

racional se refere às funções paramétricas que descrevem a variação de cada

coordenada. No caso racional, as funções são formadas pelo quociente entre dois

polinômios de grau n, sendo o terceiro grau o mais comum.7

2.2.3.1 – “B-Splines” uniformes e não racionais.

Sejam dados n+1 pontos, denominados nós, por onde se deve passar uma “B-

spline” bicúbica, uniforme e não racional. O termo uniforme designa a variação

constante e unitária do parâmetro, para opor-se à modalidade não uniforme, na qual a

variação paramétrica é livre. As figuras 2-2(A) e (B) mostram um exemplo de um

trecho de uma curva e a influência do sequenciamento dos pontos de controle no

7 Para uma completa referência acerca dos tipos de “splines” e aplicações consulte-se BARTELS et al (1987).

22

posicionamento da curva. Note-se que a curva interpola os nós, mas não os pontos de

controle, que são apenas aproximados, possibilitando o controle local.

Figuras 2-2 (A) e (B) – Nós e pontos de controle numa “B-Spline”. Influência do

ordenamento dos pontos de controle na disposição de uma curva.

Para traçado de uma curva constituída de n+1 nós, composta de n segmentos, são

necessários n+3 pontos de controle para representá-la. A fim de uniformizar a

nomenclatura adotada na representação, os nós serão numerados de 1 a n+1, assim

como os segmentos de 1 a n. Os pontos de controle recebem indexação de 0 a n+2. Para

manter a coerência com o que se acabou de dizer, ao longo deste trabalho os nós e

pontos de controle serão indexados de tal forma que o i-ésimo segmento, compreendido

entre os valores do parâmetro de t = i e t = i+1, será governado pelo seguinte vetor de

pontos de controle:

=

+

+

−

2i

1i

i

1i

BSi

P

P

P

P

G (2-18)

Uma observação mais atenta das figuras 2-2(A) e (B) mostra que os pontos de

controle mais fortemente aproximados são exatamente os de índice i e i + 1 no trecho

23

que está compreendido entre os mesmos valores do parâmetro. A variação da

coordenada x nesse intervalo, em função da variação paramétrica, é dada pela relação:

[ ] ji

j

BSj

i

i

I

i

BSBSBSBS XB

X

X

X

X

tBtBtBtBtx +−=

+

+

−

∑=

= 1

3

0

2

1

1

3210 )()()()()( (2-19)

Onde cada função BBSj(t) é um polinômio do terceiro grau. O vetor linha BBS é

definido pelo produto de uma matriz de base MBS e o vetor T, definido anteriormente.

Note-se, a partir do equacionamento acima, que a imposição da continuidade C2 aos nós

internos à curva implica que a união entre as quatro funções goze também da

continuidade C2 nas emendas. Impondo-se esta condição formalmente chega-se à matriz

de base8 para as “B-Splines” uniformes e não racionais:

−

−

−−

=

0141

0303

0363

1331

6

1M BS (2-20)

Pré multiplicando a matriz MBS pelo vetor T chega-se às funções de base para as

“B-splines” uniformes e não racionais:

[ ]

[ ]

[ ]

6

t)t(B

1t3t3t36

1)t(B

4t6t36

1)t(B

t16

1)t(B

3

3BS

232BS

231BS

30BS

=

+++−=

+−=

−=

(2-21)

Note-se que a representação através das funções de base acima, e na forma da

equação (2-21), satisfaz às propriedades do fecho convexo, tem controle local, e goza de

continuidade C2 nos nós internos da curva, além de outras propriedades menos

importantes sob o ponto de vista do escopo deste trabalho. Lembrando que o trecho

compreendido entre os nós i e i+1 são controlados pelos pontos Pi-1, Pi, Pi+1 e Pi+2 e

assim sucessivamente, a continuidade C2 pode ser verificada por derivação direta:

)0(x)1(x 1ii += , )0(xdt

d)1(x

dt

d1ii += e )0(x

dt

d)1(x

dt

d1i2

2

i2

2

+= (2-22)

8 Para uma derivação completa da matriz de Base pode-se consultar BARTELS et al (1987).

24

É importante que seja ressaltado o efeito causado pela repetição de pontos de

controle. Repetindo-se um ponto de controle no vetor GBS a curva é atraída em direção

ao ponto de controle repetido, uma vez que as funções de base atuam como pesos na

média ponderada que determina o nó. Além disso, havendo apenas três pontos de

controle a curva deixa de ser uma cúbica para tornar-se uma função do segundo grau,

perdendo a continuidade C2 e passando à continuidade C1. Em conseqüência dessa

observação, um ponto de controle triplo faz com que a curva se torne uma reta,

passando à continuidade C0, enquanto o ponto de controle triplicado é interpolado.

As curvas fechadas também podem ser modeladas através de “B-splines”

cúbicas paramétricas, bastando que ao final da seqüência de pontos de controle sejam

repetidos os três primeiros. Por exemplo, supondo que uma curva fechada seja definida

por n pontos de controle, a condição de fechamento seria dada pela seguinte sequência:

P0, P1, P2, P3, . . . , Pn-1, Pn, P0, P1 e P2.

As possibilidades de modelação empregando “B-splines” uniformes são

bastante amplas, tanto para representação de curvas e superfícies abertas quanto para

curvas e superfícies fechadas, embora estas últimas sejam mais bem representadas pelas

“NURBS”. No entanto, nenhuma das representações até aqui citadas é de formulação

tão simples e ao mesmo tempo tão cheia de atrativos.

2.3 – Representação de superfícies

De uma forma geral, a representação de superfícies é completamente análoga à

representação de curvas, o que evidentemente acontece com a representação de

superfícies cúbicas paramétricas. No caso da representação de curvas, viu-se que o vetor

de propriedades geométricas G é constante. Partindo-se então da equação (2-9) e

trocando-se inicialmente t por s pode-se escrever:

G.M.S)s(Q = (2-23)

Permitindo-se aos pontos de controle do vetor G que se desloquem

tridimensionalmente ao longo de algum caminho parametrizado com a variável t,

obtém-se a equação (2-24):

==

)t(G

)t(G

)t(G

)t(G

.M.S)t(G.M.S)t,s(Q

3

2

1

0

(2-24)

25

Note-se que para um valor constante da variável t, por exemplo, t0, Q(s, t0)

descreve o lugar geométrico dos pontos de uma curva, já que G(t0) é um vetor

constante. Permitindo que t assuma outros valores na vizinhança de t0, outras curvas são

traçadas, diversas entre si, formando uma pequena superfície. Permitindo-se que t varie

livremente ao longo do domínio paramétrico obtém-se a superfície descrita pela

equação (2-24).

No caso que interessa ao escopo deste trabalho, os caminhos assumidos por s e t

são ambos descritos por curvas cúbicas, sendo a superfície resultante, portanto, bicúbica

e paramétrica. Então, se cada um dos caminhos descritos por Gi(t) é formado por uma

curva cúbica, seu equacionamento pode ser também posto sob a forma da equação (2-

25):

=

i

i

i

i

i

g

g

g

g

MTtG

4

3

2

1

..)( (2-25)

Transpondo-se a matriz representada pelo resultado T.M.G, lembrando que

(A.B.C)T = CT.BT.AT, a equação (2-24) passa a ser escrita na forma da equação (2-26):

TT

33323130

23222120

13121110

03020100

T.M.

gggg

gggg

gggg

gggg

.M.S)t,s(Q

= (2-26)

Expressões em separado podem ser escritas para cada uma das coordenadas

x(s,t), y(s,t) e z(s,t):

TTz

TTy

TTx

T.M.G.M.S)t,s(z

T.M.G.M.S)t,s(y

T.M.G.M.S)t,s(x

=

=

=

(2-27)

26

2.3.1 – Modelação de superfícies através de “B-Splines” bicúbicas.

Conhecida a matriz de base das “B-Splines”, retalhos individuais podem ser

representados por:

TTBSBSzBS

TTBSBSyBS

TTBSBSxBS

T.M.G.M.S)t,s(z

T.M.G.M.S)t,s(y

T.M.G.M.S)t,s(x

=

=

=

(2-28)

Continuidade C2 é também garantida ao longo das fronteiras entre os retalhos.

As figuras 2-3 e 2-4 mostram malhas computacionais parametrizadas em função das

variáveis s e t. A figura 2-3 mostra a malha de nós, enquanto que a figura 2-4 mostra

uma malha constituída de pontos de controle. As figuras objetivam ilustrar e

uniformizar o processo de numeração e identificação dos pontos de controle, dos nós e

dos retalhos.

A numeração dos retalhos inicia-se no retalho (1,1), sendo a modelação do

retalho i,j dada pela equação (2-29):

[ ]

=

+++++−+

+++++−+

++−

+−+−−−−

)t(B

)t(B

)t(B

)t(B

.

PPPP

PPPP

PPPP

PPPP

.)s(B)s(B)s(B)s(B)t,s(x

3BS

2BS

1BS

0BS

2j,2i1j,2ij,2i1j,2i

2j,1i1j,1ij,1i1j,1i

2j,i1j,ij,i1j,i

2j,1i1j,1ij,1i1j,1i

3BS2BS1BS0BS (2-29)

. . . . . .

s=1 2 3

t=1

2

3

n-1

n

n+1

1,1 2,1 m-1,1 m,1

1,2 2,2 m-1,2 m,2

1,n-1 2,n-1 m-1,n-1 m,n-1

1,n 2,n m-1,n m,n

m-1 m m+1i

j

Figura 2-3 - Malha paramétrica mostrando nós e painéis.

27

i=0 1 2 m m+1 m+2

j=0

1

2

n

n+1

n+2

. . . . . .

Figura 2-4 – Malha paramétrica mostrando pontos de controle.

De forma semelhante ao procedimento adotado para as curvas, a numeração dos

pontos de controle estende-se desde o ponto de controle (0,0) até o ponto de controle

(m+2, n+2) (Figura 2-4).

Apesar de não interpolarem os pontos de controle que definem uma superfície,

“B-Splines” bicúbicas podem atuar como funções interpoladoras de seus nós, desde que

eles sejam conhecidos a priori. Escritas as equações que impõem a interpolação dos nós,

o problema pode ser facilmente resolvido incorporando-se condições de extremidade de

forma a tornar o problema com solução única. A figura 2-6 apresenta uma opção de

algoritmo aplicável à interpolação de nós numa superfície aberta.

Note-se que no caso de curvas, para uma malha composta por nx nós, haverá (nx

+ 2) pontos de controle necessários à modelação matemática. A imposição da

interpolação dos nós fornece apenas nx equações, havendo então a necessidade de criar

duas condições adicionais, conhecidas como condições de extremidade. No caso de

curvas abertas, se o primeiro ponto de controle for designado P0 e o último for Pnx+1, a

opção mais utilizada é (CABRAL et al (1990) e USHATOV et al (1994)):

P0 = P1; e Pnx = Pnx+1 (2-30)

A condição de extremidade representada pela equação (2-30) é a mais popular,

podendo haver outras. Esta, inclusive, é uma grande vantagem da modelação através das

B-Splines bicúbicas, pois oferece ao usuário a flexibilidade de acrescentar condições

adicionais que ajudem a representar melhor a física do problema. Para o caso de

representação de superfícies a imposição de condições adicionais é inteiramente

análoga. Há vários equacionamentos possíveis, um deles é mostrado na figura 2-6.

28

Observe-se que no caso da figura 2-6, o algoritmo de modelação de superfícies utiliza-

se várias vezes do algoritmo criado para curvas, entendendo-se que a discretização da

malha superficial necessita de duas direções, e que a seção da superfície em cada uma

destas direções é formada por curvas. O mesmo resultado poderia ter sido obtido caso

tivessem sido impostas as condições de interpolação dos nós, como explicado no

parágrafo acima. Neste caso, as condições de extremidade se refeririam aos nós da

extremidade da malha, o que será abordado adiante, no próximo capítulo deste

trabalho9.

2.3.2 – Vetor normal à superfície

Uma vez estabelecida a relação paramétrica entre as coordenadas x, y e z é

também possível determinar as componentes do vetor normal à superfície. Admitindo

que a forma implícita F(x, y, z) = z – f(x, y) é conhecida, o vetor normal em cada ponto

pode ser determinado pela equação (2-31):

+

∂

∂−

∂

∂−

∇=

∇

∇= kj

y

fi

x

f.

F

1

F

Fn (2-31)

Observe-se que utilizando a regra da cadeia pode-se determinar todos os fatores

que compõem a equação (2-31):

∂

∂

∂

∂−

∂

∂

∂

∂=

∂

∂

∂

∂

∂

∂−

∂

∂

∂

∂=

∂

∂

t

x

s

z

t

z

s

x.

|J|

1

y

f

t

z

s

y

s

z

t

y.

|J|

1

x

f

(2-32)

Todas as quantidades constantes das expressões contidas na equação (2-32) são

conhecidas, uma vez que:

[ ] ( )TTTTT

t.M.G.M.ST.M.G.M.S

t)t,s(Q

t ∂

∂=

∂

∂=

∂

∂ (2-33)

Um procedimento análogo pode ser adotado para conduzir o processo de

derivação em relação ao parâmetro “s”.

9 Vejam-se as equações (3-57) a (3-60), bem como a figura 3-6.

29

2.4 – Aplicações da representação através de “B-Splines” bicúbicas

A qualidade da representação gráfica e da modelação matemática de superfícies

através de B-Splines bicúbicas, no caso das formas de interesse para este trabalho, será

ilustrada neste item através da comparação de resultados diversos, obtidos pela

modelação bicúbica paramétrica e por uma malha poligonal quadrilateral.

Para fins de comparação entre os resultados obtidos entre as duas propostas de

modelação, uma superfície ondulada de equacionamento matemático conhecido foi

escolhida. A forma analítica da função é como expressa na equação (2-34):

)yxsin()y,x(fz +== (2-34)

O domínio de representação e de modelação encontra-se limitado nos intervalos

x ∈[ 0 , 2π ] e y ∈ [ 0 , 2π ], que serão discretizados em 5 pontos igualmente espaçados

em cada direção. A opção por uma discretização pobre é proposital, pois além de

facilitar a comparação e a divulgação de resultados, mostra o poder de simulação da

modelação paramétrica. A figura 2-5 mostra a divisão do domínio e a numeração dos

retalhos na malha.

Figura 2-5 – Domínio de representação da senoide e numeração de retalhos

Para a função definida pela equação (2-34) e de acordo com a discretização

assumida para o domínio a malha de pontos descrita pela tabela 2-1 é produzida:

30

Tabela 2-1: Malha de nós para a senóide bidimensional

Nó X Y Z Nó 0,0 0 0 0 0,0 0,1 π/2 0 1,000 0,1 0,2 π 0 0,000 0,2 0,3 3 π/2 0 -1,000 0,3 0,4 2 π 0 0,000 0,4 1,0 0 π/2 1,000 1,0 1,1 π/2 π/2 0,000 1,1 1,2 π π/2 -1,000 1,2 1,3 3 π/2 π/2 0,000 1,3 1,4 2 π π/2 1,000 1,4 2,0 0 π 0,000 2,0 2,1 π/2 π -1,000 2,1 2,2 π π 0,000 2,2 2,3 3 π/2 π 1,000 2,3 2,4 2 π π 0,000 2,4 3,0 0 3 π/2 -1,000 3,0 3,1 π/2 3 π/2 0,000 3,1 3,2 π 3 π/2 1,000 3,2 3,3 3 π/2 3 π/2 0,000 3,3 3,4 2 π 3 π/2 -1,000 3,4 4,0 0 2 π 0,000 4,0 4,1 π/2 2 π 1,000 4,1 4,2 π 2 π 0,000 4,2 4,3 3 π/2 2 π -1,000 4,3 4,4 2 π 2 π 0,000 4,4

O critério usado para ajuste das superfícies seguirá a rotina mais comumente

utilizada em cada uma das propostas. Para determinação dos pontos de controle da “B-

Spline” será empregado o algoritmo10 da figura 2-6 para interpolação dos nós de uma

curva aberta. Por sua vez, a malha poligonal será adaptada ao ponto médio de cada

retalho, obtido pela média aritmética entre as coordenadas dos vértices A,B,C e D. O

vetor normal obtido pelo produto vetorial das diagonais dará a orientação do plano a

adaptar. Uma vez concluídas as adaptações, comparações são feitas entre os valores

obtidos para a distribuição de pontos em cada retalho, de acordo com o critério do erro

médio. A representação geométrica das superfícies é também incluída.

10 A função P_CTRL_A(VT) resolve o problema para modelação de curvas. O único parâmetro de entrada é o vetor de nós (VT). N representa o número de nós. Observe-se que a função PT_CTRL_2V(M), que obtém os pontos de controle para superfícies, resolve (m+1).(n+1) sistemas de equações para curvas. O único parâmetro de entrada da função é a matriz de nós.

31

Figura 2-6 – Algoritmos usados para curvas e superfícies abertas

2.4.1 – Modelação matemática dos retalhos – Distribuição de Pontos:

A comparação entre resultados obtidos entre as duas formas de modelar (“B-

Splines” bicúbicas e malhas poligonais) encontra-se expressa na tabela 2-2. O critério

usado para comparação de resultados foi o do erro médio absoluto, calculado pela

equação (2-35):

∫∫=SRR

dS.EAS

1EA (2-35)

Onde:

EA - Erro médio absoluto;

EA = | sen(x+y) – zi |

SR – Área do retalho.

32

Tabela 2-2: Comparação de erros médios obtidos: “B-Spline” x Malha Poligonal

Retalho N.º Erro Médio (P) Erro Médio (BS) 1,1 0,348 0,166 1,2 0,125 0,036 1,3 0,348 0,098 1,4 0,125 0,067 2,1 0,125 0,036 2,2 0,348 0,036 2,3 0,125 0,016 2,4 0,348 0,098 3,1 0,348 0,098 3,2 0,125 0,016 3,3 0,348 0,036 3,4 0,125 0,036 4,1 0,125 0,067 4,2 0,348 0,098 4,3 0,125 0,036 4,4 0,348 0,166

Legenda: P – Malha Poligonal; BS – “B-Spline”.

A comparação dos erros médios mostra que a modelação matemática feita

através de “B-Splines” bicúbicas é bastante superior, embora ainda não mostre de forma

clara uma das maiores diferenças entre as modelações em foco, pois a malha poligonal

efetua uma modelação discreta, enquanto que a “B-Spline” efetua uma modelação

contínua. É como se a preocupação maior da modelação de baixa ordem fosse apenas

com um painel de cada vez, esquecendo-se de que eles formam um conjunto contínuo.

Isso ficará evidente mais adiante na modelação geométrica exibida nas figuras 2-7 a 2-9.

Observe-se que os erros cometidos nas extremidades da malha, especialmente

nos vértices do domínio no plano (ver figura 2-5), devem-se ao emprego da condição de

extremidade padrão, que obriga a curva a aproximar-se da forma plana. À medida que o

centro do domínio se aproxima, os erros diminuem consideravelmente, ao contrário do

que acontece com a representação através da malha poligonal.

2.4.2 – Representações gráficas das superfícies

A comparação de resultados numéricos é sempre muito objetiva porque

estabelece critérios concretos, facilitando conclusões. No entanto, neste caso, ela não

mostra tudo. As figuras 2-7 a 2-9 mostram a grande diferença que resulta da imposição

da continuidade C2 sobre a modelação. No outro extremo, observe-se que as malhas

33

poligonais não podem sequer ser dotadas da continuidade C0, que trata da continuidade

da função modeladora. Note-se ainda o grau de semelhança alcançado entre a

modelagem feita pela “B-Spline” bicúbica e a curva real, e o grau de acabamento da

representação.

Figura 2-7 - Malha Poligonal

Figura 2-8 – “B-Spline” bicúbica

34

Figura 2-9 - Malha Real

2.5 – Comentários Gerais.

A representação de superfícies através de “B-Splines” bicúbicas adequa-se

plenamente ao uso de interesse para o presente trabalho. As condições de popa e

costado secos, muito comuns ao escoamento em torno de embarcações semiplanadoras e

planadoras, teriam que ser impostas de uma maneira bastante complicada e sem sucesso

garantido, caso a forma de representação escolhida não pudesse garantir continuidade

C1, ao menos, na fronteira entre o casco e a superfície livre. Ao representar a superfície

do casco e a superfície livre por “B-Splines” as condições de costado seco e de popa

seca podem ser satisfeitas automaticamente, se assim for desejado.

Ao mesmo tempo, observe-se que esta forma de representar superfícies adequa-

se a um grande número de abordagens de solução, quer sejam impostas as condições de

contorno na superfície livre separadamente (condição cinemática e dinâmica) ou na

forma combinada (ver capítulo 3).

Uma vez que a superfície representada é contínua e apresenta derivadas parciais

contínuas até a segunda ordem, outras condições de contorno podem ser também

impostas de forma simples.

35

3. Escoamento em torno do Casco de Embarcações de Semiplaneio:

Modelo de Solução Proposto

Neste capítulo apresenta-se o modelo de solução não linear para o escoamento

em torno de uma embarcação semiplanadora que se desloca na superfície livre com

velocidade constante. Inicialmente, discute-se o modelo linear a ser inserido como

solução inicial no método das perturbações. Em seguida, delineia-se o processo de

solução não linear, no qual cada iteração utiliza como base a anterior, permitindo que a

solução seguinte seja obtida através de uma pequena perturbação em torno da solução

atual.

Em qualquer caso, a metodologia de solução baseia-se no Método dos

Elementos de Contorno de alta ordem, no qual se distribuem singularidades do tipo

fontes e sumidouros na superfície do casco e em parte da superfície livre. Em busca de

uma solução única para o problema, são impostas condições de contorno na fronteira da

região fluida, convenientemente linearizadas nesta versão inicial. Tanto a forma

escolhida para os painéis que discretizam a fronteira como a densidade das

singularidades distribuídas são dadas por superfícies bicúbicas paramétricas do tipo “B-

Splines”.

3.1 Formulação do problema

Antes da apresentação formal do problema, em razão do objeto desta tese ser

também constituído pelas embarcações semiplanadoras quinadas, parece razoável

acrescentar uma breve descrição de características das embarcações de semiplaneio,

bem como de algumas particularidades do escoamento que se desenvolve em torno

delas.

3.1.1 – Descrição do regime de velocidades

As embarcações semiplanadoras, assim como as de planeio, contrapõem-se às do

tipo deslocamento com a finalidade de proporcionar uma aquisição de velocidades mais

elevadas de forma economicamente viável. Para isso é necessário que se processem

mudanças radicais nas linhas dessa nova categoria, em relação às linhas anteriormente

propostas para as embarcações que operam no regime de deslocamento. As linhas de

36

alto são retas, e acabam bruscamente num espelho de popa, como mostra a figura 3-1.

As linhas de balizas também se transformam em retas, assumindo ao mesmo tempo a

forma quinada, na forma proposta pela figura 3-2.

Figura 3-1 – Exemplo de linhas de alto nos regime de semiplaneio e planeio puro.

Figura 3-2 – Exemplo de linhas de balizas para os regimes de semiplaneio e planeio puro.

A adoção dessas alterações nas linhas do casco implica no surgimento de dois

fenômenos semelhantes, que ocorrem com o aumento da velocidade, e que são

extremamente benéficos para a otimização do desempenho da embarcação

semiplanadora: a secagem da popa e a secagem do costado.

Devido à presença do espelho de popa e logo após ele, desde as velocidades

mais baixas, forma-se uma zona de baixa pressão na vizinhança da superfície livre. O

conseqüente gradiente de pressão que daí resulta, entre a pressão atmosférica da

superfície livre e a submersa nessa vizinhança, aumenta com a velocidade. Depois de

atingido um certo limite, a tendência à estabilização da pressão promoverá a gradativa

diminuição do nível da superfície livre até a completa secagem da popa.

Esses dois eventos causam dois efeitos muito importantes. Inicialmente a

formação de uma zona de alta pressão no fundo, com o consequente surgimento de

sustentação dinâmica e diminuição da superfície molhada. O segundo efeito, tão

propício quanto o primeiro, é a diminuição da resistência de ondas com o aumento da

velocidade, ao aproximar-se do regime planador. Note-se que isso se deve à

37

modificação do perfil da onda de popa, que agora inicia-se necessariamente em cavado

pela popa seca, o que tende a atenuar as ondas longas de proa, que ocorrem a partir do

planeio puro. No entanto, apesar de atingirem velocidades moderadas, as embarcações

semiplanadoras possuem um comportamento no mar melhor do que as planadoras,

exatamente por desenvolverem níveis mais baixos de sustentação dinâmica, implicando

uma melhor estabilidade de plataforma, proporcionando mais conforto à tripulação e

passageiros. Em conseqüência, podem ter possibilidade de emprego mais ampla.

Figura 3-3 – Regiões que se formam no escoamento em torno do casco semiplanador quinado.

Outro conjunto de características que é importante descrever antes de prosseguir,

refere-se às regiões que se formam no escoamento. A figura 3-3 mostra, à esquerda,

uma vista superior de um casco prismático no nível da superfície livre. Entre o ponto de

estagnação e o ponto de submersão de quinas situa-se a aresta de ataque do escoamento.

O ângulo de vértice, mostrado na figura, é o ângulo medido entre a projeção da aresta de

ataque do casco no plano de base e a linha de centro. A região que se estende do ponto

de estagnação ao ponto de submersão de quinas recebe o nome de região de quinas

secas, e recebe tanto mais influência das altas pressões reinantes na vizinhança do ponto

de estagnação quanto mais pronunciado for o ângulo de vértice. Exatamente nesta

região formam-se jatos de “spray”, e o campo de velocidades difratadas pelo casco é

fortemente não linear.

Nas vizinhanças da aresta de costado e de fuga o escoamento é forçado a deixar

o casco numa direção tangencial. Note-se que as arestas mencionadas encontram-se

38

submersas. Portanto, o escoamento apresentará uma tendência natural a retornar à

superfície livre não perturbada, o que provoca bruscas mudanças de inclinação e

curvatura das linhas de corrente nestas regiões. Daí que especialmente a condição

cinemática de superfície livre contenha termos não lineares significativos,

especialmente na vizinhança do casco.

3.1.2 – Formulação do problema

Considere-se uma embarcação semiplanadora dotada de quinas vivas que se

desloca na superfície livre em águas calmas e profundas com velocidade de avanço

constante (U). Nessas circunstâncias, deseja-se determinar a parcela da resistência ao

avanço devida à formação de ondas.

Para obtenção de uma modelação completa do escoamento em torno do casco, o

modelo viscoso de descrição do campo de velocidades e pressões deveria ser utilizado.

No entanto, a influência da viscosidade sobre escoamentos dessa categoria fica

confinada à camada limite e à esteira. Para efeito da determinação da resistência de

onda, devido às pequenas dimensões da camada limite, o campo de pressões no seu

interior é admitido igual ao reinante no escoamento invíscido exterior. Nessas

condições, e sendo a resistência de ondas dada pela integral do campo de pressões

atuantes sobre o casco, os efeitos da viscosidade serão desprezados.

z

x

Figura 3-4 - Sistema de coordenadas adotado

Admitidas essas hipóteses, o escoamento será definido como irrotacional,

incompressível e permanente. O sistema de coordenadas adotado encontra-se

representado na figura 3-4, cuja origem está posicionada na interseção do plano da

superfície livre não perturbada com a linha de alto central da embarcação, movendo-se

39

com ela em translação. O eixo x aponta para ré, o eixo y aponta para boreste e o eixo z

para cima.

Equações governantes

Feitas essas observações, podemos afirmar que existe um potencial de

velocidades dado pela equação (3-1):

Φ∇=v (3-1)

Onde Φ representa o potencial total, resultante da soma entre o potencial de

base, previamente conhecido, e o difratado pelo casco. Na solução preliminar, que

servirá de base para início do processo de busca da solução não linear, adota-se como

solução inicial para o potencial de base o potencial do escoamento incidente. Em

qualquer dos casos, a composição do potencial total encontra-se expressa pela equação

(3-2):

φϕ +=Φ (3-2)

Onde:

ϕ - Potencial do escoamento incidente;

φ - Potencial difratado pelo casco.

Sendo o escoamento incompressível e irrotacional, qualquer dos potenciais de

velocidades satisfaz à equação de Laplace:

02 =Φ∇ (3-3)

Para escoamentos permanentes e incompressíveis de fluidos invíscidos o campo

de pressões é dado pela equação de Bernoulli:

Czgp

=Φ∇Φ∇++ .2

1

ρ (3-4)

A constante C na equação (3-4) é válida em todo o domínio fluido.

Condições de Contorno

i) Impenetrabilidade do corpo rígido e não poroso:

0n

n =∂

∂=

ΦΦ em )y,x(hz = (3-5)

40

Onde )y,x(hz = representa a equação que descreve a superfície do casco.

Definindo-se a superfície do casco na forma implícita [ 0)y,x(hz)z,y,x(H =−= ], o

vetor normal pode ser explicitado usando-se a equação (3-6):

H

Hn

∇

∇= (3-6)

ii) Condição cinemática na superfície livre:

[ ] 0)U()y,x(zDt

Dyyxxz =−+−=− ζφζφφζ em z = ζ(x, y) (3-7)

Onde z = ζ(x, y) representa o equacionamento da superfície livre.

iii) Condição dinâmica na superfície livre:

[ ] 0U22

1g

2

z

2

y

2

xx =++++ φφφφζ em z = ζ(x, y) (3-8)

iv) Condição de contorno no fundo da região fluida:

xU)z,y,x(limz

=∞−→Φ (3-9)

v) Condição de contorno à jusante, no infinito:

xU)z,y,x(lim22 yx

=∞→+

Φ (3-10)

vi) Condição de contorno à montante no infinito: À montante, a condição ideal é

aquela que considera a ausência de ondas geradas, uma vez que a perturbação é gerada

apenas pela presença do casco. A única exceção é feita à vizinhança do ponto de

estagnação, cuja região é definida pelas coordenadas x,y que satisfazem à condição

( )0,0 →→ − yx . Em todas as demais regiões situadas a montante impõe-se a equação

(3-11):

0)y,x(z == ζ (3-11)

vii) Condições de popa e costado secos: ambas as condições devem ser impostas

de antemão, por representarem a condição mais provável na faixa de velocidades em

que operam as embarcações de semiplaneio. Por representarem a condição mais

provável, a imposição em conjunto das condições é necessária e essencial. A não

41

imposição de ambas apresenta a expectativa de produzir resultados imprecisos através

do modelo potencial, uma vez que a viscosidade desempenha um papel importante na

vizinhança das quinas na condição molhada.

viii) Condições de popa seca:

)y,L(hlim WLxxLWLx

=+→ζ (3-12)

)y,L(h)y,x(lim WLLWLx

=+→ζ (3-13)

As equações (3-12) e (3-13) são válidas para valores da variável y pertencentes à

superfície do fundo do casco.

ix) Condições de costado seco:

))x(b,x(hlim Qyy)x(by Q

=→

ζ (3-14)

))x(b,x(h)y,x(lim Q)x(by Q

=→

ζ (3-15)

As equações (3-14) e (3-15) são válidas para valores da coordenada x superiores

à coordenada xC onde se dá a imersão das quinas. Nelas, a função y=bQ(x) representa a

largura de quinas ao longo do comprimento do casco.

3.2 Características do modelo proposto

O problema definido no item anterior encontra-se situado entre dois regimes de

velocidades bem distintos: o regime definido para as embarcações tipo deslocamento e o

regime de planeio puro.

Nas velocidades mais baixas, dentro do regime característico das embarcações

tipo deslocamento, a energia dissipada pelo casco com a formação de ondas é pequena e

as deformações da superfície livre são desprezíveis. Neste caso, existem demonstrações

de que os modelos linearizados de solução do escoamento em torno deste tipo de

embarcações fornecem resultados satisfatórios como já mencionados na Introdução.

Nas velocidades muito altas, encontram-se as embarcações planadoras, que se

deslocam sobre a superfície da água em regime de planeio puro. Devido às

características desse tipo de escoamento e às linhas das embarcações que aí operam, a

energia despendida pelo casco com a formação de ondas é novamente desprezível, o que

faz com que a parcela devida ao atrito fluido volte a ser majoritária.

42

No entanto, nas velocidades intermediárias e à medida que ocorre a transição

entre o regime de deslocamento e o de semiplaneio, a parcela de energia dissipada pelo

casco para a formação de ondas é crescente. Especialmente no regime de semiplaneio,

as deformações da superfície livre são intensas, impondo a adoção de um modelo não

linear de solução para o escoamento em torno desse tipo de embarcação.

Antes da apresentação do modelo proposto para a solução do problema, os itens

seguintes discutem características importantes adotadas, analisando e justificando a

incorporação de premissas que garantam uma solução consistente e qualificada.

3.2.1 – Considerações quanto à forma de conduzir as iterações.

O objeto deste trabalho de tese é apresentar um modelo numérico de solução de

um problema no qual as contribuições não lineares não podem ser desprezadas,

conforme se discutiu anteriormente. A estratégia de solução do problema não linear

requer um método iterativo de solução. Surge, então, naturalmente, a questão de como

conduzir as iterações, de forma que o método apresentado permaneça estável e as

sucessivas soluções formem uma sequência convergente, aproximando-se da solução

ideal.

Os métodos iterativos requerem a adoção de uma aproximação ou solução

inicial, a partir da qual se darão as iterações seguintes. Partindo desta necessidade duas

questões se estabelecem: a primeira questão refere-se à forma de conduzir as iterações

em direção à solução, se através de um modelo estacionário ou transiente; a segunda

questão refere-se ao método iterativo propriamente dito. A seguir, essas questões serão

comentadas separadamente:

A opção pelo modelo transiente parte de uma condição inicial conhecida,

correspondente a uma condição conhecida. A partir desse ponto impõe-se uma variação

da velocidade de avanço, do repouso até a velocidade desejada. Geralmente, esta

condição inicial corresponde à situação em que a superfície livre é não perturbada, o

que ocorre para velocidade de avanço nula. No caso de uma embarcação tipo

deslocamento, esta solução inicial pode ser eficientemente aplicada.

No caso de embarcações tipo deslocamento, à medida que a velocidade de

avanço cresce, a deformação da superfície livre sofre pouca influência da viscosidade ao

longo da maior parte da superfície do casco, o mesmo acontecendo com o campo de

pressões. Ao contrário, os cascos semiplanadores experimentam uma situação bastante

43

diferente. À medida que a velocidade cresce, a deformação da superfície livre na

vizinhança das quinas do casco e nas proximidades do espelho de popa sofre uma

influência considerável da viscosidade, até que sejam atingidas as condições de costado

e popa secos. Uma vez que o modelo aqui proposto é potencial, o método transiente não

poderá ser empregado. Por outro lado, o método estacionário não apresenta este tipo de

restrição, tornando-se, portanto, a alternativa adequada para a composição da

metodologia de solução proposta.

Devido à sua simplicidade de execução numérica, opta-se nesta proposta de tese

por resolver o problema de valor de contorno não linear empregando-se o método das

perturbações. A fim de melhor controlar a convergência do processo de solução,

evitando que a magnitude das perturbações inviabilize a obtenção de uma sequência

convergente, uma sub-relaxação será imposta, tanto para a intensidade das densidades

de singularidades quanto para as elevações da superfície livre.

3.2.2 – Considerações quanto à forma de linearizar as condições de contorno na

superfície livre

Outra questão a ser discutida refere-se à forma de linearizar as condições de

contorno na superfície livre, bem como que solução inicial adotar, a fim de dar partida

no método iterativo. São comuns duas alternativas para se linearizar o problema de

valor de contorno e obter-se daí uma solução inicial. Ambas adotam um potencial de

base em torno do qual se darão as linearizações: a linearização de Neumann-Kelvin

utiliza o potencial do escoamento incidente como potencial de base; a linearização

baseada no escoamento em torno do casco duplo adota como potencial de base o

potencial de velocidades resultante do escoamento em torno de um corpo virtual,

composto pelo casco e sua imagem refletida acima da superfície livre não perturbada.

Devido às características do escoamento em torno de cascos semiplanadores, a opção do

casco duplo torna-se inadequada. Portanto, neste trabalho a linearização de Neumann-

Kelvin será adotada como solução inicial do problema.

O potencial de velocidades total será definido pela soma do potencial do

escoamento incidente e o difratado pelo casco:

φΦ += xU (3-16)

44

Onde Φ representa o potencial total; U a velocidade de avanço (constante) da

embarcação; e φ o potencial de velocidades difratado pelo casco. Nas iterações

seguintes, o potencial de velocidades difratado pelo casco será decomposto pela soma

do potencial conhecido, determinado na iteração anterior, e uma pequena perturbação

imposta em torno dele. O mesmo procedimento será adotado em relação às elevações da

superfície livre. As duas condições encontram-se expressas nas equações (3-17) e (3-18)

a seguir:

δφφφ += 0 (3-17)

δζζζ += 0 (3-18)

Nas expressões acima, 0φ representa o potencial de velocidades

calculado na iteração anterior e δφ uma pequena perturbação em relação a este valor.

De maneira análoga, a elevação da superfície livre 0ζ representa a elevação

determinada na iteração anterior, e δζ uma pequena perturbação em torno desta. Ambas

as perturbações serão processadas em cada iteração com a ajuda da estratégia das sub-

relaxações mencionadas anteriormente.

3.2.3 – Considerações quanto à formulação da terceira identidade de Green

Uma questão de grande importância para o desenvolvimento da solução do

problema refere-se às alternativas de formulações, direta ou indireta, da expressão da

terceira identidade de Green. Ambas as alternativas apresentam vantagens e

desvantagens. O método indireto formula o problema já em função das velocidades

induzidas, dispensando, portanto, a necessidade de derivação numérica do potencial.

A adaptação de uma superfície bicúbica paramétrica para o potencial de

velocidades faz com que a precisão do processo de derivação aumente

consideravelmente, no caso da adoção do método direto, embora a sua escolha

represente uma complicação relevante. Ainda que a superfície de contorno e a função

potencial sejam descritas por superfícies bicúbicas, a forma de equacionar o problema

incorpora a necessidade de executar aproximações que podem introduzir imprecisões

cumulativas no caso de um método iterativo.

Apesar dos inconvenientes de cada um, ambas as formulações são igualmente

possíveis de serem adotadas. No entanto, ainda que a proposta de solução através da

formulação indireta possa demandar um esforço computacional maior, ela permite a

45

incorporação das condições de contorno que definem o problema de uma forma mais

flexível e, portanto, mais adequada à solução do escoamento em torno de cascos

semiplanadores.

3.2.4 – Considerações quanto à forma de distribuir os painéis na fronteira

A adoção de um método de baixa ordem (painéis planos com densidade

constante de singularidades do tipo fontes e sumidouros no interior destes painéis) é

uma opção possível para o modelo de solução aqui proposto. No entanto, estudos

anteriores (HSIN, 1994) relatam o fraco poder de convergência dos métodos de baixa

ordem, quando confrontados com métodos de mais alta ordem.

Portanto, uma primeira característica do Método dos Elementos de Contorno

adotado na presente solução consiste na distribuição de painéis bicúbicos dotados de

densidade de singularidades também bicúbicas em seu interior. Neste caso, tanto a

geometria dos painéis quanto a distribuição de singularidades é definida por “B-Splines”

bi cúbicas, o que faz com que ambos possuam continuidade C2 em toda a fronteira da

região fluida. As condições de contorno são impostas na forma discreta em pontos-

campo convenientemente escolhidos no interior de cada painel.

Além disso, os painéis podem ser distribuídos sobre a verdadeira superfície nas

quais serão impostas as condições de contorno, ou sobre uma superfície livre

convenientemente deslocada. Esta última proposta constitui-se num método de painéis

deslocados em relação aos pontos campo, o que evita a solução de integrais singulares

(com significativa economia de tempo de processamento), na medida em que os pontos-

campo não mais ocupam o interior de painéis fonte. A adoção dessa abordagem

representa, sem dúvida alguma, um atrativo, uma vez que consiste em evitar a solução

de integrais singulares e na aplicação de um só algoritmo de solução para as integrais

que definirão os coeficientes de influência do problema discretizado. No entanto, para

que isto não acrescente desnecessariamente um mau condicionamento à matriz de

influência, o afastamento dos pontos campo em relação à superfície panelizada necessita

ser definido de uma forma muito cuidadosa, para evitar influências na qualidade da

solução.

Portanto, na presente solução, painéis de alta ordem serão distribuídos na

superfície verdadeira do casco da embarcação e na superfície livre aproximada a cada

iteração. A imposição das condições de contorno será feita em pontos-campo

46

pertencentes aos próprios painéis distribuídos na fronteira, o que implicará na solução

de integrais singulares na implementação do modelo numérico adotado. Esta última

opção decorreu das dificuldades e riscos associados à adoção do método das

singularidades elevadas.

3.2.5 – Considerações quanto à atualização da atitude do casco ao longo das

iterações.

A atitude do casco pode ou não ser atualizada a cada iteração (modelo livre ou

cativo), uma vez que o campo de pressões define uma força de sustentação capaz de

alterar a atitude do casco. Numa das confrontações de resultados elaborada por WANG

et al (1996), modelos que utilizam fontes de Kelvin e Rankine mantêm o modelo cativo.

A validação dos resultados obtidos pelo modelo mostra que a manutenção do modelo

fixo faz com que uma grande parcela da resistência deixe de ser incorporada, levando à

conclusão de que os efeitos de trim e afundamento são muito importantes para a

precisão dos resultados, o que evidentemente faz um grande sentido físico. No entanto,

há outras formas de manter o modelo cativo sem que ele ocupe a atitude inicial da

partida. Naquele caso, como a atitude final do casco é desconhecida, a condição de

partida foi mantida. O campo de pressões, que deveria ser utilizado para definir uma

nova atitude, definindo a partir daí um novo escoamento, deixa de ser empregado com

esta finalidade. Uma vez que a atitude adotada inicialmente pelo modelo numérico

dificilmente será coincidente com a atitude real, isso explica a divergência de resultados

obtidos por um modelo matemático que considera o casco cativo.

A adoção de um modelo que considere o casco livre em afundamento e trim é

possível e com certeza melhora a qualidade dos resultados obtidos em relação a um

modelo cativo. No entanto, para evitar que pequenos erros cometidos na avaliação da

força hidrodinâmica numa atualização da atitude possam se transformar em grandes

erros na avaliação da atitude final, à medida que o número de iterações cresce, optou-se

por adotar a atitude inicial do modelo físico ligeiramente modificada, com o propósito

de facilitar a validação.

Portanto, a proposta adotada no presente trabalho é a de manter o modelo cativo

na atitude final assumida pelo casco na condição de regime permanente. Note-se que a

maior parte dos resultados experimentais usados na validação de simulações numéricas

no regime de semiplaneio traz resultados de trim dinâmico e elevação do centro de

47

gravidade. Esses resultados podem ser combinados para traduzir a atitude do casco, uma

vez conhecida a condição de partida. Se o modelo for mantido cativo nesta posição, a

validação de resultados pode ser feita de forma mais fácil, permitindo que seja medida

de fato a sua capacidade de produzir resultados consistentes e precisos para o valor da

parcela da resistência devida às ondas. Então, com a finalidade de tornar o processo de

validação de resultados mais simples e coerente, o modelo físico empregado na fase de

aplicações será mantido cativo nas simulações executadas, atualizando-se apenas a

deformação assumida pela superfície livre.

3.2.6 – Considerações quanto ao número de pontos-campo por painel

Devido à diferença existente entre o número de pontos de controle necessários

para definir a forma da fronteira e o número de painéis empregados na discretização,

torna-se necessário definir a quantidade de pontos campo que existirão por painel. Neste

caso, as incógnitas do problema passam a ser os pontos de controle que definem a

densidade de singularidades no interior de cada painel, bem como a geometria de cada

um desses painéis. Duas posturas são, então, possíveis: definir apenas um ponto campo

por painel ou mais de um.

Ao formular numericamente o problema empregando-se mais de um ponto

campo por painel, chega-se sempre a soluções aproximadas, além de aumentar o esforço

computacional dedicado ao processo de solução. Se essa opção for a adotada, o método

dos mínimos quadrados pode fornecer a solução ótima, que melhor aproxima o sistema

de equações.

Ao definir apenas um ponto campo por painel surge a necessidade de acrescentar

condições adicionais, que nem sempre são as mais adequadas à solução do problema, se

essas condições adicionais forem artificiais. No entanto, essa opção traz consigo a

vantagem de conduzir a uma solução única, fazendo com que o problema seja

determinado, além da consequente economia de tempo de processamento. Ganha-se

também liberdade de obrigar o modelo a satisfazer condições adicionais que façam parte

da física do problema. Isso também pode ser feito na opção anterior, mas de uma forma

bem mais complicada. Portanto, opta-se no presente trabalho pela adoção de um ponto

campo por painel.

48

3.3 – Modelo linear – Solução inicial

Conforme mencionado na discussão acima, será adotada a formulação indireta

da terceira identidade de Green e a condução do processo de obtenção da solução inicial

será baseado na linearização de Neumann-Kelvin. Neste caso, o potencial de

velocidades que servirá de base para a linearização será simplesmente o potencial do

escoamento incidente.

As versões linearizadas das condições de contorno que serão impostas na

fronteira da região fluida seguem definições bem conhecidas e são dadas por:

Condição de impenetrabilidade do casco:

xn.Un

−=∂

∂φ em z = h(x, y) (3-19)

Onde z = h(x,y) representa a superfície do casco.

Condição cinemática linearizada na superfície livre:

A condição cinemática em sua forma exata é dada pela equação (3-20):

( ) 0U yyxxz =−+− ζφζφφ (3-20)

Nos regimes de velocidades definidos para números de Froude superiores a 0,4

(semiplaneio) as ondas geradas pelo casco são admitidas como ondas longas.

Admitindo-se esta hipótese, ao menos no campo distante do casco, podem ser aceitas

como pequenas as derivadas parciais das elevações nas direções x e y. Se as

componentes das velocidades difratadas pelo casco forem também admitidas como

pequenas no campo ao longe, então a equação (3-20) poderá ser linearizada na forma da

equação (3-21):

0U xz =− ζφ (3-21)

Condição dinâmica linearizada na superfície livre:

A condição dinâmica em sua forma exata é dada pela equação (3-22):

[ ] 0U22

1g

2

z

2

y

2

xx =++++ φφφφζ (3-22)

Admitindo-se as simplificações feitas acima, a condição dinâmica pode ser re-

escrita em sua forma linearizada como na equação (3-23):

49

0Ug x =+ φζ (3-23)

Acrescentam-se às condições de corpo e de superfície livre (cinemática e

dinâmica), as condições expressas pelas equações de (3-9) a (3-15), cujas imposições

serão discutidas adiante.

3.3.1 – Modelo numérico

Uma vez que o objetivo final deste trabalho não se restringe à solução linear,

mas à solução não linear do problema, alguns cuidados adicionais devem ser tomados

de forma a tornar a solução inicial mais adequada ao endereçamento de uma sequência

convergente de soluções. O processo que conduz à solução inicial, portanto, passa pela

discretização da malha, cálculo dos coeficientes de influência, preenchimento da matriz

de influência, e solução final.

3.3.1.1 – Discretização da Malha

A discretização da malha pode ser feita de duas formas diferentes: a primeira,

modelando matematicamente toda a fronteira como uma única região, e a segunda

separando o casco da superfície livre. A primeira forma simplifica bastante o

equacionamento do problema, pois uma vez conhecidos os pontos de controle que

interpolam os nós da malha inicial, a superfície fica definida por um só conjunto, o que

também simplifica o código computacional. No entanto, esta maneira de discretizar a

malha apresenta um risco que pode não ser percebido. É muito difícil que se encontre

uma deformação inicial que possa se unir com a superfície do casco sem provocar

efeitos indesejados de uma interpolação, que além de não corresponder à superfície real,

em geral desestabiliza o modelo matemático de solução. Isso ocorre devido à

continuidade C2, inerente às “B-Splines” bicúbicas. Esse problema, aparentemente,

poderia ser resolvido adotando-se superfícies biquadráticas, em vez de bicúbicas.

Apesar de serem também suscetíveis ao mesmo problema, é mais fácil ajustar uma

única condição, para satisfazer à continuidade C1, do que ajustar duas. Além disso,

devido ao menor número de pontos de controle que se excedem ao número total de

pontos-campo, haveria uma perda da liberdade de acrescentar equações adicionais, por

exemplo, à zona onde se impõe a condição de radiação. Ambas as soluções são

50

possíveis, embora cada uma tenha suas peculiaridades. A figura 3-5 mostra a primeira

seção transversal de um casco prismático quinado, logo após o ponto de estagnação. A

seção horizontal representa a superfície livre adjacente. Observe-se que diante da

necessidade de impor a continuidade C2 na emenda, adaptou-se uma curva que não

corresponde à realidade. Para evitar efeitos indesejáveis desse tipo, casco e superfície

livre são modelados separadamente.

Figura 3-5 - Modelação com superfície única na vizinhança do ponto de estagnação.

Qualquer que seja a solução adotada11 para modelar uma superfície única existe

ainda uma dificuldade adicional. Uma vez que o equacionamento do problema será feito

em torno de dois conjuntos de incógnitas – a deformação da superfície livre e a

densidade das singularidades no interior dos painéis – a posição dos painéis do casco,

que é conhecida a priori, se misturaria com as demais incógnitas, o que é

definitivamente indesejável.

Figura 3-6 - Coleta de pontos para interpolação da superfície livre

11 Haveria ainda a possibilidade de modelar uma superfície única através de “B-Splines” não uniformes, que são mais flexíveis para relaxar as condições de continuidade nos nós.

51

Neste caso, então, a superfície do casco será discretizada em separado. A forma

de coletar os pontos na superfície livre e no casco, na região de quinas secas e

submersas, para compor a malha inicial é mostrada na figura 3-6. A figura 3-7 mostra a

maneira de coletar os pontos na região adjacente ao espelho de popa. Quanto a esta

última região, é interessante que se observe que outros autores (TELSTE e REED,

1994) já mencionaram a importância de compor a malha da superfície livre adjacente ao

espelho de popa desta maneira, sob pena de prejuízo na qualidade dos resultados

alcançados.

Figura 3-7 - Coleta de pontos na vizinhança do espelho de popa

A forma de coletar os pontos pertencentes à superfície livre adjacente transversal

é diferente, conforme estejam na região do casco anterior à submersão da quina, ou

posterior, de acordo com o que sugere a figura 3-6. Note-se que o modelo de geração

dos pontos da malha da superfície livre inicial é meramente hidrostático, uma vez que o

ponto onde ocorre a submersão das quinas é determinado pelo encontro da superfície

livre não perturbada com a linha de distribuição das quinas. Já desde há muito tempo

esta questão é objeto de investigações e outros modelos incorporam aproximações,

como a proposta elaborada por Wagner (WAGNER, 1932), que admite um fator

constante para a elevação da superfície livre perturbada em relação à hidrostática. A

incorporação deste tipo de aproximação tende, aparentemente, a encurtar o processo

iterativo que conduz à solução não linear desejada, mas note-se que ela é aplicável

apenas à vizinhança da linha de estagnação, não havendo aproximações disponíveis que

forneçam informações sobre a forma como o restante da superfície livre se deforma.

Assim, demonstrou-se mais seguro partir de uma deformação inicial mais próxima da

hidrostática.

Uma vez coletados os pontos pertencentes à superfície que descreve a fronteira,

interpola-se uma “B-Spline” a este conjunto de nós (para detalhes, ver item 2.3.1).

52

Admitindo-se como conhecidos os pontos de controle que descrevem a superfície, a

expressão que descreve o painel de índice (I,J), na forma paramétrica, é dada por:

∑∑= =

+−+−=3

0i

3

0jj1J,i1IjiJ,I XC)t(B)s(B)t,s(X (3-24)

Onde:

s,t são as variáveis paramétricas;

I,J são os identificadores da localização do painel na malha;

Bi(s) e Bj(t) são as funções de base como definidas no capítulo 2;

XC é a matriz de pontos de controle para a coordenada X;

i,j são os contadores dos índices das funções de base.

Expressões análogas podem ser escritas para as coordenadas Y e Z.

De forma semelhante, a densidade de singularidades no interior de cada painel é

dada pela equação (3-25):

∑∑= =

+−+−=3

0i

3

0jj1J,i1IjiJ,I C)t(B)s(B)t,s( σσ (3-25)

Onde:

σ representa o valor da densidade de singularidade no interior do painel;

σC é a matriz de pontos de controle que dá a variação da função densidade σ.

O formato mais conveniente para a malha é o que discretiza a superfície em três

partes distintas: a superfície do casco; a superfície livre adjacente transversal; e a

superfície livre à ré do espelho de popa. Então, embora a forma de impor as condições

de contorno seja dependente da geometria à qual o modelo se aplica, as regiões que

compõem a malha são basicamente as mesmas, conforme ilustra a figura 3-8.

Figura 3-8 - Forma de compor a malha da região fluida

53

Na figura 3-8 a embarcação foi representada esquematicamente no formato

retangular apenas por comodidade, havendo um ponto de estagnação bem definido à

vante, onde a região à vante tem seu início, na direção transversal.

3.3.1.2 – Determinação dos coeficientes de influência

O desenvolvimento da solução do problema baseia-se nas seguintes condições

gerais, discutidas anteriormente:

a) Método Indireto;

b) Método de Alta Ordem;

i) Distribuição de singularidades no interior de cada painel de alta

ordem;

ii) Forma da superfície de cada painel de alta ordem;

c) Imposição em separado das condições de contorno na superfície livre, o que

resulta em dois grupos de incógnitas: pontos de controle da densidade de

singularidade e da deformação da superfície livre.

Desconsiderando-se a composição da superfície livre apenas para simplificar o

entendimento, cada malha de painéis possui nx divisões longitudinais e ny divisões

transversais. O contador da direção x é identificado por I e o da direção y designado J.

Vale recordar que esses contadores são os mesmos que identificam os painéis na malha,

na mesma forma proposta na figura 2-6 (capítulo 2) e pela equação (3-24).

Cada superfície é então uma função de duas variáveis x e y, de acordo com a

relação:

),( yxfz = (3-26)

As variáveis x e y, que compõem a malha, são dadas na forma paramétrica,

formando cada uma delas uma superfície bicúbica definida por funções “B-Splines”, de

tal forma que:

),,,( JItsXX = , ),,,( JItsYY = e ),,,( JItsZZ = (3-27)

No interior de cada painel é distribuída uma densidade de singularidades do tipo

fonte, onde a intensidade é dada parametricamente por:

),,,( JItsσσ = (3-28)

54

Note-se que qualquer que seja a função, seus valores no interior da superfície

dependem de uma matriz de pontos de controle, conforme mencionado ao longo do

capítulo 2. No interior do painel (I,J), cada uma dessas funções vale o expresso pela

equação (3-29), abaixo:

[ ]

=

+++++−+

+++++−+

++−

+−+−−−−

)t(B

)t(B

)t(B

)t(B

.

PPPP

PPPP

PPPP

PPPP

.)s(B)s(B)s(B)s(B)J,I,t,s(X

3

2

1

0

2j,2i1j,2ij,2i1j,2i

2j,1i1j,1ij,1i1j,1i

2j,i1j,ij,i1j,i

2j,1i1j,1ij,1i1j,1i

3210

(3-29)

Onde as funções B0(s), B1(s), B2(s) e B3(s) são as funções de base e a matriz [P]

representa os pontos de controle envolvidos na representação da superfície do painel.

Essa relação pode ser expressa de forma abreviada de acordo com a equação a seguir:

∑∑= =

+−+−=3

0

3

01,1)()(),,,(

i jjJiIji PtBsBJItsX (3-30)

A contribuição sobre o potencial de velocidades oferecido por um painel cuja

densidade de singularidades é conhecida é dado no método indireto pela conhecida

relação (HESS e SMITH, 1964):

∫∫=Sij

IJ

R

dSzyx

σφ ),,( (3-31)

Na equação acima, R representa a distância entre um ponto de índices (I,J),

situado no interior do painel fonte assim indexado, e um ponto campo12 de índice k, de

acordo com a equação (3-32):

222 )()()( kIJkIJkIJ ZZYYXXR −+−+−= (3-32)

Onde: XIJ dá a coordenada X de um ponto pertencente ao painel fonte;

YIJ e ZIJ são as coordenadas Y e Z, respectivamente.

O índice k identifica o ponto campo.

As velocidades induzidas por um painel em um ponto campo pertencente à

fronteira da região fluida são dadas pelas expressões:

12 Nesta versão há apenas um ponto campo por painel. Alguns autores (USHATOV et al (1994)) recomendam que haja mais de um ponto campo por painel. No entanto isso implica um sistema superabundante, que deve ser resolvido por aproximação. Disponibilizando um ponto campo por painel e acrescentando-se outras condições convenientes nas extremidades da região, o sistema passa a ser determinado e, portanto, dotado de solução única.

55

∫∫

∫∫

∫∫

−+−+−∂

∂=

−+−+−∂

∂=

−+−+−∂

∂=

SIJ kIJkIJkIJ

IJ

k

z

SIJ kIJkIJkIJ

IJ

k

y

SIJ kIJkIJkIJ

IJ

k

x

ZZYYXX

dS

z

ZZYYXX

dS

y

ZZYYXX

dS

x

222

222

222

)()()(

)()()(

)()()(

σφδ

σφδ

σφδ

(3-33)

Procedendo à derivação obtém-se as expressões:

∫∫

∫∫

∫∫

−+−+−

−=

−+−+−

−=

−+−+−

−=

SIJ kIJkIJkIJ

IJkIJ

z

SIJ kIJkIJkIJ

IJkIJ

y

SIJ kIJkIJkIJ

IJkIJ

x

ZZYYXX

dSZZ

ZZYYXX

dSYY

ZZYYXX

dSXX

3222

3222

3222

])()()[(

)(

])()()[(

)(

])()()[(

)(

σφδ

σφδ

σφδ

(3-34)

Observando-se que se a densidade de singularidades e a forma da superfície de

cada painel são dadas por superfícies bicúbicas paramétricas, então terá necessariamente

lugar uma mudança de variáveis, passando do domínio de integração (x,y) para o

domínio paramétrico (s,t).

Elemento de Integração:

( ) ( ) dtdsJtsZYtsZXdydxy

z

x

zdS IJIJIJ ***),(),(11 22

22

++=

∂

∂+

∂

∂+= (3-35)

Onde:

J é o Jacobiano da transformação;

stts yxyx

t

y

s

yt

x

s

x

J −=

∂

∂

∂

∂∂

∂

∂

∂

=|| (3-36)

( )tsstIJ zyzyJ

1

x

z)t,s(ZX −=

∂

∂= (3-37)

( )sttsIJ yxzxJ

1

y

z)t,s(ZY −=

∂

∂= (3-38)

Os índices X e Y foram omitidos e incorporados junto ao nome da variável nas

equações (3-35), (3-37) e (3-38) para não se misturarem aos índices I e J, causando má

interpretação.

56

Então, a contribuição do painel (I,J) sobre a velocidade difratada na direção x

pode ser expressa por:

[ ]∫∫

−+−+−

++−=

SijkIJkIJkIJ

IJIJkIJ

x

ZtsZYtsYXtsX

dtdsJZYZXXtsXJIts

3222

22

)),(()),(()),((

1)),((),,,(σφδ (3-39)

As expressões para as velocidades nas direções y e z são inteiramente análogas.

Incorporando-se as contribuições de todos os pontos de controle responsáveis

pela distribuição de singularidades no interior do painel, na forma prevista pela equação

(3-30), chega-se à expressão final da contribuição do painel (I,J) sobre a velocidade

difratada na direção x, no ponto campo k:

[ ]∑∑ ∫∫= =

+−+−

−+−+−

++−=

3

0i

3

0j Sij32

kIJ

2

kIJ

2

kIJ

2

IJ

2

IJkIJji

j1J,i1Ix

)Z)t,s(Z()Y)t,s(Y()X)t,s(X(

dtdsJZYZX1)X)t,s(X()t(B)s(BCσφδ

(3-40)

Na equação acima note-se a diferença existente entre a expressão ),,,( JItsσ ,

que dá a distribuição de singularidades no interior do painel (I,J), em função das

variáveis paramétricas s e t, e σC13iC,jC, que designa pontos de controle, através dos

quais se define a distribuição de singularidades, na mesma forma apresentada nas

equações (3-29) e (3-30).

Decorre da equação (3-40) que a velocidade difratada pelo painel (I,J) sofre a

influência de 16 pontos de controle, desde a ordem σCiC-1,jC-1 até a ordem σCiC+2,jC+2.

Em outras palavras, para formação desta contribuição apenas estes 16 pontos de

controle fornecem contribuição não nula. Ao contrário, um ponto de controle de ordem

jC,iCCσ influencia a contribuição de 16 painéis, iniciando-se na ordem (I-2, J-2) até a

ordem (I+1, J+1). Esse raciocínio conduz à formação do coeficiente de influência do

ponto de controle sobre a velocidade difratada. Se a velocidade total difratada no ponto

campo k for expressa na forma da equação (3-41):

jC,iC

k,jC,iC

2nx

0iC

2ny

0iCkx CXC σφ ∑ ∑

+

=

+

=

= (3-41)

Onde:

XCiC,jC,k representa a contribuição do ponto de controle σCiC,jC sobre a

velocidade difratada no ponto campo k; e

13 Os índices iC e jC designam contadores da matriz de pontos de controle, enquanto que os índices I e J são contadores da malha de painéis.

57

kxφ é a componente da velocidade difratada pelo casco na direção x.

Se o coeficiente do ponto de controle σCiC,jC puder surgir da contribuição dos 16

painéis vizinhos, a partir da re-escrita da equação (3-40):

∑∑ ∫∫= =

+−+−=3

0i

3

0i S

3

k,IJ

Xji

j1J,i1Ix

IJ)R(

dtds)k,J,I,t,s(N)t(B)s(BCσφδ (3-42)

Onde:

J.ZYZX1.)X)t,s(X()k,J,I,t,s(N2

IJ

2

IJkIJX ++−=

Então o coeficiente XCiC,jC,k pode ser determinado pela equação (3-43):

∑∑∫∫= = +−+−

+−+−=

3

0i

3

0j Sij3

k,j2J,i2I

Xji

k,jC,iC)R(

dtds)k,j2J,i2I,t,s(N)t(B)s(BXC (3-43)

Os multiplicadores dos pontos de controle que descrevem a deformação da

superfície livre são mais facilmente determinados, uma vez que não há necessidade de

integrar, apenas da derivação, no caso da avaliação das derivadas nas direções x e y,

constantes na condição cinemática na forma exata. Para o caso da mesma condição em

sua forma linearizada, apenas a derivação na direção x é necessária. Observe-se que as

expressões são simples e derivam da forma das equações (3-29), (3-30) e (3-37).

O exame das equações (3-41) e (3-42) mostra que na formação da velocidade

difratada sobre um ponto-campo, todos os coeficientes da equação são, ao menos em

princípio, não nulos. Ao contrário, para determinar a elevação da superfície livre e suas

derivadas parciais, apenas 16 dos coeficientes de influência dos pontos de controle que

definem a deformação no ponto são não nulos, em cada equação. Portanto, se os valores

da deformação da superfície livre e de suas derivadas parciais forem definidos na forma:

∑ ∑+

=

+

=

=2nx

0iC

2ny

0jCjC,iCjC,iCZETA)J,I,t,s(Z ζ (3-44)

∑ ∑+

=

+

=

=∂

∂ 2nx

0iC

2ny

0jCjC,iCjC,iCZETAX)J,I,t,s(Z

xζ (3-45)

Então os coeficientes de influência jCiCZETA , e jCiCZETAX , podem ser

determinados através das expressões:

+≤≤−+≤≤−

=+−+−

casooutroqualquerem0

)2JjC1J(e)2IiC1I(para)t(B)s(B

ZETA

1JjC1IiC

jC,iC

(3-46)

58

∂

∂−

∂

∂

=

casooutroqualquerem0

acimacomojCeiCpara)t(Bt

)s(By)s(Bs

)t(ByJ

1

ZETAXjisijt

jC,iC

(3-47)

É válido recordar que estas simplificações conduzem as equações (3-44) e (3-45)

ao formato proposto pela equação (3-30):

∑∑= =

+−+−=3

0i

3

0jj1Ji,1IjiIJ )t(B)s(Bt),s(Z ζ (3-44´)

∑∑= =

+−+−

∂

∂−

∂

∂=

3

0i

3

0jj1J,i1IjisijtIJ )t(B

t)s(By)s(B

s)t(By

J

1)t,s(ZX ζ (3-45´)

Integração numérica dos coeficientes de influência: A expressão matemática

contida na equação (3-43), apesar de aparentemente prática, não é, do ponto de vista

computacional. Isso acontece porque a adoção da equação implica na necessidade de

integrar mais de uma vez no mesmo painel, o que aumenta desnecessariamente o

esforço computacional. Se a determinação dos coeficientes de influência fosse feita

numericamente por meio da equação (3-43) haveria necessidade de voltar a integrar

repetidas vezes sobre um mesmo painel, à medida que fossem avaliados coeficientes de

influência de pontos de controle diferentes.

Portanto, a metodologia adotada é a seguinte:

1) Determina-se a contribuição do painel (I,J) sobre o ponto k, por meio da equação

(3-40). Esse processo de integração é conduzido também 16 vezes, mas sempre

na superfície de um mesmo painel;

2) Uma equação parcial se forma com 16 coeficientes não nulos;

3) Percorrem-se todos os painéis e determinam-se as contribuições de todos em

relação ao ponto campo k. Ao final haverá nx*ny equações, onde em cada

equação haverá 16 coeficientes não nulos.

4) Os coeficientes de influência que dão as contribuições dos pontos de controle em

relação ao ponto campo k são obtidos pela soma de todas as equações.

De acordo com procedimentos computacionais comumente adotados (HESS e

SMITH, 1964), o processo de integração numérica se dá de forma diferente, conforme a

posição relativa do ponto campo em relação ao painel. Caso a distância entre o ponto

59

campo e o centro do painel esteja a menos de uma diagonal, a integração é feita

aproximando-se o painel por retalhos planos, de acordo com a normal em cada ponto, e

avaliando-se a contribuição de cada retalho sobre o ponto campo. A contribuição de

cada retalho é avaliada adotando-se o valor médio da densidade σ em seu interior e

usando-se a formulação exata proposta por HESS e SMITH (1964).

Caso o ponto campo situe-se a uma distância entre uma e quatro diagonais, a

avaliação é feita usando-se a Quadratura Gaussiana com 5 pontos.

Por fim, no caso em que o ponto campo situe-se a uma distância maior do que

quatro diagonais, a integral reduz-se à forma da equação (3-48):

∑∑= =

+−+−

∆−=

3

0

3

01,13

))5.0,5.0((

i jjJiI

kIJ

x CR

SXXσφδ (3-48)

Onde R3 baseia-se na distância entre o centro do painel e o ponto campo;

∆S é a área do painel;

3.3.1.3 – Preenchimento da matriz de influência

De acordo com o formato escolhido para equacionar o problema, cada equação

será composta por dois grupos de incógnitas: um relativo às densidades de

singularidades e outro que se refere à deformação da superfície livre.

Condição de impenetrabilidade:

xzzyyxxn nUnnn −=++= φφφφ (3-49)

Aplica-se a cada ponto campo k, pertencente ao casco, na forma:

[ ]∑ ∑+

=

+

=

−=++3nx

1iC

3ny

1jCxkjC,iCzkk,jC,iCykk,jC,iCxkk,jC,iC nUCnZCnYCnXC σ (3-50)

Em todo ponto campo pertencente à superfície livre devem ser satisfeitas as

condições de superfície livre em suas formas linearizadas (cinemática e dinâmica):

Condição cinemática linearizada:

0=− xz U ζφ (3-51)

Cujo equacionamento numérico pode ser feito como expresso na equação (3-52):

0ZETAXUCZC2nx

0iCjC,iC

2ny

0jCk,jC,iC

2nx

0iCjC,iC

2ny

0jCk,jC,iC =

−

∑ ∑∑ ∑

+

=

+

=

+

=

+

=

ζσ (3-52)

60

Condição dinâmica linearizada:

0=+U

gx

ζφ (3-53)

Que pode ser equacionada numericamente através da equação (3-54):

0ZETAU

gCXC

2nx

0iCjC,iC

2ny

0jCk,jC,iC

2nx

0iCjC,iC

2ny

0jCk,jC,iC =

+

∑ ∑∑ ∑

+

=

+

=

+

=

+

=

ζσ (3-54)

Essas condições de contorno são impostas indiferentemente, quer o ponto-campo

seja pertencente aos painéis que compõem a região a vante, onde se impõe a condição

de radiação, ou mesmo ao restante da superfície livre. Adicionalmente, a fim de garantir

a satisfação da condição de radiação, e a consequente inexistência de ondas a vante do

casco, impõe-se na aresta transversal da primeira linha de painéis as seguintes

condições:

0=ζ (3-55)

0=xζ (3-56)

Os pontos de controle que determinam a superfície do casco são conhecidos a

priori. Isso justifica que haja apenas um conjunto de incógnitas a serem determinadas

através da condição de corpo.

Por outro lado, a cada ponto campo pertencente à superfície livre estão

associadas duas equações, havendo por isso dois grupos de incógnitas. Apesar disso,

observe-se que havendo nx * ny painéis, haverá (nx + 3)(ny + 3) incógnitas a

determinar, que são os pontos de controle. Para que o sistema de equações tenha solução

única, ele deve ser completado com condições adicionais. Essas condições são:

• Condições de partida para a imposição da condição de radiação:

Representadas pelas equações (3-55) e (3-56), associadas aos pontos de

controle que formam a aresta transversal da primeira linha de painéis a

vante do casco;

• Condições de extremidade: Impostas a pontos de controle escolhidos

convenientemente, na forma a seguir (Figura 3-9):

P0 , JC = P1 , JC (3-57)

Pnx+2 , JC = Pnx+1 , JC (3-58)

PiC , 0 = PiC , 1 (3-59)

PiC , ny+2 = PiC , ny+1 (3-60)

61

Essas equações aplicam-se tanto aos pontos de controle que definem o

potencial quanto aos que determinam a deformação da superfície livre e constituem-se

em condição padrão em interpolação através de “B-Splines” (CABRAL et al (1990),

USHATOV et al (1994)). São aplicadas sempre que as condições que representam a

física do problema não forem suficientes para a formação de um sistema possível e

determinado.

• Condições de popa e costado seco: Impostas formalmente, uma vez que

optou-se por separar o casco da superfície livre. Este equacionamento é

feito na forma das equações (3-12) a (3-15);

• Condições de continuidade: para garantir as continuidades C0 e C1 da

superfície livre nas emendas entre a região adjacente ao casco

transversalmente e a região situada à ré do espelho de popa.

• Condição de paridade: Garante a simetria com o plano y = 0 e é imposta

formalmente de acordo com as equações (3-61) e (3-62):

0=∂

∂

y

σ (3-61)

0=∂

∂

y

ζ (3-62)

As equações (3-61) e (3-62) são válidas na superfície livre e aplicáveis aos nós

situados sobre o plano y = 0.

Acrescentando-se as condições adicionais o sistema possui solução única,

fornecendo a densidade de singularidades e a deformação da superfície livre como

solução. As condições de contorno no fundo e a condição de contorno a jusante no

infinito – equações (3-9) e (3-10), respectivamente – são impostas assintoticamente.

62

Figura 3-9 - Pontos de Controle envolvidos na condição de extremidade.

Sistema de equações: Note-se que até aqui cada equação mencionada ainda não

vem sendo escrita na forma matricial. Tome-se, por exemplo, o primeiro termo do

primeiro membro da equação (3-54). Ele poderia ser escrito no formato matricial de

acordo com a expressão a seguir:

[ ][ ]∑ ∑+

=

+

=

=2

0,

2

0,

nx

iCjCiC

ny

jCjCiC CXCX σσ (3-54´)

Onde o termo [ ][ ]CX σ é um produto escalar vetorizado entre matrizes, definido

como na equação (3-54´).

Cada uma destas equações será re-escrita na forma matricial tradicional, para

que o sistema possa ser resolvido por um dos métodos de eliminação tradicional,

empregando pivotamento parcial. Note-se que pode ser escrita uma equação por ponto

campo. Esse conjunto de equações é completado pelas condições de extremidade,

formando um sistema possível e determinado, dotado de solução única.

Alcançada a solução inicial, através da imposição das condições de

superfície livre linearizadas, o processo iterativo que conduzirá à solução não linear

desejada pode ser iniciado.

63

3.4 – Modelo não linear A solução não linear será obtida através de processo iterativo que depende da

qualidade da solução inicial. O item anterior contemplou a forma de se chegar a essa

solução inicial. A discussão a seguir contempla o processo não linear propriamente dito,

desde a atualização da malha da superfície livre até a determinação da resistência ao

avanço.

Após a determinação da solução numa dada iteração, uma nova deformação da

superfície livre é conhecida. Nesta nova superfície livre é distribuída uma nova

densidade de singularidades, e impostas as condições de contorno, agora na versão não

linear. A forma de determinar os coeficientes de influência dos pontos de controle sobre

cada ponto-campo é semelhante à exposta no item anterior. Portanto, trata-se a seguir do

preenchimento da matriz de influência, quando é contemplada a forma de linearizar as

condições de contorno na superfície livre, em torno da iteração anterior.

3.4.1 - Condições de contorno

As equações (3-7) e (3-8) representam, respectivamente, as condições de

contorno cinemática e dinâmica nas formas exatas:

( ) 0=Φ−Φ+Φ+ zyyxxU ζζ (3-7)

[ ] 02

1Ug

2

z

2

y

2

xx =++++ ΦΦΦΦζ (3-8)

Durante a condução das iterações, o potencial total e a elevação da superfície

livre são decompostos por seus valores determinados na iteração anterior, mais uma

perturbação, suposta ser pequena:

δφφ +=Φ , com φδφ << (3-63)

δζζζ += 0 com 0ζδζ << (3-64)

Incorporando essas aproximações nas equações (3-7) e (3-8), é possível

equacionar o problema de duas formas diferentes: em função das incógnitas Φ e ζ ou em

função das perturbações δφ e δζ . Nesta solução, optou-se por equacionar o problema

em função do potencial Φ e da elevação da superfície livre ζ. Assim procedendo e

desprezando-se as contribuições de ordem superior, chega-se às equações (3-65) e (3-

66):

64

( ) yyxxzyyyyxxxx U 0000 ζφζφζφζζφζ +=Φ−+Φ+++Φ (3-65)

( ) [ ]222

2

1zyxzzyyxxUg φφφφφφζ ++=Φ+Φ+Φ++ (3-66)

Observe-se que para o caso em que o potencial φ seja nulo e a deformação

inicial ζ0 seja também nula, as expressões acima reduzem-se às condições de superfície

livre linearizadas (equações (3-21) e (3-23)). No extremo oposto, em que seja atingida a

solução com erro nulo, as expressões verificam as condições exatas das equações (3-7) e

(3-8).

Para que o problema possa ser iterativamente resolvido e os pontos de controle

σC e ζ determinados, é necessário que se estabeleçam as versões numéricas das

equações (3-65) e (3-66). Há um par destas equações para cada ponto-campo,

lembrando que há apenas um ponto campo por painel.

Condição cinemática:

( )

yyxx

2nx

0iC

2ny

0jCjC,iCjC,iC

2nx

0iC

2ny

0jCjC,iCk,jC,iCy

2nx

0iCjC,iC

2ny

0jCk,jC,iCy0

2nx

0iCjC,iC

2ny

0jCk,jC,iCx

2nx

0iC

2ny

0jCjC,iCk,jC,iCx0

CZC

ZETAYCYC

ZETAXUCXC

ζφζφσ

ζφσζ

ζφσζ

+=

−

+

+

++

∑ ∑

∑ ∑∑ ∑

∑ ∑∑ ∑

+

=

+

=

+

=

+

=

+

=

+

=

+

=

+

=

+

=

+

=

(3-67)

Condição dinâmica:

( )

[ ]2

z

2

y

2

x

2nx

0iC

2ny

0jCjC,iCk,jC,iCz

2nx

0iCjC,iC

2ny

0jCk,jC,iCy

2nx

0iC

2ny

0jCjC,iCk,jC,iCx

2nx

0iCjC,iC

2ny

0jCk,jC,iC

2

1CZCCYC

CXCUZETAg

φφφσφσφ

σφζ

++=

+

+

++

∑ ∑∑ ∑

∑ ∑∑ ∑

+

=

+

=

+

=

+

=

+

=

+

=

+

=

+

= (3-68)

Todas as condições adicionais aplicáveis à solução do problema linear são

igualmente empregadas no problema não linear. Da mesma forma, o trabalho de

determinação dos coeficientes de influência é o mesmo, uma vez que os coeficientes

que definem as velocidades difratadas estão unicamente associados à malha, e não ao

caráter linear ou não das condições de contorno que definem o problema.

65

Sub-relaxações: Neste trabalho o nível de sub-relaxação adotado é mantido

constante em cada processamento, podendo ser alterado manualmente, conforme seja

necessário. A referência para cada grupo de pontos de controle é:

Elevações da superfície livre: hRζδζ =max (3-69)

Densidade de singularidades: π

δσ σ 2max

UR= (3-70)

Onde: h é a imersão da quilha no espelho de popa;

U é a velocidade do escoamento incidente;

Rζ e Rσ são os respectivos índices de sub-relaxação.

Note-se que devido à sub-relaxação referir-se aos pontos de controle, e devido

ao controle local, a alteração do ponto de controle de ordem (I,J) afeta apenas a

vizinhança do painel (I,J).

Critério de parada: O processo iterativo é interrompido e a solução considerada

ideal quando as condições descritas pelas equações (3-71) e (3-72) forem alcançadas:

( )π

σδ2

Ukmax < (3-71)

( ) hkmax <ζδ (3-72)

Onde:

( ) [ ]i

jC,iC

1i

jC,iC CCmaxmax σσδσ −= +

( ) [ ]i

jC,iC

1i

jC,iCmaxmax ζζδζ −= +

O índice sobrescrito identifica a iteração e k é um coeficiente ligado ao erro

máximo, previamente estabelecido.

3.5 - Cálculo da resistência ao avanço

A parcela da resistência total devida às ondas geradas pelo casco é igual à

integral do campo de pressões, decomposta na direção do movimento:

∫∫−=SB

xW dS.n.PR δ (3-73)

Onde:

RW – Resistência de onda;

δP – Diferença entre a pressão atuante no painel e a atmosférica (equação 3-74);

66

nx – Componente da normal na direção do movimento;

O campo de pressões pode ser determinado através do potencial de velocidades

pela equação (3-74):

[ ] zgUP

x −∇+−=2

22

1φφ

ρ

δ (3-74)

E o coeficiente de Resistência de Ondas pode ser obtido por:

2

2

US

RC

f

WW

ρ= (3-75)

Onde:

CW – Coeficiente de resistência de onda;

Sf – Superfície molhada do fundo.

67

4. Aplicações Numéricas: Validação e Simulações

4.1 – Introdução

Neste capítulo são discutidos os resultados obtidos pelo modelo quando aplicado

a cascos prismáticos quinados. O modelo pode ser aplicável a qualquer geometria, com

pequenas alterações do algoritmo. No entanto, a geometria prismática quinada foi

escolhida, principalmente, pela quantidade e qualidade dos resultados disponíveis na

literatura especializada. Neste trabalho serão utilizados resultados bastante consistentes

apresentados na referência publicada por FRIDSMA (1969).

Inicialmente são discutidos resultados numéricos que incorporam a condição de

modelo cativo. Neste caso, adota-se a atitude inicial do modelo em repouso, a fim de

motivar o estudo de influência da atitude do casco sobre os resultados. Posteriormente, a

fim de facilitar a validação de resultados, a atitude será modificada impositivamente,

fazendo-a coincidir com a condição do equilíbrio dinâmico durante a realização dos

ensaios.

A análise comparativa dos resultados conclui que o modelo numérico pode ser

satisfatoriamente aplicado à predição da resistência de ondas de cascos quinados.

4.2 – Resultados Experimentais empregados na validação.

FRIDSMA (1969) conduziu ensaios com modelos prismáticos de

diferentes comprimentos e ângulos de pé de caverna, em diversas condições de

carregamento. Nesses ensaios, a boca de todos os modelos é constante, e o comprimento

dos cascos múltiplo inteiro do valor da boca: 4, 5 e 6 vezes. A geometria da proa foi

definida de modo a garantir uma singradura suave nos ângulos de trim mais baixos e

para as condições de velocidade onde a atitude do casco não difira muito da posição de

equilíbrio hidrostático. O volume dos cascos é rigorosamente prismático, exceto ao

longo do comprimento da roda de proa (figura 4-1).

A figura 4-1 mostra perfil e seção transversal típicos, e a tabela 4-1 relaciona as

características dos modelos ensaiados no trabalho (FRIDSMA, 1969) e empregados na

validação do modelo numérico. A tabela 4-2 define as condições em que os resultados

dos ensaios empregados na validação foram realizados. Em cada condição considerada,

68

o modelo foi rebocado em velocidades correspondentes aos números de Taylor14 de 1 a

6, tomando-se por base o comprimento total do modelo. No entanto, a faixa de

velocidades de interesse para validação do modelo numérico desenvolvido no presente

trabalho de tese é a contida entre os números de Taylor 1,5 a 3. Em muitas condições de

ensaio divulgadas na referência (FRIDSMA, 1969) a velocidade correspondente ao

número de Taylor 1,0 foi omitida. Por esta razão, as simulações utilizadas para

validação do modelo numérico aqui proposto iniciam-se no número de Taylor 1,5.

Figura 4-1 Representação de um dos modelos. Dimensões em metros.

Tabela 4-1 – Características dos modelos de casco empregados na validação

Características Comuns:

B = 9”;

LP = B

VCG = 0,294 B

Dimensões Específicas:

Modelo 1: Ângulo de Pé de Caverna: β = 10º

Comprimento: L = 45 polegadas (5B)






Comprimento: L = 54 polegadas (6B) 14 LV / , com a velocidade de avanço (V) expressa em nós e o comprimento da embarcação (L) em pés.

69



Tabela 4-2 – Condições de Carregamento / Atitude Inicial dos modelos

Modelo Peso (N) LCG h0 (m) t0 1 106,8 0,60 L 0,071 1,6º 2 35,6 0,65 L 0,052 1,6º 3 71,2 0,65 L 0,072 2,2º 4 71,2 0,65L 0,064 1,6º 5 106,8 0,60L 0,095 1,7º

Nas tabelas 4-1 e 4-2 adotou-se a seguinte nomenclatura:

L – Comprimento total do modelo;

LP – Comprimento da Roda de Proa;

B – Boca máxima15;

β – Ângulo de pé de caverna;

LCG – Posição longitudinal do centro de gravidade;

VCG – Posição vertical do centro de gravidade acima da quilha.

A simulação numérica discutida nos itens 4.3 e 4.4 considerou a atitude do

modelo em repouso, a fim de proporcionar uma validação consistente na condição de

modelo cativo. Após o estudo de influência da atitude sobre os resultados, a atitude será

modificada a cada velocidade para coincidirem com os apresentados em regime

permanente.

O trabalho publicado por FRIDSMA (1969) disponibiliza também resultados da

resistência total ao avanço em águas tranquilas. A partir daí, a parcela da resistência

devida à formação de ondas foi aproximada pela resistência residual. O método

empregado para estimar a parcela friccional adotou a linha proposta pelo ITTC (1957).

Observa-se ainda que efeitos relacionados com variações da área molhada nas

velocidades mais altas e a ocorrência de “spray” não foram inicialmente consideradas.

Portanto, pequenos desvios na comparação dos resultados aqui discutidos podem ser

assim justificados. De qualquer forma, a própria comparação indicará a consistência e

qualidade dos resultados analisados.

15 Devido ao ângulo de costado ser nulo, a boca máxima corresponde à máxima largura das quinas do modelo.

70

4.3 – Influência da Malha

Preliminarmente, a discussão apresentada nesta seção avaliará a influência do

grau de discretização da malha sobre a precisão dos resultados numéricos obtidos. O

estudo não inclui a influência da extensão da superfície livre panelizada, contemplando

apenas o grau de discretização da fronteira. A extensão da superfície livre panelizada

neste trabalho está definida na tabela 4-3, a seguir:

Tabela 4-3 – Extensão panelizada na superfície livre

Extensão longitudinal 5 LH

Extensão transversal 2 LH

Onde: LH = Comprimento molhado do casco;

Cabe observar que embora o esforço computacional empregado na solução de

alta ordem seja maior, por conta da elevada complexidade do algoritmo, isto pode ser

compensado pelo grau de discretização da malha, que tende a ser inferior, considerando-

se um mesmo nível de precisão dos resultados (HSIN et al (1994)). Observe-se, no

entanto, que o aumento do grau de discretização da malha sobrecarrega mais o

algoritmo de alta ordem do que o de baixa ordem. Devido ao problema envolver dois

grupos de incógnitas acopladas, ao ser escolhida uma malha de nx painéis na direção

longitudinal e ny painéis na direção transversal, são automaticamente definidos dois

grupos de incógnitas contendo (nx + 3)(ny + 3) pontos de controle em cada grupo. Esses

motivos justificam o estudo que neste item é conduzido. Além disso, uma malha mal

composta pode desestabilizar o algoritmo de solução.

4.3.1 – Condição de teste para estudo da influência da malha.

Para se estudar a influência do grau de discretização da malha sobre a precisão

dos resultados e buscar definir a configuração a ser empregada nas simulações, adotou-

se a condição de ensaio definida a seguir:

Modelo 3:

Ângulo de pé de caverna: 20º

Comprimento: L = 45” (1,143m)

Imersão da quilha na popa em repouso: h = 0,072m

Trim estático: t = 2,2º

Velocidade do modelo: V = 4,8 nós

71

As figuras 4-2 a 4-4, a seguir, identificam cada uma das malhas empregadas

neste estudo de influência.

Figura 4-2 – Discretização da malha com 720 painéis


72


É necessário observar que esta quantidade de painéis utilizada na discretização

não considera os painéis que foram distribuídos à vante do casco, onde será imposta a

condição de radiação. Observe-se ainda que a região situada por ante a ré do espelho de

popa inicia-se exatamente no prolongamento do fundo a partir daí. A adoção deste tipo

de malha é muito importante. Analisando-se outros tipos de malhas chegou-se à

conclusão que uma malha inicial contínua é determinante para a estabilidade do

algoritmo e na consequente geração de uma sequência convergente. A malha

discretizada a partir da superfície livre não perturbada, por exemplo, foi analisada e não

apresenta condições de produzir resultados. Observe-se que neste caso existiriam

descontinuidades consideráveis entre as arestas de fuga e de costado e a superfície livre,

por exemplo, que comprometem a produção de resultados.

A figura 4-5 mostra resultados para 3 diferentes condições de análise. Os

resultados apresentados foram calculados para três graus de discretização diferentes:

720, 1280 e 200016 painéis. Os resultados apresentados na figura 4-5 mostram um ganho

de precisão inferior a 3% ao passar-se do grau de discretização equivalente a 1280

painéis para 2000 painéis. Desse exame se conclui que o modelo apresenta

convergência adequada para as discretizações a partir de 1280 painéis.

16 Considerando-se ambos os lados em relação ao plano de simetria.

73

Influencia da Malha

0,00

0,50

1,00

1,50

2,00

2,50

3,00

720 1280 2000

NP

RW

RW

Figura 4-5 - Influência da malha sobre a precisão dos resultados

4.4 – Comparações com resultados obtidos pelo modelo linear

Antes de comparar os resultados obtidos pelo modelo não linear com os obtidos

pela solução de base linearizada é interessante identificar quais parâmetros influenciam

mais fortemente as não linearidades no escoamento que se pretende modelar. Neste

caso, pode-se observar que as não linearidades concentram-se na vizinhança da aresta

de ataque e nas adjacências do espelho de popa. Nesta última região, constata-se que

quanto mais profunda for a imersão do espelho, devido às bruscas mudanças de direção

que as linhas de corrente sofrem nesta região, mais fortes serão as não linearidades

(RAVEN, 1996). Mais adiante se observará que o grau de imersão da popa, medido pelo

adimensional FnTR (ver tabela 4-4), é determinante para a ocorrência da secagem da

popa. A imposição dessa condição, em correspondência com sua efetiva verificação no

escoamento, é essencial para o sucesso da modelação do escoamento em torno de

embarcações semiplanadoras.

Pequenos ângulos de pé de caverna também contribuem para diferenças na

comparação dos resultados numéricos linear e não linear porque influenciam tanto na

formação de uma linha de estagnação mais intensa quanto tendem a manter a imersão

74

do espelho. Por fim, a velocidade também incorpora diferenças entre os resultados

comparados, tanto para a perturbação da superfície livre quanto pelo seu efeito no

campo de velocidades difratadas pelo casco.

A condição utilizada para comparar os resultados obtidos pelos dois modelos

matemáticos simula resultados de resistência de ondas associados ao modelo 4, na faixa

de números de Taylor de 1,5 a 3, cujas correspondentes velocidades são mostradas na

tabela 4-4 e figura 4-6. As demais características são descritas a seguir:

Ângulo de pé de caverna: 20º

Comprimento do modelo: 54” (1,372m)

Imersão da popa em repouso: 0,064 m

Trim em repouso: 1,6º

Peso: 71,2 N

Tabela 4-4 – Resultados comparativos entre modelo linear e não linear

L/Vk Vk Fntr RW/W (l) RW/W (nl) δ (%)

1.5 3,2 2,07 0,022 0,027 22,7 2 4,2 2,73 0,027 0,035 29,6

2.5 5,3 3,44 0,033 0,044 33,3 3 6,4 4,15 0,038 0,054 42,1

Comparação Linear x Não Linear

0

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

1 2 3 4

Número de Taylor

RW

/ W RW (linear)

RW (não linear)

Figura 4-6 – Comparação entre resultados obtidos pelos modelos linear e não linear

75

Onde:

hg

UFntr = Número de Froude associado à imersão da quilha na popa;

h – Imersão da quilha do modelo na popa;

Vk – Velocidade do modelo em nós;

Rt – Resistência total ao avanço;

RW – Resistência de ondas;

W – Peso do modelo.

δ – Ganho medido pelo quociente 1Rw

Rw

L

NL −

Os índices (l) e (nl) referem-se, respectivamente, aos resultados lineares e não

lineares obtidos para o modelo cativo na atitude correspondente à condição de repouso.

A análise dos resultados mostra que há desvios significativos entre os resultados obtidos

pelos modelos linear e não linear em todas as velocidades simuladas. Uma vez que o

modelo físico é cativo em trim e em afundamento, o único parâmetro de influência

aparente no estudo comparativo da tabela 4-4 e da figura 4-6 é a velocidade. Esses

resultados demonstram que pode haver ganhos significativos quando se adota o modelo

não linear. O objetivo da tabela 4-4 e da figura 4-6 foi então fornecer uma simples

comparação entre os resultados obtidos pelos dois modelos numéricos, e a identificação

dos eventuais desvios existentes entre as duas soluções.

4.5 – Influência da atitude

O modelo de solução desenvolvido no presente trabalho produz resultados

considerando modelos cativos. No entanto, espera-se que a adoção da condição de

modelo cativo influencie consideravelmente os resultados da resistência de ondas para

modelos quinados, pois nessas embarcações se desenvolvem importantes forças de

sustentação dinâmica, uma das principais responsáveis no equilíbrio dinâmico do casco.

Entendendo-se que a extensão da superfície molhada determina efeitos sobre

intensidade da resistência ao avanço, então a variação da atitude influenciará a precisão

e a qualidade dos resultados.

Uma forma simples de se avaliar essa influência utiliza os resultados

considerando os efeitos de elevação do centro de gravidade e trim dinâmico divulgados

por FRIDSMA (1969) para o regime permanente. Resolvendo-se o escoamento em

76

torno da embarcação para a atitude em regime permanente pode-se então observar até

que ponto a incorporação da condição de modelo livre influencia a precisão dos

resultados.

Para condução desta comparação aproveitou-se o conjunto de resultados obtidos

no item anterior. A resistência de ondas é obtida para atitudes e velocidades diferentes.

A atitude usada na simulação aproveita-se da nova condição de afundamento e trim, em

cada velocidade considerada. A tabela 4-5 e figura 4-7 confrontam os resultados obtidos

nas duas condições, além de apresentar também a atitude em regime permanente.

Tabela 4-5 – Influência da atitude sobre os resultados produzidos

Vk hf (m) tf º RW/W (c) RW/W (L) δ (%)

3,2 0,075 2,6 0,027 0,037 37,2

4,2 0,083 3,5 0,035 0,058 65,9

5,3 0,082 3,7 0,044 0,063 43,1

6,4 0,075 3,8 0,054 0,059 9,3

Cativo x Livre

0,000

0,010

0,020

0,030

0,040

0,050

0,060

0,070

3,2 4,2 5,3 6,4

V - nós

RW

/ W

NL - cativo NL - "livre"

Figura 4-7 – Comparação de resultados obtidos nas condições de modelo cativo e livre

Na tabela 4-5 adotou-se a seguinte nomenclatura:

hf – Afundamento da aresta de fuga no regime permanente;

77

tf – Trim dinâmico do casco em regime permanente.

δ – Ganho percentual ao passar do modelo cativo para o livre.

Os índices (e), (c) e (L) indicam os resultados experimentais, na condição de

modelo cativo e livre, respectivamente.

Embora a incorporação da condição de modelo livre tenha sido simplificada,

adicionando-se à simulação a atitude do modelo em regime permanente, ainda assim, o

exame dos resultados apresentados acima permite que seja avaliada a influência da

correção da atitude sobre a qualidade dos resultados. A comparação correta deveria

incorporar o cálculo do equilíbrio dinâmico a partir da condição de modelo cativo, o que

aumentaria a complexidade do algoritmo a desenvolver, e dificultaria a validação dos

resultados. Desse exame, algumas conclusões serão comentadas a seguir:

1) Para baixas velocidades, no regime próprio das embarcações tipo

deslocamento, não há desenvolvimento de forças de sustentação

significativas, não sendo esperadas, portanto, grandes diferenças entre os

resultados produzidos pelos dois modelos numéricos. No entanto, à medida

que se aproxima o regime de semiplaneio, observam-se forças de sustentação

negativas, que reduzem a altura do centro de gravidade e aumentam a parcela

da resistência de ondas. Isso justifica os maiores desvios entre os resultados

produzidos pelos modelos cativo e livre, até o número de Taylor 2,0.

2) À medida que a velocidade cresce, dentro do regime de semiplaneio, eleva-

se o centro de gravidade por causa do desenvolvimento de forças de

sustentação positivas. No início, observa-se que o aumento da velocidade

diminui os desvios entre os resultados produzidos pelos dois modelos

numéricos. No entanto, os desvios serão decrescentes até que a atitude fixa

do modelo cativo seja alcançada. A partir deste ponto, haverá novamente um

distanciamento entre os resultados produzidos pelos dois modelos

numéricos.

3) A constatação da boa qualidade dos resultados obtidos pela incorporação da

atitude do modelo na simulação indica que o cálculo do equilíbrio dinâmico

pode ser bem sucedido, caso a atitude seja atualizada ao longo das iterações.

78

4.6 – Resultados de simulações

O item anterior demonstrou que a atitude influencia fortemente a qualidade dos

resultados obtidos pelo método proposto neste trabalho de tese. A abordagem

inicialmente desenvolvida neste capítulo concentrou-se em resolver o problema definido

utilizando-se da condição de modelo cativo e dotado de uma mesma atitude ao longo

das iterações numéricas. No entanto, a fim de facilitar a validação da ferramenta

proposta neste trabalho, isolando da análise dos resultados obtidos os erros devidos à

não atualização da atitude, propõe-se que a condição de modelo cativo seja alterada,

adotando-se em cada velocidade a atitude que o modelo físico desenvolveu em regime

permanente.

O modelo matemático aqui discutido incorpora as condições de popa e de

costado secos, por serem ambas condições esperadas para este regime de velocidades.

Os modelos e condições de teste utilizados para validação da ferramenta são como

identificados nas tabelas 4-1 e 4-2. A penúltima coluna das tabelas 4-6 a 4-10 e os

pontos em forma de triângulo nas figuras de resultados numéricos apresentam uma

estima da resistência de ondas quando a parcela devida ao “spray” é incluída no cálculo

da resistência de origem viscosa. Observe-se que a resistência de ondas experimental é

usualmente obtida extrapolando-se seu valor a partir da resistência ao avanço. A

metodologia comumente empregada é a proposta pelo ITTC (1957), que admite ser a

parcela devida à formação de ondas aproximadamente igual à diferença entre a

resistência ao avanço e a parcela friccional. Nas embarcações tipo deslocamento a

parcela devida ao atrito é comumente aproximada pelo arrasto atuante numa placa plana

de mesmo comprimento que a embarcação e dotada de mesma superfície molhada. No

entanto, nas embarcações semiplanadoras, esta não é a única parcela que compõe a

resistência friccional. Devido à formação de jatos de “spray” junto à aresta de ataque,

deve-se acrescentar à resistência friccional uma parcela do arrasto devida à formação do

“spray”.

Apesar do caráter inercial da resistência devida à formação do “spray”

(quantidade de movimento entregue ao fluido pelo casco), esta parcela é calculada por

atrito, supondo que a energia recebida pelo fluido é dissipada com o casco ao molhar a

extensão da superfície molhada à vante da aresta de ataque.

A parcela devida à formação do spray pode ser então quantificada pela equação

(4-1):

79

).(..2

1 2ffRS CCSUR δρ += (4-1)

Onde:

Cf – Coeficiente de atrito sugerido pela linha do ITTC (1957).

δCf – Correção devida à rugosidade proposta por Schoenherr, quando for

aplicável.

SR – Superfície do casco molhada pelo “spray”.

Por sua vez, a superfície molhada pela “spray” pode ser estimada através da

equação (4-2), proposta por SAVITSKY (1964):

−=

)cos().(tg.4

1

)(tg.

)(tg.

2

BS

2

RβΦτπ

β (4-2)

Onde:

1.1

1)(

kA

kAtg

−

+=Φ

( )

)().(.)cos(

)()(

1).(..21).( 2

2222

τττ

τβ

ττ

sintgK

sinsin

tgKKsin

A+

−+−

=

)(

)(.1

β

τ

sin

tgKk = e

−−≈

π

ββ

π

ββπ

.3.3

)().(

.7.1

)cos().(.31.

2

2

2

2 sintgtgK

A inclusão da estima desta parcela será útil à compreensão da qualidade dos

resultados na análise feita adiante.

Além dos resultados obtidos pelo modelo matemático aqui proposto para a

magnitude da resistência de ondas, apresentam-se também os resultados obtidos para a

deformação da superfície livre. Vale observar que a imposição das condições de

contorno de superfície livre foi feita separadamente, tendo sido gerados dois grupos de

incógnitas: um para a densidade de singularidades e outro para a deformação da

superfície livre imposta pela perturbação causada pelo deslocamento do casco sobre ela.

As ilustrações foram produzidas no programa AutoCAD® a partir de “scripts”

programadas pelo autor e gravadas com os resultados das simulações. Uma vez que a

malha é produzida por renderização, pequenas imperfeições podem aparecer em alguns

pontos isolados, particularmente onde se unem as regiões adjacentes ao casco

80

transversalmente e longitudinalmente, a ré do espelho de popa. Também é importante

ressaltar que os resultados apresentados para as deformações da superfície livre não

foram magnificados, sendo, portanto, divulgados em verdadeira grandeza. Por fim,

observa-se que apenas a região do casco molhada pelo escoamento é representada, a fim

de facilitar a observação dos resultados produzidos.

Tabela 4-6 – Condição de Teste 1 – Modelo 1

Vk Fntr hf(m) tfº RWNL/W RWE/W RWS/W ε (%) 2,9 1,32 0,085 2,6 0,056 0,081 0,080 30 3,9 1,98 0,105 5,1 0,094 0,123 0,122 22,9 4,8 2,45 0,104 5,7 0,103 0,116 0,114 9,6 5,8 3,06 0,097 5,9 0,099 0,109 0,107 7,5

Nas tabelas 4-6 a 4-10 adotou-se a seguinte nomenclatura:

Q – Número de Taylor ft

k

L

V= ; RWS – Resistência de Ondas considerando “spray”

ε – Erro cometido.

Resistência de Ondas Experimental x Calculada

0,000

0,020

0,040

0,060

0,080

0,100

0,120

0,140

2,9 3,9 4,8 5,8

V (nós)

RW

/ W

RW(não linear) RW(exp - s/ spray) RW(exp - c/ spray) Figura 4-8 – Resultados obtidos para a condição de teste N.º 1

Condições do Teste 1: Ângulo de pé de caverna – β = 10º;

Razão Comprimento/Boca: L / B = 5;

Posição Longitudinal do Centro de Gravidade: 0,60L;

Peso do Modelo: W = 106,8 N;

Imersão da quilha do modelo na popa em repouso: ho = 0,071m;

Ângulo de trim estático: to = 1,6º

81

Figura 4-9 – Deformação da superfície livre – Modelo 1 – V = 2,9 nós.

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.50.1

0

0.1

zsj

xsj

Figura 4-10 – Perfil da onda gerada após o espelho na linha de centro – Modelo 1 – V = 2,9 nós.


1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.50.2

0.1

0

0.1

zsj

xsj


82


0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50.15

0.1

0.05

0

0.05

zsj

xsj



0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50.1

0.05

0

0.05

zsj

xsj


83


Vk(nós) Fntr hf(m) tfº RWNL/W RWE/W RWS/W ε (%)

2,6 1,74 0,060 3,1 0,045 0,061 0,056 19,6

3,5 2,22 0,067 4,3 0,070 0,087 0,081 11

4,3 2,73 0,067 4,8 0,076 0,085 0,077 1,3

5,2 3,46 0,061 4,9 0,075 0,085 0,074 1,3


0,000

0,010

0,020

0,030

0,040

0,050

0,060

0,070

0,080

0,090

0,100

2,6 3,5 4,3 5,2

V (nós)

RW

/ W

RW(não linear) RW(exp - s/ spray) RW(exp - c/ spray)

Figura 4-17 – Resultados obtidos para a condição de teste N.º 2

Condições do teste N.º 2:

Ângulo de pé de caverna – β = 20º;

Razão comprimento boca – L/B = 4;

Posição longitudinal do centro de gravidade – LCG = 0,65L;

Peso do modelo – W = 35,6 N;

Imersão da quilha do modelo na popa em repouso – ho = 0,052m;

Ângulo de trim estático – to = 1,6º;

84




0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40.1

0.05

0

0.05

zsj

xsj


0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 0.1

0.05

0

0.05

zs j

xsj

85


0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40.1

0.05

0

0.05

zsj

xsj



0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.60.1

0.05

0

0.05

zsj

xsj


86


Vk Fntr hf(m) tfº RWNL/W RWE/W RWS/W ε (%)

2,9 1,68 0,080 3,4 0,038 0,036 0,035 8,5

3,9 2,12 0,091 4,9 0,071 0,077 0,074 4,1

4,8 2,63 0,090 5,3 0,082 0,093 0,088 6,8

5,8 3,27 0,085 5,4 0,082 0,091 0,086 4,7


0,000

0,010

0,020

0,030

0,040

0,050

0,060

0,070

0,080

0,090

0,100

2,9 3,9 4,8 5,8

V (nós)

RW

/ W



Condições do teste N.º3:







87

Figura 4-27 – Deformação da superfície livre – Modelo 3 – V = 2,9 nós

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.50.1

0.05

0

0.05

zsj

xsj


Figura 4-29 – Deformação da superfície livre – Modelo 3 – V = 3,9 nós

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50.1

0.05

0

0.05

zsj

xsj


88


0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50.1

0.05

0

0.05

zsj

xsj



0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.50.1

0.05

0

0.05

zsj

xsj


89



3,2 1,92 0,075 2,6 0,037 0,038 0,035 5,7

4,2 2,40 0,083 3,5 0,058 0,069 0,064 9,4

5,3 3,04 0,082 3,7 0,063 0,070 0,064 1,6

6,4 3,84 0,075 3,8 0,059 0,070 0,061 3,3


0,000

0,010

0,020

0,030

0,040

0,050

0,060

0,070

0,080

3,2 4,2 5,3 6,4

V (nós)

RW

/ W










90


1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.50.1

0.05

0

0.05

zsj

xsj



1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.50.1

0.05

0

0.05

zsj

xsj


91


1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 60.1

0.05

0

0.05

zsj

xsj



1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 60.1

0.05

0

0.05

zsj

xsj


92



2,9 1,46 0,107 2,8 0,061 0,072 0,068 10,3

3,9 1,82 0,124 4,9 0,096 0,121 0,115 16,5

4,8 2,27 0,121 5,0 0,103 0,129 0,122 15,5

5,8 2,80 0,116 5,2 0,100 0,128 0,118 15,2


0,000

0,020

0,040

0,060

0,080

0,100

0,120

0,140

2,9 3,9 4,8 5,8

V (nós)

RW

/ W










93


1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.50.2

0.1

0

0.1

zsj

xsj



1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.50.2

0.1

0

0.1

zsj

xsj


94


1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.50.2

0.1

0

0.1

zsj

xsj



1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.50.2

0.1

0

0.1

zsj

xsj


95

4.7 – Análise de Resultados

Ao serem examinados os resultados apresentados nas seções anteriores constata-

se que:

1) A incorporação da variação da atitude nas simulações numéricas influencia a

precisão obtida nos resultados. Note-se que a simples incorporação da atitude do

modelo em regime permanente em cada simulação numérica faz com que haja um

ganho médio17 de cerca de 40% (Tabela 4-5).

2) O exame dos gráficos das figuras 4-8, 4-14, 4-26, 4-35 e 4-44, e das tabelas 4-

6 a 4-10, mostra que os resultados obtidos pelo modelo concordam qualitativamente

com os resultados experimentais. Observe-se que todas as simulações feitas pelo

modelo numérico acompanham a tendência dos resultados dos ensaios. Isso representa

uma qualidade favorável para qualquer ferramenta computacional aplicável ao projeto

de embarcações. O processo de minimização da resistência ao avanço, por exemplo, não

requer a determinação do valor correto da resistência, podendo ser avaliado a partir de

valores relativos, desde que o comportamento qualitativo do modelo numérico seja

confiável. Por esse motivo, a capacidade de prever com confiabilidade como os

parâmetros de forma influenciam a tendência tomada pela magnitude da resistência de

ondas é uma característica, por si só, bastante positiva e de grande interesse, que

qualifica o modelo numérico aqui desenvolvido.

3) Os resultados experimentais para a magnitude da resistência de ondas foram

obtidos abatendo-se da resistência total uma parcela estimada para a resistência

friccional. Essa parcela resultante é conhecida como resistência residual, sendo aqui

aceita como uma estimativa da resistência de ondas, muito comumente adotada na

Engenharia Naval. SAVITSKY (1985), ao descrever o conceito do planeio, explica que

à medida que o início do planeio se aproxima e a velocidade cresce, a parcela devida ao

atrito volta a ser dominante quando comparada com a parcela devida à formação de

ondas, que vai ficando cada vez menor com o aumento da velocidade. O regime de

velocidades definido para o número de Taylor 3,0 encontra-se exatamente entre o fim

do regime de semiplaneio e o início do regime de planeio puro. Ainda que haja uma

17 Considerando-se a média aritmética dos ganhos registrados na tabela 4-5.

96

estimativa insuficiente da parcela viscosa na determinação do resultado experimental da

resistência de ondas, de qualquer forma, os resultados servem como referência e seu

confrontamento com os resultados produzidos pelo modelo numérico só aumentam a

expectativa de uma concordância mais afinada.

4) Ainda na direção do que foi dito no item anterior, observe-se que há parcelas

difíceis de serem quantificadas. Essas parcelas deveriam, a rigor, ser também abatidas,

ainda que em algumas velocidades sejam pequenas, sem que, no entanto, sejam

desprezíveis. As geometrias dos cascos utilizados neste capítulo para validação do

modelo matemático são suscetíveis à não secagem da popa e do costado nas baixas

velocidades, e à ocorrência de “spray”.

As condições de popa e de costado secos são hipóteses acolhidas pelo modelo

matemático desenvolvido na presente tese. VANDEN-BROECK (1989) fez estudos

relacionados com escoamentos bidimensionais e afirma que o escoamento em torno de

popas tipo “transom” apenas podem ser eficientemente modelados para valores de FnTR

superiores a 2,0. RAVEN (1996) apresenta resultados tridimensionais, fixando esse

limite em 1,75. Outros autores recomendam limites ainda superiores ((SCORPIO e

BECK, 1997); (DOCTORS, 2003) e (MAKI, 2004)), até 2,6, no caso de modelos. Essa

variação corrobora o que mostra a observação experimental e em escala real, segundo a

qual estes limites dependem também de parâmetros de forma e das condições de

carregamento. Alguns valores do adimensional FnTR contidos nas tabelas e gráficos da

seção anterior mostraram que nos regimes de velocidades mais baixas existe a

possibilidade da popa e do costado não secarem. Se a popa, por exemplo, não seca,

constata-se a existência de pressão viscosa devida à separação do escoamento, sendo

esta uma parcela que não se pode estimar objetivamente à luz da teoria potencial. No

entanto, sabe-se que esta parcela da resistência tende a desaparecer depois que a

secagem da popa ocorre, teoricamente para valores acima de FnTR = 2,6. Note-se que os

resultados melhoram visivelmente para velocidades mais altas. É importante lembrar

que cascos longos apresentam maior dificuldade para secar o costado. Já os cascos

dotados de ângulos de pé de caverna maiores, e em condições de carregamento mais

severas, apresentam mais dificuldade para secar a popa.

Cabem comentários adicionais importantes acerca dos resultados obtidos por

VANDEN-BROECK (1989) e, especialmente por serem relacionados a simulações

tridimensionais, aos desenvolvidos por RAVEN (1996) sobre a ocorrência do fenômeno

97

da secagem da popa. Os resultados obtidos por RAVEN (1996) consideram um casco

dotado de fundo plano, de formato convencional não quinado, não tendo sido

considerados outros fatores de desempenho típicos das embarcações semiplanadoras.

Apesar disso, a discussão acima justifica que desvios maiores tenham se concentrado

nas velocidades mais baixas. Espera-se, por outro lado, que o limite mencionado por

RAVEN (1996) para o adimensional FnTR não seja fixo, mas variável em função de

outros fatores de forma e relativos às condições de carregamento das embarcações.

Outra parcela de difícil avaliação deve-se à formação de “spray”. Esta parcela,

ao contrário da anterior, cresce com a velocidade, sendo proporcional ao comprimento

da aresta de ataque, mantida a velocidade. Dessa forma, é diretamente proporcional ao

ângulo de pé de caverna e indiretamente proporcional ao ângulo de trim dinâmico.

Embora o processo analítico de determinação da parcela da resistência viscosa devida

ao “spray” ainda não seja conhecido, SAVITSKY (1964) e HADLER (1966)

propuseram metodologias empíricas destinadas à estimação dessa parcela. A fim de

ilustrar o efeito da inclusão dessa parcela sobre os resultados, as tabelas 4-6 a 4-10 e as

figuras 4-8, 4-17, 4-26, 4-35 e 4-44, incorporam a estimativa recomendada por

SAVITSKY (1964). Essa inclusão torna os resultados obtidos pelo modelo matemático

mais afinados com os experimentais obtidos.

5) É importante observar que a metodologia recomendada pelo ITTC (1957)

para avaliação da resistência friccional é empírica, oferecendo, portanto, resultados

aproximados. Observe-se ainda que essa metodologia não é necessariamente adequada à

estimação da parcela friccional de embarcações semiplanadoras. Os resultados obtidos

pelo modelo matemático concordam qualitativamente muito bem com os experimentais,

com diferenças quantitativas não muito discrepantes. Por constituir-se numa abordagem

inicial do problema, utilizando-se de meios tão inovadores, e aplicando-se a uma

geometria tão específica e singular, o modelo obtém resultados animadores e merece

investigações mais profundas, que podem aperfeiçoar bastante seus limites de aplicação

e reduzir ainda mais as diferenças quantitativas observadas nos resultados obtidos.

6) Deformações da superfície livre. Embora não haja resultados experimentais

disponíveis na referência (FRIDSMA, 1969) para as deformações da superfície livre, o

exame dos resultados obtidos no item anterior permite que alguns comentários sejam

elaborados. Portanto, a análise dos resultados que se fará a seguir terá um caráter

98

qualitativo. Apesar disso, alguns resultados estimados a partir de expressões analíticas

são também empregados a fim de reforçar as observações.

Inicialmente é importante frisar que os resultados são qualitativamente muito

bons, de acordo com a análise que se dará a seguir. O modelo numérico produz

resultados consistentes e concordantes com vários aspectos, não só baseados na

observação experimental, como também com estimativas baseadas em formulações

analíticas, conforme se comentou no parágrafo anterior. Salta aos olhos, por exemplo, a

eficiente modelação das condições de popa e de costado secos. Elas são impostas e

modeladas com sucesso em todas as simulações.

Figura 4-53 – Deformação da superfície livre causada pela passagem do modelo 2 nas diversas

velocidades simuladas.

Por outro lado, a geometria do escoamento a ré do casco é também modelada

com sucesso. Observações experimentais (FALTINSEN, 2005) mostram que logo após

o espelho de popa forma-se uma cavidade seguida de uma crista, vulgarmente

denominada de “rabo de galo”18, e que o comprimento dessa cavidade, e o consequente

posicionamento da crista em relação ao espelho, aumentam com a velocidade. A figura

4-53 condensa os resultados das simulações feitas com o modelo 2, mostrando a

evolução da posição da crista e o ângulo formado pela onda divergente (comentado a

seguir). Observe-se que os resultados obtidos registram o aumento da distância entre a

crista e o espelho. A tabela 4-11 mostra os resultados numéricos obtidos para a distância

entre a primeira crista e o espelho, nas diversas velocidades de cada modelo.

18 Termo derivado do inglês “rooster tail”.

99

Tabela 4-11 – Distâncias entre a primeira crista e o espelho nas diferentes simulações

V/ L Modelo 1 Modelo 2 Modelo 3 Modelo 4 Modelo 5

1,5 0,27 0,21 0,29 0,37 0,28

2,0 0,81 0,58 0,77 0,90 0,77

2,5 1,30 1,05 1,29 1,47 1,25

3,0 1,82 1,49 1,73 1,89 1,65

Discutiu-se, anteriormente, a forma de se verificar a secagem da popa através do

adimensional FnTR e a importância da efetiva secagem da popa para uma representação

mais fiel do escoamento em torno da embarcação semiplanadora quinada. Observando-

se os resultados obtidos para o ângulo formado pela onda divergente após o espelho nas

diversas simulações, pode-se verificar que nas velocidades superiores existe uma

tendência à estabilização do ângulo formado após a popa seca, tendendo para um limite.

Observe-se que no planeio plenamente desenvolvido, por exemplo, devido à

combinação favorável entre popa e costado secos, a atenuação de ondas é maximizada,

verificando-se praticamente só a trilha deixada pela passagem do casco, e a onda

divergente, contida na vizinhança dessa trilha. A fotografia da figura 4-54 mostra esse

efeito e a geometria da onda divergente após a popa seca. Comparando-se

qualitativamente esta geometria com as simulações das velocidades mais altas feitas

pelo modelo matemático aqui proposto, verifica-se que há concordância. Note-se que a

geometria é respeitada. A onda divergente apenas se forma após a cavidade, iniciando-

se na crista do “rabo de galo”, o que efetivamente também é estimado com sucesso em

todas as simulações, sendo este mais um aspecto geométrico bem representado pelo

modelo. Os resultados obtidos para o ângulo da onda divergente, condensados na figura

4-53 para o modelo 2, mostram um valor inicialmente decrescente com a velocidade,

estabilizando-se num limite nas velocidades superiores. Estes resultados motivam um

estudo mais profundo acerca de uma possível relação entre a secagem da popa e o

ângulo formado pela onda divergente, no caso de embarcações quinadas.

100

Figura 4-54 – Aspectos geométricos da onda divergente após a popa seca.

Uma outra avaliação qualitativa pode referir-se ao comprimento da onda gerada

pelo casco após o espelho, calculado entre cristas e na linha de centro da embarcação.

Estes comprimentos podem ser comparados (tabela 4-12) com o valor estimado através

da equação de dispersão em águas profundas. É certo que há outros parâmetros, do

escoamento e geométricos, além da velocidade, que influenciam no comprimento da

onda gerada. No entanto, conforme mencionado, a comparação serve como mais um

critério de avaliação qualitativa para os resultados obtidos de deformação da superfície

livre.

Tabela 4-12 – Comparação entre comprimento da onda calculado e estimado

Modelo Vk LWC(m) LWE(m) 1 2,9 1,19 1,43 1 3,9 2,47 2,58 2 2,6 1,02 1,15 2 3,5 1,96 2,08 3 2,9 1,15 1,43 3 3,9 2,41 2,58 4 3,2 1,43 1,74 4 4,2 2,78 2,99 5 2,9 1,11 1,43 5 3,9 2,09 2,58

101

Na tabela 4-12 é válida a seguinte nomenclatura:

Vk – Velocidade do modelo em nós;

LWC – Comprimento de onda médio, calculado entre cristas;

LWE – Comprimento de onda calculado através da equação de dispersão em águas

profundas. g

U2L

2

WE π= ;

É importante lembrar que a extensão panelizada da superfície livre é de 5 vezes

o comprimento na linha da água do casco, restando, portanto, 4 comprimentos molhados

a ré do casco. Por este motivo não foram incluídas os resultados para as duas

velocidades superiores ensaiadas de cada modelo. De qualquer forma, o exame da tabela

mostra que os resultados são bastante consistentes.

7) Observou-se, durante a aplicação do modelo numérico, que sub-relaxações

são necessárias à solução iterativa do problema apenas nas iterações iniciais, na

vizinhança da aresta de ataque do escoamento e na vizinhança do espelho de popa. O

fator de sub-relaxação é variável de acordo com o casco, mas deve ser fixado no mais

alto valor possível. Os modelos dotados de ângulos de pé de caverna baixos exigem

níveis mais baixos de sub-relaxação, enquanto que os dotados de ângulos mais altos

podem gozar de níveis mais altos, o que contribui para a aceleração da convergência.

8) O tempo médio de processamento de uma iteração é de cerca de 30 minutos

num computador pessoal, utilizando um processador do tipo Intel Core 2 Quad. Apenas

um dos núcleos de processamento é utilizado. Este tempo é gasto basicamente com o

cálculo dos coeficientes de influência para as velocidades induzidas. O preenchimento

da matriz de coeficientes, do vetor de termos independentes e solução do problema

ocupam um tempo desprezível, quando comparado com a determinação dos coeficientes

de influência. Observou-se que são necessárias pelo menos 7 iterações para garantir um

nível de convergência adequado. Nas aplicações numéricas realizadas, pôde ser

observado que, no máximo, 25 iterações foram suficientes para atingir a tolerância

adotada.

102

5. Conclusão

O presente trabalho de tese desenvolveu um modelo matemático baseado no

Método dos Painéis de alta ordem com a finalidade de determinar iterativamente a

resistência de ondas de embarcações semiplanadoras. O modelo matemático foi

validado com aplicações a cascos quinados prismáticos, mas pode ser facilmente

estendido a qualquer formato de embarcação com pequenas alterações.

O estudo desenvolvido em torno da modelação geométrica de superfícies através

de “B-Splines” bicúbicas paramétricas demonstrou que suas potencialidades não se

restringem apenas à modelação de superfícies. Essa opção provou ser capaz de

descrever eficientemente funções de grande interesse para a modelação do escoamento

em torno de embarcações em geral, como o potencial de velocidades ou a densidade de

singularidades distribuídas na fronteira da região fluída, por exemplo. A comparação de

resultados obtidos pelo presente modelo paramétrico com malhas poligonais

quadrilaterais na modelação de superfícies de interesse demonstrou sua capacidade de

modelar com precisão e baixo grau de discretização.

O método numérico desenvolvido possibilitou um contato inicial com o

problema e apresentou uma abordagem original, com métodos de alta ordem baseados

em B-Splines empregados na solução iterativa de problemas de valor de contorno

tridimensionais. Além disso, a geometria e o regime de velocidades escolhidos para

aplicação e validação da ferramenta desenvolvida formam um conjunto inteiramente

singular, pois o escoamento em torno de embarcações semiplanadoras quinadas tem

particularidades e complexidades únicas. Dessa forma, o modelo apresentado pôde

reunir em si um elevado grau de originalidade, associado a um problema que concentra

grande interesse prático.

A ferramenta computacional utiliza a modelação potencial do escoamento em

torno do casco. Diante da necessidade de serem satisfeitas condições de tangência do

escoamento a superfícies em direções diferentes, fez-se uso de singularidades do tipo

fontes e sumidouros na modelação. Esta alternativa, menos usual na modelagem de

escoamentos envolvendo força de sustentação, mostrou-se bastante adequada. O modelo

de alta ordem proposto torna a imposição das condições mencionadas – costado e popa

seca – simples, uma vez que essas condições podem fazer parte de condições adicionais

necessárias à formação de um sistema possível e determinado. A modelação da

superfície de contorno e da densidade de singularidades distribuídas nessa superfície

103

através de pontos de controle possibilita ainda que sejam acrescentadas condições que

façam parte da geometria do problema. Dessa forma, os métodos de alta ordem que

empregam a modelação paramétrica por “B-Splines” apresentam-se como opções

flexíveis de resolver problemas de valor de contorno tridimensionais.

As contribuições mais marcantes deste trabalho podem ser destacadas como

sendo:

• Discussão e implementação de um modelo matemático de alta ordem de solução

não linear do escoamento em torno de embarcações prismáticas semiplanadoras

baseado em B-Splines bicúbicas paramétricas;

• Desenvolvimento de uma ferramenta computacional para o cálculo da

resistência de ondas de embarcações semiplanadoras;

• Discussão e implementação de um algoritmo computacional eficiente para o

cálculo dos coeficientes de influência de alta ordem aplicados à solução do

problema através da formulação indireta da terceira identidade de Green;

• Validação da ferramenta computacional;

O aumento da velocidade de processamento dos computadores incrementou

significativamente a possibilidade prática de uso de ferramentas e modelos matemáticos

capazes de simular com precisão e confiabilidade adequadas o escoamento em torno de

embarcações, incluindo casos mais complexos como os cascos semiplanadores. A

possibilidade de reduzir a necessidade de uso de dispendiosos modelos físicos, testados

em tanques de provas, sem dúvida, ainda se constitui num forte estímulo para a pesquisa

hidrodinâmica.

Os resultados obtidos para valores da resistência de ondas quando aplicados a

diferentes tipos de cascos mostraram uma importante qualidade do modelo numérico

apresentado, uma vez que todas as simulações feitas acompanham a tendência dos

resultados experimentais. A capacidade de prever qualitativamente a variação da

resistência de ondas não é somente uma importante qualidade para qualquer ferramenta

computacional. Também motiva o desenvolvimento de inúmeros trabalhos futuros

ligados à determinação da melhor combinação de parâmetros de forma que implica na

resistência de ondas mínima, por exemplo. Reitere-se que o processo de minimização da

resistência não requer necessariamente a determinação do seu valor correto, mas apenas

104

a identificação da melhor combinação de parâmetros que implica seu valor mínimo. A

ferramenta desenvolvida demonstrou sua capacidade de produzir resultados

qualitativamente confiáveis, tornando-a aplicável à tomada de decisões importantes

durante o projeto preliminar de embarcações semiplanadoras. Além disso, o exame dos

resultados obtidos pelo modelo numérico mostra que concordam também

quantitativamente com os experimentais disponíveis. Uma análise qualitativa

abrangente, feita para os resultados obtidos das deformações da superfície livre,

demonstrou a capacidade do modelo de realizar também estas simulações com

eficiência.

Portanto, a qualidade dos resultados obtidos pelo modelo aqui desenvolvido pode

ser considerada promissora, e estimula a continuação da pesquisa em busca do seu

aperfeiçoamento e ampliação da aplicabilidade da ferramenta.

A título de propostas de trabalhos futuros podem ser sugeridos os seguintes temas

complementares:

• Aplicação da ferramenta a cascos não quinados (“smooth-chine”), dotados de

espelho de popa;

• Incorporação da condição de modelo livre em trim e afundamento;

• Incorporar o cálculo da sustentação no equilíbrio dinâmico quando o casco for

livre em trim e afundamento;

Por outro lado, a possibilidade de representar com fidelidade e eficiência qualquer

tipo de superfície indica que o domínio do equacionamento matemático da forma das

embarcações pode ser generalizado. Essa capacidade abre um leque bastante generoso

de possibilidades, como a criação de algoritmos de otimização diversos, uma vez que a

concepção da forma influencia diretamente quase todas as etapas do projeto das

embarcações.

As embarcações semiplanadoras têm sido bastante empregadas no transporte de

passageiros, pois apesar de não atingirem as velocidades próprias das embarcações

planadoras, conjugam velocidades moderadas com níveis de conforto adequados, o que

não acontece com as embarcações que operam no regime de planeio puro, que são

reconhecidamente desconfortáveis e inadequadas para trajetos de média e longa

duração. Isso, em conjunto com a validação de resultados obtidos, torna a ferramenta

que foi disponibilizada neste trabalho atual e desejável como auxiliar no projeto

preliminar de cascos semiplanadores.

105

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