Fundamentos de Física – Volume I – Mecânica – 8ª Edição

Halliday, Resnick e Walker

Capítulo IV

Movimento em duas e três dimensões

Resolvido por Nelson Poerschke

*01. Um pósitron sofre um deslocamento ∆푟⃗ = 2,0횤̂ − 3,0횥̂ + 6,0푘 e termina com o vetor posição 푟⃗ = 3,0횥̂ − 4,0푘, em metros. Qual era o vetor posição inicial do pósitron.

∆푟⃗ = 푟⃗ − 횤⃗ = → 횤⃗ = ∆푟⃗ − 푟⃗ = 3,0횥̂ − 4,0푘 − 2,0횤̂ − 3,0횥̂+ 6,0푘 =

= (−2,0 푚)횤̂ + (6,0 푚)횥̂ − (10 푚)푘

*02. Uma semente de melancia possui as seguintes coordenadas: x = -5,0 m; y = 8,0 m; e z = 0 m. Determine o vetor posição da semente.

a) na notação de vetores unitários

푟⃗ = 푥횤̂ + 푦횥̂ + 푧푘 = (−5,0 푚)횤̂ + (8,0 푚)횥̂

b) como um módulo

푟⃗ = |푟⃗| = (−5,0 푚) + (8,0 푚) + (0 푚) = 9,4 푚

c) como um ângulo em relação ao sentido positivo do eixo x.

Como z = 0, observamos que o vetor encontra-se no plano xy. Logo,

휃 = 푡푎푛 = = = , ,

= −58°

Mas verificamos que o vetor está no segundo quadrante, então o ângulo formado pelo vetor com o eixo x positivo é 180° - 58° = 122°.

d) Desenhe o vetor em um sistema de coordenadas dextrogiro.

Se a semente é transportada até as coordenadas (3,00 m, 0 m, 0 m),

e) determine o seu deslocamento na notação de vetores unitários.

푟⃗ = (−5,0 푚)횤̂+ (8,0 푚)횥̂

푟′⃗ = (3,00 푚)횤̂

∆푟⃗ = 푟′⃗ − 푟⃗ = (3,00 푚)횤̂ − [(−5,0 푚)횤̂ + (8,0 푚)횥̂] = (8,0 푚)횤̂ − (8,0 푚)횥̂

e) determine o seu deslocamento como um módulo.

푟⃗ = |푟⃗| = (8,0 푚) + (−8,0 푚) + (0 푚) = 11 푚

f) determine o seu deslocamento como um ângulo em relação ao sentido positivo do eixo x.

휃 = 푡푎푛 = = = , ,

= −45°

Como o vetor encontra-se no quarto quadrante, o ângulo em relação ao eixo x positivo é −45°, se medido no sentido horário, ou 360°-45° = 315º, se medido no sentido anti-horário.

*03. O vetor posição de um elétron é 푟⃗ = (5,0 푚)횤̂ − (3,0 푚)횥̂ + (2,0 푚)푘.

a) Determine o módulo de 푟⃗.

푟⃗ = |푟⃗| = (5,0 푚) + (−3,0 푚) + (2,0 푚) = 6,2 푚

b) Desenhe o vetor em um sistema de coordenadas dextrogiro.

**04. O ponteiro dos minutos de um relógio de parede mede 10 cm da ponta até o eixo de rotação. O módulo e o ângulo do vetor deslocamento da sua ponta devem ser determinados para três intervalos de tempo.

a) Determine o módulo do deslocamento da ponta entre as posições correspondentes a quinze e trinta minutos depois da hora.

Considerando como eixo y positivo a direção do centro até 12 horas e x positivo a direção do centro até 3 horas teremos:

Posição do ponteiro em 15 minutos é (0,10 푚)횤̂.

Posição do ponteiro em 30 minutos é (−0,10 푚)횥̂.

∆푟⃗ = 푟⃗ − 푟⃗ = [(−0,10 푚)횥̂]− [0,10 푚)횤̂] = (−0,10 푚)횤̂ − (0,10 푚)횥̂

푟⃗ = |푟⃗| = (0,10 푚) + (−0,10 푚) = 0,14 푚

b) Determine o ângulo associado ao deslocamento da ponta entre as posições correspondentes a quinze e trinta minutos depois da hora.

휃 = 푡푎푛 = = = , ,

= −45°

Como o vetor encontra-se no terceiro quadrante, o ângulo em relação ao eixo x positivo é −45° − 90° = −135, se medido no sentido horário, ou 360°-135° = 225º, se medido no sentido anti-horário.

c) Determine o módulo correspondente a meia hora seguinte.

Estou considerando que o ponteiro parte da posição de 30 minutos até a posição de hora cheia.

Posição do ponteiro em 30 minutos é (−0,10 푚)횥̂.

Posição do ponteiro em hora cheia é (0,10 푚)횥̂.

∆푟⃗ = 푟⃗ − 푟⃗ = [(0,10 푚)횥̂]− [−0,10 푚)횤̂] = (0,20 푚)횥̂

|푟⃗| = 0,20 푚

d) Determine o ângulo correspondente a meia hora seguinte.

Estou entendendo que o autor quer o ângulo formado a partir do eixo x positivo, no sentido anti-horário.

휃 = 푡푎푛 = = = , = 90°

d) Determine o módulo correspondente a hora seguinte.

Em uma hora o ponteiro dos minutos realiza uma revolução, logo o vetor deslocamento, bem como o módulo do deslocamento é zero.

e) Determine o módulo correspondente a hora seguinte.

Como não há deslocamento, o ângulo é zero.

*05. O vetor posição de um íon é, inicialmente, 푟⃗ = 5,0횤̂ − 6,0횥̂ + 2,0푘, e 10 s depois passa a ser 푟⃗ = −2,0횤̂+ 8,0횥̂ − 2,0푘, com todos os valores em metros. Na notação de vetores unitários, qual é a velocidade média 푣⃗ durante os 10 s?

푣⃗ = ∆ ⃗∆

= ⃗ ⃗

= , ̂ , ̂ , ( , ̂ , ̂ , ) =

= , ̂ , ̂ , = (−0,70 푚/푠)횤̂ + (1,4 푚/푠)횥̂ − (0,40 푚/푠)푘

Obs: Na versão do livro em português, 푟⃗ consta como 푟⃗ = 2,0횤̂+ 8,0횥̂ − 2,0푘, o que inviabiliza a resposta que está no final do livro. Na versão em inglês, 푟⃗ é 푟⃗ = −2,0횤̂ + 8,0횥̂ − 2,0푘 o que torna a resposta correta.

*06. A posição de um elétron é dada por 푟⃗ = 5,00푡횤̂ − 4,00푡 횥̂ + 2,00푘, com t em segundo e 푟⃗ em metros.

a) Qual é a velocidade, 푣⃗(푡) do elétron na notação de vetores unitários?

푣⃗ = ⃗ 5,00푡횤̂ − 4,00푡 횥̂ + 2,00푘 = (5,00 푚/푠)횤̂ − (8,00푡 푚/푠)횥̂

b) Quanto vale 푣⃗(푡) no instante t = 2,00 s na notação de vetores unitários?

푣⃗(2) = (5,00 푚/푠)횤̂ − [8,00(2) 푚/푠]횥̂ = (5,00 푚/푠)횤̂ − (16,0 푚/푠)횥̂

c) Quanto vale 푣⃗(푡) no instante t = 2,00 s como módulo?

푣⃗ = |푣⃗| = (5,00 푚) + (−16, 0 푚) = 16,8 푚

d) Quanto vale 푣⃗(푡) no instante t = 2,00 s como um ângulo em relação ao sentido positivo do eixo x?

휃 = 푡푎푛 = = = , ,

= −72,6° no sentido horário a partir do eixo x positivo.

*07. Um trem com uma velocidade constante de 60,0 km/h se move na direção leste por 40,0 min, depois em uma direção que faz um ângulo de 50,0° a leste com a direção norte por 20,0 min e, finalmente, na direção oeste por mais 50 min.

Considerando leste no sentido positivo do eixo x e norte no sentido positivo do eixo y.

a) Qual é o módulo da velocidade média do trem durante essa viagem.

∆푟⃗ = (60 푘푚/ℎ) /

횤̂ = (40,0 푘푚)횤̂

푟⃗ = (60 푘푚/ℎ) /

= 20,0 푘푚

∆푟⃗ = (20 푘푚 cos 50°)횤̂ + (20 푘푚 푠푒푛 50°) = (12,8 푘푚)횤̂ + (15,3 푘푚)횥̂

∆푟⃗ = −(60 푘푚/ℎ) /

횤̂ = (−50,0 푘푚)횤̂

∆푟⃗ = ∆푟⃗ + ∆푟⃗ + ∆푟⃗ = (40,0 푘푚)횤̂ + (12,8 푘푚)횤̂ + (15,3 푘푚)횥̂ + (−50,0 푘푚)횤̂

∆푟⃗ = (2,8 푘푚)횤̂ + (15,3 푘푚)횥̂

40min + 20 min + 50 min = 110 min = 1,83 h

푣 = ∆ ⃗∆

= , ,

횤̂ + , ,

횥̂ = (1,53 푘푚/ℎ)횤̂ + (8,36 푘푚/ℎ)횥̂

|푣⃗ | = (1,53 푘푚/ℎ) + (8,36 푘푚/ℎ) = 8,50 푘푚/ℎ

b) Qual é o ângulo da velocidade média do trem durante essa viagem.

휃 = 푡푎푛 = = = , /, /

= 79,6° medidos a norte do leste

**08. Um avião voa 483 km para leste, da cidade A para a cidade B, em 45 min, e depois 966 km para o sul, da cidade B para a cidade C, em 1,5 h. Para a viagem inteira determine:

Considerando leste no sentido positivo do eixo x e norte no sentido positivo do eixo y.

a) o módulo do deslocamento do avião.

∆푟⃗ = (483 푘푚)횤̂

∆푟⃗ = (−966 푘푚)횥̂

∆푟⃗ = ∆푟⃗ + ∆푟⃗ = (483 푘푚)횤̂ − (966 푘푚)횥̂

|푟⃗| = (483 푘푚) + (−966 푘푚) = 1,08 × 10 푘푚

b) a direção do deslocamento do avião.

휃 = 푡푎푛 = = =

= −63,4° (63,4° a sul do leste ou 26,6° a leste do sul).

c) o módulo da velocidade média.

0,75 h = 1,5 h = 2,25 h

푣 = ∆ ⃗∆

= ,

횤̂ − ,

횥̂ = (215 푘푚/ℎ)횤̂ − (429 푘푚/ℎ)횥̂

|푣⃗ | = (215 푘푚/ℎ) + (−429 푘푚/ℎ) = 480 푘푚/ℎ

d) a direção da velocidade média.

휃 = 푡푎푛 = = =

= −63,4°

e) a velocidade média escalar média.

푆 = â ∆

= ,

= 644 푘푚/ℎ

**09. A figura mostra os movimentos de um esquilo em um terreno plano, do ponto A (no instante t = 0) para os pontos B(em t = 5,00 min); C(em t = 10,0 min) e, finalmente, D( em t = 15,0 min). Considere as velocidades médias do esquilo do ponto A para cada um dos outros três pontos. Entre essas velocidades médias determine:

푣⃗ , = ∆ ⃗∆

= = [( ) ̂ ( ) ̂] [( ) ̂ ( ) ̂] –

= ( ) ̂ ( ) ̂ =

푣⃗ , = (0,05 푚/푠)횤̂ − (0,10 푚/푠)횥̂

푣⃗ , = (0,05 푚) + (−0,10 푚/푠) = 0,1118 푚/푠

푣⃗ , = ∆ ⃗∆

= = [( ) ̂ ( ) ̂] [( ) ̂ ( ) ̂] –

= ( , ) ̂ = (0,0083 푚/푠)횤̂

푣⃗ , = 0,0083 푚/푠

푣⃗ , = ∆ ⃗∆

= = [( ) ̂ ( ) ̂] [( ) ̂ ( ) ̂] –

= ( ) ̂ ( ) ̂ =

푣⃗ , = (0,03 푚/푠)횤̂ + (0,03 푚/푠)횥̂

푣⃗ , = (0,03 푚) + (0,03 푚/푠) = 0,0471 푚/푠

a) o módulo da que possui o menor módulo.

푣⃗ , = 0,0083 푚/푠

b) o ângulo da que possui o menor módulo.

휃 = 푡푎푛 = = = ,

= 0°

c) o módulo da que possui o maior módulo.

푣⃗ , = (0,05 푚) + (−0,10 푚/푠) = 0,1118 푚/푠

d) o ângulo da que possui o maior módulo.

휃 = 푡푎푛 = = = , /, /

= −63° (63° a sul do leste)

***10. O vetor 푟⃗ = 5,00푡횤̂ + (푒푡 + 푓푡 )횥̂ mostra a posição de uma partícula em função do tempo t. O vetor 푟⃗ está em metros, t está em segundos e e e f são constantes. A figura mostra o ângulo 휃 da direção do movimento da partícula em função de t (휃 é medido a partir do semi-eixo x positivo).

a) Determine e indicando sua unidade.

A posição da partícula é 푟⃗ = 5,00푡횤̂ + (푒푡 + 푓푡 )횥̂

O movimento da partícula pode ser indicado pela derivada da posição.

푣⃗ = ⃗ (5,00푡횤̂ + (푒푡 + 푓푡 )횥̂) = 5,00횤̂ + (푒+ 2푓푡)횥̂

휃 = 푡푎푛 = = = ( ),

Consultando o gráfico, verifica-se que 휃 = 35°, e 푡 = 0, então

푡푎푛 35° = ( ),

푒 + 2푓(0) = 5,00 푚/푠(푡푎푛 35°) → 푒 = 3,5 푚/푠

b) Determine f indicando sua unidade.

Quando 휃 = 0, 푡 = 14 푠, então

푒 + 2푓푡 = 0 → 푓 = = , /( )

= −0,125 푚/푠

*11. Uma partícula se move de tal forma que sua posição (em metros) em função do tempo (em segundos) é dada por 푟⃗ = 횤̂ + 4푡 횥̂ + 푡푘.

a) Escreva a expressão para a sua velocidade em função do tempo.

푣⃗ = ⃗ 횤̂ + 4푡 횥̂ + 푡푘 = 8푡횥̂ + 푘

b) Escreva a expressão para a sua aceleração em função do tempo.

푎⃗ = ⃗ 8푡횥̂ + 푘 = 8횥̂

*12. A velocidade inicial de um próton é 푣⃗ = 4,0횤̂ − 2,0횥̂+ 3,0푘; 4,0 s mais tarde, passa a ser 푣⃗ = −2,0횤̂ − 2,0횥̂ + 5,0푘 (em metros por segundo). Para esses 4,0 s, determine:

a) Qual é a aceleração média do próton na notação de vetores unitários?

푎⃗ = ∆ ⃗∆

= , ̂ , ̂ , / , ̂ , ̂ , /,

= , ̂ ,,

=

푎⃗ = (−1,5 푚/푠 )횤̂ + (0,5 푚/푠 )푘

b) Qual é o módulo da aceleração média do próton?

|푎⃗ | = (−1,5 푚/푠 ) + (0,5 푚/푠 ) = 1,6 푚/푠

c) Qual é o ângulo entre a aceleração média e o semi-eixo x positivo?

휃 = 푡푎푛 = = = , /, /

= −18° ou 162°

(162°, pois o vetor está no 2° quadrante).

*13. A posição 푟⃗ de uma partícula que se move em um plano xy é dada por 푟⃗ = (2,00푡 −5,00푡)횤̂ + (6,00 − 7,00푡 )횥̂, com 푟⃗ em metros e t em segundos.

a) Na notação de vetores unitários, e para t = 2,00 s calcule 푟⃗.

푟⃗ = (2,00푡 − 5,00푡)횤̂ + (6,00− 7,00푡 )횥̂,

푟⃗(2,00 푠) = [2,00(2,00) − 5,00(2,00)]횤̂+ [(6,00 − 7,00(2,00) ]횥̂,

푟⃗(2,00 푠) = (6,00 푚)횤̂ − (106 푚)횥̂

b) Na notação de vetores unitários, e para t = 2,00 s calcule 푣⃗.

푣⃗ =푑푟⃗푑푡

(2,00푡 − 5,00푡)횤̂+ (6,00 − 7,00푡 )횥̂ = (6,00푡 − 5,00)횤̂ − (28,0푡 )횥̂

푣⃗(2,00 푠) = (6,00푡 − 5,00)횤̂ − (28,0푡 )횥̂ = [6,00(2,00) − 5,00]횤̂ − [28,0(2,00) ]횥̂

푣⃗(2,00 푠) = (19,0 푚/푠)횤̂ − (224 푚/푠)횥̂

c) Na notação de vetores unitários, e para t = 2,00 s calcule 푎⃗.

푎⃗ = ⃗ (6,00푡 − 5,00)횤̂ − (28,0푡 )횥̂ = (12,0푡)횤̂ − (84,0푡 )횥̂

푎⃗(2,00 푠) = [12,0(2,00)횤̂]− [84,0(2,00) ]횥̂

푎⃗(2,00 푠) = (24,0 푚/푠 횤̂)횤̂ − (336 푚/푠 )횥̂

d) Qual é o ângulo entre o sentido positivo do eixo x e uma reta tangente à trajetória da partícula em t = 2,00 s?

A reta tangente à trajetória é encontrada derivando a posição. É a velocidade instantânea. Então:

휃 = 푡푎푛 = = = /, /

= −85,2°

Analisando as componentes do vetor percebemos que o mesmo encontra-se no quarto quadrante, logo a resposta correta é: 360° - 85,2° = 275°.

*14. Em um certo instante um ciclista está 40,0 m a leste do mastro de um parque, indo para o sul com uma velocidade de 10,0 m/s. Após 30,0 s o ciclista está 40,0 m ao norte do mastro, dirigindo-se para leste com uma velocidade de 10,0 m/s. Para o ciclista, durante esse intervalo de 30,0 s, quais são:

a) o módulo do deslocamento?

푟⃗ = (40,0 푚)횤̂ 푟⃗ = (40,0 푚)횥̂

∆푟⃗ = 푟⃗ − 푟⃗ = (40,0 푚)횥̂ − (40,0 푚)횤̂ = (−40,0 푚)횤̂ + (40,0 푚)횥̂

|∆푟⃗| = (−40 푚) + (40,0 푚) = 56,6 푚

b) a direção do deslocamento?

휃 = 푡푎푛 = = = , ,

= −45,0° como o vetor encontra-se no segundo

quadrante, soma-se 180° o que dará a direção 135° a partir do semi-eixo x positivo.

c) o módulo da velocidade média?

∆푡 = 30 푠 푒 |∆푟⃗| = 56,6 푚

|푣⃗ | = |∆ ⃗|∆

= ,

= 1,89 푚/푠

d) a direção da velocidade média?

푣⃗ = ∆ ⃗∆

= ( , ) ̂ ( , ) ̂

= (−10 푚/푠)횥̂ + (1,33 푚/푠)횥̂

휃 = 푡푎푛 = = = , /, /

= −45,0° como o vetor encontra-se no segundo

quadrante, soma-se 180° o que dará a direção 135° a partir do semi-eixo x positivo.

e) o módulo da aceleração média?

푎⃗ =푣⃗ − 푣⃗∆푡 =

(10 푚/푠)횤̂ − (−10 푚/푠)횥̂ 30 푠 = (0,333 푚/푠 )횤̂ + (0,333 푚/푠 )횥̂

|푎⃗ | = (0,333 푚/푠 ) + (0,333 푚/푠 ) = 0,471 푚/푠

f) a direção da aceleração média?

휃 = 푡푎푛 = = = , /, /

= 45,0° como o vetor encontra-se no primeiro

quadrante, este é o valor correto (45° a norte do leste, ou 45° a leste do norte).

**15. Um carro se move sobre um plano xy com componentes da aceleração 푎 = 4,0 푚/푠 e 푎 = −2,0 푚/푠 . A velocidade inicial tem componentes 푣 = 8,0 푚/푠 e 푣 = 12 푚/푠. Na notação de vetores unitários, qual é a velocidade do carro quando atinge a maior coordenada y?

Primeiramente temos que pensar que se a aceleração em y é negativa, vai chegar um momento em que a velocidade em y chegará a zero. Neste momento o carro atinge a maior coordenada y. Então

푣 = 푣 + 푎푡 → 푡 = = / /

= 6 푠

Como deduzimos anteriormente, na maior coordenada y a velocidade em y é zero, mas resta a velocidade em x.

푣 = 푣 + 푎 푡

푣 = (8,0 푚/푠) + (4,0 푚/푠 )(6,0 푠) = 32 푚/푠

Portanto a velocidade do carro quando atinge y máximo é (32 푚/푠)횤.̂

**16. Um vento moderado acelera um seixo sobre um plano horizontal xy com uma aceleração constante 푎⃗ = (5,00 푚/푠 )횤̂ + (7,00 푚/푠 )횥̂. No instante t = 0, a velocidade é (4,00 푚/푠)횤̂.

a) Qual é o módulo da velocidade do seixo após ter se deslocado 12,0 m paralelamente ao eixo x?

Nós temos como dados, a aceleração, a velocidade inicial e o ∆푥. Como não temos o ∆푦, precisamos encontrar o tempo de deslocamento.

푥 − 푥 = 푣 푡 + 푎푡

12,0 푚 = (4,00 푚/푠)푡 + (5,00 푚/푠 )푡 =

(5,00 푚/푠 )푡 + (8,00 푚/푠)푡 − 24,0 푚

푥 = , ±√ , = 1,53 s (descartamos o resultado negativo pois procuramos um valor depois de t = 0.

Sabendo o tempo, usamos a seguinte equação:

푣 = 푣 + 푎푡

푣 = (4,00 푚/푠)횤̂ + (5,00 푚/푠 )횤̂(1,53 s) + (7,00 푚/푠 )횥̂(1,53 s)

푣 = (11,7 푚/푠)횤̂ + (10,7 푚/푠)횥̂

b) Qual é o ângulo da velocidade do seixo após ter se deslocado 12,0 m paralelamente ao eixo x?

휃 = 푡푎푛 = = = , /, /

= 42,6° a norte do leste ou 47,4° a leste do norte

**17. Uma partícula deixa a origem com uma velocidade inicial 푣⃗ = (3,00 푚/푠)횤̂ e uma aceleração constante 푎⃗ = (−1,00 푚/푠 )횤̂ − (0,500 푚/푠 )횥̂. Quando ela atinge o valor máximo de sua coordenada x, quais são.

a) a sua velocidade?

Quando ela atinge o valor máximo na coordenada x, sua velocidade em x é zero. Logo

푣⃗ = 푣⃗ + 푎⃗ 푡 → 푡 = ⃗ ⃗⃗

= ( , / ), /

= 3,00 푠

3,00 s é o tempo máximo, então, em y:

푣⃗ = 푣⃗ + 푎⃗ 푡 → 푣⃗ = 0 + (−0,500 푚/푠 )(3,00 푠) = −1,5 푚/푠

Em notação de vetor unitário, a velocidade da partícula é (−1,5 푚/푠)횥̂

a) o seu vetor posição?

Como começou na origem, a posição da partícula é dada para qualquer t.

푥 − 푥 = 푣 푡 + 푎푡

푟⃗ = 푣⃗ 푡 + 푎⃗푡 = (3,00 푚/푠)횤̂(3,00 푠) + [(−1,00 푚/푠 )횤̂ − (0,500 푚/푠 )횥̂](3,00 푠) =

푟⃗ = (9,00 푚)횤̂ − (4,50 푚)횤̂ − (2,25 푚)횥̂ = (4,50 푚)횤̂ − (2,25 푚)횥̂

**18. A velocidade 푣⃗ de uma partícula que se move no plano xy é dada por 푣⃗ = (6,0푡 − 4,0푡 )횤̂+8,0횥,̂ com 푣⃗ em metros e t(>0) em segundos.

a) Qual é a aceleração no instante t = 3,0 s?

푎⃗ = ⃗ [(6,0푡 − 4,0푡 )횤̂ + 8,0횥̂] = (6,0 − 8,0푡)횤̂

푎⃗(3,0 푠) = [6,0 − 8,0(3,0)]횤̂ = (−18 푚/푠 )횤̂

b) Em que instante, se isso é possível, a aceleração é nula?

(6,0− 8,0푡)횤̂ = 0

푡 = ,,

= 0,75 푠

A aceleração é igual a zero em t = 0,75 s.

c) Em que instante, se isso é possível, a velocidade é nula?

Como a velocidade em y é constante em 8,0 m/s, a velocidade nunca será nula.

d) Em que instante, se isso é possível, a velocidade escalar da partícula é igual a 10 m/s?

Uma vez que a velocidade escalar é o módulo da velocidade, temos:

푣 = |푣⃗| = (6,0푡 − 4,0푡 ) + (8,0) = 10

(6,0푡 − 4,0푡 ) + (8,0) = 100

(6,0푡 − 4,0푡 ) = 100 − 64

(6,0푡 − 4,0푡 ) = 36

Extraindo a raiz quadrada em ambos os lados da equação e simplificando teremos:

6,0푡 − 4,0푡 = ±6,0 → 4,0푡 − 6,0푡 ± 6,0 = 0 → 2,0푡 − 3,0푡 ± 3,0 = 0

푡 = , ± ( , )(± , )( , )

= 2,2 ou− 0,69

Com a questão exige um resultado positivo (t > 0), a única resposta correta é t = 2,2 s.

***19. A aceleração de uma partícula que se move apenas em um plano horizontal xy é dada por 푎⃗ = 3,0푡횤̂ + 4,0푡횥̂, onde 푎⃗ está em metros por segundo ao quadrado e t em segundos. Em t = 0, o vetor posição 푟⃗ = (20,0 푚)횤̂ + (40,0 푚)횥 ̂ indica a localização da partícula, que nesse instante tem uma velocidade 푣⃗ = (5,00 푚/푠)횤̂ + (2,00 푚/푠)횥̂. Em t = 4,00 s, determine:

a) o vetor posição em termos de vetores unitários.

푣 = 푣 + 푎푡

푎⃗ = 3,0푡횤̂+ 4,0푡횥̂ → 푣⃗ = (5,00 푚/푠)횤̂ + (2,00 푚/푠)횥̂ . → 푟⃗ = (20,0 푚)횤̂+ (40,0 푚)횥̂

푣⃗(푡) = 푣⃗ + ∫ 푎⃗ 푑푡 =

= (5,00횤̂) + (2,00횥̂) + ∫ (3푡횤̂ + 4푡횥̂)푑푡

= 5,00 + 푡 횤̂ + (2,00 + 2푡 )횥̂

푟⃗(푡) = 푟⃗ + ∫ 푣⃗ 푑푡 =

= (20,0 푚)횤̂ + (40,0 푚)횥̂ + ∫ 5,00 + 푡 횤̂ + (2,00 + 2푡 )횥̂ 푑푡

= (20,0 푚)횤̂ + (40,0 푚)횥̂ + 5,00푡 + + 2,00푡 + 푡

= 20,0 푚 + 5,00푡 + 횤̂ + 40,0 푚 + 2,00푡 + 푡 횥̂

Em t = 4,00 s, temos:

푟⃗(푡 = 4,00 푠) = 20,0 푚+ 5,00(4,00 푠) + ( , ) 횤̂ + 40,0 푚+ 2,00(4,00 푠) + (4,00 푠) 횥̂

= (72,0 푚)횤̂ + (90,7 푚)횥̂

b) o ângulo entre a direção do movimento e o semi-eixo x positivo.

푣⃗(푡 = 4,00푠) =

= 5,00 + (4,00 푠) 횤̂ + (2,00 + 2(4,00 푠) )횥̂

= (29,0 푚/푠)횤̂ + (34,0 푚/푠)횥̂

휃 = 푡푎푛 = = = , /, /

= 49,5° a norte do leste

***20. Na figura a partícula A se move ao longo da reta y = 30 m com uma velocidade constante 푣⃗ de módulo 3,0 m/s e paralela ao eixo x. No instante em que a partícula A passa pelo eixo y a partícula B deixa a origem com velocidade inicial zero e aceleração constante 푎⃗ de módulo 0,40 m/s². Para que valor do ângulo 휃 entre 푎⃗ e o semi-eixo y positivo acontece uma colisão?

Podemos usar as equações para aceleração constante.

푦 = 푎 푡 → 30 푚 = [(0,40 푚/푠 )푐표푠 휃]푡

Depois, os movimentos de A e B devem coincidir.

푣푡 = 푎 푡 → (3,0 푚/푠)푡 = [(0,40 푚/푠 )푠푒푛 휃]푡

푣푡 = 푎 푡 → 푡 = = ( , / )( , / )

Então, ligando as duas equações

30 푚 = [(0,40 푚/푠 )푐표푠 휃] ( , / )( , / )

Como 푠푒푛 휃 = 1 − 푐표푠 휃

30 = ,,

→ 1 − 푐표푠 휃 = ,( , )( )

푐표푠휃

Usando Báskara

푐표푠 휃 = , , ( , )( , ) =

휃 = 푐표푠 = 60°

*21. Um projétil é disparado horizontalmente de uma arma que está 45,0 m acima de um terreno plano, emergindo da arma com uma velocidade de 250 m/s.

a) Por quanto tempo o projétil permanece no ar?

Uma vez que o movimento horizontal não interfere no movimento vertical.

푦 − 푦 = 푣 푡 + 푎푡

45,0 푚 = (0)푡 + (9,80 푚/푠 )푡 → 푡 = ( , ), /

= 9,18 푠 = 3,03푠

b) A que distância horizontal do ponto de disparo ele se choca com o solo?

Desconsiderando-se a desaceleração causada pela resistência do ar.

푥 − 푥 = 푣 푡 → ∆푥 = (250 푚/푠)(3,03 푠) = 758 푚

c) Qual é o módulo da componente vertical da velocidade quando o projétil se choca com o solo?

Como a componente vertical da velocidade inicial é zero.

푣 = 푣 + 푎푡 → 푣 = 0 + (9,80 푚/푠 )(3,03 푠) = 29,7 푚/푠

*22. No Campeonato Mundial de Atletismo de 1991, em Tóquio, Mike Powell saltou 8,95 m, batendo por 5 cm um recorde de 23 anos para o salto em distância estabelecido por Bob Beamon. Suponha que a velocidade de Powell no início do salto era de 9,5 m/s (aproximadamente igual a de um velocista) e que g = 9,8 m/s² em Tóquio. Calcule a diferença entre o alcance de Powell e o máximo alcance possível para uma partícula lançada com a mesma velocidade.

Usando a equação para o alcance horizontal de um projétil.

푅 = 푠푒푛 2휃

푅 = ( , / ), /

푠푒푛 2휃 = 9,21 푚

9,21 푚− 8,95 푚 = 0,259 푚

*23. O recorde atual de salto de motocicleta é de 77,0 m, estabelecido por Jason Renie. Suponha que ele parta da rampa fazendo um ângulo de 12° com a horizontal e que as alturas no início e no final do salto sejam iguais. Determine a velocidade inicial, desprezando a resistência do ar.

푅 = 푠푒푛 2휃 → 푣 =

= ( , / )( , ) ( °)

= 43,1 푚/푠

*24. Uma pequena bola rola horizontalmente até a borda de uma mesa de 1,20 m de altura e cai no chão. A bola chega ao chão a uma distância horizontal de 1,52 m da borda da mesa.

a) Por quanto tempo a bola fica no ar?

푦 − 푦 = 푣 푡 + 푎푡

1,20 푚 = (0)푡 + (9,80 푚/푠 )푡 → 푡 = ( , ), /

= 0,245 푠 = 0,495 푠

b) Qual é a velocidade da bola no instante em que chega à borda da mesa?

푥 − 푥 = 푣 푡 → 1,52 푚 = 푣 (0,495 푠) → 푣 = , ,

= 3,07 푚/푠

*25. Um dardo é arremessado horizontalmente com uma velocidade inicial de 10 m/s em direção ao ponto P, o centro de um alvo de parede. Ele atinge o ponto Q do alvo, verticalmente abaixo de P, 0,19 s depois do arremesso.

a) Qual é a distância PQ?

푦 − 푦 = 푔푡 → ∆푦 = (9,8 푚/푠 )(0,19 푠) = 0,18 푚

b) A que distância do alvo o dardo foi arremessado?

Consideramos a velocidade constante e o sentido do eixo x positivo.

푥 = 푣 푡 → 푥 = (10 푚/푠)(0,19 푠) = 1,9 푚

*26. Na figura, uma pedra é lançada em um rochedo de altura h com uma velocidade inicial de 42,0 m/s e um ângulo 휃 = 60,0° com a horizontal. A pedra cai em um ponto A, 5,50 s após o lançamento. Determine

a) a altura h do rochedo?

Fazendo 푦 = 0 e 푦 = ℎ

푦 − 푦 = 푣 푡 − 푔푡 → ℎ = 푦 + (푣 푠푒푛휃 )푡 − 푔푡

ℎ = (42,0 푚 푠푒푛60°)(5,50 푠) − (9,8 푚/푠 )(5,50 푠)

ℎ = (42,0 푚 푠푒푛60°)(5,50 푠) − (9,8 푚/푠 )(5,50 푠) = 51,8 푚

b) a velocidade da pedra imediatamente antes do impacto em A?

푣 = 푣 푣 푐표푠휃

푣 = (푣 푐표푠휃 ) + (푣 푠푒푛휃 ) =

푣 = (42,0푐표푠60°) + (42,0푠푒푛60°) = 27,4 푚/푠

c) a máxima altura H alcançada acima do solo?

Usamos as equações da aceleração constante, porém, substituímos a por –g.

푣 = 푣 + 2푎(푥 − 푥 ) → 푣 = (푣 푠푒푛휃 ) − 2푔(푦 − 푦 )

Usando 푣 = 0 e 푦 = 퐻 teremos:

0 = (푣 푠푒푛휃 ) − 2푔퐻 → 퐻 = ( ) = ( , °)( , / )

= 67,5 푚

*27. Um certo avião tem uma velocidade de 290 km/h e está mergulhando com um ângulo 휃 = 30,0° abaixo da horizontal quando o piloto libera um chamariz. A distância horizontal entre o ponto de lançamento e o ponto onde o chamariz se choca com o solo é 푑 = 700 푚.

a) Quanto tempo o chamariz passou no ar?

Escolhemos a origem das coordenadas no nível do solo, imediatamente abaixo do ponto de lançamento. Assim, 휃 = −30°. A velocidade inicial do chamariz é a velocidade do avião no momento da liberação.

푣 = 290 푘푚/ℎ

= 80,6 푚/푠

Vejamos que a componente horizontal da velocidade não possui aceleração, então

∆푥 = (푣 푐표푠휃 )푡 → 푡 = ∆ = ( , / ) ( , °)

= 10,0 푠

b) De que altura foi lançado?

Agora que sabemos o tempo que o chamariz permaneceu no ar depois que foi liberado:

푦 − 푦 = (푣 푠푒푛휃 )푡 − 푔푡

0 − 푦 = (80,6 푚/푠)(푠푒푛 − 30,0°)(10,0 푠) − (9,80 푚/푠 )(10,0푠)

−푦 = −403 푚− 490 푚

푦 = 893 푚

*28. Uma pedra é lançada de uma catapulta no instante t = 0, com uma velocidade inicial de módulo 20,0 m/s e um ângulo de 40,0° acima da horizontal.

a) Qual é o módulo da componente horizontal do deslocamento da pedra em relação à catapulta em t = 1,10 s?

푥 − 푥 = 푣 푡 → 푥 − 푥 = (푣 푐표푠휃 )푡

∆푥 = (20,0 푚/푠 푐표푠40,0°)(1,10 푠) = 16,9 푚

b) Qual é o módulo da componente vertical do deslocamento da pedra em relação à catapulta em t = 1,10 s?

푦 − 푦 = 푣 푡 − 푔푡 → 푦 − 푦 = (푣 푠푒푛휃 )푡 − 푔푡

∆푦 = (20,0 푚/푠 푠푒푛40,0°)(1,10 푠)− (9,80 푚/푠 )(1,10 푠) = 8,21 푚

c) Qual é o módulo da componente horizontal do deslocamento da pedra em relação à catapulta em t = 1,80 s?

∆푥 = (20,0 푚/푠 푐표푠40,0°)(1,80 푠) = 27,6 푚

d) Qual é o módulo da componente vertical do deslocamento da pedra em relação à catapulta em t = 1,80 s?

∆푦 = (20,0 푚/푠 푠푒푛40,0°)(1,80 푠)− (9,80 푚/푠 )(1,80 푠) = 7,26 푚

e) Qual é o módulo da componente horizontal do deslocamento da pedra em relação à catapulta em t = 5,00 s?

Considerando que ∆푦 está diminuindo conforme o tempo aumenta, presumimos que a pedra alcança o solo antes dos 5,00 s, então calculamos primeiro o tempo de deslocamento da pedra.

푦 − 푦 = (푣 푠푒푛휃 )푡 − 푔푡

0 = (푣 푠푒푛휃 )푡 − 푔푡 → 0 = 2(푣 푠푒푛휃 )푡 − 푔푡 → 2(푣 푠푒푛휃 )푡 = 푔푡

2(푣 푠푒푛휃 ) = → 2(푣 푠푒푛휃 ) = 푔푡 → 푡 = ( )

푡 = 푠푒푛휃 = ( / ), /

푠푒푛40,0° = 2,62 푠

Em t = 5,00 s a pedra já se encontra no solo desde t = 2,62 s.

∆푥 = (20,0 푚/푠 푐표푠40,0°)(2,62 푠) = 40,1 푚

f) Qual é o módulo da componente vertical do deslocamento da pedra em relação à catapulta em t = 5,00 s?

Como a pedra já se encontra no solo desde t = 2,62 s, a componente vertical é 0.

**29. Um mergulhador salta com uma velocidade horizontal de 2,00 m/s de uma plataforma que está 10,0 m acima da superfície da água.

a) A que distância horizontal da borda da plataforma está o mergulhador 0,800 s após o início do salto?

Primeiramente organizamos nosso sistema de coordenadas colocando a origem na superfície da água, exatamente sob a borda da plataforma.

Lembramos que os movimentos vertical e horizontal são independentes.

푥 − 푥 = 푣 푡

푥 − 0 = (2,00 푚/푠)(0,800 푠) = 1,60 푚 → 푥 = 1,60 푚

b) A que distância vertical acima da superfície da água está o mergulhador nesse instante?

Deduzimos que a velocidade vertical inicial é zero, porém temos a aceleração da gravidade.

푦 − 푦 = 푣 푡 − 푔푡 → 푦 − 0 = 0 − (9,80 푚/푠 )(0,800) =

푦 = − 3,14 푚 (abaixo da barda da plataforma)

Como o trampolim encontra-se 10,0 m acima da superfície da água, o mergulhador, em t = 0,800 s está (10,0 푚) − (3,14 푚) = 6,86 푚 da superfície da água.

c) A que distância horizontal da borda da plataforma o mergulhador atinge a água?

Para isso precisamos saber o tempo que o mergulhador leva para atingir a água.

푦 − 푦 = 푣 푡 − 푔푡 → 푡 = ∆ = ( , ), /

= 1,43 푠

Sabendo o tempo podemos aplicar a equação diretamente.

푥 − 푥 = 푣 푡 → 푥 − 0 = (2,00 푚/푠)(1,43 푠) = 2,86 푚

푥 = 2,86 푚

**30. O trebuchet era uma máquina de arremesso construída para atacar as muralhas de um castelo durante um cerco. Uma grande pedra podia ser arremessada contra uma muralha para derrubá-la. A máquina não era instalada perto da muralha, porque os operadores seriam um alvo fácil para as flechas disparadas do alto das muralhas do castelo. Em vez disso, o trebuchet era posicionada de tal forma que a pedra atingia a muralha na parte descendente da sua trajetória. Suponha que uma pedra seja lançada com uma velocidade 푣 = 28,0 푚/푠 e um ângulo de 40,0°.

a) Qual é a velocidade da pedra se ela atinge a muralha no momento em que chega à altura máxima de sua trajetória parabólica?

O módulo da velocidade é |푣| = (푣 ) + (푣 ) , porém, quando a pedra atinge a altura máxima a velocidade vertical 푣 é zero. Então

|푣| = (푣 ) = 푣

푣 = 푣 푐표푠휃 = (28,0 푚/푠)(푐표푠40,0°) = 21,4 푚/푠

b) Qual é a velocidade da pedra se ela atinge a muralha depois de cair metade da altura máxima sua trajetória parabólica?

Usando o fato de que 푣 = 0 na altura máxima 푦 , o tempo necessário para que a pedra atinja 푦 é dada pela equação:

푣 = 푣 푠푒푛휃 − 푔푡

0 = 푣 = 푣 푠푒푛휃 − 푔푡 → 푡 =

Usando a equação a equação a seguir e substituindo t, temos

푦 − 푦 = (푣 푠푒푛휃 )푡 − 푔푡

푦 = (푣 푠푒푛휃 ) − 푔

푦 =

Para encontrar o tempo da pedra desce ao máximo y = y / 2, resolvemos a equação quadrática

푦 = 푦 = = (푣 푠푒푛휃 )푡 − 푔푡 → 푡± = ±√

Escolhendo 푡 temos

푣 = 푣 푐표푠휃 = (28,0 푚/푠)(푐표푠40,0°) = 21,4 푚/푠

푣 = 푣 푠푒푛휃 − 푔 ±√ = − √ 푣 푠푒푛휃 = − √ (28,0 푚/푠)푠푒푛40,0° = −12,7 푚/푠

Assim, a velocidade da pedra quando 푦 = é:

푣 = (푣 ) + (푣 ) = (21,4 푚/푠) + (−12,7 푚/푠) = 24,9 푚/푠

c) Qual é a diferença percentual entre as respostas dos itens (a) e (b)?

, / , /, /

= 0,163 = 16,3%

**31. Um avião, mergulhando com velocidade constante em um ângulo de 53,0° com a vertical, lança um projétil a uma altitude de 730 m. O projétil chega ao solo 5,00 s após o lançamento.

Adotamos como origem das coordenadas o nível do solo exatamente abaixo do ponto de lançamento.

a) Qual é a velocidade do avião?

푦 − 푦 = (푣 푠푒푛휃 )푡 − 푔푡

0 − 730 푚 = 푣 (푠푒푛 − 37°)(5,00 푠)− (9,80 푚/푠 )(5,00 푠) =

푣 =( , / )( , )

( °)( , )= 202 푚/푠

b) Que distância o projétil percorre horizontalmente durante o percurso?

푥 − 푥 = (푣 푐표푠휃 )푡 → 푥 = (202 푚/푠)(푐표푠 − 37°)(5,00 푠) = 806 푚

c) Qual é a componente horizontal da velocidade do projétil no momento em que chega ao solo?

푣 = 푣 푐표푠휃 = (202 푚/푠)(푐표푠 − 37°)− 161 푚/푠

d) Qual é a componente vertical da velocidade do projétil no momento em que chega ao solo?

푣 = 푣 푠푒푛휃 − 푔푡 = (202 푚/푠)(푠푒푛 − 37°)− (9,80 푚/푠 )(5,00 푠) = −171 푚/푠

**32. Durante uma partida de tênis, um jogador saca a 23,6 m/s, com o centro da bola deixando a raquete horizontalmente a 2,37 m de altura em relação à quadra. A rede está a 12,0 m de distância e tem 0,900 m de altura.

Adotamos como origem das coordenadas o nível do solo exatamente abaixo do ponto que a bola deixa a raquete.

a) A bola passa para o outro lado da quadra?

Queremos saber qual a altura da bola quando x = 12,0 m.

푥 − 푥 = (푣 푐표푠휃 )푡

12,0 푚 = (23,6 푚/푠)(푐표푠0°)푡 → 푡 = , ( , / )( , )

= 0,508 푠

푦 − 푦 = (푣 푠푒푛휃 )푡 − 푔푡

푦 = 푦 − 푔푡 푦 = 2,37 푚− (9,80푚 푠⁄ )(0,508 푠) = 1,10 푚

Sim, pois ela passa sobre a rede a uma altura de 1,10 m, enquanto a rede tem 0,900 m de altura.

b) Quando a bola chega a rede, qual é a distância entre o centro da bola e o alto da rede?

1,10 m – 0,900 m = 0,200 m

c) Supondo que, nas mesmas condições, a bola deixe a raquete fazendo um ângulo de 5,00° abaixo da horizontal. Nesse caso a bola passaria para o outro lado da quadra?

푥 − 푥 = (푣 푐표푠휃 )푡

12,0 푚 = (23,6 푚/푠)(푐표푠 − 5,00°)푡 → 푡 = , ( , / )( , °)

= 0,510 푠

푦 − 푦 = (푣 푠푒푛휃 )푡 − 푔푡

푦 = 2,37 푚 + [(23,6푚 푠⁄ )(푠푒푛 − 5,00°)(0,510 푠)] − (9,80푚 푠⁄ )(0,510 푠) =0,046 푚

Não, pois ela passa chega à rede a 0,046 m acima do solo, enquanto a rede tem 0,90 m de altura.

d) Supondo que, nas mesmas condições, a bola deixe a raquete fazendo um ângulo de 5,00° abaixo da horizontal. Quando a bola chega a rede, qual é a distância entre o centro da bola e o alto da rede?

0,900 m – 0,046 m = 0,854 m

**33. Em uma cortada, um jogador de voleibol golpeia a bola com força, de cima para baixo, em direção à quadra adversária. É difícil controlar o ângulo de uma cortada. Suponha que uma bola seja cortada de uma altura de 2,30 m, com uma velocidade inicial de 20,0 m/s e um ângulo para baixo de 18,0°. Se o ângulo para baixo diminuir para 8,00°, a que distância adicional a bola atingirá a quadra adversária?

Primeiro encontramos o tempo que a bola leva para atingir o chão.

Supomos que o ângulo de 18,0° para baixo seja 18,0° abaixo da linha horizontal.

푦 − 푦 = (푣 푠푒푛휃 )푡 − 푔푡

0 − 2,30 푚 = (20,0 푚/푠)(푠푒푛 − 18,0°)푡 − (9,80 푚/푠 )푡

(4,90푚 푠⁄ )푡 + (6,18 푚 푠⁄ )푡 − 2,30 푚 = 0

푡 = , ( , ) ( , )( , )( , )

= , ,,

= 0,30 푠

Dessa forma a bola atingirá a quadra em

푥 − 푥 = (푣 푐표푠휃 )푡

푥 − 0 = (20,0 푚/푠)(푐표푠 − 18,0°)(0,30 푠) = 5,71 푚 → 푐ℎ푎푚푎푟푒푚표푠 푑푒 푥

Porém se o ângulo diminuir para 8,00°

푦 − 푦 = (푣 푠푒푛휃 )푡 − 푔푡

0 − 2,30 푚 = (20,0 푚/푠)(푠푒푛 − 8,00°)푡 − (9,80 푚/푠 )푡

(4,90푚 푠⁄ )푡 + (2,78 푚 푠⁄ )푡 − 2,30 푚 = 0

푡 = , ( , ) ( , )( , )( , )

= , ,,

= 0,46 푠

Dessa forma a bola atingirá a quadra em

푥 − 푥 = (푣 푐표푠휃 )푡

푥 − 0 = (20,0 푚/푠)(푐표푠 − 8,00°)(0,46 푠) = 9,06 푚 → 푐ℎ푎푚푎푟푒푚표푠 푑푒 푥

Daí concluímos que a distância adicional, caso o ângulo diminua de 18,0° para 8,00° é:

∆푥 = 푥 − 푥 = 9,06 푚− 5,71 푚 = 3,35 푚

**34. Uma bola de futebol é chutada a partir do chão com uma velocidade inicial de 19,5 m/s e um ângulo para cima de 45°. No mesmo instante um jogador a 55,0 m de distância, na direção do chute, começa a correr para receber a bola. Qual deve ser sua velocidade média para que alcance a bola imediatamente antes que toque o gramado?

Primeiro calculamos a distância que a bola percorrerá.

푅 = 푠푒푛 2휃

푅 = ( , / ), /

푠푒푛 90,0° = 38,8 푚

Como o jogador se encontra a 55,0 m de 푥 , e a bola se desloca 38,8 m a partir de 푥 , o jogador deverá se deslocar 55,0 푚− 38,8 푚 = 16,2 푚.

Agora teremos que calcular o tempo que a bola permanecerá viajando. Na verdade é o tempo que ela leva para subir até o máximo da altura e retornar até o solo.

푦 − 푦 = (푣 푠푒푛휃 )푡 − 푔푡

∆푦 = (푣 푠푒푛휃 )푡 − 푔푡 , mas ∆푦 = 0, pois a bola voltará à mesma altura que foi lançada. Então

0 = (푣 푠푒푛휃 )푡 − 푔푡 → (푣 푠푒푛휃 )푡 = 푔푡 → 푣 푠푒푛휃 =

푣 푠푒푛휃 = 푔푡 → 푡 = = ( , ⁄ ) °( , ⁄ )

= 2,81 푠

Agora que sabemos a distância que o jogador terá que percorrer e o tempo:

푣⃗ =∆푟⃗∆푡 =

16,2 푚2,81 푠 = 5,77 푚/푠

**35. A velocidade de lançamento de um projétil é cinco vezes maior que a velocidade na altura máxima. Determine o ângulo de lançamento 휃 .

Colocamos a origem das coordenadas no local de lançamento.

Observamos que na altura máxima, 푣 = 0, o que determina que 푣 = 푣 = 푣 .

Nesse raciocínio, vemos que 푣 = 5푣. Em seguida vemos que 푣 푐표푠휃 = 푣 = 푣.

Logo:

(5푣)푐표푠휃 = 푣 → 휃 = 푐표푠 = 푐표푠 = 78,5°

**36. Um arremessador de peso de nível olímpico é capaz de lançar o peso com uma velocidade inicial 푣 = 15,00 m/s de uma altura de 2,160 m. Que distância horizontal é coberta pelo peso se o ângulo de lançamento 휃 é:

a) 45,00°?

Como as alturas inicial e final são diferentes, não podemos usar a equação de alcance horizontal.

Usaremos então a equação de movimento vertical para descobrir o tempo que o peso permanece no ar.

푦 − 푦 = (푣 푠푒푛휃 )푡 − 푔푡 → 0− 2,160 푚 = (15,00푚 푠⁄ )푠푒푛(45,00º)푡 − (9,800푚 푠⁄ )푡

(4,900푚 푠⁄ )푡 − (10,61푚 푠⁄ )푡 − 2,160 푚 = 0

푡 = ±√ = , ± ( , ) ( , )( , ),

= , ,,

= 2,352 s

Portanto a distância horizontal é:

푅 = (푣0푐표푠휃0)푡 = (15,00푚 푠⁄ )푐표푠45,00º(2,352 푠) = 24,95 푚

b) 42,00°?

푦 − 푦 = (푣 푠푒푛휃 )푡 − 푔푡 → 0− 2,160 푚 = (15,00푚 푠⁄ )푠푒푛(42,00º)푡 − (9,800푚 푠⁄ )푡

(4,900푚 푠⁄ )푡 − (10,04푚 푠⁄ )푡 − 2,160 푚 = 0

푡 = ±√ = , ± ( , ) ( , )( , ),

= , ,,

= 2,245 s

Portanto a distância horizontal é:

푅 = (푣0푐표푠휃0)푡 = (15,00푚 푠⁄ )푐표푠42,00º(2,245 푠) = 25,02 푚

Obs: As respostas mostram que o ângulo de 45°, que maximiza o alcance dos projéteis, não maximiza a distância horizontal qundo a altura inicial é diferente da altura final.

**37. Uma bola é lançada a partir do solo. Quando ela atinge uma altura de 9,1 m, sua velocidade é 푣⃗ = (7,6횤̂ + 6,1횥̂)푚/푠, com 횤̂ na horizontal e 횥̂ para cima.

a) Qual a altura máxima atingida pela bola?

Designamos como:

푣 = 푣푒푙표푐푖푑푎푑푒 푑푒 푙푎푛ç푎푚푒푛푡표

푣 = 푣⃗ = (7,6횤̂ + 6,1횥̂)푚/푠

푣 = 푣푒푙표푐푖푑푎푑푒 푞푢푎푛푑표 푎푡푖푛푔푒 푎 푎푙푡푢푟푎 푚á푥푖푚푎

푣 = 푣푒푙표푐푖푑푎푑푒 푛표 푖푛푠푡푎푛푡푒 푒푚 푞푢푒 푟푒푡표푟푛푎 푎표 푠표푙표

Primeiramente vamos encontrar a velocidade inicial:

푣 = 푣 + 2푎(푥 − 푥 )

푣 = 푣 − 2푔(푦 − 푦 ) → (6,1푚 푠⁄ ) = 푣 − 2(9,8푚 푠⁄ )(9,1 푚)

푣 = (6,1푚 푠⁄ ) + 2(9,8푚 푠⁄ )(9,1 푚) = 15 푚/푠

Após termos encontrado a 푣 e sabendo que 푣 = 0, usamos a mesma equação para encontrar ℎ .

푣 = 푣 + 2푎(푥 − 푥 )

푣 = 푣 − 2푔ℎ → 0 = (15푚 푠⁄ ) − 2(9,8푚 푠⁄ )ℎ

ℎ = ( ⁄ )( , ⁄ )

= 11 푚

b) Qual é a distância horizontal coberta pela bola?

Usando 푣 para 푣 푠푒푛휃 e 푣 para 푣 푐표푠휃 , temos:

푅 = (푣 푐표푠휃 )푡 → 푅 = 푣 푡

0 = (푣 푠푒푛휃 )푡 − 푔푡 → 0 = 푣 푡 − 푔푡 → 푣 = 푔푡

Eliminando t nas duas equações obtemos:

푅 =

Como 푣 = 푣 = 7,6 푚/푠

푅 = ( , ⁄ )( ⁄ ), /

= 23 푚

c) Qual é o módulo da velocidade da bola no instante em que atinge o solo?

Como 푣 = 푣 = 7,6 푚/푠 e 푣 = −푣 = −15 푚/푠

푣 = (푣 ) + (푣 ) = (7,6푚 푠⁄ ) + (−15푚 푠⁄ ) = 17 푚/푠

d) Qual é o ângulo (abaixo da horizontal) da velocidade da bola no instante em que atinge o solo?

휃 = 푡푎푛 = = = ,

= −63°

medidos no sentido horário a partir do semi-eixo x positivo, ou −63° + 360° = 297° medidos no sentido anti-horário.

**38. Você lança uma bola em direção a uma parede com uma velocidade de 25,0 m/s e um ângulo 휃 = 40,0° acima da horizontal, conforme a figura. A parede está a uma distância d = 22,0 m do ponto de lançamento da bola.

a) A que distância acima do ponto de lançamento a bola atinge a parede?

푥 − 푥 = (푣 푐표푠휃 )푡

22,0 푚 = (25,0 푚/푠)(푐표푠40,0°)(푡) → 푡 = , ( , / )( °)

= 1,15 푠

푦 − 푦 = (푣 푠푒푛휃 )푡 − 푔푡

푦 − 0 = 25,0푚 푠⁄ (푠푒푛40°)(1,15 푠)− (9,80푚 푠⁄ )(1,15 푠) = 12,0 푚

b) Qual é a componente horizontal da velocidade da bola ao atingir a parede?

Como a bola não possui aceleração horizontal, 푣 = 푣 , então se

푣 = 푣 푐표푠휃 = 푣

푣 = 푣 푐표푠휃

푣 = (25,0푚 푠⁄ )(푐표푠40,0°) = 19,2 푚/푠

c) Qual é a componente vertical da velocidade da bola ao atingir a parede?

푣 = 푣 푠푒푛휃 − 푔푡

푣 = (25,0푚 푠⁄ )(푠푒푛40,0°)− (9,8 푚/푠 )(1,15 푠) = 4,80 푚/푠

d) Ao atingir a parede, ela já passou pelo ponto mais alto da trajetória?

Como 푣 > 0, a bola ainda não atingiu a altura máxima da trajetória.

**39. Um rifle que atira balas a 460 m/s é apontado para um alvo situado a 45,7 m de distância. Se o centro do alvo está na mesma altura do rifle, para que altura acima do alvo o cano do rifle deve ser apontado para que a bala atinja o seu centro.

A origem de coordenadas é no final do cano do rifle e o sentido do disparo é o mesmo sentido do semi-eixo x positivo.

휃 é o ângulo de disparo.

Se o alvo está a uma distância d, então suas coordenadas são: 푥 = 푑 e 푦 = 0.

As equações do movimento do projétil são: 푑 = 푣 푐표푠휃 푒 0 = 푣 푡푠푒푛휃 − 푔푡 .

Eliminando t obtemos: 2푣 푠푒푛휃 푐표푠휃 − 푔푑 = 0.

Usando a identidade trigonométrica 푠푒푛휃 푐표푠휃 = 푠푒푛(2휃 ), obtemos:

2푣 푠푒푛휃 푐표푠휃 − 푔푑 = 0 → 푣 푠푒푛(2휃 ) = 푔푑 → 푠푒푛(2휃 ) = =

푠푒푛(2휃 ) = , ⁄ ( , )( / )

= , / /

= 2,11 × 10 → 휃 = 0,0606°

A altura adicional para a qual o rifle deve ser apontado é

ℎ = 푑푡푎푛휃 = (45,7 푚) tan(0,0606°) = 0,0484푚 ou 4,84 푐푚

**40. Uma bola de beisebol deixa a mão do lançador horizontalmente com uma velocidade de 161 km/h. A distância até o rebatedor é 18,3 m.

a) Quanto tempo a bola leva para percorrer a primeira metade da distância?

Adotamos o sentido do lançamento da bola no mesmo sentido do semi-eixo x positivo. Quando a bola deixa a mão do lançador 푣 = 0 e 푣 = 푣 = 44,7 푚/푠.

Quando a a bola sai da mão do arremessador, a coordenada y é dada por 푦 = − 푔푡 e a coordenada x é dada por 푥 = 푣 푡.

Como há uma relação direta entre a distância horizontal e o tempo, significa que o tempo necessário para percorrer a metade da distância total é de metade do tempo total.

Então:

푥 = 푣 푡 → 푡 = ∆ = , , /

= 0,409 푠 (para a distância total)

A primeira metade da distância é percorrida em , = 0,205 푠

b) Quanto tempo a bola leva para percorrer a segunda metade da distância?

Como a segunda metade da distância é igual à primeira metade da distância, o tempo é o mesmo: 0,205 s

c) Que distância a bola cai livremente durante a primeira metade?

Como temos o tempo da primeira metade:

푦 = − 푔푡 → ∆푦 = − (9,80푚 푠⁄ )(0,205 푠) = − 0,205 푚

d) Que distância a bola cai livremente durante a segunda metade?

푦 = − 푔푡 → ∆푦 = − (9,80푚 푠⁄ )(0,409 푠) = − 0,820 푚

∆푦 = ∆푦 − ∆푦 = −0,820 푚− (−0,205 푚) = −0,615 푚

e) Porque as respostas dos itens c) e d) não são iguais?

Porque existe uma aceleração constante e a velocidade inicial da segunda metade é igual à velocidade no final da primeira metade.

**41. Na figura, uma bola é jogada para a esquerda a partir da extremidade esquerda de um terraço situado a uma altura h acima do solo. A bola chega ao solo 1,50 s depois, a uma distância d = 25,0 m do edifício fazendo um ângulo 휃 = 60,0° com a horizontal.

a) Determine o valor de h.

Para determinar a altura, torna-se mais fácil inverter o movimento da bola. Então calcularemos o movimento como se a bola tivesse sido lançada do solo para o alto do edifício e da esquerda para a direita.

푥 − 푥 = (푣 푐표푠휃 )푡 → 25,0 푚 = (푣 푐표푠60,0°)(1,50 푠)

푣 =( , )

, °

= 33,3 푚/푠

Determinada a velocidade inicial e tendo 푦 = 0, determinamos a altura:

푦 − 푦 = (푣 푠푒푛휃 )푡 − 푔푡

푦 = (33,3 푚/푠)(푠푒푛60,0°)(1,50 푠)− (9,80푚 푠⁄ )(1,50 푠) = 32,3 푚

b) Qual é o módulo da velocidade com a qual a bola foi lançada.

푣 = 푣 = 푣 푐표푠휃 = (33,3푚 푠⁄ )푐표푠60,0° = 16,7푚/푠

푣 = 푣 − 푔푡 = 푣 푠푒푛휃 − 푔푡

푣 = [(33,3푚 푠⁄ )푠푒푛60,0°]− [(9,80푚 푠⁄ )(1,50 푠)] = 14,2 푚/푠

|푣⃗| = (푣 ) + (푣 ) = (16,7 푚/푠) + (14,2 푚/푠) = 21,9 푚/푠

c) Qual é o ângulo da velocidade em relação à horizontal com o qual a bola foi lançada.

휃 = 푡푎푛 = = = , /, /

= 40,4°

**42. Uma bola de golfe recebe uma tacada no chão. A velocidade da bola em função do tempo é mostrada na figura, onde t = 0 é o instante em que a bola foi golpeada.

a) Que distância a bola percorre na horizontal antes de voltar ao nível do solo?

No movimento horizontal não há aceleração, portanto, sempre que 푣 = 0, 푣 = 푣 .

Um gráfico apena com 푣 seria representado por uma reta.

Observando o gráfico, verifica-se uma curva, onde a velocidade diminui, depois aumenta. Daí infere-se que 푣 está variando. Conclui-se que em t = 2,5 s, quando a velocidade muda o sentido, a bola atinge o ponto mais alto da trajetória, quando 푣 = 0, logo, em 푡 = 2,5 푠; 푣 = 푣 :

|푣⃗| = (푣 ) + (푣 ) → |푣⃗| = (19 푚/푠) + (0) = 19 푚/푠

Até voltar ao nível do solo a bola permanece 5 s viajando. Então

푥 − 푥 = (푣 푐표푠휃 )푡

O ângulo do ponto de partida até voltar ao nível do solo é 0, e cos 0° = 1, logo

푥 − 푥 = 푣 푡 → 푥 − 0 = (19푚 푠⁄ )(5 푠) → 푥 = 95 푚

b) Qual é a altura máxima atingida pela bola acima do solo?

Como a velocidade inicial, de acordo com o gráfico é 31 m/s, e a velocidade horizontal calculada no item anterior é 19 m/s, a velocidade inicial vertical é

|푣⃗ | = (푣 ) + (푣 ) → 31 푚/푠 = (19 푚/푠) + (푣 )

(19 푚/푠) + (푣 ) = (31푚 푠⁄ ) → (푣 ) = (31푚 푠⁄ ) − (19 푚/푠)

푣 = (31푚 푠⁄ ) − (19 푚/푠) = 24,5 푚

Tomando 푦 = 0:

푦 − 푦 = 푣 + 푣 푡 → 푦 = (0 + 24,5푚 푠⁄ )(2,5 푠) + 0 = 31 푚

**43. Na figura, uma bola é lançada com uma velocidade de 10,0 m/s e um ângulo de 50,0° com a horizontal. O ponto de lançamento fica na base de uma rampa de comprimento horizontal 푑 =6,00 푚 e altura 푑 = 3,60 푚. No topo da rampa está localizado um platô.

a) A bola aterrissa na rampa ou no platô?

Organizamos nossas coordenadas de modo que o ponto A(0, 0) esteja na bola antes de ser lançada e o ponto B(6,00, 3,60) seja a intersecção da rampa com o platô.

A inclinação da rampa será:

푚 = = ,,

= ,,

= 0,600

Deste modo, 푦 = 푚푥 = 0,600푥.

Usando a equação da trajetória:

푦 = (푡푎푛휃 )푥 −( )

→ 푦 = tan(50,0°)푥 − ( , / )( , ⁄ ) ( , °)

푥

0,600푥 = tan(50,0°)푥 − ( , / )( , ⁄ ) ( , °)

푥

0,600 =( , °) ( , / )

( , ⁄ ) ( , °)

0,600 = tan(50,0°)− ( , / )( , ⁄ ) ( , °)

푥

( , / )( , ⁄ ) ( , °)

푥 = tan(50,0°)− 0,600

(9,80푚 푠⁄ )푥 = [tan(50,0°) − 0,600][2(10,0푚 푠⁄ ) (푐표푠50,0°) ]

푥 = [ ( , °) , ][ ( , ⁄ ) ( , °) ]( , ⁄ )

= 4,99 푚

Logo a bola aterrissa na rampa.

b) No momento em que bola aterrissa qual é o módulo do deslocamento da bola em relação ao ponto de lançamento?

푦 = 푚푥 → 푦 = 0,600(4,99) = 2,99 푚

|푟⃗| = 푥 + 푦 = (4,99 푚) + (2,99 푚) = 5,82 푚

c) No momento em que bola aterrissa qual é o ângulo do deslocamento da bola em relação ao ponto de lançamento?

휃 = 푡푎푛 = = = , ,

= 31,0°

Que é o mesmo ângulo da rampa 푡푎푛 (푚).

**44. Em 1939 ou 1940 Emanuel Zacchini levou seu número de bala humana a novas alturas. Depois de ser disparado por um canhão, passou por cima de três rodas-gigantes antes de cair em uma rede conforme mostrado na figura.

a) Tratando Zacchini como uma partícula, determine a que distância vertical ele passou da primeira roda-gigante?

Utilizaremos com origem das coordenadas a boca do canhão, assim 푥 = 0 e 푦 = 0.

A distância entre a boca do canhão e a roda-gigante do meio é:

푥 = 23,0 푚

푦 = (푡푎푛휃 )푥 −( )

→ 푦 = tan 53,0° (23,0 푚)− , ⁄ ( , )( , ⁄ ) ( , °)

= 20,3 푚

Como a boca do canhão está 3,00 m acima da base da roda-gigante, temos que subtrair 3,00 m da altura da mesma. Então.

20,3 푚− (18,0 푚− 3,00 푚) = 5,30 푚

b) Se ele atingiu a altura máxima ao passar pela roda-gigante do meio, a que distância vertical passou dessa roda-gigante?

푥 = 23 푚 + = 34,5 푚

푦 = (푡푎푛휃 )푥 −( )

→ 푦 = tan 53,0° (34,5 푚)− , ⁄ ( , )( , ⁄ ) ( , °)

= 22,85 푚

22,9 푚− (18,0 푚− 3,00 푚) = 7,90 푚

c) A que distância do canhão devia estar posicionado o centro da rede (desprezando-se a resistência do ar)?

Como 푦 − 푦 = 0, quero dizer a altura final é igual a altura de lançamento, podemos utilizar a equação do alcance horizontal:

푅 = 푠푒푛 2휃 → 푅 = ( , ⁄ ), ⁄

푠푒푛2(53,0°) = 68,9 푚

**45. Quando vê um inseto pousado em uma planta perto da superfície da água, o peixe-arqueiro coloca o focinho para fora e lança um jato de água na direção do inseto para derrubá-lo na água. Conforme a figura, embora o peixe veja o inseto na extremidade de um segmento de reta de comprimento d, que faz um ângulo 휑 com a superfície da água, o jato deve ser lançado com um ân-gulo diferente, 휃 , para que sua trajetória parabólica intercepte o inseto. Se 휑 = 36,0°,푑 = 0,900 푚, e a velocidade de lançamento é 3,56 m/s, qual deve ser o valor de 휃 para que o jato esteja no ponto mais alto da trajetória quando atinge o inseto?

Com o peixe-arqueiro na origem, a posição do inseto é:

푥 = 푑푐표푠휑 = (0,900 푚) cos 36,0° = 0,728 푚

푦 = 푑푠푒푛휑 = (0,900 푚) sen 36,0° = 0,529 푚

Uma vez que, neste caso, 푦 = 푦

푦 = → 휃 = 푠푒푛 → 휃 = 푠푒푛 ( , / )( , )( , / )

휃 = 푠푒푛 (0,9045) = 64,8°

**46. Na figura uma bola é arremessada para o alto de um edifício, caindo 4,00 s depois a uma altura ℎ = 20,0 푚 acima da altura de lançamento. A trajetória da bola no final tem uma inclinação 휃 = 60,0° em relação à horizontal.

a) Determine a distância horizontal d coberta pela bola.

Tomaremos nosso sistema de coordenadas, com a bola sendo atirada para a esquerda do alto do edifício. Assim, x positivo fica para a esquerda e o ângulo tomado no sentido horário.

Temos, então:

푦 = 20,0 푚, 푦 = 0, 푡 = 4,00푠, ℎ = 20,0 푚 푒 휃 = 60,0°

푦 − 푦 = 푣 푡 − 푔푡 → 푦 − 푦 = (푣 푠푒푛60,0°)푡 − 푔푡

0 − 20,0 푚 = (푣 푠푒푛60,0°)(4,00 푠) − (9,80 푚/푠 )(4,00 푠)

(푣 푠푒푛60,0°)(4,00 푠) = (9,80 푚/푠 )(4,00 푠) − 20,0푚

(푣 푠푒푛60,0°) =( , / )( , ) ,

( , ) → 푣 =

( , / )( , ) ,( , )

, °= 16,9 푚/푠

푥 = 0 e 푥 = 푑

Então:

푥 − 푥 = 푣 푡

푑 = (16,9푚 푠⁄ )푐표푠60,0°(4,00 푠) = 33,7 푚

b) Qual é o módulo da velocidade inicial da bola?

푣 = 푣 = (16,9푚 푠⁄ )푐표푠60,0° = 8,43 푚/푠

푣 = 푣 = (16,9푚 푠⁄ )푠푒푛60,0° − (9,80푚 푠⁄ )(4,00 푠) = −24,6 푚/푠

|푣⃗| = 푣 + 푣 = (8,43푚 푠⁄ ) + (−24,6 푚/푠) = 26,0 푚/푠

c) Qual é o ângulo (em relação à horizontal) da velocidade inicial da bola?

휃 = 푡푎푛 = = = , /, /

= − 71,1°

Ao revertermos o movimento, da esquerda para a direita, o ângulo é 71,1°.

**47. Um rebatedor golpeia uma bola quando o centro da bola está a 1,22 m acima do solo. A bola deixa o taco do rebatedor fazendo um ângulo de 45º com o solo. Nesse lançamento a bola tem um alcance horizontal (distância até voltar à altura de lançamento) de 107 m.

a) A bola conseguirá passar por um alambrado de 7,32 m de altura que está a uma distância horizontal de 97,5 m do ponto de lançamento?

푅 = 푠푒푛 2휃 → 푣 =

= ( , / )( ) = 32,4 푚/푠

푥 − 푥 = (푣 푐표푠휃 )푡 → 푡 = = , ( , ⁄ ) °

= 4,26 푠

푦 − 푦 = (푣 푠푒푛휃 )푡 − 푔푡 → 푦 = 푦 + (푣 푠푒푛휃 )푡 − 푔푡

푦 = 1,22 + (32,4푚 푠⁄ 푠푒푛45°)(4,26 푠)− (9,80푚 푠⁄ )(4,26 푠) = 9,89 푚

Como a cerca possui 7,32 m de altura, a bola passará por cima dela.

b) Qual é a distância entre o alto do alambrado e o centro da bola quando a mesma chega ao alambrado?

9,89 푚− 7,32 푚 = 2,57 푚

**48. Alguns jogadores de basquetebol parecem flutuar no ar durante um salto em direção à cesta. A ilusão depende em boa parte da capacidade de um jogador experiente de trocar a bola de mão durante o salto, mas pode ser acentuada pelo fato de que o jogador percorre uma distância horizontal maior na parte superior do salto do que na parte inferior. Se um jogador salta com uma velocidade inicial 푣 = 7,00 푚/푠 e um ângulo 휃 = 35,0°, que porcentagem do alcance do salto o jogador passa na parte superior do salto (entre a altura máxima e a metade da altura máxima)?

Usando o fato de que 푣 = 0 em 푦 e chamando 푡 em 푦 de 푡 :

0 = 푣 = 푣 푠푒푛휃 − 푔푡 → 푡 =

Substituindo t na equação:

푦 − 푦 = (푣 푠푒푛휃 )푡 − 푔푡 teremos:

푦 = (푣 푠푒푛휃 ) − 푔 = = 0,82 푚

Para resolver a metade de 푦 :

푦 = 푦 = = = (푣 푠푒푛휃 )푡 − 푔푡

푡 é = ( ±√ )

∆푡 = 푡 − 푡 é = − ( √ ) =√

=√

= ∆ =√

= 0,707 = 70,7%

***49. Os esquiadores experientes costumam dar um pequeno salto antes de chegar a uma encosta. Considere um salto no qual a velocidade inicial é 푣 = 10 푚/푠, o ângulo é 휃 = 9,0°, a pista antes do salto é aproximadamente plana e a encosta tem uma inclinação de 11,3°. A figura a mostra um pré-salto no qual o esquiador desce no início da encosta. A figura b mostra um salto que começa no momento em que o esquiador está chegando à encosta. Na figura a o esquiador desce aproximadamente na mesma altura em que começõu o salto.

a) Qual o ângulo Φ entre a trajetória do esquiador e a encosta na situação da figura a?

O esquiador salta para cima a um ângulo 휃 = 9,0° (para cima em relação à horizontal) e, assim, regressa ao nível de lançamento com o seu vector de velocidade de 9,0° abaixo da horizontal. Como a superfície de neve faz um ângulo de α = 11,3 ° (abaixo da horizontal), o ângulo entre a rampa e o vetor de velocidade é:

훷 = 훼 − 휃 = 11,3°− 9,0° = 2,3°

b) Na situação da figura b, o esquiador desce quantos metros abaixo da altura em que começou o salto?

Fazendo 푥 = (푑 푐표푠 훼) e 푦 = (−푑 푠푒푛 훼) (a borda da pista é a origem), temos:

푦 = (푡푎푛휃 )푥 −( )

−푑 푠푒푛훼 = (푡푎푛휃 )(푑 푐표푠훼) − ( )( )

푑 = (cos푎 푡푎푛휃 + 푠푒푛 푎)

푑 = (cos푎 푠푒푛 휃 + cos휃 푠푒푛 푎)

푑 = 푠푒푛(휃 + 푎)

푑 = ( ⁄ ) ( , °)( , / ) ( , °)

푠푒푛(9,0° + 11,3°) = 7,27푚

푦 = −푑 푠푒푛 푎 = −(7,27 푚)푠푒푛(11,3°) = −1,42 푚

Respondendo à pergunta, o esquiador aterra 1,42 m abaixo da altura de onde iniciou o salto.

c) Na situação da figura b, qual é o valor de Φ?

O tempo que o esquiador leva para aterrar é:

푡 = =

= ( , ) ( , °)( ⁄ ) ( , °)

= 0,72 푠

Precisamos saber as componentes da velocidade:

푣 = 푣 푐표푠휃 = (10푚 푠⁄ ) cos(9,0°) = 9,9 푚/푠

푣 = 푣 푠푒푛휃 − 푔푡 = (10푚 푠⁄ ) sen(9,0°)− (9,8푚 푠⁄ )(0,72 푠) = −5,5 푚/푠

Encontradas as componentes podemos calcular o ângulo da velocidade.

휃 = 푡푎푛 = = = , /, /

= − 29,1° (abaixo da horizontal)

Φ é o ângulo formado entre a inclinação da encosta e a direção da velocidade do esquiador, então:

훷 = (−29,1°) − (−11,3°) = −17,8° (o valor negativo indica abaixo da horizontal)

O módulo de Φ = 17,8°

***50. Uma bola é lançada a partir do solo em direção a uma parede situada a uma distância x, conforme a figura a. A figura b mostra a componente 푣 da velocidade da bola ao chegar à parede em função da distância x. Qual é o ângulo de lançamento?

푥 − 푥 = (푣 푐표푠휃 )푡 → 푡 =

푣 = 푣 푠푒푛휃 − 푔푡 → 푣 = 푣 − 푔푡 (substituindo t)

푣 = 푣 − 푔 → 푣 = 푣 −

Uma vez que o declive do gráfico é:

푚 = = = = −0,500, concluímos que:

= → 푣 = 2푔 = 19,6 푚/푠

Conforme o gráfico, em 푥 = 0 푚, a 푣 = 5,00푚 푠⁄ , então concluímos que

푣 = 5,00 푚/푠

휃 = 푡푎푛 = = = , /, /

= 14,3°

***51. O chute de um jogador de futebol americano imprime à bola uma velocidade inicial de 25 m/s.

a) Qual é o menor ângulo de elevação que ele pode imprimir à bola para marcar um field goal a partir de um ponto situado a 50 m da meta cujo travessão está 3,44 m acima do gramado?

b) Qual é o maior ângulo de elevação que ele pode imprimir à bola para marcar um field goal a partir de um ponto situado a 50 m da meta cujo travessão está 3,44 m acima do gramado?

A origem de coordenadas é no ponto em que a bola é chutada, então 푥 = 0 푒 푦 = 0. Usamos x e y para representar as coordenadas da bola na trave, e tentar encontrar o ângulo de chute.

푥 = 50 푚 푦 = 3,44 푚

푥 − 푥 = 푣 푐표푠휃 푡 → 푡 =

푦 − 푦 = 푣 푠푒푛 휃 푡 − 푔푡 (mas 푡 = ), então, substituindo t

푦 = 푣 푠푒푛 휃 − 푔 arrumando a equação

푦 =

푥 − lembremos que = 푡푎푛 휃 , então

푦 = 푥 tan휃 − que pode ser escrito da seguinte forma

푦 = 푥 tan휃 −

Lembrando a identidade trigonométrica = 1 + 푡푎푛 휃 e substituindo na equação,

teremos:

푦 = 푥 tan휃 − (1 + 푡푎푛 휃 ) → 푦 = 푥 tan휃 − − 푡푎푛 휃

Arrumando a equação obtemos uma equação quadrática:

푡푎푛 휃 − 푥 푡푎푛 휃 + 푦 + = 0

Podemos ainda simplificar, fazendo:

= 푐 = , ⁄ ( )( ⁄ )

= 19,6 푚

Temos assim uma equação do segundo grau mais enxuta:

푐 푡푎푛 휃 − 푥 tan휃 + 푦 + 푐 = 0

tan휃 = ± ( ) = ± ( ) ( , )( , , )( , )

tan휃 = ± ,,

= 1,95 → 62,8° ≅ 63°0,604 → 31,1° ≅ 31°

A resposta da letra a) é 31º

A resposta da letra b) é 63°

***52. Uma bola é lançada a partir do solo com uma certa velocidade. A figura mostra o alcance R em função do ângulo de lançamento 휃 . O tempo do percurso depende do valor de 휃 ; seja 푡 o maior valor possível para o tempo. Qual é a menor velocidade que a bola possui durante o percurso se 휃 é escolhido de tal forma que o tempo do percurso é, 0,5푡 .

Para ∆푦 = 0 , 푡 = , o que implica que para 푡 = quando 휃 = 90°. Assim,

푡 = → = 푠푒푛휃 = 30,0°

Portanto, 0,5푡 está no ângulo 휃 = 30,0°.

Uma vez que a menor velocidade ocorre no topo da trajetória, que é onde ela possui apenas a componente x da velocidade inicial (푣 푐표푠휃 = 푣 푐표푠30,0°, para 푡 ), então é

necessário concultar o gráfico, para encontrar a 푣 a fim de que possamos completar a solução.

No gráfico, 푅 = 240 푚 quando 휃 = 45,0°.

푅 = 푠푒푛 2휃 → 푣 =

= ( , / ) , °

= 48,5 푚

Para 0,5푡 , temos, lembrando que a menor velocidade ocorre no topo da trajetória, quando a mesma possui apenas a componente x:

푣 = 푣 푐표푠휃 = 48,5 푚/푠(푐표푠30°) = 42,0 푚/푠

***53. Uma bola rola horizontalmente do alto de uma escada com uma velocidade de 1,52 m/s. Os degraus têm 20,3 cm de altura e 20,3 cm de largura. Em que degrau a bola bate primeiro?

Designamos ℎ como a altura de um degrau e 푤 como a sua largura.

Para cair um degrau a bola deve cair de uma altura 푛ℎ e viajar horizontalmente entre (푛 − 1)푤 e 푤

Tomamos como origem de um sistema de coordenadas o ponto onde a bola deixa a parte superior da escada, e escolhemos o eixo 푦 positivo para cima.

As coordenadas da bola em função do tempo 푡 são dadas por:

푥 = 푣 푡 e 푦 = − 푔푡 (pois 푣 = 0).

Nós igualamos 푦 = −푛ℎ e calculamos o tempo para atingir uma etapa 푛:

푦 = − 푔푡 → −푛ℎ = − 푔푡 → 푡 =

Como 푥 = 푣 푡, e 푡 = , substituímos 푡 e obtemos:

푥 = 푣 = (1,52 푚/푠) ( , ), ⁄ = (0,309 푚)√푛

O método consiste em testar valores de 푛 até encontrar um que:

(푛 − 1) < < 푛

Para tanto começamos com

푛 = 1

푥 = (0,309 푚)√푛 → 푥 = (0,309 푚)√1 = 0,309 푚

(푛 − 1) < < 푛 → (1− 1) < , ,

< 1 → (1 − 1) < 1,52 < 1 (falso)

푛 = 2

푥 = (0,309 푚)√푛 → 푥 = (0,309 푚)√2 = 0,437 푚

(푛 − 1) < < 푛 → (2− 1) < , ,

< 2 → (2 − 1) < 2,15 < 2 (falso)

푛 = 3

푥 = (0,309 푚)√푛 → 푥 = (0,309 푚)√3 = 0,535 푚

(푛 − 1) < < 푛 → (3− 1) < , ,

< 3 → (3 − 1) < 2,64 < 3 (verdadeiro)

Concluímos que a bola cairá no 3° degrau.

***54. Dois segundos após ter sido lançado a partir do solo, um projétil deslocou-se 40 m horizontalmente e 53 m verticalmente em relação ao ponto de lançamento.

a) Qual é a componente horizontal da velocidade inicial do projétil?

∆푥 = 푣 푡 → 푣 = ∆ =

= 20 푚/푠

b) Qual é a componente vertical da velocidade inicial do projétil?

∆ = 푣 푡 − 푔푡 → 푣 =∆

= , ⁄ ( )

= 36 푚/푠

c) Qual é o deslocamento horizontal em relação ao ponto de lançamento no instante em que o projétil atinge a altura máxima em relação ao solo?

Em 푦 , temos 푣 = 0 , logo 푣 = 0

푣 = 푣 − 푔푡 → 푡 = = /, /

= 3,68 푠

푥 − 푥 = 푣 푡 → 푥 = (20 푚/푠)(3,68 푠) = 74 푚

***55. Na figura uma bola de beisebol é golpeada a uma altura ℎ = 1,00 푚 e apanhada na mesma altura. Deslocando-se paralelamente a um muro, ela passa pelo alto do muro 1,00 푠 após ter sido golpeada e, novamente, 4,00 푠 depois, quando está descendo, em posições separadas por uma distância 퐷 = 50,0 푚.

a) Qual é a distância horizontal percorrida pela bola do instante em que foi golpeada até ser apanhada?

Colocamos 푦 = ℎ = 1,00 푚 onde a bola é rebatida, bem como 푥

Colocamos 푦 e 푦 = ℎ (altura da parede)

푥 é o ponto onde a bola se eleva acima da parede e 푥 quando volta abaixo da parede

푦 = 1,00 푚

푥 = onde a bola é apanhada

Sabendo que 푣 é constante, temos 푥 − 푥 = 50,0 푚 = 푣 (4,00 푠), logo

푣 = , ,

= 12,5 푚/푠

Como o percurso total da bola levou 1 s até a parede e depois 1 seg da parede até ser apanhada, temos:

1,00 푠 + 4,00 푠 + 1,00푠 = 6,00 푠

Como a velocidade horizontal é constante, podemos usar 푣 = 푣 = 푣 = 푣 = 푣

Então

푥 − 푥 = 푅 = 푣 푡 = (12,5 푚/푠)(6,00 푠) = 75,0 푚

b) Qual é o módulo da velocidade da bola imediatamente após ter sido golpeada?

Nos falta calculat a 푣

Aplicando a equação

푦 − 푦 = 푣 푡 − 푔푡

푦 − 푦 = 푣 푡 − 푔푡 como ambos possuem a mesma altura 푦 − 푦 = 0

푣 = = 푔푡 = (9,80푚 푠⁄ )4,00 푠 = 19,6 푚/푠

Esta é a velocidade com que a bola passou pelos pontos em que a trajetória corta a linha formada pelo topo do muro.

Podemos dizer que:

푣 = 푣 − 푔푡 표 푞푢푒 푑á 푣 = 푣 + 푔푡

O tempo da rebatida até a bolo chegar à altura do muro é 1,00 s, então

푣 = 19,6푚 푠⁄ + (9,8푚 푠⁄ )(1,00 푠) = 29,4 푚/푠

Então temos, finalmente:

푣⃗ = 푣 횤̂ + 푣 횥̂ = (12,5 푚/푠)횤̂ + (29,4 푚/푠)횥̂

Cujo módulo é:

|푣⃗| = (12,5 푚/푠) +(29,4 푚/푠) = 34,9 푚/푠

c) Qual é o ângulo (em relação à horizontal) da velocidade da bola imediatamente após ter sido golpeada?

휃 = 푡푎푛 = = = , /, /

= 67,0°

d) Qual é a altura do muro?

푦 − 푦 = 푣 푡 − 푔푡

ℎ = 푦 + 푣 푡 − 푔푡

ℎ = 1,00 푚 + 29,4 푚/푠(1,00 푠) − (9,8푚 푠⁄ )(1,00 푠) = 25,5 푚

*56. Um viciado em aceleração centrípeta executa um movimento circular uniforme de período 푇 = 2,0 푠 e raio 푟 = 3,00 푚. No instante 푡 sua aceleração é 푎⃗ = (6,00푚 푠⁄ )횤̂ +(−4,00푚 푠⁄ )횥̂. Nesse instante, quais são os valores de

a) 푣⃗ ∙ 푎⃗?

Durante o movimento circular uniforme, o vetor da velocidade é perpendicular ao vetor da aceleração, logo

푣⃗ ∙ 푎⃗ = 0

b) 푟⃗ × 푎⃗?

O vetor da aceleração em todo instante possui o sentido do centro da circunferência, enquanto o raio possui sentido contrário. O ângulo formado entre 푟⃗ e 푎⃗ é 180°, logo

푟⃗ × 푎⃗ = 0

*57. Em um parque de diversões uma mulher passeia em uma roda-gigante com 15 m de raio, completando cinco voltas em torno do eixo horizontal a cada minuto.

a) Qual é o período do movimento?

Um período corresponde a uma volta completa.

5 voltas por minuto representa

푇 = º

= = 12 푠

b) Qual é o módulo da aceleração centrípeta no ponto mais alto?

Como uma volta representa a distância de 2πR e

푣 = = ( )

= 7,85 푚/푠

O módulo da aceleração é:

푎 = = ( , / )

= 4,1 푚/푠

c) Qual é o sentido da aceleração centrípeta no ponto mais alto?

O vetor da aceleração centrípeta aponta para baixo, para o centro da órbita.

d) Qual é o módulo da aceleração centrípeta no ponto mais baixo?

Como não houve modificação do raio nem da velocidade, a aceleração centrípeta é a mesma = 4,1 m/s².

e) Qual é o sentido da aceleração centrípeta no ponto mais baixo?

O vetor da aceleração centrípeta aponta para cima, para o centro da órbita.

*58. Qual é o módulo da aceleração centrípeta de um velocista que corre a 10 m/s ao fazer uma curva com 25 m de raio?

푎 = = ( / )

= 4,0 푚/푠

*59. Quando uma grande estrela se torna uma supernova seu núcleo pode ser tão comprimido que ela se transforma em uma estrela de nêutrons, com um raio de cerca de 20 km. Se uma estrela de nêutrons completa uma revolução a cada segundo,

a) Qual é o módulo da velocidade de uma partícula situada no equador da estrela?

푣 = = ( )

= 1,3 × 10 푚/푠

b) Qual é o módulo da aceleração centrípeta da partícula situada no equador da estrela?

푎 = = , × /

= 7,9 푚/푠

c) Se a estrela de nêutrons gira mais depressa, as respostas dos itens a) e b) aumentam, diminuem ou permanecem as mesmas?

Se a estrela gira mais depressa, o período diminui logo a velocidade aumenta. Aumentando a velocidade, a aceleração aumenta.

Os itens das letras a) e b) aumentam.

*60. Um satélite se move em uma órbita circular, 640 km acima da superfície da Terra, com um período de 98,0 min.

a) Qual é a velocidade do satélite?

Somamos ao raio da Terra, mais 640 km.

푅 = 6,37 × 10 푚+ 6,4 × 10 = 7,01 × 10 푚

푣 = = ( , × ), ×

= 7,49 × 10 푚/푠

a) Qual é o módulo da aceleração centrípeta?

푎 = = , × / , ×

= 8,00 푚/푠

*61. Um carrossel de um parque de diversões gira em torno de um eixo vertical com velocidade angular constante. Um homem em pé na borda do carrossel tem uma velocidade escalar constante de 3,66 m/s e uma aceleração centrípeta 푎⃗ de módulo 1,83 m/s². O vetor posição 푟⃗ indica sua posição em relação ao eixo do carrossel.

Primeiramente colocamos nosso sistema de coordenadas de modo que a origem deste sistema esteja no eixo vertical do carrossel, o sentido positivo do eixo x aponte para o leste enquanto o sentido negativo do eixo y aponte para o sul.

a) Qual é o módulo de 푟⃗?

푎 = → 푟 = = ( , / ), / ²

= 7,32 푚

b) Qual é o sentido de 푟⃗ quando 푎⃗ aponta para o leste?

O sentido da aceleração centrípeta é sempre contrário ao sentido do vetor posição, logo, respondendo à questão, 푟⃗ aponta para oeste.

c) Qual é o sentido de 푟⃗ quando 푎⃗ aponta para o sul?

O sentido da aceleração centrípeta é sempre contrário ao sentido do vetor posição, logo, respondendo à questão, 푟⃗ aponta para norte.

*62. Um ventilador realiza 1200 revoluções por minuto. Considere um ponto situado na extremidade de uma das pás, que descreve uma circunferência com 0,15 m de raio.

a) Que distância este ponto percorre em uma revolução?

푐 = 2휋푟 = 2휋(0,15 푚) = 0,94 푚

b) Qual é a velocidade desse ponto?

푇 =

= 0,05 푠/푟푒푣

푣 = = , ,

= 18,8 푚/푠

c) Qual o módulo da aceleração?

푎 = = ( , / ),

= 2,36 × 10 푚/푠

d) Qual é o período do movimento?

푇 =

= 0,050 푠

**63. Uma bolsa a 2,00 m do centro e uma carteira a 3,00 m do centro descrevem um movimento circular uniforme no piso de um carrossel. Elas estão na mesma linha radial. Em um certo instante a aceleração da bolsa é (2,00푚 푠⁄ )횤̂ + (4,00푚 푠⁄ )횥̂. Qual é a aceleração da carteira neste instante, em termos de vetores unitários?

Como o período de um movimento circular uniforme é 푇 = , em que 푟 é o raio e 푣 é a velocidade, a aceleração centrípeta pode ser escrita como:

푎 = = = =

Com base nessa expressão, verificamos que o único valor variável entre a bolsa e a carteira é o módulo do seu raio. Então a razão do raio é:

= = 1,5

푎 = 1,50[(2,00푚 푠⁄ )횤̂+ (4,00푚 푠⁄ )횥̂] = (3,00푚 푠⁄ )횤̂ + (6,00푚 푠⁄ )횥̂

**64. Uma partícula se move em uma trajetória circular em um sistema de coordenadas 푥푦 horizontal, com velocidade escalar constante. No instante 푡 = 4,00 푠 ela está no ponto (5,00 m, 6,00 m) com velocidade (3,00 푚/푠)횥̂ e aceleração no sentido positivo de 푥. No instante 푡 = 10,0 푠 ela tem uma velocidade (−3,00 푚/푠)횤̂ e uma aceleração no sentido positivo de 푦.

a) Qual é a coordenada 푥 do centro da trajetória circular se a diferença 푡 − 푡 é menor que um período?

O fato de que a velocidade é no sentido 푦 positivo e a aceleração é na direção 푥 positivo em 푡 = 4,00 푠 significa que o movimento é para a direita. A posição corresponde à posição 09:00 horas. Por outro lado, a posição em 푡 = 10,0 푠 corresponde à posição de 6:00 horas uma vez que os pontos de velocidade na direcção 푥 negativo e a aceleração é na direção 푦 positivo. O intervalo de tempo ∆푡 = 10,0 푠 − 4,00 푠 = 6,00 푠 é igual a 3/4 de um período:

6,00 푠 = 푇 → 푇 = ( , ) = 8,00 푠

푇 = → 푟 = = ( , / )( , ) = 3,82푚

A coordenada x do centro da trajetória circular é:

푥 = 5,00 푚 + 3,82 푚 = 8,82 푚

b) Qual é a coordenada 푦 do centro da trajetória circular se a diferença 푡 − 푡 é menor que um período?

푦 = 6,00 푚

**65. Em 푡 = 2,00 푠, a aceleração de uma partícula em movimento circular no sentido anti-horário é (6,00푚 푠⁄ )횤̂ + (4,00푚 푠⁄ )횥̂. Ela se move com velocidade escalar constante. Em 푡 = 5,00 푠, sua aceleração é (4,00푚 푠⁄ )횤̂ + (−6,00푚 푠⁄ )횥̂. Qual é o raio da trajetória da partícula se a diferença 푡 − 푡 é menor que um período?

Primeiro, verificamos se a aceleração em 푡 (que chamaremos de 푎⃗ ) é perpendicular à aceleração em 푡 (que chamaremos de 푎⃗ ).

Como 푎⃗ ⊥ 푎⃗ = 0 vamos verificar:

푎⃗ ∙ 푎⃗ = [(6,00푚 푠⁄ )횤̂ + (4,00푚 푠⁄ )횥̂] ∙ [(4,00푚 푠⁄ )횤̂ + (−6,00푚 푠⁄ )횥̂] =

= (24,0푚 푠⁄ )횤̂ − (24,0푚 푠⁄ )횥̂ = 0

Provamos que as acelerações 푎⃗ e 푎⃗ são perpendiculares.

Então um ângulo entre elas obrigatoriamente é 90° e o outro 270°, o que nos leva a perceber que a partícula se desloca, em 푡 − 푡 , ou 1 quarto de circunferência ou 3 quartos de circunferência.

Um esboço rápido permite a conclusão de que, se a partícula se move para a esquerda (conforme enunciado) viaja três quartos da circunferência a partir da posição 푡 para a posição 푡 .

푡 − 푡 = 5,00 푠 − 2,00 푠 = 3,00 푠

3,00 푠 = 푇 → 푇 = ( , ) = 4,00 푠

푎 = 푎 + 푎 = (6,00푚 푠⁄ ) (4,00푚 푠⁄ ) = 7,21 푚/푠

Note que o módulo da aceleração centrípeta será o mesmo para qualquer ponto em que for calculado.

O raio, então é:

푎 = = = = → 푟 = = , ⁄ ( , ) = 2,92 푚

**66. Uma partícula descreve um movimento circular uniforme em um plano horizontal 푥푦. Em um certo instante ela passa pelo ponto de coordenadas (4,00 m, 4,00 m) com velocidade (−5,00횤̂) 푚/푠 e uma aceleração de (12,5횥̂) 푚/푠².

a) Qual é a coordenada 푥 do centro da trajetória?

Quando uma partícula viaja em movimento circular com velocidade constante, o vetor da aceleração centrípeta necessariamente aponta para o centro.

Como no ponto (4,00 m, 4,00 m) a aceleração possui apenas a componente 푦, indica que a partícula está exatamente sobre um eixo paralelo ao eixo 푦 que passa pelo centro da circunferência cortando o eixo 푥 no valor 4,00 m.

푥 = (4,00 푚)횤̂

b) Qual é a coordenada 푦 do centro da trajetória?

Como a aceleração aponta para cima (y positivo), indica que a partícula está no sentido contrário, para baixo do centro da circunferência, então o ponto (4,00 m, 4,00 m) está a distância de um raio abaixo do centro da circunferência.

푣 = 푣 + 푣 = (−5,00횤̂) + 0 = 5,00 푚/푠

푟 = = ( , ⁄ ), /

= 2,00푚

A coordenada y do centro é 2,00 푚 + 4,00 푚 = (6,00 푚)횥̂

***67. Um menino faz uma pedra descrever uma circunferência horizontal com 1,5 m de raio 2,0 m acima do chão. A corda se parte e a pedra é arremessada horizontalmente, chegando ao solo depois de percorrer uma distância horizontal de 10 m. Qual era o módulo da aceleração centrípeta da pedra durante o movimento?

Para calcular a aceleração centrípeta da pedra, o que precisamos saber a sua velocidade durante o seu movimento circular.

Esta é também a sua velocidade inicial no início dp vôo após arrebentar a corda.

Tomando a direcção y para cima e colocando a origem no ponto em que a pedra deixa sua órbita circular, as coordenadas da pedra durante o seu movimento como um projéctil são dadas por:

푥 = 푣 푡 e 푦 = − 푔푡 (푣 = 0)

A pedra atinge o solo em 푥 = 10푚 푒 푦 = −2,0 푚

푦 = − 푔푡 → 푡 =

푥 = 푣 푡 → 푥 = 푣 → 푣 = 푥 − = (10 푚) − , ⁄( , )

= 15,7 푚/푠

Como 푣 = 푣 do movimento circular, temos:

푎 = = ( , / ),

= 163 푚/푠

***68. Um gato pula em um carrossel que está descrevendo um movimento circular uniforme. No instante 푡 = 2,00 푠, a velocidade do gato é 푣⃗ = (3,00 푚/푠)횤̂ + (4,00푚 푠⁄ )횥̂, medidas em um sistema de coordenadas horizontal 푥푦. No instante 푡 = 5,00 푠, a velocidade é 푣⃗ = (−3,00 푚/푠)횤̂ + (−4,00푚 푠⁄ )횥̂.

a) Qual o módulo da aceleração centrípeta do gato?

Notamos que, depois de três segundos terem se passado (푡 − 푡 = 3,00 푠) a velocidade se inverte. Infere-se que são necessários três segundos para atingir o lado oposto do círculo.

Assim, 푇 = 2(3,00 푠) = 6,00 푠.

Sabendo que 푎 = , que 푣 = 푣 + 푣 , e que 푟 = , temos:

푎 = =

=

=

=

( , / ) ( , ⁄ ),

= √,

= 5,24 푚/푠

b) Qual a aceleração média do gato no intervalo de tempo 푡 − 푡 , que é menor que um período?

푎⃗ = ⃗ ⃗ = ( , ̂ , ̂) ⁄ ( , ̂ , ̂) ⁄, ,

= (−2,00횤̂ − 2,67횥̂)푚/푠 )

|푎⃗ | = (−2,00푚/푠 ) + (2,67푚/푠 ) = 3,33 푚/푠

*69. Um cinegrafista está em uma picape que se move para oeste a 20 km/h enquanto filma um guepardo que também está se movendo para oeste 30 km/h mais depressa que a picape. De repente, o guepardo para, dá meia-volta e passa a correr a 45 km/h para leste, de acordo com a estimativa de um membro da equipe, agora nervoso, de pé na margem da estrada, no caminho do guepardo. A mudança de velocidade do animal leva 2,0 s.

a) Qual é o módulo da aceleração do animal em relação ao cinegrafista?

Usamos a direção leste no mesmo sentido de 푥 positivo.

20 푘푚/ℎ = 5,6 푚/푠; 30 푘푚/ℎ = 8,3 푚/푠; 45 푘푚/ℎ = 12,5 푚/푠

A velocidade com que o guepardo se aproxima da picape, ao final dos dois segundos é:

푣 = 푣 − 푣 = (12,5 푚/푠)횤̂ − (−5,6 푚/푠)횤̂ = (18,1 푚/푠)횤̂

em relação à picape. Uma vez que a velocidade relativa do guepardo à picape, no início do intervalo de 2,0 s é (−8,3 푚 / 푠)횤̂, o vector de aceleração (média) em relação ao operador de câmara (na picape) é:

푎 =∆

= ( , / ) ̂ ( , / ) ̂,

= (13 푚/푠 )횤̂

b) Qual é a orientação da aceleração do animal em relação ao cinegrafista?

Conforme arbitramos no início do exercício, a direção leste no sentido de 푥 positivo.

= (13 푚/푠 )횤̂ aponta para o leste

c) Qual é o módulo da aceleração do animal em relação ao membro nervoso da equipe?

A velocidade do guepardo no início do intervalo de 2,0 s era (conforme enunciado) 30 km/h mais rápido que a picape, que ia a 20 km/h, na direção oeste. Então

Em relação ao solo, o guepardo se deslocava a uma velocidade de:

(−8,3푚 푠⁄ )횤̂+ (−5,6푚 푠⁄ )횤̂ = (−13,9 푚/푠)횤̂

Após o intervalo de dois segundos na mudança de direção, a aceleração média, em relação ao membro da equipe no solo, é:

푎 =∆

= ( , / ) ̂ ( , / ) ̂,

= (13푚 푠⁄ )횤̂

|푎 | = 푎 + 푎 = (13푚 푠⁄ ) + 0 = 13 푚 푠⁄

d) Qual é a orientação da aceleração do animal em relação ao membro nervoso da equipe?

Conforme arbitramos no início do exercício, a direção leste no sentido de 푥 positivo.

= (13 푚/푠 )횤̂ aponta para o leste

*70. Um barco está navegando rio acima, no sentido positivo de um eixo 푥, a 14 km/h em relação à água do rio. A água do rio está correndo a 9,0 km/h em relação à margem.

a) Qual é o módulo da velocidade do barco em relação à margem?

Em um sistema de coordenadas horizontais 푥푦, onde o semi-eixo 푥 positivo aponta para montante, temos:

푣 /á = 14 푘푚 ℎ⁄ = (3,9 푚/푠)횤̂

푣á / = 9,0푘푚 ℎ⁄ = (−2,5 푚/푠)횤̂

A velocidade do barco/margem é:

푣 = 푣 + 푣 = (3,9 푚/푠)횤̂ + (−2,5 푚/푠)횤̂ = (1,4 푚/푠)횤̂

|푣 | = (푣 ̂) + 푣 ̂ = (1,4 푚/푠) + 0 = 1,4 푚/푠

b) Qual é a orientação da velocidade do barco em relação à margem?

(1,4 푚/푠)횤̂ está apontando para o sentido positivo do eixo 푥, ou seja, para montante.

c) Uma criança no barco caminha da popa para a proa a 6,0 km/h em relação ao barco. Qual é o módulo da velocidade da criança em relação à margem?

푣 / = 푣 = (1,4 푚/푠)횤̂

푣 ç / = 푣 = (−1,7 푚/푠)횤̂

푣 = 푣 + 푣 = (1,4 푚/푠)횤̂ + (−1,7 푚/푠)횤̂ = (−0,3 푚/푠)횤̂

|푣 | = (푣 ̂) + 푣 ̂ = (−0,3 푚/푠) + 0 = 0,3 푚/푠

d) Uma criança no barco caminha da popa para a proa a 6,0 km/h em relação ao barco. Qual é a orientação da velocidade da criança em relação à margem?

(−0,3 푚/푠)횤̂ aponta para o sentido negativo do eixo 푥, isto é para jusante.

**71. Um homem de aparência suspeita corre o mais rápido que pode por uma esteira rolante, levando 2,50 s para ir de uma extremidade a outra. Os seguranças aparecem e o homem volta ao ponto de partida, correndo o mais rápido que pode, levando 10,0 s. Qual é a razão entre a velocidade do homem e a velocidade da esteira?

Sabemos que 푣 =

Mas a velocidade do homem em relação ao solo é:

푣 = 푣 + 푣 = =,

Quando ele retorna pelo mesmo caminho:

푣 = 푣 − 푣 = − = −,

Logo:

= = , , , ,

= ,,

= 1,67

*72. Um jogador de rúgbi corre com a bola em direção à meta do adversário no sentido positivo do eixo 푥. De acordo com as regras do jogo, ele pode passar a bola para um companheiro de equipe desde que a velocidade da bola em relação ao campo não possua uma componente 푥 positiva. Suponha que o jogador esteja correndo com uma velocidade de 4,0 푚/푠 em relação ao campo quando passa a bola com uma velocidade 푣⃗ em relação a ele mesmo. Se o módulo de 푣⃗ é 6,0 푚/푠, qual é o menor ângulo que ele deve fazer com a direção x para que o passe seja válido?

Chamaremos a velocidade do jogador em relação ao campo de 푣⃗ .

Chamaremos a velocidade relativa entre o jogador e a bola de 푣⃗ .

Chamaremos a velocidade da bola em relação ao campo de 푣⃗ .

A velocidade da bola em relação ao campo é dada por 푣⃗ = 푣⃗ + 푣⃗ .

O menor ângulo 휃 corresponde ao caso em que 푣⃗ ⊥ 푣⃗ . Assim,

휃 = 180°− 푐표푠푣⃗푣⃗ = 180°− 푐표푠

4,0 푚/푠6,0 푚/푠 = 131°

**73. Dois navios, A e B, deixam o porto ao mesmo tempo. O navio A navega para noroeste a 24 nós e o navio B navega a 28 nós em uma direção 40° a oeste do sul.

a) Qual é o módulo da velocidade do navio A em relação ao navio B?

푣⃗ = (푣 cos 135°)횤̂ + (푣 sen 135°)횥̂ = (24 푛ó푠 cos 135°)횤̂ + (24 푛ó푠 sen 135°)횥̂

푣⃗ = (−17 푛ó푠)횤̂ + (17 푛ó푠)횥 ̂

푣⃗ = (푣 cos 230°)횤̂+ (푣 sen 230°)횥̂ = (28 푛ó푠 cos 230°)횤̂ + (28 푛ó푠 sen 230°)횥̂

푣⃗ = (−18 푛ó푠)횤̂ + (21 푛ó푠)횥̂

푣⃗ = 푣⃗ − 푣⃗ = [(−17 푛ó푠)횤̂ + (17 푛ó푠)횥̂] − [(−18 푛ó푠)횤̂ − (21 푛ó푠)횥̂]

푣⃗ = (1,03 푛ó 횤̂+ 38,4 푛ó푠 횥̂)

|푣⃗ | = (1,03 푛ó) +(38,4 푛ó푠) = 38 푛ó푠

b) Qual é a orientação da velocidade do navio A em relação ao navio B?

휃 = 푡푎푛 = = = , , ó

= 88,5° (a norte do leste ou 1,5° a leste do norte)

c) Após quanto tempo os navios estarão separados por 160 milhas marítimas?

|푣⃗ | = 38 푛ó푠 é a velocidade com que os navios se afastam um do outro.

Para atingir a distância de 160 milhas entre eles, navegam durante:

푡 = = |∆ || ⃗ |

= , ó

= 4,2 ℎ

d) Qual será o curso de B (orientação do vetor posição de B) em relação a A nesse instante?

A velocidade 푣⃗ é constante, portanto vetor 푟⃗ está na mesma direção que o vetor 푣⃗ .

Temos ainda que 푣⃗ = −푣⃗ (o vetor 푣⃗ é o inverso do vetor 푣⃗ ), logo o vetor 푟⃗ = −푟⃗ , isto é, possuem orientação inversa, um em relação ao outro.

Assim, podemos concluir que B em relação a A, orienta-se o inverso de A em relação a B, isto é a 1,5° a oeste do sul em relação a A.

**74. Um avião leve atinge uma velocidade no ar de 500 km/h. O piloto pretende chegar a um ponto 800 km ao norte, mas descobre que deve direcionar o avião 20,0° a leste do norte para atingir seu destino. O avião chega em 2,00 h.

a) Qual era o módulo da velocidade do vento?

O destino é 퐷 = 800 푘푚 횥̂ .

Os eixo se orientam em 푦 positivo para o norte e 푥 positivo para o leste.

Como o avião chega ao destino em 2 h, conclui-se que a soma de seu vetor velocidade em relação ao solo com o vetor velocidade do vento em relação ao solo é de 400 푘푚/ℎ 횥̂.

Então

푣⃗ ã / + 푣⃗ / = 400 푘푚/ℎ 횥̂

푣⃗ ã / = (500푘푚 ℎ⁄ 푐표푠70°)횤̂ + (500푘푚 ℎ⁄ 푠푒푛70°)횥̂

푣⃗ / = (400푘푚 ℎ⁄ )횥̂ − [(500푘푚 ℎ⁄ 푐표푠70°)횤̂+ (500푘푚 ℎ⁄ 푠푒푛70°)횥̂]

푣⃗ / = (400푘푚 ℎ⁄ )횥̂ − [(171푘푚 ℎ⁄ )횤̂ + (470푘푚 ℎ⁄ )횥̂]

푣⃗ / = −(171푘푚 ℎ⁄ )횤̂ − (70 푘푚 ℎ⁄ )횥̂

|푣⃗ / | = (−171푘푚 ℎ⁄ ) +(−70 푘푚 ℎ⁄ ) = 185 푘푚/ℎ

b) Qual era a orientação da velocidade do vento?

휃 = 푡푎푛 = = = / /

= 22,3° (a sul do oeste ou 67,7° a oeste do sul)

**75. A neve está caindo verticalmente com uma velocidade constante de 8,0 m/s. Com que ângulo, em relação à vertical, os flocos de neve parecem estar caindo do ponto de vista do motorista de um carro que viaja em uma estrada plana e retilínea a uma velocidade de 50 푘푚/ℎ?

Consideramos o plano horizontal 푥푦, onde o carro se desloca, com 푦 positivo para cima e 푥 positivo no sentido do deslocamento do carro.

50 푘푚 ℎ⁄ = 13,9 푚/푠

푣 / = (−8,0푚 푠⁄ )횥̂

푣 / = (13,9 푚/푠)횤̂

푣 / = 푣 / + 푣 / = (−8,0푚 푠⁄ )횥̂ + (13,9푚 푠⁄ )횤̂ =

푣 / = (−13,9푚 푠⁄ )횤̂+ (−8,0푚 푠⁄ )횥̂

휃 = 푡푎푛 = = = , /, /

= 30° no sentido anti-horário a partir de x positivo.

Como a questão pede o ângulo em relação à vertical, subtraímos 30° de 90° obtendo o ângulo de 60° em relação à vertical.

**76. Depois de voar por 15 min em um vento de 42 km/h a um ângulo de 20° ao sul do leste, o piloto de um avião sobrevoa uma cidade que está a 55 km ao norte do ponto de partida. Qual é a velocidade escalar do avião em relação ao ar?

푣⃗ Ã / = 푣⃗ = (55푘푚 15 푚푖푛⁄ )횥̂ = (220 푘푚/ℎ)횥̂

푣⃗ / = 푣⃗ = (42푘푚 ℎ⁄ 푐표푠340°)횤̂ + (42푘푚 ℎ⁄ 푠푒푛 340°)횥̂ =

푣⃗ / = 푣⃗ = (39 푘푚/ℎ)횤̂ − (14 푘푚 ℎ⁄ )횥̂

푣⃗ / = 푣⃗ = (39 푘푚/ℎ)횤̂ − (14 푘푚 ℎ⁄ )횥̂

푣⃗ = 푣⃗ Ã / − 푣⃗ → (220 푘푚/ℎ)횥̂ = 푣⃗ − (39 푘푚/ℎ)횤̂ − (14푘푚 ℎ⁄ )횥̂

푣⃗ = [(39 푘푚/ℎ)횤̂ − (14 푘푚 ℎ⁄ )횥̂] + (220 푘푚/ℎ)횥 ̂

푣⃗ = (39 푘푚/ℎ)횤̂ + (234 푘푚/ℎ)횥̂

|푣⃗ | = (39푘푚 ℎ⁄ ) + (234푘푚 ℎ⁄ ) = 237 푘푚/ℎ

**77. Um trem viaja para o sul a 30 m/s (em relação ao solo) em meio a uma chuva que é soprada para o sul pelo vento. As trajetórias das gotas de chuva fazem um ângulo de 70° com a vertical quando medidas por um observador estacionário no solo. Um observador no trem, entretanto, vê as gotas caírem exatamente na vertical. Determine a velocidade escalar das gotas de chuva em relação ao solo.

Considerando a direção sul coincidente com o sentido negativo do eixo 푦.

Como as gotas de chuva caem verticalmente em relação ao comboio, a componente horizontal da velocidade de uma gota de chuva é igual à componente horizontal da velocidade do comboio, ou seja 푣 = (−30 푚/푠)횥̂.

Se 푣 é a componente vertical da velocidade e 휃 é o ângulo entre a direção de movimento e a vertical, então 푡푎푛 휃 = . Assim

푣 = = /°

= (−10,9 푚/푠)횥̂

Logo, a velocidade de uma gota de chuva é:

푣 = 푣 + 푣 = (30 푚/푠) + (10,9 푚/푠) = 32푚 푠⁄ .

**78. Um rio de 200 m de largura corre para leste com uma velocidade constante de 2,0 m/s. Um barco com uma velocidade de 8,0 m/s em relação à água parte da margem sul em uma direção 30° a oeste do norte. Determine:

a) O módulo da velocidade do barco em relação à margem?

Considerando plano horizontal 푥푦 com 푥 positivo para leste e 푦 positivo para norte.

푣⃗ = (2,0 푚/푠)횤̂

푣⃗ / = (8,0푚 푠⁄ cos 120°)횤̂+ (8,0푚 푠⁄ 푠푒푛120°)횥̂ = (−4,0푚 푠⁄ )횤̂ + (6,9푚 푠⁄ )횥̂

푣⃗ ⁄ = 푣 / + 푣 = (−4,0푚 푠⁄ )횤̂+ (6,9푚 푠⁄ )횥̂ + (2,0푚 푠⁄ )횤̂

푣⃗ ⁄ = (−2,0푚 푠⁄ )횤̂ + (6,9 푚/푠)횥̂ = 7,2 푚/푠

푣⃗ ⁄ = (−2,0푚 푠⁄ ) +(6,9푚 푠⁄ ) = 7,2 푚/푠

b) A orientação da velocidade do barco em relação à margem?

휃 = 푡푎푛 = = = , /, /

= −74°

(observando que o vetor encontra-se no 2° quadrante, soma-se 180° ao resultado para obter-se 106° medidos no sentido anti-horário a partir do eixo 푥 positivo).

c) Quanto tempo o barco leva para atravessar o rio?

푦 − 푦 = 푣 푡 → 푦 − 푦 = (푣푠푒푛휃)푡

200 푚 = (7,2푚 푠 푠푒푛⁄ 106)푡

푡 = , ⁄ =

, /= 29 푠

**79. Duas rodovias se cruzam, como mostra a figura. No instante indicado, um carro de polícia P está a uma distância 푑 = 800 푚 do cruzamento, movendo-se com uma velocidade escalar 푣 = 80 푘푚/ℎ. O motorista M está a uma distância 푑 = 600 푚 do cruzamento, movendo-se com uma velocidade escalar 푣 = 60 푘푚/ℎ.

a) Qual é a velocidade do motorista em relação ao carro da polícia na notação de vetores unitários?

푣⃗ = 푣⃗ − 푣⃗ = (−60푘푚 ℎ⁄ )횥̂ − (−80 푘푚 ℎ⁄ )횤̂ = (80 푘푚 ℎ⁄ )횤̂ − (60푘푚 ℎ⁄ )횥̂

b) No instante mostrado na figura, qual é o ângulo entre a velocidade calculada no item a) e a reta que liga os dois carros?

No cálculo de 푣⃗ encontramos o vetor velocidade de M para P. Este vetor é também a reta que liga os dois carros, portanto o ângulo entre a velocidade e esta reta é 0°.

c) Se os carros mantêm suas velocidades, as respostas dos itens a) e b) mudam quando os carros se aproximam da interseção?

Não, pois as respostas acima referem-se à velocidade, como ela não se altera, as respostam permanecem iguais.

**80. Na vista superior da figura, os jipes P e B se movem em linha reta em um terreno plano e passam ao lado de um guarda de fronteira estacionário A. Em relação ao guarda, o jipe B se move com uma velocidade escalar constante de 20,0 m/s e um ângulo 휃 = 30,0°. Também em relação ao guarda, P acelerou a partir do repouso a uma taxa constante de 0,400 푚/푠 e um ângulo 휃 = 60,0°. Em um certo instante, durante a aceleração, P possui uma velocidade escalar de 40,0 m/s. Nesse instante quais são:

a) o módulo da velocidade de P em relação a B?

푣⃗ = (40,0푚 푠⁄ ) cos(60,0°) + (40,0푚 푠⁄ )푠푒푛(60,0°) = (20,0푚 푠⁄ )횤̂ + (34,6푚 푠⁄ )횥̂

푣⃗ = (20,0푚 푠⁄ ) cos(30,0°) + (20,0푚 푠⁄ )푠푒푛(30,0°) = (17,3푚 푠⁄ )횤̂ + (10,0푚 푠⁄ )횥 ̂

푣⃗ = 푣⃗ − 푣⃗ = [(20,0푚 푠⁄ )횤̂ + (34,6푚 푠⁄ )횥̂]− [(17,3푚 푠⁄ )횤̂+ (10,0푚 푠⁄ )횥̂]

푣⃗ = (2,68푚 푠⁄ )횤̂ + (24,6푚 푠⁄ )횥̂

|푣⃗ | = (2,68푚 푠⁄ ) + (24,6푚 푠⁄ ) = 24,8 푚/푠

b) a orientação da velocidade de P em relação a B?

휃 = 푡푎푛 = = = , /, /

= 83,8° (a norte do leste ou 6,2° a leste do norte)

c) o módulo da aceleração de P em relação a B?

B possui velocidade constante, logo não tem aceleração.

Então a aceleração de P em relação à B é igual a aceleração de P em relação a A.

푎⃗ = 푎⃗ = 0,400 푚/푠

d) a orientação da aceleração de P em relação a B?

A aceleração de uma partícula, em relação a observadores em diferentes referenciais, com velocidade constante, é sempre a mesma. Portanto, a orientação da aceleração de P em relação a A é a mesma do enunciado: 60,0° a norte do leste.

***81. O navio A está 4,0 km ao norte e 2,5 km a leste do navio B. O navio A está viajando com uma velocidade de 22 km/h na direção sul; o navio B, com uma velocidade de 40 km/h em uma direção 37° ao norte do leste.

a) Qual é a velocidade de A em relação a B em termos de vetores unitários, com 횤̂ apontando para o leste?

Nossas coordenadas são escolhidos com x positivo sendo leste e y positivo sendo o norte.

Nestes termos, o ângulo especificando a leste seria de 0° e o ângulo especificando sul seria −90° ou 270°.

Chamando a superfície de W, temos:

푣⃗ = (−22 푘푚 ℎ⁄ )횥̂

푣⃗ = (40푘푚 ℎ⁄ 푐표푠37°)횤̂+ (40푘푚 ℎ⁄ 푠푒푛37°)횥̂ = (32푘푚 ℎ⁄ )횤̂ + (24푘푚 ℎ⁄ )횥 ̂

푣⃗ = 푣⃗ − 푣⃗ = [(−22푘푚 ℎ⁄ )횥̂] − [(32푘푚 ℎ⁄ )푖 + (24푘푚 ℎ⁄ )푗] =

푣⃗ = (−32 푘푚 ℎ⁄ )푖 − (46푘푚 ℎ⁄ )푗

b) Escreva uma expressão (em termos de 횤̂ e 횥̂) para a posição de A em relação a B em função do tempo 푡, tomando 푡 = 0 como o instante em que os navios estão nas posições descritas.

Como a velocidade é constante, integramos suas componentes para obter a posição:

푟⃗ − 푟⃗ = ∫푣 푑푡

푟⃗ − 푟⃗ = 2,5 + ∫(−32 푘푚 ℎ⁄ )푖 푑푡 + 4,0 + ∫(−46푘푚 ℎ⁄ )푗 푑푡

푟⃗ = (2,5− 32푡)푖+ (4,0 − 46푡)푗

Com o tempo em horas e as distâncias em quilômetros.

c) Em que instante a separação entre os navios é mínima.

|푟⃗| = (2,5− 32푡) + (4,0− 46푡)2

Derivamos esta equação para isolar 푡

|푟⃗| = (2,5 − 32푡) + (4,0− 46푡)2 → 3140푡2 − 528푡 + 22,25 =

3140푡 − 528푡 + 22,25 → (3140푡 − 528푡 + 22,25)

퐷 3140푡2 − 528푡+ 22,2512 =

= 3140푡2 − 528푡+ 22,25− 1

2 ∙ 퐷푡 3140푡2 − 528푡+ 22,25 =

= 3140푡2 − 528푡+ 22,25− 1

2(6280푡 − 528) =

= 1

3140푡2−528푡+22,25 (3140푡 − 264) =

= 3140푡−264

3140푡2−528푡+22,25= 0; isolando 푡, temos:

푡 = 0,084 ℎ

d) Qual é essa separação mínima.

푟⃗ = (2,5− 32푡)푖+ (4,0 − 46푡)푗

푟⃗(푡) = [2,5 − 32(0,084)]푖 + [4,0 − 46(0,084)]푗

푟⃗(푡) = (−0,188 푘푚)푖 + (0,136 푘푚)푗

|푟⃗(푡)| = (−0,188 푘푚) + (0,136 푘푚)2 = 0,232 푘푚

푟 = 0,2 푘푚

***82. Um rio de 200 m de largura corre com uma velocidade uniforme de 1,1 m/s através de uma floresta, na direção leste. Um explorador deseja sair de uma pequena clareira na margem sul e atravessar o rio em um barco a motor que se move com uma velocidade escalar constante de 4,0 m/s

em relação à água. Existe outra clareira na margem norte, 82 m rio acima a partir de um ponto da margem sul, exatamente em frente à clareira.

a) Em que direção o barco deve ser apontado para viajar em linha reta e chegar à clareira da margem norte?

Construímos um triângulo retângulo a partir da clareira, na margem sul, traçando uma linha de 200 m de comprimento, orientada para o norte (para cima no esboço) através do rio, e uma linha orientada a montante, para a esquerda em nosso esboço, ao longo da margem para uma distância (82 푚) + (1,1 푚/푠)푡.

A hipotenusa deste triângulo também depende de 푡 e da a velocidade do barco (em relação à água).

(4,0)푡 = 200 + (82 + 1,1푡)

(4,0)푡 = 200 + (82 + 1,1푡)

16푡 = 40000 + 6724 + 180,4푡 + 1,21푡

14,8푡 − 180,4푡 − 46724 = 0

푡 = ±√ → , , ( )( , )( )( , )

= 62,6 푠

O ângulo, a oeste do norte é:

휃 = 푡푎푛 =

= ( , )

= , ( , )

= 37°

b) Quanto tempo o barco leva para atravessar o rio e chegar à clareira?

Como calculado na letra anterior:

푡 = 62,6 푠

L - 108

S - 328