Resolução Numérica de Sistemas Lineares – Parte I · Cálculo Numérico: Aspectos teóricos e...

Profs.: Bruno Correia da Nóbrega QueirozJosé Eustáquio Rangel de QueirozMarcelo Alves de Barros

Resolução Numérica deSistemas Lineares – Parte I

Cálculo NuméricoCálculo NuméricoMódulo VMódulo V

2

Sistemas Lineares

Forma Geral

onde:aaijij coeficientes

xxii incógnitas

nnnn22n11n

2nn2222121

1nn1212111

bxa...xaxa

bxa...xaxa

bxa...xaxa

=+++

=+++

=+++

3

Exemplo 01

2, 4, 5, 4, 1, 5, 2, 4 e 5 coeficientesx1, x2 e x3 incógnitas

Sistemas Lineares

1x5x4x2

2x5x1x4

5x5x4x2

321

321

321

−=++

=−+

=−+

4

Sistemas Lineares Forma Matricial

onde:

4

Ax = bAx = b

=

nn3n2n1n

n22221

n11211

aaaa

aaa

aaa

A

=

n

21

b

bb

b

=

n

21

x

xx

x

5

Sistemas Lineares

1x5x4x2

2x5x1x4

5x5x4x2

321

321

321

−=++

=−+

=−+

5

Exemplo 02Forma Geral

Forma Matricial

−=

−−

125

xxx

.542514542

321

6

Sistemas Lineares Classificação I

ImpossívelImpossível NãoNão possui solução Exemplo 03

6

=+

=+

9x2x2

3xx

21

21

7

Sistemas Lineares Classificação II

PossívelPossível Possui 1 ou mais soluções DeterminadoDeterminado Solução únicaúnica

Exemplo 04

=−

=+

8xx

4xx

21

21

8

Classificação III PossívelPossível Possui 1 ou mais soluções

IndeterminadoIndeterminado Mais de umaMais de uma solução Exemplo 05

Sistemas Lineares

=+

=+

8x2x2

4xx

21

21

9

Sistemas Lineares Classificação IV

PossívelPossível Possui 1 ou mais soluções HomogêneoHomogêneo Vetor b=0b=0 (x=0 sempre

existe solução) Exemplo 06

=+

=+

0x3x2

0xx

21

21

10

Sistemas Lineares

=

nn3n2n1n

3332312221

11

aaaa

0aaa00aa000a

A

Sistemas Triangulares:Possibilidade de resolução de forma

RetroativaRetroativa InferiorInferior

11

Sistemas Lineares

=

nn

n333n22322n1131211

a000

aa00aaa0aaaa

A

Sistemas Triangulares:Possibilidade de resolução de forma

RetroativaRetroativa SuperiorSuperior

12

Solução Retroativa Exemplo 7:

Dado o sistema:

Primeiro passo para sua resolução:2x23x5x41x2xx10xx5x4x3

443432

4321

==−

−=−+−=+−+

122x 4 ==

13


Segundo passo:

Terceiro passo:

2x315x43x5x4

33

43

==⋅−=−

1x1122x

1x2xx

22

432

−=−=⋅−+

−=−+

14


Último passo:

1x10125)1(4x3

10xx5x4x3

11

4321

=−=+⋅−−⋅+

−=+−+

15

Métodos Numéricos DiretosDiretos

Solução pode ser encontrada através de um número finito de passos Método de GaussMétodo de Gauss Método da Eliminação de JordanMétodo da Eliminação de Jordan Fatoração LUFatoração LU

16

Métodos Numéricos IterativosIterativos

Solução a partir de uma seqüência de seqüência de aproximações aproximações para o valor do vetor solução xx , até que seja obtido um valor que satisfaça à precisão préestabelecida Método de JacobiMétodo de Jacobi Método de Gauss – SiedelMétodo de Gauss – Siedel

17

Método de Gauss Propósito

Transformação do sistema linear a ser resolvido em um sistema linear triangularsistema linear triangular;

Resolução do sistema linear triangular de forma retroativaretroativa

18

Método de Gauss Transformação do Sistema Linear

Troca da ordem das linhas;

Multiplicação de uma das equações por um número real não nulo;

Substituição de uma das equações por uma combinação linear dela mesma com outra equação.

19

Método de Gauss Passos do Método de Gauss

Construção da matriz aumentada AbAb

19

[ ]

=

nnn3n2n1n

2n222211n11211

baaaa

baaabaaa

Ab

20


Passo 1: Eliminar os coeficientes de xEliminar os coeficientes de x11 presentes nas

linhas 2,3,...,n sendo a21 = a31, = ... = an1 = 0 sendo aa1111 chamado de pivô da colunapivô da coluna

Substituir a linha 2, LL22, pela combinação linear

1121

211212 aam:onde,LmL =⋅−

21

Método de Gauss

1131

3113133 aam:onde,LmLL =⋅−=

Passos do Métdo de Gauss

Substituir a linha 3, L3, pela combinação linear:

22


Devese continuar a substituição até a linha n;

Caso algum elemento app=0, achar outra linha k onde akp≠ 0 e trocar tais linhas. Caso a linha k não exista, o sistema linear não possui solução.

23


Eliminar os coeficientes de x2 nas linhas 3, 4, ..., n (fazer a32=a42=...=an2 = 0);

Eliminar os coeficientes de x3 nas linhas 4, 5, ..., n (fazer a43=a53=...=an3 = 0) e assim sucessivamente.

24

Método de Gauss Exemplo 8:

Resolver o sistema:

Matriz aumentada Ab

1xx3x23x3x4x4

5xx3x2

321321

321

−=+−=−+

=−+

[ ]

−−−−

=1132

33445132

Ab

25


Fazse:

Assim:

2aam,LmLL

1121

2112122 ==⋅−=

[ ] [ ][ ]7120L

513223344L22

−−−=−⋅−−=

26


Fazse:

Assim:

1aam,LmLL

1131

2313133 ==⋅−=

[ ] [ ][ ]6260L

513211132L

3

3

−−=

−⋅−−−=

27


Obtémse a matriz:

[ ]

−−−−−

−=

62607120

5132Ab

28


Substituindo a linha 3 por:

Têmse:

3aam,LmLL

2232

3213233 ==⋅−=

[ ] [ ][ ]15500L

712037260L

3

3

=

−−−⋅−−−=

29


A matriz [Ab] fica assim com os seguintes valores:

[ ]

−−−

−=

155007120

5132Ab

30


Usase a solução retroativa:

=⇒=⇒=−+⇒=−⋅+

=⇒=−−⇒−=−−

=⇒=

2x2x2536x25xx3x2

2x73x27xx2

3x15x5

111321

2232

33

31


Resolver o sistema.

Representando o sistema pela matriz aumentada:

38x14x2x22134x3x110x27

57x52x4x

321321

321

=++=−+

=++

−=

3814222134311027575241

]AB[

32


Escolhendo a primeira linha como pivô, obtémse:

[ ] [ ][ ]

[ ] ( ) [ ][ ]12101130860L

5752411/223814222LmLL

1410140020L

575241)1/27(134311027LmLL

3

13133

2

12122

−−−=

⋅−=⋅−=

−−=

⋅−−=⋅−=

33


Representando o sistema pela matriz aumentada:

−−−−−=

121011308601410140020575241

]AB[

34

Exemplo 9:

Escolhendo agora a segunda linha como pivô, têmse:

Obtêmse a seguinte matriz ampliada:

Método de Gauss

[ ] ( ) [ ][ ]618006130000L

14101400202/8612101130860LmLL

3

13133

−−=

−−⋅−−−−−=⋅−=

−−−−=6180061300001410140020575241

]AB[

35


O que termina com a triangulação:

×−=⋅×−⋅+⋅×−=⋅×−⋅+⋅

=⋅+⋅+

43

421

33

321

321

106.18x106.13x0x01014.1x10 40.1x2x0

57x52x4x

36


Com solução:

Um pouco diferente da solução exata: XX11=1,X=1,X22=1 e X=1 e X33=1=1

x3 = 61800/(61300)=1.01

x2 =[ 1410 – (1400)⋅1.01]/2 = 0.0

x1 = [57 52⋅1.01 4⋅0.0]/1 = 4.5

37

Método do Pivoteamento Parcial Semelhante ao método de Gauss;

Minimiza a amplificação de erros de arredondamento durante as eliminações;

Consiste em escolher o elemento de maior módulo em cada coluna para ser o pivô.

38

Método do Pivoteamento Parcial Exemplo 10:

Resolver o sistema com precisão de 3 casas decimais

=⋅+⋅+⋅=⋅−⋅+⋅

=⋅+⋅+

38x14x2x22134x3x110x27

57x52x4x

321321

321

39


Matriz aumentada original deve ser ajustada:

−

3814222134311027575241

−

3814222575241

134311027

40


Sistema inalterado, elemento pivô 2727.

Encontrar as novas linhas:

]715.166.870[L

]134311027[)27/22(]3814222[LmLL

]521.5207.00[L

]134311027[)27/1(]575241[LmLL

3

13133

2

12122

−−=

−⋅−=⋅−=

−=

−⋅−=⋅−=

41


A matriz ampliada fica da forma:

Usando o elemento 87.687.6 como pivô, temse:

−−−

−

715.166.870521.5207.00

134311027

−−−

−

521.5207.00715.166.870

134311027

]56.5208.5200[L

]715.166.870[)6.87/07.0(]521.5207.00[LmLL

3

23233

=

−−⋅−−=⋅−=

42


A matriz ampliada fica na forma:

−−

−

56.5208.5200715.166.870

134311027

43


A solução do sistema triangular que resultou dessas operações é:

Solução muito próximamuito próxima da exata.

x3 = 52.08/52.56 = 0.991x2 = [7116.5⋅0,991]/(87.6) = 0.997x1 = [134 – (3)⋅0,991 – 110⋅0.997]/27 = 1.011

44

Método de Jordan Consiste em efetuar operações sobre as

equações do sistema, com a finalidade de obter um sistema diagonal equivalente;

Um sistema diagonal é aquele em que os elementos aaijij da matriz coeficiente [A] são iguais a zero, para ii≠j≠j,

i, j = 1,2,...,n.

45

Método de Jordan Sistema diagonal equivalente:

=

nn

n333n222n111

a000

aa00a0a0a00a

]A[

46

Método de Jordan Exemplo 11:

A partir do sistema:

Com matriz aumentada:

4x2x3x22x3x2x5

1xx5x

321321

321

=++=++

=++

[ ]

=

=

423211511325

423223251151

Ab

47



Substituindo a linha 3 por :

[ ] [ ]

[ ]8.04.06.40L

2.05/1aam,1325)5/1(1151LmLL

2

11212112122

=

===⋅−=⋅−=

[ ] [ ]

[ ]6.38.02.20L

4.05/2aam,1325)5/2(4232LmLL

3

1131

3113133

=

===⋅−=⋅−=

48


A matriz ampliada resulta em:


[ ]

=

6.38.02.208.04.06.40

1325Ab

[ ] [ ]

[ ]217.3609.000L

478.06.4/2.2aam,8.04.06.40)6.4/2.2(6.38.02.20LmLL

3

2232

3223233

=

===⋅−=⋅−=

49


A matriz ampliada resulta em:

Substituindo a linha 2 por

[ ]

=

478.0609.0008.04.06.40

1325Ab

[ ] [ ][ ]3141.106.40L

217.3609.000)609.0/4.0(8.04.06.40LmLL

2

32322

−=

⋅−=⋅−=

50


Matriz ampliada resulta em:

Substituindo a linha 1 por

[ ]

−=

478.0609.000314.106.401325

Ab

[ ] [ ][ ]5714.1305L

6.4/2aam,314.106.40)6.4/2(1325L

12212

121=

==−⋅−=

51



A matriz ampliada fica da seguinte forma:

[ ] [ ][ ]277.14005L

609.0/3aam,478.0609.000)609.0/3(5714.1305L

13313

131−=

==⋅−=

[ ]

−−

=478.0609.000314.106.40277.14005

Ab

52


E as soluções são:

x1 =0.78 , x2= 0.28, x3=2.85x1 =0.78 , x2= 0.28, x3=2.85

53

Decomposição em LU O objetivo é fatorar a matriz dos

coeficientes AA em um produto de duas matrizes LL e UU.Seja:

[ ]

⋅

=

nn

n333n22322n1131211

nn3n2n1n

323121

u000

uu00uuu0uuuu

mmmm001mm001m0001

LU

54

Decomposição em LU E a matriz coeficiente A:

Têmse:

=

nn3n2n1n

n22221n11211

aaaa

aaaaaa

A

[ ]

⋅

==

=

nn

n333n22322n1131211

nn3n2n1n

323121

nn3n2n1n

n22221n11211

u000

uu00uuu0uuuu

mmmm001mm001m0001

]LU[aaaa

aaaaaa

A

55

Decomposição em LU Para se obter os elementos da matriz LL e da

matriz UU, devese calcular os elementos das linhas de UU e os elementos da colunas de LLcomo segue.

56

Decomposição em LU 1ª linha de U: Fazese o produtoproduto da 1ª 1ª linha

de LL por todas todas as colunas de U U e a iguala com todos os elementos da 1ª1ª linha de AA, assim:

===⇒=⋅

=⇒=⋅=⇒=⋅

.n,...,2,1j,au,auau1

,auau1,auau1

j1j1n1n1n1n1

1212121211111111

57

Decomposição em LU 1ª coluna de L: Fazse o produto de todas

as linhas de L, (da 2ª 2ª a até a nª nª),), pela 1ª coluna de U e a iguala com os elementos da 1ª coluna de A, (abaixo da diagonal abaixo da diagonal principalprincipal), obtendo ,

==

=⇒=⋅

=⇒=⋅

=⇒=⋅

.n,...,2,1l,uam

,uamaum

,uamaum

,uamaum

111l1l

111l

1l1l111l

1131

31311131

112121211121

58

Decomposição em LU 2ª linha de U: Fazse o produto da 2ª linha

de L por todas as colunas de U, (da 2ª 2ª até anªnª), e igualando com os elementos da 2ª linha de A, (da diagonal principal em da diagonal principal em diantediante), obtêmse ,

=⋅−=⋅−=⇒=+⋅

⋅−=⇒=+⋅⋅−=⇒=+⋅

.n,...,3j,umau,umauauum

,umauauum,umauauum

j121j2j2n121n2n2n2n2n121

13212323232313211221222222221221

59

Decomposição em LU 2ª coluna de L: Fazse o produto de todas

as linhas de L (da 3ª 3ª até a nª nª) pela 2ª coluna de U e a iguala com os elementos da 2ª coluna de A, (abaixo da diagonal principalabaixo da diagonal principal), obtendo ,

=⋅−

=

⋅−=⇒=⋅+⋅

⋅−=⇒=⋅+⋅

⋅−=⇒=⋅+⋅

.n,...,3l,u

umam

,u

umamaumum

,u

umamaumum

,u

umamaumum

22121l2l

2l

22121l2l

2l2l222l121l

22124142

424222421241

22123132

323222321231

60

Decomposição em LU Temos a seguinte fórmula geral:

>⋅−=

≤⋅−=

∑

∑−

=

.jl,u/)uma(m

,jl,umau

jjkjlkljlj

1l

1kkjlkljlj

61

Decomposição em LU Resumo de Passos:

Seja um sistema Ax = bAx = b de ordem n, onde A satisfaz as condições da fatoração LU.

Então, o sistema Ax = bAx = b pode ser escrito como: Lux = bLux = b

62

Decomposição em LU Resumo dos Passos:

Fazendo Ux = yUx = y, a equação acima reduzse a Ly = bLy = b.

Resolvendo o sistema triangular inferior Ly Ly = b= b, obtémse o vetor yy.

63

Decomposição em LU Resumo dos Passos:

Substituição do valor de yy no sistema Ux Ux = y= y ⇒ Obtenção de um sistema triangular superior cuja solução é o vetor xxprocurado;

Aplicação da fatoração LU na resolução de sistemas lineares ⇒ Necessidade de solução de dois sistemas triangulares

64

Erros Avaliação de Erros No sistema AA⋅⋅ x = bx = b , onde:

o erro da soluçãoerro da solução é x – x’x – x’ .

=

=

=

n

21

n

21

nn2n1n

n22221n11211

b

bb

]b[a

aa

]x[aaa

aaaaaa

]A[

65

Procedimento de Determinação do Erro Determinar:

AA⋅⋅ x’ = b’x’ = b’

Erros Avaliação de Erros

66

Erros – Resíduo Procedimento de Determinação do Erro

Fazer: Resíduo Resíduo = b – b’

Resíduo =Resíduo = b – b’ = A⋅x A⋅x’ = A⋅(x – x’) = AA⋅⋅ erroerro

67

Erros – Resíduo Verificase que:

O resíduo nãonão é o erro, apenasapenas uma estimativa do mesmo;

Quanto menormenor for o resíduo, menormenor será o erro.

68

Exemplo 12:Refinar a solução do sistema:

Cuja solução encontrada através pelo método de Gauss, utilizando a solução retroativa é:

−=+−−−=+−−−=−+−

=+++

3,106x5,21x2,13x0,81x0,218,80x4,11x5,23x8,8x3,537,49x1,45x5,11x8,8x5,24

4,16x0,11x3,9x0,3x7,8

432143214321

4321

]´00,197,098,197,0[x )0( −=

Erros – Resíduo

69

Exemplo 12:O resíduo calculado é:

Vêse pelo resíduo que a precisão alcançada não foi satisfatória.

O vetor xx(0)(0) é chamado de vetor soluçãovetor solução.

−

=−=

594,0594,0214,0042,0

Axbr )0()0(

Erros – Resíduo

70

Exemplo 12:Com o intuito de melhorar a solução,

considerase um novo vetor xx(1)(1) chamado de vetor solução melhoradovetor solução melhorado.

Erros – Resíduo

71

Exemplo 12:De forma que : xx(1) = (1) = xx(1) + (1) + δδ(0)(0), onde δ(0) é o

vetor de correçãovetor de correção. Assim:

)0()0()0()0(

)0()0()0()0(

)1(

rAAxbA

bAAxb)x(A

bAx

=δ−=δ

=δ+=δ+

=

Erros – Resíduo

72

Exemplo 12:

Calcular o vetor de correção:

−

=

δδδδ

−−−−

−−

594,0594,0214,0042,0

5,212,130,810,214,115,238,83,531,455,118,85,24

0,113,90,37,8

4321

Erros – Resíduo

73

Exemplo 12:

A solução é:

−=δ

0000,00294,0

0195,00295,0

)0(

Erros – Resíduo

74

Exemplo 12:

Desta forma, a solução melhorada será:

−=δ+=

0000,19999,0

0000,20000,1

xx )0()0()1(

Erros – Resíduo

75

Exemplo 12:

Cujo novo resíduo é:

−−

=−=

013,0024,0011,0009,0

Axbr )1()1(

Erros – Resíduo

76

Exemplo 12:Utilizando o mesmo procedimento, têmse

que:

xx(2)(2)=x=x(1)(1)++δδ(1)(1)

Assim, o vetor correção, calculado por A A δδ(1)(1)=r=r(1)(1), é:

−−−

=δ0000,00007,00002,00002,0

)1(

Erros – Resíduo

77

Exemplo 12:

Achase assim uma solução melhorada:

−=

0000,10000,1

0000,20000,1

x )2(

Erros – Resíduo

78

Exemplo 12:

Que possui resíduo:

=

0000

r )2(

Erros – Resíduo

79

Sistemas Lineares Bibliografia Ruggiero, M. A. Gomes & Lopes, V. L. da R. Ruggiero, M. A. Gomes & Lopes, V. L. da R. Cálculo Cálculo

Numérico: Aspectos teóricos e computacionaisNumérico: Aspectos teóricos e computacionais. . MAKRON Books, 1996, 2MAKRON Books, 1996, 2ªª ed. ed.

Asano, C. H. & Colli, E. Asano, C. H. & Colli, E. Cálculo Numérico: Cálculo Numérico: Fundamentos e AplicaçõesFundamentos e Aplicações. Departamento de . Departamento de Matemática Aplicada – IME/USP, 2007.Matemática Aplicada – IME/USP, 2007.

Sanches, I. J. & Furlan, D. C. Sanches, I. J. & Furlan, D. C. Métodos NuméricosMétodos Numéricos. . DI/UFPR, 2006.DI/UFPR, 2006.

Paulino, C. D. & Soares, C. Erros e Propagação de Paulino, C. D. & Soares, C. Erros e Propagação de Erros, Erros, Notas de aulaNotas de aula, SE/ DM/ IST [Online] , SE/ DM/ IST [Online] http://www.math.ist.utl.pt/stat/pe/qeb/semestre_1_20http://www.math.ist.utl.pt/stat/pe/qeb/semestre_1_20042005/PE_erros.pdf042005/PE_erros.pdf [Último acesso 07 de Junho de [Último acesso 07 de Junho de 2007].2007].

Resolução Numérica de Sistemas Lineares – Parte I · Cálculo Numérico: Aspectos teóricos e...

Documents

Transcript of Resolução Numérica de Sistemas Lineares – Parte I · Cálculo Numérico: Aspectos teóricos e...