RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS LEITHOLD 2.1 PAG 63

Nos Exercícios de 1 à 22 são dados f(x), a e L, bem como limx →a

f (x )=L :

Usando argumentos similares àqueles dos exemplos determine um 𝛅 >0 para o 𝛜 dado tal quese0<|x−a|<δ então|f ( x )−L|<ϵDepois usando as propriedades das desigualdades, determine um 𝛿>0, tal que a afirmativa (11) seja verdadeira para o valor dado de 𝜖.

Exercício 1

limx →0

sen4 xx

=limx→0

4

4sen4 x

x=lim

x →04

sen4 x4 x

=4.limx →0

sen 4 x

4 x

Fazendo 4x= t , temos

4 .limx →0

sent

t=4.1=4

Exercício 2

limx →0

2 xsen3 x

=limx →0

2 x3 x

sen3 x3 x

=limx →0

23

sen3 x3 x

fazendo3 x=t , temos

23

limx →0

sent

t

=

231

=23

Exercício 3

limx →0

sen9 xsen7 x

=limx→0

sen9 xx

sen7 xx

=limx →0

99

.sen9 x

x77

.sen7 x

x

=limx →0

9.sen 9x9 x

7.sen7 x7x

=9.limx→0

sen9 x

9 x

7.limx→0

sen7 x

7 x

=9.17.1

=97

Exercício 4

limx →0

sen3 tsen6 t

=limx →0

sen3 tt

sen6 tt

=limx →0

33

.sen3 t

t66

.sen6 t

t

=limx→0

3.sen3 t3 t

6.sen6 t6 t

=3.limx →0

sen 3t

3 t

6.limx →0

sen 6 t

6 t

=3.16.1

=36=12

Exercício 5

limy →0

3 ysen5 y

=limy →0

3 y5 y

sen5 y5 y

=lim

y →0

3 y5 y

limy →0

sen5 y

5 y

=

351

=35

Exercício 6

limx →0

sen3 xx2

=¿ limx→0

( senx ) ( senx ) (senx )x . x

=limx →0

senxx

.senx

x. senx=lim

x →0

senxx

. limx →0

senxx

. limx →0

senx=1.1 . senx=1.1 .0=0

Exercício 7

limx →0

x ²sen ²3 x

=limx →0

x ²9 x ²

sen ²3 x9 x ²

=limx →0

x ²9 x ²

(sen3 x)(sen3 x)9. x . x

=limx→0

x ²9 x ²

(sen3 x)(sen3 x)3 x .3x

lim x→0

x ²9 x ²

limy →0

(sen3 x)

3 x.limy →0

(sen 3x )

3 x

=

191.1

=

191

=19

Exercício 8

limx →0

sen52 x4 x5

=limx →0

88

.se n52 x4 x5

=81

.sen2 x2 x

.sen2x2x

.sen2 x2x

.sen2 x2 x

. sen2x2 x

=limx→0

8

1

limx →0

sen2x

2 x

limx →0

sen2 x

2x

limx →0

sen2x

2 x

limx →0

sen2 x

2x

limx→0

sen2 x

2 x=¿

¿limx →0

8

1.1.1 .1 .1.1=8

Exercício 9

limx →0

xcosx

=limx →0

x

limx →0

cosx=01=0

Exercício 10

limx →0

1−cosx1+senx

=limx→0

1−cosxx

1+senxx

=

limx →0

1−cosx

xlimx →0

1+senx

x

=

limx →0

1−cosx

xlimx →0

1

x+limx →0

senx

x

= 0limx →0

1

x+limx→0

senx

x

=0

Exercício 11

limx →0

1−cos4 xx

=limx →0

1−cos4 x4 xx4 x

=

limx→01−cos 4 x

4 xlimx →0

x

4 x

=04=0

Exercício 12

limz→0

1−cos2 z4 z

=limz→0

1−cos2 z2 z4 z2 z

=

limz→0

1−cos2 z

2 zlimz→0

4 z

2 z

= 0limx →0

2.2 z

2 z

=02=0

Exercício 13

limx →0

3 x ²

1−cos2x2

=limx →0

3 x ²

s en2x2

=limx →0

3 x ²

(senx2 )(sen

x2 )

=limx→0

3 x ²

x2

4

(senx2 )(sen

x2 )

x2

4

=limx →0

3x ².4

x2

(senx2 )

x2

.(sen

x2 )

x2

=¿limx →0

12

limx →0 (sen

x2 )

x2

.limx →0 (sen

x2 )

x2

= 121.1

=12

Exercício 14

limx →0

1−cos² x2x ²

=limx→0

sen ² x2 x ²

=limx →0

(senx ) .(senx)2 x . x

=limx →0

12

.senx

x.senx

x=limx→01

2.limx→0

senx

x.limx→0

senx

x=12

.1.1=12

Exercício 15

limx →0

tgx2 x

=limx →0

senx2 x cosx2x

=limx→0

senx

2 xcosx=lim

x →0

senxx

2xcosxx

=limx →0

senxx

.1

2cosx.=limx →0

senx

x.limx→01

2cosx=1.

12.1

=12

Exercício 16

limx →0

t g42x4 x4

=limx →0

se n42 xcos42x4 x4

=limx →0

sen42x4 x4 cos42x

=limx→0

116

sen42xx4

4 x4 cos42 x

16 x4

=

sen2x2 x

.sen 2x2x

.sen2 x2 x

.sen2x2 x

4 x4 cos42x

16 x4

=¿

¿

limx →0

sen2 x

2x.limx →0

sen2x

2 x.limx→0

sen2 x

2 x.limx→0

sen2 x

2xlimx →0

1

4.cos42x

=1.1.1 .114

.1= 114

=4

Exercício 17lim

t →0+¿sentt ²

= limt →0+¿ sent

t.1t= lim

t → 0+¿ sent

t. lim

t→ 0+¿ 1t=1. lim

t → 0+¿1t= lim

t→0+¿ 1t=+ ∞ ¿

¿ ¿

¿ ¿

¿ ¿

¿¿

¿ ¿

¿

Exercício 18

limx →0

1−cosxx ²

=limx →0

1−cosx

x.1x=limx→01−cosx

x.limx→01

x.=0.

limx →0

1

x=0

Exercício 19

limx →0

1−cos2 xsen3 x

=limx →0

1−cos2x2 x

sen3 x2 x

=

limx→0

1−cos2 x

2 xlimx →0

sen3x

2 x

= 0limx →0

sen3 x

2 x

=0

Exercício 20lim

y →0+¿sen4 ycos3 y−1

= limy→0 +¿ sen4 y

−1+cos3 y= lim

y→ 0+¿

sen4 y

4y−1+cos3 y

4y

= lim

y→ 0+ ¿ sen4 y4 y

¿ lim

y→ 0+ ¿−1+ cos3 y4y

¿ 1lim

y→ 0+¿−1+cos3 y4 y

¿ lim

y→ 0+¿ 4ycos3 y−1

=¿¿¿¿

¿¿¿

¿¿

¿ ¿

¿

¿ limy →0+¿ 4 y

¿ limy →0+¿cos3 y−1

¿ 0lim

y→0+¿cos3 y−1¿0¿

¿¿

Exercício 21

limx→❑

2

1−senx❑2

−x, fazendo t=π

2−x teremos lim

t →0

1−sen( π2−t)

t=lim

t →0

1−senπ2

. cost−cos π2

. sent

t

¿limt→01−sen

π2

. cost−cos π2

. sent

t=limt →0

1−1.cost−0. sent

t=limt →0

1−cost

t=0

Exercício 22

limx→❑

2

π2−x

cosx, fazendo t=

π2−x⇒ x=

π2−t ; teremos lim

t →0

t

cos ( π2−t)

=limt →0

t

cosπ2

. cost+senπ2

. sent=lim

t →0

t0.cost+1. sent

=¿

limt →0

tsent

=por sanduíche temosque sent<t< tant ,dividindo ambos por sent teremossentsent

< tsent

< tantsent

⇒

1< t−sent

< sentcost . sent

=e limt →01=

limt→0

t

−sent=limt →01

cost⇒−1<

limt →0

t

−sent<−1⇒

limt →0

t

−sent=−1

Exercício 23lim

x→ π+¿senxx−π

,fazendo t=x−π ⇒x=π+t ;teremos limt →0+¿

sen ( π+ t )t

= limt→ 0+¿ senπ. cost+cosπ .sent

t= lim

t→ 0+¿ 0. cost−sentt

=¿¿

¿¿

¿¿

¿¿

¿

− limt →0+¿

sentt

=−1¿

¿

Exercício 24lim

x→ π+¿tanxx−π

,fazendo t=x−π ⇒ x=π+t ;teremos limt →0+¿

tan (π + t )t

= lim

t → 0+¿

sen ( π+t )cost ( π+t)

t= lim

t → 0+¿

senπ .cost+cosπ .sentcosπ . cost−sent . senπ

t=¿¿

¿¿

¿ ¿

¿¿

¿

lim

t →0+¿

0. cost±1.sent−1.cost− sent .0

t= lim

t→ 0+¿

−sent−cost

t= lim

t →0+¿ tant

t= lim

t → 0+¿ sentt

. lim

t→0+¿ 1cost

=1.1=1¿

¿ ¿

¿ ¿

¿¿

¿ ¿

¿

Exercício 25

limx →0

x2+3 xsenx

=limx →0

x (x+3)senx

=limx→0

x (x+3)x

senxx

=limx →0

(x+3)

limx →0

senx

x

=31=3

Exercício 26

limx →0

senx3 x2+2x

=limx →0

senxx (3 x+2)

=limx →0

senxx

x (3 x+2)x

=

limx →0

senx

xlimx →0

3 x+2=12

USE O TEOREMA DO CONFRONTO/SANDUÍCHE (SQUEEZE) PARA ENCONTRAR O LIMITEExercício 27

limx →0

xcos1x

,temos que−1≤cos1x

≤1 , x ≠0 ,logo−|x|≤ xcos1x

≤ x , limx →0

−|x|≤ limx→0

xcos1x

≤ limx→0

x⇒

⇒0≤ limx→ 0

xcos1x

≤0⇒ limx →0

xcos1x=0

Exercício 28

limx →0

x2 sen13√ x

, temosque−1≤sen13√ x

≤1 , assim−¿ x2∨¿ x2 sen13√x

<¿x2∨ , para x≠0e temosque

limx →0

−¿ x2|¿ x2 sen13√x

<limx→0

¿ x2|⇒0< limx →0x2 sen

13√x

<0∴ peloteoremadoconfronto limx →0

x2 sen13√ x

=0

Exercício 29

limx →3

g ( x ) , se|g ( x )+4|<2 (3−x )4∀ x , conhecemosque|x|<a⇔−a<x<a logo−[2 (3−x )4 ]<g ( x )+4<2 (3−x )4⇒

⇒−[2 (3−x )4 ]−4<g ( x )+4−4<2 (3−x )4−4⇒−[2 (3−x )4 ]−4<g (x )<2 (3−x )4−4 , e

limx →3

2 (3−x )4=0 , assim0−4< limx→3

g ( x )<0−4⇒−4< limx →3

g ( x )←4 peloteoremadoconfronto limx →3

g ( x )=−4

Exercício 30

limx→−2

g ( x ) , se|g ( x )−3|<5 ( x+2 )2∀ x , conhecemosque|x|<a⇔−a< x<a logo−[5 ( x+2 )2 ]<g ( x )−3<5 ( x+2 )2⇒

⇒−[5 ( x+2 )2 ]+3<g ( x )−3+3<5 ( x+2 )2+3⇒−[5 (x+2 )2 ]+3<g ( x )<5 ( x+2 )2+3 , e

limx→−2

5 ( x+2 )2=0 , assim0+3< limx→ 3

g ( x )<0+3⇒3< limx → 3

g ( x )<3 pelo te oremadoconfronto limx→−2

g (x )=3

ENCONTRE O LIMITE SE EXISTIR:

Exercício 31

limx →0

sen(senx)x

=limx→0

sen (senx )x

.senxsenx

=limx →0

sen (senx)senx

.senx

x=lim

x →0

sen (senx)senx

.limx→0

senx

x=1.1=1

Exercício 32

limx →0

xsenx1x

, sabemos que−1≤ sen1x

≤1⇒−|x|≤ xsen1x

≤|x|e limx →0

−|x|≤ limx→0

xsen1x

≤ limx→0

|x|⇒0≤ limx→0

xsen1x

≤0

Pelo teoremadoconfronto podemos concluir que limx →0

xsen1x=0

Exercício 33

dado1−co s2 x≤ f ( x )≤ x2 para∀ x∈(−π2

,π2 )encontre lim

x→0f ( x ) , da relação fundamental temos se n2 x+co s2 x=1 , logo

1−cos2 x=se n2 x , assim sen2 x≤ f ( x ) ≤ x2 , e limx→ 0

se n2 x= limx →0

x2=0 logo pelo teoremade sanduiche limx →0

f ( x )=0

Exercício 34dado−senx≤ f ( x ) ≤2+senx para∀ x∈ (−π ,0 ) encontre lim

x →0f ( x ) , somando−1em abos os lados temos ,

−1−senx ≤ f ( x )−1≤1+senx=−(1+senx ) ≤ f ( x )−1≤ (1+senx ) , limx →0

|1+senx|=|1−1|=0 , assim

se−(1+senx )≤ f ( x )−1≤ (1+senx ) e limx →0

|1+senx|=0 temos pelo teoremadoconfronto que limx →0

f ( x )−1=0⇒

limx →0

f ( x )=1

PROVE QUE A FUNÇÃO É CONTÍNUA EM SEU DOMÍNIO:

Exercício 35 Função tangente

Provaremos que as funções seno e cosseno são contínuas em seus domínios, sabemos que o domínio de ambas as funções éR logo deveremos

mostrar que se a ∈ ℝ então limx →a

s enx=senae limx →a

cosx=cosa ou demonstrarmos uma proposição equivalente tal como

limt →0

sen ( t +a )=sena e limt →0

cos ( t+a )=cosa, usando as identidades trigonométricas temos, sen(t+a)=sent.cosa+cost.sena e

cos(t+a) = cost.cosa-sent.sena, assim limt →0

sen (t +a )=limt →0

sent . cosa+cost . sena=limt →0

sent . limt →0

cosa+limt →0

cost . limt →0

sena=¿

0.cosa+1. sent=sena, Portanto limt →0

sen ( t +a )=sena

Do mesmo modo podemos demonstrar que a função cosseno é contínua em todo o seu domínio. Provaremos que:limt →0

cos (t+a )=cosa usando as identidades trigonométricas temos, cos(t+a)= cost.cosa-sent.sena , assim

limt →0

cos ( t+a )=limt → 0

cost . cosa−sent . sena=limt →0

cost . limt → 0

cosa+limt → 0

sent . limt →0

sena=1.cosa+0. sena=cosa ,

Portanto limt →0

cos (t+a )=cosa

Uma vez demonstrada estas funções podemos desenvolver todas as outras, apenas devemos tomar cuidado ao considerarmos o denominador que nunca poderá ser nulo “0”.

Como a função

tanx= senxcosx

, ela é contínuaem todos osreai s , exceto onde cosx=0 ,∴ tanx é contínua ∀ x∈R ∕ x≠π2+kπ ,k∈Z

.

Exercício 36 Função cotangente

De forma análoga podemos demonstrar que a função cotangente cosxsenx

é contínua em todos os reais, exceto onde senx = 0, assim a função

cotangente é continua em todos os reais exceto onde senx=0 ,isto é , ela é contínua ∀ x∈R ∕ x≠ kπ , k∈Z .

Exercício 37 Função secante

Podemos demonstrar que a função secx = 1

cosx é contínua em todos os reais, exceto onde cosx= 0, assim a função secante é continua em

todos os reais exceto emπ2

+kπ , k∈Z ,logo ela é contínua ∀ x∈R ∕ x≠π2

+kπ , k∈Z ..

Exercício 38 Função secante

Podemos demonstrar que a função cossecx = 1

senx é contínua em todos os reais, exceto onde senx= 0, assim a função cosecante é continua

em todos os reais exceto em x=kπ , k∈Z ,logo ela é contínua ∀ x∈R ∕ x≠ kπ , k∈Z .

Exercício 39 Se |f(x)|<M para todo x onde M é uma constante. use o teorema do confronto para provar que limx →0

f ( x ) x2=0

Da propriedade dos módulos temos, |f(x)|≤M ⇒ -M ≤ f(x) ≤ M -M.x² ≤ f(x).x² ≤ M.x² , temos que limx →0

x ²=0 assim

limx →0

¿-M.limx →0

x ² ≤limx →0

¿ f(x).x² ≤ limx →0

¿ M.limx →0

x ² limx →0

¿-M.0 ≤limx →0

¿ f(x).x² ≤ limx →0

¿ M.0 , logo pelo teorema do confronto limx →0

¿

f(x)x² = 0

Exercício 40 Se |f(x)|<M para todo x onde M é uma constante. Além disso, suponha que limx →0

g ( x )=0 use o teorema do confronto para

provar que limx →0

f (x )g ( x )=0

Da propriedade dos módulos temos, |f(x)|≤M ⇒ -M ≤ f(x) ≤ M -M.g(x) ≤ f(x).g(x) ≤ M.g(x), temos que limx →0

g ( x )=0 assim

limx →0

¿-M.0 ≤ f(x).g(x) ≤ limx →0

¿ M.0 , logo pelo teorema do confronto limx →0

¿ f(x)g(x) = 0

Exercício 41 Se |f(x)|≤ k|x-a| para todo xa onde k é uma constante. Prove que limx →a

f ( x )=0

Da propriedade dos módulos temos, |f(x)|≤ k|x-a| ⇒ - [k|x-a|] ≤ f(x) ≤ k|x-a], temos que limx →a

k∨x−a∨¿0 assim

limx→ a

¿-[ k|x-a| ] ≤limx→ a

¿ f(x) ≤ limx→ a

¿ k|x-a| 0 ≤limx→ a

¿ f(x) ≤ 0 , logo pelo teorema do confronto limx→ a

¿ f(x) = 0