Resolução da Lista 2 de FF-207

01. Dois corpos de massa m são unidos por um bastão de comprimento

l, do qual o centro é vinculado a se mover num círculo de raio a.

Escreva a equação da energia cinética nas coordenadas

generalizadas.

SOLUÇÃO:

Como as massas dos corpos das

extremidades do bastão são iguais, temos

que o centro do bastão é a posição do

centro de massas dos corpos. Agora, vamos

considerar que o bastão é tangente à

trajetória (circunferência, nesse caso) de seu

centro que se move a uma velocidade

angular de constante.

Para escrever as equações de transformação de coordenadas

cartesianas para coordenadas generalizadas em relação ao centro

de massa, é necessário primeiro analisar a existência de vínculos

holonômicos. Com isso, sabemos que a distância do centro de

massa à origem O é constante. Daí, temos o seguinte vínculo

holonômico:

Com este vínculo, podemos escrever as equações de transformação

de coordenadas para o centro de massa que são:

Este vínculo também reduz o número de coordenadas

independentes, pois antes se tinha 2, que eram os cartesianos x, y e

agora só tem 1, que é a coordenada generalizada .

Então, através da figura, é fácil ver que:

Logo, fazendo as derivadas temporais de e , teremos:

Daí, podemos calcular a energia cinética do sistema como:

Calculando e

, temos:

De maneira análoga, temos que:

Assim, concluímos que a energia cinética em coordenadas

generalizadas é:

02. Obtenha as equações de Lagrange para o movimento de um

pêndulo esférico, ou seja, uma massa puntiforme suspendida por

uma barra de massa desprezível.

SOLUÇÃO:

Podemos pensar inicialmente

que o pêndulo esférico tem 3

coordenadas independentes,

que são as cartesianas x, y e z.

No entanto, o comprimento da

barra é constante, o que

implica na seguinte equação de

vínculo holonômico:

Dessa forma, o número de

coordenadas generalizadas

será apenas 2, a saber e , como mostra a figura.

Assim, temos as seguintes equações de transformação de

coordenadas:

Fazendo as derivadas temporais, temos:

Então, a energia cinética é calculada da seguinte maneira:

Já a energia potencial é calculada da seguinte maneira:

Assim, temos a seguinte função Lagrangiana:

Para obtermos as equações de Lagrange, utilizamos a fórmula

abaixo, para cada coordenada generalizada , onde j=1,2:

Para j = 1, temos = e:

De (1) e (2), temos:

Para j = 2, temos = e:

De (1) e (3), temos:

Assim, as equações de Lagrange são:

03. Duas massas puntiformes e são conectadas por uma corda

através de um buraco em uma mesa lisa, tal que está na

superfície da mesa e está suspensa. Assumindo que possa se

mover somente na vertical, quais são as coordenadas generalizadas

do sistema? Escreva as equações de Lagrange para o sistema e, se

possível discuta o significado físico que elas podem ter. Reduza o

problema a uma única equação diferencial de segunda ordem e

obtenha a primeira integral da equação. Qual é o seu significado

físico? (Considere no movimento tal que nem e nem passa

pelo buraco).

SOLUÇÃO:

Como o sistema é composto por duas partículas, teríamos um total

de 6 variáveis independentes para descrevê-lo. No entanto, existem

alguns vínculos. Um deles é que a massa se move somente no

plano da mesa, logo (considerando o plano da mesa como z

= 0). Assim, também podemos descrever a posição de usando

coordenadas polares r, θ. O outro é que só se move no eixo z

(vertical), então e . O último vínculo é que as massas

estão conectadas pela corda, assim temos que que

integrando tem

,

onde k é a constante

. Como há 4 equações de

vínculos holonômicos, tem-se apenas duas variáveis independentes,

a saber z e θ. Assim, as coordenadas generalizadas do sistema são z

e θ. Com isso, podemos determinar os vetores posições de e .

Derivando em função do tempo, temos:

Assim, a energia cinética do sistema é:

Já a energia potencial do sistema é:

Assim, temos a seguinte função Lagrangiana:

Para obtermos as equações de Lagrange, utilizamos a fórmula

abaixo, para cada coordenada generalizada , onde j=1,2:

Para j = 1, temos = e:

De (1) e (2), temos:

Para j = 2, temos = e:

De (1) e (3), temos:

Assim, as equações de Lagrange são:

Analisando as equações (**) e (*), vemos que e que

é igual ao momento angular da

massa na direção . Como sua derivada temporal é igual a zero

(ver equação (**)), temos que o momento angular se conserva, e

disso podemos tirar que à medida que diminui, ou seja, a massa

desce, a velocidade angular de aumenta. De fato, se a

Lagrangiana do sistema independe de alguma coordenada

generalizada, temos da equação (1) que:

E então a grandeza

vai se conservar no tempo.

Também da equação (**), podemos tirar que ,

ou seja,

, onde

. Substituindo na equação

(4), temos:

A equação (5) é a equação diferencial de segunda ordem pedida no

enunciado. Fazendo a primeira integração, temos:

Substituindo

na equação acima, temos:

O sentido físico é que a energia mecânica se conserva ao longo do

tempo.

04. A partir do Princípio de D’Alembert, mostre que:

SOLUÇÃO:

A partir da equação de movimento temos:

Onde é o deslocamento virtual da partícula i.

Como o trabalho virtual das forças de vínculos é zero, temos:

Esse primeiro termo é:

Onde é a força generalizada definida como

.

Já no segundo termo, temos:

Como

, podemos escrever:

Também, como , temos:

Então, podemos concluir que:

Considerando que seja de classe , para que se possa garantir a

igualdade das derivadas parciais de segunda ordem mistas, i.e.,

e

, pode-se concluir de (2) e (3) que:

Também, podemos escrever:

Logo, voltando à equação (1), tem-se:

De (*) e (**), podemos provar que: