Resolução da Lista 9 de FF-207

01. Ache a Transformação Canônica definida pela função geradora:

a)

Escreva as equações de movimento nas variáveis Q e P para

um oscilador harmônico simples de frequência angular .

b)

Escreva as equações de movimento nas variáveis Q e P para

um oscilador harmônico sobre o qual atua uma força externa

.

SOLUÇÃO:

a) É fácil ver que é uma função geradora do tipo 1. Desse fato,

temos que:

Como , temos:

Comparando (1) com (2):

Daí segue que:

Estas são as equações da transformação canônica.

A Hamiltoneana de um oscilador harmônico simples de

frequência angular é dada por:

Como não depende explicitamente do tempo, ela se

conserva. Então, vamos substituir (3) em (4), a fim de

encontrar a função K.

Podemos concluir que Q é uma coordenada cíclica. Então, P é

conservado. Isso bate com o fato de que H é conservado

então K também vai ser.

Também segue que:

Então, temos as seguintes equações de movimento:

Elas batem com as equações conhecidas de oscilador

harmônico simples de frequência angular .

b) Novamente, vemos que é uma função geradora do tipo 1.

Desse fato, temos que:

Como , temos:

Comparando (1) com (2):

Daí segue que:

A Hamiltoneana de um oscilador harmônico sobre o qual

atua uma força externa é dada por:

Podemos pensar nesse oscilador como um sistema massa-

mola não livre. O fator representa a distensão

adicional da mola causada pela força externa . Então,

vamos substituir (3) em (4), a fim de encontrar a função

K(Q,P,t).

Também segue que:

02. Qual o significado da transformação canônica criada pela função

geradora:

Onde é constante.

SOLUÇÃO:

É fácil ver que é uma função geradora do tipo 2. Desse fato,

temos que:

Como , temos:

Comparando (1) com (2):

Para satisfazer o princípio de Hamilton, podemos definir:

Assim, a transformação canônica criada pela função geradora

representa uma Transformação de escala.

03. Prove a identidade de Jacobi para colchetes de Poisson.

SOLUÇÃO:

Pela definição de colchetes de Poisson, temos que:

Utilizando as propriedades dos colchetes de Poisson, temos:

De maneira análoga, temos:

Somando (1),(2) e (3), temos:

Com um “pouco” de trabalho meramente matemático, temos:

Reorganizando os termos, temos:

Vemos que, devido à simetria dessa soma e ao fato das derivadas

parciais mistas de segunda ordem serem iguais, os termos se

anulam, provando a identidade de Jacobi para os colchetes de

Poisson: